ამ გაკვეთილზე ჩვენ ვისწავლით თუ როგორ დავშალოთ კვადრატული ტრინომები წრფივ ფაქტორებად. ამისთვის საჭიროა ვიეტას თეორემა და მისი შებრუნებული გავიხსენოთ. ეს უნარი დაგვეხმარება სწრაფად და მოხერხებულად დავშალოთ კვადრატული ტრინომები წრფივ ფაქტორებად და ასევე გავამარტივოთ გამოსახულებებისაგან შემდგარი წილადების შემცირება.

ასე რომ, დავუბრუნდეთ კვადრატულ განტოლებას, სადაც.

რასაც მარცხენა მხარეს გვაქვს კვადრატული ტრინომი ეწოდება.

თეორემა მართალია:თუ კვადრატული ტრინომის ფესვებია, მაშინ იდენტურობა მართალია

სად არის წამყვანი კოეფიციენტი, არის განტოლების ფესვები.

ასე რომ, გვაქვს კვადრატული განტოლება - კვადრატული ტრინომი, სადაც კვადრატული განტოლების ფესვებს ასევე უწოდებენ კვადრატული ტრინომის ფესვებს. მაშასადამე, თუ გვაქვს კვადრატული ტრინომის ფესვები, მაშინ ეს ტრინომი იშლება წრფივ ფაქტორებად.

მტკიცებულება:

ამ ფაქტის დადასტურება ხორციელდება ვიეტას თეორემის გამოყენებით, რომელიც განვიხილეთ წინა გაკვეთილებში.

გავიხსენოთ რას გვეუბნება ვიეტას თეორემა:

თუ არის კვადრატული ტრინომის ფესვები, რომლისთვისაც , მაშინ .

ეს თეორემა გულისხმობს შემდეგ მტკიცებას, რომ.

ჩვენ ვხედავთ, რომ ვიეტას თეორემის მიხედვით, ანუ ამ მნიშვნელობების ზემოთ მოცემულ ფორმულაში ჩანაცვლებით, მივიღებთ შემდეგ გამონათქვამს.

ქ.ე.დ.

შეგახსენებთ, რომ ჩვენ დავამტკიცეთ თეორემა, რომ თუ კვადრატული ტრინომის ფესვებია, მაშინ დაშლა მართებულია.

ახლა გავიხსენოთ კვადრატული განტოლების მაგალითი, რომლის ფესვები ვიეტას თეორემის გამოყენებით შევარჩიეთ. ამ ფაქტიდან ჩვენ შეგვიძლია მივიღოთ შემდეგი ტოლობა დადასტურებული თეორემის წყალობით:

ახლა მოდით შევამოწმოთ ამ ფაქტის სისწორე უბრალოდ ფრჩხილების გაფართოებით:

ჩვენ ვხედავთ, რომ ჩვენ სწორად გავაფართოვეთ და ნებისმიერი ტრინომი, თუ მას აქვს ფესვები, შეიძლება ამ თეორემის მიხედვით გადანაწილდეს წრფივ ფაქტორებად ფორმულის მიხედვით

თუმცა, მოდით შევამოწმოთ, შესაძლებელია თუ არა რომელიმე განტოლებისთვის ასეთი ფაქტორიზაცია:

მაგალითისთვის ავიღოთ განტოლება. ჯერ შევამოწმოთ დისკრიმინანტის ნიშანი

და ჩვენ გვახსოვს, რომ ნასწავლი თეორემის შესასრულებლად D უნდა იყოს 0-ზე მეტი, ასე რომ ამ საქმესშესწავლილი თეორემით ფაქტორიზაცია შეუძლებელია.

ამიტომ, ჩვენ ვაყალიბებთ ახალ თეორემას: თუ კვადრატულ ტრინომს არ აქვს ფესვები, მაშინ ის არ შეიძლება დაიშალოს წრფივ ფაქტორებად.

ასე რომ, ჩვენ განვიხილეთ ვიეტას თეორემა, კვადრატული ტრინომის წრფივ ფაქტორებად დაშლის შესაძლებლობა და ახლა მოვაგვარებთ რამდენიმე პრობლემას.

დავალება #1

ამ ჯგუფში ჩვენ რეალურად მოვაგვარებთ პრობლემას დასმულის საპირისპიროდ. ჩვენ გვქონდა განტოლება და ვიპოვეთ მისი ფესვები, ფაქტორებად დაშლა. აქ ჩვენ პირიქით მოვიქცევით. ვთქვათ, გვაქვს კვადრატული განტოლების ფესვები

შებრუნებული პრობლემა ასეთია: დაწერეთ კვადრატული განტოლება ისე, რომ იყო მისი ფესვები.

ამ პრობლემის მოგვარების 2 გზა არსებობს.

ვინაიდან არის განტოლების ფესვები, მაშინ არის კვადრატული განტოლება, რომლის ფესვებზე მოცემულია რიცხვები. ახლა გავხსნათ ფრჩხილები და შევამოწმოთ:

ეს იყო პირველი გზა ჩვენ შევქმენით კვადრატული განტოლება მოცემული ფესვებით, რომელსაც არ აქვს სხვა ფესვები, რადგან ნებისმიერ კვადრატულ განტოლებას აქვს მაქსიმუმ ორი ფესვი.

ეს მეთოდი მოიცავს შებრუნებული ვიეტას თეორემის გამოყენებას.

თუ განტოლების ფესვებია, მაშინ ისინი აკმაყოფილებენ იმ პირობას, რომ .

შემცირებული კვადრატული განტოლებისთვის , ანუ ამ შემთხვევაში და .

ამრიგად, ჩვენ შევქმენით კვადრატული განტოლება, რომელსაც აქვს მოცემული ფესვები.

დავალება #2

თქვენ უნდა შეამციროთ ფრაქცია.

ჩვენ გვაქვს ტრინომი მრიცხველში და ტრინომი მნიშვნელში და ტრინომები შეიძლება იყოს ან არა ფაქტორიზირებული. თუ ორივე მრიცხველი და მნიშვნელი ფაქტორიზებულია, მაშინ მათ შორის შეიძლება იყოს თანაბარი ფაქტორები, რომლებიც შეიძლება შემცირდეს.

უპირველეს ყოვლისა, აუცილებელია მრიცხველის ფაქტორიზირება.

პირველ რიგში, თქვენ უნდა შეამოწმოთ, შეიძლება თუ არა ამ განტოლების ფაქტორირება, იპოვნეთ დისკრიმინანტი. ვინაიდან , მაშინ ნიშანი დამოკიდებულია პროდუქტზე (უნდა იყოს 0-ზე ნაკლები), ამ მაგალითში, ანუ მოცემულ განტოლებას აქვს ფესვები.

გადასაჭრელად ვიყენებთ ვიეტას თეორემას:

ამ შემთხვევაში, ვინაიდან ფესვებთან გვაქვს საქმე, ფესვების უბრალოდ მოკრეფა საკმაოდ რთული იქნება. მაგრამ ჩვენ ვხედავთ, რომ კოეფიციენტები დაბალანსებულია, ანუ თუ ჩავთვლით, რომ და ჩავანაცვლებთ ამ მნიშვნელობას განტოლებაში, მაშინ მიიღება შემდეგი სისტემა: ანუ 5-5=0. ამრიგად, ჩვენ ავირჩიეთ ამ კვადრატული განტოლების ერთ-ერთი ფესვი.

ჩვენ ვეძებთ მეორე ფესვს განტოლებათა სისტემაში უკვე ცნობილის ჩანაცვლებით, მაგალითად, ე.ი. .

ამრიგად, ჩვენ ვიპოვნეთ კვადრატული განტოლების ორივე ფესვი და შეგვიძლია შევცვალოთ მათი მნიშვნელობები თავდაპირველ განტოლებაში, რათა მოხდეს მისი ფაქტორი:

გავიხსენოთ თავდაპირველი პრობლემა, დაგვჭირდა წილადის შემცირება.

შევეცადოთ ამოცანის გადაჭრა მრიცხველის ნაცვლად ჩანაცვლებით.

არ უნდა დაგვავიწყდეს, რომ ამ შემთხვევაში მნიშვნელი არ შეიძლება იყოს 0-ის ტოლი, ე.ი.

თუ ეს პირობები დაკმაყოფილებულია, მაშინ ჩვენ შევამცირეთ საწყისი წილადი ფორმამდე.

დავალება #3 (ამოცანა პარამეტრით)

პარამეტრის რა მნიშვნელობებზეა კვადრატული განტოლების ფესვების ჯამი

თუ ამ განტოლების ფესვები არსებობს, მაშინ , საკითხავია როდის .

კვადრატული ტრინომების ფაქტორიზაცია ერთ-ერთი სასკოლო დავალებაა, რომელიც ადრე თუ გვიან ყველას აწყდება. Როგორ გავაკეთო ეს? რა არის კვადრატული ტრინომის ფაქტორინგის ფორმულა? მოდით გადავიდეთ ეტაპობრივად მაგალითებით.

ზოგადი ფორმულა

კვადრატული ტრინომების ფაქტორიზაცია ხორციელდება კვადრატული განტოლების ამოხსნით. ეს არის მარტივი ამოცანა, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია რამდენიმე მეთოდით - დისკრიმინანტის მოძიებით, ვიეტას თეორემის გამოყენებით, არსებობს მისი ამოხსნის გრაფიკული გზაც. პირველ ორ მეთოდს სწავლობენ საშუალო სკოლაში.

ზოგადი ფორმულა ასე გამოიყურება:lx 2 +kx+n=l(x-x 1)(x-x 2) (1)

დავალების შესრულების ალგორითმი

კვადრატული ტრინომების ფაქტორიზაციისთვის საჭიროა იცოდე ვიტის თეორემა, გქონდეს ხელთ ამოხსნის პროგრამა, შეძლოს ამონახსნის გრაფიკულად პოვნა ან დისკრიმინაციული ფორმულით მეორე ხარისხის განტოლების ფესვების მოძებნა. თუ მოცემულია კვადრატული ტრინომი და ის უნდა იყოს ფაქტორირებული, მოქმედებების ალგორითმი ასეთია:

1) განტოლების მისაღებად ორიგინალური გამოხატულება გაათანაბრეს ნულთან.

2) მიუთითეთ მსგავსი პირობები (საჭიროების შემთხვევაში).

3) იპოვეთ ფესვები ნებისმიერი ცნობილი მეთოდით. გრაფიკული მეთოდი საუკეთესოდ გამოიყენება, თუ წინასწარ არის ცნობილი, რომ ფესვები არის მთელი და მცირე რიცხვები. უნდა გვახსოვდეს, რომ ფესვების რაოდენობა უდრის განტოლების მაქსიმალურ ხარისხს, ანუ კვადრატულ განტოლებას ორი ფესვი აქვს.

4) შემცვლელი ღირებულება Xგამოხატვაში (1).

5) ჩაწერეთ კვადრატული ტრინომების ფაქტორიზაცია.

მაგალითები

პრაქტიკა საშუალებას გაძლევთ საბოლოოდ გაიგოთ, თუ როგორ სრულდება ეს დავალება. მაგალითები ასახავს კვადრატული ტრინომის ფაქტორიზაციას:

თქვენ უნდა გააფართოვოთ გამოხატულება:

მოდით გამოვიყენოთ ჩვენი ალგორითმი:

1) x 2 -17x+32=0

2) მსგავსი ვადები მცირდება

3) Vieta ფორმულის მიხედვით, ძნელია ამ მაგალითის ფესვების პოვნა, ამიტომ უმჯობესია გამოვიყენოთ გამონათქვამი დისკრიმინანტისთვის:

D=289-128=161=(12.69) 2

4) შეცვალეთ ფესვები, რომლებიც აღმოვაჩინეთ გაფართოების მთავარ ფორმულაში:

(x-2.155) * (x-14.845)

5) მაშინ პასუხი იქნება:

x 2 -17x + 32 \u003d (x-2.155) (x-14.845)

მოდით შევამოწმოთ შეესაბამება თუ არა დისკრიმინანტის მიერ ნაპოვნი გადაწყვეტილებები Vieta ფორმულებს:

14,845 . 2,155=32

ამ ფესვებისთვის გამოიყენება ვიეტას თეორემა, ისინი სწორად იქნა ნაპოვნი, რაც ნიშნავს, რომ ჩვენ მიერ მიღებული ფაქტორიზაცია ასევე სწორია.

ანალოგიურად, ჩვენ ვაფართოებთ 12x 2 + 7x-6.

x 1 \u003d -7 + (337) 1/2

x 2 \u003d -7- (337) 1/2

წინა შემთხვევაში ამონახსნები იყო არა მთელი რიცხვი, მაგრამ რეალური რიცხვები, რომელთა პოვნა ადვილია თქვენს წინაშე არსებული კალკულატორით. ახლა განვიხილოთ უფრო რთული მაგალითი, რომელშიც ფესვები რთულია: ფაქტორიზაცია x 2 + 4x + 9. ვიეტას ფორმულის მიხედვით ფესვები ვერ მოიძებნება და დისკრიმინანტი უარყოფითია. ფესვები კომპლექსურ სიბრტყეზე იქნება.

D=-20

ამის საფუძველზე ვიღებთ ჩვენთვის დაინტერესებულ ფესვებს -4 + 2i * 5 1/2 და -4-2i * 5 1/2 რადგან (-20) 1/2 = 2i*5 1/2 .

ჩვენ ვიღებთ სასურველ გაფართოებას ფესვების ზოგადი ფორმულით ჩანაცვლებით.

კიდევ ერთი მაგალითი: თქვენ უნდა დაახარისხოთ გამონათქვამი 23x 2 -14x + 7.

ჩვენ გვაქვს განტოლება 23x 2 -14x+7 =0

D=-448

ასე რომ, ფესვები არის 14+21,166i და 14-21,166ი. პასუხი იქნება:

23x 2 -14x+7 =23(x- 14-21,166ი )*(X- 14+21.166ი ).

მოდით მოვიყვანოთ მაგალითი, რომელიც შეიძლება გადაწყდეს დისკრიმინანტის დახმარების გარეშე.

მოდით, საჭირო გახდეს კვადრატული განტოლების დაშლა x 2 -32x + 255. ცხადია, მისი გადაჭრა დისკრიმინანტითაც შეიძლება, მაგრამ ამ შემთხვევაში ფესვების პოვნა უფრო სწრაფია.

x 1 =15

x2=17

ნიშნავს x 2 -32x + 255 =(x-15)(x-17).

ონლაინ კალკულატორი.
ბინომის კვადრატის შერჩევა და კვადრატული ტრინომის ფაქტორიზაცია.

ეს მათემატიკური პროგრამა ამოიღებს ბინომის კვადრატს კვადრატული ტრინომიდან, ე.ი. აკეთებს ფორმის ტრანსფორმაციას:
\(ax^2+bx+c \მარჯვენა arrow a(x+p)^2+q \) და ამრავლებს კვადრატულ ტრინომს: \(ax^2+bx+c \მარჯვენა ისარი a(x+n)(x+m) \)

იმათ. ამოცანები მცირდება \(p, q \) და \(n, m \) რიცხვების პოვნამდე.

პროგრამა არა მხოლოდ იძლევა პასუხს პრობლემაზე, არამედ აჩვენებს გადაჭრის პროცესს.

ეს პროგრამა შეიძლება გამოადგეს საშუალო სკოლის მოსწავლეებს ტესტებისა და გამოცდებისთვის მოსამზადებლად, ცოდნის ტესტირებისას ერთიანი სახელმწიფო გამოცდის წინ, მშობლებისთვის მათემატიკასა და ალგებრაში მრავალი პრობლემის გადაწყვეტის გასაკონტროლებლად. ან იქნებ ძალიან ძვირი დაგიჯდებათ დამრიგებლის აყვანა ან ახალი სახელმძღვანელოების ყიდვა? ან უბრალოდ გსურთ რაც შეიძლება სწრაფად დაასრულოთ საშინაო დავალება მათემატიკაში ან ალგებრაში? ამ შემთხვევაში, თქვენ ასევე შეგიძლიათ გამოიყენოთ ჩვენი პროგრამები დეტალური გადაწყვეტით.

ამ გზით თქვენ შეგიძლიათ ჩაატაროთ საკუთარი ტრენინგი ან/და თქვენი უმცროსი ძმების ან დების ტრენინგი, ხოლო განათლების დონე გადასაჭრელი ამოცანების სფეროში გაიზრდება.

თუ არ იცნობთ კვადრატული ტრინომის შეყვანის წესებს, გირჩევთ გაეცნოთ მათ.

კვადრატული მრავალწევრის შეყვანის წესები

ნებისმიერი ლათინური ასო შეიძლება იყოს ცვლადი.
მაგალითად: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q \) და ა.შ.

რიცხვები შეიძლება შეიყვანოთ როგორც მთელი რიცხვები ან წილადები.
უფრო მეტიც, წილადი რიცხვები შეიძლება შეიყვანოთ არა მხოლოდ ათობითი, არამედ ჩვეულებრივი წილადის სახით.

ათობითი წილადების შეყვანის წესები.
ათობითი წილადებში, წილადი ნაწილი შეიძლება გამოიყოს მთელი რიცხვისგან ან წერტილით ან მძიმით.
მაგალითად, თქვენ შეგიძლიათ შეიყვანოთ ათწილადები ასე: 2.5x - 3.5x^2

ჩვეულებრივი წილადების შეყვანის წესები.
მხოლოდ მთელ რიცხვს შეუძლია წილადის მრიცხველის, მნიშვნელის და მთელი რიცხვის ნაწილის როლი.

მნიშვნელი არ შეიძლება იყოს უარყოფითი.

რიცხვითი წილადის შეყვანისას მრიცხველი გამოყოფილია მნიშვნელისგან გაყოფის ნიშნით: /
მთელი ნაწილი გამოყოფილია წილადისგან ამპერსანტით: &
შეყვანა: 3&1/3 - 5&6/5x +1/7x^2
შედეგი: \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) x + \frac(1)(7)x^2 \)

გამოხატვის შეყვანისას შეგიძლიათ გამოიყენოთ ფრჩხილები. ამ შემთხვევაში ამოხსნისას ჯერ შემოტანილი გამოთქმა გამარტივებულია.
მაგალითად: 1/2(x-1)(x+1)-(5x-10&1/2)

დეტალური გადაწყვეტის მაგალითი

ბინომის კვადრატის შერჩევა.$$ ax^2+bx+c \rightarrow a(x+p)^2+q $$ $$2x^2+2x-4 = $$ $$2x^2 +2 \cdot 2 \cdot\left( \frac(1)(2) \მარჯვნივ)\cdot x+2 \cdot \left(\frac(1)(2) \მარჯვნივ)^2-\frac(9)(2) = $$ $$2\მარცხნივ (x^2 + 2 \cdot\left(\frac(1)(2) \right)\cdot x + \left(\frac(1)(2) \მარჯვნივ)^2 \მარჯვნივ)-\frac(9 )(2) = $$ $$2\მარცხნივ(x+\frac(1)(2) \მარჯვნივ)^2-\frac(9)(2) $$ პასუხი:$$2x^2+2x-4 = 2\მარცხნივ(x+\frac(1)(2) \მარჯვნივ)^2-\frac(9)(2) $$ ფაქტორიზაცია.$$ ax^2+bx+c \მარჯვნივ arrow a(x+n)(x+m) $$ $$2x^2+2x-4 = $$
$$ 2\მარცხნივ(x^2+x-2 \მარჯვნივ) = $$
$$ 2 \მარცხნივ(x^2+2x-1x-1 \cdot 2 \მარჯვნივ) = $$ $$ 2 \left(x \left(x +2 \მარჯვნივ) -1 \მარცხნივ(x +2 \მარჯვნივ ) \მარჯვნივ) = $$ $$ 2 \მარცხნივ(x -1 \მარჯვნივ) \მარცხნივ(x +2 \მარჯვნივ) $$ პასუხი:$$2x^2+2x-4 = 2 \მარცხნივ(x -1 \მარჯვნივ) \მარცხნივ(x +2 \მარჯვნივ) $$

გადაწყვიტე

აღმოჩნდა, რომ ამ ამოცანის გადასაჭრელად საჭირო ზოგიერთი სკრიპტი არ იყო ჩატვირთული და შესაძლოა პროგრამამ არ იმუშაოს.
შეიძლება ჩართული გქონდეთ AdBlock.
ამ შემთხვევაში გამორთეთ და განაახლეთ გვერდი.

თქვენს ბრაუზერში JavaScript გამორთული გაქვთ.
გამოსავლის გამოსაჩენად ჩართული უნდა იყოს JavaScript.
აქ მოცემულია ინსტრუქციები, თუ როგორ უნდა ჩართოთ JavaScript თქვენს ბრაუზერში.

იმიტომ რომ ბევრია პრობლემის გადაწყვეტის მსურველი, თქვენი მოთხოვნა რიგში დგას.
რამდენიმე წამის შემდეგ, გამოსავალი გამოჩნდება ქვემოთ.
Გთხოვთ მოიცადოთ წამი...

Თუ შენ შენიშნა შეცდომა გამოსავალშიამის შესახებ შეგიძლიათ დაწეროთ უკუკავშირის ფორმაში.
Არ დაგავიწყდეს მიუთითეთ რომელი დავალებათქვენ გადაწყვიტეთ რა შედი ველებში.

ჩვენი თამაშები, თავსატეხები, ემულატორები:

ცოტა თეორია.

კვადრატული ბინომის ამოღება კვადრატული ტრინომიდან

თუ კვადრატული ტრინომი ax 2 + bx + c წარმოდგენილია როგორც (x + p) 2 + q, სადაც p და q რეალური რიცხვებია, მაშინ ისინი ამბობენ, რომ კვადრატული ტრინომი, გამოკვეთილია ბინომის კვადრატი.

2x 2 +12x+14 ტრინომიდან გამოვყოთ ორწევრის კვადრატი.

\(2x^2+12x+14 = 2(x^2+6x+7) \)

ამისათვის ჩვენ წარმოვადგენთ 6x-ს, როგორც 2 * 3 * x-ის ნამრავლს, შემდეგ ვამატებთ და ვაკლებთ 3 2-ს. ჩვენ ვიღებთ:
$$ 2(x^2+2 \cdot 3 \cdot x + 3^2-3^2+7) = 2((x+3)^2-3^2+7) = $$ $$ = 2 ((x+3)^2-2) = 2(x+3)^2-4 $$

რომ. ჩვენ კვადრატული ტრინომიდან შეარჩია ბინომის კვადრატიდა აჩვენა, რომ:
$$ 2x^2+12x+14 = 2(x+3)^2-4 $$

კვადრატული ტრინომის ფაქტორიზაცია

თუ კვადრატული ტრინომალური ცული 2 +bx+c წარმოდგენილია როგორც a(x+n)(x+m), სადაც n და m რეალური რიცხვებია, მაშინ ამბობენ, რომ ოპერაცია შესრულებულია. კვადრატული ტრინომის ფაქტორიზაცია.

მოდით გამოვიყენოთ მაგალითი იმის საჩვენებლად, თუ როგორ ხდება ეს ტრანსფორმაცია.

2x 2 +4x-6 გავამრავლოთ კვადრატული ტრინომი.

ავიღოთ a კოეფიციენტი ფრჩხილებიდან, ე.ი. 2:
\(2x^2+4x-6 = 2(x^2+2x-3) \)

გადავცვალოთ გამონათქვამი ფრჩხილებში.
ამისათვის ჩვენ წარმოვადგენთ 2x, როგორც სხვაობა 3x-1x, და -3 როგორც -1*3. ჩვენ ვიღებთ:
$$ = 2(x^2+3 \cdot x -1 \cdot x -1 \cdot 3) = 2(x(x+3)-1 \cdot (x+3)) = $$
$$ = 2(x-1)(x+3) $$

რომ. ჩვენ კვადრატული ტრინომის ფაქტორიზირებადა აჩვენა, რომ:
$$ 2x^2+4x-6 = 2(x-1)(x+3) $$

გაითვალისწინეთ, რომ კვადრატული ტრინომის ფაქტორიზაცია შესაძლებელია მხოლოდ მაშინ, როდესაც ამ ტრინომის შესაბამის კვადრატულ განტოლებას ფესვები აქვს.
იმათ. ჩვენს შემთხვევაში, ტრინომის ფაქტორირება 2x 2 +4x-6 შესაძლებელია, თუ კვადრატულ განტოლებას 2x 2 +4x-6 =0 აქვს ფესვები. ფაქტორინგის პროცესში აღმოვაჩინეთ, რომ განტოლებას 2x 2 +4x-6 =0 აქვს ორი ფესვი 1 და -3, რადგან ამ მნიშვნელობებით განტოლება 2(x-1)(x+3)=0 იქცევა ნამდვილ ტოლობაში.

წიგნები (სახელმძღვანელოები) აბსტრაქტები ერთიანი სახელმწიფო გამოცდისა და OGE ტესტების ონლაინ თამაშები, თავსატეხები ფუნქციების გრაფიკა რუსული ენის ორთოგრაფიული ლექსიკონი ახალგაზრდული ჟარგონის ლექსიკონი რუსული სკოლების კატალოგი რუსეთის საშუალო სკოლების კატალოგი რუსეთის უნივერსიტეტების კატალოგი ამოცანების ჩამონათვალი

კვადრატული ტრინომის ფაქტორიზაციაშეიძლება სასარგებლო იყოს C3 პრობლემის ან C5 პარამეტრის ამოცანის ამოხსნისას. ასევე, ბევრი B13 სიტყვის ამოცანები ბევრად უფრო სწრაფად გადაიჭრება, თუ თქვენ იცით ვიეტას თეორემა.

ეს თეორემა, რა თქმა უნდა, შეიძლება განიხილებოდეს მე-8 კლასის პოზიციიდან, რომელშიც ის პირველად იქნა ჩაბარებული. მაგრამ ჩვენი ამოცანაა კარგად მოვემზადოთ გამოცდისთვის და ვისწავლოთ როგორ მოვაგვაროთ საგამოცდო ამოცანები რაც შეიძლება ეფექტურად. ამიტომ, ამ გაკვეთილზე მიდგომა ოდნავ განსხვავდება სკოლისგან.

განტოლების ფესვების ფორმულა ვიეტას თეორემის მიხედვითბევრი ვიცი (ან მაინც მინახავს):

$$x_1+x_2 = -\frac(b)(a), \quad x_1 x_2 = \frac(c)(a),$$

სადაც `a, b` და `c` არის კვადრატული ტრინომის `ax^2+bx+c` კოეფიციენტები.

იმისათვის, რომ ვისწავლოთ თეორემის მარტივად გამოყენება, მოდით გავიგოთ, საიდან მოდის ის (ასე უფრო ადვილი იქნება დამახსოვრება).

მივიღოთ განტოლება `ax^2+ bx+ c = 0`. დამატებითი მოხერხებულობისთვის ვყოფთ მას `a`-ზე და მივიღებთ `x^2+\frac(b)(a) x + \frac(c)(a) = 0`. ასეთი განტოლება შემცირებული კვადრატული განტოლება ეწოდება.

გაკვეთილის მნიშვნელოვანი პუნქტები: ნებისმიერი კვადრატული მრავალწევრი, რომელსაც აქვს ფესვები, შეიძლება დაიშალოს ფრჩხილებში.დავუშვათ, ჩვენი შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც `x^2+\frac(b)(a) x + \frac(c)(a) = (x + k)(x+l)`, სადაც `k` და `l` - ზოგიერთი მუდმივი.

ვნახოთ, როგორ იხსნება ფრჩხილები:

$$(x + k)(x+l) = x^2 + kx+ lx+kl = x^2 +(k+l)x+kl.$$

ამრიგად, `k+l = \frac(b)(a), kl = \frac(c)(a)`.

ეს ოდნავ განსხვავდება კლასიკური ინტერპრეტაციისგან ვიეტას თეორემები- მასში ჩვენ ვეძებთ განტოლების ფესვებს. მე გთავაზობთ მოძებნოთ პირობები ფრჩხილის გაფართოებები- ასე რომ თქვენ არ გჭირდებათ ფორმულის მინუსის დამახსოვრება (იგულისხმება `x_1+x_2 = -\frac(b)(a)`). საკმარისია ავირჩიოთ ორი ასეთი რიცხვი, რომელთა ჯამი საშუალო კოეფიციენტის ტოლია, ნამრავლი კი თავისუფალი წევრის.

თუ ჩვენ გვჭირდება განტოლების ამონახსნი, მაშინ აშკარაა: ფესვები `x=-k` ან `x=-l` (რადგან ამ შემთხვევაში ერთ-ერთი ფრჩხილში იქნება ნული, რაც ნიშნავს, რომ მთელი გამოხატულება ნულის ტოლი იქნება).

მაგალითად, მე ვაჩვენებ ალგორითმს, როგორ დავშალოთ კვადრატული მრავალწევრი ფრჩხილებში.

მაგალითი ერთი. კვადრატული ტრინომის ფაქტორინგის ალგორითმი

გზა ჩვენ გვაქვს არის კვადრატული ტრინომი `x^2+5x+4`.

მცირდება (`x^2`-ის კოეფიციენტი უდრის ერთს). მას ფესვები აქვს. (დარწმუნებისთვის, შეგიძლიათ შეაფასოთ დისკრიმინანტი და დარწმუნდეთ, რომ ის ნულზე მეტია.)

შემდგომი ნაბიჯები (მათი უნდა ისწავლოთ ყველა სასწავლო დავალების შესრულებით):

1. გააკეთეთ შემდეგი აღნიშვნა: $$x^2+5x+4=(x \ldots)(x \ldots).$$ დატოვეთ თავისუფალი ადგილი წერტილების ნაცვლად, იქ დავამატებთ შესაბამის რიცხვებს და ნიშნებს.
2. Ყველას ნახვა შესაძლო ვარიანტები, როგორ შეგიძლიათ დაშალოთ რიცხვი `4` ორი რიცხვის ნამრავლად. ვიღებთ „კანდიდატების“ წყვილებს განტოლების ფესვებისთვის: `2, 2` და `1, 4`.
3. გამოთვალეთ რომელი წყვილიდან შეგიძლიათ მიიღოთ საშუალო კოეფიციენტი. ცხადია, ეს არის `1, 4`.
4. ჩაწერეთ $$x^2+5x+4=(x \quad 4)(x \quad 1)$$.
5. შემდეგი ნაბიჯი არის ნიშნების განთავსება ჩასმული ნომრების წინ.

   როგორ გავიგოთ და სამუდამოდ დაიმახსოვროთ, რა ნიშნები უნდა იყოს ფრჩხილებში მოცემული რიცხვების წინ? შეეცადეთ გააფართოვოთ ისინი (ფრჩხილები). კოეფიციენტი `x`-მდე პირველ ხარისხამდე იქნება `(± 4 ± 1)` (ნიშნები ჯერ არ ვიცით - უნდა ავირჩიოთ), და ის უნდა იყოს `5`-ის ტოლი. ცხადია, აქ იქნება ორი პლუსი $$x^2+5x+4=(x + 4)(x + 1)$$.

   შეასრულეთ ეს ოპერაცია რამდენჯერმე (გამარჯობა, სავარჯიშო ამოცანები!) და ამაზე მეტი პრობლემა არასოდეს შეგექმნებათ.

თუ თქვენ უნდა ამოხსნათ განტოლება `x^2+5x+4`, მაშინ ახლა მისი ამოხსნა არ არის რთული. მისი ფესვებია `-4, -1`.

მეორე მაგალითი. კვადრატული ტრინომის ფაქტორიზაცია სხვადასხვა ნიშნის კოეფიციენტებით

მოდით გადავჭრათ განტოლება `x^2-x-2=0`. რა თქმა უნდა, დისკრიმინანტი დადებითია.

ჩვენ მივყვებით ალგორითმს.

1. $$x^2-x-2=(x \ldots) (x \ldots).$$
2. არსებობს 2-ის მხოლოდ ერთი მთელი რიცხვის ფაქტორიზაცია: `2 · 1`.
3. ჩვენ გამოვტოვებთ საკითხს - არჩევანის გაკეთება არაფერია.
4. $$x^2-x-2=(x \quad 2) (x \quad 1).$$
5. ჩვენი რიცხვების ნამრავლი არის უარყოფითი (`-2` თავისუფალი წევრია), რაც ნიშნავს, რომ ერთი მათგანი იქნება უარყოფითი, მეორე კი დადებითი.
   ვინაიდან მათი ჯამი უდრის `-1`-ს (კოეფიციენტი `x`), მაშინ `2` უარყოფითი იქნება (ინტუიციური ახსნა - ორი არის ორი რიცხვიდან უფრო დიდი, ის უფრო მეტს "გაიყვანს" უარყოფითი მიმართულებით). ვიღებთ $$x^2-x-2=(x - 2) (x + 1).$$

მესამე მაგალითი. კვადრატული ტრინომის ფაქტორიზაცია

განტოლება `x^2+5x -84 = 0`.

1. $$x+ 5x-84=(x \ldots) (x \ldots).$$
2. 84-ის დაშლა მთელ რიცხვებად: `4 21, 6 14, 12 7, 2 42`.
3. ვინაიდან ჩვენ გვჭირდება რიცხვების სხვაობა (ან ჯამი) იყოს 5, წყვილი `7, 12` ასე იქნება.
4. $$x+ 5x-84=(x\quad 12) (x \quad 7).$$
5. $$x+ 5x-84=(x + 12) (x - 7).$$

იმედი, ამ კვადრატული ტრინომის დაშლა ფრჩხილებშიგასაგებია.

თუ თქვენ გჭირდებათ განტოლების ამონახსნი, მაშინ აქ არის: `12, -7`.

დავალებები ტრენინგისთვის

აქ არის რამდენიმე მაგალითი, რომლებიც მარტივია იხსნება ვიეტას თეორემის გამოყენებით.(მაგალითები აღებულია მათემატიკიდან, 2002 წ.)

1. `x^2+x-2=0`
2. `x^2-x-2=0`
3. `x^2+x-6=0`
4. `x^2-x-6=0`
5. `x^2+x-12=0`
6. `x^2-x-12=0`
7. `x^2+x-20=0`
8. `x^2-x-20=0`
9. `x^2+x-42=0`
10. `x^2-x-42=0`
11. `x^2+x-56=0`
12. `x^2-x-56=0`
13. `x^2+x-72=0`
14. `x^2-x-72=0`
15. `x^2+x-110=0`
16. `x^2-x-110=0`
17. `x^2+x-420=0`
18. `x^2-x-420=0`

სტატიის დაწერიდან რამდენიმე წლის შემდეგ გამოჩნდა 150 დავალების კრებული ვიეტას თეორემის გამოყენებით კვადრატული პოლინომის გაფართოებისთვის.

მოიწონეთ და დასვით შეკითხვები კომენტარებში!

მოყვანილია მრავალწევრების ფაქტორილიზაციის 8 მაგალითი. მათში შედის მაგალითები კვადრატული და ბიკვადრატული განტოლებების ამოხსნით, მაგალითები განმეორებადი მრავალწევრებით და მაგალითები მესამე და მეოთხე ხარისხის მრავალწევრების მთელი რიცხვის ფესვების პოვნის შესახებ.

1. მაგალითები კვადრატული განტოლების ამოხსნით

მაგალითი 1.1

x 4 + x 3 - 6 x 2.

გადაწყვეტილება

ამოიღეთ x 2 ფრჩხილებისთვის:
.
2 + x - 6 = 0:
.
განტოლების ფესვები:
, .

.

უპასუხე

მაგალითი 1.2

მესამე ხარისხის მრავალწევრის ფაქტორირება:
x 3 + 6 x 2 + 9 x.

გადაწყვეტილება

ჩვენ ვიღებთ x-ს ფრჩხილებიდან:
.
ვხსნით x კვადრატულ განტოლებას 2 + 6 x + 9 = 0:
მისი განმასხვავებელი არის.
ვინაიდან დისკრიმინანტი ნულის ტოლია, განტოლების ფესვები მრავლობითია: ;
.

აქედან ვიღებთ მრავალწევრის დაშლას ფაქტორებად:
.

უპასუხე

მაგალითი 1.3

მეხუთე ხარისხის მრავალწევრის ფაქტორირება:
x 5 - 2 x 4 + 10 x 3.

გადაწყვეტილება

ამოიღეთ x 3 ფრჩხილებისთვის:
.
ვხსნით x კვადრატულ განტოლებას 2 - 2 x + 10 = 0.
მისი განმასხვავებელი არის.
ვინაიდან დისკრიმინანტი ნულზე ნაკლებია, განტოლების ფესვები რთულია: ;
, .

მრავალწევრის ფაქტორიზაციას აქვს ფორმა:
.

თუ ჩვენ გვაინტერესებს ფაქტორინგი რეალური კოეფიციენტებით, მაშინ:
.

უპასუხე

ფორმულების გამოყენებით მრავალწევრების ფაქტორინგის მაგალითები

მაგალითები ბიკვადრატული მრავალწევრებით

მაგალითი 2.1

ბიკვადრატული მრავალწევრის ფაქტორიზაცია:
x 4 + x 2 - 20.

გადაწყვეტილება

გამოიყენეთ ფორმულები:
ა 2 + 2 ab + b 2 = (a + b) 2;
ა 2 - b 2 = (a - b) (a + b).

;
.

უპასუხე

მაგალითი 2.2

მრავალწევრის ფაქტორირება, რომელიც მცირდება ბიკვადრატად:
x 8 + x 4 + 1.

გადაწყვეტილება

გამოიყენეთ ფორმულები:
ა 2 + 2 ab + b 2 = (a + b) 2;
ა 2 - b 2 = (a - b) (a + b):

;

;
.

უპასუხე

მაგალითი 2.3 რეკურსიული მრავალწევრით

რეკურსიული პოლინომის ფაქტორირება:
.

გადაწყვეტილება

რეკურსიულ მრავალწევრს აქვს კენტი ხარისხი. ამიტომ მას აქვს ფესვი x = - 1 . მრავალწევრს ვყოფთ x-ზე - (-1) = x + 1. შედეგად, ჩვენ ვიღებთ:
.
ჩვენ ვაკეთებთ ჩანაცვლებას:
, ;
;


;
.

უპასუხე

მაგალითები ფაქტორინგის პოლინომები მთელი რიცხვი ფესვებით

მაგალითი 3.1

მრავალწევრის ფაქტორირება:
.

გადაწყვეტილება

დავუშვათ განტოლება

6
-6, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 6 .
(-6) 3 - 6 (-6) 2 + 11 (-6) - 6 = -504;
(-3) 3 - 6 (-3) 2 + 11 (-3) - 6 = -120;
(-2) 3 - 6 (-2) 2 + 11 (-2) - 6 = -60;
(-1) 3 - 6 (-1) 2 + 11 (-1) - 6 = -24;
1 3 - 6 1 2 + 11 1 - 6 = 0;
2 3 - 6 2 2 + 11 2 - 6 = 0;
3 3 - 6 3 2 + 11 3 - 6 = 0;
6 3 - 6 6 2 + 11 6 - 6 = 60.

ასე რომ, ჩვენ ვიპოვეთ სამი ფესვი:
x 1 = 1 , x 2 = 2 , x 3 = 3 .
ვინაიდან თავდაპირველი პოლინომი მესამე ხარისხისაა, მას არ აქვს სამი ფესვზე მეტი. ვინაიდან სამი ფესვი ვიპოვეთ, ისინი მარტივია. მერე
.

უპასუხე

მაგალითი 3.2

მრავალწევრის ფაქტორირება:
.

გადაწყვეტილება

დავუშვათ განტოლება

აქვს მინიმუმ ერთი მთელი ფესვი. მაშინ ეს არის რიცხვის გამყოფი 2 (წევრი x-ის გარეშე). ანუ, მთელი ფესვი შეიძლება იყოს ერთ-ერთი რიცხვი:
-2, -1, 1, 2 .
ჩაანაცვლეთ ეს მნიშვნელობები სათითაოდ:
(-2) 4 + 2 (-2) 3 + 3 (-2) 3 + 4 (-2) + 2 = 6 ;
(-1) 4 + 2 (-1) 3 + 3 (-1) 3 + 4 (-1) + 2 = 0 ;
1 4 + 2 1 3 + 3 1 3 + 4 1 + 2 = 12;
2 4 + 2 2 3 + 3 2 3 + 4 2 + 2 = 54 .
თუ ჩავთვლით, რომ ამ განტოლებას აქვს მთელი ფესვი, მაშინ ის არის რიცხვის გამყოფი 2 (წევრი x-ის გარეშე). ანუ, მთელი ფესვი შეიძლება იყოს ერთ-ერთი რიცხვი:
1, 2, -1, -2 .
ჩანაცვლება x = -1 :
.

ასე რომ, ჩვენ ვიპოვეთ სხვა ფესვი x 2 = -1 . შესაძლებელია, როგორც წინა შემთხვევაში, მრავალწევრის გაყოფა ზე, მაგრამ ჩვენ დავაჯგუფებთ ტერმინებს:
.

ვინაიდან განტოლება x 2 + 2 = 0 არ აქვს ნამდვილი ფესვები, მაშინ მრავალწევრის ფაქტორიზაციას აქვს ფორმა.