Tabel nilai fungsi trigonometri
Catatan. Tabel nilai fungsi trigonometri ini menggunakan tanda untuk menunjukkan akar kuadrat. Untuk menunjukkan pecahan - simbol "/".
Lihat juga bahan yang berguna:
Untuk menentukan nilai fungsi trigonometri, temukan di perpotongan garis yang menunjukkan fungsi trigonometri. Misalnya, sinus 30 derajat - kami mencari kolom dengan judul sin (sinus) dan kami menemukan persimpangan kolom tabel ini dengan garis "30 derajat", di persimpangannya kami membaca hasilnya - satu kedua. Demikian pula, kami menemukan kosinus 60 derajat, sinus 60 derajat (sekali lagi, di persimpangan kolom sin (sinus) dan baris 60 derajat, kami menemukan nilai sin 60 = 3/2), dll. Dengan cara yang sama, nilai sinus, cosinus, dan garis singgung dari sudut "populer" lainnya ditemukan.
Sinus pi, kosinus pi, tangen pi dan sudut lain dalam radian
Tabel kosinus, sinus, dan garis singgung di bawah ini juga cocok untuk mencari nilai fungsi trigonometri yang argumennya adalah diberikan dalam radian. Untuk melakukan ini, gunakan kolom kedua nilai sudut. Berkat ini, Anda dapat mengonversi nilai sudut populer dari derajat ke radian. Sebagai contoh, mari kita cari sudut 60 derajat di baris pertama dan baca nilainya dalam radian di bawahnya. 60 derajat sama dengan /3 radian.
Angka pi secara unik menyatakan ketergantungan keliling lingkaran pada ukuran derajat sudut. Jadi pi radian sama dengan 180 derajat.
Setiap angka yang dinyatakan dalam pi (radian) dapat dengan mudah dikonversi ke derajat dengan mengganti angka pi (π) dengan 180.
Contoh:
1. sinus pi.
sin = sin 180 = 0
dengan demikian, sinus pi sama dengan sinus 180 derajat dan sama dengan nol.
2. cosinus pi.
cos = cos 180 = -1
dengan demikian, kosinus pi sama dengan kosinus 180 derajat dan sama dengan minus satu.
3. tangen pi
tg = tg 180 = 0
dengan demikian, garis singgung pi sama dengan garis singgung 180 derajat dan sama dengan nol.
Tabel nilai sinus, cosinus, tangen untuk sudut 0 - 360 derajat (nilai sering)
|
sudut (derajat) |
sudut (melalui pi) |
dosa (sinus) |
karena (kosinus) |
tg (garis singgung) |
ctg (kotangens) |
detik (garis potong) |
menyebabkan (kosekans) |
| 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | - | 1 | - |
| 15 | /12 | 2 - √3 | 2 + √3 | ||||
| 30 | /6 | 1/2 | √3/2 | 1/√3 | √3 | 2/√3 | 2 |
| 45 | /4 | √2/2 | √2/2 | 1 | 1 | √2 | √2 |
| 60 | /3 | √3/2 | 1/2 | √3 | 1/√3 | 2 | 2/√3 |
| 75 | 5π/12 | 2 + √3 | 2 - √3 | ||||
| 90 | /2 | 1 | 0 | - | 0 | - | 1 |
| 105 | 7π/12 |
- |
- 2 - √3 | √3 - 2 | |||
| 120 | 2π/3 | √3/2 | -1/2 | -√3 | -√3/3 | ||
| 135 | 3π/4 | √2/2 | -√2/2 | -1 | -1 | -√2 | √2 |
| 150 | 5π/6 | 1/2 | -√3/2 | -√3/3 | -√3 | ||
| 180 | π | 0 | -1 | 0 | - | -1 | - |
| 210 | 7π/6 | -1/2 | -√3/2 | √3/3 | √3 | ||
| 240 | 4π/3 | -√3/2 | -1/2 | √3 | √3/3 | ||
| 270 | 3π/2 | -1 | 0 | - | 0 | - | -1 |
| 360 | 2π | 0 | 1 | 0 | - | 1 | - |
Jika dalam tabel nilai fungsi trigonometri, alih-alih nilai fungsi, tanda hubung ditunjukkan (singgung (tg) 90 derajat, kotangen (ctg) 180 derajat), maka untuk nilai yang diberikan dari ukuran derajat sudut, fungsi tidak memiliki nilai yang pasti. Jika tidak ada tanda hubung, selnya kosong, jadi kita belum memasukkan nilai yang diinginkan. Kami tertarik dengan permintaan pengguna yang datang kepada kami dan melengkapi tabel dengan nilai baru, terlepas dari kenyataan bahwa data saat ini tentang nilai cosinus, sinus, dan garis singgung dari nilai sudut paling umum sudah cukup untuk menyelesaikan sebagian besar masalah.
Tabel nilai fungsi trigonometri sin, cos, tg untuk sudut paling populer
0, 15, 30, 45, 60, 90 ... 360 derajat
(nilai numerik "sesuai tabel Bradis")
| nilai sudut (derajat) | nilai sudut dalam radian | dosa (sinus) | cos (cosinus) | tg (singgung) | ctg (kotangen) |
|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | ||||
| 15 |
0,2588 |
0,9659
|
0,2679 |
||
| 30 |
0,5000 |
0,5774 |
|||
| 45 |
0,7071 |
||||
|
0,7660 |
|||||
| 60 |
0,8660 |
0,5000
|
1,7321 |
||
|
7π/18 |
Setiap fungsi trigonometri untuk sudut tertentu sesuai dengan nilai tertentu dari fungsi ini. Dari definisi sinus, cosinus, tangen dan kotangen, jelaslah bahwa nilai sinus suatu sudut adalah ordinat titik yang dilalui titik awal lingkaran satuan setelah berputar melalui sudut , nilai dari kosinus adalah absis titik ini, nilai garis singgung adalah rasio ordinat terhadap absis, dan nilai kotangen adalah rasio absis terhadap ordinat.
Cukup sering, ketika memecahkan masalah, menjadi perlu untuk menemukan nilai sinus, cosinus, garis singgung dan kotangen dari sudut yang ditunjukkan. Untuk beberapa sudut, misalnya, pada 0, 30, 45, 60, 90, ... derajat, dimungkinkan untuk menemukan nilai pasti fungsi trigonometri, untuk sudut lain, menemukan nilai eksaknya bermasalah dan seseorang harus puas dengan nilai perkiraan.
Pada artikel ini, kita akan mencari tahu prinsip apa yang harus diikuti saat menghitung nilai sinus, cosinus, tangen, atau kotangen. Mari kita daftar mereka secara berurutan.
Sekarang mari kita pertimbangkan masing-masing prinsip yang terdaftar untuk menghitung nilai sinus, cosinus, garis singgung dan kotangen secara rinci.
Navigasi halaman.
- Menemukan nilai sinus, cosinus, tangen dan kotangen menurut definisi. Garis sinus, cosinus, garis singgung dan kotangen. Nilai sinus, cosinus, garis singgung dan kotangen dari sudut 30, 45 dan 60 derajat. Merata ke sudut dari 0 hingga 90 derajat. Cukup dengan mengetahui nilai salah satu fungsi trigonometri. Menemukan nilai menggunakan rumus trigonometri. Apa yang harus dilakukan dalam kasus lain?
Menemukan nilai sinus, cosinus, tangen dan kotangen menurut definisi
Berdasarkan definisi sinus dan kosinus, Anda dapat menemukan nilai sinus dan kosinus dari sudut tertentu. Untuk melakukan ini, Anda perlu mengambil lingkaran satuan, memutar titik awal A (1, 0) dengan sudut, setelah itu akan menuju ke titik A1. Kemudian koordinat titik A1 akan memberikan, masing-masing, kosinus dan sinus dari sudut yang diberikan. Setelah itu, kita dapat menghitung tangen dan kotangen sudut dengan menghitung rasio ordinat terhadap absis dan absis terhadap ordinat, masing-masing.
Menurut definisi, kita dapat menghitung nilai pasti sinus, cosinus, tangen, dan kotangen dari sudut 0, ±90, ±180, ±270, ±360, … derajat (0, ±p/2, ±p, ±3p/2, ±2p, …radian). Mari kita bagi sudut-sudut ini menjadi empat kelompok: 360 z derajat (2p z radian), 90+360 z derajat (p/2+2p z radian), 180+360 z derajat (p+2p z radian), dan 270 +360 z derajat (3p/2+2p z radian), di mana z adalah sembarang bilangan bulat. Mari kita gambarkan dalam gambar di mana titik A1 akan berada, yang diperoleh dengan memutar titik awal A oleh sudut-sudut ini (jika perlu, pelajari materi artikel sudut rotasi).
Untuk masing-masing kelompok sudut ini, kami menemukan nilai sinus, cosinus, tangen, dan kotangen menggunakan definisi.
Adapun sudut lain selain 0, ±90, ±180, ±270, ±360, … derajat, menurut definisi kita hanya dapat menemukan nilai perkiraan sinus, cosinus, tangen dan kotangen. Sebagai contoh, mari kita cari sinus, cosinus, tangen, dan kotangen dari sudut 52 derajat.
Mari kita membangun.
Menurut gambar, kita menemukan bahwa absis titik A1 kira-kira 0,62, dan ordinatnya kira-kira 0,78. Dengan demikian, 
dan 
. Tinggal menghitung nilai tangen dan kotangen, kita punya 
dan 
.
Jelas bahwa semakin akurat konstruksi dilakukan, semakin akurat nilai perkiraan sinus, kosinus, tangen dan kotangen dari sudut yang diberikan. Jelas juga bahwa menemukan nilai fungsi trigonometri, menurut definisi, tidak nyaman dalam praktiknya, karena tidak nyaman untuk melakukan konstruksi yang dijelaskan.
Bagian atas halaman
Garis sinus, cosinus, garis singgung dan kotangen
Secara singkat, ada baiknya memikirkan apa yang disebut garis sinus, cosinus, garis singgung dan kotangen. Garis sinus, cosinus, tangen, dan kotangen disebut garis yang digambarkan bersama dengan lingkaran satuan, memiliki titik referensi dan sama dengan satu kesatuan dalam sistem koordinat persegi panjang yang diperkenalkan, mereka dengan jelas mewakili semua nilai yang mungkin dari sinus, cosinus, garis singgung dan kotangen. Kami menggambarkan mereka dalam gambar di bawah ini.
Bagian atas halaman
Nilai sinus, cosinus, garis singgung dan kotangen dari sudut 30, 45 dan 60 derajat
Untuk sudut 30, 45 dan 60 derajat, nilai pasti sinus, cosinus, tangen, dan kotangen diketahui. Mereka dapat diperoleh dari definisi sinus, cosinus, tangen dan kotangen dalam segitiga siku-siku menggunakan teorema Pythagoras.
Untuk mendapatkan nilai fungsi trigonometri untuk sudut 30 dan 60 derajat, pertimbangkan segitiga siku-siku dengan sudut-sudut ini, dan ambil sedemikian rupa sehingga panjang sisi miringnya sama dengan satu. Diketahui bahwa kaki yang berhadapan dengan sudut 30 derajat adalah setengah dari sisi miring, oleh karena itu, panjangnya adalah 1/2. Kami menemukan panjang kaki lainnya menggunakan teorema Pythagoras: 
.
Karena sinus suatu sudut adalah perbandingan kaki yang berhadapan dengan sisi miring, maka 
dan 
. Pada gilirannya, kosinus adalah rasio kaki yang berdekatan dengan sisi miring, maka 
dan 
. Garis singgung adalah rasio kaki yang berlawanan dengan kaki yang berdekatan, dan kotangen adalah rasio kaki yang berdekatan dengan kaki yang berlawanan, oleh karena itu, 
dan 
, sebaik 
dan 
.
Tetap mendapatkan nilai sinus, cosinus, tangen dan kotangen untuk sudut 45 derajat. Mari kita beralih ke segitiga siku-siku dengan sudut 45 derajat (itu akan sama kaki) dan sisi miring sama dengan satu. Kemudian, dengan teorema Pythagoras, mudah untuk memeriksa apakah panjang kakinya sama. Sekarang kita dapat menghitung nilai sinus, cosinus, tangen dan kotangen sebagai rasio panjang sisi yang sesuai dari segitiga siku-siku yang dipertimbangkan. Kami memiliki dan 
.
Nilai sinus, cosinus, tangen, dan kotangen yang diperoleh dari sudut 30, 45 dan 60 derajat akan sangat sering digunakan dalam menyelesaikan berbagai masalah geometris dan trigonometri, jadi kami sarankan Anda mengingatnya. Untuk kenyamanan, kami akan mencantumkannya dalam tabel nilai dasar sinus, cosinus, tangen, dan kotangen.
Sebagai penutup paragraf ini, kami akan mengilustrasikan nilai sinus, cosinus, tangen, dan kotangen dari sudut 30, 45, dan 60 menggunakan lingkaran satuan dan garis sinus, cosinus, tangen, dan kotangen.
Bagian atas halaman
Merata ke sudut dari 0 hingga 90 derajat
Segera, kami mencatat bahwa lebih mudah untuk menemukan nilai fungsi trigonometri ketika sudut berada dalam kisaran 0 hingga 90 derajat (dari nol hingga pi dalam setengah radian). Jika argumen fungsi trigonometri, yang nilainya perlu kita temukan, melampaui batas dari 0 hingga 90 derajat, maka kita selalu dapat menggunakan rumus reduksi untuk menemukan nilai fungsi trigonometri, yang argumennya adalah dalam batas yang ditentukan.
Sebagai contoh, mari kita cari nilai sinus 210 derajat. Dengan menyatakan 210 sebagai 180+30 atau sebagai 270−60, rumus reduksi yang sesuai mengurangi masalah kita dari menemukan sinus 210 derajat menjadi menemukan nilai sinus 30 derajat, atau kosinus 60 derajat.
Mari kita sepakat untuk masa depan ketika menemukan nilai-nilai fungsi trigonometri, selalu menggunakan rumus pengurangan, pergi ke sudut dari interval 0 hingga 90 derajat, kecuali, tentu saja, sudut sudah dalam batas-batas ini.
Bagian atas halaman
Cukup dengan mengetahui nilai salah satu fungsi trigonometri
Identitas trigonometri dasar membangun hubungan antara sinus, kosinus, tangen dan kotangen dari sudut yang sama. Jadi, dengan bantuan mereka, kita dapat menggunakan nilai yang diketahui dari salah satu fungsi trigonometri untuk menemukan nilai fungsi lain dari sudut yang sama.
Mari kita pertimbangkan sebuah contoh solusi.
Tentukan berapa sinus sudut pi dengan delapan, jika 
.
Pertama, carilah kotangen dari sudut ini: 
Sekarang gunakan rumus 
, kita dapat menghitung apa kuadrat sinus sudut pi dengan delapan sama dengan, dan oleh karena itu nilai sinus yang diinginkan. Kita punya 
Tetap hanya untuk menemukan nilai sinus. Karena sudut pi dengan delapan adalah sudut dari seperempat koordinat pertama, maka sinus dari sudut ini adalah positif (jika perlu, lihat bagian tentang teori tentang tanda-tanda sinus, cosinus, tangen dan kotangen dengan seperempat). Dengan demikian, 
.
.
Bagian atas halaman
Menemukan nilai menggunakan rumus trigonometri
Dalam dua paragraf sebelumnya, kita sudah mulai membahas masalah menemukan nilai sinus, kosinus, tangen, dan kotangen menggunakan rumus trigonometri. Di sini kami hanya ingin mengatakan bahwa kadang-kadang mungkin untuk menghitung nilai yang diperlukan dari fungsi trigonometri menggunakan rumus trigonometri dan nilai sinus, kosinus, tangen, dan kotangen yang diketahui (misalnya, untuk sudut 30, 45 dan 60 derajat).
Misalnya, menggunakan rumus trigonometri, kami menghitung nilai tangen sudut pi dengan delapan, yang kami gunakan pada paragraf sebelumnya untuk menemukan nilai sinus.
Temukan nilainya.
Menggunakan rumus garis singgung setengah sudut, kita dapat menulis persamaan berikut: 
. Kita mengetahui nilai cosinus sudut pi sebesar empat, sehingga kita dapat segera menghitung nilai kuadrat dari garis singgung yang diinginkan: 
.
Sudut pi kali delapan adalah sudut seperempat koordinat pertama, jadi garis singgung sudut ini positif. Karena itu, 
.
.
Pelajaran pengantar tentang trigonometri disajikan dalam presentasi sebelumnya. Anak-anak sekolah berkenalan dengan konsep sinus, kosinus dan tangen, bagaimana mereka dilambangkan, bagaimana menemukannya. Sudut lancip dari beberapa segitiga siku-siku dipertimbangkan. Juga, mereka berkenalan dengan identitas trigonometri dasar, yang menjadi dasar bagi banyak rumus yang akan dipelajari siswa nanti.
Pelajaran ini menyarankan untuk mempertimbangkan sudut-sudut tertentu: 45, 30 dan 60 derajat. Penting untuk menemukan sinus, cosinus, dan tangen mereka. Ketiga sudut ini lancip. Diasumsikan bahwa kita bekerja dengan segitiga siku-siku, seperti pada pelajaran sebelumnya.
slide 1-2 (Topik presentasi "Nilai sinus, cosinus dan tangen sudut 30, 45 dan 60 derajat", contoh)
Slide pertama presentasi “Nilai sinus, cosinus dan tangen untuk sudut 30, 45 dan 60 derajat” akan menunjukkan kepada siswa beberapa segitiga siku-siku, yang sudut lancipnya adalah 30 derajat. Mengetahui bahwa salah satu sudutnya siku-siku, kita dapat dengan mudah menghitung nilai sudut ketiga. Jumlah semua sudut segitiga sembarang adalah 180 derajat. Siswa kelas delapan seharusnya sudah tahu tentang properti ini. Jadi, untuk menemukan sudut ketiga yang tidak diketahui, perlu untuk mengurangi 120 derajat dari 180 dan derajat, yang merupakan jumlah dari dua sisi lainnya. Sudut ketiga yang tidak diketahui adalah 60 derajat. Ini ditandai pada gambar.
Penulis mencatat bahwa perbandingan kaki segitiga siku-siku ABC adalah setengah. Dari mana penulis mendapatkan nomor ini? Faktanya adalah bahwa kaki, yang terletak di seberang sudut 30 derajat, yang dapat dilihat pada gambar, sama dengan setengah sisi miring segitiga ini. Ini adalah salah satu sifat penting dari segitiga siku-siku. Rasio ini adalah sinus sudut 30 derajat. Jadi, sinus sudut 30 derajat ditemukan.
slide 3-4 (contoh, tabel sinus, cosinus, garis singgung)
Rasio ini juga merupakan kosinus untuk sudut yang berdekatan dengan kaki, yaitu untuk sudut 60 derajat. Selanjutnya, berdasarkan informasi yang diperoleh dalam pelajaran sebelumnya, Anda dapat menghitung garis singgung yang tersisa dengan membagi sinus yang ditemukan dari sudut tertentu dengan cosinus yang ditemukan dari sudut yang sama.
Slide berikutnya juga mengeksplorasi sinus, cosinus, dan tangen dari sudut 45 derajat. Pertama, sudut ketiga yang tidak diketahui ditemukan. Ternyata sudut-sudut pada sisi miring sama besar, yaitu segitiga, selain persegi panjang, juga sama kaki. Dengan teorema Pythagoras, kami menyatakan sisi miring dalam hal kaki. Karena mereka sama, ternyata, adalah mungkin untuk mengganti satu kaki dengan yang lain dan mendapatkan produk sederhana dari nomor 2 dengan kuadrat dari salah satu kaki. Selanjutnya, penulis menghilangkan irasionalitas dan mengekspresikan kaki. Jadi, ada dua kaki. Selanjutnya, dengan menggunakan rumus yang dipelajari, Anda dapat menemukan sinus, dan kosinus, dan garis singgung sudut 45 derajat.
Slide terakhir menunjukkan nilai-nilai ini dalam bentuk tabel. Sangat diharapkan bahwa siswa menuliskan tabel untuk diri mereka sendiri dari buku catatan. Kita dapat mengatakan bahwa itu adalah analog dari tabel perkalian, hanya trigonometri. Sangat diharapkan bahwa siswa tahu dari mana nilai-nilai ini berasal dan mengingat tabelnya.
Artikel ini telah mengumpulkan tabel sinus, cosinus, tangen dan kotangen. Pertama, kami memberikan tabel nilai utama fungsi trigonometri, yaitu tabel sinus, cosinus, garis singgung dan kotangen dari sudut 0, 30, 45, 60, 90, ..., 360 derajat ( 0, /6, /4, /3, /2, …, 2π radian). Setelah itu, kami akan memberikan tabel sinus dan cosinus, serta tabel garis singgung dan kotatangen oleh V. M. Bradis, dan menunjukkan cara menggunakan tabel ini saat menemukan nilai fungsi trigonometri.
Navigasi halaman.
Tabel sinus, cosinus, garis singgung dan kotangen untuk sudut 0, 30, 45, 60, 90, ... derajat
Bibliografi.
- Aljabar: Prok. untuk 9 sel. rata-rata sekolah / Yu. N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkov, S.B. Suvorova; Ed. S. A. Telyakovsky.- M.: Pencerahan, 1990.- 272 hal.: Ill.- ISBN 5-09-002727-7
- Bashmakov M.I. Aljabar dan awal analisis: Proc. untuk 10-11 sel. rata-rata sekolah - edisi ke-3. - M.: Pencerahan, 1993. - 351 hal.: sakit. - ISBN 5-09-004617-4.
- Aljabar dan awal analisis: Proc. untuk 10-11 sel. pendidikan umum institusi / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn dan lainnya; Ed. A. N. Kolmogorova.- edisi ke-14.- M.: Enlightenment, 2004.- 384 hal.: sakit.- ISBN 5-09-013651-3.
- Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematika (manual untuk pelamar ke sekolah teknik): Proc. tunjangan.- M.; Lebih tinggi sekolah, 1984.-351 hal., sakit.
- Bradis V.M. Tabel matematika empat digit: Untuk pendidikan umum. buku pelajaran pendirian. - edisi ke-2. - M.: Bustard, 1999.- 96 hal.: sakit. ISBN 5-7107-2667-2
