Merupakan segi empat yang sisi-sisinya berhadapan sejajar berpasangan.

Properti 1 . Setiap diagonal jajar genjang membaginya menjadi dua segitiga yang sama.

Bukti . Menurut tanda II (sudut melintang dan sisi yang sama).

Teorema terbukti.

Properti 2 . Dalam jajar genjang, sisi-sisi yang berhadapan sama besar dan sudut-sudut yang berhadapan sama besar.

Bukti .
Juga,

Teorema terbukti.

Sifat 3. Dalam jajar genjang diagonal, titik potong dibagi dua.

Bukti .

Teorema terbukti.

Properti 4 . Garis bagi sudut jajar genjang, yang memotong sisi yang berlawanan, membaginya menjadi segitiga sama kaki dan trapesium. (Bab. kata - atas - dua sama kaki? -ka).

Bukti .

Teorema terbukti.

Properti 5 . Dalam jajaran genjang, segmen dengan ujung di sisi yang berlawanan, melewati titik perpotongan diagonal, dibagi dua oleh titik ini.

Bukti .

Teorema terbukti.

Properti 6 . Sudut antara ketinggian yang dijatuhkan dari titik sudut tumpul jajar genjang sama dengan sudut lancip jajar genjang.

Bukti .

Teorema terbukti.

Properti 7 . Jumlah sudut jajar genjang yang berdekatan dengan salah satu sisinya adalah 180°.

Bukti .

Teorema terbukti.

Konstruksi garis bagi suatu sudut. Sifat-sifat garis bagi sudut segitiga.

1) Bangun sinar sewenang-wenang DE.

2) Pada sinar yang diberikan, buat lingkaran sembarang dengan pusat di titik yang sama
berpusat di awal sinar yang dibangun.

3) F dan G - titik potong lingkaran dengan sisi sudut yang diberikan, H - titik potong lingkaran dengan sinar yang dibangun

Buatlah lingkaran dengan pusat di titik H dan jari-jarinya sama dengan FG.

5) I - titik perpotongan lingkaran balok yang dibangun.

6) Tarik garis melalui titik dan I.

IDH - sudut yang diperlukan.
)

Properti 1 . Garis bagi sudut segitiga membagi sisi yang berhadapan secara proporsional dengan sisi-sisi yang berdekatan.

Bukti . Misalkan x, y adalah ruas-ruas sisi c. Kami melanjutkan sinar BC. Pada sinar BC, kami memplot segmen CK dari C sama dengan AC.

Bukti

Mari kita menggambar AC diagonal terlebih dahulu. Didapatkan dua buah segitiga: ABC dan ADC.

Karena ABCD adalah jajar genjang, berikut ini benar:

IKLAN || BC \Panah kanan \angle 1 = \angle 2 seperti berbaring.

AB || CD \Panah Kanan \angle3 = \angle 4 seperti berbaring.

Oleh karena itu, \segitiga ABC = \segitiga ADC (dengan fitur kedua: dan AC adalah umum).

Dan, oleh karena itu, \segitiga ABC = \segitiga ADC , maka AB = CD dan AD = BC .

Terbukti!

2. Sudut-sudut yang berhadapan adalah sama.

Bukti

Menurut buktinya properti 1 Kami tahu itu \sudut 1 = \sudut 2, \sudut 3 = \sudut 4. Jadi jumlah sudut yang berhadapan adalah: \sudut 1 + \sudut 3 = \sudut 2 + \sudut 4. Mengingat \segitiga ABC = \segitiga ADC kita mendapatkan \angle A = \angle C , \angle B = \angle D .

Terbukti!

3. Diagonal-diagonal tersebut dibagi dua oleh titik potong.

Bukti

Mari kita menggambar diagonal lain.

Oleh properti 1 kita tahu bahwa sisi-sisi yang berhadapan adalah identik: AB = CD . Sekali lagi kita perhatikan sudut-sudut yang sama terletak melintang.

Dengan demikian, dapat dilihat bahwa \segitiga AOB = \segitiga COD dengan tanda kedua persamaan segitiga (dua sudut dan satu sisi di antaranya). Yaitu, BO = OD (berlawanan \angle 2 dan \angle 1 ) dan AO = OC (berlawanan \angle 3 dan \angle 4 masing-masing).

Terbukti!

Fitur jajar genjang

Jika hanya satu tanda yang ada dalam masalah Anda, maka gambar tersebut adalah jajaran genjang dan Anda dapat menggunakan semua properti dari gambar ini.

Untuk menghafal lebih baik, perhatikan bahwa tanda jajaran genjang akan menjawab pertanyaan berikut "bagaimana cara mengetahuinya?". Yaitu, bagaimana mengetahui bahwa sosok yang diberikan adalah jajaran genjang.

1. Jajar genjang adalah segi empat yang kedua sisinya sama dan sejajar.

AB = CD; AB || CD \Panah Kanan ABCD adalah jajar genjang.

Bukti

Mari kita pertimbangkan lebih detail. Kenapa IKLAN || SM?

\segitiga ABC = \segitiga ADC oleh properti 1: AB = CD , AC persekutuan dan \sudut 1 = \sudut 2 melintang dengan AB dan CD sejajar dan garis potong AC .

Tetapi jika \segitiga ABC = \segitiga ADC , maka \angle 3 = \angle 4 (berhadapan dengan AB dan CD). Dan karena itu AD || BC (\angle 3 dan \angle 4 - melintang juga sama).

Tanda pertama benar.

2. Jajar genjang adalah segi empat yang sisi-sisi yang berhadapan sama besar.

AB = CD , AD = BC \Panah kanan ABCD adalah jajar genjang.

Bukti

Mari kita pertimbangkan fitur ini. Mari kita menggambar AC diagonal lagi.

Oleh properti 1\segitiga ABC = \segitiga ACD .

Ini mengikuti bahwa: \angle 1 = \angle 2 \Rightarrow AD || SM dan \angle 3 = \angle 4 \Panah kanan AB || CD, yaitu, ABCD adalah jajar genjang.

Tanda kedua benar.

3. Jajargenjang adalah segiempat yang sudut-sudutnya berhadapan sama besar.

\sudut A = \sudut C , \angle B = \angle D \Panah Kanan ABCD- jajaran genjang.

Bukti

2 \alpha + 2 \beta = 360^(\circ)(karena ABCD adalah segi empat, dan \sudut A = \sudut C , \sudut B = \sudut D menurut konvensi).

Jadi \alpha + \beta = 180^(\circ) . Tapi \alpha dan \beta internal satu sisi di garis potong AB .

Dan fakta bahwa \alpha + \beta = 180^(\circ) juga berarti bahwa AD || SM.

Pada saat yang sama, \alpha dan \beta adalah internal satu sisi dengan garis potong AD . Dan itu artinya AB || CD.

Tanda ketiga benar.

4. Jajargenjang adalah segi empat yang diagonal-diagonalnya dipotong oleh titik potongnya.

AO=OC; BO = OD \Jalur genjang kanan.

Bukti

BO=OD; AO = OC , \sudut 1 = \sudut 2 vertikal \Panah Kanan \segitiga AOB = \segitiga COD, \Panah kanan \angle 3 = \angle 4, dan \Panah Kanan AB || CD.

Demikian pula BO = OD ; AO=OC, \angle 5 = \angle 6 \Rightarrow \triangle AOD = \triangle BOC \Rightarrow \angle 7 = \angle 8, dan \IKLAN Panah Kanan || SM.

Tanda keempat benar.

Topik pelajaran

• Sifat-sifat diagonal jajar genjang.

Tujuan Pelajaran

• Kenali definisi baru dan ingat beberapa yang sudah dipelajari.
• Rumuskan dan buktikan sifat-sifat diagonal jajar genjang.
• Belajar menerapkan sifat-sifat bentuk dalam memecahkan masalah.
• Mengembangkan - untuk mengembangkan perhatian siswa, ketekunan, ketekunan, pemikiran logis, pidato matematika.
• Pendidikan - melalui pelajaran untuk menumbuhkan sikap perhatian satu sama lain, untuk menanamkan kemampuan mendengarkan kawan, saling membantu, kemandirian.

Tujuan pelajaran

• Periksa kemampuan siswa untuk memecahkan masalah.

Rencana belajar

1. Pengantar.
2. Pengulangan materi yang telah dipelajari sebelumnya.
3. Jajar genjang, sifat dan tandanya.
4. Contoh tugas.
5. Periksa diri.

pengantar

“Penemuan ilmiah utama memberikan solusi untuk masalah besar, tetapi dalam solusi masalah apa pun ada sebutir penemuan.”

Sifat-sifat sisi yang berhadapan pada jajar genjang

Jajar genjang memiliki sisi yang berhadapan sama besar.

Bukti.

Biarkan ABCD menjadi jajar genjang yang diberikan. Dan biarkan diagonal-diagonalnya berpotongan di titik O.
Karena AOB = COD dengan tanda pertama persamaan segitiga (∠ AOB = COD, sebagai segitiga vertikal, AO=OC, DO=OB, berdasarkan sifat diagonal jajar genjang), maka AB=CD. Demikian pula, dari persamaan segitiga BOC dan DOA, diperoleh BC=DA. Teorema telah terbukti.

Sifat sudut-sudut yang berhadapan pada jajar genjang

Jajar genjang memiliki sudut yang berlawanan.

Bukti.

Biarkan ABCD menjadi jajar genjang yang diberikan. Dan biarkan diagonal-diagonalnya berpotongan di titik O.
Dari sifat-sifat sisi yang berhadapan pada jajar genjang dibuktikan pada teorema pada ABC = CDA pada tiga sisi (AB=CD, BC=DA dari terbukti, AC adalah umum). Dari persamaan segitiga diketahui bahwa ABC = CDA.
Dibuktikan juga bahwa DAB = BCD, yang mengikuti dari ABD = CDB. Teorema telah terbukti.

Sifat-sifat diagonal jajar genjang

Diagonal jajar genjang berpotongan dan titik potongnya dibagi dua.

Bukti.

Biarkan ABCD menjadi jajar genjang yang diberikan. Mari kita menggambar AC diagonal. Kami menandai O tengah di atasnya. Pada kelanjutan segmen DO, kami menyisihkan segmen OB 1 sama dengan DO.
Berdasarkan teorema sebelumnya, AB 1 CD adalah jajar genjang. Oleh karena itu, garis AB 1 sejajar dengan DC. Tetapi melalui titik A, hanya satu garis yang dapat ditarik sejajar dengan DC. Jadi, garis AB 1 berimpit dengan garis AB.
Juga terbukti bahwa SM 1 bertepatan dengan SM. Jadi titik C bertepatan dengan C 1 . jajar genjang ABCD berimpit dengan jajar genjang AB 1 CD. Oleh karena itu, diagonal jajar genjang berpotongan dan titik potongnya menjadi dua. Teorema telah terbukti.

Dalam buku teks untuk sekolah biasa (misalnya, di Pogorelov), terbukti sebagai berikut: diagonal membagi jajaran genjang menjadi 4 segitiga. Pertimbangkan satu pasangan dan cari tahu - mereka sama: alasnya adalah sisi yang berlawanan, sudut yang sesuai yang berdekatan dengannya sama dengan vertikal dengan garis paralel. Artinya, segmen diagonal adalah berpasangan sama. Semuanya.

Apakah itu semuanya?
Di atas dibuktikan bahwa titik potong membagi dua diagonal - jika ada. Alasan di atas tidak membuktikan keberadaannya dengan cara apa pun. Artinya, bagian dari teorema "diagonal jajar genjang berpotongan" tetap tidak terbukti.

Lucu bagaimana bagian ini jauh lebih sulit untuk dibuktikan. Omong-omong, ini mengikuti dari hasil yang lebih umum: untuk setiap segi empat cembung, diagonal akan berpotongan, untuk yang tidak cembung, mereka tidak akan berpotongan.

Tentang persamaan segitiga di sepanjang sisi dan dua sudut yang berdekatan (tanda kedua persamaan segitiga) dan lainnya.

Teorema tentang kesetaraan dua segitiga di sepanjang sisi dan dua sudut yang berdekatan dengannya, Thales menemukan aplikasi praktis yang penting. Sebuah pengintai dibangun di pelabuhan Miletus, yang menentukan jarak ke kapal di laut. Ini terdiri dari tiga pasak yang digerakkan A, B dan C (AB = BC) dan garis lurus bertanda SK, tegak lurus terhadap CA. Ketika kapal muncul di garis lurus SC, ditemukan titik D sedemikian rupa sehingga titik D, .B dan E berada pada garis lurus yang sama. Seperti yang jelas dari gambar, jarak CD di tanah adalah jarak yang diinginkan ke kapal.

pertanyaan

1. Apakah diagonal persegi dibagi dua oleh titik potong?
   
2. Apakah diagonal-diagonal jajar genjang sama?
3. Apakah sudut-sudut yang berhadapan pada jajar genjang sama besar?
4. Apa definisi dari jajaran genjang?
5. Berapa banyak fitur jajaran genjang?
   
6. Bisakah belah ketupat menjadi jajar genjang?
   

Daftar sumber yang digunakan

1. Kuznetsov A. V., guru matematika (kelas 5-9), Kyiv
2. “Ujian Negara Bersatu 2006. Matematika. Materi pendidikan dan pelatihan untuk persiapan siswa / Rosobrnadzor, ISOP - M .: Intellect-Center, 2006 "
3. Mazur K. I. "Memecahkan masalah kompetitif utama dalam matematika dari koleksi yang diedit oleh M. I. Scanavi"
4. L. S. Atanasyan, V. F. Butuzov, S. B. Kadomtsev, E. G. Poznyak, I. I. Yudina "Geometri, 7 - 9: buku teks untuk lembaga pendidikan"

Bekerja pada pelajaran

Kuznetsov A.V.

Poturnak S.A.

Evgeny Petrov

Anda dapat mengajukan pertanyaan tentang pendidikan modern, mengungkapkan ide, atau memecahkan masalah mendesak di Forum Pendidikan di mana dewan pendidikan pemikiran dan tindakan segar bertemu secara internasional. Setelah menciptakan blog, Anda tidak hanya akan meningkatkan status Anda sebagai guru yang kompeten, tetapi juga memberikan kontribusi yang signifikan bagi perkembangan sekolah di masa depan. Serikat Pemimpin Pendidikan membuka pintu bagi spesialis peringkat atas dan mengundang Anda untuk bekerja sama dalam menciptakan sekolah terbaik di dunia.

Mata Pelajaran > Matematika > Matematika Kelas 8

Jajargenjang adalah segi empat yang sisi-sisinya berhadapan sejajar, yaitu terletak pada garis sejajar

Sifat jajar genjang:
Teorema 22. Sisi-sisi yang berhadapan dari jajar genjang adalah sama besar.
Bukti. Gambarlah diagonal AC pada jajar genjang ABCD. Segitiga ACD dan ACB kongruen karena memiliki sisi yang sama AC dan dua pasang sudut yang sama besar. bersebelahan dengannya: CAB=∠ ACD, ASV=∠ DAC (sebagai sudut bersilangan dengan garis sejajar AD dan BC). Oleh karena itu, AB=CD dan BC=AD sebagai sisi-sisi yang bersesuaian pada segitiga-segitiga yang sama panjang, dll. Persamaan segitiga-segitiga ini juga menyiratkan persamaan sudut-sudut yang bersesuaian dari segitiga-segitiga tersebut:
Teorema 23. Sudut-sudut yang berhadapan pada jajar genjang adalah: A=∠ C dan B=∠ D.
Persamaan pasangan pertama berasal dari persamaan segitiga ABD dan CBD, dan yang kedua - ABC dan ACD.
Teorema 24. Sudut-sudut yang berdekatan dari jajaran genjang, mis. sudut yang berdekatan dengan satu sisi berjumlah 180 derajat.
Ini karena mereka adalah sudut satu sisi interior.
Teorema 25. Diagonal-diagonal jajar genjang saling membagi dua pada titik perpotongannya.
Bukti. Perhatikan segitiga BOC dan AOD. Menurut sifat pertama, AD=BC ОАD=∠ OSV dan DA=∠ terletak pada garis sejajar AD dan BC. Oleh karena itu, segitiga BOC dan AOD sama sisi dan sudut-sudut yang berdekatan. Oleh karena itu, BO=OD dan AO=OC, sebagai sisi-sisi yang bersesuaian pada segitiga yang sama, dll.

Fitur jajar genjang
Teorema 26. Jika sisi-sisi yang berhadapan pada suatu segi empat sama besar, maka itu adalah jajar genjang.
Bukti. Biarkan segi empat ABCD memiliki sisi AD dan BC, AB dan CD, masing-masing, sama (Gbr. 2). Mari kita menggambar AC diagonal. Segitiga ABC dan ACD memiliki tiga sisi yang sama panjang. Maka sudut BAC dan DCA sama besar sehingga AB sejajar dengan CD. Paralelisme sisi BC dan AD mengikuti persamaan sudut CAD dan DIA.
Teorema 27. Jika sudut-sudut yang berhadapan pada suatu segi empat sama besar, maka itu adalah jajar genjang.
Misalkan A=∠ C dan B=∠ D. A+∠ B+∠ C+∠ D=360 o, maka A+∠ B=180 o dan sisi AD dan BC sejajar (berdasarkan garis sejajar). Kami juga membuktikan paralelisme sisi AB dan CD dan menyimpulkan bahwa ABCD adalah jajar genjang menurut definisi.
Teorema 28. Jika sudut-sudut yang berdekatan dari segi empat, mis. sudut yang berdekatan dengan satu sisi berjumlah 180 derajat, maka itu adalah jajar genjang.
Jika sudut-sudut dalam satu sisi berjumlah 180 derajat, maka garis-garisnya sejajar. Ini berarti AB adalah pasangan CD dan BC adalah pasangan AD. Sebuah segiempat ternyata menjadi jajaran genjang menurut definisi.
Teorema 29. Jika diagonal-diagonal suatu segi empat dibagi dua pada titik potongnya, maka segi empat tersebut adalah jajar genjang.
Bukti. Jika AO=OC, BO=OD, maka segitiga AOD dan BOC sama besar, karena memiliki sudut-sudut yang sama (vertikal) di titik O, yang diapit oleh pasangan sisi yang sama besar. Dari persamaan segitiga kita menyimpulkan bahwa AD dan BC adalah sama. Sisi AB dan CD juga sama, dan segi empat ternyata jajar genjang menurut fitur 1.
Teorema 30. Jika segi empat memiliki sepasang sisi yang sejajar dan sama panjang, maka itu adalah jajar genjang.
Biarkan sisi AB dan CD sejajar dan sama pada segi empat ABCD. Gambarlah diagonal AC dan BD. Dari paralelisme garis-garis ini mengikuti persamaan sudut-sudut yang bersilangan ABO=CDO dan BAO=OCD. Segitiga ABO dan CDO sama besar sisi dan sudut-sudutnya. Oleh karena itu, AO=OC, BO=OD, mis. diagonal titik potong dibagi dua dan segi empat menjadi jajar genjang sesuai dengan fitur 4.

Dalam geometri, kasus khusus jajaran genjang dipertimbangkan.

Konsep jajaran genjang

Definisi 1

Genjang adalah segi empat dengan sisi-sisi yang berhadapan sejajar satu sama lain (Gbr. 1).

Gambar 1.

Jajar genjang memiliki dua sifat utama. Mari kita pertimbangkan mereka tanpa bukti.

Properti 1: Sisi-sisi yang berhadapan dan sudut-sudut jajar genjang masing-masing sama besar.

Properti 2: Diagonal yang digambar dalam jajar genjang dibagi dua oleh titik potongnya.

Fitur jajaran genjang

Pertimbangkan tiga fitur jajaran genjang dan sajikan dalam bentuk teorema.

Teorema 1

Jika dua sisi suatu segiempat sama besar dan juga sejajar, maka segi empat ini akan menjadi jajar genjang.

Bukti.

Mari kita diberikan segi empat $ABCD$. Di mana $AB||CD$ dan $AB=CD$ Mari kita menggambar diagonal $AC$ di dalamnya (Gbr. 2).

Gambar 2.

Pertimbangkan garis paralel $AB$ dan $CD$ dan garis potong $AC$. Kemudian

\[\angle CAB=\angle DCA\]

seperti sudut melintang.

Menurut kriteria $I$ untuk persamaan segitiga,

karena $AC$ adalah sisi umum mereka, dan $AB=CD$ dengan asumsi. Cara

\[\angle DAC=\angle ACB\]

Perhatikan garis $AD$ dan $CB$ dan garis potongnya $AC$; dengan persamaan terakhir dari sudut-sudut yang bersilangan, kita memperoleh $AD||CB$.) Oleh karena itu, dengan definisi $1$, segi empat ini adalah jajaran genjang.

Teorema telah terbukti.

Teorema 2

Jika sisi-sisi yang berhadapan pada suatu segi empat sama besar, maka itu adalah jajar genjang.

Bukti.

Mari kita diberikan segi empat $ABCD$. Di mana $AD=BC$ dan $AB=CD$. Mari kita menggambar diagonal $AC$ di dalamnya (Gbr. 3).

Gambar 3

Karena $AD=BC$, $AB=CD$, dan $AC$ adalah sisi yang sama, maka dengan uji persamaan segitiga $III$,

\[\segitiga DAC=\segitiga ACB\]

\[\angle DAC=\angle ACB\]

Perhatikan garis $AD$ dan $CB$ dan garis potongnya $AC$, dengan persamaan terakhir dari sudut-sudut yang bersilangan kita mendapatkan $AD||CB$. Oleh karena itu, menurut definisi $1$, segi empat ini adalah jajaran genjang.

\[\angle DCA=\angle CAB\]

Perhatikan garis $AB$ dan $CD$ dan garis potongnya $AC$, dengan persamaan terakhir dari sudut-sudut yang bersilangan kita mendapatkan $AB||CD$. Oleh karena itu, menurut Definisi 1, segiempat ini adalah jajar genjang.

Teorema telah terbukti.

Teorema 3

Jika diagonal-diagonal yang ditarik pada suatu segiempat dibagi menjadi dua bagian yang sama besar oleh titik potongnya, maka segi empat ini adalah jajar genjang.

Bukti.

Mari kita diberikan segi empat $ABCD$. Mari kita menggambar diagonal $AC$ dan $BD$ di dalamnya. Biarkan mereka berpotongan di titik $O$ (Gbr. 4).

Gambar 4

Karena, dengan syarat $BO=OD,\ AO=OC$, dan sudut $\angle COB=\angle DOA$ adalah vertikal, maka, dengan uji persamaan segitiga $I$,

\[\triangle BOC=\triangle AOD\]

\[\angle DBC=\angle BDA\]

Perhatikan garis $BC$ dan $AD$ dan garis potongnya $BD$, dengan persamaan terakhir dari sudut-sudut yang bersilangan kita mendapatkan $BC||AD$. Juga $BC=AD$. Oleh karena itu, dengan Teorema $1$, segi empat ini adalah jajar genjang.