Kuliah 6

matriks

6.1. Konsep dasar

Definisi 1.Matriks adalah tabel bilangan berbentuk persegi panjang.

Tanda kurung atau garis vertikal ganda digunakan untuk menunjukkan matriks:

Bilangan-bilangan yang menyusun suatu matriks disebut elemen, elemen matriks terletak di dalam dirinya -baris dan -kolom.

angka dan (jumlah baris dan kolom suatu matriks) disebut ordonya.

Mereka juga mengatakan bahwa - ukuran matriks
.

Jika sebuah
, matriks ditelepon kotak.

Untuk notasi pendek, notasi juga digunakan
(atau
) dan kemudian ditunjukkan sejauh mana dan , Sebagai contoh,
,
,
. (Entrinya berbunyi seperti ini: matriks dengan elemen ,perubahan dari sebelum ,- dari sebelum .)

Di antara matriks persegi, kami perhatikan matriks diagonal, di mana semua elemen dengan indeks yang tidak sama (
) sama dengan nol:

.

Kami akan mengatakan bahwa elemen
terletak pada diagonal utama.

Matriks Tampilan Diagonal

ditelepon lajang matriks.

Berikut ini, akan ada matriks dari bentuk

dan
,

yang disebut segitiga matriks, serta matriks yang terdiri dari satu kolom:

dan satu baris:

(matriks-kolom dan matriks-baris).

Matriks yang semua elemennya sama dengan nol disebut batal.

6.2. Penentu urutan n

Misalkan sebuah matriks persegi berorde :

. (6.1)

Mari kita membuat segala macam hal elemen matriks yang terletak di baris dan kolom yang berbeda, mis. produk berbentuk

. (6.2)

Banyaknya hasil kali bentuk (6.2) adalah (kami menerima fakta ini tanpa bukti).

Kami akan mempertimbangkan semua produk ini sebagai anggota penentu pesanan sesuai dengan matriks (6.1).

Indeks kedua dari faktor-faktor dalam (6.2) merupakan permutasi dari yang pertama bilangan asli
.

Mereka mengatakan angka dan dalam permutasi adalah inversi, jika
, dan dalam permutasi terletak sebelumnya .

Contoh 1 Dalam permutasi enam bilangan,
, angka dan ,dan ,dan ,dan ,dan membentuk inversi.

Permutasi disebut bahkan, jika jumlah inversi di dalamnya genap, dan aneh jika jumlah inversi di dalamnya ganjil.

Contoh 2 permutasi
- ganjil, dan permutasi
- bahkan ( inversi).

Definisi 2.penentu pesanan ,sesuai dengan matriks(6.1), disebut jumlah aljabar anggota,tersusun sebagai berikut:suku-suku determinannya adalah semua hasil kali yang mungkin elemen matriks,diambil satu dari setiap baris dan setiap kolom,di mana istilah diambil dengan tanda"+",jika himpunan indeks kedua adalah permutasi bilangan genap
,dan dengan tanda"–",jika aneh.

Determinan matriks (6.1) dinotasikan sebagai berikut:

.

Komentar. Definisi 2 untuk
dan
mengarah ke penentu urutan ke-2 dan ke-3 yang sudah dikenal:

,

transposisi di sekitar diagonal utama matriks disebut transisi ke matriks
, yang baris matriksnya adalah kolom dan kolom adalah baris:

.

Kami akan mengatakan bahwa determinannya
diperoleh dengan mentranspos determinan .

Sifat-sifat determinan orde n:

1.
(determinan tidak berubah ketika transpos di sekitar diagonal utama).

2. Jika salah satu baris determinan terdiri dari nol, determinannya sama dengan nol.

3. Dari permutasi dua string, determinannya hanya mengubah tanda.

4. Determinan yang mengandung dua string identik sama dengan nol.

5. Jika semua elemen dari beberapa baris determinan dikalikan dengan angka , determinannya dikalikan dengan .

6. Determinan yang memuat dua baris proporsional sama dengan nol.

7. Jika semua elemen -baris determinan disajikan sebagai jumlah
, maka determinannya sama dengan jumlah dua determinan yang semua barisnya kecuali -th, adalah sama seperti pada determinan awal, dan -baris ke-th dalam satu determinan terdiri dari , dan di sisi lain - dari .

Definisi 3.-baris determinan disebut kombinasi linier dari sisa barisnya,jika seperti itu,itu dengan mengalikan -baris ke atas ,dan kemudian menambahkan semua baris,Di samping itu th,kita mendapatkan -baris.

8. Jika salah satu baris determinan merupakan kombinasi linier dari baris-baris lainnya, determinannya sama dengan nol.

9. Determinan tidak berubah jika elemen dari salah satu garisnya ditambahkan ke elemen lain yang bersesuaian, dikalikan dengan angka yang sama.

Komentar. Kami telah merumuskan sifat-sifat determinan untuk string. Karena properti 1 (
) mereka juga berlaku untuk kolom.

Semua sifat di atas telah dibuktikan di kelas praktis untuk
; untuk sewenang-wenang menerimanya tanpa bukti.

Jika dalam determinan memesan pilih elemen dan mencoret kolom dan baris di persimpangan yang terletak , baris dan kolom yang tersisa membentuk determinan ordo
, yang disebut minor penentu sesuai dengan elemen .

Contoh 3 Dalam penentu

elemen kecil
adalah penentu
.

Definisi 4.penjumlahan aljabar elemen penentu disebut di bawah umurnya,dikalikan dengan
,di mana - nomor baris, - nomor kolom,di mana elemen yang dipilih berada .

Contoh 4 Dalam penentu

penjumlahan aljabar
.

Teorema 1 (tentang ekspansi string).Determinan sama dengan jumlah produk dari semua elemen dari setiap baris dan komplemen aljabarnya.

Teorema 1 memungkinkan kita untuk mengurangi perhitungan determinan orde ke perhitungan penentu urutan
.

Contoh 5. Hitung determinan orde keempat:

.

Mari kita gunakan Teorema 1 dan memperluas determinannya pada baris ke-4:

Komentar. Pertama dapat menyederhanakan determinan dengan menggunakan properti 9, dan kemudian menggunakan Teorema 1. Kemudian perhitungan determinan dari orde mengurangi ke perhitungan hanya satu penentu urutan
.

Contoh 6 Menghitung

.

Mari kita tambahkan kolom pertama ke kolom kedua dan pertama dikalikan dengan (
), ke yang ketiga, sebagai hasilnya kita dapatkan

.

Sekarang kita menerapkan Teorema 1 dan memperluas baris terakhir:

,

perhitungan determinan orde ke-4 dikurangi menjadi kalkulasi hanya satu determinan orde ke-3.

,

perhitungan determinan orde ketiga dikurangi menjadi kalkulasi hanya satu determinan orde kedua.

Contoh 7 Hitung determinan pesanan :

.

Kami menambahkan baris pertama ke baris kedua, ketiga, dan seterusnya. -baris. Datang ke penentu

.

Sebuah determinan segitiga diperoleh.

Berlaku
kali Teorema 1 (perluas di kolom pertama) dan dapatkan

.

Komentar. Determinan segitiga sama dengan produk dari elemen-elemen diagonal utama.

6.3. Operasi dasar matriks

Definisi 5.Dua matriks
,
,
,dan
,
,
,akan disebut sama jika
.

entri singkat:
.

Jadi, dua matriks dianggap sama jika memiliki orde yang sama dan elemen-elemen yang bersesuaian juga sama.

Definisi 6.Jumlah dua matriks
,
,
,dan
,
,
,matriks seperti itu disebut
,
,
,Apa
.

Dengan kata lain, hanya matriks dengan ordo yang sama yang dapat dijumlahkan, dan penjumlahan dilakukan elemen demi elemen.

Contoh 8 Cari jumlah matriks

dan
.

Sesuai dengan Definisi 6, kami menemukan

.

Aturan penjumlahan matriks berlaku untuk jumlah sejumlah suku berhingga.

Definisi 7.produk matriks
,
,
,ke bilangan asli matriks seperti itu disebut
,
,
,untuk itu
.

Dengan kata lain, untuk mengalikan matriks dengan angka, Anda perlu mengalikan semua elemennya dengan angka ini dan membiarkan produk yang dihasilkan di tempat asalnya.

Contoh 9 Temukan Kombinasi Linier
matriks

dan
.

Menggunakan Definisi 7, kita mendapatkan

,
,

.

Sifat Operasi Penjumlahan Matriks

dan perkalian dengan bilangan:

1. Penjumlahan bersifat komutatif:
.

2. Penjumlahan bersifat asosiatif :.

3. Ada matriks nol
, memenuhi syarat
untuk semua TETAPI.

4. Untuk setiap matriks TETAPI ada matriks yang berlawanan PADA, memenuhi syarat
.

Untuk setiap matriks TETAPI dan PADA dan sembarang bilangan real
persamaan terjadi:

5.
.

6.
.

7.
.

8.
.

Periksa properti 1. Tunjukkan
,
. Biarlah
,

,
. Kita punya

dan karena kesetaraan terbukti untuk elemen arbitrer, sesuai dengan Definisi 5
. Properti 1 terbukti.

Properti 2 terbukti sama.

Sebagai matriks ambil matriks ordenya
, semua elemennya sama dengan nol.

Setelah dilipat dengan matriks apapun menurut aturan yang diberikan dalam Definisi 6, kita memiliki matriks tidak berubah, dan properti 3 benar.

Mari kita periksa properti 4. Mari
. Mari kita taruh
. Kemudian
, maka sifat 4 benar.

Kami menghilangkan centang properti 5 - 8.

Definisi 8.produk matriks
,
,
,ke matriks
,
,
,disebut matriks
,
,
,dengan elemen
.

entri singkat:
.

Contoh 10 Cari hasil kali matriks

dan
.

Sesuai dengan Definisi 8, kami menemukan

Contoh 11. perkalian matriks

dan
.

Catatan 1. Jumlah elemen dalam baris matriks sama dengan jumlah elemen dalam kolom matriks (jumlah kolom matriks sama dengan jumlah baris matriks ).

Catatan 2. Dalam matriks
baris sebanyak dalam matriks , dan ada banyak kolom seperti di .

Catatan 3. Secara umum,
(perkalian matriks tidak komutatif).

Untuk membenarkan Catatan 3, cukup dengan memberikan setidaknya satu contoh.

Contoh 12. Kalikan dalam urutan terbalik dari matriks dan dari contoh 10.

jadi secara umum
.

Perhatikan bahwa dalam kasus tertentu persamaan
mungkin.

matriks dan , yang persamaannya
, disebut permutasi, atau perjalanan pulang pergi.

Latihan.

1. Temukan semua matriks yang bergerak dengan matriks yang diberikan:

sebuah)
; b)
.

2. Temukan semua matriks orde kedua, yang kuadratnya sama dengan matriks nol.

3. Buktikan bahwa
.

Sifat perkalian matriks:

Perkalian bersifat distributif.

Orde kedua adalah suatu bilangan yang sama dengan selisih antara hasil kali bilangan-bilangan yang membentuk diagonal utama dengan perkalian bilangan-bilangan pada diagonal sekundernya, dapat dicari penunjukan determinannya sebagai berikut: ; ; ; detA(penentu).

.

Contoh:
.

Determinan matriks orde ketiga angka atau ekspresi matematika disebut, dihitung menurut aturan berikut:

Cara paling sederhana untuk menghitung determinan orde ketiga adalah dengan menjumlahkan determinan dari dua baris pertama di bawah ini.

Pada tabel bilangan yang dibentuk, elemen-elemen yang berdiri pada diagonal utama dan diagonal yang sejajar dengan elemen utama dikalikan, tanda hasil perkalian tidak berubah. Tahap perhitungan selanjutnya adalah perkalian serupa dari elemen-elemen yang ada pada diagonal sekunder dan yang sejajar dengannya. Tanda-tanda hasil produk terbalik. Kemudian tambahkan enam suku yang dihasilkan.

Contoh:

Penguraian determinan oleh elemen-elemen dari beberapa baris (kolom).

Minor saya elemen dan ij matriks persegi TETAPI disebut determinan, terdiri dari elemen-elemen matriks TETAPI, tersisa setelah dihapus saya- oh garis dan j-kolom.

Misalnya, minor untuk elemen 21 matriks orde ketiga
akan ada penentu
.

Kami akan mengatakan bahwa elemen dan ij menempati posisi genap jika i+j(jumlah nomor baris dan kolom di persimpangan tempat elemen ini berada) - angka genap, tempat ganjil, jika i+j- angka ganjil.

penjumlahan aljabar Dan aku elemen dan ij matriks persegi TETAPI disebut ekspresi (atau nilai minor yang sesuai, diambil dengan tanda “+” jika elemen matriks menempati tempat genap, dan dengan tanda “-” jika elemen menempati tempat ganjil).

Contoh:

23= 4;

- komplemen aljabar suatu elemen 22= 1.

teorema Laplace. Determinan sama dengan jumlah produk elemen-elemen baris (kolom) tertentu dan penambahan aljabar yang sesuai.

Mari kita ilustrasikan dengan contoh determinan orde ketiga. Anda dapat menghitung determinan orde ketiga dengan memperluas baris pertama sebagai berikut:

Demikian pula, Anda dapat menghitung determinan orde ketiga dengan memperluas baris atau kolom mana pun. Lebih mudah untuk memperluas determinan di sepanjang baris (atau kolom) yang berisi lebih banyak nol.

Contoh:

Dengan demikian, perhitungan determinan orde ke-3 direduksi menjadi perhitungan determinan orde ke-3. Dalam kasus umum, seseorang dapat menghitung determinan matriks persegi n-urutan, menguranginya ke perhitungan n penentu ( n-1) urutan

Komentar. Tidak ada cara sederhana untuk menghitung determinan orde tinggi, serupa dengan metode untuk menghitung determinan orde ke-2 dan ke-3. Oleh karena itu, hanya metode dekomposisi yang dapat digunakan untuk menghitung determinan di atas orde ketiga.

Contoh. Hitung determinan orde keempat.

Perluas determinan dengan elemen baris ketiga

Sifat determinan:

1. Determinan tidak akan berubah jika barisnya diganti dengan kolom dan sebaliknya.

2. Saat mengubah dua baris (kolom) yang berdekatan, determinannya berubah tanda menjadi kebalikannya.

3. Determinan dengan dua baris (kolom) identik adalah 0.

4. Faktor persekutuan semua elemen dari beberapa baris (kolom) determinan dapat dikeluarkan dari tanda determinan.

5. Determinan tidak akan berubah jika elemen-elemen yang bersesuaian dari kolom (baris) lain dikalikan dengan suatu bilangan tertentu ditambahkan ke elemen-elemen salah satu kolomnya (baris).

Penentu dari urutan keempat dan lebih tinggi dimungkinkan untuk menghitung sesuai dengan skema yang disederhanakan, yang terdiri dari perluasan elemen baris atau kolom atau pengurangan menjadi bentuk segitiga. Kedua metode akan dibahas untuk kejelasan. matriks orde 4.

Metode dekomposisi baris atau kolom

Kami akan mempertimbangkan contoh pertama dengan penjelasan rinci tentang semua tindakan perantara.

Contoh 1 Hitung determinan dengan metode ekspansi.

Keputusan. Untuk menyederhanakan perhitungan, kami memperluas determinan orde keempat dalam hal elemen baris pertama (berisi elemen nol). Mereka dibentuk dengan mengalikan elemen dengan penambahan yang sesuai (penghapusan baris dan kolom terbentuk di persimpangan elemen yang mereka hitung - disorot dengan warna merah)

Akibatnya, perhitungan akan dikurangi untuk menemukan tiga determinan orde ketiga, yang kita temukan dengan aturan segitiga

Nilai yang ditemukan disubstitusikan ke dalam determinan keluaran

Hasilnya mudah diperiksa dengan kalkulator matriks YukhymCALC. Untuk melakukan ini, pilih item Matrix-Matrix Determinant di kalkulator, atur ukuran matriks menjadi 4 * 4.

Hasilnya sama, jadi perhitungannya benar.

Contoh 2 Hitung determinan matriks orde keempat.

Seperti pada tugas sebelumnya, kita akan melakukan perhitungan dengan metode dekomposisi. Untuk melakukan ini, pilih elemen kolom pertama. Disederhanakan, determinan dapat diberikan melalui jumlah empat determinan orde ketiga dalam bentuk

Perhitungannya tidak terlalu rumit, yang utama jangan bingung dengan tanda dan segitiga. Kami mengganti nilai yang ditemukan menjadi penentu utama dan meringkas

Ini sama dengan jumlah produk dari elemen-elemen dari beberapa baris atau kolom dan pelengkap aljabarnya, mis. , di mana i 0 adalah tetap.
Ekspresi (*) disebut dekomposisi determinan D dalam hal elemen baris dengan nomor i 0 .

tugas layanan. Layanan ini dirancang untuk menemukan determinan matriks secara online dengan eksekusi seluruh solusi dalam format Word. Selain itu, templat solusi dibuat di Excel.

Petunjuk. Pilih dimensi matriks, klik Next.

Dimensi matriks 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Ada dua cara untuk menghitung determinan: a-prioritas dan dekomposisi menurut baris atau kolom. Jika Anda ingin mencari determinan dengan membuat angka nol di salah satu baris atau kolom, maka Anda bisa menggunakan kalkulator ini.

Algoritma untuk mencari determinan

1. Untuk matriks orde n=2, determinannya dihitung dengan rumus: =a 11 *a 22 -a 12 *a 21
2. Untuk matriks orde n=3, determinannya dihitung melalui penjumlahan aljabar atau Metode Sarrus.
3. Sebuah matriks dengan dimensi lebih besar dari tiga didekomposisi menjadi penambahan aljabar, yang determinannya (minor) dihitung. Sebagai contoh, determinan matriks orde 4 ditemukan melalui ekspansi dalam baris atau kolom (lihat contoh).

Untuk menghitung determinan yang mengandung fungsi dalam matriks, digunakan metode standar. Misalnya, hitung determinan matriks orde ke-3:

Mari kita gunakan ekspansi baris pertama.
= sin(x)× + 1× = 2sin(x)cos(x)-2cos(x) = sin(2x)-2cos(x)

Metode untuk menghitung determinan

Menemukan determinan melalui penambahan aljabar adalah metode yang umum. Versi sederhananya adalah perhitungan determinan dengan aturan Sarrus. Namun, dengan dimensi matriks yang besar, metode berikut digunakan:

1. perhitungan determinan dengan pengurangan pesanan
2. perhitungan determinan dengan metode Gaussian (dengan mereduksi matriks menjadi bentuk segitiga).

Di Excel, untuk menghitung determinan, digunakan fungsi = MOPRED (rentang sel).

Penggunaan determinan yang diterapkan

Determinan dihitung, sebagai aturan, untuk sistem tertentu, diberikan dalam bentuk matriks persegi. Pertimbangkan beberapa jenis tugas di mencari determinan matriks. Kadang-kadang diperlukan untuk menemukan parameter yang tidak diketahui a yang determinannya sama dengan nol. Untuk melakukan ini, perlu untuk membuat persamaan untuk determinan (misalnya, menurut aturan segitiga) dan, menyamakannya dengan 0 , hitung parameter a .
dekomposisi menurut kolom (menurut kolom pertama):
Kecil untuk (1,1): Hapus baris pertama dan kolom pertama dari matriks.
Mari kita cari determinan untuk minor ini. 1,1 \u003d (2 (-2) -2 1) \u003d -6.

Mari kita tentukan minor untuk (2.1): untuk melakukan ini, kita menghapus baris kedua dan kolom pertama dari matriks.

Mari kita cari determinan untuk minor ini. 2,1 = (0 (-2)-2 (-2)) = 4 . Kecil untuk (3,1): Hapus baris ke-3 dan kolom ke-1 dari matriks.
Mari kita cari determinan untuk minor ini. 3,1 = (0 1-2 (-2)) = 4
Determinan utamanya adalah: = (1 (-6)-3 4+1 4) = -14

Mari kita cari determinannya menggunakan ekspansi menurut baris (menurut baris pertama):
Kecil untuk (1,1): Hapus baris pertama dan kolom pertama dari matriks.

Mari kita cari determinan untuk minor ini. 1,1 \u003d (2 (-2) -2 1) \u003d -6. Kecil untuk (1,2): Hapus baris ke-1 dan ke-2 dari matriks. Mari kita hitung determinan untuk minor ini. 1,2 \u003d (3 (-2) -1 1) \u003d -7. Dan untuk menemukan minor untuk (1,3) kami menghapus baris pertama dan kolom ketiga dari matriks. Mari kita cari determinan untuk minor ini. 1,3 = (3 2-1 2) = 4
Kami menemukan penentu utama: \u003d (1 (-6) -0 (-7) + (-2 4)) \u003d -14

Konsep determinan adalah salah satu yang utama dalam mata kuliah aljabar linier. Konsep ini melekat pada HANYA MATRIKS KOTAK, dan artikel ini dikhususkan untuk konsep ini. Di sini kita akan berbicara tentang determinan matriks yang elemennya adalah bilangan real (atau kompleks). Dalam hal ini, determinannya adalah bilangan real (atau kompleks). Semua presentasi lebih lanjut akan menjadi jawaban atas pertanyaan tentang bagaimana menghitung determinan, dan properti apa yang dimilikinya.

Pertama, kita berikan definisi determinan matriks bujur sangkar orde n oleh n sebagai jumlah hasil kali permutasi elemen matriks. Berdasarkan definisi ini, kami menulis rumus untuk menghitung determinan matriks orde pertama, kedua, dan ketiga dan menganalisis secara rinci solusi dari beberapa contoh.

Selanjutnya, kita beralih ke sifat-sifat determinan, yang akan kita rumuskan dalam bentuk teorema tanpa bukti. Di sini, metode untuk menghitung determinan akan diperoleh melalui ekspansi pada elemen baris atau kolom. Metode ini mereduksi perhitungan determinan matriks berorde n sebanyak n menjadi kalkulasi determinan matriks berorde 3 atau kurang. Pastikan untuk menunjukkan solusi untuk beberapa contoh.

Sebagai kesimpulan, mari kita membahas perhitungan determinan dengan metode Gauss. Metode ini baik untuk menemukan determinan matriks-matriks berorde lebih besar dari 3 kali 3 karena memerlukan usaha komputasi yang lebih sedikit. Kami juga akan menganalisis solusi dari contoh.

Navigasi halaman.

Definisi determinan matriks, perhitungan determinan matriks menurut definisi.

Kami mengingat beberapa konsep tambahan.

Definisi.

Permutasi orde n disebut himpunan bilangan terurut yang terdiri dari n elemen.

Untuk himpunan yang berisi n elemen, ada n! (n faktorial) dari permutasi orde n. Permutasi berbeda satu sama lain hanya dalam urutan elemen.

Misalnya, pertimbangkan satu set yang terdiri dari tiga angka: . Kami menuliskan semua permutasi (ada enam total, karena ):

Definisi.

Inversi dalam permutasi orde n setiap pasangan indeks p dan q disebut, yang elemen ke-p dari permutasi lebih besar dari ke-q.

Pada contoh sebelumnya, invers dari permutasi 4 , 9 , 7 adalah p=2 , q=3 , karena elemen kedua dari permutasi adalah 9 dan lebih besar dari elemen ketiga, yaitu 7 . Invers dari permutasi 9 , 7 , 4 akan menjadi tiga pasangan: p=1 , q=2 (9>7 ); p=1 , q=3 (9>4 ) dan p=2 , q=3 (7>4 ).

Kami akan lebih tertarik pada jumlah inversi dalam permutasi, daripada inversi itu sendiri.

Membiarkan menjadi matriks persegi urutan n oleh n di atas bidang bilangan real (atau kompleks). Membiarkan menjadi himpunan semua permutasi dari urutan n dari himpunan . Himpunan berisi n! permutasi. Mari kita nyatakan permutasi ke-k dari himpunan sebagai , dan jumlah inversi dalam permutasi ke-k sebagai .

Definisi.

Penentu matriks Dan ada angka yang sama dengan .

Mari kita jelaskan rumus ini dengan kata-kata. Determinan matriks bujur sangkar berorde n oleh n adalah jumlah yang mengandung n! ketentuan. Setiap suku adalah hasil kali n elemen matriks, dan setiap produk mengandung elemen dari setiap baris dan dari setiap kolom matriks A. Koefisien (-1) muncul sebelum suku ke-k jika elemen-elemen matriks A pada hasil kali diurutkan menurut nomor baris, dan banyaknya inversi pada permutasi ke-k dari himpunan bilangan kolom adalah ganjil.

Determinan matriks A biasanya dilambangkan sebagai , dan det(A) juga digunakan. Anda juga dapat mendengar bahwa determinan disebut determinan.

Jadi, .

Hal ini menunjukkan bahwa determinan matriks orde pertama adalah elemen dari matriks tersebut.

Menghitung Determinan Matriks Kuadrat Orde Kedua - Rumus dan Contoh.

sekitar 2 oleh 2 pada umumnya.

Dalam hal ini n=2 , maka n!=2!=2 .

.

Kita punya

Dengan demikian, kita telah memperoleh rumus untuk menghitung determinan matriks orde 2 dengan 2, memiliki bentuk .

Contoh.

memesan.

Keputusan.

Dalam contoh kita. Kami menerapkan rumus yang dihasilkan :

Perhitungan determinan matriks persegi orde ketiga - rumus dan contoh.

Mari kita cari determinan matriks persegi sekitar 3 per 3 pada umumnya.

Dalam hal ini n=3 , maka n!=3!=6 .

Mari kita susun dalam bentuk tabel data yang diperlukan untuk menerapkan rumus .

Kita punya

Dengan demikian, kita telah memperoleh rumus untuk menghitung determinan dari matriks orde 3 dengan 3, memiliki bentuk

Demikian pula, seseorang dapat memperoleh rumus untuk menghitung determinan matriks dengan urutan 4 kali 4, 5 kali 5 dan lebih tinggi. Mereka akan terlihat sangat besar.

Contoh.

Hitung Determinan Matriks Persegi sekitar 3 per 3

Keputusan.

Dalam contoh kita

Kami menerapkan rumus yang dihasilkan untuk menghitung determinan matriks orde ketiga:

Rumus untuk menghitung determinan matriks kuadrat orde kedua dan ketiga sangat sering digunakan, jadi sebaiknya Anda mengingatnya.

Sifat-sifat determinan matriks, perhitungan determinan matriks menggunakan sifat-sifat.

Berdasarkan definisi di atas, berikut ini adalah benar. sifat penentu matriks.

Determinan matriks A sama dengan determinan matriks transpos A T , yaitu .

Contoh.

Pastikan determinan matriks sama dengan determinan dari matriks yang ditransposisikan.

Keputusan.

Mari kita gunakan rumus untuk menghitung determinan matriks orde 3 dengan 3:



Kami mentranspos matriks A:


Hitung determinan matriks yang ditransposisikan:



Memang, determinan matriks yang ditransposisikan sama dengan determinan matriks aslinya.

Jika dalam matriks persegi semua elemen dari setidaknya satu baris (salah satu kolom) adalah nol, determinan matriks tersebut sama dengan nol.

Contoh.

Periksa bahwa determinan matriks urutan 3 dengan 3 adalah nol.

Keputusan.




Memang, determinan matriks dengan kolom nol adalah nol.

Jika Anda menukar dua baris (kolom) dalam matriks persegi, maka determinan dari matriks yang dihasilkan akan berlawanan dengan yang asli (yaitu, tandanya akan berubah).

Contoh.

Diberikan dua matriks persegi dengan orde 3 kali 3 dan . Tunjukkan bahwa determinannya berlawanan.

Keputusan.

Matriks B diperoleh dari matriks A dengan mengganti baris ketiga dengan baris pertama, dan baris pertama dengan baris ketiga. Menurut properti yang dipertimbangkan, determinan matriks tersebut harus berbeda tandanya. Mari kita periksa ini dengan menghitung determinan menggunakan rumus terkenal.



Betulkah, .

Jika setidaknya dua baris (dua kolom) sama dalam matriks persegi, maka determinannya sama dengan nol.

Contoh.

Tunjukkan bahwa determinan matriks sama dengan nol.

Keputusan.

Dalam matriks ini, kolom kedua dan ketiga adalah sama, jadi, menurut properti yang dipertimbangkan, determinannya harus sama dengan nol. Mari kita periksa.



Faktanya, determinan matriks dengan dua kolom identik adalah nol.

Jika dalam suatu matriks bujur sangkar semua elemen dari sembarang baris (kolom) dikalikan dengan suatu bilangan k, maka determinan matriks yang dihasilkan akan sama dengan determinan matriks asalnya, dikalikan dengan k. Sebagai contoh,



Contoh.

Buktikan bahwa determinan matriks sama dengan tiga kali determinan matriks .

Keputusan.

Elemen-elemen kolom pertama matriks B diperoleh dari elemen-elemen yang bersesuaian dari kolom pertama matriks A dengan mengalikan dengan 3. Kemudian, berdasarkan properti yang dipertimbangkan, kesetaraan harus berlaku. Mari kita periksa ini dengan menghitung determinan dari matriks A dan B.



Oleh karena itu, , yang harus dibuktikan.

CATATAN.

Jangan bingung atau bingung konsep matriks dan determinan! Properti yang dipertimbangkan dari determinan matriks dan operasi perkalian matriks dengan angka jauh dari hal yang sama.
, tetapi .

Jika semua elemen dari sembarang baris (kolom) matriks persegi adalah jumlah s suku (s adalah bilangan asli lebih dari satu), maka determinan matriks tersebut akan sama dengan jumlah s determinan matriks yang diperoleh dari yang asli, jika sebagai elemen baris (kolom) meninggalkan satu istilah pada suatu waktu. Sebagai contoh,


Contoh.

Buktikan bahwa determinan matriks sama dengan jumlah determinan matriks .

Keputusan.

Dalam contoh kita , oleh karena itu, karena properti yang dipertimbangkan dari determinan matriks, persamaan . Kami memeriksanya dengan menghitung determinan yang sesuai dari matriks orde 2 dengan 2 menggunakan rumus .


Dari hasil yang didapat, dapat diketahui bahwa . Ini melengkapi buktinya.

Jika kita menambahkan elemen-elemen yang bersesuaian dari baris (kolom) lain dikalikan dengan bilangan arbitrer k ke elemen-elemen baris (kolom) tertentu dari matriks, maka determinan matriks yang dihasilkan akan sama dengan determinan matriks aslinya.

Contoh.

Pastikan bahwa jika elemen-elemen kolom ketiga dari matriks tambahkan elemen yang sesuai dari kolom kedua matriks ini, dikalikan dengan (-2), dan tambahkan elemen yang sesuai dari kolom pertama matriks, dikalikan dengan bilangan real arbitrer, maka determinan matriks yang dihasilkan akan sama dengan determinan dari matriks asal.

Keputusan.

Jika kita mulai dari properti determinan yang dipertimbangkan, maka determinan matriks yang diperoleh setelah semua transformasi yang ditunjukkan dalam masalah akan sama dengan determinan matriks A.

Pertama, kita menghitung determinan dari matriks asli A:



Sekarang mari kita lakukan transformasi yang diperlukan dari matriks A.

Mari kita tambahkan ke elemen kolom ketiga matriks elemen yang sesuai dari kolom kedua matriks, setelah sebelumnya dikalikan dengan (-2) . Setelah itu, matriks akan terlihat seperti:


Ke elemen kolom ketiga dari matriks yang dihasilkan, kami menambahkan elemen yang sesuai dari kolom pertama, dikalikan dengan:


Hitung determinan matriks yang dihasilkan dan pastikan sama dengan determinan matriks A, yaitu -24:



Determinan matriks persegi sama dengan jumlah produk dari elemen-elemen baris (kolom) apa pun dengannya penjumlahan aljabar.



Berikut adalah komplemen aljabar dari elemen matriks , .

Properti ini memungkinkan menghitung determinan matriks orde lebih tinggi dari 3 kali 3 dengan mereduksinya menjadi jumlah beberapa determinan matriks orde satu lebih rendah. Dengan kata lain, ini adalah rumus berulang untuk menghitung determinan matriks persegi dengan urutan apa pun. Kami menyarankan Anda mengingatnya karena penerapannya yang cukup sering.

Mari kita lihat beberapa contoh.

Contoh.

pesan 4 kali 4, perluas

• oleh elemen baris ke-3,
• oleh elemen-elemen kolom ke-2.

Keputusan.

Kami menggunakan rumus untuk memperluas determinan dengan elemen-elemen baris ke-3



Kita punya



Jadi masalah mencari determinan matriks orde 4 direduksi menjadi perhitungan tiga determinan matriks orde 3 sebanyak 3:



Mengganti nilai yang diperoleh, kami sampai pada hasil:


Kami menggunakan rumus untuk memperluas determinan dengan elemen-elemen kolom ke-2


dan kami bertindak dengan cara yang sama.

Kami tidak akan menjelaskan secara rinci perhitungan determinan matriks orde ketiga.



Contoh.

Hitung Determinan Matriks sekitar 4 kali 4.

Keputusan.

Anda dapat menguraikan determinan matriks menjadi elemen kolom atau baris mana pun, tetapi akan lebih bermanfaat jika memilih baris atau kolom yang berisi jumlah elemen nol terbesar, karena ini akan membantu menghindari perhitungan yang tidak perlu. Mari kita perluas determinan dengan elemen baris pertama:



Kami menghitung determinan yang diperoleh dari matriks orde 3 dengan 3 sesuai dengan rumus yang kami ketahui:



Kami mengganti hasilnya dan mendapatkan nilai yang diinginkan


Contoh.

Hitung Determinan Matriks sekitar 5 kali 5.

Keputusan.

Baris keempat dari matriks memiliki jumlah elemen nol terbesar di antara semua baris dan kolom, jadi disarankan untuk memperluas determinan matriks secara tepat dengan elemen-elemen baris keempat, karena dalam hal ini kita membutuhkan lebih sedikit perhitungan.



Determinan matriks yang diperoleh dari urutan 4 dengan 4 ditemukan pada contoh sebelumnya, jadi kami akan menggunakan hasil yang sudah jadi:



Contoh.

Hitung Determinan Matriks sekitar 7 kali 7.

Keputusan.

Anda tidak boleh terburu-buru menguraikan determinan dengan elemen-elemen dari setiap baris atau kolom. Jika Anda memperhatikan matriks dengan cermat, Anda akan melihat bahwa elemen-elemen dari baris keenam matriks dapat diperoleh dengan mengalikan elemen-elemen yang bersesuaian dari baris kedua dengan dua. Artinya, jika kita menambahkan elemen yang bersesuaian dari baris kedua dikalikan dengan (-2) ke elemen baris keenam, maka determinannya tidak akan berubah karena properti ketujuh, dan baris keenam dari matriks yang dihasilkan akan terdiri dari nol. Determinan matriks seperti itu sama dengan nol oleh properti kedua.

Menjawab:

Perlu dicatat bahwa properti yang dipertimbangkan memungkinkan seseorang untuk menghitung determinan matriks dari urutan apa pun, namun, seseorang harus melakukan banyak operasi komputasi. Dalam kebanyakan kasus, lebih menguntungkan untuk menemukan determinan matriks berorde lebih tinggi daripada yang ketiga dengan metode Gauss, yang akan kita bahas di bawah ini.

Jumlah produk dari elemen-elemen dari setiap baris (kolom) dari matriks persegi dan komplemen aljabar dari elemen-elemen yang bersesuaian dari baris (kolom) lain sama dengan nol.


Contoh.

Tunjukkan bahwa jumlah produk dari elemen-elemen kolom ketiga matriks pada komplemen aljabar dari elemen yang sesuai dari kolom pertama sama dengan nol.

Keputusan.




Determinan hasil kali matriks kuadrat berorde sama sama dengan hasil kali determinannya, yaitu , di mana m adalah bilangan asli lebih dari satu, A k , k=1,2,…,m adalah matriks persegi dengan orde yang sama.

Contoh.

Pastikan bahwa determinan produk dari dua matriks dan sama dengan produk dari determinannya.

Keputusan.

Mari kita cari dulu hasil kali determinan matriks A dan B:


Sekarang mari kita lakukan perkalian matriks dan hitung determinan dari matriks yang dihasilkan:



Dengan demikian, , yang akan ditampilkan.

Perhitungan determinan matriks dengan metode Gauss.

Mari kita jelaskan inti dari metode ini. Dengan menggunakan transformasi elementer, matriks A direduksi sedemikian rupa sehingga semua elemen dalam kolom pertama, kecuali elemen tersebut, menjadi nol (hal ini selalu mungkin jika determinan matriks A bukan nol). Kami akan menjelaskan prosedur ini nanti, tetapi sekarang kami akan menjelaskan mengapa ini dilakukan. Elemen nol diperoleh untuk mendapatkan ekspansi determinan yang paling sederhana atas elemen-elemen kolom pertama. Setelah transformasi matriks A, dengan mempertimbangkan sifat kedelapan dan , kita memperoleh

di mana - kecil (n-1)-th order, diperoleh dari matriks A dengan menghapus elemen baris pertama dan kolom pertama.

Dengan matriks yang sesuai dengan minor, prosedur yang sama dilakukan untuk mendapatkan elemen nol di kolom pertama. Begitu seterusnya hingga perhitungan akhir determinan.

Sekarang tinggal menjawab pertanyaan: "Bagaimana cara mendapatkan elemen nol di kolom pertama"?

Mari kita jelaskan algoritme tindakan.

Jika , maka elemen-elemen baris pertama matriks ditambahkan ke elemen-elemen yang bersesuaian dari baris ke-k, di mana . (Jika tanpa kecuali semua elemen kolom pertama matriks A adalah nol, maka determinannya sama dengan nol oleh sifat kedua dan tidak diperlukan metode Gaussian). Setelah transformasi seperti itu, elemen "baru" akan berbeda dari nol. Determinan matriks "baru" akan sama dengan determinan matriks asli karena sifat ketujuh.

Sekarang kita memiliki matriks yang memiliki . Ketika ke elemen baris kedua, kami menambahkan elemen yang sesuai dari baris pertama, dikalikan dengan , ke elemen baris ketiga, elemen yang sesuai dari baris pertama, dikalikan dengan . Dll. Sebagai kesimpulan, ke elemen baris ke-n, kami menambahkan elemen yang sesuai dari baris pertama, dikalikan dengan . Jadi matriks transformasi A akan diperoleh, semua elemen kolom pertama, kecuali , akan menjadi nol. Determinan matriks yang dihasilkan akan sama dengan determinan matriks asal karena sifat ketujuh.

Mari kita menganalisis metode saat memecahkan sebuah contoh, sehingga akan lebih jelas.

Contoh.

Hitung determinan matriks orde 5 kali 5 .

Keputusan.

Mari kita gunakan metode Gauss. Mari kita ubah matriks A sehingga semua elemen kolom pertamanya, kecuali , menjadi nol.

Karena elemen awalnya , maka kami menambahkan ke elemen baris pertama matriks elemen yang sesuai, misalnya, baris kedua, karena:

Tanda "~" berarti kesetaraan.

Sekarang kita tambahkan ke elemen baris kedua elemen yang sesuai dari baris pertama, dikalikan dengan , ke elemen baris ketiga - elemen yang sesuai dari baris pertama, dikalikan dengan , dan lanjutkan dengan cara yang sama hingga baris keenam:

Kita mendapatkan

dengan matriks kami melakukan prosedur yang sama untuk mendapatkan elemen nol di kolom pertama:

Karena itu,

Sekarang kita melakukan transformasi dengan matriks :

Komentar.

Pada beberapa tahap transformasi matriks dengan metode Gauss, situasi mungkin muncul ketika semua elemen dari beberapa baris terakhir matriks menjadi nol. Ini akan berbicara tentang kesetaraan determinan ke nol.

Meringkaskan.

Determinan matriks persegi yang unsur-unsurnya bilangan adalah bilangan. Kami telah mempertimbangkan tiga cara untuk menghitung determinan:

1. melalui jumlah produk kombinasi elemen matriks;
2. melalui perluasan determinan oleh elemen-elemen baris atau kolom matriks;
3. metode pengurangan matriks menjadi segitiga atas (dengan metode Gauss).

Rumus diperoleh untuk menghitung determinan matriks orde 2 dengan 2 dan 3 dengan 3 .

Kami telah menganalisis sifat-sifat determinan matriks. Beberapa dari mereka memungkinkan Anda untuk dengan cepat memahami bahwa determinannya adalah nol.

Saat menghitung determinan matriks berorde lebih tinggi dari 3 kali 3, disarankan untuk menggunakan metode Gauss: lakukan transformasi dasar dari matriks dan bawa ke segitiga atas. Determinan matriks seperti itu sama dengan produk semua elemen pada diagonal utama.