Mari kita perhatikan tiga sinar a, b, c, yang memancar dari titik yang sama dan tidak terletak pada bidang yang sama. Sudut trihedral (abc) adalah bangun datar yang terdiri dari "tiga sudut datar (ab), (bc) dan (ac) (Gbr. 2). Sudut-sudut ini disebut wajah sudut trihedral, dan sisi-sisinya adalah tepi, sudut simpul persekutuan dari sudut-sudut datar disebut Sudut dihedral yang dibentuk oleh muka-muka sudut segitiga disebut sudut dihedral dari sudut segitiga.

Konsep sudut polihedral didefinisikan dengan cara yang sama (Gbr. 3).

polihedron

Dalam stereometri, sosok di ruang angkasa, yang disebut benda, dipelajari. Secara visual, tubuh (geometris) harus dibayangkan sebagai bagian dari ruang yang ditempati oleh tubuh fisik dan dibatasi oleh permukaan.

Sebuah polihedron adalah tubuh yang permukaannya terdiri dari sejumlah terbatas poligon datar (Gbr. 4). Suatu polihedron disebut cembung jika terletak pada satu sisi bidang setiap poligon datar pada permukaannya. Bagian umum dari bidang seperti itu dan permukaan polihedron cembung disebut wajah. Wajah polihedron cembung adalah poligon cembung datar. Sisi-sisi wajah disebut tepi polihedron, dan simpul disebut simpul polihedron.

Mari kita jelaskan apa yang dikatakan pada contoh kubus yang sudah dikenal (Gbr. 5). Kubus adalah polihedron cembung. Permukaannya terdiri dari enam kotak: ABCD, BEFC, .... Mereka adalah wajahnya. Sisi-sisi kubus adalah sisi-sisi persegi berikut: AB, BC, BE, .... Simpul kubus adalah simpul bujur sangkar: A, B, C, D, E, .... Kubus memiliki enam sisi, dua belas sisi, dan delapan simpul.

Polihedra paling sederhana - prisma dan piramida, yang akan menjadi objek utama penelitian kami - kami akan memberikan definisi yang, pada dasarnya, tidak menggunakan konsep benda. Mereka akan didefinisikan sebagai figur geometris dengan indikasi semua titik ruang milik mereka. Konsep tubuh geometris dan permukaannya dalam kasus umum akan diberikan nanti.

SUDUT POLYHEDRAL

Sudut polihedral adalah analog spasial dari poligon. Ingatlah bahwa poligon pada bidang adalah bangun yang dibentuk oleh garis putus-putus tertutup sederhana dan daerah dalam yang dibatasi olehnya. Kami akan mempertimbangkan sinar di ruang angkasa sebagai analog dari sebuah titik di pesawat dan sudut datar di ruang angkasa sebagai analog dari segmen di pesawat. Maka analogi garis putus-putus tertutup sederhana pada bidang adalah permukaan yang dibentuk oleh himpunan sudut-sudut bidang berhinggaA 1 SA 2 , A 2 SA 3 , …, Sebuah -1 SA n, A n SA 1 dengan atasan umumS (Gbr. 1), di mana sudut-sudut yang berdekatan tidak memiliki titik yang sama, kecuali titik-titik dari sinar yang sama, dan sudut yang tidak bertetangga tidak memiliki titik yang sama, kecuali untuk titik yang sama. Sosok yang dibentuk oleh permukaan tertentu dan salah satu dari dua bagian ruang yang dibatasi olehnya disebut sudut polihedral. atasan umumSditelepon puncak sudut multifaset. sinarSA 1 , …, SA nditelepon Tulang iga sudut polihedral, dan sudut datar itu sendiriA 1 SA 2 , A 2 SA 3 , …, Sebuah -1 SA n, A n SA 1 – wajah sudut multifaset. Sudut polihedral dilambangkan dengan hurufSA 1 … Sebuah, menunjukkan titik dan titik pada tepinya. Tergantung pada jumlah wajah, sudut polihedral disebut trihedral, tetrahedral, pentahedral (Gbr. 2), dll.

Sudut polihedral disebut cembung, jika itu adalah sosok cembung, mis. berisi, bersama-sama dengan dua titiknya, yang menghubungkan segmen garis. Pada Gambar 2, sudut trihedral dan tetrahedral cembung, tetapi sudut pentahedral tidak.
Pertimbangkan beberapa sifat segitiga dan sifat serupa dari sudut trihedral.
Properti 1(Persamaan segitiga). Setiap sisi segitiga lebih kecil dari jumlah dua sisi lainnya.
Sifat serupa untuk sudut segitiga adalah sifat berikut.
Properti 1". Setiap sudut datar dari suatu sudut segitiga lebih kecil dari jumlah dua sudut datar lainnya.
Bukti. Pertimbangkan sudut segitiga SABC . Biarkan yang terbesar dari sudut datarnya adalah sudut ASC. Kemudian pertidaksamaan

ASB ASC< ASC + BSC ;BSC ASC< ASC + ASB .

Jadi, tinggal dibuktikan pertidaksamaannya ASC< ASB+ BSC.
Mari kita letakkan di tepi ASC injeksi ASD, sama dengan ASB , dan titik B memilih sehingga SB=SD(Gbr. 3). Kemudian segitiga ASB dan ASD adalah sama (pada dua sisi dan sudut di antara mereka) dan, oleh karena itu, AB=AD. Mari kita gunakan pertidaksamaan segitiga AC< AB + BC . Mengurangi dari kedua bagian AD=AB, kita mendapatkan pertidaksamaan DC< BC. Dalam segitiga DSC dan BSC satu sisi umum SC), SD=SB dan DC< BC. Dalam hal ini, sudut yang lebih besar terletak di seberang sisi yang lebih besar dan, oleh karena itu, DSC< BSC . Menambahkan ke kedua sisi pertidaksamaan ini sudut ASD , setara ASB, kita memperoleh pertidaksamaan yang diperlukan ASC< ASB+ BSC.

Konsekuensi 1.Jumlah sudut bidang suatu sudut segitiga kurang dari 360° .
Bukti. Biarlah SABC adalah sudut trihedral yang diberikan. Pertimbangkan sudut trihedral dengan titik sudut A, dibentuk oleh wajah ABS, ACS dan sudut BACA. Berdasarkan properti terbukti, kami memiliki ketidaksetaraan BACA< DASAR+ CAS. Demikian pula, untuk sudut trihedral dengan simpul B dan Dengan ada ketidaksetaraan: ABS< ABS+ CBS, ACB< ACS+ BCS. Menambahkan pertidaksamaan ini dan mempertimbangkan bahwa jumlah sudut segitiga ABC sama dengan 180° , kita mendapatkan 180 ° < BAS+CAS+ ABS + CBS + BCS+ ACS = 180 ° - ASB+ 180 °- BSC+180 ° - ASC. Karena itu, ASB + BSC + ASC< 360 ° .
Konsekuensi 2.Jumlah sudut bidang dari sudut polihedral cembung kurang dari 360.
Buktinya mirip dengan yang sebelumnya.
Konsekuensi 3.Jumlah sudut dihedral dari sudut trihedral lebih besar dari 180° .
Bukti. Biarlah SABC- sudut segitiga. Ayo pilih satu poin P di dalamnya dan jatuhkan garis tegak lurus darinya PA 1 , PB 1 , komputer 1 di tepi (Gbr. 4).

sudut datar B 1 komputer 1 , A 1 komputer 1 , A 1 PB 1 melengkapi sudut dihedral yang sesuai dengan rusuk SA, SB, SC hingga 180° . Jadi, jumlah sudut dihedral ini adalah 540° - ( B 1 komputer 1 +A 1 komputer 1 + A 1 PB 1 ). Mengingat bahwa jumlah sudut bidang segitiga dengan titik sudut P sudut kurang dari 360° , kita peroleh bahwa jumlah sudut dihedral dari sudut trihedral asli lebih besar dari 180° .
Properti 2.Garis bagi segitiga berpotongan di satu titik.
Properti 2". Bidang-bidang bagi dua sudut dihedral dari suatu sudut trihedral berpotongan sepanjang satu garis lurus.
Buktinya mirip dengan kasus pesawat. Yaitu, mari SABC- sudut segitiga. Bidang bagi dua dari sudut dihedral SA adalah GMT dari sudut yang berjarak sama dari wajahnya ASC dan ASB. Demikian pula, bidang bagi dari sudut dihedral SB adalah GMT dari sudut yang berjarak sama dari wajahnya BSA dan BSC . Garis persimpangan mereka JADI akan berjarak sama dari semua wajah sudut trihedral dan, oleh karena itu, bidang bagi-bagi sudut dihedral akan melewatinya SC .
Properti 3.Garis-bagi yang tegak lurus dari sisi-sisi segitiga berpotongan di satu titik.
Properti 3".Bidang-bidang yang melalui garis-bagi dari muka-muka suatu sudut trihedral dan tegak lurus terhadap muka-muka ini berpotongan sepanjang satu garis lurus.
Buktinya mirip dengan bukti properti sebelumnya.
Properti 4.Median segitiga berpotongan di satu titik.
Properti 4".Bidang-bidang yang melalui tepi sudut trihedral dan garis-bagi dari wajah yang berlawanan berpotongan sepanjang satu garis lurus.
Bukti. Pertimbangkan sudut segitiga SABC, SA = SB = SC(Gbr. 5). Kemudian garis bagi SA 1 , SB 1 , SC 1 sudut BSC, ASC, ASB adalah median dari segitiga-segitiga yang bersesuaian. Jadi A A 1 , BB 1 , CC 1 - median segitiga ABC. Biarlah HAI adalah titik persimpangan mereka. Lurus JADI terkandung dalam ketiga bidang yang dipertimbangkan dan, oleh karena itu, adalah garis persimpangan mereka.

Properti 5.Ketinggian segitiga berpotongan di satu titik.
Properti 5Bidang-bidang yang melalui sisi-sisi sudut trihedral dan tegak lurus terhadap muka-muka yang berhadapan berpotongan sepanjang satu garis lurus.
Bukti. Pertimbangkan sudut trihedral dengan titik sudut S dan tulang rusuk a, b, c. Menunjukkan sebuah 1 , b 1 , c 1 – garis perpotongan wajah dengan bidang yang melewati tepi yang sesuai dan tegak lurus terhadap wajah ini (Gbr. 6). Perbaiki satu titik C gelisah c dan jatuhkan tegak lurus darinya CA 1 dan CB 1 lurus sebuah 1 dan b 1 . Menunjukkan A dan B persimpangan garis CA 1 dan CB 1 dengan lurus sebuah dan b. Kemudian SA 1 adalah proyeksi A A 1 ke tepi jurang BSC. Sebagai SM tegak lurus SA 1 , maka tegak lurus dan A A 1 . Juga, AC tegak lurus BB 1 . Dengan demikian, A A 1 dan BB 1 adalah tinggi segitiga ABC. Biarlah HAI adalah titik persimpangan mereka. Pesawat yang melewati garis lurus sebuah dan sebuah 1 , b dan b 1 tegak lurus bidang ABC dan karenanya garis persimpangan mereka JADI tegak lurus ABC. Cara, JADI tegak lurus AB. Di sisi lain, BERSAMA tegak lurus AB. Oleh karena itu, bidang yang melalui tepi c dan JADI akan tegak lurus dengan sisi yang berlawanan.
Properti 6 (teorema sinus). Dalam segitiga ABC dengan pihak a, b, c masing-masing, kami memiliki persamaan sebuah : dosa A=b: dosa B=c: dosa C.
Properti 6". Misalkan a , b , g - sudut datar dari sudut trihedral, a, b, c adalah sudut dihedral yang berlawanan. Kemudian dosa a : dosa sebuah= dosa b : dosa b= sin g : sin c.
Bukti. Biarlah SABC- sudut segitiga. Jatuh dari titik C tegak lurus CC 1 ke pesawat ASB dan tegak lurus CA 1 gelisah SA(Gbr. 7). Maka sudut CA 1 C 1 akan menjadi sudut linier dari sudut dihedral sebuah. Jadi CC 1 = CA 1 dosa sebuah = SC dosa b dosa sebuah. Demikian pula, ditunjukkan bahwa CC 1 = CB 1 dosa b=SC dosa seperti dalam b. Oleh karena itu, persamaan sin b dosa a = dosa a dosa b dan, oleh karena itu, persamaan sin seperti dalam sebuah= sinb : dosa b. Dengan cara yang sama, kami membuktikan bahwa persamaan sin b : dosa b= sin g : sin c.

Properti 7.Jika sebuah lingkaran dapat dituliskan pada segi empat cembung, maka jumlah sisi-sisi yang berhadapan adalah sama.
Properti 7". Jika sebuah bola dapat ditulis dalam sudut tetrahedral cembung, maka jumlah sudut bidang yang berlawanan adalah sama.

literatur
1. Hadamard J. Geometri dasar. Bagian II. Stereometri. – M.: Uchpedgiz, 1938.
2. Perepelkin D.I. Kursus geometri dasar. Bagian II. Geometri dalam ruang. - M.-L.: Gostekhizdat, 1949.
3. Ensiklopedia matematika dasar. Buku IV. Geometri. - M.; 1963.
4. Smirnova I.M. Di dunia polihedron. – M.: Pencerahan, 1995.

Sudut dihedral adalah bangun datar yang dibentuk oleh dua setengah bidang yang dibatasi oleh garis lurus bersama. Setengah bidang disebut wajah, dan garis lurus yang membatasinya disebut tepi sudut dihedral.

Gambar 142 menunjukkan sudut dihedral dengan tepi a dan menghadap a dan (3.

Sebuah bidang yang tegak lurus pada tepi suatu sudut dihedral memotong wajahnya sepanjang dua setengah garis. Sudut yang dibentuk oleh setengah garis ini disebut sudut linier dari sudut dihedral. Ukuran sudut dihedral diambil sebagai ukuran sudut linier yang sesuai. Jika melalui titik A dari tepi a dari sudut dihedral kita menggambar bidang y yang tegak lurus dengan tepi ini, maka bidang itu akan memotong bidang a dan (3 sepanjang setengah garis (Gbr. 142); sudut linier dari dihedral yang diberikan sudut.Ukuran derajat sudut linier ini adalah ukuran derajat sudut dihedral.Ukuran sudut dihedral tidak tergantung pada pilihan sudut linier.

Sudut trihedral adalah bangun datar yang terdiri dari tiga sudut datar (Gbr. 143). Sudut-sudut ini disebut wajah sudut trihedral, dan sisi-sisinya disebut tepi. Sudut persekutuan dari sudut-sudut datar disebut sudut sudut trihedral. Sudut dihedral yang dibentuk oleh wajah dan perpanjangannya disebut sudut dihedral dari sudut trihedral.

Demikian pula, konsep sudut polihedral didefinisikan sebagai sosok yang terdiri dari sudut-sudut datar (Gbr. 144). Untuk sudut polihedral, konsep wajah, tepi, dan sudut dihedral didefinisikan dengan cara yang sama seperti untuk sudut trihedral.

Sebuah polihedron adalah tubuh yang permukaannya terdiri dari sejumlah terbatas poligon datar (Gbr. 145).

Sebuah polihedron disebut cembung jika terletak di satu sisi bidang setiap poligon pada permukaannya (Gbr. 145, a, b). Bagian umum dari bidang seperti itu dan permukaan polihedron cembung disebut wajah. Wajah polihedron cembung adalah poligon cembung. Sisi-sisi wajah disebut tepi polihedron, dan simpul disebut simpul polihedron.

Definisi. Mari kita ambil beberapa sudut (Gbr. 37): ASB, BSC, CSD, yang, berdampingan satu sama lain secara seri, terletak di bidang yang sama di sekitar simpul umum S.

Mari kita putar bidang sudut ASB di sekitar sisi persekutuan SB sehingga bidang ini membuat beberapa sudut dihedral dengan bidang BSC. Kemudian, tanpa mengubah sudut dihedral yang dihasilkan, kami memutarnya di sekitar garis lurus SC sehingga bidang BSC membuat beberapa sudut dihedral dengan bidang CSD. Mari kita lanjutkan rotasi berurutan ini di sekitar setiap sisi yang sama. Jika dalam hal ini sisi terakhir SF digabung dengan sisi pertama SA, maka terbentuklah sebuah angka (Gbr. 38), yang disebut sudut polihedral. Sudut ASB, BSC, ... disebut sudut datar atau wajah, sisi-sisinya SA, SB, ... disebut Tulang iga, dan simpul persekutuan S- puncak sudut multifaset.

Setiap tepi juga merupakan tepi dari beberapa sudut dihedral; oleh karena itu, dalam sudut polihedral, ada banyak sudut dihedral dan sudut datar sebanyak semua tepi di dalamnya. Jumlah wajah terkecil dalam sudut polihedral adalah tiga; sudut ini disebut bersegi tiga. Mungkin ada empat sisi, lima sisi, dll. sudut.

Sudut polihedral dilambangkan dengan satu huruf S yang ditempatkan di titik, atau dengan serangkaian huruf SABCDE, di mana yang pertama menunjukkan titik, dan yang lainnya adalah tepi dalam urutan lokasinya.

Sudut polihedral disebut cembung jika semuanya terletak di satu sisi bidang dari masing-masing wajahnya, yang diperpanjang tanpa batas. Misalnya, adalah sudut yang ditunjukkan pada gambar 38. Sebaliknya, sudut pada gambar 39 tidak dapat disebut cembung, karena terletak di kedua sisi muka ASB atau muka BSC.

Jika semua wajah sudut polihedral berpotongan dengan bidang, maka poligon terbentuk di bagian ( abcde ). Dalam sudut polihedral cembung, poligon ini juga cembung.

Kami hanya akan mempertimbangkan sudut polihedral cembung.

Dalil. Dalam sudut segitiga, setiap sudut datar lebih kecil dari jumlah dua sudut datar lainnya.

Biarkan dalam sudut trihedral SABC (Gbr. 40) sudut datar terbesar adalah sudut ASC.

Mari kita plot sudut ASD pada sudut ini, yang sama dengan sudut ASB, dan menggambar garis lurus AC yang memotong SD di beberapa titik D. Letakkan SB = SD. Menghubungkan B dengan A dan C, kita mendapatkan \(\Delta\)ABC, di mana

AD+DC< АВ + ВС.

Segitiga ASD dan ASB kongruen karena masing-masing memiliki sudut yang sama besar antara sisi yang sama: maka AD = AB. Oleh karena itu, jika kita membuang suku AD dan AB yang sama dalam pertidaksamaan turunan, kita memperoleh DC< ВС.

Sekarang kita perhatikan bahwa segitiga SCD dan SCB memiliki dua sisi yang satu sama dengan dua sisi yang lain, dan sisi ketiga tidak sama; dalam hal ini, sudut yang lebih besar terletak di seberang yang lebih besar dari sisi-sisi ini; cara,

CSD< ∠ CSВ.

Menambahkan sudut ASD ke sisi kiri pertidaksamaan ini, dan sudut ASB yang sama dengan sisi kanannya, kami memperoleh pertidaksamaan yang harus dibuktikan:

ASC< ∠ CSB + ∠ ASB.

Kami telah membuktikan bahwa bahkan sudut datar terbesar lebih kecil dari jumlah dua sudut lainnya. Jadi teorema terbukti.

Konsekuensi. Kurangi kedua bagian pertidaksamaan terakhir di sudut ASB atau di sudut CSB; kita mendapatkan:

ASC - ASB< ∠ CSB;

ASC - CSB< ∠ ASB.

Mempertimbangkan pertidaksamaan ini dari kanan ke kiri, dan dengan mempertimbangkan bahwa sudut ASC sebagai yang terbesar dari tiga sudut lebih besar dari perbedaan dua sudut lainnya, kami menyimpulkan bahwa pada sudut trihedral, setiap sudut bidang lebih besar dari perbedaan dua sudut lainnya.

Dalil. Dalam sudut polihedral cembung, jumlah semua sudut planar kurang dari 4d (360 °) .

Mari kita berpotongan wajah (Gbr. 41) dari sudut cembung SABCDE dengan beberapa bidang; dari ini di bagian kita mendapatkan cembung n-gon ABCDE.

Menerapkan teorema terbukti sebelumnya untuk masing-masing sudut trihedral yang simpulnya berada di titik A, B, C, D dan E, paholim:

ABC< ∠ABS + ∠SВC, ∠BCD < ∠BCS + ∠SCD и т. д.

Mari kita tambahkan semua ketidaksetaraan ini istilah demi istilah. Kemudian di sisi kiri kita mendapatkan jumlah semua sudut poligon ABCDE, yang sama dengan 2 dn - 4d , dan di sebelah kanan - jumlah sudut segitiga ABS, SBC, dll., kecuali untuk sudut yang terletak di titik S. Menunjukkan jumlah sudut terakhir ini dengan huruf X , kita dapatkan setelah penambahan:

2dn - 4d < 2dn - x .

Karena dalam perbedaan 2 dn - 4d dan 2 dn - x minuendnya sama, maka agar selisih pertama lebih kecil dari selisih kedua, perlu pengurangan 4 d lebih dari dikurangi X ; artinya 4 d > X , yaitu X < 4d .

Kasus paling sederhana persamaan sudut trihedral

Teorema. Sudut segitiga sama besar jika memiliki:

1) oleh sudut dihedral yang sama yang tertutup antara dua sudut bidang yang masing-masing sama dan berjarak sama, atau

2) sepanjang bidang yang sama sudut tertutup antara dua sudut dihedral yang masing-masing sama dan berjarak sama.

1) Misalkan S dan S 1 adalah dua sudut segitiga (Gbr. 42), di mana ASB = A 1 S 1 B 1 , ASC = A 1 S 1 C 1 (dan sudut-sudut yang sama terletak sama besar) dan dihedral sudut AS sama dengan sudut dihedral A 1 S 1 .

Mari kita tanamkan sudut S 1 ke dalam sudut S sehingga titik S 1 dan S, garis S 1 A 1 dan SA, dan bidang A 1 S 1 B 1 dan ASB bertepatan. Kemudian rusuk S 1 B 1 akan sepanjang SB (karena persamaan sudut A 1 S 1 B 1 dan ASB), bidang A 1 S 1 C 1 akan mengikuti ASC (karena persamaan sudut dihedral), dan tepi S 1 C 1 akan mengikuti tepi SC (karena persamaan sudut A 1 S 1 C 1 dan ASC). Dengan demikian, sudut trihedral akan digabungkan oleh semua tepinya, mis. mereka akan setara.

2) Kriteria kedua, seperti yang pertama, dibuktikan dengan penyematan.

Sudut polihedral simetris

Seperti yang Anda ketahui, sudut vertikal sama dengan sudut yang dibentuk oleh garis lurus atau bidang. Mari kita lihat apakah pernyataan ini benar untuk sudut polihedral.

Kami melanjutkan (Gbr. 43) semua tepi sudut SABCDE di luar simpul S, kemudian sudut polihedral lain SA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 terbentuk, yang dapat disebut vertikal sehubungan dengan tikungan pertama. Sangat mudah untuk melihat bahwa kedua sudut memiliki bidang yang sama dan sudut dihedral, masing-masing, tetapi keduanya dalam urutan terbalik. Memang, jika kita membayangkan seorang pengamat yang melihat dari luar sudut polihedral pada titik sudutnya, maka ujung-ujungnya SA, SB, SC, SD, SE akan tampak baginya terletak berlawanan arah jarum jam, sambil melihat sudut SA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 , dia melihat ujung-ujungnya SA 1 , SВ 1 , ... terletak searah jarum jam.

Sudut polihedral dengan bidang yang sama dan sudut dihedral masing-masing, tetapi terletak dalam urutan terbalik, tidak dapat digabungkan sama sekali saat disematkan; itu berarti mereka tidak setara. Sudut demikian disebut simetris(relatif terhadap S atas). Lebih lanjut tentang simetri bangun ruang akan dibahas di bawah ini.

bahan lainnya

1 Tanggal05.09.14

Geometri Subjek

Kelas 11

Topik pelajaran: Konsep sudut polihedral. sudut segitiga.

Tujuan Pelajaran:

memperkenalkan konsep: "sudut trihedral", "sudut polihedral", "polihedron";

untuk memperkenalkan siswa dengan elemen-elemen sudut trihedral dan polihedral, polihedron, serta definisi sudut polihedral cembung dan sifat-sifat sudut datar dari sudut polihedral;

untuk terus mengembangkan representasi spasial dan imajinasi spasial, serta pemikiran logis siswa.

Jenis pelajaran: mempelajari materi baru

SELAMA KELAS

1. Momen organisasi.

Menyapa siswa, memeriksa kesiapan kelas untuk pelajaran, mengatur perhatian siswa, mengungkapkan tujuan umum pelajaran dan rencananya.

2. Pembentukan konsep dan metode tindakan baru.

Tugas: Untuk memastikan persepsi, pemahaman dan menghafal materi yang dipelajari oleh siswa. Untuk memastikan bahwa siswa menguasai metodologi untuk mereproduksi materi yang dipelajari, untuk mempromosikan pemahaman filosofis tentang konsep, hukum, aturan, formula yang diasimilasi. Untuk membangun kebenaran dan kesadaran materi yang dipelajari oleh siswa, untuk mengidentifikasi kesenjangan dalam pemahaman utama, untuk melakukan koreksi. Untuk memastikan bahwa siswa menghubungkan pengalaman subjektif mereka dengan tanda-tanda pengetahuan ilmiah.

Biarkan tiga sinar diberikansebuah, b dans titik awal yang samaHAI (Gbr. 1.1). Ketiga sinar ini tidak selalu terletak pada bidang yang sama. Pada gambar 1.2, sinarb dandengan berbaring di pesawatR, sinarsebuah tidak terletak di pesawat ini.

sinarsebuah, b dandengan pasangan menentukan tiga sudut datar yang dibedakan oleh busur (Gbr. 1.3).

Perhatikan gambar yang terdiri dari tiga sudut yang ditunjukkan di atas dan bagian ruang yang dibatasi oleh sudut datar ini. Angka spasial ini disebutsudut segitiga (Gbr. 2).

sinarsebuah, b dan dengan ditelepontepi sudut segitiga, dan sudut: = AOC, = AOB,

= Dewan Komisaris , membatasi sudut trihedral, - itswajah. Sudut-sudut ini membentukpermukaan trihedral. DotHAI ditelepontitik sudut segitiga. Sebuah sudut trihedral dapat dilambangkan sebagai berikut: OABC

Setelah memeriksa dengan cermat semua sudut polihedral yang ditunjukkan pada Gambar 3, kita dapat menyimpulkan bahwa masing-masing sudut polihedral memiliki jumlah tepi dan permukaan yang sama:

4 wajah dan satu simpul;

sudut lima sisi memiliki 5 tepi, 5 wajah dan satu simpul;

• 
  sudut heksagonal memiliki 6 tepi, 6 wajah dan satu simpul, dll.

Sudut polihedral adalah cembung dan tidak cembung.

Bayangkan bahwa kita mengambil empat sinar dengan asal yang sama, seperti pada Gambar 4. Dalam hal ini, kita dapatkansudut polihedral tidak cembung.

Definisi 1. Sudut polihedral disebut sudut cembung,jika diaterletak di satu sisi bidang dari masing-masing wajahnya.

Dengan kata lain, sudut polihedral cembung selalu dapat ditempatkan oleh salah satu wajahnya pada suatu bidang. Anda dapat melihat bahwa dalam kasus yang ditunjukkan pada Gambar 4, ini tidak selalu memungkinkan. Sudut tetrahedral yang ditunjukkan pada Gambar 4 tidak cembung.

Perhatikan bahwa dalam tutorial kami, jika kami mengatakan "sudut polihedral", yang kami maksud adalah cembung. Jika sudut polihedral yang dipertimbangkan tidak cembung, ini akan dibahas secara terpisah.

Sifat Sudut Bidang dari Sudut Polihedral

Teorema 1.Setiap sudut datar dari suatu sudut segitiga lebih kecil dari jumlah dua sudut datar lainnya.

Teorema 2.Jumlah nilai semua sudut bidang dari sudut polihedral cembung kurang dari 360°.

3. Aplikasi. Pembentukan keterampilan dan kemampuan.

Tujuan: Untuk memastikan bahwa siswa menerapkan pengetahuan dan metode tindakan yang mereka butuhkan untuk SW, untuk menciptakan kondisi bagi siswa untuk mengidentifikasi cara individu menerapkan apa yang telah mereka pelajari.

6. Tahap informasi tentang pekerjaan rumah.

Tujuan: Untuk memastikan bahwa siswa memahami tujuan, isi dan metode mengerjakan pekerjaan rumah.

1(1.1, 1.2) hal.4, no.9.

7. Menyimpulkan pelajaran.

Tujuan: Untuk memberikan penilaian kualitatif terhadap pekerjaan siswa kelas dan individu.

8. Tahap refleksi.

Tugas: Untuk memulai refleksi siswa pada penilaian diri dari kegiatan mereka. Untuk memastikan bahwa siswa mempelajari prinsip-prinsip pengaturan diri dan kerjasama.

Percakapan di:

Apa yang menurut Anda menarik dalam pelajaran?

Apa yang tidak jelas?

Apa yang harus diperhatikan guru dalam pelajaran selanjutnya?

Bagaimana Anda menilai pekerjaan Anda di kelas?