Matematikawan Italia Leonardo Fibonacci hidup pada abad ke-13 dan merupakan salah satu orang pertama di Eropa yang menggunakan angka Arab (India). Dia datang dengan masalah yang agak artifisial tentang kelinci yang dibesarkan di sebuah peternakan, dengan semuanya dianggap betina, jantan diabaikan. Kelinci mulai berkembang biak setelah mereka berumur dua bulan dan kemudian melahirkan kelinci setiap bulan. Kelinci tidak pernah mati.

Penting untuk menentukan berapa banyak kelinci yang akan ada di peternakan di n bulan, jika pada saat awal hanya ada satu kelinci yang baru lahir.

Jelas, petani memiliki satu kelinci di bulan pertama dan satu kelinci di bulan kedua. Di bulan ketiga akan ada dua kelinci, di bulan keempat akan ada tiga, dan seterusnya. Mari kita tunjukkan jumlah kelinci di n bulan seperti. Dengan demikian,
,
,
,
,
, …

Kita dapat membangun sebuah algoritma untuk menemukan untuk apa saja n.

Menurut kondisi masalah, jumlah kelinci
di n+1 bulan didekomposisi menjadi tiga komponen:

kelinci berumur satu bulan, tidak mampu bereproduksi, dalam jumlah

;

Dengan demikian, kita mendapatkan

. (8.1)

Rumus (8.1) memungkinkan Anda menghitung serangkaian angka: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, . ..

Angka-angka dalam urutan ini disebut Bilangan Fibonacci .

Jika menerima
dan
, maka dengan bantuan rumus (8.1) seseorang dapat menentukan semua bilangan Fibonacci lainnya. Rumus (8.1) disebut berulang rumus ( kambuh - "kembali" dalam bahasa Latin).

Contoh 8.1. Misalkan ada tangga di n Langkah. Kita bisa menaikinya dengan langkah satu langkah, atau dengan langkah dua langkah. Ada berapa banyak kombinasi metode pengangkatan yang berbeda?

Jika sebuah n= 1, hanya ada satu solusi untuk masalah tersebut. Untuk n= 2 ada 2 pilihan: dua langkah tunggal atau satu langkah ganda. Untuk n= 3 ada 3 pilihan: tiga langkah tunggal, atau satu tunggal dan satu ganda, atau satu ganda dan satu tunggal.

Dalam kasus berikutnya n= 4, kita memiliki 5 kemungkinan (1+1+1+1, 2+1+1, 1+2+1, 1+1+2, 2+2).

Untuk menjawab pertanyaan yang diberikan dengan sewenang-wenang n, menyatakan jumlah opsi sebagai , dan coba tentukan
menurut terkenal dan
. Jika kita mulai dari satu langkah, maka kita memiliki kombinasi untuk sisanya n Langkah. Jika kita mulai dengan langkah ganda, maka kita memiliki
kombinasi untuk sisanya n-1 langkah. Jumlah total opsi untuk n+1 langkah sama dengan

. (8.2)

Rumus yang dihasilkan, seperti kembaran, menyerupai rumus (8.1). Namun, ini tidak memungkinkan seseorang untuk mengidentifikasi jumlah kombinasi dengan bilangan Fibonacci . Kita lihat, misalnya, bahwa
, tetapi
. Namun, ada hubungan berikut:

.

Ini benar untuk n= 1, 2, dan juga berlaku untuk masing-masing n. Angka Fibonacci dan jumlah kombinasi dihitung menggunakan rumus yang sama, tetapi nilai awalnya
,
dan
,
mereka berbeda.

Contoh 8.2. Contoh ini sangat penting secara praktis untuk masalah pengkodean koreksi kesalahan. Temukan jumlah semua kata biner yang panjangnya n, tidak berisi beberapa nol berturut-turut. Mari kita tunjukkan angka ini dengan . Jelas sekali,
, dan kata-kata dengan panjang 2 yang memenuhi batasan kita adalah: 10, 01, 11, yaitu.
. Biarlah
- sebuah kata dari n karakter. Jika simbol
, kemudian
bisa sewenang-wenang (
) -kata literal yang tidak mengandung banyak angka nol dalam satu baris. Jadi jumlah kata dengan satuan di akhir adalah
.

Jika simbol
, maka tentu
, dan yang pertama
simbol
bisa sewenang-wenang, dengan mempertimbangkan batasan-batasan yang dipertimbangkan. Oleh karena itu, ada
panjang kata n dengan nol di akhir. Jadi, jumlah total kata yang menarik bagi kami adalah

.

Mempertimbangkan fakta bahwa
dan
, urutan angka yang dihasilkan adalah angka Fibonacci.

Contoh 8.3. Dalam Contoh 7.6 kami menemukan bahwa jumlah kata biner dengan bobot konstan t(dan panjang k) sama dengan . Sekarang mari kita cari jumlah kata biner dengan bobot konstan t, tidak berisi beberapa nol berturut-turut.

Anda bisa beralasan seperti ini. Biarlah
jumlah nol dalam kata-kata yang dipertimbangkan. Setiap kata memiliki
kesenjangan antara nol terdekat, yang masing-masing berisi satu atau lebih. Ini diasumsikan bahwa
. Jika tidak, tidak ada satu kata pun tanpa nol yang berdekatan.

Jika kita menghapus tepat satu unit dari setiap interval, maka kita mendapatkan kata panjang
mengandung nol. Setiap kata seperti itu dapat diperoleh dengan cara tertentu dari beberapa (dan hanya satu) k-kata literal yang mengandung nol, tidak ada dua yang berdekatan. Oleh karena itu, jumlah yang diperlukan bertepatan dengan jumlah semua kata yang panjangnya
mengandung persis nol, yaitu sama dengan
.

Contoh 8.4. Mari kita buktikan bahwa jumlah
sama dengan bilangan Fibonacci untuk sembarang bilangan bulat . Simbol
berdiri untuk bilangan bulat terkecil yang lebih besar dari atau sama dengan . Misalnya, jika
, kemudian
; dan jika
, kemudian
langit-langit("langit-langit"). Ada juga simbol
, yang merupakan singkatan dari bilangan bulat terbesar kurang dari atau sama dengan . Dalam bahasa Inggris, operasi ini disebut lantai ("lantai").

Jika sebuah
, kemudian
. Jika sebuah
, kemudian
. Jika sebuah
, kemudian
.

Jadi, untuk kasus yang dipertimbangkan, jumlahnya memang sama dengan angka Fibonacci. Kami sekarang memberikan bukti untuk kasus umum. Karena bilangan Fibonacci dapat diperoleh dengan menggunakan persamaan rekursif (8.1), persamaan harus berlaku:

.

Dan itu benar-benar:

Di sini kami menggunakan rumus yang diperoleh sebelumnya (4.4):
.

Jumlah Bilangan Fibonacci

Mari kita tentukan jumlah yang pertama n bilangan Fibonacci.

0+1+1+2+3+5 = 12,

0+1+1+2+3+5+8 = 20,

0+1+1+2+3+5+8+13 = 33.

Sangat mudah untuk melihat bahwa dengan menambahkan satu ke ruas kanan setiap persamaan, kita kembali mendapatkan bilangan Fibonacci. Rumus umum untuk menentukan jumlah pertama n Bilangan Fibonacci memiliki bentuk:

Kami akan membuktikan ini dengan menggunakan metode induksi matematika. Untuk melakukan ini, kami menulis:

Jumlah ini harus sama dengan
.

Mengurangi sisi kiri dan kanan persamaan dengan -1, kita memperoleh persamaan (6.1).

Rumus bilangan Fibonacci

Teorema 8.1. Bilangan fibonacci dapat dihitung dengan menggunakan rumus

.

Bukti. Mari kita verifikasi validitas rumus ini untuk n= 0, 1, dan kemudian kami membuktikan validitas rumus ini untuk arbitrer n dengan induksi. Mari kita hitung rasio dua bilangan Fibonacci terdekat:

Kami melihat bahwa rasio angka-angka ini berfluktuasi di sekitar nilai 1,618 (jika kami mengabaikan beberapa nilai pertama). Properti bilangan Fibonacci ini menyerupai anggota deret geometri. Menerima
, (
). Kemudian ekspresi

dikonversi ke

yang setelah disederhanakan terlihat seperti ini

.

Kami telah memperoleh persamaan kuadrat yang akar-akarnya sama dengan:

Sekarang kita dapat menulis:

(di mana c adalah konstanta). Kedua anggota dan jangan beri angka Fibonacci, misalnya
, ketika
. Namun, perbedaannya
memenuhi persamaan rekursif:

Untuk n=0 perbedaan ini memberikan , yaitu:
. Namun, ketika n= 1 kita punya
. Untuk memperoleh
harus diterima:
.

Sekarang kita memiliki dua urutan: dan
, yang dimulai dengan dua angka yang sama dan memenuhi rumus rekursif yang sama. Mereka harus sama:
. Teorema telah terbukti.

Dengan bertambahnya n anggota menjadi sangat besar sedangkan
, dan peran anggota berkurang dalam perbedaan. Oleh karena itu, pada umumnya n kita dapat menulis kira-kira

.

Kami mengabaikan 1/2 (karena angka Fibonacci meningkat hingga tak terhingga sebagai n hingga tak terbatas).

Sikap
ditelepon rasio emas, digunakan di luar matematika (misalnya, dalam seni pahat dan arsitektur). Rasio emas adalah rasio antara diagonal dan sisi segi lima biasa(Gbr. 8.1).

Beras. 8.1. segi lima beraturan dan diagonal-diagonalnya

Untuk menunjukkan bagian emas, biasanya menggunakan huruf
untuk menghormati pematung Athena yang terkenal, Phidias.

bilangan prima

Semua bilangan asli, yang besar, terbagi dalam dua kelas. Yang pertama mencakup bilangan yang memiliki tepat dua pembagi alami, satu dan dirinya sendiri, yang kedua mencakup semua sisanya. Bilangan kelas pertama disebut sederhana, dan yang kedua unsur. Bilangan prima dalam tiga puluhan pertama: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, ...

Sifat-sifat bilangan prima dan hubungannya dengan semua bilangan asli dipelajari oleh Euclid (abad ke-3 SM). Jika Anda menuliskan bilangan prima secara berurutan, Anda dapat melihat bahwa kerapatan relatifnya berkurang. Sepuluh pertama dari mereka menyumbang 4, yaitu 40%, untuk seratus - 25, yaitu. 25%, per seribu - 168, mis. kurang dari 17%, per juta - 78498, mis. kurang dari 8%, dll. Namun, jumlah totalnya tidak terbatas.

Di antara bilangan prima, ada pasangan seperti itu, selisihnya sama dengan dua (disebut kembar sederhana), tetapi finiteness atau infinity dari pasangan tersebut belum terbukti.

Euclid menganggap jelas bahwa dengan mengalikan hanya bilangan prima, seseorang dapat memperoleh semua bilangan asli, dan setiap bilangan asli dapat direpresentasikan sebagai produk bilangan prima dengan cara yang unik (sampai urutan faktor). Dengan demikian, bilangan prima membentuk basis perkalian dari deret alami.

Studi tentang distribusi bilangan prima mengarah pada pembuatan algoritma yang memungkinkan seseorang untuk mendapatkan tabel bilangan prima. Algoritma seperti itu adalah saringan Eratosthenes(abad ke-3 SM). Metode ini terdiri dari penyaringan (misalnya, dengan mencoret) bilangan bulat dari urutan yang diberikan
, yang habis dibagi setidaknya salah satu bilangan prima kurang dari
.

Dalil 8 . 2 . (Teorema Euclid). Banyaknya bilangan prima tidak terhingga.

Bukti. Teorema Euclid tentang tak terhingga banyaknya bilangan prima akan dibuktikan dengan metode yang diajukan oleh Leonhard Euler (1707-1783). Euler menganggap produk atas semua bilangan prima p:

pada
. Produk ini konvergen, dan jika diperluas, maka karena keunikan penguraian bilangan asli menjadi faktor prima, ternyata itu sama dengan jumlah deret , dimana identitas Euler berikut:

.

Sejak pada
deret di sebelah kanan divergen (deret harmonik), maka identitas Euler menyiratkan teorema Euclid.

Matematikawan Rusia P.L. Chebyshev (1821–1894) menurunkan rumus yang menentukan batas di mana jumlah bilangan prima terkandung
, tidak melebihi X:

,

di mana
,
.

Jika Anda melihat tanaman dan pohon di sekitar kita, Anda dapat melihat berapa banyak daun yang dimiliki masing-masing. Dari kejauhan, tampak cabang dan daun pada tanaman tersusun secara acak, dalam urutan yang sewenang-wenang. Namun, di semua tanaman secara ajaib, secara matematis direncanakan dengan tepat cabang mana yang akan tumbuh dari mana, bagaimana cabang dan daun akan ditempatkan di dekat batang atau batang. Sejak hari pertama kemunculannya, tanaman dengan tepat mengikuti hukum ini dalam perkembangannya, yaitu, tidak ada satu daun pun, tidak ada satu bunga pun yang muncul secara kebetulan. Bahkan sebelum kemunculannya tanaman tersebut sudah terprogram dengan tepat. Berapa banyak cabang yang akan ada di pohon yang akan datang, di mana cabang akan tumbuh, berapa banyak daun pada setiap cabang, dan bagaimana, dalam urutan apa daun akan diatur. Kerja sama ahli botani dan matematikawan telah menjelaskan fenomena alam yang menakjubkan ini. Ternyata dalam susunan daun pada cabang (phylotaxis), dalam jumlah putaran pada batang, dalam jumlah daun dalam siklus, deret Fibonacci memanifestasikan dirinya, dan oleh karena itu, hukum bagian emas juga memanifestasikan dirinya.

Jika Anda mulai mencari pola numerik pada satwa liar, Anda akan melihat bahwa angka-angka ini sering ditemukan dalam berbagai bentuk spiral, yang sangat kaya dengan dunia tumbuhan. Misalnya, stek daun menyatukan batang dalam spiral yang membentang di antara dua daun yang berdekatan: putaran penuh - dalam hazel, - di oak, - di poplar dan pir, - di willow.

Biji bunga matahari, Echinacea purpurea dan banyak tanaman lainnya tersusun dalam spiral, dan jumlah spiral di setiap arah adalah angka Fibonacci.

Bunga matahari, 21 dan 34 spiral. Echinacea, 34 dan 55 spiral.

Bentuk bunga yang jelas dan simetris juga tunduk pada hukum yang ketat.

Banyak bunga memiliki jumlah kelopak - persis angka dari deret Fibonacci. Sebagai contoh:

iris, 3 lep. cangkir mentega, 5 lep. bunga emas, 8 lep. delphinium,

sawi putih, 21 lep. aster, 34 lep. aster, 55 lep.

Deret Fibonacci mencirikan organisasi struktural dari banyak sistem kehidupan.

Kami telah mengatakan bahwa rasio angka tetangga dalam deret Fibonacci adalah angka = 1,618. Ternyata pria itu sendiri hanyalah gudang dari nomor phi.

Proporsi berbagai bagian tubuh kita membentuk angka yang sangat dekat dengan rasio emas. Jika proporsi ini sesuai dengan rumus rasio emas, maka penampilan atau tubuh seseorang dianggap ideal. Prinsip penghitungan takaran emas pada tubuh manusia dapat digambarkan dalam bentuk diagram.

M/m=1,618

Contoh pertama bagian emas dalam struktur tubuh manusia:

Jika kita mengambil titik pusar sebagai pusat tubuh manusia, dan jarak antara kaki manusia dan titik pusar sebagai satuan ukuran, maka tinggi badan seseorang setara dengan angka 1.618.

Tangan manusia

Cukup mendekatkan telapak tangan Anda sekarang dan perhatikan jari telunjuk Anda dengan cermat, dan Anda akan segera menemukan formula bagian emas di dalamnya. Setiap jari tangan kita terdiri dari tiga falang.
Jumlah dari dua falang pertama jari dalam kaitannya dengan seluruh panjang jari memberikan rasio emas (dengan pengecualian ibu jari).

Selain itu, rasio antara jari tengah dan jari kelingking juga sama dengan rasio emas.

Seseorang memiliki 2 tangan, jari-jari di setiap tangan terdiri dari 3 falang (kecuali ibu jari). Setiap tangan memiliki 5 jari, yaitu total 10, tetapi dengan pengecualian dua ibu jari dua falang, hanya 8 jari yang dibuat sesuai dengan prinsip rasio emas. Padahal semua angka 2, 3, 5 dan 8 ini adalah angka-angka dari barisan Fibonacci.

Rasio emas dalam struktur paru-paru manusia

Fisikawan Amerika B.D. West dan Dr. A.L. Goldberger selama studi fisik dan anatomi menemukan bahwa dalam struktur paru-paru manusia ada juga rasio emas.

Keunikan bronkus yang membentuk paru-paru seseorang terletak pada asimetrinya. Bronkus terdiri dari dua saluran udara utama, satu (kiri) lebih panjang dan yang lainnya (kanan) lebih pendek.

Ditemukan bahwa asimetri ini berlanjut di cabang-cabang bronkus, di semua saluran udara yang lebih kecil. Selain itu, rasio panjang bronkus pendek dan panjang juga merupakan rasio emas dan sama dengan 1: 1,618.

Seniman, ilmuwan, perancang busana, perancang membuat perhitungan, gambar, atau sketsa mereka berdasarkan rasio rasio emas. Mereka menggunakan pengukuran dari tubuh manusia, juga dibuat sesuai dengan prinsip rasio emas. Leonardo Da Vinci dan Le Corbusier, sebelum menciptakan karya agung mereka, mengambil parameter tubuh manusia, dibuat sesuai dengan hukum Rasio Emas.
Ada lagi penerapan proporsi tubuh manusia yang lebih membosankan. Misalnya, dengan menggunakan rasio ini, analis kriminal dan arkeolog mengembalikan penampilan keseluruhan dari pecahan bagian tubuh manusia.

Deret Fibonacci, yang dipopulerkan oleh film dan buku The Da Vinci Code, adalah serangkaian angka yang disimpulkan oleh ahli matematika Italia Leonardo dari Pisa, yang lebih dikenal dengan nama samaran Fibonacci, pada abad ketiga belas. Pengikut ilmuwan memperhatikan bahwa formula yang menjadi subjek rangkaian angka ini menemukan refleksinya di dunia di sekitar kita dan menggemakan penemuan matematika lainnya, dengan demikian membuka pintu ke rahasia alam semesta bagi kita. Pada artikel ini, kami akan menjelaskan apa itu deret Fibonacci, melihat contoh bagaimana pola ini ditampilkan di alam, dan juga membandingkannya dengan teori matematika lainnya.

Perumusan dan definisi konsep

Deret Fibonacci adalah deret matematika, yang setiap elemennya sama dengan jumlah dari dua sebelumnya. Mari kita nyatakan anggota tertentu dari barisan sebagai x n. Dengan demikian, kami memperoleh rumus yang valid untuk seluruh seri: x n + 2 \u003d x n + x n + 1. Dalam hal ini, urutannya akan terlihat seperti ini: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34. Angka berikutnya adalah 55, karena jumlah 21 dan 34 adalah 55. Dan seterusnya menurut prinsip yang sama.

Contoh di lingkungan

Jika kita melihat tanaman, khususnya, pada mahkota daun, kita akan melihat bahwa mereka mekar dalam spiral. Sudut terbentuk di antara daun yang berdekatan, yang, pada gilirannya, membentuk deret Fibonacci matematika yang benar. Berkat fitur ini, setiap daun individu yang tumbuh di pohon menerima jumlah maksimum sinar matahari dan panas.

Teka-teki matematika fibonacci

Seorang matematikawan terkenal mempresentasikan teorinya dalam bentuk teka-teki. Kedengarannya seperti ini. Anda bisa meletakkan sepasang kelinci di ruang tertutup untuk mengetahui berapa pasang kelinci yang akan lahir dalam satu tahun. Mempertimbangkan sifat hewan-hewan ini, fakta bahwa setiap bulan sepasang mampu menghasilkan pasangan baru, dan mereka menjadi siap untuk reproduksi ketika mereka mencapai dua bulan, sebagai hasilnya, ia menerima rangkaian angka yang terkenal: 1, 1, 2, 3, 5, 8 , 13, 21, 34, 55, 89, 144 - yang menunjukkan jumlah pasangan kelinci baru di setiap bulan.

Deret Fibonacci dan Rasio Proporsional

Seri ini memiliki beberapa nuansa matematis yang harus diperhatikan. Dia, mendekati lebih lambat dan lebih lambat (asimtotik), cenderung hubungan proporsional tertentu. Tapi itu tidak rasional. Dengan kata lain, itu adalah angka dengan urutan angka desimal yang tidak dapat diprediksi dan tak terbatas di bagian pecahan. Misalnya, rasio elemen deret mana pun bervariasi di sekitar angka 1.618, terkadang melampauinya, terkadang mencapainya. Selanjutnya dengan analogi mendekati 0,618. Yang berbanding terbalik dengan bilangan 1.618. Jika kita membagi elemen menjadi satu, kita mendapatkan 2,618 dan 0,382. Seperti yang sudah Anda pahami, mereka juga berbanding terbalik. Angka-angka yang dihasilkan disebut rasio Fibonacci. Sekarang mari kita jelaskan mengapa kita melakukan perhitungan ini.

rasio emas

Kita membedakan semua benda di sekitar kita menurut kriteria tertentu. Salah satunya adalah bentuk. Beberapa menarik kita lebih banyak, beberapa kurang, dan beberapa tidak suka sama sekali. Telah diperhatikan bahwa objek simetris dan proporsional jauh lebih mudah bagi seseorang untuk melihat dan membangkitkan rasa harmoni dan keindahan. Seluruh gambar selalu mencakup bagian-bagian dengan ukuran berbeda, yang berada dalam rasio tertentu satu sama lain. Dari sini berikut jawaban atas pertanyaan tentang apa yang disebut Rasio Emas. Konsep ini berarti kesempurnaan rasio keseluruhan dan bagian di alam, sains, seni, dll. Dari sudut pandang matematika, perhatikan contoh berikut. Ambil segmen dengan panjang berapa pun dan bagi menjadi dua bagian sedemikian rupa sehingga bagian yang lebih kecil terkait dengan yang lebih besar sebagai jumlah (panjang seluruh segmen) dengan yang lebih besar. Jadi mari kita potong dengan untuk ukuran satu. bagian dari itu sebuah akan sama dengan 0,618, bagian kedua b, ternyata sama dengan 0,382. Jadi, kami mengamati kondisi Rasio Emas. Rasio segmen c ke sebuah sama dengan 1,618. Dan hubungan bagian-bagiannya c dan b- 2.618. Kami mendapatkan koefisien Fibonacci yang sudah kami ketahui. Segitiga emas, persegi panjang emas dan balok emas dibangun sesuai dengan prinsip yang sama. Perlu juga dicatat bahwa rasio proporsional bagian tubuh manusia mendekati Rasio Emas.

Apakah deret Fibonacci adalah dasar dari segalanya?

Mari kita coba menggabungkan teori Bagian Emas dan deret matematikawan Italia yang terkenal. Mari kita mulai dengan dua kotak dengan ukuran pertama. Kemudian tambahkan kotak lain dengan ukuran kedua di atas. Mari kita menggambar di sebelah gambar yang sama dengan panjang sisi sama dengan jumlah dua sisi sebelumnya. Demikian pula, kami menggambar persegi dengan ukuran kelima. Dan Anda dapat melanjutkan tanpa batas, sampai Anda bosan. Hal utama adalah bahwa ukuran sisi setiap kotak berikutnya sama dengan jumlah sisi dari dua sebelumnya. Kami mendapatkan serangkaian poligon yang panjang sisinya adalah bilangan Fibonacci. Angka-angka ini disebut persegi panjang Fibonacci. Mari menggambar garis halus melalui sudut poligon kita dan dapatkan ... spiral Archimedes! Kenaikan langkah dari angka ini, seperti yang Anda tahu, selalu seragam. Jika Anda menghidupkan fantasi, maka pola yang dihasilkan dapat dikaitkan dengan cangkang kerang. Dari sini kita dapat menyimpulkan bahwa barisan Fibonacci adalah dasar dari rasio proporsional dan harmonis dari unsur-unsur di dunia sekitarnya.

Deret matematika dan alam semesta

Jika Anda melihat lebih dekat, maka spiral Archimedes (di suatu tempat secara eksplisit, tetapi di suatu tempat terselubung) dan, oleh karena itu, prinsip Fibonacci dapat dilacak di banyak elemen alam yang akrab di sekitar seseorang. Misalnya, cangkang kerang yang sama, perbungaan brokoli biasa, bunga matahari, kerucut tanaman jenis konifera, dan sejenisnya. Jika kita melihat lebih jauh, kita akan melihat deret Fibonacci di galaksi tak terhingga. Bahkan seseorang, yang terinspirasi oleh alam dan mengadopsi bentuknya, menciptakan objek di mana rangkaian yang disebutkan di atas dapat dilacak. Saatnya untuk mengingat Bagian Emas. Seiring dengan pola Fibonacci, prinsip-prinsip teori ini dilacak. Ada versi bahwa deret Fibonacci adalah semacam ujian alam untuk beradaptasi dengan deret logaritmik yang lebih sempurna dan mendasar dari Rasio Emas, yang hampir identik, tetapi tidak memiliki awal dan tidak terbatas. Pola alam sedemikian rupa sehingga harus memiliki titik awal sendiri, dari mana membangun untuk menciptakan sesuatu yang baru. Rasio elemen pertama dari deret Fibonacci jauh dari prinsip Rasio Emas. Namun, semakin jauh kita melanjutkannya, semakin banyak perbedaan ini dihaluskan. Untuk menentukan barisan, Anda perlu mengetahui tiga elemennya yang saling mengikuti. Untuk urutan Emas, dua sudah cukup. Karena merupakan barisan aritmatika dan barisan geometri.

Kesimpulan

Namun, berdasarkan hal di atas, seseorang dapat mengajukan pertanyaan yang cukup logis: "Dari mana angka-angka ini berasal? Siapa penulis perangkat seluruh dunia ini yang mencoba membuatnya ideal? Apakah semuanya selalu seperti yang diinginkannya? Jika demikian , mengapa kegagalan itu terjadi? Apa yang akan terjadi selanjutnya?" Menemukan jawaban untuk satu pertanyaan, Anda mendapatkan yang berikutnya. Selesaikan - dua lagi muncul. Jika Anda menyelesaikannya, Anda mendapatkan tiga lagi. Setelah berurusan dengan mereka, Anda akan menerima lima yang belum terselesaikan. Lalu delapan, lalu tiga belas, dua puluh satu, tiga puluh empat, lima puluh lima...

Bilangan Fibonacci adalah elemen dari barisan numerik.

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, di mana setiap angka berikutnya sama dengan jumlah dua angka sebelumnya. Nama ini dinamai ahli matematika abad pertengahan Leonardo dari Pisa (atau Fibonacci), yang tinggal dan bekerja sebagai pedagang dan ahli matematika di kota Pisa, Italia. Dia adalah salah satu ilmuwan Eropa paling terkenal pada masanya. Di antara pencapaian terbesarnya adalah pengenalan angka Arab untuk menggantikan angka Romawi. Fn=Fn-1+Fn-2

Deret matematika secara asimtotik (yaitu, mendekati lebih dan lebih lambat) cenderung ke rasio yang konstan. Namun, sikap ini tidak rasional; ia memiliki urutan nilai desimal yang tak berujung dan tak terduga yang berbaris setelahnya. Itu tidak pernah bisa diungkapkan dengan tepat. Jika setiap angka yang merupakan bagian dari deret itu dibagi dengan nilai sebelumnya (misalnya, 13-^8 atau 21-FROM), hasil dari tindakan tersebut dinyatakan dalam rasio yang berfluktuasi di sekitar bilangan irasional 1.61803398875, sedikit lebih atau sedikit lebih kecil dari rasio tetangga dari seri. Rasionya tidak akan pernah, tanpa batas, akurat hingga digit terakhir (bahkan dengan komputer paling canggih yang dibuat saat ini). Untuk singkatnya, kami akan menggunakan angka 1.618 sebagai rasio Fibonacci dan meminta pembaca untuk tidak melupakan kesalahan ini.

Bilangan Fibonacci juga penting saat melakukan analisis.Algoritme Euclid untuk menentukan pembagi persekutuan terbesar dari dua bilangan. Bilangan Fibonacci berasal dari rumus diagonal segitiga Pascal (koefisien binomial).

Angka Fibonacci telah dikaitkan dengan Rasio Emas.

Rasio emas dikenal di Mesir kuno dan Babilonia, di India dan Cina. Apa itu "bagian emas"? Jawabannya masih belum diketahui. Angka Fibonacci benar-benar relevan untuk teori praktik di zaman kita. Peningkatan kepentingan terjadi pada abad ke-20 dan berlanjut hingga hari ini. Penggunaan angka Fibonacci di bidang ekonomi dan ilmu komputer menarik banyak orang untuk mempelajarinya.

Metodologi penelitian saya terdiri dari mempelajari literatur khusus dan meringkas informasi yang diterima, serta melakukan penelitian saya sendiri dan mengidentifikasi sifat-sifat angka dan ruang lingkup penggunaannya.

Dalam penelitian ilmiah, dia menentukan konsep bilangan Fibonacci, sifat-sifatnya. Saya juga menemukan pola menarik pada satwa liar, langsung dalam struktur biji bunga matahari.

Pada bunga matahari, biji-bijinya berbaris dalam spiral, dan jumlah spiral yang menuju ke arah lain berbeda - itu adalah angka Fibonacci yang berurutan.

Bunga matahari ini memiliki 34 dan 55.

Hal yang sama diamati pada buah nanas, di mana ada spiral 8 dan 14. Daun jagung dikaitkan dengan sifat unik angka Fibonacci.

Pecahan bentuk a/b, sesuai dengan susunan heliks daun kaki batang tanaman, sering kali merupakan rasio bilangan Fibonacci yang berurutan. Untuk hazel rasio ini adalah 2/3, untuk oak 3/5, untuk poplar 5/8, untuk willow 8/13, dll.

Dilihat dari susunan daun pada batang tumbuhan, terlihat bahwa di antara setiap pasang daun (A dan C) ketiganya terletak di tempat rasio emas (B)

Sifat menarik lainnya dari bilangan Fibonacci adalah bahwa hasil kali dan hasil bagi dua bilangan Fibonacci yang berbeda selain satu tidak pernah merupakan bilangan Fibonacci.

Sebagai hasil dari penelitian, saya sampai pada kesimpulan berikut: Angka Fibonacci adalah deret aritmatika unik yang muncul pada abad ke-13 Masehi. Perkembangan ini tidak kehilangan relevansinya, yang telah dikonfirmasi dalam penelitian saya. Angka Fibonacci juga ditemukan dalam pemrograman dan prakiraan ekonomi, dalam lukisan, arsitektur dan musik. Lukisan-lukisan seniman terkenal seperti Leonardo da Vinci, Michelangelo, Raphael dan Botticelli menyembunyikan keajaiban bagian emas. Bahkan I. I. Shishkin menggunakan rasio emas dalam lukisannya "Pine Grove".

Sulit dipercaya, tetapi rasio emas juga ditemukan dalam karya musik komposer hebat seperti Mozart, Beethoven, Chopin, dll.

Angka Fibonacci juga ditemukan dalam arsitektur. Misalnya, rasio emas digunakan dalam pembangunan Katedral Parthenon dan Notre Dame.

Saya telah menemukan bahwa angka Fibonacci juga digunakan di area kami. Misalnya, platina rumah, atap pelana.

Teks karya ditempatkan tanpa gambar dan rumus.
Versi lengkap dari karya tersebut tersedia di tab "File Pekerjaan" dalam format PDF

pengantar

TUJUAN TERTINGGI MATEMATIKA ADALAH UNTUK MENEMUKAN ORDERAN TERSEMBUNYI DALAM CHAOS YANG MENGELILINGI KITA.

Viner N.

Seseorang berjuang untuk pengetahuan sepanjang hidupnya, mencoba mempelajari dunia di sekitarnya. Dan dalam proses observasi, dia memiliki pertanyaan yang perlu dijawab. Jawaban ditemukan, tetapi pertanyaan baru muncul. Dalam temuan arkeologis, dalam jejak peradaban, jauh satu sama lain dalam ruang dan waktu, ditemukan satu dan elemen yang sama - sebuah pola dalam bentuk spiral. Beberapa menganggapnya sebagai simbol matahari dan mengaitkannya dengan Atlantis yang legendaris, tetapi arti sebenarnya tidak diketahui. Apa kesamaan bentuk galaksi dan siklon atmosfer, susunan daun pada batang dan biji bunga matahari? Pola-pola ini turun ke apa yang disebut spiral "emas", deret Fibonacci yang menakjubkan, yang ditemukan oleh ahli matematika besar Italia abad ke-13.

Sejarah Bilangan Fibonacci

Untuk pertama kalinya tentang apa itu bilangan Fibonacci, saya mendengar dari seorang guru matematika. Tapi, selain itu, bagaimana urutan angka-angka ini terbentuk, saya tidak tahu. Inilah yang sebenarnya terkenal dari urutan ini, bagaimana pengaruhnya terhadap seseorang, dan saya ingin memberi tahu Anda. Sedikit yang diketahui tentang Leonardo Fibonacci. Bahkan tidak ada tanggal pasti kelahirannya. Diketahui bahwa ia lahir pada tahun 1170 di keluarga seorang pedagang, di kota Pisa di Italia. Ayah Fibonacci sering berada di Aljazair untuk urusan bisnis, dan Leonardo belajar matematika di sana dengan guru-guru Arab. Selanjutnya, ia menulis beberapa karya matematika, yang paling terkenal adalah "Buku sempoa", yang berisi hampir semua informasi aritmatika dan aljabar pada waktu itu. 2

Bilangan Fibonacci adalah barisan bilangan dengan sejumlah properti. Fibonacci menemukan urutan numerik ini secara tidak sengaja ketika dia mencoba memecahkan masalah praktis tentang kelinci pada tahun 1202. “Seseorang menempatkan sepasang kelinci di suatu tempat tertentu, yang semua sisinya dibatasi oleh dinding, untuk mengetahui berapa banyak pasangan kelinci yang akan lahir selama setahun, jika sifat kelinci sedemikian rupa sehingga dalam sebulan sepasang kelinci kelinci melahirkan pasangan lain, dan kelinci melahirkan dari bulan kedua setelah kelahirannya. Saat memecahkan masalah, ia memperhitungkan bahwa setiap pasang kelinci melahirkan dua pasang lagi selama hidup mereka, dan kemudian mati. Beginilah urutan angka muncul: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ... Dalam urutan ini, setiap angka berikutnya sama dengan jumlah dua yang sebelumnya. Itu disebut deret Fibonacci. Sifat matematika suatu barisan

Saya ingin menjelajahi urutan ini, dan saya mengidentifikasi beberapa propertinya. Aturan ini sangat penting. Urutan perlahan-lahan mendekati rasio konstan sekitar 1,618, dan rasio angka apa pun ke berikutnya adalah sekitar 0,618.

Seseorang dapat melihat sejumlah sifat aneh dari bilangan Fibonacci: dua bilangan yang berdekatan adalah koprima; setiap angka ketiga adalah genap; setiap lima belas berakhir dengan nol; setiap empat adalah kelipatan tiga. Jika Anda memilih 10 angka tetangga dari deret Fibonacci dan menjumlahkannya, Anda akan selalu mendapatkan angka yang merupakan kelipatan 11. Tapi itu belum semuanya. Setiap jumlah sama dengan angka 11 dikalikan dengan anggota ketujuh dari urutan yang diberikan. Dan inilah fitur menarik lainnya. Untuk setiap n, jumlah n anggota pertama barisan akan selalu sama dengan selisih (n + 2) - dan anggota pertama barisan. Fakta ini dapat diungkapkan dengan rumus: 1+1+2+3+5+…+an=a n+2 - 1. Sekarang kita memiliki trik berikut: mencari jumlah semua suku

urutan antara dua anggota yang diberikan, itu cukup untuk menemukan perbedaan dari anggota (n+2)-x yang sesuai. Misalnya, 26 + ... + a 40 \u003d a 42 - a 27. Sekarang mari kita cari hubungan antara Fibonacci, Pythagoras dan "bagian emas". Bukti paling terkenal dari kejeniusan matematika umat manusia adalah teorema Pythagoras: dalam segitiga siku-siku apa pun, kuadrat sisi miring sama dengan jumlah kuadrat kakinya: c 2 \u003d b 2 + a 2. Dari sudut pandang geometris, kita dapat menganggap semua sisi segitiga siku-siku sebagai sisi tiga kotak yang dibangun di atasnya. Teorema Pythagoras mengatakan bahwa luas total persegi yang dibangun di atas kaki segitiga siku-siku sama dengan luas persegi yang dibangun di atas sisi miring. Jika panjang sisi segitiga siku-siku adalah bilangan bulat, maka mereka membentuk kelompok tiga bilangan yang disebut tripel Pythagoras. Menggunakan deret Fibonacci, Anda dapat menemukan tiga kali lipat seperti itu. Ambil empat bilangan berurutan dari barisan, misalnya, 2, 3, 5 dan 8, dan buat tiga bilangan lagi sebagai berikut: 1) perkalian dua bilangan ekstrem: 2*8=16; 2) perkalian ganda dari dua angka di tengah: 2* (3 * 5) \u003d 30; 3) jumlah kuadrat dari dua angka rata-rata: 3 2 +5 2 \u003d 34; 34 2 =30 2 +16 2 . Metode ini bekerja untuk empat angka Fibonacci berurutan. Bisa ditebak, tiga angka berurutan dari deret Fibonacci berperilaku dengan cara yang bisa diprediksi. Jika Anda mengalikan dua ekstremnya dan membandingkan hasilnya dengan kuadrat dari jumlah rata-rata, maka hasilnya akan selalu berbeda satu. Misalnya, untuk nomor 5, 8, dan 13 kita mendapatkan: 5*13=8 2 +1. Jika kita mempertimbangkan properti ini dari sudut pandang geometri, kita dapat melihat sesuatu yang aneh. Bagilah persegi

ukuran 8x8 (total 64 kotak kecil) menjadi empat bagian, yang panjang sisinya sama dengan angka Fibonacci. Sekarang dari bagian ini kita akan membangun sebuah persegi panjang berukuran 5x13. Luasnya adalah 65 kotak kecil. Dari mana kotak ekstra itu berasal? Masalahnya adalah bahwa persegi panjang yang sempurna tidak terbentuk, tetapi celah kecil tetap ada, yang secara total memberikan satuan luas tambahan ini. Segitiga Pascal juga memiliki hubungan dengan deret Fibonacci. Anda hanya perlu menulis garis segitiga Pascal satu di bawah yang lain, dan kemudian menambahkan elemen secara diagonal. Dapatkan deret Fibonacci.

Sekarang perhatikan persegi panjang "emas", satu sisinya 1,618 kali lebih panjang dari yang lain. Sepintas, mungkin tampak seperti persegi panjang biasa bagi kita. Namun, mari kita lakukan eksperimen sederhana dengan dua kartu bank biasa. Mari kita letakkan salah satunya secara horizontal dan yang lainnya secara vertikal sehingga sisi bawahnya berada pada garis yang sama. Jika kita menggambar garis diagonal di peta horizontal dan memperpanjangnya, kita akan melihat bahwa garis itu akan melewati sudut kanan atas peta vertikal - kejutan yang menyenangkan. Mungkin ini kebetulan, atau mungkin persegi panjang dan bentuk geometris lainnya yang menggunakan "rasio emas" sangat menyenangkan mata. Apakah Leonardo da Vinci memikirkan rasio emas saat mengerjakan mahakaryanya? Ini sepertinya tidak mungkin. Namun, dapat dikatakan bahwa ia sangat mementingkan hubungan antara estetika dan matematika.

Angka Fibonacci di alam

Hubungan bagian emas dengan kecantikan bukan hanya masalah persepsi manusia. Tampaknya alam sendiri telah mengalokasikan peran khusus untuk F. Jika kotak secara berurutan dimasukkan ke dalam persegi panjang "emas", maka sebuah busur digambar di setiap kotak, maka diperoleh kurva yang elegan, yang disebut spiral logaritmik. Ini sama sekali bukan keingintahuan matematis. 5

Sebaliknya, garis indah ini sering ditemukan di dunia fisik: dari cangkang nautilus hingga lengan galaksi, dan dalam spiral elegan kelopak mawar yang mekar. Hubungan antara rasio emas dan angka Fibonacci sangat banyak dan tidak terduga. Pertimbangkan bunga yang terlihat sangat berbeda dari mawar - bunga matahari dengan biji. Hal pertama yang kita lihat adalah benih tersusun dalam dua jenis spiral: searah jarum jam dan berlawanan arah jarum jam. Jika kita menghitung spiral searah jarum jam, kita mendapatkan dua angka yang tampaknya biasa: 21 dan 34. Ini bukan satu-satunya contoh ketika Anda dapat menemukan angka Fibonacci dalam struktur tumbuhan.

Alam memberi kita banyak contoh susunan objek homogen yang dijelaskan oleh bilangan Fibonacci. Dalam berbagai susunan spiral bagian tanaman kecil, dua keluarga spiral biasanya dapat dilihat. Di salah satu keluarga ini, spiral melengkung searah jarum jam, dan yang lain - berlawanan arah jarum jam. Angka spiral dari satu jenis dan lainnya sering berubah menjadi angka Fibonacci yang berdekatan. Jadi, dengan mengambil ranting pinus muda, mudah untuk melihat bahwa jarum membentuk dua spiral, dari kiri bawah ke kanan atas. Pada banyak kerucut, bijinya tersusun dalam tiga spiral, dengan lembut berkelok-kelok di sekitar batang kerucut. Mereka diatur dalam lima spiral, berkelok-kelok tajam ke arah yang berlawanan. Dalam kerucut besar, dimungkinkan untuk mengamati 5 dan 8, dan bahkan 8 dan 13 spiral. Spiral Fibonacci juga terlihat jelas pada nanas: biasanya ada 8 dan 13 di antaranya.

Tunas chicory membuat lontaran yang kuat ke luar angkasa, berhenti, melepaskan daun, tetapi sudah lebih pendek dari yang pertama, sekali lagi membuat lontaran ke luar angkasa, tetapi dengan kekuatan yang lebih rendah, melepaskan daun yang lebih kecil dan lontaran lagi. Impuls pertumbuhannya secara bertahap menurun sebanding dengan bagian "emas". Untuk menghargai peran besar angka Fibonacci, lihat saja keindahan alam di sekitar kita. Angka Fibonacci dapat ditemukan dalam jumlah

cabang pada batang setiap tanaman yang tumbuh dan jumlah kelopak.

Mari kita hitung kelopak beberapa bunga - iris dengan 3 kelopaknya, primrose dengan 5 kelopak, ragweed dengan 13 kelopak, daisy dengan 34 kelopak, aster dengan 55 kelopak, dan seterusnya. Apakah ini kebetulan, atau hukum alam? Lihatlah batang dan bunga yarrow. Dengan demikian, deret Fibonacci total dapat dengan mudah menafsirkan pola manifestasi dari angka "Emas" yang ditemukan di alam. Hukum-hukum ini bekerja terlepas dari kesadaran kita dan keinginan untuk menerimanya atau tidak. Pola simetri "emas" dimanifestasikan dalam transisi energi partikel elementer, dalam struktur beberapa senyawa kimia, dalam sistem planet dan ruang angkasa, dalam struktur gen organisme hidup, dalam struktur organ individu manusia dan tubuh sebagai keseluruhan, dan juga memanifestasikan diri dalam bioritme dan fungsi otak dan persepsi visual.

Angka Fibonacci dalam arsitektur

Rasio Emas juga memanifestasikan dirinya dalam banyak kreasi arsitektur yang luar biasa sepanjang sejarah umat manusia. Ternyata bahkan matematikawan Yunani dan Mesir kuno mengetahui koefisien ini jauh sebelum Fibonacci dan menyebutnya "bagian emas". Prinsip "bagian emas" digunakan oleh orang Yunani dalam pembangunan Parthenon, orang Mesir - Piramida Agung Giza. Kemajuan dalam teknologi bangunan dan pengembangan material baru membuka kemungkinan baru bagi arsitek abad ke-20. Orang Amerika Frank Lloyd Wright adalah salah satu pendukung utama arsitektur organik. Sesaat sebelum kematiannya, ia merancang Museum Solomon Guggenheim di New York, yang merupakan spiral terbalik, dan bagian dalam museum menyerupai cangkang nautilus. Arsitek Polandia-Israel Zvi Hecker juga menggunakan struktur spiral dalam desain Sekolah Heinz Galinski di Berlin, selesai pada tahun 1995. Hecker memulai dengan ide bunga matahari dengan lingkaran tengah, dari mana

semua elemen arsitektur berbeda. Bangunannya adalah kombinasi

spiral ortogonal dan konsentris, melambangkan interaksi pengetahuan manusia yang terbatas dan kekacauan alam yang terkendali. Arsitekturnya meniru tanaman yang mengikuti pergerakan matahari, sehingga ruang kelas menyala sepanjang hari.

Di Taman Quincy, yang terletak di Cambridge, Massachusetts (AS), spiral "emas" sering ditemukan. Taman ini dirancang pada tahun 1997 oleh seniman David Phillips dan terletak di dekat Clay Mathematical Institute. Lembaga ini merupakan pusat penelitian matematika yang terkenal. Di Taman Quincy, Anda dapat berjalan di antara spiral "emas" dan lekukan logam, relief dua cangkang, dan batu dengan simbol akar kuadrat. Di piring tertulis informasi tentang proporsi "emas". Bahkan parkir sepeda menggunakan simbol F.

Angka Fibonacci dalam psikologi

Dalam psikologi, terdapat titik balik, krisis, pergolakan yang menandai transformasi struktur dan fungsi jiwa dalam perjalanan hidup seseorang. Jika seseorang telah berhasil mengatasi krisis ini, maka ia menjadi mampu memecahkan masalah kelas baru, yang bahkan tidak pernah ia pikirkan sebelumnya.

Adanya perubahan mendasar memberikan alasan untuk mempertimbangkan waktu hidup sebagai faktor penentu dalam pengembangan kualitas spiritual. Bagaimanapun, alam mengukur waktu bagi kita tidak dengan murah hati, "tidak peduli berapa banyak, akan begitu banyak," tetapi cukup sehingga proses pembangunan terwujud:

dalam struktur tubuh;

dalam perasaan, pemikiran dan psikomotor - sampai mereka memperoleh harmoni diperlukan untuk kemunculan dan peluncuran mekanisme

kreativitas;

dalam struktur potensi energi manusia.

Perkembangan tubuh tidak dapat dihentikan: anak menjadi dewasa. Dengan mekanisme kreativitas, semuanya tidak sesederhana itu. Perkembangannya dapat dihentikan dan arahnya berubah.

Apakah ada kesempatan untuk mengejar waktu? Niscaya. Tetapi untuk ini, Anda perlu melakukan banyak pekerjaan pada diri sendiri. Apa yang berkembang dengan bebas, tentu saja, tidak memerlukan upaya khusus: anak berkembang dengan bebas dan tidak memperhatikan pekerjaan besar ini, karena proses perkembangan bebas diciptakan tanpa kekerasan terhadap dirinya sendiri.

Bagaimana makna jalan kehidupan dipahami dalam kesadaran sehari-hari? Penghuni melihatnya seperti ini: di kaki - kelahiran, di atas - puncak kehidupan, dan kemudian - semuanya menurun.

Orang bijak akan berkata: semuanya jauh lebih rumit. Dia membagi pendakian menjadi beberapa tahap: masa kanak-kanak, remaja, remaja ... Mengapa begitu? Hanya sedikit orang yang dapat menjawab, meskipun semua orang yakin bahwa ini adalah tahap kehidupan yang tertutup dan integral.

Untuk mengetahui bagaimana mekanisme kreativitas berkembang, V.V. Klimenko menggunakan matematika, yaitu hukum bilangan Fibonacci dan proporsi "bagian emas" - hukum alam dan kehidupan manusia.

Angka Fibonacci membagi hidup kita menjadi beberapa tahap sesuai dengan jumlah tahun hidup: 0 - awal hitung mundur - anak lahir. Dia masih kurang tidak hanya keterampilan psikomotorik, berpikir, perasaan, imajinasi, tetapi juga potensi energi operasional. Dia adalah awal dari kehidupan baru, harmoni baru;

1 - anak telah menguasai berjalan dan menguasai lingkungan terdekat;

2 - memahami ucapan dan tindakan menggunakan instruksi verbal;

3 - bertindak melalui kata, mengajukan pertanyaan;

5 - "zaman rahmat" - harmoni psikomotorik, ingatan, imajinasi, dan perasaan, yang sudah memungkinkan anak untuk merangkul dunia dengan segala integritasnya;

8 - perasaan muncul ke permukaan. Mereka dilayani oleh imajinasi, dan pemikiran, oleh kekuatan kekritisannya, ditujukan untuk mendukung harmoni kehidupan internal dan eksternal;

13 - mekanisme bakat mulai bekerja, yang bertujuan untuk mengubah materi yang diperoleh dalam proses pewarisan, mengembangkan bakatnya sendiri;

21 - mekanisme kreativitas telah mendekati keadaan harmoni dan upaya sedang dilakukan untuk melakukan pekerjaan yang berbakat;

34 - harmoni pemikiran, perasaan, imajinasi, dan keterampilan psikomotorik: kemampuan untuk bekerja brilian lahir;

55 - pada usia ini, dengan menjaga keharmonisan jiwa dan tubuh, seseorang siap menjadi pencipta. Dll…

Apa itu serif Fibonacci? Mereka dapat dibandingkan dengan bendungan di jalan kehidupan. Bendungan ini menunggu kita masing-masing. Pertama-tama, perlu untuk mengatasinya masing-masing, dan kemudian dengan sabar meningkatkan tingkat perkembangan Anda, sampai suatu hari itu berantakan, membuka jalan ke aliran bebas berikutnya.

Sekarang setelah kita memahami arti dari titik-titik nodal perkembangan usia ini, mari kita coba menguraikan bagaimana semua itu terjadi.

Pada 1 tahun anak belajar berjalan. Sebelum itu, dia tahu dunia dengan bagian depan kepalanya. Sekarang dia tahu dunia dengan tangannya - hak istimewa eksklusif manusia. Hewan itu bergerak di luar angkasa, dan dia, dengan sadar, menguasai ruang dan menguasai wilayah tempat dia tinggal.

2 tahun memahami kata dan bertindak sesuai dengannya. Ini berarti bahwa:

anak belajar jumlah minimum kata - makna dan pola tindakan;

namun tidak memisahkan diri dari lingkungan dan menyatu menjadi satu kesatuan dengan lingkungan,

Oleh karena itu, ia bertindak atas instruksi orang lain. Pada usia ini, dia adalah yang paling patuh dan menyenangkan bagi orang tua. Dari manusia yang berakal, anak itu berubah menjadi manusia yang berpengetahuan.

3 tahun- tindakan dengan bantuan kata-kata sendiri. Pemisahan orang ini dari lingkungan telah terjadi - dan dia belajar menjadi orang yang bertindak mandiri. Oleh karena itu dia:

secara sadar menentang lingkungan dan orang tua, guru TK, dll .;

sadar akan kedaulatannya dan berjuang untuk kemerdekaan;

mencoba untuk menundukkan orang-orang yang dekat dan terkenal dengan kehendaknya.

Sekarang bagi seorang anak, sebuah kata adalah sebuah tindakan. Di sinilah orang yang bertindak dimulai.

5 tahun- Zaman Kasih Karunia. Dia adalah personifikasi harmoni. Permainan, tarian, gerakan tangkas - semuanya dipenuhi dengan harmoni, yang coba dikuasai seseorang dengan kekuatannya sendiri. Psikomotor yang harmonis berkontribusi untuk membawa ke keadaan baru. Oleh karena itu, anak diarahkan pada aktivitas psikomotorik dan mengupayakan tindakan yang paling aktif.

Perwujudan produk karya kepekaan dilakukan melalui:

kemampuan untuk menampilkan lingkungan dan diri kita sendiri sebagai bagian dari dunia ini (kita mendengar, melihat, menyentuh, mencium, dll. - semua organ indera bekerja untuk proses ini);

kemampuan untuk merancang dunia luar, termasuk diri Anda sendiri

(penciptaan sifat kedua, hipotesis - untuk melakukan keduanya besok, membangun mesin baru, memecahkan masalah), dengan kekuatan pemikiran kritis, perasaan dan imajinasi;

kemampuan untuk menciptakan sifat kedua, buatan manusia, produk aktivitas (implementasi rencana, tindakan mental atau psikomotorik tertentu dengan objek dan proses tertentu).

Setelah 5 tahun, mekanisme imajinasi muncul dan mulai mendominasi sisanya. Anak itu melakukan pekerjaan besar, menciptakan gambar-gambar fantastis, dan hidup di dunia dongeng dan mitos. Hipertrofi imajinasi anak menyebabkan kejutan pada orang dewasa, karena imajinasi tidak sesuai dengan kenyataan dengan cara apa pun.

8 tahun- perasaan muncul ke depan dan pengukuran perasaan mereka sendiri (kognitif, moral, estetika) muncul ketika anak dengan jelas:

mengevaluasi yang diketahui dan yang tidak diketahui;

membedakan yang bermoral dari yang tidak bermoral, yang bermoral dari yang tidak bermoral;

keindahan dari apa yang mengancam kehidupan, harmoni dari kekacauan.

13 tahun- mekanisme kreativitas mulai bekerja. Tapi itu tidak berarti itu bekerja dengan kapasitas penuh. Salah satu elemen mekanisme muncul ke depan, dan yang lainnya berkontribusi pada pekerjaannya. Jika bahkan dalam periode usia ini keharmonisan perkembangan dipertahankan, yang hampir sepanjang waktu membangun kembali strukturnya, maka anak itu akan tanpa rasa sakit sampai ke bendungan berikutnya, mengatasinya tanpa terasa dan akan hidup pada usia seorang revolusioner. Di usia seorang revolusioner, pemuda harus mengambil langkah maju baru: memisahkan diri dari masyarakat terdekat dan menjalani kehidupan dan aktivitas yang harmonis di dalamnya. Tidak semua orang dapat memecahkan masalah yang muncul di hadapan kita masing-masing.

21 tahun Jika seorang revolusioner telah berhasil mengatasi puncak kehidupan yang harmonis pertama, maka mekanisme bakatnya mampu memenuhi bakat

kerja. Perasaan (kognitif, moral, atau estetika) terkadang membayangi pemikiran, tetapi secara umum, semua elemen bekerja dalam harmoni: perasaan terbuka untuk dunia, dan pemikiran logis mampu menyebutkan dan menemukan ukuran sesuatu dari puncak ini.

Mekanisme kreativitas, yang berkembang secara normal, mencapai keadaan yang memungkinkannya menerima buah-buah tertentu. Dia mulai bekerja. Pada usia ini, mekanisme perasaan muncul. Ketika imajinasi dan produknya dievaluasi oleh perasaan dan pemikiran, antagonisme muncul di antara mereka. Perasaan menang. Kemampuan ini secara bertahap mendapatkan kekuatan, dan anak itu mulai menggunakannya.

34 tahun- keseimbangan dan harmoni, efektivitas produktif bakat. Harmoni pemikiran, perasaan dan imajinasi, keterampilan psikomotor, yang diisi ulang dengan potensi energi yang optimal, dan mekanisme secara keseluruhan - peluang lahir untuk melakukan pekerjaan yang cemerlang.

55 tahun- seseorang bisa menjadi pencipta. Puncak kehidupan yang harmonis ketiga: pemikiran menaklukkan kekuatan perasaan.

Angka Fibonacci menyebutkan tahapan perkembangan manusia. Apakah seseorang melewati jalan ini tanpa henti tergantung pada orang tua dan guru, sistem pendidikan, dan kemudian pada dirinya sendiri dan pada bagaimana seseorang akan belajar dan mengatasi dirinya sendiri.

Di jalan kehidupan, seseorang menemukan 7 objek hubungan:

Dari ulang tahun hingga 2 tahun - penemuan dunia fisik dan objektif dari lingkungan terdekat.

Dari 2 hingga 3 tahun - penemuan diri sendiri: "Aku adalah diriku sendiri."

Dari 3 hingga 5 tahun - pidato, dunia kata-kata yang efektif, harmoni, dan sistem "Aku - Kamu".

Dari 5 hingga 8 tahun - penemuan dunia pikiran, perasaan, dan gambar orang lain - sistem "Aku - Kami".

Dari 8 hingga 13 tahun - penemuan dunia tugas dan masalah yang diselesaikan oleh para genius dan bakat umat manusia - sistem "I - Spiritualitas".

Dari 13 hingga 21 tahun - penemuan kemampuan untuk secara mandiri menyelesaikan tugas-tugas terkenal, ketika pikiran, perasaan, dan imajinasi mulai bekerja secara aktif, sistem "I - Noosphere" muncul.

Dari 21 hingga 34 tahun - penemuan kemampuan untuk menciptakan dunia baru atau fragmennya - realisasi konsep diri "Akulah Sang Pencipta".

Jalur kehidupan memiliki struktur ruang-waktu. Ini terdiri dari usia dan fase individu, ditentukan oleh banyak parameter kehidupan. Seseorang menguasai sampai batas tertentu keadaan hidupnya, menjadi pencipta sejarahnya dan pencipta sejarah masyarakat. Namun, sikap hidup yang benar-benar kreatif tidak muncul dengan segera dan bahkan tidak pada setiap orang. Ada hubungan genetik antara fase-fase jalur kehidupan, dan ini menentukan karakter alaminya. Oleh karena itu, pada prinsipnya, adalah mungkin untuk memprediksi perkembangan masa depan berdasarkan pengetahuan tentang fase-fase awalnya.

Angka Fibonacci dalam astronomi

Dari sejarah astronomi diketahui bahwa I. Titius, seorang astronom Jerman abad ke-18, dengan menggunakan deret Fibonacci, menemukan keteraturan dan keteraturan dalam jarak antar planet di tata surya. Tapi satu kasus tampaknya bertentangan dengan hukum: tidak ada planet antara Mars dan Jupiter. Tetapi setelah kematian Titius pada awal abad XIX. pengamatan terkonsentrasi dari bagian langit ini mengarah pada penemuan sabuk asteroid.

Kesimpulan

Dalam proses penelitian, saya menemukan bahwa angka Fibonacci banyak digunakan dalam analisis teknis harga saham. Salah satu cara paling sederhana untuk menggunakan angka Fibonacci dalam praktik adalah dengan menentukan lamanya waktu setelah suatu peristiwa akan terjadi, misalnya, perubahan harga. Analis menghitung sejumlah hari atau minggu Fibonacci (13,21,34,55, dll.) dari peristiwa serupa sebelumnya dan membuat perkiraan. Tapi ini terlalu sulit bagiku untuk menebaknya. Meskipun Fibonacci adalah matematikawan terbesar Abad Pertengahan, satu-satunya monumen untuk Fibonacci adalah patung di depan Menara Miring Pisa dan dua jalan yang menyandang namanya, satu di Pisa dan yang lainnya di Florence. Namun, sehubungan dengan semua yang telah saya lihat dan baca, pertanyaan yang cukup wajar muncul. Dari mana angka-angka ini berasal? Siapakah arsitek alam semesta ini yang berusaha menyempurnakannya? Apa berikutnya? Menemukan jawaban untuk satu pertanyaan, Anda mendapatkan yang berikutnya. Jika Anda menyelesaikannya, Anda mendapatkan dua yang baru. Berurusan dengan mereka, tiga lagi akan muncul. Setelah menyelesaikannya, Anda akan memperoleh lima yang belum terselesaikan. Kemudian delapan, tiga belas, dan seterusnya. Jangan lupa bahwa ada lima jari di dua tangan, dua di antaranya terdiri dari dua falang, dan delapan di antaranya terdiri dari tiga.

Literatur:

Voloshinov A.V. "Matematika dan Seni", M., Pencerahan, 1992

Vorobyov N.N. "Angka Fibonacci", M., Nauka, 1984

Stakhov A.P. "Kode Da Vinci dan Deret Fibonacci", Peter Format, 2006

F. Corvalan “Rasio Emas. Bahasa matematika keindahan”, M., De Agostini, 2014

Maksimenko S.D. "Periode kehidupan yang sensitif dan kodenya".

"Angka Fibonacci". Wikipedia