Apakah Anda tahu seperti apa bentuk segi enam biasa?
Pertanyaan ini tidak ditanyakan secara kebetulan. Sebagian besar siswa kelas 11 tidak tahu jawabannya.
Segi enam beraturan adalah segi enam yang semua sisinya sama besar dan semua sudutnya juga sama besar..
kacang besi. Kepingan salju. Sel sarang lebah tempat tinggal lebah. molekul benzena. Apa kesamaan benda-benda ini? - Fakta bahwa mereka semua memiliki bentuk heksagonal yang teratur.
Banyak anak sekolah tersesat ketika mereka melihat tugas untuk segi enam biasa, dan mereka percaya bahwa beberapa formula khusus diperlukan untuk menyelesaikannya. Apakah begitu?
Gambarlah diagonal-diagonal segi enam beraturan. Kami mendapat enam segitiga sama sisi. 
Kita tahu bahwa luas segitiga sama sisi adalah .
Maka luas segi enam biasa enam kali lebih besar.
Di mana sisi segi enam biasa.
Harap dicatat bahwa dalam segi enam biasa, jarak dari pusatnya ke salah satu simpul adalah sama dan sama dengan sisi segi enam biasa.
Ini berarti bahwa jari-jari lingkaran yang dibatasi di sekitar segi enam biasa sama dengan sisinya.
Jari-jari lingkaran yang tertulis dalam segi enam biasa mudah ditemukan.
Dia setara.
Sekarang Anda dapat dengan mudah memecahkan masalah USE di mana segi enam biasa muncul.
Temukan jari-jari lingkaran yang tertulis dalam segi enam beraturan dengan sisi .
Jari-jari lingkaran seperti itu adalah .
Menjawab: .
Apa sisi segi enam beraturan dalam lingkaran dengan jari-jari 6?
Kita tahu bahwa sisi segi enam biasa sama dengan jari-jari lingkaran yang dibatasi di sekitarnya.
Sosok paling terkenal dengan lebih dari empat sudut adalah segi enam biasa. Dalam geometri, sering digunakan dalam masalah. Dan dalam hidup, inilah tepatnya yang dimiliki sarang lebah.
Apa bedanya dengan salah?
Pertama, segi enam adalah gambar dengan 6 simpul. Kedua, bisa cembung atau cekung. Yang pertama berbeda dalam empat simpul terletak di satu sisi garis lurus yang ditarik melalui dua lainnya.
Ketiga, segi enam biasa dicirikan oleh fakta bahwa semua sisinya sama. Selain itu, setiap sudut gambar juga memiliki nilai yang sama. Untuk menentukan jumlah semua sudutnya, Anda harus menggunakan rumus: 180º * (n - 2). Di sini n adalah jumlah simpul dari gambar, yaitu 6. Perhitungan sederhana memberikan nilai 720º. Jadi masing-masing sudut adalah 120 derajat.
Dalam kegiatan sehari-hari, segi enam biasa ditemukan dalam kepingan salju dan kacang. Ahli kimia melihatnya bahkan dalam molekul benzena.
Sifat apa yang perlu Anda ketahui saat memecahkan masalah?
Untuk apa yang disebutkan di atas harus ditambahkan:
- diagonal gambar, ditarik melalui pusat, membaginya menjadi enam segitiga, yang sama sisi;
- sisi segi enam biasa memiliki nilai yang bertepatan dengan jari-jari lingkaran terbatas di sekitarnya;
- menggunakan gambar seperti itu, adalah mungkin untuk mengisi pesawat, dan di antara mereka tidak akan ada celah dan tidak ada tumpang tindih.
Notasi yang diperkenalkan
Secara tradisional, sisi sosok geometris biasa dilambangkan dengan huruf Latin "a". Untuk menyelesaikan masalah, luas dan keliling juga diperlukan, ini adalah S dan P, masing-masing. Sebuah lingkaran tertulis dalam segi enam biasa atau dibatasi tentang itu. Kemudian nilai jari-jarinya dimasukkan. Masing-masing dilambangkan dengan huruf r dan R.
Dalam beberapa rumus, sudut internal, setengah keliling, dan apotema (yang tegak lurus ke tengah sisi mana pun dari pusat poligon) muncul. Huruf digunakan untuk mereka: , p, m.
Rumus yang menggambarkan bentuk
Untuk menghitung jari-jari lingkaran tertulis, Anda memerlukan ini: r = (a * 3) / 2, dan r = m. Artinya, rumus yang sama akan berlaku untuk apotema.
Karena keliling segi enam adalah jumlah semua sisinya, maka akan ditentukan sebagai berikut: P = 6 * a. Mengingat bahwa sisinya sama dengan jari-jari lingkaran yang dibatasi, untuk keliling ada rumus untuk segi enam biasa: P \u003d 6 * R. Dari yang diberikan untuk jari-jari lingkaran tertulis, hubungan antara a dan r diturunkan. Kemudian rumus mengambil bentuk berikut: = 4 r * 3.
Untuk luas segi enam biasa, ini mungkin berguna: S = p * r = (a 2 * 3 3) / 2.
tugas
No. 1. Kondisi. Ada prisma heksagonal biasa, yang masing-masing tepinya sama dengan 4 cm, sebuah silinder tertulis di dalamnya, yang volumenya harus ditentukan.
Keputusan. Volume silinder didefinisikan sebagai produk dari luas alas dan tinggi. Yang terakhir bertepatan dengan tepi prisma. Dan itu sama dengan sisi segi enam biasa. Artinya, tinggi silinder juga 4 cm.
Untuk mengetahui luas alasnya, Anda perlu menghitung jari-jari lingkaran yang tertulis dalam segi enam. Rumus untuk ini ditunjukkan di atas. Jadi r = 2√3 (cm). Maka luas lingkaran: S \u003d * r 2 \u003d 3,14 * (2√3) 2 \u003d 37,68 (cm 2).
Menjawab. V \u003d 150,72 cm 3.
No. 2. Kondisi. Hitung jari-jari lingkaran yang tertulis dalam segi enam biasa. Diketahui sisinya 3 cm. Berapakah kelilingnya?
Keputusan. Tugas ini membutuhkan penggunaan dua rumus di atas. Selain itu, mereka harus diterapkan tanpa memodifikasi, cukup mengganti nilai sisi dan menghitung.
Jadi, jari-jari lingkaran bertulisan itu ternyata 1,5 cm Untuk keliling, nilai berikut ternyata benar: 6√3 cm.
Menjawab. r = 1,5 cm, = 6√3 cm.
No. 3. Kondisi. Jari-jari lingkaran yang dibatasi adalah 6 cm. Berapa nilai sisi segi enam biasa dalam kasus ini?
Keputusan. Dari rumus jari-jari lingkaran yang tertulis dalam segi enam, seseorang dengan mudah memperoleh yang dengannya sisi harus dihitung. Jelas bahwa jari-jari dikalikan dua dan dibagi dengan akar tiga. Hal ini diperlukan untuk menyingkirkan irasionalitas dalam penyebut. Oleh karena itu, hasil tindakan mengambil bentuk berikut: (12 3) / (√3 * 3), yaitu, 4√3.
Menjawab. a = 4√3 cm.
Apakah Anda tahu seperti apa bentuk segi enam biasa?
Pertanyaan ini tidak ditanyakan secara kebetulan. Sebagian besar siswa kelas 11 tidak tahu jawabannya.
Segi enam beraturan adalah segi enam yang semua sisinya sama besar dan semua sudutnya juga sama besar..
kacang besi. Kepingan salju. Sel sarang lebah tempat tinggal lebah. molekul benzena. Apa kesamaan benda-benda ini? - Fakta bahwa mereka semua memiliki bentuk heksagonal yang teratur.
Banyak anak sekolah tersesat ketika mereka melihat tugas untuk segi enam biasa, dan mereka percaya bahwa beberapa formula khusus diperlukan untuk menyelesaikannya. Apakah begitu?
Gambarlah diagonal-diagonal segi enam beraturan. Kami mendapat enam segitiga sama sisi. 
Kita tahu bahwa luas segitiga sama sisi adalah .
Maka luas segi enam biasa enam kali lebih besar.
Di mana sisi segi enam biasa.
Harap dicatat bahwa dalam segi enam biasa, jarak dari pusatnya ke salah satu simpul adalah sama dan sama dengan sisi segi enam biasa.
Ini berarti bahwa jari-jari lingkaran yang dibatasi di sekitar segi enam biasa sama dengan sisinya.
Jari-jari lingkaran yang tertulis dalam segi enam biasa mudah ditemukan.
Dia setara.
Sekarang Anda dapat dengan mudah memecahkan masalah USE di mana segi enam biasa muncul.
Temukan jari-jari lingkaran yang tertulis dalam segi enam beraturan dengan sisi .
Jari-jari lingkaran seperti itu adalah .
Menjawab: .
Apa sisi segi enam beraturan dalam lingkaran dengan jari-jari 6?
Kita tahu bahwa sisi segi enam biasa sama dengan jari-jari lingkaran yang dibatasi di sekitarnya.
Apakah ada pensil di dekat Anda? Lihatlah bagiannya - ini adalah segi enam biasa atau, sebagaimana disebut juga, segi enam. Potongan melintang kacang, bidang catur heksagonal, beberapa molekul karbon kompleks (misalnya, grafit), kepingan salju, sarang lebah, dan objek lain juga memiliki bentuk ini. Sebuah segi enam biasa raksasa baru-baru ini ditemukan. Tidakkah aneh bahwa alam begitu sering menggunakan struktur dengan bentuk khusus ini untuk penciptaannya? Mari kita lihat lebih dekat.
Segi enam beraturan adalah poligon dengan enam sisi yang sama dan sudut yang sama. Dari kursus sekolah, kita tahu bahwa ia memiliki sifat-sifat berikut:
- Panjang sisinya sesuai dengan jari-jari lingkaran yang dibatasi. Dari semua, hanya segi enam biasa yang memiliki properti ini.
- Sudut-sudutnya sama besar, dan besarnya masing-masing adalah 120 °.
- Keliling segi enam dapat dicari dengan menggunakan rumus =6*R jika jari-jari lingkaran yang mengelilinginya diketahui, atau =4*√(3)*r jika terdapat lingkaran di dalamnya. R dan r adalah jari-jari lingkaran berbatas dan bertulisan.
- Luas daerah yang ditempati oleh segi enam beraturan ditentukan sebagai berikut: S=(3*√(3)*R 2)/2. Jika jari-jari tidak diketahui, kami mengganti panjang salah satu sisinya - seperti yang Anda tahu, itu sesuai dengan panjang jari-jari lingkaran yang dibatasi.
Segi enam biasa memiliki satu fitur menarik karena telah menjadi begitu luas di alam - ia mampu mengisi permukaan bidang apa pun tanpa tumpang tindih dan celah. Bahkan ada yang disebut lemma Pal, yang menurutnya segi enam biasa yang sisinya sama dengan 1/√(3) adalah ban universal, yaitu dapat menutupi set apa pun dengan diameter satu unit.
Sekarang perhatikan konstruksi segi enam biasa. Ada beberapa cara, yang paling mudah melibatkan penggunaan kompas, pensil, dan penggaris. Pertama, kami menggambar lingkaran sewenang-wenang dengan kompas, lalu kami membuat titik di tempat yang sewenang-wenang di lingkaran ini. Tanpa mengubah solusi kompas, kami menempatkan ujung pada titik ini, menandai takik berikutnya pada lingkaran, teruskan cara ini sampai kami mendapatkan semua 6 poin. Sekarang tinggal menghubungkannya satu sama lain dengan segmen lurus, dan angka yang diinginkan akan muncul.
Dalam praktiknya, ada kalanya Anda perlu menggambar segi enam besar. Misalnya, pada langit-langit eternit dua tingkat, di sekitar titik pemasangan lampu gantung pusat, Anda perlu memasang enam lampu kecil di tingkat bawah. Akan sangat, sangat sulit untuk menemukan kompas sebesar ini. Bagaimana cara melanjutkan dalam kasus ini? Bagaimana cara menggambar lingkaran besar? Sangat sederhana. Anda perlu mengambil benang kuat dengan panjang yang diinginkan dan mengikat salah satu ujungnya di seberang pensil. Sekarang tinggal menemukan asisten yang akan menekan ujung kedua utas ke langit-langit pada titik yang tepat. Tentu saja, dalam kasus ini, kesalahan kecil mungkin terjadi, tetapi tidak mungkin terlihat oleh orang luar sama sekali.
Konstruksi segi enam biasa tertulis dalam lingkaran. Konstruksi segi enam didasarkan pada fakta bahwa sisinya sama dengan jari-jari lingkaran yang dibatasi. Oleh karena itu, untuk membangun, cukup dengan membagi lingkaran menjadi enam bagian yang sama dan menghubungkan titik-titik yang ditemukan satu sama lain (Gbr. 60, a).
Sebuah segi enam biasa dapat dibangun menggunakan persegi-T dan persegi 30X60 °. Untuk melakukan konstruksi ini, kami mengambil diameter horizontal lingkaran sebagai garis bagi sudut 1 dan 4 (Gbr. 60, b), membangun sisi 1-6, 4-3, 4-5 dan 7-2, setelah itu kami tarik sisi 5-6 dan 3-2.
Konstruksi segitiga sama sisi tertulis dalam lingkaran. Simpul segitiga semacam itu dapat dibangun menggunakan kompas dan bujur sangkar dengan sudut 30 dan 60 °, atau hanya satu kompas.
Pertimbangkan dua cara untuk membangun sebuah segitiga sama sisi tertulis dalam lingkaran.
Cara pertama(Gbr. 61, a) didasarkan pada kenyataan bahwa ketiga sudut dari segitiga 7, 2, 3 masing-masing berisi 60 °, dan garis vertikal yang ditarik melalui titik 7 adalah tinggi dan garis bagi sudut 1. Karena sudut 0-1- 2 sama dengan 30 °, maka untuk menemukan sisi
1-2, cukup membangun sudut 30° pada titik 1 dan sisi 0-1. Untuk melakukan ini, atur kotak-T dan kotak seperti yang ditunjukkan pada gambar, gambar garis 1-2, yang akan menjadi salah satu sisi segitiga yang diinginkan. Untuk membangun sisi 2-3, atur kotak-T ke posisi yang ditunjukkan oleh garis putus-putus, dan gambar garis lurus melalui titik 2, yang akan menentukan simpul ketiga dari segitiga.
Cara kedua didasarkan pada fakta bahwa jika Anda membangun segi enam biasa yang tertulis dalam lingkaran, dan kemudian menghubungkan simpulnya melalui satu, Anda mendapatkan segitiga sama sisi.
Untuk membuat segitiga (Gbr. 61, b), kami menandai titik sudut 1 pada diameter dan menggambar garis diametris 1-4. Selanjutnya, dari titik 4 dengan jari-jari sama dengan D / 2, kami menggambarkan busur hingga berpotongan dengan lingkaran di titik 3 dan 2. Titik yang dihasilkan akan menjadi dua simpul lain dari segitiga yang diinginkan.
Konstruksi persegi tertulis dalam lingkaran. Konstruksi ini dapat dilakukan dengan menggunakan persegi dan kompas.
Metode pertama didasarkan pada fakta bahwa diagonal-diagonal bujur sangkar berpotongan di tengah lingkaran yang dibatasi dan condong ke sumbunya pada sudut 45°. Berdasarkan ini, kami memasang persegi-T dan persegi dengan sudut 45 ° seperti yang ditunjukkan pada Gambar. 62, a, dan tandai titik 1 dan 3. Selanjutnya, melalui titik-titik ini, kita menggambar sisi horizontal bujur sangkar 4-1 dan 3-2 dengan bantuan persegi-T. Kemudian, dengan menggunakan persegi-T di sepanjang kaki persegi, kita menggambar sisi vertikal persegi 1-2 dan 4-3.
Metode kedua didasarkan pada fakta bahwa simpul bujur sangkar membagi dua busur lingkaran yang tertutup di antara ujung diameter (Gbr. 62, b). Kami menandai titik A, B dan C di ujung dua diameter yang saling tegak lurus, dan dari mereka dengan jari-jari y kami menggambarkan busur sampai mereka berpotongan.
Selanjutnya, melalui titik persimpangan busur, kami menggambar garis bantu, ditandai pada gambar dengan garis padat. Titik perpotongannya dengan lingkaran akan menentukan simpul 1 dan 3; 4 dan 2. Simpul dari bujur sangkar yang diinginkan yang diperoleh dengan cara ini dihubungkan secara seri satu sama lain.
Konstruksi segi lima biasa tertulis dalam lingkaran.
Untuk menuliskan segilima biasa dalam lingkaran (Gbr. 63), kami membuat konstruksi berikut.
Kami menandai titik 1 pada lingkaran dan menganggapnya sebagai salah satu simpul segi lima. Bagilah segmen AO menjadi dua. Untuk melakukan ini, dengan jari-jari AO dari titik A, kami menggambarkan busur hingga berpotongan dengan lingkaran di titik M dan B. Menghubungkan titik-titik ini dengan garis lurus, kami mendapatkan titik K, yang kemudian kami hubungkan dengan titik 1. Dengan radius sama dengan segmen A7, kami menggambarkan busur dari titik K ke perpotongan dengan garis diametris AO di titik H. Menghubungkan titik 1 dengan titik H, kami mendapatkan sisi segi lima. Kemudian, dengan bukaan kompas sama dengan segmen 1H, setelah menggambarkan busur dari titik 1 ke perpotongan dengan lingkaran, kami menemukan simpul 2 dan 5. Setelah membuat serif dari simpul 2 dan 5 dengan bukaan kompas yang sama, kami memperoleh sisa simpul 3 dan 4. Kami menghubungkan titik-titik yang ditemukan secara berurutan satu sama lain.
Konstruksi segi lima biasa diberikan sisinya.
Untuk membuat segilima beraturan di sepanjang sisi yang diberikan (Gbr. 64), kita membagi segmen AB menjadi enam bagian yang sama. Dari titik A dan B dengan jari-jari AB kita gambarkan busur, yang perpotongannya akan menghasilkan titik K. Melalui titik ini dan pembagian 3 pada garis AB kita menggambar garis vertikal.
Kami mendapatkan titik 1-vertex dari segi lima. Kemudian, dengan jari-jari sama dengan AB, dari titik 1 kami menggambarkan busur ke persimpangan dengan busur yang sebelumnya ditarik dari titik A dan B. Titik persimpangan busur menentukan simpul dari segi lima 2 dan 5. Kami menghubungkan yang ditemukan simpul secara seri satu sama lain.
Konstruksi segi enam biasa tertulis dalam lingkaran.
Biarkan lingkaran dengan diameter D diberikan; Anda perlu menuliskan segi enam biasa ke dalamnya (Gbr. 65). Bagilah diameter vertikal lingkaran menjadi tujuh bagian yang sama. Dari titik 7 dengan jari-jari sama dengan diameter lingkaran D digambarkan busur sampai berpotongan dengan kelanjutan diameter horizontal di titik F. Titik F disebut kutub poligon. Mengambil titik VII sebagai salah satu simpul segi enam, kami menggambar sinar dari kutub F melalui pembagian genap diameter vertikal, perpotongannya dengan lingkaran akan menentukan simpul VI, V dan IV segi enam. Untuk mendapatkan simpul / - // - /// dari titik IV, V dan VI, kita menggambar garis mendatar hingga berpotongan dengan lingkaran. Kami menghubungkan simpul yang ditemukan secara seri satu sama lain. Segi enam dapat dibangun dengan menggambar sinar dari kutub F dan melalui pembagian ganjil dari diameter vertikal.
Metode di atas cocok untuk membangun poligon beraturan dengan sejumlah sisi.
Pembagian lingkaran menjadi sejumlah bagian yang sama juga dapat dilakukan dengan menggunakan data pada Tabel. 2, yang menunjukkan koefisien yang memungkinkan untuk menentukan dimensi sisi poligon bertulisan biasa.
