Tugas 4.

Salah satu diagonal jajar genjang dengan panjang 4√6 membentuk sudut 60° dengan alasnya, dan diagonal kedua membentuk sudut 45° dengan alas yang sama. Temukan diagonal kedua.

Keputusan.

1. AO = 2√6.

2. Terapkan teorema sinus pada segitiga AOD.

AO/sin D = OD/sin A.

2√6/sin 45 o = OD/sin 60 o.

OD = (2√6sin 60 o) / sin 45 o = (2√6 3/2) / (√2/2) = 2√18/√2 = 6.

Jawaban: 12.

Tugas 5.

Untuk jajar genjang dengan sisi 5√2 dan 7√2, sudut yang lebih kecil antara diagonal-diagonalnya sama dengan sudut yang lebih kecil dari jajaran genjang. Hitunglah jumlah panjang diagonal-diagonalnya.

Keputusan.

Misalkan d 1, d 2 adalah diagonal jajar genjang, dan sudut antara diagonal dan sudut yang lebih kecil dari jajaran genjang adalah φ.

1. Mari kita hitung dua yang berbeda
cara wilayahnya.

S ABCD \u003d AB AD sin A \u003d 5√2 7√2 sin f,

S ABCD \u003d 1/2 AC BD sin AOB \u003d 1/2 d 1 d 2 sin f.

Kita peroleh persamaan 5√2 7√2 sin f = 1/2d 1 d 2 sin f or

2 5√2 7√2 = d 1 d 2 ;

2. Dengan menggunakan perbandingan antara sisi dan diagonal jajar genjang, kita tulis persamaannya

(AB 2 + AD 2) 2 = AC 2 + BD 2.

((5√2) 2 + (7√2) 2) 2 = d 1 2 + d 2 2 .

d 1 2 + d 2 2 = 296.

3. Mari kita membuat sistem:

(d 1 2 + d 2 2 = 296,
(d 1 + d 2 = 140.

Kalikan persamaan kedua dari sistem dengan 2 dan tambahkan ke yang pertama.

Kita peroleh (d 1 + d 2) 2 = 576. Jadi Id 1 + d 2 I = 24.

Karena d 1, d 2 adalah panjang diagonal jajar genjang, maka d 1 + d 2 = 24.

Jawaban: 24.

Tugas 6.

Sisi jajar genjang adalah 4 dan 6. Sudut lancip antara diagonal adalah 45 o. Temukan luas jajaran genjang.

Keputusan.

1. Dari segitiga AOB, dengan menggunakan teorema kosinus, kita tulis hubungan antara sisi jajar genjang dan diagonal-diagonalnya.

AB 2 \u003d AO 2 + VO 2 2 AO VO cos AOB.

4 2 \u003d (d 1/2) 2 + (d 2 / 2) 2 - 2 (d 1/2) (d 2 / 2) cos 45 o;

d 1 2/4 + d 2 2/4 - 2 (d 1/2) (d 2/2)√2/2 = 16.

d 1 2 + d 2 2 - d 1 d 2 2 = 64.

2. Demikian pula, kami menulis hubungan untuk segitiga AOD.

Kami memperhitungkan bahwa<АОD = 135 о и cos 135 о = -cos 45 о = -√2/2.

Kita mendapatkan persamaan d 1 2 + d 2 2 + d 1 d 2 2 = 144.

3. Kami memiliki sistem
(d 1 2 + d 2 2 - d 1 d 2 2 = 64,
(d 1 2 + d 2 2 + d 1 d 2 2 = 144.

Mengurangkan yang pertama dari persamaan kedua, kita mendapatkan 2d 1 d 2 2 = 80 atau

d 1 d 2 = 80/(2√2) = 20√2

4. S ABCD \u003d 1/2 AC BD sin AOB \u003d 1/2 d 1 d 2 sin \u003d 1/2 20√2 2/2 \u003d 10.

Catatan: Dalam masalah ini dan sebelumnya, tidak ada kebutuhan untuk menyelesaikan sistem sepenuhnya, meramalkan bahwa dalam masalah ini kita membutuhkan produk diagonal untuk menghitung luas.

Jawaban: 10.

Tugas 7.

Luas jajar genjang adalah 96 dan sisi-sisinya adalah 8 dan 15. Temukan kuadrat dari diagonal yang lebih kecil.

Keputusan.

1. S ABCD \u003d AB AD sin VAD. Mari kita lakukan substitusi dalam rumus.

Kita mendapatkan 96 = 8 15 sin VAD. Jadi sin VAD = 4/5.

2. Cari cos BURUK. sin 2 VAD + cos 2 VAD = 1.

(4/5) 2 + cos 2 BURUK = 1. cos 2 BURUK = 9/25.

Sesuai dengan kondisi masalah, kami menemukan panjang diagonal yang lebih kecil. BD diagonal akan lebih kecil jika sudut BAD lancip. Maka cos BURUK = 3/5.

3. Dari segitiga ABD, menggunakan teorema kosinus, kita menemukan kuadrat dari diagonal BD.

BD 2 \u003d AB 2 + AD 2 - 2 AB BD cos BURUK.

D 2 \u003d 8 2 + 15 2 - 2 8 15 3 / 5 \u003d 145.

Jawaban: 145.

Apakah Anda memiliki pertanyaan? Tidak tahu bagaimana memecahkan masalah geometri?
Untuk mendapatkan bantuan tutor - daftar.
Pelajaran pertama gratis!

situs, dengan penyalinan materi secara penuh atau sebagian, tautan ke sumber diperlukan.

Genjang adalah segi empat yang sisi-sisinya sejajar berpasangan.

Pada gambar ini, sisi dan sudut yang berhadapan sama besar. Diagonal-diagonal jajar genjang berpotongan di satu titik dan membagi duanya. Rumus area jajar genjang memungkinkan Anda menemukan nilai melalui sisi, tinggi, dan diagonal. Jajar genjang juga dapat direpresentasikan dalam kasus khusus. Mereka dianggap persegi panjang, persegi dan belah ketupat.
Pertama, mari kita pertimbangkan contoh menghitung luas jajaran genjang berdasarkan tinggi dan sisi yang diturunkan.

Kasus ini dianggap klasik dan tidak memerlukan penyelidikan lebih lanjut. Lebih baik mempertimbangkan rumus untuk menghitung luas melalui dua sisi dan sudut di antara mereka. Metode yang sama digunakan dalam perhitungan. Jika sisi dan sudut di antara mereka diberikan, maka luas dihitung sebagai berikut:

Misalkan kita diberi jajar genjang dengan sisi a = 4 cm, b = 6 cm, sudut di antara mereka adalah = 30°. Mari kita cari luasnya:

Luas jajar genjang dalam hal diagonal

Rumus untuk luas jajaran genjang dalam hal diagonal memungkinkan Anda untuk dengan cepat menemukan nilainya.
Untuk perhitungan, Anda memerlukan nilai sudut yang terletak di antara diagonal.

Pertimbangkan contoh menghitung luas jajaran genjang melalui diagonal. Diketahui sebuah jajar genjang dengan diagonal D = 7 cm, d = 5 cm, sudut antara keduanya adalah = 30°. Substitusikan data ke dalam rumus:

Contoh menghitung luas jajaran genjang melalui diagonal memberi kami hasil yang sangat baik - 8,75.

Mengetahui rumus luas jajaran genjang dalam hal diagonal, Anda dapat memecahkan banyak masalah menarik. Mari kita lihat salah satunya.

Tugas: Diberikan jajar genjang dengan luas 92 sq. lihat Titik F terletak di tengah sisi BC. Mari kita cari luas trapesium ADFB, yang terletak di jajaran genjang kita. Untuk memulainya, mari kita menggambar semua yang kita terima sesuai dengan kondisi.
Langsung saja ke solusinya:

Menurut kondisi kami, ah \u003d 92, dan karenanya, luas trapesium kita akan sama dengan

Turunan rumus luas jajar genjang direduksi menjadi membangun persegi panjang yang sama dengan jajar genjang yang diberikan di daerah. Kami mengambil satu sisi jajaran genjang sebagai alasnya, dan garis tegak lurus yang ditarik dari titik mana pun dari sisi yang berlawanan ke garis lurus yang memuat alasnya akan disebut ketinggian jajaran genjang. Maka luas jajaran genjang akan sama dengan produk alas dan tingginya.

Dalil.Luas jajar genjang sama dengan produk alasnya kali tingginya.

Bukti. Pertimbangkan jajaran genjang dengan luas. Mari kita ambil sisi untuk alasnya dan gambar ketinggiannya (Gambar 2.3.1). Hal ini diperlukan untuk membuktikannya.

Gambar 2.3.1

Mari kita buktikan terlebih dahulu bahwa luas persegi panjang juga sama. Trapesium terdiri dari jajar genjang dan segitiga. Di sisi lain, itu terdiri dari NVSK persegi panjang dan segitiga. Tetapi segitiga siku-siku sama besar pada sisi miring dan sudut lancip (sisi miringnya sama dengan sisi yang berlawanan dari jajaran genjang, dan sudut 1 dan 2 sama dengan sudut yang bersesuaian pada perpotongan garis potong sejajar), sehingga luasnya sama. Oleh karena itu, luas jajar genjang dan persegi panjang juga sama, yaitu luas persegi panjang sama. Menurut teorema luas persegi panjang, tetapi karena, maka.

Teorema telah terbukti.

Contoh 2.3.1.

Sebuah lingkaran tertulis dalam belah ketupat dengan sisi dan sudut lancip. Tentukan luas segi empat yang titik sudutnya merupakan titik singgung lingkaran dengan sisi belah ketupat.

Keputusan:

Jari-jari lingkaran yang tertulis dalam belah ketupat (Gambar 2.3.2), karena Segiempat adalah persegi panjang, karena sudutnya didasarkan pada diameter lingkaran. Areanya, di mana (kaki berbaring di sudut),.

Gambar 2.3.2

Jadi,

Menjawab:

Contoh 2.3.2.

Diketahui sebuah belah ketupat yang diagonal-diagonalnya 3 cm dan 4 cm. Tinggi dan ditarik dari titik sudut tumpul Hitung luas segi empat

Keputusan:

Daerah belah ketupat (Gambar 2.3.3).

Jadi,

Menjawab:

Contoh 2.3.3.

Luas segi empat adalah Carilah luas jajar genjang yang sisi-sisinya sama panjang dan sejajar dengan diagonal-diagonal segi empat tersebut.

Keputusan:

Sejak dan (Gambar 2.3.4), maka adalah jajar genjang dan, oleh karena itu,.

Gambar 2.3.4

Demikian pula, kami memperoleh dari mana mengikuti itu.

Menjawab:.

2.4 Luas segitiga

Ada beberapa rumus untuk menghitung luas segitiga. Pertimbangkan yang dipelajari di sekolah.

Rumus pertama mengikuti dari rumus luas jajar genjang dan ditawarkan kepada siswa dalam bentuk teorema.

Dalil.Luas segitiga adalah setengah hasil kali alasnya kali tinggi..

Bukti. Membiarkan menjadi luas segitiga. Ambil sisi alas segitiga dan gambar tingginya. Mari kita buktikan bahwa:

Gambar 2.4.1

Kami akan melengkapi segitiga ke jajaran genjang seperti yang ditunjukkan pada gambar. Segitiga sama di tiga sisi (- sisi yang sama, dan sebagai sisi yang berlawanan dari jajaran genjang), sehingga luasnya sama. Oleh karena itu, luas S segitiga ABC sama dengan setengah luas jajaran genjang, mis.

Teorema telah terbukti.

Penting untuk menarik perhatian siswa pada dua konsekuensi dari teorema ini. Yaitu:

Luas segitiga siku-siku adalah setengah hasil kali kedua kakinya.

Jika tinggi dua segitiga sama, maka luas daerahnya berhubungan sebagai alas.

Kedua akibat wajar ini memainkan peran penting dalam memecahkan berbagai macam masalah. Berdasarkan satu ini, kami membuktikan teorema lain yang banyak digunakan dalam memecahkan masalah.

Dalil. Jika sudut suatu segitiga sama dengan sudut segitiga yang lain, maka luas segitiga tersebut berhubungan sebagai hasil kali sisi-sisi yang memiliki sudut yang sama besar.

Bukti. Membiarkan dan menjadi luas segitiga u yang sudut dan sama.

Gambar 2.4.2

Mari kita buktikan bahwa: .

Mari kita membuat segitiga. pada segitiga sehingga simpulnya sejajar dengan simpulnya, dan sisi-sisinya tumpang tindih, masing-masing, pada sinar.

Gambar 2.4.3

Segitiga dan memiliki ketinggian yang sama, oleh karena itu,. Segitiga juga memiliki ketinggian yang sama - oleh karena itu,. Mengalikan persamaan yang dihasilkan, kita memperoleh .

Teorema telah terbukti.

Formula kedua.Luas segitiga sama dengan setengah produk dari kedua sisinya dan sinus sudut di antara mereka. Ada beberapa cara untuk membuktikan rumus ini, dan saya akan menggunakan salah satunya.

Bukti. Dari geometri, teorema diketahui bahwa luas segitiga sama dengan setengah produk alas dan tingginya diturunkan ke alas ini:

Dalam kasus segitiga lancip. Dalam kasus sudut tumpul. Ho, dan karena itu . Jadi, dalam kedua kasus. Menggantikan dalam rumus geometris untuk luas segitiga, kami memperoleh rumus trigonometri untuk luas segitiga:

Teorema telah terbukti.

rumus ketiga untuk luas segitiga - rumus Heron, dinamai ilmuwan Yunani kuno Heron dari Alexandria, yang hidup pada abad pertama Masehi. Rumus ini memungkinkan Anda untuk menemukan luas segitiga, mengetahui sisi-sisinya. Nyaman karena memungkinkan Anda untuk tidak membuat konstruksi tambahan dan tidak mengukur sudut. Kesimpulannya didasarkan pada rumus luas segitiga kedua yang telah kita pertimbangkan dan teorema kosinus: dan.

Sebelum melanjutkan ke implementasi rencana ini, kami mencatat bahwa

Demikian pula, kami memiliki:

Sekarang kita nyatakan kosinus melalui dan:

Karena setiap sudut dalam segitiga lebih besar atau lebih kecil, maka. Cara, .

Sekarang kita secara terpisah mengubah masing-masing faktor dalam ekspresi radikal. Kita punya:

Mengganti ekspresi ini ke dalam rumus luas, kita mendapatkan:

Topik "Luas segitiga" sangat penting dalam kursus matematika sekolah. Segitiga adalah bentuk geometris yang paling sederhana. Ini adalah "elemen struktural" dari geometri sekolah. Sebagian besar masalah geometris datang untuk memecahkan segitiga. Masalah mencari luas n-gon beraturan dan arbitrer tidak terkecuali.

Contoh 2.4.1.

Berapa luas segitiga sama kaki jika alas dan sisinya?

Keputusan:

-sama kaki,

Gambar 2.4.4

Mari kita menggambar pada properti segitiga sama kaki - median dan tinggi. Kemudian

Menurut teorema Pythagoras:

Mencari luas segitiga:

Menjawab:

Contoh 2.4.2.

Pada segitiga siku-siku, garis bagi suatu sudut lancip membagi kaki yang berhadapan menjadi ruas-ruas dengan panjang 4 dan 5 cm. Tentukan luas segitiga tersebut.

Keputusan:

Biarkan (Gambar 2.4.5). Kemudian (karena BD adalah garis bagi). Oleh karena itu kita memiliki , yaitu Cara,

Gambar 2.4.5

Menjawab:

Contoh 2.4.3.

Temukan luas segitiga sama kaki jika alasnya sama dengan , dan panjang tinggi yang ditarik ke alasnya sama dengan panjang ruas yang menghubungkan titik tengah alas dan sisinya.

Keputusan:

Dengan syarat, - garis tengah (Gambar 2.4.6). Sejak wemeem:

atau , dari mana Oleh karena itu,

Sebelum kita mempelajari cara mencari luas jajar genjang, kita perlu mengingat apa itu jajar genjang dan apa yang disebut tingginya. Jajar genjang adalah segi empat yang sisi-sisinya berhadapan sejajar (berbaring pada garis sejajar). Garis tegak lurus yang ditarik dari suatu titik sembarang pada sisi yang berlawanan ke garis yang memuat sisi ini disebut tinggi jajar genjang.

Persegi, persegi panjang dan belah ketupat adalah kasus khusus jajaran genjang.

Luas jajar genjang dilambangkan sebagai (S).

Rumus untuk mencari luas jajar genjang

S=a*h, di mana a adalah alas, h adalah tinggi yang ditarik ke alas.

S=a*b*sinα, dengan a dan b adalah alasnya, dan adalah sudut antara alas a dan b.

S \u003d p * r, di mana p adalah setengah keliling, r adalah jari-jari lingkaran yang tertulis dalam jajaran genjang.

Luas jajar genjang yang dibentuk oleh vektor a dan b sama dengan modulus hasil kali vektor-vektor tersebut, yaitu:

Perhatikan Contoh No 1 Diberikan sebuah jajar genjang yang panjang sisinya 7 cm dan tingginya 3 cm Cara mencari luas jajar genjang kita membutuhkan rumus penyelesaiannya.

Jadi S = 7x3. S=21. Jawab: 21cm2.

Perhatikan contoh no. 2: alasnya adalah 6 dan 7 cm, dan sudut antara alasnya adalah 60 derajat. Bagaimana cara mencari luas jajar genjang? Rumus yang digunakan untuk menyelesaikan:

Jadi, pertama kita cari sinus sudutnya. Sinus 60 \u003d 0,5, masing-masing S \u003d 6 * 7 * 0,5 \u003d 21 Jawaban: 21 cm 2.

Saya harap contoh-contoh ini akan membantu Anda dalam memecahkan masalah. Dan ingat, yang utama adalah pengetahuan tentang formula dan perhatian