Di antara berbagai ekspresi yang dipertimbangkan dalam aljabar, jumlah monomial menempati tempat yang penting. Berikut adalah contoh ekspresi seperti itu:
\(5a^4 - 2a^3 + 0.3a^2 - 4.6a + 8 \)
\(xy^3 - 5x^2y + 9x^3 - 7y^2 + 6x + 5y - 2 \)

Jumlah monomial disebut polinomial. Suku-suku dalam polinomial disebut anggota polinomial. Monomial juga disebut sebagai polinomial, mengingat monomial sebagai polinomial yang terdiri dari satu anggota.

Misalnya polinomial
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 \)
dapat disederhanakan.

Kami mewakili semua istilah sebagai monomial dari bentuk standar:
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 = \)
\(= 8b^5 - 14b^5 + 3b^2 -8b -3b^2 + 16 \)

Kami memberikan istilah serupa dalam polinomial yang dihasilkan:
\(8b^5 -14b^5 +3b^2 -8b -3b^2 + 16 = -6b^5 -8b + 16 \)
Hasilnya adalah polinomial, semua anggotanya adalah monomial dari bentuk standar, dan di antara mereka tidak ada yang serupa. Polinomial semacam itu disebut polinomial bentuk standar.

Di belakang derajat polinomial bentuk standar mengambil kekuatan terbesar dari anggotanya. Jadi, binomial \(12a^2b - 7b \) memiliki derajat ketiga, dan trinomial \(2b^2 -7b + 6 \) memiliki derajat kedua.

Biasanya, anggota polinomial bentuk standar yang mengandung satu variabel diatur dalam urutan eksponennya. Sebagai contoh:
\(5x - 18x^3 + 1 + x^5 = x^5 - 18x^3 + 5x + 1 \)

Jumlah beberapa polinomial dapat diubah (disederhanakan) menjadi polinomial bentuk standar.

Kadang-kadang anggota polinomial perlu dibagi menjadi beberapa kelompok, dengan menyertakan setiap kelompok dalam tanda kurung. Karena tanda kurung adalah kebalikan dari tanda kurung, maka mudah untuk merumuskannya aturan pembukaan tanda kurung:

Jika tanda + diletakkan di depan tanda kurung, maka suku-suku yang berada di dalam tanda kurung ditulis dengan tanda yang sama.

Jika tanda "-" diletakkan di depan tanda kurung, maka istilah yang diapit tanda kurung ditulis dengan tanda yang berlawanan.

Transformasi (penyederhanaan) dari produk monomial dan polinomial

Menggunakan sifat distributif perkalian, seseorang dapat mengubah (menyederhanakan) produk dari monomial dan polinomial menjadi polinomial. Sebagai contoh:
\(9a^2b(7a^2 - 5ab - 4b^2) = \)
\(= 9a^2b \cdot 7a^2 + 9a^2b \cdot (-5ab) + 9a^2b \cdot (-4b^2) = \)
\(= 63a^4b - 45a^3b^2 - 36a^2b^3 \)

Hasil kali suatu monomial dan suatu polinomial identik sama dengan jumlah hasil kali monomial ini dan setiap suku-suku polinomial tersebut.

Hasil ini biasanya dirumuskan sebagai suatu aturan.

Untuk mengalikan monomial dengan polinomial, seseorang harus mengalikan monomial ini dengan masing-masing suku polinomial.

Kami telah berulang kali menggunakan aturan ini untuk mengalikan dengan jumlah.

Produk dari polinomial. Transformasi (penyederhanaan) dari produk dua polinomial

Secara umum, hasil kali dua polinomial identik sama dengan jumlah produk dari setiap suku dari satu polinomial dan setiap suku yang lain.

Biasanya menggunakan aturan berikut.

Untuk mengalikan polinomial dengan polinomial, Anda perlu mengalikan setiap suku dari satu polinomial dengan setiap suku lainnya dan menambahkan produk yang dihasilkan.

Rumus perkalian yang disingkat. Jumlah, Selisih, dan Kuadrat Selisih

Beberapa ekspresi dalam transformasi aljabar harus ditangani lebih sering daripada yang lain. Mungkin ekspresi yang paling umum adalah \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) dan \(a^2 - b^2 \), yaitu, kuadrat dari jumlah, kuadrat selisih, dan selisih kuadrat. Anda memperhatikan bahwa nama-nama ekspresi yang ditunjukkan tampaknya tidak lengkap, jadi, misalnya, \((a + b)^2 \) tentu saja, bukan hanya kuadrat dari jumlah, tetapi kuadrat dari jumlah a dan b. Namun, kuadrat jumlah a dan b tidak begitu umum, sebagai aturan, alih-alih huruf a dan b, itu berisi berbagai ekspresi yang terkadang cukup kompleks.

Ekspresi \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) mudah diubah (disederhanakan) menjadi polinomial dari bentuk standar, pada kenyataannya, Anda telah menemukan tugas seperti itu saat mengalikan polinomial :
\((a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a^2 + ab + ba + b^2 = \)
\(= a^2 + 2ab + b^2 \)

Identitas yang dihasilkan berguna untuk diingat dan diterapkan tanpa perhitungan perantara. Formulasi verbal pendek membantu ini.

\((a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab \) - kuadrat jumlah sama dengan jumlah kuadrat dan hasil ganda.

\((a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab \) - kuadrat selisihnya adalah jumlah kuadrat tanpa menggandakan hasil kali.

\(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \) - selisih kuadrat sama dengan hasil kali selisih dan jumlah.

Ketiga identitas ini memungkinkan dalam transformasi untuk mengganti bagian kirinya dengan yang kanan dan sebaliknya - bagian kanan dengan yang kiri. Hal yang paling sulit dalam hal ini adalah melihat ekspresi yang sesuai dan memahami variabel a dan b apa yang diganti di dalamnya. Mari kita lihat beberapa contoh penggunaan rumus perkalian yang disingkat.

Dalam pelajaran ini, kita akan mengingat definisi utama dari topik ini dan mempertimbangkan beberapa tugas khas, yaitu, membawa polinomial ke bentuk standar dan menghitung nilai numerik untuk nilai variabel yang diberikan. Kami akan memecahkan beberapa contoh di mana reduksi ke bentuk standar akan diterapkan untuk memecahkan berbagai macam masalah.

Subjek:Polinomial. Operasi aritmatika pada monomial

Pelajaran:Pengurangan polinomial ke bentuk standar. Tugas khas

Ingat definisi dasar: polinomial adalah jumlah dari monomial. Setiap monomial yang merupakan bagian dari polinomial sebagai suku disebut anggotanya. Sebagai contoh:

Binomium;

polinomial;

Binomium;

Karena polinomial terdiri dari monomial, tindakan pertama dengan polinomial mengikuti dari sini - Anda harus membawa semua monomial ke bentuk standar. Ingatlah bahwa untuk ini Anda perlu mengalikan semua faktor numerik - dapatkan koefisien numerik, dan kalikan kekuatan yang sesuai - dapatkan bagian huruf. Selain itu, mari kita perhatikan teorema hasil kali pangkat: saat mengalikan pangkat, pangkatnya dijumlahkan.

Pertimbangkan operasi penting - membawa polinomial ke bentuk standar. Contoh:

Komentar: untuk membawa polinomial ke bentuk standar, Anda perlu membawa ke bentuk standar semua monomial yang merupakan bagian darinya, setelah itu, jika ada monomial serupa - dan ini adalah monomial dengan bagian huruf yang sama - lakukan tindakan dengan mereka.

Jadi, kami telah mempertimbangkan masalah tipikal pertama - membawa polinomial ke bentuk standar.

Tugas tipikal berikutnya adalah menghitung nilai spesifik polinomial untuk nilai numerik tertentu dari variabel yang termasuk di dalamnya. Mari kita lanjutkan dengan mempertimbangkan contoh sebelumnya dan menetapkan nilai variabel:

Komentar: Ingatlah bahwa satu dalam kekuatan alami apa pun sama dengan satu, dan nol dalam kekuatan alami apa pun sama dengan nol, selain itu, kita ingat bahwa ketika mengalikan angka apa pun dengan nol, kita mendapatkan nol.

Pertimbangkan sejumlah contoh operasi tipikal untuk membawa polinomial ke bentuk standar dan menghitung nilainya:

Contoh 1 - bawa ke bentuk standar:

Komentar: tindakan pertama - kami membawa monomial ke bentuk standar, Anda harus membawa yang pertama, kedua dan keenam; tindakan kedua - kami memberikan anggota yang serupa, yaitu, kami melakukan operasi aritmatika yang diberikan pada mereka: kami menambahkan yang pertama ke yang kelima, yang kedua ke yang ketiga, kami menulis ulang sisanya tanpa perubahan, karena mereka tidak memiliki yang serupa.

Contoh 2 - hitung nilai polinomial dari contoh 1 yang diberikan nilai variabelnya:

Komentar: saat menghitung, harus diingat bahwa satuan dalam derajat alami apa pun adalah satuan, jika sulit menghitung pangkat dua, Anda dapat menggunakan tabel daya.

Contoh 3 - alih-alih tanda bintang, letakkan monomial sedemikian rupa sehingga hasilnya tidak mengandung variabel:

Komentar: terlepas dari tugasnya, tindakan pertama selalu sama - untuk membawa polinomial ke bentuk standar. Dalam contoh kami, tindakan ini direduksi menjadi casting seperti anggota. Setelah itu, Anda harus hati-hati membaca kondisinya lagi dan memikirkan bagaimana kita bisa menghilangkan monomial. jelas bahwa untuk ini Anda perlu menambahkan monomial yang sama, tetapi dengan tanda yang berlawanan -. lalu kita ganti asterisk dengan monomial ini dan pastikan keputusan kita sudah benar.

Polinomial adalah jumlah dari monomial. Jika semua suku dari polinomial tersebut ditulis dalam bentuk standar (lihat butir 51) dan pengurangan suku-suku serupa dilakukan, maka akan diperoleh sebuah polinomial dari bentuk standar.

Ekspresi integer apa pun dapat diubah menjadi polinomial dari bentuk standar - ini adalah tujuan transformasi (penyederhanaan) ekspresi integer.

Pertimbangkan contoh di mana seluruh ekspresi harus direduksi menjadi bentuk standar polinomial.

Keputusan. Pertama, kita bawa suku-suku polinomial ke bentuk standar. Kami memperoleh Setelah pengurangan istilah yang sama, kami memperoleh polinomial dari bentuk standar

Keputusan. Jika ada tanda tambah di depan tanda kurung, maka tanda kurung dapat dihilangkan, dengan tetap menggunakan tanda semua istilah yang diapit tanda kurung. Menggunakan aturan ini untuk membuka kurung, kita mendapatkan:

Keputusan. Jika ada ziak “minus” di depan tanda kurung, maka tanda kurung dapat dihilangkan dengan mengubah tanda semua suku yang diapit tanda kurung. Dengan menggunakan aturan pelepasan tanda kurung ini, kita mendapatkan:

Keputusan. Produk dari monomial dan polinomial, menurut hukum distribusi, sama dengan jumlah produk dari monomial ini dan setiap anggota polinomial. Kita mendapatkan

Keputusan. Kita punya

Keputusan. Kita punya

Tetap memberikan istilah yang serupa (digarisbawahi). Kita mendapatkan:

53. Rumus untuk perkalian yang disingkat.

Dalam beberapa kasus, reduksi seluruh ekspresi ke bentuk standar polinomial dilakukan dengan menggunakan identitas:

Identitas ini disebut rumus perkalian disingkat,

Mari kita pertimbangkan contoh di mana perlu untuk mengubah ekspresi yang diberikan menjadi miogle bentuk standar.

Contoh 1. .

Keputusan. Dengan menggunakan rumus (1), kita peroleh:

Contoh 2. .

Keputusan.

Contoh 3. .

Keputusan. Dengan menggunakan rumus (3), kita peroleh:

Contoh 4

Keputusan. Dengan menggunakan rumus (4), kita peroleh:

54. Faktorisasi polinomial.

Terkadang Anda dapat mengubah polinomial menjadi produk dari beberapa faktor - polinomial atau subterm. Transformasi identitas semacam itu disebut faktorisasi polinomial. Dalam hal ini, polinomial dikatakan habis dibagi oleh masing-masing faktor ini.

Pertimbangkan beberapa cara memfaktorkan polinomial,

1) Mengambil faktor persekutuan dari kurung. Transformasi ini adalah konsekuensi langsung dari hukum distributif (untuk kejelasan, Anda hanya perlu menulis ulang hukum ini "dari kanan ke kiri"):

Contoh 1. Memfaktorkan polinomial

Keputusan. .

Biasanya, ketika mengambil faktor persekutuan dari kurung, setiap variabel yang termasuk dalam semua anggota polinomial dikeluarkan dengan eksponen terkecil yang dimilikinya dalam polinomial ini. Jika semua koefisien polinomial adalah bilangan bulat, maka pembagi persekutuan modulo terbesar dari semua koefisien polinomial diambil sebagai koefisien faktor persekutuan.

2) Penggunaan rumus perkalian yang disingkat. Rumus (1) - (7) dari butir 53, dibaca “dari kanan ke kiri, dalam banyak kasus ternyata berguna untuk memfaktorkan polinomial.

Contoh 2. Faktorkan .

Keputusan. Kita punya . Menerapkan rumus (1) (selisih kuadrat), kami memperoleh . melamar

sekarang rumus (4) dan (5) (jumlah kubus, selisih kubus), kita mendapatkan:

Contoh 3. .

Keputusan. Mari kita keluarkan faktor persekutuan dari kurung terlebih dahulu. Untuk melakukan ini, kami menemukan pembagi persekutuan terbesar dari koefisien 4, 16, 16 dan eksponen terkecil yang dengannya variabel a dan b termasuk dalam monomial yang membentuk polinomial ini. Kita mendapatkan:

3) Metode pengelompokan. Ini didasarkan pada fakta bahwa hukum penjumlahan komutatif dan asosiatif memungkinkan Anda untuk mengelompokkan suku-suku polinomial dengan berbagai cara. Kadang-kadang pengelompokan seperti itu dimungkinkan bahwa setelah mengurung faktor persekutuan dalam setiap kelompok, satu polinomial yang sama tetap berada dalam tanda kurung, yang pada gilirannya, sebagai faktor persekutuan, dapat dikurung. Perhatikan contoh pemfaktoran polinomial.

Contoh 4. .

Keputusan. Mari kita kelompokkan seperti ini:

Di grup pertama kita keluarkan faktor persekutuan di grup kedua - faktor persekutuan 5. Kita dapatkan Sekarang polinomial sebagai faktor persekutuan kita keluarkan dari braket: Jadi, kita dapatkan:

Contoh 5

Keputusan. .

Contoh 6

Keputusan. Di sini, tidak ada pengelompokan yang akan menyebabkan munculnya polinomial yang sama di semua grup. Dalam kasus seperti itu, terkadang ternyata berguna untuk merepresentasikan suku apa pun dari polinomial sebagai jumlah, dan kemudian mencoba lagi untuk menerapkan metode pengelompokan. Dalam contoh kami, disarankan untuk mewakili sebagai jumlah yang kami dapatkan

Contoh 7

Keputusan. Kami menambah dan mengurangi monomial, kami mendapatkan

55. Polinomial dalam satu variabel.

Polinomial, di mana a, b adalah bilangan variabel, disebut polinomial derajat pertama; polinomial di mana a, b, c adalah bilangan variabel, disebut polinomial derajat kedua atau trinomial persegi; polinomial di mana a, b, c, d adalah angka, variabel disebut polinomial derajat ketiga.

Secara umum, jika o adalah variabel, maka polinomial

disebut derajat lshomogeneal (terhadap x); , m-suku dari polinomial, koefisien, suku terdepan dari polinomial, dan adalah koefisien dari suku terdepan, suku bebas dari polinomial. Biasanya, polinomial ditulis dalam pangkat variabel yang menurun, yaitu, derajat variabel berkurang secara bertahap, khususnya, suku senior di tempat pertama, dan suku bebas di tempat terakhir. Derajat polinomial adalah derajat suku terdepan.

Misalnya, polinomial tingkat lima dengan suku terdepan, 1, adalah suku bebas dari polinomial tersebut.

Akar polinomial adalah nilai di mana polinomial menghilang. Misalnya, angka 2 adalah akar dari polinomial karena

Kami mengatakan bahwa polinomial standar dan non-standar terjadi. Di tempat yang sama, kami mencatat bahwa apapun polinomial ke bentuk standar. Pada artikel ini, pertama-tama kita akan mencari tahu apa arti dari frasa ini. Selanjutnya, kami mencantumkan langkah-langkah yang memungkinkan Anda mengonversi polinomial apa pun ke bentuk standar. Akhirnya, pertimbangkan solusi untuk contoh tipikal. Kami akan menjelaskan solusi dengan sangat rinci untuk menangani semua nuansa yang muncul saat membawa polinomial ke bentuk standar.

Navigasi halaman.

Apa artinya membawa polinomial ke bentuk standar?

Pertama, Anda perlu memahami dengan jelas apa yang dimaksud dengan membawa polinomial ke bentuk standar. Mari kita tangani ini.

Polinomial, seperti ekspresi lainnya, dapat mengalami transformasi identik. Sebagai hasil dari transformasi tersebut, diperoleh ekspresi yang identik sama dengan ekspresi aslinya. Jadi kinerja transformasi tertentu dengan polinomial dari bentuk non-standar memungkinkan kita untuk beralih ke polinomial yang identik sama dengan mereka, tetapi sudah ditulis dalam bentuk standar. Transisi semacam itu disebut reduksi polinomial ke bentuk standar.

Jadi, bawa polinomial ke bentuk standar- ini berarti mengganti polinomial asli dengan polinomial dari bentuk standar yang identik dengannya, yang diperoleh dari polinomial asli dengan melakukan transformasi yang identik.

Bagaimana cara membawa polinomial ke bentuk standar?

Mari kita pikirkan tentang transformasi apa yang akan membantu kita membawa polinomial ke bentuk standar. Kita akan mulai dari definisi polinomial bentuk standar.

Menurut definisi, setiap suku dari polinomial bentuk standar adalah monomial bentuk standar, dan polinomial bentuk standar tidak mengandung suku-suku seperti itu. Pada gilirannya, polinomial yang ditulis dalam bentuk selain bentuk standar dapat terdiri dari monomial dalam bentuk non-standar dan mungkin berisi istilah serupa. Ini mengarah secara logis ke aturan berikut. cara mengubah polinomial ke bentuk standar:

• pertama Anda perlu membawa ke bentuk standar monomial yang membentuk polinomial asli,
• dan kemudian melakukan pengurangan anggota serupa.

Akibatnya, polinomial bentuk standar akan diperoleh, karena semua anggotanya akan ditulis dalam bentuk standar, dan tidak akan mengandung anggota tersebut.

Contoh, Solusi

Pertimbangkan contoh membawa polinomial ke bentuk standar. Saat memecahkan, kami akan mengikuti langkah-langkah yang ditentukan oleh aturan dari paragraf sebelumnya.

Di sini kami mencatat bahwa kadang-kadang semua istilah polinomial ditulis dalam bentuk standar sekaligus, dalam hal ini cukup untuk membawa istilah yang serupa. Kadang-kadang, setelah mereduksi suku-suku polinomial ke bentuk standar, tidak ada anggota yang serupa, oleh karena itu, tahap pengurangan anggota tersebut dalam hal ini dihilangkan. Secara umum, Anda harus melakukan keduanya.

Contoh.

Nyatakan polinomial dalam bentuk standar: 5 x 2 y+2 y 3 x y+1 , 0,8+2 a 3 0,6−b a b 4 b 5 dan .

Keputusan.

Semua anggota polinomial 5 x 2 y+2 y 3 x y+1 ditulis dalam bentuk standar, tidak memiliki istilah seperti itu, oleh karena itu, polinomial ini sudah disajikan dalam bentuk standar.

Mari kita beralih ke polinomial berikutnya 0,8+2 a 3 0,6−b a b 4 b 5. Bentuknya tidak baku, dibuktikan dengan istilah 2·a 3 ·0.6 dan b·a·b 4 ·b 5 bentuk tidak baku. Mari kita nyatakan dalam bentuk standar.

Pada tahap pertama membawa polinomial asli ke bentuk standar, kita perlu mewakili semua anggotanya dalam bentuk standar. Oleh karena itu, kami mengurangi monomial 2 a 3 0.6 ke bentuk standar, kami memiliki 2 a 3 0.6=1.2 a 3 , setelah itu monomial b a b 4 b 5 , kami memiliki b a b 4 b 5 = a b 1+4+5 = a b 10. Dengan demikian, . Dalam polinomial yang dihasilkan, semua istilah ditulis dalam bentuk standar; apalagi, jelas bahwa itu tidak memiliki istilah seperti itu. Oleh karena itu, ini melengkapi pengurangan polinomial asli ke bentuk standar.

Tetap mewakili dalam bentuk standar polinomial terakhir yang diberikan . Setelah membawa semua anggotanya ke bentuk standar, itu akan ditulis sebagai . Ini memiliki anggota yang sama, jadi Anda harus memilih anggota yang serupa:

Jadi polinomial asli mengambil bentuk standar x y+1 .

Menjawab:

5 x 2 y+2 y 3 x y+1 – sudah dalam bentuk standar, 0,8+2 a 3 0,6−b a b 4 b 5 =0,8+1,2 a 3 a b 10, .

Seringkali, membawa polinomial ke bentuk standar hanyalah langkah perantara dalam menjawab pertanyaan masalah. Misalnya, menemukan derajat polinomial melibatkan representasi awal dalam bentuk standar.

Contoh.

Bawa polinomial ke bentuk standar, tunjukkan derajatnya dan susun suku-sukunya dalam pangkat menurun dari variabel.

Keputusan.

Pertama, kami membawa semua suku polinomial ke bentuk standar: .

Sekarang kami memberikan anggota serupa:

Jadi kami membawa polinomial asli ke bentuk standar, ini memungkinkan kami untuk menentukan tingkat polinomial, yang sama dengan tingkat terbesar dari monomial yang termasuk di dalamnya. Jelas itu adalah 5.

Tetap mengatur istilah polinomial dalam penurunan pangkat variabel. Untuk melakukan ini, hanya perlu mengatur ulang istilah dalam polinomial yang dihasilkan dari bentuk standar, dengan mempertimbangkan persyaratan. Suku z 5 memiliki derajat tertinggi, derajat suku , 0.5·z 2 dan 11 masing-masing sama dengan 3 , 2 dan 0 . Oleh karena itu, polinomial dengan suku-suku yang disusun dalam pangkat turun dari variabel akan berbentuk .

Menjawab:

Derajat polinomial adalah 5, dan setelah pengaturan suku-sukunya dalam pangkat menurun dari variabel, ia mengambil bentuk .

Bibliografi.

• Aljabar: buku pelajaran untuk 7 sel. pendidikan umum institusi / [Yu. N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkov, S.B. Suvorova]; ed. S.A. Telyakovsky. - edisi ke-17. - M. : Pendidikan, 2008. - 240 hal. : Saya akan. - ISBN 978-5-09-019315-3.
• Mordkovich A.G. Aljabar. kelas 7. Pukul 2 siang Bagian 1. Buku teks untuk siswa lembaga pendidikan / A. G. Mordkovich. - Edisi ke-17, tambahkan. - M.: Mnemozina, 2013. - 175 hal.: sakit. ISBN 978-5-346-02432-3.
• Aljabar dan awal dari analisis matematis. Kelas 10: buku pelajaran. untuk pendidikan umum institusi: dasar dan profil. level / [Yu. M. Kolyagin, M. V. Tkacheva, N. E. Fedorova, M. I. Shabunin]; ed. A.B.Zhizhchenko. - edisi ke-3. - M.: Pencerahan, 2010.- 368 hal. : Saya akan. - ISBN 978-5-09-022771-1.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematika (manual untuk pelamar ke sekolah teknik): Proc. tunjangan.- M.; Lebih tinggi sekolah, 1984.-351 hal., sakit.

SZLP- masalah program linier dalam bentuk ax b atau ax b . di mana a adalah matriks koefisien, b adalah vektor kendala.
Model matematika ZLP disebut standar, jika kendala di dalamnya disajikan dalam bentuk pertidaksamaan linier, dan fungsi tujuan diminimalkan atau dimaksimalkan.

tugas layanan. Kalkulator online dirancang untuk mengonversi QZLP ke SZLP dengan mengubah matriks a menjadi matriks identitas. Ada dua bentuk standar yang tersedia:

1. Bentuk standar pertama ax b , F(X) → min.
2. Bentuk standar kedua ax b , F(X) → maks.

Petunjuk. Pilih jumlah variabel dan jumlah baris (jumlah pembatasan). Solusi yang dihasilkan disimpan dalam file Word.

Bagaimana membawa masalah pemrograman linier kanonik ke bentuk standar
Ubah ke bentuk kanonik

Contoh. Masalah utama dari program linier diberikan. Menggunakan transformasi dasar dari matriks koefisien sistem kendala, bawa masalah ke bentuk standar dan selesaikan menggunakan metode geometris atau buktikan bahwa itu tidak memiliki rencana yang optimal.

Matriks yang diperluas dari sistem persamaan kendala dari masalah ini:

1 6 -1 -1 -1 2 5 -12 -1 2 0 -4 3 -1 -2 0 -1 -7

Mari kita mereduksi sistem menjadi matriks identitas dengan metode transformasi Jordan.
1. Kami memilih x 1 sebagai variabel dasar.
Elemen permisif RE=1.
Garis yang bersesuaian dengan variabel x 1 diperoleh dengan membagi semua elemen garis x 1 dengan elemen penyelesaian RE=1

Di sel yang tersisa dari kolom x 1 kami menulis nol.

Untuk melakukan ini, pilih empat angka dari denah lama, yang terletak di simpul persegi panjang dan selalu sertakan elemen pengaktifan RE.
NE \u003d SE - (A * B) / RE
STE - elemen denah lama, RE - elemen pemecah (1), A dan B - elemen denah lama, membentuk persegi panjang dengan elemen STE dan RE.

1: 1	6: 1	-1: 1	-1: 1	-1: 1	2: 1
5-(1 5):1	-12-(6 5):1	-1-(-1 5):1	2-(-1 5):1	0-(-1 5):1	-4-(2 5):1
3-(1 3):1	-1-(6 3):1	-2-(-1 3):1	0-(-1 3):1	-1-(-1 3):1	-7-(2 3):1

2. Kami memilih x 2 sebagai variabel dasar.
Elemen permisif RE=-42.
Garis yang bersesuaian dengan variabel x 2 diperoleh dengan membagi semua elemen garis x 2 dengan elemen penyelesaian RE=-42
Di tempat elemen yang memungkinkan, kita mendapatkan 1.
Di sel yang tersisa dari kolom x 2 kami menulis nol.
Semua elemen lain ditentukan oleh aturan persegi panjang.
Mari kita sajikan perhitungan setiap elemen dalam bentuk tabel:

1-(0 6):-42	6-(-42 6):-42	-1-(4 6):-42	-1-(7 6):-42	-1-(5 6):-42	2-(-14 6):-42
0: -42	-42: -42	4: -42	7: -42	5: -42	-14: -42
0-(0 -19):-42	-19-(-42 -19):-42	1-(4 -19):-42	3-(7 -19):-42	2-(5 -19):-42	-13-(-14 -19):-42

Kami mendapatkan matriks baru:

1	0	-3 / 7	0	-2 / 7	0
0	1	-2 / 21	-1 / 6	-5 / 42	1 / 3
0	0	-17 / 21	-1 / 6	-11 / 42	-20 / 3

3. Kami memilih x 3 sebagai variabel dasar.
Elemen permisif RE= -17/21.
Garis yang bersesuaian dengan variabel x 3 diperoleh dengan membagi semua elemen garis x 3 dengan elemen penyelesaian RE= -17 / 21
Di tempat elemen yang memungkinkan, kita mendapatkan 1.
Di sel yang tersisa dari kolom x 3 kami menulis nol.
Semua elemen lain ditentukan oleh aturan persegi panjang.
Mari kita sajikan perhitungan setiap elemen dalam bentuk tabel:

1-(0 -3 / 7): -17 / 21	0-(0 -3 / 7): -17 / 21	-3 / 7 -(-17 / 21 -3 / 7): -17 / 21	0-(-1 / 6 -3 / 7): -17 / 21	-2 / 7 -(-11 / 42 -3 / 7): -17 / 21	0-(-6 2 / 3 -3 / 7): -17 / 21
0-(0 -2 / 21): -17 / 21	1-(0 -2 / 21): -17 / 21	-2 / 21 -(-17 / 21 -2 / 21): -17 / 21	-1 / 6 -(-1 / 6 -2 / 21): -17 / 21	-5 / 42 -(-11 / 42 -2 / 21): -17 / 21	1 / 3 -(-6 2 / 3 -2 / 21): -17 / 21
0: -17 / 21	0: -17 / 21	-17 / 21: -17 / 21	-1 / 6: -17 / 21	-11 / 42: -17 / 21	-6 2 / 3: -17 / 21

Kami mendapatkan matriks baru:

1	0	0	3 / 34	-5 / 34	60 / 17
0	1	0	-5 / 34	-3 / 34	19 / 17
0	0	1	7 / 34	11 / 34	140 / 17

Karena sistem memiliki matriks identitas, kita ambil X = (1,2,3) sebagai variabel dasar.
Persamaan yang sesuai adalah:
x 1 + 3 / 34 x 4 - 5 / 34 x 5 = 3 9 / 17
x 2 - 5 / 34 x 4 - 3 / 34 x 5 = 1 2 / 17
x 3 + 7 / 34 x 4 + 11 / 34 x 5 = 8 4 / 17
Kami mengungkapkan variabel dasar dalam hal sisanya:
x 1 = - 3 / 34 x 4 + 5 / 34 x 5 +3 9 / 17
x 2 = 5 / 34 x 4 + 3 / 34 x 5 +1 2 / 17
x 3 \u003d - 7 / 34 x 4 - 11 / 34 x 5 +8 4 / 17
Substitusikan ke dalam fungsi tujuan:
F(X) = - 3(- 3 / 34 x 4 + 5 / 34 x 5 +3 9 / 17) + 13(5 / 34 x 4 + 3 / 34 x 5 +1 2 / 17) + (- 7 / 34 x 4 - 11 / 34 x 5 +8 4 / 17) - 2x 4
atau

Sistem ketidaksetaraan:
- 3 / 34 x 4 + 5 / 34 x 5 +3 9 / 17 0
5 / 34 x 4 + 3 / 34 x 5 +1 2 / 17 0
- 7 / 34 x 4 - 11 / 34 x 5 +8 4 / 17 0
Kami membawa sistem ketidaksetaraan ke bentuk berikut:
3 / 34 x 4 - 5 / 34 x 5 3 9 / 17
- 5 / 34 x 4 - 3 / 34 x 5 1 2 / 17
7 / 34 x 4 + 11 / 34 x 5 8 4 / 17
F(X) = - 1 / 34 x 4 + 13 / 34 x 5 +12 3 / 17 → maks
Mari kita sederhanakan sistemnya.
3x 1 - 5x 2 120
- 5x 1 - 3x 2 38
7x1 + 11x2 280
F(X) = - x 1 + 13x 2 +414 → maks