გადაწყვეტის მეთოდები კომბინაციური პრობლემები
შესაძლო ვარიანტების სია
მარტივი პრობლემები გადაიჭრება შესაძლო ვარიანტების ჩვეულებრივი სრული ჩამოთვლით შედგენის გარეშე სხვადასხვა მაგიდებიდა სქემები.
დავალება 1.
რა ორნიშნა რიცხვები შეიძლება ჩამოყალიბდეს რიცხვებიდან 1, 2, 3, 4, 5?
პასუხი: 11, 12, 13, 14, 15, 21, 22, 23, 24, 25, 31, 32, 33, 34, 35, 41, 42, 43, 44, 45, 51, 52, 53, 54, 55.
დავალება 2.
ივანოვი, გრომოვი და ორლოვი მონაწილეობენ ფინალურ 100 მეტრზე. სახელი შესაძლო ვარიანტებიგანაწილება პრიზები.
პასუხი:
ვარიანტი 1: 1) ივანოვი, 2) გრომოვი, 3) ორლოვი.
ვარიანტი 2: 1) ივანოვი, 2) ორლოვი, 3) გრომოვი.
ვარიანტი 3: 1) ორლოვი, 2) ივანოვი, 3) გრომოვი.
ვარიანტი 4: 1) ორლოვი, 2) გრომოვი, 3) ივანოვი.
ვარიანტი 5: 1) გრომოვი, 2) ორლოვი, 3) ივანოვი.
ვარიანტი 6: 1) გრომოვი, 2) ივანოვი, 3) ორლოვი.
დავალება 3.
პეტია, კოლია, ვიტა, ოლეგი, ტანია, ოლია, ნატაშა, სვეტა დარეგისტრირდნენ სამეჯლისო საცეკვაო კლუბში. რა საცეკვაო წყვილი შეიძლება ჩამოყალიბდეს გოგოსა და ბიჭს შორის?
პასუხი:
1) ტანია - პეტია, 2) ტანია - კოლია, 3) ტანია - ვიტია, 4) ტანია - ოლეგი, 5) ოლია - პეტია, 6) ოლია - კოლია, 7) ოლია - ვიტა, 8) ოლია - ოლეგი, 9) ნატაშა - პეტია, 10) ნატაშა - კოლია, 11) ნატაშა - ვიტია, 12) ნატაშა - ოლეგი, 13) სვეტა - პეტია, 14) სვეტა - კოლია, 15) სვეტა - ვიტია, 16) სვეტა - ოლეგი.
შესაძლო ვარიანტების ხე
სხვადასხვა კომბინატორული ამოცანები წყდება სპეციალური სქემების შედგენით. გარეგნულად, ასეთი სქემა წააგავს ხეს, აქედან გამომდინარე მეთოდის სახელი - შესაძლო ვარიანტების ხე.
დავალება 4.
რა სამნიშნა რიცხვები შეიძლება ჩამოყალიბდეს 0, 2, 4 რიცხვებიდან?
გადაწყვეტილება.მოდით ავაშენოთ შესაძლო ვარიანტების ხე, იმის გათვალისწინებით, რომ 0 არ შეიძლება იყოს რიცხვის პირველი ციფრი.
პასუხი: 200, 202, 204, 220, 222, 224, 240, 242, 244, 400, 402, 404, 420, 422, 424, 440, 442, 444.
დავალება 5.
სკოლის ტურისტებმა გადაწყვიტეს მთის ტბაზე გამგზავრება. მოგზაურობის პირველი ეტაპის გადალახვა შესაძლებელია მატარებლით ან ავტობუსით. მეორე ეტაპი არის კაიაკით, ველოსიპედით ან ფეხით. ხოლო მოგზაურობის მესამე ეტაპი არის ფეხით ან საბაგირო გზით. რა მოგზაურობის ვარიანტები აქვთ სკოლის ტურისტებს?
გადაწყვეტილება.მოდი ავაშენოთ შესაძლო ვარიანტების ხე, სადაც მგზავრობა აღვნიშნავთ P მატარებლით, ავტობუსით - A, კაიაკით - B, ველოსიპედით - C, ფეხით - X, საბაგირო მანქანით - K.
პასუხი:ფიგურაში მოცემულია სკოლის ტურისტებისთვის მოგზაურობის 12 შესაძლო ვარიანტი.
დავალება 6.
ჩაწერეთ ყველა შესაძლო ვარიანტი დღეში ხუთი გაკვეთილის გრაფიკისთვის საგნებიდან: მათემატიკა, რუსული, ისტორია, ინგლისური ენამეორე გაკვეთილი უნდა იყოს ფიზიკური აღზრდა და მათემატიკა.
გადაწყვეტილება.ავაშენოთ შესაძლო ვარიანტების ხე, რომელიც აღნიშნავს M - მათემატიკა, R - რუსული, I - ისტორია, A - ინგლისური, F - ფიზიკური განათლება.
პასუხი:სულ არის 24 შესაძლო ვარიანტი:
|
რ |
რ |
რ |
რ |
რ |
რ |
და |
და |
და |
და |
და |
და |
მაგრამ |
მაგრამ |
მაგრამ |
მაგრამ |
მაგრამ |
მაგრამ |
ფ |
ფ |
ფ |
ფ |
ფ |
ფ |
დავალება 7.
საშა სკოლაში დადის შარვლით ან ჯინსით და აცვია მათთვის ნაცრისფერი, ლურჯი, მწვანე ან შარვალი მაისურები, ცვალებადი ფეხსაცმელიიღებს ფეხსაცმელს ან სპორტულ ფეხსაცმელს.
ა) რამდენ დღეში შეძლებს საშა ახლებურად გამოიყურებოდეს?
ბ) რამდენ დღეში ივლის ის სპორტულ ფეხსაცმელში?
გ) რამდენ დღეში ჩაიცვამს პლედი პერანგი და ჯინსი?
გადაწყვეტილება.მოდით ავაშენოთ შესაძლო ვარიანტების ხე, აღვნიშნავთ B - შარვალი, D - ჯინსი, C - ნაცრისფერი პერანგი, D - ლურჯი პერანგი, G - მწვანე პერანგი, P - კარკასული პერანგი, T - ფეხსაცმელი, K - სპორტული ფეხსაცმელი.
პასუხი:ა) 16 დღე; ბ) 8 დღე; გ) 2 დღე.
ცხრილი
თქვენ შეგიძლიათ გადაჭრათ კომბინატორული ამოცანები ცხრილების გამოყენებით. ისინი, როგორც შესაძლო ვარიანტების ხე, ვიზუალურად წარმოადგენენ ამგვარი პრობლემების გადაწყვეტას.
დავალება 8.
რამდენი უცნაური ორნიშნა რიცხვი შეიძლება გაკეთდეს 1, 3, 4, 6, 7, 8, 9 რიცხვებიდან?
გადაწყვეტილება.მოდით შევქმნათ ცხრილი: მარცხნივ, პირველი სვეტი არის იმ რიცხვების პირველი ციფრები, რომლებსაც ეძებთ, ზედა, პირველი რიგი არის მეორე ციფრი.
პასუხი: 28.
დავალება 9.
მაშა, ოლია, ვერა, ირა, ანდრეი, მიშა და იგორი ემზადებოდნენ წამყვანებისთვის საახალწლო დღესასწაული. დაასახელეთ შესაძლო ვარიანტები, თუ მხოლოდ ერთი გოგო და ერთი ბიჭი შეიძლება იყოს ლიდერები.
გადაწყვეტილება.მოდით შევქმნათ ცხრილი: მარცხნივ, პირველ სვეტში არის გოგონების სახელები, ზედა, პირველ რიგში არის ბიჭების სახელები.
პასუხი:ყველა შესაძლო ვარიანტი ჩამოთვლილია ცხრილის სტრიქონებსა და სვეტებში.
გამრავლების წესი
კომბინატორიული ამოცანების გადაჭრის ეს მეთოდი გამოიყენება მაშინ, როდესაც არ არის საჭირო ყველა შესაძლო ვარიანტის ჩამოთვლა, მაგრამ საჭიროა პასუხის გაცემა კითხვაზე - რამდენი მათგანი არსებობს.
დავალება 10.
AT საფეხბურთო ტურნირიჩართულია რამდენიმე გუნდი. აღმოჩნდა, რომ შორტებისთვის და მაისურებისთვის ყველა იყენებდა თეთრ, წითელ, ლურჯ და თეთრს. მწვანე ფერებიდა წარმოდგენილი იყო ყველა შესაძლო ვარიანტი. რამდენი გუნდი მონაწილეობდა ტურნირში?
გადაწყვეტილება.
ტრუსები შეიძლება იყოს თეთრი, წითელი, ლურჯი ან მწვანე, ე.ი. არის 4 ვარიანტი. თითოეულ ამ ვარიანტს აქვს მაისურის ფერის 4 ვარიანტი.
4 x 4 = 16.
პასუხი: 16 გუნდი.
დავალება 11.
6 მოსწავლე აბარებს გამოცდას მათემატიკაში. რამდენი გზით შეიძლება მათი მოთავსება სიაში?
გადაწყვეტილება.
სიაში პირველი შეიძლება იყოს 6 სტუდენტიდან ნებისმიერი,
სიაში მეორე შეიძლება იყოს დარჩენილი 5 სტუდენტიდან ნებისმიერი,
მესამე - დარჩენილი 4 სტუდენტიდან რომელიმე,
მეოთხე - დარჩენილი 3 სტუდენტიდან რომელიმე,
მეხუთე - დარჩენილი 2 სტუდენტიდან რომელიმე,
მეექვსე - ბოლო 1 სტუდენტი.
6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 720.
პასუხი: 720 გზა.
დავალება 12.
რამდენი ლუწი ორნიშნა რიცხვი შეიძლება გაკეთდეს 0, 2, 3, 4, 6, 7 ციფრებისგან?
გადაწყვეტილება.
პირველში ორნიშნაშეიძლება იყოს 5 ციფრი (ნომერი 0 არ შეიძლება იყოს პირველი რიცხვში), ორნიშნა რიცხვში მეორე შეიძლება იყოს 4 ციფრი (0, 2, 4, 6, რადგან რიცხვი უნდა იყოს ლუწი).
5 x 4 = 20.
პასუხი: 20 ნომერი.
ამოცანები ახალი მასალის კონსოლიდაციის გადასაჭრელად
დავალება #1. რამდენი გზით შეუძლია ფინალში 5 მონაწილე
5 სარბენ ბილიკზე სირბილი?
გადაწყვეტილება: R 5 \u003d 5! \u003d 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 4 ∙ 5 \u003d 120 გზა.
დავალება ნომერი 2.Რამდენი სამნიშნა რიცხვებიშეიძლება შედგებოდეს 1,2,3 რიცხვებისგან, თუ თითოეული
ციფრი მხოლოდ ერთხელ ჩნდება ნომრის სურათზე?
გადაწყვეტილება: სამი ელემენტის ყველა პერმუტაციის რიცხვია P 3 =3!, სადაც 3!=1 * 2 * 3=6
ეს ნიშნავს, რომ არის ექვსი სამნიშნა რიცხვი, რომელიც შედგება 1,2,3 რიცხვებისგან.
დავალება ნომერი 3.რამდენი ხერხით შეიძლება ოთხი ბიჭი მოიწვიოს ექვსიდან ოთხი
გოგოები ვიცეკვოთ?
გადაწყვეტილება: ორ ბიჭს არ შეუძლია ერთდროულად მოიწვიოს ერთი და იგივე გოგო. და
ვარიანტები, რომლებშიც ერთი და იგივე გოგოები ცეკვავენ სხვადასხვა ბიჭებთან,
განსხვავებულად ითვლება, ასე რომ:
დავალება #4. რამდენი განსხვავებული სამნიშნა რიცხვი შეიძლება ჩამოყალიბდეს რიცხვებიდან 1, 2, 3, 4, 5,
6, 7, 8, 9, იმ პირობით, რომ თითოეული ციფრი გამოიყენება მხოლოდ რიცხვის ჩანაწერში
ერთხელ?
გადაწყვეტილება: პრობლემის პირობებში, შემოთავაზებულია დათვალოთ შესაძლო კომბინაციების რაოდენობა
სამი ციფრი აღებულია შემოთავაზებული ცხრა ციფრიდან, თანმიმდევრობით
მნიშვნელობა აქვს კომბინაციაში რიცხვების განლაგებას (მაგალითად, რიცხვები 132)
და 231 განსხვავებული). სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, თქვენ უნდა იპოვოთ ცხრა ადგილის რაოდენობა
სამი ელემენტი.
განლაგების რაოდენობის ფორმულის მიხედვით ვხვდებით:
პასუხი: 504 სამნიშნა რიცხვი.
დავალება #5რამდენი გზით შეიძლება აირჩიონ 3 კაციანი კომიტეტი 7 კაციდან?
გადაწყვეტილება:ყველა შესაძლო კომისიის განხილვისთვის, თქვენ უნდა გაითვალისწინოთ ყველა
7-ისგან შემდგარი ნაკრების შესაძლო 3 ელემენტიანი ქვეჯგუფები
ადამიანური. გზების სასურველი რაოდენობა არის
დავალება ნომერი 6.შეჯიბრში 12 გუნდი მონაწილეობს. რამდენი ვარიანტია
საპრიზო (1, 2, 3) ადგილების განაწილება?
გადაწყვეტილება: 12 3 = 12 ∙11 ∙10 = 1320 ვარიანტი პრიზების განაწილებისთვის.
პასუხი: 1320 ვარიანტი.
დავალება ნომერი 7.მძლეოსნობის შეჯიბრებებზე ჩვენი სკოლა გუნდით იყო წარმოდგენილი
10 სპორტსმენი. რამდენი გზით შეუძლია მწვრთნელს განსაზღვროს რომელი მათგანი
ირბენს 4x100მ ესტაფეტაზე პირველ, მეორე, მესამე და მეოთხე ეტაპებზე?
გადაწყვეტილება:არჩევანი 10-დან 4-მდე, შეკვეთის გათვალისწინებით: 
გზები.
პასუხი: 5040 გზა.
დავალება ნომერი 8.რამდენი გზით შეიძლება წითელი, შავი, ლურჯი და
მწვანე ბურთები?
გადაწყვეტილება:უპირველეს ყოვლისა, შეგიძლიათ დააყენოთ ოთხი ბურთიდან რომელიმე (4 გზა).
მეორე - დარჩენილი სამიდან რომელიმე (3 გზა), მესამე ადგილი - რომელიმე
დარჩენილი ორი (2 გზა), მეოთხე ადგილზე - დარჩენილი ბოლო ბურთი.
სულ 4 3 2 1 = 24 გზა.
P 4 = 4! \u003d 1 2 3 4 \u003d 24. პასუხი: 24 გზა.
დავალება ნომერი 9. მოსწავლეებს გადაეცათ 10 წიგნის სია, რომლებიც უნდა წაიკითხონ
დასვენების დრო. რამდენი გზით შეუძლია მოსწავლეს აირჩიოს მათგან 6 წიგნი?
გადაწყვეტილება:არჩევანი 10-დან 6 შეკვეთის გარეშე: 
გზები.
პასუხი: 210 გზა.
დავალება ნომერი 10. მე-9 კლასში 7 მოსწავლეა, მე-10 კლასში 9, მე-11 კლასში 8 მოსწავლე. ამისთვის
სკოლის ადგილზე მუშაობა, აუცილებელია გამოვყოთ ორი მოსწავლე მე-9 კლასიდან,
10-დან სამი და 11-დან ერთი. რამდენი გზა არსებობს ასარჩევად
მოსწავლეები მუშაობენ სკოლის ტერიტორიაზე?
გადაწყვეტილება:არჩევანი სამი კომპლექტიდან შეკვეთის გარეშე, თითოეული არჩევანი
პირველი ნაკრების (C 7 2) შეიძლება გაერთიანდეს თითოეულ არჩევანთან
მეორე (C 9 3)) და მესამეს ყოველი არჩევანით (C 8 1) წესის მიხედვით
გამრავლება მივიღებთ:
პასუხი: 14112 გზა.
დავალება ნომერი 11.მეცხრეკლასელები ჟენია, სეროჟა, კოლია, ნატაშა და ოლია მირბოდნენ
შეცვლა ჩოგბურთის მაგიდაზე, რომელზეც თამაში უკვე მიმდინარეობდა. Რამდენი
ხუთი მეცხრე კლასელი, რომლებიც მაგიდასთან მირბოდნენ, შეუძლიათ აიღონ
რიგი მაგიდის ჩოგბურთისთვის?
გადაწყვეტილება: ნებისმიერი მეცხრე კლასელი შეიძლება იყოს პირველი რიგში, ნებისმიერი მათგანი შეიძლება იყოს მეორე.
დანარჩენი სამი, მესამე - დანარჩენი ორიდან რომელიმე და მეოთხე -
მეცხრე კლასელი, რომელიც გაიქცა წინაბოლოზე და მეხუთე იყო ბოლო. ავტორი
გამრავლების წესი, ხუთ მოსწავლეს აქვს 5 4321=120 გზა
ზომა: px
შთაბეჭდილების დაწყება გვერდიდან:
ტრანსკრიფცია
1 1 კომბინატორიკის ძირითადი ცნებები 1 დანართი განმარტება 1-დან n-მდე ყველა ნატურალური რიცხვის ნამრავლს ეწოდება n-ფაქტორული და იწერება მაგალითი გამოთვალეთ 4! 3! n! 1 3 n 4!-3!= ! 5! მაგალითი გამოთვალეთ! 7! 5! 5!! მოდით, ამ ასოებიდან სამი ასო იყოს მოცემული: 7 1! პერმუტაციები 5 3 A, B, C მოდით გავაკეთოთ ყველა შესაძლო კომბინაცია ABC / ACB / BCA / CAB / CBA / BAC (ჯამური კომბინაციები) ჩვენ ვხედავთ, რომ ისინი განსხვავდებიან ერთმანეთისგან მხოლოდ ასოების თანმიმდევრობით. განმარტება n ელემენტის კომბინაციები. ერთმანეთისგან განსხვავდებიან მხოლოდ ელემენტების თანმიმდევრობით, ეწოდება პერმუტაციები. პერმუტაციები აღინიშნება n სიმბოლოთი, სადაც n არის თითოეულ პერმუტაციაში შემავალი ელემენტების რაოდენობა 3 3! პერმუტაციების რაოდენობა შეიძლება გამოითვალოს n ფორმულით ან ფაქტორიალით: n n 1 n 3 1 n n! ამრიგად, სამი ელემენტის პერმუტაციების რაოდენობა ფორმულის მიხედვით არის, რომელიც ემთხვევა ზემოთ მოყვანილი მაგალითის შედეგს 5 0 მაგალითი გამოთვალეთ,! ! - 5! 5! -თხუთმეტი! 5! 150! ! ერთი! მაგალითი რამდენი განსხვავებული ხუთნიშნა რიცხვის დამზადება შეიძლება 1, 3, 4, 5 რიცხვებიდან, იმ პირობით, რომ რიცხვში არცერთი ციფრი არ განმეორდეს?
2 5! მაგალითი კონკურსში ოთხი გუნდი მონაწილეობდა.ადგილების განაწილების რამდენი ვარიანტია შესაძლებელი მათ შორის? 4! განლაგება იყოს ოთხი ასო A, B, C, D შეადგინეთ მხოლოდ ორი ასოს ყველა კომბინაცია, მივიღებთ: AB, AC, AD, BA, BC, BD, CA, CB, CD, DA, DB, DC ჩვენ ვხედავთ, რომ ყველა მიღებული კომბინაცია განსხვავდება ასოებით ან მათი მიმდევრობით (BA და AB კომბინაციები განსხვავებულად ითვლება) განმარტება m ელემენტების კომბინაციებს n ელემენტით, რომლებიც განსხვავდებიან ერთმანეთისგან ან თავად ელემენტებით ან ელემენტების მიმდევრობით, ეწოდება განლაგება. აღინიშნება n A m n ელემენტების რაოდენობა თითოეულ კომბინაციაში, სადაც m არის ყველა ხელმისაწვდომი ელემენტის რაოდენობა, A n m m! (მ ნ)! მაგალითი რამდენი ვარიანტია სამი პრიზის განაწილებისთვის, თუ გათამაშებაში 7 გუნდი მონაწილეობს? 3 7! 7! ა! 4! 10 მაგალითი რამდენი განსხვავებული ოთხნიშნა რიცხვი შეიძლება გაკეთდეს 0, 1, 8, 9 რიცხვებიდან? 4 10! ათი! ა!! მაგალითი რამდენი გრაფიკის ვარიანტი შეიძლება შეიქმნას ერთი დღის განმავლობაში, თუ სულ 8 არის საგნები, და მათგან მხოლოდ სამი შეიძლება შევიდეს დღის განრიგში? 3 8! რვა! ა! 5! მაგალითი სხვადასხვა პროფილის სანატორიუმში სამი ვაუჩერის დარიგების რამდენი ვარიანტი შეიძლება გაკეთდეს ხუთი განმცხადებლისთვის? 3 5! 5! ა!!
3 კომბინაციები განმარტება კომბინაციები არის m ელემენტების ყველა შესაძლო კომბინაცია n-ით, რომლებიც განსხვავდება ერთმანეთისგან მინიმუმმინიმუმ ერთი ელემენტი (აქ m და n მთელი რიცხვები, და n 4 შემთხვევითი ფენომენი შეიძლება დახასიათდეს მისი შემთხვევების რაოდენობის თანაფარდობით ცდების რაოდენობასთან, რომელთაგან თითოეულში, ყველა ცდის ერთსა და იმავე პირობებში, შეიძლება მოხდეს ან არ მოხდეს. ამ კანონზომიერებების დასაფიქსირებლად და გამოსაკვლევად. , შემოგთავაზებთ რამდენიმე ძირითად ცნებას და განმარტებას განმარტება ნებისმიერ მოქმედებას, ფენომენს, დაკვირვებას რამდენიმე განსხვავებული შედეგით, რომელიც განხორციელდება მოცემული პირობების პირობებში, ეწოდება ტესტი, განმარტება ამ მოქმედების ან დაკვირვების შედეგს დაერქმევა შემთხვევითი მოვლენა. მაგალითად, რიცხვის გაჩენა მონეტის სროლისას არის შემთხვევითი მოვლენა, რადგან ეს შეიძლება მომხდარიყო ან არ მომხდარიყო. განმარტება თუ ჩვენ გვაინტერესებს რაიმე კონკრეტული მოვლენა ყველა შესაძლოდან. შესაძლო მოვლენებს, მაშინ დავარქმევთ მას სასურველ მოვლენას (ან სასურველ შედეგს) განმარტება ყველა განხილული მოვლენა ჩაითვლება თანაბრად შესაძლებლად, რომელთაც აქვთ თანაბარი შანსი, რომ მოხდეს. , 5 ან ქულა შეიძლება გამოჩნდეს ტესტის შედეგები თანაბრად სავარაუდო სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, თანასწორობა ნიშნავს თანასწორობას, ცალკეული ტესტის შედეგების სიმეტრიას გარკვეულ პირობებში. მოვლენები ჩვეულებრივ აღინიშნება ლათინური ანბანის დიდი ასოებით: A, B, C, D განმარტება მოვლენები არის ეწოდება შეუთავსებელი, თუ ამ ექსპერიმენტში ორი მათგანი არ შეიძლება მოხდეს ერთად, წინააღმდეგ შემთხვევაში, მოვლენებს ეწოდება ერთობლივი, ასე რომ, როდესაც მონეტის სროლა ხდება, რიცხვის გამოჩენა გამორიცხავს გერბის ერთდროულ გამოჩენას; ეს არის შეუთავსებელი მოვლენების მაგალითი 4 5 განვიხილოთ კიდევ ერთი მაგალითი. მოდით დახაზოთ წრე, ბრილიანტი და სამკუთხედი სამიზნეზე ერთი გასროლა ხდება მოვლენა A წრეზე, B მოვლენა ალმასზე, მოვლენა C დარტყმა სამკუთხედზე შემდეგ მოვლენები A და B, A და C, C და B შეუთავსებელია განმარტება მოვლენას ეწოდება სანდო, თუ ეს მოხდება ამ ტესტში აუცილებლად. მაგალითად, მოგება-მოგებით ლატარიის ბილეთზე მოგება საიმედო მოვლენაა. სანდო მოვლენები აღინიშნება ასო U-ით. ამ ტესტში მაგალითად, კამათლის სროლისას შეუძლებელია 7 ქულის მიღება. შეუძლებელი მოვლენა, რომელიც აღინიშნება ასო V-ით განმარტება მოვლენათა სრული სისტემა A 1, A, A 3, A n არის შეუთავსებელი მოვლენების ერთობლიობა, მოვლენა. რომელთაგან მინიმუმ ერთი სავალდებულოა ამ ტესტისთვის ასე რომ, სათამაშო ძვლების სროლისას ერთი, ორი, სამი, ოთხი, ხუთი, ექვსი ქულის დაკარგვა მოვლენათა სრული სისტემაა, რადგან ყველა ეს მოვლენა შეუთავსებელია და ხდება მათგან ერთი მაინც არის საჭირო განმარტება თუ სრული სისტემა შედგება ორი მოვლენისგან, მაშინ ასეთ მოვლენებს საპირისპირო ეწოდება და აღინიშნება A-ით და A-თი მაგალითი არის ერთი ლატარიის ბილეთი „6-დან 45-დან“, რომ ის ვერ მოიგებს. შეუთავსებელია თუ არა ეს მოვლენები ? მაგალითი უჯრაში არის 30 დანომრილი ბურთი. დაადგინეთ, რომელი მოვლენაა შეუძლებელი, გარკვეული, საპირისპირო: დანომრილი ბურთია დახატული (; ლუწი ბურთი დახატულია (კენტი ნომრიანი ბურთია დახატული (C); ბურთი რიცხვის გარეშე დახატულია (D) რომელი მათგანი ქმნის სრულ ჯგუფს?მაგალითი არის თუ არა მოვლენები ჭეშმარიტი თუ შეუძლებელი, რომ ერთჯერადი სროლა გამოიწვევს: 5 ქულას; 7 ქულას; 1-დან ქულამდე? რომელი მოვლენები ამ საცდელში შეადგინეთ სრული ჯგუფი? 5 6 განმარტება რამდენიმე მოვლენის ჯამი არის მოვლენა, რომელიც შედგება ტესტის შედეგად მინიმუმ ერთი მათგანის დადგომაში. A და B მოვლენების ჯამი, აღინიშნება (A + და ნიშნავს, რომ მოვლენა A, ან B, ან A. და B ერთად მოხდა განმარტება რამდენიმე მოვლენის ნამრავლს ეწოდება მოვლენა, რომელიც შედგება ტესტის შედეგად ყველა ამ მოვლენის ერთობლივი წარმოშობისგან.A და B მოვლენების ნამრავლი აღნიშნავს: AB 3 ალბათობის განსაზღვრას მოვლენა შემთხვევითი მოვლენები რეალიზდება სხვადასხვა შესაძლებლობით ზოგი ხდება უფრო ხშირად, ზოგი ნაკლებად ხშირად მოვლენის განხორციელების შესაძლებლობების რაოდენობრივად შესაფასებლად შემოღებულია მოვლენის ალბათობის კონცეფცია განმარტება მოვლენის ალბათობა A არის რიცხვის შეფარდება. ხელსაყრელი შედეგების M საერთო რაოდენობის N თანაბრად სავარაუდო შედეგების სრულ ჯგუფს: გარკვეული მოვლენის ალბათობა არის 1, შეუძლებელია 0, შემთხვევითი: 0 (1 ეს არის ალბათობის კლასიკური განმარტება მოვლენის ფარდობითი სიხშირე n ტესტები: M N * (მაგალითი ერთი ასო არჩეულია შემთხვევით სიტყვიდან "პოლიკლინიკა" რა არის ალბათობა, რომ ეს იყოს ხმოვანი? რა არის ასო K? რა არის ხმოვანი ან ასო K? სულ ასოები 11 მოვლენა A ექსპერიმენტის შედეგად გამოჩნდა ხმოვანი ასო. მოვლენა B გამოჩნდა ასო K მოვლენა A უპირატესობას ანიჭებს ხუთ მოვლენას (5 ხმოვანი), B მოვლენას ხელს უწყობს ორი m 5 m (, n 11 n 11 m n 4 ალბათობის თეორიის ძირითადი თეორემები და ფორმულები ალბათობის დამატების თეორემა ალბათობა ერთ-ერთი შეუთავსებელი მოვლენის დადგომა უდრის მათი ალბათობების ჯამს: 7 A A A A 1 n 1 A n ორი ერთობლივი მოვლენის ჯამის ალბათობა A A საპირისპირო მოვლენის ალბათობების ჯამი (1 განმარტება მოდით A და B იყოს ერთი და იგივე ტესტის ორი შემთხვევითი მოვლენა დანიშნულება: A B A ალბათობის გამრავლების თეორემა ალბათობა ორი დამოუკიდებელი მოვლენის ერთდროული წარმოშობა უდრის ამ მოვლენების ალბათობების ნამრავლს A 7 მათემატიკა (BkPl-100) მ.პ. ხარლამოვი 2011/2012 სასწავლო წელი, 1 სემესტრი ლექცია 5. თემა: კომბინატორიკა, შესავალი ალბათობის თეორიაში 1 თემა: კომბინატორიკა კომბინატორიკა არის მათემატიკის დარგი, რომელიც სწავლობს. მათემატიკისა და ინფორმატიკის დეპარტამენტი მათემატიკა საგანმანათლებლო და მეთოდური კომპლექსი საშუალო პროფესიული განათლების სტუდენტებისთვის, რომლებიც სწავლობენ დისტანციური ტექნოლოგიების გამოყენებით მოდული 6 ალბათობის თეორიის ელემენტები და მათემატიკური სტატისტიკა საგანი. ალბათობათა მიმატებისა და გამრავლების თეორემები ოპერაციები შემთხვევით მოვლენებზე. მოვლენათა ალგებრა. მოვლენათა თავსებადობის კონცეფცია. ღონისძიებების სრული ჯგუფი. შემთხვევითი მოვლენების დამოკიდებულება და დამოუკიდებლობა. პირობითი ლექცია ალბათობის თეორია ძირითადი ცნებები ექსპერიმენტი სიხშირე ალბათობა ალბათობის თეორია არის მათემატიკის განყოფილება, რომელიც სწავლობს შემთხვევითი ფენომენების ნიმუშებს შემთხვევითი მოვლენები არის მოვლენები, რომლებიც, როდესაც გაკვეთილი 3 შესავალი ალბათობის თეორიაში მეთოდოლოგიური რეკომენდაციები MISIS 2013 დამტკიცებულია: დ.ე. კაპუტკინი მთიანეთის განათლების დეპარტამენტთან შეთანხმების განხორციელების საგანმანათლებლო და მეთოდური კომისიის თავმჯდომარე. 1 ნაწილი I. ალბათობის თეორია თავი 1. 1. კომბინატორიკის ელემენტები განმარტება 1. მაგალითები: განმარტება. -ფაქტორული არის რიცხვი, რომელიც აღინიშნება !-ით, ხოლო! = 1** * ყველა ნატურალური რიცხვისთვის 1, ; გარდა ამისა, 1) რამდენი სამნიშნა ნატურალური რიცხვია, რომელსაც მხოლოდ ორი ციფრი აქვს ხუთზე ნაკლები? 5-ზე ნაკლებია მხოლოდ ხუთი ციფრი: ( 0; 1; 2; 3; 4 ) დარჩენილი ხუთი ციფრი არ არის 5-ზე ნაკლები: ( ; ; ; ; ) ამოხსნის 1 მეთოდი ლექცია 3 თემა ალბათობის თეორიის ძირითადი თეორემები და ფორმულები თემის სარჩევი მოვლენათა ალგებრა. ალბათობათა შეკრების თეორემები. პირობითი ალბათობა. ალბათობის გამრავლების თეორემები. საერთო ალბათობის ფორმულა. ლექციის თემა: მოვლენათა ალგებრა ძირითადი თეორემები ალბათობაზე მოვლენათა ალგებრა მოვლენათა ჯამს ეწოდება მოვლენა S = +, რომელიც შედგება მინიმუმ ერთი მათგანის დადგომაში. მოვლენათა ნამრავლი და ე.წ. უმაღლესი მათემატიკის დეპარტამენტი ლექციები ალბათობის თეორიისა და მათემატიკური სტატისტიკის განყოფილებაში. ალბათობის თეორია ალბათობის თეორიის საგანია მასის ერთგვაროვანში სპეციფიკური კანონზომიერებების შესწავლა სარჩევი თემა III. შესავალი ალბათობის თეორიაში... 2 1. საცნობარო მასალები... 2 1.1. ძირითადი ცნებები და განმარტებები... 2 1.2. მოქმედებები შემთხვევით მოვლენებზე... 4 1.3. კლასიკური განმარტება ლექცია 2. ალბათობათა შეკრებისა და გამრავლების თეორემები მოვლენის ჯამი და ნამრავლი უმაღლესი პროფესიული განათლების ფედერალური სახელმწიფო საბიუჯეტო საგანმანათლებლო დაწესებულება "ჩელიაბინსკის კულტურისა და ხელოვნების სახელმწიფო აკადემია" ინფორმატიკის განყოფილება ალბათობის თეორია შემთხვევითი მოვლენის ალბათობა კოლმოგოროვის აქსიომები 1933 წელს AN კოლმოგოროვმა თავის წიგნში "ალბათობის თეორიის ძირითადი ცნებები" წარმოადგინა ალბათობის თეორიის აქსიომატური დასაბუთება. „ეს ნიშნავს, რომ მას შემდეგ ჩრდილოეთ ოლქის განათლების განყოფილების სამუშაო პროგრამა ალბათობის თეორიისა და სტატისტიკის კლასი გამოყენებული სასწავლო საშუალებები: სახელმძღვანელო: ტიურინი იუ.ნ. და ა.შ. ალბათობის თეორია და სტატისტიკა. M., MTsNMO: OJSC განათლების ფედერალური სააგენტო უმაღლესი პროფესიული განათლების სახელმწიფო საგანმანათლებლო დაწესებულება "ნაციონალური კვლევითი ტომსკის პოლიტექნიკური უნივერსიტეტი" ლექცია თეორიაში კომბინატორული ალბათობა თემა 5 ლექციის შინაარსი 1 შესავალი 2 3 4 შემდეგი აბზაცი 1 შესავალი 2 3 4 ამოცანა... პრობლემა... პრობლემა... ... და ამოხსნა: გოგო მოვლენის ალბათობის განსაზღვრის ლექცია მოვლენის ალბათობა ეხება ალბათობის თეორიის ძირითად ცნებებს და გამოხატავს მოვლენის დადგომის ობიექტური შესაძლებლობის ზომას პრაქტიკული საქმიანობისთვის მნიშვნელოვანია I ალბათობის განმარტება და მისი გამოთვლის ძირითადი წესები ალბათური ექსპერიმენტი ალბათობის თეორიის საგანი პრობლემური წიგნი ჩუდესენკო, ალბათობის თეორია, ვარიანტი იყრება ორი კამათელი. დაადგინეთ ალბათობა იმისა, რომ: a ქულების ჯამი არ აღემატებოდეს N-ს; ბ ქულების რაოდენობის ნამრავლი არ აღემატება N-ს; in შემდგენელი: სამედიცინო და ბიოლოგიური ფიზიკის კათედრის ასოცირებული პროფესორი რომანოვა ნ.იუ. ალბათობის თეორია 1 ლექცია შესავალი. ალბათობის თეორია არის მათემატიკური მეცნიერება, რომელიც სწავლობს შემთხვევითი ფენომენების ნიმუშებს. MVDubatovskaya ალბათობის თეორია და მათემატიკური სტატისტიკა ლექცია 3 ალბათობების განსაზღვრის მეთოდები 0 ალბათობების კლასიკურ განსაზღვრებას ექსპერიმენტის ნებისმიერ შესაძლო შედეგს ელემენტარულს ვუწოდებთ ლექცია 3 თემა ალბათობის თეორიის ძირითადი თეორემები და ფორმულები თემის სარჩევი მოვლენათა ალგებრა. ალბათობათა შეკრების თეორემები. პირობითი ალბათობა. ალბათობის გამრავლების თეორემები. ალგებრის ძირითადი კატეგორიები ლექცია 1. თემა: ალბათობის განსაზღვრის ძირითადი მიდგომები ალბათობის თეორიის საგანი. Ისტორიული ფონი მ.პ. ხარლამოვი http://vlgr.ranepa.ru/pp/hmp სინოფსისი ალბათობის თეორია და მათემატიკური სტატისტიკა პირველი ნაწილის შეჯამება (კითხვები და პასუხები) დოქტორი ფიზ.-მათ. მეცნიერებათა პროფესორი მიხაილ პავლოვიჩ ხარლამოვი ალბათობის თეორიის ლექციის გეგმა P ალბათობის როგორც მეცნიერების შესახებ P ალბათობის ძირითადი განმარტებები P შემთხვევითი მოვლენის სიხშირე ალბათობის განსაზღვრა P 4 კომბინატორიკის გამოყენება დათვლაში ალბათობის თეორიის ელემენტები შემთხვევითი მოვლენები დეტერმინისტული პროცესები მეცნიერებასა და ტექნოლოგიაში განიხილება პროცესები, რომელთა შედეგის წინასწარმეტყველება დარწმუნებით შეიძლება: თუ განსხვავება გამოიყენება გამტარის ბოლოებზე. თემა 1 კომბინატორიკა ალბათობათა გამოთვლა ამოცანა 1B 17 გუნდი იღებს მონაწილეობას ფეხბურთის ეროვნულ თასში რამდენი გზა არსებობს ოქროს, ვერცხლის და ბრინჯაოს მედლების განაწილებისთვის? Იმდენად, რამდენადაც ( σ-ალგებრა - შემთხვევითი მოვლენების ველი - კოლმოგოროვის აქსიომების პირველი ჯგუფი - კოლმოგოროვის აქსიომების მეორე ჯგუფი - ალბათობის თეორიის ძირითადი ფორმულები - ალბათობის მიმატების თეორემა - პირობითი ალბათობა ალბათობის თეორიის საფუძვლები ლექცია 2 შინაარსი 1. პირობითი ალბათობა 2. მოვლენათა ნამრავლის ალბათობა 3. მოვლენათა ჯამის ალბათობა 4. ალბათობის ჯამური ფორმულა დამოკიდებული და დამოუკიდებელი მოვლენები განმარტება N. G. TAKTAROV ალბათობის თეორია და მათემატიკური სტატისტიკა: მოკლე კურსი მაგალითებითა და გადაწყვეტილებებით რუსეთის ფედერაციის განათლებისა და მეცნიერების სამინისტროს უმაღლესი პროფესიული განათლების ფედერალური სახელმწიფო საბიუჯეტო საგანმანათლებლო დაწესებულება "სარატოვის სახელმწიფო სოციალურ-ეკონომიკური უნივერსიტეტი" პრობლემები ალბათობის თეორიაში და მათემატიკური სტატისტიკაში. შემთხვევითი მოვლენები ამოცანა. N ელემენტის პარტიაში ნივთებს აქვთ ფარული დეფექტი. რა არის იმის ალბათობა, რომ k პუნქტიდან შემთხვევით აღებული, ალბათობის თეორია. ᲓᲐᲕᲐᲚᲔᲑᲔᲑᲘ. სარჩევი (თემის მიხედვით) 1. ალბათობის კლასიკური განმარტების ფორმულა. კომბინატორიკის ელემენტები. გეომეტრიული ალბათობა 4. მოქმედებები მოვლენებზე. შეკრებისა და გამრავლების თეორემები კომბინატორული ფორმულები მოდით იყოს n ელემენტისგან შემდგარი სიმრავლე. ავღნიშნოთ იგი U n-ით. n ელემენტის პერმუტაცია არის მოცემული რიგი U n სიმრავლეში. პერმუტაციების მაგალითები: 1) განაწილება თავი 5 ალბათობის თეორიის ელემენტები 5 ალბათობის თეორიის აქსიომები სხვადასხვა მოვლენა შეიძლება კლასიფიცირდეს შემდეგნაირად: შეუძლებელი მოვლენა მოვლენა, რომელიც არ შეიძლება მოხდეს გარკვეული მოვლენა PRCTICUM კომბინატორიკის ძირითადი ფორმულები მოვლენათა ტიპები მოქმედებები მოვლენებზე კლასიკური ალბათობა გეომეტრიული ალბათობა კომბინატორიკის ძირითადი ფორმულები კომბინატორიკა სწავლობს კომბინაციების რაოდენობას, საერთო ალბათობის ფორმულა. მოდით იყოს H 1, H 2,..., H n მოვლენათა ჯგუფი შემდეგი თვისებებით: 1) ყველა მოვლენა წყვილში შეუთავსებელია: H i H j =; i, j=1,2,...,n; ij 2) მათი კავშირის ფორმები რუსეთის ფედერაციის განათლების სამინისტრო ივანოვოს სახელმწიფო ენერგეტიკის უნივერსიტეტის უმაღლესი მათემატიკის დეპარტამენტი რუსეთის ფედერაციის კულტურის სამინისტროს ფედერაციული სახელმწიფო ბიუჯეტის უმაღლესი პროფესიული საგანმანათლებლო დაწესებულება „ქ. ალბათობის თეორია და მათემატიკური სტატისტიკა ფიზი.-მათემატიკის მეცნიერებათა დოქტორი. მეცნიერებათა პროფესორი მიხაილ პავლოვიჩ ხარლამოვი "გვერდი" მეთოდოლოგიური მასალებით http://inter.vags.ru/hmp RANEPA (FGOU) ვოლგოგრადის ფილიალი ვორობიოვი ვ.ვ. "ლიცეუმი", კალაჩინსკი, ომსკის ოლქი სემინარი პრობლემების გადაჭრის შესახებ ალბათობის თეორიაში და მათემატიკურ სტატისტიკაში ალბათობის თეორია და მათემატიკური სტატისტიკა ფიზი.-მათემატიკის მეცნიერებათა დოქტორი. მეცნიერებათა პროფესორი მიხაილ პავლოვიჩ ხარლამოვი "გვერდი" მეთოდოლოგიური მასალებით http://vlgr.ranepa.ru/pp/hmp RANEPA-ს ვოლგოგრადის ფილიალი ალბათობის თეორია. შემთხვევითი მნიშვნელობების განაწილება ამოცანა. Აირჩიეთ სწორი პასუხი:. A შემთხვევითი მოვლენის ფარდობითი სიხშირე არის სიდიდე, რომელიც ტოლია ... ა) შემთხვევების რაოდენობის თანაფარდობა, რომელიც ხელს უწყობს ალბათობის თეორიის ძირითადი ცნებები. 3.1. შემთხვევითი მოვლენები. ყოველი მეცნიერება მატერიალური სამყაროს ფენომენების შესწავლისას მოქმედებს გარკვეული ცნებებით, რომელთა შორის არის აუცილებლად ფუნდამენტური; უმაღლესი პროფესიული განათლება ბაკალავრიატი ვ. სარჩევი ნაწილი I. ალბათობის თეორია წინასიტყვაობა................................................. ................ ......... 6 ნაწილი I. შემთხვევითი მოვლენები ................... ................. 7 თავი 1. ელემენტების კომბინატორული ანალიზი ........................ ალბათობის თეორია და მათემატიკური სტატისტიკა ფიზი.-მათემატიკის მეცნიერებათა დოქტორი. მეცნიერებათა პროფესორი მიხაილ პავლოვიჩ ხარლამოვი ინტერნეტ რესურსი მეთოდოლოგიური მასალებით http://www.vlgr.ranepa.ru/pp/hmp ვოლგოგრადის ფილიალი Chiv-დან S-მდე მოვლენა, რომელიც შედგება იმაში, რომ სისტემა არ არის დახურული, შეიძლება ჩაიწეროს: S = A 1 A 2 + B = (A 1 + A 2) + B. 2.18. 2.5, 2.6 ამოცანების ამოხსნის მსგავსად, ვიღებთ S = A(B 1 +B 2) C D; S = A + B 1 B 2 + C რუსეთის ფედერაციის განათლებისა და მეცნიერების სამინისტროს ფედერაციული სახელმწიფო ბიუჯეტის უმაღლესი პროფესიული საგანმანათლებლო დაწესებულება "კაზანი ალბათობის თეორია კომბინატორიკა, ნამრავლის და ჯამის წესები კომბინატორიკა როგორც მეცნიერება კომბინატორიკა არის მათემატიკის ფილიალი, რომელიც სწავლობს ელემენტების ქვეჯგუფის ნაერთებს, რომლებიც ამოღებულია. განათლების ფედერალური სააგენტო Tomsk State University of Control Systems and Radioelectronics NE Lugina WORKSHOP ON ალბათობის თეორიის სახელმძღვანელო Tomsk 2006 რეცენზენტები: Cand. ლექცია შემთხვევითი მოვლენების განმარტება. ელემენტარული შედეგი (ან ელემენტარული მოვლენა) არის გამოცდილების ნებისმიერი მარტივი (ანუ, განუყოფელი მოცემული გამოცდილების ფარგლებში) შედეგი. ყველა ელემენტარული შედეგის ნაკრები განათლების ფედერალური სააგენტო უმაღლესი პროფესიული განათლების სახელმწიფო საგანმანათლებლო დაწესებულება ულიანოვსკის სახელმწიფო ტექნიკური უნივერსიტეტი S. G. Valeev S. V. Kurkina ტესტი 4. ალბათობის თეორია საკონტროლო სამუშაო ამ თემაზე მოიცავს ოთხ დავალებას. წარმოვიდგინოთ მათი განსახორციელებლად აუცილებელი ალბათობის თეორიის ძირითადი ცნებები. 50 50 ამოცანების გადასაჭრელად საჭიროა თემის ცოდნა განყოფილება „ალბათობა და სტატისტიკა“ ე.მ. უდალოვა. პრიმორსკის რაიონი, სკოლა 579 ალბათობის თეორია არის მათემატიკური მეცნიერება, რომელიც საშუალებას გაძლევთ იპოვოთ სხვა შემთხვევითი მოვლენის ალბათობა ზოგიერთი შემთხვევითი მოვლენის ალბათობიდან. ამოცანა 1. ურნაში არის 40 ბურთი. ალბათობა იმისა, რომ 2 დახატული ბურთი თეთრი იყოს არის 7 60. რამდენი თეთრი ბურთია ურნაში? გზების რაოდენობა, რომლითაც შესაძლებელია k ელემენტის არჩევა n-დან, უდრის C k-ს 4 რუსეთის ფედერაციის განათლებისა და მეცნიერების სამინისტროს უმაღლესი პროფესიული განათლების სახელმწიფო საგანმანათლებლო დაწესებულება "ხაბაროვსკის სახელმწიფო ეკონომიკისა და სამართლის აკადემია" დეპარტამენტი რუსეთის ფედერაციის განათლებისა და მეცნიერების სამინისტროს განათლების ფედერალური სააგენტო GOUVPO "პერმის სახელმწიფო უნივერსიტეტი" ასოც. ვ.ვ. მოროზენკო UDC 59. (075.8) უმაღლესი მათემატიკის თეორიის კათედრა განათლების ფედერალური სააგენტო სახელმწიფო უმაღლესი პროფესიული საგანმანათლებლო დაწესებულება "ტომსკის პოლიტექნიკური უნივერსიტეტი" L.I. Konstantinova ალბათობის თეორია და მათემატიკური ფედერალური სახელმწიფო საბიუჯეტო უმაღლესი პროფესიული განათლების საგანმანათლებლო დაწესებულების სარკინიგზო ტრანსპორტის ფედერალური სააგენტოს ფილიალი "ციმბირის სახელმწიფო უნივერსიტეტი მატრიცის დეტერმინანტის განმარტება კვადრატული მატრიცა შედგება ერთი ელემენტისგან A = (a). ასეთი მატრიცის განმსაზღვრელი არის A = det(a) = a. () a კვადრატული მატრიცა 2 2 შედგება ოთხი ელემენტისგან A = ტომსკის კოლეჯის სარკინიგზო ტრანსპორტის ფილიალი SGUPS ინდივიდუალური ამოცანების კოლექცია „კომბინატორიკის ელემენტები. ალბათობის თეორიის საფუძვლები“ დისციპლინები ალბათობის თეორია და მათემატიკური სტატისტიკა
À. Ì. Ïîïîâ, Â. Í. Ñîòíèêîâ ÒÅÎÐÈß ÂÅÐÎßÒÍÎÑÒÅÉ È ÌÀÒÅÌÀÒÈ ÅÑÊÀß ÑÒÀÒÈÑÒÈÊÀ Âûñøàÿ ìàòåìàòèêà äëÿ ýêîíîìèñòîâ Ó ÅÁÍÈÊ ÄËß ÁÀÊÀËÀÂÐÎÂ Ïîä ðåäàêöèåé À. Ì. Ïîïîâà Ðåêîìåíäîâàíî Ó åáíî-ìåòîäè åñêèì öåíòðîì რუსეთის განათლებისა და მეცნიერების სამინისტრო უმაღლესი პროფესიული განათლების ფედერალური სახელმწიფო საბიუჯეტო საგანმანათლებლო დაწესებულება "უხტას სახელმწიფო ტექნიკური უნივერსიტეტი" (USTU) სემინარი დისციპლინის შესახებ MVDubatov ალბათობის თეორია და მათემატიკური სტატისტიკა ლექცია 4 შეკრება და გამრავლების თეორემები საერთო ალბათობის ფორმულა ბეიეს ფორმულა მოდით და B იყოს შეუთავსებელი მოვლენები და ალბათობები ამოცანები: 1. ხვეული ფრჩხილების გამოყენებით ჩაწერეთ სხივზე მდებარე ნატურალური რიცხვების სიმრავლე 10 და 15 რიცხვებს შორის. რომელი რიცხვებიდან 0; ათი; თერთმეტი; 12; თხუთმეტი; 50 ეკუთვნის ამ კომპლექტს? 2. ჩამოწერეთ ნაკრები FEDERAL EDUCATIONAL AGENCY სახელმწიფო საგანმანათლებლო დაწესებულება უმაღლესი პროფესიული განათლების „NATIONAL RESEARCH TOMSK POLYTECHNICAL UNIVERSITY“ L.I. კონსტანტინოვი ლექცია 5 თემა ბერნულის სქემა. თემის შინაარსი ბერნულის სქემა. ბერნულის ფორმულა. წარმატებების ყველაზე სავარაუდო რაოდენობა ბერნულის სქემაში. ბინომალური შემთხვევითი ცვლადი. ნიუტონის ბინომის ძირითადი კატეგორიები, სქემა განყოფილების შესწავლის შედეგად სტუდენტმა უნდა: ვიცი: ¾ კომბინატორიკის ძირითადი ცნებები; ¾ ალბათობის კლასიკური განმარტება; ¾ შემთხვევითი ცვლადის განმარტება; ¾ შემთხვევითი ცვლადის მათემატიკური მახასიათებლები: მათემატიკური მოლოდინი და დისპერსიული; შეძლებს: ¾ ამოცანების გადაჭრა მოვლენის ალბათობის დასადგენად; ¾ ამოხსნის ამოცანებს შემთხვევითი ცვლადის მათემატიკური მოლოდინისა და დისპერსიის მოსაძებნად. კომბინატორიკის ძირითადი ცნებები მათემატიკის განყოფილებაში, რომელსაც კომბინატორიკა ჰქვია, მოგვარებულია გარკვეული პრობლემები, რომლებიც დაკავშირებულია სიმრავლეების განხილვასთან და ამ სიმრავლეების ელემენტების სხვადასხვა კომბინაციების შედგენასთან. მაგალითად, თუ ავიღებთ 10 სხვადასხვა რიცხვს 0, 1, 2, ..., 9 და გავაკეთებთ მათ კომბინაციებს, მივიღებთ სხვადასხვა რიცხვებს, მაგალითად, 345, 534, 1036, 5671, 45 და ა.შ. ჩვენ ვხედავთ, რომ ამ კომბინაციებიდან ზოგიერთი განსხვავდება მხოლოდ ციფრების თანმიმდევრობით (345 და 534), სხვები მათში შეტანილი რიცხვებით (1036, 5671) და სხვები ასევე განსხვავდება ციფრების რაოდენობით (345 და 45). ამრიგად, მიღებული კომბინაციები აკმაყოფილებს სხვადასხვა პირობებს. კომპოზიციის წესებიდან გამომდინარე, შეიძლება გამოიყოს სამი ტიპის კომბინაცია: განლაგება, პერმუტაციები და კომბინაციები. თუმცა, ჯერ გავეცნოთ ფაქტორიალის ცნებას. ყველა ნატურალური რიცხვის ნამრავლს 1-დან n-მდე ჩათვლით ეწოდება n-ფაქტორული. 1. საცხოვრებლები
. n ელემენტის განლაგება, თითოეული m არის ისეთი კავშირები, რომლებიც განსხვავდება ერთმანეთისგან ან თავად ელემენტებით ან მათი განლაგების თანმიმდევრობით. მაგალითი. რამდენი ორნიშნა რიცხვი შეიძლება ჩამოყალიბდეს ხუთი ციფრიდან 1, 2, 3, 4, 5, იმ პირობით, რომ არცერთი მათგანი არ განმეორდება? გადაწყვეტილება. ვინაიდან ორნიშნა რიცხვები ერთმანეთისგან განსხვავდებიან ან თავად რიცხვებით ან მათი რიგით, სასურველი რიცხვი უდრის ხუთი ელემენტის განლაგების რაოდენობას ორზე: ვარჯიში.რამდენი გზით შეიძლება რვა კანდიდატიდან სამი ადამიანის არჩევა სამ თანამდებობაზე? პასუხი: 336. 2. პერმუტაციები
. n ელემენტის პერმუტაციები არის ყველა n ელემენტის ისეთი ნაერთები, რომლებიც ერთმანეთისგან განსხვავდებიან ელემენტების თანმიმდევრობით. მაგალითი.მივცეთ სამი ასო A, B, C. ამ ასოების რამდენი კომბინაცია შეიძლება გაკეთდეს? გადაწყვეტილება. სამი ელემენტის პერმუტაციების რაოდენობა შეიძლება გამოითვალოს ფორმულით: 3! == 6. ვარჯიში.რამდენი გზით შეიძლება 7 ადამიანის დაჯდომა 7 ადგილზე? გადაწყვეტილება. ________________________________________________________________________________________________________________________________ პასუხი: 5040. 3. მაგალითი.რამდენი გზით შეიძლება აირჩეს სამი დამსწრე, თუ კლასში 30 მოსწავლეა? გადაწყვეტილება. ვინაიდან 30 მოსწავლიდან 3 უნდა აირჩიოთ, შეგიძლიათ გააკეთოთ კომბინაციები, რომლებიც განსხვავდება ერთმანეთისგან მინიმუმ ერთი ელემენტით, ე.ი. 30-დან 3-მდე კომბინაციები: პასუხი: 4060. ვარჯიში.რამდენი გზით შეიძლება შეიქმნას 5 კაციანი გუნდი 15 მუშაკიდან? ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________
პასუხი: 3003. კითხვები თვითკონტროლისთვის 1. ჩამოთვალეთ კომბინატორიკის ძირითადი ამოცანები. 2. რას უწოდებენ პერმუტაციებს? 3. ჩაწერეთ n ელემენტის პერმუტაციის ფორმულა. 4. რას ჰქვია განლაგება? 5. ჩამოწერეთ n ელემენტის განლაგების რაოდენობის ფორმულა m-ით. 6. რას უწოდებენ კომბინაციებს? 7. ჩამოწერეთ n ელემენტის კომბინაციების რაოდენობის ფორმულა m-ით. საკონტროლო დავალება პრაქტიკული ამოცანები თვითკონტროლისთვის რამდენი ვარიანტია სამი პრიზის განაწილებისთვის, თუ გათამაშებაში 7 გუნდი მონაწილეობს? რამდენი გზით შეიძლება შეირჩეს ორი სტუდენტი კონფერენციაზე, თუ ჯგუფში 33 ადამიანია? განტოლებების ამოხსნა 15 კაციანი ჯგუფიდან უნდა შეირჩეს ოსტატი და ბრიგადის 4 წევრი. რამდენი გზით შეიძლება ამის გაკეთება? მორზეს კოდის ასოები შედგება სიმბოლოებისგან (წერტილები და ტირეები). რამდენი ასო შეიძლება იყოს წარმოდგენილი, თუ თითოეული ასო უნდა შეიცავდეს არაუმეტეს ხუთი სიმბოლოს? რამდენი გზით შეიძლება ოთხფერიანი ლენტები შედგეს სხვადასხვა ფერის შვიდი ლენტისაგან? რამდენი გზით შეიძლება აირჩეს ოთხი ადამიანი ოთხ სხვადასხვა თანამდებობაზე ცხრა კანდიდატიდან? რამდენი გზით შეგიძლიათ აირჩიოთ 6 კარტიდან 3? სკოლის დამთავრებამდე 30 სტუდენტისგან შემდგარმა ჯგუფმა გაცვალა ფოტოები. რამდენი ფოტო გადაეცა. რამდენი გზით შეიძლება 10 სტუმარი სადღესასწაულო სუფრაზე ათ ადგილას დაჯდეს? რამდენი თამაში უნდა ითამაშოს 20 ფეხბურთის გუნდმა ერთ ტურის ჩემპიონატში? რამდენი გზით შეიძლება დაიყოს 12 ადამიანი გუნდებად, თუ თითოეულ გუნდში 6 ადამიანია? ალბათობის თეორია ცხრა სხვადასხვა წიგნი შემთხვევით ერთ თაროზეა მოწყობილი. იპოვეთ ალბათობა იმისა, რომ ოთხი წიგნი ერთმანეთის გვერდით დაიდება (მოვლენა C). 10 ბილეთიდან 2 მოგებულია.განსაზღვრეთ ალბათობა, რომ შემთხვევით აღებულ 5 ბილეთს შორის ერთი მოიგოს. ბანქოს დასტადან შემთხვევით იშლება 3 კარტი (52 კარტი). იპოვეთ ალბათობა, რომ ეს არის სამი, შვიდი, ტუზი. ბავშვი თამაშობს გაყოფილი ანბანის ხუთი ასოებით A, K, R, W, Y. რა არის იმის ალბათობა, რომ ასოების ზედიზედ შემთხვევითი განლაგებით მან სიტყვა „სახურავი“ მიიღოს. ყუთში არის 6 თეთრი და 4 წითელი ბურთი. ორი ბურთი იღება შემთხვევით. რა არის ალბათობა, რომ ისინი ერთი და იგივე ფერის არიან? პირველი ურნა შეიცავს 6 შავ და 4 თეთრ ბურთულებს, მეორე ურნა შეიცავს 5 შავ და 7 თეთრ ბურთულებს. თითო ურნადან ამოღებულია ერთი ბურთი. რა არის იმის ალბათობა, რომ ორივე ბურთი თეთრი იყოს? შემთხვევითი ცვლადი, მათემატიკური მოლოდინი და შემთხვევითი ცვლადის ვარიაცია ალბათობა იმისა, რომ მოსწავლე ბიბლიოთეკაში იპოვის მისთვის საჭირო წიგნს არის 0,3. შეადგინეთ განაწილების კანონი იმ ბიბლიოთეკების რაოდენობის შესახებ, რომლებსაც ის ეწვევა, თუ ქალაქში ოთხი ბიბლიოთეკაა. მონადირე ისვრის თამაშში პირველ დარტყმამდე, მაგრამ ახერხებს არაუმეტეს ოთხი გასროლის გაკეთებას. იპოვეთ გაცდენების რაოდენობის ვარიაცია, თუ სამიზნის ერთი გასროლით დარტყმის ალბათობა არის 0,7. იპოვეთ X შემთხვევითი ცვლადის მათემატიკური მოლოდინი, თუ მისი განაწილების კანონი მოცემულია ცხრილით: X რ ქარხანას აქვს ოთხი ავტომატური ხაზი. ალბათობა იმისა, რომ სამუშაო ცვლაში პირველი ხაზი არ საჭიროებს კორექტირებას არის 0.9, მეორე - 0.8, მესამე - 0.75, მეოთხე - 0.7. იპოვნეთ ხაზების რაოდენობის მათემატიკური მოლოდინი, რომლებიც არ საჭიროებს კორექტირებას სამუშაო ცვლაში. X რ V. პასუხები კომბინატორიკა ალბათობის თეორია შემთხვევითი ცვლადი, მათემატიკური მოლოდინი და შემთხვევითი ცვლადის ვარიაცია. 0,046656 2. 0,3 3. 13 EMBED Equation.3 1415 4. 13 EMBED Equation.3 1415 5.13 EMBED Equation.3 1415 6.13 EMBED Equation.3 1415. Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation
კომბინაციები
. n ელემენტის ერთობლიობა, m თითოეული, ისეთი ნაერთებია, რომლებიც ერთმანეთისგან განსხვავდებიან მინიმუმ ერთი ელემენტით.
კომბინატორიკა
რამდენი განსხვავებული ხუთნიშნა რიცხვი შეიძლება გაკეთდეს 1, 3, 5, 7, 9 ციფრებისგან, იმ პირობით, რომ რიცხვში არცერთი ციფრი არ განმეორდება?
ა) 13 EMBED განტოლება.3 1415. ბ) 13 EMBED განტოლება.3 1415.
რამდენი ოთხნიშნა რიცხვი იყოფა 5-ზე შეიძლება გაკეთდეს 0, 1, 2, 5, 7 ციფრებიდან, თუ თითოეული რიცხვი არ უნდა შეიცავდეს იგივე ციფრებს?
ურნა შეიცავს 7 წითელ და 6 ლურჯ ბურთს. ურნადან ერთდროულად ამოღებულია ორი ბურთი. რა არის ალბათობა იმისა, რომ ორივე ბურთი წითელი იყოს (მოვლენა A)?
ჩაწერეთ ექვსი გასროლით მიზანზე დარტყმების რაოდენობის განაწილების კანონი, თუ ერთი გასროლით დარტყმის ალბათობა არის 0,4.
1
2
3
4
0,3
0,1
0,2
0,4
იპოვეთ X შემთხვევითი ცვლადის ვარიაცია, იცოდეთ მისი განაწილების კანონი:
0
1
2
3
4
0,2
0,4
0,3
0,08
0,02
1. 13 EMBED Equation.3 1415. 2. 13 EMBED Equation.3 1415. 3. 13 EMBED Equation.3 1415. 4. ა) 13 EMBED Equation.3 1415, 5; ბ) 13 EMBED განტოლება.3 1415. 5. 13 EMBED განტოლება.3 1415. 6.13 EMBED განტოლება.3 1415. 7. 13 EMBED განტოლება.3 1415. 8. 13 EMBED განტოლება.3 EMBED 1415.3 1413. 10.13 EMBED განტოლება.3 1415. 11. 13 EMBED განტოლება.3 1415. 12. 13 EMBED განტოლება.3 1415. 13.190.14.924.
1. 13 EMBED განტოლება.3 1415 2.13 EMBED განტოლება.3 1415 3. 13 EMBED განტოლება.3 1415 4. 13 EMBED განტოლება.3 14155. 13 EMBED განტოლება.3 14153 EMBED1414.13.
1.
0
1
2
3
4
5
6
0,186624
0,311040
0,276480
0,138240
0,036864
0,004096
1
2
3
4
0,21
0,147
0,343
