Turunan dari suatu fungsi adalah salah satu topik yang paling sulit dalam kurikulum sekolah. Tidak setiap lulusan akan menjawab pertanyaan tentang apa itu turunan.
Artikel ini secara sederhana dan jelas menjelaskan apa itu derivatif dan mengapa itu diperlukan.. Kami sekarang tidak akan berusaha keras untuk presentasi matematika. Yang terpenting adalah memahami maknanya.
Mari kita ingat definisinya:
Turunan adalah laju perubahan fungsi.
Gambar tersebut menunjukkan grafik tiga fungsi. Mana yang menurut Anda tumbuh paling cepat?
Jawabannya jelas - yang ketiga. Ini memiliki tingkat perubahan tertinggi, yaitu turunan terbesar.
Berikut adalah contoh lain.
Kostya, Grisha dan Matvey mendapat pekerjaan pada saat yang bersamaan. Mari kita lihat bagaimana pendapatan mereka berubah sepanjang tahun:
Anda dapat langsung melihat semua yang ada di grafik, bukan? Pendapatan Kostya meningkat lebih dari dua kali lipat dalam enam bulan. Dan pendapatan Grisha juga meningkat, tetapi hanya sedikit. Dan pendapatan Matthew turun menjadi nol. Kondisi awalnya sama, tetapi laju perubahan fungsi, mis. turunan, - berbeda. Adapun Matvey, turunan dari pendapatannya umumnya negatif.
Secara intuitif, kita dapat dengan mudah memperkirakan laju perubahan suatu fungsi. Tapi bagaimana kita melakukannya?
Apa yang sebenarnya kita lihat adalah seberapa curam grafik fungsi naik (atau turun). Dengan kata lain, seberapa cepat y berubah dengan x. Jelas, fungsi yang sama pada titik yang berbeda dapat memiliki nilai turunan yang berbeda - yaitu, dapat berubah lebih cepat atau lebih lambat.
Turunan suatu fungsi dilambangkan dengan .
Mari kita tunjukkan bagaimana menemukan menggunakan grafik.
Sebuah grafik dari beberapa fungsi digambar. Ambil titik di atasnya dengan absis. Gambarlah garis singgung grafik fungsi pada titik ini. Kami ingin mengevaluasi seberapa curam grafik fungsi naik. Nilai yang berguna untuk ini adalah tangen dari kemiringan tangen.
Turunan suatu fungsi di suatu titik sama dengan garis singgung kemiringan garis singgung yang ditarik ke grafik fungsi di titik tersebut.
Harap dicatat - sebagai sudut kemiringan garis singgung, kami mengambil sudut antara garis singgung dan arah positif sumbu.
Kadang-kadang siswa bertanya apa garis singgung grafik suatu fungsi. Ini adalah garis lurus yang memiliki satu-satunya titik yang sama dengan grafik di bagian ini, apalagi, seperti yang ditunjukkan pada gambar kami. Itu terlihat seperti garis singgung lingkaran.
Mari kita temukan. Kita ingat bahwa tangen sudut lancip dalam segitiga siku-siku sama dengan rasio kaki yang berlawanan dengan kaki yang berdekatan. Dari segitiga:
Kami menemukan turunannya menggunakan grafik tanpa mengetahui rumus fungsinya. Tugas seperti itu sering ditemukan dalam ujian matematika di bawah nomor.
Ada korelasi penting lainnya. Ingat bahwa garis lurus diberikan oleh persamaan
Besaran dalam persamaan ini disebut kemiringan garis lurus. Ini sama dengan tangen sudut kemiringan garis lurus terhadap sumbu.
.
Kami mengerti
Mari kita ingat rumus ini. Ini mengungkapkan makna geometris dari turunan.
Turunan suatu fungsi di suatu titik sama dengan kemiringan garis singgung yang ditarik ke grafik fungsi di titik tersebut.
Dengan kata lain, turunannya sama dengan garis singgung dari kemiringan garis singgung tersebut.
Kami telah mengatakan bahwa fungsi yang sama dapat memiliki turunan yang berbeda pada titik yang berbeda. Mari kita lihat bagaimana turunan terkait dengan perilaku fungsi.
Mari kita menggambar grafik dari beberapa fungsi. Biarkan fungsi ini meningkat di beberapa area, dan menurun di area lain, dan pada tingkat yang berbeda. Dan biarkan fungsi ini memiliki poin maksimum dan minimum.
Pada suatu titik, fungsinya meningkat. Garis singgung grafik, yang digambar di titik, membentuk sudut lancip dengan arah sumbu positif. Jadi turunannya positif di titik.
Pada titik, fungsi kita menurun. Garis singgung di titik ini membentuk sudut tumpul dengan arah sumbu positif. Karena tangen sudut tumpul adalah negatif, turunan di titik tersebut negatif.
Inilah yang terjadi:
Jika suatu fungsi naik, turunannya positif.
Jika menurun, turunannya negatif.
Dan apa yang akan terjadi pada titik maksimum dan minimum? Kita melihat bahwa pada (titik maksimum) dan (titik minimum) garis singgungnya horizontal. Oleh karena itu, garis singgung dari kemiringan garis singgung pada titik-titik ini adalah nol, dan turunannya juga nol.
Titik adalah titik maksimum. Pada titik ini, peningkatan fungsi digantikan oleh penurunan. Akibatnya, tanda turunan berubah pada titik dari "plus" menjadi "minus".
Pada titik – titik minimum – turunannya juga sama dengan nol, tetapi tandanya berubah dari “minus” menjadi “plus”.
Kesimpulan: dengan bantuan turunan, Anda dapat mengetahui semua yang menarik minat kami tentang perilaku fungsi.
Jika turunannya positif, maka fungsinya naik.
Jika turunannya negatif, maka fungsinya menurun.
Pada titik maksimum, turunannya adalah nol dan berubah tanda dari plus ke minus.
Pada titik minimum, turunannya juga nol dan berubah tanda dari minus menjadi plus.
Kami menulis temuan ini dalam bentuk tabel:
| meningkat | titik maksimum | menurun | titik minimum | meningkat | |
| + | 0 | - | 0 | + |
Mari kita buat dua klarifikasi kecil. Anda akan membutuhkan salah satunya saat menyelesaikan soal ujian. Lain - di tahun pertama, dengan studi fungsi dan turunan yang lebih serius.
Suatu kasus dimungkinkan jika turunan suatu fungsi di suatu titik sama dengan nol, tetapi fungsi tersebut tidak memiliki maksimum maupun minimum pada titik ini. Ini disebut :
Di suatu titik, garis singgung grafik mendatar dan turunannya nol. Namun, sebelum titik fungsinya meningkat - dan setelah titik itu terus meningkat. Tanda turunannya tidak berubah - tetap positif seperti semula.
Juga terjadi bahwa pada titik maksimum atau minimum, turunannya tidak ada. Pada grafik, ini sesuai dengan jeda yang tajam, ketika tidak mungkin untuk menggambar garis singgung pada titik tertentu.
Tetapi bagaimana menemukan turunannya jika fungsinya tidak diberikan oleh grafik, tetapi oleh rumus? Dalam hal ini, itu berlaku
Perhitungan turunan adalah salah satu operasi terpenting dalam kalkulus diferensial. Di bawah ini adalah tabel untuk mencari turunan dari fungsi sederhana. Untuk aturan diferensiasi yang lebih kompleks, lihat pelajaran lain:- Tabel turunan fungsi eksponensial dan logaritma
Turunan dari fungsi sederhana
1. Turunan suatu bilangan adalah nol= 0
Contoh:
5' = 0
Penjelasan:
Derivatif menunjukkan tingkat di mana nilai fungsi berubah ketika argumen berubah. Karena bilangan tidak berubah dengan cara apa pun dalam kondisi apa pun, laju perubahannya selalu nol.
2. Turunan dari sebuah variabel sama dengan satu
x' = 1
Penjelasan:
Dengan setiap kenaikan argumen (x) sebanyak satu, nilai fungsi (hasil perhitungan) meningkat dengan jumlah yang sama. Jadi, laju perubahan nilai fungsi y = x sama persis dengan laju perubahan nilai argumen.
3. Turunan variabel dan faktor sama dengan faktor ini
x´ =
Contoh:
(3x)´ = 3
(2x)´ = 2
Penjelasan:
Dalam hal ini, setiap kali argumen fungsi ( X) nilainya (y) bertambah dalam dengan sekali. Jadi, laju perubahan nilai fungsi terhadap laju perubahan argumen persis sama dengan nilai dengan.
Darimana jadinya?
(cx + b)" = c
yaitu, diferensial fungsi linier y=kx+b sama dengan kemiringan garis lurus (k).
4. Turunan modulo dari suatu variabel sama dengan hasil bagi variabel ini dengan modulusnya
|x|"= x / |x| asalkan x 0
Penjelasan:
Karena turunan dari variabel (lihat rumus 2) sama dengan satu, turunan modul hanya berbeda dalam nilai laju perubahan fungsi berubah menjadi kebalikannya ketika melintasi titik asal (cobalah menggambar grafik dari fungsi y = |x| dan lihat sendiri. Ini persis nilai dan mengembalikan ekspresi x / |x| Ketika x< 0 оно равно (-1), а когда x >0 - satu. Artinya, dengan nilai negatif dari variabel x, dengan setiap peningkatan perubahan argumen, nilai fungsi berkurang dengan nilai yang persis sama, dan dengan nilai positif, sebaliknya, meningkat, tetapi dengan tepat nilai yang sama.
5. Turunan pangkat dari suatu variabel sama dengan produk dari jumlah kekuatan ini dan variabel dalam kekuatan, dikurangi satu
(x c)"= cx c-1, asalkan x c dan cx c-1 didefinisikan dan c 0
Contoh:
(x 2)" = 2x
(x 3)" = 3x 2
Untuk menghafal rumus:
Ambil eksponen variabel "turun" sebagai pengali, lalu kurangi eksponen itu sendiri satu per satu. Misalnya, untuk x 2 - dua di depan x, dan kemudian pengurangan daya (2-1 = 1) hanya memberi kami 2x. Hal yang sama terjadi untuk x 3 - kami menurunkan tiga kali lipat, menguranginya satu dan alih-alih kubus, kami memiliki kotak, yaitu 3x 2 . Sedikit "tidak ilmiah", tetapi sangat mudah diingat.
6.turunan pecahan 1/x
(1/x)" = - 1 / x 2
Contoh:
Karena pecahan dapat direpresentasikan sebagai peningkatan ke pangkat negatif
(1/x)" = (x -1)" , maka Anda dapat menerapkan rumus dari aturan 5 tabel turunan
(x -1)" = -1x -2 = - 1 / x 2
7. turunan pecahan dengan variabel derajat arbitrer dalam penyebut
(1/x c)" = - c / x c+1
Contoh:
(1 / x 2)" = - 2 / x 3
8. turunan akar(turunan variabel di bawah akar kuadrat)
(√x)" = 1 / (2√x) atau 1/2 x -1/2
Contoh:
(√x)" = (x 1/2)" sehingga Anda dapat menerapkan rumus dari aturan 5
(x 1/2)" \u003d 1/2 x -1/2 \u003d 1 / (2√x)
9. Turunan dari variabel di bawah akar derajat arbitrer
(n x)" = 1 / (n n x n-1)
Proses mencari turunan suatu fungsi disebut diferensiasi. Turunan harus ditemukan dalam sejumlah masalah dalam proses analisis matematika. Misalnya, ketika menemukan titik ekstrem dan titik belok dari grafik fungsi.
Bagaimana menemukan?
Untuk menemukan turunan suatu fungsi, Anda perlu mengetahui tabel turunan fungsi elementer dan menerapkan aturan dasar diferensiasi:
- Mengambil konstanta dari tanda turunan: $$ (Cu)" = C(u)" $$
- Turunan dari jumlah/selisih fungsi: $$ (u \pm v)" = (u)" \pm (v)" $$
- Turunan dari hasil kali dua fungsi: $$ (u \cdot v)" = u"v + uv" $$
- Turunan pecahan : $$ \bigg (\frac(u)(v) \bigg)" = \frac(u"v - uv")(v^2) $$
- Turunan fungsi senyawa : $$ (f(g(x)))" = f"(g(x)) \cdot g"(x) $$
Contoh solusi
| Contoh 1 |
| Tentukan turunan dari fungsi $ y = x^3 - 2x^2 + 7x - 1 $ |
| Keputusan |
|
Turunan jumlah/selisih fungsi sama dengan jumlah/selisih turunan: $$ y" = (x^3 - 2x^2 + 7x - 1)" = (x^3)" - (2x^2)" + (7x)" - (1)" = $$ Menggunakan aturan turunan fungsi pangkat $ (x^p)" = px^(p-1) $ kita memiliki: $$ y" = 3x^(3-1) - 2 \cdot 2 x^(2-1) + 7 - 0 = 3x^2 - 4x + 7 $$ Juga diperhitungkan bahwa turunan dari konstanta sama dengan nol. Jika Anda tidak dapat menyelesaikan masalah Anda, kirimkan kepada kami. Kami akan memberikan solusi rinci. Anda akan dapat membiasakan diri dengan kemajuan perhitungan dan mengumpulkan informasi. Ini akan membantu Anda mendapatkan kredit dari guru tepat waktu! |
| Menjawab |
| $$ y" = 3x^2 - 4x + 7 $$ |
Perhitungan turunan sering ditemukan pada tugas USE. Halaman ini berisi daftar rumus untuk mencari turunan.
Aturan diferensiasi
- (k⋅f(x))′=k⋅f′(x).
- (f(x)+g(x))′=f′(x)+g′(x).
- (f(x)⋅ g(x))′=f′(x)⋅ g(x)+f(x)⋅ g′(x).
- Turunan dari fungsi kompleks. Jika y=F(u) dan u=u(x), maka fungsi y=f(x)=F(u(x)) disebut fungsi kompleks dari x. Sama dengan y′(x)=Fu′⋅ ux′.
- Turunan dari fungsi implisit. Fungsi y=f(x) disebut fungsi implisit yang diberikan oleh relasi F(x,y)=0 jika F(x,f(x))≡0.
- Turunan dari fungsi invers. Jika g(f(x))=x, maka fungsi g(x) disebut fungsi invers dari fungsi y=f(x).
- Turunan dari fungsi yang diberikan secara parametrik. Misalkan x dan y diberikan sebagai fungsi dari variabel t: x=x(t), y=y(t). Dikatakan bahwa y=y(x) adalah fungsi yang didefinisikan secara parametrik pada interval x∈ (a;b) jika pada interval ini persamaan x=x(t) dapat dinyatakan sebagai t=t(x) dan fungsi y=y( t(x))=y(x).
- Turunan dari fungsi eksponensial. Itu ditemukan dengan mengambil logaritma ke dasar logaritma natural.
Pembuktian dan penurunan rumus turunan eksponensial (e pangkat x) dan fungsi eksponensial (a pangkat x). Contoh menghitung turunan dari e^2x, e^3x dan e^nx. Rumus untuk turunan dari pesanan yang lebih tinggi.
IsiLihat juga: Fungsi eksponensial - properti, rumus, grafik
Eksponen, e pangkat x - properti, rumus, grafik
Rumus Dasar
Turunan eksponen sama dengan eksponen itu sendiri (turunan e pangkat x sama dengan e pangkat x):
(1)
(e x )′ = e x.
Turunan fungsi eksponensial dengan basis derajat a sama dengan fungsi itu sendiri, dikalikan dengan logaritma natural dari a:
(2)
.
Eksponen adalah fungsi eksponen yang basis eksponennya sama dengan angka e, yang merupakan limit berikut:
.
Di sini dapat berupa bilangan asli atau bilangan real. Selanjutnya, kita turunkan rumus (1) untuk turunan dari eksponen.
Turunan rumus turunan eksponen
Pertimbangkan eksponen, e pangkat x :
y = ex .
Fungsi ini didefinisikan untuk semua . Mari kita cari turunannya terhadap x . Menurut definisi, turunannya adalah batas berikut:
(3)
.
Mari kita ubah ekspresi ini untuk mereduksinya menjadi sifat dan aturan matematika yang diketahui. Untuk ini kita memerlukan fakta-fakta berikut:
TETAPI) Properti eksponen:
(4)
;
B) Sifat logaritma:
(5)
;
PADA) Kontinuitas logaritma dan sifat limit untuk fungsi kontinu:
(6)
.
Berikut adalah beberapa fungsi yang memiliki limit dan limit ini positif.
G) Arti dari batas indah kedua:
(7)
.
Kami menerapkan fakta-fakta ini sampai batas kami (3). Kami menggunakan properti (4):
;
.
Mari kita lakukan substitusi. Kemudian ; .
Karena kontinuitas eksponen,
.
Oleh karena itu, pada , . Hasilnya, kita mendapatkan:
.
Mari kita lakukan substitusi. Kemudian . Pada , . Dan kita mempunyai:
.
Kami menerapkan properti logaritma (5):
. Kemudian
.
Mari kita terapkan properti (6). Karena ada limit positif dan logaritma kontinu, maka:
.
Di sini kami juga menggunakan batas luar biasa kedua (7). Kemudian
.
Jadi, kami telah memperoleh rumus (1) untuk turunan dari eksponen.
Turunan rumus turunan fungsi eksponensial
Sekarang kita turunkan rumus (2) untuk turunan fungsi eksponensial dengan basis derajat a. Kami percaya bahwa dan . Maka fungsi eksponensial
(8)
Ditetapkan untuk semua orang.
Mari kita ubah rumus (8). Untuk melakukan ini, kami menggunakan properti fungsi eksponensial dan logaritma.
;
.
Jadi, kami telah mengubah rumus (8) menjadi bentuk berikut:
.
Turunan orde lebih tinggi dari e pangkat x
Sekarang mari kita cari turunan dari orde yang lebih tinggi. Mari kita lihat eksponennya terlebih dahulu:
(14)
.
(1)
.
Kita lihat bahwa turunan dari fungsi (14) sama dengan fungsi (14) itu sendiri. Membedakan (1), kami memperoleh turunan orde kedua dan ketiga:
;
.
Ini menunjukkan bahwa turunan orde ke-n juga sama dengan fungsi aslinya:
.
Turunan orde lebih tinggi dari fungsi eksponensial
Sekarang pertimbangkan fungsi eksponensial dengan basis derajat a:
.
Kami menemukan turunan orde pertama:
(15)
.
Membedakan (15), kami memperoleh turunan orde kedua dan ketiga:
;
.
Kita melihat bahwa setiap diferensiasi mengarah ke perkalian fungsi asli dengan . Oleh karena itu, turunan ke-n memiliki bentuk berikut:
.
