Salah satu alat yang ampuh untuk mempelajari masalah fisika matematika adalah metode transformasi integral. Biarkan fungsi f(x) didefinisikan pada interval (a, 6), hingga atau tak terbatas. Transformasi integral dari fungsi f(x) adalah fungsi di mana K(x, w) adalah fungsi yang tetap untuk transformasi tertentu, yang disebut kernel transformasi (diasumsikan bahwa integral (*) ada dalam arti yang tepat atau tidak tepat ). §satu. Integral Fourier Setiap fungsi f(x), yang pada segmen [-f, I] memenuhi kondisi ekspansi ke deret Fourier, dapat direpresentasikan pada segmen ini dengan deret trigonometri Koefisien a*, dan deret 6n (1 ) ditentukan dengan rumus Euler-Fourier : Transformasi Fourier Integral Fourier Bentuk integral kompleks Transformasi Fourier Transformasi kosinus dan sinus Amplitudo dan spektrum fasa Sifat aplikasi Deret di ruas kanan persamaan (1) dapat ditulis dalam bentuk yang berbeda. Untuk tujuan ini, kami memperkenalkan ke dalamnya dari rumus (2) nilai koefisien a» dan op, kurangi di bawah tanda integral cos ^ x dan sin x (yang mungkin, karena variabel integrasi adalah m) O) dan gunakan rumus untuk kosinus selisihnya. Kami akan memiliki Jika fungsi /(x) awalnya didefinisikan pada interval sumbu numerik lebih besar dari interval [-1,1] (misalnya, pada seluruh sumbu), maka ekspansi (3) akan mereproduksi nilai ​dari fungsi ini hanya pada interval [-1, 1] dan berlanjut pada seluruh sumbu real sebagai fungsi periodik dengan periode 21 (Gbr. 1). Oleh karena itu, jika fungsi f(x) (secara umum, non-periodik) didefinisikan pada seluruh sumbu real, dalam rumus (3) seseorang dapat mencoba melewati batas sebagai I + oo. Dalam hal ini, wajar jika kondisi berikut dipenuhi: 1. f(x) memenuhi kondisi ekspansi ke deret Fourier pada sembarang segmen hingga sumbu Ox 2. fungsi f(x) mutlak integral pada seluruh sumbu real Jika kondisi 2 terpenuhi, suku pertama di ruas kanan persamaan (3) cenderung nol karena I -* + oo. Sesungguhnya, Mari kita coba menentukan berapa jumlah di ruas kanan (3) akan menuju ke dalam limit sebagai I + oo. Mari kita asumsikan bahwa Maka jumlah di ruas kanan (3) akan berbentuk Karena konvergensi mutlak integral, jumlah untuk I besar ini sedikit berbeda dari ekspresi yang menyerupai jumlah integral untuk fungsi dari variabel £ dikompilasi untuk interval (0, + oo) perubahan Oleh karena itu, wajar untuk mengharapkan bahwa untuk , jumlah (5) beralih ke integral Di sisi lain, untuk tetap) mengikuti dari rumus (3 ) bahwa kita juga memperoleh persamaan Kondisi cukup untuk validitas rumus (7) dinyatakan oleh teorema berikut. Teorema 1. Jika fungsi f(x) integral mutlak pada seluruh sumbu real dan, bersama-sama dengan turunannya, memiliki sejumlah titik diskontinuitas berhingga jenis pertama pada sembarang segmen [a, 6], maka dari jenis ke- dari fungsi /(x), nilai integral ruas kanan (7) sama dengan Rumus (7) disebut rumus integral Fourier, dan integral ruas kanannya disebut integral Fourier. Jika kita menggunakan rumus untuk hari cosinus selisih, maka rumus (7) dapat ditulis sebagai Fungsi a(t), b(t) adalah analog dari koefisien Fourier yang bersesuaian an dan bn dari 2n-periodik fungsi, tetapi yang terakhir didefinisikan untuk nilai diskrit n, sedangkan a(0 > H2O didefinisikan untuk nilai kontinu G(-oo, +oo).Bentuk kompleks integral Fourier , jelas merupakan fungsi ganjil dari Tapi kemudian Di sisi lain, integral adalah fungsi genap dari variabel sehingga Oleh karena itu, rumus integral Fourier dapat ditulis sebagai berikut: Mari kita kalikan persamaan dengan unit imajiner i dan menambahkan persamaan (10). Ini adalah bentuk kompleks dari integral Fourier. Di sini, integrasi luar atas t dipahami dalam arti nilai pokok Cauchy: 2. Transformasi Fourier Cosinus dan sinus Transformasi Fourier Biarkan fungsi Garis f(x) mulus sedikit demi sedikit pada setiap segmen berhingga dari sumbu x dan benar-benar terintegrasi pada seluruh sumbu. Definisi. Fungsi di mana, berdasarkan rumus Euler, kita akan memiliki disebut Transformasi Fourier dari fungsi f(r) (fungsi spektral). Ini adalah transformasi integral dari fungsi / (r) pada interval (-oo, + oo) dengan kernel Menggunakan rumus integral Fourier, kita mendapatkan Ini disebut transformasi Fourier terbalik, yang memberikan transisi dari F (t) sampai / (x). Kadang-kadang transformasi Fourier langsung diberikan sebagai berikut: Kemudian invers Transformasi Fourier ditentukan dengan rumus Transformasi Fourier dari fungsi f(x) juga didefinisikan sebagai berikut: TRANSFORMASI FOURIER Integral Fourier Bentuk kompleks dari integral Transformasi Fourier Cosinus dan sinus dari transformasi Amplitudo dan spektrum fase Sifat aplikasi Kemudian, pada gilirannya, Dalam hal ini, posisi faktor ^ agak arbitrer: ia dapat memasukkan rumus (1") atau rumus (2"). Contoh 1. Temukan Transformasi Fourier dari fungsi -4 Kami memiliki Persamaan ini mengakui diferensiasi sehubungan dengan £ di bawah tanda integral (integral yang diperoleh setelah diferensiasi konvergen secara seragam ketika ( milik setiap segmen hingga): Mengintegrasikan dengan bagian, kita akan memiliki kita dapatkan dari mana (C adalah konstanta integrasi). Menetapkan £ = 0 dalam (4), kita menemukan = F(0). Berdasarkan (3) kita memiliki Diketahui bahwa Secara khusus, untuk) kita memperoleh itu Mari kita perhatikan fungsi 4. Untuk spektrum oyu dari fungsi F(t), kita peroleh Oleh karena itu (Gbr. 2). Kondisi integral mutlak dari fungsi f(x) pada seluruh sumbu real sangat ketat. Ini mengecualikan, misalnya, fungsi dasar seperti f(x) = e1, di mana transformasi Fourier (dalam bentuk klasik yang dipertimbangkan di sini) tidak ada. Hanya fungsi-fungsi tersebut yang memiliki transformasi Fourier yang cenderung ke nol cukup cepat untuk |x| -+ +oo (seperti pada contoh 1 dan 2). 2.1. Cosinus dan sinus Transformasi Fourier Dengan menggunakan rumus kosinus, selisihnya, kita menulis ulang rumus integral Fourier dalam bentuk berikut: Biarkan f(x) menjadi fungsi genap. Kemudian, sehingga dari persamaan (5) kita memiliki Dalam kasus f(x) ganjil, kita memperoleh persamaan serupa Jika f(x) diberikan hanya pada (0, -foo), maka rumus (6) meluas f(x) ke seluruh sumbu Ox secara genap, dan rumus (7) - ganjil. (7) Definisi. Fungsi tersebut disebut transformasi Fourier kosinus dari fungsi f(x). Dari (6) berikut untuk fungsi genap f(x) Ini berarti bahwa f(x), pada gilirannya, adalah transformasi kosinus untuk Fc(t). Dengan kata lain, fungsi / dan Fc merupakan transformasi cosinus mutual. Definisi. Fungsi tersebut disebut transformasi Fourier sinus dari fungsi f(x). Dari (7) kita peroleh bahwa untuk fungsi ganjil f(x), yaitu, f dan Fs adalah transformasi sinus mutual. Contoh 3 (pulsa sudut kanan). Misalkan f(t) adalah fungsi genap yang didefinisikan sebagai berikut: (Gbr. 3). Mari kita gunakan hasil yang diperoleh untuk menghitung integral Berdasarkan rumus (9), kita memiliki Gambar.3 0 0 Pada titik t = 0, fungsi f(t) kontinu dan sama dengan satu. Oleh karena itu, dari (12") diperoleh 2.2. Amplitudo dan spektrum fase integral Fourier Misalkan f(x) adalah fungsi periodik dengan periode 2m dan diperluas menjadi deret Fourier. Persamaan ini dapat ditulis ketika kita sampai pada konsep amplitudo dan spektrum fasa dari fungsi periodik Untuk fungsi non-periodik f(x) diberikan pada (-oo, +oo), dalam kondisi tertentu, ternyata dimungkinkan untuk mewakilinya dengan integral Fourier, yang memperluas fungsi ini pada semua frekuensi (perluasan dalam spektrum frekuensi kontinu Definisi Fungsi spektral, atau kerapatan spektral integral Fourier, adalah ekspresi (transformasi Fourier langsung dari fungsi f disebut spektrum amplitudo, dan fungsi " ) = -argSfc) - spektrum fase fungsi / ("). Spektrum amplitudo A(t) berfungsi sebagai ukuran kontribusi frekuensi t ke fungsi f(x). Contoh 4. Temukan amplitudo dan spektrum fasa dari fungsi 4 Temukan fungsi spektral Dari sini Grafik fungsi-fungsi ini ditunjukkan pada gambar. 4. 3. Sifat Transformasi Fourier 1. Linieritas. Jika dan G(0 adalah Transformasi Fourier dari fungsi f(x) dan q(x), masing-masing, maka untuk sembarang konstanta a dan p, Transformasi Fourier dari fungsi a f(x) + p g(x) akan menjadi fungsi a Dengan menggunakan sifat linieritas integral, kita peroleh Jadi, Transformasi Fourier adalah operator linier.Dengan menyatakannya dengan kita akan menulis.Jika F(t) adalah Transformasi Fourier dari suatu fungsi f(x) benar-benar dapat diintegralkan pada seluruh real sumbu, maka F(t) terbatas untuk semua. Biarkan fungsi f(x) menjadi integral mutlak pada seluruh sumbu - Transformasi Fourier dari fungsi f (x). Kemudian 3 "flts J. Biarkan f (x) menjadi sebuah fungsi, toleransinya adalah Transformasi Fourier, L adalah jumlah properti Fungsi fh (x) \u003d f (z-h) disebut pergeseran fundium f(x).Menggunakan definisi transformasi Fourier , tunjukkan Soal tersebut.Misalkan suatu fungsi f(z) memiliki Transformasi Fourier F(0> h adalah bilangan real.Tunjukkan bahwa 3. Transformasi Fourier dan oeresis.Biarkan fungsi yang benar-benar integral f (x) memiliki turunan f " (x), yang juga integral mutlak pada seluruh sumbu Oh, jadi /(n) cenderung nol sebagai |x| -» +oo. Dengan asumsi f "(x) menjadi fungsi mulus, kita tulis Integrasikan dengan bagian, kita memiliki istilah di luar integral lenyap (sejak, dan kita dapatkan Jadi, diferensiasi fungsi / (x) sesuai dengan perkalian Fourier-nya gambar ^ P /] dengan faktornya Jika fungsi f (x) memiliki turunan mulus yang benar-benar tidak dapat diubah hingga orde m inklusif, dan semuanya, seperti fungsi f(x) itu sendiri, cenderung nol, dan kemudian, diintegralkan oleh bagian beberapa kali yang diperlukan, kita memperoleh Transformasi Fourier sangat berguna justru karena menggantikan operasi diferensiasi dengan operasi perkalian dengan nilai dan dengan demikian menyederhanakan masalah pengintegrasian beberapa jenis persamaan diferensial. fungsi integral f^k\x) adalah fungsi terbatas dari (sifat 2), dari relasi (2) diperoleh taksiran berikut untuk : Transformasi Fourier Integral Fourier Bentuk integral kompleks Transformasi Fourier Transformasi kosinus dan sinus Transformasi amplitudo dan spektrum fasa Sifat aplikasi Dari evaluasi ini dengan berikut: semakin banyak fungsi f(x) memiliki turunan yang benar-benar dapat diintegralkan, semakin cepat transformasi Fouriernya cenderung ke nol. Komentar. Kondisinya cukup alami, karena teori integral Fourier biasa berkaitan dengan proses yang, dalam satu atau lain hal, memiliki awal dan akhir, tetapi tidak berlanjut tanpa batas dengan intensitas yang kira-kira sama. 4. Hubungan antara laju peluruhan fungsi f(x) untuk |z| -» -f oo dan kelancaran transformasi Fourm-nya. Mari kita asumsikan bahwa tidak hanya /(x), tetapi juga produknya xf(x) adalah fungsi yang benar-benar dapat diintegrasikan pada seluruh sumbu x. Maka transformasi Fourier) akan menjadi fungsi yang dapat diturunkan. Memang, diferensiasi formal terhadap parameter dari integran mengarah ke integral yang konvergen secara mutlak dan seragam terhadap parameter. . Jika, bersama-sama dengan fungsi f(x), fungsi-fungsi tersebut benar-benar integral pada seluruh sumbu Ox, maka proses diferensiasi dapat dilanjutkan. Kami memperoleh bahwa fungsi memiliki turunan hingga orde m inklusif, dan Jadi, semakin cepat fungsi f(x) berkurang, semakin halus fungsi tersebut Teorema 2 (tentang latihan). Membiarkan transformasi Fourier dari fungsi /,(x), dan f2(x), masing-masing. Kemudian integral rangkap dua di ruas kanan konvergen secara mutlak. Mari kita menempatkan x. Kemudian kita akan memiliki atau, mengubah urutan integrasi, Fungsi disebut konvolusi fungsi dan dilambangkan dengan simbol Rumus (1) sekarang dapat ditulis sebagai berikut: Dari sini dapat dilihat bahwa Transformasi Fourier dari konvolusi dari fungsi f\(x) dan f2(x) sama dengan dikalikan dengan y/2x produk dari transformasi Fourier dari fungsi lipat, Catatan. Sangat mudah untuk menetapkan sifat-sifat konvolusi berikut: 1) linieritas: 2) komutatifitas: 4. Penerapan Transformasi Fourier 1. Misalkan (^) adalah operator diferensial linier orde m dengan koefisien konstan y(x) memiliki transformasi Fourier y (O. dan fungsi f(x) memiliki transformasi /(t) Menerapkan Transformasi Fourier ke persamaan (1), kita memperoleh alih-alih persamaan aljabar diferensial pada sumbu sehubungan dengan mana sehingga secara formal di mana simbol menunjukkan invers Transformasi Fourier Batasan utama penerapan metode ini terhubung dengan berikut ini fakta: Solusi persamaan diferensial biasa dengan koefisien konstan mengandung fungsi bentuk< х < 4-оо, и преобразование Фурье для них не определено, так что, строго говоря, применятьданный метод нельзя. Это ограничение можно обойти, если ввести в рассмотрение так называемые обобщенные функции. Однако в ряде случаев преобразование Фурье все же применимо в своей классической форме. Пример. Найти решение а = а(х, t) уравнения (а = const), при начальных условиях Это - задача о свободных колебаниях бесконечной однородной струны, когда задано начальное отклонение <р(х) точек сгруны, а начальные скорости отсутствуют. 4 Поскольку пространственная переменная х изменяется в пределах от -оо до +оо, подвергнем уравнение и начальные условия преобразованию Фурье по переменной х. Будем предполагать, что 1) функции и(х, t) и

Saya percaya bahwa setiap orang pada umumnya menyadari keberadaan alat matematika yang luar biasa seperti transformasi Fourier. Namun, di universitas, untuk beberapa alasan, diajarkan dengan sangat buruk sehingga relatif sedikit orang yang memahami bagaimana transformasi ini bekerja dan bagaimana itu harus digunakan dengan benar. Sementara itu, matematika dari transformasi ini sangat indah, sederhana dan elegan. Saya mengundang semua orang untuk belajar lebih banyak tentang transformasi Fourier dan topik terkait tentang bagaimana sinyal analog dapat secara efektif diubah menjadi sinyal digital untuk pemrosesan komputasi.

Tanpa menggunakan rumus dan matlab yang rumit, saya akan mencoba menjawab pertanyaan berikut:

• FT, DTF, DTFT - apa perbedaannya dan bagaimana formula yang tampaknya sangat berbeda memberikan hasil yang serupa secara konseptual?
• Cara menginterpretasikan hasil Fast Fourier Transform (FFT) dengan benar
• Apa yang harus dilakukan jika sinyal 179 sampel diberikan dan FFT membutuhkan urutan panjang yang sama dengan kekuatan dua sebagai input
• Mengapa, ketika mencoba mendapatkan spektrum sinusoidal menggunakan Fourier, alih-alih "tongkat" tunggal yang diharapkan, coretan aneh muncul pada grafik dan apa yang dapat dilakukan tentangnya
• Mengapa filter analog ditempatkan sebelum ADC dan setelah DAC
• Apakah mungkin untuk mendigitalkan sinyal ADC dengan frekuensi lebih tinggi dari setengah laju pengambilan sampel (jawaban sekolah salah, jawaban yang benar dimungkinkan)
• Bagaimana urutan digital mengembalikan sinyal asli

Saya akan melanjutkan dari asumsi pembaca memahami apa itu integral, bilangan kompleks (serta modulus dan argumennya), konvolusi fungsi, ditambah setidaknya "di jari" membayangkan apa fungsi delta Dirac itu. Tidak tahu - tidak masalah, baca tautan di atas. Dengan "produk fungsi" dalam teks ini, saya akan selalu berarti "perkalian titik"

Kita mungkin harus mulai dengan fakta bahwa transformasi Fourier biasa adalah sesuatu yang, seperti yang Anda duga dari namanya, mengubah satu fungsi menjadi fungsi lain, yaitu, menetapkan setiap fungsi variabel nyata x (t) spektrumnya atau gambar Fourier y (w):

Jika kita memberikan analogi, maka contoh transformasi yang serupa dalam arti dapat berupa, misalnya, diferensiasi, yang mengubah suatu fungsi menjadi turunannya. Artinya, transformasi Fourier, pada kenyataannya, adalah operasi yang sama dengan mengambil turunan, dan sering dilambangkan dengan cara yang sama, menggambar "tutup" segitiga di atas fungsi. Hanya tidak seperti diferensiasi, yang juga dapat didefinisikan untuk bilangan real, transformasi Fourier selalu "berfungsi" dengan bilangan kompleks yang lebih umum. Karena itu, masalah terus-menerus muncul dengan tampilan hasil transformasi ini, karena bilangan kompleks ditentukan bukan oleh satu, tetapi oleh dua koordinat pada grafik yang beroperasi dengan bilangan real. Cara yang paling mudah, sebagai aturan, adalah untuk mewakili bilangan kompleks dalam bentuk modul dan argumen dan menggambarnya secara terpisah sebagai dua grafik terpisah:

Grafik argumen nilai kompleks sering disebut dalam hal ini sebagai "spektrum fasa", dan grafik modulus sering disebut "spektrum amplitudo". Spektrum amplitudo, sebagai suatu peraturan, jauh lebih menarik, dan oleh karena itu bagian "fase" dari spektrum sering dilewati. Pada artikel ini, kita juga akan fokus pada hal-hal "amplitudo", tetapi kita tidak boleh melupakan keberadaan bagian fase yang hilang dari grafik. Selain itu, alih-alih modulus biasa dari nilai kompleks, logaritmanya dikalikan dengan 10 sering digambarkan.Hasilnya adalah plot logaritmik, nilai-nilai yang ditampilkan dalam desibel (dB).

Harap dicatat bahwa angka negatif yang tidak terlalu kuat dari grafik logaritmik (-20 dB atau kurang) dalam hal ini sesuai dengan angka yang hampir nol pada grafik "normal". Oleh karena itu, "ekor" panjang dan lebar dari berbagai spektrum pada grafik seperti itu, ketika ditampilkan dalam koordinat "biasa", sebagai suatu peraturan, praktis menghilang. Kenyamanan representasi yang tampak aneh seperti itu muncul dari fakta bahwa transformasi Fourier dari berbagai fungsi sering kali perlu dikalikan satu sama lain. Dengan perkalian titik-titik dari gambar Fourier bernilai kompleks, spektrum fasenya ditambahkan, dan spektrum amplitudonya dikalikan. Yang pertama mudah dilakukan, sedangkan yang kedua relatif sulit. Namun, logaritma amplitudo ditambahkan ketika mengalikan amplitudo, sehingga grafik amplitudo logaritmik dapat, seperti grafik fase, ditambahkan poin demi poin. Selain itu, dalam masalah praktis seringkali lebih nyaman untuk beroperasi bukan dengan "amplitudo" sinyal, tetapi dengan "kekuatan" (kuadrat amplitudo). Pada skala logaritmik, kedua grafik (baik amplitudo dan daya) terlihat identik dan hanya berbeda dalam koefisien - semua nilai pada grafik daya persis dua kali lebih besar dari pada skala amplitudo. Oleh karena itu, untuk memplot distribusi daya berdasarkan frekuensi (dalam desibel), Anda tidak dapat mengkuadratkan apa pun, tetapi menghitung logaritma desimal dan mengalikannya dengan 20.

Apakah kamu bosan? Tunggu, sedikit lagi, dengan bagian membosankan dari artikel yang menjelaskan cara menafsirkan grafik, kami akan segera menyelesaikannya :). Namun sebelum itu, satu hal yang sangat penting untuk dipahami adalah bahwa meskipun semua plot spektrum di atas digambar untuk beberapa rentang nilai yang terbatas (khususnya, bilangan positif), semua plot ini sebenarnya berlanjut hingga plus dan minus tak terhingga. Grafik hanya menunjukkan beberapa bagian "paling berarti" dari grafik, yang biasanya dicerminkan untuk nilai negatif dari parameter dan sering berulang secara berkala dengan beberapa langkah jika dilihat pada skala yang lebih besar.

Setelah memutuskan apa yang digambar pada grafik, mari kembali ke transformasi Fourier itu sendiri dan propertinya. Ada beberapa cara berbeda untuk mendefinisikan transformasi ini, berbeda dalam detail kecil (normalisasi berbeda). Misalnya, di universitas kami, untuk beberapa alasan, mereka sering menggunakan normalisasi Transformasi Fourier yang menentukan spektrum dalam hal frekuensi sudut (radian per detik). Saya akan menggunakan formulasi barat yang lebih nyaman yang mendefinisikan spektrum dalam hal frekuensi biasa (hertz). Transformasi Fourier langsung dan invers dalam kasus ini ditentukan oleh rumus di sebelah kiri, dan beberapa properti dari transformasi ini yang kita butuhkan adalah daftar tujuh item di sebelah kanan:

Yang pertama dari sifat-sifat ini adalah linearitas. Jika kita mengambil beberapa kombinasi linier fungsi, maka transformasi Fourier dari kombinasi ini akan menjadi kombinasi linier yang sama dari gambar Fourier dari fungsi-fungsi ini. Properti ini memungkinkan seseorang untuk mereduksi fungsi kompleks dan transformasi Fouriernya menjadi fungsi yang lebih sederhana. Misalnya, Transformasi Fourier dari fungsi sinusoidal dengan frekuensi f dan amplitudo a adalah kombinasi dari dua fungsi delta yang terletak di titik f dan -f dan dengan koefisien a/2:

Jika kita mengambil suatu fungsi yang terdiri dari jumlah himpunan sinusoida dengan frekuensi yang berbeda, maka, menurut sifat linieritas, Transformasi Fourier dari fungsi ini akan terdiri dari himpunan fungsi delta yang bersesuaian. Hal ini memungkinkan kita untuk memberikan interpretasi naif, tetapi visual dari spektrum sesuai dengan prinsip “jika dalam spektrum fungsi frekuensi f sesuai dengan amplitudo a, maka fungsi asli dapat direpresentasikan sebagai jumlah sinusoidal, salah satunya akan menjadi sinusoidal dengan frekuensi f dan amplitudo 2a”. Sebenarnya, interpretasi ini tidak benar, karena fungsi delta dan titik pada grafik adalah hal yang sama sekali berbeda, tetapi seperti yang akan kita lihat lebih lanjut, untuk transformasi Fourier diskrit, itu tidak akan jauh dari kebenaran.

Sifat kedua dari transformasi Fourier adalah independensi spektrum amplitudo dari pergeseran waktu sinyal. Jika kita memindahkan fungsi ke kiri atau kanan sepanjang sumbu x, maka hanya spektrum fasenya yang akan berubah.

Properti ketiga - peregangan (kompresi) dari fungsi asli sepanjang sumbu waktu (x) secara proporsional memampatkan (meregangkan) transformasi Fouriernya sepanjang skala frekuensi (w). Secara khusus, spektrum sinyal dengan durasi terbatas selalu lebar tak terhingga, dan sebaliknya, spektrum lebar hingga selalu sesuai dengan sinyal durasi tak terbatas.

Sifat keempat dan kelima mungkin yang paling berguna dari semuanya. Mereka memungkinkan seseorang untuk mengurangi konvolusi fungsi menjadi perkalian titik dari transformasi Fourier mereka dan sebaliknya - perkalian titik titik fungsi menjadi konvolusi transformasi Fourier mereka. Sedikit lebih jauh saya akan menunjukkan betapa nyamannya itu.

Properti keenam berbicara tentang simetri gambar Fourier. Secara khusus, berikut dari properti ini bahwa dalam transformasi Fourier dari fungsi bernilai nyata (yaitu sinyal "nyata" apa pun), spektrum amplitudo selalu merupakan fungsi genap, dan spektrum fase (jika direduksi ke kisaran -pi.. .pi) ganjil. Karena alasan inilah bagian negatif dari spektrum hampir tidak pernah digambarkan pada grafik spektrum - untuk sinyal bernilai nyata, ini tidak memberikan informasi baru (tetapi, saya ulangi, ini juga bukan nol).

Akhirnya, properti ketujuh yang terakhir, mengatakan bahwa transformasi Fourier mempertahankan "energi" sinyal. Ini hanya berarti untuk sinyal dengan durasi terbatas, yang energinya terbatas, dan mengatakan bahwa spektrum sinyal tersebut pada tak terhingga dengan cepat mendekati nol. Justru karena properti inilah, sebagai suatu peraturan, hanya bagian "utama" dari sinyal yang digambarkan pada grafik spektrum, yang membawa bagian terbesar dari energi - sisa grafik cenderung nol (tetapi, sekali lagi , bukan nol).

Berbekal 7 properti ini, mari kita lihat matematika "mendigitalkan" sinyal untuk menerjemahkan sinyal kontinu ke dalam urutan digit. Untuk melakukan ini, kita perlu mengambil fungsi yang dikenal sebagai "sisir Dirac":

Sisir Dirac hanyalah urutan periodik fungsi delta kesatuan, mulai dari nol dan dilanjutkan dengan langkah T. Untuk mendigitalkan sinyal, T dipilih sekecil mungkin, T<<1. Фурье-образ этой функции - тоже гребенка Дирака, только с гораздо большим шагом 1/T и несколько меньшим коэффициентом (1/T). С математической точки зрения, дискретизация сигнала по времени - это просто поточечное умножение исходного сигнала на гребенку Дирака. Значение 1/T при этом называют частотой дискретизации:

Alih-alih fungsi kontinu, setelah perkalian seperti itu, urutan pulsa delta dengan ketinggian tertentu diperoleh. Dalam hal ini, menurut properti 5 dari transformasi Fourier, spektrum sinyal diskrit yang dihasilkan adalah konvolusi spektrum asli dengan sisir Dirac yang sesuai. Sangat mudah untuk memahami bahwa, berdasarkan sifat konvolusi, spektrum sinyal asli, seolah-olah, "disalin" berkali-kali di sepanjang sumbu frekuensi dengan langkah 1/T, dan kemudian dijumlahkan .

Perhatikan bahwa jika spektrum asli memiliki lebar yang terbatas dan kami menggunakan laju pengambilan sampel yang cukup tinggi, maka salinan spektrum asli tidak akan tumpang tindih dan, oleh karena itu, tidak akan ditambahkan satu sama lain. Mudah dipahami bahwa akan mudah untuk mengembalikan spektrum asli dari spektrum "terlipat" - itu akan cukup hanya dengan mengambil komponen spektrum di wilayah nol, "memotong" salinan tambahan yang masuk hingga tak terbatas. Cara paling sederhana untuk melakukannya adalah dengan mengalikan spektrum dengan fungsi persegi panjang yang sama dengan T dalam rentang -1/2T...1/2T dan nol di luar rentang ini. Transformasi Fourier serupa sesuai dengan fungsi sinc (Tx) dan menurut properti 4, perkalian seperti itu setara dengan konvolusi dari urutan asli fungsi delta dengan fungsi sinc(Tx)

Artinya, dengan menggunakan transformasi Fourier, kami mendapat cara untuk dengan mudah mengembalikan sinyal asli dari sampel waktu, yang berfungsi asalkan kami menggunakan frekuensi pengambilan sampel setidaknya dua kali (karena adanya frekuensi negatif dalam spektrum ) frekuensi maksimum yang ada dalam sinyal asli. Hasil ini dikenal luas dan disebut teorema Kotelnikov/Shannon-Nyquist. Namun, karena mudah dilihat sekarang (memahami buktinya), hasil ini, bertentangan dengan kesalahpahaman yang tersebar luas, menentukan memadai, tapi tidak diperlukan kondisi untuk memulihkan sinyal asli. Yang kita butuhkan hanyalah memastikan bahwa bagian dari spektrum yang menarik bagi kita setelah pengambilan sampel sinyal tidak saling tumpang tindih, dan jika sinyalnya cukup sempit (memiliki "lebar" kecil dari bagian bukan nol dari spektrum), maka hasil ini sering dapat dicapai bahkan pada laju pengambilan sampel yang jauh lebih rendah dari dua kali frekuensi sinyal maksimum. Teknik ini disebut “undersampling” (subsampling, bandpass sampling) dan cukup banyak digunakan dalam pemrosesan semua jenis sinyal radio. Misalnya, jika kita mengambil radio FM yang beroperasi di pita frekuensi dari 88 hingga 108 MHz, maka ADC dengan frekuensi hanya 43,5 MHz dapat digunakan untuk mendigitalkannya, bukan 216 MHz yang diasumsikan oleh teorema Kotelnikov. Namun, dalam hal ini, Anda memerlukan ADC berkualitas tinggi dan filter yang baik.

Saya perhatikan bahwa "duplikasi" frekuensi tinggi dengan frekuensi orde rendah (aliasing) adalah properti langsung dari pengambilan sampel sinyal, "merusak" hasilnya secara permanen. Oleh karena itu, jika frekuensi orde tinggi pada prinsipnya dapat hadir dalam sinyal (yaitu, hampir selalu), filter analog ditempatkan di depan ADC, yang "memotong" segala sesuatu yang berlebihan secara langsung dalam sinyal asli (karena akan terlambat untuk melakukan ini setelah pengambilan sampel). Karakteristik filter ini, sebagai perangkat analog, tidak ideal, sehingga beberapa "kerusakan" sinyal masih terjadi, dan dalam praktiknya frekuensi tertinggi dalam spektrum biasanya tidak dapat diandalkan. Untuk mengurangi masalah ini, tidak jarang mengambil sampel sinyal pada tingkat sampel yang berlebihan, sementara mengatur filter input analog ke bandwidth yang lebih rendah dan hanya menggunakan bagian bawah dari rentang frekuensi ADC yang tersedia secara teoritis.

Omong-omong, kesalahpahaman umum lainnya adalah ketika sinyal pada output DAC ditarik dalam "langkah". "Langkah" sesuai dengan konvolusi urutan sinyal sampel dengan fungsi persegi panjang lebar T dan tinggi 1:

Dengan transformasi seperti itu, spektrum sinyal dikalikan dengan transformasi Fourier dari fungsi persegi panjang ini, dan untuk fungsi persegi panjang yang serupa, sekali lagi sinc(w), "diregangkan" semakin kuat, semakin kecil lebar persegi panjang yang sesuai. Spektrum sinyal sampel dengan "DAC" serupa dikalikan dengan spektrum ini. Dalam hal ini, frekuensi tinggi yang tidak perlu dengan "salinan ekstra" dari spektrum tidak sepenuhnya terputus, dan bagian atas dari bagian "berguna" dari spektrum, sebaliknya, melemah.

Dalam praktiknya, tentu saja, tidak ada yang melakukan ini. Ada banyak pendekatan berbeda untuk membangun DAC, tetapi bahkan dalam DAC tipe pembobotan yang paling mirip, sebaliknya, pulsa persegi panjang di DAC dipilih sesingkat mungkin (mendekati urutan fungsi delta yang sebenarnya) untuk menghindari penekanan yang tidak perlu bagian yang berguna dari spektrum. Frekuensi "ekstra" dalam sinyal broadband yang dihasilkan hampir selalu teredam dengan melewatkan sinyal melalui filter low-pass analog, sehingga tidak ada "langkah digital" baik "di dalam" konverter, atau, terlebih lagi, pada outputnya.

Namun, mari kembali ke transformasi Fourier. Transformasi Fourier yang dijelaskan di atas diterapkan pada urutan sinyal pra-sampel disebut Transformasi Fourier Waktu Diskrit (DTFT). Spektrum yang diperoleh dengan transformasi seperti itu selalu 1/T-periodik, sehingga spektrum DTFT sepenuhnya ditentukan oleh nilainya pada segmen )