Penemuan paling cerdik dalam sains dapat secara radikal mengubah kehidupan manusia. Vaksin yang ditemukan dapat menyelamatkan jutaan orang, penciptaan senjata, sebaliknya, merenggut nyawa ini. Baru-baru ini (pada skala evolusi manusia) kita telah belajar untuk "menjinakkan" listrik - dan sekarang kita tidak dapat membayangkan hidup tanpa semua perangkat praktis yang menggunakan listrik ini. Tetapi ada juga penemuan-penemuan yang dianggap penting oleh segelintir orang, meskipun mereka juga sangat mempengaruhi kehidupan kita.

Salah satu penemuan "tak terlihat" ini adalah fraktal. Anda mungkin pernah mendengar kata yang menarik ini, tetapi tahukah Anda apa artinya dan berapa banyak hal menarik yang tersembunyi dalam istilah ini?

Setiap orang memiliki rasa ingin tahu yang alami, keinginan untuk belajar tentang dunia di sekitarnya. Dan dalam aspirasi ini, seseorang mencoba untuk mematuhi logika dalam penilaian. Menganalisis proses yang terjadi di sekitarnya, dia mencoba menemukan logika dari apa yang terjadi dan menyimpulkan beberapa keteraturan. Pikiran terbesar di planet ini sibuk dengan tugas ini. Secara kasar, para ilmuwan sedang mencari pola di mana seharusnya tidak. Namun demikian, bahkan dalam kekacauan, seseorang dapat menemukan hubungan antara peristiwa. Dan koneksi ini adalah fraktal.

Putri kecil kami, empat setengah tahun, sekarang berada di usia yang luar biasa ketika sejumlah pertanyaan "Mengapa?" berkali-kali lebih besar daripada jumlah jawaban yang orang dewasa punya waktu untuk diberikan. Belum lama berselang, melihat cabang yang diangkat dari tanah, putri saya tiba-tiba menyadari bahwa cabang ini, dengan simpul dan cabang, tampak seperti pohon. Dan, tentu saja, pertanyaan biasa "Mengapa?" diikuti, di mana orang tua harus mencari penjelasan sederhana yang dapat dipahami anak.

Kesamaan cabang tunggal dengan seluruh pohon yang ditemukan oleh seorang anak adalah pengamatan yang sangat akurat, yang sekali lagi membuktikan prinsip kesamaan diri rekursif di alam. Sangat banyak bentuk organik dan anorganik di alam yang terbentuk dengan cara yang sama. Awan, kerang laut, "rumah" siput, kulit kayu dan mahkota pohon, sistem peredaran darah, dan sebagainya - bentuk acak dari semua objek ini dapat dijelaskan dengan algoritme fraktal.

Benoit Mandelbrot: bapak geometri fraktal

Kata "fraktal" muncul berkat ilmuwan brilian Benoît B. Mandelbrot.

Dia menciptakan istilah itu sendiri pada 1970-an, meminjam kata fractus dari bahasa Latin, yang secara harfiah berarti "rusak" atau "hancur." Apa itu? Saat ini, kata "fraktal" paling sering digunakan untuk mengartikan representasi grafis dari struktur yang mirip dengan dirinya sendiri dalam skala yang lebih besar.

Dasar matematika untuk munculnya teori fraktal diletakkan bertahun-tahun sebelum kelahiran Benoit Mandelbrot, tetapi itu hanya dapat berkembang dengan munculnya perangkat komputasi. Pada awal karir ilmiahnya, Benoit bekerja di pusat penelitian IBM. Pada saat itu, karyawan pusat sedang mengerjakan transmisi data jarak jauh. Dalam perjalanan penelitian, para ilmuwan dihadapkan pada masalah kerugian besar yang timbul dari gangguan kebisingan. Benoit menghadapi tugas yang sulit dan sangat penting - untuk memahami bagaimana memprediksi terjadinya gangguan kebisingan di sirkuit elektronik ketika metode statistik tidak efektif.

Melihat melalui hasil pengukuran kebisingan, Mandelbrot menarik perhatian pada satu pola aneh - grafik kebisingan pada skala yang berbeda tampak sama. Pola yang sama diamati terlepas dari apakah itu plot kebisingan selama satu hari, seminggu, atau satu jam. Perlu mengubah skala grafik, dan gambar itu diulang setiap saat.

Semasa hidupnya, Benoit Mandelbrot berulang kali mengatakan bahwa dia tidak berurusan dengan rumus, tetapi hanya bermain dengan gambar. Orang ini berpikir sangat kiasan, dan menerjemahkan setiap masalah aljabar ke dalam bidang geometri, di mana, menurutnya, jawaban yang benar selalu jelas.

Tidak mengherankan bahwa itu adalah seorang pria dengan imajinasi spasial yang kaya yang menjadi bapak geometri fraktal. Bagaimanapun, realisasi esensi fraktal datang tepat ketika Anda mulai mempelajari gambar dan memikirkan arti pola pusaran yang aneh.

Pola fraktal tidak memiliki elemen yang identik, tetapi memiliki kesamaan pada skala apa pun. Untuk membangun gambar seperti itu dengan tingkat detail yang tinggi secara manual sebelumnya tidak mungkin, itu membutuhkan banyak perhitungan. Misalnya, matematikawan Prancis Pierre Joseph Louis Fatou menggambarkan himpunan ini lebih dari tujuh puluh tahun sebelum penemuan Benoit Mandelbrot. Jika kita berbicara tentang prinsip-prinsip kesamaan diri, maka mereka disebutkan dalam karya Leibniz dan Georg Cantor.

Salah satu gambar pertama dari fraktal adalah interpretasi grafis dari himpunan Mandelbrot, yang lahir dari penelitian Gaston Maurice Julia.

Gaston Julia (selalu bertopeng - cedera Perang Dunia I)

Matematikawan Prancis ini bertanya-tanya seperti apa bentuk himpunan jika dibangun dari rumus sederhana yang diulang oleh loop umpan balik. Jika dijelaskan "di jari", ini berarti bahwa untuk nomor tertentu kami menemukan nilai baru menggunakan rumus, setelah itu kami menggantinya lagi ke dalam rumus dan mendapatkan nilai lain. Hasilnya adalah urutan angka yang besar.

Untuk mendapatkan gambaran lengkap dari set seperti itu, Anda perlu melakukan banyak perhitungan - ratusan, ribuan, jutaan. Itu tidak mungkin untuk melakukannya secara manual. Tetapi ketika perangkat komputasi yang kuat muncul di tangan ahli matematika, mereka dapat melihat formula dan ekspresi yang telah lama membangkitkan minat. Mandelbrot adalah orang pertama yang menggunakan komputer untuk menghitung fraktal klasik. Setelah memproses urutan yang terdiri dari sejumlah besar nilai, Benoit mentransfer hasilnya ke grafik. Inilah yang dia dapatkan.

Selanjutnya, gambar ini diwarnai (misalnya, salah satu cara pewarnaan adalah dengan jumlah iterasi) dan menjadi salah satu gambar paling populer yang pernah dibuat oleh manusia.

Seperti pepatah kuno yang dikaitkan dengan Heraclitus dari Efesus mengatakan, "Anda tidak dapat memasuki sungai yang sama dua kali." Ini adalah yang paling cocok untuk menafsirkan geometri fraktal. Tidak peduli seberapa detail kita memeriksa gambar fraktal, kita akan selalu melihat pola yang serupa.

Mereka yang ingin melihat bagaimana gambar ruang Mandelbrot akan terlihat ketika diperbesar berkali-kali dapat melakukannya dengan mengunggah GIF animasi.

Lauren Carpenter: seni yang diciptakan oleh alam

Teori fraktal segera menemukan aplikasi praktis. Karena ini terkait erat dengan visualisasi gambar serupa diri, tidak mengherankan bahwa yang pertama mengadopsi algoritma dan prinsip untuk membangun bentuk yang tidak biasa adalah seniman.

Pendiri masa depan studio Pixar yang legendaris, Loren C. Carpenter, mulai bekerja di Boeing Computer Services pada tahun 1967, yang merupakan salah satu divisi dari perusahaan terkenal yang bergerak dalam pengembangan pesawat baru.

Pada tahun 1977, ia membuat presentasi dengan prototipe model terbang. Lauren bertanggung jawab untuk mengembangkan gambar pesawat yang sedang dirancang. Dia harus membuat gambar model baru, menunjukkan pesawat masa depan dari sudut yang berbeda. Pada titik tertentu, pendiri masa depan Pixar Animation Studios datang dengan ide kreatif untuk menggunakan gambar pegunungan sebagai latar belakang. Saat ini, setiap anak sekolah dapat memecahkan masalah seperti itu, tetapi pada akhir tahun tujuh puluhan abad terakhir, komputer tidak dapat mengatasi perhitungan yang begitu rumit - tidak ada editor grafis, belum lagi aplikasi untuk grafik tiga dimensi. Pada tahun 1978, Lauren secara tidak sengaja melihat buku Benoit Mandelbrot Fractals: Form, Randomness and Dimension di sebuah toko. Dalam buku ini, perhatiannya tertuju pada fakta bahwa Benoit memberikan banyak contoh bentuk fraktal dalam kehidupan nyata dan membuktikan bahwa mereka dapat dijelaskan dengan ekspresi matematika.

Analogi ini dipilih oleh ahli matematika bukan secara kebetulan. Faktanya adalah begitu dia mempublikasikan penelitiannya, dia harus menghadapi banyak kritik. Hal utama yang dicela oleh rekan-rekannya adalah ketidakbergunaan teori yang dikembangkan. "Ya," kata mereka, "ini adalah gambar yang indah, tetapi tidak lebih. Teori fraktal tidak memiliki nilai praktis.” Ada juga orang-orang yang umumnya percaya bahwa pola fraktal hanyalah produk sampingan dari pekerjaan "mesin iblis", yang pada akhir tahun tujuh puluhan tampaknya terlalu rumit dan belum dijelajahi untuk dipercaya sepenuhnya. Mandelbrot mencoba menemukan aplikasi yang jelas dari teori fraktal, tetapi, pada umumnya, dia tidak perlu melakukan ini. Para pengikut Benoit Mandelbrot selama 25 tahun berikutnya terbukti sangat berguna untuk "keingintahuan matematika" seperti itu, dan Lauren Carpenter adalah salah satu yang pertama mempraktikkan metode fraktal.

Setelah mempelajari buku itu, animator masa depan dengan serius mempelajari prinsip-prinsip geometri fraktal dan mulai mencari cara untuk mengimplementasikannya dalam grafik komputer. Hanya dalam tiga hari kerja, Lauren dapat memvisualisasikan gambar realistis sistem pegunungan di komputernya. Dengan kata lain, dengan bantuan formula, ia melukis pemandangan gunung yang benar-benar dapat dikenali.

Prinsip yang digunakan Lauren untuk mencapai tujuannya sangat sederhana. Itu terdiri dari membagi sosok geometris yang lebih besar menjadi elemen-elemen kecil, dan ini, pada gilirannya, dibagi menjadi angka-angka serupa dengan ukuran yang lebih kecil.

Menggunakan segitiga yang lebih besar, Carpenter memecahnya menjadi empat yang lebih kecil dan kemudian mengulangi prosedur ini berulang-ulang sampai dia mendapatkan pemandangan gunung yang realistis. Dengan demikian, ia berhasil menjadi seniman pertama yang menggunakan algoritme fraktal dalam grafik komputer untuk membangun gambar. Segera setelah diketahui tentang pekerjaan yang dilakukan, penggemar di seluruh dunia mengambil ide ini dan mulai menggunakan algoritme fraktal untuk mensimulasikan bentuk alami yang realistis.

Salah satu rendering 3D pertama yang menggunakan algoritme fraktal

Hanya beberapa tahun kemudian, Lauren Carpenter mampu menerapkan prestasinya dalam proyek yang jauh lebih besar. Animator mendasarkannya pada demo dua menit, Vol Libre, yang ditampilkan di Siggraph pada tahun 1980. Video ini mengejutkan semua orang yang melihatnya, dan Lauren menerima undangan dari Lucasfilm.

Animasi tersebut dirender pada komputer VAX-11/780 dari Digital Equipment Corporation pada kecepatan clock lima megahertz, dan setiap frame membutuhkan waktu sekitar setengah jam untuk menggambar.

Bekerja untuk Lucasfilm Limited, animator menciptakan lanskap 3D yang sama untuk fitur kedua dalam kisah Star Trek. Dalam The Wrath of Khan, Carpenter mampu menciptakan seluruh planet menggunakan prinsip pemodelan permukaan fraktal yang sama.

Saat ini, semua aplikasi populer untuk membuat lanskap 3D menggunakan prinsip yang sama untuk menghasilkan objek alami. Terragen, Bryce, Vue, dan editor 3D lainnya mengandalkan algoritme pemodelan permukaan dan tekstur fraktal.

Antena fraktal: lebih sedikit lebih baik, tetapi lebih baik

Selama setengah abad terakhir, kehidupan telah berubah dengan cepat. Sebagian besar dari kita menerima kemajuan teknologi modern begitu saja. Segala sesuatu yang membuat hidup lebih nyaman, Anda terbiasa dengan sangat cepat. Jarang ada yang bertanya, “Dari mana asalnya?” dan "Bagaimana cara kerjanya?". Oven microwave menghangatkan sarapan - yah, bagus, smartphone memungkinkan Anda berbicara dengan orang lain - bagus. Ini tampak seperti kemungkinan yang jelas bagi kami.

Tetapi hidup bisa sangat berbeda jika seseorang tidak mencari penjelasan atas peristiwa yang terjadi. Ambil, misalnya, telepon seluler. Ingat antena yang dapat ditarik pada model pertama? Mereka mengganggu, menambah ukuran perangkat, pada akhirnya, sering pecah. Kami percaya bahwa mereka telah tenggelam selamanya, dan sebagian karena ini ... fraktal.

Gambar fraktal mempesona dengan polanya. Mereka pasti menyerupai gambar benda luar angkasa - nebula, gugus galaksi, dan sebagainya. Oleh karena itu, sangat wajar ketika Mandelbrot menyuarakan teorinya tentang fraktal, penelitiannya membangkitkan minat yang meningkat di antara mereka yang mempelajari astronomi. Seorang amatir bernama Nathan Cohen, setelah menghadiri kuliah oleh Benoit Mandelbrot di Budapest, terinspirasi oleh gagasan penerapan praktis dari pengetahuan yang diperoleh. Benar, dia melakukannya secara intuitif, dan kebetulan memainkan peran penting dalam penemuannya. Sebagai seorang amatir radio, Nathan berusaha membuat antena dengan sensitivitas setinggi mungkin.

Satu-satunya cara untuk meningkatkan parameter antena, yang dikenal pada waktu itu, adalah dengan meningkatkan dimensi geometrisnya. Namun, pemilik apartemen Nathan di pusat kota Boston dengan tegas menentang pemasangan perangkat atap yang besar. Kemudian Nathan mulai bereksperimen dengan berbagai bentuk antena, berusaha mendapatkan hasil yang maksimal dengan ukuran yang minimal. Terpesona dengan gagasan bentuk fraktal, Cohen, seperti yang mereka katakan, secara acak membuat salah satu fraktal paling terkenal dari kawat - "kepingan salju Koch". Matematikawan Swedia Helge von Koch menemukan kurva ini pada tahun 1904. Itu diperoleh dengan membagi segmen menjadi tiga bagian dan mengganti segmen tengah dengan segitiga sama sisi tanpa sisi yang bertepatan dengan segmen ini. Definisinya agak sulit dipahami, tetapi gambarnya jelas dan sederhana.

Ada juga varietas lain dari "kurva Koch", tetapi perkiraan bentuk kurvanya tetap sama

Ketika Nathan menghubungkan antena ke penerima radio, dia sangat terkejut - sensitivitasnya meningkat secara dramatis. Setelah serangkaian percobaan, calon profesor di Universitas Boston menyadari bahwa antena yang dibuat menurut pola fraktal memiliki efisiensi tinggi dan mencakup rentang frekuensi yang jauh lebih luas dibandingkan dengan solusi klasik. Selain itu, bentuk antena dalam bentuk kurva fraktal dapat secara signifikan mengurangi dimensi geometris. Nathan Cohen bahkan mengembangkan teorema yang membuktikan bahwa untuk membuat antena broadband, cukup dengan memberikan bentuk kurva fraktal yang serupa.

Penulis mematenkan penemuannya dan mendirikan sebuah perusahaan untuk pengembangan dan desain antena fraktal Sistem Antena Fraktal, dengan tepat percaya bahwa di masa depan, berkat penemuannya, ponsel akan dapat menyingkirkan antena besar dan menjadi lebih kompak.

Pada dasarnya, itulah yang terjadi. Benar, hingga hari ini, Nathan berada dalam tuntutan hukum dengan perusahaan besar yang secara ilegal menggunakan penemuannya untuk memproduksi perangkat komunikasi kompak. Beberapa produsen perangkat seluler terkenal, seperti Motorola, telah mencapai kesepakatan damai dengan penemu antena fraktal.

Dimensi fraktal: pikiran tidak mengerti

Benoit meminjam pertanyaan ini dari ilmuwan Amerika terkenal Edward Kasner.

Yang terakhir, seperti banyak matematikawan terkenal lainnya, sangat suka berkomunikasi dengan anak-anak, mengajukan pertanyaan dan mendapatkan jawaban yang tidak terduga. Terkadang hal ini membawa hasil yang mengejutkan. Jadi, misalnya, keponakan Edward Kasner yang berusia sembilan tahun datang dengan kata "googol" yang sekarang terkenal, yang menunjukkan unit dengan seratus nol. Tapi kembali ke fraktal. Matematikawan Amerika itu suka bertanya berapa panjang garis pantai AS. Setelah mendengarkan pendapat lawan bicaranya, Edward sendiri mengucapkan jawaban yang benar. Jika Anda mengukur panjang pada peta dengan segmen yang rusak, maka hasilnya tidak akan akurat, karena garis pantai memiliki banyak penyimpangan. Dan apa yang terjadi jika Anda mengukur seakurat mungkin? Anda harus memperhitungkan panjang setiap ketidakrataan - Anda perlu mengukur setiap tanjung, setiap teluk, batu, panjang langkan berbatu, batu di atasnya, sebutir pasir, atom, dan sebagainya. Karena jumlah ketidakteraturan cenderung tak terhingga, panjang garis pantai yang diukur akan meningkat hingga tak terhingga dengan setiap ketidakteraturan baru.

Semakin kecil ukuran saat mengukur, semakin besar panjang yang diukur

Menariknya, mengikuti petunjuk Edward, anak-anak jauh lebih cepat daripada orang dewasa dalam mengatakan jawaban yang benar, sementara yang terakhir kesulitan menerima jawaban yang luar biasa seperti itu.

Menggunakan masalah ini sebagai contoh, Mandelbrot menyarankan menggunakan pendekatan baru untuk pengukuran. Karena garis pantai dekat dengan kurva fraktal, itu berarti bahwa parameter karakterisasi, yang disebut dimensi fraktal, dapat diterapkan padanya.

Apa dimensi yang biasa jelas bagi siapa saja. Jika dimensinya sama dengan satu, kita mendapatkan garis lurus, jika dua - angka datar, tiga - volume. Namun, pemahaman dimensi seperti itu dalam matematika tidak bekerja dengan kurva fraktal, di mana parameter ini memiliki nilai pecahan. Dimensi fraktal dalam matematika dapat dianggap sebagai "kekasaran". Semakin tinggi kekasaran kurva, semakin besar dimensi fraktalnya. Kurva yang menurut Mandelbrot memiliki dimensi fraktal lebih tinggi dari dimensi topologinya, memiliki perkiraan panjang yang tidak bergantung pada jumlah dimensi.

Saat ini, para ilmuwan menemukan semakin banyak area untuk penerapan teori fraktal. Dengan bantuan fraktal, Anda dapat menganalisis fluktuasi harga saham, menjelajahi semua jenis proses alam, seperti fluktuasi jumlah spesies, atau mensimulasikan dinamika arus. Algoritma fraktal dapat digunakan untuk kompresi data, misalnya untuk kompresi gambar. Dan omong-omong, untuk mendapatkan fraktal yang indah di layar komputer Anda, Anda tidak harus memiliki gelar doktor.

Fraktal di browser

Mungkin salah satu cara termudah untuk mendapatkan pola fraktal adalah dengan menggunakan editor vektor online dari programmer muda berbakat Toby Schachman. Toolkit editor grafis sederhana ini didasarkan pada prinsip kesamaan diri yang sama.

Hanya ada dua bentuk sederhana yang Anda inginkan - persegi dan lingkaran. Anda dapat menambahkannya ke kanvas, skala (untuk skala di sepanjang salah satu sumbu, tahan tombol Shift) dan putar. Tumpang tindih pada prinsip operasi penjumlahan Boolean, elemen paling sederhana ini membentuk bentuk baru yang tidak terlalu sepele. Selanjutnya, bentuk-bentuk baru ini dapat ditambahkan ke proyek, dan program akan mengulangi pembuatan gambar-gambar ini tanpa batas waktu. Pada setiap tahap pengerjaan fraktal, Anda dapat kembali ke setiap komponen bentuk kompleks dan mengedit posisi dan geometrinya. Ini sangat menyenangkan, terutama jika Anda menganggap bahwa satu-satunya alat yang Anda butuhkan untuk berkreasi adalah browser. Jika Anda tidak memahami prinsip bekerja dengan editor vektor rekursif ini, kami menyarankan Anda untuk menonton video di situs web resmi proyek, yang menunjukkan secara rinci seluruh proses pembuatan fraktal.

XaoS: fraktal untuk setiap selera

Banyak editor grafis memiliki alat bawaan untuk membuat pola fraktal. Namun, alat ini biasanya sekunder dan tidak memungkinkan Anda untuk menyempurnakan pola fraktal yang dihasilkan. Dalam kasus di mana perlu untuk membangun fraktal yang akurat secara matematis, editor lintas platform XaoS akan datang untuk menyelamatkan. Program ini memungkinkan tidak hanya untuk membangun citra diri yang serupa, tetapi juga untuk melakukan berbagai manipulasi dengannya. Misalnya, dalam waktu nyata, Anda dapat "berjalan" melalui fraktal dengan mengubah skalanya. Gerakan animasi di sepanjang fraktal dapat disimpan sebagai file XAF dan kemudian diputar ulang dalam program itu sendiri.

XaoS dapat memuat serangkaian parameter acak, serta menggunakan berbagai filter pasca-pemrosesan gambar - menambahkan efek gerakan kabur, menghaluskan transisi tajam antara titik fraktal, mensimulasikan gambar 3D, dan sebagainya.

Zoomer Fraktal: generator fraktal kompak

Dibandingkan dengan generator gambar fraktal lainnya, ia memiliki beberapa keunggulan. Pertama, ukurannya cukup kecil dan tidak memerlukan instalasi. Kedua, mengimplementasikan kemampuan untuk menentukan palet warna gambar. Anda dapat memilih warna dalam model warna RGB, CMYK, HVS dan HSL.

Juga sangat nyaman untuk menggunakan opsi pemilihan warna secara acak dan fungsi membalikkan semua warna dalam gambar. Untuk menyesuaikan warna, ada fungsi pemilihan warna siklik - ketika mode yang sesuai dihidupkan, program menjiwai gambar, mengubah warna secara siklis di atasnya.

Zoomer Fraktal dapat memvisualisasikan 85 fungsi fraktal yang berbeda, dan rumus ditampilkan dengan jelas di menu program. Ada filter untuk gambar pasca-pemrosesan dalam program, meskipun dalam jumlah kecil. Setiap filter yang ditetapkan dapat dibatalkan kapan saja.

Mandelbulb3D: editor fraktal 3D

Ketika istilah "fraktal" digunakan, itu paling sering berarti gambar dua dimensi datar. Namun, geometri fraktal melampaui dimensi 2D. Di alam, orang dapat menemukan kedua contoh bentuk fraktal datar, katakanlah, geometri petir, dan gambar tiga dimensi tiga dimensi. Permukaan fraktal dapat berbentuk 3D, dan salah satu ilustrasi yang sangat grafis dari fraktal 3D dalam kehidupan sehari-hari adalah kepala kubis. Mungkin cara terbaik untuk melihat fraktal adalah di Romanesco, hibrida kembang kol dan brokoli.

Dan fraktal ini bisa dimakan

Program Mandelbulb3D dapat membuat objek tiga dimensi dengan bentuk yang serupa. Untuk mendapatkan permukaan 3D menggunakan algoritme fraktal, penulis aplikasi ini, Daniel White dan Paul Nylander, mengonversi himpunan Mandelbrot ke koordinat bola. Program Mandelbulb3D yang mereka buat adalah editor tiga dimensi nyata yang memodelkan permukaan fraktal dari berbagai bentuk. Karena kita sering mengamati pola fraktal di alam, objek tiga dimensi fraktal yang dibuat secara artifisial tampak sangat realistis dan bahkan "hidup".

Ini mungkin terlihat seperti tanaman, mungkin menyerupai binatang aneh, planet, atau sesuatu yang lain. Efek ini ditingkatkan dengan algoritme rendering canggih yang memungkinkan untuk memperoleh refleksi realistis, menghitung transparansi dan bayangan, mensimulasikan efek kedalaman bidang, dan sebagainya. Mandelbulb3D memiliki banyak sekali pengaturan dan opsi rendering. Anda dapat mengontrol nuansa sumber cahaya, memilih latar belakang dan tingkat detail objek yang dimodelkan.

Editor fraktal Incendia mendukung penghalusan gambar ganda, berisi perpustakaan lima puluh fraktal tiga dimensi yang berbeda dan memiliki modul terpisah untuk mengedit bentuk dasar.

Aplikasi ini menggunakan skrip fraktal, yang dengannya Anda dapat mendeskripsikan tipe baru struktur fraktal secara mandiri. Incendia memiliki editor tekstur dan material, dan mesin rendering yang memungkinkan Anda menggunakan efek kabut volumetrik dan berbagai shader. Program ini memiliki opsi untuk menyimpan buffer selama rendering jangka panjang, pembuatan animasi didukung.

Incendia memungkinkan Anda untuk mengekspor model fraktal ke format grafik 3D populer - OBJ dan STL. Incendia menyertakan utilitas Geometrica kecil - alat khusus untuk menyiapkan ekspor permukaan fraktal ke model tiga dimensi. Dengan menggunakan utilitas ini, Anda dapat menentukan resolusi permukaan 3D, menentukan jumlah iterasi fraktal. Model yang diekspor dapat digunakan dalam proyek 3D saat bekerja dengan editor 3D seperti Blender, 3ds max, dan lainnya.

Baru-baru ini, pengerjaan proyek Incendia agak melambat. Saat ini, penulis sedang mencari sponsor yang akan membantunya mengembangkan program.

Jika Anda tidak memiliki cukup imajinasi untuk menggambar fraktal tiga dimensi yang indah dalam program ini, itu tidak masalah. Gunakan pustaka parameter, yang terletak di folder INCENDIA_EX\parameters. Dengan bantuan file PAR, Anda dapat dengan cepat menemukan bentuk fraktal yang paling tidak biasa, termasuk yang animasi.

Aural: bagaimana fraktal bernyanyi

Kami biasanya tidak membicarakan proyek yang baru saja dikerjakan, tetapi dalam hal ini kami harus membuat pengecualian, ini adalah aplikasi yang sangat tidak biasa. Sebuah proyek bernama Aural datang dengan orang yang sama dengan Incendia. Benar, kali ini program tidak memvisualisasikan himpunan fraktal, tetapi menyuarakannya, mengubahnya menjadi musik elektronik. Idenya sangat menarik, terutama mengingat sifat fraktal yang tidak biasa. Aural adalah editor audio yang menghasilkan melodi menggunakan algoritme fraktal, yang sebenarnya adalah audio synthesizer-sequencer.

Urutan suara yang diberikan oleh program ini tidak biasa dan ... indah. Ini mungkin berguna untuk menulis ritme modern dan, menurut kami, sangat cocok untuk membuat soundtrack untuk intro program televisi dan radio, serta "loop" musik latar untuk permainan komputer. Ramiro belum memberikan demo programnya, tetapi berjanji bahwa ketika dia melakukannya, untuk bekerja dengan Aural, dia tidak perlu mempelajari teori fraktal - cukup bermain dengan parameter algoritme untuk menghasilkan urutan nada . Dengarkan bagaimana suara fraktal, dan.

Fraktal: jeda musik

Faktanya, fraktal dapat membantu menulis musik bahkan tanpa perangkat lunak. Tetapi ini hanya dapat dilakukan oleh seseorang yang benar-benar diilhami oleh gagasan harmoni alam dan pada saat yang sama tidak berubah menjadi "kutu buku" yang malang. Masuk akal untuk mengambil petunjuk dari seorang musisi bernama Jonathan Coulton, yang, antara lain, menulis komposisi untuk majalah Popular Science. Dan tidak seperti seniman lain, Colton menerbitkan semua karyanya di bawah lisensi Atribusi-Nonkomersial Creative Commons, yang (bila digunakan untuk tujuan non-komersial) menyediakan penyalinan, distribusi, transfer karya kepada orang lain, serta modifikasi (pembuatan) secara gratis. karya turunan) untuk menyesuaikannya dengan kebutuhan Anda.

Jonathan Colton, tentu saja, memiliki lagu tentang fraktal.

Kesimpulan

Dalam segala hal di sekitar kita, kita sering melihat kekacauan, tetapi sebenarnya ini bukan kebetulan, tetapi bentuk ideal, yang membantu kita membedakan fraktal. Alam adalah arsitek terbaik, pembangun dan insinyur yang ideal. Itu diatur dengan sangat logis, dan jika di suatu tempat kita tidak melihat pola, ini berarti kita perlu mencarinya dalam skala yang berbeda. Orang-orang memahami ini dengan lebih baik dan lebih baik, mencoba meniru bentuk-bentuk alami dengan banyak cara. Insinyur merancang sistem speaker dalam bentuk cangkang, membuat antena dengan geometri kepingan salju, dan sebagainya. Kami yakin bahwa fraktal masih menyimpan banyak rahasia, dan banyak di antaranya yang belum ditemukan oleh manusia.

Apa persamaan pohon, pantai, awan, atau pembuluh darah di tangan kita? Sepintas, tampaknya semua objek ini tidak memiliki kesamaan. Namun, pada kenyataannya, ada satu properti dari struktur yang melekat pada semua objek yang terdaftar: mereka serupa. Dari cabang, serta dari batang pohon, proses yang lebih kecil berangkat, dari mereka - bahkan yang lebih kecil, dll., yaitu, cabang mirip dengan seluruh pohon. Sistem peredaran darah diatur dengan cara yang sama: arteriol berangkat dari arteri, dan dari mereka - kapiler terkecil di mana oksigen memasuki organ dan jaringan. Mari kita lihat citra satelit pantai laut: kita akan melihat teluk dan semenanjung; mari kita lihat, tetapi dari pandangan mata burung: kita akan melihat teluk dan tanjung; sekarang bayangkan kita berdiri di pantai dan melihat kaki kita: akan selalu ada kerikil yang menonjol lebih jauh ke dalam air daripada yang lain. Artinya, garis pantai tetap mirip dengan dirinya sendiri saat diperbesar. Ahli matematika Amerika Benoit Mandelbrot menyebut properti objek fraktalitas ini, dan objek semacam itu sendiri - fraktal (dari bahasa Latin fractus - rusak).

Konsep ini tidak memiliki definisi yang ketat. Oleh karena itu, kata "fraktal" bukanlah istilah matematika. Biasanya, fraktal adalah sosok geometris yang memenuhi satu atau lebih dari sifat-sifat berikut: Ia memiliki struktur kompleks pada perbesaran apa pun (tidak seperti, misalnya, garis lurus, bagian mana pun yang merupakan sosok geometris paling sederhana - segmen). Ini (kurang lebih) mirip dengan diri sendiri. Ini memiliki dimensi Hausdorff (fraktal) fraksional, yang lebih besar dari dimensi topologi. Dapat dibangun dengan prosedur rekursif.

Geometri dan Aljabar

Studi tentang fraktal pada pergantian abad ke-19 dan ke-20 lebih episodik daripada sistematis, karena matematikawan sebelumnya terutama mempelajari objek "baik" yang dapat dipelajari menggunakan metode dan teori umum. Pada tahun 1872, matematikawan Jerman Karl Weierstrass membuat contoh fungsi kontinu yang tidak dapat diturunkan di mana pun. Namun, konstruksinya sepenuhnya abstrak dan sulit dipahami. Oleh karena itu, pada tahun 1904, orang Swedia Helge von Koch datang dengan kurva kontinu yang tidak memiliki garis singgung di mana pun, dan menggambarnya cukup sederhana. Ternyata ia memiliki sifat fraktal. Salah satu variasi kurva ini disebut kepingan salju Koch.

Ide-ide kesamaan diri tokoh diambil oleh orang Prancis Paul Pierre Levy, mentor masa depan Benoit Mandelbrot. Pada tahun 1938, artikelnya yang berjudul “Plane and Spatial Curves and Surfaces Terdiri dari Bagian yang Mirip dengan Keseluruhan” diterbitkan, di mana fraktal lain dijelaskan - kurva Lévy C. Semua fraktal yang tercantum di atas dapat dikaitkan secara kondisional ke satu kelas fraktal konstruktif (geometris).

Kelas lain adalah fraktal dinamis (aljabar), yang mencakup himpunan Mandelbrot. Penelitian pertama ke arah ini dimulai pada awal abad ke-20 dan dikaitkan dengan nama matematikawan Prancis Gaston Julia dan Pierre Fatou. Pada tahun 1918, hampir dua ratus halaman memoar Julia, yang dikhususkan untuk iterasi fungsi rasional yang kompleks, diterbitkan, di mana himpunan Julia dijelaskan - seluruh keluarga fraktal yang terkait erat dengan himpunan Mandelbrot. Karya ini dianugerahi penghargaan Akademi Prancis, tetapi tidak mengandung satu ilustrasi pun, sehingga tidak mungkin untuk menghargai keindahan benda-benda yang ditemukan. Terlepas dari kenyataan bahwa karya ini membuat Julia terkenal di kalangan matematikawan saat itu, itu dengan cepat dilupakan. Sekali lagi, perhatian beralih ke hal itu hanya setengah abad kemudian dengan munculnya komputer: merekalah yang membuat terlihat kekayaan dan keindahan dunia fraktal.

Dimensi fraktal

Seperti yang Anda ketahui, dimensi (jumlah pengukuran) dari bangun geometris adalah jumlah koordinat yang diperlukan untuk menentukan posisi suatu titik yang terletak pada gambar ini.
Misalnya, posisi titik pada kurva ditentukan oleh satu koordinat, pada permukaan (tidak harus bidang) oleh dua koordinat, dalam ruang tiga dimensi oleh tiga koordinat.
Dari sudut pandang matematika yang lebih umum, seseorang dapat mendefinisikan dimensi dengan cara ini: peningkatan dimensi linier, katakanlah, dua kali, untuk objek (segmen) satu dimensi (dari sudut pandang topologi) mengarah ke peningkatan ukuran (panjang) dengan faktor dua, untuk dua dimensi (persegi ) peningkatan yang sama dalam dimensi linier mengarah pada peningkatan ukuran (luas) sebesar 4 kali, untuk tiga dimensi (kubus) - sebanyak 8 kali. Artinya, dimensi "nyata" (disebut Hausdorff) dapat dihitung sebagai rasio logaritma peningkatan "ukuran" suatu objek dengan logaritma peningkatan ukuran liniernya. Yaitu, untuk segmen D=log (2)/log (2)=1, untuk bidang D=log (4)/log (2)=2, untuk volume D=log (8)/log (2 )=3.
Mari kita sekarang menghitung dimensi kurva Koch, untuk konstruksi yang segmen unitnya dibagi menjadi tiga bagian yang sama dan interval tengah diganti dengan segitiga sama sisi tanpa segmen ini. Dengan peningkatan dimensi linier dari segmen minimum tiga kali, panjang kurva Koch meningkat pada log (4) / log (3) ~ 1,26. Artinya, dimensi kurva Koch adalah pecahan!

Sains dan seni

Pada tahun 1982, buku Mandelbrot "The Fractal Geometry of Nature" diterbitkan, di mana penulisnya mengumpulkan dan mensistematisasikan hampir semua informasi tentang fraktal yang tersedia pada waktu itu dan menyajikannya dengan cara yang mudah dan dapat diakses. Mandelbrot membuat penekanan utama dalam presentasinya bukan pada rumus dan konstruksi matematika yang rumit, tetapi pada intuisi geometris pembaca. Berkat ilustrasi yang dihasilkan komputer dan kisah-kisah sejarah, yang dengannya penulis dengan terampil mengencerkan komponen ilmiah dari monograf, buku itu menjadi buku terlaris, dan fraktal dikenal oleh masyarakat umum. Keberhasilan mereka di antara non-ahli matematika sebagian besar disebabkan oleh fakta bahwa dengan bantuan konstruksi dan formula yang sangat sederhana yang bahkan dapat dipahami oleh siswa sekolah menengah, gambar kompleksitas dan keindahan yang luar biasa diperoleh. Ketika komputer pribadi menjadi cukup kuat, bahkan seluruh tren seni muncul - lukisan fraktal, dan hampir semua pemilik komputer dapat melakukannya. Sekarang di Internet Anda dapat dengan mudah menemukan banyak situs yang didedikasikan untuk topik ini.

Skema untuk mendapatkan kurva Koch

Perang dan damai

Seperti disebutkan di atas, salah satu objek alam yang memiliki sifat fraktal adalah garis pantai. Satu cerita menarik terkait dengannya, atau lebih tepatnya, dengan upaya untuk mengukur panjangnya, yang menjadi dasar artikel ilmiah Mandelbrot, dan juga dijelaskan dalam bukunya "Geometri Fraktal Alam". Kita berbicara tentang eksperimen yang dibuat oleh Lewis Richardson, seorang matematikawan, fisikawan, dan ahli meteorologi yang sangat berbakat dan eksentrik. Salah satu arah penelitiannya adalah upaya untuk menemukan deskripsi matematis tentang penyebab dan kemungkinan konflik bersenjata antara dua negara. Di antara parameter yang dia pertimbangkan adalah panjang perbatasan bersama antara kedua negara yang bertikai. Ketika dia mengumpulkan data untuk eksperimen numerik, dia menemukan bahwa dalam sumber yang berbeda data di perbatasan bersama Spanyol dan Portugal sangat berbeda. Ini membawanya ke penemuan berikut: panjang perbatasan negara tergantung pada penggaris yang kita gunakan untuk mengukurnya. Semakin kecil skalanya, semakin panjang batasnya. Hal ini disebabkan oleh fakta bahwa pada perbesaran yang lebih tinggi menjadi mungkin untuk memperhitungkan semakin banyak tikungan pantai, yang sebelumnya diabaikan karena kekasaran pengukuran. Dan jika, dengan setiap zoom, tikungan garis yang sebelumnya tidak terhitung dibuka, maka ternyata panjang perbatasan tidak terbatas! Benar, sebenarnya ini tidak terjadi - keakuratan pengukuran kami memiliki batas yang terbatas. Paradoks ini disebut efek Richardson.

Fraktal konstruktif (geometris)

Algoritma untuk membangun fraktal konstruktif dalam kasus umum adalah sebagai berikut. Pertama-tama, kita membutuhkan dua bentuk geometris yang cocok, sebut saja alas dan pecahannya. Pada tahap pertama, dasar fraktal masa depan digambarkan. Kemudian beberapa bagiannya diganti dengan fragmen yang diambil dalam skala yang sesuai - ini adalah iterasi pertama dari konstruksi. Kemudian, pada gambar yang dihasilkan, beberapa bagian lagi berubah menjadi gambar yang mirip dengan fragmen, dan seterusnya.Jika kita melanjutkan proses ini tanpa batas, maka pada batasnya kita mendapatkan fraktal.

Pertimbangkan proses ini menggunakan contoh kurva Koch (lihat bilah sisi di halaman sebelumnya). Kurva apa pun dapat diambil sebagai dasar dari kurva Koch (untuk kepingan salju Koch, ini adalah segitiga). Tetapi kami membatasi diri pada kasus yang paling sederhana - sebuah segmen. Fragmen adalah garis putus-putus yang ditunjukkan di bagian atas gambar. Setelah iterasi pertama dari algoritma, dalam hal ini, segmen asli akan bertepatan dengan fragmen, kemudian masing-masing segmen penyusunnya sendiri akan digantikan oleh garis putus-putus yang mirip dengan fragmen, dan seterusnya Gambar menunjukkan empat yang pertama langkah-langkah dari proses ini.

Bahasa matematika: fraktal dinamis (aljabar)

Fraktal jenis ini muncul dalam studi sistem dinamik nonlinier (oleh karena itu namanya). Perilaku sistem tersebut dapat dijelaskan oleh fungsi nonlinier kompleks (polinomial) f (z). Mari kita ambil beberapa titik awal z0 pada bidang kompleks (lihat bilah sisi). Sekarang perhatikan barisan bilangan tak hingga pada bidang kompleks, yang masing-masing diperoleh dari yang sebelumnya: z0, z1=f (z0), z2=f (z1), … zn+1=f (zn). Tergantung pada titik awal z0, urutan seperti itu dapat berperilaku berbeda: cenderung tak terhingga sebagai n -> ; konvergen ke beberapa titik akhir; mengambil sejumlah nilai tetap secara siklis; opsi yang lebih kompleks dimungkinkan.

Bilangan kompleks

Bilangan kompleks adalah bilangan yang terdiri dari dua bagian - nyata dan imajiner, yaitu, jumlah formal x + iy (x dan y di sini adalah bilangan real). saya adalah apa yang disebut. satuan imajiner, yaitu bilangan yang memenuhi persamaan saya ^ 2 = -1. Di atas bilangan kompleks, operasi matematika dasar didefinisikan - penambahan, perkalian, pembagian, pengurangan (hanya operasi perbandingan yang tidak ditentukan). Untuk menampilkan bilangan kompleks, representasi geometris sering digunakan - pada bidang (disebut kompleks), bagian nyata diplot sepanjang sumbu absis, dan bagian imajiner di sepanjang sumbu ordinat, sedangkan bilangan kompleks akan sesuai dengan suatu titik dengan koordinat kartesius x dan y.

Jadi, setiap titik z dari bidang kompleks memiliki karakter perilakunya sendiri selama iterasi fungsi f (z), dan seluruh bidang dibagi menjadi beberapa bagian. Selain itu, titik-titik yang terletak pada batas bagian-bagian ini memiliki properti berikut: untuk perpindahan kecil yang sewenang-wenang, sifat perilakunya berubah secara dramatis (titik-titik seperti itu disebut titik bifurkasi). Jadi, ternyata himpunan titik yang memiliki satu jenis perilaku tertentu, serta himpunan titik bifurkasi, seringkali memiliki sifat fraktal. Ini adalah himpunan Julia untuk fungsi f(z).

keluarga naga

Dengan memvariasikan dasar dan fragmen, Anda bisa mendapatkan variasi fraktal konstruktif yang menakjubkan.
Selain itu, operasi serupa dapat dilakukan dalam ruang tiga dimensi. Contoh fraktal volumetrik adalah “Spons Menger”, “Piramida Sierpinski” dan lain-lain.
Keluarga naga juga disebut fraktal konstruktif. Mereka kadang-kadang disebut dengan nama penemunya sebagai "naga Heiwei-Harter" (mereka menyerupai naga Cina dalam bentuknya). Ada beberapa cara untuk membangun kurva ini. Yang paling sederhana dan paling jelas di antaranya adalah ini: Anda perlu mengambil selembar kertas yang cukup panjang (semakin tipis kertasnya, semakin baik), dan tekuk menjadi dua. Kemudian tekuk lagi menjadi dua dengan arah yang sama seperti pertama kali. Setelah beberapa kali pengulangan (biasanya setelah lima atau enam kali lipatan, strip menjadi terlalu tebal untuk ditekuk lebih lanjut dengan hati-hati), Anda perlu meluruskan strip ke belakang, dan mencoba membentuk sudut 90˚ pada lipatan. Kemudian kurva naga akan berubah menjadi profil. Tentu saja, ini hanya akan menjadi perkiraan, seperti semua upaya kami untuk menggambarkan objek fraktal. Komputer memungkinkan Anda untuk menggambarkan lebih banyak langkah dalam proses ini, dan hasilnya adalah sosok yang sangat indah.

Himpunan Mandelbrot dibangun agak berbeda. Pertimbangkan fungsi fc (z) = z 2 +c, di mana c adalah bilangan kompleks. Mari kita buat barisan fungsi ini dengan z0=0, bergantung pada parameter c, ia dapat menyimpang hingga tak terhingga atau tetap terbatas. Selain itu, semua nilai c yang dibatasi barisan ini membentuk himpunan Mandelbrot. Itu dipelajari secara rinci oleh Mandelbrot sendiri dan matematikawan lainnya, yang menemukan banyak sifat menarik dari himpunan ini.

Dapat dilihat bahwa definisi himpunan Julia dan Mandelbrot mirip satu sama lain. Sebenarnya, kedua set ini terkait erat. Yaitu, himpunan Mandelbrot adalah semua nilai dari parameter kompleks c di mana himpunan Julia fc (z) terhubung (satu set disebut terhubung jika tidak dapat dibagi menjadi dua bagian yang tidak berpotongan, dengan beberapa kondisi tambahan).

fraktal dan kehidupan

Saat ini, teori fraktal banyak digunakan di berbagai bidang aktivitas manusia. Selain objek ilmiah murni untuk penelitian dan lukisan fraktal yang telah disebutkan, fraktal digunakan dalam teori informasi untuk mengompresi data grafik (di sini, sifat kesamaan diri fraktal terutama digunakan - lagi pula, untuk mengingat fragmen kecil dari gambar dan transformasi yang dengannya Anda bisa mendapatkan sisa bagian, dibutuhkan memori yang jauh lebih sedikit daripada menyimpan seluruh file). Dengan menambahkan gangguan acak ke rumus yang mendefinisikan fraktal, seseorang dapat memperoleh fraktal stokastik yang sangat masuk akal menyampaikan beberapa objek nyata - elemen relief, permukaan badan air, beberapa tanaman, yang berhasil digunakan dalam fisika, geografi, dan grafik komputer untuk mencapai kesamaan yang lebih besar dari objek simulasi dengan nyata. Dalam elektronik radio, dalam satu dekade terakhir, mereka mulai memproduksi antena yang memiliki bentuk fraktal. Mengambil sedikit ruang, mereka memberikan penerimaan sinyal yang cukup berkualitas tinggi. Ekonom menggunakan fraktal untuk menggambarkan kurva fluktuasi mata uang (properti ini ditemukan oleh Mandelbrot lebih dari 30 tahun yang lalu). Ini mengakhiri perjalanan singkat ke dunia fraktal, yang menakjubkan dalam keindahan dan keragamannya.

KEMENTERIAN PENDIDIKAN TINGGI DAN PROFESIONAL

AKADEMI EKONOMI NEGARA IRCUTSK

DEPARTEMEN SISTEM INFORMASI

Menurut model dan metode ekonomi dan matematika

TEORI FRAKTAL DAN APLIKASINYA

Disiapkan oleh: Pemimpin:

Pogodaeva E.A. Tolstikova T.V.

Chetverikov S.V.

IRKUTSK 1997

Semua gambar serupa dan

Namun tidak satu di yang lain

Goy tidak seperti; paduan suara mereka

Saya akan menunjuk ke hukum rahasia

Yut, ke teka-teki suci ...

J.W. Goethe.

metamorfosis tumbuhan.

MENGAPA KITA BICARA TENTANG FRAKTAL?

Pada paruh kedua abad kita dalam ilmu alam ada
perubahan mendasar yang memunculkan apa yang disebut teori
pengorganisasian diri, atau sinergis. Dia lahir tiba-tiba, seolah-olah pada
melintasi beberapa jalur penelitian ilmiah. Salah satu yang menentukan
impuls awal dikhianati oleh para ilmuwan Rusia pada pergantian
lima puluhan - enam puluhan. Pada tahun lima puluhan ilmuwan
Ahli kimia analitik B.P. Belousov menemukan redoks
reaksi kimia. Penemuan dan studi osilasi diri dan gelombang otomatis selama
Reaksi Belousov

S.E. Shnolem, A.M. Zhabotinsky, V.I. Krinsky, A.N. Zaikin, G.R.
Ivanitsky - mungkin halaman fundamental yang paling cemerlang
Ilmu pengetahuan Rusia pada periode pascaperang. Belajar cepat dan sukses
reaksi Belousov - Zhabotinsky bekerja dalam sains sebagai pemicu
hook: mereka segera ingat bahwa proses semacam ini diketahui sebelumnya
macam dan itu banyak fenomena alam mulai dari pembentukan galaksi
untuk tornado, siklon dan permainan cahaya pada permukaan reflektif (jadi
disebut kaustik), - sebenarnya, proses pengorganisasian diri. Mereka
dapat bersifat sangat berbeda: kimia, mekanik,
optik, listrik, dll. Apalagi ternyata
telah lama siap dan sempurna mengembangkan teori matematika
organisasi diri. Dasarnya diletakkan oleh karya-karya A. Poincaré dan A. A.
Lyapunov pada akhir abad terakhir. Disertasi "Tentang keberlanjutan
gerakan" ditulis oleh Lyapunov pada tahun 1892.

Teori matematika tentang pengorganisasian diri memaksa kita dengan cara baru
melihat dunia di sekitar kita. Mari kita jelaskan bagaimana perbedaannya dari
pandangan dunia klasik, karena kita perlu mengetahui ini kapan
mempelajari objek fraktal.

"Pandangan dunia deterministik unik klasik
dapat dilambangkan dengan permukaan datar dan halus yang
bola bertabrakan, setelah menerima sejumlah gerakan.
Nasib masa depan masing-masing tubuh tersebut secara unik ditentukan oleh
"melewati" pada saat waktu sebelumnya (momentum, muatan) dan
interaksi dengan tubuh lain. Tidak ada integritas sistem seperti itu
tidak memiliki." (L. Belousov. Utusan badai petir yang hidup. \\ Pengetahuan adalah kekuatan. N
2. 1996. - hal.32). Dengan demikian ilmu pengetahuan klasik percaya bahwa masa depan
sistem seperti itu secara kaku dan jelas ditentukan oleh masa lalunya dan, tunduk pada
pengetahuan tentang masa lalu, dapat diprediksi tanpa batas.

Matematika modern telah menunjukkan bahwa dalam beberapa kasus ini tidak
seperti ini: misalnya, jika bola menabrak dinding cembung, maka diabaikan
perbedaan dalam lintasan mereka akan tumbuh tanpa batas, sehingga
perilaku sistem menjadi tidak terduga di beberapa titik.
Dengan demikian, posisi determinisme yang tidak ambigu bahkan dirusak
dalam situasi yang relatif sederhana.

Pandangan dunia yang didasarkan pada teori pengorganisasian diri,
dilambangkan dengan citra negara pegunungan dengan lembah yang dilalui sungai-sungai,
dan punggungan DAS. Negara ini memiliki umpan balik yang kuat
- baik negatif maupun positif. Jika tubuh berguling ke bawah
sepanjang lereng, maka ada positif
umpan balik, jika mencoba untuk memanjat, adalah negatif.
Umpan balik nonlinier (cukup kuat) adalah kondisi yang sangat diperlukan
organisasi diri. Nonlinier dalam arti ideologis berarti
jalur evolusi multivariat, adanya pilihan jalur alternatif
dan tingkat evolusi tertentu, serta ireversibilitas evolusi
proses. Misalnya, pertimbangkan interaksi dua benda: A dan B. B -
batang pohon elastis, A adalah aliran gunung di negara kita. Aliran membungkuk
batang ke arah gerakan air, tetapi setelah mencapai tertentu
menekuk batang di bawah aksi gaya elastis dapat diluruskan, ditolak
partikel air kembali. Artinya, kita melihat interaksi alternatif
dua benda A dan B. Selain itu, interaksi ini terjadi sedemikian rupa sehingga
bahwa hubungan A-B adalah positif, dan hubungan B-A adalah negatif. Syaratnya terpenuhi
non-linier.

Selain itu, dalam teori pengorganisasian diri, kita dapat memaksa
negara pegunungan untuk "hidup", yaitu, berubah dalam waktu. Pada saat yang sama, itu penting
pilih variabel dari urutan yang berbeda. Seperti hierarki variabel
waktu adalah kondisi yang diperlukan untuk mengatur pengaturan diri.
Hancurkan, "campur" waktu - kekacauan akan datang (misalnya, gempa bumi,
ketika pergeseran dalam tatanan geologis terjadi dalam hitungan menit, dan
harus - selama beberapa milenium). Namun, ternyata, hidup
sistem tidak begitu takut akan kekacauan: mereka hidup pada batasnya sepanjang waktu,
kadang-kadang bahkan jatuh ke dalamnya, tetapi mereka tetap tahu bagaimana, bila perlu, darinya
keluar. Dalam hal ini, yang paling penting adalah yang paling lambat
variabel waktu (disebut parameter). Ini adalah nilai parameter
menentukan rangkaian solusi berkelanjutan apa yang akan dimiliki sistem dan,
dengan demikian, struktur apa yang dapat diterapkan di dalamnya sama sekali. PADA
waktu yang sama lebih cepat

(dinamis) variabel bertanggung jawab atas pilihan spesifik dari realisasi
keadaan stabil di antara yang mungkin.

Prinsip-prinsip non-linier dan alternatif untuk memilih pengembangan dari setiap
Dalam prosesnya, pengembangan sistem juga diimplementasikan dalam konstruksi fraktal.

Seperti yang telah menjadi jelas dalam beberapa dekade terakhir (karena perkembangan teori
pengorganisasian diri), kesamaan diri terjadi dalam berbagai objek dan
fenomena. Misalnya, kesamaan diri dapat diamati pada cabang-cabang pohon dan
semak, saat membagi zigot yang dibuahi, kepingan salju, kristal
es, dengan perkembangan sistem ekonomi (gelombang Kondratiev), struktur
sistem pegunungan, dalam struktur awan. Semua hal di atas dan lainnya
mirip dengan mereka dalam struktur mereka disebut fraktal. Artinya, mereka
memiliki sifat kesamaan diri, atau invarian skala. Dan ini
berarti bahwa beberapa fragmen dari strukturnya diulang secara ketat melalui
interval spasial tertentu. Jelas bahwa benda-benda ini
bisa berupa apa saja, dan penampilan serta bentuknya tetap tidak berubah
terlepas dari skala.

Dengan demikian, kita dapat mengatakan bahwa fraktal sebagai model digunakan dalam
kasus ketika objek nyata tidak dapat direpresentasikan dalam bentuk klasik
model. Dan ini berarti bahwa kita berurusan dengan hubungan nonlinier dan
sifat data yang tidak deterministik. Nonlinier dalam pandangan dunia
akal berarti multivarian jalur pengembangan, ketersediaan pilihan dari
jalur alternatif dan kecepatan evolusi tertentu, serta ireversibilitas
proses evolusi. Non-linearitas dalam arti matematis berarti
jenis persamaan matematika tertentu (diferensial nonlinier
persamaan) yang berisi jumlah yang diinginkan dalam pangkat lebih besar dari satu atau
koefisien tergantung pada sifat-sifat medium. Artinya, ketika kita menggunakan
model klasik (misalnya, tren, regresi, dll.), kami
kita mengatakan bahwa masa depan objek ditentukan secara unik. Dan kita bisa
memprediksinya, mengetahui masa lalu objek (memasukkan data untuk
pemodelan). Dan fraktal digunakan ketika suatu objek memiliki
beberapa opsi pengembangan dan status sistem ditentukan
posisinya saat ini. Artinya, kita
mencoba mensimulasikan perkembangan yang kacau.

Apa yang memberi kita penggunaan fraktal?

Mereka memungkinkan Anda untuk menyederhanakan proses dan objek yang kompleks, yang sangat
penting untuk pemodelan. Memungkinkan Anda untuk menggambarkan sistem yang tidak stabil dan
proses dan, yang paling penting, untuk memprediksi masa depan objek tersebut.

TEORI FRAKTAL

LATAR BELAKANG PENAMPILAN

Teori fraktal memiliki usia yang sangat muda. Dia muncul di
akhir tahun enam puluhan di persimpangan matematika, ilmu komputer, linguistik
dan biologi. Saat itu, komputer semakin merambah kehidupan.
orang, para ilmuwan mulai menerapkannya dalam penelitian mereka, jumlah
pengguna komputer. Untuk penggunaan massal
komputer, menjadi perlu untuk memfasilitasi proses komunikasi antara seseorang dan
mesin. Jika pada awal era komputer beberapa
programmer-pengguna tanpa pamrih memasukkan perintah di mesin
kode dan menerima hasil dalam bentuk pita kertas tak berujung, kemudian dengan
mode besar dan sarat menggunakan komputer muncul
kebutuhan untuk menciptakan bahasa pemrograman yang
akan dapat dimengerti oleh mesin, dan pada saat yang sama, akan mudah dipelajari dan
aplikasi. Artinya, pengguna hanya perlu memasukkan satu
perintah, dan komputer akan menguraikannya menjadi yang lebih sederhana, dan mengeksekusi
sudah akan memilikinya. Untuk memfasilitasi penulisan penerjemah, di persimpangan ilmu komputer
dan linguistik, teori fraktal muncul, yang memungkinkan Anda untuk mengatur secara ketat
hubungan antara bahasa algoritmik. Dan matematikawan Denmark dan
ahli biologi A. Lindenmeer datang dengan satu tata bahasa tersebut pada tahun 1968,
yang dia sebut sistem-L, yang, seperti yang dia yakini, juga memodelkan pertumbuhan
organisme hidup, terutama pembentukan semak dan cabang pada tumbuhan.

Ini dia penampakan modelnya. Setel alfabet - set sewenang-wenang
karakter. Alokasikan satu, kata awal, yang disebut aksioma, - Anda bisa
pertimbangkan bahwa itu sesuai dengan keadaan awal organisme - embrio.
Dan kemudian mereka menjelaskan aturan untuk mengganti setiap karakter alfabet dengan tertentu
seperangkat simbol, yaitu, mereka mengatur hukum perkembangan embrio. Beroperasi
aturannya adalah sebagai berikut: kita membaca setiap simbol aksioma secara berurutan dan mengganti
ke kata yang ditentukan dalam aturan substitusi.

Jadi, setelah membaca aksioma sekali, kita mendapatkan baris baru
karakter, di mana kami kembali menerapkan prosedur yang sama. Selangkah demi selangkah
string yang semakin panjang muncul - masing-masing langkah ini dapat
dianggap sebagai salah satu tahap berturut-turut dalam pengembangan "organisme".
Dengan membatasi jumlah langkah, tentukan kapan pengembangan dianggap selesai.

ASAL USUL TEORI Fraktal

Benoit Mandelbrot dapat dianggap sebagai bapak fraktal.
Mandelbrot adalah penemu istilah "fraktal". Mandelbrot
menulis: "Saya datang dengan kata "fraktal", berdasarkan bahasa Latin
kata sifat "fractus", yang berarti tidak beraturan, rekursif,
fragmentaris. Definisi fraktal pertama juga diberikan oleh B. Mandelbrot:

Fraktal adalah struktur serupa diri yang bayangannya tidak bergantung pada
skala. Ini adalah model rekursif, yang setiap bagiannya berulang dengan sendirinya
pengembangan pengembangan seluruh model secara keseluruhan.

Sampai saat ini, ada banyak model matematika yang berbeda
fraktal. Fitur yang membedakan dari masing-masing adalah bahwa
mereka didasarkan pada beberapa fungsi rekursif, misalnya: xi=f(xi-1).
Dengan penggunaan komputer, peneliti memiliki kesempatan untuk memperoleh
gambar grafik fraktal. Model paling sederhana tidak membutuhkan yang besar
perhitungan dan dapat diimplementasikan langsung dalam pelajaran ilmu komputer, sedangkan
model lain sangat menuntut daya komputer sehingga mereka
implementasinya dilakukan dengan menggunakan superkomputer. Kebetulan, di AS
model fraktal dipelajari oleh Pusat Aplikasi Nasional
untuk Superkomputer (NCSA). Dalam karya ini, kami hanya ingin menunjukkan
beberapa model fraktal yang berhasil kami dapatkan.

Model Mandelbrot.

Benoit Mandelbrot mengusulkan model fraktal, yang telah menjadi
klasik dan sering digunakan untuk menunjukkan betapa khasnya
contoh fraktal itu sendiri, dan untuk menunjukkan keindahan fraktal,
yang juga menarik para peneliti, seniman, just
orang yang tertarik.

Deskripsi matematis model tersebut adalah sebagai berikut: pada bidang kompleks di
beberapa interval untuk setiap titik dengan fungsi rekursif dihitung
Z=Z2+c. Tampaknya, apa yang istimewa dari fungsi ini? Tapi setelah N
pengulangan prosedur ini untuk menghitung koordinat titik, pada
pesawat yang kompleks, sosok yang sangat cantik muncul, sesuatu
seperti buah pir.

Dalam model Mandelbrot, faktor perubahan adalah titik awal
c, dan parameter z, bergantung. Oleh karena itu, untuk membangun fraktal
Mandelbrot ada aturannya: nilai awal z adalah nol (z=0)!
Pembatasan ini diperkenalkan sehingga turunan pertama dari fungsi
z pada titik awal sama dengan nol. Dan ini berarti bahwa pada awalnya
titik, fungsi memiliki minimum, dan selanjutnya hanya akan mengambil
nilai-nilai besar.

Kami ingin mencatat bahwa jika rumus rekursif fraktal memiliki perbedaan
tampilan, maka Anda harus memilih nilai lain dari titik awal untuk
parameter Z. Misalnya, jika rumusnya terlihat seperti z=z2+z+c, maka inisial
titik akan menjadi:

2*z+1=0 ???z= -1/2.

Dalam karya ini, kami memiliki kesempatan untuk menghadirkan gambar fraktal,
yang dibangun di NCSA. Kami menerima file gambar melalui
Jaringan internet.

Gbr.1 Fraktal Mandelbrot

Anda sudah mengetahui model matematika fraktal Mandelbrot. sekarang kita
Mari kita tunjukkan bagaimana itu diimplementasikan secara grafis. Titik awal model
sama dengan nol. Secara grafis, itu sesuai dengan bagian tengah tubuh buah pir. Melalui N
langkah akan mengisi seluruh tubuh buah pir dan di tempat di mana ia berakhir
iterasi terakhir, "kepala" fraktal mulai terbentuk.
"Kepala" fraktal akan tepat empat kali lebih kecil dari tubuhnya, karena
rumus matematika fraktal adalah persegi
polinomial. Kemudian lagi, setelah N iterasi, "tubuh" mulai terbentuk
"ginjal" (di sebelah kanan dan kiri "tubuh"). Dll. Semakin banyak yang diberikan
jumlah iterasi N, semakin detail gambar fraktalnya,
proses yang lebih berbeda itu akan memiliki. Representasi skematik
Tahapan pertumbuhan fraktal Mandelbrot ditunjukkan pada Gambar. 2:

Gbr.2 Skema pembentukan fraktal Mandelbrot

Gambar 1 dan 2 menunjukkan bahwa setiap formasi selanjutnya pada "tubuh"
persis mengulangi dalam strukturnya tubuh itu sendiri. Ini dia yang khas
fitur bahwa model ini adalah fraktal.

Gambar berikut menunjukkan bagaimana posisi titik akan berubah,
sesuai dengan parameter z, untuk posisi awal titik yang berbeda
c.

A) Titik awal di "tubuh" B) Titik awal
titik di kepala

C) Titik awal di "ginjal" D) Titik awal di
"ginjal" tingkat kedua

E) Titik awal di "ginjal" tingkat ketiga

Dari gambar A - E terlihat jelas bagaimana dengan setiap langkah semakin banyak
struktur fraktal menjadi lebih rumit dan parameter z semakin kompleks
lintasan.

Keterbatasan pada model Mandelbrot: ada bukti bahwa di
model Mandelbrot |z|

Model Julia (set Julia)

Model fraktal Julia memiliki persamaan yang sama dengan model
Mandelbrot: Z=Z2+c, hanya di sini parameter variabelnya adalah
bukan c, tapi z.

Dengan demikian, seluruh struktur fraktal berubah, mulai sekarang
posisi awal tidak tunduk pada batasan apa pun. Di antara
model Mandelbrot dan Julia, ada perbedaan seperti itu: jika modelnya
Mandelbrot statis (karena z awal selalu
nol), maka model Julia adalah model fraktal dinamis. pada
Nasi. 4 menunjukkan representasi grafis dari fraktal Julia.

Beras. 4 Model Julia

Seperti dapat dilihat dari gambar fraktal, itu simetris terhadap pusat
bentuk titik-titik, sedangkan fraktal Mandelbrot memiliki bentuk yang simetris
tentang sumbu.

Karpet Sierpinski

Karpet Sierpinski dianggap sebagai model fraktal lainnya. Ini sedang dibangun
sebagai berikut: sebuah persegi diambil, dibagi menjadi sembilan kotak,
potong alun-alun pusat. Kemudian dengan masing-masing dari delapan yang tersisa
kotak, prosedur serupa dilakukan. Dan seterusnya ad infinitum. PADA
Akibatnya, alih-alih seluruh persegi, kami mendapatkan karpet dengan yang aneh
pola simetris. Model ini pertama kali diusulkan oleh ahli matematika
Sierpinsky, setelah siapa ia mendapatkan namanya. Contoh karpet
Sierpinski dapat dilihat pada Gambar. 4d.

Gbr.4 Konstruksi karpet Sierpinski

4. Kurva Koch

Pada awal abad ke-20, matematikawan mencari kurva yang tidak dapat ditemukan di tempat lain.
titik tidak memiliki garis singgung. Ini berarti kurva itu tiba-tiba berubah
arah, dan, terlebih lagi, pada kecepatan yang sangat tinggi (turunan
sama dengan tak terhingga). Pencarian kurva ini tidak hanya disebabkan oleh
minat kosong matematikawan. Faktanya adalah bahwa pada awal abad kedua puluh, sangat
mekanika kuantum berkembang pesat. Peneliti M.Brown
membuat sketsa lintasan pergerakan partikel tersuspensi dalam air dan menjelaskan ini
fenomenanya adalah sebagai berikut: atom-atom cairan yang bergerak secara acak bertabrakan dengan
partikel tersuspensi dan dengan demikian membuat mereka bergerak. Setelah itu
penjelasan tentang gerak Brown, para ilmuwan dihadapkan pada tugas untuk menemukan
kurva yang paling mendekati gerakan
partikel Brown. Untuk ini, kurva harus sesuai dengan berikut:
sifat: tidak memiliki garis singgung di sembarang titik. Matematikawan Koch
mengusulkan satu kurva tersebut. Kami tidak akan masuk ke penjelasan
aturan untuk konstruksinya, tetapi cukup berikan gambarnya, dari mana semua
menjadi jelas (Gbr. 5).

Gbr.5 Tahapan pembuatan kurva Koch

Kurva Koch adalah contoh lain dari fraktal, karena masing-masing
bagian adalah gambar berkurang dari seluruh kurva.

6. Gambar grafis dari berbagai fraktal

Dalam paragraf ini, kami memutuskan untuk menempatkan gambar grafis dari berbagai
fraktal yang kami terima dari Internet. Sayangnya kami tidak
dapat menemukan deskripsi matematis dari fraktal ini, tetapi untuk
untuk memahami kecantikan mereka, gambar saja sudah cukup.

Beras. 6 Contoh representasi grafis fraktal

BAGIAN II

APLIKASI TEORI Fraktal DALAM EKONOMI

ANALISIS TEKNIS PASAR KEUANGAN

Pasar keuangan di negara-negara maju di dunia telah ada selama lebih dari seratus tahun
bertahun-tahun. Selama berabad-abad, orang telah membeli dan menjual sekuritas.
Jenis transaksi dengan surat berharga ini mendatangkan pendapatan bagi pelaku pasar
karena harga saham dan obligasi berfluktuasi sepanjang waktu,
terus berubah. Selama berabad-abad, orang telah membeli sekuritas di
harga yang sama dan dijual ketika mereka menjadi lebih mahal. Tapi terkadang
harapan pembeli tidak menjadi kenyataan dan harga untuk kertas yang dibeli mulai
jatuh, dengan demikian, dia tidak hanya tidak menerima penghasilan, tetapi juga menderita
kerugian. Untuk waktu yang sangat lama, tidak ada yang memikirkan mengapa ini terjadi:
harga naik lalu turun. Orang-orang hanya melihat hasil dari tindakan dan tidak
berpikir tentang mekanisme kausal yang menghasilkannya.

Ini terjadi sampai seorang pemodal Amerika, salah satunya
penerbit surat kabar terkenal "Financial Times", Charles Dow tidak
menerbitkan sejumlah artikel di mana ia menguraikan pandangannya tentang
berfungsinya pasar keuangan. Dow memperhatikan bahwa harga saham
tunduk pada fluktuasi siklus: setelah periode pertumbuhan yang panjang,
jatuh panjang, lalu naik dan turun lagi. Dengan demikian,
Charles Dow pertama kali menyadari bahwa adalah mungkin untuk memprediksi masa depan
perilaku harga saham, jika arahnya diketahui oleh sebagian orang
periode terakhir.

Gbr.1 Perilaku harga menurut Ch.Dow

Selanjutnya, berdasarkan penemuan-penemuan yang dibuat oleh Ch. Dow, keseluruhan
teori analisis teknis pasar keuangan, yang diterima
disebut Teori Dow. Teori ini berasal dari tahun sembilan puluhan
abad kesembilan belas, ketika C. Dow menerbitkan artikelnya.

Analisis teknis pasar adalah metode untuk memprediksi masa depan
perilaku tren harga, berdasarkan pengetahuan tentang sejarah perilakunya.
Analisis teknis untuk peramalan menggunakan matematika
properti tren, bukan kinerja ekonomi sekuritas.

Di pertengahan abad kedua puluh, ketika seluruh dunia ilmiah hanya tertarik pada
bahwa teori fraktal yang muncul, orang Amerika terkenal lainnya
pemodal Ralph Elliot mengajukan teorinya tentang perilaku harga saham,
yang didasarkan pada penggunaan teori fraktal.

Elliot melanjutkan dari fakta bahwa geometri fraktal tidak ada.
hanya di alam yang hidup, tetapi juga dalam proses sosial. untuk umum
Dia menghubungkan proses untuk perdagangan saham di bursa saham.

TEORI GELOMBANG ELLIOT

Elliot Wave Theory adalah salah satu teori teknis tertua.
analisis. Sejak awal, tidak ada pengguna yang berkontribusi padanya
setiap perubahan penting. Sebaliknya, semua upaya diarahkan untuk
bahwa prinsip-prinsip yang dirumuskan oleh Elliot lebih menonjol dan
lebih jelas. Hasilnya jelas. Dengan bantuan teori Elliot,
prakiraan terbaik untuk pergerakan indeks Dow Jones Amerika.

Dasar teorinya adalah apa yang disebut diagram gelombang. gelombang adalah
pergerakan harga yang terlihat. Mengikuti aturan perkembangan massa
perilaku psikologis, semua pergerakan harga dibagi menjadi lima gelombang di
arah tren yang lebih kuat, dan tiga gelombang dalam arah yang berlawanan
arah. Misalnya, dalam kasus tren dominan, kita akan melihat lima
gelombang ketika harga bergerak naik dan tiga - saat bergerak (mengoreksi) turun.

Untuk menunjukkan tren lima gelombang, angka digunakan dan untuk
kebalikan tiga gelombang - huruf. Masing-masing dari lima gerakan gelombang
disebut impuls, dan masing-masing dari tiga menang - korektif. Jadi
masing-masing gelombang 1,3,5, A dan C adalah impuls, dan 2,4, dan B -
perbaikan.

Beras. 7 Bagan Gelombang Elliott

Elliot adalah salah satu yang pertama dengan jelas mendefinisikan operasi Geometri
Fraktal di alam, dalam hal ini - dalam grafik harga. Dia
menyarankan bahwa di masing-masing impuls yang baru saja ditunjukkan dan
gelombang korektif juga merupakan grafik gelombang Elliot.
Pada gilirannya, gelombang-gelombang itu juga dapat didekomposisi menjadi komponen-komponen, jadi
Lebih jauh. Jadi Elliot menerapkan teori fraktal pada dekomposisi
menjadi bagian-bagian yang lebih kecil dan lebih mudah dipahami. Pengetahuan tentang bagian-bagian ini lebih banyak
skala yang lebih kecil dari bentuk gelombang terbesar adalah penting karena
bahwa para pedagang (pelaku pasar keuangan), mengetahui di bagian mana
grafik mereka berada, dengan percaya diri dapat menjual sekuritas ketika
gelombang korektif dimulai dan harus membelinya saat dimulai
gelombang impuls.

Gbr.8 Struktur fraktal dari diagram Elliott

ANGKA FIBONACCCI DAN KARAKTERISTIK GELOMBANG

Ralph Elliot pertama kali muncul dengan ide menggunakan urutan angka
Fibonacci untuk membuat perkiraan dalam kerangka analisis teknis. Dengan
menggunakan angka dan koefisien Fibonacci, Anda dapat memprediksi panjangnya
setiap gelombang dan waktu penyelesaiannya. Tanpa menyentuh masalah waktu,
Mari kita beralih ke aturan yang paling umum digunakan untuk menentukan panjangnya
Gelombang Elliot. Dengan panjang, dalam hal ini, yang kami maksud
naik atau turunnya harga.

gelombang impuls.

Gelombang 3 biasanya memiliki panjang 1.618 dari gelombang 1, lebih jarang - sama dengan
dia.

Dua gelombang impuls sering sama panjangnya, biasanya gelombang 5
dan 1. Ini biasanya terjadi jika panjang gelombang 3 kurang dari 1,618
panjang gelombang 1.

Seringkali ada rasio di mana panjang gelombang 5 sama dengan 0,382
atau 0,618 jarak yang ditempuh harga dari awal gelombang 1 sampai akhir
gelombang 3.

koreksi

Panjang gelombang korektif membentuk koefisien tertentu
Fibonacci dari panjang gelombang impuls sebelumnya. Menurut
dengan aturan pergantian, gelombang 2 dan 4 harus bergantian dalam persentase
perbandingan. Contoh paling umum adalah sebagai berikut:
gelombang 2 adalah 61,8% dari gelombang 1, sedangkan gelombang 4 bisa
hanya 38,2% atau 50% dari gelombang 3.

KESIMPULAN

Dalam pekerjaan kami, tidak semua bidang pengetahuan manusia diberikan,
di mana teori fraktal menemukan penerapannya. Kami hanya ingin mengatakan itu
tidak lebih dari sepertiga abad telah berlalu sejak munculnya teori, tetapi untuk ini
fraktal waktu bagi banyak peneliti telah menjadi cahaya terang yang tiba-tiba
di malam-malam yang menerangi fakta dan pola yang sampai sekarang tidak diketahui
area data tertentu. Menggunakan teori fraktal mulai menjelaskan
evolusi galaksi dan perkembangan sel, munculnya gunung dan formasi
awan, pergerakan harga di bursa dan perkembangan masyarakat dan keluarga. Mungkin
mungkin pada awalnya hasrat untuk fraktal ini bahkan terlalu
badai dan upaya untuk menjelaskan semuanya menggunakan teori fraktal adalah
tidak bisa dibenarkan. Tapi, tanpa diragukan lagi, teori ini memiliki hak untuk
keberadaan, dan kami menyesal bahwa akhir-akhir ini entah bagaimana telah dilupakan
dan tetap menjadi bagian dari yang terpilih. Dalam mempersiapkan pekerjaan ini, kami
Sangat menarik untuk menemukan aplikasi TEORI dalam PRAKTEK. karena
sangat sering ada perasaan bahwa pengetahuan teoretis ada di
jauh dari kehidupan nyata.

Di akhir pekerjaan kami, kami ingin membawa kata-kata antusias
bapak baptis teori fraktal, Benoit Mandelbrot: "Geometri alam
fraktal! Saat ini kedengarannya sama berani dan absurdnya
seruan terkenal dari G. Galileo: "Tapi tetap saja berputar!" di XVI
abad.

DAFTAR SUMBER YANG DIGUNAKAN

Sheipak ​​I.A. Fraktal, cangkok, semak… //Kimia dan Kehidupan. 1996 6

Pemahaman tentang kekacauan //Kimia dan kehidupan. 1992 8

Erlich A. Analisis teknis pasar komoditas dan saham, M: Infra-M, 1996

Bahan dari Internet.

Deret Fibonacci - deret yang diusulkan pada 1202
oleh ahli matematika abad pertengahan Leonardo Fibonacci. Mengacu pada spesies
kembali urutan. a1=1, a2=1, ai=ai-1+ai-2.
Koefisien Fibonacci - hasil bagi dari dua suku bertetangga
Deret Fibonacci: K1=ai/ai-1=1.618,

K2=ai-1/ai=0,618. Koefisien ini disebut
"bagian emas".

harga saham

grafik harga saham

Seringkali, penemuan brilian yang dibuat dalam sains dapat secara radikal mengubah hidup kita. Jadi, misalnya, penemuan vaksin dapat menyelamatkan banyak orang, dan penciptaan senjata baru mengarah pada pembunuhan. Secara harfiah kemarin (dalam skala sejarah) seseorang "menjinakkan" listrik, dan hari ini dia tidak bisa lagi membayangkan hidupnya tanpanya. Namun, ada juga penemuan-penemuan yang, seperti yang mereka katakan, tetap dalam bayang-bayang, dan terlepas dari kenyataan bahwa mereka juga memiliki pengaruh pada kehidupan kita. Salah satu penemuan ini adalah fraktal. Kebanyakan orang bahkan belum pernah mendengar konsep seperti itu dan tidak akan bisa menjelaskan artinya. Pada artikel ini, kami akan mencoba menjawab pertanyaan tentang apa itu fraktal, pertimbangkan arti istilah ini dari sudut pandang sains dan alam.

Memesan dalam kekacauan

Untuk memahami apa itu fraktal, seseorang harus memulai pembekalan dari posisi matematika, namun, sebelum mempelajarinya, kami berfilsafat sedikit. Setiap orang memiliki keingintahuan alami, berkat itu ia mempelajari dunia di sekitarnya. Seringkali, dalam keinginannya akan pengetahuan, ia mencoba beroperasi dengan logika dalam penilaiannya. Jadi, menganalisis proses yang terjadi di sekitar, ia mencoba menghitung hubungan dan memperoleh pola tertentu. Pikiran terbesar di planet ini sibuk memecahkan masalah ini. Secara kasar, para ilmuwan kami mencari pola di mana mereka tidak ada, dan tidak seharusnya. Namun demikian, bahkan dalam kekacauan ada hubungan antara peristiwa-peristiwa tertentu. Koneksi ini adalah fraktal. Sebagai contoh, perhatikan cabang patah yang tergeletak di jalan. Jika kita perhatikan lebih dekat, kita akan melihat bahwa ia, dengan semua cabang dan simpulnya, tampak seperti pohon. Kesamaan bagian yang terpisah dengan satu keseluruhan ini membuktikan apa yang disebut prinsip kesamaan diri rekursif. Fraktal di alam dapat ditemukan sepanjang waktu, karena banyak bentuk anorganik dan organik terbentuk dengan cara yang sama. Ini adalah awan, dan kerang laut, dan kulit siput, dan mahkota pohon, dan bahkan sistem peredaran darah. Daftar ini dapat dilanjutkan tanpa batas. Semua bentuk acak ini mudah dijelaskan oleh algoritma fraktal. Di sini kita datang untuk mempertimbangkan apa itu fraktal dari sudut pandang ilmu eksakta.

Beberapa fakta kering

Kata "fraktal" sendiri diterjemahkan dari bahasa Latin sebagai "sebagian", "terbagi", "terpecah-pecah", dan untuk isi istilah ini, tidak ada kata-kata seperti itu. Biasanya diperlakukan sebagai himpunan yang serupa, bagian dari keseluruhan, yang diulangi oleh strukturnya pada tingkat mikro. Istilah ini diciptakan pada tahun tujuh puluhan abad kedua puluh oleh Benoit Mandelbrot, yang diakui sebagai bapak.Hari ini, konsep fraktal berarti representasi grafis dari struktur tertentu, yang jika diperbesar, akan mirip dengan dirinya sendiri. Namun, dasar matematika untuk penciptaan teori ini diletakkan bahkan sebelum kelahiran Mandelbrot sendiri, tetapi tidak dapat berkembang sampai komputer elektronik muncul.

Referensi sejarah, atau Bagaimana semuanya dimulai

Pada pergantian abad ke-19 dan ke-20, studi tentang sifat fraktal bersifat episodik. Hal ini disebabkan oleh fakta bahwa matematikawan lebih suka mempelajari objek yang dapat diselidiki berdasarkan teori dan metode umum. Pada tahun 1872, matematikawan Jerman K. Weierstrass membuat contoh fungsi kontinu yang tidak dapat diturunkan di mana pun. Namun, konstruksi ini ternyata benar-benar abstrak dan sulit dipahami. Berikutnya adalah orang Swedia Helge von Koch, yang pada tahun 1904 membangun kurva kontinu yang tidak bersinggungan di mana pun. Sangat mudah untuk menggambar, dan, ternyata, ini ditandai dengan sifat fraktal. Salah satu varian kurva ini dinamai sesuai nama penulisnya - "kepingan salju Koch". Selanjutnya, gagasan kesamaan diri tokoh dikembangkan oleh mentor masa depan B. Mandelbrot, orang Prancis Paul Levy. Pada tahun 1938 ia menerbitkan makalah "Bidang dan Kurva Spasial dan Permukaan yang Terdiri dari Bagian-Bagian Seperti Keseluruhan". Di dalamnya, ia menggambarkan spesies baru - kurva Levy C. Semua angka di atas secara kondisional merujuk pada bentuk seperti fraktal geometris.

Fraktal dinamis atau aljabar

Himpunan Mandelbrot termasuk dalam kelas ini. Matematikawan Prancis Pierre Fatou dan Gaston Julia menjadi peneliti pertama ke arah ini. Pada tahun 1918 Julia menerbitkan sebuah makalah berdasarkan studi tentang iterasi fungsi kompleks rasional. Di sini ia menggambarkan keluarga fraktal yang terkait erat dengan himpunan Mandelbrot. Terlepas dari kenyataan bahwa karya ini memuliakan penulis di antara ahli matematika, itu dengan cepat dilupakan. Dan hanya setengah abad kemudian, berkat komputer, karya Julia mendapat kehidupan kedua. Komputer memungkinkan untuk memperlihatkan kepada setiap orang keindahan dan kekayaan dunia fraktal yang dapat "dilihat" oleh matematikawan dengan menampilkannya melalui fungsi. Mandelbrot adalah orang pertama yang menggunakan komputer untuk melakukan perhitungan (tidak mungkin melakukan volume seperti itu secara manual) yang memungkinkan untuk membuat gambar dari angka-angka ini.

Pria dengan imajinasi spasial

Mandelbrot memulai karir ilmiahnya di IBM Research Center. Mempelajari kemungkinan transmisi data jarak jauh, para ilmuwan dihadapkan pada fakta kerugian besar yang muncul karena gangguan kebisingan. Benoit sedang mencari cara untuk memecahkan masalah ini. Melihat melalui hasil pengukuran, ia menarik perhatian pada pola yang aneh, yaitu: grafik kebisingan tampak sama pada skala waktu yang berbeda.

Gambaran serupa diamati baik untuk jangka waktu satu hari, dan selama tujuh hari, atau selama satu jam. Benoit Mandelbrot sendiri sering mengulangi bahwa dia tidak bekerja dengan rumus, tetapi bermain dengan gambar. Ilmuwan ini dibedakan oleh pemikiran imajinatif, ia menerjemahkan masalah aljabar apa pun ke dalam area geometris, di mana jawaban yang benar sudah jelas. Maka tidak heran, dibedakan oleh orang kaya dan menjadi bapak geometri fraktal. Bagaimanapun, kesadaran akan sosok ini hanya bisa datang ketika Anda mempelajari gambar-gambar itu dan memikirkan arti dari pusaran-pusaran aneh yang membentuk pola itu. Gambar fraktal tidak memiliki elemen yang identik, tetapi mereka serupa pada skala apa pun.

Julia - Mandelbrot

Salah satu gambar pertama dari gambar ini adalah interpretasi grafis dari himpunan, yang lahir berkat karya Gaston Julia dan diselesaikan oleh Mandelbrot. Gaston mencoba membayangkan seperti apa set ketika dibangun dari formula sederhana yang diulang oleh loop umpan balik. Mari kita coba menjelaskan apa yang telah dikatakan dalam bahasa manusia, bisa dikatakan, dengan jari. Untuk nilai numerik tertentu, dengan menggunakan rumus, kami menemukan nilai baru. Kami menggantinya ke dalam rumus dan menemukan yang berikut. Hasilnya besar.Untuk mewakili set seperti itu, Anda perlu melakukan operasi ini berkali-kali: ratusan, ribuan, jutaan. Inilah yang dilakukan Benoit. Dia memproses urutannya dan mentransfer hasilnya ke bentuk grafik. Selanjutnya, ia mewarnai gambar yang dihasilkan (setiap warna sesuai dengan sejumlah iterasi tertentu). Gambar grafik ini disebut fraktal Mandelbrot.

L. Carpenter: seni yang diciptakan oleh alam

Teori fraktal dengan cepat menemukan aplikasi praktis. Karena sangat erat kaitannya dengan visualisasi gambar serupa diri, yang pertama mengadopsi prinsip dan algoritma untuk membangun bentuk yang tidak biasa ini adalah seniman. Yang pertama adalah calon pendiri studio Pixar Lauren Carpenter. Saat mengerjakan presentasi prototipe pesawat, ia muncul dengan ide untuk menggunakan gambar pegunungan sebagai latar belakang. Saat ini, hampir setiap pengguna komputer dapat mengatasi tugas seperti itu, dan pada tahun tujuh puluhan abad terakhir, komputer tidak dapat melakukan proses seperti itu, karena tidak ada editor grafis dan aplikasi untuk grafik tiga dimensi pada waktu itu. Loren menemukan Fraktal Mandelbrot: Bentuk, Keacakan, dan Dimensi. Di dalamnya, Benois memberi banyak contoh, menunjukkan bahwa ada fraktal di alam (fiva), ia menggambarkan berbagai bentuknya dan membuktikan bahwa mereka mudah dijelaskan dengan ekspresi matematika. Matematikawan mengutip analogi ini sebagai argumen untuk kegunaan teori yang dia kembangkan sebagai tanggapan atas kritik dari rekan-rekannya. Mereka berargumen bahwa fraktal hanyalah gambar indah yang tidak bernilai, produk sampingan dari mesin elektronik. Tukang kayu memutuskan untuk mencoba metode ini dalam praktik. Setelah mempelajari buku itu dengan cermat, animator masa depan mulai mencari cara untuk menerapkan geometri fraktal dalam grafik komputer. Hanya butuh tiga hari baginya untuk membuat gambar lanskap gunung yang benar-benar realistis di komputernya. Dan hari ini prinsip ini banyak digunakan. Ternyata, membuat fraktal tidak membutuhkan banyak waktu dan usaha.

Keputusan tukang kayu

Prinsip yang digunakan Lauren ternyata sederhana. Ini terdiri dari membagi yang lebih besar menjadi elemen yang lebih kecil, dan mereka menjadi yang lebih kecil yang serupa, dan seterusnya. Tukang kayu, menggunakan segitiga besar, menghancurkannya menjadi 4 segitiga kecil, dan seterusnya, sampai dia mendapatkan pemandangan gunung yang realistis. Dengan demikian, ia menjadi seniman pertama yang menerapkan algoritme fraktal dalam grafik komputer untuk membangun gambar yang diperlukan. Hari ini, prinsip ini digunakan untuk mensimulasikan berbagai bentuk alam yang realistis.

Visualisasi 3D pertama berdasarkan algoritma fraktal

Beberapa tahun kemudian, Lauren menerapkan karyanya dalam proyek skala besar - video animasi Vol Libre, ditampilkan di Siggraph pada tahun 1980. Video ini mengejutkan banyak orang, dan penciptanya diundang untuk bekerja di Lucasfilm. Di sini animator dapat sepenuhnya menyadari dirinya sendiri, ia menciptakan lanskap tiga dimensi (seluruh planet) untuk film fitur "Star Trek". Setiap program modern ("Fraktal") atau aplikasi untuk membuat grafik tiga dimensi (Terragen, Vue, Bryce) menggunakan algoritme yang sama untuk memodelkan tekstur dan permukaan.

Tom Beddard

Seorang mantan fisikawan laser dan sekarang seniman dan seniman digital, Beddard menciptakan serangkaian bentuk geometris yang sangat menarik yang disebutnya fraktal Faberge. Secara lahiriah, mereka menyerupai telur dekoratif dari perhiasan Rusia, mereka memiliki pola rumit yang brilian. Beddard menggunakan metode template untuk membuat rendering model digitalnya. Produk yang dihasilkan sangat mencolok dalam keindahannya. Meski banyak yang menolak membandingkan produk buatan tangan dengan program komputer, harus diakui bahwa bentuk yang dihasilkan luar biasa indah. Puncaknya adalah siapa pun dapat membangun fraktal seperti itu menggunakan perpustakaan perangkat lunak WebGL. Ini memungkinkan Anda untuk menjelajahi berbagai struktur fraktal secara real time.

fraktal di alam

Hanya sedikit orang yang memperhatikan, tetapi angka-angka luar biasa ini ada di mana-mana. Alam terdiri dari sosok-sosok yang serupa, kita hanya tidak menyadarinya. Cukup dengan melihat melalui kaca pembesar ke kulit kita atau daun pohon, dan kita akan melihat fraktal. Atau ambil, misalnya, nanas atau bahkan ekor merak - mereka terdiri dari gambar yang serupa. Dan varietas brokoli Romanescu umumnya mencolok dalam penampilannya, karena itu benar-benar dapat disebut keajaiban alam.

jeda musik

Ternyata fraktal bukan hanya bentuk geometris, tapi juga bisa berupa suara. Jadi, musisi Jonathan Colton menulis musik menggunakan algoritma fraktal. Dia mengklaim sesuai dengan harmoni alam. Komposer menerbitkan semua karyanya di bawah lisensi CreativeCommons Attribution-Noncommercial, yang menyediakan distribusi, penyalinan, transfer karya oleh orang lain secara gratis.

Indikator fraktal

Teknik ini telah menemukan aplikasi yang sangat tidak terduga. Atas dasar itu, alat untuk menganalisis pasar bursa telah dibuat, dan sebagai hasilnya, alat itu mulai digunakan di pasar Forex. Sekarang indikator fraktal ditemukan di semua platform perdagangan dan digunakan dalam teknik perdagangan yang disebut penembusan harga. Bill Williams mengembangkan teknik ini. Sebagai komentar penulis pada penemuannya, algoritma ini adalah kombinasi dari beberapa "lilin", di mana yang pusat mencerminkan maksimum atau, sebaliknya, titik ekstrim minimum.

Akhirnya

Jadi kami telah mempertimbangkan apa itu fraktal. Ternyata dalam kekacauan yang melingkupi kita, nyatanya ada bentuk-bentuk ideal. Alam adalah arsitek terbaik, pembangun dan insinyur yang ideal. Itu diatur dengan sangat logis, dan jika kita tidak dapat menemukan pola, ini tidak berarti bahwa itu tidak ada. Mungkin Anda perlu melihat skala yang berbeda. Kita dapat mengatakan dengan yakin bahwa fraktal masih menyimpan banyak rahasia yang belum kita temukan.

Halo semua! Nama saya adalah, Ribenek Valeria, Ulyanovsk dan hari ini saya akan memposting beberapa artikel ilmiah saya di situs web LCI.

Artikel ilmiah pertama saya di blog ini akan dikhususkan untuk fraktal. Saya akan segera mengatakan bahwa artikel saya dirancang untuk hampir semua audiens. Itu. Saya berharap mereka akan menarik bagi anak sekolah dan siswa.

Baru-baru ini saya belajar tentang objek-objek menarik dari dunia matematika seperti fraktal. Tapi mereka ada tidak hanya dalam matematika. Mereka mengelilingi kita di mana-mana. Fraktal itu alami. Tentang apa itu fraktal, tentang jenis-jenis fraktal, tentang contoh benda-benda tersebut dan aplikasinya akan saya ceritakan di artikel ini. Untuk memulainya, saya akan memberi tahu Anda secara singkat apa itu fraktal.

Fraktal(lat. fractus - hancur, patah, pecah) adalah sosok geometris kompleks yang memiliki sifat kesamaan diri, yaitu terdiri dari beberapa bagian, yang masing-masing mirip dengan keseluruhan gambar secara keseluruhan. Dalam pengertian yang lebih luas, fraktal dipahami sebagai kumpulan titik dalam ruang Euclidean yang memiliki dimensi metrik pecahan (dalam pengertian Minkowski atau Hausdorff), atau dimensi metrik selain topologi. Sebagai contoh, saya akan menyisipkan gambar empat fraktal yang berbeda.

Mari saya ceritakan sedikit tentang sejarah fraktal. Konsep geometri fraktal dan fraktal, yang muncul pada akhir 70-an, telah menjadi mapan dalam kehidupan sehari-hari matematikawan dan programmer sejak pertengahan 80-an. Kata "fraktal" diperkenalkan oleh Benoit Mandelbrot pada tahun 1975 untuk merujuk pada struktur tidak beraturan tetapi serupa diri yang ia pelajari. Kelahiran geometri fraktal biasanya dikaitkan dengan publikasi buku Mandelbrot The Fractal Geometry of Nature pada tahun 1977. Karya-karyanya menggunakan hasil ilmiah ilmuwan lain yang bekerja pada periode 1875-1925 di bidang yang sama (Poincaré, Fatou, Julia, Kantor, Hausdorff). Tetapi hanya di zaman kita ini dimungkinkan untuk menggabungkan pekerjaan mereka ke dalam satu sistem.

Ada banyak contoh fraktal, karena, seperti yang saya katakan, mereka mengelilingi kita di mana-mana. Menurut pendapat saya, bahkan seluruh alam semesta kita adalah satu fraktal besar. Lagi pula, semua yang ada di dalamnya, mulai dari struktur atom hingga struktur Semesta itu sendiri, persis saling berulang. Tetapi, tentu saja, ada contoh fraktal yang lebih spesifik dari berbagai daerah. Fraktal, misalnya, hadir dalam dinamika yang kompleks. Di sana mereka secara alami muncul dalam studi nonlinier sistem dinamis. Kasus yang paling banyak dipelajari adalah ketika sistem dinamis ditentukan oleh iterasi polinomial atau holomorfik fungsi dari kompleks variabel di permukaan. Beberapa fraktal yang paling terkenal dari jenis ini adalah himpunan Julia, himpunan Mandelbrot dan cekungan Newton. Di bawah ini, secara berurutan, gambar menunjukkan masing-masing fraktal di atas.

Contoh lain dari fraktal adalah kurva fraktal. Cara terbaik untuk menjelaskan bagaimana membangun fraktal menggunakan contoh kurva fraktal. Salah satu kurva tersebut adalah yang disebut Koch Snowflake. Ada prosedur sederhana untuk mendapatkan kurva fraktal pada bidang. Kami mendefinisikan garis putus-putus sewenang-wenang dengan jumlah tautan terbatas, yang disebut generator. Selanjutnya, kami mengganti setiap segmen di dalamnya dengan generator (lebih tepatnya, garis putus-putus mirip dengan generator). Pada garis putus-putus yang dihasilkan, kami kembali mengganti setiap segmen dengan generator. Melanjutkan hingga tak terhingga, pada limit kita mendapatkan kurva fraktal. Di bawah ini adalah kepingan salju Koch (atau kurva).

Ada juga banyak kurva fraktal. Yang paling terkenal dari mereka adalah Koch Snowflake yang telah disebutkan, serta kurva Levy, kurva Minkowski, Naga yang rusak, kurva Piano dan pohon Pythagoras. Gambar fraktal ini dan sejarahnya, saya pikir, jika Anda mau, Anda dapat dengan mudah menemukannya di Wikipedia.

Contoh atau jenis fraktal yang ketiga adalah fraktal stokastik. Fraktal tersebut termasuk lintasan gerak Brown pada bidang dan ruang, evolusi Schramm-Löwner, berbagai jenis fraktal acak, yaitu fraktal yang diperoleh dengan menggunakan prosedur rekursif, di mana parameter acak diperkenalkan pada setiap langkah.

Ada juga fraktal matematika murni. Ini misalnya himpunan Cantor, spons Menger, segitiga Sierpinski, dan lain-lain.

Tapi mungkin fraktal yang paling menarik adalah yang alami. Fraktal alam adalah benda-benda di alam yang memiliki sifat fraktal. Dan sudah ada daftar besar. Saya tidak akan mencantumkan semuanya, karena, mungkin, saya tidak dapat mencantumkan semuanya, tetapi saya akan menceritakan beberapa. Misalnya, di alam yang hidup, fraktal semacam itu mencakup sistem peredaran darah dan paru-paru kita. Dan juga mahkota dan daun pohon. Juga di sini Anda dapat memasukkan bintang laut, bulu babi, karang, kerang laut, beberapa tanaman, seperti kubis atau brokoli. Di bawah ini, beberapa fraktal alami seperti itu dari satwa liar ditunjukkan dengan jelas.

Jika kita mempertimbangkan alam mati, maka ada banyak contoh yang lebih menarik daripada di alam yang hidup. Petir, kepingan salju, awan, yang diketahui semua orang, pola di jendela pada hari yang dingin, kristal, pegunungan - semua ini adalah contoh fraktal alami dari alam mati.

Kami telah mempertimbangkan contoh dan jenis fraktal. Adapun penggunaan fraktal digunakan dalam berbagai bidang ilmu pengetahuan. Dalam fisika, fraktal secara alami muncul ketika memodelkan proses nonlinier, seperti aliran fluida turbulen, proses difusi-adsorpsi kompleks, api, awan, dll. Fraktal digunakan saat memodelkan bahan berpori, misalnya, dalam petrokimia. Dalam biologi, mereka digunakan untuk memodelkan populasi dan untuk menggambarkan sistem organ dalam (sistem pembuluh darah). Setelah kurva Koch dibuat, diusulkan untuk digunakan dalam menghitung panjang garis pantai. Juga, fraktal secara aktif digunakan dalam teknik radio, dalam ilmu komputer dan teknologi komputer, telekomunikasi dan bahkan ekonomi. Dan, tentu saja, visi fraktal digunakan secara aktif dalam seni dan arsitektur kontemporer. Berikut adalah salah satu contoh lukisan fraktal:

Jadi, dalam hal ini saya berpikir untuk melengkapi cerita saya tentang fenomena matematika yang tidak biasa seperti fraktal. Hari ini kita belajar tentang apa itu fraktal, bagaimana kemunculannya, tentang jenis dan contoh fraktal. Dan saya juga berbicara tentang aplikasi mereka dan menunjukkan beberapa fraktal dengan jelas. Saya harap Anda menikmati perjalanan singkat ini ke dunia objek fraktal yang menakjubkan dan mempesona.