Metode variasi konstanta arbitrer, atau metode Lagrange, adalah cara lain untuk menyelesaikan persamaan diferensial linier orde pertama dan persamaan Bernoulli.

Persamaan diferensial linier orde pertama adalah persamaan dalam bentuk y’+p(x)y=q(x). Jika ruas kanan adalah nol: y’+p(x)y=0, maka ini adalah linear homogen persamaan orde 1. Dengan demikian, persamaan dengan ruas kanan bukan nol, y’+p(x)y=q(x), — heterogen persamaan linear orde 1.

Metode variasi konstan sewenang-wenang (metode Lagrange) terdiri dari sebagai berikut:

1) Kami mencari solusi umum untuk persamaan homogen y’+p(x)y=0: y=y*.

2) Dalam solusi umum, C dianggap bukan konstanta, tetapi merupakan fungsi dari x: C=C(x). Kami menemukan turunan dari solusi umum (y*)' dan mengganti ekspresi yang dihasilkan untuk y* dan (y*)' ke dalam kondisi awal. Dari persamaan yang dihasilkan, kita menemukan fungsi (x).

3) Dalam solusi umum persamaan homogen, alih-alih C, kami mengganti ekspresi yang ditemukan C (x).

Pertimbangkan contoh tentang metode variasi konstanta arbitrer. Mari kita ambil tugas yang sama seperti di , bandingkan jalannya solusi dan pastikan jawaban yang diterima sama.

1) y'=3x-y/x

Mari kita tulis ulang persamaan dalam bentuk standar (berlawanan dengan metode Bernoulli, di mana kita membutuhkan notasi hanya untuk melihat bahwa persamaan tersebut linier).

y'+y/x=3x (I). Sekarang kami berjalan sesuai rencana.

1) Kami memecahkan persamaan homogen y’+y/x=0. Ini adalah persamaan variabel yang dapat dipisahkan. Nyatakan y’=dy/dx, substitusikan: dy/dx+y/x=0, dy/dx=-y/x. Kami mengalikan kedua bagian persamaan dengan dx dan membaginya dengan xy≠0: dy/y=-dx/x. Kami mengintegrasikan:

2) Dalam solusi umum persamaan homogen yang diperoleh, kita akan menganggap bukan konstanta, tetapi fungsi dari x: =С(x). Dari sini

Ekspresi yang dihasilkan disubstitusikan ke dalam kondisi (I):

Kami mengintegrasikan kedua sisi persamaan:

di sini C sudah menjadi konstanta baru.

3) Dalam solusi umum persamaan homogen y \u003d C / x, di mana kami mempertimbangkan C \u003d C (x), yaitu, y \u003d C (x) / x, alih-alih C (x) kami mengganti menemukan ekspresi x³ + C: y \u003d (x³ +C)/x atau y=x²+C/x. Kami mendapat jawaban yang sama seperti ketika memecahkan dengan metode Bernoulli.

Jawaban: y=x²+C/x.

2) y'+y=cosx.

Di sini persamaan sudah ditulis dalam bentuk standar, tidak perlu dikonversi.

1) Kami memecahkan persamaan linier homogen y’+y=0: dy/dx=-y; dy/y=-dx. Kami mengintegrasikan:

Untuk mendapatkan notasi yang lebih mudah, kita akan mengambil eksponen pangkat C sebagai C baru:

Transformasi ini dilakukan untuk memudahkan pencarian turunan.

2) Dalam solusi umum persamaan homogen linier yang diperoleh, kami menganggap bukan konstanta, tetapi fungsi dari x: =С(x). Di bawah kondisi ini

Ekspresi yang dihasilkan y dan y' diganti ke dalam kondisi:

Kalikan kedua ruas persamaan dengan

Kami mengintegrasikan kedua bagian persamaan menggunakan rumus integrasi-per-bagian, kami mendapatkan:

Di sini C bukan lagi fungsi, tetapi konstanta biasa.

3) Ke dalam solusi umum persamaan homogen

kami mengganti fungsi yang ditemukan (x):

Kami mendapat jawaban yang sama seperti ketika memecahkan dengan metode Bernoulli.

Metode variasi konstanta arbitrer juga berlaku untuk penyelesaian .

y’x+y=-xy².

Kami membawa persamaan ke bentuk standar: y’+y/x=-y² (II).

1) Kami memecahkan persamaan homogen y’+y/x=0. dy/dx=-y/x. Kalikan kedua ruas persamaan dengan dx dan bagi dengan y: dy/y=-dx/x. Sekarang mari kita integrasikan:

Kami mengganti ekspresi yang diperoleh ke dalam kondisi (II):

Menyederhanakan:

Kami mendapat persamaan dengan variabel yang dapat dipisahkan untuk C dan x:

Di sini C sudah merupakan konstanta biasa. Dalam proses integrasi, alih-alih C(x), kami hanya menulis C, agar tidak membebani notasi. Dan pada akhirnya kami kembali ke C(x) agar tidak membingungkan C(x) dengan C baru.

3) Kami mengganti fungsi yang ditemukan (x) ke dalam solusi umum persamaan homogen y=C(x)/x:

Kami mendapat jawaban yang sama seperti ketika memecahkan dengan metode Bernoulli.

Contoh untuk self-test:

1. Mari kita tulis ulang persamaan dalam bentuk standar: y'-2y=x.

1) Kami memecahkan persamaan homogen y'-2y=0. y’=dy/dx, maka dy/dx=2y, kalikan kedua ruas persamaan dengan dx, bagi dengan y dan integralkan:

Dari sini kita menemukan y:

Kami mengganti ekspresi untuk y dan y' ke dalam kondisi (untuk singkatnya, kami akan memberi makan C alih-alih C (x) dan C' alih-alih C "(x)):

Untuk mencari integral di ruas kanan, kita menggunakan rumus integral-by-parts:

Sekarang kita substitusikan u, du dan v ke dalam rumus:

Di sini C = konstanta.

3) Sekarang kita substitusikan ke dalam solusi homogen

Kuliah 44. Persamaan linier tak homogen orde kedua. Metode variasi konstanta arbitrer. Persamaan linier tidak homogen orde kedua dengan koefisien konstan. (khusus sisi kanan).

Transformasi sosial. Negara dan Gereja.

Kebijakan sosial kaum Bolshevik sebagian besar ditentukan oleh pendekatan kelas mereka. Dengan dekrit 10 November 1917, sistem perkebunan dihapuskan, pangkat pra-revolusioner, gelar dan penghargaan dihapuskan. Pemilihan hakim telah ditetapkan; sekularisasi negara-negara sipil dilakukan. Mendirikan pendidikan gratis dan perawatan medis (ketetapan 31 Oktober 1918). Perempuan disamakan haknya dengan laki-laki (dekret 16 dan 18 Desember 1917). Dekrit tentang perkawinan memperkenalkan lembaga perkawinan sipil.

Dengan dekrit Dewan Komisaris Rakyat tanggal 20 Januari 1918, gereja dipisahkan dari negara dan dari sistem pendidikan. Sebagian besar properti gereja disita. Patriark Tikhon dari Moskow dan Seluruh Rusia (terpilih 5 November 1917) pada 19 Januari 1918, mengutuk kekuatan Soviet dan menyerukan perang melawan Bolshevik.

Pertimbangkan persamaan orde kedua linier tidak homogen

Struktur solusi umum persamaan tersebut ditentukan oleh teorema berikut:

Teorema 1. Solusi umum dari persamaan tidak homogen (1) direpresentasikan sebagai jumlah dari beberapa solusi khusus dari persamaan ini dan solusi umum dari persamaan homogen yang sesuai

Bukti. Kita perlu membuktikan bahwa jumlah

adalah solusi umum persamaan (1). Mari kita buktikan terlebih dahulu bahwa fungsi (3) adalah solusi dari persamaan (1).

Substitusikan jumlah ke persamaan (1) alih-alih pada, akan memiliki

Karena ada solusi untuk persamaan (2), ekspresi dalam kurung pertama identik sama dengan nol. Karena ada solusi untuk persamaan (1), ekspresi dalam kurung kedua sama dengan f(x). Oleh karena itu, persamaan (4) adalah sebuah identitas. Dengan demikian, bagian pertama dari teorema terbukti.

Mari kita buktikan pernyataan kedua: ekspresi (3) adalah umum solusi persamaan (1). Kita harus membuktikan bahwa konstanta arbitrer yang termasuk dalam ekspresi ini dapat dipilih sehingga kondisi awal terpenuhi:

berapapun jumlahnya x 0, y 0 dan (jika saja x 0 diambil dari area dimana fungsi a 1 , a 2 dan f(x) kontinu).

Memperhatikan bahwa adalah mungkin untuk direpresentasikan dalam bentuk . Kemudian, berdasarkan kondisi (5), kita memiliki

Mari kita selesaikan sistem ini dan temukan Dari 1 dan Dari 2. Mari kita tulis ulang sistemnya sebagai:

Perhatikan bahwa determinan sistem ini adalah determinan Wronsky untuk fungsi 1 dan pada 2 pada intinya x=x 0. Karena fungsi-fungsi ini bebas linier dengan asumsi, determinan Wronsky tidak sama dengan nol; maka sistem (6) memiliki solusi yang pasti Dari 1 dan Dari 2, yaitu ada nilai-nilai seperti itu Dari 1 dan Dari 2, dimana rumus (3) menentukan solusi persamaan (1) yang memenuhi kondisi awal yang diberikan. Q.E.D.

Mari kita beralih ke metode umum untuk menemukan solusi khusus dari persamaan tidak homogen.

Mari kita tulis solusi umum persamaan homogen (2)

Kami akan mencari solusi khusus dari persamaan tidak homogen (1) dalam bentuk (7), dengan mempertimbangkan Dari 1 dan Dari 2 karena beberapa fitur yang belum diketahui dari X.

Mari kita bedakan persamaan (7):

Kami memilih fungsi yang diinginkan Dari 1 dan Dari 2 sehingga persamaan

Jika kondisi tambahan ini diperhitungkan, maka turunan pertama berbentuk

Sekarang dengan membedakan ekspresi ini, kami menemukan:

Substitusi ke persamaan (1), diperoleh

Ekspresi dalam dua tanda kurung pertama menghilang karena y 1 dan y2 adalah solusi dari persamaan homogen. Oleh karena itu, persamaan terakhir berbentuk

Dengan demikian, fungsi (7) akan menjadi solusi persamaan tak homogen (1) jika fungsi-fungsi Dari 1 dan Dari 2 memenuhi persamaan (8) dan (9). Mari kita buat sistem persamaan dari persamaan (8) dan (9).

Karena determinan sistem ini adalah determinan Vronsky untuk solusi bebas linier y 1 dan y2 persamaan (2), maka tidak sama dengan nol. Oleh karena itu, memecahkan sistem, kita akan menemukan kedua fungsi tertentu dari X:

Memecahkan sistem ini, kami menemukan , dari mana, sebagai hasil integrasi, kami memperoleh . Selanjutnya, kami mengganti fungsi yang ditemukan ke dalam rumus , kami memperoleh solusi umum dari persamaan tidak homogen , di mana adalah konstanta arbitrer.

Sebuah metode untuk memecahkan persamaan diferensial tak homogen linier orde yang lebih tinggi dengan koefisien konstan dengan metode variasi konstanta Lagrange dipertimbangkan. Metode Lagrange juga dapat diterapkan untuk menyelesaikan persamaan linear tidak homogen jika sistem dasar solusi persamaan homogen diketahui.

Isi

Lihat juga:

Metode Lagrange (variasi konstanta)

Pertimbangkan persamaan diferensial tidak homogen linier dengan koefisien konstan dari urutan ke-n yang sewenang-wenang:
(1) .
Metode variasi konstan, yang kami pertimbangkan untuk persamaan orde pertama, juga berlaku untuk persamaan orde yang lebih tinggi.

Penyelesaian dilakukan dalam dua tahap. Pada tahap pertama, kami membuang ruas kanan dan menyelesaikan persamaan homogen. Hasilnya, kami memperoleh solusi yang mengandung n konstanta sembarang. Pada langkah kedua, kita memvariasikan konstanta. Artinya, kami menganggap bahwa konstanta ini adalah fungsi dari variabel bebas x dan menemukan bentuk fungsi-fungsi ini.

Meskipun kami sedang mempertimbangkan persamaan dengan koefisien konstan di sini, tapi metode Lagrange juga dapat diterapkan untuk menyelesaikan persamaan linear tidak homogen apa pun. Untuk ini, bagaimanapun, sistem dasar solusi persamaan homogen harus diketahui.

Langkah 1. Solusi persamaan homogen

Seperti dalam kasus persamaan orde pertama, pertama-tama kita mencari solusi umum dari persamaan homogen, menyamakan bagian tidak homogen kanan dengan nol:
(2) .
Solusi umum dari persamaan tersebut memiliki bentuk:
(3) .
Berikut adalah konstanta arbitrer; - n solusi independen linier dari persamaan homogen (2), yang membentuk sistem dasar solusi persamaan ini.

Langkah 2. Variasi Konstanta - Mengganti Konstanta dengan Fungsi

Pada langkah kedua, kita akan berurusan dengan variasi konstanta. Dengan kata lain, kita akan mengganti konstanta dengan fungsi dari variabel bebas x :
.
Artinya, kami mencari solusi untuk persamaan asli (1) dalam bentuk berikut:
(4) .

Jika kita mensubstitusi (4) ke (1), kita mendapatkan satu persamaan diferensial untuk n fungsi. Dalam hal ini, kita dapat menghubungkan fungsi-fungsi ini dengan persamaan tambahan. Kemudian Anda mendapatkan n persamaan, dari mana Anda dapat menentukan n fungsi. Persamaan tambahan dapat ditulis dalam berbagai cara. Tetapi kami akan melakukannya sedemikian rupa sehingga solusinya memiliki bentuk paling sederhana. Untuk melakukan ini, saat membedakan, Anda harus menyamakan dengan nol suku yang mengandung turunan fungsi. Mari kita tunjukkan ini.

Untuk mensubstitusi solusi yang diusulkan (4) ke dalam persamaan awal (1), kita perlu mencari turunan dari n orde pertama dari fungsi yang ditulis dalam bentuk (4). Bedakan (4) dengan menerapkan aturan untuk membedakan jumlah dan produk:
.
Mari kita kelompokkan anggotanya. Pertama, kita tuliskan suku-suku dengan turunan dari , lalu suku-suku dengan turunan dari :

.
Kami memaksakan kondisi pertama pada fungsi:
(5.1) .
Maka ekspresi untuk turunan pertama terhadap akan memiliki bentuk yang lebih sederhana:
(6.1) .

Dengan cara yang sama, kami menemukan turunan kedua:

.
Kami memaksakan kondisi kedua pada fungsi:
(5.2) .
Kemudian
(6.2) .
Dll. Di bawah kondisi tambahan, kami menyamakan suku yang mengandung turunan fungsi menjadi nol.

Jadi, jika kita memilih persamaan tambahan berikut untuk fungsi:
(5.k) ,
maka turunan pertama sehubungan dengan akan memiliki bentuk paling sederhana:
(6.k) .
Di Sini .

Kami menemukan turunan ke-n:
(6.n)
.

Kita substitusikan ke persamaan awal (1):
(1) ;






.
Kami memperhitungkan bahwa semua fungsi memenuhi persamaan (2):
.
Kemudian jumlah istilah yang mengandung memberikan nol. Hasilnya, kita mendapatkan:
(7) .

Hasilnya, kami mendapatkan sistem persamaan linier untuk turunan:
(5.1) ;
(5.2) ;
(5.3) ;
. . . . . . .
(5.n-1) ;
(7') .

Memecahkan sistem ini, kami menemukan ekspresi untuk turunan sebagai fungsi dari x . Mengintegrasikan, kita mendapatkan:
.
Di sini, adalah konstanta yang tidak lagi bergantung pada x. Mensubstitusi ke (4), kita memperoleh solusi umum dari persamaan asli.

Perhatikan bahwa kami tidak pernah menggunakan fakta bahwa koefisien a i adalah konstan untuk menentukan nilai turunan. Jadi metode Lagrange dapat diterapkan untuk menyelesaikan persamaan linear tidak homogen, jika sistem dasar solusi persamaan homogen (2) diketahui.

Contoh

Memecahkan persamaan dengan metode variasi konstanta (Lagrange).


Solusi dari contoh > > >

Lihat juga: Penyelesaian persamaan orde satu dengan metode variasi konstan (Lagrange)
Memecahkan persamaan orde tinggi dengan metode Bernoulli
Menyelesaikan Persamaan Diferensial Orde Tinggi Takhomogen Linier dengan Koefisien Konstan dengan Substitusi Linier

Minimum teoritis

Dalam teori persamaan diferensial, terdapat suatu metode yang mengklaim memiliki derajat universalitas yang cukup tinggi untuk teori ini.
Kita berbicara tentang metode variasi konstanta arbitrer, berlaku untuk solusi berbagai kelas persamaan diferensial dan
sistem. Ini persis kasus ketika teori - jika Anda mengambil bukti pernyataan dari tanda kurung - minimal, tetapi memungkinkan Anda untuk mencapai
hasil yang signifikan, jadi fokus utamanya adalah pada contoh.

Ide umum dari metode ini cukup sederhana untuk dirumuskan. Biarkan persamaan yang diberikan (sistem persamaan) sulit untuk dipecahkan atau bahkan tidak dapat dipahami,
bagaimana menyelesaikannya. Namun, dapat dilihat bahwa ketika beberapa suku dikeluarkan dari persamaan, itu terpecahkan. Kemudian mereka memecahkan seperti yang disederhanakan
persamaan (sistem), dapatkan solusi yang mengandung sejumlah konstanta arbitrer - tergantung pada urutan persamaan (angka
persamaan dalam sistem). Kemudian diasumsikan bahwa konstanta dalam solusi yang ditemukan tidak benar-benar konstan, solusi yang ditemukan
disubstitusikan ke dalam persamaan (sistem) asli, persamaan diferensial (atau sistem persamaan) diperoleh untuk menentukan "konstanta".
Ada kekhususan tertentu dalam menerapkan metode variasi konstanta arbitrer untuk masalah yang berbeda, tetapi ini sudah rincian yang akan
ditunjukkan dengan contoh.

Mari kita pertimbangkan secara terpisah solusi persamaan linier tidak homogen dari orde yang lebih tinggi, yaitu. persamaan bentuk
.
Solusi umum persamaan homogen linier adalah jumlah solusi umum persamaan homogen yang bersesuaian dan solusi khusus
persamaan yang diberikan. Mari kita asumsikan bahwa solusi umum persamaan homogen telah ditemukan, yaitu, sistem solusi fundamental (FSR) telah dibangun
. Maka solusi umum persamaan homogen adalah .
Hal ini diperlukan untuk menemukan solusi khusus dari persamaan tidak homogen. Untuk ini, konstanta dianggap bergantung pada variabel.
Selanjutnya, Anda perlu menyelesaikan sistem persamaan
.
Teori ini menjamin bahwa sistem persamaan aljabar sehubungan dengan turunan fungsi ini memiliki solusi yang unik.
Saat menemukan fungsi itu sendiri, konstanta integrasi tidak muncul: lagi pula, solusi apa pun dicari.

Dalam kasus penyelesaian sistem persamaan linier tidak homogen dari orde pertama dari bentuk

algoritma tetap hampir tidak berubah. Pertama, Anda perlu menemukan FSR dari sistem persamaan homogen yang sesuai, buat matriks fundamental
sistem , kolom yang merupakan elemen dari FSR. Selanjutnya persamaan
.
Memecahkan sistem, kami menentukan fungsi , sehingga menemukan solusi khusus untuk sistem asli
(matriks fundamental dikalikan dengan kolom fitur yang ditemukan).
Kami menambahkannya ke solusi umum dari sistem persamaan homogen yang sesuai, yang dibangun berdasarkan FSR yang telah ditemukan.
Solusi umum dari sistem asli diperoleh.

Contoh.

Contoh 1 Persamaan linear tak homogen orde pertama.

Mari kita pertimbangkan persamaan homogen yang sesuai (kami menyatakan fungsi yang diperlukan dengan ):
.
Persamaan ini mudah diselesaikan dengan pemisahan variabel:

.
Sekarang kami mewakili solusi dari persamaan asli dalam bentuk , di mana fungsinya belum ditemukan.
Kami mengganti jenis solusi ini ke dalam persamaan asli:
.
Seperti yang Anda lihat, suku kedua dan ketiga di sisi kiri saling meniadakan - ini adalah ciri khas metode variasi konstanta arbitrer.

Di sini sudah - memang, konstanta sewenang-wenang. Dengan demikian,
.

Contoh 2 persamaan Bernoulli.

Kami bertindak mirip dengan contoh pertama - kami memecahkan persamaan

metode pemisahan variabel. Ini akan menjadi , jadi kami mencari solusi dari persamaan asli dalam bentuk
.
Substitusikan fungsi ini ke persamaan awal:
.
Dan lagi ada pemotongan:
.
Di sini Anda perlu ingat untuk memastikan bahwa saat membagi, solusinya tidak hilang. Dan kasingnya sesuai dengan solusi aslinya
persamaan. Mari kita ingat dia. Jadi,
.
Mari menulis .
Ini adalah solusinya. Saat menulis jawaban, Anda juga harus menunjukkan solusi yang ditemukan sebelumnya, karena tidak sesuai dengan nilai akhir apa pun
konstanta.

Contoh 3 Persamaan linier tidak homogen dari orde yang lebih tinggi.

Kami segera mencatat bahwa persamaan ini dapat diselesaikan dengan lebih sederhana, tetapi lebih mudah untuk menunjukkan metodenya. Meskipun beberapa keuntungan
metode variasi konstanta arbitrer juga memilikinya dalam contoh ini.
Jadi, Anda harus mulai dengan FSR dari persamaan homogen yang sesuai. Ingatlah bahwa untuk menemukan FSR, karakteristiknya
persamaan
.
Jadi, solusi umum persamaan homogen
.
Konstanta yang disertakan di sini harus divariasikan. Mengkompilasi sistem

Metode variasi konstanta arbitrer digunakan untuk menyelesaikan persamaan diferensial tidak homogen. Pelajaran ini ditujukan bagi para siswa yang sudah kurang lebih menguasai topik tersebut. Jika Anda baru mulai mengenal remote control, mis. Jika Anda seorang teko, saya sarankan memulai dengan pelajaran pertama: persamaan diferensial orde pertama. Contoh solusi. Dan jika Anda sudah menyelesaikannya, buanglah anggapan yang mungkin sudah terbentuk sebelumnya bahwa metode ini sulit. Karena dia sederhana.

Dalam kasus apa metode variasi konstanta arbitrer digunakan?

1) Metode variasi konstanta arbitrer dapat digunakan untuk menyelesaikan DE tidak homogen linier dari orde pertama. Karena persamaan tersebut berorde satu, maka konstanta (konstanta) juga satu.

2) Metode variasi konstanta arbitrer digunakan untuk menyelesaikan beberapa persamaan linear tak homogen orde kedua. Di sini, dua konstanta (konstanta) bervariasi.

Adalah logis untuk mengasumsikan bahwa pelajaran akan terdiri dari dua paragraf .... Saya menulis proposal ini, dan selama sekitar 10 menit saya dengan susah payah memikirkan omong kosong cerdas apa lagi yang harus ditambahkan untuk transisi yang mulus ke contoh-contoh praktis. Tetapi untuk beberapa alasan, tidak ada pikiran setelah liburan, meskipun sepertinya saya tidak menyalahgunakan apa pun. Jadi mari kita langsung ke paragraf pertama.

Metode Variasi Konstan Sewenang-wenang
untuk persamaan orde pertama tak homogen linier

Sebelum mempertimbangkan metode variasi konstanta arbitrer, diinginkan untuk mengenal artikel Persamaan diferensial linier orde pertama. Dalam pelajaran itu, kami berlatih cara pertama untuk memecahkan DE tidak homogen orde 1. Solusi pertama ini, saya ingatkan, disebut metode penggantian atau Metode Bernoulli(jangan bingung dengan persamaan Bernoulli!!!)

Kami sekarang akan mempertimbangkan cara kedua untuk menyelesaikan– metode variasi konstanta sewenang-wenang. Saya hanya akan memberikan tiga contoh, dan saya akan mengambilnya dari pelajaran di atas. Mengapa begitu sedikit? Karena sebenarnya solusi pada cara kedua akan sangat mirip dengan solusi pada cara pertama. Selain itu, menurut pengamatan saya, metode variasi konstanta arbitrer lebih jarang digunakan daripada metode penggantian.

Contoh 1

(Berbeda dari Contoh No. 2 pelajaran DE tak homogen linier orde 1)

Keputusan: Persamaan ini tidak homogen linier dan memiliki bentuk yang sudah dikenal:

Langkah pertama adalah menyelesaikan persamaan yang lebih sederhana:
Artinya, kami dengan bodohnya menyetel ulang sisi kanan - alih-alih kami menulis nol.
persamaan saya akan menelepon persamaan bantu.

Dalam contoh ini, Anda perlu menyelesaikan persamaan bantu berikut:

Sebelum kita persamaan yang dapat dipisahkan, solusinya (saya harap) tidak lagi sulit bagi Anda:

Dengan demikian:
adalah solusi umum dari persamaan bantu .

Pada langkah kedua mengganti konstanta dari beberapa belum fungsi tidak diketahui yang bergantung pada "x":

Oleh karena itu nama metode - kami memvariasikan konstanta . Atau, konstanta dapat berupa beberapa fungsi yang harus kita temukan sekarang.

PADA asli persamaan tak homogen Mari kita ganti:

Pengganti dan ke dalam persamaan :

kontrol momen - dua istilah di sisi kiri batal. Jika ini tidak terjadi, Anda harus mencari kesalahan di atas.

Sebagai hasil dari penggantian, diperoleh persamaan dengan variabel yang dapat dipisahkan. Pisahkan variabel dan integrasikan.

Sungguh berkah, eksponennya juga menyusut:

Kami menambahkan konstanta "normal" ke fungsi yang ditemukan:

Pada tahap akhir, kami mengingat penggantian kami:

Fungsi baru saja ditemukan!

Jadi solusi umumnya adalah:

Menjawab: keputusan bersama:

Jika Anda mencetak dua solusi, Anda akan dengan mudah melihat bahwa dalam kedua kasus kami menemukan integral yang sama. Satu-satunya perbedaan adalah dalam algoritma solusi.

Sekarang sesuatu yang lebih rumit, saya juga akan mengomentari contoh kedua:

Contoh 2

Tentukan solusi umum persamaan diferensial
(Berbeda dari Contoh No. 8 pelajaran DE tak homogen linier orde 1)

Keputusan: Kami membawa persamaan ke bentuk :

Setel ruas kanan ke nol dan selesaikan persamaan bantu:

Solusi umum persamaan bantu:

Dalam persamaan tidak homogen, kita akan membuat substitusi:

Menurut aturan diferensiasi produk:

Pengganti dan ke dalam persamaan tidak homogen asli:

Dua istilah di sisi kiri dibatalkan, yang berarti kita berada di jalur yang benar:

Kami mengintegrasikan dengan bagian. Surat yang enak dari rumus untuk integrasi dengan bagian sudah terlibat dalam solusi, jadi kami menggunakan, misalnya, huruf "a" dan "be":

Sekarang mari kita lihat penggantinya:

Menjawab: keputusan bersama:

Dan satu contoh untuk solusi mandiri:

Contoh 3

Temukan solusi khusus dari persamaan diferensial yang sesuai dengan kondisi awal yang diberikan.

,
(Berbeda dari Contoh Pelajaran 4 DE tak homogen linier orde 1)
Keputusan:
DE ini tidak homogen linier. Kami menggunakan metode variasi konstanta arbitrer. Mari selesaikan persamaan bantu:

Kami memisahkan variabel dan mengintegrasikan:

Keputusan bersama:
Dalam persamaan tidak homogen, kita akan membuat substitusi:

Mari kita lakukan substitusi:

Jadi solusi umumnya adalah:

Temukan solusi tertentu yang sesuai dengan kondisi awal yang diberikan:

Menjawab: solusi pribadi:

Solusi di akhir pelajaran dapat berfungsi sebagai model perkiraan untuk menyelesaikan tugas.

Metode Variasi Konstanta Sewenang-wenang
untuk persamaan orde kedua linier tidak homogen
dengan koefisien konstan

Orang sering mendengar pendapat bahwa metode variasi konstanta arbitrer untuk persamaan orde kedua bukanlah hal yang mudah. Tapi saya kira yang berikut: kemungkinan besar, metode ini tampaknya sulit bagi banyak orang, karena tidak begitu umum. Namun pada kenyataannya, tidak ada kesulitan khusus - jalannya keputusan jelas, transparan, dan dapat dimengerti. Dan cantik.

Untuk menguasai metode tersebut, diharapkan dapat menyelesaikan persamaan tak homogen orde kedua dengan memilih solusi tertentu sesuai dengan bentuk ruas kanan. Metode ini dibahas secara rinci dalam artikel. DE tidak homogen dari orde ke-2. Kita ingat bahwa persamaan linear tak homogen orde kedua dengan koefisien konstan memiliki bentuk:

Metode pemilihan, yang dibahas dalam pelajaran di atas, hanya berfungsi dalam sejumlah kasus, ketika polinomial, eksponen, sinus, kosinus berada di sisi kanan. Tetapi apa yang harus dilakukan ketika di sebelah kanan, misalnya, pecahan, logaritma, tangen? Dalam situasi seperti itu, metode variasi konstanta datang untuk menyelamatkan.

Contoh 4

Tentukan solusi umum persamaan diferensial orde dua

Keputusan: Ada pecahan di sisi kanan persamaan ini, jadi kita dapat langsung mengatakan bahwa metode pemilihan solusi tertentu tidak berhasil. Kami menggunakan metode variasi konstanta arbitrer.

Tidak ada yang menandakan badai, awal dari solusinya cukup biasa:

Ayo temukan keputusan bersama sesuai homogen persamaan:

Kami membuat dan menyelesaikan persamaan karakteristik:


– diperoleh akar kompleks konjugasi, sehingga solusi umumnya adalah:

Perhatikan catatan solusi umum - jika ada tanda kurung, buka.

Sekarang kita melakukan trik yang hampir sama dengan persamaan orde pertama: kita memvariasikan konstanta , menggantinya dengan fungsi yang tidak diketahui . Yaitu, solusi umum dari yang tidak homogen Kita akan mencari persamaan dalam bentuk:

Di mana - belum fungsi yang tidak diketahui.

Kelihatannya seperti tempat pembuangan sampah, tapi sekarang kami akan menyortir semuanya.

Turunan fungsi bertindak sebagai yang tidak diketahui. Tujuan kami adalah menemukan turunan, dan turunan yang ditemukan harus memenuhi persamaan pertama dan kedua dari sistem.

Dari mana "permainan" berasal? Bangau membawa mereka. Kami melihat solusi umum yang diperoleh sebelumnya dan menulis:

Mari kita cari turunannya:

Ditangani dengan sisi kiri. Ada apa di sebelah kanan?

adalah sisi kanan persamaan asli, dalam hal ini:

Koefisien adalah koefisien pada turunan kedua:

Dalam praktiknya, hampir selalu, dan contoh kita tidak terkecuali.

Semuanya dibersihkan, sekarang Anda dapat membuat sistem:

Sistem biasanya terpecahkan menurut rumus Cramer menggunakan algoritma standar. Satu-satunya perbedaan adalah bahwa alih-alih angka, kami memiliki fungsi.

Tentukan determinan utama sistem:

Jika Anda lupa bagaimana determinan "dua per dua" terungkap, lihat pelajaran Bagaimana cara menghitung determinannya? Tautan mengarah ke papan malu =)

Jadi: , sehingga sistem memiliki solusi yang unik.

Kami menemukan turunannya:

Tapi bukan itu saja, sejauh ini kami hanya menemukan turunannya.
Fungsi itu sendiri dipulihkan dengan integrasi:

Mari kita lihat fungsi kedua:

Di sini kita menambahkan konstanta "normal"

Pada tahap akhir dari solusi, kita ingat dalam bentuk apa kita mencari solusi umum dari persamaan tidak homogen? Sedemikian:

Fitur yang Anda butuhkan baru saja ditemukan!

Tetap melakukan substitusi dan menuliskan jawabannya:

Menjawab: keputusan bersama:

Pada prinsipnya, jawabannya bisa membuka kurung.

Pemeriksaan penuh atas jawaban dilakukan sesuai dengan skema standar, yang dipertimbangkan dalam pelajaran. DE tidak homogen dari orde ke-2. Tapi verifikasinya tidak akan mudah, karena kita harus mencari turunan yang agak berat dan melakukan substitusi yang rumit. Ini adalah fitur yang buruk ketika Anda memecahkan perbedaan seperti ini.

Contoh 5

Selesaikan persamaan diferensial dengan metode variasi konstanta arbitrer

Ini adalah contoh do-it-yourself. Nyatanya, ruas kanan juga merupakan pecahan. Kami mengingat rumus trigonometri, omong-omong, itu perlu diterapkan di sepanjang jalan.

Metode variasi konstanta arbitrer adalah metode yang paling universal. Mereka dapat memecahkan persamaan apa pun yang dapat diselesaikan metode memilih solusi tertentu sesuai dengan bentuk sisi kanan. Timbul pertanyaan, mengapa tidak menggunakan metode variasi konstanta arbitrer di sana juga? Jawabannya jelas: pemilihan solusi tertentu, yang dipertimbangkan dalam pelajaran Persamaan tak homogen orde kedua, secara signifikan mempercepat solusi dan mengurangi notasi - tidak main-main dengan determinan dan integral.

Pertimbangkan dua contoh dengan Masalah Cauchy.

Contoh 6

Temukan solusi khusus dari persamaan diferensial yang sesuai dengan kondisi awal yang diberikan

,

Keputusan: Sekali lagi, pecahan dan eksponen di tempat yang menarik.
Kami menggunakan metode variasi konstanta arbitrer.

Ayo temukan keputusan bersama sesuai homogen persamaan:



– diperoleh akar real yang berbeda, sehingga solusi umumnya adalah:

Solusi umum dari yang tidak homogen kami mencari persamaan dalam bentuk: , di mana - belum fungsi yang tidak diketahui.

Mari kita membuat sistem:

Pada kasus ini:
,
Menemukan turunan:
,

Dengan demikian:

Kami memecahkan sistem menggunakan rumus Cramer:
, sehingga sistem memiliki solusi yang unik.

Kami mengembalikan fungsi dengan integrasi:

Digunakan di sini metode membawa fungsi di bawah tanda diferensial.

Kami mengembalikan fungsi kedua dengan integrasi:

Integral seperti itu diselesaikan metode substitusi variabel:

Dari penggantian itu sendiri, kami menyatakan:

Dengan demikian:

Integral ini dapat ditemukan metode pemilihan kotak penuh, tetapi dalam contoh dengan diffurs, saya lebih suka memperluas pecahan metode koefisien tidak pasti:

Kedua fungsi ditemukan:

Akibatnya, solusi umum dari persamaan tidak homogen adalah:

Temukan solusi tertentu yang memenuhi kondisi awal .

Secara teknis, pencarian solusi dilakukan dengan cara standar, yang telah dibahas dalam artikel. Persamaan Diferensial Orde Kedua Tak Homogen.

Tunggu, sekarang kita akan menemukan turunan dari solusi umum yang ditemukan:

Berikut adalah aib. Tidak perlu disederhanakan, lebih mudah untuk segera menyusun sistem persamaan. Sesuai dengan kondisi awal :

Gantikan nilai konstanta yang ditemukan menjadi solusi umum:

Dalam jawabannya, logaritma dapat dikemas sedikit.

Menjawab: solusi pribadi:

Seperti yang Anda lihat, kesulitan dapat muncul dalam integral dan turunan, tetapi tidak dalam algoritma metode variasi konstanta arbitrer. Bukan saya yang mengintimidasi Anda, ini semua kumpulan Kuznetsov!

Untuk bersantai, contoh terakhir yang lebih sederhana dan dapat diselesaikan sendiri:

Contoh 7

Selesaikan masalah Cauchy

,

Contoh sederhana, tapi kreatif, ketika membuat sistem, perhatikan baik-baik sebelum memutuskan ;-),




Akibatnya, solusi umumnya adalah:

Temukan solusi tertentu yang sesuai dengan kondisi awal .



Kami mengganti nilai konstanta yang ditemukan ke dalam solusi umum:

Menjawab: solusi pribadi: