Mari kita sepakat bahwa "tindakan dengan pecahan" dalam pelajaran kita akan dipahami sebagai tindakan dengan pecahan biasa. Pecahan adalah pecahan yang memiliki sifat-sifat seperti pembilang, batang pecahan, dan penyebut. Ini membedakan pecahan biasa dari pecahan desimal, yang diperoleh dari pecahan biasa dengan mengurangi penyebut menjadi kelipatan 10. Pecahan desimal ditulis dengan koma yang memisahkan bagian bilangan bulat dari pecahan. Kami akan berbicara tentang tindakan dengan pecahan biasa, karena merekalah yang menyebabkan kesulitan terbesar bagi siswa yang telah melupakan dasar-dasar topik ini, tercakup dalam paruh pertama kursus matematika sekolah. Pada saat yang sama, ketika mengubah ekspresi dalam matematika yang lebih tinggi, itu terutama operasi dengan pecahan biasa yang digunakan. Beberapa singkatan pecahan bernilai sesuatu! Pecahan desimal tidak menyebabkan banyak kesulitan. Jadi silakan!

Dua pecahan dan disebut sama jika .

Misalnya karena

Pecahan dan (sejak ), dan (sejak ) juga sama.

Jelas, kedua pecahan dan sama. Artinya, jika pembilang dan penyebut suatu pecahan dikalikan atau dibagi dengan bilangan asli yang sama, maka akan diperoleh pecahan yang sama dengan bilangan tersebut.

Sifat ini disebut sifat dasar pecahan.

Sifat dasar pecahan dapat digunakan untuk mengubah tanda pembilang dan penyebut suatu pecahan. Jika pembilang dan penyebut pecahan dikalikan -1, maka kita peroleh. Artinya, nilai pecahan tidak akan berubah jika tanda pembilang dan penyebutnya berubah secara bersamaan. Jika Anda mengubah tanda pembilangnya saja atau penyebutnya saja, maka pecahan akan berubah tandanya:

Pengurangan pecahan

Dengan menggunakan sifat dasar pecahan, Anda dapat mengganti pecahan tertentu dengan pecahan lain yang sama dengan pecahan yang diberikan, tetapi dengan pembilang dan penyebut yang lebih kecil. Substitusi ini disebut reduksi pecahan.

Biarkan, misalnya, diberikan pecahan. Bilangan 36 dan 48 memiliki pembagi persekutuan terbesar 12. Maka

.

Dalam kasus umum, pengurangan pecahan selalu mungkin jika pembilang dan penyebutnya bukan bilangan koprima. Jika pembilang dan penyebutnya relatif bilangan prima, maka pecahan tersebut disebut tidak dapat direduksi.

Jadi, mengurangi suatu pecahan berarti membagi pembilang dan penyebut suatu pecahan dengan faktor persekutuan. Semua hal di atas berlaku untuk ekspresi pecahan yang mengandung variabel.

Contoh 1 Kurangi pecahan

Keputusan. Untuk memfaktorkan pembilang menjadi faktor, setelah sebelumnya menyajikan monomial - 5 xy sebagai jumlah - 2 xy - 3xy, kita mendapatkan

Untuk memfaktorkan penyebutnya, kita menggunakan rumus selisih kuadrat:

Hasil dari

.

Membawa pecahan ke penyebut yang sama

Membiarkan dua pecahan dan diberikan. Mereka memiliki penyebut yang berbeda: 5 dan 7. Dengan menggunakan sifat dasar pecahan, Anda dapat mengganti pecahan ini dengan pecahan lain yang setara dengannya, sehingga pecahan yang dihasilkan akan memiliki penyebut yang sama. Mengalikan pembilang dan penyebut pecahan dengan 7, kita mendapatkan

Mengalikan pembilang dan penyebut dengan 5, kita mendapatkan

Jadi, pecahan dikurangi menjadi penyebut yang sama:

.

Tapi ini bukan satu-satunya solusi untuk masalah ini: misalnya, pecahan ini juga dapat direduksi menjadi penyebut 70:

,

dan secara umum untuk setiap penyebut yang habis dibagi 5 dan 7.

Mari kita pertimbangkan satu contoh lagi: mari kita kurangi pecahan dan menjadi penyebut yang sama. Berdebat seperti pada contoh sebelumnya, kita dapatkan

,

.

Tetapi dalam kasus ini, Anda dapat membawa pecahan ke penyebut yang sama, kurang dari produk penyebut pecahan ini. Tentukan kelipatan persekutuan terkecil dari 24 dan 30: KPK(24, 30) = 120 .

Karena 120:4=5, untuk menulis pecahan berpenyebut 120, pembilang dan penyebutnya harus dikalikan 5, bilangan ini disebut faktor tambahan. Cara .

Selanjutnya, kita mendapatkan 120:30=4. Mengalikan pembilang dan penyebut pecahan dengan faktor tambahan 4, kita mendapatkan .

Jadi, pecahan-pecahan ini direduksi menjadi penyebut yang sama.

Kelipatan persekutuan terkecil dari pecahan-pecahan ini adalah penyebut persekutuan terkecil yang mungkin.

Untuk ekspresi pecahan yang menyertakan variabel, penyebutnya adalah polinomial yang habis dibagi oleh penyebut setiap pecahan.

Contoh 2 Menemukan penyebut umum dari pecahan dan .

Keputusan. Penyebut umum dari pecahan ini adalah polinomial, karena dapat dibagi oleh keduanya dan oleh. Namun, polinomial ini bukan satu-satunya yang dapat menjadi penyebut umum dari pecahan ini. Itu juga bisa berupa polinomial , dan polinomial , dan polinomial dll. Biasanya mereka mengambil penyebut yang sama sehingga penyebut umum lainnya dapat dibagi oleh yang dipilih tanpa sisa. Penyebut seperti itu disebut penyebut terkecil.

Dalam contoh kita, penyebut terkecil adalah . Telah mendapatkan:

;

.

Kami berhasil membawa pecahan ke penyebut umum terendah. Ini terjadi dengan mengalikan pembilang dan penyebut pecahan pertama dengan , dan pembilang dan penyebut pecahan kedua dengan . Polinomial dan disebut faktor tambahan, masing-masing, untuk pecahan pertama dan kedua.

Penjumlahan dan pengurangan pecahan

Penjumlahan pecahan didefinisikan sebagai berikut:

.

Sebagai contoh,

.

Jika sebuah b = d, kemudian

.

Artinya, untuk menjumlahkan pecahan berpenyebut sama, cukup dijumlahkan pembilangnya, dan biarkan penyebutnya sama. Sebagai contoh,

.

Jika pecahan-pecahan yang penyebutnya berbeda dijumlahkan, maka pecahan-pecahan tersebut biasanya direduksi menjadi penyebut persekutuan terkecil, dan kemudian pembilangnya dijumlahkan. Sebagai contoh,

.

Sekarang perhatikan contoh penambahan ekspresi pecahan dengan variabel.

Contoh 3 Ubah ekspresi menjadi satu pecahan

.

Keputusan. Mari kita cari penyebut terkecil. Untuk melakukan ini, pertama-tama kita memfaktorkan penyebutnya.

Siswa diperkenalkan dengan pecahan di kelas 5. Sebelumnya, orang yang tahu cara melakukan tindakan dengan pecahan dianggap sangat pintar. Pecahan pertama adalah 1/2, yaitu setengah, kemudian 1/3 muncul, dan seterusnya. Selama beberapa abad, contoh-contoh itu dianggap terlalu rumit. Sekarang aturan terperinci telah dikembangkan untuk mengonversi pecahan, penambahan, perkalian, dan tindakan lainnya. Cukup dengan memahami materi sedikit, dan solusi akan diberikan dengan mudah.

Pecahan biasa, yang disebut pecahan sederhana, ditulis sebagai pembagian dua angka: m dan n.

M adalah hasil bagi, yaitu pembilang pecahan, dan pembagi n disebut penyebut.

Pilih pecahan yang tepat (m< n) а также неправильные (m >n).

Pecahan yang tepat kurang dari satu (misalnya, 5/6 - ini berarti bahwa 5 bagian diambil dari satu; 2/8 - 2 bagian diambil dari satu). Pecahan yang tidak tepat sama dengan atau lebih besar dari 1 (8/7 - unit akan menjadi 7/7 dan satu bagian lagi diambil sebagai nilai tambah).

Jadi, satuan adalah bila pembilang dan penyebutnya cocok (3/3, 12/12, 100/100, dan lain-lain).

Aksi dengan pecahan biasa Grade 6

Dengan pecahan sederhana, Anda dapat melakukan hal berikut:

• Perluas pecahan. Jika Anda mengalikan bagian atas dan bawah pecahan dengan angka yang sama (tetapi tidak dengan nol), maka nilai pecahan tidak akan berubah (3/5 = 6/10 (hanya dikalikan 2).
• Mengurangi pecahan mirip dengan memperluas, tetapi di sini mereka dibagi dengan angka.
• Membandingkan. Jika dua pecahan mempunyai pembilang yang sama, maka pecahan yang penyebutnya lebih kecil akan lebih besar. Jika penyebutnya sama, maka pecahan dengan pembilang terbesar akan lebih besar.
• Melakukan penjumlahan dan pengurangan. Dengan penyebut yang sama, ini mudah dilakukan (kami menjumlahkan bagian atas, dan bagian bawah tidak berubah). Untuk yang berbeda, Anda harus menemukan penyebut yang sama dan faktor tambahan.
• Perkalian dan pembagian pecahan.

Contoh operasi dengan pecahan dipertimbangkan di bawah ini.

Pecahan yang dikurangi Kelas 6

Mengurangi berarti membagi bagian atas dan bawah suatu pecahan dengan suatu bilangan yang sama.

Gambar tersebut menunjukkan contoh sederhana dari reduksi. Pada opsi pertama, Anda bisa langsung menebak bahwa pembilang dan penyebutnya habis dibagi 2.

Pada catatan! Jika bilangan genap maka habis dibagi 2. Bilangan genap adalah 2, 4, 6 ... 32 8 (berakhir genap), dll.

Dalam kasus kedua, ketika membagi 6 dengan 18, segera jelas bahwa angka-angka tersebut habis dibagi 2. Membagi, kita mendapatkan 3/9. Pecahan ini juga habis dibagi 3. Maka jawabannya adalah 1/3. Jika Anda mengalikan kedua pembagi: 2 dengan 3, maka akan keluar 6. Ternyata pecahan itu dibagi enam. Pembagian bertahap ini disebut pengurangan berturut-turut dari pecahan oleh pembagi umum.

Seseorang akan segera membagi dengan 6, seseorang akan membutuhkan pembagian dengan bagian. Hal utama adalah bahwa pada akhirnya ada pecahan yang tidak dapat dikurangi dengan cara apa pun.

Perhatikan bahwa jika suatu bilangan terdiri dari angka-angka yang penjumlahannya akan menghasilkan bilangan yang habis dibagi 3, maka bilangan asli juga dapat dikurangi 3. Contoh: bilangan 341. Jumlahkan bilangan: 3 + 4 + 1 = 8 ( 8 tidak habis dibagi 3, jadi bilangan 341 tidak dapat dikurangi 3 tanpa sisa). Contoh lain: 264. Tambahkan: 2 + 6 + 4 = 12 (dibagi 3). Kita peroleh: 264: 3 = 88. Ini akan menyederhanakan pengurangan bilangan besar.

Selain metode pengurangan berturut-turut dari pecahan dengan pembagi umum, ada cara lain.

GCD adalah pembagi terbesar untuk suatu bilangan. Setelah menemukan KPK untuk penyebut dan pembilang, Anda dapat segera mengurangi pecahan dengan angka yang diinginkan. Pencarian dilakukan dengan membagi setiap angka secara bertahap. Selanjutnya, mereka melihat pembagi mana yang cocok, jika ada beberapa di antaranya (seperti pada gambar di bawah), maka Anda perlu mengalikannya.

pecahan campuran kelas 6

Semua pecahan biasa dapat diubah menjadi pecahan campuran dengan mengisolasi seluruh bagian di dalamnya. Bilangan bulat ditulis di sebelah kiri.

Seringkali Anda harus membuat bilangan campuran dari pecahan biasa. Proses konversi pada contoh di bawah ini: 22/4 = 22 dibagi 4, kita mendapatkan 5 bilangan bulat (5 * 4 = 20). 22 - 20 = 2. Kami mendapatkan 5 bilangan bulat dan 2/4 (penyebutnya tidak berubah). Karena pecahan dapat dikurangi, kita membagi bagian atas dan bawah dengan 2.

Sangat mudah untuk mengubah bilangan campuran menjadi pecahan biasa (ini diperlukan saat membagi dan mengalikan pecahan). Untuk melakukan ini: kalikan bilangan bulat dengan bagian bawah pecahan dan tambahkan pembilangnya. Siap. Penyebutnya tidak berubah.

Perhitungan dengan pecahan Grade 6

Angka campuran dapat ditambahkan. Jika penyebutnya sama, maka ini mudah dilakukan: jumlahkan bagian bilangan bulat dan pembilangnya, penyebutnya tetap di tempatnya.

Saat menjumlahkan bilangan dengan penyebut berbeda, prosesnya lebih rumit. Pertama, kami membawa angka ke satu penyebut terkecil (NOD).

Pada contoh di bawah ini, untuk angka 9 dan 6, penyebutnya adalah 18. Setelah itu, diperlukan faktor tambahan. Untuk menemukannya, Anda harus membagi 18 dengan 9, sehingga angka tambahan ditemukan - 2. Kami mengalikannya dengan pembilang 4, kami mendapatkan pecahan 8/18). Hal yang sama dilakukan dengan pecahan kedua. Kami sudah menambahkan pecahan yang dikonversi (bilangan bulat dan pembilang secara terpisah, kami tidak mengubah penyebutnya). Pada contoh, jawabannya harus diubah menjadi pecahan biasa (awalnya pembilangnya ternyata lebih besar dari penyebutnya).

Harap dicatat bahwa dengan perbedaan pecahan, algoritme tindakannya sama.

Saat mengalikan pecahan, penting untuk menempatkan keduanya di bawah garis yang sama. Jika jumlahnya dicampur, maka kita mengubahnya menjadi pecahan sederhana. Selanjutnya, kalikan bagian atas dan bawah dan tuliskan jawabannya. Jika jelas bahwa pecahan dapat dikurangi, maka kita segera mengurangi.

Dalam contoh ini, kami tidak perlu memotong apa pun, kami hanya menuliskan jawabannya dan menyorot seluruh bagian.

Dalam contoh ini, saya harus mengurangi angka di bawah satu baris. Meskipun dimungkinkan untuk mengurangi juga jawaban siap.

Saat membagi, algoritmanya hampir sama. Pertama, kita ubah pecahan campuran menjadi pecahan biasa, lalu kita tulis angkanya di bawah satu baris, menggantikan pembagian dengan perkalian. Jangan lupa untuk menukar bagian atas dan bawah dari pecahan kedua (ini adalah aturan pembagian pecahan).

Jika perlu, kami mengurangi angkanya (dalam contoh di bawah, mereka menguranginya menjadi lima dan dua). Kami mengubah pecahan tidak wajar dengan menyorot bagian bilangan bulat.

Tugas dasar untuk pecahan Kelas 6

Video menunjukkan beberapa tugas lagi. Untuk kejelasan, gambar grafik solusi digunakan untuk membantu memvisualisasikan pecahan.

Contoh perkalian pecahan Kelas 6 beserta penjelasannya

Perkalian pecahan ditulis di bawah satu baris. Setelah itu, mereka dikurangi dengan membagi dengan angka yang sama (misalnya, 15 pada penyebut dan 5 pada pembilang dapat dibagi lima).

Perbandingan pecahan Kelas 6

Untuk membandingkan pecahan, Anda perlu mengingat dua aturan sederhana.

Aturan 1. Jika penyebutnya berbeda

Aturan 2. Jika penyebutnya sama

Sebagai contoh, mari kita bandingkan pecahan 7/12 dan 2/3.

1. Kami melihat penyebutnya, mereka tidak cocok. Jadi, Anda perlu menemukan yang umum.
2. Untuk pecahan, penyebutnya adalah 12.
3. Kami membagi 12 terlebih dahulu dengan bagian bawah dari pecahan pertama: 12: 12 = 1 (ini adalah faktor tambahan untuk pecahan pertama).
4. Sekarang kita membagi 12 dengan 3, kita mendapatkan 4 - tambahkan. perkalian pecahan ke-2.
5. Kami mengalikan angka yang dihasilkan dengan pembilang untuk mengonversi pecahan: 1 x 7 \u003d 7 (pecahan pertama: 7/12); 4 x 2 = 8 (pecahan kedua: 8/12).
6. Sekarang kita dapat membandingkan: 7/12 dan 8/12. Ternyata: 7/12< 8/12.

Untuk merepresentasikan pecahan dengan lebih baik, Anda dapat menggunakan gambar untuk kejelasan, di mana suatu objek dibagi menjadi beberapa bagian (misalnya, kue). Jika Anda ingin membandingkan 4/7 dan 2/3, maka dalam kasus pertama, kue dibagi menjadi 7 bagian dan dipilih 4 bagian. Di bagian kedua, mereka membagi menjadi 3 bagian dan mengambil 2. Dengan mata telanjang, akan jelas bahwa 2/3 akan lebih dari 4/7.

Contoh dengan pecahan kelas 6 untuk pelatihan

Sebagai latihan, Anda dapat melakukan tugas-tugas berikut.

• Bandingkan pecahan

• lakukan perkalian

Kiat: jika sulit menemukan penyebut pecahan terkecil (terutama jika nilainya kecil), maka Anda dapat mengalikan penyebut pecahan pertama dan kedua. Contoh: 2/8 dan 5/9. Menemukan penyebutnya sederhana: kalikan 8 dengan 9, Anda mendapatkan 72.

Memecahkan persamaan dengan pecahan Grade 6

Dalam memecahkan persamaan, Anda perlu mengingat tindakan dengan pecahan: perkalian, pembagian, pengurangan dan penambahan. Jika salah satu faktor tidak diketahui, maka produk (total) dibagi dengan faktor yang diketahui, yaitu pecahan dikalikan (yang kedua dibalik).

Jika dividen tidak diketahui, maka penyebut dikalikan dengan pembagi, dan untuk menemukan pembagi, Anda perlu membagi dividen dengan hasil bagi.

Mari kita bayangkan contoh sederhana untuk memecahkan persamaan:

Di sini hanya diperlukan untuk menghasilkan selisih pecahan, tanpa mengarah ke penyebut yang sama.

Pembagian dengan 1/2 diganti dengan perkalian 2 (pecahan dibalik).

Menambahkan 1/2 dan 3/4, kita mendapatkan penyebut yang sama dari 4. Pada saat yang sama, faktor tambahan 2 diperlukan untuk pecahan pertama, 2/4 keluar dari 1/2.

Ditambahkan 2/4 dan 3/4 - mendapat 5/4.

Kami tidak lupa mengalikan 5/4 dengan 2. Dengan mengurangi 2 dan 4, kami mendapat 5/2.

Jawabannya adalah pecahan biasa. Itu dapat dikonversi menjadi 1 utuh dan 3/5.

Pada metode kedua, pembilang dan penyebut dikalikan 4 untuk memperpendek bagian bawah daripada membalik penyebut.

Tindakan dengan pecahan. Pada artikel ini, kami akan menganalisis contoh, semuanya terperinci dengan penjelasan. Kami akan mempertimbangkan pecahan biasa. Di masa depan, kami akan menganalisis desimal. Saya sarankan untuk menonton secara keseluruhan dan belajar secara berurutan.

1. Jumlah pecahan, selisih pecahan.

Aturan: ketika menambahkan pecahan dengan penyebut yang sama, hasilnya adalah pecahan - penyebutnya tetap sama, dan pembilangnya akan sama dengan jumlah pembilang pecahan.

Aturan: ketika menghitung selisih pecahan dengan penyebut yang sama, kami mendapatkan pecahan - penyebutnya tetap sama, dan pembilang kedua dikurangi dari pembilang pecahan pertama.

Notasi formal jumlah dan selisih pecahan yang penyebutnya sama:

Contoh (1):

Jelas bahwa ketika pecahan biasa diberikan, maka semuanya sederhana, tetapi jika dicampur? Tidak ada yang rumit...

Pilihan 1- Anda dapat mengubahnya menjadi yang biasa dan kemudian menghitungnya.

pilihan 2- Anda dapat "bekerja" secara terpisah dengan bagian bilangan bulat dan pecahan.

Contoh (2):

Lagi:

Dan jika selisih dua pecahan campuran diberikan dan pembilang pecahan pertama lebih kecil dari pembilang kedua? Bisa juga dengan dua cara.

Contoh (3):

* Diterjemahkan ke dalam pecahan biasa, hitung selisihnya, ubah pecahan biasa yang dihasilkan menjadi pecahan campuran.

* Dibagi menjadi bagian bilangan bulat dan pecahan, didapat tiga, kemudian disajikan 3 sebagai jumlah dari 2 dan 1, dengan unit yang disajikan sebagai 11/11, kemudian temukan perbedaan antara 11/11 dan 7/11 dan hitung hasilnya. Arti dari transformasi di atas adalah mengambil (memilih) suatu satuan dan menyajikannya sebagai pecahan dengan penyebut yang kita butuhkan, kemudian dari pecahan ini kita sudah dapat mengurangi yang lain.

Contoh lain:

Kesimpulan: ada pendekatan universal - untuk menghitung jumlah (selisih) pecahan campuran dengan penyebut yang sama, mereka selalu dapat dikonversi menjadi yang tidak tepat, kemudian melakukan tindakan yang diperlukan. Setelah itu, jika hasilnya kita mendapatkan pecahan biasa, kita terjemahkan ke dalam pecahan campuran.

Di atas, kita melihat contoh pecahan yang penyebutnya sama. Bagaimana jika penyebutnya berbeda? Dalam hal ini, pecahan direduksi menjadi penyebut yang sama dan tindakan yang ditentukan dilakukan. Untuk mengubah (mengubah) pecahan, digunakan sifat utama pecahan.

Pertimbangkan contoh sederhana:

Dalam contoh ini, kita langsung melihat bagaimana salah satu pecahan dapat dikonversi untuk mendapatkan penyebut yang sama.

Jika kita menentukan cara untuk mengurangi pecahan menjadi satu penyebut, maka yang ini akan disebut METODE SATU.

Artinya, segera ketika "mengevaluasi" pecahan, Anda perlu mencari tahu apakah pendekatan seperti itu akan berhasil - kami memeriksa apakah penyebut yang lebih besar dapat dibagi dengan yang lebih kecil. Dan jika dibagi, maka kita melakukan transformasi - kita mengalikan pembilang dan penyebutnya sehingga penyebut kedua pecahan menjadi sama.

Sekarang lihat contoh-contoh ini:

Pendekatan ini tidak berlaku untuk mereka. Ada cara lain untuk mengurangi pecahan ke penyebut yang sama, pertimbangkan mereka.

Metode KEDUA.

Kalikan pembilang dan penyebut pecahan pertama dengan penyebut kedua, dan pembilang dan penyebut pecahan kedua dengan penyebut pertama:

*Faktanya, kita akan mengubah bentuk pecahan jika penyebutnya sama. Selanjutnya, kita menggunakan aturan penjumlahan malu-malu dengan penyebut yang sama.

Contoh:

*Metode ini bisa disebut universal, dan selalu berhasil. Satu-satunya negatif adalah bahwa setelah perhitungan, mungkin ada pecahan yang perlu dikurangi lebih lanjut.

Pertimbangkan sebuah contoh:

Terlihat bahwa pembilang dan penyebutnya habis dibagi 5:

Metode KETIGA.

Temukan kelipatan persekutuan terkecil (KPK) dari penyebutnya. Ini akan menjadi penyebut yang sama. Nomor apa ini? Ini adalah bilangan asli terkecil yang habis dibagi masing-masing bilangan.

Lihat, ini ada dua angka: 3 dan 4, ada banyak angka yang habis dibagi - ini adalah 12, 24, 36, ... Yang terkecil adalah 12. Atau 6 dan 15, 30, 60, 90 adalah dibagi oleh mereka .... Terkecil 30. Pertanyaan - bagaimana menentukan kelipatan persekutuan terkecil ini?

Ada algoritma yang jelas, tetapi seringkali ini dapat dilakukan segera tanpa perhitungan. Misalnya, sesuai dengan contoh di atas (3 dan 4, 6 dan 15), tidak diperlukan algoritma, kami mengambil angka besar (4 dan 15), menggandakannya dan melihat bahwa mereka dapat dibagi dengan angka kedua, tetapi pasangan angka bisa yang lain, seperti 51 dan 119.

Algoritma. Untuk menentukan kelipatan persekutuan terkecil dari beberapa bilangan, Anda harus:

- dekomposisi setiap angka menjadi faktor SEDERHANA

- tuliskan dekomposisi LEBIH BESAR dari mereka

- kalikan dengan faktor HILANG dari angka lain

Pertimbangkan contoh:

50 dan 60 50 = 2∙5∙5 60 = 2∙2∙3∙5

dalam perluasan jumlah yang lebih besar, satu lima hilang

=> KPK(50,60) = 2∙2∙3∙5∙5 = 300

48 dan 72 48 = 2∙2∙2∙2∙3 72 = 2∙2∙2∙3∙3

dalam perluasan jumlah yang lebih besar, dua dan tiga hilang

=> KPK(48,72) = 2∙2∙2∙2∙3∙3 = 144

* Kelipatan persekutuan terkecil dari dua bilangan prima sama dengan perkaliannya

Pertanyaan! Dan mengapa berguna untuk menemukan kelipatan persekutuan terkecil, karena Anda dapat menggunakan metode kedua dan cukup mengurangi pecahan yang dihasilkan? Ya, Anda bisa, tetapi itu tidak selalu nyaman. Lihat apa penyebut untuk angka 48 dan 72 jika Anda cukup mengalikannya 48∙72 = 3456. Setuju bahwa lebih menyenangkan untuk bekerja dengan angka yang lebih kecil.

Pertimbangkan contoh:

*51 = 3∙17 119 = 7∙17

dalam perluasan angka yang lebih besar, tiga kali lipat hilang

=> KPK(51,119) = 3∙7∙17

Dan sekarang kita terapkan cara pertama:

* Lihatlah perbedaan dalam perhitungan, dalam kasus pertama ada minimum, dan yang kedua Anda harus bekerja secara terpisah pada selembar kertas, dan bahkan fraksi yang Anda dapatkan perlu dikurangi. Menemukan KPK sangat menyederhanakan pekerjaan.

Contoh lainnya:

* Pada contoh kedua, sudah jelas bahwa bilangan terkecil yang habis dibagi 40 dan 60 adalah 120.

TOTAL! ALGORITMA PERHITUNGAN UMUM!

- kami membawa pecahan ke pecahan biasa, jika ada bagian bilangan bulat.

- kita membawa pecahan ke penyebut yang sama (pertama kita melihat untuk melihat apakah satu penyebut habis dibagi dengan yang lain, jika itu habis dibagi, maka kita kalikan pembilang dan penyebut dari pecahan lain ini; jika tidak habis dibagi, kita bertindak menggunakan metode lain yang ditunjukkan di atas).

- setelah menerima pecahan dengan penyebut yang sama, kami melakukan tindakan (penambahan, pengurangan).

- jika perlu, kami mengurangi hasilnya.

- jika perlu, pilih seluruh bagian.

2. Hasil kali pecahan.

Aturannya sederhana. Saat mengalikan pecahan, pembilang dan penyebutnya dikalikan:

Contoh:

Artikel ini membahas tentang operasi pada pecahan. Aturan untuk penambahan, pengurangan, perkalian, pembagian atau eksponensial dari pecahan bentuk A B akan dibentuk dan dibenarkan, di mana A dan B dapat berupa angka, ekspresi numerik atau ekspresi dengan variabel. Sebagai kesimpulan, contoh solusi dengan deskripsi terperinci akan dipertimbangkan.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Aturan untuk melakukan operasi dengan pecahan numerik dari bentuk umum

Pecahan numerik dari bentuk umum memiliki pembilang dan penyebut, di mana ada bilangan asli atau ekspresi numerik. Jika kita menganggap pecahan seperti 3 5 , 2 , 8 4 , 1 + 2 3 4 (5 - 2) , 3 4 + 7 8 2 , 3 - 0, 8 , 1 2 2 , 1 - 2 3 + , 2 0 , 5 ln 3 , maka jelas bahwa pembilang dan penyebut tidak hanya dapat memiliki angka, tetapi juga ekspresi dari rencana yang berbeda.

Definisi 1

Ada aturan di mana tindakan dilakukan dengan pecahan biasa. Ini juga cocok untuk pecahan bentuk umum:

• Saat mengurangkan pecahan dengan penyebut yang sama, hanya pembilang yang ditambahkan, dan penyebutnya tetap sama, yaitu: a d ± c d \u003d a ± c d, nilai a, c dan d 0 adalah beberapa angka atau ekspresi numerik.
• Saat menjumlahkan atau mengurangi pecahan dengan penyebut yang berbeda, perlu untuk mengurangi ke yang sama, dan kemudian menambah atau mengurangi pecahan yang dihasilkan dengan indikator yang sama. Secara harfiah terlihat seperti ini a b ± c d = a p ± c r s , dimana nilai a , b 0 , c , d 0 , p 0 , r 0 , s 0 adalah bilangan real, dan b p = d r = s. Ketika p = d dan r = b, maka a b ± c d = a d ± c d b d.
• Saat mengalikan pecahan, tindakan dilakukan dengan pembilang, setelah itu dengan penyebut, maka kita mendapatkan a b c d \u003d a c b d, di mana a, b 0, c, d 0 bertindak sebagai bilangan real.
• Saat membagi pecahan dengan pecahan, kami mengalikan yang pertama dengan kebalikan kedua, yaitu, kami menukar pembilang dan penyebut: a b: c d \u003d a b d c.

Alasan untuk aturan

Definisi 2

Ada poin matematika berikut yang harus Anda andalkan saat menghitung:

• batang pecahan berarti tanda pembagian;
• pembagian dengan angka diperlakukan sebagai perkalian dengan kebalikannya;
• penerapan properti tindakan dengan bilangan real;
• penerapan sifat dasar pecahan dan pertidaksamaan numerik.

Dengan bantuan mereka, Anda dapat membuat transformasi bentuk:

a d ± c d = a d - 1 ± c d - 1 = a ± c d - 1 = a ± c d ; a b ± c d = a p b p ± c r d r = a p s ± c e s = a p ± c rs ; a b c d = a d b d b c b d = a d a d - 1 b c b d - 1 = = a d b c b d - 1 b d - 1 = a d b c b d b d - 1 = = (a c) (b d) - 1 = a c b d

Contoh

Pada paragraf sebelumnya, dikatakan tentang tindakan dengan pecahan. Setelah itu pecahan perlu disederhanakan. Topik ini telah dibahas secara rinci di bagian konversi pecahan.

Pertama, perhatikan contoh penjumlahan dan pengurangan pecahan berpenyebut sama.

Contoh 1

Diberikan pecahan 8 2 , 7 dan 1 2 , 7 , maka menurut aturan perlu dijumlahkan pembilangnya dan ditulis ulang penyebutnya.

Keputusan

Kemudian kita mendapatkan pecahan dalam bentuk 8 + 1 2 , 7 . Setelah melakukan penjumlahan, kita mendapatkan pecahan berbentuk 8 + 1 2 , 7 = 9 2 , 7 = 90 27 = 3 1 3 . Jadi 8 2 , 7 + 1 2 , 7 = 8 + 1 2 , 7 = 9 2 , 7 = 90 27 = 3 1 3 .

Menjawab: 8 2 , 7 + 1 2 , 7 = 3 1 3

Ada cara lain untuk menyelesaikannya. Pertama-tama, transisi dibuat ke bentuk pecahan biasa, setelah itu kami melakukan penyederhanaan. Ini terlihat seperti ini:

8 2 , 7 + 1 2 , 7 = 80 27 + 10 27 = 90 27 = 3 1 3

Contoh 2

Mari kita kurangi pecahan 1 - 2 3 log 2 3 log 2 5 + 1 dari bentuk 2 3 3 log 2 3 log 2 5 + 1 .

Karena penyebut yang sama diberikan, itu berarti bahwa kita menghitung pecahan dengan penyebut yang sama. Kami mengerti

1 - 2 3 log 2 3 log 2 5 + 1 - 2 3 3 log 2 3 log 2 5 + 1 = 1 - 2 - 2 3 3 log 2 3 log 2 5 + 1

Ada beberapa contoh menghitung pecahan dengan penyebut yang berbeda. Poin penting adalah pengurangan ke penyebut yang sama. Tanpa ini, kita tidak akan dapat melakukan tindakan lebih lanjut dengan pecahan.

Prosesnya dari jarak jauh mengingatkan pada pengurangan menjadi penyebut yang sama. Artinya, pencarian dilakukan untuk pembagi persekutuan terkecil dalam penyebut, setelah itu faktor-faktor yang hilang ditambahkan ke pecahan.

Jika pecahan yang ditambahkan tidak memiliki faktor persekutuan, maka perkaliannya dapat menjadi satu.

Contoh 3

Perhatikan contoh penjumlahan pecahan 2 3 5 + 1 dan 1 2 .

Keputusan

Dalam hal ini, penyebut yang sama adalah produk dari penyebut. Kemudian kita dapatkan bahwa 2 · 3 5 + 1 . Kemudian, saat menetapkan faktor tambahan, kami memiliki bahwa ke pecahan pertama sama dengan 2, dan ke yang kedua 3 5 + 1. Setelah perkalian, pecahan direduksi menjadi bentuk 4 2 3 5 + 1. Pemeran umum 1 2 akan menjadi 3 5 + 1 2 · 3 5 + 1 . Kami menambahkan ekspresi pecahan yang dihasilkan dan mendapatkan itu

2 3 5 + 1 + 1 2 = 2 2 2 3 5 + 1 + 1 3 5 + 1 2 3 5 + 1 = = 4 2 3 5 + 1 + 3 5 + 1 2 3 5 + 1 = 4 + 3 5 + 1 2 3 5 + 1 = 5 + 3 5 2 3 5 + 1

Menjawab: 2 3 5 + 1 + 1 2 = 5 + 3 5 2 3 5 + 1

Ketika kita berurusan dengan pecahan dari bentuk umum, maka penyebut terkecil biasanya tidak demikian. Tidak menguntungkan untuk mengambil produk dari pembilang sebagai penyebut. Pertama, Anda perlu memeriksa apakah ada nomor yang nilainya kurang dari produk mereka.

Contoh 4

Perhatikan contoh 1 6 2 1 5 dan 1 4 2 3 5 ketika produk mereka sama dengan 6 2 1 5 4 2 3 5 = 24 2 4 5 . Kemudian kita ambil 12 · 2 3 5 sebagai penyebut yang sama.

Perhatikan contoh perkalian pecahan dari bentuk umum.

Contoh 5

Untuk melakukan ini, perlu mengalikan 2 + 1 6 dan 2 · 5 3 · 2 + 1.

Keputusan

Mengikuti aturan, perlu untuk menulis ulang dan menulis produk pembilang sebagai penyebut. Kami mendapatkan bahwa 2 + 1 6 2 5 3 2 + 1 2 + 1 2 5 6 3 2 + 1 . Ketika pecahan dikalikan, pengurangan dapat dilakukan untuk menyederhanakannya. Kemudian 5 3 3 2 + 1 : 10 9 3 = 5 3 3 2 + 1 9 3 10 .

Menggunakan aturan transisi dari pembagian ke perkalian dengan timbal balik, kita mendapatkan kebalikan dari yang diberikan. Untuk melakukan ini, pembilang dan penyebut dibalik. Mari kita lihat sebuah contoh:

5 3 3 2 + 1: 10 9 3 = 5 3 3 2 + 1 9 3 10

Setelah itu, mereka harus melakukan perkalian dan menyederhanakan pecahan yang dihasilkan. Jika perlu, singkirkan irasionalitas dalam penyebut. Kami mengerti

5 3 3 2 + 1: 10 9 3 = 5 3 3 9 3 10 2 + 1 = 5 2 10 2 + 1 = 3 2 2 + 1 = = 3 2 - 1 2 2 + 1 2 - 1 = 3 2 - 1 2 2 2 - 1 2 = 3 2 - 1 2

Menjawab: 5 3 3 2 + 1: 10 9 3 = 3 2 - 1 2

Paragraf ini berlaku ketika angka atau ekspresi numerik dapat direpresentasikan sebagai pecahan dengan penyebut sama dengan 1, maka operasi dengan pecahan tersebut dianggap sebagai paragraf terpisah. Misalnya, ekspresi 1 6 7 4 - 1 3 menunjukkan bahwa akar dari 3 dapat diganti dengan ekspresi 3 1 lainnya. Maka catatan ini akan terlihat seperti perkalian dua pecahan dengan bentuk 1 6 7 4 - 1 3 = 1 6 7 4 - 1 3 1 .

Melakukan tindakan dengan pecahan yang mengandung variabel

Aturan yang dibahas dalam artikel pertama berlaku untuk operasi dengan pecahan yang mengandung variabel. Perhatikan aturan pengurangan jika penyebutnya sama.

Perlu dibuktikan bahwa A , C dan D (D tidak sama dengan nol) dapat berupa ekspresi apa pun, dan persamaan A D ± C D = A ± C D setara dengan rentang nilai validnya.

Hal ini diperlukan untuk mengambil satu set variabel ODZ. Kemudian A, C, D harus mengambil nilai yang sesuai a 0 , c 0 dan d0. Substitusi bentuk A D ± C D menghasilkan perbedaan bentuk a 0 d 0 ± c 0 d 0 , dimana, menurut aturan penjumlahan, kita memperoleh rumus bentuk a 0 ± c 0 d 0 . Jika kita mengganti ekspresi A ± C D , maka kita mendapatkan pecahan yang sama dalam bentuk a 0 ± c 0 d 0 . Dari sini kami menyimpulkan bahwa nilai terpilih yang memenuhi ODZ, A ± C D dan A D ± C D dianggap sama.

Untuk setiap nilai variabel, ekspresi ini akan sama, yaitu, mereka disebut identik sama. Ini berarti bahwa ekspresi ini dianggap sebagai persamaan yang dapat dibuktikan dari bentuk A D ± C D = A ± C D .

Contoh penjumlahan dan pengurangan pecahan dengan variabel

Jika penyebutnya sama, maka pembilangnya hanya perlu dijumlahkan atau dikurangi. Pecahan ini dapat disederhanakan. Terkadang Anda harus bekerja dengan pecahan yang identik sama, tetapi pada pandangan pertama ini tidak terlihat, karena beberapa transformasi harus dilakukan. Misalnya, x 2 3 x 1 3 + 1 dan x 1 3 + 1 2 atau 1 2 sin 2 dan sin a cos a. Paling sering, penyederhanaan ekspresi asli diperlukan untuk melihat penyebut yang sama.

Contoh 6

Hitung: 1) x 2 + 1 x + x - 2 - 5 - x x + x - 2 , 2) l g 2 x + 4 x (l g x + 2) + 4 l g x x (l g x + 2) , x - 1 x - 1 +xx+1 .

Keputusan

1. Untuk membuat perhitungan, Anda perlu mengurangkan pecahan yang penyebutnya sama. Kemudian kita dapatkan bahwa x 2 + 1 x + x - 2 - 5 - x x + x - 2 = x 2 + 1 - 5 - x x + x - 2 . Setelah itu, Anda dapat membuka tanda kurung dengan pengurangan istilah serupa. Kita peroleh bahwa x 2 + 1 - 5 - x x + x - 2 = x 2 + 1 - 5 + x x + x - 2 = x 2 + x - 4 x + x - 2
2. Karena penyebutnya sama, pembilangnya tinggal dijumlahkan, sehingga penyebutnya: l g 2 x + 4 x (l g x + 2) + 4 l g x x (l g x + 2) = l g 2 x + 4 + 4 x (l g x + 2)
   Penambahan telah selesai. Dapat dilihat bahwa fraksi dapat dikurangi. Pembilangnya dapat dilipat menggunakan rumus jumlah kuadrat, maka kita peroleh (l g x + 2) 2 dari rumus perkalian yang disingkat. Kemudian kita mendapatkan itu
   l g 2 x + 4 + 2 l g x x (l g x + 2) = (l g x + 2) 2 x (l g x + 2) = l g x + 2 x
3. Diberikan pecahan berbentuk x - 1 x - 1 + x x + 1 dengan penyebut yang berbeda. Setelah transformasi, Anda dapat melanjutkan ke penjumlahan.

Mari kita pertimbangkan solusi dua arah.

Metode pertama adalah bahwa penyebut pecahan pertama dikenai faktorisasi menggunakan kuadrat, dan dengan pengurangan berikutnya. Kami mendapatkan sebagian kecil dari bentuk

x - 1 x - 1 = x - 1 (x - 1) x + 1 = 1 x + 1

Jadi x - 1 x - 1 + x x + 1 = 1 x + 1 + x x + 1 = 1 + x x + 1 .

Dalam hal ini, perlu untuk menghilangkan irasionalitas dalam penyebut.

1 + x x + 1 = 1 + x x - 1 x + 1 x - 1 = x - 1 + x x - x x - 1

Cara kedua adalah mengalikan pembilang dan penyebut pecahan kedua dengan x-1. Jadi, kita singkirkan irasionalitas dan lanjutkan ke penjumlahan pecahan dengan penyebut yang sama. Kemudian

x - 1 x - 1 + x x + 1 = x - 1 x - 1 + x x - 1 x + 1 x - 1 = = x - 1 x - 1 + x x - x x - 1 = x - 1 + x x - x x - 1

Menjawab: 1) x 2 + 1 x + x - 2 - 5 - x x + x - 2 = x 2 + x - 4 x + x - 2, 2) l g 2 x + 4 x (l g x + 2) + 4 l g x x (l g x + 2) = l g x + 2 x, 3) x - 1 x - 1 + x x + 1 = x - 1 + x x - x x - 1.

Dalam contoh terakhir, kami menemukan bahwa pengurangan ke penyebut yang sama tidak dapat dihindari. Untuk melakukan ini, Anda perlu menyederhanakan pecahan. Untuk menambah atau mengurangi, Anda selalu perlu mencari penyebut yang sama, yang terlihat seperti produk dari penyebut dengan penambahan faktor tambahan ke pembilangnya.

Contoh 7

Hitung nilai pecahan: 1) x 3 + 1 x 7 + 2 2, 2) x + 1 x ln 2 (x + 1) (2 x - 4) - sin x x 5 ln (x + 1) ( 2 x - 4) , 3) ​​​​1 cos 2 x - x + 1 cos 2 x + 2 cos x x + x

Keputusan

1. Penyebut tidak memerlukan perhitungan yang rumit, jadi Anda harus memilih produk mereka dalam bentuk 3 x 7 + 2 2, kemudian ke pecahan pertama x 7 + 2 2 dipilih sebagai faktor tambahan, dan 3 ke yang kedua. Saat mengalikan, kita mendapatkan pecahan dalam bentuk x 3 + 1 x 7 + 2 2 = x x 7 + 2 2 3 x 7 + 2 2 + 3 1 3 x 7 + 2 2 = = x x 7 + 2 2 + 3 3 x 7 + 2 2 = x x 7 + 2 2 x + 3 3 x 7 + 2 2
2. Dapat dilihat bahwa penyebut disajikan sebagai produk, yang berarti bahwa transformasi tambahan tidak diperlukan. Penyebut yang sama akan menjadi produk dari bentuk x 5 · ln 2 x + 1 · 2 x - 4 . Dari sini x 4 adalah faktor tambahan untuk pecahan pertama, dan ln (x + 1) ke yang kedua. Kemudian kita kurangi dan dapatkan:
   x + 1 x ln 2 (x + 1) 2 x - 4 - sin x x 5 ln (x + 1) 2 x - 4 = = x + 1 x 4 x 5 ln 2 (x + 1 ) 2 x - 4 - sin x ln x + 1 x 5 ln 2 (x + 1) (2 x - 4) = = x + 1 x 4 - sin x ln (x + 1) x 5 ln 2 (x + 1) (2 x - 4) = x x 4 + x 4 - sin x ln (x + 1) x 5 ln 2 (x + 1) (2 x - 4) )
3. Contoh ini masuk akal ketika bekerja dengan penyebut pecahan. Penting untuk menerapkan rumus perbedaan kuadrat dan kuadrat jumlah, karena mereka akan memungkinkan untuk beralih ke ekspresi bentuk 1 cos x - x · cos x + x + 1 (cos x + x ) 2 . Dapat dilihat bahwa pecahan direduksi menjadi penyebut yang sama. Kami mendapatkan bahwa cos x - x cos x + x 2 .

Kemudian kita mendapatkan itu

1 cos 2 x - x + 1 cos 2 x + 2 cos x x + x = = 1 cos x - x cos x + x + 1 cos x + x 2 = = cos x + x cos x - x cos x + x 2 + cos x - x cos x - x cos x + x 2 = = cos x + x + cos x - x cos x - x cos x + x 2 = 2 cos x cos x - x cos x + x2

Menjawab:

1) x 3 + 1 x 7 + 2 2 = x x 7 + 2 2 x + 3 3 x 7 + 2 2, 2) x + 1 x ln 2 (x + 1) 2 x - 4 - sin x x 5 ln ( x + 1) 2 x - 4 = = x x 4 + x 4 - sin x ln (x + 1) x 5 ln 2 (x + 1) ( 2 x - 4) , 3) ​​​​1 cos 2 x - x + 1 cos 2 x + 2 cos x x + x = 2 cos x cos x - x cos x + x 2 .

Contoh perkalian pecahan dengan variabel

Dalam perkalian pecahan, pembilangnya dikalikan dengan pembilangnya dan penyebutnya dikalikan dengan penyebutnya. Kemudian Anda dapat menerapkan properti reduksi.

Contoh 8

Kalikan pecahan x + 2 x x 2 ln x 2 ln x + 1 dan 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 sin 2 x - x.

Keputusan

Anda perlu melakukan perkalian. Kami mengerti

x + 2 x x 2 ln x 2 ln x + 1 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 sin (2 x - x) = = x - 2 x 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 x 2 ln x 2 ln x + 1 dosa (2 x - x)

Angka 3 dipindahkan ke tempat pertama untuk kenyamanan perhitungan, dan Anda dapat mengurangi pecahan dengan x 2, maka kami mendapatkan ekspresi formulir

3 x - 2 x x 1 3 x + 1 - 2 ln x 2 ln x + 1 sin (2 x - x)

Menjawab: x + 2 x x 2 ln x 2 ln x + 1 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 sin (2 x - x) = 3 x - 2 x x 1 3 x + 1 - 2 ln x 2 ln x + 1 sin (2 x - x) .

Divisi

Pembagian pecahan mirip dengan perkalian, karena pecahan pertama dikalikan dengan kebalikan kedua. Jika kita ambil, misalnya, pecahan x + 2 x x 2 ln x 2 ln x + 1 dan dibagi dengan 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 sin 2 x - x, maka ini dapat ditulis sebagai

x + 2 x x 2 ln x 2 ln x + 1: 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 sin (2 x - x) , kemudian ganti dengan hasil kali bentuk x + 2 x x 2 ln x 2 ln x + 1 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 dosa (2 x - x)

Eksponen

Mari kita lanjutkan untuk mempertimbangkan aksi dengan pecahan bentuk umum dengan eksponensial. Jika ada derajat dengan indeks alami, maka tindakan tersebut dianggap sebagai perkalian pecahan identik. Tetapi disarankan untuk menggunakan pendekatan umum berdasarkan sifat-sifat kekuatan. Setiap ekspresi A dan C, di mana C tidak identik sama dengan nol, dan setiap r nyata pada ODZ untuk ekspresi bentuk A C r, persamaan A C r = A r C r adalah benar. Hasilnya adalah pecahan yang dipangkatkan. Misalnya, pertimbangkan:

x 0, 7 - ln 3 x - 2 - 5 x + 1 2 , 5 = = x 0, 7 - ln 3 x - 2 - 5 2 , 5 x + 1 2 , 5

Urutan operasi pecahan

Tindakan pada pecahan dilakukan sesuai dengan aturan tertentu. Dalam praktiknya, kita melihat bahwa suatu ekspresi dapat berisi beberapa pecahan atau ekspresi pecahan. Maka perlu untuk melakukan semua tindakan dalam urutan yang ketat: menaikkan pangkat, mengalikan, membagi, lalu menambah dan mengurangi. Jika ada tanda kurung, tindakan pertama dilakukan di dalamnya.

Contoh 9

Hitung 1 - x cos x - 1 c o s x · 1 + 1 x .

Keputusan

Karena kita memiliki penyebut yang sama, maka 1 - x cos x dan 1 c o s x , tetapi tidak mungkin untuk mengurangi menurut aturan, pertama tindakan dalam tanda kurung dilakukan, kemudian perkalian, dan kemudian penambahan. Kemudian, saat menghitung, kita mendapatkan itu

1 + 1 x = 1 1 + 1 x = x x + 1 x = x + 1 x

Saat mengganti ekspresi ke dalam ekspresi aslinya, kita mendapatkan bahwa 1 - x cos x - 1 cos x · x + 1 x. Saat mengalikan pecahan, kita memiliki: 1 cos x x + 1 x = x + 1 cos x x . Setelah melakukan semua substitusi, kita mendapatkan 1 - x cos x - x + 1 cos x · x . Sekarang Anda perlu bekerja dengan pecahan yang memiliki penyebut berbeda. Kita mendapatkan:

x 1 - x cos x x - x + 1 cos x x = x 1 - x - 1 + x cos x x = = x - x - x - 1 cos x x = - x + 1 cos x x

Menjawab: 1 - x cos x - 1 c o s x 1 + 1 x = - x + 1 cos x x .

Jika Anda melihat kesalahan dalam teks, harap sorot dan tekan Ctrl+Enter

Untuk menyatakan suatu bagian sebagai pecahan dari keseluruhan, Anda perlu membagi bagian tersebut dengan keseluruhan.

Tugas 1. Ada 30 siswa di kelas, empat hilang. Berapa proporsi siswa yang hilang?

Keputusan:

Menjawab: tidak ada siswa di kelas.

Menemukan pecahan dari suatu bilangan

Untuk memecahkan masalah di mana diperlukan untuk menemukan bagian dari keseluruhan, aturan berikut ini benar:

Jika bagian dari keseluruhan dinyatakan sebagai pecahan, maka untuk menemukan bagian ini, Anda dapat membagi seluruh dengan penyebut pecahan dan mengalikan hasilnya dengan pembilangnya.

Tugas 1. Ada 600 rubel, jumlah ini dihabiskan. Berapa banyak uang yang telah Anda habiskan?

Keputusan: untuk menemukan dari 600 rubel, Anda perlu membagi jumlah ini menjadi 4 bagian, dengan demikian kita akan mengetahui berapa banyak uang seperempatnya:

600: 4 = 150 (hal.)

Menjawab: menghabiskan 150 rubel.

Tugas 2. Itu 1000 rubel, jumlah ini dihabiskan. Berapa banyak uang yang telah dikeluarkan?

Keputusan: Dari kondisi soal, kita tahu bahwa 1000 rubel terdiri dari lima bagian yang sama. Pertama kita temukan berapa rubel yang merupakan seperlima dari 1000, dan kemudian kita cari tahu berapa banyak rubel yang merupakan dua perlima:

1) 1000: 5 = 200 (hal.) - seperlima.

2) 200 2 \u003d 400 (hal.) - dua perlima.

Kedua tindakan ini dapat digabungkan: 1000: 5 2 = 400 (hal.).

Menjawab: 400 rubel dihabiskan.

Cara kedua untuk menemukan bagian dari keseluruhan:

Untuk menemukan bagian dari keseluruhan, Anda dapat mengalikan keseluruhan dengan pecahan yang menyatakan bagian dari keseluruhan tersebut.

Tugas 3. Menurut piagam koperasi, untuk sahnya rapat pelaporan harus dihadiri oleh sekurang-kurangnya anggota organisasi. Koperasi ini memiliki 120 anggota. Dengan komposisi apa rapat pelaporan dapat diadakan?

Keputusan:

Menjawab: rapat pelaporan dapat dilaksanakan jika anggota organisasi berjumlah 80 orang.

Menemukan bilangan dengan pecahannya

Untuk memecahkan masalah di mana diperlukan untuk menemukan keseluruhan oleh bagiannya, aturan berikut ini benar:

Jika bagian dari bilangan bulat yang diinginkan dinyatakan sebagai pecahan, maka untuk menemukan bilangan bulat ini, Anda dapat membagi bagian ini dengan pembilang pecahan dan mengalikan hasilnya dengan penyebutnya.

Tugas 1. Kami menghabiskan 50 rubel, ini sama dengan jumlah aslinya. Temukan jumlah uang asli.

Keputusan: dari uraian masalah, kita melihat bahwa 50 rubel 6 kali lebih kecil dari jumlah awal, yaitu, jumlah awal 6 kali lebih banyak dari 50 rubel. Untuk menemukan jumlah ini, Anda perlu mengalikan 50 dengan 6:

50 6 = 300 (r.)

Menjawab: jumlah awal adalah 300 rubel.

Tugas 2. Kami menghabiskan 600 rubel, ini sama dengan jumlah uang awal. Temukan jumlah aslinya.

Keputusan: kita akan berasumsi bahwa angka yang diinginkan terdiri dari tiga pertiga. Dengan syarat, dua pertiga dari jumlahnya sama dengan 600 rubel. Pertama, kami menemukan sepertiga dari jumlah awal, dan kemudian berapa banyak rubel tiga pertiga (jumlah awal):

1) 600: 2 3 = 900 (hal.)

Menjawab: jumlah awal adalah 900 rubel.

Cara kedua untuk menemukan keseluruhan dengan bagiannya:

Untuk menemukan keseluruhan dengan nilai bagiannya, Anda dapat membagi nilai ini dengan pecahan yang menyatakan bagian ini.

Tugas 3. Segmen garis AB, sama dengan 42 cm, adalah panjang segmen CD. Tentukan panjang segmen CD.

Keputusan:

Menjawab: panjang segmen CD 70 cm

Tugas 4. Semangka dibawa ke toko. Sebelum makan siang, toko menjual, setelah makan siang - membawa semangka, dan tetap menjual 80 semangka. Berapa total semangka yang dibawa ke toko?

Keputusan: Pertama, kita cari tahu bagian mana dari semangka yang diimpor adalah angka 80. Untuk melakukan ini, kita mengambil jumlah total semangka yang diimpor sebagai satu unit dan menguranginya dengan jumlah semangka yang berhasil kita jual (jual):

Jadi, kami mengetahui bahwa 80 semangka berasal dari jumlah total semangka yang dibawa. Sekarang kita akan mencari tahu berapa banyak semangka dari jumlah total, lalu berapa banyak semangka (jumlah semangka yang dibawa):

2) 80: 4 15 = 300 (semangka)

Menjawab: secara total, 300 semangka dibawa ke toko.