Pecahan adalah bilangan biasa, bisa juga dijumlahkan dan dikurang. Tetapi karena fakta bahwa mereka memiliki penyebut, aturan yang lebih kompleks diperlukan di sini daripada untuk bilangan bulat.

Pertimbangkan kasus paling sederhana, ketika ada dua pecahan dengan penyebut yang sama. Kemudian:

Untuk menjumlahkan pecahan dengan penyebut yang sama, tambahkan pembilangnya dan biarkan penyebutnya tidak berubah.

Untuk mengurangkan pecahan dengan penyebut yang sama, pembilang kedua dari pecahan pertama harus dikurangi, dan penyebutnya tidak diubah lagi.

Dalam setiap ekspresi, penyebut pecahan adalah sama. Dengan definisi penjumlahan dan pengurangan pecahan, kita peroleh:

Seperti yang Anda lihat, tidak ada yang rumit: cukup tambahkan atau kurangi pembilangnya - dan hanya itu.

Tetapi bahkan dalam tindakan sederhana seperti itu, orang bisa membuat kesalahan. Paling sering mereka lupa bahwa penyebutnya tidak berubah. Misalnya, ketika menambahkannya, mereka juga mulai bertambah, dan ini pada dasarnya salah.

Menghilangkan kebiasaan buruk menambahkan penyebut cukup sederhana. Coba lakukan hal yang sama saat mengurangkan. Akibatnya, penyebutnya menjadi nol, dan pecahannya (tiba-tiba!) akan kehilangan artinya.

Karena itu, ingat sekali dan untuk semua: saat menambah dan mengurangi, penyebutnya tidak berubah!

Juga, banyak orang membuat kesalahan saat menambahkan beberapa pecahan negatif. Ada kebingungan dengan tanda-tanda: di mana harus meletakkan minus, dan di mana - plus.

Masalah ini juga sangat mudah untuk dipecahkan. Cukup diingat bahwa tanda minus sebelum pecahan selalu dapat dipindahkan ke pembilangnya - dan sebaliknya. Dan tentu saja, jangan lupa dua aturan sederhana:

1. Ditambah kali minus memberi minus;
2. Dua negatif membuat afirmatif.

Mari kita menganalisis semua ini dengan contoh spesifik:

Tugas. Temukan nilai ekspresi:

Dalam kasus pertama, semuanya sederhana, dan dalam kasus kedua, kami akan menambahkan minus ke pembilang pecahan:

Bagaimana jika penyebutnya berbeda?

Anda tidak dapat langsung menjumlahkan pecahan dengan penyebut yang berbeda. Setidaknya, metode ini tidak saya ketahui. Namun, pecahan asli selalu dapat ditulis ulang sehingga penyebutnya menjadi sama.

Ada banyak cara untuk mengubah pecahan. Tiga di antaranya dibahas dalam pelajaran " Membawa pecahan ke penyebut yang sama", jadi kita tidak akan membahasnya di sini. Mari kita lihat beberapa contoh:

Tugas. Temukan nilai ekspresi:

Dalam kasus pertama, kami membawa pecahan ke penyebut yang sama menggunakan metode "lintas-bijaksana". Yang kedua, kita akan mencari KPKnya. Perhatikan bahwa 6 = 2 3; 9 = 3 · 3. Faktor terakhir dalam pemuaian ini adalah sama, dan faktor pertama adalah koprima. Jadi KPK(6; 9) = 2 3 3 = 18.

Bagaimana jika pecahan memiliki bagian bilangan bulat?

Saya dapat menyenangkan Anda: penyebut pecahan yang berbeda bukanlah kejahatan terbesar. Lebih banyak kesalahan terjadi ketika seluruh bagian disorot dalam istilah pecahan.

Tentu saja, untuk pecahan seperti itu ada algoritma penjumlahan dan pengurangannya sendiri, tetapi agak rumit dan membutuhkan studi yang lama. Lebih baik gunakan diagram sederhana di bawah ini:

1. Ubah semua pecahan yang mengandung bagian bilangan bulat menjadi tidak wajar. Kami mendapatkan istilah normal (bahkan jika dengan penyebut yang berbeda), yang dihitung menurut aturan yang dibahas di atas;
2. Sebenarnya, menghitung jumlah atau selisih dari pecahan yang dihasilkan. Akibatnya, kita praktis akan menemukan jawabannya;
3. Jika hanya ini yang diperlukan dalam tugas, kami melakukan transformasi terbalik, mis. kami menyingkirkan fraksi yang tidak tepat, menyoroti bagian bilangan bulat di dalamnya.

Aturan untuk beralih ke pecahan yang tidak tepat dan menyoroti bagian bilangan bulat dijelaskan secara rinci dalam pelajaran "Apa itu pecahan numerik". Jika Anda tidak ingat, pastikan untuk mengulanginya. Contoh:

Tugas. Temukan nilai ekspresi:

Semuanya sederhana di sini. Penyebut di dalam setiap ekspresi sama, jadi tetap mengubah semua pecahan menjadi pecahan yang tidak tepat dan menghitung. Kita punya:

Untuk menyederhanakan perhitungan, saya melewatkan beberapa langkah yang jelas dalam contoh terakhir.

Catatan kecil untuk dua contoh terakhir, di mana pecahan dengan bagian bilangan bulat yang disorot dikurangi. Minus sebelum pecahan kedua berarti bahwa itu adalah seluruh pecahan yang dikurangi, dan bukan hanya seluruh bagiannya.

Baca ulang kalimat ini lagi, lihat contoh-contohnya, dan pikirkanlah. Di sinilah pemula membuat banyak kesalahan. Mereka suka memberikan tugas-tugas seperti itu di pekerjaan kontrol. Anda juga akan bertemu mereka berulang kali dalam ujian untuk pelajaran ini, yang akan segera diterbitkan.

Ringkasan: Skema Umum Komputasi

Sebagai kesimpulan, saya akan memberikan algoritma umum yang akan membantu Anda menemukan jumlah atau perbedaan dua atau lebih pecahan:

1. Jika bagian bilangan bulat disorot dalam satu atau lebih pecahan, ubah pecahan ini menjadi pecahan biasa;
2. Bawa semua pecahan ke penyebut yang sama dengan cara apa pun yang nyaman bagi Anda (kecuali, tentu saja, penyusun soal melakukan ini);
3. Menambah atau mengurangi angka yang dihasilkan sesuai dengan aturan penjumlahan dan pengurangan pecahan dengan penyebut yang sama;
4. Kurangi hasilnya jika memungkinkan. Jika pecahan ternyata salah, pilih seluruh bagian.

Ingatlah bahwa lebih baik untuk menyorot seluruh bagian di akhir tugas, tepat sebelum menulis jawabannya.

Pada abad kelima SM, filsuf Yunani kuno Zeno dari Elea merumuskan aporiasnya yang terkenal, yang paling terkenal adalah aporia "Achilles dan kura-kura". Begini bunyinya:

Katakanlah Achilles berlari sepuluh kali lebih cepat dari kura-kura dan berada seribu langkah di belakangnya. Selama waktu di mana Achilles berlari sejauh ini, kura-kura merangkak seratus langkah ke arah yang sama. Ketika Achilles telah berlari seratus langkah, kura-kura akan merangkak sepuluh langkah lagi, dan seterusnya. Prosesnya akan terus berlanjut tanpa batas waktu, Achilles tidak akan pernah bisa mengejar kura-kura.

Alasan ini menjadi kejutan logis bagi semua generasi berikutnya. Aristoteles, Diogenes, Kant, Hegel, Gilbert... Semuanya, dalam satu atau lain cara, dianggap sebagai aporia Zeno. Guncangannya begitu kuat sehingga " ... diskusi berlanjut saat ini, komunitas ilmiah belum berhasil mencapai pendapat umum tentang esensi paradoks ... analisis matematis, teori himpunan, pendekatan fisik dan filosofis baru terlibat dalam studi masalah ; tidak satupun dari mereka menjadi solusi yang diterima secara universal untuk masalah ..."[Wikipedia," Zeno's Aporias "]. Semua orang mengerti bahwa mereka dibodohi, tetapi tidak ada yang mengerti apa penipuan itu.

Dari sudut pandang matematika, Zeno dalam aporianya dengan jelas menunjukkan transisi dari nilai ke. Transisi ini menyiratkan penerapan alih-alih konstanta. Sejauh yang saya pahami, perangkat matematika untuk menerapkan satuan pengukuran variabel belum dikembangkan, atau belum diterapkan pada aporia Zeno. Penerapan logika kita yang biasa membawa kita ke dalam jebakan. Kami, dengan kelembaman berpikir, menerapkan satuan waktu yang konstan untuk kebalikannya. Dari sudut pandang fisik, sepertinya waktu melambat hingga berhenti total pada saat Achilles mengejar kura-kura. Jika waktu berhenti, Achilles tidak bisa lagi menyusul kura-kura.

Jika kita memutar logika yang biasa kita gunakan, semuanya menjadi pada tempatnya. Achilles berjalan dengan kecepatan konstan. Setiap segmen berikutnya dari jalurnya sepuluh kali lebih pendek dari yang sebelumnya. Dengan demikian, waktu yang dihabiskan untuk mengatasinya sepuluh kali lebih sedikit dari yang sebelumnya. Jika kita menerapkan konsep "tak terhingga" dalam situasi ini, maka akan benar untuk mengatakan "Achilles akan dengan cepat menyalip kura-kura."

Bagaimana cara menghindari jebakan logis ini? Tetap dalam satuan waktu yang konstan dan jangan beralih ke nilai timbal balik. Dalam bahasa Zeno, terlihat seperti ini:

Dalam waktu yang dibutuhkan Achilles untuk berlari seribu langkah, kura-kura merangkak seratus langkah ke arah yang sama. Selama interval waktu berikutnya, sama dengan yang pertama, Achilles akan berlari seribu langkah lagi, dan kura-kura akan merangkak seratus langkah. Sekarang Achilles berada delapan ratus langkah di depan kura-kura.

Pendekatan ini cukup menggambarkan realitas tanpa paradoks logis. Tapi ini bukan solusi lengkap untuk masalah ini. Pernyataan Einstein tentang kecepatan cahaya yang tidak dapat diatasi sangat mirip dengan aporia Zeno "Achilles dan kura-kura". Kami belum mempelajari, memikirkan kembali, dan memecahkan masalah ini. Dan solusinya harus dicari bukan dalam jumlah besar yang tak terhingga, tetapi dalam satuan pengukuran.

Aporia menarik lainnya dari Zeno menceritakan tentang panah terbang:

Sebuah panah terbang tidak bergerak, karena pada setiap saat ia diam, dan karena ia diam pada setiap saat, ia selalu diam.

Dalam aporia ini, paradoks logis diatasi dengan sangat sederhana - cukup untuk memperjelas bahwa pada setiap saat panah terbang diam di berbagai titik di ruang angkasa, yang sebenarnya adalah gerakan. Ada hal lain yang perlu diperhatikan di sini. Dari satu foto mobil di jalan, tidak mungkin untuk menentukan fakta pergerakannya atau jaraknya. Untuk menentukan fakta pergerakan mobil, diperlukan dua foto yang diambil dari titik yang sama pada titik waktu yang berbeda, tetapi foto tersebut tidak dapat digunakan untuk menentukan jarak. Untuk menentukan jarak ke mobil, Anda memerlukan dua foto yang diambil dari titik yang berbeda dalam ruang secara bersamaan, tetapi Anda tidak dapat menentukan fakta pergerakan dari mereka (tentu saja, Anda masih memerlukan data tambahan untuk perhitungan, trigonometri akan membantu Anda). Yang ingin saya tunjukkan secara khusus adalah bahwa dua titik dalam waktu dan dua titik dalam ruang adalah dua hal berbeda yang tidak boleh dikacaukan karena keduanya memberikan peluang yang berbeda untuk eksplorasi.

Rabu, 4 Juli 2018

Sangat baik perbedaan antara set dan multiset dijelaskan di Wikipedia. Kami melihat.

Seperti yang Anda lihat, "kumpulan tidak dapat memiliki dua elemen yang identik", tetapi jika ada elemen yang identik di dalam himpunan, himpunan seperti itu disebut "multiset". Makhluk yang berakal tidak akan pernah mengerti logika absurditas seperti itu. Ini adalah tingkat burung beo yang bisa berbicara dan monyet yang terlatih, di mana pikiran absen dari kata "sepenuhnya". Matematikawan bertindak sebagai pelatih biasa, mengkhotbahkan ide-ide absurd mereka kepada kita.

Sekali waktu, para insinyur yang membangun jembatan berada di sebuah perahu di bawah jembatan selama pengujian jembatan. Jika jembatan runtuh, insinyur biasa-biasa saja mati di bawah puing-puing ciptaannya. Jika jembatan dapat menahan beban, insinyur berbakat membangun jembatan lain.

Tidak peduli bagaimana matematikawan bersembunyi di balik ungkapan "ingat aku, aku di rumah", atau lebih tepatnya "matematika mempelajari konsep abstrak", ada satu tali pusar yang menghubungkan mereka dengan kenyataan. Tali pusar ini adalah uang. Mari kita terapkan teori himpunan matematika untuk matematikawan itu sendiri.

Kami belajar matematika dengan sangat baik dan sekarang kami duduk di meja kas, membayar gaji. Di sini seorang ahli matematika datang kepada kami untuk mendapatkan uangnya. Kami menghitung seluruh jumlah kepadanya dan meletakkannya di atas meja kami ke dalam tumpukan yang berbeda, di mana kami meletakkan uang kertas dengan denominasi yang sama. Kemudian kami mengambil satu tagihan dari setiap tumpukan dan memberikan "kumpulan gaji matematika" kepada ahli matematika itu. Kami menjelaskan matematika bahwa dia akan menerima sisa tagihan hanya ketika dia membuktikan bahwa himpunan tanpa elemen identik tidak sama dengan himpunan dengan elemen identik. Di sinilah kesenangan dimulai.

Pertama-tama, logika para deputi akan berhasil: "Anda dapat menerapkannya pada orang lain, tetapi tidak pada saya!" Selanjutnya, jaminan akan dimulai bahwa ada nomor uang kertas yang berbeda pada uang kertas dari denominasi yang sama, yang berarti bahwa mereka tidak dapat dianggap sebagai elemen yang identik. Yah, kami menghitung gaji dalam koin - tidak ada angka di koin. Di sini ahli matematika akan dengan panik mengingat fisika: koin yang berbeda memiliki jumlah kotoran yang berbeda, struktur kristal dan susunan atom untuk setiap koin adalah unik ...

Dan sekarang saya memiliki pertanyaan yang paling menarik: di mana batas di luar elemen multiset mana yang berubah menjadi elemen himpunan dan sebaliknya? Garis seperti itu tidak ada - semuanya diputuskan oleh dukun, sains di sini bahkan tidak dekat.

Lihat disini. Kami memilih stadion sepak bola dengan luas lapangan yang sama. Luas bidangnya sama, artinya kita memiliki multiset. Tapi kalau kita mempertimbangkan nama stadion yang sama, kita dapat banyak, karena namanya berbeda. Seperti yang Anda lihat, himpunan elemen yang sama adalah himpunan dan multiset pada waktu yang sama. Bagaimana benar? Dan di sini matematikawan-dukun-shuller mengeluarkan kartu as dari lengan bajunya dan mulai memberi tahu kita tentang satu set atau multiset. Bagaimanapun, dia akan meyakinkan kita bahwa dia benar.

Untuk memahami bagaimana dukun modern beroperasi dengan teori himpunan, mengikatnya pada kenyataan, cukup menjawab satu pertanyaan: bagaimana elemen satu himpunan berbeda dari elemen himpunan lain? Saya akan menunjukkan kepada Anda, tanpa "dapat dibayangkan sebagai satu kesatuan" atau "tidak dapat dibayangkan sebagai satu kesatuan".

Minggu, 18 Maret 2018

Jumlah digit angka adalah tarian dukun dengan rebana, yang tidak ada hubungannya dengan matematika. Ya, dalam pelajaran matematika kita diajarkan untuk menemukan jumlah digit angka dan menggunakannya, tetapi mereka adalah dukun untuk itu, untuk mengajari keturunan mereka keterampilan dan kebijaksanaan mereka, jika tidak, dukun akan mati begitu saja.

Apakah Anda perlu bukti? Buka Wikipedia dan coba temukan halaman "Jumlah Digit Angka". Dia tidak ada. Tidak ada rumus dalam matematika yang dengannya Anda dapat menemukan jumlah digit dari bilangan apa pun. Bagaimanapun, angka adalah simbol grafik yang dengannya kita menulis angka, dan dalam bahasa matematika, tugasnya terdengar seperti ini: "Temukan jumlah simbol grafik yang mewakili angka apa pun." Matematikawan tidak dapat memecahkan masalah ini, tetapi dukun dapat melakukannya secara mendasar.

Mari kita cari tahu apa dan bagaimana kita lakukan untuk menemukan jumlah digit dari angka yang diberikan. Jadi, katakanlah kita memiliki bilangan 12345. Apa yang perlu dilakukan untuk menemukan jumlah angka dari bilangan ini? Mari kita pertimbangkan semua langkah secara berurutan.

1. Tuliskan nomornya di secarik kertas. Apa yang telah kita lakukan? Kami telah mengonversi angka menjadi simbol grafik angka. Ini bukan operasi matematika.

2. Kami memotong satu gambar yang diterima menjadi beberapa gambar yang berisi nomor terpisah. Memotong gambar bukanlah operasi matematika.

3. Ubah karakter grafik individu menjadi angka. Ini bukan operasi matematika.

4. Jumlahkan angka yang dihasilkan. Sekarang itu matematika.

Jumlah angka 12345 adalah 15. Ini adalah "kursus memotong dan menjahit" dari dukun yang digunakan oleh ahli matematika. Tapi itu tidak semua.

Dari sudut pandang matematika, tidak masalah di sistem bilangan mana kita menulis bilangan. Jadi, dalam sistem bilangan yang berbeda, jumlah digit dari angka yang sama akan berbeda. Dalam matematika, sistem bilangan ditunjukkan sebagai subskrip di sebelah kanan bilangan. Dengan jumlah besar 12345, saya tidak ingin membodohi kepala saya, perhatikan angka 26 dari artikel tentang. Mari kita tulis bilangan ini dalam sistem bilangan biner, oktal, desimal, dan heksadesimal. Kami tidak akan mempertimbangkan setiap langkah di bawah mikroskop, kami telah melakukannya. Mari kita lihat hasilnya.

Seperti yang Anda lihat, dalam sistem bilangan yang berbeda, jumlah digit dari nomor yang sama berbeda. Hasil ini tidak ada hubungannya dengan matematika. Sama halnya jika Anda akan mendapatkan hasil yang sama sekali berbeda saat menentukan luas persegi panjang dalam meter dan sentimeter.

Nol di semua sistem bilangan terlihat sama dan tidak memiliki jumlah digit. Ini adalah argumen lain yang mendukung fakta bahwa . Sebuah pertanyaan untuk matematikawan: bagaimana itu dilambangkan dalam matematika yang bukan angka? Apa, untuk ahli matematika, tidak ada yang lain selain angka? Untuk dukun, saya bisa mengizinkan ini, tetapi untuk ilmuwan, tidak. Realitas bukan hanya tentang angka.

Hasil yang diperoleh harus dianggap sebagai bukti bahwa sistem bilangan adalah satuan ukuran bilangan. Lagi pula, kita tidak dapat membandingkan angka dengan satuan pengukuran yang berbeda. Jika tindakan yang sama dengan unit pengukuran yang berbeda dari kuantitas yang sama menyebabkan hasil yang berbeda setelah membandingkannya, maka ini tidak ada hubungannya dengan matematika.

Apa itu matematika sebenarnya? Ini terjadi ketika hasil tindakan matematika tidak bergantung pada nilai angka, unit pengukuran yang digunakan, dan siapa yang melakukan tindakan ini.

Tanda di pintu Membuka pintu dan berkata:

Aduh! Bukankah ini toilet wanita?
- Wanita muda! Ini adalah laboratorium untuk mempelajari kekudusan jiwa yang tidak terbatas saat naik ke surga! Nimbus di atas dan panah ke atas. Toilet apa lagi?

Wanita... Lingkaran di atas dan panah ke bawah adalah pria.

Jika Anda memiliki karya seni desain seperti itu yang muncul di depan mata Anda beberapa kali sehari,

Maka tidak mengherankan jika Anda tiba-tiba menemukan ikon aneh di mobil Anda:

Secara pribadi, saya berusaha sendiri untuk melihat minus empat derajat pada orang yang buang air besar (satu gambar) (susunan beberapa gambar: tanda minus, angka empat, penunjukan derajat). Dan saya tidak menganggap gadis ini bodoh yang tidak tahu fisika. Dia hanya memiliki stereotip busur persepsi gambar grafis. Dan matematikawan mengajari kita ini sepanjang waktu. Berikut adalah contoh.

1A bukan "minus empat derajat" atau "satu a". Ini adalah "orang buang air besar" atau angka "dua puluh enam" dalam sistem bilangan heksadesimal. Orang-orang yang terus-menerus bekerja dalam sistem angka ini secara otomatis menganggap angka dan huruf sebagai satu simbol grafis.

Catatan! Sebelum menulis jawaban akhir, lihat apakah Anda dapat mengurangi pecahan yang Anda terima.

Pengurangan pecahan dengan penyebut yang sama contoh:

,

,

Pengurangan pecahan biasa dari satu.

Jika perlu untuk mengurangkan dari unit pecahan yang benar, unit diubah menjadi bentuk pecahan biasa, penyebutnya sama dengan penyebut dari pecahan yang dikurangi.

Contoh pengurangan pecahan biasa dari satu:

Penyebut pecahan yang akan dikurangi = 7 , yaitu, kami menyatakan satuan sebagai pecahan tak wajar 7/7 dan mengurangkan menurut aturan pengurangan pecahan dengan penyebut yang sama.

Pengurangan pecahan biasa dari bilangan bulat.

Aturan pengurangan pecahan - benar dari bilangan bulat (bilangan asli):

• Kami menerjemahkan pecahan yang diberikan, yang berisi bagian bilangan bulat, menjadi pecahan yang tidak tepat. Kami mendapatkan istilah normal (tidak masalah jika mereka memiliki penyebut yang berbeda), yang kami pertimbangkan sesuai dengan aturan yang diberikan di atas;
• Selanjutnya, kita menghitung selisih pecahan yang kita terima. Akibatnya, kita hampir akan menemukan jawabannya;
• Kami melakukan transformasi terbalik, yaitu, kami menyingkirkan pecahan yang tidak tepat - kami memilih bagian bilangan bulat dalam pecahan.

Kurangi pecahan biasa dari bilangan bulat: kami mewakili bilangan asli sebagai bilangan campuran. Itu. kita mengambil satuan dalam bilangan asli dan menerjemahkannya ke dalam bentuk pecahan biasa, penyebutnya sama dengan pecahan yang dikurangi.

Contoh pengurangan pecahan:

Dalam contoh, kami mengganti unit dengan pecahan biasa 7/7 dan alih-alih 3 kami menuliskan angka campuran dan mengurangi pecahan dari bagian pecahan.

Pengurangan pecahan dengan penyebut berbeda.

Atau, dengan kata lain, pengurangan pecahan yang berbeda.

Aturan pengurangan pecahan dengan penyebut berbeda. Untuk mengurangkan pecahan dengan penyebut yang berbeda, pertama-tama perlu untuk membawa pecahan ini ke penyebut bersama (LCD) terendah, dan hanya setelah itu untuk mengurangi seperti dengan pecahan dengan penyebut yang sama.

Penyebut dari beberapa pecahan adalah KPK (kelipatan persekutuan terkecil) bilangan asli yang merupakan penyebut dari pecahan yang diberikan.

Perhatian! Jika pada pecahan terakhir pembilang dan penyebutnya mempunyai faktor persekutuan, maka pecahan tersebut harus direduksi. Pecahan tak wajar paling baik direpresentasikan sebagai pecahan campuran. Membiarkan hasil pengurangan tanpa mengurangi pecahan jika memungkinkan adalah solusi yang belum selesai untuk contoh!

Prosedur pengurangan pecahan dengan penyebut berbeda.

• cari KPK untuk semua penyebutnya;
• menempatkan pengganda tambahan untuk semua pecahan;
• kalikan semua pembilang dengan faktor tambahan;
• kami menulis produk yang dihasilkan di pembilang, menandatangani penyebut yang sama di bawah semua pecahan;
• mengurangkan pembilang pecahan, menandatangani penyebut yang sama di bawah perbedaan.

Dengan cara yang sama, penjumlahan dan pengurangan pecahan dilakukan dengan adanya huruf pada pembilangnya.

Pengurangan pecahan, contoh:

Pengurangan pecahan campuran.

Pada pengurangan pecahan campuran (angka) secara terpisah, bagian bilangan bulat dikurangi dari bagian bilangan bulat, dan bagian pecahan dikurangi dari bagian pecahan.

Opsi pertama adalah mengurangkan pecahan campuran.

Jika bagian pecahan sama penyebut dan pembilang bagian pecahan dari minuend (kita kurangi) pembilang bagian pecahan dari subtrahend (kita kurangi).

Sebagai contoh:

Pilihan kedua adalah mengurangkan pecahan campuran.

Ketika bagian pecahan berbagai penyebut. Untuk memulainya, kami mengurangi bagian pecahan menjadi penyebut yang sama, dan kemudian kami mengurangi bagian bilangan bulat dari bilangan bulat, dan pecahan dari pecahan.

Sebagai contoh:

Pilihan ketiga adalah mengurangkan pecahan campuran.

Bagian pecahan dari minuend lebih kecil dari bagian pecahan dari subtrahend.

Contoh:

Karena bagian pecahan memiliki penyebut yang berbeda, yang berarti, seperti pada opsi kedua, pertama-tama kita membawa pecahan biasa ke penyebut yang sama.

Pembilang bagian pecahan dari minuend lebih kecil dari pembilang bagian pecahan dari subtrahend.3 < 14. Jadi, kami mengambil satuan dari bagian bilangan bulat dan menjadikan satuan ini dalam bentuk pecahan biasa dengan penyebut dan pembilang yang sama = 18.

Di pembilang dari sisi kanan kami menulis jumlah pembilang, lalu kami membuka tanda kurung di pembilang dari sisi kanan, yaitu, kami mengalikan semuanya dan memberikan yang serupa. Kami tidak membuka tanda kurung di penyebut. Merupakan kebiasaan untuk meninggalkan produk dalam penyebut. Kita mendapatkan:

Tindakan dengan pecahan.

Perhatian!
Ada tambahan
materi di Bagian Khusus 555.
Bagi mereka yang sangat "tidak terlalu..."
Dan bagi mereka yang "sangat banyak...")

Jadi, apa itu pecahan, jenis pecahan, transformasi - kami ingat. Mari kita bahas pertanyaan utamanya.

Apa yang bisa kamu lakukan dengan pecahan? Ya, semuanya sama dengan angka biasa. Tambah, kurangi, kalikan, bagi.

Semua tindakan ini dengan desimal Operasi pecahan tidak berbeda dengan operasi bilangan bulat. Sebenarnya, inilah gunanya mereka, desimal. Satu-satunya hal adalah Anda harus meletakkan koma dengan benar.

angka campuran, seperti yang saya katakan, tidak banyak berguna untuk sebagian besar tindakan. Mereka masih perlu dikonversi ke pecahan biasa.

Dan inilah tindakan dengan pecahan biasa akan lebih pintar. Dan jauh lebih penting! Biarkan saya mengingatkan Anda: semua tindakan dengan ekspresi pecahan dengan huruf, sinus, tidak diketahui, dan sebagainya dan sebagainya tidak berbeda dengan tindakan dengan pecahan biasa! Operasi dengan pecahan biasa adalah dasar untuk semua aljabar. Karena alasan inilah kami akan menganalisis semua aritmatika ini dengan sangat rinci di sini.

Penjumlahan dan pengurangan pecahan.

Setiap orang dapat menjumlahkan (mengurangi) pecahan dengan penyebut yang sama (saya sangat berharap!). Baiklah, izinkan saya mengingatkan Anda bahwa saya benar-benar pelupa: saat menambahkan (mengurangi), penyebutnya tidak berubah. Pembilang ditambahkan (dikurangi) untuk memberikan pembilang dari hasil. Jenis:

Singkatnya, secara umum:

Bagaimana jika penyebutnya berbeda? Kemudian, menggunakan properti utama pecahan (ini berguna lagi!), Kami membuat penyebutnya sama! Sebagai contoh:

Di sini kita harus membuat pecahan 4/10 dari pecahan 2/5. Semata-mata untuk tujuan menyamakan penyebut. Saya perhatikan, untuk berjaga-jaga, bahwa 2/5 dan 4/10 adalah pecahan yang sama! Hanya 2/5 yang tidak nyaman bagi kami, dan 4/10 bahkan bukan apa-apa.

Omong-omong, ini adalah inti dari menyelesaikan tugas apa pun dalam matematika. Saat kita keluar tidak nyaman ekspresi lakukan sama, tetapi lebih nyaman untuk dipecahkan.

Contoh lain:

Situasinya serupa. Di sini kita membuat 48 dari 16. Dengan perkalian sederhana dengan 3. Ini semua sudah jelas. Tapi di sini kita menemukan sesuatu seperti:

Bagaimana menjadi?! Sulit untuk membuat sembilan dari tujuh! Tapi kami pintar, kami tahu aturannya! Mari bertransformasi setiap pecahan sehingga penyebutnya sama. Ini disebut "kurangi menjadi penyebut yang sama":

Bagaimana! Bagaimana saya tahu tentang 63? Sangat sederhana! 63 adalah bilangan yang habis dibagi 7 dan 9 sekaligus. Angka seperti itu selalu dapat diperoleh dengan mengalikan penyebut. Jika kita mengalikan suatu bilangan dengan 7, misalnya, maka hasilnya pasti akan dibagi 7!

Jika Anda perlu menjumlahkan (mengurangi) beberapa pecahan, tidak perlu berpasangan, selangkah demi selangkah. Anda hanya perlu menemukan penyebut yang sama untuk semua pecahan, dan membawa setiap pecahan ke penyebut yang sama ini. Sebagai contoh:

Dan apa yang akan menjadi common denominator? Anda tentu saja dapat mengalikan 2, 4, 8, dan 16. Kita mendapatkan 1024. Mimpi buruk. Lebih mudah untuk memperkirakan bahwa angka 16 habis dibagi 2, 4, dan 8. Oleh karena itu, mudah untuk mendapatkan 16 dari angka-angka ini, angka ini akan menjadi penyebut yang sama. Mari kita ubah 1/2 menjadi 8/16, 3/4 menjadi 12/16, dan seterusnya.

Omong-omong, jika kita mengambil 1024 sebagai penyebut yang sama, semuanya akan berhasil juga, pada akhirnya semuanya akan berkurang. Hanya tidak semua orang akan mencapai tujuan ini, karena perhitungan ...

Memecahkan contoh sendiri. Bukan logaritma... Seharusnya 29/16.

Jadi, dengan penambahan (pengurangan) pecahan sudah jelas, saya harap? Tentu saja, lebih mudah untuk bekerja dalam versi singkat, dengan pengganda tambahan. Tetapi kesenangan ini tersedia bagi mereka yang dengan jujur ​​​​bekerja di kelas bawah ... Dan tidak melupakan apa pun.

Dan sekarang kita akan melakukan tindakan yang sama, tetapi tidak dengan pecahan, tetapi dengan ekspresi pecahan. Penggaruk baru akan ditemukan di sini, ya ...

Jadi, kita perlu menambahkan dua ekspresi pecahan:

Kita harus menyamakan penyebutnya. Dan hanya dengan bantuan perkalian! Jadi properti utama dari pecahan mengatakan. Oleh karena itu, saya tidak dapat menambahkan satu ke x pada pecahan pertama penyebutnya. (Tapi itu akan menyenangkan!). Tetapi jika Anda mengalikan penyebutnya, Anda tahu, semuanya akan tumbuh bersama! Jadi kita tulis, garis pecahan, sisakan ruang kosong di atasnya, lalu tambahkan, dan tulis hasil kali penyebutnya di bawah, agar tidak lupa:

Dan, tentu saja, kami tidak mengalikan apa pun di sisi kanan, kami tidak membuka tanda kurung! Dan sekarang, melihat penyebut yang sama dari sisi kanan, kami berpikir: untuk mendapatkan penyebut x (x + 1) di pecahan pertama, kita perlu mengalikan pembilang dan penyebut pecahan ini dengan (x + 1) . Dan di fraksi kedua - x. Anda mendapatkan ini:

Catatan! Tanda kurung ada di sini! Ini adalah penggaruk yang banyak diinjak. Bukan tanda kurung, tentu saja, tetapi ketidakhadiran mereka. Tanda kurung muncul karena kita mengalikan keseluruhan pembilang dan keseluruhan penyebut! Dan bukan bagian masing-masing ...

Di pembilang di sisi kanan, kami menulis jumlah pembilangnya, semuanya seperti dalam pecahan numerik, lalu kami membuka tanda kurung di pembilang di sisi kanan, mis. kalikan semuanya dan beri like. Anda tidak perlu membuka tanda kurung pada penyebut, Anda tidak perlu mengalikan sesuatu! Secara umum, dalam penyebut (apa saja) produk selalu lebih menyenangkan! Kita mendapatkan:

Di sini kami mendapat jawabannya. Prosesnya tampaknya panjang dan sulit, tetapi itu tergantung pada latihan. Pecahkan contoh, biasakan, semuanya akan menjadi sederhana. Mereka yang telah menguasai pecahan dalam waktu yang ditentukan, lakukan semua operasi ini dengan satu tangan, di mesin!

Dan satu catatan lagi. Banyak yang terkenal berurusan dengan pecahan, tetapi tunggu contoh dengan utuh angka. Ketik: 2 + 1/2 + 3/4= ? Di mana mengikat deuce? Tidak perlu mengikat di mana pun, Anda perlu membuat pecahan dari deuce. Ini tidak mudah, sangat sederhana! 2=2/1. Seperti ini. Setiap bilangan bulat dapat ditulis sebagai pecahan. Pembilangnya adalah bilangan itu sendiri, penyebutnya adalah satu. 7 adalah 7/1, 3 adalah 3/1 dan seterusnya. Sama halnya dengan surat. (a + b) \u003d (a + b) / 1, x \u003d x / 1, dll. Dan kemudian kami bekerja dengan pecahan ini sesuai dengan semua aturan.

Nah, pada penambahan - pengurangan pecahan, pengetahuan disegarkan. Transformasi pecahan dari satu jenis ke jenis lainnya - berulang. Anda juga dapat memeriksa. Haruskah kita menetap sedikit?)

Menghitung:

Jawaban (berantakan):

71/20; 3/5; 17/12; -5/4; 11/6

Perkalian / pembagian pecahan - dalam pelajaran berikutnya. Ada juga tugas untuk semua tindakan dengan pecahan.

Jika Anda menyukai situs ini...

Omong-omong, saya punya beberapa situs yang lebih menarik untuk Anda.)

Anda dapat berlatih memecahkan contoh dan mengetahui level Anda. Pengujian dengan verifikasi instan. Belajar - dengan penuh minat!)

Anda bisa berkenalan dengan fungsi dan turunannya.