Abstrak kuliah tentang disiplin "Teori proses acak"

TOPIK 1. KONSEP DASAR TEORI PROSES RANDOM 2
1.1. Definisi dari proses acak. Pendekatan dasar untuk tugas proses acak. Konsep realisasi dan bagian. Proses acak dasar. 2
1.2. Beberapa kelas dan jenis proses acak 3
TOPIK 2. ELEMEN TEORI KORELASI PROSES RANDOM 4
2.1. Konsep teori korelasi proses acak 4
2.2. Ekspektasi matematis dan varians dari proses acak. Standar deviasi 5
2.3. Fungsi korelasi dari proses acak dan sifat-sifatnya. Fungsi korelasi yang dinormalisasi 5
2.4. Fungsi korelasi silang dan fungsi korelasi silang yang dinormalisasi dari dua proses acak
2.5 Karakteristik probabilistik jumlah dua variabel acak 6
TOPIK 3. ELEMEN ANALISIS RANDOM 7
3.1. Konvergensi dan kontinuitas 7
3.2. Turunan dari proses acak dan sifat-sifatnya 8
3.3. Integral proses acak dan sifat-sifatnya 9
TOPIK 4. PERLUASAN KANONIK DARI PROSES RANDOM 10
4.1. Konsep dekomposisi kanonik dari proses acak 10
4.2. Konsep fungsi umum. Fungsi delta Dirac. Representasi kanonik integral dari proses acak. sebelas
4.3. Transformasi linier dan non-linier dari proses acak 12
BAB 5. PROSES RANDOM STASIUN 14
5.1. Konsep proses acak stasioner. Stasioneritas dalam arti sempit dan luas 14
5.2 Sifat karakteristik probabilistik dari proses acak stasioner 15
5.3. Proses acak berpasangan stasioner. Turunan dan integral dari proses acak stasioner 15
5.4. Proses acak stasioner ergodik dan karakteristiknya 16
5.5. Aliran acara 17
TOPIK 6. RANTAI MARKOV 19
6.1. rantai Markov. sembilan belas

TOPIK 1. KONSEP DASAR TEORI PROSES RANDOM

1.1. Definisi dari proses acak. Pendekatan dasar untuk tugas proses acak. Konsep realisasi dan bagian. Proses acak dasar.

Proses acak (stokastik, probabilistik) adalah fungsi dari variabel nyata t, yang nilainya adalah variabel acak yang sesuai X(t).
Dalam teori proses acak, t diperlakukan sebagai waktu yang mengambil nilai dari beberapa himpunan bagian T dari himpunan bilangan real (t T, T R).
Dalam kerangka analisis matematis klasik, fungsi y=f(t) dipahami sebagai jenis ketergantungan dari variabel t dan y, ketika nilai numerik tertentu dari argumen t sesuai dengan satu-satunya nilai numerik dari fungsi y . Untuk proses acak, situasinya secara fundamental berbeda: menetapkan argumen spesifik t mengarah pada munculnya variabel acak X(t) dengan hukum distribusi yang diketahui (jika itu adalah variabel acak diskrit) atau dengan kepadatan distribusi tertentu (jika adalah variabel acak kontinu). Dengan kata lain, karakteristik yang diteliti pada setiap momen waktu bersifat acak dengan distribusi tidak acak.
Nilai yang diambil oleh fungsi biasa y=f(t) pada setiap momen waktu sepenuhnya menentukan struktur dan sifat fungsi ini. Untuk proses acak, situasinya berbeda: di sini sama sekali tidak cukup untuk mengetahui distribusi variabel acak X(t) untuk setiap nilai t, diperlukan informasi tentang perubahan yang diharapkan dan probabilitasnya, yaitu informasi tentang tingkat ketergantungan nilai yang akan datang dari proses acak pada sejarahnya.

Pendekatan paling umum untuk menggambarkan proses acak adalah dengan menentukan semua distribusi multivariatnya, ketika probabilitas dari peristiwa berikut yang terjadi secara bersamaan ditentukan:

T1, t2,…,tn T, n N: X(ti)≤xi; i=1,2,…,n;

F(t1;t2;…;tn;x1;x2;…;xn)=P(X(t1)≤ x1; X(t2)≤x2;…; X(tn)≤xn).

Cara menggambarkan proses acak ini bersifat universal, tetapi sangat rumit. Untuk mendapatkan hasil yang signifikan, kasus khusus yang paling penting dipilih, yang memungkinkan penggunaan peralatan analitik yang lebih canggih. Secara khusus, lebih mudah untuk mempertimbangkan proses acak X(t, ) sebagai fungsi dari dua variabel: t T, , yang untuk setiap nilai tetap dari t T menjadi variabel acak yang didefinisikan pada ruang probabilitas (Ω, A, P), di mana - himpunan tak kosong dari kejadian elementer ; A adalah aljabar dari himpunan bagian dari himpunan , yaitu himpunan kejadian; P adalah ukuran probabilitas yang didefinisikan pada A.

Fungsi numerik nonacak x(t)=X(t,ω0) disebut realisasi (lintasan) dari proses acak X(t, ).
Penampang dari proses acak X(t, ) adalah variabel acak yang sesuai dengan nilai t=t0.

Jika argumen t mengambil semua nilai nyata atau semua nilai dari beberapa interval T dari sumbu nyata, maka seseorang berbicara tentang proses acak dengan waktu terus menerus. Jika t hanya mengambil nilai tetap, maka kita berbicara tentang proses acak dengan waktu diskrit.
Jika penampang dari proses acak adalah variabel acak diskrit, maka proses seperti itu disebut proses dengan keadaan diskrit. Jika setiap bagian adalah variabel acak kontinu, maka proses acak disebut proses dengan keadaan kontinu.
Dalam kasus umum, secara analitis tidak mungkin untuk menentukan proses acak. Pengecualian adalah apa yang disebut proses acak dasar, yang bentuknya diketahui, dan variabel acak dimasukkan sebagai parameter:
X(t)=X(t,A1,…,An), di mana Ai, i=1,…,n adalah variabel acak arbitrer dengan distribusi tertentu.

1.2. Beberapa kelas dan jenis proses acak

1.1.1. Proses stokastik Gauss

Proses acak X(t) disebut Gaussian jika semua distribusi berdimensi-hingganya normal, mis.
t1, t2,…,tn T
vektor acak
(X(t1); X(t2);…; X(tn))
memiliki densitas distribusi sebagai berikut:

Dimana ai=MX(ti); =M(X(ti)-ai)2; ij= M((X(ti)-ai)(X(tj)-aj)); ;
-komplemen aljabar dari elemen ij.

1.1.2. Proses acak dengan kenaikan independen

Proses acak X(t) disebut proses dengan kenaikan independen jika kenaikannya pada interval waktu yang tidak tumpang tindih tidak bergantung satu sama lain:
t1, t2,…,tn T: t1 t2 …≤tn,
variabel acak
X(t2)-X(t1); X(t3)-X(t2); …; X(tn)-X(tn-1)
mandiri.

1.1.3. Proses acak dengan peningkatan yang tidak berkorelasi

Proses acak X(t) disebut proses dengan kenaikan tak berkorelasi jika kondisi berikut terpenuhi:
1) t T: X2(t)< ∞;
2) t1, t2, t3, t4 T: t1 t2 t3≤ t4: ((X(t2)-X(t1))(X(t4)-X(t3)))=0.

1.1.4. Proses Stochastic Stasioner (lihat Bab 5)

1.1.5. Proses stokastik Markov

Kami membatasi diri pada definisi proses acak Markov dengan status diskrit dan waktu diskrit (rantai Markov).

Biarkan sistem A berada di salah satu status A1 yang tidak kompatibel; A2;…;An, dan pada saat yang sama, peluang ij(s) bahwa pada pengujian ke-s sistem berpindah dari keadaan ke keadaan Aj tidak bergantung pada keadaan sistem pada pengujian sebelum ke-s-1 . Proses acak jenis ini disebut rantai Markov.

1.1.6. Proses acak Poisson

Proses acak X(t) disebut proses Poisson dengan parameter a (a>0) jika memiliki sifat-sifat sebagai berikut:
1) t T; T= disebut limit dalam rms di →0 (n→0)

Jumlah integral di mana si (ti; ti+1); =max(ti+1 - ti), i=0,…,n-1.

Teorema 4. Ekspektasi matematis integral dari proses acak sama dengan integral ekspektasi matematisnya: , .
Teorema 5. Fungsi korelasi integral dari proses acak X(t) sama dengan integral ganda dari fungsi korelasinya: .
Teorema 6. Fungsi korelasi timbal balik dari proses acak X(t) dan integralnya sama dengan integral dari fungsi korelasi proses acak X(t):

TOPIK 4. PERLUASAN KANONIK DARI PROSES RANDOM

4.1. Konsep dekomposisi kanonik dari proses acak

Sebuah variabel acak V disebut terpusat jika ekspektasi matematisnya sama dengan 0. Proses acak terpusat dasar adalah produk dari variabel acak terpusat V dan fungsi non-acak (t): X(t)=V (t ). Sebuah proses acak terpusat dasar memiliki karakteristik sebagai berikut:

Ekspresi bentuk, di mana k(t), k=1;2;…-fungsi non-acak; , k=1;2;… - variabel acak terpusat yang tidak berkorelasi, disebut ekspansi kanonik dari proses acak X(t), sedangkan variabel acak disebut koefisien ekspansi kanonik; dan fungsi non-acak k(t) - fungsi koordinat dari ekspansi kanonik.

Pertimbangkan karakteristik proses acak

Karena dengan syarat

Jelas, proses acak yang sama memiliki jenis ekspansi kanonik yang berbeda tergantung pada pilihan fungsi koordinat. Terlebih lagi, bahkan ketika pilihan fungsi koordinat telah terjadi, ada kesewenang-wenangan dalam distribusi variabel acak Vк. Dalam prakteknya, berdasarkan hasil eksperimen diperoleh estimasi untuk ekspektasi matematis dan fungsi korelasi: . Setelah berkembang menjadi deret Fourier ganda dalam hal fungsi koordinat (t):

Dapatkan nilai dispersi variabel acak Vk.
4.2. Konsep fungsi umum. Fungsi delta Dirac. Representasi kanonik integral dari proses acak.

Fungsi umum adalah limit dari barisan dari satu keluarga parameter fungsi kontinu.
Fungsi delta Dirac adalah fungsi umum yang dihasilkan dari melewati ke limit di dalam keluarga fungsi

Di antara sifat-sifat -fungsi, kami mencatat hal berikut:
1.
2.
3. Jika f(t) adalah fungsi kontinu, maka

Proses acak X(t), yang fungsi korelasinya berbentuk disebut "white noise" non-stasioner. Jika W(t1)=W - const, maka (t)-stasioner "white noise".

Sebagai berikut dari definisi, tidak ada dua, bahkan sewenang-wenang dekat, "white noise" penampang yang berkorelasi. Ekspresi W(t) disebut intensitas "white noise".

Representasi kanonik integral dari proses acak X(t) adalah ekspresi bentuk di mana adalah fungsi terpusat acak; - fungsi non-acak dari argumen kontinu

Fungsi korelasi dari proses acak tersebut memiliki bentuk:
.
Dapat ditunjukkan bahwa terdapat fungsi non-acak G(λ) sedemikian sehingga

Dimana G(λ1) adalah kerapatan dispersi; (x) - Fungsi delta dirac. Kita mendapatkan
Oleh karena itu, varians dari proses acak X(t):
.

4.3. Transformasi Linier dan Nonlinier dari Proses Stokastik

Masalah berikut dipertimbangkan: "sinyal input" diumpankan ke input sistem (perangkat, konverter) S, yang memiliki karakter proses acak X(t). Sistem mengubahnya menjadi "sinyal keluaran" Y(t):
.
Secara formal, transformasi proses acak X(t) menjadi Y(t) dapat dijelaskan dengan menggunakan operator sistem t:
Y(t)=Pada(X(t)).
Indeks t menunjukkan bahwa operator ini melakukan transformasi dalam waktu. Rumusan masalah transformasi proses acak berikut ini dimungkinkan.
1. Hukum distribusi atau karakteristik umum dari proses acak X(t) pada input ke sistem S diketahui, operator t dari sistem S diberikan, diperlukan untuk menentukan hukum distribusi atau karakteristik umum dari proses acak Y(t) pada keluaran sistem S.
2. Hukum distribusi (karakteristik umum) dari proses acak X(t) dan persyaratan untuk proses acak Y(t) diketahui; perlu untuk menentukan bentuk operator t dari sistem S yang paling memenuhi persyaratan yang diberikan untuk Y(t).
3. Hukum distribusi (karakteristik umum) dari proses acak Y(t) diketahui dan operator t dari sistem S diberikan; diperlukan untuk menentukan hukum distribusi atau karakteristik umum dari proses acak X(t).
Klasifikasi operator t berikut dari sistem S diterima:

Operator sistem

Linier L Nonlinier N

Linear homogen L0 Linear tidak homogen Lн

1. Pertimbangkan dampak dari sistem linier tidak homogen
Lн(...)=L0(…)+φ(t)
pada proses acak X(t) yang memiliki dekomposisi kanonik berikut:
.
Kita mendapatkan:

Mari kita perkenalkan notasinya

Kemudian dekomposisi kanonik dari Y(t) mengambil bentuk:
.
Ekspektasi matematis dari proses acak Y(t):

Fungsi korelasi proses acak Y(t):

Karena itu,
.
Di sisi lain

Dispersi proses acak Y(t):

Sebagai kesimpulan dari bagian ini, kami mencatat bahwa operator diferensiasi dan integrasi proses acak adalah homogen linier.
2. Transformasi kuadrat dianggap:
Y(t)=(X(t))2,
Variabel acak yang berpusat pada Vk memiliki distribusi simetris sekitar nol; empat dari mereka secara kolektif independen. Kemudian

Kami memperkenalkan fungsi non-acak

Dan variabel acak

Maka proses acak Y(t) berbentuk

Dekomposisi kanonik dari proses acak Y(t) diperoleh. Fungsi korelasi Y(t):

Penyebaran:

BAB 5. PROSES RANDOM STASIUN

5.1. Konsep proses acak stasioner. Stasioneritas dalam arti sempit dan luas

Stasioner (homogen dalam waktu) adalah proses acak, karakteristik statistik yang tidak berubah dari waktu ke waktu, yaitu, mereka tidak berubah terhadap pergeseran waktu.
Membedakan proses acak yang stasioner dalam arti luas dan sempit.

Proses acak stasioner dalam arti sempit adalah proses acak X(t), semua karakteristik probabilistiknya tidak berubah terhadap waktu, yaitu sedemikian rupa sehingga kondisinya
F(t1; t2;… ;tn; x1; x2;…; xn)=F(t1+τ; t2+τ;… ;tn+τ; x1; x2;…; xn), dan karenanya semua n-dimensi distribusi tidak bergantung pada titik waktu t1; t2;… ;tn, tetapi pada durasi interval waktu i:

Secara khusus, densitas distribusi satu dimensi tidak bergantung pada waktu t sama sekali:

Kepadatan Bagian Dua Dimensi pada Waktu t1 dan t2

Kerapatan dimensi-N bagian pada waktu t1; t2...; tn:

Sebuah proses acak X(t) disebut stasioner dalam arti luas jika momen orde pertama dan kedua adalah invarian terhadap pergeseran waktu, yaitu, harapan matematisnya tidak bergantung pada waktu t dan adalah konstan, dan fungsi korelasi hanya bergantung pada panjang interval waktu antar bagian:
Jelas bahwa proses acak stasioner dalam arti sempit adalah proses acak stasioner dalam arti luas juga; kebalikannya tidak benar.

5.2 Sifat karakteristik probabilistik dari proses acak stasioner
1.

3. Fungsi korelasi dari proses acak stasioner adalah genap:

4. Varians dari proses acak stasioner adalah konstan yang sama dengan
nilai fungsi korelasinya di titik:

5.
6. Fungsi korelasi dari proses acak stasioner adalah
pasti positif, yaitu

Fungsi korelasi yang dinormalisasi dari proses acak stasioner juga genap, pasti positif, dan, terlebih lagi,

5.3. Proses acak berpasangan stasioner. Turunan dan integral dari proses acak stasioner

Proses acak X(t) dan Y(t) disebut stasioner jika fungsi korelasi timbal baliknya hanya bergantung pada selisih argumen =t2-t1: RXY(t1;t2)=rXY(τ).

Stasioneritas dari proses acak X(t) dan Y(t) itu sendiri tidak berarti hubungan stasionernya.
Kami mencatat sifat-sifat utama dari proses acak stasioner, turunan dan integral dari proses acak stasioner,
1) rXY(τ)=rYX(-τ).
2)
3)
4)
di mana
5) dimana
6) ;

5.4. Proses Stochastic Stasioner Ergodik dan Karakteristiknya

Di antara proses acak stasioner, ada kelas proses khusus yang disebut ergodik, yang memiliki properti berikut: karakteristiknya diperoleh dengan merata-ratakan himpunan semua realisasi bertepatan dengan karakteristik yang sesuai yang diperoleh dengan rata-rata dari waktu ke waktu satu realisasi yang diamati pada interval (0, T) dengan durasi yang cukup lama. Artinya, pada interval waktu yang cukup besar, setiap implementasi melewati keadaan apa pun, terlepas dari apa keadaan awal sistem pada t=0; dan dalam pengertian ini, realisasi apa pun sepenuhnya mewakili seluruh rangkaian realisasi.

Teorema Birkhoff-Khinchin Ergodik
Untuk setiap proses acak stasioner dalam arti sempit X(t) yang memiliki ekspektasi matematis berhingga dengan probabilitas 1, terdapat limit
untuk SSP dengan waktu terus menerus,
untuk SSP dengan waktu diskrit.
Jika, selain itu, X(t) adalah proses acak stasioner ergodik, maka
Dalam kondisi teorema, ekspektasi matematis bersyarat dari proses acak X(t) terhadap Jx; Jx adalah -aljabar kejadian invarian terhadap X(t); suatu kejadian A dikatakan invarian pada X(t) jika B sedemikian sehingga A=(ω: X(ω,t) B).

Kondisi yang cukup untuk ergodisitas
Teorema 1. Proses acak stasioner X(t) adalah ergodik terhadap
ekspektasi matematis jika fungsi korelasinya
cenderung nol sebagai →∞;
di mana: .

Teorema 2. Proses acak stasioner X(t) adalah ergodik terhadap
dispersi, jika fungsi korelasi acak stasioner
proses teh Y(t)=X2(t) cenderung nol karena →∞;
di mana:

Teorema 3. Proses acak stasioner X(t) adalah ergodik terhadap
fungsi korelasi jika cenderung nol sebagai →∞ cor-
fungsi relasional dari proses acak stasioner
Z(t, )= ;
di mana:

Dalam perhitungan praktis, interval (0; T) dibagi menjadi n bagian yang sama; di setiap interval, titik ti dipilih (misalnya, tengah). Jika kita membatasi diri pada rumus persegi panjang, kita mendapatkan

5.5. Aliran acara
Aliran peristiwa adalah urutan peristiwa yang terjadi pada saat yang acak dalam waktu.

Properti aliran acara:
1) Aliran stasioner.
Suatu aliran disebut stasioner jika peluang terjadinya m kejadian dalam selang waktu hanya bergantung pada banyaknya kejadian m dan pada panjang selang waktu dan tidak bergantung pada momen waktu dimulainya selang ini
2) Tidak ada efek samping.
Suatu arus peristiwa dikatakan memiliki sifat tanpa akibat jika peluang terjadinya m peristiwa dalam suatu periode waktu tidak bergantung pada muncul atau tidaknya peristiwa pada saat-saat sebelum periode tersebut.
Sejarah utas tidak mempengaruhi terjadinya peristiwa dalam waktu dekat. Jika aliran memiliki sifat tidak ada efek samping, maka variabel acak dari kejadian pada interval yang tidak berpotongan adalah independen satu sama lain.
3) Keteraturan.
Suatu aliran dikatakan memiliki sifat biasa jika tidak lebih dari satu peristiwa dapat terjadi dalam selang waktu yang sangat kecil, yaitu terjadinya 2 atau lebih peristiwa dalam waktu singkat praktis tidak mungkin.
4) Aliran racun
Jika aliran secara simultan memiliki sifat-sifat stasioneritas, tidak adanya efek samping dan ordinaritas, maka disebut aliran paling sederhana (Poisson).

Dalil. Jika aliran adalah jumlah dari sejumlah besar aliran stasioner independen, pengaruh masing-masing diabaikan, maka total aliran, asalkan biasa, mendekati yang paling sederhana.
Intensitas aliran adalah jumlah rata-rata kejadian yang terjadi per satuan waktu.
Jika aliran memiliki intensitas yang konstan, maka peluang terjadinya m kejadian untuk selang waktu durasi dihitung dengan menggunakan rumus Poisson.
- Aliran Poison
Masalah gelombang telegraf sederhana.
Ada beberapa perangkat yang sinyalnya diterapkan. Sinyal-sinyal ini membentuk aliran yang paling sederhana.
X(t) a -a
P 1/2 1/2
Selidiki karakteristik SP X(t), yang mengambil nilai ±a pada waktu yang berubah-ubah. SP diskrit dengan waktu kontinu. M(X(t)) = 0

X(t1)X(t2) a2 -a2
P P genap P ganjil
Biarkan t1< t2 => τ > 0

Akibatnya, gelombang telegraf adalah SCS ergodik.
Dasar Pemikiran - Sifat-sifat berikut harus dimiliki
1) Stasioneritas - tidak ada ketergantungan pada pilihan interval waktu.
2) Tidak adanya efek samping - momen waktu tidak muncul dalam rumus.
3) Biasa
Peluang lebih dari satu kejadian
Peluang kejadian pertama
Peluang lebih dari 2 kejadian
dengan =>
untuk kecil cenderung nol pada tingkat tidak kurang dari persegi.

TOPIK 6. RANTAI MARKOV

6.1. rantai Markov.

Rantai Markov adalah urutan peristiwa, di mana masing-masing hanya satu peristiwa yang tidak kompatibel A1,A2…Ak muncul, sedangkan probabilitas bersyarat pij(s) dalam uji ke-s akan menjadi peristiwa Ai dan kondisi di tes s-1 peristiwa Aj e terjadi tergantung pada hasil peristiwa sebelumnya.
Rantai Markov waktu diskrit adalah rantai yang keadaannya berubah pada waktu yang tetap.
Rantai Markov dengan waktu kontinu adalah rantai yang perubahan keadaannya terjadi pada waktu yang berubah-ubah.
Rantai Markov disebut homogen jika probabilitas bersyarat pij(s) transisi ke keadaan dari Ai ke Aj tidak bergantung pada nomor percobaan, pada s.
Probabilitas yang dilewati sistem dari Ai ke Aj sebagai hasil pengujian disebut probabilitas transisi dari rantai Markov homogen.
Probabilitas transisi membentuk matriks probabilitas transisi i=1;…;k
Persamaan Markov
Pij(n) adalah probabilitas transisi sistem dari keadaan Ai ke Aj dalam n percobaan

Konsekuensi
1) n=2; m=1
; Pij(1)=pi,j; P2=(Pi,j(2))=P1P1=P2
2) n=3; m=2
; P3=P3
3) Pn=P12.

1. Konsep fungsi acak, proses stokastik

Ketika mempelajari banyak fenomena, seseorang secara sistematis harus berurusan dengan variabel acak yang berubah dalam proses pengujian untuk waktu tertentu. Kami telah bertemu dengan contoh fenomena seperti itu di Bagian 6.2. dan 9.2. berhubungan dengan hukum distribusi Poisson.

Contoh r.v. adalah: peluruhan zat radioaktif dalam reaksi kimia, sinyal pada keluaran penerima radio di bawah pengaruh gangguan, panjang antrian tiket pertandingan sepak bola, fluktuasi harga dalam sistem perdagangan barang-barang penting, beban kerja mahasiswa selama semester akademik, lintasan partikel dalam gerak Brown, peringkat pelamar dalam proses pemilihan, jumlah panggilan yang masuk ke pertukaran telepon, dll.

Variabel acak seperti itu yang berubah dalam proses pengalaman (pengamatan, pengujian) disebut proses acak (acak fungsi). Saat ini, sejumlah cabang teknologi dan ilmu pengetahuan (statistik fisika, proses difusi, proses reaksi kimia, dll) telah menimbulkan masalah baru bagi teori probabilitas yang tidak sesuai dengan kerangka teori probabilitas klasik. Pada saat itu, banyak cabang aktivitas manusia tertarik untuk mempelajari proses, yaitu fenomena yang terjadi dalam waktu. Mereka menuntut dari ilmu teori probabilitas pengembangan teori umum yang disebut proses acak. Dengan kata lain, pengembangan teori yang akan mempelajari variabel acak yang bergantung pada satu atau lebih parameter waktu yang terus berubah. Mari kita berikan contoh masalah seperti itu yang menggambarkan perlunya membangun teori proses acak.

Bayangkan kita ingin mengikuti pergerakan molekul gas atau cairan. Molekul ini secara acak bertabrakan dengan molekul lain dan mengubah kecepatan dan posisinya. Jelas, keadaan molekul tunduk pada perubahan acak pada setiap saat. Banyak fenomena alam yang memerlukan studi mereka untuk kemampuan menghitung probabilitas bahwa sejumlah fenomena (molekul, perubahan harga, kedatangan sinyal radio, dll.) mengubah satu atau lain posisi. Semua ini dan banyak pertanyaan lainnya dijawab oleh teori statistik proses acak, atau, seperti yang biasa disebut " teori proses stokastik ». Jelas, masalah serupa muncul dalam fisika, kimia, astronomi, ekonomi, genetika, dll. Misalnya, ketika mempelajari proses reaksi kimia, muncul pertanyaan yang sah:

Berapa fraksi molekul yang telah bereaksi?

Bagaimana reaksi ini terjadi dari waktu ke waktu?

Kapan reaksinya hampir selesai?

Sejumlah besar fenomena berlangsung sesuai dengan prinsip peluruhan radioaktif. Inti dari fenomena ini adalah bahwa atom-atom zat radioaktif meluruh secara instan, berubah menjadi atom-atom unsur kimia lain. Peluruhan setiap atom terjadi dengan cepat dan pada kecepatan tinggi dalam waktu, seperti ledakan, dengan pelepasan sejumlah energi. Sebagai aturan, banyak pengamatan menunjukkan bahwa peluruhan berbagai atom bagi pengamat terjadi pada waktu yang diambil secara acak. Dalam hal ini, lokasi momen-momen waktu ini tidak bergantung satu sama lain dalam pengertian teori probabilitas. Untuk mempelajari proses peluruhan radioaktif, penting untuk menentukan berapa peluang sejumlah atom akan meluruh dalam jangka waktu tertentu? Secara formal, jika seseorang hanya meminta untuk menjelaskan gambaran matematis dari fenomena seperti itu, maka dia dapat menemukan solusi sederhana untuk masalah matematika yang menyebabkan fenomena tersebut.

Mari kita jelaskan secara singkat bagaimana, berdasarkan pertimbangan masalah partikel yang mengembara dalam garis lurus, para ilmuwan Planck dan Fokker memperoleh persamaan diferensial dalam teori difusi.

Biarkan partikel pada saat waktu pada titik
, pada saat-saat
mengalami guncangan acak, akibatnya ia bergerak setiap kali dengan probabilitas dengan jumlah ke kanan dan dengan probabilitas
juga dengan jumlah ke kiri.

Dilambangkan dengan
probabilitas bahwa partikel sebagai hasil guncangan akan muncul pada saat itu
hamil (jelas bahwa untuk jumlah guncangan genap, nilainya hanya bisa menjadi jumlah langkah genap , dan kapan ganjil - hanya jumlah langkah ganjil . Jika melalui
menunjukkan jumlah langkah yang diambil oleh partikel ke kanan (maka

adalah jumlah langkah yang dilakukan partikel ke kiri), maka menurut rumus Bernoulli, probabilitas ini sama dengan

Jelaslah bahwa besaran-besaran ini berhubungan dengan persamaan
Seseorang dapat langsung memverifikasi bahwa fungsinya
memenuhi persamaan selisih

dengan kondisi awal
dan di

. Sifat fisik masalah akan memaksa kita untuk pergi ke batasan alami tertentu pada rasio parameter
. Kegagalan untuk memenuhi beberapa kondisi yang diperlukan, yang akan dibahas di bawah, dapat mengarah pada fakta bahwa selama periode waktu yang terbatas, sebuah partikel dengan probabilitas sama dengan satu dapat mencapai tak terhingga. Untuk mengecualikan kemungkinan ini, kami memberlakukan kondisi berikut pada parameter dengan

dimana nilainya mengungkapkan kecepatan arus, sebuah
koefisien difusi.

Kurangi dari kedua bagian persamaan (1) kuantitas
, kita mendapatkan

Mari kita asumsikan bahwa fungsi
dapat dibedakan sehubungan dengan dua kali dan sekali . Lalu kita punya

Setelah mensubstitusi persamaan yang diperoleh ke dalam (3), kita memperoleh

Dari sini, melewati batas
dan berdasarkan kondisi (2) akhirnya kita peroleh

(4)

Dengan demikian, kita telah memperoleh persamaan yang terkenal, yang dalam teori difusi disebut Persamaan Fokker–Planck.

Awal dari teori umum proses stokastik diletakkan dalam karya-karya fundamental A.N. Kolmogorov dan A.Ya. Khinchin pada awal 1930-an. Dalam artikel oleh A.N. Kolmogorov "Tentang metode analitis teori probabilitas" diberikan konstruksi yang sistematis dan ketat dari fondasi teori proses stokastik tidak ada efek samping atau, seperti yang sering dikatakan, proses tipe Markov. Sejumlah karya Khinchin menciptakan teori yang disebut proses stasioner.

Dengan demikian, cabang matematika yang mempelajari fenomena acak dalam dinamikanya

perkembangan disebut teori proses acak(fungsi acak). Metodenya sering digunakan: dalam teori kontrol otomatis, dalam analisis dan perencanaan kegiatan keuangan perusahaan dan pertanian, dalam pemrosesan dan transmisi informasi yang diperlukan (sinyal pada perangkat teknik radio, komunikasi satelit, dll.), dalam ekonomi dan dalam teori layanan massa.

Mari kita pertimbangkan secara singkat konsep dasar teori proses acak (SP).

Jika setiap nilai
, di mana menunjukkan beberapa himpunan bilangan real, dimasukkan ke dalam korespondensi dengan r.v.
, maka kami mengatakan itu di lokasi syuting diberikan fungsi acak (s.f.)
. Proses acak yang
, sangat penting dalam aplikasi. Dalam kasus di mana parameter diinterpretasikan sebagai parameter waktu, maka fungsi acaknya disebut proses acak, yaitu proses acak disebut keluarga r.v.
tergantung parameter
dan diberikan pada ruang yang sama dari peristiwa dasar
Dilambangkan
atau

Suatu proses acak dapat ditentukan dalam bentuk rumus (notasi analitik) jika bentuk fungsi acak diketahui. Misalnya, s.f. adalah r.p., di mana variabel acak
memiliki distribusi yang seragam. Untuk nilai tetap
, s.p.
, maka r.p. mengkonversi ke r.v.
yang disebut penampang dari proses acak.

Penerapan atau lintasan proses acak
ditelepon tidak acak fungsi waktu
di tetap
, yaitu sebagai hasil dari pengujian s.p. mengambil bentuk tertentu.
, sedangkan realisasi r.s. dilambangkan dengan
,
di mana indeks menunjukkan nomor tes.

Gambar 59 menunjukkan tiga implementasi
proses acak di
;

Mereka menyerupai jenis tiga fenomena osilasi sinusoidal dalam beberapa proses mekanis, sedangkan masing-masing realisasi (lintasan) tersebut adalah fungsi biasa

Gbr.59 (Tertulis).

Dalam contoh ini, r.v. dalam tiga percobaan, dibutuhkan tiga nilai, masing-masing: 1, 2, 0,5, yaitu. tiga implementasi dari usaha patungan tersebut dinyatakan: Ketiga fitur tersebut tidak acak. Jika dalam contoh ini kita memperbaiki momen waktu, di
, maka kita mendapatkan penampang:
- variabel acak atau
, adalah variabel acak. Perhatikan bahwa apa yang disebut hukum distribusi satu dimensi dari proses acak
tidak karakteristik lengkap dari s.p. proses acak
adalah himpunan semua penampang untuk nilai yang berbeda
, oleh karena itu, untuk deskripsi lengkapnya, seseorang harus mempertimbangkan fungsi distribusi gabungan dari penampang proses:

yang disebut hukum distribusi berdimensi-hingga dari r.p. di saat-saat
. Dengan kata lain, r.v.s multidimensi muncul.

Dengan demikian, konsep s.p. adalah generalisasi langsung dari konsep sistem variabel acak, ketika variabel-variabel ini adalah himpunan tak terbatas.

Teori proses acak disebut ilmu matematika yang mempelajari pola-pola fenomena acak dalam dinamika perkembangannya.

Teori proses acak (dalam terminologi lain - teori fungsi acak) adalah cabang yang relatif baru dari teori probabilitas, yang telah berkembang sangat pesat dalam beberapa dekade terakhir sehubungan dengan jangkauan aplikasi praktisnya yang terus berkembang.

Ketika mempelajari fenomena dunia sekitarnya, kita sering menemukan proses, yang jalannya tidak dapat diprediksi secara tepat sebelumnya. Ketidakpastian (unpredictability) ini disebabkan oleh pengaruh faktor acak yang mempengaruhi jalannya proses. Mari kita berikan beberapa contoh proses tersebut.

1. Tegangan dalam jaringan listrik, nominal konstan dan sama dengan 220 V, sebenarnya berubah dari waktu ke waktu, berfluktuasi di sekitar nilai nominal di bawah pengaruh faktor acak seperti jumlah dan jenis perangkat yang terhubung ke jaringan, momen mereka menghidupkan dan mematikan, dll.

2. Populasi kota (atau wilayah) berubah dari waktu ke waktu secara acak (tidak dapat diprediksi) di bawah pengaruh faktor-faktor seperti kelahiran, kematian, migrasi, dll.

3. Ketinggian air di sungai (atau di waduk) berubah secara acak dari waktu ke waktu tergantung pada cuaca, curah hujan, pencairan salju, intensitas irigasi, dll.

4. Sebuah partikel yang membuat gerak Brown dalam bidang pandang mikroskop berubah posisinya secara acak sebagai akibat dari tumbukan dengan molekul cair.

5. Sebuah roket ruang angkasa sedang terbang, yang harus diluncurkan pada saat tertentu ke suatu titik tertentu di ruang angkasa dengan arah tertentu dan nilai mutlak dari vektor kecepatan. Pergerakan roket yang sebenarnya tidak sesuai dengan yang dihitung karena faktor acak seperti turbulensi atmosfer, heterogenitas bahan bakar, kesalahan dalam pemrosesan perintah, dll.

6. Komputer selama bekerja dapat berpindah secara acak dari satu keadaan ke keadaan lain, misalnya:

S1- bekerja dengan baik;

S2- ada kerusakan, tetapi tidak terdeteksi;

S3- kerusakan telah terdeteksi, sumbernya sedang dicari;

S4- sedang diperbaiki, dll.

Transisi dari keadaan ke keadaan terjadi di bawah pengaruh faktor acak, seperti fluktuasi tegangan pada jaringan catu daya komputer, kegagalan elemen individu, momen deteksi kesalahan, waktu penghapusannya, dll.

Sebenarnya, di alam tidak ada proses yang benar-benar non-acak, persis deterministik, tetapi ada proses di mana faktor-faktor acak mempengaruhi begitu lemah sehingga mereka dapat diabaikan ketika mempelajari fenomena tersebut (contoh: proses planet-planet berputar di sekitar Matahari). Namun, ada juga proses di mana keacakan memainkan peran utama (contoh: proses gerak Brown partikel yang dipertimbangkan di atas). Di antara dua ekstrem ini terdapat berbagai proses di mana peluang memainkan peran yang lebih besar atau lebih kecil. Untuk memperhitungkan (atau tidak memperhitungkan) keacakan proses juga tergantung pada masalah praktis apa yang kita pecahkan. Misalnya, ketika menjadwalkan pergerakan pesawat antara dua titik, lintasannya dapat dianggap bujursangkar, dan pergerakannya seragam; asumsi yang sama tidak akan berhasil jika masalah merancang autopilot untuk mengontrol penerbangan pesawat sedang dipecahkan.

Ada dua jenis masalah utama, yang penyelesaiannya memerlukan penggunaan teori fungsi acak (proses acak).

Masalah langsung (analisis): parameter perangkat tertentu dan karakteristik probabilistiknya (harapan matematis, fungsi korelasi, hukum distribusi) dari fungsi (sinyal, proses) yang sampai pada "input" diberikan; diperlukan untuk menentukan karakteristik pada "output" perangkat (mereka digunakan untuk menilai "kualitas" perangkat).

Masalah terbalik (perpaduan): karakteristik probabilistik dari fungsi "masukan" dan "keluaran" diberikan; diperlukan untuk merancang perangkat optimal (menemukan parameternya) yang mengubah fungsi input yang diberikan menjadi fungsi output yang memiliki karakteristik tertentu. Solusi dari masalah ini membutuhkan, di samping peralatan fungsi acak, daya tarik dan disiplin ilmu lainnya.

pengantar

Teori proses acak (random function) adalah cabang ilmu matematika yang mempelajari pola-pola fenomena acak dalam dinamika perkembangannya.

Saat ini, sejumlah besar literatur telah muncul yang secara langsung dikhususkan untuk teori antrian, pengembangan aspek matematikanya, serta berbagai bidang penerapannya - militer, medis, transportasi, perdagangan, penerbangan, dll.

Teori antrian didasarkan pada teori probabilitas dan statistik matematika. Perkembangan awal teori antrian dikaitkan dengan nama ilmuwan Denmark A.K. Erlang (1878-1929), dengan tulisannya tentang desain dan pengoperasian sentral telepon.

Teori antrian adalah bidang matematika terapan yang berhubungan dengan analisis proses dalam produksi, layanan, dan sistem kontrol di mana peristiwa homogen diulang berkali-kali, misalnya, di perusahaan jasa konsumen; dalam sistem untuk menerima, memproses dan mengirimkan informasi; jalur produksi otomatis, dll. Kontribusi besar untuk pengembangan teori ini dibuat oleh matematikawan Rusia A.Ya. Kinchin, B.V. Gnedenko, A.N. Kolmogorov, E.S. Wentzel dan lainnya.

Subyek teori antrian adalah untuk membangun hubungan antara sifat aliran aplikasi, jumlah saluran layanan, kinerja saluran individu dan layanan yang efisien untuk menemukan cara terbaik untuk mengontrol proses ini. Tugas teori antrian bersifat optimasi dan pada akhirnya mencakup aspek ekonomi untuk menentukan varian sistem seperti itu, yang akan memberikan total biaya minimum dari menunggu layanan, kehilangan waktu dan sumber daya untuk layanan, dan dari waktu henti. dari saluran layanan.

Dalam kegiatan komersial, penerapan teori antrian belum menemukan distribusi yang diinginkan.

Hal ini terutama disebabkan oleh sulitnya menetapkan tujuan, perlunya pemahaman yang mendalam tentang isi kegiatan komersial, serta alat yang andal dan akurat yang memungkinkan penghitungan berbagai opsi untuk konsekuensi keputusan manajerial dalam kegiatan komersial.

1. Pengertian proses acak dan karakteristiknya

Proses acak X(t) adalah proses yang nilainya untuk sembarang nilai argumen t adalah variabel acak.

Dengan kata lain, proses acak adalah fungsi yang, sebagai hasil pengujian, dapat mengambil satu atau lain bentuk spesifik, yang tidak diketahui sebelumnya. Untuk t tetap = ke X(ke) adalah variabel acak biasa, yaitu. penampang dari proses acak pada waktu untuk.

Implementasi proses acak X (t, w) adalah fungsi non-acak x(t), di mana proses acak X(t) berubah sebagai hasil pengujian (untuk w tetap), yaitu. bentuk spesifik yang diambil oleh proses acak X(t), lintasannya.

Jadi, proses acak X (t, w) menggabungkan fitur dari variabel acak dan fungsi. Jika kita memperbaiki nilai argumen t, proses acak berubah menjadi variabel acak biasa, jika kita memperbaiki w, maka sebagai hasil dari setiap pengujian berubah menjadi Fungsi non-acak biasa.

Seperti variabel acak, proses acak dapat dijelaskan dengan karakteristik numerik.

Ekspektasi matematis dari proses acak X(t) adalah fungsi non-acak a x (t), yang untuk setiap nilai variabel t sama dengan ekspektasi matematis dari bagian yang sesuai dari proses acak X(t), yaitu. kapak (t) = M .

Varians dari proses acak X(t) adalah fungsi non-acak. D x (t), untuk setiap nilai variabel t, sama dengan varians dari bagian yang sesuai dari proses acak X(t), yaitu. Dx (t) = D .

Standar deviasi proses acak X(t) adalah nilai aritmatika dari akar kuadrat variansnya, yaitu.

Ekspektasi matematis dari proses acak mencirikan lintasan rata-rata dari semua kemungkinan implementasinya, dan varians atau standar deviasinya mencirikan penyebaran implementasi relatif terhadap lintasan rata-rata.

Fungsi korelasi dari proses acak X(t) adalah fungsi non-acak

dua variabel t1 dan t 2, yang untuk setiap pasangan variabel t1 dan t2 sama dengan kovarians dari bagian yang sesuai X(t1) dan X(t 2) proses acak.

Fungsi korelasi ternormalisasi dari proses acak X(t) adalah fungsi

Proses acak dapat diklasifikasikan tergantung pada apakah keadaan sistem di mana mereka terjadi berubah dengan lancar atau tiba-tiba, tentu saja (dapat dihitung) atau jumlah keadaan ini tak terbatas, dll. Di antara proses acak, tempat khusus milik proses acak Markov. Namun sebelumnya mari kita berkenalan dengan konsep dasar teori antrian.

2. Konsep dasar teori antrian

Dalam praktiknya, seseorang sering menemukan sistem yang dirancang untuk penggunaan yang dapat digunakan kembali dalam memecahkan jenis masalah yang sama. Proses yang muncul dalam hal ini disebut proses pelayanan, dan sistem tersebut disebut sistem antrian (QS). Contoh sistem tersebut adalah sistem telepon, bengkel, sistem komputer, kantor tiket, toko, penata rambut, dan sejenisnya.

Setiap QS terdiri dari sejumlah unit layanan (instrumen, perangkat, titik, stasiun) tertentu, yang akan kami sebut saluran layanan. Saluran dapat berupa jalur komunikasi, titik operasi, komputer, penjual, dll. Menurut jumlah saluran, QS dibagi menjadi saluran tunggal dan saluran ganda.

Aplikasi biasanya tiba di QS tidak secara teratur, tetapi secara acak, membentuk apa yang disebut aliran aplikasi acak (persyaratan). Permintaan servis, secara umum, juga berlanjut untuk beberapa waktu acak. Sifat acak dari aliran aplikasi dan waktu layanan mengarah pada fakta bahwa QS dimuat secara tidak merata: dalam beberapa periode waktu, sejumlah besar aplikasi menumpuk (mereka mengantre atau membiarkan QS tidak terlayani), sementara di lain waktu periode QS beroperasi dengan underload atau idle.

Subyek teori antrian adalah konstruksi model matematika yang menghubungkan kondisi operasi QS yang diberikan (jumlah saluran, kinerjanya, sifat aliran permintaan, dll.) dengan indikator efisiensi QS yang menggambarkan kemampuannya untuk mengatasi dengan arus permintaan.

Berikut ini digunakan sebagai indikator kinerja QS: jumlah rata-rata aplikasi yang dilayani per unit waktu; jumlah rata-rata aplikasi dalam antrian; waktu tunggu rata-rata untuk layanan; kemungkinan penolakan layanan tanpa menunggu; probabilitas bahwa jumlah permintaan dalam antrian akan melebihi nilai tertentu, dll.

QS dibagi menjadi dua jenis utama (kelas): QS dengan kegagalan dan QS dengan menunggu (antrian). Dalam QS dengan penolakan, permintaan yang datang pada saat semua saluran sibuk menerima penolakan, meninggalkan QS dan tidak berpartisipasi dalam proses layanan lebih lanjut (misalnya, permintaan untuk percakapan telepon pada saat semua saluran sedang sibuk menerima penolakan dan membiarkan QS tidak dilayani). Dalam QS dengan menunggu, klaim yang datang pada saat semua saluran sibuk tidak keluar, tetapi mengantre untuk dilayani.

QS dengan menunggu dibagi menjadi beberapa jenis tergantung pada bagaimana antrian diatur: dengan panjang antrian terbatas atau tidak terbatas, dengan waktu tunggu terbatas, dll.

3. Konsep proses acak Markov

Proses QS adalah proses acak.

Suatu proses disebut proses dengan keadaan-keadaan diskrit jika keadaan-keadaan yang memungkinkannya S1, S2, S3… dapat dicantumkan terlebih dahulu, dan transisi sistem dari keadaan ke keadaan terjadi seketika (jump). Suatu proses disebut proses dengan waktu kontinu jika momen-momen transisi yang mungkin dari sistem dari keadaan ke keadaan tidak tetap di muka, tetapi acak.

Proses operasi QS adalah proses acak dengan keadaan diskrit dan waktu kontinu. Ini berarti bahwa keadaan QS berubah secara tiba-tiba pada saat-saat acak dari kemunculan beberapa peristiwa (misalnya, kedatangan permintaan baru, akhir layanan, dll.).

Analisis matematis pekerjaan QS sangat disederhanakan jika proses pekerjaan ini adalah Markov. Sebuah proses acak disebut Markov atau proses acak tanpa efek setelah, jika, untuk setiap waktu, karakteristik probabilistik dari proses di masa depan hanya bergantung pada keadaan saat ini dan tidak bergantung pada kapan dan bagaimana sistem sampai pada keadaan ini.

Contoh proses Markov: sistem S adalah penghitung di taksi. Keadaan sistem pada waktu t dicirikan oleh jumlah kilometer (persepuluh kilometer) yang ditempuh mobil hingga saat itu. Biarkan penghitung menunjukkan Jadi pada saat itu. Probabilitas bahwa pada saat t > ke meter akan menunjukkan satu atau beberapa kilometer (lebih tepatnya, jumlah rubel yang sesuai) S1 tergantung pada So, tetapi tidak tergantung pada waktu di mana pembacaan meter berubah sebelum momen ke.

Banyak proses yang dapat dianggap mendekati Markovian. Misalnya, proses bermain catur; sistem S adalah sekelompok bidak catur. Keadaan sistem dicirikan oleh jumlah bidak lawan yang tersisa di papan pada saat itu. Probabilitas bahwa pada saat t > untuk keuntungan material akan berada di sisi salah satu lawan tergantung terutama pada keadaan sistem pada saat itu, dan bukan pada kapan dan dalam urutan apa potongan-potongan itu menghilang dari papan. untuk saat untuk.

Dalam beberapa kasus, prasejarah dari proses yang sedang dipertimbangkan dapat diabaikan begitu saja dan model Markov dapat digunakan untuk mempelajarinya.

Saat menganalisis proses acak dengan keadaan diskrit, akan lebih mudah untuk menggunakan skema geometris - yang disebut grafik keadaan. Biasanya, status sistem diwakili oleh persegi panjang (lingkaran), dan kemungkinan transisi dari status ke status - dengan panah (busur berorientasi), menghubungkan negara.

Untuk deskripsi matematis dari proses acak Markov dengan keadaan diskrit dan waktu kontinu, mengalir dalam QS, mari berkenalan dengan salah satu konsep penting teori probabilitas - konsep aliran peristiwa.

. Aliran acara

Alur peristiwa dipahami sebagai urutan peristiwa homogen yang mengikuti satu demi satu pada waktu yang acak (misalnya, arus panggilan pada pertukaran telepon, arus kegagalan komputer, arus pelanggan, dll.).

Aliran dicirikan oleh intensitas X - frekuensi terjadinya peristiwa atau jumlah rata-rata peristiwa yang memasuki QS per satuan waktu.

Aliran peristiwa disebut teratur jika peristiwa mengikuti satu demi satu pada interval yang teratur. Misalnya, aliran produk pada jalur perakitan (dengan kecepatan konstan) adalah teratur.

Aliran peristiwa disebut stasioner jika karakteristik probabilistiknya tidak bergantung pada waktu. Secara khusus, intensitas aliran stasioner adalah nilai konstan: Misalnya, aliran mobil di jalan kota tidak stasioner pada siang hari, tetapi aliran ini dapat dianggap stasioner pada waktu tertentu dalam sehari, katakanlah, selama jam sibuk. Dalam hal ini, jumlah sebenarnya mobil yang lewat per satuan waktu (misalnya, setiap menit) dapat sangat bervariasi, tetapi jumlah rata-ratanya konstan dan tidak akan bergantung pada waktu.

Suatu arus peristiwa disebut arus tanpa akibat jika untuk salah satu atau dua selang waktu yang tidak berpotongan T1 dan T2 banyaknya peristiwa yang menimpa salah satunya tidak bergantung pada banyaknya peristiwa yang menimpa yang lain. Misalnya, arus penumpang yang masuk ke subway hampir tidak ada pengaruhnya. Dan, katakanlah, arus pelanggan yang meninggalkan konter dengan pembelian mereka sudah memiliki efek samping (jika hanya karena interval waktu antara pelanggan individu tidak boleh kurang dari waktu layanan minimum untuk masing-masing pelanggan).

Sebuah aliran peristiwa disebut biasa jika probabilitas memukul interval waktu kecil (dasar) Pada dua atau lebih peristiwa dapat diabaikan dibandingkan dengan denganprobabilitas memukul satu peristiwa. Dengan kata lain, sebuah aliran peristiwa adalah biasa jika peristiwa-peristiwa muncul di dalamnya satu per satu, dan tidak berkelompok. Misalnya, arus kereta yang mendekati stasiun biasa saja, tetapi arus gerbongnya tidak biasa.

Aliran peristiwa disebut yang paling sederhana(atau Poisson stasioner) jika secara simultan stasioner, biasa dan tidak memiliki efek samping. Nama "paling sederhana" dijelaskan oleh fakta bahwa QS dengan aliran paling sederhana memiliki deskripsi matematis yang paling sederhana. Aliran reguler bukanlah yang paling sederhana, karena memiliki efek samping: momen terjadinya peristiwa dalam aliran semacam itu ditetapkan secara kaku.

Aliran paling sederhana sebagai aliran pembatas muncul dalam teori proses acak sama alaminya seperti dalam teori probabilitas, distribusi normal diperoleh sebagai distribusi pembatas untuk jumlah variabel acak: ketika melapiskan (superposisi) sejumlah n independen yang cukup besar , aliran stasioner dan biasa (sebanding satu sama lain dalam intensitas i (i=1,2…p)) aliran mendekati yang paling sederhana dengan intensitas X sama dengan jumlah intensitas aliran masuk, yaitu:

Hukum distribusi binomial:

dengan parameter

Distribusi binomial cenderung ke distribusi Poisson dengan parameter

di mana ekspektasi matematis dari variabel acak sama dengan variansnya:

Secara khusus, peluang bahwa tidak ada peristiwa yang akan terjadi selama waktu t (t = 0) adalah sama dengan

Distribusi yang diberikan oleh densitas probabilitas atau fungsi distribusi adalah eksponensial (eksponensial). Dengan demikian, interval waktu antara dua peristiwa arbitrer yang berdekatan dari aliran paling sederhana memiliki distribusi eksponensial, di mana ekspektasi matematisnya sama dengan standar deviasi variabel acak:

dan sebaliknya sesuai dengan intensitas aliran

Sifat terpenting dari distribusi eksponensial (hanya melekat pada distribusi eksponensial) adalah sebagai berikut: jika interval waktu yang didistribusikan menurut hukum eksponensial telah berlangsung selama beberapa waktu t, maka ini tidak mempengaruhi hukum distribusi bagian yang tersisa. interval (T - t): itu akan sama , serta hukum distribusi seluruh interval T.

Dengan kata lain, untuk selang waktu T antara dua kejadian bertetangga yang berurutan dari suatu aliran yang memiliki distribusi eksponensial, setiap informasi tentang berapa lama selang waktu ini berlalu tidak mempengaruhi distribusi sisanya. Properti hukum eksponensial ini, pada dasarnya, adalah formulasi lain untuk "kurangnya efek samping" - properti utama dari aliran paling sederhana.

Untuk aliran paling sederhana dengan intensitas, probabilitas memukul setidaknya satu peristiwa aliran pada interval waktu dasar (kecil) At sama dengan:

(Rumus perkiraan ini, diperoleh dengan mengganti fungsi dengan hanya dua suku pertama dari ekspansinya menjadi deret pangkat At, semakin akurat, semakin kecil At).

5. Persamaan Kolmogorov. Batasi kemungkinan keadaan

Grafik status proses yang sesuai ditunjukkan pada gambar. untuk tugas. Kita akan mengasumsikan bahwa semua transisi sistem dari keadaan Si ke Sj terjadi di bawah pengaruh aliran peristiwa paling sederhana dengan intensitas (saya , j = 0, 1, 2,3); Jadi, transisi sistem dari keadaan S0 ke S1 akan terjadi di bawah pengaruh aliran kegagalan node pertama, dan transisi terbalik dari status S0 ke S1 akan terjadi di bawah pengaruh aliran "ujung perbaikan" dari node pertama, dll.

Grafik keadaan sistem dengan intensitas yang ditandai pada panah akan disebut berlabel (lihat gambar di atas). Sistem yang dipertimbangkan S memiliki empat kemungkinan status: S0 , S1 S2, S3. Probabilitas keadaan ke-i adalah probabilitas pi(t) bahwa pada saat t sistem akan berada pada keadaan Si. Jelas, untuk setiap saat t, jumlah probabilitas semua keadaan sama dengan satu:

Pertimbangkan sistem pada waktu t dan, dengan memberikan interval kecil At, temukan probabilitas po (t + At) bahwa sistem pada waktu t+At akan berada dalam keadaan S0. Ini dicapai dengan berbagai cara.

1.Sistem pada saat t berada dalam keadaan S0 dengan probabilitas po (t), tetapi tidak meninggalkannya selama waktu At.

Sistem dapat dibawa keluar dari keadaan ini (lihat grafik pada gambar untuk masalah) menggunakan aliran total paling sederhana dengan intensitas , dengan probabilitas kira-kira sama dengan

Dan peluang bahwa sistem tidak akan meninggalkan keadaan S0 sama dengan . Probabilitas bahwa sistem akan berada dalam keadaan S0 dan tidak akan meninggalkannya selama waktu At adalah, menurut teorema perkalian probabilitas:

Pada waktu t, sistem dalam keadaan S1 atau S2 dengan probabilitas p1 (t) (atau p2 (t)) dan dalam waktu At diteruskan ke keadaan

Dengan aliran intensitas sistem akan menuju keadaan Jadi dengan probabilitas kira-kira sama dengan . Probabilitas bahwa sistem akan dalam keadaan Jadi, menurut metode ini sama dengan (atau )

Menerapkan teorema penambahan probabilitas, kita mendapatkan:

Melewati batas di At 0 (persamaan perkiraan menjadi eksak), kami memperoleh turunan di sisi kiri persamaan (mari kita tunjukkan untuk kesederhanaan):

Persamaan diferensial orde pertama diperoleh, yaitu. persamaan yang mengandung fungsi yang tidak diketahui itu sendiri dan turunan orde pertama.

Berdebat sama untuk keadaan lain dari sistem S, kita dapat memperoleh sistem persamaan diferensial Kolmogorov untuk probabilitas keadaan:

Mari kita merumuskan aturan untuk menyusun persamaan Kolmogorov. Di sisi kiri masing-masing adalah turunan dari probabilitas keadaan ke-i. Di sisi kanan - jumlah produk dari probabilitas semua keadaan (dari mana panah menuju ke keadaan ini) dengan intensitas aliran peristiwa yang sesuai dikurangi intensitas total semua aliran yang membawa sistem keluar dari keadaan ini , dikalikan dengan probabilitas yang diberikan (keadaan ke-i

Dalam sistem yang ditunjukkan di atas, jumlah persamaan independen adalah satu kurang dari jumlah total persamaan. Oleh karena itu, untuk menyelesaikan sistem, perlu menambahkan persamaan

Fitur penyelesaian persamaan diferensial secara umum adalah bahwa diperlukan untuk mengatur apa yang disebut kondisi awal, dalam hal ini, probabilitas sistem menyatakan pada saat awal t = 0. sistem dalam keadaan So, yaitu. dalam kondisi awal

Persamaan Kolmogorov memungkinkan untuk menemukan semua probabilitas keadaan sebagai fungsi waktu. Yang menarik adalah probabilitas sistem p saya (t) dalam mode stasioner pembatas, yaitu pada , yang disebut probabilitas keadaan pembatas (final).

Dalam teori proses acak, terbukti bahwa jika jumlah keadaan sistem terbatas dan dari masing-masing keadaan memungkinkan (dalam jumlah langkah yang terbatas) untuk pergi ke keadaan lain, maka ada kemungkinan yang terbatas.

Probabilitas pembatas dari keadaan Si memiliki arti yang jelas: ia menunjukkan waktu relatif rata-rata yang dihabiskan sistem dalam keadaan ini. Misalnya, jika probabilitas marjinal dari negara So, yaitu. p0=0,5, ini berarti bahwa, rata-rata, sistem dalam keadaan S0 separuh waktu.

Karena probabilitas pembatasnya konstan, menggantikan turunannya dalam persamaan Kolmogorov dengan nilai nol, kita memperoleh sistem persamaan aljabar linier yang menggambarkan rezim stasioner.

Proses kematian dan reproduksi

Dalam teori antrian, kelas khusus dari proses acak tersebar luas - yang disebut proses kematian dan reproduksi.Nama ini dikaitkan dengan sejumlah masalah biologis, di mana proses ini berfungsi sebagai model matematis perubahan jumlah populasi biologis.

Pertimbangkan satu set terurut dari status sistem S 0, S1, S2,…, Sk. Transisi dapat dilakukan dari negara bagian mana pun hanya ke negara bagian dengan nomor tetangga, mis. dari keadaan Sk-1, transisi dimungkinkan baik ke keadaan atau ke keadaan S k+11 .

Sesuai dengan aturan untuk menyusun persamaan tersebut (persamaan Kolmogorov), kami memperoleh: untuk keadaan S0

Kesimpulan

Abstrak ini mengungkapkan konsep-konsep yang mengarah pada elemen sistem teori proses antrian acak, yaitu: proses acak, layanan, sistem antrian, sistem antrian.

Referensi

massa acak Markov Kolmogorov

1. N.S. Kremer "Teori Probabilitas dan Statistik Matematika" Unity, Moskow, 2003

Bimbingan Belajar

Butuh bantuan untuk mempelajari suatu topik?

Pakar kami akan memberi saran atau memberikan layanan bimbingan belajar tentang topik yang Anda minati.
Kirim lamaran menunjukkan topik sekarang untuk mencari tahu tentang kemungkinan mendapatkan konsultasi.