Penyebut terkecil digunakan untuk menyederhanakan persamaan ini. Metode ini digunakan ketika Anda tidak dapat menulis persamaan yang diberikan dengan satu ekspresi rasional di setiap sisi persamaan (dan menggunakan metode perkalian silang). Metode ini digunakan ketika Anda diberikan persamaan rasional dengan 3 atau lebih pecahan (dalam kasus dua pecahan, perkalian silang lebih baik).

Temukan penyebut persekutuan terkecil (atau kelipatan persekutuan terkecil). NOZ adalah bilangan terkecil yang habis dibagi rata oleh setiap penyebutnya.

• Terkadang NOZ adalah angka yang jelas. Misalnya, jika persamaan diberikan: x/3 + 1/2 = (3x + 1)/6, maka jelas bahwa kelipatan persekutuan terkecil dari angka 3, 2 dan 6 adalah 6.
• Jika NOD tidak jelas, tuliskan kelipatan penyebut terbesar dan temukan di antara mereka yang juga merupakan kelipatan dari penyebut lainnya. Anda sering dapat menemukan NOD hanya dengan mengalikan dua penyebut. Misalnya, jika diberikan persamaan x/8 + 2/6 = (x - 3)/9, maka NOZ = 8*9 = 72.
• Jika satu atau lebih penyebut berisi variabel, maka prosesnya agak lebih rumit (tetapi bukan tidak mungkin). Dalam hal ini, NOZ adalah ekspresi (berisi variabel) yang habis dibagi oleh setiap penyebut. Misalnya, dalam persamaan 5/(x-1) = 1/x + 2/(3x) NOZ = 3x(x-1), karena persamaan ini habis dibagi setiap penyebutnya: 3x(x-1)/(x -1 ) = 3x; 3x(x-1)/3x = (x-1); 3x(x-1)/x = 3(x-1).

Kalikan pembilang dan penyebut setiap pecahan dengan angka yang sama dengan hasil pembagian NOZ dengan penyebut yang sesuai dari setiap pecahan. Karena Anda mengalikan pembilang dan penyebut dengan angka yang sama, Anda secara efektif mengalikan pecahan dengan 1 (misalnya, 2/2 = 1 atau 3/3 = 1).

• Jadi dalam contoh kita, kalikan x/3 dengan 2/2 untuk mendapatkan 2x/6, dan kalikan 1/2 dengan 3/3 untuk mendapatkan 3/6 (3x + 1/6 tidak perlu dikalikan karena penyebutnya adalah 6).
• Lanjutkan dengan cara yang sama ketika variabel dalam penyebut. Dalam contoh kedua kita NOZ = 3x(x-1), jadi 5/(x-1) kali (3x)/(3x) adalah 5(3x)/(3x)(x-1); 1/x kali 3(x-1)/3(x-1) untuk mendapatkan 3(x-1)/3x(x-1); 2/(3x) kalikan dengan (x-1)/(x-1) dan Anda mendapatkan 2(x-1)/3x(x-1).

Temukan x. Sekarang setelah Anda mengurangi pecahan menjadi penyebut yang sama, Anda dapat menghilangkan penyebutnya. Untuk melakukannya, kalikan setiap ruas persamaan dengan penyebut yang sama. Kemudian selesaikan persamaan yang dihasilkan, yaitu, temukan "x". Untuk melakukan ini, isolasi variabel di satu sisi persamaan.

• Dalam contoh kita: 2x/6 + 3/6 = (3x +1)/6. Anda dapat menjumlahkan 2 pecahan dengan penyebut yang sama, jadi tulis persamaannya sebagai: (2x+3)/6=(3x+1)/6. Kalikan kedua ruas persamaan dengan 6 dan hilangkan penyebutnya: 2x+3 = 3x +1. Selesaikan dan dapatkan x = 2.
• Dalam contoh kedua kami (dengan variabel dalam penyebut), persamaannya terlihat seperti (setelah dikurangi menjadi penyebut yang sama): 5(3x)/(3x)(x-1) = 3(x-1)/3x(x -1) + 2 (x-1)/3x(x-1). Dengan mengalikan kedua ruas persamaan dengan NOZ, Anda menghilangkan penyebutnya dan mendapatkan: 5(3x) = 3(x-1) + 2(x-1), atau 15x = 3x - 3 + 2x -2, atau 15x = x - 5 Selesaikan dan dapatkan: x = -5/14.

Penggunaan persamaan tersebar luas dalam kehidupan kita. Mereka digunakan dalam banyak perhitungan, konstruksi struktur dan bahkan olahraga. Persamaan telah digunakan oleh manusia sejak zaman kuno dan sejak itu penggunaannya hanya meningkat. Di kelas 5, siswa dalam pelajaran matematika cukup banyak mempelajari topik baru, salah satunya adalah persamaan pecahan. Bagi banyak orang, ini adalah topik yang agak rumit yang harus dipahami oleh orang tua, dan jika orang tua lupa matematika, mereka selalu dapat menggunakan program online yang menyelesaikan persamaan. Jadi, dengan menggunakan contoh, Anda dapat dengan cepat memahami algoritme untuk menyelesaikan persamaan dengan pecahan dan membantu anak Anda.

Di bawah ini, untuk kejelasan, kami akan memecahkan persamaan linier fraksional sederhana dari bentuk berikut:

\[\frac(x-2)(3) - \frac(3x)(2)=5\]

Untuk menyelesaikan persamaan semacam ini, perlu untuk menentukan NOZ dan mengalikan ruas kiri dan kanan persamaan dengannya:

\[\frac(x-2)(3) - \frac(3x)(2)=5\]

Ini akan memberi kita persamaan linier sederhana karena penyebut yang sama serta penyebut dari setiap suku pecahan membatalkan:

Mari pindahkan suku-suku dari yang tidak diketahui ke sisi kiri:

Mari kita bagi bagian kiri dan kanan dengan -7:

Dari hasil yang diperoleh, dapat dibedakan bagian bilangan bulat yang merupakan hasil akhir dari penyelesaian persamaan pecahan ini:

Di mana saya bisa menyelesaikan persamaan dengan pecahan online?

Anda dapat menyelesaikan persamaan di situs web kami https: // situs. Pemecah online gratis akan memungkinkan Anda untuk menyelesaikan persamaan online dengan kerumitan apa pun dalam hitungan detik. Yang harus Anda lakukan hanyalah memasukkan data Anda ke dalam solver. Anda juga dapat menonton instruksi video dan mempelajari cara menyelesaikan persamaan di situs web kami. Dan jika Anda memiliki pertanyaan, Anda dapat menanyakannya di grup Vkontakte kami http://vk.com/pocketteacher. Bergabunglah dengan grup kami, kami selalu senang membantu Anda.

Lampiran

Solusi dari semua jenis persamaan online ke situs untuk mengkonsolidasikan materi yang dipelajari oleh siswa dan anak sekolah Memecahkan persamaan online. Persamaan online. Ada aljabar, parametrik, transendental, fungsional, diferensial dan jenis persamaan lainnya.Beberapa kelas persamaan memiliki solusi analitik, yang nyaman karena tidak hanya memberikan nilai akar yang tepat, tetapi memungkinkan Anda untuk menulis solusi dalam bentuk bentuk formula yang mungkin menyertakan parameter. Ekspresi analitik memungkinkan tidak hanya untuk menghitung akar, tetapi untuk menganalisis keberadaan dan jumlahnya tergantung pada nilai parameter, yang seringkali bahkan lebih penting untuk penggunaan praktis daripada nilai spesifik akar. Solusi persamaan online Persamaan online. Solusi persamaan adalah tugas untuk menemukan nilai-nilai argumen yang mencapai kesetaraan ini. Kondisi tambahan (bilangan bulat, nyata, dll.) Dapat dikenakan pada nilai yang mungkin dari argumen. Solusi persamaan online Persamaan online. Anda dapat menyelesaikan persamaan secara online secara instan dan dengan akurasi tinggi dari hasilnya. Argumen dari fungsi yang diberikan (kadang-kadang disebut "variabel") dalam kasus persamaan disebut "tidak diketahui". Nilai-nilai yang tidak diketahui yang persamaan ini dicapai disebut solusi atau akar dari persamaan yang diberikan. Akar dikatakan memenuhi persamaan yang diberikan. Memecahkan persamaan online berarti menemukan himpunan semua solusinya (akar) atau membuktikan bahwa tidak ada akar. Solusi persamaan online Persamaan online. Setara atau setara disebut persamaan, himpunan akar-akarnya bertepatan. Setara juga dianggap persamaan yang tidak memiliki akar. Persamaan persamaan memiliki sifat simetri: jika satu persamaan setara dengan yang lain, maka persamaan kedua setara dengan yang pertama. Persamaan persamaan memiliki sifat transitivitas: jika satu persamaan setara dengan yang lain, dan yang kedua setara dengan yang ketiga, maka persamaan pertama setara dengan yang ketiga. Properti kesetaraan persamaan memungkinkan untuk melakukan transformasi dengan mereka, yang menjadi dasar metode untuk menyelesaikannya. Solusi persamaan online Persamaan online. Situs ini akan memungkinkan Anda untuk menyelesaikan persamaan secara online. Persamaan yang solusi analitiknya diketahui meliputi persamaan aljabar, tidak lebih tinggi dari derajat keempat: persamaan linier, persamaan kuadrat, persamaan kubik, dan persamaan derajat keempat. Persamaan aljabar dengan derajat yang lebih tinggi umumnya tidak memiliki solusi analitik, meskipun beberapa di antaranya dapat direduksi menjadi persamaan dengan derajat yang lebih rendah. Persamaan yang mencakup fungsi transendental disebut transendental. Di antara mereka, solusi analitik dikenal untuk beberapa persamaan trigonometri, karena nol dari fungsi trigonometri diketahui dengan baik. Dalam kasus umum, ketika solusi analitik tidak dapat ditemukan, metode numerik digunakan. Metode numerik tidak memberikan solusi yang tepat, tetapi hanya memungkinkan mempersempit interval di mana akar terletak pada nilai tertentu yang telah ditentukan. Memecahkan persamaan online.. Persamaan online.. Alih-alih persamaan online, kami akan menyajikan bagaimana ekspresi yang sama membentuk ketergantungan linier, dan tidak hanya sepanjang garis singgung lurus, tetapi juga pada titik belok dari grafik. Metode ini sangat diperlukan setiap saat dalam mempelajari pokok bahasan. Sering terjadi bahwa solusi persamaan mendekati nilai akhir melalui bilangan tak hingga dan penulisan vektor. Penting untuk memeriksa data awal dan ini adalah inti dari tugas. Jika tidak, kondisi lokal diubah menjadi formula. Pembalikan garis lurus dari fungsi tertentu, yang akan dihitung oleh kalkulator persamaan tanpa banyak penundaan dalam eksekusi, akan diimbangi oleh hak istimewa ruang. Ini akan menjadi tentang kinerja siswa dalam lingkungan ilmiah. Namun, seperti semua hal di atas, ini akan membantu kami dalam proses menemukan, dan ketika Anda menyelesaikan persamaan sepenuhnya, maka simpan jawaban yang dihasilkan di ujung segmen garis lurus. Garis-garis dalam ruang berpotongan di suatu titik, dan titik ini disebut berpotongan dengan garis. Interval pada garis ditandai seperti yang diberikan sebelumnya. Postingan tertinggi tentang studi matematika akan dipublikasikan. Menetapkan nilai argumen dari permukaan yang ditentukan secara parametrik dan menyelesaikan persamaan secara online akan dapat menunjukkan prinsip-prinsip panggilan produktif ke suatu fungsi. Strip Möbius, atau seperti yang disebut tak terhingga, terlihat seperti angka delapan. Ini adalah permukaan satu sisi, bukan dua sisi. Menurut prinsip yang diketahui semua orang, kita akan secara objektif menerima persamaan linier sebagai sebutan dasar sebagaimana adanya di bidang studi. Hanya dua nilai dari argumen yang diberikan secara berurutan yang dapat mengungkapkan arah vektor. Mengasumsikan bahwa solusi yang berbeda dari persamaan online lebih dari sekedar menyelesaikannya berarti memperoleh versi lengkap dari invarian pada output. Tanpa pendekatan terpadu, sulit bagi siswa untuk mempelajari materi ini. Seperti sebelumnya, untuk setiap kasus khusus, kalkulator persamaan online kami yang nyaman dan cerdas akan membantu semua orang di saat yang sulit, karena Anda hanya perlu menentukan parameter input dan sistem akan menghitung jawabannya sendiri. Sebelum kita mulai memasukkan data, kita memerlukan alat input, yang dapat dilakukan tanpa banyak kesulitan. Jumlah setiap skor respons akan menjadi persamaan kuadrat yang mengarah pada kesimpulan kami, tetapi ini tidak mudah dilakukan, karena mudah untuk membuktikan sebaliknya. Teori, karena kekhasannya, tidak didukung oleh pengetahuan praktis. Untuk melihat kalkulator pecahan pada tahap penerbitan jawaban bukanlah tugas yang mudah dalam matematika, karena alternatif penulisan angka pada himpunan meningkatkan pertumbuhan fungsi. Namun, tidak benar untuk tidak mengatakan tentang pelatihan siswa, jadi kami akan mengungkapkan masing-masing sebanyak yang perlu dilakukan. Persamaan kubik yang ditemukan sebelumnya akan menjadi milik domain definisi, dan berisi ruang nilai numerik, serta variabel simbolis. Setelah mempelajari atau menghafal teorema, siswa kami akan menunjukkan diri mereka hanya dari sisi terbaik, dan kami akan senang untuk mereka. Berbeda dengan himpunan persimpangan bidang, persamaan online kami dijelaskan oleh bidang gerak sepanjang perkalian dua dan tiga garis gabungan numerik. Himpunan dalam matematika tidak didefinisikan secara unik. Solusi terbaik, menurut siswa, adalah ekspresi tertulis yang diselesaikan sampai akhir. Seperti yang dikatakan dalam bahasa ilmiah, abstraksi ekspresi simbolik tidak termasuk dalam keadaan, tetapi solusi persamaan memberikan hasil yang tidak ambigu dalam semua kasus yang diketahui. Durasi sesi guru didasarkan pada kebutuhan dalam penawaran ini. Analisis menunjukkan perlunya semua teknik komputasi di banyak bidang, dan sangat jelas bahwa kalkulator persamaan adalah alat yang sangat diperlukan di tangan siswa yang berbakat. Pendekatan setia untuk studi matematika menentukan pentingnya pandangan dari arah yang berbeda. Anda ingin menetapkan salah satu teorema kunci dan memecahkan persamaan sedemikian rupa, tergantung pada jawabannya yang akan membutuhkan penerapan lebih lanjut. Analisis di area ini mendapatkan momentum. Mari kita mulai dari awal dan mendapatkan rumusnya. Setelah menembus tingkat kenaikan fungsi, garis singgung pada titik belok tentu akan mengarah pada fakta bahwa penyelesaian persamaan online akan menjadi salah satu aspek utama dalam membangun grafik yang sama dari argumen fungsi. Pendekatan amatir berhak diterapkan jika kondisi ini tidak bertentangan dengan kesimpulan siswa. Ini adalah subtugas yang menempatkan analisis kondisi matematika sebagai persamaan linier dalam domain yang ada dari definisi objek yang dibawa ke latar belakang. Offsetting ke arah ortogonalitas membatalkan keuntungan dari nilai mutlak tunggal. Modulo, menyelesaikan persamaan secara online memberikan jumlah solusi yang sama, jika Anda membuka tanda kurung terlebih dahulu dengan tanda plus, lalu dengan tanda minus. Dalam hal ini, ada dua kali lebih banyak solusi, dan hasilnya akan lebih akurat. Kalkulator persamaan online yang stabil dan benar adalah keberhasilan dalam mencapai tujuan yang diinginkan dalam tugas yang ditetapkan oleh guru. Tampaknya mungkin untuk memilih metode yang diperlukan karena perbedaan yang signifikan dalam pandangan para ilmuwan besar. Persamaan kuadrat yang dihasilkan menggambarkan kurva garis, yang disebut parabola, dan tandanya akan menentukan kecembungannya dalam sistem koordinat kuadrat. Dari persamaan kita memperoleh diskriminan dan akar-akarnya sendiri menurut teorema Vieta. Hal ini diperlukan untuk menyajikan ekspresi sebagai pecahan wajar atau tidak wajar dan menggunakan kalkulator pecahan pada tahap pertama. Bergantung pada ini, rencana untuk perhitungan kami selanjutnya akan dibentuk. Matematika dengan pendekatan teoritis berguna pada setiap tahap. Kami pasti akan menyajikan hasilnya sebagai persamaan kubik, karena kami akan menyembunyikan akarnya dalam ekspresi ini untuk menyederhanakan tugas mahasiswa di universitas. Metode apa pun baik jika cocok untuk analisis dangkal. Operasi aritmatika ekstra tidak akan menyebabkan kesalahan perhitungan. Tentukan jawabannya dengan ketelitian tertentu. Menggunakan solusi persamaan, mari kita hadapi itu - menemukan variabel independen dari fungsi yang diberikan tidak begitu mudah, terutama ketika mempelajari garis paralel di tak terhingga. Mengingat pengecualian, kebutuhannya sangat jelas. Perbedaan polaritas tidak ambigu. Dari pengalaman mengajar di institut, guru kami mempelajari pelajaran utama, di mana persamaan dipelajari secara online dalam arti matematika penuh. Ini tentang upaya yang lebih tinggi dan keterampilan khusus dalam penerapan teori. Untuk mendukung kesimpulan kami, orang tidak boleh melihat melalui prisma. Sampai baru-baru ini, diyakini bahwa himpunan tertutup tumbuh dengan cepat di atas area seperti itu, dan solusi persamaan hanya perlu diselidiki. Pada tahap pertama, kami tidak mempertimbangkan semua opsi yang memungkinkan, tetapi pendekatan ini lebih dibenarkan daripada sebelumnya. Tindakan ekstra dengan tanda kurung membenarkan beberapa kemajuan di sepanjang sumbu ordinat dan absis, yang tidak dapat diabaikan dengan mata telanjang. Ada titik belok dalam arti peningkatan proporsional yang luas dari suatu fungsi. Sekali lagi, kami akan membuktikan bagaimana kondisi yang diperlukan akan diterapkan pada seluruh interval penurunan satu atau lain posisi turun vektor. Di ruang terbatas, kami akan memilih variabel dari blok awal skrip kami. Sistem yang dibangun sebagai dasar pada tiga vektor bertanggung jawab atas tidak adanya momen gaya utama. Namun, kalkulator persamaan menyimpulkan dan membantu dalam menemukan semua istilah persamaan yang dibangun, baik di atas permukaan maupun di sepanjang garis paralel. Mari kita gambarkan sebuah lingkaran di sekitar titik awal. Dengan demikian, kita akan mulai bergerak ke atas di sepanjang garis bagian, dan garis singgung akan menggambarkan lingkaran di sepanjang panjangnya, sebagai hasilnya kita akan mendapatkan kurva, yang disebut involute. Omong-omong, mari kita bicara tentang kurva ini sedikit sejarah. Faktanya adalah bahwa secara historis dalam matematika tidak ada konsep matematika itu sendiri dalam arti yang murni seperti sekarang ini. Sebelumnya, semua ilmuwan terlibat dalam satu hal yang sama, yaitu sains. Kemudian, beberapa abad kemudian, ketika dunia ilmiah dipenuhi dengan sejumlah besar informasi, umat manusia tetap memilih banyak disiplin ilmu. Mereka masih tetap tidak berubah. Namun, setiap tahun, para ilmuwan di seluruh dunia mencoba membuktikan bahwa sains tidak terbatas, dan Anda tidak dapat memecahkan persamaan kecuali Anda memiliki pengetahuan tentang ilmu alam. Mungkin tidak mungkin untuk akhirnya mengakhirinya. Memikirkannya sama tidak bergunanya dengan menghangatkan udara di luar. Mari kita cari interval di mana argumen, dengan nilai positifnya, menentukan modulus nilai dalam arah yang meningkat tajam. Reaksi akan membantu untuk menemukan setidaknya tiga solusi, tetapi perlu untuk memeriksanya. Mari kita mulai dengan fakta bahwa kita perlu menyelesaikan persamaan secara online menggunakan layanan unik dari situs web kita. Mari masukkan kedua bagian persamaan yang diberikan, tekan tombol "SOLVE" dan dapatkan jawaban yang tepat hanya dalam beberapa detik. Dalam kasus khusus, kami akan mengambil buku tentang matematika dan memeriksa ulang jawaban kami, yaitu, kami hanya akan melihat jawabannya dan semuanya akan menjadi jelas. Proyek yang sama akan terbang pada paralelepiped redundan buatan. Ada jajaran genjang dengan sisi sejajarnya, dan itu menjelaskan banyak prinsip dan pendekatan untuk mempelajari hubungan spasial dari proses menaik akumulasi ruang hampa dalam formula bentuk alami. Persamaan linier ambigu menunjukkan ketergantungan variabel yang diinginkan pada solusi umum kita saat ini, dan itu perlu entah bagaimana menurunkan dan mengurangi fraksi yang tidak tepat menjadi kasus non-sepele. Kami menandai sepuluh titik pada garis lurus dan menggambar kurva melalui setiap titik dalam arah tertentu, dan dengan cembung ke atas. Tanpa banyak kesulitan, kalkulator persamaan kami akan menyajikan ekspresi dalam bentuk sedemikian rupa sehingga pemeriksaan validitas aturan akan terlihat jelas bahkan pada awal perekaman. Sistem representasi khusus stabilitas untuk matematikawan di tempat pertama, kecuali ditentukan lain oleh rumus. Kami akan menjawab ini dengan presentasi terperinci dari laporan tentang keadaan isomorfik dari sistem benda plastis dan solusi persamaan online akan menjelaskan pergerakan setiap titik material dalam sistem ini. Pada tingkat studi mendalam, perlu untuk mengklarifikasi secara rinci pertanyaan tentang inversi setidaknya pada lapisan ruang bawah. Dalam urutan menaik pada bagian diskontinuitas fungsi, kami akan menerapkan metode umum seorang peneliti yang sangat baik, omong-omong, rekan senegara kami, dan kami akan memberi tahu di bawah tentang perilaku pesawat. Karena karakteristik kuat dari fungsi yang diberikan secara analitis, kami hanya menggunakan kalkulator persamaan online untuk tujuan yang dimaksudkan dalam batas otoritas yang diturunkan. Berdebat lebih jauh, kami menghentikan ulasan kami tentang homogenitas persamaan itu sendiri, yaitu, sisi kanannya disamakan dengan nol. Sekali lagi, kami akan memverifikasi kebenaran keputusan kami dalam matematika. Untuk menghindari mendapatkan solusi yang sepele, kami akan membuat beberapa penyesuaian pada kondisi awal untuk masalah stabilitas kondisional sistem. Mari kita buat persamaan kuadrat, di mana kita menulis dua entri menggunakan rumus terkenal dan menemukan akar negatif. Jika satu akar melebihi akar kedua dan ketiga sebanyak lima unit, maka dengan membuat perubahan pada argumen utama, dengan demikian kami mendistorsi kondisi awal submasalah. Pada intinya, sesuatu yang tidak biasa dalam matematika selalu dapat dideskripsikan ke seperseratus terdekat dari bilangan positif. Kalkulator pecahan beberapa kali lebih unggul dari rekan-rekannya pada sumber daya serupa pada saat terbaik dari beban server. Pada permukaan vektor kecepatan yang tumbuh di sepanjang sumbu y, kami menggambar tujuh garis yang ditekuk dalam arah yang berlawanan satu sama lain. Kesamaan argumen fungsi yang ditetapkan memimpin penghitung saldo pemulihan. Dalam matematika, fenomena ini dapat direpresentasikan melalui persamaan kubik dengan koefisien imajiner, serta dalam kemajuan bipolar dari garis menurun. Titik kritis dari perbedaan suhu dalam banyak arti dan kemajuannya menggambarkan proses pemfaktoran fungsi pecahan yang kompleks. Jika Anda disuruh menyelesaikan persamaan, jangan terburu-buru melakukannya saat ini juga, pasti pertama-tama evaluasi seluruh rencana tindakan, dan baru kemudian ambil pendekatan yang tepat. Pasti akan ada manfaatnya. Kemudahan dalam bekerja sudah jelas, dan dalam matematika juga sama. Selesaikan persamaan secara online. Semua persamaan online adalah jenis catatan angka atau parameter tertentu dan variabel yang perlu didefinisikan. Hitung variabel ini, yaitu, temukan nilai atau interval spesifik dari serangkaian nilai yang akan dipenuhi identitasnya. Kondisi awal dan akhir secara langsung tergantung. Sebagai aturan, solusi umum persamaan mencakup beberapa variabel dan konstanta, dengan menetapkan yang mana, kita akan memperoleh seluruh keluarga solusi untuk pernyataan masalah yang diberikan. Secara umum, ini membenarkan upaya yang diinvestasikan ke arah peningkatan fungsionalitas kubus spasial dengan sisi yang sama dengan 100 sentimeter. Anda dapat menerapkan teorema atau lemma pada setiap tahap menyusun jawaban. Situs secara bertahap mengeluarkan kalkulator persamaan, jika perlu, tunjukkan nilai terkecil pada interval penjumlahan produk apa pun. Dalam setengah kasus, bola seperti bola berongga tidak memenuhi persyaratan untuk menetapkan jawaban menengah ke tingkat yang lebih tinggi. Setidaknya pada sumbu y ke arah penurunan representasi vektor, proporsi ini niscaya akan lebih optimal dari ekspresi sebelumnya. Pada saat analisis titik penuh dilakukan pada fungsi linier, kita sebenarnya akan mengumpulkan semua bilangan kompleks dan ruang bidang bipolar. Dengan mengganti variabel ke dalam ekspresi yang dihasilkan, Anda akan menyelesaikan persamaan secara bertahap dan memberikan jawaban paling detail dengan akurasi tinggi. Sekali lagi, memeriksa tindakan Anda dalam matematika akan menjadi bentuk yang baik di pihak siswa. Proporsi dalam rasio pecahan memperbaiki integritas hasil di semua bidang aktivitas penting dari vektor nol. Trivialitas dikonfirmasi pada akhir tindakan yang dilakukan. Dengan kumpulan tugas yang sederhana, siswa tidak akan mengalami kesulitan jika mereka menyelesaikan persamaan secara online dalam periode waktu sesingkat mungkin, tetapi jangan lupakan semua jenis aturan. Himpunan himpunan bagian berpotongan di area notasi konvergen. Dalam kasus yang berbeda, produk tidak salah memfaktorkan. Anda akan dibantu untuk menyelesaikan persamaan secara online di bagian pertama kami tentang dasar-dasar teknik matematika untuk bagian penting bagi siswa di universitas dan perguruan tinggi. Menjawab contoh tidak akan membuat kita menunggu selama beberapa hari, karena proses interaksi terbaik dari analisis vektor dengan pencarian solusi berurutan telah dipatenkan pada awal abad terakhir. Ternyata upaya untuk terhubung dengan tim di sekitarnya tidak sia-sia, ada hal lain yang jelas terlambat. Beberapa generasi kemudian, para ilmuwan di seluruh dunia digiring untuk meyakini bahwa matematika adalah ratunya ilmu pengetahuan. Apakah itu jawaban kiri atau jawaban yang benar, istilah lengkapnya harus ditulis dalam tiga baris, karena dalam kasus kami, kami hanya akan berbicara dengan jelas hanya tentang analisis vektor dari sifat-sifat matriks. Persamaan nonlinier dan linier, bersama dengan persamaan biquadratic, telah mengambil tempat khusus dalam buku kami tentang metode terbaik untuk menghitung lintasan gerak dalam ruang semua titik material dari sistem tertutup. Analisis linier dari produk skalar dari tiga vektor berturut-turut akan membantu kita mewujudkan ide tersebut. Di akhir setiap pengaturan, tugas menjadi lebih mudah dengan memperkenalkan pengecualian numerik yang dioptimalkan ke dalam konteks hamparan ruang numerik yang sedang dilakukan. Penilaian lain tidak akan menentang jawaban yang ditemukan dalam bentuk sembarang segitiga dalam lingkaran. Sudut antara dua vektor mengandung persentase margin yang diperlukan dan penyelesaian persamaan secara online sering kali mengungkapkan beberapa akar persamaan yang berlawanan dengan kondisi awal. Pengecualian memainkan peran katalis dalam seluruh proses yang tak terelakkan untuk menemukan solusi positif di bidang definisi fungsi. Jika tidak dikatakan bahwa Anda tidak dapat menggunakan komputer, maka kalkulator persamaan online tepat untuk tugas-tugas sulit Anda. Cukup dengan memasukkan data bersyarat Anda dalam format yang benar dan server kami akan mengeluarkan respons lengkap yang dihasilkan dalam waktu sesingkat mungkin. Fungsi eksponensial tumbuh jauh lebih cepat daripada fungsi linier. Hal ini dibuktikan dengan Talmuds dari literatur perpustakaan yang cerdas. Akan melakukan perhitungan dalam pengertian umum, seperti yang akan dilakukan oleh persamaan kuadrat dengan tiga koefisien kompleks. Parabola di bagian atas setengah bidang mencirikan gerakan paralel bujursangkar di sepanjang sumbu titik. Di sini perlu disebutkan perbedaan potensial dalam ruang kerja tubuh. Sebagai imbalan untuk hasil yang kurang optimal, kalkulator pecahan kami berhak menempati posisi pertama dalam peringkat matematis dari tinjauan program fungsional di bagian belakang. Kemudahan penggunaan layanan ini akan dihargai oleh jutaan pengguna Internet. Jika Anda tidak tahu cara menggunakannya, kami akan dengan senang hati membantu Anda. Kami juga ingin menyoroti dan menyoroti persamaan kubik dari sejumlah tugas anak sekolah dasar, ketika Anda perlu dengan cepat menemukan akarnya dan memplot grafik fungsi pada bidang. Tingkat reproduksi tertinggi adalah salah satu masalah matematika paling sulit di institut, dan jumlah jam yang cukup dialokasikan untuk studinya. Seperti semua persamaan linier, persamaan kita tidak terkecuali untuk banyak aturan objektif, lihat dari sudut pandang yang berbeda, dan itu akan menjadi sederhana dan cukup untuk menetapkan kondisi awal. Interval kenaikan bertepatan dengan interval konveksitas fungsi. Solusi persamaan online. Studi teori didasarkan pada persamaan online dari berbagai bagian pada studi disiplin utama. Dalam kasus pendekatan seperti itu dalam masalah yang tidak pasti, sangat mudah untuk menyajikan solusi persamaan dalam bentuk yang telah ditentukan dan tidak hanya menarik kesimpulan, tetapi juga memprediksi hasil dari solusi positif tersebut. Layanan ini akan membantu kita untuk mempelajari bidang studi dalam tradisi matematika terbaik, seperti yang biasa dilakukan di Timur. Pada saat-saat terbaik dari interval waktu, tugas serupa dikalikan dengan pengganda umum sepuluh kali. Dengan banyaknya perkalian beberapa variabel dalam kalkulator persamaan, itu mulai mengalikan dengan kualitas, dan bukan dengan variabel kuantitatif, nilai-nilai seperti massa atau berat badan. Untuk menghindari kasus ketidakseimbangan sistem material, sangat jelas bagi kita penurunan konverter tiga dimensi pada konvergensi sepele matriks matematika non-degenerasi. Selesaikan tugas dan selesaikan persamaan dalam koordinat yang diberikan, karena output tidak diketahui sebelumnya, serta semua variabel yang termasuk dalam waktu pasca-ruang tidak diketahui. Untuk waktu yang singkat, dorong faktor persekutuan keluar dari tanda kurung dan bagi dengan pembagi persekutuan terbesar dari kedua bagian sebelumnya. Dari bawah subset angka tertutup yang dihasilkan, ekstrak secara mendetail tiga puluh tiga poin berturut-turut dalam waktu singkat. Sejauh mungkin bagi setiap siswa untuk memecahkan persamaan online dengan cara terbaik, melihat ke depan, katakanlah satu hal penting, tetapi kuncinya, tanpanya kita tidak akan mudah hidup di masa depan. Pada abad terakhir, ilmuwan besar memperhatikan sejumlah keteraturan dalam teori matematika. Dalam praktiknya, ternyata tidak sesuai dengan kesan yang diharapkan dari peristiwa tersebut. Namun, pada prinsipnya, solusi persamaan online ini membantu meningkatkan pemahaman dan persepsi tentang pendekatan holistik untuk studi dan konsolidasi praktis dari materi teoretis yang dicakup oleh siswa. Jauh lebih mudah untuk melakukan ini selama waktu belajar Anda.

=

Kami terus berbicara tentang solusi persamaan. Dalam artikel ini, kami akan fokus pada persamaan rasional dan prinsip-prinsip untuk memecahkan persamaan rasional dengan satu variabel. Pertama, mari kita cari tahu jenis persamaan apa yang disebut rasional, berikan definisi persamaan rasional bilangan bulat dan rasional pecahan, dan berikan contohnya. Selanjutnya, kita akan memperoleh algoritme untuk menyelesaikan persamaan rasional, dan, tentu saja, mempertimbangkan solusi dari contoh tipikal dengan semua penjelasan yang diperlukan.

Navigasi halaman.

Berdasarkan definisi yang terdengar, kami memberikan beberapa contoh persamaan rasional. Misalnya, x=1 , 2 x−12 x 2 y z 3 =0 , , adalah semua persamaan rasional.

Dari contoh-contoh yang ditunjukkan, dapat dilihat bahwa persamaan rasional, serta persamaan jenis lainnya, dapat berupa satu variabel, atau dengan dua, tiga, dll. variabel. Dalam paragraf berikut, kita akan berbicara tentang menyelesaikan persamaan rasional dalam satu variabel. Memecahkan persamaan dengan dua variabel dan jumlah mereka yang besar patut mendapat perhatian khusus.

Selain membagi persamaan rasional dengan jumlah variabel yang tidak diketahui, mereka juga dibagi menjadi bilangan bulat dan pecahan. Mari kita berikan definisi yang sesuai.

Definisi.

Persamaan rasional disebut utuh, jika kedua bagian kiri dan kanannya adalah ekspresi rasional bilangan bulat.

Definisi.

Jika setidaknya salah satu bagian dari persamaan rasional adalah ekspresi pecahan, maka persamaan tersebut disebut rasional fraksional(atau rasional fraksional).

Jelas bahwa persamaan bilangan bulat tidak mengandung pembagian dengan variabel; sebaliknya, persamaan rasional pecahan harus mengandung pembagian oleh variabel (atau variabel dalam penyebut). Jadi 3 x+2=0 dan (x+y) (3 x 2 1)+x=−y+0,5 adalah seluruh persamaan rasional, kedua bagiannya adalah ekspresi bilangan bulat. A dan x:(5 x 3 +y 2)=3:(x−1):5 adalah contoh persamaan rasional pecahan.

Sebagai penutup paragraf ini, mari kita perhatikan fakta bahwa persamaan linier dan persamaan kuadrat yang diketahui saat ini adalah persamaan rasional keseluruhan.

Memecahkan seluruh persamaan

Salah satu pendekatan utama untuk menyelesaikan seluruh persamaan adalah pengurangannya menjadi setara persamaan aljabar. Ini selalu dapat dilakukan dengan melakukan transformasi setara berikut dari persamaan:

• pertama, ekspresi dari sisi kanan persamaan bilangan bulat asli dipindahkan ke sisi kiri dengan tanda yang berlawanan untuk mendapatkan nol di sisi kanan;
• setelah itu, di sisi kiri persamaan, dihasilkan bentuk standar.

Hasilnya adalah persamaan aljabar yang setara dengan seluruh persamaan asli. Jadi dalam kasus paling sederhana, solusi seluruh persamaan direduksi menjadi solusi persamaan linier atau kuadrat, dan dalam kasus umum - ke solusi persamaan aljabar derajat n. Untuk kejelasan, mari kita menganalisis solusi dari contoh.

Contoh.

Temukan akar dari seluruh persamaan 3 (x+1) (x−3)=x (2 x−1)−3.

Keputusan.

Mari kita kurangi solusi seluruh persamaan ini menjadi solusi persamaan aljabar ekivalen. Untuk melakukan ini, pertama, kami mentransfer ekspresi dari sisi kanan ke kiri, sebagai hasilnya kami sampai pada persamaan 3 (x+1) (x−3)−x (2 x−1)+3=0. Dan, kedua, kami mengubah ekspresi yang terbentuk di sisi kiri menjadi polinomial dari bentuk standar dengan melakukan hal yang diperlukan: 3 (x+1) (x−3)−x (2 x−1)+3= (3 x+3) (x−3)−2 x 2 +x+3= 3 x 2 9 x+3 x−9−2 x 2 +x+3=x 2 5 x−6. Jadi, solusi persamaan bilangan bulat asli direduksi menjadi solusi persamaan kuadrat x 2 5·x−6=0 .

Hitung diskriminannya D=(−5) 2 4 1 (−6)=25+24=49, itu positif, yang berarti bahwa persamaan tersebut memiliki dua akar real, yang kita temukan dengan rumus akar-akar persamaan kuadrat:

Untuk benar-benar yakin, mari kita lakukan memeriksa akar yang ditemukan dari persamaan. Pertama, kami memeriksa akar 6, menggantinya dengan variabel x dalam persamaan bilangan bulat asli: 3 (6+1) (6−3)=6 (2 6−1)−3, yang sama, 63=63 . Ini adalah persamaan numerik yang valid, jadi x=6 memang akar persamaan. Sekarang kita periksa root 1 , kita punya 3 (−1+1) (−1−3)=(−1) (2 (−1)−1)−3, dimana, 0=0 . Untuk x=−1, persamaan asli juga berubah menjadi persamaan numerik sejati, oleh karena itu, x=−1 juga merupakan akar persamaan.

Menjawab:

6 , −1 .

Di sini juga harus dicatat bahwa istilah "kekuatan seluruh persamaan" dikaitkan dengan representasi seluruh persamaan dalam bentuk persamaan aljabar. Kami memberikan definisi yang sesuai:

Definisi.

Derajat seluruh persamaan sebut derajat persamaan aljabar yang setara dengannya.

Menurut definisi ini, seluruh persamaan dari contoh sebelumnya memiliki derajat kedua.

Yang ini bisa menyelesaikan dengan solusi seluruh persamaan rasional, jika bukan untuk satu tapi .... Seperti diketahui, solusi persamaan aljabar dengan derajat yang lebih tinggi dari yang kedua dikaitkan dengan kesulitan yang signifikan, dan untuk persamaan dengan derajat yang lebih tinggi dari yang keempat, tidak ada rumus umum untuk akar sama sekali. Oleh karena itu, untuk menyelesaikan seluruh persamaan derajat ketiga, keempat, dan yang lebih tinggi, seseorang sering kali harus menggunakan metode penyelesaian lain.

Dalam kasus seperti itu, terkadang pendekatan untuk menyelesaikan seluruh persamaan rasional didasarkan pada metode faktorisasi. Pada saat yang sama, algoritma berikut diikuti:

• pertama mereka berusaha untuk memiliki nol di sisi kanan persamaan, untuk ini mereka mentransfer ekspresi dari sisi kanan seluruh persamaan ke kiri;
• kemudian, ekspresi yang dihasilkan di sisi kiri disajikan sebagai produk dari beberapa faktor, yang memungkinkan Anda untuk pergi ke serangkaian persamaan yang lebih sederhana.

Algoritma di atas untuk menyelesaikan seluruh persamaan melalui faktorisasi memerlukan penjelasan rinci menggunakan contoh.

Contoh.

Selesaikan seluruh persamaan (x 2 1) (x 2 10 x+13)= 2 x (x 2 10 x+13) .

Keputusan.

Pertama, seperti biasa, kita pindahkan ekspresi dari ruas kanan ke ruas kiri persamaan, jangan lupa ubah tandanya, kita peroleh (x 2 1) (x 2 10 x+13) 2 x (x 2 10 x+13)=0 . Cukup jelas di sini bahwa tidak disarankan untuk mengubah ruas kiri persamaan yang dihasilkan menjadi polinomial bentuk standar, karena ini akan memberikan persamaan aljabar derajat keempat bentuk x 4 12 x 3 +32 x 2 16 x−13=0, yang solusinya sulit.

Di sisi lain, jelas bahwa x 2 10·x+13 dapat ditemukan di sisi kiri persamaan yang dihasilkan, sehingga mewakilinya sebagai produk. Kita punya (x 2 10 x+13) (x 2 2 x−1)=0. Persamaan yang dihasilkan ekuivalen dengan seluruh persamaan semula, dan selanjutnya dapat diganti dengan dua persamaan kuadrat x 2 −10·x+13=0 dan x 2 2·x−1=0 . Menemukan akar-akarnya menggunakan rumus akar yang diketahui melalui diskriminan tidaklah sulit, akar-akarnya sama. Mereka adalah akar yang diinginkan dari persamaan asli.

Menjawab:

Ini juga berguna untuk menyelesaikan seluruh persamaan rasional. metode untuk memperkenalkan variabel baru. Dalam beberapa kasus, ini memungkinkan seseorang untuk melewati persamaan yang derajatnya lebih rendah dari derajat persamaan bilangan bulat aslinya.

Contoh.

Tentukan akar real dari persamaan rasional (x 2 +3 x+1) 2 +10=−2 (x 2 +3 x−4).

Keputusan.

Mengurangi seluruh persamaan rasional ini menjadi persamaan aljabar, secara halus, bukanlah ide yang sangat baik, karena dalam kasus ini kita akan menemukan kebutuhan untuk menyelesaikan persamaan derajat keempat yang tidak memiliki akar rasional. Karena itu, Anda harus mencari solusi lain.

Sangat mudah untuk melihat di sini bahwa Anda dapat memasukkan variabel baru y dan mengganti ekspresi x 2 +3 x dengannya. Penggantian seperti itu membawa kita ke seluruh persamaan (y+1) 2 +10=−2 (y−4) , yang, setelah mentransfer ekspresi 2 (y−4) ke sisi kiri dan transformasi selanjutnya dari ekspresi yang terbentuk di sana, direduksi menjadi persamaan y 2 +4 y+3=0 . Akar persamaan ini y=−1 dan y=−3 mudah ditemukan, misalnya, mereka dapat ditemukan berdasarkan teorema kebalikan dari teorema Vieta.

Sekarang mari kita beralih ke bagian kedua dari metode memasukkan variabel baru, yaitu membuat substitusi terbalik. Setelah melakukan substitusi terbalik, kita memperoleh dua persamaan x 2 +3 x=−1 dan x 2 +3 x=−3 , yang dapat ditulis ulang sebagai x 2 +3 x+1=0 dan x 2 +3 x+3 =0 . Menurut rumus akar persamaan kuadrat, kita menemukan akar persamaan pertama. Dan persamaan kuadrat kedua tidak memiliki akar real, karena diskriminannya negatif (D=3 2 4 3=9−12=−3 ).

Menjawab:

Secara umum, ketika kita berurusan dengan seluruh persamaan derajat tinggi, kita harus selalu siap untuk mencari metode non-standar atau teknik buatan untuk menyelesaikannya.

Penyelesaian persamaan rasional fraksional

Pertama, akan berguna untuk memahami bagaimana menyelesaikan persamaan rasional fraksional dari bentuk , di mana p(x) dan q(x) adalah ekspresi bilangan bulat rasional. Dan kemudian kami akan menunjukkan cara mengurangi solusi dari persamaan rasional fraksional yang tersisa menjadi solusi persamaan bentuk yang ditunjukkan.

Salah satu pendekatan untuk memecahkan persamaan didasarkan pada pernyataan berikut: pecahan numerik u / v, di mana v adalah bilangan bukan-nol (jika tidak, kita akan menemukan , yang tidak ditentukan), adalah nol jika dan hanya jika pembilangnya adalah nol, maka adalah, jika dan hanya jika u=0 . Berdasarkan pernyataan ini, solusi persamaan direduksi menjadi pemenuhan dua kondisi p(x)=0 dan q(x)≠0 .

Kesimpulan ini sesuai dengan yang berikut: algoritma untuk memecahkan persamaan rasional fraksional. Menyelesaikan persamaan rasional pecahan berbentuk

• selesaikan seluruh persamaan rasional p(x)=0 ;
• dan periksa apakah kondisi q(x)≠0 terpenuhi untuk setiap akar yang ditemukan, while
• jika benar, maka akar ini adalah akar dari persamaan awal;
• jika tidak, maka akar ini asing, yaitu, itu bukan akar dari persamaan asli.

Mari kita menganalisis contoh penggunaan algoritme bersuara saat menyelesaikan persamaan rasional pecahan.

Contoh.

Temukan akar persamaan.

Keputusan.

Ini adalah persamaan rasional fraksional dari bentuk , di mana p(x)=3 x−2 , q(x)=5 x 2 2=0 .

Menurut algoritma untuk menyelesaikan persamaan rasional fraksional semacam ini, pertama-tama kita harus menyelesaikan persamaan 3·x−2=0 . Ini adalah persamaan linier yang akarnya adalah x=2/3 .

Tetap memeriksa akar ini, yaitu, untuk memeriksa apakah memenuhi kondisi 5·x 2 2≠0 . Kami mengganti angka 2/3 alih-alih x ke dalam ekspresi 5 x 2 2, kami mendapatkan . Kondisi terpenuhi, jadi x=2/3 adalah akar dari persamaan awal.

Menjawab:

2/3 .

Solusi persamaan rasional pecahan dapat didekati dari posisi yang sedikit berbeda. Persamaan ini ekuivalen dengan seluruh persamaan p(x)=0 pada variabel x dari persamaan awal. Artinya, Anda bisa mengikuti ini algoritma untuk memecahkan persamaan rasional fraksional :

• selesaikan persamaan p(x)=0 ;
• temukan variabel ODZ x ;
• ambil akar yang termasuk dalam wilayah nilai yang dapat diterima - mereka adalah akar yang diinginkan dari persamaan rasional fraksional asli.

Sebagai contoh, mari kita selesaikan persamaan rasional pecahan menggunakan algoritma ini.

Contoh.

Memecahkan persamaan.

Keputusan.

Pertama, kita selesaikan persamaan kuadrat x 2 2·x−11=0 . Akarnya dapat dihitung menggunakan rumus akar untuk koefisien kedua genap, kita peroleh D 1 =(−1) 2 1 (−11)=12, dan .

Kedua, kami menemukan ODZ dari variabel x untuk persamaan asli. Ini terdiri dari semua angka yang x 2 +3 x≠0 , yang sama dengan x (x+3)≠0 , dari mana x≠0 , x≠−3 .

Tetap memeriksa apakah akar yang ditemukan pada langkah pertama termasuk dalam ODZ. Jelas ya. Oleh karena itu, persamaan rasional fraksional asli memiliki dua akar.

Menjawab:

Perhatikan bahwa pendekatan ini lebih menguntungkan daripada yang pertama jika ODZ mudah ditemukan, dan terutama bermanfaat jika akar persamaan p(x)=0 adalah irasional, misalnya , atau rasional, tetapi dengan pembilang dan/atau penyebut, misalnya 127/1101 dan -31/59 . Hal ini disebabkan fakta bahwa dalam kasus seperti itu, memeriksa kondisi q(x)≠0 akan membutuhkan upaya komputasi yang signifikan, dan lebih mudah untuk mengecualikan akar asing dari ODZ.

Dalam kasus lain, ketika menyelesaikan persamaan, terutama jika akar persamaan p(x)=0 adalah bilangan bulat, akan lebih menguntungkan untuk menggunakan yang pertama dari algoritma di atas. Artinya, disarankan untuk segera menemukan akar seluruh persamaan p(x)=0 , dan kemudian memeriksa apakah kondisi q(x)≠0 terpenuhi untuk mereka, dan tidak menemukan ODZ, dan kemudian menyelesaikan persamaan p(x)=0 pada ODZ ini. Hal ini disebabkan fakta bahwa dalam kasus seperti itu biasanya lebih mudah untuk melakukan pemeriksaan daripada menemukan ODZ.

Pertimbangkan solusi dari dua contoh untuk menggambarkan nuansa yang ditentukan.

Contoh.

Temukan akar persamaan.

Keputusan.

Pertama kita cari akar dari seluruh persamaan (2 x−1) (x−6) (x 2 5 x+14) (x+1)=0, disusun menggunakan pembilang pecahan. Ruas kiri persamaan ini adalah produk, dan ruas kanan adalah nol, oleh karena itu, menurut metode penyelesaian persamaan melalui faktorisasi, persamaan ini setara dengan himpunan empat persamaan 2 x−1=0 , x−6= 0 , x 2 5 x+ 14=0 , x+1=0 . Tiga dari persamaan ini linier dan satu kuadrat, kita dapat menyelesaikannya. Dari persamaan pertama kita temukan x=1/2, dari persamaan kedua - x=6, dari persamaan ketiga - x=7, x=−2, dari persamaan keempat - x=−1.

Dengan akar yang ditemukan, cukup mudah untuk memeriksanya untuk melihat apakah penyebut pecahan di sisi kiri persamaan asli tidak hilang, dan tidak mudah untuk menentukan ODZ, karena ini harus menyelesaikan sebuah persamaan aljabar derajat kelima. Oleh karena itu, kami akan menolak untuk menemukan ODZ demi memeriksa akarnya. Untuk melakukan ini, kami menggantinya secara bergantian sebagai ganti variabel x dalam ekspresi x 5 15 x 4 +57 x 3 13 x 2 +26 x+112, diperoleh setelah substitusi, dan bandingkan dengan nol: (1/2) 5 15 (1/2) 4 + 57 (1/2) 3 13 (1/2) 2 +26 (1/2)+112= 1/32−15/16+57/8−13/4+13+112= 122+1/32≠0 ;
6 5 15 6 4 +57 6 3 13 6 2 +26 6+112= 448≠0 ;
7 5 15 7 4 +57 7 3 13 7 2 +26 7+112=0;
(−2) 5 15 (−2) 4 +57 (−2) 3 13 (−2) 2 + 26 (−2)+112=−720≠0 ;
(−1) 5 15 (−1) 4 +57 (−1) 3 13 (−1) 2 + 26·(−1)+112=0 .

Jadi, 1/2, 6 dan 2 adalah akar-akar yang diinginkan dari persamaan rasional fraksional asli, dan 7 dan 1 adalah akar-akar asing.

Menjawab:

1/2 , 6 , −2 .

Contoh.

Temukan akar-akar persamaan rasional pecahan.

Keputusan.

Pertama kita cari akar persamaan (5x2 7x−1)(x−2)=0. Persamaan ini setara dengan kombinasi dua persamaan: kuadrat 5·x 2 7·x−1=0 dan linear x−2=0 . Menurut rumus akar persamaan kuadrat, kita menemukan dua akar, dan dari persamaan kedua kita memiliki x=2.

Memeriksa apakah penyebut tidak hilang pada nilai x yang ditemukan agak tidak menyenangkan. Dan untuk menentukan kisaran nilai yang dapat diterima dari variabel x dalam persamaan aslinya cukup sederhana. Oleh karena itu, kami akan bertindak melalui ODZ.

Dalam kasus kami, ODZ dari variabel x dari persamaan rasional fraksional asli terdiri dari semua bilangan, kecuali yang memenuhi syarat x 2 +5·x−14=0. Akar persamaan kuadrat ini adalah x=−7 dan x=2, dari sini kita menyimpulkan tentang ODZ: ODZ terdiri dari semua x sehingga .

Tetap memeriksa apakah akar yang ditemukan dan x=2 termasuk dalam wilayah nilai yang dapat diterima. Akar - milik, oleh karena itu, mereka adalah akar dari persamaan asli, dan x=2 bukan milik, oleh karena itu, itu adalah akar asing.

Menjawab:

Juga akan berguna untuk membahas secara terpisah kasus-kasus di mana suatu bilangan ada dalam pembilangnya dalam bentuk persamaan rasional pecahan, yaitu, ketika p (x) diwakili oleh suatu bilangan. Di mana

• jika bilangan ini berbeda dengan nol, maka persamaan tersebut tidak memiliki akar, karena pecahan adalah nol jika dan hanya jika pembilangnya nol;
• jika angka ini nol, maka akar persamaannya adalah angka apa pun dari ODZ.

Contoh.

Keputusan.

Karena ada bilangan bukan-nol pada pembilang pecahan di sisi kiri persamaan, untuk tidak ada x dapat nilai pecahan ini sama dengan nol. Oleh karena itu, persamaan ini tidak memiliki akar.

Menjawab:

tidak ada akar.

Contoh.

Memecahkan persamaan.

Keputusan.

Pembilang pecahan di ruas kiri persamaan rasional pecahan ini adalah nol, jadi nilai pecahan ini adalah nol untuk setiap x yang masuk akal. Dengan kata lain, solusi persamaan ini adalah sembarang nilai x dari DPV variabel ini.

Tetap menentukan kisaran nilai yang dapat diterima ini. Ini mencakup semua nilai x yang x 4 +5 x 3 0. Solusi dari persamaan x 4 +5 x 3 \u003d 0 adalah 0 dan 5, karena persamaan ini setara dengan persamaan x 3 (x + 5) \u003d 0, dan, pada gilirannya, setara dengan kombinasi dari dua persamaan x 3 \u003d 0 dan x +5=0 , dari mana akar-akar ini terlihat. Oleh karena itu, rentang nilai yang dapat diterima yang diinginkan adalah x , kecuali untuk x=0 dan x=−5 .

Jadi, persamaan rasional fraksional memiliki banyak solusi, yang merupakan bilangan apa pun kecuali nol dan minus lima.

Menjawab:

Akhirnya, saatnya berbicara tentang menyelesaikan persamaan rasional fraksional arbitrer. Mereka dapat ditulis sebagai r(x)=s(x) , di mana r(x) dan s(x) adalah ekspresi rasional, dan setidaknya salah satunya adalah pecahan. Ke depan, kami mengatakan bahwa solusi mereka direduksi menjadi penyelesaian persamaan bentuk yang sudah akrab bagi kami.

Diketahui bahwa perpindahan suku dari satu bagian persamaan ke bagian lain yang berlawanan tanda menghasilkan persamaan yang ekivalen, sehingga persamaan r(x)=s(x) ekuivalen dengan persamaan r(x)−s (x)=0 .

Kita juga tahu bahwa any bisa identik sama dengan ekspresi ini. Jadi, kita selalu dapat mengubah ekspresi rasional di ruas kiri persamaan r(x)−s(x)=0 menjadi pecahan rasional yang identik dengan bentuk .

Jadi, kita beralih dari persamaan rasional pecahan asli r(x)=s(x) ke persamaan , dan solusinya, seperti yang kita temukan di atas, direduksi menjadi penyelesaian persamaan p(x)=0 .

Tetapi di sini perlu untuk mempertimbangkan fakta bahwa ketika mengganti r(x)−s(x)=0 dengan , dan kemudian dengan p(x)=0 , rentang nilai yang diizinkan dari variabel x dapat diperluas .

Oleh karena itu, persamaan asli r(x)=s(x) dan persamaan p(x)=0 , yang kita dapatkan, mungkin tidak setara, dan dengan menyelesaikan persamaan p(x)=0 , kita dapat memperoleh akar yang akan menjadi akar asing dari persamaan asli r(x)=s(x) . Dimungkinkan untuk mengidentifikasi dan tidak memasukkan akar asing dalam jawaban, baik dengan memeriksa, atau dengan memeriksa milik mereka ke ODZ dari persamaan asli.

Kami merangkum informasi ini dalam algoritma untuk memecahkan persamaan rasional pecahan r(x)=s(x). Untuk menyelesaikan persamaan rasional pecahan r(x)=s(x) , kita harus

• Dapatkan nol di sebelah kanan dengan memindahkan ekspresi dari sisi kanan dengan tanda yang berlawanan.
• Lakukan tindakan dengan pecahan dan polinomial di sisi kiri persamaan, sehingga mengubahnya menjadi bentuk pecahan rasional.
• Selesaikan persamaan p(x)=0 .
• Identifikasi dan singkirkan akar-akar asing, yang dilakukan dengan mensubstitusinya ke dalam persamaan asli atau dengan memeriksa kepemilikannya pada ODZ dari persamaan asli.

Untuk kejelasan yang lebih besar, kami akan menunjukkan seluruh rantai penyelesaian persamaan rasional pecahan:
.

Mari kita lihat solusi dari beberapa contoh dengan penjelasan rinci tentang solusi untuk memperjelas blok informasi yang diberikan.

Contoh.

Memecahkan persamaan rasional pecahan.

Keputusan.

Kami akan bertindak sesuai dengan algoritma solusi yang baru saja diperoleh. Dan pertama-tama kita mentransfer istilah dari sisi kanan persamaan ke sisi kiri, sebagai hasilnya kita lolos ke persamaan .

Pada langkah kedua, kita perlu mengubah ekspresi rasional pecahan di ruas kiri persamaan yang dihasilkan ke dalam bentuk pecahan. Untuk melakukan ini, kami melakukan pengurangan pecahan rasional ke penyebut yang sama dan menyederhanakan ekspresi yang dihasilkan: . Jadi kita sampai pada persamaan.

Pada langkah berikutnya, kita perlu menyelesaikan persamaan 2·x−1=0 . Cari x=−1/2 .

Tetap memeriksa apakah angka yang ditemukan 1/2 adalah akar asing dari persamaan asli. Untuk melakukan ini, Anda dapat memeriksa atau menemukan variabel ODZ x dari persamaan asli. Mari kita tunjukkan kedua pendekatan tersebut.

Mari kita mulai dengan cek. Kami mengganti angka 1/2 alih-alih variabel x ke dalam persamaan asli, kami mendapatkan , yang sama, 1=−1. Substitusi memberikan persamaan numerik yang benar, oleh karena itu, x=−1/2 adalah akar dari persamaan aslinya.

Sekarang kita akan menunjukkan bagaimana langkah terakhir dari algoritma dilakukan melalui ODZ. Rentang nilai yang dapat diterima dari persamaan asli adalah himpunan semua bilangan, kecuali untuk 1 dan 0 (untuk x=−1 dan x=0, penyebut pecahan hilang). Akar x=−1/2 yang ditemukan pada langkah sebelumnya termasuk dalam ODZ, oleh karena itu, x=−1/2 adalah akar dari persamaan aslinya.

Menjawab:

−1/2 .

Mari kita pertimbangkan contoh lain.

Contoh.

Temukan akar persamaan.

Keputusan.

Kita perlu memecahkan persamaan rasional fraksional, mari kita lihat semua langkah algoritmanya.

Pertama, kita pindahkan suku dari ruas kanan ke kiri, kita peroleh .

Kedua, kami mengubah ekspresi yang terbentuk di sisi kiri: . Akibatnya, kita sampai pada persamaan x=0 .

Akarnya jelas - nol.

Pada langkah keempat, masih mencari tahu apakah akar yang ditemukan bukan akar luar untuk persamaan rasional fraksional asli. Ketika disubstitusikan ke persamaan asli, ekspresi diperoleh. Jelas, itu tidak masuk akal, karena mengandung pembagian dengan nol. Dari mana kita menyimpulkan bahwa 0 adalah akar asing. Oleh karena itu, persamaan asli tidak memiliki akar.

7 , yang mengarah ke persamaan . Dari sini kita dapat menyimpulkan bahwa ekspresi penyebut ruas kiri harus sama dengan ruas kanan, yaitu . Sekarang kita kurangi dari kedua bagian triple: . Dengan analogi, dari mana, dan selanjutnya.

Pemeriksaan menunjukkan bahwa kedua akar yang ditemukan adalah akar dari persamaan rasional pecahan asli.

Menjawab:

Bibliografi.

• Aljabar: buku pelajaran untuk 8 sel. pendidikan umum institusi / [Yu. N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkov, S.B. Suvorova]; ed. S.A. Telyakovsky. - edisi ke-16. - M. : Pendidikan, 2008. - 271 hal. : Saya akan. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Mordkovich A.G. Aljabar. kelas 8. Pukul 2 siang Bagian 1. Buku teks untuk siswa lembaga pendidikan / A. G. Mordkovich. - Edisi ke-11, terhapus. - M.: Mnemozina, 2009. - 215 hal.: sakit. ISBN 978-5-346-01155-2.
• Aljabar: Kelas 9: buku teks. untuk pendidikan umum institusi / [Yu. N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkov, S.B. Suvorova]; ed. S.A. Telyakovsky. - edisi ke-16. - M. : Pendidikan, 2009. - 271 hal. : Saya akan. - ISBN 978-5-09-021134-5.

"Penyelesaian persamaan rasional pecahan"

Tujuan Pelajaran:

tutorial:

pembentukan konsep persamaan rasional pecahan; mempertimbangkan berbagai cara untuk menyelesaikan persamaan rasional pecahan; pertimbangkan algoritme untuk menyelesaikan persamaan rasional pecahan, termasuk syarat bahwa pecahan sama dengan nol; untuk mengajarkan solusi persamaan rasional fraksional sesuai dengan algoritma; memeriksa tingkat asimilasi topik dengan melakukan tes kerja.

Mengembangkan:

pengembangan kemampuan untuk beroperasi dengan benar dengan pengetahuan yang diperoleh, untuk berpikir logis; pengembangan keterampilan intelektual dan operasi mental - analisis, sintesis, perbandingan, dan generalisasi; pengembangan inisiatif, kemampuan untuk membuat keputusan, tidak berhenti di situ; pengembangan berpikir kritis; pengembangan keterampilan riset.

Pengasuhan:

pendidikan minat kognitif dalam subjek; pendidikan kemandirian dalam memecahkan masalah pendidikan; pendidikan kemauan dan ketekunan untuk mencapai hasil akhir.

Jenis pelajaran: pelajaran - penjelasan materi baru.

Selama kelas

1. Momen organisasi.

Hallo teman-teman! Persamaan ditulis di papan tulis, perhatikan baik-baik. Bisakah kamu menyelesaikan semua persamaan ini? Mana yang tidak dan mengapa?

Persamaan yang bagian kiri dan kanannya merupakan ekspresi rasional pecahan disebut persamaan rasional pecahan. Menurut Anda apa yang akan kita pelajari hari ini dalam pelajaran? Merumuskan topik pelajaran. Jadi, kami membuka buku catatan dan menuliskan topik pelajaran "Solusi persamaan rasional pecahan".

2. Aktualisasi pengetahuan. Survei frontal, pekerjaan lisan dengan kelas.

Dan sekarang kita akan mengulangi materi teoretis utama yang kita butuhkan untuk mempelajari topik baru. Jawablah pertanyaan-pertanyaan berikut:

1. Apa itu persamaan? ( Kesetaraan dengan variabel atau variabel.)

2. Disebut apakah Persamaan #1? ( Linier.) Metode untuk memecahkan persamaan linier. ( Pindahkan semua yang tidak diketahui ke sisi kiri persamaan, semua angka ke kanan. Membawa istilah seperti. Temukan pengganda yang tidak diketahui).

3. Disebut apakah Persamaan #3? ( Kotak.) Metode untuk memecahkan persamaan kuadrat. ( Pemilihan persegi penuh, dengan rumus, menggunakan teorema Vieta dan konsekuensinya.)

4. Apa yang dimaksud dengan proporsi? ( Persamaan dua hubungan.) Properti utama proporsi. ( Jika proporsinya benar, maka hasil kali suku-suku ekstremnya sama dengan hasilkali suku-suku tengahnya.)

5. Sifat apa yang digunakan dalam menyelesaikan persamaan? ( 1. Jika dalam persamaan kita mentransfer istilah dari satu bagian ke bagian lain, mengubah tandanya, maka kita mendapatkan persamaan yang setara dengan yang diberikan. 2. Jika kedua bagian persamaan dikalikan atau dibagi dengan bilangan yang sama bukan nol, maka akan diperoleh persamaan yang ekuivalen dengan yang diberikan.)

6. Kapan pecahan sama dengan nol? ( Pecahan adalah nol jika pembilangnya nol dan penyebutnya bukan nol.)

3. Penjelasan materi baru.

Selesaikan persamaan No. 2 di buku catatan dan di papan tulis.

Menjawab: 10.

Persamaan rasional pecahan apa yang dapat Anda coba selesaikan menggunakan sifat dasar proporsi? (Nomor 5).

(x-2)(x-4) = (x+2)(x+3)

x2-4x-2x+8 = x2+3x+2x+6

x2-6x-x2-5x = 6-8

Selesaikan persamaan No. 4 di buku catatan dan di papan tulis.

Menjawab: 1,5.

Persamaan rasional pecahan apa yang dapat Anda coba selesaikan dengan mengalikan kedua ruas persamaan dengan penyebutnya? (No. 6).

D=1>0, x1=3, x2=4.

Menjawab: 3;4.

Sekarang coba selesaikan persamaan #7 dengan salah satu cara.

(x2-2x-5)x(x-5)=x(x-5)(x+5)
(x2-2x-5)x(x-5)-x(x-5)(x+5)=0
x(x-5)(x2-2x-5-(x+5))=0			x2-2x-5-x-5=0
x(x-5)(x2-3x-10)=0
x=0 x-5=0 x2-3x-10=0
x1=0 x2=5 D=49
Menjawab: 0;5;-2.			Menjawab: 5;-2.

Jelaskan mengapa ini terjadi? Mengapa ada tiga akar dalam satu kasus dan dua dalam kasus lainnya? Bilangan apa yang merupakan akar dari persamaan rasional pecahan ini?

Sampai saat ini, siswa belum menemukan konsep akar asing, sangat sulit bagi mereka untuk memahami mengapa ini terjadi. Jika tidak ada seorang pun di kelas yang dapat memberikan penjelasan yang jelas tentang situasi ini, maka guru mengajukan pertanyaan yang mengarah.

Bagaimana persamaan No. 2 dan 4 berbeda dari persamaan No. 5,6,7? ( Dalam persamaan No. 2 dan 4 dalam penyebut angka, No. 5-7 - ekspresi dengan variabel.) Apa akar persamaan? ( Nilai variabel di mana persamaan menjadi persamaan sejati.) Bagaimana cara mengetahui apakah bilangan tersebut adalah akar persamaan? ( Lakukan pemeriksaan.)

Saat mengerjakan tes, beberapa siswa memperhatikan bahwa mereka harus membagi dengan nol. Mereka menyimpulkan bahwa angka 0 dan 5 bukanlah akar dari persamaan ini. Timbul pertanyaan: apakah ada cara untuk menyelesaikan persamaan rasional pecahan yang menghilangkan kesalahan ini? Ya, metode ini didasarkan pada kondisi bahwa pecahan sama dengan nol.

x2-3x-10=0, D=49, x1=5, x2=-2.

Jika x=5, maka x(x-5)=0, jadi 5 adalah akar asing.

Jika x=-2, maka x(x-5)≠0.

Menjawab: -2.

Mari kita coba merumuskan algoritma untuk menyelesaikan persamaan rasional pecahan dengan cara ini. Anak-anak sendiri merumuskan algoritma.

Algoritma untuk menyelesaikan persamaan rasional pecahan:

1. Pindahkan semuanya ke sisi kiri.

2. Bawa pecahan ke penyebut yang sama.

3. Buatlah sistem: pecahan sama dengan nol jika pembilangnya sama dengan nol, dan penyebutnya tidak sama dengan nol.

4. Selesaikan persamaan.

5. Periksa ketidaksetaraan untuk mengecualikan akar asing.

6. Tuliskan jawabannya.

Pembahasan: Bagaimana cara memformulasi penyelesaian jika menggunakan sifat dasar proporsi dan perkalian kedua ruas persamaan dengan penyebut yang sama. (Tambahan solusinya: singkirkan dari akarnya yang mengubah penyebut bersama menjadi nol).

4. Pemahaman utama dari materi baru.

Bekerja berpasangan. Siswa memilih cara menyelesaikan persamaan sendiri, tergantung pada jenis persamaannya. Tugas dari buku teks "Aljabar 8", 2007: No. 000 (b, c, i); Nomor 000 (a, e, g). Guru mengontrol kinerja tugas, menjawab pertanyaan yang muncul, dan memberikan bantuan kepada siswa yang berkinerja buruk. Tes mandiri: Jawaban ditulis di papan tulis.

b) 2 adalah akar asing. Jawaban:3.

c) 2 adalah akar asing. Jawaban: 1.5.

a) Jawaban: -12.5.

g) Jawaban: 1; 1.5.

5. Pernyataan pekerjaan rumah.

2. Pelajari algoritma untuk memecahkan persamaan rasional pecahan.

3. Selesaikan dalam buku catatan No. 000 (a, d, e); Nomor 000 (g, jam).

4. Coba selesaikan No. 000(a) (opsional).

6. Pemenuhan tugas kontrol pada topik yang dipelajari.

Pekerjaan dilakukan pada lembaran.

Contoh pekerjaan:

A) Manakah dari persamaan yang rasional fraksional?

B. Suatu pecahan bernilai nol jika pembilangnya adalah _________ dan penyebutnya adalah __________.

Q) Apakah angka -3 akar dari Persamaan #6?

D) Selesaikan persamaan No. 7.

Kriteria evaluasi tugas:

"5" diberikan jika siswa menyelesaikan lebih dari 90% tugas dengan benar. "4" - 75% -89% "3" - 50% -74% "2" diberikan kepada siswa yang menyelesaikan kurang dari 50% tugas. Grade 2 tidak dimasukkan ke dalam jurnal, 3 adalah opsional.

7. Refleksi.

Pada selebaran dengan pekerjaan mandiri, letakkan:

1 - jika pelajaran itu menarik dan dapat dimengerti oleh Anda; 2 - menarik, tetapi tidak jelas; 3 - tidak menarik, tetapi dapat dimengerti; 4 - tidak menarik, tidak jelas.

8. Menyimpulkan pelajaran.

Jadi, hari ini dalam pelajaran kita berkenalan dengan persamaan rasional fraksional, belajar bagaimana menyelesaikan persamaan ini dengan berbagai cara, menguji pengetahuan kita dengan bantuan pekerjaan mandiri pendidikan. Anda akan mempelajari hasil kerja mandiri di pelajaran berikutnya, di rumah Anda akan memiliki kesempatan untuk mengkonsolidasikan pengetahuan yang diperoleh.

Metode penyelesaian persamaan rasional pecahan apa yang menurut Anda lebih mudah, lebih mudah diakses, lebih rasional? Terlepas dari metode penyelesaian persamaan rasional pecahan, apa yang tidak boleh dilupakan? Apa "kelicikan" dari persamaan rasional fraksional?

Terima kasih semuanya, pelajaran sudah selesai.