Pengetahuan fungsi dasar dasar, sifat dan grafiknya tidak kalah pentingnya dengan mengetahui tabel perkalian. Mereka seperti sebuah yayasan, semuanya didasarkan pada mereka, semuanya dibangun dari mereka, dan semuanya bermuara pada mereka.

Dalam artikel ini, kami mencantumkan semua fungsi dasar utama, memberikan grafiknya dan memberikannya tanpa turunan dan bukti. sifat-sifat fungsi dasar dasar sesuai skema:

• perilaku fungsi pada batas domain definisi, asimtot vertikal (jika perlu, lihat artikel klasifikasi breakpoint suatu fungsi);
• genap dan ganjil;
• interval konveksitas (cembung ke atas) dan kecembungan (cembung ke bawah), titik belok (jika perlu, lihat artikel fungsi cembung, arah cembung, titik belok, kondisi cembung dan belok);
• asimtot miring dan horizontal;
• titik fungsi tunggal;
• sifat khusus dari beberapa fungsi (misalnya, periode positif terkecil untuk fungsi trigonometri).

Jika Anda tertarik atau, maka Anda dapat pergi ke bagian teori ini.

Fungsi dasar dasar adalah: fungsi konstanta (konstanta), akar derajat ke-n, fungsi pangkat, eksponensial, fungsi logaritma, trigonometri dan fungsi trigonometri terbalik.

Navigasi halaman.

Fungsi permanen.

Sebuah fungsi konstan diberikan pada himpunan semua bilangan real dengan rumus , di mana C adalah beberapa bilangan real. Fungsi konstanta menetapkan untuk setiap nilai riil variabel bebas x nilai yang sama dari variabel terikat y - nilai . Fungsi konstan disebut juga konstanta.

Grafik fungsi konstanta adalah garis lurus yang sejajar dengan sumbu x dan melalui suatu titik yang koordinatnya (0,C) . Sebagai contoh, mari kita tunjukkan grafik fungsi konstanta y=5 , y=-2 dan , yang masing-masing sesuai dengan garis hitam, merah dan biru pada gambar di bawah.

Sifat-sifat fungsi konstan.

• Domain definisi: seluruh himpunan bilangan real.
• Fungsi konstan adalah genap.
• Rentang nilai: set yang terdiri dari satu angka C .
• Fungsi konstan tidak bertambah dan tidak berkurang (itu sebabnya konstan).
• Tidak masuk akal untuk berbicara tentang kecembungan dan kecekungan konstanta.
• Tidak ada asimtot.
• Fungsi melewati titik (0,C) dari bidang koordinat.

Akar derajat ke-n.

Pertimbangkan fungsi dasar dasar, yang diberikan oleh rumus , di mana n adalah bilangan asli lebih besar dari satu.

Akar derajat ke-n, n adalah bilangan genap.

Mari kita mulai dengan fungsi root ke-n untuk nilai genap dari eksponen root n .

Misalnya, kami memberikan gambar dengan gambar grafik fungsi dan , mereka sesuai dengan garis hitam, merah dan biru.

Grafik fungsi akar derajat genap memiliki bentuk yang serupa untuk nilai indikator lainnya.

Sifat-sifat akar derajat ke-n genap n .

Akar derajat ke-n, n adalah bilangan ganjil.

Fungsi akar derajat ke-n dengan pangkat ganjil dari akar n didefinisikan pada seluruh himpunan bilangan real. Sebagai contoh, kami menyajikan grafik fungsi dan , kurva hitam, merah, dan biru sesuai dengan mereka.

Untuk nilai ganjil eksponen akar lainnya, grafik fungsi akan memiliki tampilan yang serupa.

Sifat-sifat akar derajat ke-n untuk n ganjil.

Fungsi daya.

Fungsi daya diberikan oleh rumus bentuk .

Pertimbangkan jenis grafik fungsi daya dan sifat-sifat fungsi daya tergantung pada nilai eksponen.

Mari kita mulai dengan fungsi pangkat dengan eksponen bilangan bulat a . Dalam hal ini, bentuk grafik fungsi pangkat dan sifat-sifat fungsi bergantung pada eksponen genap atau ganjil, serta pada tandanya. Oleh karena itu, pertama-tama kami mempertimbangkan fungsi pangkat untuk nilai positif ganjil dari eksponen a , kemudian untuk positif genap, kemudian untuk eksponen negatif ganjil, dan akhirnya, untuk genap negatif a .

Sifat-sifat fungsi pangkat dengan eksponen pecahan dan irasional (serta jenis grafik dari fungsi pangkat tersebut) bergantung pada nilai eksponen a. Kami akan mempertimbangkannya, pertama, ketika a dari nol ke satu, kedua, ketika a lebih besar dari satu, ketiga, ketika a dari minus satu ke nol, dan keempat, ketika a kurang dari minus satu.

Sebagai kesimpulan dari subbagian ini, demi kelengkapan, kami menggambarkan fungsi pangkat dengan eksponen nol.

Fungsi daya dengan eksponen positif ganjil.

Pertimbangkan fungsi pangkat dengan eksponen positif ganjil, yaitu dengan a=1,3,5,… .

Gambar di bawah menunjukkan grafik fungsi daya - garis hitam, - garis biru, - garis merah, - garis hijau. Untuk a = 1 kita memiliki fungsi linear y=x .

Sifat-sifat fungsi pangkat dengan eksponen positif ganjil.

Fungsi daya bahkan dengan eksponen positif.

Pertimbangkan fungsi pangkat dengan eksponen positif genap, yaitu untuk a=2,4,6,… .

Sebagai contoh, mari kita ambil grafik fungsi daya - garis hitam, - garis biru, - garis merah. Untuk a=2 kita memiliki fungsi kuadrat yang grafiknya adalah parabola kuadrat.

Sifat-sifat fungsi pangkat dengan eksponen genap positif.

Fungsi daya dengan eksponen negatif ganjil.

Lihatlah grafik fungsi eksponensial untuk nilai negatif ganjil dari eksponen, yaitu untuk a \u003d -1, -3, -5, ....

Gambar tersebut menunjukkan grafik fungsi eksponensial sebagai contoh - garis hitam, - garis biru, - garis merah, - garis hijau. Untuk a = -1 kita memiliki proporsionalitas terbalik, yang grafiknya adalah hiperbola.

Sifat-sifat fungsi pangkat dengan eksponen negatif ganjil.

Fungsi daya dengan eksponen negatif genap.

Mari kita beralih ke fungsi daya di a=-2,-4,-6,….

Gambar tersebut menunjukkan grafik fungsi daya - garis hitam, - garis biru, - garis merah.

Sifat-sifat fungsi pangkat dengan pangkat genap negatif.

Fungsi pangkat dengan eksponen rasional atau irasional yang nilainya lebih besar dari nol dan kurang dari satu.

Catatan! Jika a adalah pecahan positif dengan penyebut ganjil, maka beberapa penulis menganggap interval sebagai domain dari fungsi pangkat. Pada saat yang sama, dinyatakan bahwa eksponen a adalah pecahan yang tidak dapat direduksi. Sekarang penulis banyak buku teks tentang aljabar dan awal analisis JANGAN MENDEFINISIKAN fungsi pangkat dengan eksponen dalam bentuk pecahan dengan penyebut ganjil untuk nilai negatif dari argumen. Kami akan mematuhi pandangan seperti itu, yaitu, kami akan mempertimbangkan domain fungsi pangkat dengan eksponen positif fraksional sebagai himpunan . Kami mendorong siswa untuk mendapatkan perspektif guru Anda tentang poin halus ini untuk menghindari perselisihan.

Pertimbangkan fungsi pangkat dengan eksponen rasional atau irasional a , dan .

Kami menyajikan grafik fungsi daya pada a=11/12 (garis hitam), a=5/7 (garis merah), (garis biru), a=2/5 (garis hijau).

Fungsi pangkat dengan eksponen rasional atau irasional bukan bilangan bulat lebih besar dari satu.

Pertimbangkan fungsi pangkat dengan eksponen rasional atau irasional non-bilangan bulat a , dan .

Mari kita sajikan grafik fungsi pangkat yang diberikan oleh rumus (garis hitam, merah, biru dan hijau masing-masing).

>

Untuk nilai eksponen a lainnya, grafik fungsi akan memiliki tampilan yang serupa.

Sifat fungsi daya untuk .

Fungsi pangkat dengan eksponen nyata yang lebih besar dari minus satu dan kurang dari nol.

Catatan! Jika a adalah pecahan negatif dengan penyebut ganjil, maka beberapa penulis mempertimbangkan intervalnya . Pada saat yang sama, dinyatakan bahwa eksponen a adalah pecahan yang tidak dapat direduksi. Sekarang penulis banyak buku teks tentang aljabar dan awal analisis JANGAN MENDEFINISIKAN fungsi pangkat dengan eksponen dalam bentuk pecahan dengan penyebut ganjil untuk nilai negatif dari argumen. Kami akan mematuhi pandangan seperti itu, yaitu, kami akan mempertimbangkan domain fungsi pangkat dengan eksponen negatif fraksional sebagai himpunan, masing-masing. Kami mendorong siswa untuk mendapatkan perspektif guru Anda tentang poin halus ini untuk menghindari perselisihan.

Kami lolos ke fungsi daya , di mana .

Untuk mengetahui jenis grafik fungsi pangkat, kami memberikan contoh grafik fungsi (kurva hitam, merah, biru, dan hijau, masing-masing).

Sifat-sifat fungsi pangkat dengan eksponen a , .

Fungsi pangkat dengan eksponen real non-bilangan bulat yang kurang dari minus satu.

Mari kita berikan contoh grafik fungsi daya untuk , masing-masing digambarkan dalam garis hitam, merah, biru, dan hijau.

Sifat-sifat fungsi pangkat dengan eksponen negatif bukan bilangan bulat kurang dari minus satu.

Ketika a=0 dan kami memiliki fungsi - ini adalah garis lurus dari mana titik (0; 1) dikecualikan (pernyataan 0 0 disepakati untuk tidak mementingkan apapun).

Fungsi eksponensial.

Salah satu fungsi dasar dasar adalah fungsi eksponensial.

Grafik fungsi eksponensial, di mana dan mengambil bentuk yang berbeda tergantung pada nilai basis a. Mari kita cari tahu.

Pertama, pertimbangkan kasus ketika basis fungsi eksponensial mengambil nilai dari nol hingga satu, yaitu .

Misalnya, kami menyajikan grafik fungsi eksponensial untuk a = 1/2 - garis biru, a = 5/6 - garis merah. Grafik fungsi eksponensial memiliki penampilan yang serupa untuk nilai-nilai basis lainnya dari interval .

Sifat-sifat fungsi eksponensial dengan basis kurang dari satu.

Kami beralih ke kasus ketika basis fungsi eksponensial lebih besar dari satu, yaitu .

Sebagai ilustrasi, kami menyajikan grafik fungsi eksponensial - garis biru dan - garis merah. Untuk nilai-nilai basis lainnya, lebih besar dari satu, grafik fungsi eksponensial akan memiliki tampilan yang serupa.

Sifat-sifat fungsi eksponensial dengan basis lebih dari satu.

fungsi logaritma.

Fungsi dasar dasar berikutnya adalah fungsi logaritma , Dimana , . Fungsi logaritma didefinisikan hanya untuk nilai positif dari argumen, yaitu untuk .

Grafik fungsi logaritma mengambil bentuk yang berbeda tergantung pada nilai basis a.

Koordinat mutlak setiap titik pada bidang ditentukan oleh dua nilainya: sepanjang sumbu absis dan sumbu ordinat. Himpunan banyak titik tersebut adalah grafik fungsi. Berdasarkan itu, Anda dapat melihat bagaimana nilai Y berubah tergantung pada perubahan nilai X. Anda juga dapat menentukan di bagian mana (interval) fungsi meningkat dan di bagian mana ia berkurang.

Petunjuk

• Apa yang dapat dikatakan tentang suatu fungsi jika grafiknya berupa garis lurus? Lihat apakah garis ini melewati titik asal koordinat (yaitu garis di mana nilai X dan Y adalah 0). Jika lewat, maka fungsi tersebut dijelaskan oleh persamaan y = kx. Mudah dipahami bahwa semakin besar nilai k, semakin dekat garis ini dengan sumbu y. Dan sumbu Y itu sendiri sebenarnya sesuai dengan nilai k yang sangat besar.
• Perhatikan arah fungsinya. Jika "kiri bawah - kanan atas", yaitu, melalui kuartal ke-3 dan ke-1, itu meningkat, tetapi jika "kiri atas - kanan ke bawah" (melalui kuartal ke-2 dan ke-4), maka itu menurun.
• Ketika garis tidak melalui titik asal, digambarkan dengan persamaan y = kx + b. Garis memotong sumbu y di titik di mana y = b, dan nilai y bisa positif atau negatif.
• Suatu fungsi disebut parabola jika dijelaskan oleh persamaan y = x^n, dan bentuknya bergantung pada nilai n. Jika n adalah bilangan genap (kasus paling sederhana adalah fungsi kuadrat y = x^2), grafik fungsi tersebut adalah kurva yang melalui titik asal, serta melalui titik dengan koordinat (1; 1), (- 1; 1), untuk unit kekuatan apa pun akan tetap menjadi unit. Semua nilai y yang sesuai dengan nilai X bukan nol hanya bisa positif. Fungsinya simetris terhadap sumbu Y, dan grafiknya terletak pada kuarter koordinat 1 dan 2. Dapat dengan mudah dipahami bahwa semakin besar nilai n, semakin dekat grafiknya dengan sumbu Y.
• Jika n bilangan ganjil, grafik fungsi ini adalah parabola kubik. Kurva yang terletak pada kuarter koordinat 1 dan 3, simetris terhadap sumbu Y dan melalui titik asal, serta melalui titik (-1;-1), (1;1). Ketika fungsi kuadrat adalah persamaan y = ax^2 + bx + c, bentuk parabola sama dengan kasus paling sederhana (y = x^2), tetapi titiknya tidak di titik asal.
• Suatu fungsi disebut hiperbola jika dijelaskan oleh persamaan y = k/x. Dapat dengan mudah dilihat bahwa ketika nilai x cenderung ke 0, nilai y meningkat hingga tak terhingga. Grafik fungsi adalah kurva yang terdiri dari dua cabang dan terletak di kuartal koordinat yang berbeda.

Materi metodologis ini hanya untuk referensi dan mencakup berbagai topik. Artikel ini memberikan ikhtisar grafik fungsi dasar utama dan mempertimbangkan masalah paling penting - cara membuat grafik yang benar dan CEPAT. Dalam mempelajari matematika tingkat tinggi tanpa mengetahui grafik fungsi dasar dasar, akan sulit, jadi sangat penting untuk mengingat seperti apa grafik parabola, hiperbola, sinus, kosinus, dll., untuk mengingat beberapa nilai fungsi. Kami juga akan berbicara tentang beberapa properti dari fungsi utama.

Saya tidak berpura-pura untuk kelengkapan dan ketelitian ilmiah dari materi, penekanan akan ditempatkan, pertama-tama, pada praktik - hal-hal yang dengannya seseorang harus menghadapi secara harfiah di setiap langkah, dalam topik matematika yang lebih tinggi. Grafik untuk boneka? Anda bisa mengatakan demikian.

Dengan permintaan populer dari pembaca daftar isi yang dapat diklik:

Selain itu, ada abstrak ultra-pendek tentang topik ini
– kuasai 16 jenis grafik dengan mempelajari ENAM halaman!

Serius, enam, bahkan saya sendiri terkejut. Abstrak ini berisi grafik yang ditingkatkan dan tersedia dengan biaya nominal, versi demo dapat dilihat. Lebih mudah untuk mencetak file sehingga grafik selalu ada. Terima kasih telah mendukung proyek ini!

Dan kita mulai segera:

Bagaimana cara membangun sumbu koordinat dengan benar?

Dalam praktiknya, tes hampir selalu dibuat oleh siswa di buku catatan terpisah, berjajar di dalam sangkar. Mengapa Anda membutuhkan tanda kotak-kotak? Bagaimanapun, pekerjaan itu, pada prinsipnya, dapat dilakukan pada lembar A4. Dan sangkar diperlukan hanya untuk desain gambar yang berkualitas tinggi dan akurat.

Setiap gambar grafik fungsi dimulai dengan sumbu koordinat.

Gambar adalah dua dimensi dan tiga dimensi.

Mari kita pertimbangkan kasus dua dimensi terlebih dahulu Sistem koordinasi cartesian:

1) Kami menggambar sumbu koordinat. Sumbu disebut sumbu x , dan sumbu sumbu y . Kami selalu mencoba menggambar mereka rapi dan tidak bengkok. Anak panah juga tidak boleh menyerupai janggut Papa Carlo.

2) Kami menandatangani sumbu dengan huruf kapital "x" dan "y". Jangan lupa untuk menandatangani kapak.

3) Atur skala di sepanjang sumbu: menggambar nol dan dua satu. Saat membuat gambar, skala yang paling nyaman dan umum adalah: 1 unit = 2 sel (menggambar di sebelah kiri) - tempel jika memungkinkan. Namun, dari waktu ke waktu terjadi bahwa gambar tidak muat pada lembar buku catatan - maka kami mengurangi skala: 1 unit = 1 sel (gambar di sebelah kanan). Jarang, tetapi kebetulan skala gambar harus dikurangi (atau ditingkatkan) bahkan lebih

JANGAN mencoret-coret dari senapan mesin ... -5, -4, -3, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, .... Karena bidang koordinat bukanlah monumen bagi Descartes, dan siswa bukanlah seekor merpati. Kami meletakkan nol dan dua unit di sepanjang sumbu. Kadang-kadang alih-alih unit, akan lebih mudah untuk "mendeteksi" nilai lain, misalnya, "dua" pada sumbu absis dan "tiga" pada sumbu ordinat - dan sistem ini (0, 2 dan 3) juga akan mengatur kisi koordinat secara unik.

Lebih baik memperkirakan perkiraan dimensi gambar SEBELUM gambar digambar.. Jadi, misalnya, jika tugas mengharuskan menggambar segitiga dengan simpul , , , maka cukup jelas bahwa skala populer 1 unit = 2 sel tidak akan berfungsi. Mengapa? Mari kita lihat intinya - di sini Anda harus mengukur lima belas sentimeter ke bawah, dan, jelas, gambarnya tidak akan muat (atau hampir tidak muat) pada lembar buku catatan. Oleh karena itu, kami segera memilih skala yang lebih kecil 1 unit = 1 sel.

By the way, sekitar sentimeter dan sel notebook. Benarkah ada 15 sentimeter dalam 30 sel notebook? Ukur dalam buku catatan untuk bunga 15 sentimeter dengan penggaris. Di Uni Soviet, mungkin ini benar ... Sangat menarik untuk dicatat bahwa jika Anda mengukur sentimeter yang sama ini secara horizontal dan vertikal, maka hasilnya (dalam sel) akan berbeda! Sebenarnya, notebook modern tidak kotak-kotak, tetapi persegi panjang. Ini mungkin tampak seperti omong kosong, tetapi menggambar, misalnya, lingkaran dengan kompas dalam situasi seperti itu sangat merepotkan. Sejujurnya, pada saat-saat seperti itu Anda mulai berpikir tentang kebenaran Kamerad Stalin, yang dikirim ke kamp untuk pekerjaan peretasan dalam produksi, belum lagi industri otomotif dalam negeri, pesawat jatuh atau pembangkit listrik yang meledak.

Berbicara tentang kualitas, atau rekomendasi singkat tentang alat tulis. Sampai saat ini, sebagian besar notebook yang dijual, tanpa mengatakan kata-kata buruk, adalah goblin lengkap. Karena mereka basah, dan tidak hanya dari pena gel, tetapi juga dari pulpen! Hemat di atas kertas. Untuk desain pengujian, saya sarankan menggunakan notebook Pabrik Pulp dan Kertas Arkhangelsk (18 lembar, sel) atau Pyaterochka, meskipun lebih mahal. Dianjurkan untuk memilih pena gel, bahkan isi ulang gel Cina termurah jauh lebih baik daripada bolpoin, yang mengolesi atau merobek kertas. Satu-satunya pulpen "kompetitif" dalam ingatan saya adalah Erich Krause. Dia menulis dengan jelas, indah dan stabil - baik dengan batang penuh, atau dengan batang yang hampir kosong.

Selain itu: visi sistem koordinat persegi panjang melalui mata geometri analitik tercakup dalam artikel Linear (non) ketergantungan vektor. Dasar vektor, informasi rinci tentang koordinat perempat dapat ditemukan di paragraf kedua pelajaran Pertidaksamaan linier.

kasus 3D

Ini hampir sama di sini.

1) Kami menggambar sumbu koordinat. Standar: menerapkan sumbu – diarahkan ke atas, sumbu – diarahkan ke kanan, sumbu – ke bawah ke kiri dengan ketat pada sudut 45 derajat.

2) Kami menandatangani kapak.

3) Atur skala di sepanjang sumbu. Skala di sepanjang sumbu - dua kali lebih kecil dari skala di sepanjang sumbu lainnya. Perhatikan juga bahwa pada gambar yang benar, saya menggunakan "serif" non-standar di sepanjang sumbu (kemungkinan ini telah disebutkan di atas). Dari sudut pandang saya, ini lebih akurat, lebih cepat, dan lebih estetis - Anda tidak perlu mencari bagian tengah sel di bawah mikroskop dan "memahat" unit sampai ke asalnya.

Saat menggambar 3D lagi - prioritaskan skala
1 unit = 2 sel (menggambar di sebelah kiri).

Untuk apa semua aturan ini? Aturan ada untuk dilanggar. Apa yang akan saya lakukan sekarang. Faktanya adalah bahwa gambar artikel selanjutnya akan dibuat oleh saya di Excel, dan sumbu koordinat akan terlihat salah dalam hal desain yang tepat. Saya dapat menggambar semua grafik dengan tangan, tetapi menggambarnya sangat menakutkan, karena Excel enggan menggambarnya dengan lebih akurat.

Grafik dan sifat dasar fungsi dasar

Fungsi linier diberikan oleh persamaan . Grafik fungsi linier adalah langsung. Untuk membuat garis lurus, cukup mengetahui dua titik.

Contoh 1

Gambarkan fungsinya. Mari kita temukan dua poin. Adalah menguntungkan untuk memilih nol sebagai salah satu poin.

Jika kemudian

Kami mengambil beberapa poin lain, misalnya, 1.

Jika kemudian

Saat menyiapkan tugas, koordinat titik biasanya diringkas dalam tabel:

Dan nilai-nilai itu sendiri dihitung secara lisan atau pada konsep, kalkulator.

Dua poin ditemukan, mari kita menggambar:

Saat menggambar, kami selalu menandatangani grafik.

Tidak akan berlebihan untuk mengingat kasus khusus dari fungsi linier:

Perhatikan bagaimana saya menempatkan teks, tanda tangan tidak boleh ambigu saat mempelajari gambar. Dalam hal ini, sangat tidak diinginkan untuk membubuhkan tanda tangan di sebelah titik perpotongan garis, atau di kanan bawah di antara grafik.

1) Fungsi linier dari bentuk () disebut proporsionalitas langsung. Sebagai contoh, . Grafik proporsionalitas langsung selalu melalui titik asal. Dengan demikian, konstruksi garis lurus disederhanakan - cukup untuk menemukan hanya satu titik.

2) Persamaan bentuk mendefinisikan garis lurus yang sejajar dengan sumbu, khususnya sumbu itu sendiri diberikan oleh persamaan. Grafik fungsi dibangun segera, tanpa menemukan titik. Artinya, entri harus dipahami sebagai berikut: "y selalu sama dengan -4, untuk setiap nilai x."

3) Persamaan bentuk mendefinisikan garis lurus yang sejajar dengan sumbu, khususnya sumbu itu sendiri diberikan oleh persamaan. Grafik fungsi juga segera dibangun. Entrinya harus dipahami sebagai berikut: "x selalu, untuk setiap nilai y, sama dengan 1."

Beberapa akan bertanya, nah, mengapa ingat kelas 6 ?! Begitulah, mungkin begitu, hanya selama bertahun-tahun latihan saya bertemu selusin siswa yang bingung dengan tugas membuat grafik seperti atau .

Menggambar garis lurus adalah tindakan yang paling umum saat membuat gambar.

Garis lurus dibahas secara rinci dalam kursus geometri analitik, dan mereka yang ingin dapat merujuk ke artikel Persamaan garis lurus pada bidang.

Grafik fungsi kuadrat, grafik fungsi kubik, grafik polinomial

Parabola. Grafik fungsi kuadrat () adalah parabola. Pertimbangkan kasus terkenal:

Mari kita mengingat kembali beberapa properti dari fungsi tersebut.

Jadi, solusi untuk persamaan kita: - pada titik inilah titik parabola berada. Mengapa demikian dapat dipelajari dari artikel teoretis tentang turunan dan pelajaran tentang ekstrem dari fungsi. Sementara itu, kami menghitung nilai "y" yang sesuai:

Jadi simpulnya berada di titik

Sekarang kita menemukan titik lain, sambil dengan berani menggunakan simetri parabola. Perlu diperhatikan bahwa fungsi – tidak genap, tetapi, bagaimanapun, tidak ada yang membatalkan simetri parabola.

Dalam urutan apa untuk menemukan poin yang tersisa, saya pikir itu akan menjadi jelas dari tabel final:

Algoritma konstruksi ini dapat secara kiasan disebut prinsip "shuttle" atau "bolak-balik" dengan Anfisa Chekhova.

Mari kita membuat gambar:

Dari grafik yang dipertimbangkan, fitur lain yang berguna muncul dalam pikiran:

Untuk fungsi kuadrat () berikut ini benar:

Jika , maka cabang-cabang parabola diarahkan ke atas.

Jika , maka cabang-cabang parabola diarahkan ke bawah.

Pengetahuan mendalam tentang kurva dapat diperoleh dalam pelajaran Hiperbola dan parabola.

Parabola kubik diberikan oleh fungsi . Berikut adalah gambar yang familiar dari sekolah:

Kami mencantumkan properti utama dari fungsi

Grafik Fungsi

Ini mewakili salah satu cabang parabola. Mari kita membuat gambar:

Sifat utama dari fungsi:

Dalam hal ini, sumbunya adalah asimtot vertikal untuk grafik hiperbola di .

Akan menjadi kesalahan BESAR jika, saat menggambar, karena kelalaian, Anda membiarkan grafik berpotongan dengan asimtot.

Juga batas satu sisi, beri tahu kami bahwa hiperbola tidak terbatas dari atas dan tidak terbatas dari bawah.

Mari kita telusuri fungsinya di tak terhingga: , yaitu, jika kita mulai bergerak sepanjang sumbu ke kiri (atau kanan) hingga tak terhingga, maka "permainan" akan menjadi langkah ramping sangat dekat mendekati nol, dan, karenanya, cabang-cabang hiperbola sangat dekat mendekati sumbu.

Jadi sumbunya adalah asimtot horizontal untuk grafik fungsi, jika "x" cenderung plus atau minus tak terhingga.

Fungsinya adalah aneh, yang berarti hiperbola simetris terhadap titik asal. Fakta ini jelas dari gambar, selain itu, dapat dengan mudah diverifikasi secara analitis: .

Grafik fungsi bentuk () mewakili dua cabang hiperbola.

Jika , maka hiperbola terletak pada kuadran koordinat pertama dan ketiga(lihat gambar di atas).

Jika , maka hiperbola terletak pada kuadran koordinat kedua dan keempat.

Tidak sulit untuk menganalisis keteraturan yang ditentukan dari tempat tinggal hiperbola dari sudut pandang transformasi geometris grafik.

Contoh 3

Bangun cabang kanan hiperbola

Kami menggunakan metode konstruksi pointwise, sementara itu menguntungkan untuk memilih nilai sehingga mereka membagi sepenuhnya:

Mari kita membuat gambar:

Tidak akan sulit untuk membangun cabang kiri hiperbola, di sini keanehan fungsi hanya akan membantu. Secara kasar, dalam tabel konstruksi pointwise, secara mental tambahkan minus ke setiap angka, letakkan titik yang sesuai dan gambar cabang kedua.

Informasi geometris terperinci tentang garis yang dipertimbangkan dapat ditemukan di artikel Hiperbola dan parabola.

Grafik fungsi eksponensial

Dalam paragraf ini, saya akan segera mempertimbangkan fungsi eksponensial, karena dalam masalah matematika tingkat tinggi dalam 95% kasus eksponenlah yang muncul.

Saya mengingatkan Anda bahwa - ini adalah bilangan irasional: , ini akan diperlukan saat membuat grafik, yang sebenarnya akan saya bangun tanpa upacara. Tiga poin mungkin cukup:

Mari kita tinggalkan grafik fungsinya untuk saat ini, tentangnya nanti.

Sifat utama dari fungsi:

Pada dasarnya, grafik fungsi terlihat sama, dll.

Saya harus mengatakan bahwa kasus kedua kurang umum dalam praktiknya, tetapi itu memang terjadi, jadi saya merasa perlu untuk memasukkannya ke dalam artikel ini.

Grafik fungsi logaritma

Pertimbangkan fungsi dengan logaritma natural .
Mari kita menggambar garis:

Jika Anda lupa apa itu logaritma, silakan merujuk ke buku teks sekolah.

Sifat utama dari fungsi:

Domain:

Jarak nilai: .

Fungsinya tidak terbatas dari atas: , meskipun lambat, tetapi cabang logaritma naik hingga tak terhingga.
Mari kita periksa perilaku fungsi mendekati nol di sebelah kanan: . Jadi sumbunya adalah asimtot vertikal untuk grafik fungsi dengan "x" cenderung nol di sebelah kanan.

Pastikan untuk mengetahui dan mengingat nilai khas logaritma: .

Pada dasarnya, plot logaritma di pangkalan terlihat sama: , , (logaritma desimal ke basis 10), dll. Pada saat yang sama, semakin besar alasnya, semakin rata grafiknya.

Kami tidak akan mempertimbangkan kasusnya, sesuatu yang saya tidak ingat kapan terakhir kali saya membuat grafik dengan dasar seperti itu. Ya, dan logaritma tampaknya menjadi tamu yang sangat jarang dalam masalah matematika yang lebih tinggi.

Sebagai penutup paragraf, saya akan mengatakan satu fakta lagi: Fungsi Eksponensial dan Fungsi Logaritmaadalah dua fungsi yang saling invers. Jika Anda melihat lebih dekat pada grafik logaritma, Anda dapat melihat bahwa ini adalah eksponen yang sama, hanya terletak sedikit berbeda.

Grafik fungsi trigonometri

Bagaimana siksaan trigonometri dimulai di sekolah? Benar. Dari sinus

Mari kita plot fungsinya

Garis ini disebut sinusoida.

Saya mengingatkan Anda bahwa "pi" adalah bilangan irasional :, dan dalam trigonometri itu mempesona di mata.

Sifat utama dari fungsi:

Fungsi ini adalah berkala dengan suatu periode. Apa artinya? Mari kita lihat potongannya. Di kiri dan kanannya, potongan grafik yang sama berulang tanpa henti.

Domain: , yaitu, untuk setiap nilai "x" ada nilai sinus.

Jarak nilai: . Fungsinya adalah terbatas: , yaitu, semua "permainan" duduk ketat di segmen .
Ini tidak terjadi: atau, lebih tepatnya, itu terjadi, tetapi persamaan ini tidak memiliki solusi.

fungsi adalah korespondensi antara elemen-elemen dari dua himpunan, yang ditetapkan menurut aturan sedemikian rupa sehingga setiap elemen dari satu himpunan dikaitkan dengan beberapa elemen dari himpunan lain.

grafik suatu fungsi adalah tempat kedudukan titik-titik pada bidang yang absis (x) dan ordinat (y) dihubungkan oleh fungsi yang ditentukan:

titik terletak (atau terletak) pada grafik fungsi jika dan hanya jika .

Dengan demikian, suatu fungsi dapat dijelaskan secara memadai oleh grafiknya.

cara tabel. Cukup umum, ini terdiri dari pengaturan tabel nilai argumen individu dan nilai fungsi yang sesuai. Metode pendefinisian fungsi ini digunakan jika domain dari fungsi tersebut adalah himpunan berhingga diskrit.

Dengan metode tabular untuk menentukan suatu fungsi, dimungkinkan untuk menghitung nilai fungsi yang tidak terkandung dalam tabel secara kira-kira, sesuai dengan nilai tengah argumen. Untuk melakukan ini, gunakan metode interpolasi.

Keuntungan dari metode tabular pengaturan fungsi adalah memungkinkan untuk menentukan nilai spesifik tertentu sekaligus, tanpa pengukuran atau perhitungan tambahan. Namun, dalam beberapa kasus, tabel tidak mendefinisikan fungsi sepenuhnya, tetapi hanya untuk beberapa nilai argumen dan tidak memberikan representasi visual tentang sifat perubahan fungsi tergantung pada perubahan argumen.

cara grafis. Grafik fungsi y = f(x) adalah himpunan semua titik pada bidang yang koordinatnya memenuhi persamaan yang diberikan.

Cara grafis untuk menentukan suatu fungsi tidak selalu memungkinkan untuk secara akurat menentukan nilai numerik argumen. Namun, ini memiliki keunggulan besar dibandingkan metode lain - visibilitas. Dalam teknik dan fisika, metode grafis untuk pengaturan fungsi sering digunakan, dan grafik adalah satu-satunya cara yang tersedia untuk ini.

Agar penugasan grafis suatu fungsi menjadi cukup benar dari sudut pandang matematis, perlu untuk menunjukkan konstruksi geometrik yang tepat dari grafik, yang, paling sering, diberikan oleh persamaan. Ini mengarah ke cara berikut untuk mendefinisikan suatu fungsi.

cara analitis. Paling sering, hukum yang menetapkan hubungan antara argumen dan fungsi ditentukan melalui rumus. Cara mendefinisikan fungsi ini disebut analitis.

Metode ini memungkinkan setiap nilai numerik dari argumen x untuk menemukan nilai numerik yang sesuai dari fungsi y secara tepat atau dengan akurasi tertentu.

Jika hubungan antara x dan y diberikan oleh rumus yang diselesaikan sehubungan dengan y, yaitu. memiliki bentuk y = f(x), maka kita katakan bahwa fungsi x diberikan secara eksplisit.

Jika nilai x dan y dihubungkan oleh suatu persamaan berbentuk F(x,y) = 0, yaitu. rumus tidak diperbolehkan sehubungan dengan y, yang berarti bahwa fungsi y = f(x) didefinisikan secara implisit.

Suatu fungsi dapat didefinisikan dengan rumus yang berbeda di bagian yang berbeda dari area tugasnya.

Metode analitik adalah cara yang paling umum untuk mendefinisikan fungsi. Kekompakan, keringkasan, kemampuan untuk menghitung nilai fungsi untuk nilai argumen yang berubah-ubah dari domain definisi, kemampuan untuk menerapkan peralatan analisis matematis ke fungsi yang diberikan adalah keuntungan utama dari metode analitik untuk mendefinisikan suatu fungsi. Kerugiannya termasuk kurangnya visibilitas, yang dikompensasi oleh kemampuan untuk membuat grafik dan kebutuhan untuk melakukan perhitungan yang terkadang sangat rumit.

cara lisan. Metode ini terdiri dari fakta bahwa ketergantungan fungsional dinyatakan dalam kata-kata.

Contoh 1: fungsi E(x) adalah bagian bilangan bulat dari bilangan x. Secara umum, E(x) = [x] menunjukkan bilangan bulat terbesar yang tidak melebihi x. Dengan kata lain, jika x = r + q, di mana r adalah bilangan bulat (mungkin negatif) dan q termasuk dalam interval = r. Fungsi E(x) = [x] konstan pada interval = r.

Contoh 2: fungsi y = (x) - bagian pecahan dari suatu bilangan. Lebih tepatnya, y =(x) = x - [x], di mana [x] adalah bagian bilangan bulat dari bilangan x. Fungsi ini didefinisikan untuk semua x. Jika x adalah bilangan arbitrer, maka dinyatakan sebagai x = r + q (r = [x]), di mana r adalah bilangan bulat dan q terletak pada interval .
Kita melihat bahwa menambahkan n ke argumen x tidak mengubah nilai fungsi.
Bilangan bukan nol terkecil dalam n adalah , jadi periodenya adalah sin 2x .

Nilai argumen yang fungsinya sama dengan 0 disebut nol (akar) fungsi.

Suatu fungsi dapat memiliki beberapa nol.

Misalnya, fungsi y=x(x+1)(x-3) memiliki tiga nol: x=0, x=-1, x=3.

Secara geometris, nol suatu fungsi adalah absis titik potong grafik fungsi dengan sumbu X .

Gambar 7 menunjukkan grafik fungsi dengan nol: x = a, x = b dan x = c .

Jika grafik suatu fungsi mendekati garis lurus tertentu tanpa batas saat menjauh dari titik asal, maka garis lurus ini disebut asimtot.

Fungsi terbalik

Biarkan fungsi y=ƒ(x) diberikan dengan domain definisi D dan himpunan nilai E. Jika setiap nilai yєE sesuai dengan nilai tunggal xєD, maka fungsi x=φ(y) didefinisikan dengan domain definisi E dan himpunan nilai D (lihat Gambar 102).

Fungsi seperti itu (y) disebut invers dari fungsi (x) dan ditulis dalam bentuk berikut: x=j(y)=f -1 (y) Tentang fungsi y=ƒ(x) dan x=φ(y) mereka mengatakan bahwa mereka saling terbalik. Untuk mencari fungsi x=φ(y) invers ke fungsi y=ƒ(x), cukup dengan menyelesaikan persamaan (x)=y terhadap x (jika mungkin).

1. Untuk fungsi y \u003d 2x, fungsi kebalikannya adalah fungsi x \u003d y / 2;

2. Untuk fungsi y \u003d x2 xє, fungsi kebalikannya adalah x \u003d y; perhatikan bahwa untuk fungsi y \u003d x 2, diberikan pada segmen [-1; 1], tidak ada invers, karena satu nilai y sesuai dengan dua nilai x (misalnya, jika y=1/4, maka x1=1/2, x2=-1/2).

Dari definisi fungsi invers diperoleh bahwa fungsi y=ƒ(x) memiliki invers jika dan hanya jika fungsi (x) mendefinisikan korespondensi satu-satu antara himpunan D dan E. Oleh karena itu, setiap fungsi yang sangat monoton memiliki invers. Selain itu, jika fungsi bertambah (berkurang), maka fungsi kebalikannya juga bertambah (berkurang).

Perhatikan bahwa fungsi y \u003d (x) dan inversnya x \u003d (y) digambarkan oleh kurva yang sama, yaitu grafiknya bertepatan. Jika kita setuju bahwa, seperti biasa, variabel bebas (yaitu, argumen) dilambangkan dengan x, dan variabel terikat oleh y, maka fungsi invers dari fungsi y \u003d ƒ (x) akan ditulis sebagai y \u003d (x).

Artinya titik M 1 (x o; y o) dari kurva y=ƒ(x) menjadi titik M 2 (y o; x o) dari kurva y=φ(x). Tetapi titik-titik M 1 dan M 2 simetris terhadap garis lurus y \u003d x (lihat Gambar 103). Oleh karena itu, grafik fungsi saling invers y=ƒ(x) dan y=φ(x) adalah simetris terhadap garis bagi sudut koordinat pertama dan ketiga.

Fungsi kompleks

Biarkan fungsi y=ƒ(u) didefinisikan pada himpunan D, dan fungsi u= (x) pada himpunan D 1 , dan untuk x D 1 nilai yang sesuai u=φ(x) D. Kemudian pada himpunan D 1 didefinisikan fungsi u=ƒ(φ(x)), yang disebut fungsi kompleks dari x (atau superposisi dari fungsi yang diberikan, atau fungsi dari suatu fungsi).

Variabel u=φ(x) disebut argumen perantara dari fungsi kompleks.

Misalnya, fungsi y=sin2x adalah superposisi dari dua fungsi y=sinu dan u=2x. Fungsi kompleks dapat memiliki beberapa argumen perantara.

4. Fungsi dasar dasar dan grafiknya.

Fungsi berikut disebut fungsi dasar dasar.

1) Fungsi eksponensial y \u003d a x, a> 0, a 1. Dalam gbr. 104 menunjukkan grafik fungsi eksponensial yang sesuai dengan berbagai basis eksponensial.

2) Fungsi daya y=x , R. Contoh grafik fungsi pangkat yang sesuai dengan berbagai eksponen disediakan dalam gambar

3) Fungsi logaritma y=log a x, a>0,a≠1 Grafik fungsi logaritma yang sesuai dengan basis yang berbeda ditunjukkan pada gambar. 106.

4) Fungsi trigonometri y=sinx, y=cosx, y=tgx, y=ctgx; Grafik fungsi trigonometri memiliki bentuk yang ditunjukkan pada gambar. 107.

5) Fungsi trigonometri terbalik y=arcsinx, y=arccosx, y=arctgx, y=arcctgx. pada gambar. 108 menunjukkan grafik fungsi trigonometri terbalik.

Fungsi yang diberikan oleh satu rumus, terdiri dari fungsi dasar dan konstanta dasar menggunakan sejumlah terbatas operasi aritmatika (penjumlahan, pengurangan, perkalian, pembagian) dan operasi pengambilan fungsi dari suatu fungsi, disebut fungsi dasar.

Contoh fungsi dasar adalah fungsi

Contoh fungsi non-dasar adalah fungsi

5. Konsep limit barisan dan fungsi. Batasi properti.

Batas fungsi (batas fungsi) pada suatu titik tertentu, yang membatasi domain definisi suatu fungsi, adalah suatu nilai di mana nilai fungsi yang dipertimbangkan cenderung ketika argumennya cenderung ke suatu titik tertentu.

Dalam matematika batas urutan elemen ruang metrik atau ruang topologi adalah elemen dari ruang yang sama yang memiliki sifat "menarik" elemen urutan tertentu. Batas barisan elemen ruang topologi adalah titik tersebut, yang setiap tetangganya memuat semua elemen barisan tersebut, dimulai dari suatu bilangan. Dalam ruang metrik, lingkungan didefinisikan dalam fungsi jarak, sehingga gagasan tentang batas dirumuskan dalam bahasa jarak. Secara historis, yang pertama adalah konsep limit barisan numerik, yang muncul dalam analisis matematis, di mana ia berfungsi sebagai dasar untuk sistem aproksimasi dan digunakan secara luas dalam konstruksi kalkulus diferensial dan integral.

Penamaan:

(Baca: limit barisan ke-x sebagai encenderung tak hingga adalah a)

Sifat barisan yang memiliki limit disebut konvergensi: jika suatu barisan mempunyai limit, maka barisan tersebut dikatakan konvergen; sebaliknya (jika barisan tidak memiliki limit) barisan tersebut dikatakan menyimpang. Dalam ruang Hausdorff, dan khususnya ruang metrik, setiap barisan barisan konvergen konvergen, dan limitnya sama dengan limit barisan aslinya. Dengan kata lain, barisan elemen dalam ruang Hausdorff tidak dapat memiliki dua limit yang berbeda. Mungkin, bagaimanapun, ternyata barisan itu tidak memiliki batas, tetapi ada barisan (dari barisan yang diberikan) yang memiliki batas. Jika suatu barisan titik dalam suatu ruang memiliki barisan yang konvergen, maka ruang tersebut dikatakan memiliki sifat kekompakan berurutan (atau, sederhananya, kekompakan jika kekompakan didefinisikan secara eksklusif dalam barisan).

Konsep limit suatu barisan berhubungan langsung dengan konsep titik limit (kumpulan): jika suatu himpunan mempunyai titik limit, maka ada barisan elemen-elemen himpunan tersebut yang konvergen ke titik tertentu.

Definisi

Biarkan ruang topologi dan urutan diberikan Kemudian, jika ada elemen sedemikian rupa sehingga

dimana adalah himpunan terbuka yang memuat , maka disebut limit dari barisan tersebut . Jika ruang adalah metrik, maka batas dapat didefinisikan menggunakan metrik: jika ada elemen sedemikian rupa sehingga

di mana adalah metrik, maka disebut batas.

· Jika sebuah ruang dilengkapi dengan topologi antidiskrit, maka limit dari sembarang barisan adalah sembarang elemen dari ruang tersebut.

6. Batas suatu fungsi pada suatu titik. Batas sepihak.

Fungsi satu variabel. Menentukan limit suatu fungsi di suatu titik menurut Cauchy. Nomor b disebut limit fungsi pada = f(x) pada X berjuang untuk sebuah(atau pada intinya sebuah) jika untuk sembarang bilangan positif ada bilangan positif sehingga untuk semua x a, sehingga | x – sebuah | < , выполняется неравенство
| f(x) – sebuah | <  .

Menentukan limit suatu fungsi di suatu titik menurut Heine. Nomor b disebut limit fungsi pada = f(x) pada X berjuang untuk sebuah(atau pada intinya sebuah) jika untuk sembarang barisan ( x n ) konvergen ke sebuah(bercita-cita untuk sebuah, yang memiliki jumlah batas sebuah), dan untuk nilai apa pun n x tidak sebuah, urutan ( kamu n= f(x n)) konvergen ke b.

Definisi ini mengasumsikan bahwa fungsi pada = f(x) didefinisikan di beberapa lingkungan titik sebuah, kecuali mungkin untuk intinya sebuah.

Definisi limit suatu fungsi pada suatu titik menurut Cauchy dan menurut Heine adalah ekuivalen: jika bilangan b berfungsi sebagai batas di salah satunya, maka hal yang sama berlaku di yang kedua.

Batas yang ditentukan ditunjukkan sebagai berikut:

Secara geometris, adanya limit suatu fungsi pada suatu titik menurut Cauchy berarti bahwa untuk sembarang bilangan > 0, persegi panjang tersebut dapat ditunjukkan pada bidang koordinat dengan alas 2 > 0, tinggi 2 dan pusat pada titik ( sebuah; b) bahwa semua titik grafik fungsi ini pada interval ( sebuah– ; sebuah+ ), dengan kemungkinan pengecualian titik M(sebuah; f(sebuah)), terletak di persegi panjang ini

Batas satu sisi dalam analisis matematis, batas fungsi numerik, menyiratkan "mendekati" titik batas dari satu sisi. Batas seperti itu disebut masing-masing batas kiri(atau batas kiri) dan batas kanan (batas di sebelah kanan). Biarkan fungsi numerik diberikan pada beberapa himpunan numerik dan jumlahnya menjadi titik batas dari domain definisi. Ada berbagai definisi untuk batas satu sisi dari suatu fungsi pada suatu titik, tetapi semuanya setara.

Universitas Riset Nasional

Departemen Geologi Terapan

Esai tentang matematika yang lebih tinggi

Pada topik: "Fungsi dasar dasar,

sifat dan grafiknya"

Lengkap:

Diperiksa:

guru

Definisi. Fungsi yang diberikan oleh rumus y=a x (di mana a>0, a≠1) disebut fungsi eksponensial dengan basis a.

Mari kita rumuskan sifat-sifat utama dari fungsi eksponensial:

1. Domain definisi adalah himpunan (R) dari semua bilangan real.

2. Rentang nilai adalah himpunan (R+) dari semua bilangan real positif.

3. Ketika a > 1, fungsi meningkat pada seluruh garis real; pada 0<а<1 функция убывает.

4. Merupakan fungsi umum.

, pada interval xн [-3;3]
, pada interval xн [-3;3]

Fungsi dengan bentuk y(х)=х n , di mana n adalah bilangan R, disebut fungsi pangkat. Angka n dapat mengambil nilai yang berbeda: bilangan bulat dan pecahan, genap dan ganjil. Tergantung pada ini, fungsi daya akan memiliki bentuk yang berbeda. Pertimbangkan kasus khusus yang merupakan fungsi daya dan mencerminkan sifat utama dari jenis kurva ini dalam urutan berikut: fungsi daya y \u003d x² (fungsi dengan eksponen genap - parabola), fungsi daya y \u003d x³ (fungsi dengan eksponen ganjil - parabola kubik) dan fungsi y \u003d x (x pangkat ) (fungsi dengan eksponen pecahan), fungsi dengan eksponen bilangan bulat negatif (hiperbola).

Fungsi daya y=x²

1. D(x)=R – fungsi didefinisikan pada seluruh sumbu numerik;

2. E(y)= dan meningkat pada interval

Fungsi daya y=x³

1. Grafik fungsi y \u003d x³ disebut parabola kubik. Fungsi daya y=x³ memiliki sifat-sifat berikut:

2. D(x)=R – fungsi didefinisikan pada seluruh sumbu numerik;

3. E(y)=(-∞;∞) – fungsi mengambil semua nilai dalam domain definisinya;

4. Ketika x=0 y=0 – fungsi melewati titik asal O(0;0).

5. Fungsi meningkat di seluruh domain definisi.

6. Fungsinya ganjil (simetris terhadap titik asal).

, pada interval xн [-3;3]

Bergantung pada faktor numerik di depan x³, fungsinya bisa curam / datar dan naik / turun.

Fungsi daya dengan eksponen negatif bilangan bulat:

Jika eksponen n ganjil, maka grafik fungsi pangkat tersebut disebut hiperbola. Fungsi pangkat dengan eksponen bilangan bulat negatif memiliki sifat-sifat berikut:

1. D(x)=(-∞;0)U(0;∞) untuk sembarang n;

2. E(y)=(-∞;0)U(0;∞) jika n bilangan ganjil; E(y)=(0;∞) jika n bilangan genap;

3. Fungsi menurun di seluruh domain definisi jika n adalah bilangan ganjil; fungsi meningkat pada interval (-∞;0) dan menurun pada interval (0;∞) jika n bilangan genap.

4. Fungsi ganjil (simetris terhadap titik asal) jika n bilangan ganjil; suatu fungsi genap jika n bilangan genap.

5. Fungsi melewati titik (1;1) dan (-1;-1) jika n bilangan ganjil dan melalui titik (1;1) dan (-1;1) jika n bilangan genap.

, pada interval xн [-3;3]

Fungsi daya dengan eksponen pecahan

Fungsi pangkat dengan eksponen pecahan dari bentuk (gambar) memiliki grafik fungsi yang ditunjukkan pada gambar. Fungsi pangkat dengan eksponen pecahan memiliki sifat-sifat berikut: (gambar)

1. D(x) R jika n bilangan ganjil dan D(x)=
, pada selang xн
, pada interval xн [-3;3]

Fungsi logaritmik y \u003d log a x memiliki properti berikut:

1. Domain definisi D(x)н (0; + ).

2. Rentang nilai E(y) (- ; + )

3. Fungsi tersebut bukan genap maupun ganjil (umum).

4. Fungsi meningkat pada interval (0; + ) untuk a > 1, menurun pada (0; + ) untuk 0< а < 1.

Grafik fungsi y = log a x dapat diperoleh dari grafik fungsi y = a x menggunakan transformasi simetri terhadap garis y = x. Pada Gambar 9, plot fungsi logaritma untuk a > 1 diplot, dan pada Gambar 10 - untuk 0< a < 1.

; pada interval xО
; pada interval xО

Fungsi y \u003d sin x, y \u003d cos x, y \u003d tg x, y \u003d ctg x disebut fungsi trigonometri.

Fungsi y \u003d sin x, y \u003d tg x, y \u003d ctg x ganjil, dan fungsi y \u003d cos x genap.

Fungsi y \u003d sin (x).

1. Domain definisi D(x) R.

2. Rentang nilai E(y) [ - 1; satu].

3. Fungsinya periodik; periode utamanya adalah 2π.

4. Fungsinya ganjil.

5. Fungsi meningkat pada interval [ -π/2 + 2πn; /2 + 2πn] dan menurun pada interval [ /2 + 2πn; 3π/2 + 2πn], n Z.

Grafik fungsi y \u003d sin (x) ditunjukkan pada Gambar 11.