6. Sistem persamaan linear tak homogen
Jika dalam sistem persamaan linier (7.1) setidaknya salah satu suku bebas di saya berbeda dari nol, maka sistem seperti itu disebut heterogen.
Biarkan sistem persamaan linier yang tidak homogen diberikan, yang dapat direpresentasikan dalam bentuk vektor sebagai
, saya = 1,2,.. .,ke, (7.13)
Pertimbangkan sistem homogen yang sesuai
saya = 1,2,...
,ke.
(7.14)
Biarkan vektor 
adalah solusi untuk sistem tak homogen (7.13), dan vektor 
adalah solusi dari sistem homogen (7.14). Kemudian, mudah untuk melihat bahwa vektor 
juga merupakan solusi untuk sistem tak homogen (7.13). Betulkah
Sekarang, dengan menggunakan rumus (7.12) dari solusi umum persamaan homogen, kita memperoleh
di mana 
nomor apa saja dari R, sebuah 
adalah solusi fundamental dari sistem homogen.
Jadi, solusi dari sistem tak homogen adalah kombinasi dari solusi khususnya dan solusi umum dari sistem homogen yang bersesuaian.
Solusi (7.15) disebut solusi umum sistem persamaan linier tak homogen. Dari (7.15) diperoleh bahwa sistem persamaan linier tidak homogen yang kompatibel memiliki solusi unik jika pangkat r(A) dari matriks utama TETAPI cocok dengan nomor n sistem yang tidak diketahui (sistem Cramer), jika r(A) n, maka sistem tersebut memiliki himpunan solusi tak terhingga, dan himpunan solusi ini ekivalen dengan subruang solusi dari sistem persamaan dimensi homogen yang bersesuaian n– r.
Contoh.
1. Biarkan sistem persamaan yang tidak homogen diberikan di mana jumlah persamaan ke= 3, dan jumlah yang tidak diketahui n = 4.
X 1 – X 2 + X 3 –2X 4 = 1,
X 1 – X 2 + 2X 3 – X 4 = 2,
5X 1 – 5X 2 + 8X 3 – 7X 4 = 3.
Tentukan barisan matriks utama TETAPI dan diperpanjang TETAPI * sistem ini. Sejauh TETAPI dan TETAPI * matriks bukan nol dan k = 3 n, jadi 1 r (A), r * (TETAPI * ) 3. Pertimbangkan minor orde kedua dari matriks TETAPI dan TETAPI * :
Jadi, di antara matriks minor orde kedua TETAPI dan TETAPI * ada minor bukan nol, jadi 2 r(A),r * (A * ) 3. Sekarang perhatikan anak di bawah umur urutan ketiga
, karena kolom pertama dan kedua proporsional. Sama untuk anak di bawah umur 
.
Jadi semua minor orde ketiga dari matriks utama TETAPI sama dengan nol, oleh karena itu, r(A) = 2. Untuk matriks yang diperbesar TETAPI * masih ada anak di bawah umur dari urutan ketiga
Oleh karena itu, di antara minor orde ketiga dari matriks yang diperluas TETAPI * ada minor bukan nol, jadi r * (A * ) = 3. Artinya r(A) r * (A * ) dan kemudian, berdasarkan teorema Kornecker-Capelli, kami menyimpulkan bahwa sistem ini tidak konsisten.
2. Memecahkan sistem persamaan
3X 1 + 2X 2 + X 3 + X 4 = 1,
3X 1 + 2X 2 – X 3 – 2X 4 = 2.
Untuk sistem ini 
dan karena itu 1 r(A),r *
(A *
) 2. Pertimbangkan untuk matriks A dan A *
anak di bawah umur orde kedua
Dengan demikian, r(A)= r * (A * ) = 2, dan karenanya sistem ini kompatibel. Sebagai variabel dasar, kita memilih dua variabel yang minor orde kedua, yang terdiri dari koefisien variabel-variabel ini, tidak sama dengan nol. Variabel semacam itu dapat, misalnya,
X 3 dan X 4 karena 
Lalu kita punya
X 3 + X 4 = 1 – 3X 1 – 2X 2 ,
– X 3 – 2X 4 = 2 – 3X 1 – 2X 2 .
Kami mendefinisikan solusi tertentu 
sistem heterogen. Untuk ini kami menetapkan X 1
= X 2
= 0.
X 3 + X 4 = 1,
– X 3 – 2X 4 = 2.
Solusi untuk sistem ini: X 3
= 4, X 4 = - 3, oleh karena itu, 
=
(0,0,4, –3).
Kami sekarang mendefinisikan solusi umum dari persamaan homogen yang sesuai
X 3 + X 4 = – 3X 1 – 2X 2 ,
–X 3 – 2X 4 = – 3X 1 – 2X 2 .
Mari kita taruh: X 1 = 1, X 2 = 0
X 3 + X 4 = –3,
–X 3 – 2X 4 = –3.
Solusi dari sistem ini X 3 = –9, X 4 = 6.
Dengan demikian 
Sekarang mari kita taruh X 1 = 0, X 2 = 1
X 3 + X 4 = –2,
–X 3 – 2X 4 = –2.
Keputusan: X 3
= – 6, X 4 = 4, dan kemudian 
Setelah solusi tertentu telah ditentukan 
, persamaan tak homogen dan solusi fundamental 
dan 
dari persamaan homogen yang sesuai, kami menuliskan solusi umum dari persamaan tidak homogen.
di mana 
nomor apa saja dari R.
Heterogenitas internal sistem: kemampuan membedakan bagian-bagian. Jika Anda melihat ke dalam "kotak hitam", ternyata sistemnya tidak homogen, tidak monolitik: Anda dapat menemukan bahwa kualitas yang berbeda berbeda di tempat yang berbeda. Deskripsi heterogenitas internal sistem direduksi menjadi isolasi area yang relatif homogen, menggambar batas di antara mereka. Ini adalah bagaimana konsep bagian-bagian dari sistem muncul. Pada pemeriksaan lebih dekat, ternyata bagian besar yang dipilih juga tidak homogen, yang membutuhkan pemilihan bagian yang lebih kecil lagi. Hasilnya adalah daftar hierarki bagian sistem, yang akan kita sebut model komposisi sistem.
Informasi tentang komposisi sistem dapat digunakan untuk bekerja dengan sistem. Tujuan interaksi dengan sistem dapat berbeda, dan oleh karena itu model komposisi sistem yang sama juga dapat berbeda. Tidak mudah untuk membuat model yang berguna dan bisa diterapkan.
Kesulitan dalam membangun model komposisi
Sepintas, bagian-bagian dari sistem tidak sulit untuk dibedakan, mereka "mencolok". Beberapa sistem berdiferensiasi secara spontan menjadi bagian-bagian dalam proses pertumbuhan dan perkembangan alami (organisme, masyarakat, sistem planet, molekul, deposit mineral, dll.). Sistem buatan sengaja dirakit dari bagian-bagian yang sebelumnya terpisah (mekanisme, bangunan, teks, melodi, dll.). Ada juga jenis sistem campuran (cadangan, sistem pertanian, organisasi penelitian alam, transportasi rancangan).
Di sisi lain, tanyakan kepada rektor, mahasiswa, akuntan, eksekutif bisnis, universitas terdiri dari bagian apa, dan masing-masing akan memberikan model komposisinya sendiri, berbeda dari yang lain. Pilot, pramugari, penumpang juga akan menentukan komposisi pesawat dengan cara yang berbeda. Kita dapat mengatakan bahwa tubuh terdiri dari bagian kanan dan kiri, atau Anda dapat mengatakan bahwa itu terdiri dari bagian atas dan bawah. Jadi apa yang "benar-benar" terdiri dari?
Kesulitan membangun model komposisi, yang harus diatasi setiap orang, dapat diwakili oleh tiga ketentuan.
1. Keseluruhan dapat dibagi menjadi beberapa bagian dengan cara yang berbeda.
Keseluruhannya dapat dibagi menjadi beberapa bagian dengan cara yang berbeda (seperti memotong sepotong roti menjadi irisan dengan ukuran dan bentuk yang berbeda). Bagaimana tepatnya itu perlu? Jawaban: seperti yang Anda butuhkan untuk mencapai tujuan Anda. Misalnya, komposisi mobil disajikan dengan cara yang berbeda kepada pengendara pemula, pengemudi profesional masa depan, mekanik yang bersiap untuk bekerja di bengkel mobil, dan penjual di bengkel mobil.
Maka wajar untuk kembali ke pertanyaan: apakah bagian-bagian itu "benar-benar" ada? Perhatikan kata-kata yang cermat dari properti yang dimaksud: kemampuan membedakan bagian-bagian daripada keterpisahan menjadi bagian-bagian. Di sisi lain, kami sampai pada masalah integritas sistem: Anda dapat membedakan antara bagian-bagian sistem yang Anda butuhkan untuk tujuan Anda dan menggunakan informasi yang tersedia untuk Anda tentang mereka, tetapi Anda tidak boleh memisahkannya. Nanti kami akan memperdalam dan mengembangkan posisi ini.
2. Jumlah bagian dalam model komposisi
Jumlah bagian dalam model komposisi juga tergantung pada tingkat di mana fragmentasi sistem dihentikan. Potongan pada cabang terminal dari pohon hierarki yang dihasilkan disebut elemen. Dalam keadaan yang berbeda, dekomposisi dihentikan pada tingkat yang berbeda. Misalnya, saat menjelaskan pekerjaan yang akan datang, Anda harus memberikan instruksi kepada pekerja berpengalaman dan pemula dalam berbagai tingkat detail. Dengan demikian, model komposisi tergantung pada apa yang dianggap dasar, dan karena kata ini evaluatif, itu bukan konsep absolut, tetapi relatif. Namun, ada kasus ketika suatu elemen bersifat alami, mutlak (sel adalah elemen paling sederhana dari organisme hidup; individu adalah elemen terakhir dari masyarakat, fonem adalah bagian terkecil dari ucapan lisan) atau ditentukan oleh kemampuan kita. (misalnya, kita dapat mengasumsikan bahwa elektron juga terdiri dari sesuatu , tetapi sejauh ini fisikawan belum dapat mendeteksi bagian-bagiannya dengan muatan pecahan).
3. Batas luar sistem
Setiap sistem adalah bagian dari beberapa sistem yang lebih besar (dan sering kali merupakan bagian dari beberapa sistem sekaligus). Dan metasistem ini juga dapat dibagi menjadi subsistem dengan cara yang berbeda. Ini berarti bahwa batas luar sistem memiliki karakter kondisional yang relatif. Bahkan batas "jelas" dari sistem (kulit manusia, pagar perusahaan, dll.) di bawah kondisi tertentu tidak cukup untuk menentukan batas di bawah kondisi ini. Misalnya, saat makan, saya mengambil irisan daging dengan garpu dari piring, menggigitnya, mengunyahnya, menelannya, mencernanya. Di mana penyeberangan perbatasan yang irisan daging menjadi bagian saya? Contoh lain adalah dengan batas perusahaan. Pekerja itu jatuh di tangga dan kakinya patah. Setelah perawatan, ketika membayar buletin, muncul pertanyaan: cedera apa itu - rumah tangga atau industri (dibayar berbeda)? Tidak ada keraguan jika itu adalah tangga perusahaan. Tetapi jika itu adalah tangga rumah tempat tinggal pekerja, maka itu semua tergantung pada bagaimana dia berjalan pulang. Jika langsung dari pekerjaan dan belum mencapai pintu apartemen, cedera dianggap industri. Tetapi jika dia pergi ke toko atau bioskop dalam perjalanan, itu adalah cedera rumah tangga. Seperti yang Anda lihat, undang-undang mendefinisikan batas-batas perusahaan secara kondisional.
Persyaratan batas-batas sistem kembali membawa kita kembali ke masalah integritas, sekarang integritas seluruh dunia. Pendefinisian batas sistem dibuat dengan mempertimbangkan tujuan subjek yang akan menggunakan model sistem.
Tarasenko F.P. Analisis Sistem Terapan (The Science and Art of Problem Solving): Buku Ajar. - Tomsk; Tomsk University Press, 2004. ISBN 5-7511-1838-3
Istilah "sistem" digunakan dalam berbagai ilmu. Dengan demikian, definisi sistem yang berbeda digunakan dalam situasi yang berbeda: dari filosofis hingga formal. Untuk tujuan kursus, definisi berikut paling cocok: sistem adalah seperangkat elemen yang disatukan oleh tautan dan berfungsi bersama untuk mencapai suatu tujuan.
Sistem dicirikan oleh sejumlah properti, yang utamanya dibagi menjadi tiga kelompok: statis, dinamis, dan sintetis.
1.1 Sifat statis sistem
statis properti disebut fitur dari beberapa keadaan sistem. Inilah yang dimiliki sistem pada titik waktu tertentu.Integritas. Setiap sistem bertindak sebagai sesuatu yang bersatu, utuh, terisolasi, berbeda dari yang lainnya. Properti ini disebut integritas sistem. Ini memungkinkan Anda untuk membagi seluruh dunia menjadi dua bagian: sistem dan lingkungan.
Keterbukaan. Sistem yang terisolasi, yang dibedakan dari yang lainnya, tidak terisolasi dari lingkungan. Sebaliknya, mereka terhubung dan bertukar berbagai jenis sumber daya (zat, energi, informasi, dll.). Fitur ini disebut sebagai "keterbukaan".
Hubungan sistem dengan lingkungan bersifat terarah: menurut satu, lingkungan mempengaruhi sistem (sistem input), menurut yang lain, sistem mempengaruhi lingkungan, melakukan sesuatu di lingkungan, memberikan sesuatu kepada lingkungan (sistem output) . Gambaran masukan dan keluaran sistem disebut model kotak hitam. Dalam model seperti itu, tidak ada informasi tentang fitur internal sistem. Terlepas dari kesederhanaan yang tampak, model seperti itu seringkali cukup untuk bekerja dengan sistem.
Dalam banyak kasus, ketika mengendalikan peralatan atau orang, informasi hanya tentang input dan output dari sistem memungkinkan Anda untuk berhasil mencapai tujuan. Namun, model ini harus memenuhi persyaratan tertentu. Misalnya, pengguna mungkin mengalami kesulitan jika tidak mengetahui bahwa pada beberapa model TV tombol daya tidak perlu ditekan, tetapi dicabut. Oleh karena itu, untuk manajemen yang sukses, model harus berisi semua informasi yang diperlukan untuk mencapai tujuan. Ketika mencoba untuk memenuhi persyaratan ini, empat jenis kesalahan dapat muncul, yang berasal dari kenyataan bahwa model selalu berisi jumlah koneksi yang terbatas, sedangkan jumlah koneksi dalam sistem nyata tidak terbatas.
Kesalahan jenis pertama terjadi ketika subjek secara keliru menganggap hubungan sebagai signifikan dan memutuskan untuk memasukkannya ke dalam model. Ini mengarah pada munculnya elemen yang tidak perlu dan tidak perlu dalam model. Kesalahan jenis kedua, sebaliknya, dibuat ketika keputusan dibuat untuk mengecualikan koneksi yang diduga tidak signifikan dari model, yang tanpanya, pada kenyataannya, pencapaian tujuan sulit atau bahkan tidak mungkin.
Jawaban atas pertanyaan kesalahan mana yang lebih buruk tergantung pada konteks di mana kesalahan itu ditanyakan. Jelas bahwa penggunaan model yang mengandung kesalahan pasti mengarah pada kerugian. Kerugian bisa kecil, dapat diterima, tidak dapat ditoleransi, dan tidak dapat diterima. Kerusakan yang disebabkan oleh kesalahan Tipe I disebabkan oleh fakta bahwa informasi yang diperkenalkan olehnya berlebihan. Saat bekerja dengan model seperti itu, Anda harus menghabiskan sumber daya untuk memperbaiki dan memproses informasi yang tidak perlu, misalnya, menghabiskan memori komputer dan waktu pemrosesan untuk itu. Ini mungkin tidak mempengaruhi kualitas solusi, tetapi pasti akan mempengaruhi biaya dan ketepatan waktu. Kerugian dari kesalahan jenis kedua - kerusakan dari fakta bahwa tidak ada informasi yang cukup untuk mencapai tujuan sepenuhnya, tujuan tidak dapat dicapai sepenuhnya.
Sekarang jelas bahwa kesalahan terburuk adalah kesalahan, kerugian yang lebih besar, dan ini tergantung pada keadaan tertentu. Misalnya, jika waktu merupakan faktor kritis, maka kesalahan jenis pertama menjadi jauh lebih berbahaya daripada kesalahan jenis kedua: keputusan yang dibuat tepat waktu, bahkan jika bukan yang terbaik, lebih baik daripada yang optimal, tetapi terlambat. .
Kesalahan tipe III dianggap sebagai konsekuensi dari ketidaktahuan. Untuk menilai pentingnya beberapa koneksi, Anda perlu tahu bahwa itu ada sama sekali. Jika ini tidak diketahui, maka pertanyaan untuk memasukkan koneksi ke dalam model sama sekali tidak sepadan. Jika hubungan seperti itu tidak signifikan, maka dalam praktiknya kehadirannya dalam kenyataan dan ketidakhadirannya dalam model tidak akan terlihat. Jika hubungannya signifikan, maka akan ada kesulitan yang serupa dengan kesalahan Tipe II. Perbedaannya adalah bahwa kesalahan Tipe III lebih sulit untuk diperbaiki: memerlukan ekstraksi pengetahuan baru.
Kesalahan jenis keempat terjadi ketika penugasan yang salah dari koneksi signifikan yang diketahui ke jumlah input atau output sistem. Misalnya, sudah diketahui bahwa di Inggris pada abad ke-19, kesehatan pria yang memakai topi tinggi jauh melebihi kesehatan pria yang memakai topi. Dari sini hampir tidak dapat disimpulkan bahwa jenis tutup kepala dapat dianggap sebagai masukan bagi suatu sistem untuk memprediksi keadaan kesehatan.
Heterogenitas internal sistem, perbedaan bagian-bagian. Jika Anda melihat ke dalam "kotak hitam", ternyata sistemnya heterogen, bukan monolitik. Dapat ditemukan bahwa kualitas yang berbeda di bagian yang berbeda dari sistem berbeda. Deskripsi heterogenitas internal sistem direduksi menjadi isolasi area yang relatif homogen, menggambar batas di antara mereka. Ini adalah bagaimana konsep bagian-bagian dari sistem muncul. Pada pemeriksaan lebih dekat, ternyata bagian besar yang dipilih juga tidak homogen, yang membutuhkan pemilihan bagian yang lebih kecil lagi. Hasilnya adalah deskripsi hierarki dari bagian-bagian sistem, yang disebut model komposisi.
Informasi tentang komposisi sistem dapat digunakan untuk bekerja dengan sistem. Tujuan interaksi dengan sistem dapat berbeda, oleh karena itu model komposisi sistem yang sama juga dapat berbeda. Pada pandangan pertama, tidak sulit untuk membedakan bagian-bagian dari sistem, mereka "mencolok". Dalam beberapa sistem, bagian-bagian muncul secara sewenang-wenang, dalam proses pertumbuhan dan perkembangan alami (organisme, masyarakat, dll.). Sistem buatan sengaja dirakit dari bagian yang diketahui sebelumnya (mekanisme, bangunan, dll). Ada juga jenis sistem campuran, seperti cadangan, sistem pertanian. Di sisi lain, dari sudut pandang rektor, mahasiswa, akuntan dan eksekutif bisnis, universitas terdiri dari bagian yang berbeda. Pesawat terdiri dari bagian yang berbeda dari sudut pandang pilot, pramugari, penumpang. Kesulitan membuat model komposisi dapat diwakili oleh tiga ketentuan.
Pertama, keseluruhan dapat dibagi menjadi beberapa bagian dengan cara yang berbeda. Dalam hal ini, metode pembagian ditentukan oleh tujuannya. Misalnya, komposisi mobil disajikan dengan cara yang berbeda kepada pengendara pemula, pengemudi profesional masa depan, mekanik yang bersiap untuk bekerja di pusat layanan mobil, dan tenaga penjualan di dealer mobil. Wajar untuk bertanya apakah bagian dari sistem "benar-benar" ada? Jawabannya terkandung dalam rumusan sifat yang dimaksud: kita berbicara tentang keterbedaan, dan bukan tentang keterpisahan bagian-bagian. Seseorang dapat membedakan antara bagian-bagian dari sistem yang diperlukan untuk mencapai tujuan, tetapi seseorang tidak dapat memisahkannya.
Kedua, jumlah bagian dalam model komposisi juga tergantung pada tingkat di mana fragmentasi sistem dihentikan. Potongan pada cabang terminal dari pohon hierarki yang dihasilkan disebut elemen. Dalam keadaan yang berbeda, dekomposisi dihentikan pada tingkat yang berbeda. Misalnya, saat menjelaskan pekerjaan yang akan datang, Anda harus memberikan instruksi kepada pekerja berpengalaman dan pemula dalam berbagai tingkat detail. Dengan demikian, model komposisi tergantung pada apa yang dianggap dasar. Ada kasus-kasus ketika suatu elemen memiliki karakter alami dan absolut (sel, individu, fonem, elektron).
Ketiga, sistem apa pun adalah bagian dari sistem yang lebih besar, dan terkadang beberapa sistem sekaligus. Metasistem seperti itu juga dapat dibagi menjadi subsistem dengan cara yang berbeda. Ini berarti bahwa batas luar sistem memiliki karakter kondisional yang relatif. Pendefinisian batasan sistem dibuat dengan mempertimbangkan tujuan dari subjek yang akan menggunakan model sistem.
Tersusun. Sifat terstruktur terletak pada kenyataan bahwa bagian-bagian dari sistem tidak terisolasi, tidak independen satu sama lain; mereka saling berhubungan dan berinteraksi satu sama lain. Pada saat yang sama, sifat-sifat sistem pada dasarnya bergantung pada bagaimana tepatnya bagian-bagiannya berinteraksi. Oleh karena itu, informasi tentang hubungan elemen-elemen sistem sangat penting. Daftar hubungan penting antara elemen-elemen sistem disebut model struktur sistem. Pemberdayaan sistem apa pun dengan struktur tertentu disebut terstruktur.
Konsep penataan semakin memperdalam gagasan tentang integritas sistem: koneksi, seolah-olah, menyatukan bagian-bagian, menyatukannya secara keseluruhan. Integritas, yang disebutkan sebelumnya sebagai properti eksternal, menerima penjelasan yang memperkuat dari dalam sistem - melalui struktur.
Saat membangun model struktur, kesulitan tertentu juga ditemui. Yang pertama terkait dengan fakta bahwa model struktur ditentukan setelah model komposisi dipilih, dan tergantung pada apa sebenarnya komposisi sistem itu. Tetapi bahkan dengan komposisi tetap, model strukturnya bervariasi. Hal ini disebabkan kemungkinan cara yang berbeda untuk menentukan signifikansi hubungan. Sebagai contoh, seorang manajer modern disarankan, bersama dengan struktur formal organisasinya, untuk mempertimbangkan adanya hubungan informal antara karyawan, yang juga mempengaruhi fungsi organisasi. Kesulitan kedua berasal dari fakta bahwa setiap elemen sistem, pada gilirannya, adalah "kotak hitam kecil". Jadi keempat jenis kesalahan dimungkinkan saat menentukan input dan output dari setiap elemen yang termasuk dalam model struktur.
1.2 SIFAT DINAMIS SISTEM
Jika kita mempertimbangkan keadaan sistem pada titik waktu yang baru, sekali lagi kita dapat menemukan keempat sifat statis. Tetapi jika Anda menempatkan "foto-foto" sistem pada titik waktu yang berbeda di atas satu sama lain, maka akan ditemukan bahwa mereka berbeda dalam detail: selama waktu antara dua titik pengamatan, beberapa perubahan terjadi dalam sistem dan sistemnya. lingkungan. Perubahan tersebut mungkin penting ketika bekerja dengan sistem, dan, oleh karena itu, harus tercermin dalam deskripsi sistem dan diperhitungkan saat bekerja dengannya. Fitur perubahan dari waktu ke waktu di dalam sistem dan di luarnya disebut sifat dinamis sistem. Secara umum, empat sifat dinamis dari suatu sistem dibedakan.Kegunaan. Proses kamu(t) yang terjadi pada keluaran sistem dianggap sebagai fungsinya. Fungsi sistem adalah perilakunya di lingkungan eksternal, hasil aktivitasnya, produk yang dihasilkan oleh sistem.
Dari multiplisitas output berikut multiplisitas fungsi yang masing-masing dapat digunakan oleh seseorang dan untuk sesuatu. Oleh karena itu, sistem yang sama dapat melayani tujuan yang berbeda. Subjek yang menggunakan sistem untuk keperluannya sendiri secara alami akan mengevaluasi fungsinya dan mengaturnya dalam kaitannya dengan kebutuhannya. Ini adalah bagaimana konsep fungsi utama, sekunder, netral, tidak diinginkan, berlebihan, dll. muncul.
Stimulasi. Proses tertentu juga terjadi pada input sistem. X(t), mempengaruhi sistem dan mengubah setelah serangkaian transformasi dalam sistem menjadi kamu(t). Dampak X(t) disebut insentif, dan kerentanan sistem apa pun terhadap pengaruh eksternal dan perubahan perilakunya di bawah pengaruh ini disebut stimulabilitas.
Variabilitas sistem dari waktu ke waktu. Dalam sistem apapun, ada perubahan yang harus diperhitungkan. Dalam hal model sistem, kita dapat mengatakan bahwa nilai variabel internal (parameter) dapat berubah Z(t), komposisi dan struktur sistem, dan kombinasinya. Sifat perubahan ini juga bisa berbeda. Oleh karena itu, klasifikasi lebih lanjut dari perubahan dapat dipertimbangkan.
Klasifikasi yang paling jelas adalah menurut laju perubahan (lambat, cepat. Laju perubahan diukur relatif terhadap beberapa laju yang diambil sebagai standar. Sejumlah besar gradasi laju dapat diperkenalkan. Hal ini juga memungkinkan untuk mengklasifikasikan tren dalam perubahan dalam sistem mengenai struktur dan komposisinya.
Kita dapat berbicara tentang perubahan seperti itu yang tidak memengaruhi struktur sistem: beberapa elemen digantikan oleh yang lain, yang setara; pilihan Z(t) dapat berubah tanpa mengubah strukturnya. Jenis dinamika sistem ini disebut fungsinya. Perubahan dapat bersifat kuantitatif: ada peningkatan komposisi sistem, dan meskipun strukturnya juga berubah secara otomatis, ini tidak mempengaruhi sifat sistem sampai titik tertentu (misalnya, perluasan tempat pembuangan sampah). Perubahan seperti itu disebut pertumbuhan sistem. Dengan perubahan kualitatif dalam sistem, sifat esensialnya berubah. Jika perubahan tersebut ke arah yang positif, mereka disebut pembangunan. Dengan sumber daya yang sama, sistem yang dikembangkan mencapai hasil yang lebih baik, kualitas (fungsi) positif baru dapat muncul. Hal ini disebabkan peningkatan tingkat konsistensi, organisasi sistem.
Pertumbuhan terjadi terutama karena konsumsi sumber daya material, pengembangan - karena asimilasi dan penggunaan informasi. Pertumbuhan dan perkembangan dapat terjadi secara bersamaan, tetapi mereka tidak selalu terkait. Pertumbuhan selalu terbatas (karena sumber daya material yang terbatas), dan perkembangan dari luar tidak terbatas, karena informasi tentang lingkungan eksternal tidak ada habisnya. Perkembangan adalah hasil belajar, tetapi belajar tidak dapat dilakukan bukan dari peserta didik. Oleh karena itu, ada pembatasan internal pada pembangunan. Jika sistem “tidak mau” belajar, ia tidak dapat dan tidak akan berkembang.
Selain proses pertumbuhan dan perkembangan, proses sebaliknya juga dapat terjadi pada sistem. Perubahan berbanding terbalik dengan pertumbuhan disebut resesi, kontraksi, penurunan. Perkembangan kebalikan dari perubahan ini disebut degradasi, kehilangan atau melemahnya sifat-sifat yang berguna.
Perubahan yang dianggap monoton, yaitu diarahkan "dalam satu arah". Jelas, perubahan monoton tidak bisa bertahan selamanya. Dalam sejarah sistem apa pun, periode penurunan dan kenaikan, stabilitas dan ketidakstabilan dapat dibedakan, yang urutannya membentuk siklus hidup individu sistem.
Anda dapat menggunakan klasifikasi proses lain yang terjadi dalam sistem: menurut prediktabilitas, proses dibagi menjadi acak dan deterministik; menurut jenis ketergantungan waktu, proses dibagi menjadi monoton, periodik, harmonik, impuls, dll.
Keberadaan dalam lingkungan yang berubah. Tidak hanya sistem ini yang berubah, tetapi juga semua yang lain. Untuk sistem yang sedang dipertimbangkan, ini terlihat seperti perubahan lingkungan yang berkelanjutan. Keadaan ini memiliki banyak konsekuensi bagi sistem itu sendiri, yang harus beradaptasi dengan kondisi baru agar tidak binasa. Ketika mempertimbangkan sistem tertentu, perhatian biasanya diberikan pada fitur reaksi tertentu dari sistem, misalnya, laju reaksi. Jika kita mempertimbangkan sistem yang menyimpan informasi (buku, media magnetik), maka kecepatan reaksi terhadap perubahan lingkungan eksternal harus minimal untuk memastikan pelestarian informasi. Di sisi lain, laju reaksi sistem kontrol harus berkali-kali lebih besar daripada laju perubahan di lingkungan, karena sistem harus memilih aksi kontrol bahkan sebelum keadaan lingkungan berubah secara ireversibel.
1.3 SIFAT SINTETIK SISTEM
Sifat sintetik meliputi sifat generalisasi, integral, kolektif yang menggambarkan interaksi sistem dengan lingkungan dan mempertimbangkan integritas dalam pengertian yang paling umum.Munculnya. Penggabungan unsur-unsur ke dalam suatu sistem menyebabkan munculnya sifat-sifat baru secara kualitatif yang tidak diturunkan dari sifat-sifat bagian-bagiannya, hanya melekat pada sistem itu sendiri dan hanya ada selama sistem itu merupakan satu kesatuan. Kualitas sistem seperti itu disebut
muncul (dari bahasa Inggris "muncul").
Contoh properti yang muncul dapat ditemukan di berbagai bidang. Misalnya, tidak ada bagian dari pesawat yang bisa terbang, tetapi pesawat tetap terbang. Sifat-sifat air, banyak yang tidak sepenuhnya dipahami, tidak mengikuti sifat-sifat hidrogen dan oksigen.
Biarkan ada dua kotak hitam, yang masing-masing memiliki satu input, satu output dan melakukan satu operasi - menambahkan satu ke nomor di input. Saat menghubungkan elemen-elemen tersebut sesuai dengan skema yang ditunjukkan pada gambar, kami mendapatkan sistem tanpa input, tetapi dengan dua output. Pada setiap siklus kerja, sistem akan memberikan angka yang lebih besar, sementara hanya angka genap yang akan muncul di satu input, dan hanya angka ganjil di input lainnya.
 |
|
| sebuah | b |
| Gbr.1.1. Koneksi elemen sistem: a) sistem dengan dua keluaran; b) hubungan paralel elemen |
|
Sifat-sifat yang muncul dari suatu sistem ditentukan oleh strukturnya. Ini berarti bahwa kombinasi unsur-unsur yang berbeda akan menghasilkan sifat-sifat muncul yang berbeda. Misalnya, jika Anda menghubungkan elemen secara paralel, maka sistem baru secara fungsional tidak akan berbeda dari satu elemen. Munculnya akan memanifestasikan dirinya dalam peningkatan keandalan sistem karena koneksi paralel dari dua elemen identik - yaitu, karena redundansi.
Perlu dicatat kasus penting ketika elemen sistem memiliki semua propertinya. Situasi ini khas untuk konstruksi fraktal sistem. Pada saat yang sama, prinsip-prinsip penataan bagian-bagiannya sama dengan prinsip-prinsip sistem secara keseluruhan. Contoh sistem fraktal adalah organisasi di mana manajemen dibangun secara identik di semua tingkat hierarki.
Ketidakterpisahan menjadi bagian-bagian. Properti ini, pada kenyataannya, adalah konsekuensi dari kemunculan. Ini ditekankan terutama karena fakta bahwa kepentingan praktisnya besar, dan meremehkan sangat umum.
Ketika bagian dihapus dari sistem, dua peristiwa penting terjadi. Pertama, komposisi sistem berubah, dan karenanya strukturnya. Ini akan menjadi sistem yang berbeda dengan sifat yang berbeda. Kedua, elemen yang ditarik dari sistem akan berperilaku berbeda karena fakta bahwa lingkungannya akan berubah. Semua ini menunjukkan bahwa ketika mempertimbangkan suatu elemen secara terpisah dari sistem lainnya, perhatian harus diberikan.
Hal menjadi sifatnya. Sistem ini semakin integral (dari bahasa Inggris yang melekat - "menjadi bagian dari sesuatu"), semakin baik dikoordinasikan, disesuaikan dengan lingkungan, kompatibel dengannya. Tingkat inheren berbeda dan dapat berubah. Kebijaksanaan mempertimbangkan inheren sebagai salah satu properti sistem terkait dengan fakta bahwa derajat dan kualitas implementasi fungsi yang dipilih oleh sistem bergantung padanya. Dalam sistem alam, inheren ditingkatkan oleh seleksi alam. Dalam sistem buatan, inheren harus menjadi perhatian khusus perancang.
Dalam sejumlah kasus, inheren disediakan dengan bantuan sistem perantara dan perantara. Contohnya termasuk adaptor untuk menggunakan peralatan listrik asing bersama dengan soket gaya Soviet; middleware (seperti layanan Windows COM) yang memungkinkan dua program dari produsen yang berbeda untuk berkomunikasi satu sama lain.
Kebijaksanaan. Dalam sistem yang diciptakan oleh manusia, subordinasi baik struktur maupun komposisi untuk pencapaian tujuan yang ditetapkan begitu jelas sehingga dapat dikenali sebagai properti fundamental dari sistem buatan mana pun. Properti ini disebut kemanfaatan. Tujuan yang sistem dibuat menentukan properti yang muncul akan memastikan pencapaian tujuan, dan ini, pada gilirannya, menentukan pilihan struktur dan komposisi sistem. Untuk memperluas konsep kemanfaatan ke sistem alam, perlu untuk memperjelas konsep tujuan. Penyempurnaan dilakukan pada contoh sistem buatan.
Sejarah sistem buatan apa pun dimulai pada titik waktu 0, ketika nilai yang ada dari vektor keadaan Y 0 ternyata tidak memuaskan, yaitu, situasi bermasalah muncul. Subjek tidak puas dengan kondisi ini dan ingin mengubahnya. Biarkan dia puas dengan nilai-nilai vektor keadaan Y*. Seperti itu penjelasan definisi sebenarnya dari kata tujuan. Selanjutnya, ternyata Y* tidak ada sekarang dan karena beberapa alasan tidak dapat dicapai dalam waktu dekat. Langkah kedua dalam mendefinisikan tujuan adalah mengenalinya sebagai keadaan masa depan yang diinginkan. Segera menjadi jelas bahwa masa depan tidak terbatas. Langkah ketiga dalam menyempurnakan gagasan tujuan adalah memperkirakan waktu T* ketika keadaan Y* yang diinginkan dapat dicapai dalam kondisi tertentu. Sekarang target menjadi dua dimensi, itu adalah titik (T*, Y*) pada grafik. Tugasnya adalah bergerak dari titik (0, Y 0) ke titik (T*, Y*). Tapi ternyata jalan ini bisa ditempuh dengan lintasan yang berbeda, dan hanya satu yang bisa diwujudkan. Biarkan pilihan jatuh pada lintasan Y*( t). Dengan demikian, tujuan sekarang dipahami tidak hanya sebagai keadaan akhir (T*, Y*), tetapi juga sebagai seluruh lintasan Y*( t) (“tujuan antara”, “rencana”). Jadi tujuannya adalah keadaan masa depan yang diinginkan Y*( t).
Setelah waktu T* keadaan Y* menjadi nyata. Oleh karena itu, menjadi mungkin untuk mendefinisikan tujuan sebagai keadaan nyata di masa depan. Ini memungkinkan untuk mengatakan bahwa sistem alam juga memiliki sifat kemanfaatan, yang memungkinkan kita untuk mendekati deskripsi sistem alam apa pun dari posisi terpadu. Perbedaan utama antara sistem alami dan buatan adalah bahwa sistem alami, mematuhi hukum alam, mewujudkan tujuan objektif, sedangkan sistem buatan diciptakan untuk mencapai tujuan subjektif.
2.4.1. Definisi. Biarkan sistem persamaan linier yang tidak homogen diberikan
Pertimbangkan sistem homogen
yang matriks koefisien bertepatan dengan matriks koefisien sistem (2.4.1). Maka sistem (2.4.2) disebut sistem homogen tereduksi (2.4.1).
2.4.2. Dalil. Solusi umum sistem tak homogen sama dengan jumlah beberapa solusi khusus sistem tak homogen dan solusi umum sistem homogen tereduksi.
Jadi, untuk mencari solusi umum sistem tak homogen (2.4.1), cukup:
1) Periksa kompatibilitasnya. Dalam hal kompatibilitas:
2) Temukan solusi umum dari sistem homogen ini.
3) Temukan solusi khusus untuk yang asli (non-homogen).
4) Setelah menambahkan solusi khusus yang ditemukan dan solusi umum dari yang diberikan, temukan solusi umum dari sistem asli.
2.4.3. Sebuah latihan. Selidiki sistem untuk kompatibilitas dan, dalam kasus kompatibilitas, temukan solusi umumnya dalam bentuk jumlah hasil bagi dan pengurangan umum.
Keputusan. a) Untuk menyelesaikan masalah, kami menggunakan skema di atas:
1) Kami memeriksa sistem untuk kompatibilitas (dengan metode pembatas minor): Pangkat matriks utama adalah 3 (lihat solusi latihan 2.2.5, a), dan minor bukan nol dari urutan maksimum terdiri dari elemen ke-1, ke-2 , baris ke-4 dan kolom ke-1, ke-3, ke-4. Untuk menemukan pangkat matriks yang diperluas, kita batasi dengan baris ke-3 dan kolom ke-6 dari matriks yang diperluas: =0. Cara, rg A =rg=3, dan sistemnya kompatibel. Secara khusus, ini setara dengan sistem
2) Temukan solusi umum X 0 homogen tereduksi dari sistem ini
X 0 ={(-2sebuah - b ; sebuah ; b ; b ; b ) | sebuah , b Î R}
(lihat solusi latihan 2.2.5, a)).
3) Temukan beberapa solusi khusus x h dari sistem asli . Untuk melakukan ini, dalam sistem (2.4.3), yang setara dengan yang asli, yang tidak diketahui bebas x 2 dan x Kami menetapkan 5 sama, misalnya, ke nol (ini adalah data yang paling nyaman):
dan selesaikan sistem yang dihasilkan: x 1 =- , x 3 =- , x 4=-5. Jadi, (- ; 0; - ; -5; 0) adalah solusi khusus dari sistem.
4) Kami menemukan solusi umum X n dari sistem asli :
X n={x h }+X 0 ={(- ; 0; - ; -5; 0)} + {(-2sebuah - b ; sebuah ; b ; b ; b )}=
={(- -2sebuah - b ; sebuah ; - + b ; -5+b ; b )}.
Komentar. Bandingkan jawaban Anda dengan jawaban kedua pada contoh 1.2.1 c). Untuk mendapatkan jawaban dalam bentuk pertama untuk 1.2.1 c), kita ambil sebagai dasar yang tidak diketahui x 1 , x 3 , x 5 (minor yang juga tidak sama dengan nol), dan sebagai bebas x 2 dan x 4 .
3. Beberapa aplikasi.
3.1. Pada pertanyaan tentang persamaan matriks. Kami mengingatkan Anda bahwa persamaan matriks di atas lapangan F adalah persamaan di mana beberapa matriks di atas bidang bertindak sebagai yang tidak diketahui F .
Persamaan matriks paling sederhana adalah persamaan bentuk
KAPAK=B , XA =B (2.5.1)
di mana A , B diberikan (diketahui) matriks di atas lapangan F , sebuah X matriks seperti itu, ketika mensubstitusikan persamaan (2.5.1) mana yang berubah menjadi persamaan matriks yang sebenarnya. Secara khusus, metode matriks sistem tertentu direduksi menjadi penyelesaian persamaan matriks.
Ketika matriks A dalam persamaan (2.5.1) tidak merosot, mereka memiliki solusi, masing-masing X =A B dan X =BA .
Dalam kasus ketika setidaknya salah satu matriks di ruas kiri persamaan (2.5.1) berdegenerasi, metode ini tidak lagi cocok, karena matriks invers yang sesuai A tidak ada. Dalam hal ini, mencari solusi persamaan (2.5.1) direduksi menjadi sistem penyelesaian.
Tapi pertama-tama, mari kita perkenalkan beberapa konsep.
Himpunan semua solusi sistem disebut solusi umum . Solusi individual dari sistem tak tentu, sebut saja keputusan pribadi .
3.1.1. Contoh. Selesaikan persamaan matriks di atas lapangan R.
sebuah) X = ; b) X = ; di) X = .
Keputusan. a) Karena \u003d 0, maka rumusnya X =A B tidak cocok untuk menyelesaikan persamaan ini. Jika dalam pekerjaan XA =B matriks A memiliki 2 baris, maka matriks X memiliki 2 kolom. Jumlah baris X harus sesuai dengan jumlah baris B . Jadi X memiliki 2 baris. Dengan demikian, X adalah beberapa matriks bujur sangkar orde dua: X = . Pengganti X ke persamaan awal:
Mengalikan matriks di ruas kiri (2.5.2), kita sampai pada persamaan
Dua matriks dikatakan sama jika dan hanya jika keduanya memiliki dimensi yang sama dan elemen-elemen yang bersesuaian juga sama. Oleh karena itu (2.5.3) setara dengan sistem
Sistem ini setara dengan sistem
Memecahkannya, misalnya, dengan metode Gauss, kami sampai pada satu set solusi (5-2 b , b , -2d , d ), di mana b , d berjalan secara independen satu sama lain R. Dengan demikian, X = .
b) Sama halnya dengan a) kita memiliki X = dan.
Sistem ini tidak konsisten (lihat!). Oleh karena itu, persamaan matriks ini tidak memiliki solusi.
c) Nyatakan persamaan ini dengan KAPAK =B . Sebagai A memiliki 3 kolom dan B memiliki 2 kolom maka X beberapa matriks 3´2: X = . Oleh karena itu, kami memiliki rantai ekivalensi berikut:
Kami memecahkan sistem terakhir menggunakan metode Gauss (kami menghilangkan komentar)
Jadi, kita sampai pada sistem
yang solusinya adalah (11+8 z , 14+10z , z , -49+8w , -58+10w ,w ) di mana z , w berjalan secara independen satu sama lain R.
Jawaban: a) X = , b , d Î R.
b) Tidak ada solusi.
di) X = z , w Î R.
3.2. Pada pertanyaan permutabilitas matriks. Secara umum, hasil kali matriks tidak dapat diubah, yaitu jika A dan B seperti yang AB dan BA didefinisikan, maka secara umum, AB ¹ BA . Tapi contoh matriks identitas E menunjukkan bahwa komutabilitas juga dimungkinkan AE =EA untuk setiap matriks A , jika hanya AE dan EA ditentukan.
Dalam subbagian ini, kami mempertimbangkan masalah dalam menemukan himpunan semua matriks yang bolak-balik dengan satu matriks tertentu. Dengan demikian,
Tidak dikenal x 1 , kamu 2 dan z 3 dapat mengambil nilai apa pun: x 1 =sebuah , kamu 2 =b , z 3 =g . Kemudian
Dengan demikian, X = .
Menjawab. sebuah) X d nomor berapa pun.
b) X himpunan matriks berbentuk , dimana sebuah , b dan g nomor apa saja.
