Pertama, mari kita ingat apa itu produk vektor.

Catatan 1

seni vektor untuk $\vec(a)$ dan $\vec(b)$ adalah $\vec(c)$, yang merupakan beberapa vektor ketiga $\vec(c)= ||$, dan vektor ini memiliki sifat khusus:

• Skalar dari vektor yang dihasilkan adalah perkalian dari $|\vec(a)|$ dan $|\vec(b)|$ dikali sinus sudut $\vec(c)= ||= |\vec(a )| \cdot |\vec(b)|\cdot \sin \left(1\kanan)$;
• Semua $\vec(a), \vec(b)$ dan $\vec(c)$ membentuk triple kanan;
• Vektor yang dihasilkan ortogonal terhadap $\vec(a)$ dan $\vec(b)$.

Jika ada beberapa koordinat untuk vektor ($\vec(a)=\(x_1; y_1; z_1\)$ dan $\vec(b)= \(x_2; y_2; z_2\)$), maka hasil kali vektornya dalam sistem koordinat kartesius dapat ditentukan dengan rumus:

$ = \(y_1 \cdot z_2 - y_2 \cdot z_1; z_1 \cdot x_2 - z_2 \cdot x_1; x_2 \cdot y_2 - x_2 \cdot y_1\)$

Cara termudah untuk mengingat rumus ini adalah dengan menuliskannya dalam bentuk determinan:

$ = \begin(array) (|ccc|) i & j & k \\ x_1 & y_1 & z_1 \\ x_2 & y_2 & z_2 \\ \end(array)$.

Rumus ini cukup nyaman digunakan, tetapi untuk memahami cara menggunakannya, Anda harus terlebih dahulu membiasakan diri dengan topik matriks dan determinannya.

daerah jajar genjang, yang sisi-sisinya didefinisikan oleh dua vektor $\vec(a)$ dan $vec(b)$ sama dengan dengan skalar perkalian silang dari dua vektor yang diberikan.

Rasio ini cukup mudah untuk diturunkan.

Ingat rumus untuk menemukan luas jajaran genjang biasa, yang dapat dicirikan oleh segmennya $a$ dan $b$:

$S = a \cdot b \cdot \sin $

Dalam hal ini, panjang sisinya sama dengan nilai skalar dari vektor $\vec(a)$ dan $\vec(b)$, yang cukup cocok untuk kita, yaitu skalar dari produk vektor dari vektor-vektor ini akan menjadi luas gambar yang dipertimbangkan.

Contoh 1

Diketahui vektor $\vec(c)$ dengan koordinat $\(5;3; 7\)$ dan vektor $\vec(g)$ dengan koordinat $\(3; 7;10 \)$ dalam koordinat Cartesian. Temukan luas jajaran genjang yang dibentuk oleh $\vec(c)$ dan $\vec(g)$.

Keputusan:

Temukan produk vektor untuk vektor-vektor ini:

$ = \begin(array) (|ccc|) i & j & k \\ 5 & 3 & 7 \\ 3 & 7 & 10 \\ \end(array)= i \cdot \begin(array) (|cc |) 3 & 7 \\ 7 & 10 \\ \end(array) - j \cdot \begin(array) (|cc|) 5 & 7 \\ 3 & 10 \\ \end(array) + k \cdot \begin(array) (|cc|) 5 & 3 \\ 3 & 7 \\ \end(array) = i \cdot (3 \cdot 10 - 49) - j \cdot (50 -21) + k \cdot (35-9) = -19i -29j + 26k=\(- 19; 29; 26\)$.

Sekarang mari kita cari nilai modular untuk segmen arah yang dihasilkan, itu adalah nilai luas jajar genjang yang dibangun:

$S= \sqrt(|19|^2 + |29|^2 + |26|^2) = \sqrt(1878) 43,34$.

Alur penalaran ini berlaku tidak hanya untuk mencari luas dalam ruang 3 dimensi, tetapi juga untuk ruang dua dimensi. Lihat pertanyaan berikutnya tentang topik ini.

Contoh 2

Hitung luas jajar genjang jika segmen pembangkitnya diberikan oleh vektor $\vec(m)$ dengan koordinat $\(2; 3\)$ dan $\vec(d)$ dengan koordinat $\(-5; 6\)$.

Keputusan:

Masalah ini adalah contoh khusus dari masalah 1, diselesaikan di atas, tetapi kedua vektor terletak pada bidang yang sama, yang berarti bahwa koordinat ketiga, $z$, dapat diambil sebagai nol.

Untuk meringkas hal di atas, luas jajaran genjang adalah:

$S = \begin(array) (||cc||) 2 & 3\\ -5 & 6 \\ \end(array) = \sqrt(12 + 15) =3 \sqrt3$.

Contoh 3

Diketahui vektor $\vec(a) = 3i – j + k; \vec(b)=5i$. Temukan luas jajaran genjang yang mereka bentuk.

$[ \vec(a) \times \vec(b)] = (3i - j + k) \times 5i = 15 - 5 + $

Mari kita sederhanakan menurut tabel yang diberikan untuk vektor satuan:

Gambar 1. Dekomposisi vektor dalam basis. Author24 - pertukaran online makalah siswa

$[ \vec(a) \times \vec(b)] = 5 k + 5 j$.

Waktu perhitungan:

$S = \sqrt(|-5|^2 + |5|^2) = 5\sqrt(2)$.

Masalah sebelumnya adalah tentang vektor yang koordinatnya diberikan dalam sistem koordinat Cartesian, tetapi pertimbangkan juga kasus jika sudut antara vektor basis berbeda dari $90°$:

Contoh 4

Vektor $\vec(d) = 2a + 3b$, $\vec(f)= a – 4b$, panjang $\vec(a)$ dan $\vec(b)$ sama satu sama lain dan sama dengan satu, dan sudut antara $\vec(a)$ dan $\vec(b)$ adalah 45°.

Keputusan:

Mari kita hitung hasil kali vektor $\vec(d) \times \vec(f)$:

$[\vec(d) \times \vec(f) ]= (2a + 3b) \times (a - 4b) = 2 - 8 + 3 - 12 $.

Untuk produk vektor, menurut sifat-sifatnya, berikut ini benar: $$ dan $$ sama dengan nol, $ = - $.

Mari kita gunakan ini untuk menyederhanakan:

$[\vec(d) \times \vec(f) ]= -8 + 3 = -8 - 3 = -11$.

Sekarang mari kita gunakan rumus $(1)$ :

$[\vec(d) \times \vec(f) ] = |-11 | = 11 \cdot |a| \cdot |b| \cdot \sin = 11 \cdot 1 \cdot 1 \cdot \frac12=5.5$.

Luas jajaran genjang yang dibangun di atas vektor sama dengan produk dari panjang vektor-vektor ini dan sudut sudut yang terletak di antara mereka.

Adalah baik jika panjang dari vektor-vektor yang sama ini diberikan sesuai dengan kondisinya. Namun, juga dimungkinkan untuk menerapkan rumus untuk luas jajar genjang yang dibangun di atas vektor hanya setelah perhitungan pada koordinat.
Jika Anda beruntung, dan panjang vektor diberikan sesuai dengan ketentuan, maka Anda hanya perlu menerapkan rumus, yang telah kami analisis secara rinci dalam artikel. Area akan sama dengan produk modul dan sinus sudut di antara mereka:

Pertimbangkan contoh penghitungan luas jajaran genjang yang dibangun di atas vektor.

Tugas: Jajar genjang dibangun di atas vektor dan . Tentukan luas jika , dan sudut antara keduanya adalah 30°.
Mari kita nyatakan vektor dalam hal nilainya:

Mungkin Anda memiliki pertanyaan - dari mana angka nol itu berasal? Perlu diingat bahwa kita bekerja dengan vektor, dan untuk mereka . juga perhatikan bahwa jika kita mendapatkan ekspresi sebagai hasilnya, maka itu akan dikonversi menjadi. Sekarang mari kita lakukan perhitungan terakhir:

Mari kembali ke masalah ketika panjang vektor tidak ditentukan dalam kondisi. Jika jajaran genjang Anda terletak pada sistem koordinat Cartesius, maka Anda perlu melakukan hal berikut.

Perhitungan panjang sisi gambar yang diberikan oleh koordinat

Untuk memulainya, kami menemukan koordinat vektor dan mengurangi koordinat awal yang sesuai dari koordinat akhir. Mari kita asumsikan koordinat vektor a (x1;y1;z1), dan vektor b (x3;y3;z3).
Sekarang kita cari panjang masing-masing vektor. Untuk melakukan ini, setiap koordinat harus dikuadratkan, lalu tambahkan hasilnya dan ekstrak akarnya dari bilangan berhingga. Menurut vektor kami, perhitungan berikut akan dibuat:


Sekarang kita perlu menemukan produk titik dari vektor kita. Untuk melakukan ini, koordinat masing-masing dikalikan dan ditambahkan.

Mengingat panjang vektor dan produk skalarnya, kita dapat menemukan kosinus sudut yang terletak di antara mereka .
Sekarang kita dapat menemukan sinus dari sudut yang sama:
Sekarang kita memiliki semua besaran yang diperlukan, dan kita dapat dengan mudah menemukan luas jajaran genjang yang dibangun di atas vektor menggunakan rumus yang sudah diketahui.

Dalam pelajaran ini, kita akan melihat dua operasi lagi dengan vektor: perkalian silang vektor dan produk campuran vektor (link langsung bagi yang membutuhkan). Tidak apa-apa, kadang-kadang terjadi bahwa untuk kebahagiaan yang lengkap, selain perkalian titik dari vektor , semakin banyak yang dibutuhkan. Begitulah kecanduan vektor. Orang mungkin mendapat kesan bahwa kita memasuki hutan geometri analitik. Ini tidak benar. Di bagian matematika tingkat tinggi ini, biasanya hanya ada sedikit kayu bakar, kecuali mungkin cukup untuk Pinokio. Faktanya, materinya sangat umum dan sederhana - hampir tidak lebih sulit daripada yang sama produk skalar , bahkan akan ada lebih sedikit tugas tipikal. Hal utama dalam geometri analitik, seperti yang akan atau telah dilihat banyak orang, BUKAN KESALAHAN PERHITUNGAN. Ulangi seperti mantra, dan Anda akan bahagia =)

Jika vektor berkilau di suatu tempat yang jauh, seperti kilat di cakrawala, tidak masalah, mulailah dengan pelajaran Vektor untuk boneka untuk memulihkan atau memperoleh kembali pengetahuan dasar tentang vektor. Pembaca lebih siap dapat berkenalan dengan informasi secara selektif, saya mencoba mengumpulkan kumpulan contoh terlengkap yang sering ditemukan dalam kerja praktek

Apa yang akan membuatmu bahagia? Ketika saya masih kecil, saya bisa menyulap dua bahkan tiga bola. Itu berhasil dengan baik. Sekarang tidak perlu menyulap sama sekali, karena kami akan mempertimbangkan hanya vektor ruang, dan vektor datar dengan dua koordinat akan ditinggalkan. Mengapa? Beginilah cara tindakan ini lahir - vektor dan produk campuran vektor didefinisikan dan bekerja dalam ruang tiga dimensi. Sudah lebih mudah!

Dalam operasi ini, dengan cara yang sama seperti dalam produk skalar, dua vektor. Biarlah itu menjadi surat-surat yang tidak dapat binasa.

Tindakan itu sendiri dilambangkan dengan cara sebagai berikut: . Ada pilihan lain, tetapi saya terbiasa menetapkan perkalian silang dari vektor dengan cara ini, dalam tanda kurung siku dengan tanda silang.

Dan segera pertanyaan: jika dalam perkalian titik dari vektor dua vektor terlibat, dan di sini dua vektor juga dikalikan, maka Apa bedanya? Perbedaan yang jelas, pertama-tama, dalam HASIL:

Hasil perkalian skalar vektor adalah NOMOR:

Hasil perkalian silang vektor adalah VEKTOR: , yaitu, kita mengalikan vektor dan mendapatkan vektor lagi. Klub tertutup. Sebenarnya, itulah nama operasinya. Dalam berbagai literatur pendidikan, sebutannya juga bisa bermacam-macam, saya akan menggunakan huruf.

Definisi produk silang

Pertama akan ada definisi dengan gambar, lalu komentar.

Definisi: perkalian silang non-kolinier vektor , diambil dalam urutan ini, disebut VEKTOR, panjang yang secara numerik sama dengan luas jajar genjang, dibangun di atas vektor-vektor ini; vektor ortogonal terhadap vektor, dan diarahkan agar dasar memiliki orientasi yang benar:

Kami menganalisis definisi dengan tulang, ada banyak hal menarik!

Jadi, kami dapat menyoroti poin penting berikut:

1) Vektor sumber , ditunjukkan oleh panah merah, menurut definisi tidak segaris. Akan tepat untuk mempertimbangkan kasus vektor collinear sedikit kemudian.

2) Vektor diambil dalam urutan yang ketat: – "a" dikalikan dengan "menjadi", bukan "menjadi" menjadi "a". Hasil perkalian vektor adalah VECTOR , yang dilambangkan dengan warna biru. Jika vektor dikalikan dalam urutan terbalik, maka kita mendapatkan vektor yang sama panjang dan berlawanan arah (warna merah). Artinya, persamaan .

3) Sekarang mari kita berkenalan dengan arti geometris dari produk vektor. Ini adalah poin yang sangat penting! PANJANG vektor biru (dan, oleh karena itu, vektor merah ) secara numerik sama dengan AREA jajaran genjang yang dibangun di atas vektor . Pada gambar, jajaran genjang ini diarsir dalam warna hitam.

Catatan : gambarnya skematis, dan, tentu saja, panjang nominal produk silang tidak sama dengan luas jajaran genjang.

Kami mengingat salah satu rumus geometris: luas jajaran genjang sama dengan produk sisi-sisi yang berdekatan dan sinus sudut di antara mereka. Oleh karena itu, berdasarkan hal tersebut di atas, rumus untuk menghitung PANJANG produk vektor adalah:

Saya tekankan bahwa dalam rumus kita berbicara tentang PANJANG vektor, dan bukan tentang vektor itu sendiri. Apa arti praktisnya? Dan artinya sedemikian rupa sehingga dalam masalah geometri analitik, luas jajaran genjang sering ditemukan melalui konsep produk vektor:

Kami mendapatkan formula penting kedua. Diagonal jajar genjang (garis putus-putus merah) membaginya menjadi dua segitiga yang sama besar. Oleh karena itu, luas segitiga yang dibangun di atas vektor (arsir merah) dapat ditemukan dengan rumus:

4) Fakta yang sama pentingnya adalah bahwa vektor adalah ortogonal terhadap vektor , yaitu . Tentu saja, vektor yang berlawanan arah (panah merah) juga ortogonal terhadap vektor aslinya .

5) Vektor diarahkan sehingga dasar Memiliki Baik orientasi. Dalam pelajaran tentang transisi ke dasar baru Saya telah berbicara secara rinci tentang orientasi pesawat, dan sekarang kita akan mencari tahu apa itu orientasi ruang. Saya akan menjelaskan di jari Anda tangan kanan. Gabungkan mental jari telunjuk dengan vektor dan jari tengah dengan vektor. Jari manis dan jari kelingking tekan ke telapak tangan Anda. Hasil dari ibu jari- produk vektor akan terlihat. Ini adalah dasar berorientasi kanan (ada dalam gambar). Sekarang tukar vektor ( telunjuk dan jari tengah) di beberapa tempat, sebagai hasilnya, ibu jari akan berbalik, dan produk vektor sudah akan melihat ke bawah. Ini juga merupakan dasar yang berorientasi pada hak. Mungkin Anda memiliki pertanyaan: dasar apa yang memiliki orientasi kiri? "Tugaskan" jari yang sama tangan kiri vektor , dan dapatkan basis kiri dan orientasi ruang kiri (dalam hal ini, ibu jari akan ditempatkan ke arah vektor yang lebih rendah). Secara kiasan, basis ini "memutar" atau mengarahkan ruang ke arah yang berbeda. Dan konsep ini tidak boleh dianggap sebagai sesuatu yang dibuat-buat atau abstrak - misalnya, cermin paling biasa mengubah orientasi ruang, dan jika Anda "menarik objek yang dipantulkan keluar dari cermin", maka secara umum tidak mungkin untuk menggabungkannya dengan "asli". Omong-omong, bawa tiga jari ke cermin dan analisis pantulannya ;-)

... betapa baiknya Anda sekarang tahu tentang berorientasi kanan dan kiri dasar, karena pernyataan beberapa dosen tentang perubahan orientasi mengerikan =)

Produk vektor dari vektor collinear

Definisi telah dikerjakan secara rinci, masih mencari tahu apa yang terjadi ketika vektor-vektornya kolinear. Jika vektor-vektor itu kolinear, maka mereka dapat ditempatkan pada satu garis lurus dan jajaran genjang kami juga "melipat" menjadi satu garis lurus. Area seperti itu, seperti yang dikatakan ahli matematika, merosot jajaran genjang adalah nol. Hal yang sama mengikuti rumus - sinus nol atau 180 derajat sama dengan nol, yang berarti luasnya nol

Jadi, jika , maka dan . Harap dicatat bahwa perkalian silang itu sendiri sama dengan vektor nol, tetapi dalam praktiknya ini sering diabaikan dan ditulis bahwa itu juga sama dengan nol.

Kasus khusus adalah produk vektor dari vektor dan dirinya sendiri:

Menggunakan produk silang, Anda dapat memeriksa kolinearitas vektor tiga dimensi, dan kami juga akan menganalisis masalah ini, antara lain.

Untuk memecahkan contoh-contoh praktis, mungkin perlu tabel trigonometri untuk menemukan nilai sinus darinya.

Baiklah, mari kita nyalakan api:

Contoh 1

a) Tentukan panjang perkalian vektor dari vektor-vektor jika

b) Temukan luas jajar genjang yang dibangun di atas vektor jika

Keputusan: Tidak, ini bukan salah ketik, saya sengaja membuat data awal dalam kondisi barang sama. Karena desain solusinya akan berbeda!

a) Menurut kondisinya, diperlukan untuk menemukan panjang vektor (produk vektor). Menurut rumus yang sesuai:

Menjawab:

Karena ditanya tentang panjangnya, maka dalam jawaban kami menunjukkan dimensi - satuan.

b) Menurut kondisinya, diperlukan untuk menemukan kotak jajaran genjang dibangun di atas vektor. Luas jajaran genjang ini secara numerik sama dengan panjang produk silang:

Menjawab:

Harap dicatat bahwa dalam jawaban tentang produk vektor tidak ada pembicaraan sama sekali, kami ditanya tentang bidang gambar, masing-masing, dimensinya adalah satuan persegi.

Kami selalu melihat APA yang diperlukan untuk ditemukan oleh kondisi, dan, berdasarkan ini, kami merumuskan bersih menjawab. Ini mungkin tampak seperti literalisme, tetapi ada cukup literalis di antara para guru, dan tugas dengan peluang bagus akan dikembalikan untuk direvisi. Meskipun ini bukan nitpick yang terlalu tegang - jika jawabannya salah, maka orang tersebut mendapat kesan bahwa orang tersebut tidak memahami hal-hal sederhana dan / atau belum mempelajari inti dari tugas tersebut. Momen ini harus selalu dijaga, memecahkan masalah apa pun dalam matematika yang lebih tinggi, dan juga dalam mata pelajaran lain.

Ke mana perginya huruf besar "en"? Pada prinsipnya, itu bisa juga menempel pada solusi, tetapi untuk mempersingkat catatan, saya tidak melakukannya. Saya harap semua orang mengerti itu dan merupakan sebutan untuk hal yang sama.

Contoh populer untuk solusi do-it-yourself:

Contoh 2

Temukan luas segitiga yang dibangun di atas vektor jika

Rumus untuk menemukan luas segitiga melalui produk vektor diberikan dalam komentar untuk definisi. Solusi dan jawaban di akhir pelajaran.

Dalam praktiknya, tugas ini sangat umum, segitiga umumnya dapat disiksa.

Untuk menyelesaikan masalah lain, kita perlu:

Sifat-sifat perkalian silang vektor

Kami telah mempertimbangkan beberapa properti dari produk vektor, namun, saya akan memasukkannya ke dalam daftar ini.

Untuk vektor arbitrer dan bilangan arbitrer, sifat-sifat berikut ini benar:

1) Dalam sumber informasi lain, item ini biasanya tidak dibedakan dalam properti, tetapi sangat penting dalam hal praktis. Jadi biarkan saja.

2) - properti juga dibahas di atas, kadang-kadang disebut antikomutatif. Dengan kata lain, urutan vektor penting.

3) - kombinasi atau asosiatif hukum perkalian vektor. Konstanta dengan mudah dikeluarkan dari batas produk vektor. Sungguh, apa yang mereka lakukan di sana?

4) - distribusi atau distribusi hukum perkalian vektor. Tidak ada masalah dengan kurung buka juga.

Sebagai demonstrasi, pertimbangkan contoh singkat:

Contoh 3

Temukan jika

Keputusan: Dengan syarat, diperlukan lagi untuk mencari panjang produk vektor. Mari kita melukis miniatur kita:

(1) Menurut hukum asosiatif, kami mengambil konstanta di luar batas produk vektor.

(2) Kami mengeluarkan konstanta dari modul, sedangkan modul "memakan" tanda minus. Panjangnya tidak boleh negatif.

(3) Apa yang berikut ini jelas.

Menjawab:

Saatnya melempar kayu ke api:

Contoh 4

Hitung luas segitiga yang dibangun di atas vektor jika

Keputusan: Cari luas segitiga menggunakan rumus . Halangannya adalah bahwa vektor "ce" dan "te" sendiri direpresentasikan sebagai jumlah vektor. Algoritme di sini adalah standar dan agak mengingatkan pada contoh No. 3 dan 4 dari pelajaran. Hasil kali titik dari vektor . Mari kita uraikan menjadi tiga langkah untuk kejelasan:

1) Pada langkah pertama, kami mengekspresikan produk vektor melalui produk vektor, sebenarnya, nyatakan vektor dalam bentuk vektor. Belum ada kabar tentang panjangnya!

(1) Kami mengganti ekspresi vektor .

(2) Menggunakan hukum distributif, buka kurung sesuai dengan aturan perkalian polinomial.

(3) Menggunakan hukum asosiatif, kami mengambil semua konstanta di luar produk vektor. Dengan sedikit pengalaman, tindakan 2 dan 3 dapat dilakukan secara bersamaan.

(4) Suku pertama dan suku terakhir sama dengan nol (vektor nol) karena sifat menyenangkan . Pada suku kedua, kita menggunakan sifat antikomutatif dari produk vektor:

(5) Kami menyajikan istilah serupa.

Akibatnya, vektor ternyata diekspresikan melalui vektor, yang harus dicapai:

2) Pada langkah kedua, kami menemukan panjang produk vektor yang kami butuhkan. Tindakan ini mirip dengan Contoh 3:

3) Temukan luas segitiga yang diinginkan:

Langkah 2-3 dari solusi dapat diatur dalam satu baris.

Menjawab:

Masalah yang dipertimbangkan cukup umum dalam pengujian, berikut adalah contoh untuk solusi independen:

Contoh 5

Temukan jika

Solusi singkat dan jawaban di akhir pelajaran. Mari kita lihat seberapa perhatian Anda ketika mempelajari contoh-contoh sebelumnya ;-)

Perkalian silang vektor dalam koordinat

, diberikan dalam basis ortonormal , dinyatakan dengan rumus:

Rumusnya sangat sederhana: kami menulis vektor koordinat di garis atas determinan, kami "mengemas" koordinat vektor ke dalam baris kedua dan ketiga, dan kami menempatkan dalam urutan yang ketat- pertama, koordinat vektor "ve", lalu koordinat vektor "double-ve". Jika vektor perlu dikalikan dalam urutan yang berbeda, maka garis juga harus ditukar:

Contoh 10

Periksa apakah vektor-vektor ruang berikut ini kolinear:
sebuah)
b)

Keputusan: Pengujian ini didasarkan pada salah satu pernyataan dalam pelajaran ini: jika vektor-vektornya kolinear, maka perkalian silangnya adalah nol (vektor nol): .

a) Temukan produk vektor:

Jadi vektor-vektornya tidak kolinear.

b) Temukan produk vektor:

Menjawab: a) tidak kolinear, b)

Di sini, mungkin, adalah semua informasi dasar tentang produk vektor dari vektor.

Bagian ini tidak akan terlalu besar, karena ada beberapa masalah di mana produk campuran vektor digunakan. Faktanya, semuanya akan bertumpu pada definisi, makna geometris, dan beberapa rumus kerja.

Hasil kali campuran vektor adalah hasil kali tiga buah vektor:

Beginilah cara mereka berbaris seperti kereta dan menunggu, mereka tidak bisa menunggu sampai dihitung.

Pertama lagi definisi dan gambarnya:

Definisi: Produk campuran non-koplanar vektor , diambil dalam urutan ini, disebut volume paralelepiped, dibangun di atas vektor-vektor ini, dilengkapi dengan tanda "+" jika basisnya benar, dan tanda "-" jika basisnya kiri.

Mari kita menggambar. Garis yang tidak terlihat oleh kita digambarkan oleh garis putus-putus:

Mari selami definisinya:

2) Vektor diambil dalam urutan tertentu, yaitu, permutasi vektor dalam produk, seperti yang Anda duga, tidak berjalan tanpa konsekuensi.

3) Sebelum mengomentari makna geometris, saya akan mencatat fakta yang jelas: hasil kali campuran vektor adalah NUMBER: . Dalam literatur pendidikan, desainnya mungkin agak berbeda, saya biasa menunjuk produk campuran melalui, dan hasil perhitungan dengan huruf "pe".

Prioritas-A produk campuran adalah volume paralelepiped, dibangun di atas vektor (gambar digambar dengan vektor merah dan garis hitam). Artinya, jumlahnya sama dengan volume parallelepiped yang diberikan.

Catatan : Gambarnya skematis.

4) Jangan repot-repot lagi dengan konsep orientasi dasar dan ruang. Arti dari bagian terakhir adalah bahwa tanda minus dapat ditambahkan ke volume. Secara sederhana, produk campuran bisa negatif: .

Rumus untuk menghitung volume paralelepiped yang dibangun di atas vektor mengikuti langsung dari definisi.