"Persamaan pecahan" - Luas nilai yang dapat diterima dari persamaan pecahan-rasional adalah ... .. A) 2 (1-x?) + 3x -4 \u003d 0; b) x - 3 = x? - x +1; 4 2 c)x? - x - 7 = x +8; x d) 2x - 4 \u003d 3__; X? +1 x +1 e) 3x + 1= x; x -1 e) x-7 \u003d? x + 9. Jangan memanjakan matamu dengan air mata. Temukan nilai yang diizinkan dari pecahan yang termasuk dalam persamaan. Perintah keibuan terakhir Anda: “Hukum kehidupan itu bijaksana dan kejam.
"Solusi persamaan rasional pecahan" - "Pekerjaan rumah". 1) 0 dan 1. 3) 4 dan 3. Blitz - polling. Apa itu persamaan rasional? Berikan definisi seluruh persamaan. 2) 3. "Lotto". Jangan mengandalkan hari esok, Ingat: semuanya ada di tangan Anda. Penyelesaian persamaan rasional pecahan. Bagaimana cara menyelesaikan persamaan rasional pecahan? Apa itu persamaan rasional pecahan?
"Persamaan Aljabar" - Refleksi, hasil pelajaran. Pekerjaan rumah. Mengatur waktu. Struktur pelajaran: Oh-oh ... Tujuan: Memperbarui pengetahuan dasar. . Pengembangan keterampilan dan kemampuan. Anak-anak. Penetapan tujuan. Aljabar kelas 7.
"Memecahkan sistem persamaan" - Metode grafis Memecahkan secara grafis (. Monomial serupa. Apa yang disebut solusi sistem persamaan? X + 2y = 3 5x-3y \u003d 2. Periksa sendiri! Apakah pasangannya (1; 1) dan (-1; 3) bilangan dengan menyelesaikan sistem (. Pengulangan. Memecahkan sistem: (. Bentuk standar monomial. Metode penyelesaian. Secara lisan. Metode penyelesaian sistem persamaan.
"Persamaan Logaritma Pelajaran" - 1.logx5 = 1 2.logx(x2-1) = 0 3.log5(2x+1) = log5(x+2). Temukan rentang nilai persamaan yang valid. PERSAMAAN LOGARITMA (5 pelajaran terakhir). logaks = b. x > 0 a > 0 a ? satu.
"Persamaan trigonometri" - Oleh karena itu, sinx \u003d 1/2 atau sinx \u003d -1. Keputusan. Persamaan trigonometri. Mari kita perkenalkan variabel baru t = sinx. Benarkah: Apakah persamaan tersebut masuk akal: Memecahkan persamaan: Contoh 1. Selesaikan persamaan 2 sin2x + sinx - 1 = 0. Maka persamaan ini akan berbentuk 2t2 + t - 1 = 0.
Total ada 20 presentasi dalam topik
Kita tahu bahwa nilai cosinus berada dalam kisaran [-1; 1], yaitu -1 cos 1. Oleh karena itu, jika |a| > 1, maka persamaan cos x = a tidak memiliki akar. Misalnya, persamaan cos x = -1.5 tidak memiliki akar.
Mari kita pertimbangkan beberapa tugas.
Selesaikan persamaan cos x = 1/2.
Keputusan.
Ingat bahwa cos x adalah absis dari titik lingkaran dengan jari-jari sama dengan 1, diperoleh dengan memutar titik P (1; 0) melalui sudut x di sekitar titik asal.
Absis 1/2 memiliki dua titik lingkaran M 1 dan M 2. Karena 1/2 \u003d cos / 3, maka kita bisa mendapatkan titik M 1 dari titik P (1; 0) dengan memutar melalui sudut x 1 \u003d / 3, serta melalui sudut x \u003d / 3 + 2πk, di mana k = +/-1, +/-2, …
Titik M 2 diperoleh dari titik P (1; 0) dengan memutar melalui sudut x 2 = -π/3, serta melalui sudut -π/3 + 2πk, dimana k = +/-1, + /-2, ...
Jadi, semua akar persamaan cos x = 1/2 dapat ditemukan dengan rumus
x = /3 + 2πk
x \u003d -π / 3 + 2πk,
Kedua rumus yang disajikan dapat digabungkan menjadi satu:
x = +/-π/3 + 2πk, k Z.
Selesaikan persamaan cos x = -1/2.
Keputusan.
Sebuah absis sama dengan - 1/2 memiliki dua titik lingkaran M 1 dan M 2. Karena -1/2 \u003d cos 2π / 3, maka sudut x 1 \u003d 2π / 3, dan karenanya sudut x 2 \u003d -2π / 3.
Oleh karena itu, semua akar persamaan cos x = -1/2 dapat dicari dengan rumus: x = +/-2π/3 + 2πk, k Z.
Jadi, masing-masing persamaan cos x = 1/2 dan cos x = -1/2 memiliki jumlah akar tak terhingga. Pada interval 0 x , masing-masing persamaan ini hanya memiliki satu akar: x 1 \u003d / 3 - akar persamaan cos x \u003d 1/2 dan x 1 \u003d 2π / 3 - akar dari persamaan cos x \u003d -1/2.
Bilangan /3 disebut arc cosinus dari bilangan 1/2 dan ditulis: arccos 1/2 = /3, dan bilangan 2π/3 adalah arc cosinus dari bilangan (-1/2) dan adalah ditulis: arccos (-1/2) = 2π/3 .
Secara umum, persamaan cos x \u003d a, di mana -1 a 1, hanya memiliki satu akar pada ruas 0 x . Jika a 0, maka akar berada di dalam interval; jika sebuah< 0, то в промежутке (π/2; π]. Этот корень называют арккосинусом числа а и обозначают: arccos а.
Jadi, busur kosinus dari angka a € [-1; 1] angka seperti itu disebut a €, yang kosinusnya sama dengan a:
arccos a = jika cos = a dan 0 a (1).
Misalnya, arccos 3/2 = /6, karena cos π/6 = 3/2 dan 0 π/6 ;
arccos (-√3/2) = 5π/6 karena cos 5π/6 = -√3/2 dan 0 5π/6 .
Sama halnya dengan yang dilakukan pada proses penyelesaian soal 1 dan 2, dapat ditunjukkan bahwa semua akar persamaan cos x = a, dimana |a| 1 dinyatakan dengan rumus
x = +/- arccos a + 2 n, n Z (2).
Selesaikan persamaan cos x = -0,75.
Keputusan.
Menurut rumus (2), kita menemukan x = +/- arccos (-0,75) + 2 n, n € Z.
Nilai arcos (-0,75) kira-kira dapat ditemukan pada gambar dengan mengukur sudut dengan busur derajat. Nilai perkiraan dari arc cosinus juga dapat ditemukan menggunakan tabel khusus (tabel bradis) atau mikrokalkulator. Misalnya, nilai arccos (-0,75) dapat dihitung pada mikrokalkulator, mendapatkan nilai perkiraan 2.4188583. Jadi, arccos (-0,75) 2,42. Oleh karena itu, arccos (-0,75) 139°.
Jawaban: arccos (-0,75) 139°.
Selesaikan persamaan (4cos x - 1)(2cos 2x + 1) = 0.
Keputusan.
1) 4cos x - 1 = 0, cos x = 1/4, x = +/-arcos 1/4 + 2 n, n € Z.
2) 2cos 2x + 1 = 0, cos 2x = -1/2, 2x = +/-2π/3 + 2 n, x = +/-π/3 + n, n Z.
Menjawab. x = +/-arcos 1/4 + 2 n, x = +/-π/3 + n.
Dapat dibuktikan bahwa untuk setiap € [-1; 1] rumus arccos (-a) = - arccos a (3) valid.
Rumus ini memungkinkan Anda untuk mengekspresikan nilai-nilai dari invers cosinus dari angka negatif dalam hal nilai dari invers cosinus dari angka positif. Sebagai contoh:
arccos (-1/2) \u003d - arccos 1/2 \u003d - / 3 \u003d 2π / 3;
arccos (-√2/2) = - arccos 2/2 = - /4 = 3π/4
dari rumus (2) berikut bahwa akar persamaan, cos x \u003d a untuk \u003d 0, a \u003d 1 dan a \u003d -1 dapat ditemukan menggunakan rumus yang lebih sederhana:
cos x \u003d 0 x \u003d / 2 + n, n € Z (4)
cos x = 1 x = 2πn, n € Z (5)
cos x \u003d -1 x \u003d + 2πn, n € Z (6).
situs, dengan penyalinan materi secara penuh atau sebagian, tautan ke sumber diperlukan.
Artikel ini telah mengumpulkan tabel sinus, cosinus, tangen dan kotangen. Pertama, kami memberikan tabel nilai utama fungsi trigonometri, yaitu tabel sinus, cosinus, garis singgung dan kotangen sudut 0, 30, 45, 60, 90, ..., 360 derajat ( 0, /6, /4, /3, /2, …, 2π radian). Setelah itu, kami akan memberikan tabel sinus dan cosinus, serta tabel garis singgung dan kotatangen oleh V. M. Bradis, dan menunjukkan cara menggunakan tabel ini ketika menemukan nilai fungsi trigonometri.
Navigasi halaman.
Tabel sinus, cosinus, garis singgung dan kotangen untuk sudut 0, 30, 45, 60, 90, ... derajat
Bibliografi.
- Aljabar: Prok. untuk 9 sel. rata-rata sekolah / Yu. N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkov, S.B. Suvorova; Ed. S. A. Telyakovsky.- M.: Pencerahan, 1990.- 272 hal.: Ill.- ISBN 5-09-002727-7
- Bashmakov M.I. Aljabar dan awal analisis: Proc. untuk 10-11 sel. rata-rata sekolah - edisi ke-3. - M.: Pencerahan, 1993. - 351 hal.: sakit. - ISBN 5-09-004617-4.
- Aljabar dan awal analisis: Proc. untuk 10-11 sel. pendidikan umum institusi / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn dan lainnya; Ed. A. N. Kolmogorova.- edisi ke-14.- M.: Enlightenment, 2004.- 384 hal.: sakit.- ISBN 5-09-013651-3.
- Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematika (manual untuk pelamar ke sekolah teknik): Proc. tunjangan.- M.; Lebih tinggi sekolah, 1984.-351 hal., sakit.
- Bradis V.M. Tabel matematika empat digit: Untuk pendidikan umum. buku pelajaran pendirian. - edisi ke-2. - M.: Bustard, 1999.- 96 hal.: sakit. ISBN 5-7107-2667-2
Katakanlah Achilles berlari sepuluh kali lebih cepat dari kura-kura dan berada seribu langkah di belakangnya. Selama waktu di mana Achilles berlari sejauh ini, kura-kura merangkak seratus langkah ke arah yang sama. Ketika Achilles telah berlari seratus langkah, kura-kura akan merangkak sepuluh langkah lagi, dan seterusnya. Prosesnya akan terus berlanjut tanpa batas waktu, Achilles tidak akan pernah bisa mengejar kura-kura.
Alasan ini menjadi kejutan logis bagi semua generasi berikutnya. Aristoteles, Diogenes, Kant, Hegel, Gilbert... Semuanya, dalam satu atau lain cara, dianggap sebagai aporia Zeno. Guncangannya begitu kuat sehingga " ... diskusi berlanjut saat ini, komunitas ilmiah belum berhasil mencapai pendapat umum tentang esensi paradoks ... analisis matematis, teori himpunan, pendekatan fisik dan filosofis baru terlibat dalam studi masalah ; tidak satupun dari mereka menjadi solusi yang diterima secara universal untuk masalah ..."[Wikipedia," Zeno's Aporias "]. Semua orang mengerti bahwa mereka dibodohi, tetapi tidak ada yang mengerti apa penipuan itu.
Dari sudut pandang matematika, Zeno dalam aporianya dengan jelas menunjukkan transisi dari nilai ke. Transisi ini menyiratkan penerapan alih-alih konstanta. Sejauh yang saya mengerti, peralatan matematika untuk menerapkan satuan variabel pengukuran belum dikembangkan, atau belum diterapkan pada aporia Zeno. Penerapan logika kita yang biasa membawa kita ke dalam jebakan. Kami, dengan kelembaman berpikir, menerapkan satuan waktu yang konstan untuk kebalikannya. Dari sudut pandang fisik, ini terlihat seperti perlambatan waktu hingga berhenti sepenuhnya pada saat Achilles mengejar kura-kura. Jika waktu berhenti, Achilles tidak bisa lagi menyusul kura-kura.
Jika kita memutar logika yang biasa kita gunakan, semuanya menjadi pada tempatnya. Achilles berjalan dengan kecepatan konstan. Setiap segmen berikutnya dari jalurnya sepuluh kali lebih pendek dari yang sebelumnya. Dengan demikian, waktu yang dihabiskan untuk mengatasinya sepuluh kali lebih sedikit dari yang sebelumnya. Jika kita menerapkan konsep "tak terhingga" dalam situasi ini, maka akan benar untuk mengatakan "Achilles akan dengan cepat menyalip kura-kura."
Bagaimana cara menghindari jebakan logis ini? Tetap dalam satuan waktu yang konstan dan jangan beralih ke nilai timbal balik. Dalam bahasa Zeno, terlihat seperti ini:
Dalam waktu yang dibutuhkan Achilles untuk berlari seribu langkah, kura-kura merangkak seratus langkah ke arah yang sama. Selama interval waktu berikutnya, sama dengan yang pertama, Achilles akan berlari seribu langkah lagi, dan kura-kura akan merangkak seratus langkah. Sekarang Achilles berada delapan ratus langkah di depan kura-kura.
Pendekatan ini cukup menggambarkan realitas tanpa paradoks logis. Tapi ini bukan solusi lengkap untuk masalah ini. Pernyataan Einstein tentang kecepatan cahaya yang tidak dapat diatasi sangat mirip dengan aporia Zeno "Achilles dan kura-kura". Kami belum mempelajari, memikirkan kembali, dan memecahkan masalah ini. Dan solusinya harus dicari bukan dalam jumlah besar yang tak terhingga, tetapi dalam satuan pengukuran.
Aporia menarik lainnya dari Zeno menceritakan tentang panah terbang:
Sebuah panah terbang tidak bergerak, karena pada setiap saat ia diam, dan karena ia diam pada setiap saat, ia selalu diam.
Dalam aporia ini, paradoks logis diatasi dengan sangat sederhana - cukup untuk memperjelas bahwa pada setiap saat panah terbang diam di berbagai titik di ruang angkasa, yang sebenarnya adalah gerakan. Ada hal lain yang perlu diperhatikan di sini. Dari satu foto mobil di jalan, tidak mungkin untuk menentukan fakta pergerakannya atau jaraknya. Untuk menentukan fakta pergerakan mobil, diperlukan dua foto yang diambil dari titik yang sama pada titik waktu yang berbeda, tetapi foto tersebut tidak dapat digunakan untuk menentukan jarak. Untuk menentukan jarak ke mobil, Anda memerlukan dua foto yang diambil dari titik yang berbeda dalam ruang secara bersamaan, tetapi Anda tidak dapat menentukan fakta pergerakan dari mereka (tentu saja, Anda masih memerlukan data tambahan untuk perhitungan, trigonometri akan membantu Anda) . Yang ingin saya tunjukkan secara khusus adalah bahwa dua titik dalam waktu dan dua titik dalam ruang adalah dua hal berbeda yang tidak boleh dikacaukan karena keduanya memberikan peluang yang berbeda untuk eksplorasi.
Rabu, 4 Juli 2018
Sangat baik perbedaan antara set dan multiset dijelaskan di Wikipedia. Kami melihat.
Seperti yang Anda lihat, "kumpulan tidak dapat memiliki dua elemen yang identik", tetapi jika ada elemen yang identik di dalam himpunan, himpunan seperti itu disebut "multiset". Makhluk yang berakal tidak akan pernah mengerti logika absurditas seperti itu. Ini adalah tingkat burung beo yang bisa berbicara dan monyet yang terlatih, di mana pikiran absen dari kata "sepenuhnya". Matematikawan bertindak sebagai pelatih biasa, mengkhotbahkan ide-ide absurd mereka kepada kita.
Sekali waktu, para insinyur yang membangun jembatan berada di sebuah perahu di bawah jembatan selama pengujian jembatan. Jika jembatan runtuh, insinyur biasa-biasa saja mati di bawah puing-puing ciptaannya. Jika jembatan dapat menahan beban, insinyur berbakat membangun jembatan lain.
Tidak peduli bagaimana matematikawan bersembunyi di balik ungkapan "ingat aku, aku di rumah", atau lebih tepatnya "matematika mempelajari konsep abstrak", ada satu tali pusar yang menghubungkan mereka dengan kenyataan. Tali pusar ini adalah uang. Mari kita terapkan teori himpunan matematika untuk matematikawan itu sendiri.
Kami belajar matematika dengan sangat baik dan sekarang kami duduk di meja kas, membayar gaji. Di sini seorang ahli matematika datang kepada kami untuk mendapatkan uangnya. Kami menghitung seluruh jumlah kepadanya dan meletakkannya di meja kami ke dalam tumpukan yang berbeda, di mana kami meletakkan uang kertas dengan denominasi yang sama. Kemudian kami mengambil satu tagihan dari setiap tumpukan dan memberikan "kumpulan gaji matematika" kepada ahli matematika itu. Kami menjelaskan matematika bahwa dia akan menerima sisa tagihan hanya ketika dia membuktikan bahwa himpunan tanpa elemen identik tidak sama dengan himpunan dengan elemen identik. Di sinilah kesenangan dimulai.
Pertama-tama, logika para deputi akan berhasil: "Anda dapat menerapkannya pada orang lain, tetapi tidak pada saya!" Selanjutnya, jaminan akan dimulai bahwa ada nomor uang kertas yang berbeda pada uang kertas dari denominasi yang sama, yang berarti bahwa mereka tidak dapat dianggap sebagai elemen yang identik. Yah, kami menghitung gaji dalam koin - tidak ada angka di koin. Di sini ahli matematika akan dengan panik mengingat fisika: koin yang berbeda memiliki jumlah kotoran yang berbeda, struktur kristal dan susunan atom untuk setiap koin adalah unik ...
Dan sekarang saya memiliki pertanyaan yang paling menarik: di mana batas di luar elemen multiset mana yang berubah menjadi elemen himpunan dan sebaliknya? Garis seperti itu tidak ada - semuanya diputuskan oleh dukun, sains di sini bahkan tidak dekat.
Lihat disini. Kami memilih stadion sepak bola dengan luas lapangan yang sama. Luas bidangnya sama, artinya kita memiliki multiset. Tapi kalau kita mempertimbangkan nama stadion yang sama, kita dapat banyak, karena namanya berbeda. Seperti yang Anda lihat, himpunan elemen yang sama adalah himpunan dan multiset pada waktu yang sama. Bagaimana benar? Dan di sini ahli matematika-dukun-shuller mengeluarkan kartu as dari lengan bajunya dan mulai memberi tahu kita tentang satu set atau multiset. Bagaimanapun, dia akan meyakinkan kita bahwa dia benar.
Untuk memahami bagaimana dukun modern beroperasi dengan teori himpunan, mengikatnya dengan kenyataan, cukup untuk menjawab satu pertanyaan: bagaimana elemen satu himpunan berbeda dari elemen himpunan lain? Saya akan menunjukkan kepada Anda, tanpa "dapat dibayangkan sebagai satu kesatuan" atau "tidak dapat dibayangkan sebagai satu kesatuan".
Minggu, 18 Maret 2018
Jumlah digit angka adalah tarian dukun dengan rebana, yang tidak ada hubungannya dengan matematika. Ya, dalam pelajaran matematika kita diajarkan untuk menemukan jumlah digit angka dan menggunakannya, tetapi mereka adalah dukun untuk itu, untuk mengajari keturunan mereka keterampilan dan kebijaksanaan mereka, jika tidak, dukun akan mati begitu saja.
Apakah Anda perlu bukti? Buka Wikipedia dan coba temukan halaman "Jumlah Digit Angka". Dia tidak ada. Tidak ada rumus dalam matematika yang dengannya Anda dapat menemukan jumlah digit dari bilangan apa pun. Bagaimanapun, angka adalah simbol grafik yang dengannya kita menulis angka, dan dalam bahasa matematika, tugasnya terdengar seperti ini: "Temukan jumlah simbol grafik yang mewakili angka apa pun." Matematikawan tidak dapat memecahkan masalah ini, tetapi dukun dapat melakukannya secara mendasar.
Mari kita cari tahu apa dan bagaimana kita lakukan untuk menemukan jumlah digit dari angka yang diberikan. Jadi, katakanlah kita memiliki bilangan 12345. Apa yang perlu dilakukan untuk menemukan jumlah angka dari bilangan ini? Mari kita pertimbangkan semua langkah secara berurutan.
1. Tuliskan nomornya di secarik kertas. Apa yang telah kita lakukan? Kami telah mengonversi angka menjadi simbol grafik angka. Ini bukan operasi matematika.
2. Kami memotong satu gambar yang diterima menjadi beberapa gambar yang berisi nomor terpisah. Memotong gambar bukanlah operasi matematika.
3. Ubah karakter grafik individu menjadi angka. Ini bukan operasi matematika.
4. Jumlahkan angka yang dihasilkan. Sekarang itu matematika.
Jumlah angka dari angka 12345 adalah 15. Ini adalah "kursus memotong dan menjahit" dari dukun yang digunakan oleh ahli matematika. Tapi itu tidak semua.
Dari sudut pandang matematika, tidak masalah di sistem bilangan mana kita menulis bilangan. Jadi, dalam sistem bilangan yang berbeda, jumlah digit dari angka yang sama akan berbeda. Dalam matematika, sistem bilangan ditunjukkan sebagai subscript di sebelah kanan bilangan. Dengan jumlah besar 12345, saya tidak ingin membodohi kepala saya, perhatikan angka 26 dari artikel tentang. Mari kita tulis bilangan ini dalam sistem bilangan biner, oktal, desimal, dan heksadesimal. Kami tidak akan mempertimbangkan setiap langkah di bawah mikroskop, kami telah melakukannya. Mari kita lihat hasilnya.
Seperti yang Anda lihat, dalam sistem bilangan yang berbeda, jumlah angka dari angka yang sama berbeda. Hasil ini tidak ada hubungannya dengan matematika. Sama halnya jika Anda akan mendapatkan hasil yang sama sekali berbeda saat menentukan luas persegi panjang dalam meter dan sentimeter.
Nol di semua sistem bilangan terlihat sama dan tidak memiliki jumlah digit. Ini adalah argumen lain yang mendukung fakta bahwa . Sebuah pertanyaan untuk ahli matematika: bagaimana hal itu dilambangkan dalam matematika yang bukan angka? Apa, untuk ahli matematika, tidak ada yang lain selain angka? Untuk dukun, saya bisa mengizinkan ini, tetapi untuk ilmuwan, tidak. Realitas bukan hanya tentang angka.
Hasil yang diperoleh harus dianggap sebagai bukti bahwa sistem bilangan adalah satuan ukuran bilangan. Lagi pula, kita tidak dapat membandingkan angka dengan satuan pengukuran yang berbeda. Jika tindakan yang sama dengan unit pengukuran yang berbeda dari kuantitas yang sama menyebabkan hasil yang berbeda setelah membandingkannya, maka ini tidak ada hubungannya dengan matematika.
Apa itu matematika sebenarnya? Ini terjadi ketika hasil dari tindakan matematis tidak bergantung pada nilai angka, unit pengukuran yang digunakan, dan siapa yang melakukan tindakan ini.
Aduh! Bukankah ini toilet wanita?
- Wanita muda! Ini adalah laboratorium untuk mempelajari kekudusan jiwa yang tidak terbatas saat naik ke surga! Nimbus di atas dan panah ke atas. Toilet apa lagi?
Betina... Lingkaran di atas dan panah ke bawah adalah jantan.
Jika Anda memiliki karya seni desain seperti itu yang muncul di depan mata Anda beberapa kali sehari,
Maka tidak mengherankan jika Anda tiba-tiba menemukan ikon aneh di mobil Anda:
Secara pribadi, saya berusaha sendiri untuk melihat minus empat derajat pada orang yang buang air besar (satu gambar) (komposisi beberapa gambar: tanda minus, angka empat, penunjukan derajat). Dan saya tidak menganggap gadis ini bodoh yang tidak tahu fisika. Dia hanya memiliki stereotip busur persepsi gambar grafis. Dan matematikawan mengajari kita ini sepanjang waktu. Berikut adalah contoh.
1A bukan "minus empat derajat" atau "satu a". Ini adalah "orang buang air besar" atau angka "dua puluh enam" dalam sistem bilangan heksadesimal. Orang-orang yang terus-menerus bekerja dalam sistem angka ini secara otomatis menganggap angka dan huruf sebagai satu simbol grafis.
Penyelesaian persamaan trigonometri paling sederhana.
Penyelesaian persamaan trigonometri dengan tingkat kerumitan apa pun pada akhirnya bermuara pada penyelesaian persamaan trigonometri paling sederhana. Dan dalam hal ini, lingkaran trigonometri kembali menjadi penolong terbaik.
Ingat definisi cosinus dan sinus.
Kosinus suatu sudut adalah absis (yaitu, koordinat sepanjang sumbu) dari suatu titik pada lingkaran satuan yang sesuai dengan rotasi oleh sudut tertentu.
Sinus suatu sudut adalah ordinat (yaitu, koordinat sepanjang sumbu) dari suatu titik pada lingkaran satuan yang sesuai dengan rotasi oleh sudut tertentu.
Arah gerakan positif sepanjang lingkaran trigonometri dianggap sebagai gerakan berlawanan arah jarum jam. Rotasi 0 derajat (atau 0 radian) sesuai dengan titik dengan koordinat (1; 0)
Kami menggunakan definisi ini untuk menyelesaikan persamaan trigonometri paling sederhana.
1. Selesaikan persamaan
Persamaan ini dipenuhi oleh semua nilai sudut rotasi , yang sesuai dengan titik-titik lingkaran, yang ordinatnya sama dengan .
Mari kita tandai titik dengan ordinat pada sumbu y:
Gambarlah garis mendatar yang sejajar dengan sumbu x sampai berpotongan dengan lingkaran. Kita akan mendapatkan dua titik yang terletak pada lingkaran dan memiliki ordinat. Titik-titik ini sesuai dengan sudut rotasi dan radian:
Jika kita, setelah meninggalkan titik yang sesuai dengan sudut rotasi per radian, mengelilingi lingkaran penuh, maka kita akan sampai pada titik yang sesuai dengan sudut rotasi per radian dan memiliki ordinat yang sama. Artinya, sudut rotasi ini juga memenuhi persamaan kita. Kita dapat membuat belokan "idle" sebanyak yang kita suka, kembali ke titik yang sama, dan semua nilai sudut ini akan memenuhi persamaan kita. Jumlah putaran "idle" dilambangkan dengan huruf (atau). Karena kita dapat membuat revolusi ini dalam arah positif dan negatif, (atau ) dapat mengambil nilai bilangan bulat apa pun.
Artinya, deret pertama solusi persamaan asli memiliki bentuk:
, , - himpunan bilangan bulat (1)
Demikian pula, deret solusi kedua memiliki bentuk:
, di mana , . (2)
Seperti yang Anda duga, rangkaian solusi ini didasarkan pada titik lingkaran yang sesuai dengan sudut rotasi oleh .
Dua rangkaian solusi ini dapat digabungkan menjadi satu entri:
Jika kita mengambil entri ini (yaitu, genap), maka kita akan mendapatkan rangkaian solusi pertama.
Jika kita mengambil entri ini (yaitu, ganjil), maka kita akan mendapatkan solusi seri kedua.
2. Sekarang mari kita selesaikan persamaannya
Karena absis titik lingkaran satuan diperoleh dengan memutar melalui sudut , kami menandai pada sumbu sebuah titik dengan absis :
Gambarlah garis vertikal sejajar dengan sumbu hingga berpotongan dengan lingkaran. Kami akan mendapatkan dua titik yang terletak pada lingkaran dan memiliki absis. Titik-titik ini sesuai dengan sudut rotasi dan radian. Ingatlah bahwa ketika bergerak searah jarum jam, kami mendapatkan sudut rotasi negatif:
Kami menuliskan dua seri solusi:
,
,
(Kami sampai ke titik yang tepat dengan melewati lingkaran penuh utama, yaitu.
Mari gabungkan kedua seri ini menjadi satu postingan:
3. Selesaikan persamaan
Garis singgung melalui titik dengan koordinat (1,0) lingkaran satuan yang sejajar dengan sumbu OY
Tandai sebuah titik di atasnya dengan ordinat yang sama dengan 1 (kami mencari garis singgung yang sudutnya 1):
Hubungkan titik ini ke titik asal dengan garis lurus dan tandai titik potong garis tersebut dengan lingkaran satuan. Titik potong garis dan lingkaran sesuai dengan sudut rotasi pada dan :
Karena titik-titik yang sesuai dengan sudut rotasi yang memenuhi persamaan kita terletak terpisah radian, kita dapat menulis solusinya sebagai berikut:
4. Selesaikan persamaan
Garis kotangen melewati titik dengan koordinat lingkaran satuan yang sejajar dengan sumbu.
Kami menandai titik dengan absis -1 pada garis kotangen:
Hubungkan titik ini ke titik asal garis lurus dan lanjutkan sampai berpotongan dengan lingkaran. Garis ini akan memotong lingkaran di titik-titik yang sesuai dengan sudut rotasi dan radian:
Karena titik-titik ini dipisahkan satu sama lain dengan jarak yang sama dengan , maka kita dapat menulis solusi umum persamaan ini sebagai berikut:
Dalam contoh yang diberikan, yang menggambarkan solusi persamaan trigonometri paling sederhana, nilai tabel fungsi trigonometri digunakan.
Namun, jika ada nilai non-tabel di ruas kanan persamaan, maka kita substitusikan nilai tersebut ke dalam solusi umum persamaan:
SOLUSI KHUSUS:
Tandai titik-titik pada lingkaran yang ordinatnya 0:
Tandai satu titik pada lingkaran, yang ordinatnya sama dengan 1:
Tandai satu titik pada lingkaran, yang ordinatnya sama dengan -1:
Karena biasanya menunjukkan nilai yang paling dekat dengan nol, kami menulis solusinya sebagai berikut:
Tandai titik-titik pada lingkaran, yang absisnya adalah 0:
5.
Mari kita tandai satu titik pada lingkaran, yang absisnya sama dengan 1:
Tandai satu titik pada lingkaran, yang absisnya sama dengan -1:
Dan beberapa contoh yang lebih kompleks:
1.
Sinus adalah satu jika argumennya adalah
Argumen sinus kita adalah , jadi kita dapatkan:
Bagi kedua ruas persamaan dengan 3:
Menjawab:
2.
Kosinus adalah nol jika argumen kosinus adalah
Argumen dari kosinus kami adalah , sehingga kami mendapatkan:
Kami menyatakan , untuk ini pertama-tama kami pindah ke kanan dengan tanda yang berlawanan:
Sederhanakan ruas kanan:
Bagi kedua bagian dengan -2:
Perhatikan bahwa tanda sebelum suku tidak berubah, karena k dapat mengambil sembarang nilai integer.
Menjawab:
Dan sebagai penutup, tonton video tutorial "Pemilihan akar-akar pada persamaan trigonometri menggunakan lingkaran trigonometri"
Ini menyimpulkan percakapan tentang memecahkan persamaan trigonometri paling sederhana. Lain kali kita akan berbicara tentang bagaimana menyelesaikannya.
