Transformasi cosinus langsung dan invers. Transformasi Fourier Integral Fourier Bentuk kompleks dari integral Transformasi Fourier Transformasi kosinus dan sinus Amplitudo dan spektrum fase Sifat aplikasi

I. Transformasi Fourier.

Definisi 1. Fungsi

ditelepon Transformasi Fourier fungsi .

Integral di sini dipahami dalam arti nilai pokok

dan diyakini ada.

Jika adalah fungsi yang benar-benar dapat diintegralkan pada , maka, karena untuk , Transformasi Fourier (1) masuk akal untuk setiap fungsi seperti itu, dan integral (1) konvergen secara mutlak dan seragam terhadap seluruh garis .

Definisi 2. Jika sebuah adalah transformasi Fourier dari fungsi
, maka integral terkait

Dipahami dalam arti arti utama, disebut Integral Fourier dari fungsi .

Contoh 1 Temukan Transformasi Fourier dari suatu Fungsi

Fungsi yang diberikan benar-benar terintegrasi pada , memang,

Definisi 3. Dipahami dalam arti nilai utama integral

Dinamakan sesuai kosinus- dan fungsi transformasi Fourier sinus .

Asumsi , , , kita memperoleh, sebagian, hubungan yang sudah kita kenal dari deret Fourier

Seperti dapat dilihat dari relasi (3), (4),

Rumus (5), (6) menunjukkan bahwa transformasi Fourier terdefinisi secara lengkap pada seluruh baris jika hanya diketahui nilai non-negatif dari argumen tersebut.

Contoh 2 Temukan kosinus - dan sinus - Transformasi Fourier dari suatu fungsi

Seperti yang ditunjukkan pada Contoh 1, fungsi yang diberikan benar-benar terintegrasi pada .

Mari kita cari kosinusnya - Transformasi Fourier sesuai dengan rumus (3):

Demikian pula, tidak sulit untuk menemukan sinus - Transformasi Fourier dari fungsi f(x) dengan rumus (4):

Menggunakan Contoh 1 dan 2, mudah untuk memverifikasi dengan substitusi langsung bahwa untuk f(x) hubungan (5) terpenuhi.

Jika fungsinya bernilai nyata, maka rumus (5), (6) dalam hal ini menyiratkan

Karena dalam hal ini dan adalah fungsi nyata pada R, yang terbukti dari definisi mereka (3), (4). Namun, kesetaraan (7) di bawah kondisi juga diperoleh langsung dari definisi (1) transformasi Fourier, jika kita memperhitungkan bahwa tanda konjugasi dapat ditempatkan di bawah tanda integral. Pengamatan terakhir memungkinkan kita untuk menyimpulkan bahwa setiap fungsi memenuhi persamaan

Hal ini juga berguna untuk dicatat bahwa jika adalah fungsi nyata dan genap, yaitu, , kemudian

jika adalah fungsi nyata dan ganjil, yaitu, , kemudian

Dan jika adalah fungsi imajiner murni, mis. . , kemudian

Perhatikan bahwa jika adalah fungsi bernilai real, maka integral Fourier juga dapat ditulis dalam bentuk

Di mana

Contoh 3
(asumsi )

karena kita tahu nilai integral Dirichlet

Fungsi yang dipertimbangkan dalam contoh tidak sepenuhnya terintegrasi pada dan transformasi Fouriernya memiliki diskontinuitas. Fakta bahwa Transformasi Fourier dari fungsi-fungsi yang integral mutlak tidak memiliki diskontinuitas ditunjukkan oleh berikut ini:

Lemma 1. Jika fungsi terintegrasi secara lokal dan benar-benar terintegrasi pada , kemudian

sebuah) transformasi Fouriernya didefinisikan untuk nilai apa pun

Ingatlah bahwa jika adalah fungsi bernilai nyata atau kompleks yang didefinisikan pada himpunan terbuka , maka fungsinya ditelepon terintegrasi secara lokal di, jika ada dot memiliki lingkungan di mana fungsi tersebut dapat diintegralkan. Khususnya, jika , kondisi integrasi lokal dari fungsi tersebut jelas ekuivalen dengan fakta bahwa untuk setiap segmen.

Contoh 4 Tentukan Transformasi Fourier dari fungsi tersebut :

Membedakan integral terakhir sehubungan dengan parameter dan kemudian mengintegrasikan dengan bagian-bagian, kami menemukan bahwa

atau

Cara, , Dimana adalah sebuah konstanta, yang, dengan menggunakan integral Euler-Poisson, kita temukan dari relasi

Jadi, kami menemukan bahwa , dan pada saat yang sama menunjukkan bahwa , dan .

Definisi 4. Mereka mengatakan bahwa fungsi , yang didefinisikan dalam lingkungan titik yang tertusuk , memenuhi kondisi Dini pada titik tersebut jika

a) kedua batas satu sisi ada di titik

b) kedua integral

setuju sekali.

Konvergensi mutlak integral berarti konvergensi mutlak dari integral setidaknya untuk beberapa nilai .

Kondisi yang cukup untuk keterwakilan suatu fungsi dengan integral Fourier.

Teorema 1.Jika benar-benar terintegrasi pada dan fungsi kontinu sepotong-sepotong secara lokal memuaskan pada intinya Kondisi dini, maka integral Fouriernya konvergen pada titik ini, dan ke nilai

sama dengan setengah jumlah batas kiri dan kanan nilai fungsi pada titik ini.

Konsekuensi 1.Jika fungsi kontinu, memiliki di setiap titik turunan satu sisi yang terbatas dan benar-benar terintegrasi pada , maka muncul sebagai dengan integral Fouriernya

di mana Transformasi Fourier dari suatu fungsi .

Representasi suatu fungsi dengan integral Fourier dapat ditulis ulang sebagai:

Komentar. Kondisi pada fungsi yang dirumuskan dalam Teorema 1 dan Akibat wajar 1 cukup, tetapi tidak diperlukan untuk kemungkinan representasi seperti itu.

Contoh 5 Nyatakan fungsi tersebut sebagai integral Fourier jika

Fungsi ini ganjil dan kontinu pada , kecuali untuk titik , , .

Karena keanehan dan realitas fungsi, kami memiliki:

dan dari persamaan (5) dan (10) didapat bahwa

Pada titik kontinuitas fungsi yang kita miliki:

Tapi fungsinya aneh, jadi

karena integral dihitung dalam arti nilai pokok.

Fungsinya genap, jadi

jika , . Untuk , persamaan

Dengan asumsi , dari sini kita menemukan

Jika kita memasukkan ekspresi terakhir untuk , maka

Dengan asumsi di sini, kita menemukan

Jika suatu fungsi bernilai nyata kontinu sepenggal-sepenggal pada sembarang ruas garis real, integral mutlak pada dan memiliki turunan satu sisi berhingga pada setiap titik, maka pada titik-titik kontinuitas fungsi itu direpresentasikan sebagai integral Fourier

dan pada titik diskontinuitas fungsi, ruas kiri persamaan (1) harus diganti dengan

Jika suatu fungsi tak terpisahkan mutlak pada setiap titik memiliki turunan satu sisi berhingga pada setiap titik, maka dalam kasus fungsi ini genap, persamaan

dan dalam kasus ketika adalah fungsi ganjil, persamaan

Contoh 5'. Nyatakan fungsi tersebut sebagai integral Fourier jika:

Karena merupakan fungsi genap kontinu, maka, dengan menggunakan rumus (13.2), (13,2’), kita memperoleh

Kami menunjukkan dengan simbol integral dipahami dalam arti nilai utama

Konsekuensi 2.Untuk fungsi apa pun memenuhi kondisi Wajar 1, ada semua transformasi , , , dan ada persamaan

Dengan mengingat hubungan ini, transformasi (14) sering disebut transformasi Fourier terbalik dan sebagai gantinya menulis , dan persamaan (15) sendiri disebut Rumus inversi transformasi Fourier.

Contoh 6 Biarkan dan

Perhatikan bahwa jika , maka untuk fungsi apa pun

Mari kita ambil fungsi sekarang. Kemudian

Jika kita mengambil fungsi yang merupakan kelanjutan ganjil dari fungsi , pada seluruh sumbu numerik, maka

Menggunakan Teorema 1, kita mendapatkan bahwa

Semua integral di sini dipahami dalam arti nilai pokok,

Memisahkan bagian real dan imajiner dalam dua integral terakhir, kita menemukan integral Laplace

Definisi . Fungsi

disebut transformasi Fourier ternormalisasi.

Definisi . Jika adalah transformasi Fourier ternormalisasi dari fungsi , maka integral terkait

Kami akan memanggil integral Fourier yang dinormalisasi dari fungsi .

Kami akan mempertimbangkan transformasi Fourier yang dinormalisasi (16).

Untuk kenyamanan, kami memperkenalkan notasi berikut:

(itu. ).

Dibandingkan dengan notasi sebelumnya, ini hanyalah renormalisasi: Oleh karena itu, khususnya, hubungan (15) memungkinkan kita untuk menyimpulkan bahwa

atau, dalam notasi yang lebih pendek,

Definisi 5. Operator tersebut akan disebut transformasi Fourier ternormalisasi, dan operator tersebut akan disebut transformasi Fourier ternormalisasi terbalik.

Dalam Lemma 1, kami mencatat bahwa transformasi Fourier dari setiap fungsi yang benar-benar terintegrasi pada suatu fungsi cenderung nol di tak terhingga. Dua pernyataan berikutnya menyatakan bahwa, seperti koefisien Fourier, transformasi Fourier cenderung ke nol semakin cepat, semakin halus fungsi yang diambilnya (dalam pernyataan pertama); fakta yang berbanding terbalik dengan ini adalah bahwa semakin cepat fungsi dari mana transformasi Fourier diambil cenderung nol, semakin halus transformasi Fouriernya (pernyataan kedua).

Pernyataan 1(tentang hubungan antara kelancaran suatu fungsi dan laju penurunan transformasi Fouriernya). Jika sebuah dan semua fitur benar-benar terintegrasi pada , kemudian:

sebuah) untuk apa saja

Pernyataan 2(tentang hubungan antara laju peluruhan suatu fungsi dan kelancaran transformasi Fouriernya). Jika fungsi yang dapat diintegralkan secara lokal : sedemikian rupa sehingga fungsi benar-benar terintegrasi sebuah , kemudian:

sebuah) Transformasi Fourier dari suatu fungsi milik kelas

b) ada ketidaksetaraan

Kami menyajikan properti perangkat keras utama dari transformasi Fourier.

Lemma 2. Misalkan ada transformasi Fourier untuk fungsi dan (masing-masing, invers transformasi Fourier), maka, berapa pun angka dan , ada Transformasi Fourier (masing-masing, invers transformasi Fourier) dan untuk fungsi , dan

(masing-masing).

Sifat ini disebut linearitas dari Transformasi Fourier (masing-masing, invers Transformasi Fourier).

Konsekuensi. .

Lemma 3. Transformasi Fourier, serta transformasi invers, adalah transformasi satu-ke-satu pada himpunan fungsi-fungsi kontinu yang benar-benar terintegrasi pada seluruh sumbu, yang memiliki turunan satu sisi di setiap titik.

Ini berarti bahwa jika dan adalah dua fungsi dari tipe yang ditentukan dan jika (masing-masing, jika ), kemudian pada seluruh sumbu.

Dari penegasan Lemma 1, kita dapat memperoleh lemma berikut.

Lemma 4. Jika barisan fungsi-fungsi yang benar-benar terintegrasi dan fungsi yang benar-benar terintegrasi adalah sedemikian rupa sehingga

maka barisan seragam pada seluruh sumbu konvergen ke fungsi .

Mari kita pelajari Transformasi Fourier dari konvolusi dua fungsi. Untuk kenyamanan, kami memodifikasi definisi konvolusi dengan menambahkan faktor tambahan

Teorema 2. Misalkan fungsi dan dibatasi, kontinu, dan integral mutlak pada sumbu nyata, maka

itu. transformasi Fourier dari konvolusi dua fungsi sama dengan produk dari transformasi Fourier dari fungsi-fungsi ini.

Mari menyusun tabel ringkasan No. 1 dari sifat-sifat transformasi Fourier yang dinormalisasi, yang berguna dalam memecahkan masalah di bawah ini.

Tabel 1

Fungsi	Transformasi Fourier Ternormalisasi

Dengan menggunakan sifat 1-4 dan 6, kita peroleh

Contoh 7 Temukan transformasi Fourier yang dinormalisasi dari suatu fungsi

Contoh 4 menunjukkan bahwa

seolah olah

Menurut properti 3, kami memiliki:

Demikian pula, Anda dapat mengkompilasi tabel No. 2 untuk transformasi Fourier terbalik yang dinormalisasi:

Tabel nomor 2

Fungsi	Transformasi Fourier Terbalik Ternormalisasi

Seperti sebelumnya, dengan menggunakan properti 1-4 dan 6 kita mendapatkan itu

Contoh 8 Temukan transformasi Fourier terbalik yang dinormalisasi dari suatu fungsi

Sebagai berikut dari contoh 6

Kapan kita punya:

Mewakili fungsi dalam bentuk

gunakan properti 6 ketika

Opsi untuk tugas penyelesaian dan pekerjaan grafis

1. Temukan sinus - Transformasi Fourier dari suatu fungsi

2. Temukan sinus - Transformasi Fourier dari suatu fungsi

3. Temukan kosinus - Transformasi Fourier dari suatu fungsi

4. Temukan kosinus - Transformasi Fourier dari suatu fungsi

5. Temukan sinus - Transformasi Fourier dari suatu fungsi

6.Temukan kosinus - Transformasi Fourier dari suatu fungsi

7. Temukan sinus - Transformasi Fourier dari fungsi

8. Temukan kosinus - Transformasi Fourier dari suatu fungsi

9. Temukan kosinus - Transformasi Fourier dari suatu fungsi

10. Temukan sinus - Transformasi Fourier dari suatu fungsi

11. Temukan sinus - Transformasi Fourier dari suatu fungsi

12. Temukan sinus - transformasi fungsi

13. Temukan sinus - transformasi fungsi

14. Temukan kosinus - transformasi fungsi

15. Temukan kosinus - transformasi fungsi

16. Temukan transformasi Fourier dari suatu fungsi jika:

17. Temukan transformasi Fourier dari suatu fungsi jika:

18. Temukan transformasi Fourier dari suatu fungsi jika:

19. Temukan transformasi Fourier dari suatu fungsi jika:

20. Temukan transformasi Fourier dari suatu fungsi jika:

21. Temukan transformasi Fourier dari suatu fungsi jika:

22. Temukan transformasi Fourier invers ternormalisasi dari suatu fungsi

menggunakan rumus

24. Temukan transformasi Fourier invers ternormalisasi dari suatu fungsi

menggunakan rumus

26. Temukan transformasi Fourier invers ternormalisasi dari suatu fungsi

menggunakan rumus

28. Temukan transformasi Fourier invers ternormalisasi dari suatu fungsi

menggunakan rumus

30. Temukan transformasi Fourier terbalik yang dinormalisasi dari suatu fungsi

menggunakan rumus

23. Temukan transformasi Fourier invers ternormalisasi dari suatu fungsi

menggunakan rumus

25. Temukan transformasi Fourier terbalik yang dinormalisasi dari suatu fungsi

menggunakan rumus

27. Temukan transformasi Fourier invers yang dinormalisasi dari suatu fungsi

menggunakan rumus

29. Temukan transformasi Fourier terbalik yang dinormalisasi dari suatu fungsi

menggunakan rumus

31. Temukan transformasi Fourier invers ternormalisasi dari suatu fungsi

menggunakan rumus

32. Nyatakan fungsi sebagai integral Fourier

33. Nyatakan fungsi sebagai integral Fourier

34. Nyatakan fungsi sebagai integral Fourier

35. Mewakili fungsi sebagai integral Fourier

36. Nyatakan fungsi sebagai integral Fourier

37. Nyatakan fungsi sebagai integral Fourier

38. Nyatakan fungsi sebagai integral Fourier

39. Nyatakan fungsi sebagai integral Fourier

40. Nyatakan fungsi sebagai integral Fourier

41. Nyatakan fungsi sebagai integral Fourier

42. Mewakili fungsi sebagai integral Fourier

43. Nyatakan fungsi tersebut sebagai integral Fourier, perpanjang dengan cara ganjil ke interval jika:

44. Nyatakan fungsi tersebut sebagai integral Fourier, lanjutkan dengan cara ganjil ke interval jika.

Salah satu alat yang ampuh untuk mempelajari masalah fisika matematika adalah metode transformasi integral. Biarkan fungsi f(x) didefinisikan pada interval (a, 6), hingga atau tak terbatas. Transformasi integral dari fungsi f(x) adalah fungsi di mana K(x, w) adalah fungsi yang tetap untuk transformasi tertentu, yang disebut kernel transformasi (diasumsikan bahwa integral (*) ada dalam arti wajar atau tidak wajar ). §satu. Integral Fourier Setiap fungsi f(x), yang pada segmen [-f, I] memenuhi kondisi ekspansi ke deret Fourier, dapat direpresentasikan pada segmen ini dengan deret trigonometri Koefisien a*, dan 6n deret (1 ) ditentukan dengan rumus Euler-Fourier : Transformasi Fourier Integral Fourier Bentuk integral kompleks Transformasi Fourier Transformasi kosinus dan sinus Amplitudo dan spektrum fasa Sifat aplikasi Deret di ruas kanan persamaan (1) dapat ditulis dalam bentuk yang berbeda. Untuk tujuan ini, kami memperkenalkan ke dalamnya dari rumus (2) nilai koefisien a» dan op, kurangi di bawah tanda-tanda integral cos ^ x dan sin x (yang mungkin, karena variabel integrasi adalah m) O) dan gunakan rumus untuk kosinus selisihnya. Kami akan memiliki Jika fungsi /(x) awalnya didefinisikan pada interval sumbu numerik lebih besar dari interval [-1,1] (misalnya, pada seluruh sumbu), maka ekspansi (3) akan mereproduksi nilai dari fungsi ini hanya pada interval [-1, 1] dan berlanjut pada seluruh sumbu real sebagai fungsi periodik dengan periode 21 (Gbr. 1). Oleh karena itu, jika fungsi f(x) (secara umum, non-periodik) didefinisikan pada seluruh sumbu real, dalam rumus (3) seseorang dapat mencoba melewati batas sebagai I + oo. Dalam hal ini, wajar jika kondisi berikut dipenuhi: 1. f(x) memenuhi kondisi ekspansi ke deret Fourier pada sembarang segmen hingga sumbu Ox 2. fungsi f(x) mutlak integral pada seluruh sumbu real Jika kondisi 2 terpenuhi, suku pertama di ruas kanan persamaan (3) cenderung nol karena I -* + oo. Memang, Mari kita coba untuk menetapkan berapa jumlah di sisi kanan (3) akan pergi ke limit sebagai I + oo. Mari kita asumsikan bahwa Maka jumlah di ruas kanan (3) akan berbentuk Karena konvergensi mutlak integral, jumlah untuk I besar ini sedikit berbeda dari ekspresi yang menyerupai jumlah integral untuk fungsi variabel £ dikompilasi untuk interval (0, + oo) perubahan Oleh karena itu, wajar untuk mengharapkan bahwa untuk , jumlah (5) beralih ke integral Di sisi lain, untuk tetap) mengikuti dari rumus (3 ) bahwa kita juga memperoleh persamaan Kondisi cukup untuk validitas rumus (7) dinyatakan oleh teorema berikut. Teorema 1. Jika fungsi f(x) integral mutlak pada seluruh sumbu real dan, bersama-sama dengan turunannya, memiliki sejumlah titik diskontinuitas berhingga jenis pertama pada sembarang segmen [a, 6], maka dari jenis ke- dari fungsi /(x), nilai integral ruas kanan (7) sama dengan Rumus (7) disebut rumus integral Fourier, dan integral ruas kanannya disebut integral Fourier. Jika kita menggunakan rumus untuk hari cosinus selisih, maka rumus (7) dapat ditulis sebagai Fungsi a(t), b(t) adalah analog dari koefisien Fourier yang bersesuaian an dan bn dari 2n-periodik fungsi, tetapi yang terakhir didefinisikan untuk nilai diskrit n, sedangkan a(0 > H2O didefinisikan untuk nilai kontinu G(-oo, +oo).Bentuk kompleks integral Fourier , jelas merupakan fungsi ganjil dari Tapi kemudian Di sisi lain, integral adalah fungsi genap dari variabel sehingga Oleh karena itu, rumus integral Fourier dapat ditulis sebagai berikut: Mari kita kalikan persamaan dengan unit imajiner i dan menambahkan persamaan (10). Ini adalah bentuk kompleks dari integral Fourier. Di sini, integrasi luar atas t dipahami dalam arti nilai pokok Cauchy: 2. Transformasi Fourier Cosinus dan sinus Transformasi Fourier Biarkan fungsi Garis f(x) mulus sedikit demi sedikit pada setiap segmen berhingga dari sumbu x dan benar-benar terintegrasi pada seluruh sumbu. Definisi. Fungsi di mana, berdasarkan rumus Euler, kita akan memiliki disebut Transformasi Fourier dari fungsi f(r) (fungsi spektral). Ini adalah transformasi integral dari fungsi / (r) pada interval (-oo, + oo) dengan kernel Menggunakan rumus integral Fourier, kita mendapatkan Ini disebut transformasi Fourier terbalik, yang memberikan transisi dari F (t) sampai / (x). Kadang-kadang transformasi Fourier langsung diberikan sebagai berikut: Kemudian invers Transformasi Fourier ditentukan dengan rumus Transformasi Fourier dari fungsi f(x) juga didefinisikan sebagai berikut: TRANSFORMASI FOURIER Integral Fourier Bentuk kompleks dari integral Transformasi Fourier Cosinus dan sinus dari transformasi Amplitudo dan spektrum fase Sifat aplikasi Kemudian, pada gilirannya, Dalam hal ini, posisi faktor ^ cukup arbitrer: ia dapat memasukkan rumus (1") atau rumus (2"). Contoh 1. Temukan Transformasi Fourier dari fungsi -4 Kami memiliki Persamaan ini mengakui diferensiasi sehubungan dengan £ di bawah tanda integral (integral yang diperoleh setelah diferensiasi konvergen secara seragam ketika ( milik setiap segmen hingga): Mengintegrasikan dengan bagian, kita akan memiliki kita dapatkan dari mana (C adalah konstanta integrasi). Menetapkan £ = 0 dalam (4), kita menemukan = F(0). Berdasarkan (3) kita memiliki Diketahui bahwa Secara khusus, untuk) kita memperoleh itu Mari kita perhatikan fungsi 4. Untuk spektrum oyu fungsi F(t), kita peroleh Oleh karena itu (Gbr. 2). Kondisi integral mutlak dari fungsi f(x) pada seluruh sumbu real sangat ketat. Ini mengecualikan, misalnya, fungsi dasar seperti f(x) = e1, di mana transformasi Fourier (dalam bentuk klasik yang dipertimbangkan di sini) tidak ada. Hanya fungsi-fungsi tersebut yang memiliki transformasi Fourier yang cenderung ke nol cukup cepat untuk |x| -+ +oo (seperti pada contoh 1 dan 2). 2.1. Cosinus dan sinus Transformasi Fourier Dengan menggunakan rumus kosinus, selisihnya, kita menulis ulang rumus integral Fourier dalam bentuk berikut: Biarkan f(x) menjadi fungsi genap. Kemudian, sehingga dari persamaan (5) kita memiliki Dalam kasus f(x) ganjil, kita memperoleh persamaan Jika f(x) diberikan hanya pada (0, -foo), maka rumus (6) meluas f(x) ke seluruh sumbu Ox secara genap, dan rumus (7) - ganjil. (7) Definisi. Fungsi tersebut disebut transformasi Fourier kosinus dari fungsi f(x). Dari (6) diperoleh bahwa untuk fungsi genap f(x) Ini berarti bahwa f(x), pada gilirannya, adalah transformasi kosinus untuk Fc(t). Dengan kata lain, fungsi / dan Fc merupakan transformasi cosinus mutual. Definisi. Fungsi tersebut disebut transformasi Fourier sinus dari fungsi f(x). Dari (7) kita peroleh bahwa untuk fungsi ganjil f(x), yaitu, f dan Fs adalah transformasi sinus mutual. Contoh 3 (pulsa sudut kanan). Misalkan f(t) adalah fungsi genap yang didefinisikan sebagai berikut: (Gbr. 3). Mari kita gunakan hasil yang diperoleh untuk menghitung integral Berdasarkan rumus (9), kita memiliki Gambar.3 0 0 Pada titik t = 0, fungsi f(t) kontinu dan sama dengan satu. Oleh karena itu, dari (12") diperoleh 2.2. Amplitudo dan spektrum fase integral Fourier Misalkan f(x) adalah fungsi periodik dengan periode 2m dan diperluas menjadi deret Fourier. Persamaan ini dapat ditulis saat kita sampai pada konsep amplitudo dan spektrum fasa dari fungsi periodik Untuk fungsi non-periodik f(x) diberikan pada (-oo, +oo), dalam kondisi tertentu, ternyata dimungkinkan untuk mewakilinya dengan integral Fourier, yang memperluas fungsi ini pada semua frekuensi (perluasan dalam spektrum frekuensi kontinu Definisi Fungsi spektral, atau kerapatan spektral integral Fourier, adalah ekspresi (transformasi Fourier langsung dari fungsi f disebut spektrum amplitudo, dan fungsi " ) = -argSfc) - spektrum fase fungsi / ("). Spektrum amplitudo A(t) berfungsi sebagai ukuran kontribusi frekuensi t terhadap fungsi /(x). Contoh 4. Temukan amplitudo dan spektrum fasa dari fungsi 4 Temukan fungsi spektral Dari sini Grafik fungsi-fungsi ini ditunjukkan pada gambar. 4. 3. Sifat Transformasi Fourier 1. Linieritas. Jika dan G(0 adalah Transformasi Fourier dari fungsi f(x) dan g(x), masing-masing, maka untuk sembarang konstanta a dan p, Transformasi Fourier dari fungsi a f(x) + p g(x) akan menjadi fungsi a Dengan menggunakan sifat linieritas integral, kita peroleh Jadi, Transformasi Fourier adalah operator linier.Dengan menyatakannya dengan kita akan menulis.Jika F(t) adalah Transformasi Fourier dari suatu fungsi f(x) benar-benar dapat diintegralkan pada seluruh real sumbu, maka F(t) terbatas untuk semua. Biarkan fungsi f(x) menjadi integral mutlak pada seluruh sumbu - Transformasi Fourier dari fungsi f (x). Kemudian 3 "flts J. Biarkan f (x) menjadi sebuah fungsi, toleransinya adalah Transformasi Fourier, L adalah jumlah properti Fungsi fh (x) \u003d f (z-h) disebut pergeseran fundium f(x).Menggunakan definisi transformasi Fourier , tunjukkan Soal tersebut.Misalkan suatu fungsi f(z) memiliki Transformasi Fourier F(0> h adalah bilangan real.Tunjukkan bahwa 3. Transformasi Fourier dan oeresis.Biarkan fungsi yang benar-benar integral f (x) memiliki turunan f " (x), yang juga integral mutlak pada seluruh sumbu Oh, jadi /(n) cenderung nol sebagai |x| -» +oo. Dengan asumsi f "(x) menjadi fungsi mulus, kita tulis Integrasikan dengan bagian, kita memiliki istilah di luar integral lenyap (sejak, dan kita dapatkan Jadi, diferensiasi fungsi / (x) sesuai dengan perkalian Fourier-nya gambar ^ P /] dengan faktornya Jika fungsi f (x) memiliki turunan mulus yang benar-benar tidak dapat diubah hingga orde m inklusif, dan semuanya, seperti fungsi f(x) itu sendiri, cenderung nol, dan kemudian, diintegralkan oleh bagian beberapa kali yang diperlukan, kita memperoleh Transformasi Fourier sangat berguna justru karena menggantikan operasi diferensiasi dengan operasi perkalian dengan nilai dan dengan demikian menyederhanakan masalah pengintegrasian beberapa jenis persamaan diferensial. fungsi integral f^k\x) adalah fungsi terbatas dari (sifat 2), dari relasi (2) diperoleh taksiran berikut untuk : Transformasi Fourier Integral Fourier Bentuk integral kompleks Transformasi Fourier Transformasi kosinus dan sinus Transformasi amplitudo dan spektrum fasa Sifat aplikasi Dari evaluasi ini dengan berikut: semakin banyak fungsi f(x) yang memiliki turunan yang benar-benar dapat diintegralkan, semakin cepat transformasi Fouriernya cenderung ke nol. Komentar. Kondisinya cukup alami, karena teori integral Fourier biasa berkaitan dengan proses yang, dalam satu atau lain hal, memiliki awal dan akhir, tetapi tidak berlanjut tanpa batas dengan intensitas yang kira-kira sama. 4. Hubungan antara laju peluruhan fungsi f(x) untuk |z| -» -f oo dan kelancaran transformasi Fourm-nya. Mari kita asumsikan bahwa tidak hanya /(x), tetapi juga produknya xf(x) adalah fungsi yang benar-benar dapat diintegrasikan pada seluruh sumbu x. Maka transformasi Fourier) akan menjadi fungsi yang dapat diturunkan. Memang, diferensiasi formal sehubungan dengan parameter dari integran mengarah ke integral yang konvergen mutlak dan seragam terhadap parameter. Jika, bersama-sama dengan fungsi f(x), fungsi-fungsi tersebut benar-benar integral pada seluruh sumbu Ox, maka proses diferensiasi dapat dilanjutkan. Kami memperoleh bahwa fungsi tersebut memiliki turunan hingga orde m inklusif, dan Jadi, semakin cepat fungsi f(x) berkurang, semakin halus fungsi tersebut Teorema 2 (tentang latihan). Misalkan transformasi Fourier dari fungsi /,(x), dan f2(x), masing-masing. Kemudian integral rangkap dua di ruas kanan konvergen secara mutlak. Mari kita menempatkan x. Kemudian kita akan memiliki atau, mengubah urutan integrasi, Fungsi disebut konvolusi fungsi dan dilambangkan dengan simbol Rumus (1) sekarang dapat ditulis sebagai berikut: Dari sini dapat dilihat bahwa Transformasi Fourier dari konvolusi dari fungsi f\(x) dan f2(x) sama dengan dikalikan dengan y/2x produk dari transformasi Fourier dari fungsi lipat, Catatan. Sangat mudah untuk menetapkan sifat-sifat konvolusi berikut: 1) linearitas: 2) komutatifitas: 4. Penerapan Transformasi Fourier 1. Misalkan (^) adalah operator diferensial linier orde m dengan koefisien konstan y(x) memiliki transformasi Fourier y (O. dan fungsi f(x) memiliki transformasi /(t) Menerapkan Transformasi Fourier ke persamaan (1), kita memperoleh alih-alih persamaan aljabar diferensial pada sumbu sehubungan dengan mana sehingga secara formal di mana simbol menunjukkan invers Transformasi Fourier Batasan utama penerapan metode ini terhubung dengan berikut ini fakta: Solusi persamaan diferensial biasa dengan koefisien konstan mengandung fungsi-fungsi dalam bentuk< х < 4-оо, и преобразование Фурье для них не определено, так что, строго говоря, применятьданный метод нельзя. Это ограничение можно обойти, если ввести в рассмотрение так называемые обобщенные функции. Однако в ряде случаев преобразование Фурье все же применимо в своей классической форме. Пример. Найти решение а = а(х, t) уравнения (а = const), при начальных условиях Это - задача о свободных колебаниях бесконечной однородной струны, когда задано начальное отклонение <р(х) точек сгруны, а начальные скорости отсутствуют. 4 Поскольку пространственная переменная х изменяется в пределах от -оо до +оо, подвергнем уравнение и начальные условия преобразованию Фурье по переменной х. Будем предполагать, что 1) функции и(х, t) и

Yang sudah cukup muak. Dan saya merasa bahwa saatnya telah tiba saatnya untuk mengekstrak makanan kaleng baru dari cadangan strategis teori. Apakah mungkin untuk memperluas fungsi menjadi rangkaian dengan cara lain? Misalnya, untuk mengekspresikan segmen garis lurus dalam bentuk sinus dan cosinus? Tampaknya luar biasa, tetapi fungsi yang tampaknya jauh seperti itu cocok untuk
"reuni". Selain derajat yang sudah dikenal dalam teori dan praktik, ada pendekatan lain untuk memperluas fungsi menjadi deret.

Dalam pelajaran ini, kita akan berkenalan dengan deret Fourier trigonometri, menyentuh masalah konvergensi dan jumlah, dan, tentu saja, kita akan menganalisis banyak contoh untuk memperluas fungsi menjadi deret Fourier. Saya dengan tulus ingin menyebut artikel itu "Seri Empat untuk Dummies", tetapi ini akan licik, karena memecahkan masalah akan membutuhkan pengetahuan tentang bagian lain dari analisis matematika dan beberapa pengalaman praktis. Oleh karena itu, pembukaannya akan menyerupai pelatihan para astronot =)

Pertama, studi materi halaman harus didekati dalam kondisi yang sangat baik. Mengantuk, istirahat dan sadar. Tanpa emosi yang kuat tentang kaki hamster yang patah dan pikiran obsesif tentang kesulitan hidup ikan akuarium. Seri Fourier tidak sulit dari sudut pandang pemahaman, namun, tugas-tugas praktis hanya membutuhkan peningkatan konsentrasi perhatian - idealnya, seseorang harus sepenuhnya meninggalkan rangsangan eksternal. Situasi ini diperparah oleh fakta bahwa tidak ada cara mudah untuk memeriksa solusi dan jawabannya. Jadi, jika kesehatan Anda di bawah rata-rata, maka lebih baik melakukan sesuatu yang lebih sederhana. Kebenaran.

Kedua, sebelum terbang ke luar angkasa, perlu mempelajari panel instrumen pesawat ruang angkasa. Mari kita mulai dengan nilai fungsi yang harus diklik pada mesin:

Untuk nilai alami apa pun:

satu) . Dan faktanya, sinusoidal "mem-flash" sumbu-x melalui setiap "pi":
. Dalam hal nilai argumen negatif, hasilnya, tentu saja, akan sama: .

2). Tapi tidak semua orang mengetahui hal ini. Kosinus "pi en" sama dengan "lampu berkedip":

Argumen negatif tidak mengubah kasus: .

Mungkin cukup.

Dan ketiga, korps kosmonot sayang, Anda harus bisa ... mengintegrasikan.
Secara khusus, tentu membawa fungsi di bawah tanda diferensial, mengintegrasikan dengan bagian dan berhubungan baik dengan rumus Newton-Leibniz. Mari kita mulai latihan pra-penerbangan yang penting. Saya sangat tidak menyarankan untuk melewatkannya, agar nanti Anda tidak meratakan di gravitasi nol:

Contoh 1

Hitung integral tertentu

dimana mengambil nilai-nilai alam.

Keputusan: integrasi dilakukan pada variabel "x" dan pada tahap ini variabel diskrit "en" dianggap konstan. Dalam semua integral bawa fungsi di bawah tanda diferensial:

Versi singkat dari solusi, yang bagus untuk dijadikan sasaran, terlihat seperti ini:

Membiasakan:

Empat poin yang tersisa adalah milik mereka sendiri. Cobalah untuk menangani tugas dengan cermat dan atur integralnya dengan cara yang singkat. Contoh solusi di akhir pelajaran.

Setelah latihan KUALITAS, kami mengenakan pakaian antariksa
dan bersiap untuk memulai!

Perluasan suatu fungsi dalam deret Fourier pada interval

Mari kita pertimbangkan fungsi yang bertekad setidaknya pada interval (dan, mungkin, pada interval yang lebih besar). Jika fungsi ini integral pada segmen , maka dapat diperluas menjadi trigonometri Deret Fourier:
, di mana yang disebut Koefisien Fourier.

Dalam hal ini, nomor tersebut disebut periode dekomposisi, dan bilangan tersebut adalah dekomposisi waktu paruh.

Jelas, dalam kasus umum, deret Fourier terdiri dari sinus dan cosinus:

Memang, mari kita tulis secara rinci:

Suku nol dari deret tersebut biasanya ditulis sebagai .

Koefisien Fourier dihitung menggunakan rumus berikut:

Saya mengerti betul bahwa istilah baru masih belum jelas bagi pemula untuk mempelajari topik: periode dekomposisi, setengah siklus, Koefisien Fourier dan lain-lain Jangan panik, itu tidak sebanding dengan kegembiraan sebelum spacewalk. Mari kita cari tahu semuanya dalam contoh terdekat, sebelum mengeksekusi yang logis untuk mengajukan pertanyaan praktis yang mendesak:

Apa yang perlu Anda lakukan dalam tugas-tugas berikut?

Perluas fungsi tersebut menjadi deret Fourier. Selain itu, sering diperlukan untuk menggambar grafik fungsi, grafik jumlah deret, jumlah parsial, dan dalam kasus fantasi profesor yang canggih, lakukan sesuatu yang lain.

Bagaimana cara memperluas fungsi menjadi deret Fourier?

Pada dasarnya, Anda perlu menemukan Koefisien Fourier, yaitu, buat dan hitung tiga integral tertentu.

Silakan salin bentuk umum deret Fourier dan tiga rumus kerja di buku catatan Anda. Saya sangat senang bahwa beberapa pengunjung situs memiliki impian masa kecil menjadi astronot menjadi kenyataan tepat di depan mata saya =)

Contoh 2

Perluas fungsi tersebut menjadi deret Fourier pada interval . Buatlah grafik, grafik jumlah deret dan jumlah parsial.

Keputusan: bagian pertama dari tugasnya adalah memperluas fungsi menjadi deret Fourier.

Awalannya standar, pastikan untuk menuliskan bahwa:

Dalam masalah ini, periode ekspansi , setengah periode .

Kami memperluas fungsi dalam deret Fourier pada interval:

Dengan menggunakan rumus yang sesuai, kami menemukan Koefisien Fourier. Sekarang kita perlu menyusun dan menghitung tiga integral tertentu. Untuk kenyamanan, saya akan memberi nomor poin:

1) Integral pertama adalah yang paling sederhana, tetapi sudah membutuhkan mata dan mata:

2) Kami menggunakan rumus kedua:

Integral ini diketahui dan dia mengambilnya sedikit demi sedikit:

Saat ditemukan bekas metode membawa fungsi di bawah tanda diferensial.

Dalam tugas yang sedang dipertimbangkan, akan lebih mudah untuk segera menggunakan rumus integrasi bagian-bagian dalam integral tertentu :

Beberapa catatan teknis. Pertama, setelah menerapkan formula seluruh ekspresi harus diapit dalam tanda kurung besar, karena ada konstanta di depan integral asli. Jangan sampai hilang! Tanda kurung dapat dibuka pada langkah selanjutnya, saya melakukannya pada belokan terakhir. Dalam "bagian" pertama kami menunjukkan akurasi ekstrim dalam substitusi, seperti yang Anda lihat, konstanta keluar dari bisnis, dan batas integrasi diganti ke dalam produk. Tindakan ini ditandai dengan tanda kurung siku. Nah, integral dari "bagian" kedua dari formula sudah diketahui oleh Anda dari tugas pelatihan ;-)

Dan yang paling penting - konsentrasi perhatian tertinggi!

3) Kami mencari koefisien Fourier ketiga:

Relatif dari integral sebelumnya diperoleh, yang juga terintegrasi oleh bagian:

Contoh ini sedikit lebih rumit, saya akan mengomentari langkah selanjutnya langkah demi langkah:

(1) Seluruh ekspresi diapit dalam tanda kurung besar.. Saya tidak ingin terlihat membosankan, mereka terlalu sering kehilangan konstanta.

(2) Dalam hal ini, saya segera memperluas kurung besar itu. Perhatian khusus kami mengabdikan untuk "bagian" pertama: asap konstan di sela-sela dan tidak berpartisipasi dalam mengganti batas integrasi ( dan ) ke dalam produk . Mengingat kekacauan catatan, sekali lagi disarankan untuk menyorot tindakan ini dalam tanda kurung siku. Dengan "potongan" kedua semuanya lebih sederhana: di sini fraksi muncul setelah membuka tanda kurung besar, dan konstanta - sebagai hasil dari pengintegrasian integral yang sudah dikenal ;-)

(3) Dalam kurung siku, kami melakukan transformasi, dan dalam integral kanan, kami mengganti batas-batas integrasi.

(4) Kami mengeluarkan "flasher" dari tanda kurung: , setelah itu kami membuka tanda kurung bagian dalam: .

(5) Kami membatalkan 1 dan -1 dalam tanda kurung dan membuat penyederhanaan akhir.

Akhirnya ditemukan ketiga koefisien Fourier:

Substitusikan ke dalam rumus :

Jangan lupa dibelah dua. Pada langkah terakhir, konstanta ("minus dua"), yang tidak bergantung pada "en", dikeluarkan dari jumlah.

Dengan demikian, kami memperoleh perluasan fungsi dalam deret Fourier pada interval:

Mari kita pelajari pertanyaan tentang kekonvergenan deret Fourier. Saya akan menjelaskan teori secara khusus Teorema Dirichlet, secara harfiah "di jari", jadi jika Anda membutuhkan formulasi yang ketat, silakan merujuk ke buku teks tentang kalkulus (misalnya, volume ke-2 Bohan; atau volume ke-3 Fichtenholtz, tetapi lebih sulit di dalamnya).

Pada tugas bagian kedua, diperlukan untuk menggambar grafik, grafik jumlah seri dan grafik jumlah parsial.

Grafik fungsinya adalah biasa garis lurus pada pesawat, yang digambar dengan garis putus-putus hitam:

Kami berurusan dengan jumlah seri. Seperti yang Anda ketahui, deret fungsional konvergen ke fungsi. Dalam kasus kami, deret Fourier yang dibangun untuk setiap nilai "x" konvergen ke fungsi yang ditunjukkan dalam warna merah. Fungsi ini tunduk pada istirahat dari jenis pertama dalam poin , tetapi juga didefinisikan di dalamnya (titik merah pada gambar)

Dengan demikian: . Sangat mudah untuk melihat bahwa itu sangat berbeda dari fungsi aslinya , itulah sebabnya dalam notasi tilde digunakan sebagai pengganti tanda sama dengan.

Mari kita pelajari suatu algoritma yang dengannya mudah untuk membangun jumlah deret.

Pada interval pusat, deret Fourier konvergen ke fungsi itu sendiri (segmen merah pusat bertepatan dengan garis putus-putus hitam dari fungsi linier).

Sekarang mari kita bicara sedikit tentang sifat ekspansi trigonometri yang dipertimbangkan. Deret Fourier hanya mencakup fungsi periodik (konstanta, sinus, dan kosinus), jadi jumlah deretnya juga merupakan fungsi periodik.

Apa artinya ini dalam contoh khusus kita? Dan ini berarti jumlah dari deret –tentu periodik dan segmen merah dari interval harus berulang tak terhingga di kiri dan kanan.

Saya pikir sekarang arti dari frasa "masa pembusukan" akhirnya menjadi jelas. Sederhananya, setiap kali situasi berulang lagi dan lagi.

Dalam praktiknya, biasanya cukup untuk menggambarkan tiga periode dekomposisi, seperti yang dilakukan dalam gambar. Nah, dan lebih banyak "tunggul" dari periode tetangga - untuk memperjelas bahwa grafik berlanjut.

Yang menarik adalah titik diskontinuitas jenis pertama. Pada titik-titik seperti itu, deret Fourier konvergen ke nilai-nilai yang terisolasi, yang terletak persis di tengah "lompatan" diskontinuitas (titik merah pada gambar). Bagaimana cara mencari ordinat titik-titik tersebut? Pertama, mari kita cari ordinat "lantai atas": untuk ini, kami menghitung nilai fungsi di titik paling kanan dari periode ekspansi pusat: . Untuk menghitung ordinat "lantai bawah", cara termudah adalah dengan mengambil nilai paling kiri dari periode yang sama: . Oordinat nilai rata-rata adalah rata-rata aritmatika dari jumlah "atas dan bawah": . Bagus adalah kenyataan bahwa saat membuat gambar, Anda akan segera melihat apakah bagian tengah dihitung dengan benar atau salah.

Mari kita membangun jumlah parsial dari seri dan pada saat yang sama mengulangi arti dari istilah "konvergensi". Motifnya diketahui dari pelajaran tentang jumlah deret bilangan. Mari kita uraikan kekayaan kita secara rinci:

Untuk menjumlahkan sebagian, Anda perlu menuliskan nol + dua suku lagi dari deret tersebut. Yaitu,

Dalam gambar, grafik fungsi ditampilkan dalam warna hijau, dan, seperti yang Anda lihat, ia membungkus jumlah total dengan cukup rapat. Jika kita mempertimbangkan jumlah parsial dari lima suku deret tersebut, maka grafik fungsi ini akan mendekati garis merah lebih akurat, jika ada seratus suku, maka "ular hijau" akan benar-benar bergabung dengan segmen merah, dll. Dengan demikian, deret Fourier konvergen ke jumlahnya.

Sangat menarik untuk dicatat bahwa setiap jumlah parsial adalah fungsi kontinu, tetapi jumlah total deret tersebut masih diskontinyu.

Dalam praktiknya, tidak jarang membangun graf penjumlahan parsial. Bagaimana cara melakukannya? Dalam kasus kami, perlu untuk mempertimbangkan fungsi pada segmen, menghitung nilainya di ujung segmen dan pada titik perantara (semakin banyak titik yang Anda pertimbangkan, semakin akurat grafiknya). Kemudian Anda harus menandai titik-titik ini pada gambar dan dengan hati-hati menggambar grafik pada periode , dan kemudian "menirunya" ke dalam interval yang berdekatan. Bagaimana lagi? Lagi pula, aproksimasi juga merupakan fungsi periodik ... ... grafiknya entah bagaimana mengingatkan saya pada irama jantung yang seimbang pada tampilan perangkat medis.

Tentu saja, sangat tidak nyaman untuk melakukan konstruksi, karena Anda harus sangat berhati-hati, menjaga akurasi tidak kurang dari setengah milimeter. Namun, saya akan menyenangkan pembaca yang bertentangan dengan menggambar - dalam tugas "nyata", jauh dari selalu diperlukan untuk melakukan gambar, di suatu tempat dalam 50% kasus diperlukan untuk memperluas fungsi menjadi deret Fourier dan itu dia.

Setelah menyelesaikan gambar, kami menyelesaikan tugas:

Menjawab:

Dalam banyak tugas, fungsinya menderita pecahnya jenis pertama tepat pada periode dekomposisi:

Contoh 3

Perluas dalam deret Fourier fungsi yang diberikan pada interval . Gambarlah grafik fungsi dan jumlah total deret tersebut.

Fungsi yang diusulkan diberikan sepotong-sepotong (dan, ingatlah, hanya di segmen itu) dan bertahan pecahnya jenis pertama pada titik. Apakah mungkin untuk menghitung koefisien Fourier? Tidak masalah. Bagian kiri dan kanan fungsi tersebut dapat diintegralkan pada intervalnya, sehingga integral pada masing-masing dari ketiga rumus tersebut harus direpresentasikan sebagai jumlah dari dua integral. Mari kita lihat, misalnya, bagaimana ini dilakukan untuk koefisien nol:

Integral kedua ternyata sama dengan nol, yang mengurangi pekerjaan, tetapi ini tidak selalu terjadi.

Dua koefisien Fourier lainnya ditulis dengan cara yang sama.

Bagaimana cara menampilkan jumlah seri? Di interval kiri kami menggambar segmen garis lurus , dan pada interval - segmen garis lurus (sorot bagian sumbu dengan huruf tebal-tebal). Artinya, pada interval ekspansi, jumlah deret bertepatan dengan fungsi di mana-mana, kecuali untuk tiga titik "buruk". Pada titik diskontinuitas fungsi, deret Fourier konvergen ke nilai terisolasi, yang terletak tepat di tengah "loncatan" diskontinuitas. Tidak sulit untuk melihatnya secara lisan: batas kiri:, batas kanan: dan, jelas, ordinat titik tengahnya adalah 0,5.

Karena periodisitas jumlah , gambar harus "dikalikan" dengan periode tetangga, khususnya, menggambarkan hal yang sama pada interval dan . Dalam hal ini, pada titik-titik, deret Fourier konvergen ke nilai median.

Sebenarnya, tidak ada yang baru di sini.

Cobalah untuk menyelesaikan masalah ini sendiri. Contoh perkiraan desain dan gambar yang bagus di akhir pelajaran.

Perluasan suatu fungsi dalam deret Fourier pada periode sembarang

Untuk periode ekspansi sewenang-wenang, di mana "el" adalah bilangan positif apa pun, rumus untuk deret Fourier dan koefisien Fourier berbeda dalam argumen sinus dan kosinus yang sedikit lebih rumit:

Jika , maka kita mendapatkan rumus untuk interval yang kita mulai.

Algoritme dan prinsip untuk memecahkan masalah dipertahankan sepenuhnya, tetapi kompleksitas teknis perhitungan meningkat:

Contoh 4

Perluas fungsinya menjadi deret Fourier dan plot jumlahnya.

Keputusan: sebenarnya, analog dari Contoh No. 3 dengan pecahnya jenis pertama pada titik. Dalam masalah ini, periode ekspansi , setengah periode . Fungsi didefinisikan hanya pada setengah interval , tetapi ini tidak mengubah banyak hal - penting bahwa kedua bagian fungsi dapat diintegrasikan.

Mari kita perluas fungsinya menjadi deret Fourier:

Karena fungsi tidak kontinu pada titik asal, setiap koefisien Fourier jelas harus ditulis sebagai jumlah dari dua integral:

1) Saya akan menulis integral pertama sedetail mungkin:

2) Dengan hati-hati mengintip ke permukaan bulan:

Integral kedua mengambil bagian:

Apa yang harus Anda perhatikan setelah kami membuka kelanjutan solusi dengan tanda bintang?

Pertama, kita tidak kehilangan integral pertama , dimana kita langsung eksekusi membawa di bawah tanda diferensial. Kedua, jangan lupa konstanta naas sebelum tanda kurung besar dan jangan bingung dengan tanda-tanda saat menggunakan rumus . Kurung besar, bagaimanapun, lebih mudah untuk membuka segera di langkah berikutnya.

Sisanya adalah masalah teknik, hanya pengalaman yang tidak memadai dalam memecahkan integral dapat menyebabkan kesulitan.

Ya, tidak sia-sia bahwa rekan-rekan terkemuka matematikawan Prancis Fourier marah - bagaimana dia berani menguraikan fungsi menjadi deret trigonometri?! =) Omong-omong, mungkin semua orang tertarik dengan arti praktis dari tugas yang dimaksud. Fourier sendiri mengerjakan model matematika konduksi panas, dan kemudian rangkaian yang dinamai menurut namanya mulai digunakan untuk mempelajari banyak proses periodik, yang tampaknya tidak terlihat di dunia luar. Sekarang, omong-omong, saya mendapati diri saya berpikir bahwa bukan kebetulan saya membandingkan grafik contoh kedua dengan ritme jantung periodik. Yang berminat bisa berkenalan dengan aplikasi praktisnya Transformasi Fourier dari sumber pihak ketiga. ... Meskipun lebih baik tidak - itu akan dikenang sebagai Cinta Pertama =)

3) Mengingat tautan lemah yang disebutkan berulang kali, kami menangani koefisien ketiga:

Mengintegrasikan berdasarkan bagian:

Kami mengganti koefisien Fourier yang ditemukan ke dalam rumus , jangan lupa untuk membagi koefisien nol menjadi dua:

Mari kita plot jumlah seri. Mari kita ulangi prosedur secara singkat: pada interval kita membuat garis, dan pada interval - garis. Dengan nilai nol "x", kami menempatkan titik di tengah "lompatan" celah dan "meniru" grafik untuk periode yang berdekatan:

Di "persimpangan" periode, jumlahnya juga akan sama dengan titik tengah "lompatan" celah.

Siap. Saya mengingatkan Anda bahwa fungsi itu sendiri didefinisikan secara kondisional hanya pada setengah interval dan, jelas, bertepatan dengan jumlah deret pada interval

Menjawab:

Kadang-kadang fungsi yang diberikan sepotong-sepotong juga kontinu pada periode ekspansi. Contoh paling sederhana: . Keputusan (Lihat Bohan Jilid 2) sama seperti pada dua contoh sebelumnya: meskipun kontinuitas fungsi pada titik , masing-masing koefisien Fourier dinyatakan sebagai jumlah dari dua integral.

Dalam interval perpisahan titik diskontinuitas jenis pertama dan / atau titik "persimpangan" dari grafik mungkin lebih (dua, tiga, dan secara umum sembarang terakhir jumlah). Jika suatu fungsi dapat diintegralkan pada setiap bagian, maka fungsi tersebut juga dapat diperluas dalam deret Fourier. Tapi dari pengalaman praktis, saya tidak ingat kaleng seperti itu. Namun demikian, ada tugas yang lebih sulit daripada yang hanya dipertimbangkan, dan di akhir artikel untuk semua orang ada tautan ke seri Fourier dengan kompleksitas yang meningkat.

Sementara itu, mari kita bersantai, bersandar di kursi kita dan merenungkan hamparan bintang yang tak berujung:

Contoh 5

Perluas fungsi tersebut menjadi deret Fourier pada interval dan plot jumlah deret tersebut.

Dalam tugas ini, fungsi kontinu pada interval setengah dekomposisi, yang menyederhanakan solusi. Semuanya sangat mirip dengan Contoh No. 2. Tidak ada jalan keluar dari pesawat ruang angkasa - Anda harus memutuskan =) Contoh desain perkiraan di akhir pelajaran, jadwal terlampir.

Perluasan deret Fourier dari fungsi genap dan ganjil

Dengan fungsi genap dan ganjil, proses penyelesaian masalah terasa disederhanakan. Dan itulah kenapa. Mari kita kembali ke perluasan fungsi dalam deret Fourier pada periode "dua pi" dan periode sewenang-wenang "dua bir" .

Mari kita asumsikan bahwa fungsi kita genap. Suku umum deret tersebut, seperti yang Anda lihat, mengandung cosinus genap dan sinus ganjil. Dan jika kita menguraikan fungsi BAHKAN, lalu mengapa kita membutuhkan sinus ganjil?! Mari kita atur ulang koefisien yang tidak perlu: .

Dengan demikian, fungsi genap berkembang menjadi deret Fourier hanya dalam cosinus:

Sejauh integral dari fungsi genap atas segmen integrasi simetris terhadap nol dapat digandakan, maka sisa koefisien Fourier juga disederhanakan.

Untuk rentang:

Untuk interval arbitrer:

Contoh buku teks yang ditemukan di hampir semua buku teks kalkulus mencakup perluasan fungsi genap . Selain itu, mereka telah berulang kali bertemu dalam praktik pribadi saya:

Contoh 6

Diberikan sebuah fungsi. Diperlukan:

1) perluas fungsinya menjadi deret Fourier dengan periode , di mana adalah bilangan positif arbitrer;

2) tuliskan ekspansi pada interval , bangun fungsi dan buat grafik jumlah total deret tersebut .

Keputusan: di paragraf pertama, diusulkan untuk menyelesaikan masalah secara umum, dan ini sangat nyaman! Akan ada kebutuhan - ganti saja nilai Anda.

1) Dalam masalah ini, periode ekspansi , setengah periode . Dalam tindakan selanjutnya, khususnya selama integrasi, "el" dianggap sebagai konstanta

Fungsinya genap, yang berarti bahwa ia berkembang menjadi deret Fourier hanya dalam cosinus: .

Koefisien Fourier dicari dengan rumus . Perhatikan keunggulan absolut mereka. Pertama, integrasi dilakukan pada segmen positif dari ekspansi, yang berarti bahwa kami dengan aman menyingkirkan modul , mempertimbangkan hanya "x" dari dua bagian. Dan, kedua, integrasi terasa disederhanakan.