Piramida adalah polihedron dengan poligon di dasarnya. Semua wajah, pada gilirannya, membentuk segitiga yang bertemu di satu titik. Piramida berbentuk segitiga, segi empat, dan sebagainya. Untuk menentukan piramida mana yang ada di depan Anda, cukup menghitung jumlah sudut di dasarnya. Pengertian "tinggi piramida" sangat sering ditemukan dalam masalah geometri dalam kurikulum sekolah. Dalam artikel ini kami akan mencoba mempertimbangkan berbagai cara untuk menemukannya.
Bagian dari piramida
Setiap piramida terdiri dari elemen-elemen berikut:
- sisi wajah yang memiliki tiga sudut dan menyatu di bagian atas;
- apotema mewakili ketinggian yang turun dari puncaknya;
- bagian atas piramida adalah titik yang menghubungkan tepi samping, tetapi tidak terletak pada bidang alasnya;
- basis adalah poligon yang tidak mengandung simpul;
- ketinggian piramida adalah segmen yang memotong bagian atas piramida dan membentuk sudut siku-siku dengan alasnya.
Bagaimana cara mencari tinggi piramida jika volumenya diketahui?
Melalui rumus V \u003d (S * h) / 3 (dalam rumus V adalah volume, S adalah luas alas, h adalah ketinggian piramida), kami menemukan bahwa h \u003d (3 * V) / S . Untuk mengkonsolidasikan materi, mari segera selesaikan masalahnya. Alas segitiga adalah 50 cm 2 sedangkan volumenya adalah 125 cm 3 . Ketinggian piramida segitiga tidak diketahui, yang perlu kita temukan. Semuanya sederhana di sini: kami memasukkan data ke dalam rumus kami. Kami mendapatkan h \u003d (3 * 125) / 50 \u003d 7,5 cm.
Bagaimana cara mencari tinggi piramida jika panjang diagonal dan panjangnya diketahui?
Seperti yang kita ingat, ketinggian piramida membentuk sudut siku-siku dengan alasnya. Dan ini berarti bahwa tinggi, tepi, dan setengah dari diagonal bersama-sama membentuk Banyak, tentu saja, ingat teorema Pythagoras. Mengetahui dua dimensi, tidak akan sulit untuk menemukan nilai ketiga. Ingat teorema terkenal a² = b² + c², di mana a adalah sisi miring, dan dalam kasus kami tepi piramida; b - kaki pertama atau setengah dari diagonal dan c - masing-masing, kaki kedua, atau ketinggian piramida. Dari rumus ini, c² = a² - b².
Sekarang masalahnya: pada piramida biasa, diagonalnya adalah 20 cm, sedangkan panjang tepinya adalah 30 cm, Anda harus mencari tingginya. Kami memecahkan: c² \u003d 30² - 20² \u003d 900-400 \u003d 500. Karenanya c \u003d 500 \u003d sekitar 22.4.
Bagaimana menemukan ketinggian piramida terpotong
Ini adalah poligon yang memiliki bagian yang sejajar dengan alasnya. Ketinggian piramida terpotong adalah segmen yang menghubungkan dua alasnya. Tingginya dapat ditemukan pada piramida biasa jika panjang diagonal kedua alasnya, serta tepi piramida, diketahui. Misalkan diagonal alas yang lebih besar adalah d1, sedangkan diagonal alas yang lebih kecil adalah d2, dan panjang rusuknya l. Untuk menemukan tingginya, Anda dapat menurunkan ketinggian dari dua titik berlawanan atas diagram ke alasnya. Kami melihat bahwa kami memiliki dua segitiga siku-siku, tinggal mencari panjang kaki mereka. Untuk melakukan ini, kurangi diagonal yang lebih kecil dari diagonal yang lebih besar dan bagi dengan 2. Jadi kita akan menemukan satu kaki: a \u003d (d1-d2) / 2. Setelah itu, menurut teorema Pythagoras, kita hanya perlu menemukan kaki kedua, yaitu ketinggian piramida.
Sekarang mari kita lihat semua ini dalam praktik. Kami memiliki tugas di depan kami. Piramida terpotong mempunyai alas berbentuk bujur sangkar, panjang diagonal alas yang lebih besar 10 cm, sedangkan alas yang lebih kecil 6 cm, dan rusuknya 4 cm, diperlukan untuk mencari tingginya. Pertama-tama, kami menemukan satu kaki: a \u003d (10-6) / 2 \u003d 2 cm. Satu kaki adalah 2 cm, dan sisi miringnya adalah 4 cm. Ternyata kaki atau tinggi kedua adalah 16- 4 \u003d 12, yaitu, h \u003d 12 = sekitar 3,5 cm.
Dalil. Volume piramida sama dengan produk luas alasnya dan sepertiga tingginya.
Pertama, kami membuktikan teorema ini untuk piramida segitiga, dan kemudian untuk piramida poligonal.
1) Berdasarkan piramida segitiga SABC (Gbr. 102), kami membuat prisma SABCDE yang tingginya sama dengan tinggi piramida, dan satu sisinya berimpit dengan tepi SB. Mari kita buktikan bahwa volume piramida adalah sepertiga dari volume prisma ini. Pisahkan piramida ini dari prisma. Ini meninggalkan piramida segi empat SADEC (yang ditampilkan secara terpisah untuk kejelasan). Mari kita menggambar bidang potong di dalamnya melalui titik S dan diagonal alas DC. Dua piramida segitiga yang dihasilkan memiliki simpul S yang sama dan basis yang sama DEC dan DAC terletak pada bidang yang sama; karenanya, menurut lemma yang dibuktikan di atas, piramida-piramida ini sama. Mari kita bandingkan salah satunya yaitu SDEC dengan piramida ini. Untuk dasar piramida SDEC, Anda dapat mengambil \(\Delta\)SDE; maka puncaknya akan berada di titik C dan tingginya sama dengan tinggi piramida ini. Karena \(\Delta\)SDE = \(\Delta\)ABC, maka, menurut lemma yang sama, piramida SDEC dan SABC adalah sama.
Prisma ABCDES dibagi oleh kami menjadi tiga piramida berukuran sama: SABC, SDEC dan SDAC. (Jelas, setiap prisma segitiga dapat dikenai partisi seperti itu. Ini adalah salah satu sifat penting dari prisma segitiga.) Jadi, jumlah volume tiga piramida yang ukurannya sama dengan yang diberikan adalah volume prisma; karena itu,
$$ V_(SABC) = \frac(1)(3) V_(SDEABC) = \frac(S_(ABC)\cdot H)(3) = S_(ABC)\frac(H)(3) $$
di mana H adalah ketinggian piramida.
2) Melalui beberapa titik E (Gbr. 103) dari dasar piramida poligonal SABCDE kita menggambar diagonal EB dan EC.
Kemudian kami menggambar bidang potong melalui tepi SE dan masing-masing diagonal ini. Kemudian piramida poligonal akan dibagi menjadi beberapa segitiga yang memiliki ketinggian yang sama dengan piramida yang diberikan. Menyatakan luas alas piramida segitiga melalui b 1 ,b 2 ,b 3 dan tinggi melalui H, kita akan memiliki:
volume SABCDE = 1/3 b 1H+1/3 b 2H+1/3 b 3H = ( b 1 + b 2 + b 3) H / 3 =
= (luas ABCDE) H / 3 .
Konsekuensi. Jika V, B, dan H berarti angka-angka yang menyatakan dalam satuan yang sesuai volume, luas alas, dan tinggi piramida apa pun, maka
Dalil. Volume piramida terpotong sama dengan jumlah volume tiga piramida yang memiliki ketinggian yang sama dengan tinggi piramida terpotong, dan alasnya: satu adalah alas bawah piramida ini, yang lain adalah alas atas, dan luas alas piramida ketiga sama dengan rata-rata geometris luas alas atas dan bawah.
Biarkan area dasar piramida terpotong (Gbr. 104) menjadi B dan b, tinggi H dan volume V (piramida terpotong bisa berbentuk segitiga atau poligonal - tidak masalah).
Hal ini diperlukan untuk membuktikan bahwa
V = 1/3 BH + 1/3 b H + 1/3 H√B b= 1/3H(B+ b+√B b ),
dimana B b adalah mean geometrik antara B dan b.
Untuk membuktikan pada basis yang lebih kecil, kami menempatkan piramida kecil yang melengkapi piramida terpotong ini menjadi piramida lengkap. Kemudian kita dapat mempertimbangkan volume piramida V terpotong sebagai perbedaan dua volume - piramida penuh dan tambahan atas.
Menunjukkan ketinggian piramida tambahan dengan huruf X, kita akan menemukan bahwa
V = 1/3 B (H + X) - 1 / 3 bx= 1/3 (BH + B x - bx) = 1/3 [ВH + (В - b)X].
Untuk mencari tinggi X kita menggunakan teorema dari , yang dengannya kita dapat menulis persamaan:
$$ \frac(B)(b) = \frac((H + x)^3)(x^2) $$
Untuk menyederhanakan persamaan ini, kami mengekstrak akar kuadrat aritmatikanya dari kedua sisi:
$$ \frac(\sqrt(B))(\sqrt(b)) = \frac(H + x)(x) $$
Dari persamaan ini (yang dapat dianggap sebagai proporsi) kita mendapatkan:
$$ x\sqrt(B) = H\sqrt(b) + x\sqrt(b) $$
$$ (\sqrt(B) - \sqrt(b))x = H\sqrt(b) $$
dan karenanya
$$ x = \frac(H\sqrt(b))(\sqrt(B) - \sqrt(b)) $$
Mengganti ekspresi ini ke dalam rumus yang kami peroleh untuk volume V, kami menemukan:
$$ V = \frac(1)(3)\left $$
Sejak V- b= (√B + b) (√B - b), kemudian dengan mengurangi pecahan dengan selisih B - b kita mendapatkan:
$$ V = \frac(1)(3) BH +(\sqrt(B) + \sqrt(b))H\sqrt(b) =\\= \frac(1)(3)(BH+H\ kuadrat(Bb)+Hb) =\\= \frac(1)(3)H(B+b+\sqrt(Bb)) $$
yaitu, kami memperoleh rumus yang diperlukan untuk dibuktikan.
bahan lainnyaPiramida disebut polihedron yang dasarnya adalah poligon arbitrer, dan semua wajah adalah segitiga dengan simpul yang sama, yang merupakan puncak piramida.
Piramida adalah sosok tiga dimensi. Itulah sebabnya cukup sering diperlukan untuk menemukan tidak hanya luasnya, tetapi juga volumenya. Rumus volume piramida sangat sederhana:
di mana S adalah luas alas dan h adalah tinggi piramida.
Tinggi piramida disebut garis lurus, diturunkan dari atas ke pangkalan di sudut kanan. Dengan demikian, untuk menemukan volume piramida, perlu untuk menentukan poligon mana yang terletak di alasnya, menghitung luasnya, mencari tahu ketinggian piramida dan menemukan volumenya. Perhatikan contoh menghitung volume piramida.
Tugas: diberikan piramida segi empat biasa. 
Sisi alas a = 3 cm, semua sisi sisi b = 4 cm. Tentukan volume piramida tersebut.
Pertama, ingat bahwa untuk menghitung volume, Anda memerlukan tinggi piramida. Kita dapat mencarinya dengan menggunakan teorema Pythagoras. Untuk melakukan ini, kita membutuhkan panjang diagonal, atau lebih tepatnya, setengahnya. Kemudian mengetahui dua sisi segitiga siku-siku, kita dapat menemukan tingginya. Pertama, cari diagonalnya: 
Substitusikan nilai-nilai dalam rumus: 
Kami menemukan tinggi h menggunakan d dan tepi b : 
Sekarang mari kita temukan
Karakteristik utama dari setiap sosok geometris di ruang angkasa adalah volumenya. Pada artikel ini, kami akan mempertimbangkan apa itu piramida dengan segitiga di dasarnya, dan juga menunjukkan cara menemukan volume piramida segitiga - penuh biasa dan terpotong.
Apa itu piramida segitiga?
Setiap orang telah mendengar tentang piramida Mesir kuno, namun mereka berbentuk segi empat teratur, bukan segitiga. Mari kita jelaskan cara mendapatkan piramida segitiga.
Mari kita ambil segitiga sembarang dan hubungkan semua simpulnya dengan satu titik yang terletak di luar bidang segitiga ini. Angka yang dihasilkan akan disebut piramida segitiga. Hal ini ditunjukkan pada gambar di bawah ini.
Seperti yang Anda lihat, gambar yang dipertimbangkan dibentuk oleh empat segitiga, yang dalam kasus umum berbeda. Setiap segitiga adalah sisi piramida atau wajahnya. Piramida ini sering disebut tetrahedron, yaitu sosok tiga dimensi bersisi empat.
Selain sisi, piramida juga memiliki tepi (ada 6 di antaranya) dan simpul (ada 4 di antaranya).
dengan alas segitiga
Gambar, yang diperoleh dengan menggunakan segitiga sembarang dan titik dalam ruang, akan menjadi piramida miring tidak beraturan dalam kasus umum. Sekarang bayangkan bahwa segitiga asli memiliki sisi yang sama, dan sebuah titik dalam ruang terletak tepat di atas pusat geometrisnya pada jarak h dari bidang segitiga. Piramida yang dibangun menggunakan data awal ini akan benar.
Jelas, jumlah tepi, sisi, dan simpul dari piramida segitiga biasa akan sama dengan piramida yang dibangun dari segitiga sembarang.
Namun, sosok yang benar memiliki beberapa ciri khas:
- tingginya, ditarik dari atas, akan persis memotong alas di pusat geometris (titik persimpangan median);
- permukaan sisi piramida semacam itu dibentuk oleh tiga segitiga identik yang sama kaki atau sama sisi.
Piramida segitiga biasa bukan hanya objek geometris teoretis murni. Beberapa struktur di alam memiliki bentuknya, seperti kisi kristal berlian, di mana atom karbon dihubungkan ke empat atom yang sama melalui ikatan kovalen, atau molekul metana, di mana puncak piramida dibentuk oleh atom hidrogen.
piramida segitiga
Anda dapat menentukan volume mutlak setiap piramida dengan sembarang n-gon di dasarnya menggunakan ekspresi berikut:
Di sini simbol S o menunjukkan luas alas, h adalah tinggi gambar yang ditarik ke alas yang ditandai dari atas piramida.
Karena luas segitiga sembarang sama dengan setengah produk panjang sisinya a dan apotema h a diturunkan ke sisi ini, rumus volume piramida segitiga dapat ditulis dalam bentuk berikut:
V = 1/6 × a × t a × t
Untuk tipe generik, menentukan ketinggian bukanlah tugas yang mudah. Untuk menyelesaikannya, cara termudah adalah dengan menggunakan rumus jarak antara titik (titik puncak) dan bidang (alas segitiga), yang diwakili oleh persamaan umum.
Untuk yang benar, ia memiliki tampilan tertentu. Luas alas (segitiga sama sisi) untuk itu sama dengan:
Kami menggantinya ke dalam ekspresi umum untuk V, kami mendapatkan:
V = 3/12 × a 2 × jam
Kasus khusus adalah situasi ketika semua sisi tetrahedron menjadi segitiga sama sisi yang identik. Dalam hal ini, volumenya hanya dapat ditentukan berdasarkan mengetahui parameter tepinya a. Ekspresi yang sesuai terlihat seperti:
Piramida terpotong
Jika bagian atas yang berisi simpul dipotong dari piramida segitiga biasa, maka angka terpotong akan diperoleh. Berbeda dengan yang asli, itu akan terdiri dari dua alas segitiga sama sisi dan tiga trapesium sama kaki.
Foto di bawah ini menunjukkan seperti apa piramida segitiga terpotong biasa yang terbuat dari kertas.
Untuk menentukan volume piramida segitiga terpotong, perlu diketahui tiga karakteristik liniernya: masing-masing sisi alas dan tinggi gambar, sama dengan jarak antara alas atas dan bawah. Rumus yang sesuai untuk volume ditulis sebagai berikut:
V = 3/12 × h × (A 2 + a 2 + A × a)
Di sini h adalah tinggi gambar, A dan a adalah panjang sisi segitiga sama sisi besar (bawah) dan kecil (atas).
Solusi dari masalah
Untuk membuat informasi dalam artikel lebih jelas bagi pembaca, kami akan menunjukkan dengan contoh yang jelas bagaimana menggunakan beberapa rumus tertulis.
Misal volume sebuah piramida segitiga adalah 15 cm3. Diketahui bahwa angka tersebut benar. Anda harus menemukan apotema a b dari tepi lateral jika diketahui bahwa tinggi piramida adalah 4 cm.
Karena volume dan tinggi gambar diketahui, Anda dapat menggunakan rumus yang sesuai untuk menghitung panjang sisi alasnya. Kita punya:
V = 3/12 × a 2 × j =>
a = 12 × V / (√3 × t) = 12 × 15 / (√3 × 4) = 25,98 cm
a b \u003d (h 2 + a 2 / 12) \u003d (16 + 25,98 2 / 12) \u003d 8,5 cm
Panjang apotema gambar yang dihitung ternyata lebih besar dari tingginya, yang berlaku untuk semua jenis piramida.
Dalil.
Volume piramida sama dengan sepertiga dari produk luas alas dan tingginya..
Bukti:
Pertama kita buktikan teorema untuk piramida segitiga, kemudian untuk piramida sembarang.1. Pertimbangkan piramida segitigaOABCdengan volume V, luas alasS dan tinggi h. Gambarlah sebuah sumbu oh (OM2- tinggi), pertimbangkan bagianA1 B1 C1piramida dengan bidang tegak lurus terhadap sumbuohdan, oleh karena itu, sejajar dengan bidang alas. Dilambangkan denganX titik absis M1 perpotongan bidang ini dengan sumbu x, dan melaluiS(x)- luas penampang. Cepat S(x) melalui S, h dan X. Perhatikan bahwa segitiga A1 PADA1 Dengan1 dan ABC serupa. Memang A1 PADA1 II AB, jadi segitiga OA 1 PADA 1 serupa dengan segitiga OAB. Dengan akibatnya, TETAPI1 PADA1 : TETAPIB = OA 1: OA .
segitiga siku-siku OA 1 PADA 1 dan OAB juga serupa (mereka memiliki sudut lancip yang sama dengan simpul O). Oleh karena itu, OA 1: OA = O 1 M1 : OM = x: h. Dengan demikian TETAPI 1 PADA 1 : A B = x: h.Demikian pula, terbukti bahwaB1 C1:matahari = X: h dan A1 C1:AC = X: h.Jadi segitigaA1 B1 C1 dan ABCsama dengan koefisien kesamaan X: h.Oleh karena itu, S(x) : S = (x: h)², atau S(x) = S x²/ h².
Sekarang mari kita terapkan rumus dasar untuk menghitung volume benda disebuah= 0, b=h kita mendapatkan
Jadi, volume piramida semula adalah 1/3Sh. Teorema telah terbukti.
Konsekuensi:
Volume V sebuah piramida terpotong dengan tinggi h dan luas alas S dan S1 , dihitung dengan rumus
h - ketinggian piramida
Berhenti - area alas atas
Lebih lambat - area alas bawah
