მათემატიკოსებს აქვთ სპეციფიკური იუმორის გრძნობა და გამოთვლებთან დაკავშირებული ზოგიერთი საკითხი დიდი ხანია სერიოზულად არ განიხილება. ყოველთვის არ არის ნათელი, ცდილობენ თუ არა მთელი სერიოზულობით აგიხსნან, თუ რატომ შეუძლებელია ნულზე გაყოფა, თუ ეს მორიგი ხუმრობაა. მაგრამ თავად კითხვა არც ისე აშკარაა, თუ ელემენტარულ მათემატიკაში შესაძლებელია მისი ამოხსნის წმინდა ლოგიკურად მიღწევა, მაშინ უმაღლეს მათემატიკაში შესაძლოა სხვა საწყისი პირობებიც იყოს.

როდის გამოჩნდა ნული?

რიცხვი ნული სავსეა მრავალი საიდუმლოებით:

• ძველ რომში ეს რიცხვი არ იყო ცნობილი, საცნობარო სისტემა იწყებოდა ი.
• არაბები და ინდიელები დიდხანს კამათობდნენ უფლებას, ეწოდებინათ ნულის წინაპრები.
• მაიას კულტურის კვლევებმა აჩვენა, რომ ეს უძველესი ცივილიზაცია შეიძლება იყოს პირველი ნულის გამოყენების თვალსაზრისით.
• ნულს არ აქვს რიცხვითი მნიშვნელობა, თუნდაც მინიმალური.
• ეს სიტყვასიტყვით არაფერს ნიშნავს, დასათვლელი ნივთების არარსებობას.

პრიმიტიულ სისტემაში არ იყო ასეთი ფიგურის განსაკუთრებული საჭიროება, რაღაცის არარსებობა შეიძლება აიხსნას სიტყვების დახმარებით. მაგრამ ცივილიზაციების აღზევებასთან ერთად, ადამიანის საჭიროებებიც გაიზარდა, არქიტექტურისა და ინჟინერიის თვალსაზრისით.

უფრო რთული გამოთვლების განსახორციელებლად და ახალი ფუნქციების გამოყვანა დასჭირდა რიცხვი, რომელიც მიუთითებს რაიმეს სრულ არარსებობაზე.

შესაძლებელია ნულზე გაყოფა?

ამ ანგარიშზე არსებობს ორი დიამეტრალურად საპირისპირო აზრი:

სკოლაში დაწყებით კლასებშიც კი ასწავლიან, რომ ნულზე გაყოფა არავითარ შემთხვევაში შეუძლებელია. ეს ძალიან მარტივად არის ახსნილი:

1. წარმოიდგინეთ, რომ თქვენ გაქვთ მანდარინის 20 ნაჭერი.
2. მათი 5-ზე გაყოფით 4 ნაჭერს დაურიგებ ხუთ მეგობარს.
3. ნულზე გაყოფა არ იმუშავებს, რადგან ვინმეს შორის გაყოფის პროცესი არ იმუშავებს.

რა თქმა უნდა, ეს არის ფიგურალური ახსნა, დიდწილად გამარტივებული და სრულებით არ შეესაბამება რეალობას. მაგრამ ის ყველაზე ხელმისაწვდომი გზით ხსნის რაიმეს ნულზე გაყოფის უაზრობას.

ყოველივე ამის შემდეგ, სინამდვილეში, ამ გზით შესაძლებელია დაყოფის არარსებობის ფაქტის აღნიშვნა. და რატომ ართულებს მათემატიკური გამოთვლებს და ჩაწერე ასევე გაყოფის არარსებობა?

შეიძლება თუ არა ნულის გაყოფა რიცხვზე?

გამოყენებითი მათემატიკის თვალსაზრისით, ნებისმიერი გაყოფა, რომელშიც ნული მონაწილეობს, დიდი აზრი არ აქვს. მაგრამ სასკოლო სახელმძღვანელოები მათი აზრით ცალსახაა:

• ნულის გაყოფა შესაძლებელია.
• ნებისმიერი რიცხვი უნდა იქნას გამოყენებული გაყოფისთვის.
• ნულს ნულზე ვერ გაყოფ.

მესამე პუნქტმა შეიძლება გამოიწვიოს მცირე გაკვირვება, რადგან მხოლოდ რამდენიმე აბზაცის ზემოთ იყო მითითებული, რომ ასეთი დაყოფა სავსებით შესაძლებელია. სინამდვილეში, ეს ყველაფერი დამოკიდებულია იმ დისციპლინაზე, რომელშიც თქვენ ატარებთ გამოთვლებს.

ამ შემთხვევაში ნამდვილად ჯობია ამას სკოლის მოსწავლეებმა დაწერონ გამოხატვის დადგენა შეუძლებელია და, შესაბამისად, აზრი არ აქვს. მაგრამ ალგებრული მეცნიერების ზოგიერთ დარგში დაშვებულია ასეთი გამონათქვამის დაწერა, ნულის ნულზე გაყოფით. განსაკუთრებით მაშინ, როდესაც საქმე ეხება კომპიუტერებს და პროგრამირების ენებს.

ნულის რიცხვზე გაყოფის აუცილებლობა შეიძლება წარმოიშვას ნებისმიერი ტოლობის ამოხსნისა და საწყისი მნიშვნელობების ძიებისას. მაგრამ იმ შემთხვევაში, პასუხი ყოველთვის იქნება ნული. აქაც, ისევე როგორც გამრავლებისას, რომელ რიცხვზეც არ უნდა გაყოთ ნული, ნულზე მეტი არ დარჩებით. ამიტომ, თუ ეს სანუკვარი რიცხვი შეინიშნება უზარმაზარ ფორმულაში, შეეცადეთ სწრაფად "შეაფასოთ" დაიყვანება თუ არა ყველა გამოთვლა ძალიან მარტივ გადაწყვეტამდე.

თუ უსასრულობა იყოფა ნულზე

საჭირო იყო უსასრულოდ დიდი და უსასრულოდ მცირე მნიშვნელობების აღნიშვნა ცოტა ადრე, რადგან ეს ასევე ხსნის გაყოფის გარკვეულ ხარვეზებს, მათ შორის ნულის გამოყენებას. ეს მართალია და არის პატარა ნაკლი, რადგან უსასრულო მნიშვნელობა და ღირებულების სრული არარსებობა განსხვავებული ცნებებია.

მაგრამ ჩვენს პირობებში ეს მცირე განსხვავება შეიძლება იყოს უგულებელყოფილი, საბოლოოდ, გამოთვლები ხორციელდება აბსტრაქტული რაოდენობების გამოყენებით:

• მრიცხველს უნდა ჰქონდეს უსასრულობის ნიშანი.
• მნიშვნელები არის მნიშვნელობის სიმბოლური გამოსახულება, რომელიც მიდრეკილია ნულისკენ.
• პასუხი იქნება უსასრულობა, რომელიც წარმოადგენს უსასრულოდ დიდ ფუნქციას.

უნდა აღინიშნოს, რომ ჩვენ კვლავ ვსაუბრობთ უსასრულოდ მცირე ფუნქციის სიმბოლურ ჩვენებაზე და არა ნულის გამოყენებაზე. ამ ნიშნით არაფერი შეცვლილა, ის მაინც არ შეიძლება დაიყოს მასში, მხოლოდ ძალიან, ძალიან იშვიათი გამონაკლისების სახით.

უმეტესწილად, ნული გამოიყენება პრობლემების გადასაჭრელად, რომლებიც არსებობს წმინდა თეორიული სიბრტყე. შესაძლოა, ათწლეულების ან თუნდაც საუკუნეების შემდეგ, ყველა თანამედროვე გამოთვლა იპოვის პრაქტიკულ გამოყენებას და ისინი უზრუნველყოფენ რაიმე სახის გრანდიოზულ გარღვევას მეცნიერებაში.

იმავდროულად, მათემატიკური გენიოსების უმეტესობა მხოლოდ მსოფლიო აღიარებაზე ოცნებობს. ამ წესებისგან გამონაკლისი არის ჩვენი თანამემამულე, პერელმანი. მაგრამ ის ცნობილია ჭეშმარიტად ეპოქალური პრობლემის გადაჭრის წყალობით Poinquere-ის ვარაუდისა და ექსტრავაგანტული ქცევის დადასტურებით.

პარადოქსები და ნულზე გაყოფის უაზრობა

ნულზე გაყოფა, უმეტესწილად, აზრი არ აქვს:

• დაყოფა წარმოდგენილია როგორც გამრავლების შებრუნებული ფუნქცია.
• შეგვიძლია ნებისმიერი რიცხვი გავამრავლოთ ნულზე და მივიღოთ ნული პასუხში.
• ამავე ლოგიკით, ნებისმიერი რიცხვი შეიძლება გაყოთ ნულზე.
• ასეთ პირობებში რთული არ იქნება დავასკვნათ, რომ ნებისმიერი რიცხვი გამრავლებული ან გაყოფილი ნულზე უდრის ნებისმიერ სხვა რიცხვს, რომელზეც ეს ოპერაცია განხორციელდა.
• ჩვენ მათემატიკურ მოქმედებას ვხსნით და ვიღებთ საინტერესო დასკვნას - ნებისმიერი რიცხვი უდრის ნებისმიერ რიცხვს.

გარდა მსგავსი ინციდენტების შექმნისა, ნულზე გაყოფას პრაქტიკული მნიშვნელობა არ აქვს, ზოგადად სიტყვიდან. მაშინაც კი, თუ თქვენ შეგიძლიათ შეასრულოთ ეს მოქმედება, თქვენ ვერ მიიღებთ ახალ ინფორმაციას.

ელემენტარული მათემატიკის თვალსაზრისით, ნულზე გაყოფისას მთელი ობიექტი იყოფა ნულზე, ანუ ერთხელაც კი. მარტივად რომ ვთქვათ - არ არის გაყოფის პროცესიმაშასადამე, ამ მოვლენის შედეგი არ შეიძლება იყოს.

მათემატიკოსთან ერთსა და იმავე საზოგადოებაში ყოფნისას, ყოველთვის შეგიძლიათ დაუსვათ რამდენიმე ბანალური შეკითხვა, მაგალითად, რატომ არ შეიძლება ნულზე გაყოფა და საინტერესო და გასაგები პასუხის მიღება. ან გაღიზიანება, რადგან ეს ალბათ პირველი შემთხვევა არ არის, როდესაც ადამიანს ეს ეკითხება. და არც ათი. ასე რომ, იზრუნეთ თქვენს მათემატიკოს მეგობრებზე, ნუ აიძულებთ მათ ასჯერ გაიმეორონ ერთი ახსნა.

ვიდეო: გაყოფა ნულზე

ამ ვიდეოში მათემატიკოსი ანა ლომაკოვა გეტყვით რა მოხდება, თუ რიცხვს ნულზე გაყოფთ და რატომ არ შეიძლება ამის გაკეთება მათემატიკის თვალსაზრისით:

გაყოფა ნულზემათემატიკაში, გაყოფა, რომლის გამყოფი არის ნული. ასეთი გაყოფა შეიძლება ოფიციალურად დაიწეროს როგორც ⁄ 0, სადაც არის დივიდენდი.

ჩვეულებრივ არითმეტიკაში (რეალური რიცხვებით) ამ გამოთქმას აზრი არ აქვს, რადგან:

• ≠ 0-ზე არ არსებობს რიცხვი, რომელიც 0-ზე გამრავლებისას იძლევა, მაშასადამე, არცერთი რიცხვი არ შეიძლება მივიღოთ კოეფიციენტად ⁄ 0;
• = 0-ზე, ნულზე გაყოფა ასევე განუსაზღვრელია, რადგან ნებისმიერი რიცხვი, როდესაც მრავლდება 0-ზე, იძლევა 0-ს და შეიძლება მივიღოთ 0 ⁄ 0 კოეფიციენტად.

ისტორიულად, ერთ-ერთი პირველი მითითება ⁄ 0 მნიშვნელობის მინიჭების მათემატიკური შეუძლებლობის შესახებ არის ჯორჯ ბერკლის უსასრულო გამოთვლების კრიტიკაში.

ლოგიკური შეცდომები

ვინაიდან ნებისმიერი რიცხვის ნულზე გამრავლებისას შედეგად ყოველთვის ვიღებთ ნულს, გამონათქვამის ორივე ნაწილის გაყოფისას × 0 = × 0, რაც მართალია, მიუხედავად მნიშვნელობისა და 0-ზე, მივიღებთ გამოსახულებას = , რომელიც არის არასწორია თვითნებურად მოცემული ცვლადების შემთხვევაში. იმის გამო, რომ ნული შეიძლება მიენიჭოს ირიბად, მაგრამ საკმაოდ რთული მათემატიკური გამოხატვის სახით, მაგალითად, ალგებრული გარდაქმნებით ერთმანეთთან შემცირებულ ორ მნიშვნელობას შორის სხვაობის სახით, ასეთი დაყოფა შეიძლება იყოს საკმაოდ გაუგებარი შეცდომა. ასეთი დაყოფის შეუმჩნევლად შეყვანა მტკიცებულების პროცესში, რათა აჩვენოს აშკარად განსხვავებული რაოდენობების იდენტურობა, რითაც დაამტკიცოს რაიმე აბსურდული განცხადება, მათემატიკური სოფიზმის ერთ-ერთი სახეობაა.

კომპიუტერულ მეცნიერებაში

პროგრამირებისას, პროგრამირების ენიდან, მონაცემთა ტიპისა და დივიდენდის მნიშვნელობიდან გამომდინარე, ნულზე გაყოფის მცდელობამ შეიძლება გამოიწვიოს სხვადასხვა შედეგები. ნულზე გაყოფის შედეგები მთელ რიცხვში და რეალურ არითმეტიკაში ფუნდამენტურად განსხვავებულია:

• მცდელობა მთელი რიცხვინულზე გაყოფა ყოველთვის კრიტიკული შეცდომაა, რაც შეუძლებელს ხდის პროგრამის შესრულების გაგრძელებას. ეს იწვევს ან გამონაკლისს (რომელიც პროგრამას შეუძლია თავად გაუმკლავდეს, რითაც თავიდან აიცილებს გადაუდებელ გაჩერებას), ან პროგრამის დაუყოვნებლივ შეჩერებას ფატალური შეცდომის შეტყობინებით და, შესაძლოა, ზარის დასტას შინაარსით. ზოგიერთ პროგრამირების ენაში, როგორიცაა Go, მთელი რიცხვის დაყოფა ნულოვანი მუდმივით განიხილება სინტაქსის შეცდომად და იწვევს პროგრამის შეწყვეტას.
• AT რეალურიარითმეტიკული შედეგები შეიძლება განსხვავებული იყოს სხვადასხვა ენაზე:

• გამონაკლისის დადება ან პროგრამის შეჩერება, როგორც მთელი რიცხვის გაყოფისას;
• ოპერაციის შედეგად სპეციალური არარიცხობრივი მნიშვნელობის მიღება. ამ შემთხვევაში, გამოთვლები არ წყდება და მათი შედეგი შემდგომში შეიძლება განიმარტოს თავად პროგრამის ან მომხმარებლის მიერ, როგორც მნიშვნელოვანი მნიშვნელობა ან როგორც არასწორი გამოთვლების მტკიცებულება. ფართოდ გამოიყენება პრინციპი, რომლის მიხედვითაც ⁄ 0 ფორმის გაყოფისას, სადაც ≠ 0 არის მცურავი წერტილის რიცხვი, შედეგი უდრის დადებითს ან უარყოფითს (დამოკიდებულია დივიდენდის ნიშანზე) უსასრულობას - ან, და როცა = 0, შედეგი არის სპეციალური მნიშვნელობა NaN (შემოკლებით ინგლისურიდან არა რიცხვი - "არა რიცხვი"). ეს მიდგომა მიღებულია IEEE 754 სტანდარტში, რომელსაც მხარს უჭერს მრავალი თანამედროვე პროგრამირების ენა.

შემთხვევითი გაყოფა ნულზე კომპიუტერულ პროგრამაში ზოგჯერ შეიძლება გამოიწვიოს ძვირადღირებული ან საშიში ჩავარდნები პროგრამის მიერ კონტროლირებად აღჭურვილობაში. მაგალითად, 1997 წლის 21 სექტემბერს, აშშ-ს საზღვაო ძალების USS Yorktown-ის (CG-48) კომპიუტერიზებული მართვის სისტემაში გაყოფა ნულზე დახურა სისტემაში არსებული ყველა ელექტრონული მოწყობილობა, რამაც გამოიწვია გემის ელექტროსადგურის მუშაობა.

იხილეთ ასევე

შენიშვნები

ფუნქცია = 1⁄. როდესაც მარჯვნიდან ნულისკენ მიისწრაფვის, უსასრულობისკენ მიისწრაფვის; როდესაც მარცხნიდან ნულისკენ მიისწრაფვის, მიდრეკილია მინუს უსასრულობისკენ

თუ რომელიმე რიცხვს გაყოფთ ნულზე ჩვეულებრივ კალკულატორზე, მაშინ ის მოგცემთ ასო E ან სიტყვა Error, ანუ "შეცდომა".

კომპიუტერის კალკულატორი მსგავს შემთხვევაში წერს (Windows XP): "ნულზე გაყოფა აკრძალულია".

ყველაფერი შეესაბამება სკოლიდან ცნობილ წესს, რომ ნულზე ვერ გაყოფ.

ვნახოთ რატომ.

გაყოფა არის მათემატიკური ოპერაცია, რომელიც არის გამრავლების შებრუნებული. გაყოფა განისაზღვრება გამრავლებით.

გაყავით რიცხვი ა(დივიდენდი, მაგალითად 8) რიცხვით ბ(გამყოფი, მაგალითად, რიცხვი 2) - ნიშნავს ასეთი რიცხვის პოვნას x(რაოდენობა), როცა გამრავლებულია გამყოფზე ბგამოდის გასაყოფი ა(4 2 = 8), ე.ი. აგაყოფა ბნიშნავს x · b = a განტოლების ამოხსნას.

განტოლება a: b = x უდრის x · b = a განტოლებას.

ჩვენ ვცვლით გაყოფას გამრავლებით: ნაცვლად 8: 2 = x ვწერთ x 2 = 8.

8: 2 = 4 უდრის 4 2 = 8-ს

18: 3 = 6 უდრის 6 3 = 18-ს

20: 2 = 10 უდრის 10 2 = 20-ს

გაყოფის შედეგი ყოველთვის შეიძლება შემოწმდეს გამრავლებით. გამყოფის კოეფიციენტზე გამრავლების შედეგი უნდა იყოს დივიდენდი.

ანალოგიურად, შევეცადოთ გავყოთ ნულზე.

მაგალითად, 6: 0 = ... უნდა ვიპოვოთ რიცხვი, რომელიც 0-ზე გამრავლებისას მისცემს 6-ს. მაგრამ ვიცით, რომ ნულზე გამრავლებისას ყოველთვის მიიღება ნული. არ არსებობს რიცხვი, რომელიც ნულზე გამრავლებისას მისცემს რაიმე სხვას ნულის გარდა.

როცა ამბობენ, რომ ნულზე გაყოფა შეუძლებელია ან აკრძალულია, ეს ნიშნავს, რომ ასეთი გაყოფის შედეგის შესაბამისი რიცხვი არ არსებობს (ნულზე გაყოფა შესაძლებელია, მაგრამ არა :)).

რატომ ამბობენ სკოლაში ნულზე გაყოფა არ შეიძლება?

ამიტომ, in განმარტება a b-ზე გაყოფის ოპერაციები, მაშინვე ხაზგასმულია, რომ b ≠ 0.

თუ ზემოთ დაწერილი ყველაფერი ძალიან რთულად მოგეჩვენათ, მაშინ ყველაფერი თქვენს თითებზეა დამოკიდებული: 8-ის 2-ზე გაყოფა ნიშნავს იმის გარკვევას, თუ რამდენი ორი უნდა აიღოთ 8-ის მისაღებად (პასუხი: 4). 18-ის 3-ზე გაყოფა ნიშნავს იმის გარკვევას, თუ რამდენი სამეული გჭირდებათ 18-ის მისაღებად (პასუხი: 6).

6-ის გაყოფა ნულზე ნიშნავს იმის გარკვევას, თუ რამდენი ნულის აღება გჭირდებათ 6-ის მისაღებად. რამდენი ნულიც არ უნდა აიღოთ, მაინც მიიღებთ ნულს, მაგრამ არასოდეს მიიღებთ 6-ს, ანუ ნულზე გაყოფა არ არის განსაზღვრული.

საინტერესო შედეგი მიიღება, თუ ანდროიდის კალკულატორზე ცდილობთ რიცხვის ნულზე გაყოფას. ეკრანზე გამოჩნდება ∞ (უსასრულობა) (ან - ∞ თუ გაყოფთ უარყოფით რიცხვზე). ეს შედეგი არასწორია, რადგან არ არსებობს რიცხვი ∞. როგორც ჩანს, პროგრამისტებმა აირიეს სრულიად განსხვავებული ოპერაციები - რიცხვების გაყოფა და რიცხვითი მიმდევრობის ზღვრის პოვნა n/x, სადაც x → 0. ნულის ნულზე გაყოფისას დაიწერება NaN (არა რიცხვი - არა რიცხვი).

"ნულის გაყოფა არ შეიძლება!" - სტუდენტების უმეტესობა ამ წესს ზეპირად, კითხვების გარეშე იმახსოვრებს. ყველა ბავშვმა იცის, რა არის „არა“ და რა მოხდება, თუ ამის პასუხად ჰკითხავთ: „რატომ? მაგრამ სინამდვილეში, ძალიან საინტერესო და მნიშვნელოვანია იმის ცოდნა, თუ რატომ არის ეს შეუძლებელია.

საქმე იმაშია, რომ არითმეტიკის ოთხი ოპერაცია - შეკრება, გამოკლება, გამრავლება და გაყოფა - რეალურად არათანაბარია. მათემატიკოსები მხოლოდ ორ მათგანს აღიარებენ სრულფასოვანად - შეკრება და გამრავლება. ეს ოპერაციები და მათი თვისებები შედის რიცხვის კონცეფციის განმარტებაში. ყველა სხვა მოქმედება ასე თუ ისე აგებულია ამ ორიდან.

განვიხილოთ, მაგალითად, გამოკლება. Რას ნიშნავს 5 - 3 ? მოსწავლე ამაზე უბრალოდ უპასუხებს: თქვენ უნდა აიღოთ ხუთი ნივთი, წაიღოთ (ამოიღოთ) სამი და ნახოთ რამდენი დარჩა. მაგრამ მათემატიკოსები ამ პრობლემას სულ სხვაგვარად უყურებენ. არ არის გამოკლება, მხოლოდ შეკრება. ამიტომ, შესვლა 5 - 3 ნიშნავს რიცხვს, რომელიც რიცხვს დაემატება 3 მისცემს ნომერს 5 . ე.ი 5 - 3 არის მხოლოდ განტოლების სტენოგრამა: x + 3 = 5. ამ განტოლებაში არ არის გამოკლება.

გაყოფა ნულზე

არსებობს მხოლოდ დავალება - იპოვოთ შესაფერისი ნომერი.

იგივეა გამრავლება და გაყოფა. ჩაწერა 8: 4 შეიძლება გავიგოთ, როგორც რვა ობიექტის ოთხ თანაბარ გროვად დაყოფის შედეგი. მაგრამ ეს ნამდვილად განტოლების მხოლოდ შემოკლებული ფორმაა 4 x = 8.

სწორედ აქ ირკვევა, თუ რატომ არის შეუძლებელია (უფრო სწორად შეუძლებელი) გაყოფა ნულზე. ჩაწერა 5: 0 არის აბრევიატურა 0 x = 5. ანუ, ეს ამოცანაა იპოვოთ რიცხვი, რომელიც გამრავლებისას 0 მოგცემს 5 . მაგრამ ჩვენ ვიცით, რომ გამრავლებისას 0 ყოველთვის გამოდის 0 . ეს არის ნულის თანდაყოლილი თვისება, მკაცრად რომ ვთქვათ, მისი განმარტების ნაწილი.

რიცხვი, რომელიც გამრავლებისას 0 მისცემს რაიმეს გარდა null, უბრალოდ არ არსებობს. ანუ ჩვენს პრობლემას გამოსავალი არ აქვს. (დიახ, ეს ხდება, ყველა პრობლემას არ აქვს გამოსავალი.) 5: 0 არ შეესაბამება რომელიმე კონკრეტულ რიცხვს და ის უბრალოდ არაფერს ნიშნავს და, შესაბამისად, აზრი არ აქვს. ამ ჩანაწერის უაზრობა მოკლედ გამოიხატება იმით, რომ არ შეიძლება ნულზე გაყოფა.

ამ ეტაპზე ყველაზე ყურადღებიანი მკითხველი აუცილებლად იკითხავს: შესაძლებელია თუ არა ნულის ნულზე გაყოფა?

მართლაც, განტოლებიდან 0 x = 0წარმატებით გადაწყდა. მაგალითად, შეგიძლიათ აიღოთ x=0და შემდეგ მივიღებთ 0 0 = 0. თურმე 0: 0=0 ? მაგრამ ნუ ვიჩქარებთ. ვცადოთ აღება x=1. მიიღეთ 0 1 = 0. სწორად? ნიშნავს, 0: 0 = 1 ? მაგრამ შეგიძლიათ აიღოთ ნებისმიერი ნომერი და მიიღოთ 0: 0 = 5 , 0: 0 = 317 და ა.შ.

მაგრამ თუ რომელიმე ნომერი შესაფერისია, მაშინ ჩვენ არ გვაქვს მიზეზი, რომ რომელიმე მათგანს ავირჩიოთ. ანუ ვერ გეტყვით რომელი რიცხვი შეესაბამება ჩანაწერს 0: 0 . და თუ ასეა, მაშინ იძულებული ვართ ვაღიაროთ, რომ ამ ჩანაწერსაც აზრი არ აქვს. გამოდის, რომ ნულიც კი ვერ გაიყოფა ნულზე. (მათემატიკურ ანალიზში არის შემთხვევები, როდესაც პრობლემის დამატებითი პირობების გამო, შეიძლება უპირატესობა მიანიჭოს განტოლების ამოხსნის ერთ-ერთ შესაძლო ვარიანტს. 0 x = 0; ასეთ შემთხვევებში მათემატიკოსები საუბრობენ "გაურკვევლობის გამჟღავნებაზე", მაგრამ არითმეტიკაში ასეთი შემთხვევები არ ხდება.)

ეს არის გაყოფის ოპერაციის თავისებურება. უფრო ზუსტად, გამრავლების ოპერაციას და მასთან დაკავშირებულ რიცხვს აქვს ნული.

მაშ, ყველაზე ზედმიწევნით, ამ მომენტამდე წაკითხვის შემდეგ, შეიძლება იკითხოს: რატომ არის ასე, რომ ვერ გაყოფ ნულზე, მაგრამ შეგიძლია გამოკლო ნული? გარკვეული გაგებით, სწორედ აქ იწყება ნამდვილი მათემატიკა. მასზე პასუხის გაცემა შესაძლებელია მხოლოდ რიცხვითი სიმრავლეების და მათზე მოქმედებების ფორმალური მათემატიკური განმარტებების გაცნობით. არც ისე რთულია, მაგრამ რატომღაც სკოლაში არ სწავლობენ. მაგრამ უნივერსიტეტში მათემატიკის ლექციებზე, პირველ რიგში ამას გასწავლიან.

გაყოფის ფუნქცია არ არის განსაზღვრული დიაპაზონისთვის, სადაც გამყოფი არის ნული. შეგიძლიათ გაყოთ, მაგრამ შედეგი არ არის განსაზღვრული

ნულზე ვერ დაიშლები. საშუალო სკოლის მათემატიკა 2 კლასი.

თუ ჩემი მეხსიერება სწორად მემსახურება, მაშინ ნული შეიძლება იყოს წარმოდგენილი როგორც უსასრულო მნიშვნელობა, ასე რომ იქნება უსასრულობა. სკოლა "ნული - არაფერი" უბრალოდ გამარტივებაა, სასკოლო მათემატიკაში ძალიან ბევრია. მაგრამ მათ გარეშე არანაირად, ყველაფერი თავის დროზე.

შედით პასუხის დასაწერად

გაყოფა ნულზე

პირადი საწყისი გაყოფა ნულზენულის გარდა სხვა რიცხვი არ არსებობს.

აქ მსჯელობა ასეთია: ვინაიდან ამ შემთხვევაში ვერც ერთი რიცხვი ვერ დააკმაყოფილებს კოეფიციენტის განსაზღვრას.

დავწეროთ, მაგალითად,

რაც არ უნდა აიღოთ ტესტირებისთვის (ვთქვათ, 2, 3, 7), ეს არ არის კარგი, რადგან:

\[ 2 0 = 0 \]

\[ 3 0 = 0 \]

\[ 7 0 = 0 \]

რა მოხდება, თუ გაყოფთ 0-ზე?

და ა.შ., მაგრამ თქვენ უნდა მიიღოთ პროდუქტი 2,3,7.

შეგვიძლია ვთქვათ, რომ ნულის გარდა სხვა რიცხვის ნულზე გაყოფის პრობლემას არ აქვს ამოხსნა. თუმცა ნულის გარდა სხვა რიცხვი შეიძლება დაიყოს ნულთან თვითნებურად მიახლოებულ რიცხვზე და რაც უფრო ახლოს იქნება გამყოფი ნულთან, მით უფრო დიდი იქნება კოეფიციენტი. ასე რომ, თუ გავყოფთ 7-ზე

\[ \frac(1)(10), \frac(1)(100), \frac(1)(1000), \frac(1)(10000) \]

შემდეგ ვიღებთ კერძო 70, 700, 7000, 70,000 და ა.შ., რომლებიც იზრდება განუსაზღვრელი ვადით.

ამიტომ ხშირად ამბობენ, რომ 7-ის 0-ზე გაყოფის კოეფიციენტი არის „უსასრულოდ დიდი“, ანუ „უსასრულობის ტოლი“ და წერენ.

\[7:0 = \infin\]

ამ გამოთქმის მნიშვნელობა არის ის, რომ თუ გამყოფი უახლოვდება ნულს, ხოლო დივიდენდი რჩება 7-ის ტოლი (ან უახლოვდება 7-ს), მაშინ კოეფიციენტი იზრდება განუსაზღვრელი ვადით.

რა კითხვებს არ სვამენ ჩვენი ბავშვები!.. მაგრამ კითხვა "რატომ არ შეიძლება ნულზე გაყოფა?" არ იკითხო. რატომ? რადგან სკოლაშიც კი მასწავლებელმა თქვა, რომ ეს შეუძლებელია.არ შეგიძლია, ასე რომ არ შეგიძლია! მოგვიანებით, უკვე ინსტიტუტებში, გავიგეთ, რომ ჯერ კიდევ შესაძლებელია გაყოფა და შედეგი იქნება - უსასრულობა.მაგრამ, აღიარეთ, ჩვენმა გონებამ მიიღო ეს ფაქტი, როგორც ერთგვარი ვარაუდი, კონვენცია, რადგან ბავშვობიდან გვახსოვს - ეს შეუძლებელია. და, სინამდვილეში, რატომ არის ერთი და იგივე?

დასაწყისისთვის, მოდით გავარკვიოთ, საიდან მოდის უსასრულობა, რომლის კონცეფციას უნივერსიტეტის პირველ წლებში ჩვენ გარკვეული უნდობლობით ვეპყრობოდით. ყველაფერი საოცრად მარტივია: თუ რომელიმე რიცხვი იყოფა პატარაზე და პატარაზე, მაშინ უფრო და უფრო მეტი მნიშვნელობა მიიღება. რაც უფრო პატარაა გამყოფი, მით უფრო დიდი გახდება კოეფიციენტი. ასე ჩნდება უსასრულობა.

მაგრამ ფიზიკოსებს და მათემატიკოსებს არ მოსწონთ უსასრულობა, რადგან პირობითად მიღებულია, რომ ნულზე გაყოფა არ შეიძლება.გამოდის, რომ დაშვება არის ნულზე გაყოფის შეუძლებლობა.

მოდით მივმართოთ მათემატიკის საფუძვლებს. არითმეტიკაში ოთხი ოპერაცია არსებობს - შეკრება, გამოკლება, გამრავლება და გაყოფა. მაგრამ ისინი არ არიან თანაბარი. მათემატიკოსები მათგან მხოლოდ ორს თვლიან ძირითად ქმედებად: შეკრება და გამრავლება, დანარჩენი არის საპირისპირო მოქმედებები, მთავარის შედეგები.

განვიხილოთ ცნება "გამოკლება". მაგალითის გადასაჭრელად "5 - 3 \u003d ...", ხუთი ელემენტიდან სამი უნდა მოიხსნას, დარჩენილი რიცხვი იქნება ჩვენი მაგალითის პასუხი. მაგრამ, თუ გავითვალისწინებთ, რომ მიმატება მთავარ მოქმედებად ითვლება, მოდით, ოდნავ შევცვალოთ ჩვენი მაგალითი და დავწეროთ იგი მიმატების სახით: "x + 3 = 5". ანუ რომელ რიცხვს უნდა დაემატოს სამი, რომ ხუთი იყოს?

იგივე ეხება გაყოფას. გამოთქმა "8: 4 = ..." გამომდინარეობს გამოთქმიდან "4 x = 8". რამდენჯერ უნდა ავიღოთ ოთხი რვის შესაქმნელად?

და აი, პასუხი! თუ 5:0 არის 0 x \u003d 5 ჩაწერის ვარიანტი, მაშინ გამოდის, რომ თქვენ უნდა იპოვოთ რიცხვი, რომელიც 0-ზე გამრავლებისას მისცემს 5-ს. რამდენჯერ გჭირდებათ ნულის აღება, რომ მიიღოთ რაიმე მეტი ვიდრე არაფერი?! მაგრამ 0-ზე გამრავლება ყოველთვის იძლევა 0-ს, ეს ფაქტი სწორედ ნულის განმარტებაშია! არ არსებობს რიცხვი, რომელიც 0-ზე გამრავლებისას იძლევა რაიმეს გარდა ნულისა. გამოდის, რომ პრობლემას გამოსავალი არ აქვს და გამოთქმას 5:0 აზრი არ აქვს. უაზრო ამოცანების რაოდენობის შესამცირებლად მიღებული იქნა, რომ ნულზე გაყოფა არ შეიძლება.

ყველაზე ზედმიწევნითი მკითხველი აუცილებლად იკითხავს: მაგრამ რა შეიძლება ითქვას ნულის ნულზე გაყოფაზე?

მოდი გავარკვიოთ. გამოდის, რომ განტოლებას 0 x = 0 აქვს ამონახსნი? ან ამონახსნების უსასრულო რაოდენობა? "X" შეიძლება იყოს ერთი, ორი და მილიონი. მაშ, x=0-ით გამოდის 0 0 = 0, შემდეგ 0: 0=0? და თუ x=1, 0 1 =0, მაშინ 0: 0 = 1?! თუ 0:0 = 1000000?!

გამოდის, რომ გამოსავალს ვერ ვპოულობთ გამოთქმას „0: 0“, რაც იმას ნიშნავს, რომ ამ გამოთქმას არც აქვს გამოსავალი. ანუ ნულს ნულზე ვერც გაყოფ.

ასეთ საინტერესო დასკვნებამდე მიდიხარ დაწყებითი სკოლიდან ცნობილ ფაქტზე ფიქრით: ნულზე ვერ გაყოფ.

გაინტერესებთ? ბოლომდე წაიკითხე? ასე რომ, სწორედ შენნაირი ადამიანების გამო გაჩნდა შემდეგი ცხოვრებისეული ანეკდოტი.

რატომ არ შეიძლება ნულზე გაყოფა? შეგიძლიათ გაამრავლოთ და ისიც ნული გამოდის.

- Რატომაც არა? შესაძლებელია, მხოლოდ ასეთი დაყოფის შედეგია უსასრულობა

რატომ არა ნული?

- აბა, შეხედე: 2 * 0 - ეს არის ორი აღება ნულის ჯერ, ეს იქნება ნული. და 2/0 არის "რამდენჯერ ჯდება ნული დუსში", უსასრულობა.

- თუ 2/0=x, მაშინ 2=x*0 ნიშნავს 2=0. და თუ 2=0, მაშინ 2/0=0!

- კარგი, რომ არ ჩაერთონ ასეთ სისულელეებში, მათემატიკოსებმა მიიღეს უთქმელი შეთანხმება: ნულზე გაყოფა არ შეიძლება!

თითოეულმა ჩვენგანმა მინიმუმ ორი ურყევი წესი ისწავლა სკოლიდან: "ჟი და ში - დაწერე ასო I" და " არ შეიძლება ნულზე გაყოფა". და თუ პირველი წესი შეიძლება აიხსნას რუსული ენის თავისებურებით, მაშინ მეორე ბადებს სრულიად ლოგიკურ კითხვას: "რატომ?"

რატომ არ შეიძლება ნულზე გაყოფა?

მთლად გაუგებარია, რატომ არ საუბრობენ ამაზე სკოლაში, მაგრამ არითმეტიკული თვალსაზრისით, პასუხი ძალიან მარტივია.

ავიღოთ ნომერი 10 და გაყავით 2 . ეს ნიშნავს, რომ ჩვენ ავიღეთ 10 ნებისმიერი ობიექტი და დაალაგეთ ისინი შესაბამისად 2 თანაბარი ჯგუფები, ანუ 10: 2 = 5 (ჩართულია 5 ელემენტები ჯგუფში). იგივე მაგალითი ასევე შეიძლება დაიწეროს განტოლების გამოყენებით x * 2 = 10(და Xაქ ტოლი იქნება 5 ).

ახლა, ერთი წამით, წარმოიდგინეთ, რომ შეგიძლიათ გაყოთ ნულზე და სცადეთ 10 გაყოფა 0 .

თქვენ მიიღებთ შემდეგს: 10:0 = x, აქედან გამომდინარე x * 0 = 10. მაგრამ ჩვენი გამოთვლები არ შეიძლება იყოს სწორი, რადგან ნებისმიერი რიცხვის გამრავლებისას 0 ყოველთვის გამოდის 0 . მათემატიკაში არ არსებობს ისეთი რიცხვი, რომელიც გამრავლებისას 0 სხვა რამეს მისცემდა 0 . ამიტომ, განტოლებები 10:0 = xდა x * 0 = 10გამოსავალი არ აქვს. ამის გათვალისწინებით, ამბობენ, რომ ნულზე გაყოფა არ შეიძლება.

როდის შეიძლება გაყოფა ნულზე?

არსებობს ვარიანტი, რომელშიც ნულზე გაყოფა მაინც გარკვეული აზრი აქვს. თუ თავად ნულს გავყოფთ, მაშინ მივიღებთ შემდეგს 0: 0 = x, რაც ნიშნავს x * 0 = 0.

მოდი ვიჩვენოთ, რომ x=0, მაშინ განტოლება არ ბადებს კითხვებს, ყველაფერი მშვენივრად ემთხვევა 0: 0 = 0 , რაც ნიშნავს 0 * 0 = 0 .

მაგრამ რა მოხდება, თუ X≠ 0 ? მოდი ვიჩვენოთ, რომ x = 9? მერე 9 * 0 = 0 და 0: 0 = 9 ? Და თუ x=45, მაშინ 0: 0 = 45 .

ჩვენ ნამდვილად შეგვიძლია გაზიარება 0 ზე 0 . მაგრამ ამ განტოლებას ექნება ამონახსნების უსასრულო რაოდენობა, ვინაიდან 0:0 = არაფერი.

რატომ 0:0 = NaN

ოდესმე გიცდიათ გაზიარება 0 ზე 0 სმარტფონზე? ვინაიდან ნულზე გაყოფილი ნულზე იძლევა აბსოლუტურად ნებისმიერ რიცხვს, პროგრამისტებს უნდა ეძიათ გამოსავალი ამ სიტუაციიდან, რადგან კალკულატორს არ შეუძლია უგულებელყოს თქვენი მოთხოვნები. და მათ იპოვეს ერთგვარი გამოსავალი: როცა ნულს ყოფ ნულზე, მიიღებ NaN (არა რიცხვი).

რატომ x:0=∞ ა x: -0 = — ∞

თუ თქვენს სმარტფონზე რაიმე რიცხვის ნულზე გაყოფას ცდილობთ, პასუხი უსასრულობის ტოლი იქნება. საქმე იმაშია, რომ მათემატიკაში 0 ზოგჯერ განიხილება არა როგორც "არაფერი", არამედ როგორც "უსასრულოდ მცირე რაოდენობა". ამიტომ, თუ რომელიმე რიცხვი იყოფა უსასრულოდ მცირე მნიშვნელობაზე, მიიღება უსასრულოდ დიდი მნიშვნელობა (∞) .

ანუ შესაძლებელია ნულზე გაყოფა?

პასუხი, როგორც ხშირად ხდება, ორაზროვანია. სკოლაში ჯობია ცხვირზე მოჭრა არ შეიძლება ნულზე გაყოფაეს დაზოგავს არასაჭირო გართულებებს. მაგრამ თუ უნივერსიტეტის მათემატიკის ფაკულტეტზე შედიხართ, მაინც უნდა გაყოთ ნულზე.

ნულზე გაყოფის მათემატიკური წესი ყოვლისმომცველი სკოლის პირველ კლასში ყველა ადამიანს ასწავლიდა. „ნულზე გაყოფა არ შეიძლება“, - გვასწავლეს ყველას და ზურგში დარტყმის ტკივილის გამო აუკრძალეს ნულზე გაყოფა და ზოგადად ამ თემის განხილვა. მიუხედავად იმისა, რომ დაწყებითი სკოლის ზოგიერთი მასწავლებელი მაინც ცდილობდა აეხსნა, თუ რატომ არის შეუძლებელია ნულზე გაყოფა მარტივი მაგალითების გამოყენებით, ეს მაგალითები იმდენად ალოგიკური იყო, რომ უფრო ადვილი იყო უბრალოდ ამ წესის დამახსოვრება და ზედმეტი კითხვების დასმა. მაგრამ ყველა ეს მაგალითი ალოგიკური იყო იმ მიზეზით, რომ მასწავლებელმა ეს ლოგიკურად ვერ აგვიხსნა პირველ კლასში, რადგან პირველ კლასში ჩვენ არც კი ვიცოდით რა იყო განტოლება და ლოგიკურად ეს მათემატიკური წესის ახსნა შესაძლებელია მხოლოდ განტოლებების დახმარებით.

ყველამ იცის, რომ ნებისმიერი რიცხვის ნულზე გაყოფისას სიცარიელე გამოვა. რატომ არის ზუსტად სიცარიელე, მოგვიანებით განვიხილავთ.

ზოგადად, მათემატიკაში დამოუკიდებლად აღიარებულია მხოლოდ ორი პროცედურა რიცხვებით. ეს არის შეკრება და გამრავლება. დარჩენილი პროცედურები განიხილება ამ ორი პროცედურის წარმოებულებად. მოდით შევხედოთ ამას მაგალითით.

მითხარი რამდენი იქნება მაგ 11-10? ჩვენ ყველანი მომენტალურად გიპასუხებთ, რომ ეს იქნება 1. და როგორ ვიპოვეთ ასეთი პასუხი? ვიღაც იტყვის, რომ უკვე გასაგებია, რომ ეს იქნება 1, ვიღაც იტყვის, რომ მან აიღო 10 11 ვაშლიდან და გამოთვალა, რომ ეს იყო ერთი ვაშლი. ლოგიკის თვალსაზრისით ყველაფერი სწორია, მაგრამ მათემატიკის კანონების მიხედვით ეს პრობლემა სხვაგვარად წყდება. უნდა გვახსოვდეს, რომ შეკრება და გამრავლება განიხილება მთავარ პროცედურებად, ასე რომ თქვენ უნდა შეადგინოთ შემდეგი განტოლება: x + 10 \u003d 11 და მხოლოდ ამის შემდეგ x \u003d 11-10, x \u003d 1. გაითვალისწინეთ, რომ შეკრება პირველ რიგში მოდის და მხოლოდ ამის შემდეგ, განტოლებიდან გამომდინარე, შეგვიძლია გამოვაკლოთ. როგორც ჩანს, რატომ ამდენი პროცედურა? ყოველივე ამის შემდეგ, პასუხი აშკარაა. მაგრამ მხოლოდ ასეთ პროცედურებს შეუძლიათ ახსნან ნულზე გაყოფის შეუძლებლობა.

მაგალითად, ვაკეთებთ შემდეგ მათემატიკურ დავალებას: გვინდა 20 გავყოთ ნულზე. ანუ 20:0=x. იმის გასარკვევად, თუ რამდენი იქნება ეს, უნდა გახსოვდეთ, რომ გაყოფის პროცედურა გამომდინარეობს გამრავლებიდან. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, გაყოფა არის გამრავლების წარმოებული პროცედურა. ამიტომ, თქვენ უნდა გააკეთოთ განტოლება გამრავლებისგან. ასე რომ, 0*x=20. აქ არის ჩიხი. რა რიცხვიც არ უნდა გავამრავლოთ ნულზე, ის მაინც იქნება 0, მაგრამ არა 20. აქ არის წესი: არ შეიძლება ნულზე გაყოფა. ნული შეიძლება გაიყოს ნებისმიერ რიცხვზე, მაგრამ რიცხვი არ შეიძლება გაიყოს ნულზე.

ეს კიდევ ერთ კითხვას ბადებს: შესაძლებელია თუ არა ნულის ნულზე გაყოფა? ასე რომ 0:0=x ნიშნავს 0*x=0. ეს განტოლება შეიძლება ამოხსნას. ავიღოთ, მაგალითად, x=4, რაც ნიშნავს 0*4=0. გამოდის, რომ თუ ნულს გაყოფთ ნულზე, მიიღებთ 4-ს. მაგრამ აქაც ყველაფერი ასე მარტივი არ არის. თუ ავიღებთ, მაგალითად, x=12 ან x=13, მაშინ იგივე პასუხი გამოვა (0*12=0). ზოგადად, რა რიცხვიც არ უნდა ჩავანაცვლოთ, მაინც გამოვა 0, ამიტომ თუ 0:0, მაშინ უსასრულობა გამოვა. აქ არის რამდენიმე მარტივი მათემატიკა. სამწუხაროდ, ნულის ნულზე გაყოფის პროცედურაც უაზროა.

ზოგადად, რიცხვი ნული მათემატიკაში ყველაზე საინტერესოა. მაგალითად, ყველამ იცის, რომ ნებისმიერი რიცხვი ნულოვან ხარისხზე იძლევა ერთს. რა თქმა უნდა, ასეთ მაგალითს რეალურ ცხოვრებაში არ ვხვდებით, მაგრამ ნულზე გაყოფით, ცხოვრებისეული სიტუაციები ძალიან ხშირად გვხვდება. ასე რომ, გახსოვდეთ, რომ ნულზე გაყოფა არ შეიძლება.