Bukti rumus untuk turunan dari fungsi kompleks diberikan. Kasus di mana fungsi kompleks tergantung pada satu atau dua variabel dipertimbangkan secara rinci. Generalisasi dibuat untuk kasus sejumlah variabel yang berubah-ubah.
Di sini kami menyajikan turunan dari rumus berikut untuk turunan dari fungsi kompleks.
Jika kemudian
.
Jika kemudian
.
Jika kemudian
.
Turunan dari fungsi kompleks dari satu variabel
Biarkan fungsi dari variabel x direpresentasikan sebagai fungsi kompleks dalam bentuk berikut:
,
di mana dan ada beberapa fungsi. Fungsi tersebut dapat diturunkan untuk beberapa nilai variabel x . Fungsi tersebut dapat diturunkan untuk nilai variabel .
Maka fungsi kompleks (komposit) terdiferensialkan di titik x dan turunannya ditentukan dengan rumus:
(1)
.
Rumus (1) juga dapat ditulis sebagai berikut:
;
.
Bukti
Mari kita perkenalkan notasi berikut.
;
.
Di sini ada fungsi variabel dan , ada fungsi variabel dan . Tetapi kami akan menghilangkan argumen dari fungsi-fungsi ini agar tidak mengacaukan perhitungan.
Karena fungsi dan terdiferensiasi di titik x dan , maka pada titik tersebut terdapat turunan dari fungsi-fungsi tersebut, yang merupakan limit-limit berikut:
;
.
Perhatikan fungsi berikut:
.
Untuk nilai tetap dari variabel u , adalah fungsi dari . Jelas bahwa
.
Kemudian
.
Karena fungsi tersebut merupakan fungsi yang dapat diturunkan di titik , maka fungsi tersebut kontinu di titik tersebut. Jadi
.
Kemudian
.
Sekarang kita temukan turunannya.
.
Formulanya sudah terbukti.
Konsekuensi
Jika fungsi variabel x dapat direpresentasikan sebagai fungsi kompleks dari fungsi kompleks
,
maka turunannya ditentukan oleh rumus
.
Di sini , dan ada beberapa fungsi yang dapat dibedakan.
Untuk membuktikan rumus ini, kami menghitung turunan secara berurutan sesuai dengan aturan diferensiasi fungsi kompleks.
Pertimbangkan fungsi kompleks
.
turunannya
.
Pertimbangkan fungsi aslinya
.
turunannya
.
Turunan dari fungsi kompleks dalam dua variabel
Sekarang biarkan fungsi kompleks bergantung pada beberapa variabel. Pertimbangkan dulu kasus fungsi kompleks dari dua variabel.
Biarkan fungsi tergantung pada variabel x direpresentasikan sebagai fungsi kompleks dari dua variabel dalam bentuk berikut:
,
di mana
dan ada fungsi yang dapat diturunkan untuk beberapa nilai variabel x ;
adalah fungsi dari dua variabel, terdiferensiasi pada titik , . Kemudian fungsi kompleks didefinisikan di beberapa lingkungan titik dan memiliki turunan, yang ditentukan oleh rumus:
(2)
.
Bukti
Karena fungsi dan terdiferensiasi di titik , mereka didefinisikan di beberapa lingkungan dari titik ini, kontinu di titik, dan turunannya di titik ada, yang merupakan batasan berikut:
;
.
Di Sini
;
.
Karena kontinuitas fungsi-fungsi ini pada suatu titik, kami memiliki:
;
.
Karena fungsi terdiferensiasi pada titik , itu didefinisikan di beberapa lingkungan dari titik ini, kontinu pada titik ini, dan kenaikannya dapat ditulis sebagai berikut:
(3)
.
Di Sini
- peningkatan fungsi ketika argumennya bertambah dengan nilai dan ;
;
- turunan parsial dari fungsi terhadap variabel dan .
Untuk nilai tetap dari dan , dan ada fungsi dari variabel dan . Mereka cenderung nol sebagai dan :
;
.
Sejak dan , maka
;
.
Peningkatan fungsi:
.
:
.
Pengganti (3):
.
Formulanya sudah terbukti.
Turunan dari fungsi kompleks dari beberapa variabel
Derivasi di atas mudah digeneralisasi untuk kasus ketika jumlah variabel dari fungsi kompleks lebih besar dari dua.
Misalnya, jika f adalah fungsi dari tiga variabel, kemudian
,
di mana
, dan ada fungsi yang dapat diturunkan untuk beberapa nilai variabel x ;
adalah fungsi terdiferensiasi, dalam tiga variabel, pada titik , , .
Kemudian, dari definisi diferensiasi fungsi , kami memiliki:
(4)
.
Karena, karena kontinuitas,
;
;
,
kemudian
;
;
.
Membagi (4) dengan dan melewati limit , kita peroleh:
.
Dan akhirnya, pertimbangkan kasus paling umum.
Biarkan fungsi dari variabel x direpresentasikan sebagai fungsi kompleks dari n variabel dalam bentuk berikut:
,
di mana
ada fungsi yang dapat diturunkan untuk beberapa nilai variabel x ;
- fungsi terdiferensiasi dari n variabel pada suatu titik
,
,
... , .
Kemudian
.
Definisi. Biarkan fungsi \(y = f(x) \) didefinisikan dalam beberapa interval yang berisi titik \(x_0 \) di dalamnya. Mari kita tingkatkan \(\Delta x \) ke argumen agar tidak meninggalkan interval ini. Temukan kenaikan yang sesuai dari fungsi \(\Delta y \) (ketika melewati dari titik \(x_0 \) ke titik \(x_0 + \Delta x \)) dan buat relasinya \(\frac(\Delta y )(\Delta x) \). Jika ada limit dari relasi ini di \(\Delta x \rightarrow 0 \), maka limit yang ditunjukkan disebut fungsi turunan\(y=f(x) \) pada titik \(x_0 \) dan menyatakan \(f"(x_0) \).
$$ \lim_(\Delta x \ke 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x_0) $$
Simbol y sering digunakan untuk menunjukkan turunan. Perhatikan bahwa y" = f(x) adalah fungsi baru, tetapi secara alami terkait dengan fungsi y = f(x), yang didefinisikan di semua titik x di mana batas di atas ada . Fungsi ini disebut seperti ini: turunan dari fungsi y \u003d f (x).
Arti geometris dari turunan terdiri dari berikut ini. Jika garis singgung yang tidak sejajar dengan sumbu y dapat ditarik ke grafik fungsi y \u003d f (x) pada suatu titik dengan absis x \u003d a, maka f (a) menyatakan kemiringan garis singgung:
\(k = f"(a)\)
Karena \(k = tg(a) \), persamaan \(f"(a) = tg(a) \) adalah benar.
Dan sekarang kita menafsirkan definisi turunan dalam hal persamaan perkiraan. Misalkan fungsi \(y = f(x) \) memiliki turunan pada titik tertentu \(x \):
$$ \lim_(\Delta x \ke 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x) $$
Ini berarti bahwa di dekat titik x, persamaan perkiraan \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \approx f"(x) \), yaitu \(\Delta y \approx f"(x) \cdot \deltax\). Arti dari persamaan aproksimasi yang diperoleh adalah sebagai berikut: kenaikan fungsi “hampir sebanding” dengan kenaikan argumen, dan koefisien proporsionalitas adalah nilai turunan pada titik x yang diberikan. Misalnya, untuk fungsi \(y = x^2 \) persamaan perkiraan \(\Delta y \approx 2x \cdot \Delta x \) adalah benar. Jika kita hati-hati menganalisis definisi turunan, kita akan menemukan bahwa itu berisi algoritma untuk menemukannya.
Mari kita merumuskannya.
Bagaimana menemukan turunan dari fungsi y \u003d f (x) ?
1. Perbaiki nilai \(x \), temukan \(f(x) \)
2. Tambahkan argumen \(x \) \(\Delta x \), pindah ke titik baru \(x+ \Delta x \), cari \(f(x+ \Delta x) \)
3. Cari kenaikan fungsi: \(\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x) \)
4. Buat relasi \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \)
5. Hitung $$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) $$
Limit ini merupakan turunan dari fungsi di x.
Jika fungsi y = f(x) memiliki turunan di titik x, maka fungsi tersebut disebut terdiferensiasi di titik x. Prosedur untuk menemukan turunan dari fungsi y \u003d f (x) disebut diferensiasi fungsi y = f(x).
Mari kita bahas pertanyaan berikut: bagaimana hubungan kontinuitas dan diferensiasi fungsi di suatu titik?
Misalkan fungsi y = f(x) terdiferensial di titik x. Kemudian garis singgung dapat ditarik ke grafik fungsi di titik M (x; f (x)) dan, ingat, kemiringan garis singgung sama dengan f "(x). Grafik seperti itu tidak dapat "putus" di titik M, yaitu, fungsi harus kontinu di x.
Itu adalah alasan "dengan jari". Mari kita menyajikan argumen yang lebih ketat. Jika fungsi y = f(x) terdiferensialkan di titik x, maka persamaan aproksimasi \(\Delta y \kira-kira f"(x) \cdot \Delta x \) berlaku nol, maka \(\Delta y \ ) juga akan cenderung nol, dan ini adalah syarat kontinuitas fungsi di suatu titik.
Jadi, jika suatu fungsi terdiferensial di titik x, maka fungsi tersebut juga kontinu di titik tersebut.
Kebalikannya tidak benar. Contoh: fungsi y = |x| kontinu di mana-mana, khususnya di titik x = 0, tetapi garis singgung grafik fungsi di “titik bersama” (0; 0) tidak ada. Jika pada titik tertentu tidak mungkin untuk menggambar garis singgung pada grafik fungsi, maka tidak ada turunan pada titik ini.
Satu lagi contoh. Fungsi \(y=\sqrt(x) \) kontinu pada seluruh garis bilangan, termasuk di titik x = 0. Dan garis singgung grafik fungsi ada di sembarang titik, termasuk di titik x = 0 Tetapi pada titik ini garis singgung bertepatan dengan sumbu y, yaitu tegak lurus terhadap sumbu absis, persamaannya berbentuk x \u003d 0. Tidak ada kemiringan untuk garis lurus seperti itu, yang berarti bahwa \ ( f "(0) \) juga tidak ada
Jadi, kami berkenalan dengan properti baru dari suatu fungsi - diferensiasi. Bagaimana cara mengetahui apakah suatu fungsi dapat diturunkan dari grafik suatu fungsi?
Jawabannya sebenarnya diberikan di atas. Jika pada suatu titik garis singgung dapat ditarik ke grafik suatu fungsi yang tidak tegak lurus terhadap sumbu x, maka pada titik ini fungsi tersebut terdiferensiasi. Jika pada suatu titik garis singgung grafik fungsi tidak ada atau tegak lurus terhadap sumbu x, maka pada titik tersebut fungsi tersebut tidak terdiferensialkan.
Aturan diferensiasi
Operasi mencari turunan disebut diferensiasi. Saat melakukan operasi ini, Anda sering harus bekerja dengan hasil bagi, jumlah, produk fungsi, serta dengan "fungsi fungsi", yaitu fungsi kompleks. Berdasarkan definisi turunan, kita dapat memperoleh aturan diferensiasi yang memfasilitasi pekerjaan ini. Jika C adalah bilangan konstan dan f=f(x), g=g(x) adalah beberapa fungsi yang dapat diturunkan, maka berikut ini benar aturan diferensiasi:
$$ f"_x(g(x)) = f"_g \cdot g"_x $$
Tabel turunan dari beberapa fungsi
$$ \left(\frac(1)(x) \right) " = -\frac(1)(x^2) $$ $$ (\sqrt(x)) " = \frac(1)(2\ sqrt(x)) $$ $$ \left(x^a \right) " = a x^(a-1) $$ $$ \left(a^x \right) " = a^x \cdot \ln a $$ $$ \left(e^x \right) " = e^x $$ $$ (\ln x)" = \frac(1)(x) $$ $$ (\log_a x)" = \frac (1)(x\ln a) $$ $$ (\sin x)" = \cos x $$ $$ (\cos x)" = -\sin x $$ $$ (\text(tg) x) " = \frac(1)(\cos^2 x) $$ $$ (\text(ctg) x)" = -\frac(1)(\sin^2 x) $$ $$ (\arcsin x) " = \frac(1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\arccos x)" = \frac(-1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\text(arctg) x)" = \frac(1)(1+x^2) $$ $$ (\text(arctg) x)" = \frac(-1)(1+x^2) $ $turunan kompleks. turunan logaritma.
Turunan dari fungsi eksponensial
Kami terus meningkatkan teknik diferensiasi kami. Dalam pelajaran ini, kita akan mengkonsolidasikan materi yang dibahas, mempertimbangkan turunan yang lebih kompleks, dan juga berkenalan dengan trik dan trik baru untuk menemukan turunan, khususnya, dengan turunan logaritma.
Pembaca yang memiliki tingkat persiapan rendah harus merujuk ke artikel Bagaimana cara mencari turunannya? Contoh solusi yang akan memungkinkan Anda untuk meningkatkan keterampilan Anda hampir dari awal. Selanjutnya, Anda perlu mempelajari halaman dengan cermat Turunan dari fungsi majemuk, pahami dan selesaikan semua contoh yang telah saya berikan. Pelajaran ini secara logis adalah yang ketiga berturut-turut, dan setelah menguasainya, Anda akan dengan percaya diri membedakan fungsi yang cukup kompleks. Tidak diinginkan untuk tetap pada posisi “Di mana lagi? Ya, dan itu sudah cukup! ”, Karena semua contoh dan solusi diambil dari tes nyata dan sering ditemukan dalam praktik.
Mari kita mulai dengan pengulangan. Pada pelajaran Turunan dari fungsi majemuk kami telah mempertimbangkan sejumlah contoh dengan komentar terperinci. Dalam mempelajari kalkulus diferensial dan bagian lain dari analisis matematika, Anda harus sering membedakan, dan tidak selalu nyaman (dan tidak selalu perlu) untuk melukis contoh dengan sangat rinci. Oleh karena itu, kami akan berlatih dalam penemuan turunan secara lisan. "Kandidat" yang paling cocok untuk ini adalah turunan dari fungsi kompleks yang paling sederhana, misalnya:
Menurut aturan diferensiasi fungsi kompleks 
:
Ketika mempelajari topik matan lain di masa depan, catatan terperinci seperti itu paling sering tidak diperlukan, diasumsikan bahwa siswa dapat menemukan turunan serupa dengan autopilot. Mari kita bayangkan bahwa pada jam 3 pagi telepon berdering, dan suara yang menyenangkan bertanya: "Apa turunan dari garis singgung dua x?". Ini harus diikuti dengan respons yang hampir seketika dan sopan: 
.
Contoh pertama akan segera ditujukan untuk solusi independen.
Contoh 1
Cari turunan berikut secara lisan, dalam satu langkah, misalnya: . Untuk menyelesaikan tugas, Anda hanya perlu menggunakan tabel turunan fungsi dasar(jika dia belum ingat). Jika Anda mengalami kesulitan, saya sarankan untuk membaca kembali pelajaran Turunan dari fungsi majemuk.
, , ,
, 
, , 
, , ,
, , 
,
, , 
,
, , ,
, 
,
Jawaban di akhir pelajaran
Turunan kompleks
Setelah persiapan artileri awal, contoh dengan 3-4-5 lampiran fungsi akan kurang menakutkan. Mungkin dua contoh berikut akan tampak rumit bagi sebagian orang, tetapi jika dipahami (seseorang menderita), maka hampir semua hal lain dalam kalkulus diferensial akan tampak seperti lelucon anak-anak.
Contoh 2
Tentukan turunan dari suatu fungsi 
Seperti yang telah dicatat, ketika menemukan turunan dari fungsi kompleks, pertama-tama, perlu Baik MEMAHAMI INVESTASI. Dalam kasus di mana ada keraguan, saya mengingatkan Anda tentang trik yang berguna: kami mengambil nilai eksperimental "x", misalnya, dan mencoba (secara mental atau dalam konsep) untuk mengganti nilai ini ke dalam "ekspresi yang mengerikan".
1) Pertama kita perlu menghitung ekspresi, jadi jumlahnya adalah sarang terdalam.
2) Maka Anda perlu menghitung logaritma:
4) Kemudian kubus kosinus:
5) Pada langkah kelima, perbedaannya:
6) Dan akhirnya, fungsi terluar adalah akar kuadrat: 
Rumus Diferensiasi Fungsi Kompleks 
diterapkan dalam urutan terbalik, dari fungsi terluar ke terdalam. Kami memutuskan:
Sepertinya tidak ada kesalahan ...
(1) Kami mengambil turunan dari akar kuadrat.
(2) Kami mengambil turunan dari perbedaan menggunakan aturan 
(3) Turunan dari rangkap tiga sama dengan nol. Pada suku kedua, kami mengambil turunan dari derajat (kubus).
(4) Kami mengambil turunan dari kosinus.
(5) Kami mengambil turunan dari logaritma.
(6) Akhirnya, kami mengambil turunan dari nesting terdalam .
Ini mungkin tampak terlalu sulit, tetapi ini bukan contoh yang paling brutal. Ambil, misalnya, koleksi Kuznetsov dan Anda akan menghargai semua pesona dan kesederhanaan turunan yang dianalisis. Saya perhatikan bahwa mereka suka memberikan hal serupa pada ujian untuk memeriksa apakah siswa memahami bagaimana menemukan turunan dari fungsi kompleks, atau tidak mengerti.
Contoh berikut adalah untuk solusi mandiri.
Contoh 3
Tentukan turunan dari suatu fungsi
Petunjuk: Pertama kita terapkan aturan linearitas dan aturan diferensiasi produk
Solusi lengkap dan jawaban di akhir pelajaran.
Saatnya beralih ke sesuatu yang lebih kompak dan lebih cantik.
Hal ini tidak biasa untuk situasi di mana produk bukan dua, tetapi tiga fungsi diberikan dalam contoh. Bagaimana menemukan turunan dari produk tiga faktor?
Contoh 4
Tentukan turunan dari suatu fungsi 
Pertama, kita lihat, tetapi apakah mungkin untuk mengubah produk tiga fungsi menjadi produk dua fungsi? Misalnya, jika kita memiliki dua polinomial dalam produk, maka kita dapat membuka tanda kurung. Tetapi dalam contoh ini, semua fungsi berbeda: derajat, eksponen, dan logaritma.
Dalam kasus seperti itu, perlu berturut-turut menerapkan aturan diferensiasi produk 
dua kali
Triknya adalah bahwa untuk "y" kami menyatakan produk dari dua fungsi: , dan untuk "ve" - logaritma:. Mengapa ini bisa dilakukan? Apakah itu 
- ini bukan produk dari dua faktor dan aturannya tidak berfungsi?! Tidak ada yang rumit:
Sekarang tinggal menerapkan aturan untuk kedua kalinya 
untuk kurung:
Anda masih dapat memutarbalikkan dan mengeluarkan sesuatu dari tanda kurung, tetapi dalam hal ini lebih baik meninggalkan jawaban dalam formulir ini - akan lebih mudah untuk memeriksanya.
Contoh di atas dapat diselesaikan dengan cara kedua: 
Kedua solusi benar-benar setara.
Contoh 5
Tentukan turunan dari suatu fungsi
Ini adalah contoh untuk solusi independen, dalam sampel diselesaikan dengan cara pertama.
Perhatikan contoh serupa dengan pecahan.
Contoh 6
Tentukan turunan dari suatu fungsi 
Di sini Anda dapat melakukannya dengan beberapa cara:
Atau seperti ini:
Tetapi penyelesaiannya dapat ditulis lebih ringkas jika, pertama-tama, kita menggunakan aturan diferensiasi hasil bagi 
, dengan mengambil seluruh pembilangnya:
Pada prinsipnya, contoh diselesaikan, dan jika dibiarkan dalam bentuk ini, itu tidak akan menjadi kesalahan. Tetapi jika Anda punya waktu, selalu disarankan untuk memeriksa draf, tetapi apakah mungkin untuk menyederhanakan jawabannya? Kami membawa ekspresi pembilang ke penyebut yang sama dan singkirkan pecahan tiga lantai:
Kerugian dari penyederhanaan tambahan adalah bahwa ada risiko membuat kesalahan bukan ketika menemukan turunan, tetapi ketika transformasi sekolah dangkal. Di sisi lain, guru sering menolak tugas dan meminta untuk "mengingatnya" turunannya.
Contoh sederhana untuk solusi do-it-yourself:
Contoh 7
Tentukan turunan dari suatu fungsi
Kami terus menguasai teknik untuk menemukan turunan, dan sekarang kami akan mempertimbangkan kasus umum ketika logaritma "mengerikan" diusulkan untuk diferensiasi
Contoh 8
Tentukan turunan dari suatu fungsi
Di sini Anda dapat melangkah jauh, menggunakan aturan diferensiasi fungsi kompleks:
Tetapi langkah pertama segera menjerumuskan Anda ke dalam kesedihan - Anda harus mengambil turunan yang tidak menyenangkan dari tingkat pecahan, dan kemudian juga dari pecahan.
Jadi sebelum cara mengambil turunan dari logaritma "mewah", sebelumnya disederhanakan menggunakan properti sekolah terkenal:
! Jika Anda memiliki buku catatan latihan, salin rumus ini di sana. Jika Anda tidak memiliki buku catatan, gambarlah di selembar kertas, karena sisa contoh pelajaran akan berkisar pada rumus-rumus ini.
Solusinya sendiri dapat dirumuskan seperti ini:
Mari kita ubah fungsinya:
Kami menemukan turunannya: 
Transformasi awal dari fungsi itu sendiri sangat menyederhanakan solusi. Jadi, ketika logaritma yang sama diusulkan untuk diferensiasi, selalu disarankan untuk "memecahnya".
Dan sekarang beberapa contoh sederhana untuk solusi independen:
Contoh 9
Tentukan turunan dari suatu fungsi 
Contoh 10
Tentukan turunan dari suatu fungsi
Semua transformasi dan jawaban di akhir pelajaran.
turunan logaritmik
Jika turunan dari logaritma adalah musik yang manis, maka muncul pertanyaan, apakah mungkin dalam beberapa kasus untuk mengatur logaritma secara artifisial? Bisa! Dan bahkan perlu.
Contoh 11
Tentukan turunan dari suatu fungsi 
Contoh serupa yang baru-baru ini kami pertimbangkan. Apa yang harus dilakukan? Satu dapat berturut-turut menerapkan aturan diferensiasi hasil bagi, dan kemudian aturan diferensiasi produk. Kerugian dari metode ini adalah Anda mendapatkan pecahan tiga lantai yang besar, yang tidak ingin Anda tangani sama sekali.
Tetapi dalam teori dan praktik ada hal yang luar biasa seperti turunan logaritmik. Logaritma dapat diatur secara artifisial dengan "menggantung" mereka di kedua sisi:
Sekarang Anda perlu "mengurai" logaritma sisi kanan sebanyak mungkin (rumus di depan mata Anda?). Saya akan menjelaskan proses ini dengan sangat rinci:
Mari kita mulai dengan diferensiasi.
Kami menyimpulkan kedua bagian dengan stroke:
Turunan dari sisi kanan cukup sederhana, saya tidak akan mengomentarinya, karena jika Anda membaca teks ini, Anda harus dapat menanganinya dengan percaya diri.
Bagaimana dengan sisi kiri?
Di sisi kiri kita memiliki fungsi kompleks. Saya meramalkan pertanyaan: "Mengapa, ada satu huruf "y" di bawah logaritma?".
Faktanya adalah "satu huruf y" ini - ADALAH FUNGSI DI SENDIRI(jika tidak terlalu jelas, lihat artikel Turunan dari fungsi yang ditentukan secara implisit). Oleh karena itu, logaritma adalah fungsi eksternal, dan "y" adalah fungsi internal. Dan kami menggunakan aturan diferensiasi fungsi majemuk 
:
Di sisi kiri, seolah-olah dengan sihir, kami memiliki turunan. Selanjutnya, menurut aturan proporsi, kami membuang "y" dari penyebut sisi kiri ke atas sisi kanan:
Dan sekarang kita ingat fungsi "permainan" macam apa yang kita bicarakan saat membedakan? Mari kita lihat kondisinya: 
Jawaban akhir: 
Contoh 12
Tentukan turunan dari suatu fungsi
Ini adalah contoh do-it-yourself. Contoh desain contoh jenis ini di akhir pelajaran.
Dengan bantuan turunan logaritmik, dimungkinkan untuk menyelesaikan salah satu contoh No. 4-7, hal lain adalah bahwa fungsinya lebih sederhana, dan, mungkin, penggunaan turunan logaritmik tidak terlalu dibenarkan.
Turunan dari fungsi eksponensial
Kami belum mempertimbangkan fungsi ini. Fungsi eksponensial adalah fungsi yang memiliki dan derajat dan basis bergantung pada "x". Contoh klasik yang akan diberikan kepada Anda di buku teks atau kuliah apa pun:
Bagaimana cara mencari turunan dari fungsi eksponensial?
Hal ini diperlukan untuk menggunakan teknik yang baru saja dipertimbangkan - turunan logaritmik. Kami menggantung logaritma di kedua sisi:
Sebagai aturan, derajat diambil dari bawah logaritma di sisi kanan:
Akibatnya, di sisi kanan kita memiliki produk dari dua fungsi, yang akan dibedakan menurut rumus standar 
.
Kami menemukan turunannya, untuk ini kami melampirkan kedua bagian di bawah goresan:
Langkah selanjutnya mudah:
Akhirnya: 
Jika beberapa transformasi tidak sepenuhnya jelas, harap baca kembali penjelasan Contoh #11 dengan saksama.
Dalam tugas-tugas praktis, fungsi eksponensial akan selalu lebih rumit daripada contoh kuliah yang dipertimbangkan.
Contoh 13
Tentukan turunan dari suatu fungsi
Kami menggunakan turunan logaritmik. 
Di sisi kanan kita memiliki konstanta dan produk dari dua faktor - "x" dan "logaritma dari logaritma x" (logaritma lain bersarang di bawah logaritma). Saat membedakan sebuah konstanta, seperti yang kita ingat, lebih baik segera mengeluarkannya dari tanda turunannya agar tidak menghalangi; dan, tentu saja, terapkan aturan yang sudah dikenal 
:
Seperti yang Anda lihat, algoritme untuk menerapkan turunan logaritmik tidak mengandung trik atau trik khusus, dan menemukan turunan dari fungsi eksponensial biasanya tidak terkait dengan "siksaan".
Jika mengikuti definisi, maka turunan suatu fungsi di suatu titik adalah limit dari rasio kenaikan fungsi kamu dengan kenaikan argumen x:
Semuanya tampak jelas. Tapi coba hitung dengan rumus ini, katakanlah, turunan dari fungsi f(x) = x 2 + (2x+ 3) · e x dosa x. Jika Anda melakukan semuanya dengan definisi, maka setelah beberapa halaman perhitungan Anda hanya akan tertidur. Oleh karena itu, ada cara yang lebih sederhana dan efektif.
Untuk memulainya, kita perhatikan bahwa apa yang disebut fungsi dasar dapat dibedakan dari seluruh ragam fungsi. Ini adalah ekspresi yang relatif sederhana, yang turunannya telah lama dihitung dan dimasukkan ke dalam tabel. Fungsi-fungsi tersebut cukup mudah diingat, bersama dengan turunannya.
Turunan dari fungsi dasar
Fungsi dasar adalah semua yang tercantum di bawah ini. Turunan dari fungsi-fungsi tersebut harus hafal. Selain itu, tidak sulit untuk menghafalnya - itulah sebabnya mereka masih SD.
Jadi, turunan dari fungsi dasar:
| Nama | Fungsi | Turunan |
| Konstan | f(x) = C, C ∈ R | 0 (ya, ya, nol!) |
| Derajat dengan eksponen rasional | f(x) = x n | n · x n − 1 |
| sinus | f(x) = sin x | karena x |
| Kosinus | f(x) = cos x | dosa x(dikurangi sinus) |
| Garis singgung | f(x) = tg x | 1/co 2 x |
| Kotangens | f(x) = ctg x | 1/sin2 x |
| logaritma natural | f(x) = log x | 1/x |
| logaritma arbitrer | f(x) = log sebuah x | 1/(x ln sebuah) |
| Fungsi eksponensial | f(x) = e x | e x(Tidak ada yang berubah) |
Jika fungsi dasar dikalikan dengan konstanta sembarang, maka turunan dari fungsi baru juga mudah dihitung:
(C · f)’ = C · f ’.
Secara umum, konstanta dapat dikeluarkan dari tanda turunan. Sebagai contoh:
(2x 3)' = 2 ( x 3)' = 2 3 x 2 = 6x 2 .
Jelas, fungsi dasar dapat ditambahkan satu sama lain, dikalikan, dibagi, dan banyak lagi. Ini adalah bagaimana fungsi baru akan muncul, tidak lagi sangat mendasar, tetapi juga dapat dibedakan menurut aturan tertentu. Aturan-aturan ini dibahas di bawah ini.
Turunan jumlah dan selisih
Biarkan fungsi f(x) dan g(x), yang turunannya kita ketahui. Misalnya, Anda dapat mengambil fungsi dasar yang dibahas di atas. Kemudian Anda dapat menemukan turunan dari jumlah dan perbedaan dari fungsi-fungsi ini:
- (f + g)’ = f ’ + g ’
- (f − g)’ = f ’ − g ’
Jadi, turunan jumlah (selisih) dua fungsi sama dengan jumlah (selisih) turunannya. Mungkin ada lebih banyak istilah. Sebagai contoh, ( f + g + h)’ = f ’ + g ’ + h ’.
Sebenarnya, tidak ada konsep "pengurangan" dalam aljabar. Ada konsep "elemen negatif". Oleh karena itu, perbedaan f − g dapat ditulis ulang sebagai jumlah f+ (−1) g, dan kemudian hanya satu rumus yang tersisa - turunan dari jumlah tersebut.
f(x) = x 2 + sinx; g(x) = x 4 + 2x 2 − 3.
Fungsi f(x) adalah jumlah dari dua fungsi dasar, jadi:
f ’(x) = (x 2+ dosa x)’ = (x 2)' + (sin x)’ = 2x+ cox;
Kami berpendapat sama untuk fungsi g(x). Hanya saja sudah ada tiga istilah (dari sudut pandang aljabar):
g ’(x) = (x 4 + 2x 2 − 3)’ = (x 4 + 2x 2 + (−3))’ = (x 4)’ + (2x 2)’ + (−3)’ = 4x 3 + 4x + 0 = 4x · ( x 2 + 1).
Menjawab:
f ’(x) = 2x+ cox;
g ’(x) = 4x · ( x
2 + 1).
Turunan dari suatu produk
Matematika adalah ilmu yang logis, sehingga banyak orang percaya bahwa jika turunan dari jumlah sama dengan jumlah dari turunan, maka turunan dari produk memukul"\u003e sama dengan produk turunan. Tapi ara untuk Anda! Turunan produk dihitung menggunakan rumus yang sama sekali berbeda. Yaitu:
(f · g) ’ = f ’ · g + f · g ’
Rumusnya sederhana, tapi sering terlupakan. Dan tidak hanya anak sekolah, tetapi juga siswa. Hasilnya adalah masalah yang salah diselesaikan.
Tugas. Cari turunan fungsi: f(x) = x 3 kosx; g(x) = (x 2 + 7x 7) · e x .
Fungsi f(x) adalah produk dari dua fungsi dasar, jadi semuanya sederhana:
f ’(x) = (x 3 cos x)’ = (x 3)' karena x + x 3 (karena x)’ = 3x 2 karena x + x 3 (−sin x) = x 2 (3cos x − x dosa x)
Fungsi g(x) pengganda pertama sedikit lebih rumit, tetapi skema umum tidak berubah dari ini. Jelas, pengali pertama dari fungsi g(x) adalah polinomial, dan turunannya adalah turunan dari jumlah tersebut. Kita punya:
g ’(x) = ((x 2 + 7x 7) · e x)’ = (x 2 + 7x 7)' · e x + (x 2 + 7x 7) ( e x)’ = (2x+ 7) · e x + (x 2 + 7x 7) · e x = e x(2 x + 7 + x 2 + 7x −7) = (x 2 + 9x) · e x = x(x+ 9) · e x .
Menjawab:
f ’(x) = x 2 (3cos x − x dosa x);
g ’(x) = x(x+ 9) · e
x
.
Perhatikan bahwa pada langkah terakhir, turunan difaktorkan. Secara formal, ini tidak perlu, tetapi sebagian besar turunan tidak dihitung sendiri, tetapi untuk mengeksplorasi fungsinya. Artinya selanjutnya turunannya akan disamakan dengan nol, akan diketahui tanda-tandanya, dan seterusnya. Untuk kasus seperti itu, lebih baik memiliki ekspresi yang didekomposisi menjadi faktor.
Jika ada dua fungsi f(x) dan g(x), dan g(x) 0 pada himpunan yang menarik bagi kami, kami dapat mendefinisikan fungsi baru h(x) = f(x)/g(x). Untuk fungsi seperti itu, Anda juga dapat menemukan turunannya:
Tidak lemah, kan? Dari mana minusnya? Mengapa g 2? Tapi seperti ini! Ini adalah salah satu formula paling kompleks - Anda tidak dapat mengetahuinya tanpa botol. Karena itu, lebih baik mempelajarinya dengan contoh-contoh spesifik.
Tugas. Cari turunan fungsi:
Ada fungsi dasar dalam pembilang dan penyebut setiap pecahan, jadi yang kita butuhkan hanyalah rumus turunan dari hasil bagi:
Secara tradisi, kami memfaktorkan pembilangnya menjadi beberapa faktor - ini akan sangat menyederhanakan jawabannya:
Fungsi kompleks tidak harus berupa rumus yang panjangnya setengah kilometer. Misalnya, cukup untuk mengambil fungsi f(x) = sin x dan ganti variabel x, katakan, pada x 2+ln x. Ternyata f(x) = dosa ( x 2+ln x) adalah fungsi kompleks. Dia juga memiliki turunan, tetapi tidak akan berhasil menemukannya sesuai dengan aturan yang dibahas di atas.
Bagaimana menjadi? Dalam kasus seperti itu, penggantian variabel dan rumus turunan dari fungsi kompleks membantu:
f ’(x) = f ’(t) · t', jika x digantikan oleh t(x).
Sebagai aturan, situasi dengan pemahaman rumus ini bahkan lebih menyedihkan daripada dengan turunan dari hasil bagi. Oleh karena itu, lebih baik menjelaskannya dengan contoh-contoh spesifik, dengan penjelasan rinci dari setiap langkah.
Tugas. Cari turunan fungsi: f(x) = e 2x + 3 ; g(x) = dosa ( x 2+ln x)
Perhatikan bahwa jika dalam fungsi f(x) alih-alih ekspresi 2 x+ 3 akan mudah x, maka kita mendapatkan fungsi dasar f(x) = e x. Oleh karena itu, kami membuat substitusi: biarkan 2 x + 3 = t, f(x) = f(t) = e t. Kami mencari turunan dari fungsi kompleks dengan rumus:
f ’(x) = f ’(t) · t ’ = (e t)’ · t ’ = e t · t ’
Dan sekarang - perhatian! Melakukan substitusi terbalik: t = 2x+ 3. Kami mendapatkan:
f ’(x) = e t · t ’ = e 2x+ 3 (2 x + 3)’ = e 2x+ 3 2 = 2 e 2x + 3
Sekarang mari kita lihat fungsinya g(x). Jelas perlu diganti. x 2+ln x = t. Kita punya:
g ’(x) = g ’(t) · t' = (sin t)’ · t' = cos t · t ’
Penggantian terbalik: t = x 2+ln x. Kemudian:
g ’(x) = cos( x 2+ln x) · ( x 2+ln x)' = cos ( x 2+ln x) · (2 x + 1/x).
Itu saja! Seperti yang dapat dilihat dari ekspresi terakhir, seluruh masalah telah direduksi menjadi menghitung turunan dari jumlah tersebut.
Menjawab:
f ’(x) = 2 e
2x + 3 ;
g ’(x) = (2x + 1/x) karena ( x 2+ln x).
Sangat sering dalam pelajaran saya, alih-alih istilah "turunan", saya menggunakan kata "goresan". Misalnya, jumlah pukulan sama dengan jumlah pukulan. Apakah itu lebih jelas? Itu bagus.
Jadi, perhitungan turunan turun untuk menghilangkan pukulan ini sesuai dengan aturan yang dibahas di atas. Sebagai contoh terakhir, mari kembali ke pangkat turunan dengan eksponen rasional:
(x n)’ = n · x n − 1
Sedikit yang tahu itu dalam peran n mungkin bilangan pecahan. Misalnya, akarnya adalah x 0,5 . Tetapi bagaimana jika ada sesuatu yang rumit di bawah root? Sekali lagi, fungsi yang kompleks akan muncul - mereka suka memberikan konstruksi seperti itu dalam tes dan ujian.
Tugas. Cari turunan dari suatu fungsi:
Pertama, mari kita tulis ulang akarnya sebagai pangkat dengan eksponen rasional:
f(x) = (x 2 + 8x − 7) 0,5 .
Sekarang kita membuat substitusi: mari x 2 + 8x − 7 = t. Kami menemukan turunan dengan rumus:
f ’(x) = f ’(t) · t ’ = (t 0,5)' t' = 0,5 t 0,5 t ’.
Kami membuat substitusi terbalik: t = x 2 + 8x 7. Kami memiliki:
f ’(x) = 0,5 ( x 2 + 8x 7) 0,5 ( x 2 + 8x 7)' = 0,5 (2 x+ 8) ( x 2 + 8x − 7) −0,5 .
Akhirnya, kembali ke akar:
Dalam buku teks "lama", itu juga disebut aturan "rantai". Jadi jika y \u003d f (u), dan u \u003d (x), yaitu
y \u003d f (φ (x))
kompleks - fungsi majemuk (komposisi fungsi) maka
di mana 
, setelah perhitungan dianggap pada u = (x).
Perhatikan bahwa di sini kami mengambil komposisi "berbeda" dari fungsi yang sama, dan hasil diferensiasi secara alami ternyata bergantung pada urutan "pencampuran".
Aturan rantai secara alami meluas ke komposisi tiga atau lebih fungsi. Dalam hal ini, akan ada tiga atau lebih "tautan" dalam "rantai" yang membentuk turunan, masing-masing. Berikut adalah analogi dengan perkalian: "kita punya" - tabel turunan; "di sana" - tabel perkalian; "kita" - aturan rantai dan "ada" - aturan perkalian "kolom". Saat menghitung turunan "kompleks" seperti itu, tentu saja, tidak ada argumen tambahan (u¸v, dll.) yang diperkenalkan, tetapi, setelah mencatat sendiri jumlah dan urutan fungsi yang berpartisipasi dalam komposisi, mereka "merangkai" tautan yang sesuai di urutan yang ditunjukkan.
. Di sini, lima operasi dilakukan dengan "x" untuk mendapatkan nilai "y", yaitu, komposisi lima fungsi terjadi: "eksternal" (yang terakhir) - eksponensial - e ; maka dalam urutan terbalik adalah hukum kekuasaan. (♦) 2 ; dosa trigonometri (); kekuatan. () 3 dan akhirnya logaritma ln.(). Jadi
Contoh berikut akan "membunuh pasangan burung dengan satu batu": kita akan berlatih membedakan fungsi kompleks dan melengkapi tabel turunan dari fungsi dasar. Jadi:
4. Untuk fungsi pangkat - y \u003d x - menulis ulang menggunakan "identitas logaritma dasar" yang terkenal - b \u003d e ln b - dalam bentuk x \u003d x ln x kita dapatkan
5. Untuk fungsi eksponensial arbitrer, dengan menggunakan teknik yang sama, kita akan mendapatkan
6. Untuk fungsi logaritma arbitrer, dengan menggunakan rumus terkenal untuk transisi ke basis baru, kita memperoleh
.
7. Untuk membedakan garis singgung (cotangent), kita menggunakan aturan untuk membedakan hasil bagi:
Untuk memperoleh turunan fungsi trigonometri invers, digunakan relasi yang dipenuhi oleh turunan dua fungsi yang saling invers, yaitu fungsi (x) dan f (x) yang dihubungkan oleh relasi:
Berikut rasionya
Dari rumus ini untuk fungsi saling terbalik
dan 
,
Pada akhirnya, kami merangkum ini dan beberapa lainnya, seperti turunan yang mudah diperoleh, dalam tabel berikut.
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
