Kita akan memulai pembahasan kita tentang topik ini dengan mempelajari konsep pecahan secara keseluruhan, yang akan memberi kita pemahaman yang lebih lengkap tentang arti pecahan biasa. Mari kita berikan istilah utama dan definisinya, pelajari topik dalam interpretasi geometris, mis. pada garis koordinat, dan juga tentukan daftar tindakan dasar dengan pecahan.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Bagian dari keseluruhan

Bayangkan sebuah objek yang terdiri dari beberapa bagian yang benar-benar sama. Misalnya, itu bisa berupa jeruk, yang terdiri dari beberapa irisan identik.

Definisi 1

Bagikan keseluruhan atau bagikan adalah masing-masing bagian yang sama yang membentuk keseluruhan objek.

Jelas, sahamnya bisa berbeda. Untuk menjelaskan pernyataan ini dengan jelas, bayangkan dua apel, salah satunya dipotong menjadi dua bagian yang sama, dan yang kedua menjadi empat. Jelas bahwa ukuran bagian yang dihasilkan untuk apel yang berbeda akan bervariasi.

Saham memiliki nama sendiri, yang tergantung pada jumlah saham yang membentuk keseluruhan subjek. Jika suatu item memiliki dua bagian, maka masing-masing akan didefinisikan sebagai satu bagian kedua dari item ini; ketika suatu benda terdiri dari tiga bagian, maka masing-masing sepertiganya, dan seterusnya.

Definisi 2

Setengah- satu bagian kedua dari subjek.

Ketiga- sepertiga dari subjek.

Perempat- seperempat dari subjek.

Untuk mempersingkat catatan, notasi berikut untuk bagian diperkenalkan: setengah - 1 2 atau 1/2 ; ketiga - 1 3 atau 1/3 ; seperempat bagian 1 4 atau 1/4 dan seterusnya. Entri dengan batang horizontal lebih sering digunakan.

Konsep bagian secara alami berkembang dari objek ke besaran. Jadi, Anda dapat menggunakan pecahan meter (sepertiga atau seperseratus) untuk mengukur benda kecil, sebagai salah satu satuan panjang. Bagian dari kuantitas lain dapat diterapkan dengan cara yang sama.

Pecahan umum, definisi dan contoh

Pecahan biasa digunakan untuk menggambarkan jumlah bagian. Pertimbangkan contoh sederhana yang akan membawa kita lebih dekat ke definisi pecahan biasa.

Bayangkan sebuah jeruk, terdiri dari 12 irisan. Setiap bagian kemudian akan menjadi - satu per dua belas atau 1 / 12. Dua bagian - 2/12; tiga bagian - 3 / 12, dll. Semua 12 bagian atau bilangan bulat akan terlihat seperti ini: 12 / 12 . Setiap entri yang digunakan dalam contoh adalah contoh pecahan biasa.

Definisi 3

pecahan biasa adalah catatan bentuk m n atau m / n , di mana m dan n adalah sembarang bilangan asli.

Menurut definisi ini, contoh pecahan biasa dapat menjadi entri: 4 / 9, 1134, 91754. Dan entri ini: 11 5 , 1 , 9 4 , 3 bukan pecahan biasa.

Pembilang dan penyebut

Definisi 4

pembilang pecahan biasa m n atau m / n adalah bilangan asli m .

penyebut pecahan biasa m n atau m / n adalah bilangan asli n .

Itu. pembilang adalah angka di atas batang pecahan biasa (atau di sebelah kiri garis miring), dan penyebut adalah angka di bawah batang (di sebelah kanan garis miring).

Apa yang dimaksud dengan pembilang dan penyebut? Penyebut pecahan biasa menunjukkan berapa banyak bagian yang terdiri dari satu item, dan pembilangnya memberi kita informasi tentang berapa banyak bagian tersebut yang dipertimbangkan. Misalnya, pecahan biasa 7 54 menunjukkan kepada kami bahwa objek tertentu terdiri dari 54 bagian, dan untuk pertimbangan kami mengambil 7 bagian tersebut.

Bilangan asli sebagai pecahan dengan penyebut 1

Penyebut pecahan biasa bisa sama dengan satu. Dalam hal ini dapat dikatakan bahwa objek (nilai) yang ditinjau tidak dapat dibagi-bagi, adalah sesuatu yang utuh. Pembilang dalam pecahan seperti itu akan menunjukkan berapa banyak item yang diambil, mis. pecahan biasa dari bentuk m 1 memiliki arti bilangan asli m . Pernyataan ini berfungsi sebagai pembenaran untuk persamaan m 1 = m .

Mari kita tulis persamaan terakhir seperti ini: m = m 1 . Ini akan memberi kita kesempatan untuk menggunakan bilangan asli apa pun dalam bentuk pecahan biasa. Misalnya, bilangan 74 adalah pecahan biasa dari bentuk 74 1 .

Definisi 5

Setiap bilangan asli m dapat ditulis sebagai pecahan biasa, di mana penyebutnya adalah satu: m 1 .

Pada gilirannya, setiap pecahan biasa dalam bentuk m 1 dapat diwakili oleh bilangan asli m .

Bilah pecahan sebagai tanda pembagian

Representasi objek yang diberikan di atas sebagai n bagian tidak lebih dari pembagian menjadi n bagian yang sama. Ketika sebuah objek dibagi menjadi n bagian, kami memiliki kesempatan untuk membaginya secara merata di antara n orang - semua orang mendapat bagiannya.

Dalam kasus ketika kita awalnya memiliki m objek yang identik (masing-masing dibagi menjadi n bagian), maka m objek ini dapat dibagi rata di antara n orang, memberikan masing-masing satu bagian dari masing-masing m objek. Dalam hal ini, setiap orang akan memiliki m bagian 1 n , dan m bagian 1 n akan memberikan pecahan biasa m n . Oleh karena itu, pecahan biasa m n dapat digunakan untuk menyatakan pembagian m item di antara n orang.

Pernyataan yang dihasilkan membuat hubungan antara pecahan biasa dan pembagian. Dan hubungan ini dapat dinyatakan sebagai berikut: : adalah mungkin untuk mengartikan garis pecahan sebagai tanda pembagian, yaitu. m/n=m:n.

Dengan bantuan pecahan biasa, kita dapat menulis hasil pembagian dua bilangan asli. Misalnya, membagi 7 apel dengan 10 orang akan ditulis sebagai 7 10: setiap orang akan mendapatkan tujuh persepuluh.

Pecahan biasa yang sama dan tidak sama

Tindakan logisnya adalah membandingkan pecahan biasa, karena jelas bahwa, misalnya, 1 8 sebuah apel berbeda dengan 7 8 .

Hasil dari membandingkan pecahan biasa dapat berupa: sama atau tidak sama.

Definisi 6

Pecahan Biasa Setara adalah pecahan biasa a b dan c d , yang persamaannya benar: a d = b c .

Pecahan biasa yang tidak sama- pecahan biasa a b dan c d , yang persamaannya: a · d = b · c tidak benar.

Contoh pecahan yang sama: 1 3 dan 4 12 - karena persamaan 1 12 \u003d 3 4 benar.

Dalam hal ternyata pecahan tidak sama, biasanya juga perlu untuk mengetahui pecahan mana yang lebih kecil dan mana yang lebih besar. Untuk menjawab pertanyaan ini, pecahan biasa dibandingkan dengan membawanya ke penyebut yang sama dan kemudian membandingkan pembilangnya.

bilangan pecahan

Setiap pecahan adalah catatan bilangan pecahan, yang sebenarnya hanyalah “kulit”, visualisasi dari beban semantik. Tapi tetap saja, untuk kenyamanan, kami menggabungkan konsep pecahan dan bilangan pecahan, secara sederhana - pecahan.

Semua bilangan pecahan, seperti bilangan lainnya, memiliki lokasi uniknya sendiri pada sinar koordinat: ada korespondensi satu-satu antara pecahan dan titik pada sinar koordinat.

Untuk menemukan titik pada sinar koordinat, yang menunjukkan pecahan m n , perlu untuk menunda m segmen ke arah positif dari titik asal koordinat, yang panjangnya masing-masing akan menjadi 1 n pecahan dari unit segmen. Segmen dapat diperoleh dengan membagi satu segmen menjadi n bagian yang identik.

Sebagai contoh, mari kita tunjukkan titik M pada sinar koordinat, yang sesuai dengan pecahan 14 10 . Panjang segmen, yang ujungnya adalah titik O dan titik terdekat yang ditandai dengan goresan kecil, sama dengan 1 10 fraksi unit segmen. Titik yang sesuai dengan pecahan 14 10 terletak pada jarak dari titik asal koordinat pada jarak 14 segmen tersebut.

Jika pecahannya sama, mis. mereka sesuai dengan nomor pecahan yang sama, maka pecahan ini berfungsi sebagai koordinat titik yang sama pada sinar koordinat. Misalnya, koordinat dalam bentuk pecahan yang sama 1 3 , 2 6 , 3 9 , 5 15 , 11 33 sesuai dengan titik yang sama pada sinar koordinat, yang terletak pada jarak sepertiga segmen satuan, ditunda dari asal ke arah positif.

Prinsip yang sama bekerja di sini seperti halnya dengan bilangan bulat: pada sinar koordinat horizontal yang diarahkan ke kanan, titik yang sesuai dengan fraksi besar akan ditempatkan di sebelah kanan titik yang sesuai dengan fraksi yang lebih kecil. Dan sebaliknya: titik, yang koordinatnya merupakan pecahan yang lebih kecil, akan terletak di sebelah kiri titik, yang sesuai dengan koordinat yang lebih besar.

Pecahan yang tepat dan tidak tepat, definisi, contoh

Pembagian pecahan menjadi benar dan tidak tepat didasarkan pada perbandingan pembilang dan penyebut dalam pecahan yang sama.

Definisi 7

pecahan biasa adalah pecahan biasa yang pembilangnya lebih kecil dari penyebutnya. Artinya, jika pertidaksamaan m< n , то обыкновенная дробь m n является правильной.

Fraksi yang tidak tepat adalah pecahan yang pembilangnya lebih besar atau sama dengan penyebutnya. Artinya, jika pertidaksamaan tak terdefinisi benar, maka pecahan biasa m n tidak wajar.

Berikut adalah beberapa contohnya: - pecahan biasa:

Contoh 1

5 / 9 , 3 67 , 138 514 ;

Pecahan tak wajar:

Contoh 2

13 / 13 , 57 3 , 901 112 , 16 7 .

Dimungkinkan juga untuk memberikan definisi pecahan biasa dan pecahan biasa, berdasarkan perbandingan pecahan dengan satuan.

Definisi 8

pecahan biasa adalah pecahan biasa yang kurang dari satu.

Fraksi yang tidak tepat adalah pecahan biasa yang sama dengan atau lebih besar dari satu.

Misalnya, pecahan 8 12 benar, karena 8 12< 1 . Дроби 53 2 и 14 14 являются неправильными, т.к. 53 2 >1 , dan 14 14 = 1 .

Mari kita berpikir lebih dalam mengapa pecahan yang pembilangnya lebih besar dari atau sama dengan penyebutnya disebut "tidak wajar".

Pertimbangkan pecahan biasa 8 8: ini memberitahu kita bahwa 8 bagian dari suatu benda yang terdiri dari 8 bagian diambil. Jadi, dari delapan bagian yang tersedia, kita dapat menyusun objek keseluruhan, yaitu. fraksi yang diberikan 8 8 pada dasarnya mewakili seluruh objek: 8 8 \u003d 1. Pecahan yang pembilang dan penyebutnya sama sepenuhnya menggantikan bilangan asli 1.

Perhatikan juga pecahan yang pembilangnya lebih besar dari penyebutnya: 11 5 dan 36 3 . Jelas bahwa pecahan 11 5 menunjukkan bahwa kita dapat membuat dua benda utuh darinya dan masih akan ada seperlimanya. Itu. pecahan 11 5 adalah 2 objek dan 1 5 lagi darinya. Pada gilirannya, 36 3 adalah pecahan, yang pada dasarnya berarti 12 benda utuh.

Contoh-contoh ini memungkinkan untuk menyimpulkan bahwa pecahan biasa dapat diganti dengan bilangan asli (jika pembilangnya habis dibagi dengan penyebutnya tanpa sisa: 8 8 \u003d 1; 36 3 \u003d 12) atau jumlah bilangan asli dan a pecahan biasa (jika pembilangnya tidak habis dibagi oleh penyebutnya tanpa sisa: 11 5 = 2 + 1 5). Ini mungkin mengapa pecahan seperti itu disebut "tidak wajar".

Di sini juga, kita menemukan salah satu keterampilan angka yang paling penting.

Definisi 9

Mengekstrak bagian bilangan bulat dari pecahan biasa adalah pecahan biasa yang ditulis sebagai jumlah dari bilangan asli dan pecahan biasa.

Perhatikan juga bahwa ada hubungan yang erat antara pecahan biasa dan bilangan campuran.

pecahan positif dan negatif

Di atas kami mengatakan bahwa setiap pecahan biasa sesuai dengan bilangan pecahan positif. Itu. pecahan biasa adalah pecahan positif. Misalnya, pecahan 5 17 , 6 98 , 64 79 adalah positif, dan ketika perlu untuk menekankan "kepositifan" suatu pecahan, itu ditulis menggunakan tanda tambah: + 5 17 , + 6 98 , + 64 79 .

Jika kita menetapkan tanda minus ke pecahan biasa, maka catatan yang dihasilkan akan menjadi catatan bilangan pecahan negatif, dan dalam hal ini kita berbicara tentang pecahan negatif. Misalnya, - 8 17 , - 78 14 dst.

Pecahan positif dan negatif m n dan - m n adalah bilangan berlawanan, misalnya pecahan 7 8 dan - 7 8 berlawanan.

Pecahan positif, seperti bilangan positif pada umumnya, berarti penambahan, perubahan ke atas. Pada gilirannya, pecahan negatif sesuai dengan konsumsi, perubahan arah penurunan.

Jika kita perhatikan garis koordinat, kita akan melihat bahwa pecahan negatif terletak di sebelah kiri titik acuan. Titik-titik yang sesuai dengan pecahan, yang berlawanan (m n dan - m n), terletak pada jarak yang sama dari titik asal koordinat O, tetapi di sisi yang berlawanan.

Di sini kita juga berbicara secara terpisah tentang pecahan yang ditulis dalam bentuk 0 n . Pecahan seperti itu sama dengan nol, mis. 0 n = 0 .

Meringkas semua hal di atas, kita telah sampai pada konsep bilangan rasional yang paling penting.

Definisi 10

Angka rasional adalah himpunan pecahan positif, pecahan negatif dan pecahan berbentuk 0 n .

Tindakan dengan pecahan

Mari kita daftar operasi dasar dengan pecahan. Secara umum, esensinya sama dengan operasi yang sesuai dengan bilangan asli

1. Perbandingan pecahan - kami membahas tindakan ini di atas.
2. Penjumlahan pecahan - hasil penjumlahan pecahan biasa adalah pecahan biasa (dalam kasus tertentu, direduksi menjadi bilangan asli).
3. Pengurangan pecahan adalah tindakan, kebalikan dari penambahan, ketika pecahan yang tidak diketahui ditentukan dari satu pecahan yang diketahui dan jumlah pecahan yang diberikan.
4. Perkalian pecahan - tindakan ini dapat digambarkan sebagai menemukan pecahan dari pecahan. Hasil perkalian dua pecahan biasa adalah pecahan biasa (dalam kasus tertentu, sama dengan bilangan asli).
5. Pembagian pecahan adalah kebalikan dari perkalian, ketika kita menentukan pecahan yang diperlukan untuk mengalikan pecahan yang diberikan untuk mendapatkan produk dua pecahan yang diketahui.

Jika Anda melihat kesalahan dalam teks, harap sorot dan tekan Ctrl+Enter

Artikel ini adalah tentang pecahan biasa. Di sini kita akan berkenalan dengan konsep pecahan dari keseluruhan, yang akan membawa kita ke definisi pecahan biasa. Selanjutnya, kita akan membahas notasi yang diterima untuk pecahan biasa dan memberikan contoh pecahan, katakanlah tentang pembilang dan penyebut pecahan. Setelah itu, kita akan memberikan definisi pecahan yang benar dan salah, pecahan positif dan negatif, dan juga mempertimbangkan posisi bilangan pecahan pada sinar koordinat. Sebagai kesimpulan, kami mencantumkan tindakan utama dengan pecahan.

Navigasi halaman.

Bagian dari keseluruhan

Pertama kami perkenalkan berbagi konsep.

Mari kita asumsikan bahwa kita memiliki beberapa objek yang terdiri dari beberapa bagian yang benar-benar identik (yaitu, sama). Untuk kejelasan, Anda dapat membayangkan, misalnya, sebuah apel dipotong menjadi beberapa bagian yang sama, atau jeruk, yang terdiri dari beberapa irisan yang sama. Masing-masing bagian yang sama yang membentuk keseluruhan benda disebut bagian dari keseluruhan atau hanya berbagi.

Perhatikan bahwa sahamnya berbeda. Mari kita jelaskan ini. Katakanlah kita memiliki dua apel. Mari kita potong apel pertama menjadi dua bagian yang sama, dan apel kedua menjadi 6 bagian yang sama. Jelas bahwa bagian apel pertama akan berbeda dengan bagian apel kedua.

Tergantung pada jumlah bagian yang membentuk keseluruhan objek, bagian ini memiliki nama sendiri. Mari kita analisis berbagi nama. Jika objek terdiri dari dua bagian, salah satunya disebut satu bagian kedua dari keseluruhan objek; jika objek terdiri dari tiga bagian, maka salah satunya disebut sepertiga bagian, dan seterusnya.

Satu ketukan detik memiliki nama khusus - setengah. Sepertiga disebut ketiga, dan satu empat kali lipat - perempat.

Untuk singkatnya, berikut ini berbagi sebutan. Satu bagian kedua ditetapkan sebagai atau 1/2, sepertiga bagian - sebagai atau 1/3; seperempat bagian - suka atau 1/4, dan seterusnya. Perhatikan bahwa notasi dengan batang horizontal lebih sering digunakan. Untuk mengkonsolidasikan materi, mari berikan satu contoh lagi: entri menunjukkan seratus enam puluh tujuh dari keseluruhan.

Konsep bagian secara alami meluas dari objek ke besaran. Misalnya, salah satu ukuran panjang adalah meteran. Untuk mengukur panjang kurang dari satu meter, pecahan meter dapat digunakan. Jadi Anda dapat menggunakan, misalnya, setengah meter atau sepersepuluh atau seperseribu meter. Bagian dari kuantitas lain diterapkan dengan cara yang sama.

Pecahan biasa, definisi dan contoh pecahan

Untuk menggambarkan jumlah saham digunakan pecahan biasa. Mari kita beri contoh yang memungkinkan kita mendekati definisi pecahan biasa.

Biarkan jeruk terdiri dari 12 bagian. Setiap bagian dalam hal ini mewakili satu per dua belas dari seluruh jeruk, yaitu . Mari kita nyatakan dua ketukan sebagai , tiga ketukan sebagai , dan seterusnya, 12 ketukan sebagai . Masing-masing entri ini disebut pecahan biasa.

Sekarang mari kita berikan seorang jenderal definisi pecahan biasa.

Definisi pecahan biasa yang disuarakan memungkinkan kita untuk membawa contoh pecahan biasa: 5/10 , , 21/1 , 9/4 , . Dan inilah catatannya tidak sesuai dengan definisi pecahan biasa yang disuarakan, yaitu, mereka bukan pecahan biasa.

Pembilang dan penyebut

Untuk memudahkan, dalam pecahan biasa kita bedakan pembilang dan penyebut.

Definisi.

Pembilang pecahan biasa (m/n) adalah bilangan asli m.

Definisi.

Penyebut pecahan biasa (m/n) adalah bilangan asli n.

Jadi, pembilangnya terletak di atas bilah pecahan (di sebelah kiri garis miring), dan penyebutnya berada di bawah bilah pecahan (di sebelah kanan garis miring). Sebagai contoh, mari kita ambil pecahan biasa 17/29, pembilang pecahan ini adalah angka 17, dan penyebutnya adalah angka 29.

Masih membahas makna yang terkandung dalam pembilang dan penyebut pecahan biasa. Penyebut pecahan menunjukkan berapa banyak bagian yang terdiri dari satu item, pembilangnya, pada gilirannya, menunjukkan jumlah bagian tersebut. Misalnya, penyebut 5 dari pecahan 12/5 berarti satu benda terdiri dari lima bagian, dan pembilang 12 berarti diambil 12 bagian tersebut.

Bilangan asli sebagai pecahan dengan penyebut 1

Penyebut pecahan biasa bisa sama dengan satu. Dalam hal ini, kita dapat berasumsi bahwa objek tidak dapat dibagi, dengan kata lain, itu adalah sesuatu yang utuh. Pembilang pecahan seperti itu menunjukkan berapa banyak item yang diambil. Jadi, pecahan biasa dalam bentuk m/1 memiliki arti bilangan asli m. Ini adalah bagaimana kami membuktikan persamaan m/1=m .

Mari kita tulis ulang persamaan terakhir seperti ini: m=m/1 . Persamaan ini memungkinkan kita untuk merepresentasikan bilangan asli m sebagai pecahan biasa. Misalnya, angka 4 adalah pecahan 4/1, dan angka 103498 adalah pecahan 103498/1.

Jadi, setiap bilangan asli m dapat dinyatakan sebagai pecahan biasa dengan penyebut 1 sebagai m/1 , dan setiap pecahan biasa berbentuk m/1 dapat diganti dengan bilangan asli m.

Bilah pecahan sebagai tanda pembagian

Representasi objek asli dalam bentuk n bagian tidak lebih dari pembagian menjadi n bagian yang sama. Setelah item dibagi menjadi n bagian, kita dapat membaginya secara merata di antara n orang - masing-masing akan menerima satu bagian.

Jika kita awalnya memiliki m objek identik, yang masing-masing dibagi menjadi n bagian, maka kita dapat membagi m objek ini secara merata di antara n orang, dengan memberi setiap orang satu bagian dari masing-masing m objek. Dalam hal ini, setiap orang akan memiliki m bagian 1/n, dan m bagian 1/n memberikan pecahan biasa m/n. Jadi, pecahan biasa m/n dapat digunakan untuk menyatakan pembagian m item di antara n orang.

Jadi kami mendapatkan hubungan eksplisit antara pecahan biasa dan pembagian (lihat gagasan umum tentang pembagian bilangan asli). Hubungan ini dinyatakan sebagai berikut: Bilah pecahan dapat dipahami sebagai tanda pembagian, yaitu, m/n=m:n.

Dengan bantuan pecahan biasa, Anda dapat menulis hasil pembagian dua bilangan asli yang pembagiannya tidak dilakukan oleh bilangan bulat. Misalnya, hasil membagi 5 apel dengan 8 orang dapat ditulis sebagai 5/8, yaitu masing-masing akan mendapatkan lima per delapan apel: 5:8=5/8.

Pecahan biasa yang sama dan tidak sama, perbandingan pecahan

Tindakan yang cukup alami adalah perbandingan pecahan biasa, karena jelas bahwa 1/12 buah jeruk berbeda dengan 5/12, dan 1/6 buah apel sama dengan 1/6 buah apel lainnya.

Sebagai hasil dari membandingkan dua pecahan biasa, salah satu hasil diperoleh: pecahan sama atau tidak sama. Dalam kasus pertama kita memiliki pecahan biasa yang sama, dan yang kedua pecahan biasa yang tidak sama. Mari kita berikan definisi pecahan biasa yang sama dan tidak sama.

Definisi.

setara, jika persamaan a d=b c benar.

Definisi.

Dua pecahan biasa a/b dan c/d tidak sama, jika persamaan a d=b c tidak terpenuhi.

Berikut adalah beberapa contoh pecahan yang sama. Misalnya, pecahan biasa 1/2 sama dengan pecahan 2/4, karena 1 4=2 2 (jika perlu, lihat aturan dan contoh perkalian bilangan asli). Untuk kejelasan, Anda dapat membayangkan dua apel identik, yang pertama dipotong menjadi dua, dan yang kedua - menjadi 4 bagian. Jelas bahwa dua perempat apel adalah 1/2 bagian. Contoh lain dari pecahan biasa yang sama adalah pecahan 4/7 dan 36/63, serta pasangan pecahan 81/50 dan 1620/1000.

Dan pecahan biasa 4/13 dan 5/14 tidak sama, karena 4 14=56, dan 13 5=65, yaitu, 4 14≠13 5. Contoh lain dari pecahan biasa yang tidak sama adalah pecahan 17/7 dan 6/4.

Jika, ketika membandingkan dua pecahan biasa, ternyata tidak sama, maka Anda mungkin perlu mencari tahu pecahan biasa mana yang lebih kecil lain, dan yang lagi. Untuk mengetahuinya digunakan aturan membandingkan pecahan biasa yang intinya adalah membawa pecahan yang dibandingkan ke penyebut yang sama kemudian membandingkan pembilangnya. Informasi terperinci tentang topik ini dikumpulkan dalam artikel perbandingan pecahan: aturan, contoh, solusi.

bilangan pecahan

Setiap pecahan adalah rekor bilangan pecahan. Artinya, pecahan hanyalah "kulit" dari bilangan pecahan, penampilannya, dan seluruh beban semantik terkandung tepat dalam bilangan pecahan. Namun, untuk singkatnya dan kenyamanan, konsep pecahan dan bilangan pecahan digabungkan dan disebut pecahan. Di sini tepat untuk memparafrasekan pepatah terkenal: kami mengatakan pecahan - yang kami maksud adalah bilangan pecahan, kami mengatakan bilangan pecahan - yang kami maksud adalah pecahan.

Pecahan pada balok koordinat

Semua bilangan pecahan yang bersesuaian dengan pecahan biasa memiliki tempat uniknya sendiri pada , yaitu, ada korespondensi satu-satu antara pecahan dan titik-titik pada sinar koordinat.

Untuk mencapai titik yang sesuai dengan fraksi m / n pada sinar koordinat, perlu untuk menunda m segmen dari titik asal ke arah positif, yang panjangnya 1 / n unit segmen. Segmen tersebut dapat diperoleh dengan membagi satu segmen menjadi n bagian yang sama, yang selalu dapat dilakukan dengan menggunakan kompas dan penggaris.

Sebagai contoh, mari kita tunjukkan titik M pada sinar koordinat, yang sesuai dengan pecahan 14/10. Panjang ruas dengan ujung di titik O dan titik terdekatnya yang ditandai dengan garis kecil adalah 1/10 dari satuan ruas. Titik dengan koordinat 14/10 dihilangkan dari titik asal oleh 14 segmen tersebut.

Pecahan yang sama sesuai dengan bilangan pecahan yang sama, yaitu, pecahan yang sama adalah koordinat titik yang sama pada sinar koordinat. Misalnya, satu titik sesuai dengan koordinat 1/2, 2/4, 16/32, 55/110 pada sinar koordinat, karena semua pecahan yang ditulis adalah sama (terletak pada jarak setengah segmen satuan, diletakkan dari titik asal ke arah positif).

Pada sinar koordinat horizontal dan lurus, titik yang koordinatnya merupakan pecahan besar terletak di sebelah kanan titik yang koordinatnya merupakan pecahan kecil. Demikian pula titik dengan koordinat yang lebih kecil terletak di sebelah kiri titik dengan koordinat yang lebih besar.

Pecahan yang tepat dan tidak tepat, definisi, contoh

Di antara pecahan biasa, ada pecahan wajar dan pecahan tak wajar. Pembagian ini pada dasarnya memiliki perbandingan pembilang dan penyebut.

Mari kita berikan definisi tentang pecahan biasa biasa dan tidak wajar.

Definisi.

pecahan biasa adalah pecahan biasa yang pembilangnya lebih kecil dari penyebutnya, yaitu jika m

Definisi.

Fraksi yang tidak tepat adalah pecahan biasa yang pembilangnya lebih besar atau sama dengan penyebutnya, yaitu jika m≥n, maka pecahan biasa tersebut tidak wajar.

Berikut adalah beberapa contoh pecahan biasa: 1/4 , , 32 765/909 003 . Memang, di setiap pecahan biasa yang ditulis, pembilangnya lebih kecil dari penyebutnya (jika perlu, lihat artikel perbandingan bilangan asli), jadi menurut definisinya benar.

Dan berikut adalah contoh pecahan biasa: 9/9, 23/4,. Memang, pembilang dari pecahan biasa yang pertama ditulis sama dengan penyebutnya, dan pada pecahan yang tersisa pembilangnya lebih besar dari penyebutnya.

Ada juga definisi pecahan biasa dan pecahan biasa berdasarkan perbandingan pecahan dengan satu.

Definisi.

benar jika kurang dari satu.

Definisi.

Pecahan biasa disebut salah, jika sama dengan satu atau lebih besar dari 1 .

Jadi pecahan biasa 7/11 benar, karena 7/11<1 , а обыкновенные дроби 14/3 и 27/27 – неправильные, так как 14/3>1 , dan 27/27=1 .

Mari kita pikirkan bagaimana pecahan biasa dengan pembilang lebih besar dari atau sama dengan penyebutnya layak mendapatkan nama seperti itu - "salah".

Mari kita ambil pecahan biasa 9/9 sebagai contoh. Pecahan ini berarti diambil sembilan bagian dari suatu benda, yang terdiri dari sembilan bagian. Artinya, dari sembilan saham yang tersedia, kita bisa membuat satu topik utuh. Artinya, pecahan tak wajar 9/9 pada dasarnya memberikan benda utuh, yaitu 9/9=1. Secara umum, pecahan biasa dengan pembilang sama dengan penyebut menunjukkan satu benda utuh, dan pecahan seperti itu dapat diganti dengan bilangan asli 1.

Sekarang perhatikan pecahan biasa 7/3 dan 12/4. Cukup jelas bahwa dari tujuh pertiga ini kita dapat membuat dua objek utuh (satu objek utuh adalah 3 bagian, kemudian untuk menyusun dua objek utuh kita membutuhkan 3 + 3 = 6 bagian) dan masih akan ada sepertiga bagian. Artinya, pecahan biasa 7/3 pada dasarnya berarti 2 item dan bahkan 1/3 bagian dari item tersebut. Dan dari dua belas perempat kita dapat membuat tiga objek utuh (tiga objek dengan masing-masing empat bagian). Artinya, pecahan 12/4 pada dasarnya berarti 3 benda utuh.

Contoh yang dipertimbangkan membawa kita pada kesimpulan berikut: pecahan biasa dapat diganti dengan bilangan asli, ketika pembilang dibagi seluruhnya dengan penyebut (misalnya, 9/9=1 dan 12/4=3), atau jumlah dari bilangan asli dan pecahan biasa, jika pembilangnya tidak habis dibagi oleh penyebutnya (misalnya, 7/3=2+1/3 ). Mungkin inilah tepatnya pecahan yang tidak pantas mendapatkan nama seperti itu - "salah".

Yang menarik adalah representasi dari pecahan biasa sebagai jumlah bilangan asli dan pecahan biasa (7/3=2+1/3). Proses ini disebut ekstraksi bagian bilangan bulat dari pecahan tak wajar, dan memerlukan pertimbangan tersendiri dan lebih hati-hati.

Perlu juga dicatat bahwa ada hubungan yang sangat erat antara pecahan biasa dan bilangan campuran.

pecahan positif dan negatif

Setiap pecahan biasa sesuai dengan bilangan pecahan positif (lihat artikel bilangan positif dan negatif). Artinya, pecahan biasa adalah pecahan positif. Misalnya, pecahan biasa 1/5, 56/18, 35/144 adalah pecahan positif. Ketika perlu untuk menekankan kepositifan suatu pecahan, maka tanda plus ditempatkan di depannya, misalnya, +3/4, +72/34.

Jika Anda meletakkan tanda minus di depan pecahan biasa, maka entri ini akan sesuai dengan bilangan pecahan negatif. Dalam hal ini, seseorang dapat berbicara tentang pecahan negatif. Berikut adalah beberapa contoh pecahan negatif: 6/10 , 65/13 , 1/18 .

Pecahan positif dan negatif m/n dan m/n adalah bilangan berlawanan. Misalnya, pecahan 5/7 dan 5/7 adalah pecahan yang berlawanan.

Pecahan positif, seperti bilangan positif pada umumnya, menunjukkan peningkatan, pendapatan, perubahan beberapa nilai ke atas, dll. Pecahan negatif sesuai dengan biaya, hutang, perubahan nilai apa pun ke arah penurunan. Misalnya, pecahan negatif -3/4 dapat diartikan sebagai hutang, yang nilainya 3/4.

Pada pecahan negatif berarah horizontal dan kanan terletak di sebelah kiri titik acuan. Titik-titik garis koordinat yang koordinatnya merupakan pecahan positif m/n dan pecahan negatif m/n terletak pada jarak yang sama dari titik asal, tetapi pada sisi yang berlawanan dari titik O .

Di sini perlu disebutkan pecahan dalam bentuk 0/n. Pecahan ini sama dengan angka nol, yaitu 0/n=0 .

Pecahan positif, pecahan negatif, dan pecahan 0/n bergabung membentuk bilangan rasional.

Tindakan dengan pecahan

Satu tindakan dengan pecahan biasa - membandingkan pecahan - telah kami pertimbangkan di atas. Empat aritmatika lagi didefinisikan operasi pecahan- penjumlahan, pengurangan, perkalian dan pembagian pecahan. Mari kita bahas masing-masing.

Esensi umum dari tindakan dengan pecahan mirip dengan esensi dari tindakan yang sesuai dengan bilangan asli. Mari kita menggambar analogi.

Perkalian pecahan dapat dianggap sebagai tindakan di mana pecahan ditemukan dari pecahan. Untuk memperjelas, mari kita ambil contoh. Misalkan kita memiliki 1/6 apel dan kita perlu mengambil 2/3 darinya. Bagian yang kita butuhkan adalah hasil perkalian pecahan 1/6 dan 2/3. Hasil perkalian dua pecahan biasa adalah pecahan biasa (yang dalam kasus tertentu sama dengan bilangan asli). Selanjutnya kami sarankan untuk mempelajari informasi artikel perkalian pecahan - aturan, contoh, dan solusi.

Bibliografi.

• Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Matematika: buku teks untuk 5 sel. institusi pendidikan.
• Vilenkin N.Ya. dll. Matematika. Kelas 6: buku teks untuk lembaga pendidikan.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematika (manual untuk pelamar ke sekolah teknik).

Mempelajari ratu semua ilmu - matematika, pada titik tertentu setiap orang dihadapkan pada pecahan. Meskipun konsep ini (serta jenis-jenis pecahan itu sendiri atau operasi matematika dengannya) cukup sederhana, tetapi harus diperlakukan dengan hati-hati, karena dalam kehidupan nyata di luar sekolah akan sangat berguna. Jadi, mari kita segarkan kembali pengetahuan kita tentang pecahan: apa itu pecahan, untuk apa pecahan itu, apa jenisnya dan bagaimana melakukan berbagai operasi aritmatika dengannya.

Yang Mulia pecahan: apa itu

Pecahan dalam matematika adalah bilangan yang masing-masing terdiri dari satu atau lebih bagian satuan. Pecahan seperti ini disebut juga biasa, atau sederhana. Sebagai aturan, mereka ditulis sebagai dua angka, yang dipisahkan oleh garis horizontal atau garis miring, itu disebut "pecahan". Misalnya: , .

Bagian atas, atau yang pertama dari angka-angka ini adalah pembilangnya (menunjukkan berapa banyak pecahan dari angka yang diambil), dan bagian bawah, atau kedua, adalah penyebutnya (menunjukkan berapa banyak bagian yang dibagi).

Bilah pecahan sebenarnya berfungsi sebagai tanda pembagian. Misalnya, 7:9=7/9

Secara tradisional, pecahan biasa kurang dari satu. Sedangkan desimal bisa lebih besar dari itu.

Untuk apa pecahan? Ya, untuk semuanya, karena di dunia nyata, tidak semua bilangan adalah bilangan bulat. Misalnya, dua siswi di kafetaria membeli satu batang cokelat yang lezat. Ketika mereka akan berbagi makanan penutup, mereka bertemu dengan seorang teman dan memutuskan untuk mentraktirnya juga. Namun, sekarang perlu untuk membagi batang cokelat dengan benar, mengingat itu terdiri dari 12 kotak.

Pada awalnya, gadis-gadis itu ingin berbagi semuanya secara merata, dan kemudian masing-masing akan mendapatkan empat bagian. Tapi, setelah dipikir-pikir, mereka memutuskan untuk mentraktir pacarnya, bukan 1/3, tapi 1/4 cokelat. Dan karena siswi tidak belajar pecahan dengan baik, mereka tidak memperhitungkan bahwa dalam situasi seperti itu, sebagai akibatnya, mereka akan memiliki 9 bagian yang sangat buruk dibagi menjadi dua. Contoh yang agak sederhana ini menunjukkan betapa pentingnya untuk dapat menemukan bagian suatu bilangan dengan benar. Tetapi dalam hidup ada lebih banyak kasus seperti itu.

Jenis pecahan: biasa dan desimal

Semua pecahan matematika dibagi menjadi dua digit besar: biasa dan desimal. Fitur-fitur yang pertama telah dijelaskan di paragraf sebelumnya, jadi sekarang perlu memperhatikan yang kedua.

Desimal adalah notasi posisi dari pecahan angka, yang ditetapkan dalam huruf yang dipisahkan oleh koma, tanpa tanda hubung atau garis miring. Misalnya: 0,75, 0,5.

Faktanya, pecahan desimal identik dengan pecahan biasa, namun penyebutnya selalu satu diikuti oleh nol - itulah namanya.

Angka sebelum titik desimal adalah bagian bilangan bulat, dan segala sesuatu setelah titik desimal adalah bagian pecahan. Pecahan sederhana apa pun dapat diubah menjadi desimal. Jadi, pecahan desimal yang ditunjukkan pada contoh sebelumnya dapat ditulis sebagai pecahan biasa: dan .

Perlu dicatat bahwa pecahan desimal dan biasa bisa positif dan negatif. Jika diawali dengan tanda "-", maka pecahan ini negatif, jika "+" - maka positif.

Subtipe pecahan biasa

Ada jenis-jenis pecahan sederhana.

Subspesies pecahan desimal

Tidak seperti pecahan sederhana, pecahan desimal hanya dibagi menjadi 2 jenis.

• Final - mendapatkan namanya karena fakta bahwa setelah titik desimal memiliki jumlah digit (final) terbatas: 19,25.
• Pecahan tak hingga adalah bilangan dengan jumlah digit tak hingga setelah koma. Misalnya, ketika membagi 10 dengan 3, hasilnya akan menjadi pecahan tak terbatas 3.333 ...

Penjumlahan pecahan

Melakukan berbagai manipulasi aritmatika dengan pecahan sedikit lebih sulit daripada dengan bilangan biasa. Namun, jika Anda mempelajari aturan dasar, menyelesaikan contoh apa pun dengannya tidak akan sulit.

Contoh: 2/3+3/4. Kelipatan persekutuan terkecil untuk mereka adalah 12, oleh karena itu, angka ini harus ada di setiap penyebut. Untuk melakukan ini, kami mengalikan pembilang dan penyebut pecahan pertama dengan 4, ternyata 8/12, kami melakukan hal yang sama dengan suku kedua, tetapi hanya mengalikan dengan 3 - 9/12. Sekarang Anda dapat dengan mudah menyelesaikan contoh: 8/12+9/12= 17/12. Pecahan yang dihasilkan adalah nilai yang salah karena pembilangnya lebih besar dari penyebutnya. Itu dapat dan harus diubah menjadi campuran yang benar dengan membagi 17:12 = 1 dan 5/12.

Jika pecahan campuran ditambahkan, pertama tindakan dilakukan dengan bilangan bulat, dan kemudian dengan pecahan.

Jika contoh berisi pecahan desimal dan pecahan biasa, keduanya perlu menjadi sederhana, kemudian bawa ke penyebut yang sama dan tambahkan. Misalnya 3.1+1/2. Angka 3.1 dapat ditulis sebagai pecahan campuran dari 3 dan 1/10, atau sebagai tidak wajar - 31/10. Penyebut umum untuk suku-suku tersebut adalah 10, jadi Anda perlu mengalikan pembilang dan penyebut 1/2 dengan 5 secara bergantian, ternyata 5/10. Maka Anda dapat dengan mudah menghitung semuanya: 31/10+5/10=35/10. Hasil yang diperoleh adalah fraksi kontraktil yang tidak tepat, kami membawanya ke bentuk normal, menguranginya dengan 5: 7/2=3 dan 1/2, atau desimal - 3,5.

Saat menambahkan 2 desimal, penting bahwa ada jumlah digit yang sama setelah titik desimal. Jika ini bukan masalahnya, Anda hanya perlu menambahkan jumlah nol yang diperlukan, karena dalam pecahan desimal ini dapat dilakukan tanpa rasa sakit. Misalnya, 3,5+3,005. Untuk menyelesaikan tugas ini, Anda perlu menambahkan 2 angka nol ke angka pertama dan kemudian menambahkan secara bergantian: 3,500 + 3,005 = 3,505.

Pengurangan pecahan

Saat mengurangkan pecahan, ada baiknya melakukan hal yang sama seperti saat menambahkan: kurangi ke penyebut yang sama, kurangi satu pembilang dari yang lain, jika perlu, ubah hasilnya menjadi pecahan campuran.

Misalnya: 16/20-5/10. Penyebutnya adalah 20. Anda perlu membawa pecahan kedua ke penyebut ini, mengalikan kedua bagiannya dengan 2, Anda mendapatkan 10/20. Sekarang Anda dapat memecahkan contoh: 16/20-10/20= 6/20. Namun, hasil ini berlaku untuk pecahan yang dapat direduksi, jadi perlu membagi kedua bagian dengan 2 dan hasilnya adalah 3/10.

Perkalian pecahan

Pembagian dan perkalian pecahan adalah operasi yang jauh lebih sederhana daripada penjumlahan dan pengurangan. Faktanya adalah bahwa ketika melakukan tugas-tugas ini, tidak perlu mencari penyebut yang sama.

Untuk mengalikan pecahan, Anda hanya perlu mengalikan kedua pembilang secara bergantian, lalu kedua penyebutnya. Kurangi hasil yang dihasilkan jika pecahan tersebut merupakan nilai yang dikurangi.

Misalnya: 4/9x5/8. Setelah perkalian bergantian, hasilnya adalah 4x5/9x8=20/72. Pecahan seperti itu dapat dikurangi dengan 4, jadi jawaban akhir dalam contoh adalah 5/18.

Cara membagi pecahan

Membagi pecahan juga merupakan tindakan sederhana, sebenarnya masih bermuara pada mengalikannya. Untuk membagi satu pecahan dengan pecahan lainnya, Anda perlu membalik pecahan kedua dan mengalikannya dengan yang pertama.

Misalnya, pembagian pecahan 5/19 dan 5/7. Untuk menyelesaikan contoh, Anda perlu menukar penyebut dan pembilang dari pecahan kedua dan mengalikannya: 5/19x7/5=35/95. Hasilnya bisa dikurangi 5 - ternyata 19/7.

Jika Anda perlu membagi pecahan dengan bilangan prima, tekniknya sedikit berbeda. Awalnya, ada baiknya menulis angka ini sebagai pecahan yang tidak wajar, dan kemudian membaginya sesuai dengan skema yang sama. Misalnya, 2/13:5 harus ditulis sebagai 2/13:5/1. Sekarang Anda perlu membalik 5/1 dan mengalikan pecahan yang dihasilkan: 2/13x1/5= 2/65.

Terkadang Anda harus membagi pecahan campuran. Anda perlu menanganinya, seperti halnya bilangan bulat: ubah menjadi pecahan yang tidak wajar, balikkan pembagi dan kalikan semuanya. Misalnya, 8 : 3. Mengubah semuanya menjadi pecahan biasa: 17/2: 3/1. Ini diikuti dengan flip 3/1 dan perkalian: 17/2x1/3= 17/6. Sekarang Anda harus menerjemahkan pecahan yang salah menjadi pecahan yang benar - 2 bilangan bulat dan 5/6.

Jadi, setelah mengetahui apa itu pecahan dan bagaimana Anda dapat melakukan berbagai operasi aritmatika dengannya, Anda perlu mencoba untuk tidak melupakannya. Lagi pula, orang selalu lebih cenderung membagi sesuatu menjadi beberapa bagian daripada menambahkan, jadi Anda harus bisa melakukannya dengan benar.

Pecahan- bentuk representasi angka dalam matematika. Garis miring menunjukkan operasi pembagian. pembilang pecahan disebut dividen, dan penyebut- pembagi. Misalnya, dalam pecahan, pembilangnya adalah 5 dan penyebutnya adalah 7.

Benar Suatu pecahan disebut jika modulus pembilangnya lebih besar dari modulus penyebutnya. Jika pecahan benar, maka modulus nilainya selalu lebih kecil dari 1. Semua pecahan lainnya adalah salah.

Pecahan disebut Campuran, jika ditulis sebagai bilangan bulat dan pecahan. Ini sama dengan jumlah bilangan ini dan pecahan:

Sifat dasar pecahan

Jika pembilang dan penyebut suatu pecahan dikalikan dengan bilangan yang sama, maka nilai pecahan tidak akan berubah, yaitu, misalnya,

Membawa pecahan ke penyebut yang sama

Untuk membawa dua pecahan ke penyebut yang sama, Anda perlu:

1. Kalikan pembilang pecahan pertama dengan penyebut kedua
2. Kalikan pembilang pecahan kedua dengan penyebut pecahan pertama
3. Ganti penyebut kedua pecahan dengan perkaliannya

Tindakan dengan pecahan

Tambahan. Untuk menjumlahkan dua pecahan, Anda perlu

1. Tambahkan pembilang baru dari kedua pecahan, dan biarkan penyebutnya tidak berubah

Contoh:

Pengurangan. Untuk mengurangkan satu pecahan dari pecahan lainnya,

1. Bawa pecahan ke penyebut yang sama
2. Kurangi pembilang pecahan kedua dari pembilang pecahan pertama, dan biarkan penyebutnya tidak berubah

Contoh:

Perkalian. Untuk mengalikan satu pecahan dengan pecahan lainnya, kalikan pembilang dan penyebutnya:

Divisi. Untuk membagi satu pecahan dengan pecahan lainnya, kalikan pembilang pecahan pertama dengan penyebut kedua, dan kalikan penyebut pecahan pertama dengan pembilang kedua:

Pembilang

perempat

1. Ketertiban. sebuah dan b ada aturan yang memungkinkan Anda untuk mengidentifikasi secara unik di antara mereka satu dan hanya satu dari tiga hubungan: “< », « >' atau ' = '. Aturan ini disebut aturan pemesanan dan dirumuskan sebagai berikut: dua bilangan non-negatif dan dihubungkan oleh hubungan yang sama sebagai dua bilangan bulat dan ; dua bilangan bukan positif sebuah dan b terkait dengan hubungan yang sama sebagai dua angka non-negatif dan ; jika tiba-tiba sebuah non-negatif, dan b- negatif, maka sebuah > b. src="/pictures/wiki/files/57/94586b8b651318d46a00db5413cf6c15.png" border="0">

   

   penjumlahan pecahan

2. operasi penambahan. Untuk sembarang bilangan rasional sebuah dan b ada yang disebut aturan penjumlahan c. Namun, nomor itu sendiri c ditelepon jumlah angka sebuah dan b dan dilambangkan , dan proses menemukan bilangan tersebut disebut penjumlahan. Aturan penjumlahan memiliki bentuk sebagai berikut: .
3. operasi perkalian. Untuk sembarang bilangan rasional sebuah dan b ada yang disebut aturan perkalian, yang menempatkan mereka dalam korespondensi dengan beberapa bilangan rasional c. Namun, nomor itu sendiri c ditelepon kerja angka sebuah dan b dan dilambangkan , dan proses menemukan nomor seperti itu juga disebut perkalian. Aturan perkaliannya adalah sebagai berikut: .
4. Transitivitas relasi orde. Untuk setiap rangkap tiga bilangan rasional sebuah , b dan c jika sebuah lebih kecil b dan b lebih kecil c, kemudian sebuah lebih kecil c, dan jika sebuah sama dengan b dan b sama dengan c, kemudian sebuah sama dengan c. 6435">Komutatifitas penjumlahan. Jumlahnya tidak berubah dari perubahan tempat suku-suku rasional.
5. Asosiatif penjumlahan. Urutan penambahan tiga bilangan rasional tidak mempengaruhi hasil.
6. Kehadiran nol. Ada bilangan rasional 0 yang mempertahankan setiap bilangan rasional lainnya ketika dijumlahkan.
7. Kehadiran angka yang berlawanan. Setiap bilangan rasional memiliki bilangan rasional yang berlawanan, yang jika dijumlahkan menghasilkan 0.
8. Komutatifitas perkalian. Dengan mengubah tempat faktor rasional, produk tidak berubah.
9. Asosiatif perkalian. Urutan perkalian tiga bilangan rasional tidak mempengaruhi hasil.
10. Kehadiran satu kesatuan. Ada bilangan rasional 1 yang mempertahankan setiap bilangan rasional lainnya ketika dikalikan.
11. Kehadiran timbal balik. Setiap bilangan rasional memiliki bilangan rasional terbalik, yang, ketika dikalikan, menghasilkan 1.
12. Distribusi perkalian terhadap penjumlahan. Operasi perkalian konsisten dengan operasi penjumlahan melalui hukum distribusi:
13. Koneksi relasi order dengan operasi penjumlahan. Bilangan rasional yang sama dapat ditambahkan ke ruas kiri dan kanan pertidaksamaan rasional. /pictures/wiki/files/51/358b88fcdff63378040f8d9ab9ba5048.png" border="0">
14. Aksioma Archimedes. Berapapun bilangan rasionalnya sebuah, Anda dapat mengambil begitu banyak unit sehingga jumlahnya akan melebihi sebuah. src="/pictures/wiki/files/55/70c78823302483b6901ad39f68949086.png" border="0">

Properti tambahan

Semua sifat-sifat lain yang melekat pada bilangan rasional tidak dipilih sebagai sifat dasar, karena, secara umum, mereka tidak lagi didasarkan secara langsung pada sifat-sifat bilangan bulat, tetapi dapat dibuktikan berdasarkan sifat-sifat dasar yang diberikan atau langsung dengan definisi dari beberapa objek matematika. Ada banyak properti tambahan seperti itu. Masuk akal di sini untuk mengutip hanya beberapa dari mereka.

Src="/pictures/wiki/files/48/0caf9ffdbc8d6264bc14397db34e8d72.png" border="0">

Setel keterhitungan

Penomoran bilangan rasional

Untuk memperkirakan jumlah bilangan rasional, Anda perlu menemukan kardinalitas himpunannya. Sangat mudah untuk membuktikan bahwa himpunan bilangan rasional dapat dihitung. Untuk melakukan ini, cukup memberikan algoritma yang menghitung bilangan rasional, yaitu, menetapkan bijeksi antara himpunan bilangan rasional dan bilangan asli.

Yang paling sederhana dari algoritma ini adalah sebagai berikut. Sebuah tabel tak terbatas dari pecahan biasa dikompilasi, pada masing-masing saya-baris ke-th di masing-masing j kolom ke- merupakan pecahan. Untuk kepastian, diasumsikan bahwa baris dan kolom tabel ini diberi nomor dari satu. Sel tabel dilambangkan , di mana saya- nomor baris tabel tempat sel berada, dan j- nomor kolom.

Tabel yang dihasilkan dikelola oleh "ular" sesuai dengan algoritma formal berikut.

Aturan-aturan ini dicari dari atas ke bawah dan posisi berikutnya dipilih oleh pertandingan pertama.

Dalam proses bypass seperti itu, setiap bilangan rasional baru ditetapkan ke bilangan asli berikutnya. Artinya, pecahan 1 / 1 diberi nomor 1, pecahan 2 / 1 - nomor 2, dll. Perlu dicatat bahwa hanya pecahan yang tidak dapat direduksi yang diberi nomor. Tanda formal tak dapat direduksi adalah persamaan dengan kesatuan dari pembagi persekutuan terbesar dari pembilang dan penyebut pecahan.

Mengikuti algoritma ini, seseorang dapat menghitung semua bilangan rasional positif. Ini berarti himpunan bilangan rasional positif dapat dihitung. Sangat mudah untuk menetapkan bijeksi antara himpunan bilangan rasional positif dan negatif, cukup dengan menetapkan lawannya pada setiap bilangan rasional. Itu. himpunan bilangan rasional negatif juga dapat dihitung. Persatuan mereka juga dapat dihitung oleh properti set yang dapat dihitung. Himpunan bilangan rasional juga dapat dihitung sebagai gabungan dari himpunan yang dapat dihitung dengan yang terbatas.

Pernyataan tentang keterhitungan himpunan bilangan rasional dapat menyebabkan beberapa kebingungan, karena pada pandangan pertama orang mendapat kesan bahwa itu jauh lebih besar daripada himpunan bilangan asli. Faktanya, ini bukan masalahnya, dan ada cukup banyak bilangan asli untuk menghitung semua bilangan rasional.

Ketidakcukupan bilangan rasional

Hipotenusa segitiga seperti itu tidak dinyatakan oleh bilangan rasional apa pun

Bilangan rasional bentuk 1 / n pada umumnya n jumlah kecil yang sewenang-wenang dapat diukur. Fakta ini menciptakan kesan yang menipu bahwa bilangan rasional dapat mengukur jarak geometris apa pun secara umum. Sangat mudah untuk menunjukkan bahwa ini tidak benar.

Diketahui dari teorema Pythagoras bahwa sisi miring segitiga siku-siku dinyatakan sebagai akar kuadrat dari jumlah kuadrat kaki-kakinya. Itu. panjang sisi miring dari segitiga siku-siku sama kaki dengan satu kaki sama dengan, yaitu, bilangan yang kuadratnya 2.

Jika kita berasumsi bahwa bilangan tersebut diwakili oleh beberapa bilangan rasional, maka ada bilangan bulat seperti itu m dan bilangan asli seperti itu n, yang, apalagi, pecahan tidak dapat direduksi, yaitu, angka m dan n adalah koprima.