Variabel acak sebuah variabel disebut yang, sebagai hasil dari setiap pengujian, mengambil satu nilai yang sebelumnya tidak diketahui, tergantung pada penyebab acak. Variabel acak dilambangkan dengan huruf latin kapital: $X,\ Y,\ Z,\ \dots $ Berdasarkan jenisnya, variabel acak dapat diskrit dan kontinu.

Variabel acak diskrit- ini adalah variabel acak, yang nilainya tidak boleh lebih dari dapat dihitung, yaitu terbatas atau dapat dihitung. Hitungan berarti bahwa nilai-nilai variabel acak dapat dihitung.

Contoh 1 . Mari kita berikan contoh variabel acak diskrit:

a) jumlah hit pada target dengan $n$ tembakan, di sini nilai yang mungkin adalah $0,\ 1,\ \dots ,\ n$.

b) banyaknya lambang yang terlepas pada saat pelemparan uang logam, disini nilai yang mungkin adalah $0,\ 1,\ \titik ,\ n$.

c) jumlah kapal yang tiba di kapal (satu set nilai yang dapat dihitung).

d) jumlah panggilan yang tiba di bursa (satu set nilai yang dapat dihitung).

1. Hukum distribusi probabilitas variabel acak diskrit.

Variabel acak diskrit $X$ dapat mengambil nilai $x_1,\dots ,\ x_n$ dengan probabilitas $p\left(x_1\right),\ \dots ,\ p\left(x_n\right)$. Korespondensi antara nilai-nilai ini dan probabilitasnya disebut hukum distribusi variabel acak diskrit. Sebagai aturan, korespondensi ini ditentukan menggunakan tabel, di baris pertama yang menunjukkan nilai $x_1,\dots ,\ x_n$, dan di baris kedua probabilitas yang sesuai dengan nilai-nilai ini adalah $ p_1,\titik ,\ p_n$.

$\begin(array)(|c|c|)
\hline
X_i & x_1 & x_2 & \titik & x_n \\
\hline
p_i & p_1 & p_2 & \titik & p_n \\
\hline
\end(array)$

Contoh 2 . Biarkan variabel acak $X$ menjadi jumlah poin yang dilempar ketika sebuah dadu dilempar. Variabel acak $X$ dapat mengambil nilai berikut $1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6$. Probabilitas semua nilai ini sama dengan $1/6$. Maka hukum distribusi probabilitas untuk variabel acak $X$:

$\begin(array)(|c|c|)
\hline
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline

\hline
\end(array)$

Komentar. Karena kejadian $1,\ 2,\ \titik ,\ 6$ membentuk grup lengkap kejadian dalam hukum distribusi variabel acak diskrit $X$, jumlah probabilitas harus sama dengan satu, yaitu $\sum( p_i)=1$.

2. Ekspektasi matematis dari variabel acak diskrit.

Ekspektasi matematis dari variabel acak menentukan nilai "pusat" nya. Untuk variabel acak diskrit, ekspektasi matematis dihitung sebagai jumlah produk dari nilai $x_1,\dots ,\ x_n$ dan probabilitas $p_1,\dots ,\ p_n$ yang sesuai dengan nilai-nilai ini, yaitu: $M\kiri(X\kanan)=\jumlah ^n_(i=1)(p_ix_i)$. Dalam literatur bahasa Inggris, notasi lain $E\left(X\right)$ digunakan.

Properti Harapan$M\kiri(X\kanan)$:

1. $M\left(X\right)$ berada di antara nilai terkecil dan terbesar dari variabel acak $X$.
2. Ekspektasi matematis dari suatu konstanta sama dengan konstanta itu sendiri, yaitu $M\kiri(C\kanan)=C$.
3. Faktor konstanta dapat diambil dari tanda harapan: $M\left(CX\right)=CM\left(X\right)$.
4. Ekspektasi matematis dari jumlah variabel acak sama dengan jumlah ekspektasi matematisnya: $M\left(X+Y\right)=M\left(X\right)+M\left(Y\right)$.
5. Ekspektasi matematis produk variabel acak independen sama dengan produk ekspektasi matematisnya: $M\left(XY\right)=M\left(X\right)M\left(Y\right)$.

Contoh 3 . Mari kita cari ekspektasi matematis dari variabel acak $X$ dari contoh $2$.

$$M\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_ix_i)=1\cdot ((1)\over (6))+2\cdot ((1)\over (6) )+3\cdot ((1)\over (6))+4\cdot ((1)\over (6))+5\cdot ((1)\over (6))+6\cdot ((1 )\over (6))=3.5.$$

Kita dapat melihat bahwa $M\left(X\right)$ berada di antara nilai terkecil ($1$) dan terbesar ($6$) dari variabel acak $X$.

Contoh 4 . Diketahui bahwa ekspektasi matematis dari variabel acak $X$ sama dengan $M\left(X\right)=2$. Temukan ekspektasi matematis dari variabel acak $3X+5$.

Menggunakan properti di atas, kita mendapatkan $M\left(3X+5\right)=M\left(3X\right)+M\left(5\right)=3M\left(X\right)+5=3\ cdot 2 +5=11$.

Contoh 5 . Diketahui bahwa ekspektasi matematis dari variabel acak $X$ sama dengan $M\left(X\right)=4$. Temukan ekspektasi matematis dari variabel acak $2X-9$.

Menggunakan properti di atas, kita mendapatkan $M\left(2X-9\right)=M\left(2X\right)-M\left(9\right)=2M\left(X\right)-9=2\ cdot 4 -9=-1$.

3. Dispersi variabel acak diskrit.

Kemungkinan nilai variabel acak dengan ekspektasi matematis yang sama dapat tersebar secara berbeda di sekitar nilai rata-ratanya. Misalnya, dalam dua kelompok siswa, nilai rata-rata untuk ujian teori probabilitas ternyata 4, tetapi dalam satu kelompok semua orang menjadi siswa yang baik, dan di kelompok lain, hanya siswa C dan siswa yang sangat baik. Oleh karena itu, diperlukan karakteristik numerik dari variabel acak, yang akan menunjukkan penyebaran nilai variabel acak di sekitar ekspektasi matematisnya. Karakteristik ini adalah dispersi.

Dispersi variabel acak diskrit$X$ adalah:

$$D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_i(\left(x_i-M\left(X\right)\right))^2).\ $$

Dalam literatur bahasa Inggris, notasi $V\left(X\right),\ Var\left(X\right)$ digunakan. Sangat sering varians $D\left(X\right)$ dihitung dengan rumus $D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_ix^2_i)-(\left(M\ kiri(X \kanan)\kanan))^2$.

Sifat Dispersi$D\kiri(X\kanan)$:

1. Dispersi selalu lebih besar dari atau sama dengan nol, yaitu $D\kiri(X\kanan)\ge 0$.
2. Dispersi dari konstanta sama dengan nol, yaitu $D\kiri(C\kanan)=0$.
3. Faktor konstanta dapat dikeluarkan dari tanda dispersi, asalkan dikuadratkan, mis. $D\left(CX\right)=C^2D\left(X\right)$.
4. Varians dari jumlah variabel acak independen sama dengan jumlah varians mereka, yaitu. $D\kiri(X+Y\kanan)=D\kiri(X\kanan)+D\kiri(Y\kanan)$.
5. Varians dari selisih peubah acak bebas sama dengan jumlah variansnya, yaitu $D\kiri(X-Y\kanan)=D\kiri(X\kanan)+D\kiri(Y\kanan)$.

Contoh 6 . Mari kita hitung varians dari variabel acak $X$ dari contoh $2$.

$$D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_i(\left(x_i-M\left(X\right)\right))^2)=((1)\over (6))\cdot (\left(1-3,5\right))^2+((1)\over (6))\cdot (\left(2-3,5\right))^2+ \dots +((1)\over (6))\cdot (\left(6-3,5\right))^2=((35)\over (12))\kira-kira 2.92.$$

Contoh 7 . Diketahui bahwa varians dari variabel acak $X$ sama dengan $D\left(X\right)=2$. Temukan varians dari variabel acak $4X+1$.

Menggunakan properti di atas, kita menemukan $D\left(4X+1\right)=D\left(4X\right)+D\left(1\right)=4^2D\left(X\right)+0= 16D\ kiri(X\kanan)=16\cdot 2=32$.

Contoh 8 . Diketahui bahwa varians dari $X$ sama dengan $D\left(X\right)=3$. Temukan varians dari variabel acak $3-2X$.

Menggunakan properti di atas, kita menemukan $D\left(3-2X\right)=D\left(3\right)+D\left(2X\right)=0+2^2D\left(X\right)= 4D\ kiri(X\kanan)=4\cdot 3=12$.

4. Fungsi distribusi variabel acak diskrit.

Metode merepresentasikan variabel acak diskrit dalam bentuk deret distribusi bukan satu-satunya, dan yang terpenting, tidak universal, karena variabel acak kontinu tidak dapat ditentukan menggunakan deret distribusi. Ada cara lain untuk mewakili variabel acak - fungsi distribusi.

fungsi distribusi variabel acak $X$ adalah fungsi $F\left(x\right)$, yang menentukan probabilitas bahwa variabel acak $X$ mengambil nilai kurang dari beberapa nilai tetap $x$, yaitu $F\left(x\ kanan)$ )=P\kiri(X< x\right)$

Properti fungsi distribusi:

1. $0\le F\kiri(x\kanan)\le 1$.
2. Probabilitas variabel acak $X$ mengambil nilai dari interval $\left(\alpha ;\ \beta \right)$ sama dengan perbedaan antara nilai-nilai fungsi distribusi di ujung interval ini : $P\left(\alpha< X < \beta \right)=F\left(\beta \right)-F\left(\alpha \right)$
3. $F\left(x\right)$ - tidak berkurang.
4. $(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) F\left(x\right)=0\ ),\ (\mathop(lim)_(x\to +\infty ) F\left(x \kanan)=1\ )$.

Contoh 9 . Mari kita cari fungsi distribusi $F\left(x\right)$ untuk hukum distribusi variabel acak diskrit $X$ dari contoh $2$.

$\begin(array)(|c|c|)
\hline
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline
1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 \\
\hline
\end(array)$

Jika $x\le 1$, maka jelas $F\left(x\right)=0$ (termasuk $x=1$ $F\left(1\right)=P\left(X< 1\right)=0$).

Jika $1< x\le 2$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)=1/6$.

Jika $2< x\le 3$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)=1/6+1/6=1/3$.

Jika $3< x\le 4$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)=1/6+1/6+1/6=1/2$.

Jika $4< x\le 5$, то $F\left(X\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)+P\left(X=4\right)=1/6+1/6+1/6+1/6=2/3$.

Jika $5< x\le 6$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)+P\left(X=4\right)+P\left(X=5\right)=1/6+1/6+1/6+1/6+1/6=5/6$.

Jika $x > 6$ maka $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right) + P\kiri(X=4\kanan)+P\kiri(X=5\kanan)+P\kiri(X=6\kanan)=1/6+1/6+1/6+1/6+ 1 /6+1/6=1$.

Jadi $F(x)=\left\(\begin(matrix)
0,\ di\ x\le 1,\\
1/6, di \ 1< x\le 2,\\
1/3,\ pada\ 2< x\le 3,\\
1/2, di \ 3< x\le 4,\\
2/3,\ pada\ 4< x\le 5,\\
5/6, \ pada \ 4< x\le 5,\\
1,\ untuk \ x > 6.
\end(matriks)\kanan.$

Definisi 1

Variabel acak $X$ disebut diskrit (diskontinu) jika himpunan nilainya tak hingga atau hingga tetapi dapat dihitung.

Dengan kata lain, suatu besaran disebut diskrit jika nilainya dapat dicacah.

Anda dapat menggambarkan variabel acak menggunakan hukum distribusi.

Hukum distribusi variabel acak diskrit $X$ dapat diberikan dalam bentuk tabel, di baris pertama di mana semua nilai yang mungkin dari variabel acak ditunjukkan dalam urutan menaik, dan di baris kedua probabilitas yang sesuai dari nilai-nilai ini:

Gambar 1.

di mana $p1+ p2+ ... + pn = 1$.

Meja ini adalah dekat distribusi variabel acak diskrit.

Jika himpunan nilai yang mungkin dari variabel acak tidak terbatas, maka deret $p1+ p2+ ... + pn+ ...$ konvergen dan jumlahnya sama dengan $1$.

Hukum distribusi variabel acak diskrit $X$ dapat direpresentasikan secara grafis, di mana garis putus-putus dibangun dalam sistem koordinat (persegi panjang), yang secara berurutan menghubungkan titik-titik dengan koordinat $(xi;pi), i=1,2, ... n$. Garis yang dipanggil poligon distribusi.

Gambar 2.

Hukum distribusi variabel acak diskrit $X$ juga dapat direpresentasikan secara analitik (menggunakan rumus):

$P(X=xi)= \varphi (xi),i =1,2,3 ... n$.

Tindakan pada probabilitas diskrit

Ketika memecahkan banyak masalah teori probabilitas, perlu untuk melakukan operasi mengalikan variabel acak diskrit dengan konstanta, menambahkan dua variabel acak, mengalikannya, dan membawanya ke pangkat. Dalam kasus ini, perlu untuk mematuhi aturan berikut untuk variabel diskrit acak:

Definisi 3

Dengan perkalian variabel acak diskrit $X$ ke konstanta $K$ adalah variabel acak diskrit $Y=KX,$ yang disebabkan oleh persamaan: $y_i=Kx_i,\ \ p\left(y_i\right)=p\left( x_i\kanan)= p_i,\ \ i=\overline(1,\ n).$

Definisi 4

Dua variabel acak $x$ dan $y$ disebut mandiri, jika hukum distribusi salah satunya tidak bergantung pada kemungkinan nilai yang diperoleh nilai kedua.

Definisi 5

jumlah dua variabel acak diskrit independen $X$ dan $Y$ disebut variabel acak $Z=X+Y, $ disebabkan oleh persamaan: $z_(ij)=x_i+y_j$, $P\left(z_(ij )\kanan)= P\kiri(x_i\kanan)P\kiri(y_j\kanan)=p_ip"_j$, $i=\overline(1,n)$, $j=\overline(1,m)$ , $P\left (x_i\right)=p_i$, $P\left(y_j\right)=p"_j$.

Definisi 6

Dengan perkalian dua variabel acak diskrit independen $X$ dan $Y$ disebut variabel acak $Z=XY, $ disebabkan oleh persamaan: $z_(ij)=x_iy_j$, $P\left(z_(ij)\right) =P\kiri( x_i\kanan)P\kiri(y_j\kanan)=p_ip"_j$, $i=\overline(1,n)$, $j=\overline(1,m)$, $P\ kiri(x_i\kanan )=p_i$, $P\kiri(y_j\kanan)=p"_j$.

Mari kita perhatikan bahwa beberapa produk $x_(i\ \ \ \ \ )y_j$ dapat sama satu sama lain. Dalam hal ini, probabilitas penambahan produk sama dengan jumlah probabilitas yang sesuai.

Misalnya, jika $x_2\ \ y_3=x_5\ \ y_7,\ $maka probabilitas $x_2y_3$ (atau $x_5y_7$ yang sama) akan sama dengan $p_2\cdot p"_3+p_5\cdot p"_7 .$

Hal di atas juga berlaku untuk jumlah. Jika $x_1+\ y_2=x_4+\ \ y_6,$ maka probabilitas $x_1+\ y_2$ (atau $x_4+\ y_6$ yang sama) akan menjadi $p_1\cdot p"_2+p_4\cdot p"_6.$

Biarkan variabel acak $X$ dan $Y$ diberikan oleh hukum distribusi:

Gambar 3

Dimana $p_1+p_2+p_3=1,\ \ \ p"_1+p"_2=1.$ Maka hukum distribusi untuk jumlah $X+Y$ akan terlihat seperti

Gambar 4

Dan hukum distribusi produk $XY$ akan memiliki bentuk

Gambar 5

fungsi distribusi

Deskripsi lengkap dari variabel acak juga diberikan oleh fungsi distribusi.

Secara geometris, fungsi distribusi dijelaskan sebagai probabilitas bahwa variabel acak $X$ mengambil nilai yang diwakili pada garis nyata oleh titik yang terletak di sebelah kiri titik $x$.

X; berarti F(5); peluang munculnya peubah acak X akan mengambil nilai dari interval. Buatlah poligon distribusi.

1. Fungsi distribusi F(x) dari variabel acak diskrit diketahui X:

Tentukan hukum distribusi variabel acak X dalam bentuk tabel.

1. Mengingat hukum distribusi variabel acak X:

X	–28	–20	–12	–4
p	0,22	0,44	0,17	0,1	0,07

1. Probabilitas bahwa toko tersebut memiliki sertifikat kualitas untuk seluruh rangkaian produk adalah 0,7. KPU mengecek ketersediaan sertifikat di empat toko di kabupaten itu. Kompilasi hukum distribusi, hitung ekspektasi matematis dan varians dari jumlah toko di mana sertifikat kualitas tidak ditemukan selama pemeriksaan.

1. Untuk menentukan waktu pembakaran rata-rata lampu listrik dalam batch 350 kotak identik, satu lampu listrik dari setiap kotak diambil untuk pengujian. Perkirakan dari bawah probabilitas bahwa waktu pembakaran rata-rata lampu listrik yang dipilih berbeda dari waktu pembakaran rata-rata seluruh batch dengan nilai absolut kurang dari 7 jam, jika diketahui bahwa standar deviasi waktu pembakaran lampu listrik di setiap kotak kurang dari 9 jam.

1. Pada pertukaran telepon, koneksi yang salah terjadi dengan probabilitas 0,002. Temukan probabilitas bahwa di antara 500 koneksi akan ada:

Temukan fungsi distribusi dari variabel acak X. Gambarkan fungsi dan . Hitung mean, varians, modus, dan median dari variabel acak X.

1. Mesin otomatis membuat rol. Dipercaya bahwa diameternya adalah variabel acak terdistribusi normal dengan nilai rata-rata 10 mm. Berapa standar deviasi jika, dengan probabilitas 0,99, diameter terletak pada kisaran 9,7 mm hingga 10,3 mm.

Contoh A: 6 9 7 6 4 4

Contoh B: 55 72 54 53 64 53 59 48

42 46 50 63 71 56 54 59

54 44 50 43 51 52 60 43

50 70 68 59 53 58 62 49

59 51 52 47 57 71 60 46

55 58 72 47 60 65 63 63

58 56 55 51 64 54 54 63

56 44 73 41 68 54 48 52

52 50 55 49 71 67 58 46

50 51 72 63 64 48 47 55

Opsi 17.

1. Di antara 35 bagian, 7 tidak standar. Temukan peluang bahwa dua bagian yang dipilih secara acak adalah standar.

1. Lempar tiga dadu. Tentukan peluang bahwa jumlah titik pada wajah yang dijatuhkan adalah kelipatan 9.

1. Kata "PETUALANGAN" terdiri dari kartu, masing-masing dengan satu huruf tertulis di atasnya. Kartu dikocok dan dikeluarkan satu per satu tanpa kembali. Tentukan peluang bahwa huruf-huruf yang diambil menurut urutan kemunculannya membentuk sebuah kata: a) PETUALANGAN; b) TANGKAP.

1. Sebuah guci berisi 6 bola hitam dan 5 bola putih. Diambil 5 bola secara acak. Temukan peluang bahwa di antara mereka ada:
1. 2 bola putih;
2. kurang dari 2 bola putih;
3. setidaknya satu bola hitam.

1. TETAPI dalam satu tes adalah 0,4. Tentukan peluang kejadian berikut:
1. peristiwa TETAPI akan muncul 3 kali dalam rangkaian 7 percobaan independen;
2. peristiwa TETAPI akan muncul setidaknya 220 dan tidak lebih dari 235 kali dalam serangkaian 400 tantangan.

1. Pabrik mengirim 5.000 produk berkualitas tinggi ke pangkalan. Probabilitas kerusakan pada setiap produk dalam perjalanan adalah 0,002. Cari peluang bahwa tidak lebih dari 3 produk akan rusak dalam perjalanan.

1. Guci pertama berisi 4 bola putih dan 9 bola hitam, dan guci kedua berisi 7 bola putih dan 3 bola hitam. 3 bola diambil secara acak dari guci pertama, dan 4 dari guci kedua. Tentukan peluang terambilnya semua bola berwarna sama.

1. Mengingat hukum distribusi variabel acak X:

Hitung ekspektasi matematis dan variansnya.

1. Ada 10 pensil di dalam kotak. 4 pensil diambil secara acak. Nilai acak X adalah jumlah pensil biru di antara yang dipilih. Temukan hukum distribusinya, momen awal dan pusat dari orde ke-2 dan ke-3.

1. Departemen kontrol teknis memeriksa 475 produk untuk cacat. Probabilitas produk cacat adalah 0,05. Temukan dengan probabilitas 0,95 batas yang akan berisi jumlah produk cacat di antara yang diuji.

1. Pada pertukaran telepon, koneksi yang salah terjadi dengan probabilitas 0,003. Temukan peluang bahwa di antara 1000 koneksi akan ada:
1. setidaknya 4 koneksi yang salah;
2. lebih dari dua koneksi yang salah.

1. Variabel acak diberikan oleh fungsi kepadatan distribusi:

Temukan fungsi distribusi dari variabel acak X. Gambarkan fungsi dan . Hitung ekspektasi matematis, varians, modus dan median dari variabel acak X.

1. Variabel acak diberikan oleh fungsi distribusi:

1. Dengan sampel TETAPI menyelesaikan tugas-tugas berikut:
1. membuat seri variasi;

sampel rata-rata;

varian sampel

Modus dan median;

Contoh A: 0 0 2 2 1 4

1. menghitung karakteristik numerik dari deret variasi:

sampel rata-rata;

varian sampel

· simpangan baku;

modus dan median;

Contoh B: 166 154 168 169 178 182 169 159

161 150 149 173 173 156 164 169

157 148 169 149 157 171 154 152

164 157 177 155 167 169 175 166

167 150 156 162 170 167 161 158

168 164 170 172 173 157 157 162

156 150 154 163 143 170 170 168

151 174 155 163 166 173 162 182

166 163 170 173 159 149 172 176

Opsi 18.

1. Di antara 10 tiket lotere, 2 menang. Tentukan peluang bahwa salah satu dari lima tiket yang diambil secara acak akan menjadi pemenangnya.

1. Lempar tiga dadu. Tentukan peluang munculnya jumlah angka yang terlempar lebih besar dari 15.

1. Kata "PERIMETER" terdiri dari kartu, yang masing-masing memiliki satu huruf tertulis di atasnya. Kartu dikocok dan dikeluarkan satu per satu tanpa kembali. Tentukan peluang bahwa huruf-huruf yang dihilangkan membentuk sebuah kata: a) PERIMETER; b) METER.

1. Sebuah guci berisi 5 bola hitam dan 7 bola putih. Diambil 5 bola secara acak. Temukan peluang bahwa di antara mereka ada:
1. 4 bola putih;
2. kurang dari 2 bola putih;
3. setidaknya satu bola hitam.

1. Peluang suatu kejadian TETAPI dalam satu tes adalah 0,55. Tentukan peluang kejadian berikut:
1. peristiwa TETAPI akan muncul 3 kali dalam rangkaian 5 tantangan;
2. peristiwa TETAPI akan muncul setidaknya 130 dan tidak lebih dari 200 kali dalam serangkaian 300 tantangan.

1. Probabilitas kebocoran dalam kaleng makanan kaleng adalah 0,0005. Tentukan peluang bahwa dua dari 2000 toples akan bocor.

1. Guci pertama berisi 4 bola putih dan 8 bola hitam, dan guci kedua berisi 7 bola putih dan 4 bola hitam. Dari guci pertama diambil 2 bola secara acak dan dari guci kedua diambil 3 bola secara acak. Tentukan peluang terambilnya semua bola berwarna sama.

1. Di antara suku cadang yang tiba untuk perakitan, dari mesin pertama 0,1% rusak, dari yang kedua - 0,2%, dari yang ketiga - 0,25%, dari yang keempat - 0,5%. Produktivitas mesin terkait sebagai 4:3:2:1. Bagian yang diambil secara acak ternyata standar. Temukan probabilitas bahwa item dibuat pada mesin pertama.

1. Mengingat hukum distribusi variabel acak X:

Hitung ekspektasi matematis dan variansnya.

1. Seorang tukang listrik memiliki tiga bola lampu, masing-masing memiliki cacat dengan probabilitas 0,1 .. Bola lampu disekrup ke soket dan arus dihidupkan. Ketika arus dihidupkan, bola lampu yang rusak segera padam dan diganti dengan yang lain. Temukan hukum distribusi, ekspektasi matematis, dan varians dari jumlah bola lampu yang diuji.

1. Probabilitas mengenai target adalah 0,3 untuk masing-masing dari 900 tembakan independen. Dengan menggunakan pertidaksamaan Chebyshev, perkirakan probabilitas bahwa target akan terkena setidaknya 240 kali dan paling banyak 300 kali.

1. Pada pertukaran telepon, koneksi yang salah terjadi dengan probabilitas 0,002. Temukan probabilitas bahwa di antara 800 koneksi akan ada:
1. setidaknya tiga koneksi yang salah;
2. lebih dari empat koneksi yang salah.

1. Variabel acak diberikan oleh fungsi kepadatan distribusi:

Temukan fungsi distribusi dari variabel acak X. Buatlah grafik dari fungsi dan . Hitung mean, varians, modus, dan median dari variabel acak X.

1. Variabel acak diberikan oleh fungsi distribusi:

1. Dengan sampel TETAPI menyelesaikan tugas-tugas berikut:
1. membuat seri variasi;
2. menghitung frekuensi relatif dan akumulasi;
3. menyusun fungsi distribusi empiris dan membuat grafiknya;
4. menghitung karakteristik numerik dari deret variasi:

sampel rata-rata;

varian sampel

· simpangan baku;

modus dan median;

Contoh A: 4 7 6 3 3 4

1. Untuk sampel B, selesaikan masalah berikut:
1. membuat rangkaian variasi berkelompok;
2. membangun histogram dan poligon frekuensi;
3. menghitung karakteristik numerik dari deret variasi:

sampel rata-rata;

varian sampel

· simpangan baku;

modus dan median;

Contoh B: 152 161 141 155 171 160 150 157

154 164 138 172 155 152 177 160

168 157 115 128 154 149 150 141

172 154 144 177 151 128 150 147

143 164 156 145 156 170 171 142

148 153 152 170 142 153 162 128

150 146 155 154 163 142 171 138

128 158 140 160 144 150 162 151

163 157 177 127 141 160 160 142

159 147 142 122 155 144 170 177

Opsi 19.

1. 16 perempuan dan 5 laki-laki bekerja di lokasi. 3 orang dipilih secara acak sesuai dengan nomor personel. Tentukan peluang bahwa semua orang yang terpilih adalah laki-laki.

2. Empat koin dilempar. Temukan probabilitas bahwa hanya dua koin yang akan memiliki lambang.

3. Kata "PSIKOLOGI" terdiri dari kartu-kartu yang masing-masing memiliki satu huruf tertulis di atasnya. Kartu dikocok dan dikeluarkan satu per satu tanpa kembali. Tentukan peluang bahwa huruf-huruf yang diambil membentuk sebuah kata: a) PSIKOLOGI; b) STAF.

4. Sebuah guci berisi 6 bola hitam dan 7 bola putih. Diambil 5 bola secara acak. Temukan peluang bahwa di antara mereka ada:

sebuah. 3 bola putih;

b. kurang dari 3 bola putih;

c. setidaknya satu bola putih.

5. Peluang kejadian TETAPI dalam satu tes adalah 0,5. Tentukan peluang kejadian berikut:

sebuah. peristiwa TETAPI akan muncul 3 kali dalam serangkaian 5 percobaan independen;

b. peristiwa TETAPI akan muncul setidaknya 30 dan tidak lebih dari 40 kali dalam serangkaian 50 tantangan.

6. Ada 100 mesin dengan daya yang sama, beroperasi secara independen satu sama lain dalam mode yang sama, di mana drive mereka dihidupkan selama 0,8 jam kerja. Berapa probabilitas bahwa, pada waktu tertentu, antara 70 dan 86 mesin akan menyala?

7. Guci pertama berisi 4 bola putih dan 7 bola hitam, dan wadah kedua berisi 8 bola putih dan 3 bola hitam. 4 bola diambil secara acak dari guci pertama dan 1 bola dari guci kedua. Tentukan peluang terambilnya 4 bola hitam di antara bola yang terambil.

8. Setiap hari, tiga merek mobil dikirim ke dealer mobil dalam volume: Moskvich - 40%; "Oke" - 20%; "Volga" - 40% dari semua mobil impor. Di antara mobil merek Moskvich, 0,5% memiliki perangkat anti-pencurian, Oka - 0,01%, Volga - 0,1%. Temukan probabilitas bahwa mobil yang diambil untuk pengujian memiliki perangkat anti-pencurian.

9. Nomor dan dipilih secara acak pada segmen. Temukan probabilitas bahwa angka-angka ini memenuhi pertidaksamaan.

10. Hukum distribusi variabel acak diberikan X:

X
p	0,1	0,2	0,3	0,4

Temukan fungsi distribusi dari variabel acak X; berarti F(2); peluang munculnya peubah acak X akan mengambil nilai dari interval. Buatlah poligon distribusi.

Di halaman ini kami telah mengumpulkan contoh penyelesaian pendidikan masalah pada variabel acak diskrit. Ini adalah bagian yang cukup luas: hukum distribusi yang berbeda (binomial, geometris, hipergeometrik, Poisson dan lain-lain), properti dan karakteristik numerik dipelajari, representasi grafis dapat dibangun untuk setiap deret distribusi: poligon (poligon) probabilitas, fungsi distribusi .

Di bawah ini Anda akan menemukan contoh keputusan tentang variabel acak diskrit, di mana diperlukan untuk menerapkan pengetahuan dari bagian sebelumnya dari teori probabilitas untuk menyusun hukum distribusi, dan kemudian menghitung ekspektasi matematis, varians, standar deviasi, membangun fungsi distribusi , menjawab pertanyaan tentang DSV, dll. P.

Contoh untuk hukum distribusi probabilitas populer:

Kalkulator untuk karakteristik DSV

• Perhitungan ekspektasi matematis, varians dan standar deviasi dari DSV.

Memecahkan masalah tentang DSV

Distribusi yang dekat dengan geometrik

Tugas 1. Ada 4 lampu lalu lintas di jalan mobil, yang masing-masing melarang pergerakan mobil lebih lanjut dengan probabilitas 0,5. Tentukan jumlah distribusi jumlah lampu lalu lintas yang dilewati mobil sebelum pemberhentian pertama. Apa harapan matematis dan varians dari variabel acak ini?

Tugas 2. Pemburu menembak pada permainan sebelum pukulan pertama, tetapi berhasil membuat tidak lebih dari empat tembakan. Tuliskan hukum distribusi untuk jumlah meleset jika peluang mengenai sasaran dengan satu tembakan adalah 0,7. Temukan varians dari variabel acak ini.

Tugas 3. Penembak, memiliki 3 peluru, menembak sasaran hingga pukulan pertama. Peluang terjadinya pukulan pertama, kedua dan ketiga berturut-turut adalah 0,6, 0,5, 0,4. S.V. $\xi$ - jumlah kartrid yang tersisa. Kompilasi deret distribusi variabel acak, temukan ekspektasi matematis, varians, simpangan baku dari r.v., bangun fungsi distribusi dari r.v., cari $P(|\xi-m| \le \sigma$.

Tugas 4. Kotak berisi 7 bagian standar dan 3 bagian yang rusak. Bagian-bagian tersebut dikeluarkan secara berurutan sampai yang standar muncul, tanpa mengembalikannya kembali. $\xi$ - jumlah bagian yang rusak diambil.
Buatlah hukum distribusi untuk variabel acak diskrit $\xi$, hitung ekspektasi matematisnya, varians, standar deviasinya, gambar poligon distribusi dan grafik fungsi distribusinya.

Tugas dengan Acara Independen

Tugas 5. 3 siswa datang ke ujian ulang teori probabilitas. Probabilitas bahwa yang pertama akan lulus ujian adalah 0,8, yang kedua - 0,7, yang ketiga - 0,9. Temukan deret distribusi variabel acak $\xi$ dari jumlah siswa yang lulus ujian, buat grafik fungsi distribusinya, cari $M(\xi), D(\xi)$.

Tugas 6. Probabilitas mengenai target dengan satu tembakan adalah 0,8 dan berkurang dengan setiap tembakan sebesar 0,1. Buatlah hukum distribusi untuk jumlah pukulan pada target jika tiga tembakan dilepaskan. Temukan ekspektasi matematis, varians dan S.K.O. variabel acak ini. Gambarkan fungsi distribusinya.

Tugas 7. 4 tembakan dilepaskan ke sasaran. Dalam hal ini, kemungkinan memukul meningkat sebagai berikut: 0.2, 0.4, 0.6, 0.7. Temukan hukum distribusi variabel acak $X$ - jumlah hit. Temukan probabilitas bahwa $X \ge 1$.

Tugas 8. Dua koin simetris dilempar, jumlah lambang di kedua sisi atas koin dihitung. Kami mempertimbangkan variabel acak diskrit $X$ - jumlah lambang pada kedua koin. Tuliskan hukum distribusi variabel acak $X$, temukan ekspektasi matematisnya.

Tugas lain dan hukum distribusi DSV

Tugas 9. Dua pemain bola basket membuat tiga tembakan ke keranjang. Probabilitas memukul untuk pemain bola basket pertama adalah 0,6, untuk yang kedua - 0,7. Biarkan $X$ menjadi selisih antara jumlah lemparan yang berhasil dari pemain bola basket pertama dan kedua. Temukan deret distribusi, modus dan fungsi distribusi dari variabel acak $X$. Buatlah poligon distribusi dan plot fungsi distribusinya. Hitung ekspektasi matematis, varians dan standar deviasi. Tentukan peluang kejadian $(-2 \lt X \le 1)$.

Tugas 10. Jumlah kapal non-residen yang tiba setiap hari untuk pemuatan di pelabuhan tertentu adalah nilai acak $X$, diberikan sebagai berikut:
0 1 2 3 4 5
0,1 0,2 0,4 0,1 0,1 0,1
A) pastikan seri distribusi diatur,
B) temukan fungsi distribusi dari variabel acak $X$,
C) jika lebih dari tiga kapal tiba pada hari tertentu, pelabuhan bertanggung jawab atas biaya karena kebutuhan untuk menyewa pengemudi dan pemuat tambahan. Berapa probabilitas bahwa pelabuhan akan dikenakan biaya tambahan?
D) temukan ekspektasi matematis, varians dan standar deviasi dari variabel acak $X$.

Tugas 11. Lempar 4 dadu. Temukan harapan matematis dari jumlah jumlah titik yang akan jatuh pada semua wajah.

Tugas 12. Dua pemain bergiliran melempar koin sampai lambang pertama kali muncul. Pemain yang lambangnya jatuh menerima 1 rubel dari pemain lain. Temukan ekspektasi matematis dari hasil setiap pemain.

Seperti diketahui, variabel acak disebut variabel yang dapat mengambil nilai tertentu tergantung pada kasusnya. Variabel acak dilambangkan dengan huruf kapital alfabet Latin (X, Y, Z), dan nilainya - dengan huruf kecil yang sesuai (x, y, z). Variabel acak dibagi menjadi diskontinyu (diskrit) dan kontinu.

Variabel acak diskrit disebut variabel acak yang hanya mengambil himpunan nilai yang terbatas atau tak terbatas (dapat dihitung) dengan probabilitas tertentu yang bukan nol.

Hukum distribusi variabel acak diskrit adalah fungsi yang menghubungkan nilai-nilai variabel acak dengan probabilitas yang sesuai. Hukum distribusi dapat ditentukan dengan salah satu cara berikut.

1 . Hukum distribusi dapat diberikan oleh tabel:

dimana >0, k = 0, 1, 2, … .

di) melalui fungsi distribusi F(x) , yang menentukan untuk setiap nilai x probabilitas bahwa variabel acak X mengambil nilai kurang dari x, yaitu. F(x) = P(X< x).

Sifat-sifat fungsi F(x)

3 . Hukum distribusi dapat diatur secara grafis – poligon distribusi (poligon) (lihat soal 3).

Perhatikan bahwa untuk menyelesaikan beberapa masalah, tidak perlu mengetahui hukum distribusi. Dalam beberapa kasus, cukup mengetahui satu atau lebih angka yang mencerminkan fitur terpenting dari hukum distribusi. Itu bisa berupa angka yang memiliki arti "nilai rata-rata" dari variabel acak, atau angka yang menunjukkan ukuran rata-rata penyimpangan variabel acak dari nilai rata-ratanya. Bilangan semacam ini disebut karakteristik numerik dari variabel acak.

Karakteristik numerik dasar dari variabel acak diskrit :

• Harapan matematis (nilai rata-rata) dari variabel acak diskrit M(X)=Σ x i p i.
  Untuk distribusi binomial M(X)=np, untuk distribusi Poisson M(X)=λ
• Penyebaran variabel acak diskrit D(X)=M2 atau D(X) = M(X 2) 2. Selisih X–M(X) disebut deviasi variabel acak dari ekspektasi matematisnya.
  Untuk distribusi binomial D(X)=npq, untuk distribusi Poisson D(X)=λ
• Standar deviasi (deviasi standar) (X)=√D(X).

Contoh penyelesaian masalah dengan topik "Hukum distribusi variabel acak diskrit"

Tugas 1.

1.000 tiket lotere telah dikeluarkan: 5 di antaranya akan memenangkan 500 rubel, 10 akan memenangkan 100 rubel, 20 akan memenangkan 50 rubel, dan 50 akan memenangkan 10 rubel. Tentukan hukum distribusi probabilitas dari variabel acak X - kemenangan per tiket.

Keputusan. Sesuai dengan kondisi soal, nilai variabel acak X berikut ini mungkin: 0, 10, 50, 100 dan 500.

Jumlah tiket tanpa kemenangan adalah 1000 - (5+10+20+50) = 915, maka P(X=0) = 915/1000 = 0,915.

Demikian pula, kami menemukan semua probabilitas lainnya: P(X=0) = 50/1000=0,05, P(X=50) = 20/1000=0,02, P(X=100) = 10/1000=0,01 , P(X =500) = 5/1000=0,005. Kami menyajikan hukum yang dihasilkan dalam bentuk tabel:

Tentukan ekspektasi matematis dari X: M(X) = 1*1/6 + 2*1/6 + 3*1/6 + 4*1/6 + 5*1/6 + 6*1/6 = (1 + 2+3+4+5+6)/6 = 21/6 = 3,5

Tugas 3.

Perangkat ini terdiri dari tiga elemen yang beroperasi secara independen. Probabilitas kegagalan setiap elemen dalam satu percobaan adalah 0,1. Buatlah hukum distribusi untuk jumlah elemen yang gagal dalam satu percobaan, buat poligon distribusi. Temukan fungsi distribusi F(x) dan plotkan. Temukan ekspektasi matematis, varians dan standar deviasi dari variabel acak diskrit.

Keputusan. 1. Variabel acak diskrit X=(jumlah elemen yang gagal dalam satu percobaan) memiliki kemungkinan nilai berikut: x 1 =0 (tidak ada elemen perangkat yang gagal), x 2 =1 (satu elemen gagal), x 3 =2 ( dua elemen gagal ) dan x 4 \u003d 3 (tiga elemen gagal).

Kegagalan elemen tidak tergantung satu sama lain, probabilitas kegagalan setiap elemen sama satu sama lain, oleh karena itu, ini berlaku rumus Bernoulli . Mengingat bahwa, dengan kondisi, n=3, p=0.1, q=1-p=0.9, kami menentukan probabilitas nilai:
P 3 (0) \u003d C 3 0 p 0 q 3-0 \u003d q 3 \u003d 0,9 3 \u003d 0,729;
P 3 (1) \u003d C 3 1 p 1 q 3-1 \u003d 3 * 0,1 * 0,9 2 \u003d 0,243;
P 3 (2) \u003d C 3 2 p 2 q 3-2 \u003d 3 * 0,1 2 * 0,9 \u003d 0,027;
P 3 (3) \u003d C 3 3 p 3 q 3-3 \u003d p 3 \u003d 0,1 3 \u003d 0,001;
Periksa: p i = 0,729+0,243+0,027+0,001=1.

Dengan demikian, hukum distribusi binomial X yang diinginkan memiliki bentuk:

Pada sumbu absis, kami memplot nilai yang mungkin x i, dan pada sumbu ordinat, probabilitas yang sesuai i . Mari kita buat titik M 1 (0; 0,729), M 2 (1; 0,243), M 3 (2; 0,027), M 4 (3; 0,001). Menghubungkan titik-titik ini dengan segmen garis, kami memperoleh poligon distribusi yang diinginkan.

3. Tentukan fungsi distribusi F(x) = P(X

Untuk x 0 kita memiliki F(x) = P(X<0) = 0;
untuk 0< x ≤1 имеем F(x) = Р(Х<1) = Р(Х = 0) = 0,729;
untuk 1< x ≤ 2 F(x) = Р(Х<2) = Р(Х=0) + Р(Х=1) =0,729+ 0,243 = 0,972;
untuk 2< x ≤ 3 F(x) = Р(Х<3) = Р(Х = 0) + Р(Х = 1) + Р(Х = 2) = 0,972+0,027 = 0,999;
untuk x > 3 menjadi F(x) = 1, karena peristiwa itu pasti.

Grafik fungsi F(x)

4. Untuk distribusi binomial X:
- ekspektasi matematis (X) = np = 3*0.1 = 0.3;
- dispersi D(X) = npq = 3*0.1*0.9 = 0.27;
- simpangan baku (X) = D(X) = 0,27 0,52.