როგორ დავწეროთ სწორი ხაზის განტოლება სამი წერტილიდან. სწორი ხაზის განტოლება, რომელიც გადის ორ მოცემულ წერტილში: მაგალითები, ამონახსნები

ეს სტატია ავლენს სიბრტყეზე მდებარე მართკუთხა კოორდინატთა სისტემის ორ მოცემულ წერტილში გამავალი სწორი ხაზის განტოლების წარმოშობას. ჩვენ გამოვიყვანთ სწორი ხაზის განტოლებას, რომელიც გადის ორ მოცემულ წერტილში მართკუთხა კოორდინატთა სისტემაში. ვიზუალურად ვაჩვენებთ და ამოხსნით გაშუქებულ მასალასთან დაკავშირებულ რამდენიმე მაგალითს.

Yandex.RTB R-A-339285-1

ორ მოცემულ წერტილში გამავალი სწორი ხაზის განტოლების მიღებამდე აუცილებელია ყურადღება მიაქციოთ რამდენიმე ფაქტს. არის აქსიომა, რომელიც ამბობს, რომ სიბრტყეზე ორი არათანაბარი წერტილის მეშვეობით შესაძლებელია სწორი ხაზის დახატვა და მხოლოდ ერთი. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, სიბრტყის ორი მოცემული წერტილი განისაზღვრება ამ წერტილებში გამავალი სწორი ხაზით.

თუ სიბრტყე მოცემულია მართკუთხა კოორდინატთა სისტემით Oxy, მაშინ მასში გამოსახული ნებისმიერი სწორი ხაზი შეესაბამება სიბრტყეზე სწორი ხაზის განტოლებას. ასევე არის კავშირი სწორი წრფის მიმართულ ვექტორთან, ეს მონაცემები საკმარისია ორ მოცემულ წერტილში გამავალი სწორი წრფის განტოლების შესაქმნელად.

განვიხილოთ მსგავსი პრობლემის გადაჭრის მაგალითი. აუცილებელია ჩამოვაყალიბოთ სწორი ხაზის განტოლება a, რომელიც გადის დეკარტის კოორდინატულ სისტემაში მდებარე ორ შეუსაბამო წერტილში M 1 (x 1, y 1) და M 2 (x 2, y 2).

სიბრტყეზე სწორი ხაზის კანონიკურ განტოლებაში, რომელსაც აქვს ფორმა x - x 1 a x \u003d y - y 1 a y, მართკუთხა კოორდინატთა სისტემა O x y მითითებულია სწორი ხაზით, რომელიც კვეთს მას წერტილში M კოორდინატებით. 1 (x 1, y 1) სახელმძღვანელო ვექტორით a → = (a x , a y) .

აუცილებელია შეადგინოთ a სწორი წრფის კანონიკური განტოლება, რომელიც გაივლის ორ წერტილს M 1 (x 1, y 1) და M 2 (x 2, y 2) კოორდინატებით.

სწორ ხაზს a აქვს მიმართული ვექტორი M 1 M 2 → კოორდინატებით (x 2 - x 1, y 2 - y 1), რადგან ის კვეთს M 1 და M 2 წერტილებს. ჩვენ მივიღეთ საჭირო მონაცემები კანონიკური განტოლების გადასატანად მიმართულების ვექტორის M 1 M 2 → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1) კოორდინატებით და მათზე მდებარე M 1 წერტილების კოორდინატებით. (x 1, y 1) და M 2 (x 2 , y 2) . ვიღებთ x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 ან x - x 2 x 2 - x 1 = y - y 2 y 2 - y 1 ფორმის განტოლებას.

განვიხილოთ ქვემოთ მოყვანილი ფიგურა.

გამოთვლების შემდეგ ვწერთ სწორი ხაზის პარამეტრულ განტოლებებს სიბრტყეში, რომელიც გადის ორ წერტილში M 1 (x 1, y 1) და M 2 (x 2, y 2) კოორდინატებით. ვიღებთ x \u003d x 1 + (x 2 - x 1) λ y \u003d y 1 + (y 2 - y 1) λ ან x \u003d x 2 + (x 2 - x 1) λ ფორმის განტოლებას y \u003d y 2 + (y 2 - y 1) λ.

მოდით უფრო დეტალურად განვიხილოთ რამდენიმე მაგალითი.

მაგალითი 1

დაწერეთ სწორი ხაზის განტოლება, რომელიც გადის 2 მოცემულ წერტილში M 1 - 5 , 2 3 , M 2 1 , - 1 6 კოორდინატებით.

გადაწყვეტილება

კანონიკური განტოლება სწორი ხაზისთვის, რომელიც კვეთს ორ წერტილს x 1 , y 1 და x 2 , y 2 კოორდინატებით, იღებს ფორმას x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 . პრობლემის პირობის მიხედვით, გვაქვს, რომ x 1 \u003d - 5, y 1 \u003d 2 3, x 2 \u003d 1, y 2 \u003d - 1 6. აუცილებელია რიცხვითი მნიშვნელობების ჩანაცვლება განტოლებაში x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 . აქედან მივიღებთ, რომ კანონიკური განტოლება მიიღებს x - (- 5) 1 - (- 5) = y - 2 3 - 1 6 - 2 3 ⇔ x + 5 6 = y - 2 3 - 5 6 ფორმას.

პასუხი: x + 5 6 = y - 2 3 - 5 6 .

თუ საჭიროა პრობლემის გადაჭრა სხვა ტიპის განტოლებით, მაშინ დასაწყისისთვის შეგიძლიათ გადახვიდეთ კანონიკურზე, რადგან მისგან სხვასთან მისვლა უფრო ადვილია.

მაგალითი 2

შეადგინეთ სწორი ხაზის ზოგადი განტოლება, რომელიც გადის წერტილებს M 1 (1, 1) და M 2 (4, 2) კოორდინატებით O x y კოორდინატთა სისტემაში.

გადაწყვეტილება

ჯერ უნდა ჩაწეროთ მოცემული წრფის კანონიკური განტოლება, რომელიც გადის მოცემულ ორ წერტილში. ვიღებთ x - 1 4 - 1 = y - 1 2 - 1 ⇔ x - 1 3 = y - 1 1 ფორმის განტოლებას.

ჩვენ მივიღებთ კანონიკურ განტოლებას სასურველ ფორმამდე, შემდეგ მივიღებთ:

x - 1 3 = y - 1 1 ⇔ 1 x - 1 = 3 y - 1 ⇔ x - 3 y + 2 = 0

პასუხი: x - 3 y + 2 = 0 .

ასეთი ამოცანების მაგალითები განიხილებოდა სკოლის სახელმძღვანელოებში ალგებრის გაკვეთილებზე. სკოლის დავალებები განსხვავდებოდა იმით, რომ ცნობილი იყო სწორი ხაზის განტოლება ფერდობის კოეფიციენტით, რომელსაც აქვს ფორმა y \u003d k x + b. თუ გჭირდებათ k დახრილობის მნიშვნელობა და b რიცხვი, რომელზედაც განტოლება y \u003d k x + b განსაზღვრავს ხაზს O x y სისტემაში, რომელიც გადის M 1 (x 1, y 1) და M წერტილებში. 2 (x 2, y 2) , სადაც x 1 ≠ x 2 . როდესაც x 1 = x 2 , მაშინ ფერდობი იღებს უსასრულობის მნიშვნელობას და სწორი ხაზი M 1 M 2 განისაზღვრება x - x 1 = 0 ფორმის ზოგადი არასრული განტოლებით. .

რადგან წერტილები M 1და M 2არიან სწორ ხაზზე, მაშინ მათი კოორდინატები აკმაყოფილებს განტოლებას y 1 = k x 1 + b და y 2 = k x 2 + b. აუცილებელია y 1 = k x 1 + b y 2 = k x 2 + b განტოლებათა სისტემის ამოხსნა k და b მიმართ.

ამისათვის ჩვენ ვპოულობთ k \u003d y 2 - y 1 x 2 - x 1 b \u003d y 1 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 1 ან k \u003d y 2 - y 1 x 2 - x 1 b \u003d y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 2.

k და b ასეთი მნიშვნელობებით, მოცემულ ორ წერტილში გამავალი სწორი ხაზის განტოლება იღებს შემდეგ ფორმას y = y 2 - y 1 x 2 - x 1 x + y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 1 ან y \u003d y 2 - y 1 x 2 - x 1 x + y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 2.

ამხელა რაოდენობის ფორმულების ერთდროულად დამახსოვრება არ იმუშავებს. ამისათვის საჭიროა გამეორებების რაოდენობის გაზრდა პრობლემების გადაჭრაში.

მაგალითი 3

დაწერეთ სწორი ხაზის განტოლება ფერდობზე, რომელიც გადის წერტილებს M 2 (2, 1) და y = k x + b კოორდინატებით.

გადაწყვეტილება

პრობლემის გადასაჭრელად, ჩვენ ვიყენებთ ფორმულას დახრილობით, რომელსაც აქვს ფორმა y \u003d k x + b. k და b კოეფიციენტებმა უნდა მიიღონ ისეთი მნიშვნელობა, რომ ეს განტოლება შეესაბამებოდეს სწორ ხაზს, რომელიც გადის ორ წერტილში M 1 (- 7 , - 5) და M 2 (2 , 1) კოორდინატებით.

ქულები M 1და M 2მდებარეობს სწორ ხაზზე, მაშინ მათმა კოორდინატებმა უნდა შეცვალონ განტოლება y = k x + b სწორი ტოლობა. აქედან მივიღებთ, რომ - 5 = k · (- 7) + b და 1 = k · 2 + b. გავაერთიანოთ განტოლება სისტემაში - 5 = k · - 7 + b 1 = k · 2 + b და ამოვხსნათ.

ჩანაცვლებისას მივიღებთ ამას

5 = k - 7 + b 1 = k 2 + b ⇔ b = - 5 + 7 k 2 k + b = 1 ⇔ b = - 5 + 7 k 2 k - 5 + 7 k = 1 ⇔ ⇔ b = - 5 + 7 k k = 2 3 ⇔ b = - 5 + 7 2 3 k = 2 3 ⇔ b = - 1 3 k = 2 3

ახლა მნიშვნელობები k = 2 3 და b = - 1 3 ჩანაცვლებულია განტოლებაში y = k x + b. მივიღებთ, რომ მოცემულ წერტილებში გავლის სასურველი განტოლება იქნება განტოლება, რომელსაც აქვს ფორმა y = 2 3 x - 1 3.

გადაჭრის ეს გზა წინასწარ განსაზღვრავს დიდი დროის ხარჯვას. არსებობს გზა, რომლითაც ამოცანა წყდება სიტყვასიტყვით ორ ეტაპად.

ჩვენ ვწერთ სწორი ხაზის კანონიკურ განტოლებას, რომელიც გადის M 2 (2, 1) და M 1 (- 7, - 5) , რომელსაც აქვს ფორმა x - (- 7) 2 - (- 7) = y - (- 5). ) 1 - (- 5) ⇔ x + 7 9 = y + 5 6 .

ახლა გადავიდეთ დახრილობის განტოლებაზე. მივიღებთ, რომ: x + 7 9 = y + 5 6 ⇔ 6 (x + 7) = 9 (y + 5) ⇔ y = 2 3 x - 1 3 .

პასუხი: y = 2 3 x - 1 3 .

თუ სამგანზომილებიან სივრცეში არის მართკუთხა კოორდინატთა სისტემა O x y z ორი მოცემული არათანხვედრი წერტილით კოორდინატებით M 1 (x 1, y 1, z 1) და M 2 (x 2, y 2, z 2), სწორი ხაზი M, რომელიც გადის მათ 1 M 2, აუცილებელია ამ ხაზის განტოლების მიღება.

გვაქვს x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z ფორმის კანონიკური განტოლებები და x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ z = z 1 + a z λ. შეუძლია O x y z კოორდინატთა სისტემაში წრფის დაყენება, რომელიც გადის წერტილებს, რომლებსაც აქვთ კოორდინატები (x 1, y 1, z 1) მიმართული ვექტორით a → = (a x, a y, a z) .

Straight M 1 M 2 აქვს მიმართულების ვექტორი M 1 M 2 → = (x 2 - x 1 , y 2 - y 1 , z 2 - z 1) , სადაც ხაზი გადის M 1 (x 1 , y 1 , z ) წერტილში 1) და M 2 (x 2, y 2, z 2), შესაბამისად კანონიკური განტოლება შეიძლება იყოს x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 = z - z 1 z 2 - z 1 ან x - x 2 x 2 - x 1 \u003d y - y 2 y 2 - y 1 \u003d z - z 2 z 2 - z 1, თავის მხრივ, პარამეტრული x \u003d x 1 + (x 2 - x 1) λ y \u003d y 1 + (y 2 - y 1) λ z = z 1 + (z 2 - z 1) λ ან x = x 2 + (x 2 - x 1) λ y = y 2 + (y 2 - y 1) λ z \u003d z 2 + (z 2 - z 1) λ.

განვიხილოთ ფიგურა, რომელიც აჩვენებს 2 მოცემულ წერტილს სივრცეში და სწორი ხაზის განტოლებას.

მაგალითი 4

დაწერეთ სწორი ხაზის განტოლება, რომელიც განსაზღვრულია სამგანზომილებიანი სივრცის მართკუთხა კოორდინატულ სისტემაში O x y z, რომელიც გადის მოცემულ ორ წერტილში M 1 (2, - 3, 0) და M 2 (1, - 3, - 5) კოორდინატებით. ) .

გადაწყვეტილება

ჩვენ უნდა ვიპოვოთ კანონიკური განტოლება. ვინაიდან ჩვენ ვსაუბრობთ სამგანზომილებიან სივრცეზე, ეს ნიშნავს, რომ როდესაც სწორი ხაზი გადის მოცემულ წერტილებს, სასურველი კანონიკური განტოლება მიიღებს x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 = z - z 1 z 2 - z 1 .

პირობით, გვაქვს, რომ x 1 = 2, y 1 = - 3, z 1 = 0, x 2 = 1, y 2 = - 3, z 2 = - 5. აქედან გამომდინარეობს, რომ აუცილებელი განტოლებები შეიძლება ჩაიწეროს შემდეგნაირად:

x - 2 1 - 2 = y - (- 3) - 3 - (- 3) = z - 0 - 5 - 0 ⇔ x - 2 - 1 = y + 3 0 = z - 5

პასუხი: x - 2 - 1 = y + 3 0 = z - 5.

თუ შეამჩნევთ შეცდომას ტექსტში, მონიშნეთ იგი და დააჭირეთ Ctrl+Enter

ეს სტატია აგრძელებს სიბრტყეზე სწორი ხაზის განტოლების თემას: განიხილეთ განტოლების ისეთი ტიპი, როგორიცაა სწორი ხაზის ზოგადი განტოლება. განვსაზღვროთ თეორემა და დავამტკიცოთ იგი; მოდით გავარკვიოთ, რა არის სწორი ხაზის არასრული ზოგადი განტოლება და როგორ განვახორციელოთ გადასვლები ზოგადი განტოლებიდან სხვა ტიპის სწორი ხაზის განტოლებაზე. ჩვენ გავაერთიანებთ მთელ თეორიას ილუსტრაციებით და პრაქტიკული პრობლემების გადაწყვეტით.

Yandex.RTB R-A-339285-1

სიბრტყეზე მოცემული იყოს მართკუთხა კოორდინატთა სისტემა O x y.

თეორემა 1

პირველი ხარისხის ნებისმიერი განტოლება, რომელსაც აქვს ფორმა A x + B y + C \u003d 0, სადაც A, B, C არის რამდენიმე რეალური რიცხვი (A და B ერთდროულად არ არის ნულის ტოლი) განსაზღვრავს სწორ ხაზს მართკუთხა კოორდინატთა სისტემა სიბრტყეზე. თავის მხრივ, სიბრტყეზე მართკუთხა კოორდინატთა სისტემის ნებისმიერი ხაზი განისაზღვრება განტოლებით, რომელსაც აქვს ფორმა A x + B y + C = 0 მნიშვნელობების გარკვეული ნაკრებისთვის A, B, C.

მტკიცებულება

ეს თეორემა ორი წერტილისგან შედგება, თითოეულ მათგანს დავამტკიცებთ.

დავამტკიცოთ, რომ განტოლება A x + B y + C = 0 განსაზღვრავს წრფეს სიბრტყეზე.

იყოს რაღაც წერტილი M 0 (x 0 , y 0), რომლის კოორდინატები შეესაბამება A x + B y + C = 0 განტოლებას. ამრიგად: A x 0 + B y 0 + C = 0. გამოვაკლოთ განტოლებების მარცხენა და მარჯვენა მხარეებს A x + B y + C \u003d 0 განტოლების მარცხენა და მარჯვენა მხარეები A x 0 + B y 0 + C \u003d 0, მივიღებთ ახალ განტოლებას, რომელიც ჰგავს A-ს. (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 . ის უდრის A x + B y + C = 0-ს.

მიღებული განტოლება A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 არის აუცილებელი და საკმარისი პირობა n → = (A, B) და M 0 M → = (x - x ვექტორების პერპენდიკულარულობისთვის. 0, y - y 0). ამრიგად, M (x, y) წერტილების სიმრავლე განსაზღვრავს მართკუთხა კოორდინატულ სისტემაში n → = (A, B) ვექტორის მიმართულების პერპენდიკულარულ სწორ ხაზს. შეგვიძლია ვივარაუდოთ, რომ ეს ასე არ არის, მაგრამ მაშინ ვექტორები n → = (A, B) და M 0 M → = (x - x 0, y - y 0) არ იქნება პერპენდიკულარული და ტოლობა A (x - x 0 ) + B (y - y 0) = 0 არ იქნება მართალი.

ამრიგად, განტოლება A (x - x 0) + B (y - y 0) \u003d 0 განსაზღვრავს გარკვეულ ხაზს მართკუთხა კოორდინატულ სისტემაში სიბრტყეზე და, შესაბამისად, ექვივალენტური განტოლება A x + B y + C \u003d 0 განსაზღვრავს იგივე ხაზი. ამრიგად, ჩვენ დავამტკიცეთ თეორემის პირველი ნაწილი.

დავამტკიცოთ, რომ სიბრტყეზე მართკუთხა კოორდინატთა სისტემის ნებისმიერი სწორი ხაზი შეიძლება მივიღოთ პირველი ხარისხის A x + B y + C = 0 განტოლებით.

სიბრტყეზე მართკუთხა კოორდინატულ სისტემაში დავსახოთ სწორი ხაზი a; წერტილი M 0 (x 0 , y 0), რომლითაც გადის ეს წრფე, ისევე როგორც ამ წრფის ნორმალური ვექტორი n → = (A , B) .

ასევე არსებობდეს M (x, y) წერტილი - წრფის მცურავი წერტილი. ამ შემთხვევაში ვექტორები n → = (A , B) და M 0 M → = (x - x 0 , y - y 0) ერთმანეთის პერპენდიკულარულია და მათი სკალარული ნამრავლი არის ნული:

n → , M 0 M → = A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0

გადავწეროთ განტოლება A x + B y - A x 0 - B y 0 = 0 , განვსაზღვროთ C: C = - A x 0 - B y 0 და ბოლოს მივიღოთ განტოლება A x + B y + C = 0 .

ასე რომ, ჩვენ დავამტკიცეთ თეორემის მეორე ნაწილი და დავამტკიცეთ მთელი თეორემა მთლიანობაში.

განმარტება 1

განტოლება, რომელიც ჰგავს A x + B y + C = 0 - ეს სწორი ხაზის ზოგადი განტოლებამართკუთხა კოორდინატულ სისტემაში სიბრტყეზეO x y.

დადასტურებული თეორემის საფუძველზე შეგვიძლია დავასკვნათ, რომ სწორკუთხა კოორდინატულ სისტემაში სიბრტყეზე მოცემული სწორი ხაზი და მისი ზოგადი განტოლება განუყოფლად არის დაკავშირებული. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, თავდაპირველი ხაზი შეესაბამება მის ზოგად განტოლებას; სწორი ხაზის ზოგადი განტოლება შეესაბამება მოცემულ სწორ ხაზს.

თეორემის დადასტურებიდან ასევე გამომდინარეობს, რომ A და B კოეფიციენტები x და y ცვლადებისთვის არის სწორი ხაზის ნორმალური ვექტორის კოორდინატები, რომელიც მოცემულია A x + B y + სწორი ხაზის ზოგადი განტოლებით. C = 0.

განვიხილოთ სწორი ხაზის ზოგადი განტოლების კონკრეტული მაგალითი.

მოცემული იყოს განტოლება 2 x + 3 y - 2 = 0, რომელიც შეესაბამება სწორ ხაზს მოცემულ მართკუთხა კოორდინატულ სისტემაში. ამ ხაზის ნორმალური ვექტორი არის ვექტორი n → = (2, 3). დახაზეთ მოცემული სწორი ხაზი ნახაზზე.

ასევე შეიძლება დავამტკიცოთ: სწორი ხაზი, რომელსაც ნახატზე ვხედავთ, განისაზღვრება ზოგადი განტოლებით 2 x + 3 y - 2 = 0, ვინაიდან მოცემული სწორი ხაზის ყველა წერტილის კოორდინატები შეესაბამება ამ განტოლებას.

ჩვენ შეგვიძლია მივიღოთ განტოლება λ · A x + λ · B y + λ · C = 0 ზოგადი სწორი ხაზის განტოლების ორივე მხარის არანულოვანი რიცხვით λ-ზე გამრავლებით. შედეგად მიღებული განტოლება ორიგინალური ზოგადი განტოლების ექვივალენტურია, შესაბამისად, იგი აღწერს იმავე ხაზს სიბრტყეში.

განმარტება 2

სწორი ხაზის სრული ზოგადი განტოლება- A x + B y + C \u003d 0 წრფის ასეთი ზოგადი განტოლება, რომელშიც რიცხვები A, B, C არ არის ნულოვანი. წინააღმდეგ შემთხვევაში, განტოლება არის არასრული.

მოდით გავაანალიზოთ სწორი ხაზის არასრული ზოგადი განტოლების ყველა ვარიაცია.

როდესაც A \u003d 0, B ≠ 0, C ≠ 0, ზოგადი განტოლება ხდება B y + C \u003d 0. ასეთი არასრული ზოგადი განტოლება განსაზღვრავს სწორ ხაზს მართკუთხა კოორდინატულ სისტემაში O x y, რომელიც პარალელურია O x ღერძის, რადგან x-ის ნებისმიერი რეალური მნიშვნელობისთვის, ცვლადი y მიიღებს მნიშვნელობას. - C B. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, A x + B y + C \u003d 0 წრფის ზოგადი განტოლება, როდესაც A \u003d 0, B ≠ 0, განსაზღვრავს წერტილების ადგილს (x, y), რომელთა კოორდინატები უდრის იგივე რიცხვს. - C B.
თუ A \u003d 0, B ≠ 0, C \u003d 0, ზოგადი განტოლება ხდება y \u003d 0. ასეთი არასრული განტოლება განსაზღვრავს x-ღერძს O x.
როდესაც A ≠ 0, B \u003d 0, C ≠ 0, ჩვენ ვიღებთ არასრულ ზოგად განტოლებას A x + C \u003d 0, რომელიც განსაზღვრავს y-ღერძის პარალელურ სწორ ხაზს.
მოდით A ≠ 0, B \u003d 0, C \u003d 0, მაშინ არასრული ზოგადი განტოლება მიიღებს x \u003d 0 ფორმას და ეს არის O y კოორდინატთა ხაზის განტოლება.
დაბოლოს, როდესაც A ≠ 0, B ≠ 0, C \u003d 0, არასრული ზოგადი განტოლება იღებს ფორმას A x + B y \u003d 0. და ეს განტოლება აღწერს სწორ ხაზს, რომელიც გადის საწყისზე. მართლაც, რიცხვების წყვილი (0, 0) შეესაბამება ტოლობას A x + B y = 0, ვინაიდან A · 0 + B · 0 = 0.

მოდით გრაფიკულად გამოვხატოთ სწორი ხაზის არასრული ზოგადი განტოლების ყველა ზემოთ ჩამოთვლილი ტიპი.

მაგალითი 1

ცნობილია, რომ მოცემული სწორი ხაზი y-ღერძის პარალელურია და გადის 2 7 , - 11 წერტილში. აუცილებელია მოცემული სწორი ხაზის ზოგადი განტოლების ჩაწერა.

გადაწყვეტილება

სწორი ხაზი y-ღერძის პარალელურად მოცემულია A x + C \u003d 0 ფორმის განტოლებით, რომელშიც A ≠ 0. პირობა ასევე განსაზღვრავს იმ წერტილის კოორდინატებს, რომლითაც გადის ხაზი და ამ წერტილის კოორდინატები შეესაბამება არასრული ზოგადი განტოლების პირობებს A x + C = 0, ე.ი. თანასწორობა სწორია:

A 2 7 + C = 0

მისგან C-ის დადგენა შესაძლებელია A-ს არა-ნულოვანი მნიშვნელობის მიცემით, მაგალითად, A = 7. ამ შემთხვევაში ვიღებთ: 7 2 7 + C \u003d 0 ⇔ C \u003d - 2. ჩვენ ვიცით ორივე კოეფიციენტი A და C, შევცვალოთ ისინი განტოლებაში A x + C = 0 და მივიღოთ წრფის საჭირო განტოლება: 7 x - 2 = 0.

პასუხი: 7 x - 2 = 0

მაგალითი 2

ნახატზე ნაჩვენებია სწორი ხაზი, აუცილებელია მისი განტოლების ჩაწერა.

გადაწყვეტილება

მოცემული ნახაზი საშუალებას გვაძლევს მარტივად ავიღოთ საწყისი მონაცემები პრობლემის გადასაჭრელად. ნახაზზე ვხედავთ, რომ მოცემული წრფე პარალელურია O x ღერძისა და გადის წერტილში (0, 3).

სწორი ხაზი, რომელიც აბსცისის პარალელურია, განისაზღვრება არასრული ზოგადი განტოლებით B y + С = 0. იპოვეთ B და C მნიშვნელობები. წერტილის კოორდინატები (0, 3), ვინაიდან მოცემული სწორი ხაზი გადის მასში, დააკმაყოფილებს B y + С = 0 სწორი ხაზის განტოლებას, მაშინ ტოლობა მოქმედებს: В · 3 + С = 0. მოდით დავაყენოთ B ნულის გარდა სხვა მნიშვნელობაზე. ვთქვათ B \u003d 1, ამ შემთხვევაში, B · 3 + C \u003d 0 ტოლობიდან შეგვიძლია ვიპოვოთ C: C \u003d - 3. B და C ცნობილი მნიშვნელობების გამოყენებით ვიღებთ სწორი ხაზის საჭირო განტოლებას: y - 3 = 0.

პასუხი: y - 3 = 0.

სიბრტყის მოცემულ წერტილში გამავალი სწორი ხაზის ზოგადი განტოლება

მოცემულმა წრფემ გაიაროს M 0 (x 0, y 0) წერტილი, მაშინ მისი კოორდინატები შეესაბამება წრფის ზოგად განტოლებას, ე.ი. ტოლობა მართალია: A x 0 + B y 0 + C = 0 . გამოვაკლოთ ამ განტოლების მარცხენა და მარჯვენა მხარეები სწორი ხაზის ზოგადი სრული განტოლების მარცხენა და მარჯვენა მხარეს. ვიღებთ: A (x - x 0) + B (y - y 0) + C \u003d 0, ეს განტოლება უდრის თავდაპირველ ზოგადს, გადის M 0 წერტილში (x 0, y 0) და აქვს ნორმალური ვექტორი n → \u003d (A, B) .

ჩვენ მიერ მიღებული შედეგი შესაძლებელს ხდის დავწეროთ სწორი ხაზის ზოგადი განტოლება სწორი ხაზის ნორმალური ვექტორის ცნობილი კოორდინატებისთვის და ამ სწორი ხაზის გარკვეული წერტილის კოორდინატებისთვის.

მაგალითი 3

მოცემულია წერტილი M 0 (- 3, 4), რომლითაც გადის წრფე და ამ წრფის ნორმალური ვექტორი n → = (1 , - 2) . აუცილებელია მოცემული სწორი ხაზის განტოლების ჩაწერა.

გადაწყვეტილება

საწყისი პირობები საშუალებას გვაძლევს მივიღოთ განტოლების შედგენისთვის საჭირო მონაცემები: A \u003d 1, B \u003d - 2, x 0 \u003d - 3, y 0 \u003d 4. შემდეგ:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 1 (x - (- 3)) - 2 y (y - 4) = 0 ⇔ ⇔ x - 2 y + 22 = 0

პრობლემის სხვაგვარად გადაჭრა შეიძლებოდა. სწორი ხაზის ზოგად განტოლებას აქვს ფორმა A x + B y + C = 0. მოცემული ნორმალური ვექტორი საშუალებას გაძლევთ მიიღოთ A და B კოეფიციენტების მნიშვნელობები, შემდეგ:

A x + B y + C = 0 ⇔ 1 x - 2 y + C = 0 ⇔ x - 2 y + C = 0

ახლა ვიპოვოთ C-ის მნიშვნელობა ამოცანის პირობით მოცემული წერტილის M 0 (- 3, 4) გამოყენებით, რომლითაც გადის წრფე. ამ წერტილის კოორდინატები შეესაბამება განტოლებას x - 2 · y + C = 0, ე.ი. - 3 - 2 4 + C \u003d 0. აქედან გამომდინარე, C = 11. საჭირო სწორი ხაზის განტოლება იღებს ფორმას: x - 2 · y + 11 = 0 .

პასუხი: x - 2 y + 11 = 0.

მაგალითი 4

მოცემულია ხაზი 2 3 x - y - 1 2 = 0 და წერტილი M 0, რომელიც დევს ამ წრფეზე. ამ წერტილის მხოლოდ აბსციზაა ცნობილი და ის უდრის - 3-ს. აუცილებელია მოცემული პუნქტის ორდინატის განსაზღვრა.

გადაწყვეტილება

მოდით დავაყენოთ M 0 წერტილის კოორდინატების აღნიშვნა x 0 და y 0 . საწყისი მონაცემები მიუთითებს, რომ x 0 \u003d - 3. ვინაიდან წერტილი მიეკუთვნება მოცემულ წრფეს, მაშინ მისი კოორდინატები შეესაბამება ამ წრფის ზოგად განტოლებას. მაშინ შემდეგი თანასწორობა იქნება ჭეშმარიტი:

2 3 x 0 - y 0 - 1 2 = 0

განსაზღვრეთ y 0: 2 3 (- 3) - y 0 - 1 2 = 0 ⇔ - 5 2 - y 0 = 0 ⇔ y 0 = - 5 2

პასუხი: - 5 2

სწორი ხაზის ზოგადი განტოლებიდან გადასვლა სწორი ხაზის განტოლებათა სხვა ტიპებზე და პირიქით

როგორც ვიცით, სიბრტყეში ერთი და იგივე სწორი ხაზის განტოლების რამდენიმე ტიპი არსებობს. განტოლების ტიპის არჩევანი დამოკიდებულია პრობლემის პირობებზე; შესაძლებელია აირჩიოს ის, რომელიც უფრო მოსახერხებელია მისი გადაწყვეტისთვის. სწორედ აქ გამოდგება ერთი სახის განტოლების სხვა სახის განტოლებად გადაქცევის უნარი.

ჯერ განვიხილოთ A x + B y + C = 0 ფორმის ზოგადი განტოლებიდან გადასვლა კანონიკურ განტოლებაზე x - x 1 a x = y - y 1 a y .

თუ A ≠ 0, მაშინ B y ტერმინს გადავიტანთ ზოგადი განტოლების მარჯვენა მხარეს. მარცხენა მხარეს ვიღებთ A-ს ფრჩხილებიდან. შედეგად მივიღებთ: A x + C A = - B y .

ეს ტოლობა შეიძლება დაიწეროს პროპორციულად: x + C A - B = y A .

თუ B ≠ 0, ზოგადი განტოლების მარცხენა მხარეს ვტოვებთ მხოლოდ ტერმინს A x, დანარჩენებს გადავიტანთ მარჯვენა მხარეს, მივიღებთ: A x \u003d - B y - C. ფრჩხილებიდან ამოვიღებთ - B, შემდეგ: A x \u003d - B y + C B.

გადავიწეროთ ტოლობა პროპორციულად: x - B = y + C B A .

რა თქმა უნდა, არ არის საჭირო მიღებული ფორმულების დამახსოვრება. საკმარისია ვიცოდეთ მოქმედებების ალგორითმი ზოგადი განტოლებიდან კანონიკურზე გადასვლისას.

მაგალითი 5

მოცემულია 3 y - 4 = 0 წრფის ზოგადი განტოლება. ის უნდა გარდაიქმნას კანონიკურ განტოლებად.

გადაწყვეტილება

ჩვენ ვწერთ თავდაპირველ განტოლებას, როგორც 3 y - 4 = 0. შემდეგი, ჩვენ ვმოქმედებთ ალგორითმის მიხედვით: ტერმინი 0 x რჩება მარცხენა მხარეს; ხოლო მარჯვენა მხარეს ამოვიღებთ - 3 ფრჩხილიდან; ვიღებთ: 0 x = - 3 y - 4 3 .

მიღებული ტოლობა ჩავწეროთ პროპორციულად: x - 3 = y - 4 3 0 . ამრიგად, ჩვენ მივიღეთ კანონიკური ფორმის განტოლება.

პასუხი: x - 3 = y - 4 3 0.

სწორი ხაზის ზოგადი განტოლების პარამეტრულებად გადაქცევისთვის ჯერ ხდება კანონიკურ ფორმაზე გადასვლა, შემდეგ კი სწორი ხაზის კანონიკური განტოლებიდან პარამეტრულ განტოლებაზე გადასვლა.

მაგალითი 6

სწორი ხაზი მოცემულია განტოლებით 2 x - 5 y - 1 = 0. ჩაწერეთ ამ წრფის პარამეტრული განტოლებები.

გადაწყვეტილება

მოდით გადავიდეთ ზოგადი განტოლებიდან კანონიკურზე:

2 x - 5 y - 1 = 0 ⇔ 2 x = 5 y + 1 ⇔ 2 x = 5 y + 1 5 ⇔ x 5 = y + 1 5 2

ახლა ავიღოთ მიღებული კანონიკური განტოლების ორივე ნაწილი λ-ის ტოლი, მაშინ:

x 5 = λ y + 1 5 2 = λ ⇔ x = 5 λ y = - 1 5 + 2 λ , λ ∈ R

პასუხი:x = 5 λ y = - 1 5 + 2 λ , λ ∈ R

ზოგადი განტოლება შეიძლება გარდაიქმნას სწორხაზოვან განტოლებად y = k x + b დახრილობით, მაგრამ მხოლოდ მაშინ, როდესაც B ≠ 0. მარცხენა მხარეს გადასასვლელად ვტოვებთ ტერმინს B y, დანარჩენი გადადის მარჯვნივ. ვიღებთ: B y = - A x - C . მიღებული ტოლობის ორივე ნაწილი გავყოთ B-ზე, რომელიც განსხვავდება ნულისაგან: y = - A B x - C B .

მაგალითი 7

სწორი ხაზის ზოგადი განტოლება მოცემულია: 2 x + 7 y = 0 . თქვენ უნდა გადაიყვანოთ ეს განტოლება დახრილობის განტოლებად.

გადაწყვეტილება

შევასრულოთ საჭირო მოქმედებები ალგორითმის მიხედვით:

2 x + 7 y = 0 ⇔ 7 y - 2 x ⇔ y = - 2 7 x

პასუხი: y = - 2 7 x .

სწორი ხაზის ზოგადი განტოლებიდან საკმარისია უბრალოდ მივიღოთ განტოლება x a + y b \u003d 1 ფორმის სეგმენტებში. ასეთი გადასვლისთვის გადავიტანთ C რიცხვს ტოლობის მარჯვენა მხარეს, ვყოფთ მიღებული ტოლობის ორივე ნაწილს - С-ზე და ბოლოს, x და y ცვლადების კოეფიციენტებს გადავცემთ მნიშვნელებს:

A x + B y + C = 0 ⇔ A x + B y = - C ⇔ ⇔ A - C x + B - C y = 1 ⇔ x - C A + y - C B = 1

მაგალითი 8

აუცილებელია სწორი ხაზის ზოგადი განტოლება x - 7 y + 1 2 = 0 გადავიტანოთ სწორი ხაზის განტოლებად სეგმენტებში.

გადაწყვეტილება

გადავიტანოთ 1 2 მარჯვენა მხარეს: x - 7 y + 1 2 = 0 ⇔ x - 7 y = - 1 2 .

გაყავით -1/2-ზე განტოლების ორივე მხარე: x - 7 y = - 1 2 ⇔ 1 - 1 2 x - 7 - 1 2 y = 1 .

პასუხი: x - 1 2 + y 1 14 = 1.

ზოგადად, საპირისპირო გადასვლა ასევე მარტივია: სხვა ტიპის განტოლებიდან ზოგადზე.

სწორი ხაზის განტოლება სეგმენტებში და განტოლება ფერდობთან შეიძლება ადვილად გარდაიქმნას ზოგად განტოლების მარცხენა მხარეს ყველა ტერმინის უბრალოდ შეგროვებით:

x a + y b ⇔ 1 a x + 1 b y - 1 = 0 ⇔ A x + B y + C = 0 y = k x + b ⇔ y - k x - b = 0 ⇔ A x + B y + C = 0

კანონიკური განტოლება გარდაიქმნება ზოგადში შემდეგი სქემის მიხედვით:

x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ a y (x - x 1) = a x (y - y 1) ⇔ ⇔ a y x - a x y - a y x 1 + a x y 1 = 0 ⇔ A x + B y + C = 0

პარამეტრულიდან გადასასვლელად ჯერ ხდება კანონიკურზე გადასვლა, შემდეგ კი ზოგადზე:

x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ ⇔ x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ A x + B y + C = 0

მაგალითი 9

მოცემულია x = - 1 + 2 · λ y = 4 სწორი წრფის პარამეტრული განტოლებები. აუცილებელია ამ ხაზის ზოგადი განტოლების ჩაწერა.

გადაწყვეტილება

მოდით გადავიდეთ პარამეტრული განტოლებიდან კანონიკურზე:

x = - 1 + 2 λ y = 4 ⇔ x = - 1 + 2 λ y = 4 + 0 λ ⇔ λ = x + 1 2 λ = y - 4 0 ⇔ x + 1 2 = y - 4 0

გადავიდეთ კანონიკურიდან ზოგადზე:

x + 1 2 = y - 4 0 ⇔ 0 (x + 1) = 2 (y - 4) ⇔ y - 4 = 0

პასუხი: y - 4 = 0

მაგალითი 10

სწორი ხაზის განტოლება სეგმენტებში x 3 + y 1 2 = 1 მოცემულია. აუცილებელია განტოლების ზოგად ფორმაზე გადასვლა.

გადაწყვეტილება:

მოდით, უბრალოდ გადავიწეროთ განტოლება საჭირო ფორმით:

x 3 + y 1 2 = 1 ⇔ 1 3 x + 2 y - 1 = 0

პასუხი: 1 3 x + 2 y - 1 = 0.

სწორი ხაზის ზოგადი განტოლების შედგენა

ზემოთ ვთქვით, რომ ზოგადი განტოლება შეიძლება დაიწეროს ნორმალური ვექტორის ცნობილი კოორდინატებით და იმ წერტილის კოორდინატებით, რომლითაც გადის წრფე. ასეთი სწორი ხაზი განისაზღვრება განტოლებით A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 . იმავე ადგილას გავაანალიზეთ შესაბამისი მაგალითი.

ახლა მოდით შევხედოთ უფრო რთულ მაგალითებს, რომლებშიც, პირველ რიგში, აუცილებელია ნორმალური ვექტორის კოორდინატების დადგენა.

მაგალითი 11

მოცემულია წრფე პარალელურად 2 x - 3 y + 3 3 = 0 . ასევე ცნობილია წერტილი M 0 (4 , 1), რომლითაც გადის მოცემული წრფე. აუცილებელია მოცემული სწორი ხაზის განტოლების ჩაწერა.

გადაწყვეტილება

საწყისი პირობები გვეუბნება, რომ წრფეები პარალელურია, მაშინ როცა, როგორც წრფის ნორმალური ვექტორი, რომლის განტოლებაც უნდა დაიწეროს, ვიღებთ n წრფის მიმართულ ვექტორს → \u003d (2, - 3) : 2 x - 3 y + 3 3 \u003d 0. ახლა ჩვენ ვიცით ყველა საჭირო მონაცემი სწორი ხაზის ზოგადი განტოლების შესაქმნელად:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 2 (x - 4) - 3 (y - 1) = 0 ⇔ 2 x - 3 y - 5 = 0

პასუხი: 2 x - 3 y - 5 = 0.

მაგალითი 12

მოცემული წრფე გადის x - 2 3 = y + 4 5 წრფის პერპენდიკულარულ საწყისზე. აუცილებელია მოცემული სწორი ხაზის ზოგადი განტოლების დაწერა.

გადაწყვეტილება

მოცემული წრფის ნორმალური ვექტორი იქნება x - 2 3 = y + 4 5 წრფის ვექტორი.

შემდეგ n → = (3 , 5) . სწორი ხაზი გადის საწყისზე, ე.ი. O წერტილის გავლით (0, 0). მოდით შევადგინოთ მოცემული სწორი ხაზის ზოგადი განტოლება:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 3 (x - 0) + 5 (y - 0) = 0 ⇔ 3 x + 5 y = 0

უპასუხე: 3 x + 5 y = 0 .

თუ შეამჩნევთ შეცდომას ტექსტში, მონიშნეთ იგი და დააჭირეთ Ctrl+Enter

სწორი ხაზის თვისებები ევკლიდეს გეომეტრიაში.

არსებობს უსასრულოდ ბევრი ხაზი, რომელიც შეიძლება გაივლოს ნებისმიერ წერტილში.

ნებისმიერი ორი არათანაბარი წერტილის გავლით მხოლოდ ერთი სწორი ხაზია.

სიბრტყეში ორი შეუსაბამო ხაზი ან იკვეთება ერთ წერტილში, ან არის

პარალელურად (მოჰყვება წინა).

სამგანზომილებიან სივრცეში ორი ხაზის შედარებითი პოზიციის სამი ვარიანტია:

ხაზები იკვეთება;

სწორი ხაზები პარალელურია;

სწორი ხაზები იკვეთება.

პირდაპირ ხაზი- პირველი რიგის ალგებრული მრუდი: დეკარტის კოორდინატულ სისტემაში სწორი ხაზი

სიბრტყეზე მოცემულია პირველი ხარისხის განტოლებით (წრფივი განტოლება).

სწორი ხაზის ზოგადი განტოლება.

განმარტება. სიბრტყეში ნებისმიერი ხაზი შეიძლება იყოს მოცემული პირველი რიგის განტოლებით

Ah + Wu + C = 0,

და მუდმივი A, Bერთდროულად ნულის ტოლი არ არის. ეს პირველი რიგის განტოლება ეწოდება გენერალი

სწორი ხაზის განტოლება.მუდმივების მნიშვნელობებიდან გამომდინარე A, Bდა თანშესაძლებელია შემდეგი განსაკუთრებული შემთხვევები:

. C = 0, A ≠ 0, B ≠ 0- ხაზი გადის საწყისზე

. A = 0, B ≠0, C ≠0 ( By + C = 0)- სწორი ხაზი ღერძის პარალელურად ოჰ

. B = 0, A ≠ 0, C ≠ 0 ( Ax + C = 0)- სწორი ხაზი ღერძის პარალელურად OU

. B = C = 0, A ≠ 0- ხაზი ემთხვევა ღერძს OU

. A = C = 0, B ≠ 0- ხაზი ემთხვევა ღერძს ოჰ

სწორი ხაზის განტოლება შეიძლება წარმოდგენილი იყოს სხვადასხვა ფორმით, რაც დამოკიდებულია ნებისმიერ მოცემულობაზე

საწყისი პირობები.

სწორი ხაზის განტოლება წერტილით და ნორმალური ვექტორით.

განმარტება. დეკარტის მართკუთხა კოორდინატულ სისტემაში ვექტორი კომპონენტებით (A, B)

განტოლებით მოცემული წრფის პერპენდიკულარული

Ah + Wu + C = 0.

მაგალითი. იპოვეთ წერტილის გავლის სწორი ხაზის განტოლება A(1, 2)ვექტორზე პერპენდიკულარული (3, -1).

გადაწყვეტილება. მოდით შევადგინოთ A \u003d 3 და B \u003d -1 სწორი ხაზის განტოლება: 3x - y + C \u003d 0. ვიპოვოთ კოეფიციენტი C

მოცემული A წერტილის კოორდინატებს ვცვლით გამოსახულებაში მივიღებთ: 3 - 2 + C = 0, შესაბამისად

C = -1. სულ: სასურველი განტოლება: 3x - y - 1 \u003d 0.

ორ წერტილში გამავალი სწორი ხაზის განტოლება.

ორი ქულა იყოს მოცემული სივრცეში M 1 (x 1 , y 1 , z 1)და M2 (x 2, y 2, z 2),მაშინ სწორი ხაზის განტოლება,

გადის ამ წერტილებში:

თუ რომელიმე მნიშვნელი ნულის ტოლია, შესაბამისი მრიცხველი ნულის ტოლი უნდა იყოს. Ზე

სიბრტყეზე, ზემოთ დაწერილი სწორი ხაზის განტოლება გამარტივებულია:

თუ x 1 ≠ x 2და x = x 1, თუ x 1 = x 2 .

ფრაქცია = კდაურეკა ფერდობის ფაქტორი სწორი.

მაგალითი. იპოვეთ A(1, 2) და B(3, 4) წერტილებზე გამავალი სწორი ხაზის განტოლება.

გადაწყვეტილება. ზემოაღნიშნული ფორმულის გამოყენებით მივიღებთ:

სწორი ხაზის განტოლება წერტილით და დახრილობით.

თუ სწორი ხაზის ზოგადი განტოლება Ah + Wu + C = 0მიიტანეთ ფორმაში:

და დანიშნეთ , მაშინ მიღებული განტოლება ეწოდება

სწორი ხაზის განტოლება დახრილობით k.

სწორი ხაზის განტოლება წერტილზე და მიმართულ ვექტორზე.

ნორმალური ვექტორის გავლით სწორი ხაზის განტოლების გათვალისწინებით წერტილის ანალოგიით, შეგიძლიათ შეიყვანოთ დავალება

სწორი ხაზი წერტილის გავლით და სწორი ხაზის მიმართულების ვექტორი.

განმარტება. ყოველი არანულოვანი ვექტორი (α 1 , α 2), რომლის კომპონენტები აკმაყოფილებს პირობას

Aα 1 + Bα 2 = 0დაურეკა სწორი ხაზის მიმართულების ვექტორი.

Ah + Wu + C = 0.

მაგალითი. იპოვეთ სწორი ხაზის განტოლება მიმართულების ვექტორთან (1, -1) და A(1, 2) წერტილში გავლისას.

გადაწყვეტილება. ჩვენ ვეძებთ სასურველი სწორი ხაზის განტოლებას სახით: Ax + By + C = 0.განმარტების მიხედვით,

კოეფიციენტები უნდა აკმაყოფილებდეს პირობებს:

1 * A + (-1) * B = 0, ე.ი. A = B.

მაშინ სწორი ხაზის განტოლებას აქვს ფორმა: Ax + Ay + C = 0,ან x + y + C / A = 0.

ზე x=1, y=2ვიღებთ C/A = -3, ე.ი. სასურველი განტოლება:

x + y - 3 = 0

სწორი ხაზის განტოლება სეგმენტებში.

თუ სწორი ხაზის ზოგად განტოლებაში Ah + Wu + C = 0 C≠0, მაშინ -C-ზე გაყოფით მივიღებთ:

ან სად

კოეფიციენტების გეომეტრიული მნიშვნელობა არის ის, რომ კოეფიციენტი a არის გადაკვეთის წერტილის კოორდინატი.

სწორი ღერძით ოჰ,ა ბ- ღერძთან წრფის გადაკვეთის წერტილის კოორდინატი OU.

მაგალითი. მოცემულია სწორი ხაზის ზოგადი განტოლება x - y + 1 = 0.იპოვეთ ამ სწორი ხაზის განტოლება მონაკვეთებში.

C \u003d 1, , a \u003d -1, b \u003d 1.

სწორი ხაზის ნორმალური განტოლება.

თუ განტოლების ორივე მხარე Ah + Wu + C = 0გაყოფა რიცხვით , რომელსაც ქვია

ნორმალიზების ფაქტორი, შემდეგ მივიღებთ

xcosφ + ysinφ - p = 0 -სწორი ხაზის ნორმალური განტოლება.

ნორმალიზების ფაქტორის ნიშანი ± უნდა შეირჩეს ისე, რომ μ * C< 0.

რ- პერპენდიკულარულის სიგრძე დაეცა საწყისიდან ხაზამდე,

ა φ - ამ პერპენდიკულარით წარმოქმნილი კუთხე ღერძის დადებითი მიმართულებით ოჰ.

მაგალითი. მოცემულია სწორი ხაზის ზოგადი განტოლება 12x - 5y - 65 = 0. საჭიროა სხვადასხვა ტიპის განტოლებების დასაწერად

ეს სწორი ხაზი.

ამ სწორი ხაზის განტოლება სეგმენტებში:

ამ ხაზის განტოლება დახრილობასთან: (გაყოფა 5-ზე)

სწორი ხაზის განტოლება:

cos φ = 12/13; sin φ= -5/13; p=5.

უნდა აღინიშნოს, რომ ყველა სწორი ხაზი არ შეიძლება იყოს წარმოდგენილი განტოლებით სეგმენტებში, მაგალითად, სწორი ხაზებით,

ცულების პარალელურად ან საწყისზე გავლისას.

კუთხე ხაზებს შორის სიბრტყეზე.

განმარტება. თუ მოცემულია ორი ხაზი y \u003d k 1 x + b 1, y \u003d k 2 x + b 2, შემდეგ ამ ხაზებს შორის მწვავე კუთხე

განისაზღვრება როგორც

ორი წრფე პარალელურია თუ k 1 = k 2. ორი ხაზი პერპენდიკულარულია

თუ k 1 \u003d -1 / k 2 .

თეორემა.

პირდაპირი Ah + Wu + C = 0და A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0პარალელურია, როდესაც კოეფიციენტები პროპორციულია

A 1 \u003d λA, B 1 \u003d λB. თუ ასევე С 1 \u003d λС, შემდეგ ხაზები ემთხვევა. ორი წრფის გადაკვეთის წერტილის კოორდინატები

გვხვდება ამ წრფეების განტოლებათა სისტემის ამონახსნის სახით.

მოცემულ წერტილში გამავალი წრფის განტოლება მოცემული წრფის პერპენდიკულარულია.

განმარტება. ხაზი, რომელიც გადის წერტილს M 1 (x 1, y 1)და ხაზის პერპენდიკულარული y = kx + b

წარმოდგენილია განტოლებით:

მანძილი წერტილიდან ხაზამდე.

თეორემა. თუ ქულა მიენიჭება M(x 0, y 0),შემდეგ მანძილი ხაზამდე Ah + Wu + C = 0განისაზღვრება როგორც:

მტკიცებულება. დაუშვით წერტილი M 1 (x 1, y 1)- წერტილიდან ჩამოვარდა პერპენდიკულურის ფუძე მმოცემულისთვის

პირდაპირი. შემდეგ მანძილი წერტილებს შორის მდა M 1:

(1)

კოორდინატები x 1და 1შეიძლება მოიძებნოს, როგორც განტოლებათა სისტემის ამონახსნი:

სისტემის მეორე განტოლება არის სწორი ხაზის განტოლება, რომელიც გადის მოცემულ წერტილში M 0 პერპენდიკულურად.

მოცემული ხაზი. თუ სისტემის პირველ განტოლებას გადავიყვანთ ფორმაში:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

შემდეგ, ამოხსნით, მივიღებთ:

ამ გამონათქვამების (1) განტოლებით ჩანაცვლებით, ჩვენ ვპოულობთ:

თეორემა დადასტურდა.

სწორი ხაზის თვისებები ევკლიდეს გეომეტრიაში.

ნებისმიერი ორი არათანაბარი წერტილის გავლით მხოლოდ ერთი სწორი ხაზია.

სიბრტყეში ორი შეუსაბამო ხაზი ან იკვეთება ერთ წერტილში, ან არის

პარალელურად (მოჰყვება წინა).

სამგანზომილებიან სივრცეში ორი ხაზის შედარებითი პოზიციის სამი ვარიანტია:

ხაზები იკვეთება;

სწორი ხაზები პარალელურია;

სწორი ხაზები იკვეთება.

სიბრტყეზე მოცემულია პირველი ხარისხის განტოლებით (წრფივი განტოლება).

სწორი ხაზის ზოგადი განტოლება.

Ah + Wu + C = 0,

. C = 0, A ≠ 0, B ≠ 0- ხაზი გადის საწყისზე

. A = 0, B ≠0, C ≠0 ( By + C = 0)- სწორი ხაზი ღერძის პარალელურად ოჰ

. B = 0, A ≠ 0, C ≠ 0 ( Ax + C = 0)- სწორი ხაზი ღერძის პარალელურად OU

. B = C = 0, A ≠ 0- ხაზი ემთხვევა ღერძს OU

. A = C = 0, B ≠ 0- ხაზი ემთხვევა ღერძს ოჰ

საწყისი პირობები.

სწორი ხაზის განტოლება წერტილით და ნორმალური ვექტორით.

განტოლებით მოცემული წრფის პერპენდიკულარული

Ah + Wu + C = 0.

C = -1. სულ: სასურველი განტოლება: 3x - y - 1 \u003d 0.

ორ წერტილში გამავალი სწორი ხაზის განტოლება.

გადის ამ წერტილებში:

სიბრტყეზე, ზემოთ დაწერილი სწორი ხაზის განტოლება გამარტივებულია:

თუ x 1 ≠ x 2და x = x 1, თუ x 1 = x 2 .

ფრაქცია = კდაურეკა ფერდობის ფაქტორი სწორი.

მაგალითი. იპოვეთ A(1, 2) და B(3, 4) წერტილებზე გამავალი სწორი ხაზის განტოლება.

გადაწყვეტილება. ზემოაღნიშნული ფორმულის გამოყენებით მივიღებთ:

სწორი ხაზის განტოლება წერტილით და დახრილობით.

თუ სწორი ხაზის ზოგადი განტოლება Ah + Wu + C = 0მიიტანეთ ფორმაში:

და დანიშნეთ , მაშინ მიღებული განტოლება ეწოდება

სწორი ხაზის განტოლება დახრილობით k.

სწორი ხაზის განტოლება წერტილზე და მიმართულ ვექტორზე.

სწორი ხაზი წერტილის გავლით და სწორი ხაზის მიმართულების ვექტორი.

Aα 1 + Bα 2 = 0დაურეკა სწორი ხაზის მიმართულების ვექტორი.

Ah + Wu + C = 0.

კოეფიციენტები უნდა აკმაყოფილებდეს პირობებს:

1 * A + (-1) * B = 0, ე.ი. A = B.

მაშინ სწორი ხაზის განტოლებას აქვს ფორმა: Ax + Ay + C = 0,ან x + y + C / A = 0.

ზე x=1, y=2ვიღებთ C/A = -3, ე.ი. სასურველი განტოლება:

x + y - 3 = 0

სწორი ხაზის განტოლება სეგმენტებში.

თუ სწორი ხაზის ზოგად განტოლებაში Ah + Wu + C = 0 C≠0, მაშინ -C-ზე გაყოფით მივიღებთ:

ან სად

სწორი ღერძით ოჰ,ა ბ- ღერძთან წრფის გადაკვეთის წერტილის კოორდინატი OU.

C \u003d 1, , a \u003d -1, b \u003d 1.

სწორი ხაზის ნორმალური განტოლება.

თუ განტოლების ორივე მხარე Ah + Wu + C = 0გაყოფა რიცხვით , რომელსაც ქვია

ნორმალიზების ფაქტორი, შემდეგ მივიღებთ

xcosφ + ysinφ - p = 0 -სწორი ხაზის ნორმალური განტოლება.

ნორმალიზების ფაქტორის ნიშანი ± უნდა შეირჩეს ისე, რომ μ * C< 0.

რ- პერპენდიკულარულის სიგრძე დაეცა საწყისიდან ხაზამდე,

ეს სწორი ხაზი.

ამ სწორი ხაზის განტოლება სეგმენტებში:

ამ ხაზის განტოლება დახრილობასთან: (გაყოფა 5-ზე)

სწორი ხაზის განტოლება:

cos φ = 12/13; sin φ= -5/13; p=5.

ცულების პარალელურად ან საწყისზე გავლისას.

კუთხე ხაზებს შორის სიბრტყეზე.

განისაზღვრება როგორც

ორი წრფე პარალელურია თუ k 1 = k 2. ორი ხაზი პერპენდიკულარულია

თუ k 1 \u003d -1 / k 2 .

თეორემა.

გვხვდება ამ წრფეების განტოლებათა სისტემის ამონახსნის სახით.

წარმოდგენილია განტოლებით:

მანძილი წერტილიდან ხაზამდე.

პირდაპირი. შემდეგ მანძილი წერტილებს შორის მდა M 1:

(1)

მოცემული ხაზი. თუ სისტემის პირველ განტოლებას გადავიყვანთ ფორმაში:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

შემდეგ, ამოხსნით, მივიღებთ:

ამ გამონათქვამების (1) განტოლებით ჩანაცვლებით, ჩვენ ვპოულობთ:

თეორემა დადასტურდა.

სივრცის სწორი ხაზის კანონიკური განტოლებები არის განტოლებები, რომლებიც განსაზღვრავენ სწორ ხაზს, რომელიც გადის მოცემულ წერტილში მიმართულების ვექტორამდე.

მიეცით წერტილი და მიმართულების ვექტორი. თვითნებური წერტილი დევს ხაზზე ლმხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ ვექტორები და არიან კოლინარული, ანუ ისინი აკმაყოფილებენ პირობას:

ზემოთ მოყვანილი განტოლებები არის წრფის კანონიკური განტოლებები.

ნომრები მ , ნდა გვარის მიმართულების ვექტორის პროგნოზები კოორდინატთა ღერძებზე. ვინაიდან ვექტორი არ არის ნულოვანი, მაშინ ყველა რიცხვი მ , ნდა გვარ შეიძლება იყოს ნული ერთდროულად. მაგრამ ერთი ან ორი მათგანი შეიძლება იყოს ნული. მაგალითად, ანალიტიკურ გეომეტრიაში დაშვებულია შემდეგი აღნიშვნა:

რაც ნიშნავს, რომ ვექტორის პროექციები ღერძებზე ოიდა ოზინულის ტოლია. მაშასადამე, კანონიკური განტოლებებით მოცემული ვექტორიც და სწორი ხაზიც ღერძებზე პერპენდიკულარულია. ოიდა ოზი, ანუ თვითმფრინავები yOz .

მაგალითი 1შეადგინეთ სიბრტყის პერპენდიკულარულ სივრცეში სწორი ხაზის განტოლებები და გადის ამ სიბრტყის ღერძთან გადაკვეთის წერტილში ოზი .

გადაწყვეტილება. იპოვეთ მოცემული სიბრტყის ღერძთან გადაკვეთის წერტილი ოზი. ღერძის ნებისმიერი წერტილიდან ოზი, აქვს კოორდინატები , მაშინ, სიბრტყის მოცემულ განტოლებაში ვარაუდით x=y= 0, მივიღებთ 4 ზ- 8 = 0 ან ზ= 2. მაშასადამე, მოცემული სიბრტყის ღერძთან გადაკვეთის წერტილი ოზიაქვს კოორდინატები (0; 0; 2) . ვინაიდან სასურველი ხაზი სიბრტყის პერპენდიკულარულია, ის მისი ნორმალური ვექტორის პარალელურია. ამრიგად, ნორმალური ვექტორი შეიძლება იყოს სწორი ხაზის მიმართულების ვექტორი მოცემული თვითმფრინავი.

ახლა ჩვენ ვწერთ წერტილში გამავალი სწორი ხაზის სასურველ განტოლებებს ა= (0; 0; 2) ვექტორის მიმართულებით:

ორ მოცემულ წერტილში გამავალი სწორი ხაზის განტოლებები

სწორი ხაზი შეიძლება განისაზღვროს მასზე ორი წერტილით და ამ შემთხვევაში, სწორი ხაზის მიმართული ვექტორი შეიძლება იყოს ვექტორი. შემდეგ წრფის კანონიკური განტოლებები იღებენ ფორმას

ზემოაღნიშნული განტოლებები განსაზღვრავს სწორ ხაზს, რომელიც გადის ორ მოცემულ წერტილში.

მაგალითი 2დაწერეთ სწორი ხაზის განტოლება სივრცეში, რომელიც გადის წერტილებს და .

გადაწყვეტილება. ჩვენ ვწერთ სწორი ხაზის სასურველ განტოლებებს თეორიულ მითითებაში ზემოთ მოცემული ფორმით:

ვინაიდან , მაშინ სასურველი ხაზი ღერძის პერპენდიკულარულია ოი .

სწორი, როგორც სიბრტყეების გადაკვეთის ხაზი

სივრცეში სწორი ხაზი შეიძლება განისაზღვროს, როგორც ორი არაპარალელური სიბრტყის გადაკვეთის წრფე, ანუ, როგორც წერტილების ერთობლიობა, რომელიც აკმაყოფილებს ორი წრფივი განტოლების სისტემას.

სისტემის განტოლებებს ასევე უწოდებენ სივრცეში სწორი ხაზის ზოგად განტოლებებს.

მაგალითი 3ზოგადი განტოლებებით მოცემულ სივრცეში სწორი ხაზის კანონიკური განტოლებების შედგენა

გადაწყვეტილება. სწორი ხაზის კანონიკური განტოლებების დასაწერად ან, რაც იგივეა, ორ მოცემულ წერტილში გამავალი სწორი ხაზის განტოლება, თქვენ უნდა იპოვოთ სწორი ხაზის ნებისმიერი ორი წერტილის კოორდინატები. ისინი შეიძლება იყოს სწორი ხაზის გადაკვეთის წერტილები ნებისმიერ ორ კოორდინატულ სიბრტყესთან, მაგალითად yOzდა xOz .

წრფის სიბრტყეს გადაკვეთის წერტილი yOzაქვს აბსციზა x= 0. მაშასადამე, განტოლებათა ამ სისტემაში ვარაუდით x= 0, ვიღებთ სისტემას ორი ცვლადით:

მისი გადაწყვეტილება წ = 2 , ზ= 6 ერთად x= 0 განსაზღვრავს წერტილს ასასურველი ხაზის (0; 2; 6). ვივარაუდოთ, რომ მოცემულ განტოლებათა სისტემაში წ= 0, ჩვენ ვიღებთ სისტემას

მისი გადაწყვეტილება x = -2 , ზ= 0 ერთად წ= 0 განსაზღვრავს წერტილს ბ(-2; 0; 0) წრფის გადაკვეთა სიბრტყესთან xOz .

ახლა ჩვენ ვწერთ წერტილებში გამავალი სწორი ხაზის განტოლებებს ა(0; 2; 6) და ბ (-2; 0; 0) :

ან მნიშვნელების -2-ზე გაყოფის შემდეგ:

პორტალი სტუდენტისთვის. თვითმმართველობის მომზადება

სიბრტყის მოცემულ წერტილში გამავალი სწორი ხაზის ზოგადი განტოლება

სწორი ხაზის ზოგადი განტოლებიდან გადასვლა სწორი ხაზის განტოლებათა სხვა ტიპებზე და პირიქით

სწორი ხაზის ზოგადი განტოლების შედგენა

ორ მოცემულ წერტილში გამავალი სწორი ხაზის განტოლებები

სწორი, როგორც სიბრტყეების გადაკვეთის ხაზი

ᲓᲐᲙᲐᲕᲨᲘᲠᲔᲑᲣᲚᲘ ᲡᲢᲐᲢᲘᲔᲑᲘ