T tipe kelas: ONZ (penemuan pengetahuan baru - sesuai dengan teknologi metode aktivitas pengajaran).

Tujuan dasar:

1. Deduksi metode pembagian pecahan dengan bilangan asli;
2. Untuk membentuk kemampuan melakukan pembagian pecahan dengan bilangan asli;
3. Ulangi dan konsolidasikan pembagian pecahan;
4. Melatih kemampuan mengurangi pecahan, menganalisis dan memecahkan masalah.

Materi demo peralatan:

1. Tugas untuk memperbarui pengetahuan:

Bandingkan ekspresi:

Referensi:

2. Tugas percobaan (individu).

1. Lakukan pembagian:

2. Lakukan pembagian tanpa melakukan seluruh rangkaian perhitungan: .

Referensi:

• Saat membagi pecahan dengan bilangan asli, Anda dapat mengalikan penyebut dengan angka ini, dan membiarkan pembilangnya tetap sama.

• Jika pembilangnya habis dibagi dengan bilangan asli, maka saat membagi pecahan dengan angka ini, Anda dapat membagi pembilangnya dengan angka tersebut, dan membiarkan penyebutnya tetap sama.

Selama kelas

I. Motivasi (penetapan diri) untuk kegiatan belajar.

Tujuan dari panggung:

1. Menyelenggarakan aktualisasi kebutuhan siswa pada bagian kegiatan pendidikan (“harus”);
2. Mengatur kegiatan siswa untuk membangun kerangka tematik (“Saya bisa”);
3. Untuk menciptakan kondisi bagi siswa untuk memiliki kebutuhan internal untuk dimasukkan dalam kegiatan pendidikan ("Saya ingin").

Organisasi proses pendidikan pada tahap I.

Halo! Saya senang melihat Anda semua di kelas matematika. Saya berharap itu saling menguntungkan.

Teman-teman, pengetahuan baru apa yang kamu peroleh di pelajaran terakhir? (Membagi pecahan).

Benar. Apa yang membantu Anda membagi pecahan? (Aturan, properti).

Di mana kita membutuhkan pengetahuan ini? (Dalam contoh, persamaan, tugas).

Sudah selesai dilakukan dengan baik! Anda melakukannya dengan baik di pelajaran terakhir. Apakah Anda ingin menemukan sendiri pengetahuan baru hari ini? (Ya).

Lalu - pergi! Dan moto pelajarannya adalah pernyataan “Matematika tidak dapat dipelajari dengan melihat bagaimana tetangga Anda melakukannya!”.

II. Aktualisasi pengetahuan dan fiksasi kesulitan individu dalam tindakan percobaan.

Tujuan dari panggung:

1. Untuk mengatur aktualisasi metode tindakan yang dipelajari, cukup untuk membangun pengetahuan baru. Perbaiki metode ini secara verbal (dalam ucapan) dan secara simbolis (standar) dan umumkan;
2. Mengatur aktualisasi operasi mental dan proses kognitif yang cukup untuk membangun pengetahuan baru;
3. Memotivasi untuk tindakan percobaan dan implementasi dan pembenarannya yang independen;
4. Menyajikan tugas individu untuk tindakan percobaan dan menganalisisnya untuk mengidentifikasi konten pendidikan baru;
5. Mengatur fiksasi tujuan pendidikan dan topik pelajaran;
6. Mengatur pelaksanaan tindakan percobaan dan memperbaiki kesulitan;
7. Mengatur analisis tanggapan yang diterima dan mencatat kesulitan individu dalam melakukan tindakan percobaan atau membenarkannya.

Organisasi proses pendidikan pada tahap II.

Secara frontal, menggunakan tablet (papan individu).

1. Bandingkan ekspresi:

(Ungkapan ini sama)

Hal menarik apa yang Anda perhatikan? (Pembilang dan penyebut bagi hasil, pembilang dan penyebut dari pembagi di setiap ekspresi bertambah dengan jumlah yang sama kali. Jadi, dividen dan pembagi dalam ekspresi diwakili oleh pecahan yang sama satu sama lain).

Temukan arti ungkapan itu dan tuliskan di tablet. (2)

Bagaimana cara menulis angka ini sebagai pecahan?

Bagaimana Anda melakukan tindakan pembagian? (Anak-anak mengucapkan aturan, guru menggantung huruf di papan tulis)

2. Hitung dan catat hanya hasilnya:

3. Jumlahkan hasil Anda dan tuliskan jawaban Anda. (2)

Apa nama angka yang diperoleh dalam tugas 3? (Alami)

Apakah Anda pikir Anda dapat membagi pecahan dengan bilangan asli? (Ya, kami akan mencoba)

Coba ini.

4. Tugas individu (percobaan).

Lakukan pembagian: (contoh a saja)

Aturan apa yang Anda gunakan untuk membagi? (Menurut aturan pembagian pecahan dengan pecahan)

Dan sekarang bagi pecahan dengan bilangan asli dengan cara yang lebih sederhana, tanpa melakukan seluruh rangkaian perhitungan: (contoh b). Saya memberi Anda 3 detik untuk ini.

Siapa yang gagal menyelesaikan tugas dalam 3 detik?

Siapa yang membuatnya? (Tidak ada seperti itu)

Mengapa? (Kami tidak tahu jalannya)

Apa yang kamu dapatkan? (Kesulitan)

Menurutmu apa yang akan kita lakukan di kelas? (Membagi pecahan dengan bilangan asli)

Itu benar, buka buku catatan Anda dan tuliskan topik pelajaran "Membagi pecahan dengan bilangan asli."

Mengapa topik ini terdengar baru padahal Anda sudah tahu cara membagi pecahan? (Perlu cara baru)

Benar. Hari ini kita akan membuat teknik yang menyederhanakan pembagian pecahan dengan bilangan asli.

AKU AKU AKU. Identifikasi lokasi dan penyebab kesulitan.

Tujuan dari panggung:

1. Atur pemulihan operasi yang telah selesai dan perbaiki (verbal dan simbolis) tempat - langkah, operasi, di mana kesulitan muncul;
2. Untuk mengatur korelasi tindakan siswa dengan metode (algoritma) yang digunakan dan fiksasi dalam pidato eksternal penyebab kesulitan - pengetahuan, keterampilan, atau kemampuan khusus yang tidak cukup untuk memecahkan masalah awal jenis ini.

Organisasi proses pendidikan pada tahap III.

Tugas apa yang harus Anda selesaikan? (Membagi pecahan dengan bilangan asli tanpa melakukan seluruh rangkaian perhitungan)

Apa yang menyebabkan Anda kesulitan? (Tidak dapat menyelesaikan dalam waktu singkat dengan cara yang cepat)

Apa tujuan pelajaran kita? (Temukan cara cepat untuk membagi pecahan dengan bilangan asli)

Apa yang akan membantu Anda? (Sudah diketahui aturan pembagian pecahan)

IV. Konstruksi proyek jalan keluar dari kesulitan.

Tujuan dari panggung:

1. Klarifikasi tujuan proyek;
2. Pilihan metode (klarifikasi);
3. Definisi sarana (algoritma);
4. Membangun rencana untuk mencapai tujuan.

Organisasi proses pendidikan pada tahap IV.

Mari kita kembali ke kasus uji. Apakah Anda mengatakan bahwa Anda membagi dengan aturan pembagian pecahan? (Ya)

Untuk melakukan ini, ganti bilangan asli dengan pecahan? (Ya)

Langkah apa yang menurut Anda bisa Anda lewati?

(Rantai solusi terbuka di papan:

Menganalisis dan menarik kesimpulan. (Langkah 1)

Jika tidak ada jawaban, maka kami merangkum melalui pertanyaan:

Ke mana perginya pembagi alami? (ke penyebutnya)

Apakah pembilangnya berubah? (Bukan)

Jadi langkah apa yang bisa "dihilangkan"? (Langkah 1)

Rencana aksi:

• Kalikan penyebut pecahan dengan bilangan asli.
• Pembilangnya tidak berubah.
• Kami mendapatkan pecahan baru.

V. Pelaksanaan proyek yang dibangun.

Tujuan dari panggung:

1. Mengatur interaksi komunikatif untuk mengimplementasikan proyek yang dibangun yang bertujuan untuk memperoleh pengetahuan yang hilang;
2. Atur fiksasi metode tindakan yang dibangun dalam ucapan dan tanda (dengan bantuan standar);
3. Mengatur solusi dari masalah asli dan merekam mengatasi kesulitan;
4. Mengatur klarifikasi sifat umum dari pengetahuan baru.

Organisasi proses pendidikan pada tahap V.

Sekarang jalankan test case dengan cara baru dengan cepat.

Apakah Anda dapat menyelesaikan tugas dengan cepat sekarang? (Ya)

Jelaskan bagaimana Anda melakukannya? (Anak-anak berbicara)

Ini berarti bahwa kami telah menerima pengetahuan baru: aturan untuk membagi pecahan dengan bilangan asli.

Sudah selesai dilakukan dengan baik! Ucapkan secara berpasangan.

Kemudian salah satu siswa berbicara di depan kelas. Kami memperbaiki aturan-algoritma secara lisan dan dalam bentuk standar di papan tulis.

Sekarang masukkan penunjukan huruf dan tuliskan rumus untuk aturan kita.

Siswa menulis di papan tulis, mengucapkan aturan: saat membagi pecahan dengan bilangan asli, Anda dapat mengalikan penyebut dengan angka ini, dan membiarkan pembilangnya sama.

(Semua orang menulis rumus di buku catatan).

Dan sekarang sekali lagi menganalisis rantai penyelesaian tugas percobaan, memberikan perhatian khusus pada jawabannya. Apa yang mereka lakukan? (Pembilang pecahan 15 dibagi (dikurangi) dengan angka 3)

Nomor apa ini? (Alami, pembagi)

Jadi bagaimana lagi Anda bisa membagi pecahan dengan bilangan asli? (Periksa: jika pembilang suatu pecahan habis dibagi dengan bilangan asli ini, maka pembilangnya dapat dibagi dengan bilangan ini, tulis hasilnya ke dalam pembilang pecahan baru, dan biarkan penyebutnya tetap sama)

Tulis metode ini dalam bentuk rumus. (Siswa menuliskan aturan di papan tulis. Semua orang menuliskan rumus di buku catatan.)

Mari kita kembali ke metode pertama. Bisakah itu digunakan jika a:n? (Ya, ini adalah cara umum)

Dan kapan metode kedua nyaman digunakan? (Bila pembilang suatu pecahan habis dibagi dengan bilangan asli tanpa sisa)

VI. Konsolidasi utama dengan pengucapan dalam pidato eksternal.

Tujuan dari panggung:

1. Untuk mengatur asimilasi oleh anak-anak dari metode tindakan baru ketika memecahkan masalah khas dengan pengucapan mereka dalam pidato eksternal (secara frontal, berpasangan atau kelompok).

Organisasi proses pendidikan pada tahap VI.

Hitung dengan cara baru:

• No. 363 (a; d) - tampil di papan tulis, mengucapkan aturan.
• No. 363 (d; f) - berpasangan dengan tanda centang pada sampel.

VII. Pekerjaan mandiri dengan self test sesuai standar.

Tujuan dari panggung:

1. Untuk mengatur pemenuhan tugas mandiri siswa untuk mode tindakan baru;
2. Menyelenggarakan tes mandiri berdasarkan perbandingan dengan standar;
3. Berdasarkan hasil kerja mandiri, atur refleksi tentang asimilasi mode tindakan baru.

Organisasi proses pendidikan pada tahap VII.

Hitung dengan cara baru:

• 363 (b; c)

Siswa memeriksa standar, mencatat kebenaran kinerja. Penyebab kesalahan dianalisis dan kesalahan diperbaiki.

Guru bertanya kepada siswa yang melakukan kesalahan, apa alasannya?

Pada tahap ini, penting bahwa setiap siswa secara mandiri memeriksa pekerjaan mereka.

VIII. Inklusi dalam sistem pengetahuan dan pengulangan.

Tujuan dari panggung:

1. Mengatur identifikasi batas-batas penerapan pengetahuan baru;
2. Atur pengulangan konten pendidikan yang diperlukan untuk memastikan kesinambungan yang bermakna.

Organisasi proses pendidikan pada tahap VIII.

Mengatur fiksasi kesulitan yang belum terselesaikan dalam pelajaran sebagai arahan untuk kegiatan pembelajaran di masa depan;

Atur diskusi dan pencatatan pekerjaan rumah.

Organisasi proses pendidikan pada tahap IX.

1. Dialog:

Guys, pengetahuan baru apa yang kamu temukan hari ini? (Kami belajar membagi pecahan dengan bilangan asli dengan cara yang sederhana)

Merumuskan cara umum. (Mereka bilang)

Dengan cara apa, dan dalam kasus apa Anda masih dapat menggunakannya? (Mereka bilang)

Apa keuntungan dari metode baru?

Sudahkah kita mencapai tujuan pelajaran kita? (Ya)

Pengetahuan apa yang Anda gunakan untuk mencapai tujuan? (Mereka bilang)

Apakah Anda berhasil?

Apa kesulitannya?

2. Pekerjaan rumah: klausul 3.2.4.; 365 (l, n, o, p); 370.

3. Guru: Saya senang bahwa hari ini semua orang aktif, berhasil menemukan jalan keluar dari kesulitan. Dan yang paling penting, mereka bukan tetangga ketika yang baru dibuka dan dikonsolidasikan. Terima kasih atas pelajarannya anak-anak!

Perkalian dan pembagian pecahan.

Perhatian!
Ada tambahan
materi dalam Bagian Khusus 555.
Bagi mereka yang sangat "tidak terlalu..."
Dan bagi mereka yang "sangat banyak...")

Operasi ini jauh lebih bagus daripada penjumlahan-pengurangan! Karena lebih mudah. Saya ingatkan Anda: untuk mengalikan pecahan dengan pecahan, Anda perlu mengalikan pembilangnya (ini akan menjadi pembilang hasilnya) dan penyebutnya (ini akan menjadi penyebutnya). Yaitu:

Sebagai contoh:

Semuanya sangat sederhana. Dan tolong jangan mencari penyebut yang sama! Tidak perlu di sini ...

Untuk membagi pecahan dengan pecahan, Anda perlu membalik kedua(ini penting!) pecahan dan kalikan, yaitu:

Sebagai contoh:

Jika perkalian atau pembagian dengan bilangan bulat dan pecahan tertangkap, tidak apa-apa. Seperti halnya penjumlahan, kita membuat pecahan dari bilangan bulat dengan penyebut satuan - dan lanjutkan! Sebagai contoh:

Di sekolah menengah, Anda sering kali harus berurusan dengan pecahan tiga tingkat (atau bahkan empat tingkat!). Sebagai contoh:

Bagaimana cara membawa pecahan ini ke bentuk yang layak? Ya, sangat mudah! Gunakan pembagian melalui dua titik:

Tapi jangan lupa tentang urutan pembagiannya! Tidak seperti perkalian, ini sangat penting di sini! Tentu saja, kita tidak akan mengacaukan 4:2 atau 2:4. Tetapi dalam pecahan tiga lantai mudah untuk membuat kesalahan. Harap dicatat, misalnya:

Dalam kasus pertama (ekspresi di sebelah kiri):

Yang kedua (ekspresi di sebelah kanan):

Rasakan perbedaan nya? 4 dan 1/9!

Bagaimana urutan pembagiannya? Atau kurung, atau (seperti di sini) panjang garis horizontal. Kembangkan mata. Dan jika tidak ada tanda kurung atau tanda hubung, seperti:

lalu bagi-kalikan berurutan, kiri ke kanan!

Dan trik lain yang sangat sederhana dan penting. Dalam tindakan dengan derajat, itu akan berguna untuk Anda! Mari kita bagi unit dengan pecahan apa pun, misalnya, dengan 13/15:

Tembakan telah berbalik! Dan itu selalu terjadi. Saat membagi 1 dengan pecahan apa pun, hasilnya adalah pecahan yang sama, hanya terbalik.

Itu semua tindakan dengan pecahan. Masalahnya cukup sederhana, tetapi memberikan lebih dari cukup kesalahan. Perhatikan saran praktis, dan akan ada lebih sedikit dari mereka (kesalahan)!

Tip Praktis:

1. Hal terpenting saat bekerja dengan ekspresi pecahan adalah akurasi dan perhatian! Ini bukan kata-kata umum, bukan harapan baik! Ini adalah kebutuhan yang parah! Lakukan semua perhitungan pada ujian sebagai tugas penuh, dengan konsentrasi dan kejelasan. Lebih baik menulis dua baris ekstra dalam konsep daripada mengacaukan saat menghitung di kepala Anda.

2. Dalam contoh dengan berbagai jenis pecahan - buka pecahan biasa.

3. Kami mengurangi semua pecahan sampai berhenti.

4. Kami mengurangi ekspresi pecahan multi-level menjadi yang biasa menggunakan pembagian melalui dua titik (kami mengikuti urutan pembagian!).

5. Kami membagi unit menjadi pecahan dalam pikiran kami, cukup dengan membalik pecahan itu.

Berikut adalah tugas yang harus Anda selesaikan. Jawaban diberikan setelah semua tugas. Gunakan materi topik ini dan saran praktis. Perkirakan berapa banyak contoh yang dapat Anda selesaikan dengan benar. Pertama kali! Tanpa kalkulator! Dan menarik kesimpulan yang benar...

Ingat jawaban yang benar diperoleh dari kedua (terutama yang ketiga) waktu - tidak masuk hitungan! Begitulah kerasnya hidup.

Jadi, selesaikan dalam mode ujian ! Omong-omong, ini adalah persiapan untuk ujian. Kami memecahkan sebuah contoh, kami memeriksa, kami memecahkan yang berikut ini. Kami memutuskan segalanya - kami memeriksa lagi dari yang pertama hingga yang terakhir. Hanya setelah lihat jawabannya.

Menghitung:

Apa anda sudah memutuskan?

Mencari jawaban yang cocok dengan Anda. Saya secara khusus menuliskannya dalam kekacauan, jauh dari godaan, sehingga untuk berbicara ... Ini dia, jawabannya, ditulis dengan titik koma.

0; 17/22; 3/4; 2/5; 1; 25.

Dan sekarang kita menarik kesimpulan. Jika semuanya berhasil - senang untuk Anda! Perhitungan dasar dengan pecahan bukan masalah Anda! Anda dapat melakukan hal-hal yang lebih serius. Jika tidak...

Jadi Anda memiliki satu dari dua masalah. Atau keduanya sekaligus.) Kurangnya pengetahuan dan (atau) kurangnya perhatian. Tapi ini larut Masalah.

Jika Anda menyukai situs ini...

Omong-omong, saya punya beberapa situs yang lebih menarik untuk Anda.)

Anda dapat berlatih memecahkan contoh dan mengetahui level Anda. Pengujian dengan verifikasi instan. Belajar - dengan penuh minat!)

Anda bisa berkenalan dengan fungsi dan turunannya.

Apakah divisi. Pada artikel ini kita akan berbicara tentang pembagian pecahan biasa. Pertama, kami akan memberikan aturan untuk membagi pecahan biasa dan melihat contoh pembagian pecahan. Selanjutnya, kita akan fokus pada pembagian pecahan biasa dengan bilangan asli dan bilangan dengan pecahan. Akhirnya, pertimbangkan bagaimana pembagian pecahan biasa dengan bilangan campuran dilakukan.

Navigasi halaman.

Pembagian pecahan biasa dengan pecahan biasa

Diketahui bahwa pembagian adalah kebalikan dari perkalian (lihat hubungan antara pembagian dan perkalian). Artinya, pembagian melibatkan menemukan faktor yang tidak diketahui ketika produk dan faktor lain diketahui. Pengertian pembagian yang sama dipertahankan ketika membagi pecahan biasa.

Perhatikan contoh pembagian pecahan biasa.

Perhatikan bahwa kita tidak boleh melupakan pengurangan pecahan dan tentang pemilihan bagian bilangan bulat dari pecahan biasa.

Pembagian pecahan biasa dengan bilangan asli

Kami akan segera memberikannya aturan pembagian pecahan dengan bilangan asli: untuk membagi pecahan a / b dengan bilangan asli n, Anda harus membiarkan pembilangnya sama, dan mengalikan penyebutnya dengan n, yaitu .

Aturan pembagian ini mengikuti langsung dari aturan pembagian untuk pecahan biasa. Memang, representasi bilangan asli sebagai pecahan mengarah ke persamaan berikut: .

Perhatikan contoh pembagian pecahan dengan angka.

Contoh.

Bagilah pecahan 16/45 dengan bilangan asli 12.

Keputusan.

Dengan aturan membagi pecahan dengan angka, kami memiliki . Ayo lakukan pengurangan: . Divisi ini selesai.

Menjawab:

.

Pembagian bilangan asli dengan pecahan biasa

Aturan untuk membagi pecahan serupa aturan pembagian bilangan asli dengan pecahan biasa: untuk membagi bilangan asli n dengan pecahan biasa a / b, Anda perlu mengalikan bilangan n dengan kebalikan dari pecahan a / b.

Menurut aturan bersuara, , dan aturan mengalikan bilangan asli dengan pecahan biasa memungkinkan Anda untuk menulis ulang dalam bentuk.

Pertimbangkan sebuah contoh.

Contoh.

Bagilah bilangan asli 25 dengan pecahan 15/28.

Keputusan.

Mari kita beralih dari pembagian ke perkalian, kita punya . Setelah pengurangan dan pemilihan bagian bilangan bulat, kita mendapatkan .

Menjawab:

.

Pembagian pecahan biasa dengan campuran bilangan

Pembagian pecahan biasa dengan campuran bilangan mudah direduksi menjadi pembagian pecahan biasa. Untuk melakukan ini, cukup dengan

Terakhir kali kita belajar cara menjumlahkan dan mengurangkan pecahan (lihat pelajaran "Penjumlahan dan pengurangan pecahan"). Momen tersulit dalam tindakan tersebut adalah membawa pecahan ke penyebut yang sama.

Sekarang saatnya berurusan dengan perkalian dan pembagian. Kabar baiknya adalah bahwa operasi ini bahkan lebih mudah daripada penjumlahan dan pengurangan. Untuk memulainya, pertimbangkan kasus paling sederhana, ketika ada dua pecahan positif tanpa bagian bilangan bulat yang dibedakan.

Untuk mengalikan dua pecahan, Anda perlu mengalikan pembilang dan penyebutnya secara terpisah. Angka pertama akan menjadi pembilang pecahan baru, dan yang kedua akan menjadi penyebutnya.

Untuk membagi dua pecahan, Anda perlu mengalikan pecahan pertama dengan detik "terbalik".

Penamaan:

Dari definisi berikut bahwa pembagian pecahan dikurangi menjadi perkalian. Untuk membalik pecahan, cukup tukar pembilang dan penyebutnya. Oleh karena itu, seluruh pelajaran yang akan kita bahas terutama tentang perkalian.

Sebagai hasil dari perkalian, pecahan yang dikurangi dapat muncul (dan sering kali memang muncul) - tentu saja, itu harus dikurangi. Jika, setelah semua pengurangan, pecahan itu ternyata salah, seluruh bagian harus dibedakan di dalamnya. Tapi apa yang sebenarnya tidak akan terjadi dengan perkalian adalah pengurangan ke penyebut yang sama: tidak ada metode silang, faktor maksimum dan kelipatan persekutuan terkecil.

Menurut definisi kita memiliki:

Perkalian pecahan dengan bagian bilangan bulat dan pecahan negatif

Jika ada bagian bilangan bulat dalam pecahan, mereka harus dikonversi menjadi yang tidak tepat - dan baru kemudian dikalikan sesuai dengan skema yang diuraikan di atas.

Jika ada minus pada pembilang suatu pecahan, pada penyebut atau di depannya, dapat dikeluarkan dari perkalian atau dihilangkan sama sekali menurut aturan berikut:

1. Plus kali minus memberi minus;
2. Dua negatif membuat afirmatif.

Sampai sekarang, aturan-aturan ini hanya ditemui ketika menjumlahkan dan mengurangkan pecahan negatif, ketika diperlukan untuk menyingkirkan seluruh bagian. Untuk suatu produk, mereka dapat digeneralisasi untuk "membakar" beberapa minus sekaligus:

1. Kami mencoret minus berpasangan sampai benar-benar hilang. Dalam kasus ekstrem, satu minus dapat bertahan - yang tidak menemukan kecocokan;
2. Jika tidak ada minus yang tersisa, operasi selesai - Anda dapat mulai mengalikan. Jika minus terakhir tidak dicoret, karena tidak menemukan pasangan, kami mengeluarkannya dari batas perkalian. Anda mendapatkan pecahan negatif.

Tugas. Temukan nilai ekspresi:

Kami menerjemahkan semua pecahan menjadi pecahan yang tidak tepat, dan kemudian kami menghilangkan minus di luar batas perkalian. Apa yang tersisa dikalikan menurut aturan biasa. Kita mendapatkan:

Izinkan saya mengingatkan Anda sekali lagi bahwa minus yang muncul sebelum pecahan dengan bagian bilangan bulat yang disorot merujuk secara khusus ke seluruh pecahan, dan bukan hanya ke bagian bilangan bulatnya (ini berlaku untuk dua contoh terakhir).

Perhatikan juga angka negatif: ketika dikalikan, mereka diapit dalam tanda kurung. Ini dilakukan untuk memisahkan tanda minus dari tanda perkalian dan membuat seluruh notasi lebih akurat.

Mengurangi pecahan dengan cepat

Perkalian adalah operasi yang sangat melelahkan. Angka-angka di sini cukup besar, dan untuk menyederhanakan tugas, Anda dapat mencoba mengurangi pecahan lebih banyak lagi sebelum perkalian. Memang, pada dasarnya, pembilang dan penyebut pecahan adalah faktor biasa, dan oleh karena itu, mereka dapat direduksi menggunakan sifat dasar pecahan. Lihatlah contoh-contohnya:

Tugas. Temukan nilai ekspresi:

Menurut definisi kita memiliki:

Dalam semua contoh, angka-angka yang telah dikurangi dan yang tersisa ditandai dengan warna merah.

Harap dicatat: dalam kasus pertama, pengganda dikurangi sepenuhnya. Unit tetap di tempatnya, yang, secara umum, dapat dihilangkan. Pada contoh kedua, tidak mungkin mencapai pengurangan total, tetapi jumlah total perhitungan masih menurun.

Namun, dalam hal apapun jangan gunakan teknik ini saat menjumlahkan dan mengurangkan pecahan! Ya, terkadang ada angka serupa yang ingin Anda kurangi. Di sini, lihat:

Anda tidak bisa melakukan itu!

Kesalahan terjadi karena fakta bahwa ketika menambahkan pecahan, jumlah muncul di pembilang pecahan, dan bukan produk angka. Oleh karena itu, tidak mungkin untuk menerapkan sifat utama pecahan, karena sifat ini secara khusus berhubungan dengan perkalian bilangan.

Tidak ada alasan lain untuk mengurangi pecahan, jadi solusi yang benar untuk masalah sebelumnya terlihat seperti ini:

Solusi yang benar:

Seperti yang Anda lihat, jawaban yang benar ternyata tidak begitu indah. Secara umum, berhati-hatilah.

87. Penjumlahan pecahan.

Penjumlahan pecahan memiliki banyak kesamaan dengan penjumlahan bilangan bulat. Penjumlahan pecahan adalah tindakan yang terdiri dari fakta bahwa beberapa bilangan (suku) yang diberikan digabungkan menjadi satu bilangan (jumlah), yang berisi semua satuan dan pecahan dari satuan suku.

Kami akan mempertimbangkan tiga kasus secara bergantian:

1. Penjumlahan pecahan dengan penyebut yang sama.
2. Penjumlahan pecahan dengan penyebut berbeda.
3. Penjumlahan bilangan campuran.

1. Penjumlahan pecahan dengan penyebut yang sama.

Pertimbangkan sebuah contoh: 1 / 5 + 2 / 5 .

Ambil ruas AB (Gbr. 17), ambil satu kesatuan dan bagi menjadi 5 bagian yang sama, maka bagian AC ruas ini akan sama dengan 1/5 ruas AB, dan bagian CD yang sama akan sama dengan 2/5 AB.

Dapat dilihat dari gambar bahwa jika kita mengambil segmen AD, maka akan sama dengan 3/5 AB; tetapi segmen AD justru merupakan penjumlahan dari segmen AC dan CD. Jadi, kita dapat menulis:

1 / 5 + 2 / 5 = 3 / 5

Dengan mempertimbangkan suku-suku ini dan jumlah yang dihasilkan, kita melihat bahwa pembilang dari jumlah tersebut diperoleh dengan menambahkan pembilang dari suku-suku tersebut, dan penyebutnya tetap tidak berubah.

Dari sini kita mendapatkan aturan berikut: Untuk menjumlahkan pecahan dengan penyebut yang sama, Anda harus menambahkan pembilangnya dan meninggalkan penyebut yang sama.

Pertimbangkan sebuah contoh:

2. Penjumlahan pecahan dengan penyebut berbeda.

Mari kita menjumlahkan pecahan: 3/4 + 3/8 Pertama, mereka perlu direduksi menjadi penyebut persekutuan terendah:

Tautan perantara 6/8 + 3/8 tidak dapat ditulis; kami telah menulisnya di sini untuk kejelasan yang lebih besar.

Jadi, untuk menjumlahkan pecahan dengan penyebut yang berbeda, Anda harus terlebih dahulu membawanya ke penyebut yang paling rendah, menambahkan pembilangnya dan menandatangani penyebut yang sama.

Pertimbangkan sebuah contoh (kami akan menulis faktor tambahan untuk pecahan yang sesuai):

3. Penjumlahan bilangan campuran.

Mari kita tambahkan angkanya: 2 3/8 + 3 5/6.

Mari kita pertama-tama membawa bagian pecahan dari angka kita ke penyebut yang sama dan menulis ulang lagi:

Sekarang tambahkan bagian bilangan bulat dan pecahan secara berurutan:

88. Pengurangan pecahan.

Pengurangan pecahan didefinisikan dengan cara yang sama seperti pengurangan bilangan bulat. Ini adalah tindakan di mana, mengingat jumlah dari dua istilah dan salah satunya, istilah lain ditemukan. Mari kita pertimbangkan tiga kasus secara bergantian:

1. Pengurangan pecahan dengan penyebut yang sama.
2. Pengurangan pecahan dengan penyebut berbeda.
3. Pengurangan bilangan campuran.

1. Pengurangan pecahan dengan penyebut yang sama.

Pertimbangkan sebuah contoh:

13 / 15 - 4 / 15

Mari kita ambil segmen AB (Gbr. 18), ambil sebagai satu kesatuan dan bagi menjadi 15 bagian yang sama; maka bagian AC dari segmen ini akan menjadi 1/15 AB, dan bagian AD dari segmen yang sama akan sesuai dengan 13/15 AB. Mari kita sisihkan segmen lain ED, sama dengan 4/15 AB.

Kita perlu mengurangi 4/15 dari 13/15. Dalam gambar, ini berarti bahwa segmen ED harus dikurangi dari segmen AD. Akibatnya, segmen AE akan tetap ada, yaitu 9/15 segmen AB. Jadi kita bisa menulis:

Contoh yang kami buat menunjukkan bahwa pembilang dari selisih diperoleh dengan mengurangkan pembilangnya, dan penyebutnya tetap sama.

Oleh karena itu, untuk mengurangkan pecahan dengan penyebut yang sama, Anda perlu mengurangkan pembilang dari pengurangan dari pembilangnya dan meninggalkan penyebut yang sama.

2. Pengurangan pecahan dengan penyebut berbeda.

Contoh. 3/4 - 5/8

Pertama, mari kita kurangi pecahan ini menjadi penyebut bersama terkecil:

Tautan perantara 6 / 8 - 5 / 8 ditulis di sini untuk kejelasan, tetapi dapat dilewati di masa mendatang.

Jadi, untuk mengurangkan pecahan dari pecahan, Anda harus terlebih dahulu membawanya ke penyebut bersama terkecil, kemudian mengurangkan pembilang dari pengurangan dari pembilang dari minuend dan menandatangani penyebut yang sama di bawah perbedaan mereka.

Pertimbangkan sebuah contoh:

3. Pengurangan bilangan campuran.

Contoh. 10 3 / 4 - 7 2 / 3 .

Mari kita bawa bagian pecahan dari minuend dan subtrahend ke penyebut umum terendah:

Kami mengurangi keseluruhan dari keseluruhan dan pecahan dari pecahan. Tetapi ada kasus ketika bagian pecahan dari subtrahend lebih besar dari bagian pecahan dari minuend. Dalam kasus seperti itu, Anda perlu mengambil satu unit dari bagian bilangan bulat dari yang dikurangi, membaginya menjadi bagian-bagian di mana bagian pecahan dinyatakan, dan menambahkan bagian pecahan dari yang dikurangi. Dan kemudian pengurangan akan dilakukan dengan cara yang sama seperti pada contoh sebelumnya:

89. Perkalian pecahan.

Saat mempelajari perkalian pecahan, kita akan mempertimbangkan pertanyaan-pertanyaan berikut:

1. Mengalikan pecahan dengan bilangan bulat.
2. Menemukan pecahan dari bilangan tertentu.
3. Perkalian bilangan bulat dengan pecahan.
4. Mengalikan pecahan dengan pecahan.
5. Perkalian bilangan campuran.
6. Konsep bunga.
7. Menemukan persentase dari angka tertentu. Mari kita pertimbangkan mereka secara berurutan.

1. Mengalikan pecahan dengan bilangan bulat.

Mengalikan pecahan dengan bilangan bulat memiliki arti yang sama dengan mengalikan bilangan bulat dengan bilangan bulat. Mengalikan pecahan (multiplicand) dengan bilangan bulat (multiplier) berarti menyusun jumlah suku yang identik, di mana setiap suku sama dengan perkalian, dan jumlah suku sama dengan pengali.

Jadi, jika Anda perlu mengalikan 1/9 dengan 7, maka ini bisa dilakukan seperti ini:

Kami dengan mudah mendapatkan hasilnya, karena aksinya dikurangi menjadi penjumlahan pecahan dengan penyebut yang sama. Karena itu,

Pertimbangan tindakan ini menunjukkan bahwa mengalikan pecahan dengan bilangan bulat sama dengan meningkatkan pecahan ini sebanyak unit dalam bilangan bulat. Dan karena peningkatan pecahan dicapai dengan meningkatkan pembilangnya

atau dengan mengurangi penyebutnya , maka kita dapat mengalikan pembilang dengan bilangan bulat, atau membagi penyebutnya, jika pembagian seperti itu memungkinkan.

Dari sini kita mendapatkan aturan:

Untuk mengalikan pecahan dengan bilangan bulat, Anda perlu mengalikan pembilangnya dengan bilangan bulat ini dan membiarkan penyebutnya sama atau, jika mungkin, membagi penyebutnya dengan angka ini, membiarkan pembilangnya tidak berubah.

Saat mengalikan, singkatan dimungkinkan, misalnya:

2. Menemukan pecahan dari bilangan tertentu. Ada banyak masalah di mana Anda harus menemukan, atau menghitung, bagian dari angka yang diberikan. Perbedaan antara tugas-tugas ini dan yang lain adalah bahwa mereka memberikan jumlah beberapa objek atau unit pengukuran dan Anda perlu menemukan bagian dari angka ini, yang juga ditunjukkan di sini dengan pecahan tertentu. Untuk memudahkan pemahaman, pertama-tama kami akan memberikan contoh masalah tersebut, dan kemudian memperkenalkan metode penyelesaiannya.

Tugas 1. Saya punya 60 rubel; 1/3 dari uang ini saya habiskan untuk pembelian buku. Berapa harga buku-buku itu?

Tugas 2. Kereta api harus menempuh jarak antara kota A dan B, sama dengan 300 km. Dia telah menempuh 2/3 dari jarak itu. Berapa kilometer ini?

Tugas 3. Ada 400 rumah di desa ini, 3/4nya terbuat dari batu bata, sisanya dari kayu. Ada berapa rumah bata?

Berikut adalah beberapa dari banyak masalah yang harus kita tangani untuk menemukan pecahan dari bilangan tertentu. Mereka biasanya disebut masalah untuk menemukan sebagian kecil dari angka yang diberikan.

Solusi masalah 1. Dari 60 rubel. Saya menghabiskan 1/3 untuk buku; Jadi, untuk mencari harga buku, kamu harus membagi angka 60 dengan 3:

Soal 2 solusi. Arti masalahnya adalah Anda harus menemukan 2 / 3 dari 300 km. Hitung 1/3 pertama dari 300; ini dicapai dengan membagi 300 km dengan 3:

300: 3 = 100 (itu 1/3 dari 300).

Untuk menemukan dua pertiga dari 300, Anda perlu menggandakan hasil bagi, yaitu, kalikan dengan 2:

100 x 2 = 200 (itu 2/3 dari 300).

Solusi masalah 3. Di sini Anda perlu menentukan jumlah rumah bata, yaitu 3/4 dari 400. Mari kita cari dulu 1/4 dari 400,

400: 4 = 100 (itu 1/4 dari 400).

Untuk menghitung tiga perempat dari 400, hasil bagi yang dihasilkan harus dikalikan tiga kali lipat, yaitu dikalikan 3:

100 x 3 = 300 (itu 3/4 dari 400).

Berdasarkan solusi dari masalah ini, kita dapat memperoleh aturan berikut:

Untuk menemukan nilai pecahan dari bilangan tertentu, Anda perlu membagi bilangan ini dengan penyebut pecahan dan mengalikan hasil bagi dengan pembilangnya.

3. Perkalian bilangan bulat dengan pecahan.

Sebelumnya (§ 26) ditetapkan bahwa perkalian bilangan bulat harus dipahami sebagai penambahan suku yang identik (5 x 4 \u003d 5 + 5 + 5 + 5 \u003d 20). Dalam paragraf ini (paragraf 1) ditetapkan bahwa mengalikan pecahan dengan bilangan bulat berarti menemukan jumlah suku identik yang sama dengan pecahan ini.

Dalam kedua kasus, perkalian terdiri dari menemukan jumlah suku yang identik.

Sekarang kita beralih ke mengalikan bilangan bulat dengan pecahan. Di sini kita akan bertemu dengan, misalnya, perkalian: 9 2 / 3. Jelas sekali bahwa definisi perkalian sebelumnya tidak berlaku untuk kasus ini. Ini terbukti dari fakta bahwa kita tidak dapat mengganti perkalian seperti itu dengan menambahkan angka yang sama.

Karena itu, kita harus memberikan definisi baru tentang perkalian, yaitu, dengan kata lain, menjawab pertanyaan tentang apa yang harus dipahami dengan perkalian dengan pecahan, bagaimana tindakan ini harus dipahami.

Arti mengalikan bilangan bulat dengan pecahan jelas dari definisi berikut: mengalikan bilangan bulat (pengganda) dengan pecahan (pengganda) berarti menemukan pecahan pengali ini.

Yaitu, mengalikan 9 dengan 2/3 berarti menemukan 2/3 dari sembilan unit. Dalam paragraf sebelumnya, masalah seperti itu diselesaikan; jadi mudah untuk mengetahui bahwa kita berakhir dengan 6.

Tetapi sekarang muncul pertanyaan yang menarik dan penting: mengapa tindakan yang tampaknya berbeda seperti menemukan jumlah bilangan yang sama dan menemukan pecahan suatu bilangan disebut sebagai kata yang sama "perkalian" dalam aritmatika?

Hal ini terjadi karena tindakan sebelumnya (mengulang bilangan dengan suku beberapa kali) dan tindakan baru (mencari pecahan suatu bilangan) memberikan jawaban atas pertanyaan yang homogen. Ini berarti bahwa kami melanjutkan di sini dari pertimbangan bahwa pertanyaan atau tugas yang homogen diselesaikan dengan satu tindakan yang sama.

Untuk memahami ini, pertimbangkan masalah berikut: “1 m kain berharga 50 rubel. Berapa harga 4 m kain tersebut?

Masalah ini diselesaikan dengan mengalikan jumlah rubel (50) dengan jumlah meter (4), yaitu 50 x 4 = 200 (rubel).

Mari kita ambil masalah yang sama, tetapi di dalamnya jumlah kain akan dinyatakan sebagai bilangan pecahan: “1 m kain berharga 50 rubel. Berapa harga 3/4 m kain tersebut?

Masalah ini juga perlu diselesaikan dengan mengalikan jumlah rubel (50) dengan jumlah meter (3/4).

Anda juga dapat mengubah angka di dalamnya beberapa kali tanpa mengubah arti soal, misalnya, ambil 9/10 m atau 2 3/10 m, dll.

Karena masalah ini memiliki konten yang sama dan hanya berbeda dalam jumlah, kami menyebut tindakan yang digunakan dalam menyelesaikannya dengan kata yang sama - perkalian.

Bagaimana bilangan bulat dikalikan dengan pecahan?

Mari kita ambil angka yang ditemui dalam masalah terakhir:

Menurut definisi, kita harus menemukan 3/4 dari 50. Pertama kita menemukan 1/4 dari 50, lalu 3/4.

1/4 dari 50 adalah 50/4;

3/4 dari 50 adalah .

Karena itu.

Perhatikan contoh lain: 12 5 / 8 = ?

1/8 dari 12 adalah 12/8,

5/8 dari bilangan 12 adalah .

Karena itu,

Dari sini kita mendapatkan aturan:

Untuk mengalikan bilangan bulat dengan pecahan, Anda perlu mengalikan bilangan bulat dengan pembilang pecahan dan menjadikan produk ini pembilangnya, dan menandatangani penyebut pecahan yang diberikan sebagai penyebut.

Kami menulis aturan ini menggunakan huruf:

Untuk memperjelas aturan ini, harus diingat bahwa pecahan dapat dianggap sebagai hasil bagi. Oleh karena itu, berguna untuk membandingkan aturan yang ditemukan dengan aturan untuk mengalikan angka dengan hasil bagi, yang ditetapkan dalam 38

Harus diingat bahwa sebelum melakukan perkalian, Anda harus melakukan (jika memungkinkan) pemotongan, Sebagai contoh:

4. Mengalikan pecahan dengan pecahan. Mengalikan pecahan dengan pecahan memiliki arti yang sama dengan mengalikan bilangan bulat dengan pecahan, yaitu, ketika mengalikan pecahan dengan pecahan, Anda perlu menemukan pecahan di pengali dari pecahan pertama (pengganda).

Yaitu, mengalikan 3/4 dengan 1/2 (setengah) berarti menemukan setengah dari 3/4.

Bagaimana cara mengalikan pecahan dengan pecahan?

Mari kita ambil contoh: 3/4 kali 5/7. Ini berarti Anda harus mencari 5 / 7 dari 3 / 4 . Cari 1/7 pertama dari 3/4 lalu 5/7

1/7 dari 3/4 akan dinyatakan seperti ini:

5/7 angka 3/4 akan dinyatakan sebagai berikut:

Dengan demikian,

Contoh lain: 5/8 kali 4/9.

1/9 dari 5/8 adalah ,

4/9 bilangan 5/8 adalah .

Dengan demikian,

Dari contoh-contoh ini, aturan berikut dapat ditarik:

Untuk mengalikan pecahan dengan pecahan, Anda perlu mengalikan pembilang dengan pembilang, dan penyebut dengan penyebut dan membuat produk pertama pembilang dan produk kedua penyebut produk.

Aturan ini dapat ditulis secara umum sebagai berikut:

Saat mengalikan, perlu untuk membuat (jika mungkin) pengurangan. Pertimbangkan contoh:

5. Perkalian bilangan campuran. Karena bilangan campuran dapat dengan mudah diganti dengan pecahan biasa, keadaan ini biasanya digunakan untuk mengalikan bilangan campuran. Ini berarti bahwa dalam kasus di mana perkalian, atau pengali, atau kedua faktor dinyatakan sebagai bilangan campuran, maka mereka diganti dengan pecahan biasa. Kalikan, misalnya, angka campuran: 2 1/2 dan 3 1/5. Kami mengubah masing-masing menjadi pecahan biasa dan kemudian kami akan mengalikan pecahan yang dihasilkan sesuai dengan aturan mengalikan pecahan dengan pecahan:

Aturan. Untuk mengalikan bilangan campuran, Anda harus terlebih dahulu mengubahnya menjadi pecahan biasa dan kemudian mengalikannya sesuai dengan aturan perkalian pecahan dengan pecahan.

Catatan. Jika salah satu faktornya adalah bilangan bulat, maka perkalian dapat dilakukan berdasarkan hukum distribusi sebagai berikut:

6. Konsep bunga. Saat memecahkan masalah dan saat melakukan berbagai perhitungan praktis, kami menggunakan semua jenis pecahan. Tetapi kita harus ingat bahwa banyak kuantitas tidak mengakui apa pun, tetapi pembagian alami untuk mereka. Misalnya, Anda dapat mengambil seperseratus (1/100) rubel, itu akan menjadi satu sen, dua perseratus adalah 2 kopek, tiga perseratus adalah 3 kopek. Anda dapat mengambil 1/10 rubel, itu akan menjadi "10 kopeck, atau sepeser pun. Anda dapat mengambil seperempat rubel, yaitu 25 kopeck, setengah rubel, yaitu 50 kopeck (lima puluh kopeck). Tetapi mereka praktis tidak 't mengambil, misalnya , 2/7 rubel karena rubel tidak dibagi menjadi tujuh.

Satuan pengukuran berat, yaitu kilogram, memungkinkan, pertama-tama, pembagian desimal, misalnya, 1/10 kg, atau 100 g. Dan pecahan kilogram seperti 1/6, 1/11, 1 /13 jarang terjadi.

Secara umum ukuran (metrik) kami adalah desimal dan memungkinkan pembagian desimal.

Namun, perlu dicatat bahwa sangat berguna dan nyaman dalam berbagai kasus untuk menggunakan metode pembagian kuantitas yang sama (seragam). Pengalaman bertahun-tahun telah menunjukkan bahwa pembagian yang dapat dibenarkan seperti itu adalah pembagian "keseratus". Mari kita pertimbangkan beberapa contoh yang terkait dengan area praktik manusia yang paling beragam.

1. Harga buku turun 12/100 dari harga sebelumnya.

Contoh. Harga buku sebelumnya adalah 10 rubel. Dia turun 1 rubel. 20 kop.

2. Bank tabungan membayar selama setahun kepada deposan 2/100 dari jumlah yang dimasukkan ke dalam tabungan.

Contoh. 500 rubel dimasukkan ke meja kas, pendapatan dari jumlah ini untuk tahun ini adalah 10 rubel.

3. Jumlah lulusan satu sekolah adalah 5/100 dari jumlah siswa.

CONTOH Hanya 1.200 siswa yang belajar di sekolah tersebut, 60 di antaranya tamat sekolah.

Perseratus dari suatu bilangan disebut persentase..

Kata "persen" dipinjam dari bahasa Latin dan akarnya "sen" berarti seratus. Bersama dengan kata depan (pro centum), kata ini berarti "untuk seratus." Arti ungkapan ini mengikuti fakta bahwa pada awalnya di Roma kuno, bunga adalah uang yang dibayarkan debitur kepada pemberi pinjaman "untuk setiap seratus." Kata "sen" terdengar dengan kata-kata yang begitu akrab: centner (seratus kilogram), sentimeter (mereka mengatakan sentimeter).

Misalnya, alih-alih mengatakan bahwa pabrik memproduksi 1/100 dari semua produk yang dihasilkannya selama sebulan terakhir, kita akan mengatakan ini: pabrik menghasilkan satu persen dari produk yang ditolak selama sebulan terakhir. Alih-alih mengatakan: pabrik menghasilkan 4/100 produk lebih banyak dari rencana yang ditetapkan, kita akan mengatakan: pabrik melebihi rencana sebesar 4 persen.

Contoh di atas dapat dinyatakan secara berbeda:

1. Harga buku turun 12 persen dari harga sebelumnya.

2. Bank tabungan membayar deposan 2 persen per tahun dari jumlah yang dimasukkan ke dalam tabungan.

3. Jumlah lulusan satu sekolah adalah 5 persen dari jumlah seluruh siswa di sekolah tersebut.

Untuk mempersingkat surat, biasanya ditulis tanda % alih-alih kata "persentase".

Namun harus diingat bahwa tanda % biasanya tidak tertulis dalam perhitungan, dapat ditulis dalam rumusan masalah dan pada hasil akhir. Saat melakukan perhitungan, Anda perlu menulis pecahan dengan penyebut 100 alih-alih bilangan bulat dengan ikon ini.

Anda harus dapat mengganti bilangan bulat dengan ikon yang ditentukan dengan pecahan dengan penyebut 100:

Sebaliknya, Anda perlu membiasakan diri menulis bilangan bulat dengan ikon yang ditunjukkan alih-alih pecahan dengan penyebut 100:

7. Menemukan persentase dari angka tertentu.

Tugas 1. Sekolah menerima 200 meter kubik. m kayu bakar, dengan kayu bakar birch terhitung 30%. Berapa banyak kayu birch di sana?

Arti dari soal ini adalah kayu bakar birch hanya sebagian dari kayu bakar yang dikirimkan ke sekolah, dan bagian ini dinyatakan dalam pecahan 30/100. Jadi, kita dihadapkan pada tugas menemukan pecahan dari suatu bilangan. Untuk menyelesaikannya, kita harus mengalikan 200 dengan 30/100 (tugas untuk menemukan pecahan suatu bilangan diselesaikan dengan mengalikan suatu bilangan dengan pecahan.).

Jadi 30% dari 200 sama dengan 60.

Pecahan 30/100 yang ditemukan dalam soal ini dapat dikurangi 10. Pengurangan ini dapat dilakukan sejak awal; solusi untuk masalah tidak akan berubah.

Tugas 2. Ada 300 anak dari berbagai usia di kamp. Anak usia 11 tahun sebanyak 21%, anak usia 12 tahun sebanyak 61% dan terakhir anak usia 13 tahun sebanyak 18%. Berapa banyak anak dari setiap usia berada di kamp?

Dalam soal ini, Anda perlu melakukan tiga perhitungan, yaitu mencari jumlah anak yang berusia 11 tahun, kemudian 12 tahun, dan akhirnya 13 tahun.

Jadi, di sini perlu menemukan pecahan dari angka tiga kali. Ayo lakukan:

1) Berapa banyak anak berusia 11 tahun?

2) Berapa banyak anak yang berumur 12 tahun?

3) Berapa banyak anak yang berumur 13 tahun?

Setelah menyelesaikan masalah, akan berguna untuk menjumlahkan angka yang ditemukan; jumlah mereka harus 300:

63 + 183 + 54 = 300

Anda juga harus memperhatikan fakta bahwa jumlah persentase yang diberikan dalam kondisi masalah adalah 100:

21% + 61% + 18% = 100%

Hal ini menunjukkan bahwa jumlah anak di kamp diambil sebagai 100%.

3 a da cha 3. Pekerja menerima 1.200 rubel per bulan. Dari jumlah tersebut, ia menghabiskan 65% untuk makanan, 6% untuk apartemen dan pemanas, 4% untuk gas, listrik, dan radio, 10% untuk kebutuhan budaya, dan 15% untuk tabungan. Berapa banyak uang yang dihabiskan untuk kebutuhan yang ditunjukkan dalam tugas?

Untuk menyelesaikan soal ini, kamu perlu mencari pecahan dari bilangan 1.200 sebanyak 5 kali.

1) Berapa banyak uang yang dihabiskan untuk makan? Tugas mengatakan bahwa pengeluaran ini adalah 65% dari semua pendapatan, yaitu 65/100 dari angka 1.200. Mari kita lakukan perhitungan:

2) Berapa banyak uang yang dibayarkan untuk apartemen dengan pemanas? Berdebat seperti yang sebelumnya, kita sampai pada perhitungan berikut:

3) Berapa banyak uang yang Anda bayarkan untuk gas, listrik dan radio?

4) Berapa banyak uang yang dihabiskan untuk kebutuhan budaya?

5) Berapa banyak uang yang dihemat oleh pekerja tersebut?

Untuk verifikasi, ada baiknya menambahkan angka yang ditemukan dalam 5 pertanyaan ini. Jumlahnya harus 1.200 rubel. Semua penghasilan diambil sebagai 100%, yang mudah diperiksa dengan menjumlahkan persentase yang diberikan dalam pernyataan masalah.

Kami telah memecahkan tiga masalah. Terlepas dari kenyataan bahwa tugas-tugas ini adalah tentang hal-hal yang berbeda (pengiriman kayu bakar untuk sekolah, jumlah anak dari berbagai usia, biaya pekerja), mereka diselesaikan dengan cara yang sama. Ini terjadi karena dalam semua tugas perlu menemukan beberapa persen dari angka yang diberikan.

90. Pembagian pecahan.

Saat mempelajari pembagian pecahan, kami akan mempertimbangkan pertanyaan-pertanyaan berikut:

1. Bagilah bilangan bulat dengan bilangan bulat.
2. Pembagian pecahan dengan bilangan bulat
3. Pembagian bilangan bulat dengan pecahan.
4. Pembagian pecahan dengan pecahan.
5. Pembagian bilangan campuran.
6. Menemukan bilangan yang diberikan pecahannya.
7. Menemukan angka berdasarkan persentasenya.

Mari kita pertimbangkan mereka secara berurutan.

1. Bagilah bilangan bulat dengan bilangan bulat.

Seperti yang ditunjukkan pada bagian bilangan bulat, pembagian adalah tindakan yang terdiri dari fakta bahwa, mengingat produk dari dua faktor (dividen) dan salah satu faktor ini (pembagi), faktor lain ditemukan.

Pembagian bilangan bulat dengan bilangan bulat yang kami pertimbangkan di departemen bilangan bulat. Kami bertemu di sana dua kasus pembagian: pembagian tanpa sisa, atau "seluruhnya" (150: 10 = 15), dan pembagian dengan sisa (100: 9 = 11 dan 1 sisanya). Oleh karena itu, kita dapat mengatakan bahwa dalam bidang bilangan bulat, pembagian eksak tidak selalu mungkin, karena dividen tidak selalu merupakan produk dari pembagi dan bilangan bulat. Setelah pengenalan perkalian dengan pecahan, kita dapat mempertimbangkan setiap kasus pembagian bilangan bulat mungkin (hanya pembagian dengan nol yang dikecualikan).

Misalnya, membagi 7 dengan 12 berarti menemukan bilangan yang hasil kali 12 adalah 7. Bilangan ini adalah pecahan 7/12 karena 7/12 12 = 7. Contoh lain: 14:25 = 14/25 karena 14/25 25 = 14.

Jadi, untuk membagi bilangan bulat dengan bilangan bulat, Anda perlu membuat pecahan, yang pembilangnya sama dengan pembagiannya, dan penyebutnya adalah pembaginya.

2. Pembagian pecahan dengan bilangan bulat.

Bagilah pecahan 6 / 7 dengan 3. Menurut definisi pembagian yang diberikan di atas, kita mendapatkan hasil kali (6 / 7) dan salah satu faktornya (3); diperlukan untuk menemukan faktor kedua sehingga, ketika dikalikan dengan 3, akan menghasilkan produk yang diberikan 6/7. Jelas, itu harus tiga kali lebih kecil dari produk ini. Ini berarti tugas yang diberikan kepada kita adalah mengurangi pecahan 6/7 sebanyak 3 kali.

Kita sudah tahu bahwa pengurangan suatu pecahan dapat dilakukan dengan mengurangi pembilangnya atau dengan meningkatkan penyebutnya. Karena itu, Anda dapat menulis:

Dalam hal ini, pembilang 6 habis dibagi 3, jadi pembilangnya harus dikurangi 3 kali.

Mari kita ambil contoh lain: 5 / 8 dibagi 2. Di sini pembilang 5 tidak habis dibagi 2, yang berarti penyebutnya harus dikalikan dengan angka ini:

Berdasarkan ini, kita dapat menyatakan aturan: Untuk membagi pecahan dengan bilangan bulat, Anda perlu membagi pembilang pecahan dengan bilangan bulat itu(jika memungkinkan), meninggalkan penyebut yang sama, atau mengalikan penyebut pecahan dengan angka ini, meninggalkan pembilang yang sama.

3. Pembagian bilangan bulat dengan pecahan.

Biarkan diperlukan untuk membagi 5 dengan 1/2, yaitu menemukan angka yang, setelah dikalikan dengan 1/2, akan menghasilkan produk 5. Jelas, angka ini harus lebih besar dari 5, karena 1/2 adalah pecahan biasa, dan ketika mengalikan suatu bilangan dengan pecahan biasa, hasil kali harus lebih kecil dari perkalian. Agar lebih jelas, mari kita tulis tindakan kita sebagai berikut: 5:1 / 2 = X , jadi x 1/2 \u003d 5.

Kita harus menemukan nomor seperti itu X , yang, jika dikalikan dengan 1/2, akan menghasilkan 5. Karena mengalikan suatu bilangan dengan 1/2 berarti menemukan 1/2 dari bilangan ini, maka, oleh karena itu, 1/2 dari bilangan yang tidak diketahui X adalah 5, dan bilangan bulat X dua kali lipat, yaitu 5 2 \u003d 10.

Jadi 5: 1/2 = 5 2 = 10

Mari kita periksa:

Mari kita pertimbangkan satu contoh lagi. Biarkan diperlukan untuk membagi 6 dengan 2 / 3 . Mari kita coba mencari hasil yang diinginkan dengan menggunakan gambar (Gbr. 19).

Gbr.19

Gambarlah segmen AB, sama dengan 6 dari beberapa unit, dan bagi setiap unit menjadi 3 bagian yang sama. Di setiap unit, tiga pertiga (3 / 3) di seluruh segmen AB adalah 6 kali lebih besar, mis. e.18/3. Kami menghubungkan dengan bantuan kurung kecil 18 diperoleh segmen 2; Hanya akan ada 9 segmen. Artinya, pecahan 2/3 terdapat dalam b satuan sebanyak 9 kali, atau dengan kata lain pecahan 2/3 adalah 9 kali lebih kecil dari 6 satuan bilangan bulat. Karena itu,

Bagaimana cara mendapatkan hasil ini tanpa menggambar hanya menggunakan perhitungan? Kami akan berargumentasi sebagai berikut: 6 harus dibagi 2 / 3, yaitu, diminta untuk menjawab pertanyaan, berapa kali 2 / 3 terkandung dalam 6. Mari kita cari tahu dulu: berapa kali 1/3 terkandung dalam 6? Dalam satu unit - 3 pertiga, dan dalam 6 unit - 6 kali lebih banyak, yaitu 18 pertiga; untuk mencari bilangan ini, kita harus mengalikan 6 dengan 3. Jadi, 1/3 terdapat dalam satuan b sebanyak 18 kali, dan 2/3 terdapat dalam satuan b bukan 18 kali, tetapi setengahnya, yaitu 18: 2 = 9 Oleh karena itu, saat membagi 6 dengan 2 / 3 kami melakukan hal berikut:

Dari sini kita mendapatkan aturan untuk membagi bilangan bulat dengan pecahan. Untuk membagi bilangan bulat dengan pecahan, Anda perlu mengalikan bilangan bulat ini dengan penyebut dari pecahan yang diberikan dan, menjadikan produk ini pembilangnya, membaginya dengan pembilang dari pecahan yang diberikan.

Kami menulis aturan menggunakan huruf:

Untuk memperjelas aturan ini, harus diingat bahwa pecahan dapat dianggap sebagai hasil bagi. Oleh karena itu, berguna untuk membandingkan aturan yang ditemukan dengan aturan untuk membagi angka dengan hasil bagi, yang ditetapkan dalam 38. Perhatikan bahwa rumus yang sama diperoleh di sana.

Saat membagi, singkatan dimungkinkan, misalnya:

4. Pembagian pecahan dengan pecahan.

Biarkan diperlukan untuk membagi 3/4 dengan 3/8. Apa yang akan menunjukkan nomor yang akan diperoleh sebagai hasil dari pembagian? Ini akan menjawab pertanyaan berapa kali pecahan 3/8 terdapat dalam pecahan 3/4. Untuk memahami masalah ini, mari kita membuat gambar (Gbr. 20).

Ambil ruas AB, ambil sebagai satu kesatuan, bagi menjadi 4 bagian yang sama dan tandai 3 bagian tersebut. Ruas AC akan sama dengan 3/4 ruas AB. Sekarang mari kita bagi masing-masing dari empat segmen awal menjadi dua, kemudian segmen AB akan dibagi menjadi 8 bagian yang sama dan setiap bagian tersebut akan sama dengan 1/8 dari segmen AB. Kami menghubungkan 3 segmen tersebut dengan busur, maka masing-masing segmen AD dan DC akan sama dengan 3/8 dari segmen AB. Gambar menunjukkan bahwa segmen yang sama dengan 3/8 terdapat dalam segmen yang sama dengan 3/4 tepat 2 kali; Sehingga hasil pembagiannya dapat dituliskan seperti ini:

3 / 4: 3 / 8 = 2

Mari kita pertimbangkan satu contoh lagi. Misalkan diperlukan untuk membagi 15/16 dengan 3/32:

Kita dapat bernalar seperti ini: kita perlu mencari bilangan yang, setelah dikalikan dengan 3 / 32, akan menghasilkan produk yang sama dengan 15 / 16. Mari kita tulis perhitungannya seperti ini:

15 / 16: 3 / 32 = X

3 / 32 X = 15 / 16

3/32 nomor tidak dikenal X make up 15/16

1/32 nomor tidak dikenal X adalah ,

32/32 angka X dandan .

Karena itu,

Jadi, untuk membagi pecahan dengan pecahan, Anda perlu mengalikan pembilang pecahan pertama dengan penyebut kedua, dan mengalikan penyebut pecahan pertama dengan pembilang kedua dan menjadikan produk pertama pembilang dan kedua penyebutnya.

Mari kita menulis aturan menggunakan huruf:

Saat membagi, singkatan dimungkinkan, misalnya:

5. Pembagian bilangan campuran.

Saat membagi bilangan campuran, mereka harus terlebih dahulu diubah menjadi pecahan biasa, dan kemudian pecahan yang dihasilkan harus dibagi sesuai dengan aturan pembagian bilangan pecahan. Pertimbangkan sebuah contoh:

Ubah pecahan campuran menjadi pecahan biasa:

Sekarang mari kita pisahkan:

Jadi, untuk membagi bilangan campuran, Anda perlu mengubahnya menjadi pecahan biasa dan kemudian membaginya sesuai dengan aturan pembagian pecahan.

6. Menemukan bilangan yang diberikan pecahannya.

Di antara berbagai tugas pada pecahan, kadang-kadang ada tugas di mana nilai beberapa pecahan dari bilangan yang tidak diketahui diberikan dan diperlukan untuk menemukan nomor ini. Soal jenis ini akan berbanding terbalik dengan soal menemukan pecahan dari bilangan tertentu; ada nomor yang diberikan dan itu diperlukan untuk menemukan beberapa pecahan dari nomor ini, di sini sebagian kecil dari nomor diberikan dan diperlukan untuk menemukan nomor ini sendiri. Ide ini akan menjadi lebih jelas jika kita beralih ke solusi dari jenis masalah ini.

Tugas 1. Pada hari pertama, tukang kaca melapisi 50 jendela, yang merupakan 1/3 dari semua jendela rumah yang dibangun. Berapa banyak jendela di rumah ini?

Keputusan. Soal mengatakan bahwa 50 jendela kaca membuat 1/3 dari semua jendela rumah, yang berarti ada 3 kali lebih banyak jendela, yaitu.

Rumah itu memiliki 150 jendela.

Tugas 2. Toko tersebut menjual 1.500 kg tepung, yang merupakan 3/8 dari total stok tepung di toko. Berapa persediaan awal tepung dari toko tersebut?

Keputusan. Terlihat dari kondisi permasalahan bahwa 1.500 kg tepung terigu yang terjual merupakan 3/8 dari total stok; ini berarti 1/8 dari stok ini akan menjadi 3 kali lebih sedikit, yaitu, untuk menghitungnya, Anda perlu mengurangi 1500 sebanyak 3 kali:

1.500: 3 = 500 (itu 1/8 dari stok).

Jelas, seluruh stok akan menjadi 8 kali lebih besar. Karena itu,

500 8 \u003d 4,000 (kg).

Pasokan awal tepung di toko adalah 4.000 kg.

Dari pertimbangan masalah ini, aturan berikut dapat ditarik.

Untuk menemukan bilangan dengan nilai pecahan tertentu, cukup membagi nilai ini dengan pembilang pecahan dan mengalikan hasilnya dengan penyebut pecahan.

Kami memecahkan dua masalah dalam menemukan angka yang diberikan pecahannya. Masalah seperti itu, seperti yang terlihat jelas dari yang terakhir, diselesaikan dengan dua tindakan: pembagian (ketika satu bagian ditemukan) dan perkalian (ketika seluruh bilangan ditemukan).

Namun, setelah kita mempelajari pembagian pecahan, masalah di atas dapat diselesaikan dalam satu tindakan, yaitu: pembagian dengan pecahan.

Misalnya, tugas terakhir dapat diselesaikan dalam satu tindakan seperti ini:

Di masa depan, kami akan memecahkan masalah menemukan angka dengan fraksinya dalam satu tindakan - pembagian.

7. Menemukan angka berdasarkan persentasenya.

Dalam tugas ini, Anda perlu menemukan angka, mengetahui beberapa persen dari angka ini.

Tugas 1. Pada awal tahun ini, saya menerima 60 rubel dari bank tabungan. pendapatan dari jumlah yang saya masukkan ke dalam tabungan setahun yang lalu. Berapa banyak uang yang saya simpan di bank tabungan? (Kantor kas memberikan deposan 2% dari pendapatan per tahun.)

Maksud dari soal tersebut adalah bahwa sejumlah uang telah saya masukkan ke dalam bank tabungan dan disimpan di sana selama satu tahun. Setelah satu tahun, saya menerima 60 rubel darinya. penghasilan, yaitu 2/100 dari uang yang saya masukkan. Berapa banyak uang yang saya setorkan?

Oleh karena itu, mengetahui bagian dari uang ini, dinyatakan dalam dua cara (dalam rubel dan dalam pecahan), kita harus menemukan jumlah keseluruhan, yang belum diketahui. Ini adalah masalah biasa untuk menemukan bilangan yang diberikan pecahannya. Tugas-tugas berikut diselesaikan dengan pembagian:

Jadi, 3.000 rubel dimasukkan ke dalam bank tabungan.

Tugas 2. Dalam dua minggu, nelayan memenuhi rencana bulanan sebesar 64%, dengan menyiapkan 512 ton ikan. Apa rencana mereka?

Dari kondisi permasalahan tersebut diketahui para nelayan telah menyelesaikan sebagian dari rencana tersebut. Bagian ini sama dengan 512 ton, yaitu 64% dari rencana. Berapa ton ikan yang perlu dipanen sesuai rencana, kami belum tahu. Solusi dari masalah akan terdiri dalam menemukan nomor ini.

Tugas-tugas tersebut diselesaikan dengan membagi:

Jadi, menurut rencana, Anda perlu menyiapkan 800 ton ikan.

Tugas 3. Kereta pergi dari Riga ke Moskow. Ketika melewati kilometer ke-276, salah satu penumpang bertanya kepada kondektur yang lewat berapa jarak yang telah mereka tempuh. Untuk ini kondektur menjawab: "Kami telah menutupi 30% dari seluruh perjalanan." Berapa jarak dari Riga ke Moskow?

Dari kondisi permasalahan tersebut terlihat bahwa 30% perjalanan dari Riga ke Moskow adalah 276 km. Kita perlu menemukan seluruh jarak antara kota-kota ini, yaitu, untuk bagian ini, temukan keseluruhannya:

91. Bilangan timbal balik. Mengganti pembagian dengan perkalian.

Ambil pecahan 2/3 dan atur ulang pembilangnya ke tempat penyebut, kita mendapatkan 3/2. Kami mendapat pecahan, kebalikan dari yang satu ini.

Untuk mendapatkan kebalikan pecahan dari yang diberikan, Anda harus menempatkan pembilangnya di tempat penyebut, dan penyebut di tempat pembilangnya. Dengan cara ini, kita bisa mendapatkan pecahan yang merupakan kebalikan dari pecahan apa pun. Sebagai contoh:

3/4, mundur 4/3; 5/6 , mundur 6/5

Dua pecahan yang memiliki sifat pembilang pertama adalah penyebut kedua dan penyebut pertama adalah pembilang kedua disebut saling terbalik.

Sekarang mari kita pikirkan pecahan apa yang merupakan kebalikan dari 1/2. Jelas, itu akan menjadi 2 / 1, atau hanya 2. Mencari kebalikan dari ini, kami mendapat bilangan bulat. Dan kasus ini tidak terisolasi; sebaliknya, untuk semua pecahan dengan pembilang 1 (satu), kebalikannya adalah bilangan bulat, misalnya:

1/3, kebalikan 3; 1 / 5, mundur 5

Karena, ketika mencari timbal balik, kami juga bertemu dengan bilangan bulat, di masa depan kami tidak akan berbicara tentang timbal balik, tetapi tentang timbal balik.

Mari kita cari tahu cara menulis kebalikan dari bilangan bulat. Untuk pecahan, ini diselesaikan secara sederhana: Anda harus meletakkan penyebut di tempat pembilang. Dengan cara yang sama, Anda bisa mendapatkan kebalikan dari bilangan bulat, karena bilangan bulat apa pun dapat memiliki penyebut 1. Jadi kebalikan dari 7 adalah 1 / 7, karena 7 \u003d 7 / 1; untuk angka 10 kebalikannya adalah 1/10 karena 10 = 10 / 1

Ide ini dapat diungkapkan dengan cara lain: kebalikan dari angka yang diberikan diperoleh dengan membagi satu dengan angka yang diberikan. Pernyataan ini berlaku tidak hanya untuk bilangan bulat, tetapi juga untuk pecahan. Memang, jika Anda ingin menulis angka yang merupakan kebalikan dari pecahan 5 / 9, maka kita dapat mengambil 1 dan membaginya dengan 5 / 9, yaitu.

Sekarang mari kita tunjukkan satu Properti angka yang saling timbal balik, yang akan berguna bagi kita: hasil kali bilangan yang saling timbal balik sama dengan satu. Memang:

Dengan menggunakan properti ini, kita dapat menemukan timbal balik dengan cara berikut. Mari kita cari kebalikan dari 8.

Mari kita tunjukkan dengan huruf X , lalu 8 X = 1, maka X = 1 / 8 . Mari kita cari angka lain, kebalikan dari 7/12, dilambangkan dengan huruf X , lalu 7 / 12 X = 1, maka X = 1:7 / 12 atau X = 12 / 7 .

Kami memperkenalkan di sini konsep bilangan timbal balik untuk sedikit melengkapi informasi tentang pembagian pecahan.

Saat kita membagi angka 6 dengan 3 / 5, maka kita lakukan hal berikut:

Berikan perhatian khusus pada ekspresi dan bandingkan dengan yang diberikan: .

Jika kita mengambil ekspresi secara terpisah, tanpa koneksi dengan yang sebelumnya, maka tidak mungkin untuk menyelesaikan pertanyaan dari mana asalnya: dari membagi 6 dengan 3/5 atau dari mengalikan 6 dengan 5/3. Dalam kedua kasus, hasilnya sama. Jadi kita bisa mengatakan bahwa membagi satu angka dengan yang lain dapat diganti dengan mengalikan dividen dengan kebalikan dari pembagi.

Contoh-contoh yang kami berikan di bawah ini sepenuhnya mengkonfirmasi kesimpulan ini.