აგრეთვე ხაზოვანი პროგრამირების ამოცანის გრაფიკულად გადაჭრა, წრფივი პროგრამირების ამოცანების კანონიკური ფორმა

ასეთი პრობლემის შეზღუდვების სისტემა შედგება უტოლობებისაგან ორ ცვლადში:
და ობიექტური ფუნქციაფორმა აქვს ფ = C 1 x + C 2 წ, რაც მაქსიმალურად უნდა იყოს.

მოდით ვუპასუხოთ კითხვას: რა რიცხვების წყვილი ( x; წ) არის თუ არა ამონახსნები უტოლობათა სისტემისა, ანუ აკმაყოფილებენ თუ არა ისინი თითოეულ უტოლობას ერთდროულად? სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, რას ნიშნავს სისტემის გრაფიკულად ამოხსნა?
ჯერ უნდა გესმოდეთ, რა არის ერთი წრფივი უტოლობის ამოხსნა ორი უცნობით.
წრფივი უტოლობა ორი უცნობის ამოხსნა ნიშნავს უცნობის მნიშვნელობების ყველა წყვილის განსაზღვრას, რომლებისთვისაც დაკმაყოფილებულია უტოლობა.
მაგალითად, უტოლობა 3 x – 5წ≥ 42 აკმაყოფილებს წყვილებს ( x , წ) : (100, 2); (3, –10) და ა.შ. პრობლემა არის ყველა ასეთი წყვილის პოვნა.
განვიხილოთ ორი უტოლობა: ნაჯახი + მიერ≤ გ, ნაჯახი + მიერ≥ გ. პირდაპირ ნაჯახი + მიერ = გყოფს სიბრტყეს ორ ნახევრად სიბრტყეზე ისე, რომ ერთ-ერთის წერტილის კოორდინატები აკმაყოფილებენ უტოლობას ნაჯახი + მიერ >გდა სხვა უთანასწორობა ნაჯახი + +მიერ <გ.
მართლაც, აიღეთ წერტილი კოორდინატით x = x 0; შემდეგ წერტილი, რომელიც დევს სწორ ხაზზე და აქვს აბსციზა x 0 , აქვს ორდინატი

დაე, დაზუსტებისთვის ა<0, ბ>0, გ>0. ყველა წერტილი აბსცისით x 0 ზემოთ პ(მაგ. წერტილი მ), აქვს y მ>წ 0 და ყველა წერტილი წერტილის ქვემოთ პ, აბსცისით x 0, აქვს yN<წ 0 . Იმდენად, რამდენადაც x 0 არის თვითნებური წერტილი, მაშინ ყოველთვის იქნება წერტილები ხაზის ერთ მხარეს, რისთვისაც ნაჯახი+ მიერ > გ, ნახევრად სიბრტყის ფორმირება და მეორე მხრივ, წერტილები, რისთვისაც ნაჯახი + მიერ< გ.

სურათი 1

უტოლობის ნიშანი ნახევრად სიბრტყეში დამოკიდებულია რიცხვებზე ა, ბ , გ.
ეს იწვევს შემდეგ მეთოდს გრაფიკული გადაწყვეტასისტემები წრფივი უტოლობაორი ცვლადიდან. სისტემის გადასაჭრელად გჭირდებათ:

1. თითოეული უტოლობისთვის ჩაწერეთ მოცემული უტოლობის შესაბამისი განტოლება.
2. ააგეთ ხაზები, რომლებიც არის განტოლებებით მოცემული ფუნქციების გრაფიკები.
3. თითოეული სწორი ხაზისთვის განსაზღვრეთ ნახევარსიბრტყე, რომელიც მოცემულია უტოლობით. ამისათვის აიღეთ თვითნებური წერტილისწორ ხაზზე არ დევს, ჩაანაცვლეთ მისი კოორდინატები უტოლობაში. თუ უტოლობა მართალია, მაშინ არჩეული წერტილის შემცველი ნახევარსიბრტყე არის საწყისი უტოლობის ამოხსნა. თუ უტოლობა მცდარია, მაშინ ნახევრად სიბრტყე ხაზის მეორე მხარეს არის ამ უტოლობის ამონახსნების ნაკრები.
4. უტოლობების სისტემის გადასაჭრელად აუცილებელია ყველა ნახევრად სიბრტყის გადაკვეთის ფართობის პოვნა, რომელიც წარმოადგენს სისტემის თითოეული უტოლობის ამოხსნას.

ეს ტერიტორია შეიძლება ცარიელი აღმოჩნდეს, მაშინ უტოლობების სისტემას არ აქვს გამოსავალი, ის არათანმიმდევრულია. წინააღმდეგ შემთხვევაში, სისტემა ითვლება თანმიმდევრულად.
შეიძლება იყოს სასრული რაოდენობის გადაწყვეტილებები და უსასრულო ნაკრები. ფართობი შეიძლება იყოს დახურული მრავალკუთხედი ან შეუზღუდავი.

განვიხილოთ სამი შესაბამისი მაგალითი.

მაგალითი 1. სისტემის გრაფიკულად ამოხსნა:
x + y- 1 ≤ 0;
–2x- 2წ + 5 ≤ 0.

• განვიხილოთ განტოლებები x+y–1=0 და –2x–2y+5=0 უტოლობების შესაბამისი;
• მოდით ავაშენოთ ამ განტოლებებით მოცემული სწორი ხაზები.

სურათი 2

განვსაზღვროთ უტოლობებით მოცემული ნახევარსიბრტყეები. აიღეთ თვითნებური წერტილი, მოდით (0; 0). განიხილეთ x+ y– 1 0, ჩვენ ვცვლით წერტილს (0; 0): 0 + 0 – 1 ≤ 0. შესაბამისად, ნახევარ სიბრტყეში, სადაც წერტილი (0; 0) დევს, x + წ – 1 ≤ 0, ე.ი. ნახევრად სიბრტყე, რომელიც მდებარეობს სწორი ხაზის ქვემოთ, არის გამოსავალი პირველი უტოლობაზე. ამ წერტილის (0; 0) მეორეთი ჩანაცვლებით მივიღებთ: –2 ∙ 0 – 2 ∙ 0 + 5 ≤ 0, ე.ი. ნახევარ სიბრტყეში, სადაც წერტილი (0; 0) დევს, -2 x – 2წ+ 5≥ 0 და გვკითხეს სად -2 x – 2წ+ 5 ≤ 0, მაშასადამე, მეორე ნახევრად სიბრტყეში - სწორი ხაზის ზემოთ.
იპოვეთ ამ ორი ნახევარსიბრტყის კვეთა. წრფეები პარალელურია, ამიტომ სიბრტყეები არსად არ იკვეთება, რაც ნიშნავს, რომ ამ უტოლობათა სისტემას არ აქვს ამონახსნები, ის არათანმიმდევრულია.

მაგალითი 2. იპოვეთ უტოლობათა სისტემის გრაფიკულად ამონახსნები:

სურათი 3
1. ჩამოწერეთ უტოლობების შესაბამისი განტოლებები და ააგეთ სწორი ხაზები.
x + 2წ– 2 = 0

x	2	0
წ	0	1

წ – x – 1 = 0

x	0	2
წ	1	3

წ + 2 = 0;
წ = –2.
2. წერტილის არჩევის შემდეგ (0; 0), ჩვენ განვსაზღვრავთ უტოლობის ნიშნებს ნახევარ სიბრტყეში:
0 + 2 ∙ 0 – 2 ≤ 0, ე.ი. x + 2წ– 2 ≤ 0 ნახევრად სიბრტყეში სწორი ხაზის ქვემოთ;
0 – 0 – 1 ≤ 0, ე.ი. წ –x– 1 ≤ 0 ნახევრად სიბრტყეში სწორი ხაზის ქვემოთ;
0 + 2 =2 ≥ 0, ე.ი. წ+ 2 ≥ 0 ხაზის ზემოთ ნახევრად სიბრტყეში.
3. ამ სამი ნახევარსიბრტყის კვეთა იქნება ფართობი, რომელიც არის სამკუთხედი. რეგიონის წვეროების, როგორც შესაბამისი წრფეების გადაკვეთის წერტილების პოვნა რთული არ არის


ამრიგად, მაგრამ(–3; –2), AT(0; 1), თან(6; –2).

განვიხილოთ კიდევ ერთი მაგალითი, რომელშიც სისტემის ამოხსნის დომენი შეზღუდული არ არის.

სტატიაში განვიხილავთ უტოლობების ამოხსნა. მოდი პირდაპირ ვისაუბროთ როგორ ავაშენოთ უთანასწორობის გამოსავალინათელი მაგალითებით!

სანამ უტოლობათა ამოხსნას მაგალითებით განვიხილავთ, მოდით გაუმკლავდეთ ძირითად ცნებებს.

შესავალი უთანასწორობებში

უთანასწორობაეწოდება გამოთქმა, რომელშიც ფუნქციები დაკავშირებულია ურთიერთობის ნიშნებით >, . უტოლობები შეიძლება იყოს როგორც რიცხვითი, ასევე ანბანური.
ორი ურთიერთობის ნიშნის მქონე უტოლობას ეწოდება ორმაგი, სამთან - სამმაგი და ა.შ. Მაგალითად:
a(x) > b(x),
a(x) a(x) b(x),
a(x) b(x).
a(x) უტოლობა, რომელიც შეიცავს ნიშანს > ან არ არის მკაცრი.
უთანასწორობის ამოხსნაარის ცვლადის ნებისმიერი მნიშვნელობა, რომლისთვისაც ეს უტოლობა მართალია.
"უტოლობის ამოხსნანიშნავს, რომ თქვენ უნდა იპოვოთ მისი ყველა გადაწყვეტის ნაკრები. არსებობს სხვადასხვა უტოლობების ამოხსნის მეთოდები. ამისთვის უთანასწორობის გადაწყვეტილებებიგამოიყენეთ რიცხვითი წრფე, რომელიც უსასრულოა. Მაგალითად, უთანასწორობის ამოხსნა x > 3 არის ინტერვალი 3-დან +-მდე და რიცხვი 3 არ შედის ამ ინტერვალში, ამიტომ წრფის წერტილი აღინიშნება ცარიელი წრით, რადგან უთანასწორობა მკაცრია.
+
პასუხი იქნება: x (3; +).
მნიშვნელობა x=3 არ შედის ამონახსნთა სიმრავლეში, ამიტომ ფრჩხილები მრგვალია. უსასრულობის ნიშანი ყოველთვის ხაზგასმულია ფრჩხილები. ნიშანი ნიშნავს "კუთვნილებას".
განვიხილოთ, თუ როგორ უნდა ამოხსნათ უტოლობები სხვა მაგალითის გამოყენებით ნიშნით:
x2
-+
მნიშვნელობა x=2 შედის ამონახსნთა სიმრავლეში, ამიტომ კვადრატული ფრჩხილი და წრფის წერტილი აღინიშნება შევსებული წრით.
პასუხი იქნება: x.

ქვემოთ მოგვარებულია იმავე გზით. უტოლობების სისტემები.

უთანასწორობათა სისტემაჩვეულებრივად არის გამოძახებული ორი ან მეტი უტოლობის ნებისმიერი ნაკრები, რომელიც შეიცავს უცნობ რაოდენობას.

ეს ფორმულირება ნათლად არის ილუსტრირებული, მაგალითად, ასეთი უტოლობების სისტემები:

ამოხსენით უტოლობათა სისტემა - ნიშნავს უცნობი ცვლადის ყველა მნიშვნელობის პოვნას, რომლისთვისაც რეალიზებულია სისტემის თითოეული უტოლობა, ან იმის მტკიცება, რომ არ არსებობს ასეთი .

ასე რომ, თითოეული ინდივიდისთვის სისტემური უთანასწორობებიგამოთვალეთ უცნობი ცვლადი. გარდა ამისა, მიღებული მნიშვნელობებიდან ირჩევს მხოლოდ იმას, რაც ჭეშმარიტია როგორც პირველი, ასევე მეორე უტოლობებისთვის. ამიტომ, არჩეული მნიშვნელობის ჩანაცვლებისას, სისტემის ორივე უტოლობა სწორი ხდება.

მოდით გავაანალიზოთ რამდენიმე უტოლობის ამოხსნა:

მოათავსეთ ერთი რიცხვითი ხაზების მეორე წყვილის ქვეშ; დააყენეთ მნიშვნელობა ზევით x, რომლის ქვეშ არის პირველი უტოლობა o ( x> 1) გახდეს ჭეშმარიტი და ბოლოში მნიშვნელობა Xრომელიც არის მეორე უტოლობის ამოხსნა ( X> 4).

მონაცემების შედარებით რიცხვითი ხაზები, გაითვალისწინეთ, რომ გამოსავალი ორივესთვის უთანასწორობებინება X> 4. პასუხი, X> 4.

მაგალითი 2

პირველის გაანგარიშება უთანასწორობავიღებთ -3 X< -6, или x> 2, მეორე - X> -8, ან X < 8. Затем делаем по аналогии с предыдущим примером. На верхнюю числовую прямую наносим все те значения X, რომლის მიხედვითაც პირველი სისტემის უთანასწორობადა ქვედა რიცხვების ხაზში, ყველა ეს მნიშვნელობა X, რომლის პირობებშიც რეალიზებულია სისტემის მეორე უტოლობა.

მონაცემების შედარებისას აღმოვაჩენთ, რომ ორივე უთანასწორობებიგანხორციელდება ყველა ღირებულებისთვის Xგანთავსებულია 2-დან 8-მდე. ღირებულებების ნაკრები Xაღნიშნავენ ორმაგი უთანასწორობა 2 < X< 8.

მაგალითი 3მოდი ვიპოვოთ