Persamaan trigonometri paling sederhana biasanya diselesaikan dengan rumus. Biarkan saya mengingatkan Anda bahwa persamaan trigonometri berikut disebut yang paling sederhana:

sinx = a

cos = a

tgx = a

ctgx = a

x adalah sudut yang dicari,
a adalah bilangan apa saja.

Dan inilah rumus yang dengannya Anda dapat segera menuliskan solusi dari persamaan paling sederhana ini.

Untuk sinus:

Untuk kosinus:

x = ± arccos a + 2π n, n Z

Untuk tangen:

x = arctg a + n, n Z

Untuk kotangen:

x = arcctg a + n, n Z

Sebenarnya, ini adalah bagian teoretis dari penyelesaian persamaan trigonometri paling sederhana. Dan, secara keseluruhan!) Tidak ada sama sekali. Namun, jumlah kesalahan pada topik ini hanya berguling. Terutama, dengan sedikit penyimpangan contoh dari template. Mengapa?

Ya, karena banyak orang yang menulis surat-surat ini, tanpa memahami artinya sama sekali! Dengan ketakutan dia menulis, tidak peduli bagaimana sesuatu terjadi ...) Ini perlu diselesaikan. Trigonometri untuk orang, atau orang untuk trigonometri!?)

Mari kita cari tahu?

Satu sudut akan sama dengan arcco a, kedua: -arcos a.

Dan begitulah cara itu akan selalu berhasil. Untuk apa saja sebuah.

Jika Anda tidak percaya, arahkan mouse Anda ke gambar, atau sentuh gambar di tablet.) Saya mengubah nomornya sebuah untuk beberapa negatif. Bagaimanapun, kita punya satu sudut arcco a, kedua: -arcos a.

Oleh karena itu, jawabannya selalu dapat ditulis sebagai dua rangkaian akar:

x 1 = arccos a + 2π n, n Z

x 2 = - arccos a + 2π n, n Z

Kami menggabungkan dua seri ini menjadi satu:

x= ± arccos a + 2π n, n Z

Dan semua hal. Kami telah memperoleh rumus umum untuk menyelesaikan persamaan trigonometri paling sederhana dengan kosinus.

Jika Anda memahami bahwa ini bukan semacam kebijaksanaan super-ilmiah, tapi hanya catatan singkat dari dua rangkaian jawaban, Anda dan tugas "C" akan ada di pundak. Dengan ketidaksetaraan, dengan pemilihan akar dari interval yang diberikan ... Di sana, jawaban dengan plus / minus tidak bergulir. Dan jika Anda memperlakukan jawabannya seperti bisnis, dan memecahnya menjadi dua jawaban terpisah, semuanya diputuskan.) Sebenarnya, untuk ini kami mengerti. Apa, bagaimana dan dimana.

Dalam persamaan trigonometri paling sederhana

sinx = a

juga mendapatkan dua seri akar. Selalu. Dan dua seri ini juga dapat direkam satu baris. Hanya baris ini yang akan lebih pintar:

x = (-1) n arcsin a + n, n Z

Tapi esensinya tetap sama. Matematikawan hanya membangun formula untuk membuat satu, bukan dua catatan dari rangkaian akar. Dan itu saja!

Mari kita periksa matematikawan? Dan itu tidak cukup...)

Dalam pelajaran sebelumnya, solusi (tanpa rumus) dari persamaan trigonometri dengan sinus dianalisis secara rinci:

Jawabannya ternyata menjadi dua rangkaian akar:

x 1 = /6 + 2π n, n Z

x 2 = 5π /6 + 2π n, n Z

Jika kita memecahkan persamaan yang sama menggunakan rumus, kita mendapatkan jawabannya:

x = (-1) n arcsin 0,5 + n, n Z

Sebenarnya, ini adalah jawaban setengah jadi.) Siswa harus tahu bahwa arcsin 0,5 = /6. Jawaban lengkapnya adalah:

x = (-1) n /6+ n, n Z

Di sini muncul pertanyaan menarik. Balas melalui x 1; x 2 (ini adalah jawaban yang benar!) dan melalui kesepian X (dan ini adalah jawaban yang benar!) - hal yang sama, atau tidak? Mari kita cari tahu sekarang.)

Substitusi sebagai jawaban dengan x 1 nilai-nilai n =0; satu; 2; dll, kami pertimbangkan, kami mendapatkan serangkaian akar:

x 1 \u003d / 6; 13π/6; 25π/6 dll.

Dengan substitusi yang sama dalam menanggapi x 2 , kita mendapatkan:

x 2 \u003d 5π / 6; 17π/6; 29π/6 dll.

Dan sekarang kita ganti nilainya n (0; 1; 2; 3; 4...) ke dalam rumus umum untuk kesepian X . Artinya, kita menaikkan minus satu ke pangkat nol, lalu ke yang pertama, kedua, dan seterusnya. Dan, tentu saja, kami mengganti 0 ke suku kedua; satu; 2 3; 4 dll. Dan kami berpikir. Kami mendapatkan seri:

x = /6; 5π/6; 13π/6; 17π/6; 25π/6 dll.

Itu saja yang bisa Anda lihat.) Rumus umum memberi kita hasil yang sama persis yang merupakan dua jawaban secara terpisah. Sekaligus, berurutan. Matematikawan tidak menipu.)

Rumus untuk menyelesaikan persamaan trigonometri dengan tangen dan kotangen juga dapat diperiksa. Tapi jangan.) Mereka sangat bersahaja.

Saya sengaja melukis semua penggantian dan verifikasi ini. Penting untuk memahami satu hal sederhana di sini: ada rumus untuk menyelesaikan persamaan trigonometri dasar, hanya ringkasan jawaban. Untuk singkatnya ini, saya harus memasukkan plus/minus ke dalam solusi kosinus dan (-1) n ke dalam solusi sinus.

Sisipan ini tidak mengganggu tugas di mana Anda hanya perlu menuliskan jawaban untuk persamaan dasar. Tetapi jika Anda perlu menyelesaikan ketidaksetaraan, atau Anda perlu melakukan sesuatu dengan jawabannya: pilih akar pada suatu interval, periksa ODZ, dll., sisipan ini dapat dengan mudah mengganggu ketenangan seseorang.

Dan apa yang harus dilakukan? Ya, lukis jawabannya dalam dua deret, atau selesaikan persamaan / pertidaksamaan dalam lingkaran trigonometri. Kemudian sisipan ini menghilang dan hidup menjadi lebih mudah.)

Anda dapat menyimpulkan.

Untuk menyelesaikan persamaan trigonometri paling sederhana, ada rumus jawaban yang sudah jadi. Empat potong. Mereka bagus untuk menulis solusi persamaan secara instan. Misalnya, Anda perlu menyelesaikan persamaan:

sinx = 0,3

Mudah: x = (-1) n arcsin 0,3 + n, n Z

cos = 0.2

Tidak masalah: x = ± arccos 0.2 + 2π n, n Z

tgx = 1.2

Mudah: x = arctg 1,2 + n, n Z

ctgx = 3,7

Sisa satu: x= arcctg3,7 + n, n Z

cos x = 1,8

Jika Anda, bersinar dengan pengetahuan, langsung tulis jawabannya:

x= ± arccos 1,8 + 2π n, n Z

maka Anda sudah bersinar, ini ... itu ... dari genangan air.) Jawaban yang benar adalah: tidak ada solusi. Tidak mengerti mengapa? Baca apa itu arccosine. Selain itu, jika di sisi kanan persamaan asli ada nilai tabel sinus, cosinus, tangen, kotangen, - 1; 0; √3; 1/2; √3/2 dll. - jawaban melalui lengkungan tidak akan selesai. Lengkungan harus dikonversi ke radian.

Dan jika Anda sudah menemukan ketidaksetaraan, seperti

maka jawabannya adalah:

x n, n Z

ada omong kosong yang langka, ya ...) Di sini perlu untuk memutuskan lingkaran trigonometri. Apa yang akan kita lakukan dalam topik yang sesuai.

Bagi mereka yang heroik membaca sampai baris ini. Saya hanya bisa menghargai usaha titanic Anda. Anda bonus.)

Bonus:

Saat menulis formula dalam situasi pertempuran yang cemas, bahkan kutu buku yang keras sekalipun sering bingung di mana pn, Dan dimana 2πn. Inilah trik sederhana untuk Anda. Di semua rumus hal. Kecuali satu-satunya rumus dengan arc cosinus. Itu berdiri di sana 2πn. Dua pien. Kata kunci - dua. Dalam rumus tunggal yang sama adalah dua tanda tangan di awal. Plus dan minus. Di sana-sini - dua.

Jadi jika Anda menulis dua tanda di depan arc cosinus, lebih mudah untuk mengingat apa yang akan terjadi di akhir dua pien. Dan sebaliknya terjadi. Lewati tanda pria ± , sampai akhir, tulis dengan benar dua pien, ya, dan tangkap. Di depan sesuatu dua tanda! Orang itu akan kembali ke awal, tetapi dia akan memperbaiki kesalahannya! Seperti ini.)

Jika Anda menyukai situs ini...

Omong-omong, saya punya beberapa situs yang lebih menarik untuk Anda.)

Anda dapat berlatih memecahkan contoh dan mengetahui level Anda. Pengujian dengan verifikasi instan. Belajar - dengan penuh minat!)

Anda bisa berkenalan dengan fungsi dan turunannya.

Pelajaran dan presentasi dengan topik: "Solusi persamaan trigonometri paling sederhana"

Bahan tambahan
Pengguna yang terhormat, jangan lupa untuk meninggalkan komentar, umpan balik, saran Anda! Semua bahan diperiksa oleh program antivirus.

Manual dan simulator di toko online "Integral" untuk kelas 10 dari 1C
Kami memecahkan masalah dalam geometri. Tugas interaktif untuk membangun di luar angkasa
Lingkungan perangkat lunak "1C: Konstruktor matematika 6.1"

Apa yang akan kita pelajari:
1. Apa persamaan trigonometri?

3. Dua metode utama untuk menyelesaikan persamaan trigonometri.
4. Persamaan trigonometri homogen.
5. Contoh.

Apa itu persamaan trigonometri?

Kawan, kita telah mempelajari arcsine, arccosine, arctangent dan arccotangent. Sekarang mari kita lihat persamaan trigonometri secara umum.

Persamaan trigonometri - persamaan di mana variabel terkandung di bawah tanda fungsi trigonometri.

Kami mengulangi bentuk penyelesaian persamaan trigonometri paling sederhana:

1) Jika |а|≤ 1, maka persamaan cos(x) = a memiliki solusi:

X= ± arccos(a) + 2πk

2) Jika |а|≤ 1, maka persamaan sin(x) = a memiliki solusi:

3) Jika |a| > 1, maka persamaan sin(x) = a dan cos(x) = a tidak memiliki solusi 4) Persamaan tg(x)=a memiliki solusi: x=arctg(a)+ k

5) Persamaan ctg(x)=a memiliki solusi: x=arcctg(a)+ k

Untuk semua rumus, k adalah bilangan bulat

Persamaan trigonometri paling sederhana memiliki bentuk: (kx+m)=a, T- sembarang fungsi trigonometri.

Contoh.

Selesaikan persamaan: a) sin(3x)= 3/2

Keputusan:

A) Mari kita nyatakan 3x=t, maka kita akan menulis ulang persamaan kita dalam bentuk:

Solusi persamaan ini adalah: t=((-1)^n)arcsin(√3/2)+ n.

Dari tabel nilai kita mendapatkan: t=((-1)^n)×π/3+ n.

Mari kita kembali ke variabel kita: 3x =((-1)^n)×π/3+ n,

Maka x= ((-1)^n)×π/9+ n/3

Jawaban: x= ((-1)^n)×π/9+ n/3, di mana n adalah bilangan bulat. (-1)^n - dikurangi satu pangkat n.

Lebih banyak contoh persamaan trigonometri.

Selesaikan persamaan: a) cos(x/5)=1 b)tg(3x- /3)= 3

Keputusan:

A) Kali ini kita akan langsung menuju ke perhitungan akar-akar persamaan :

X/5= ± arccos(1) + 2πk. Maka x/5= k => x=5πk

Jawaban: x=5πk, di mana k adalah bilangan bulat.

B) Kita tulis dalam bentuk: 3x- /3=artg(√3)+ k. Kita tahu bahwa: arctg(√3)= /3

3x- /3= /3+ k => 3x=2π/3 + k => x=2π/9 + k/3

Jawaban: x=2π/9 + k/3, di mana k adalah bilangan bulat.

Memecahkan persamaan: cos(4x)= 2/2. Dan temukan semua akar pada segmen .

Keputusan:

Selesaikan persamaan kita dalam bentuk umum: 4x= ± arccos(√2/2) + 2πk

4x= ± /4 + 2πk;

X= ± /16+ k/2;

Sekarang mari kita lihat akar apa yang jatuh pada segmen kita. Untuk k Untuk k=0, x= /16, kita berada di segmen yang diberikan .
Dengan k=1, x= /16+ /2=9π/16, mereka memukul lagi.
Untuk k=2, x= /16+ =17π/16, tapi di sini kita tidak memukul, yang berarti kita juga tidak akan memukul untuk k yang besar.

Jawaban: x= /16, x= 9π/16

Dua metode solusi utama.

Kami telah mempertimbangkan persamaan trigonometri paling sederhana, tetapi ada yang lebih kompleks. Untuk menyelesaikannya, digunakan metode memasukkan variabel baru dan metode faktorisasi. Mari kita lihat contoh.

Mari kita selesaikan persamaannya:

Keputusan:
Untuk menyelesaikan persamaan kami, kami menggunakan metode memasukkan variabel baru, dilambangkan: t=tg(x).

Sebagai hasil dari penggantian, kita mendapatkan: t 2 + 2t -1 = 0

Temukan akar persamaan kuadrat: t=-1 dan t=1/3

Kemudian tg(x)=-1 dan tg(x)=1/3, kita mendapatkan persamaan trigonometri paling sederhana, mari kita cari akarnya.

X=arctg(-1) +πk= -π/4+πk; x=artg(1/3) + k.

Jawaban: x= -π/4+πk; x=artg(1/3) + k.

Contoh penyelesaian persamaan

Memecahkan persamaan: 2sin 2 (x) + 3 cos(x) = 0

Keputusan:

Mari kita gunakan identitas: sin 2 (x) + cos 2 (x)=1

Persamaan kita menjadi: 2-2cos 2 (x) + 3 cos (x) = 0

2 cos 2 (x) - 3 cos(x) -2 = 0

Mari kita perkenalkan penggantian t=cos(x): 2t 2 -3t - 2 = 0

Solusi persamaan kuadrat kita adalah akar-akarnya: t=2 dan t=-1/2

Maka cos(x)=2 dan cos(x)=-1/2.

Karena cosinus tidak dapat mengambil nilai yang lebih besar dari satu, maka cos(x)=2 tidak memiliki akar.

Untuk cos(x)=-1/2: x= ± arccos(-1/2) + 2πk; x= ±2π/3 + 2πk

Jawaban: x= ±2π/3 + 2πk

Persamaan trigonometri homogen.

Definisi: Persamaan berbentuk a sin(x)+b cos(x) disebut persamaan trigonometri homogen derajat pertama.

persamaan bentuk

persamaan trigonometri homogen derajat kedua.

Untuk menyelesaikan persamaan trigonometri homogen derajat pertama, kita membaginya dengan cos(x): Tidak mungkin membagi dengan cosinus jika sama dengan nol, mari kita pastikan bahwa ini tidak benar:
Misalkan cos(x)=0, maka asin(x)+0=0 => sin(x)=0, tetapi sinus dan cosinus tidak sama dengan nol pada saat yang sama, kita mendapatkan kontradiksi, sehingga kita dapat membagi dengan aman dengan nol.

Selesaikan persamaan:
Contoh: cos 2 (x) + sin(x) cos(x) = 0

Keputusan:

Keluarkan faktor persekutuan: cos(x)(c0s(x) + sin (x)) = 0

Maka kita perlu menyelesaikan dua persamaan:

cos(x)=0 dan cos(x)+sin(x)=0

Cos(x)=0 untuk x= /2 + k;

Pertimbangkan persamaan cos(x)+sin(x)=0 Bagi persamaan kita dengan cos(x):

1+tg(x)=0 => tg(x)=-1 => x=arctg(-1) +πk= -π/4+πk

Jawaban: x= /2 + k dan x= -π/4+πk

Bagaimana menyelesaikan persamaan trigonometri homogen derajat kedua?
Teman-teman, patuhi aturan ini selalu!

1. Lihat apa koefisien a sama dengan, jika a \u003d 0 maka persamaan kita akan berbentuk cos (x) (bsin (x) + ccos (x)), contoh solusinya ada di sebelumnya menggeser

2. Jika a≠0, maka Anda perlu membagi kedua bagian persamaan dengan kosinus kuadrat, kita mendapatkan:

Kami membuat perubahan variabel t=tg(x) kami mendapatkan persamaan:

Selesaikan Contoh #:3

Selesaikan persamaan:
Keputusan:

Bagilah kedua ruas persamaan dengan kuadrat cosinus:

Kami membuat perubahan variabel t=tg(x): t 2 + 2 t - 3 = 0

Temukan akar persamaan kuadrat: t=-3 dan t=1

Maka: tg(x)=-3 => x=arctg(-3) + k=-artg(3) + k

Tg(x)=1 => x= /4+ k

Jawaban: x=-artg(3) + k dan x= /4+ k

Selesaikan Contoh #:4

Selesaikan persamaan:

Keputusan:
Mari kita ubah ekspresi kita:

Kita dapat menyelesaikan persamaan berikut: x= - /4 + 2πk dan x=5π/4 + 2πk

Jawaban: x= - /4 + 2πk dan x=5π/4 + 2πk

Selesaikan Contoh #:5

Selesaikan persamaan:

Keputusan:
Mari kita ubah ekspresi kita:

Kami memperkenalkan penggantian tg(2x)=t:2 2 - 5t + 2 = 0

Solusi persamaan kuadrat kita adalah akar-akarnya: t=-2 dan t=1/2

Maka diperoleh: tg(2x)=-2 dan tg(2x)=1/2
2x=-artg(2)+ k => x=-artg(2)/2 + k/2

2x= arctg(1/2) + k => x=arctg(1/2)/2+ k/2

Jawaban: x=-artg(2)/2 + k/2 dan x=arctg(1/2)/2+ k/2

Tugas untuk solusi independen.

1) Memecahkan persamaan

A) sin(7x)= 1/2 b) cos(3x)= 3/2 c) cos(-x) = -1 d) tg(4x) = 3 e) ctg(0.5x) = -1.7

2) Memecahkan persamaan: sin(3x)= 3/2. Dan temukan semua akar pada segmen [π/2; ].

3) Selesaikan persamaan: ctg 2 (x) + 2ctg(x) + 1 =0

4) Selesaikan persamaan: 3 sin 2 (x) + 3sin (x) cos(x) = 0

5) Selesaikan persamaan: 3sin 2 (3x) + 10 sin(3x)cos(3x) + 3 cos 2 (3x) =0

6) Selesaikan persamaan: cos 2 (2x) -1 - cos(x) =√3/2 -sin 2 (2x)

Privasi Anda penting bagi kami. Untuk alasan ini, kami telah mengembangkan Kebijakan Privasi yang menjelaskan bagaimana kami menggunakan dan menyimpan informasi Anda. Harap baca kebijakan privasi kami dan beri tahu kami jika Anda memiliki pertanyaan.

Pengumpulan dan penggunaan informasi pribadi

Informasi pribadi mengacu pada data yang dapat digunakan untuk mengidentifikasi atau menghubungi orang tertentu.

Anda mungkin diminta untuk memberikan informasi pribadi Anda kapan saja saat Anda menghubungi kami.

Berikut ini adalah beberapa contoh jenis informasi pribadi yang kami kumpulkan dan bagaimana kami dapat menggunakan informasi tersebut.

Informasi pribadi apa yang kami kumpulkan:

• Saat Anda mengajukan aplikasi di situs, kami dapat mengumpulkan berbagai informasi, termasuk nama, nomor telepon, alamat email, dll.

Bagaimana kami menggunakan informasi pribadi Anda:

• Informasi pribadi yang kami kumpulkan memungkinkan kami untuk menghubungi Anda dan memberi tahu Anda tentang penawaran unik, promosi, dan acara lainnya serta acara mendatang.
• Dari waktu ke waktu, kami dapat menggunakan informasi pribadi Anda untuk mengirimkan pemberitahuan dan pesan penting kepada Anda.
• Kami juga dapat menggunakan informasi pribadi untuk tujuan internal, seperti melakukan audit, analisis data, dan berbagai penelitian untuk meningkatkan layanan yang kami berikan dan memberi Anda rekomendasi terkait layanan kami.
• Jika Anda mengikuti undian berhadiah, kontes, atau insentif serupa, kami dapat menggunakan informasi yang Anda berikan untuk mengelola program tersebut.

Pengungkapan kepada pihak ketiga

Kami tidak mengungkapkan informasi yang diterima dari Anda kepada pihak ketiga.

Pengecualian:

• Jika perlu - sesuai dengan hukum, perintah pengadilan, dalam proses hukum, dan / atau berdasarkan permintaan publik atau permintaan dari badan-badan negara di wilayah Federasi Rusia - mengungkapkan informasi pribadi Anda. Kami juga dapat mengungkapkan informasi tentang Anda jika kami menentukan bahwa pengungkapan tersebut diperlukan atau sesuai untuk keamanan, penegakan hukum, atau tujuan kepentingan publik lainnya.
• Jika terjadi reorganisasi, merger, atau penjualan, kami dapat mentransfer informasi pribadi yang kami kumpulkan kepada penerus pihak ketiga yang relevan.

Perlindungan informasi pribadi

Kami mengambil tindakan pencegahan - termasuk administratif, teknis, dan fisik - untuk melindungi informasi pribadi Anda dari kehilangan, pencurian, dan penyalahgunaan, serta dari akses, pengungkapan, perubahan, dan penghancuran yang tidak sah.

Menjaga privasi Anda di tingkat perusahaan

Untuk memastikan bahwa informasi pribadi Anda aman, kami mengomunikasikan praktik privasi dan keamanan kepada karyawan kami dan secara ketat menegakkan praktik privasi.

Saat memecahkan banyak Soal matematika, terutama yang terjadi sebelum kelas 10, urutan tindakan yang dilakukan yang akan mengarah pada tujuan ditentukan dengan jelas. Masalah tersebut meliputi, misalnya, persamaan linier dan kuadrat, pertidaksamaan linier dan kuadrat, persamaan pecahan dan persamaan yang direduksi menjadi kuadrat. Prinsip solusi yang berhasil dari masing-masing tugas yang disebutkan adalah sebagai berikut: perlu untuk menetapkan jenis tugas apa yang sedang diselesaikan, mengingat urutan tindakan yang diperlukan yang akan mengarah pada hasil yang diinginkan, mis. jawab dan ikuti langkah-langkah ini.

Jelas, keberhasilan atau kegagalan dalam memecahkan masalah tertentu terutama tergantung pada seberapa benar jenis persamaan yang sedang diselesaikan ditentukan, seberapa benar urutan semua tahapan solusinya direproduksi. Tentu saja, dalam hal ini, diperlukan keterampilan untuk melakukan transformasi dan perhitungan yang identik.

Situasi yang berbeda terjadi dengan persamaan trigonometri. Tidak sulit untuk menetapkan fakta bahwa persamaan tersebut adalah trigonometri. Kesulitan muncul ketika menentukan urutan tindakan yang akan mengarah pada jawaban yang benar.

Kadang-kadang sulit untuk menentukan jenisnya dengan munculnya persamaan. Dan tanpa mengetahui jenis persamaan, hampir tidak mungkin untuk memilih yang benar dari beberapa lusin rumus trigonometri.

Untuk menyelesaikan persamaan trigonometri, kita harus mencoba:

1. bawa semua fungsi yang termasuk dalam persamaan ke "sudut yang sama";
2. bawa persamaan ke "fungsi yang sama";
3. faktorkan ruas kiri persamaan, dll.

Mempertimbangkan metode dasar untuk menyelesaikan persamaan trigonometri.

I. Reduksi ke persamaan trigonometri paling sederhana

Skema solusi

Langkah 1. Nyatakan fungsi trigonometri dalam bentuk komponen yang diketahui.

Langkah 2 Temukan argumen fungsi menggunakan rumus:

cos x = a; x = ±arccos a + 2πn, n Z.

dosa x = a; x \u003d (-1) n busur di a + n, n Z.

tan x = a; x \u003d arctg a + n, n Z.

ctgx = a; x \u003d arcctg a + n, n Z.

Langkah 3 Temukan variabel yang tidak diketahui.

Contoh.

2 cos(3x – /4) = -√2.

Keputusan.

1) cos(3x - /4) = -√2/2.

2) 3x – /4 = ±(π – /4) + 2πn, n Z;

3x – /4 = ±3π/4 + 2πn, n Z.

3) 3x = ±3π/4 + /4 + 2πn, n Z;

x = ±3π/12 + /12 + 2πn/3, n Z;

x = ±π/4 + /12 + 2πn/3, n Z.

Jawaban: ±π/4 + /12 + 2πn/3, n Z.

II. Substitusi variabel

Skema solusi

Langkah 1. Bawa persamaan ke bentuk aljabar sehubungan dengan salah satu fungsi trigonometri.

Langkah 2 Tunjukkan fungsi yang dihasilkan dengan variabel t (jika perlu, perkenalkan pembatasan pada t).

Langkah 3 Tulis dan selesaikan persamaan aljabar yang dihasilkan.

Langkah 4 Lakukan substitusi terbalik.

Langkah 5 Memecahkan persamaan trigonometri paling sederhana.

Contoh.

2cos 2 (x/2) - 5sin (x/2) - 5 = 0.

Keputusan.

1) 2(1 - sin 2 (x/2)) - 5sin (x/2) - 5 = 0;

2sin 2(x/2) + 5sin(x/2) + 3 = 0.

2) Misal sin (x/2) = t, dimana |t| 1.

3) 2t 2 + 5t + 3 = 0;

t = 1 atau e = -3/2 tidak memenuhi syarat |t| 1.

4) dosa (x/2) = 1.

5) x/2 = /2 + 2πn, n Z;

x = + 4πn, n Z.

Jawaban: x = + 4πn, n Z.

AKU AKU AKU. Metode pengurangan orde persamaan

Skema solusi

Langkah 1. Ganti persamaan ini dengan persamaan linier menggunakan rumus reduksi daya:

sin 2 x \u003d 1/2 (1 - cos 2x);

cos 2 x = 1/2 (1 + cos 2x);

tan 2 x = (1 - cos 2x) / (1 + cos 2x).

Langkah 2 Selesaikan persamaan yang dihasilkan menggunakan metode I dan II.

Contoh.

cos2x + cos2x = 5/4.

Keputusan.

1) cos 2x + 1/2 (1 + cos 2x) = 5/4.

2) cos 2x + 1/2 + 1/2 cos 2x = 5/4;

3/2 cos 2x = 3/4;

2x = ±π/3 + 2πn, n Z;

x = ±π/6 + n, n Z.

Jawaban: x = ±π/6 + n, n Z.

IV. persamaan homogen

Skema solusi

Langkah 1. Ubah persamaan ini menjadi bentuk

a) a sin x + b cos x = 0 (persamaan homogen derajat pertama)

atau ke tampilan

b) a sin 2 x + b sin x cos x + c cos 2 x = 0 (persamaan homogen derajat kedua).

Langkah 2 Bagilah kedua ruas persamaan dengan

a) cos x 0;

b) cos 2 x 0;

dan dapatkan persamaan untuk tg x:

a) a tg x + b = 0;

b) a tg 2 x + b arctg x + c = 0.

Langkah 3 Selesaikan persamaan menggunakan metode yang diketahui.

Contoh.

5sin 2 x + 3sin x cos x - 4 = 0.

Keputusan.

1) 5sin 2 x + 3sin x cos x – 4(sin 2 x + cos 2 x) = 0;

5sin 2 x + 3sin x cos x – 4sin² x – 4cos 2 x = 0;

sin 2 x + 3sin x cos x - 4cos 2 x \u003d 0 / cos 2 x 0.

2) tg 2 x + 3 tg x - 4 = 0.

3) Misalkan tg x = t, maka

t 2 + 3t - 4 = 0;

t = 1 atau t = -4, jadi

tg x = 1 atau tg x = -4.

Dari persamaan pertama x = /4 + n, n Z; dari persamaan kedua x = -arctg 4 + k, k Z.

Jawaban: x = /4 + n, n Z; x \u003d -arctg 4 + k, k Z.

V. Metode untuk mengubah persamaan menggunakan rumus trigonometri

Skema solusi

Langkah 1. Dengan menggunakan semua jenis rumus trigonometri, bawa persamaan ini ke persamaan yang dapat diselesaikan dengan metode I, II, III, IV.

Langkah 2 Selesaikan persamaan yang dihasilkan menggunakan metode yang diketahui.

Contoh.

sinx + sin2x + sin3x = 0.

Keputusan.

1) (sin x + sin 3x) + sin 2x = 0;

2sin 2x cos x + sin 2x = 0.

2) sin 2x (2cos x + 1) = 0;

sin 2x = 0 atau 2cos x + 1 = 0;

Dari persamaan pertama 2x = /2 + n, n Z; dari persamaan kedua cos x = -1/2.

Kami memiliki x = /4 + n/2, n Z; dari persamaan kedua x = ±(π – /3) + 2πk, k Z.

Akibatnya, x \u003d / 4 + n / 2, n Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Z.

Jawaban: x \u003d / 4 + n / 2, n Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Z.

Kemampuan dan keterampilan untuk menyelesaikan persamaan trigonometri sangat penting, perkembangannya memerlukan usaha yang cukup besar, baik dari pihak siswa maupun guru.

Banyak masalah stereometri, fisika, dll terkait dengan solusi persamaan trigonometri.Proses pemecahan masalah seperti itu, seolah-olah, mengandung banyak pengetahuan dan keterampilan yang diperoleh ketika mempelajari elemen trigonometri.

Persamaan trigonometri menempati tempat penting dalam proses pengajaran matematika dan pengembangan kepribadian secara umum.

Apakah Anda memiliki pertanyaan? Tidak tahu cara menyelesaikan persamaan trigonometri?
Untuk mendapatkan bantuan dari tutor -.
Pelajaran pertama gratis!

blog.site, dengan penyalinan materi secara penuh atau sebagian, diperlukan tautan ke sumbernya.

Persamaan trigonometri yang lebih kompleks

persamaan

dosa x =,
karena x =,
tg x =,
ctg x =

adalah persamaan trigonometri yang paling sederhana. Pada bagian ini, dengan menggunakan contoh spesifik, kita akan membahas persamaan trigonometri yang lebih kompleks. Solusinya, sebagai suatu peraturan, direduksi menjadi penyelesaian persamaan trigonometri paling sederhana.

Contoh 1 . selesaikan persamaannya

dosa 2 X= cos X dosa 2 x.

Mentransfer semua istilah persamaan ini ke sisi kiri dan mendekomposisi ekspresi yang dihasilkan menjadi faktor, kami memperoleh:

dosa 2 X(1 - cos X) = 0.

Produk dari dua ekspresi sama dengan nol jika dan hanya jika setidaknya salah satu faktornya sama dengan nol, dan yang lainnya mengambil nilai numerik apa pun, selama itu didefinisikan.

Jika sebuah dosa 2 X = 0 , lalu 2 X=n π ; X = π / 2n.

Jika 1 - karena X = 0 , maka cos X = 1; X = 2kπ .

Jadi, kami mendapat dua kelompok akar: X = π / 2n; X = 2kπ . Kelompok akar kedua jelas terkandung dalam yang pertama, karena untuk n = 4k ekspresi X = π / 2n menjadi
X = 2kπ .

Oleh karena itu, jawabannya dapat ditulis dalam satu rumus: X = π / 2n, di mana n- sembarang bilangan bulat.

Perhatikan bahwa persamaan ini tidak dapat diselesaikan dengan mengurangi sin 2 x. Memang, setelah pengurangan, kita akan mendapatkan 1 - cos x = 0, dari mana X= 2k π . Jadi, kita akan kehilangan beberapa akar, misalnya π / 2 , π , 3π / 2 .

CONTOH 2. selesaikan persamaannya

Pecahan adalah nol hanya jika pembilangnya nol.
Jadi dosa 2 X = 0 , dari mana 2 X=n π ; X = π / 2n.

Dari nilai-nilai ini X harus dibuang sebagai nilai-nilai asing yang dosaX hilang (pecahan dengan penyebut nol tidak ada artinya: pembagian dengan nol tidak ditentukan). Nilai-nilai ini adalah angka yang merupakan kelipatan dari π . Dalam rumus
X = π / 2n mereka diperoleh untuk genap n. Oleh karena itu, akar persamaan ini akan menjadi angka

X = π / 2 (2k + 1),

dimana k adalah sembarang bilangan bulat.

Contoh 3 . selesaikan persamaannya

2 dosa 2 X+ 7 co x - 5 = 0.

Cepat dosa 2 X melalui karenax : dosa 2 X = 1 - karena 2x . Maka persamaan ini dapat ditulis ulang menjadi

2 (1 - cos 2 x) + 7 cos x - 5 = 0 , atau

2cos 2 x- 7cos x + 3 = 0.

menunjukkan karenax melalui pada, kita sampai pada persamaan kuadrat

2 tahun 2 - 7 tahun + 3 = 0,

yang akar-akarnya adalah bilangan 1/2 dan 3. Oleh karena itu, salah satu dari cos x= 1/2 atau cos X= 3. Namun, yang terakhir tidak mungkin, karena nilai absolut dari kosinus sudut mana pun tidak melebihi 1.

Masih harus diakui bahwa karena x = 1 / 2 , di mana

x = ± 60 ° + 360 ° n.

Contoh 4 . selesaikan persamaannya

2 dosa X+ 3cos x = 6.

Karena dosa x dan karena x jangan melebihi 1 dalam nilai absolut, maka ekspresi
2 dosa X+ 3cos x tidak dapat mengambil nilai lebih besar dari 5 . Oleh karena itu, persamaan ini tidak memiliki akar.

Contoh 5 . selesaikan persamaannya

dosa X+ cos x = 1

Dengan mengkuadratkan kedua ruas persamaan ini, kita peroleh:

dosa 2 X+ 2 dosa x karena x+ cos2 x = 1,

tetapi dosa 2 X + karena 2 x = 1 . Jadi 2 dosa x karena x = 0 . Jika sebuah dosa x = 0 , kemudian X = nπ ; jika
karena x , kemudian X = π / 2 + kπ . Kedua kelompok solusi ini dapat ditulis dalam satu rumus:

X = π / 2n

Karena kita mengkuadratkan kedua bagian persamaan ini, tidak menutup kemungkinan bahwa di antara akar-akar yang kita peroleh ada yang asing. Itulah sebabnya dalam contoh ini, tidak seperti semua yang sebelumnya, perlu dilakukan pemeriksaan. Semua nilai

X = π / 2n dapat dibagi menjadi 4 kelompok

	1) X = 2kπ .	(n=4k)
	2) X = π / 2 + 2kπ .	(n=4k+1)
	3) X = π + 2kπ .	(n=4k+2)
	4) X = 3π / 2 + 2kπ .	(n=4k+3)

Pada X = 2kπ dosa x+ cos x= 0 + 1 = 1. Oleh karena itu, X = 2kπ adalah akar dari persamaan ini.

Pada X = π / 2 + 2kπ. dosa x+ cos x= 1 + 0 = 1 X = π / 2 + 2kπ juga merupakan akar dari persamaan ini.

Pada X = π + 2kπ dosa x+ cos x= 0 - 1 = - 1. Oleh karena itu, nilai X = π + 2kπ bukan akar dari persamaan ini. Demikian pula, ditunjukkan bahwa X = 3π / 2 + 2kπ. bukan akar.

Dengan demikian, persamaan ini memiliki akar-akar berikut: X = 2kπ dan X = π / 2 + 2mπ., di mana k dan m- bilangan bulat apa saja.