ალგებრის გაკვეთილის შემუშავება მე-11 პროფილის კლასში

გაკვეთილი ჩაატარა მათემატიკის მასწავლებელმა MBOU No6 საშუალო სკოლა Tupitsyna O.V.

თემა და გაკვეთილის ნომერი თემაში:„განტოლება-შედეგამდე მიმავალი რამდენიმე გარდაქმნის გამოყენება“, გაკვეთილი No7, 8 თემაზე: „განტოლება-შედეგი“

აკადემიური საგანი:ალგებრა და მათემატიკური ანალიზის დასაწყისი - მე-11 კლასი (პროფილური სწავლება ს.მ. ნიკოლსკის სახელმძღვანელოს მიხედვით)

გაკვეთილის ტიპი: "ცოდნისა და უნარების სისტემატიზაცია და განზოგადება"

გაკვეთილის ტიპი: სახელოსნო

მასწავლებლის როლი: მიმართეთ სტუდენტების შემეცნებით აქტივობას კომპლექსში ცოდნის დამოუკიდებლად გამოყენების უნარ-ჩვევების გამომუშავებისთვის, რათა შეარჩიონ სასურველი მეთოდი ან ტრანსფორმაციის მეთოდები, რაც იწვევს განტოლებას - შედეგი და მეთოდის გამოყენება განტოლების ამოხსნისას, ახალ პირობებში.

საჭირო ტექნიკური აღჭურვილობა:მულტიმედიური აღჭურვილობა, ვებკამერა.

გამოყენებული გაკვეთილი:

1. დიდაქტიკური სწავლის მოდელი- პრობლემური სიტუაციის შექმნა,
2. პედაგოგიური საშუალებები- ფურცლები, სადაც მითითებულია სასწავლო მოდულები, განტოლებების ამოხსნის ამოცანების შერჩევა,
3. მოსწავლის საქმიანობის სახეობა- ჯგუფური (გაკვეთილებზე იქმნება ჯგუფები - ახალი ცოდნის "აღმოჩენები", გაკვეთილები No1 და 2 სხვადასხვა ხარისხის სწავლისა და სწავლის მქონე მოსწავლეებისგან), პრობლემის ერთობლივი თუ ინდივიდუალური გადაჭრა,
4. პიროვნებაზე ორიენტირებული საგანმანათლებლო ტექნოლოგიები: მოდულური სწავლება, პრობლემაზე დაფუძნებული სწავლება, ძიება და კვლევის მეთოდები, კოლექტიური დიალოგი, აქტივობის მეთოდი, სახელმძღვანელოსთან და სხვადასხვა წყაროებთან მუშაობა,
5. ჯანმრთელობის დაზოგვის ტექნოლოგიები- სტრესის შესამსუბუქებლად ტარდება ფიზიკური აღზრდა,
6. კომპეტენციები:

- საგანმანათლებლო და შემეცნებითი საბაზისო დონეზე- მოსწავლეებმა იციან განტოლების ცნება - შედეგი, განტოლების ფესვი და განტოლებამდე მიმავალი ტრანსფორმაციის მეთოდები - შედეგი, მათ შეუძლიათ იპოვონ განტოლებების ფესვები და შეასრულონ მათი შემოწმება პროდუქტიულ დონეზე;

- მოწინავე დონეზე- სტუდენტებს შეუძლიათ განტოლებების ამოხსნა გარდაქმნების ცნობილი მეთოდების გამოყენებით, შეამოწმონ განტოლებების ფესვები განტოლებების არადაშვებული მნიშვნელობების ფართობის გამოყენებით; ლოგარითმების გამოთვლა კვლევაზე დაფუძნებული თვისებების გამოყენებით;საინფორმაციო - მოსწავლეები დამოუკიდებლად მოიძიებენ, ამოიღებენ და არჩევენ საგანმანათლებლო პრობლემების გადასაჭრელად საჭირო ინფორმაციას სხვადასხვა ტიპის წყაროებში.

დიდაქტიკური მიზანი:

პირობების შექმნა:

განტოლებების - შედეგების, ფესვებისა და ტრანსფორმაციის მეთოდების შესახებ იდეების ჩამოყალიბება;

მნიშვნელობის შექმნის გამოცდილების ფორმირება განტოლებების გარდაქმნის ადრე შესწავლილი მეთოდების ლოგიკური შედეგის საფუძველზე: განტოლების აწევა ლუწი სიძლიერემდე, ლოგარითმული განტოლებების გაძლიერება, განტოლების გათავისუფლება მნიშვნელებისგან, მსგავსი ტერმინების მოყვანა;

ტრანსფორმაციის მეთოდის არჩევის განსაზღვრის, განტოლების შემდგომი ამოხსნისა და განტოლების ფესვების არჩევის უნარ-ჩვევების კონსოლიდაცია;

ცნობილ და ნასწავლ ინფორმაციაზე დაფუძნებული პრობლემის დაყენების უნარ-ჩვევების დაუფლება, მოთხოვნის გენერირება იმის გასარკვევად, რაც ჯერ არ არის ცნობილი;

მოსწავლეთა შემეცნებითი ინტერესების, ინტელექტუალური და შემოქმედებითი შესაძლებლობების ჩამოყალიბება;

ლოგიკური აზროვნების განვითარება, მოსწავლეთა შემოქმედებითი აქტივობა, საპროექტო უნარები, აზრის გამოხატვის უნარი;

ტოლერანტობის, ურთიერთდახმარების გრძნობის ჩამოყალიბება ჯგუფში მუშაობისას;

განტოლებათა დამოუკიდებელი ამოხსნისადმი ინტერესის გაღვიძება;

Დავალებები:

ცოდნის გამეორებისა და სისტემატიზაციის ორგანიზება განტოლებების გარდაქმნის შესახებ;

- განტოლებების ამოხსნისა და მათი ფესვების შემოწმების მეთოდების დაუფლების უზრუნველყოფა;

- ხელი შეუწყოს მოსწავლეთა ანალიტიკური და კრიტიკული აზროვნების განვითარებას; შედარება და არჩევა განტოლებების ამოხსნის ოპტიმალურ მეთოდებს;

- პირობების შექმნა კვლევითი უნარების, ჯგუფური მუშაობის უნარ-ჩვევების განვითარებისათვის;

მოსწავლეთა მოტივაცია გამოიყენონ შესწავლილი მასალა გამოცდისთვის მოსამზადებლად;

გაანალიზეთ და შეაფასეთ თქვენი და თქვენი თანამებრძოლების შრომა ამ სამუშაოს შესრულებაში.

დაგეგმილი შედეგები:

* პირადი:

ცნობილ და ნასწავლ ინფორმაციაზე დაფუძნებული დავალების დასახვის უნარები, მოთხოვნის გენერირება იმის გასარკვევად, რაც ჯერ არ არის ცნობილი;

პრობლემის გადასაჭრელად საჭირო ინფორმაციის წყაროების არჩევის უნარი; მოსწავლეთა შემეცნებითი ინტერესების, ინტელექტუალური და შემოქმედებითი შესაძლებლობების განვითარება;

ლოგიკური აზროვნების განვითარება, შემოქმედებითი აქტივობა, აზრის გამოხატვის უნარი, არგუმენტების აგების უნარი;

შესრულების შედეგების თვითშეფასება;

გუნდური მუშაობის უნარი;

*მეტასაგანი:

მთავარის ხაზგასმის უნარი, შედარება, განზოგადება, ანალოგიის დახატვა, მსჯელობის ინდუქციური მეთოდების გამოყენება, განტოლებების ამოხსნისას ჰიპოთეზების წამოყენება,

გამოცდისთვის მომზადებისას მიღებული ცოდნის ინტერპრეტაციისა და გამოყენების უნარი;

*თემა:

განტოლებების გარდაქმნის ცოდნა,

სხვადასხვა ტიპის განტოლებასთან დაკავშირებული ნიმუშის დადგენის და ფესვების ამოხსნისა და შერჩევისას მისი გამოყენების უნარი,

გაკვეთილის მიზნების ინტეგრირება:

1. (მასწავლებლისთვის) მოსწავლეებში განტოლებების გარდაქმნის გზებისა და მათი ამოხსნის მეთოდების ჰოლისტიკური შეხედულების ჩამოყალიბება;
2. (მოსწავლეებისთვის) დაკვირვების, შედარების, განზოგადების, მათემატიკური სიტუაციების ანალიზის უნარის განვითარება, რომლებიც დაკავშირებულია სხვადასხვა ფუნქციის შემცველ განტოლებებთან. მზადება გამოცდისთვის.

გაკვეთილის I ეტაპი:

ცოდნის განახლება მოტივაციის ასამაღლებლად განტოლების გარდაქმნების სხვადასხვა მეთოდების გამოყენების სფეროში (შეყვანის დიაგნოსტიკა)

ცოდნის განახლების ეტაპიჩატარდა სატესტო სამუშაოს სახით თვითშემოწმებით. შემოთავაზებულია განმავითარებელი ამოცანები, წინა გაკვეთილებზე მიღებული ცოდნის საფუძველზე, რომელიც მოითხოვს მოსწავლეებისგან აქტიურ გონებრივ აქტივობას და აუცილებელია ამ გაკვეთილზე დავალების შესასრულებლად.

გადამოწმების სამუშაო

1. აირჩიეთ განტოლებები, რომლებიც საჭიროებენ უცნობების შეზღუდვას ყველა რეალური რიცხვის სიმრავლეზე:

ა) = X-2; ბ) 3 \u003d X-2; გ) =1;

დ) ( = (; ე) = ; ე) +6 =5;

ზ) = ; თ) = .

(2) მიუთითეთ თითოეული განტოლების მოქმედი მნიშვნელობების დიაპაზონი, სადაც არის შეზღუდვები.

(3) აირჩიეთ ისეთი განტოლების მაგალითი, სადაც ტრანსფორმაციამ შეიძლება გამოიწვიოს ფესვის დაკარგვა (გამოიყენეთ წინა გაკვეთილების მასალები ამ თემაზე).

ყველა დამოუკიდებლად ამოწმებს პასუხებს ეკრანზე გამოკვეთილი მზა პასუხების მიხედვით. გაანალიზებულია ურთულესი ამოცანები და მოსწავლეები განსაკუთრებულ ყურადღებას აქცევენ მაგალითებს a, c, g, h, სადაც შეზღუდვები არსებობს.

დასკვნა ხდება, რომ განტოლებების ამოხსნისას აუცილებელია განტოლებით დაშვებული მნიშვნელობების დიაპაზონის დადგენა ან ფესვების შემოწმება ზედმეტი მნიშვნელობების თავიდან ასაცილებლად. განტოლებამდე მიმავალი განტოლებების - შედეგის გარდაქმნის ადრე შესწავლილი მეთოდები მეორდება. ანუ მოსწავლეებს ამგვარად უჩნდებათ მოტივაცია, მოძებნონ შემდგომი მუშაობისას მათ მიერ შემოთავაზებული განტოლების ამოხსნის სწორი გზა.

გაკვეთილის II ეტაპი:

მათი ცოდნის, უნარებისა და შესაძლებლობების პრაქტიკული გამოყენება განტოლებების ამოხსნისას.

ჯგუფებს ეძლევათ ფურცლები ამ თემის საკითხებზე შედგენილი მოდულით. მოდული მოიცავს ხუთ სასწავლო ელემენტს, რომელთაგან თითოეული მიმართულია გარკვეული ამოცანების შესრულებაზე. სწავლისა და სწავლის სხვადასხვა ხარისხის მოსწავლეები დამოუკიდებლად განსაზღვრავენ გაკვეთილზე თავიანთი აქტივობების ფარგლებს, მაგრამ რადგანაც ყველა მუშაობს ჯგუფურად, მიმდინარეობს ცოდნისა და უნარების კორექტირების უწყვეტი პროცესი, ჩამორჩენილების მიყვანა სავალდებულოზე, სხვები - უფრო მაღალზე და შემოქმედებითი დონეები.

გაკვეთილის შუაში ტარდება სავალდებულო ფიზიკური წუთი.

საგანმანათლებლო ელემენტის რაოდენობა	საგანმანათლებლო ელემენტი დავალებით	სახელმძღვანელო სასწავლო მასალის შემუშავებისთვის
UE-1	მიზანი: ფუნქციების თვისებებზე დაყრდნობით განტოლებების ამოხსნის ძირითადი მეთოდების განსაზღვრა და დასაბუთება. ვარჯიში: მიუთითეთ ტრანსფორმაციის მეთოდი შემდეგი განტოლებების ამოსახსნელად: ა) )= -8); ბ) = გ) (=( დ) ctg + x 2 -2x = ctg +24; ე) = ; ვ) = ცოდვა x. 2) დავალება: ამოხსენით შემოთავაზებული განტოლებიდან მინიმუმ ორი. აღწერეთ რა მეთოდები იქნა გამოყენებული ამოხსნილ განტოლებებში.	პუნქტი 7.3 გვ.212 პუნქტი 7.4 გვ.214 პუნქტი 7.5 გვ.217 პუნქტი 7.2 გვ 210
UE-2	მიზანი: ამოხსნის რაციონალური ხერხებისა და მეთოდების დაუფლება ვარჯიში: მოიყვანეთ მაგალითები ზემოთ მოყვანილი ან თვითშერჩეული (გამოიყენეთ მასალები წინა გაკვეთილებიდან) განტოლებებიდან, რომელთა ამოხსნა შესაძლებელია ამოხსნის რაციონალური მეთოდების გამოყენებით, რა არის ისინი? (აქცენტი განტოლების ფესვების შემოწმების გზაზე)
UE-3	მიზანი: მიღებული ცოდნის გამოყენება მაღალი სირთულის განტოლებების ამოხსნისას ვარჯიში: = (ან ( = (	პუნქტი 7.5
UE-4	დააყენეთ თემის ოსტატობის დონე: დაბალი - არაუმეტეს 2 განტოლების ამოხსნა; საშუალო - არაუმეტეს 4 განტოლების ამონახსნი; მაღალი - არაუმეტეს 5 განტოლების ამოხსნა
UE-5	გამომავალი კონტროლი: შეადგინეთ ცხრილი, რომელშიც წარმოგიდგენთ თქვენ მიერ გამოყენებული განტოლებების გარდაქმნის ყველა მეთოდს და თითოეული მეთოდისთვის ჩამოწერეთ თქვენ მიერ ამოხსნილი განტოლებების მაგალითები, დაწყებული თემის 1 გაკვეთილიდან: „განტოლებები - შედეგები“	რეფერატები რვეულებში

გაკვეთილის III ეტაპი:

გამოვა სადიაგნოსტიკო სამუშაო, რომელიც წარმოადგენს სტუდენტების ასახვას, რომელიც აჩვენებს მზადყოფნას არა მხოლოდ ტესტის დასაწერად, არამედ გამოცდისთვის ამ განყოფილებაში.

გაკვეთილის ბოლოს ყველა მოსწავლე გამონაკლისის გარეშე აფასებს საკუთარ თავს, შემდეგ მოდის მასწავლებლის შეფასება. თუ მასწავლებელსა და მოსწავლეს შორის არის უთანხმოება, მასწავლებელს შეუძლია შესთავაზოს მოსწავლეს დამატებითი დავალება, რათა ობიექტურად შეძლოს მისი შეფასება. Საშინაო დავალებამიზნად ისახავს მასალის განხილვას საკონტროლო სამუშაომდე.

სკოლის ლექცია

„ეკვივალენტური განტოლებები. დასკვნითი განტოლება»

მეთოდოლოგიური კომენტარები. ეკვივალენტური განტოლებების ცნებები, თანმხლები განტოლებები, განტოლებათა ეკვივალენტობის თეორემები განტოლებების ამოხსნის თეორიასთან დაკავშირებული მნიშვნელოვანი საკითხებია.

მე-10 კლასისთვის მოსწავლეებმა მიიღეს განტოლებების ამოხსნის გარკვეული გამოცდილება. 7-8 კლასებში ამოხსნილია წრფივი და კვადრატული განტოლებები, აქ არათანაბარი გარდაქმნები არ არის. გარდა ამისა, მე -8 და მე -9 კლასებში წყდება რაციონალური და უმარტივესი ირაციონალური განტოლებები, გამოდის, რომ მნიშვნელიდან გათავისუფლებასთან და განტოლების ორივე ნაწილის კვადრატთან დაკავშირებით, შეიძლება გამოჩნდეს ზედმეტი ფესვები. ამრიგად, საჭიროა ახალი ცნებების დანერგვა: განტოლებათა ეკვივალენტობა, განტოლების ეკვივალენტური და არაეკვივალენტური გარდაქმნები, უცხო ფესვები და ფესვების დამოწმება. ზემოაღნიშნული კლასების განტოლებების ამოხსნისას სტუდენტების მიერ დაგროვილი გამოცდილებიდან გამომდინარე, შესაძლებელია განტოლებათა ეკვივალენტობის ახალი მიმართების დადგენა და სტუდენტებთან ერთად განტოლებათა ეკვივალენტობის თეორემების „აღმოჩენა“.

გაკვეთილი, რომლის შეჯამება წარმოდგენილია ქვემოთ, წინ უძღვის ირაციონალური, ექსპონენციალური, ლოგარითმული და ტრიგონომეტრიული განტოლებების ამოხსნასთან დაკავშირებული თემების განხილვას. ამ გაკვეთილის თეორიული მასალა ემსახურება ყველა კლასის განტოლების ამოხსნას. ამ გაკვეთილზე აუცილებელია განვსაზღვროთ ეკვივალენტური განტოლებების ცნება, თანმიმდევრული განტოლებები, განიხილონ ტრანსფორმაციის თეორემები, რომლებიც მივყავართ ასეთი ტიპის განტოლებამდე. განსახილველი მასალა, როგორც ზემოთ აღინიშნა, წარმოადგენს მოსწავლეთა ცოდნის ერთგვარ სისტემატიზაციას განტოლებათა გარდაქმნების შესახებ, იგი ხასიათდება გარკვეული სირთულით, ამიტომ გაკვეთილის ყველაზე მისაღები სახეობაა სასკოლო ლექცია. ამ გაკვეთილის თავისებურება ის არის, რომ მასზე დასახული საგანმანათლებლო დავალება (მიზნები) წყდება მრავალი შემდგომი გაკვეთილის განმავლობაში (განტოლებათა გარდაქმნების იდენტიფიცირება, რაც იწვევს გარე ფესვების შეძენას და ფესვების დაკარგვას).

გაკვეთილის თითოეულ ეტაპს მის სტრუქტურაში მნიშვნელოვანი ადგილი უჭირავს.

Ზე განახლების ეტაპისტუდენტებს ახსოვთ განტოლებასთან დაკავშირებული ძირითადი თეორიული დებულებები: რა არის განტოლება, განტოლების ფესვი, რას ნიშნავს განტოლების ამოხსნა, განტოლების მისაღები მნიშვნელობების დიაპაზონი (ODV). ისინი პოულობენ კონკრეტული განტოლებების ODZ-ს, რომელიც გაკვეთილზე თეორემების „აღმოჩენის“ საყრდენი იქნება.

სამიზნე მოტივაციის ეტაპი- პრობლემური სიტუაციის შექმნა, რომელიც შედგება შემოთავაზებული განტოლების სწორი ამოხსნის პოვნაში.

გადაწყვეტილება სასწავლო დავალება (ოპერატიულ-შემეცნებითი ეტაპი)წარმოდგენილ გაკვეთილში მდგომარეობს განტოლებათა ეკვივალენტობის შესახებ თეორემების „აღმოჩენა“ და მათი დადასტურება. მასალის წარმოდგენისას ძირითადი ყურადღება ეთმობა ეკვივალენტური განტოლებების, განტოლება-შედეგების განსაზღვრას, თეორემების „ძიებას“ განტოლებათა ეკვივალენტობაზე.

შენიშვნები, რომლებსაც მასწავლებელი აკეთებს გაკვეთილზე, წარმოდგენილია უშუალოდ აბსტრაქტში. მოსწავლეების მიერ ჩანაწერების რეგისტრაცია რვეულებში მოცემულია გაკვეთილის შეჯამების ბოლოს.

გაკვეთილის შეჯამება

საგანი.ეკვივალენტური განტოლებები. განტოლება-შედეგი.

(ალგებრა და ანალიზის დასაწყისი: სახელმძღვანელო საგანმანათლებლო დაწესებულებების 10-11 კლასებისთვის / Sh.A. Alimov, Yu.M. Kolyagin, Yu.V. Sidorov და სხვები - M .: განათლება, 2003).

გაკვეთილის მიზნები.მოსწავლეებთან ერთობლივი აქტივობების დროს განტოლებათა სიმრავლის ეკვივალენტობის მიმართების ამოცნობა, განტოლებათა ეკვივალენტობის თეორემების „აღმოჩენა“.

შედეგად, სტუდენტი

იცის

ეკვივალენტური განტოლებების განმარტება,

დასკვნითი განტოლების განმარტებები,

ძირითადი თეორემების დებულებები;

შეუძლია

შემოთავაზებული განტოლებიდან აირჩიეთ ეკვივალენტური განტოლებები და განტოლებები-შედეგები,

სტანდარტულ სიტუაციებში ეკვივალენტური განტოლებებისა და თანმიმდევრული განტოლებების განმარტებების გამოყენება;

ესმის

რა გარდაქმნებს მივყავართ ეკვივალენტურ განტოლებამდე ან განტოლება-შედეგებამდე,

რომ არის გარდაქმნები, რის შედეგადაც განტოლებას შეუძლია შეიძინოს უცხო ფესვები,

რომ გარკვეული გარდაქმნების შედეგად შეიძლება მოხდეს ფესვების დაკარგვა.

გაკვეთილის ტიპი.სკოლის ლექცია (2 საათი).

გაკვეთილის სტრუქტურა.

I. სამოტივაციო და ორიენტირებული ნაწილი:

ცოდნის განახლება,

მოტივაცია, სასწავლო დავალების დასახვა.

II. ოპერატიულ-შემეცნებითი ნაწილი:

საგანმანათლებლო და კვლევითი პრობლემის გადაწყვეტა (გაკვეთილის მიზანი).

III. ამრეკლავი-შეფასებითი ნაწილი:

გაკვეთილის შეჯამება

საშინაო დავალების გაცემა.

გაკვეთილების დროს

მე. მოტივაციური და ორიენტირებული ნაწილი.

დღეს გაკვეთილზე ვისაუბრებთ განტოლებაზე, მაგრამ თემას ჯერ არ ჩამოვწერთ. გაიხსენეთ განტოლებასთან დაკავშირებული ძირითადი ცნებები. პირველ რიგში, რა არის განტოლება?

(განტოლება არის არგუმენტების მნიშვნელობების პოვნის პრობლემის ანალიტიკური ჩანაწერი, რომლებისთვისაც ერთი ფუნქციის მნიშვნელობები უდრის სხვა ფუნქციის მნიშვნელობებს).

რა სხვა ცნებებია დაკავშირებული განტოლებასთან?

(განტოლების ფესვი და რას ნიშნავს განტოლების ამოხსნა. განტოლების ფესვი არის რიცხვი, განტოლებაში ჩანაცვლებისას მიიღება სწორი რიცხვითი ტოლობა. ამოხსენი განტოლება - იპოვე მისი ყველა ფესვი ან დაადგინე, რომ ისინი აკეთებენ. არ არსებობს).

რა არის ODZ განტოლება?

(ყველა რიცხვის სიმრავლე, რომლისთვისაც განტოლების მარცხენა და მარჯვენა მხარეს ფუნქციები ერთდროულად აზრიანია).

იპოვეთ შემდეგი განტოლებების ODZ.

5)

6)
.

განტოლების ამონაწერი იწერება დაფაზე.

როგორია განტოლების ამოხსნის პროცესი?

(გარდაქმნების შესრულება, რომლითაც ეს განტოლება მიიყვანს უფრო მარტივი ფორმის განტოლებამდე, ანუ ისეთ განტოლებამდე, რომლის ფესვების პოვნა არ არის რთული).

მართალია, ე.ი. არსებობს გამარტივების თანმიმდევრობა განტოლებიდან განტოლებამდე
და ა.შ. რომ
. ვნახოთ, რა ემართება განტოლების ფესვებს გარდაქმნების თითოეულ ეტაპზე. წარმოდგენილ ამონახსნში მიიღება განტოლების ორი ფესვი
. შეამოწმეთ არის თუ არა ისინი რიცხვები და რიცხვები
და
საწყისი განტოლების ფესვები.

(ნომრები , და არის საწყისი განტოლების ფესვები და
- არა).

ასე რომ, გადაჭრის პროცესში ეს ფესვები დაიკარგა. ზოგადად, შესრულებულმა გარდაქმნებმა გამოიწვია ორი ფესვის დაკარგვა
და უცხო ფესვის შეძენა.

როგორ მოვიშოროთ ზედმეტი ფესვები?

(გააკეთეთ შემოწმება).

შესაძლებელია თუ არა ფესვების დაკარგვა? რატომ?

(არა, რადგან განტოლების ამოხსნა ნიშნავს მისი ყველა ფესვის პოვნას).

როგორ ავიცილოთ თავიდან ფესვების დაკარგვა?

(ალბათ, განტოლების ამოხსნისას ნუ შეასრულებთ გარდაქმნებს, რომლებიც ფესვების დაკარგვას იწვევს).

მაშ, იმისათვის, რომ განტოლების ამოხსნის პროცესმა მიგვიყვანოს სწორ შედეგებამდე, რა არის მნიშვნელოვანი ვიცოდეთ განტოლებებზე გარდაქმნების შესრულებისას?

(ალბათ, იმის ცოდნა, თუ რომელი გარდაქმნები განტოლებაზე ინარჩუნებს ფესვებს, რომლებიც იწვევს ფესვების დაკარგვას ან უცხო ფესვების მოპოვებას. იცოდეთ, რა გარდაქმნები შეიძლება შეიცვალოს ისე, რომ არ მოხდეს ფესვების დაკარგვა ან შეძენა).

ეს არის ის, რასაც ჩვენ ვაპირებთ ამ გაკვეთილზე. როგორ ჩამოაყალიბებდით დღევანდელ გაკვეთილზე მომავალი აქტივობის მიზანს?

(განტოლებათა გარდაქმნების იდენტიფიცირება, რომლებიც ინარჩუნებენ ფესვებს, იწვევს ფესვების დაკარგვას ან უცხო ფესვების შეძენას. იცოდეთ, რა გარდაქმნები შეიძლება შეიცვალოს ისე, რომ არ მოხდეს ფესვების დაკარგვა ან შეძენა).

II . ოპერატიულ-შემეცნებითი ნაწილი.

დავუბრუნდეთ დაფაზე დაწერილ განტოლებას. მივყვეთ რა ეტაპზე და რა გარდაქმნების შედეგად დაიკარგა ორი ძირი და გაჩნდა აუტსაიდერი. (მასწავლებელი თითოეული განტოლების მარჯვნივ აყენებს რიცხვებს).

დაასახელეთ განტოლებები, რომლებსაც აქვთ ფესვების ერთნაირი სიმრავლე (სიმრავლე).

(განტოლებები, ,
და ,).

ასეთ განტოლებებს ე.წ ექვივალენტი.შეეცადეთ ჩამოაყალიბოთ ეკვივალენტური განტოლებების განმარტება.

(განტოლებებს, რომლებსაც აქვთ ფესვების ერთი და იგივე სიმრავლე, ექვივალენტი ეწოდება).

მოდით ჩამოვწეროთ განმარტება.

განმარტება 1. განტოლებები
და
ამბობენ, რომ ეკვივალენტები არიან, თუ მათი ფესვების სიმრავლე ერთნაირია.

უნდა აღინიშნოს, რომ ცხენების გარეშე განტოლებები ასევე ეკვივალენტურია.

ეკვივალენტური განტოლებების აღსანიშნავად შეგიძლიათ გამოიყენოთ სიმბოლო "
». ახალი კონცეფციის გამოყენებით განტოლების ამოხსნის პროცესი შეიძლება აისახოს შემდეგნაირად:

ამრიგად, მოცემული განტოლებიდან ეკვივალენტზე გადასვლა არ ახდენს გავლენას მიღებული განტოლების ფესვების სიმრავლეზე.

და რა ძირითადი გარდაქმნები ხდება წრფივი განტოლებების ამოხსნისას?

(ფრჩხილების გახსნა; ტერმინების გადატანა განტოლების ერთი ნაწილიდან მეორეზე, ნიშნის საპირისპიროზე შეცვლა; განტოლების ორივე ნაწილისთვის უცნობის შემცველი გამოხატვის დამატება).

შეიცვალა მათი ფესვები?

ერთ-ერთი ამ გარდაქმნის საფუძველზე, კერძოდ: ტერმინების გადატანა განტოლების ერთი ნაწილიდან მეორეზე, ნიშნის საპირისპიროზე შეცვლისას, მე-7 კლასში ჩამოაყალიბეს განტოლებათა თვისება. ჩამოაყალიბეთ იგი ახალი კონცეფციის გამოყენებით.

(თუ განტოლების რომელიმე წევრი გადაინაცვლებს განტოლების ერთი ნაწილიდან მეორეზე საპირისპირო ნიშნით, მაშინ მიიღება მოცემულის ექვივალენტური განტოლება).

განტოლების კიდევ რა თვისება იცით?

(განტოლების ორივე მხარე შეიძლება გამრავლდეს ერთი და იგივე არანულოვანი რიცხვით.)

ამ თვისების გამოყენება ასევე ცვლის თავდაპირველ განტოლებას ეკვივალენტით. დავუბრუნდეთ დაფაზე დაწერილ განტოლებას. შეადარეთ განტოლებათა ფესვების სიმრავლე და ?

(განტოლების ფესვი არის განტოლების ფესვი).

ანუ ერთი განტოლებიდან მეორეზე გადასვლისას ფესვთა სიმრავლე, თუმცა გაფართოებული იყო, ფესვები არ დაკარგა. ამ შემთხვევაში, განტოლება ეწოდება განტოლების შედეგი. შეეცადეთ ჩამოაყალიბოთ განტოლების განმარტება, რომელიც ამ განტოლების შედეგია.

(თუ ერთი განტოლებიდან მეორეზე გადასვლისას ფესვების დაკარგვა არ არის, მაშინ მეორე განტოლებას პირველი განტოლების შედეგი ეწოდება).

განმარტება 2. განტოლებას ეწოდება განტოლების შედეგი, თუ განტოლების თითოეული ფესვი არის განტოლების ფესვი.

- რა ტრანსფორმაციის შედეგად მიიღეთ განტოლება განტოლებიდან?

(განტოლების ორივე მხარის კვადრატი).

ეს ნიშნავს, რომ ამ ტრანსფორმაციამ შეიძლება გამოიწვიოს გარე ფესვების გამოჩენა, ე.ი. საწყისი განტოლება გარდაიქმნება შედეგიან განტოლებად. არის თუ არა სხვა თანმდევი განტოლებები განტოლების გარდაქმნების წარმოდგენილ ჯაჭვში?

(დიახ, მაგალითად, განტოლება არის განტოლების შედეგი, ხოლო განტოლება არის განტოლების შედეგი).

რა არის ეს განტოლებები?

(ექვივალენტი).

სცადეთ შედეგების განტოლების კონცეფციის გამოყენებით, ჩამოაყალიბოთ ეკვივალენტური განტოლებების ეკვივალენტური განმარტება.

(განტოლებები ითვლება ეკვივალენტურად, თუ თითოეული მათგანი მეორის შედეგია).

არის თუ არა სხვა თანმდევი განტოლებები განტოლების შემოთავაზებულ ამონახსნში?

(დიახ, განტოლება განტოლების შედეგია).

რა ემართება ფესვებს დან გადასვლისას?

(ორი ფესვი დაკარგულია).

რა ტრანსფორმაცია მოჰყვა ამას?

(შეცდომა პირადობის გამოყენებისას
).

განტოლების ახალი კონცეფციის გამოყენება და სიმბოლო "
”, განტოლების ამოხსნის პროცესი ასე გამოიყურება:

.

ასე რომ, მიღებული სქემა გვიჩვენებს, რომ თუ ექვივალენტური გადასვლები განხორციელდება, მაშინ მიღებული განტოლებების ფესვების სიმრავლეები არ იცვლება. მაგრამ ყოველთვის არ არის შესაძლებელი მხოლოდ ექვივალენტური გარდაქმნების გამოყენება. თუ გადასვლები არ არის ეკვივალენტური, მაშინ შესაძლებელია ორი შემთხვევა: და . პირველ შემთხვევაში, განტოლება არის განტოლების შედეგი, შედეგად მიღებული განტოლების ფესვების სიმრავლე მოიცავს მოცემული განტოლების ფესვების სიმრავლეს, აქ მიიღება უცხო ფესვები, მათი ამოჭრა შესაძლებელია შემოწმების შესრულებით. მეორე შემთხვევაში, მიღებული განტოლება, რომლის შედეგია ეს განტოლება: , რაც ნიშნავს, რომ იქნება ფესვების დაკარგვა, ასეთი გადასვლები არ უნდა განხორციელდეს. აქედან გამომდინარე, მნიშვნელოვანია იმის უზრუნველყოფა, რომ განტოლების გარდაქმნისას, ყოველი მომდევნო განტოლება იყოს წინა განტოლების შედეგი. რა უნდა იცოდეთ, რომ გარდაქმნები მხოლოდ ასეთი იყოს? ვცადოთ მისი დაყენება. დავწეროთ დავალება 1 (ის გვთავაზობს განტოლებებს; მათი ODZ ნაპოვნია განახლების ეტაპზე; თითოეული განტოლების ფესვების სიმრავლე ჩაწერილია).

ამოცანა 1. თითოეული ჯგუფის (ა, ბ) განტოლებები ეკვივალენტურია? დაასახელეთ ტრანსფორმაცია, რის შედეგადაც ჯგუფის პირველი განტოლება იცვლება მეორით.

ა)
ბ)

მივმართოთ a ჯგუფის განტოლებებს), არის თუ არა ეს განტოლებები ეკვივალენტური?

(დიახ, და ისინი ექვივალენტურია).

(ჩვენ გამოვიყენეთ პირადობა).

ანუ განტოლების ერთ ნაწილში გამოთქმა შეიცვალა იდენტურად თანაბარი გამოსახულებით. შეიცვალა თუ არა ODZ განტოლება ამ ტრანსფორმაციის დროს?

განვიხილოთ განტოლებათა ჯგუფი ბ). არის ეს განტოლებები ეკვივალენტური?

(არა, განტოლება განტოლების შედეგია).

რა ტრანსფორმაციის შედეგად მიიღეთ?

(განტოლების მარცხენა მხარე შევცვალეთ იდენტური თანაბარი გამოსახულებით).

რა დაემართა ოძის განტოლებას?

(ODZ გაფართოვდა).

ODZ-ის გაფართოების შედეგად მივიღეთ შედეგის განტოლება და უცხო ფესვი
განტოლებისთვის. ეს ნიშნავს, რომ ODZ განტოლების გაფართოებამ შეიძლება გამოიწვიოს ზედმეტი ფესვების გამოჩენა. ორივე შემთხვევისთვის ა) და ბ) ჩამოაყალიბეთ განცხადება ზოგადი ფორმით. (მოსწავლეები აყალიბებენ, მასწავლებელი ასწორებს).

(მოდით გარკვეული განტოლება
, გამოხატულება
შეცვალა იდენტური გამონათქვამი
. თუ ასეთი ტრანსფორმაცია არ ცვლის ODZ განტოლებას, მაშინ გადავდივართ ეკვივალენტურ განტოლებაზე.
. თუ ODZ ფართოვდება, მაშინ განტოლება არის განტოლების შედეგი).

ეს დებულება არის ტრანსფორმაციის თეორემა, რომელიც იწვევს ეკვივალენტურ განტოლებებს ან თანმხლებ განტოლებებს.

თეორემა 1.,
ა) ოძარ იცვლება	ბ) ODZ ფართოვდება

ჩვენ ვიღებთ ამ თეორემას მტკიცების გარეშე. შემდეგი დავალება. წარმოდგენილია სამი განტოლება და მათი ფესვები.

ამოცანა 2. არის თუ არა შემდეგი განტოლებები ეკვივალენტური? დაასახელეთ ტრანსფორმაცია, რის შედეგადაც პირველი განტოლება იცვლება მეორე განტოლებით, მესამე განტოლებით.

ქვემოთ ჩამოთვლილი განტოლებიდან რომელია ეკვივალენტური?

(მხოლოდ განტოლებები და ).

რა გარდაქმნები განხორციელდა განტოლებიდან განტოლებაზე გადასასვლელად?

(განტოლების ორივე მხარეს პირველ შემთხვევაში ჩვენ დავამატეთ
, მეორე შემთხვევაში დავამატეთ
).

ანუ თითოეულ შემთხვევაში დაემატა რაიმე ფუნქცია
. შეადარეთ განტოლებაში ფუნქციის დომენი ODZ განტოლებას.

(ფუნქცია
განსაზღვრულია ODZ განტოლებაზე).

რა განტოლება მივიღეთ განტოლების ორივე მხარეს ფუნქციის მიმატებით?

(ვიღებთ ეკვივალენტურ განტოლებას).

რა დაემართა ODZ განტოლებას ODZ განტოლებასთან შედარებით?

(ფუნქციის გამო შევიწროვდა
).

რა მიიღეთ ამ შემთხვევაში? იქნება განტოლება განტოლების ეკვივალენტური თუ - განტოლება-შედეგი განტოლებისთვის?

(არა, ორივე არა).

განტოლების გარდაქმნის ორი შემთხვევის განხილვის შემდეგ, რომლებიც წარმოდგენილია დავალება 2-ში, შეეცადეთ გამოიტანოთ დასკვნა.

(თუ განტოლების ორივე ნაწილს დავუმატებთ ამ განტოლების ODZ-ზე განსაზღვრულ ფუნქციას, მაშინ მივიღებთ მოცემულის ექვივალენტურ განტოლებას).

მართლაც, ეს განცხადება არის თეორემა.

თეორემა2. , - განსაზღვრული	ოძის განტოლებაზე

მაგრამ განტოლებების ამოხსნისას გამოვიყენეთ ფორმულირებული თეორემის მსგავსი განცხადება. როგორ ჟღერს?

(იგივე რიცხვი შეიძლება დაემატოს განტოლების ორივე მხარეს.)

ეს თვისება არის მე-2 თეორემის განსაკუთრებული შემთხვევა, როდესაც
.

ამოცანა 3. არის თუ არა შემდეგი განტოლებები ეკვივალენტური? დაასახელეთ ტრანსფორმაცია, რის შედეგადაც პირველი განტოლება იცვლება მეორე განტოლებით, მესამე განტოლებით.

მე-3 დავალების განტოლებიდან რომელია ეკვივალენტური?

(განტოლებები და ).

განტოლებიდან რა ტრანსფორმაციის შედეგად ხდება განტოლებები, ?

(განტოლების ორივე მხარე მრავლდება
და მიიღეთ განტოლება. განტოლების მისაღებად, განტოლების ორივე მხარე მრავლდება
).

რა პირობას უნდა აკმაყოფილებდეს ფუნქცია, რომ განტოლების ორივე მხარის გამრავლებით მივიღოთ ტოლი განტოლება?

(ფუნქცია უნდა განისაზღვროს განტოლების მთელ ODZ-ზე).

ასეთი გარდაქმნები განტოლებებზე ადრეც ყოფილა?

(შესრულებული, განტოლების ორივე ნაწილი გამრავლდა ნულის გარდა სხვა რიცხვზე).

ეს ნიშნავს, რომ ფუნქციაზე დაწესებული პირობა უნდა დასრულდეს.

(ფუნქცია არ უნდა გადავიდეს ნულამდე რომელიმესთვის ODZ განტოლებიდან).

ამრიგად, ჩვენ ვწერთ სიმბოლური ფორმით დებულებას, რომელიც საშუალებას გვაძლევს გადავიდეთ მოცემული განტოლებიდან ეკვივალენტზე. (მასწავლებელი მოსწავლეების კარნახით წერს მე-3 თეორემას).

თეორემა 3. - განსაზღვრულია მთელს ODZ-ში ნებისმიერი ODZ-სთვის

დავამტკიცოთ თეორემა. რას ნიშნავს, რომ ორი განტოლება ექვივალენტია?

(უნდა აჩვენოს, რომ პირველი განტოლების ყველა ფესვი არის მეორე განტოლების ფესვები და პირიქით, ანუ მეორე განტოლება არის პირველის შედეგი და პირველი განტოლება არის მეორის შედეგი).

მოდით დავამტკიცოთ, რომ ეს არის განტოლების შედეგი. დაე იყოს - განტოლების ფესვი, რას ნიშნავს?

(ში ჩანაცვლებისას ვიღებთ სწორ რიცხვობრივ ტოლობას
).

რაღაც მომენტში ფუნქცია განსაზღვრულია და არ ქრება. Რას ნიშნავს ეს?

(ნომერი
. აქედან გამომდინარე, რიცხვითი ტოლობა შეიძლება გამრავლდეს
. ჩვენ ვიღებთ სწორ რიცხვობრივ ტოლობას).

რას ნიშნავს ეს თანასწორობა?

( - განტოლების ფესვი. ამან აჩვენა, რომ განტოლება არის განტოლება-შედეგი განტოლებისთვის).

მოდით დავამტკიცოთ, რომ ეს არის განტოლების შედეგი. (მოსწავლეები მუშაობენ დამოუკიდებლად, შემდეგ დისკუსიის შემდეგ მასწავლებელი ამტკიცებს მეორე ნაწილს დაფაზე).

დავალება 4. თითოეული ჯგუფის (a, b) განტოლებები ეკვივალენტურია? დაასახელეთ ტრანსფორმაცია, რის შედეგადაც ჯგუფის პირველი განტოლება იცვლება მეორით.

ა)
ბ)

არის განტოლებები და ?

(ექვივალენტი).

რა ტრანსფორმაციის შედეგად შეიძლება მივიღოთ?

(განტოლების ორივე მხარეს ვწევთ კუბამდე).

განტოლების მარჯვენა და მარცხენა მხრიდან შეგიძლიათ აიღოთ ფუნქცია
. რომელ კომპლექტზეა განსაზღვრული ფუნქცია?
?

(ფუნქციის მნიშვნელობების სიმრავლეების საერთო ნაწილზე
და
).

აღწერეთ განტოლებათა ჯგუფი ბ) ასოს ქვეშ?

(ისინი არ არის ეკვივალენტური, შედეგად, ფუნქცია იქნა გამოყენებული განტოლებაზე
და გადავიდა განტოლებაზე, ფუნქცია განისაზღვრება ფუნქციის სიდიდეების სიმრავლის საერთო ნაწილზე
და
).

რა განსხვავებაა ა) და ბ) ჯგუფში ფუნქციების თვისებებს შორის?

(პირველ შემთხვევაში ფუნქცია მონოტონურია, მეორეში კი არა).

ჩამოვაყალიბოთ შემდეგი მტკიცება. (მასწავლებელი მოსწავლეების კარნახით წერს თეორემას).

თეორემა 4. - განისაზღვრება ფუნქციის მნიშვნელობების ნაკრების საერთო ნაწილზე და
ა) - ერთფეროვანი	ბ) - არა ერთფეროვანი

განვიხილოთ, როგორ „იმუშავებს“ ეს თეორემა შემდეგი განტოლებების ამოხსნისას.

მაგალითი. განტოლების ამოხსნა

1)
; 2)
.

რომელი ფუნქცია გამოიყენება 1 განტოლების ორივე მხარეს?

(მოდით ავწიოთ განტოლების ორივე მხარე კუბამდე, ანუ გამოვიყენოთ ფუნქცია).

(ეს ფუნქცია განისაზღვრება განტოლების მარცხენა და მარჯვენა მხარეს ფუნქციების მნიშვნელობების სიმრავლის საერთო ნაწილზე; ის მონოტონურია).

ამრიგად, ორიგინალური განტოლების ორივე მხარის კუბზე აწევით, რა განტოლებას მივიღებთ?

(ამის ექვივალენტი).

რომელი ფუნქცია გამოიყენება 2 განტოლების ორივე მხარეს)?

(მოდით ავიყვანოთ განტოლების ორივე მხარე მეოთხე ხარისხზე, ანუ გამოვიყენოთ ფუნქცია
).

ჩამოთვალეთ ამ ფუნქციის თვისებები, რომლებიც აუცილებელია მე-4 თეორემის გამოსაყენებლად.

(ეს ფუნქცია განისაზღვრება განტოლების მარცხენა და მარჯვენა მხარეს ფუნქციების მნიშვნელობების სიმრავლის საერთო ნაწილზე; ის არ არის მონოტონური).

რა განტოლებას მივიღებთ, თავდაპირველთან შედარებით, ამ განტოლების მეოთხე ხარისხზე აყვანით?

(შედეგობრივი განტოლება).

განსხვავდება თუ არა თავდაპირველი განტოლების ფესვების სიმრავლე და შედეგად მიღებული განტოლების ფესვების სიმრავლე?

(შეიძლება გაჩნდეს ზედმეტი ფესვები. ამიტომ შემოწმება აუცილებელია).

ამოხსენით ეს განტოლებები სახლში.

III . ამრეკლავი-შეფასებითი ნაწილი.

დღეს ჩვენ ერთად "აღმოვაჩინეთ" ოთხი თეორემა. კიდევ ერთხელ შეხედეთ მათ და თქვით რა განტოლებებს ამბობენ.

(ეკვივალენტურ განტოლებათა და განტოლება-შესასრულის შესახებ).

დავწეროთ გაკვეთილის თემა. დავუბრუნდეთ იმ განტოლებას, რომელიც დღევანდელი საუბრის დასაწყისში იყო განხილული. 1-4 თეორემებიდან რომელი იქნა გამოყენებული ერთი განტოლებიდან მეორეზე გადასვლისას? (მოსწავლეები მასწავლებელთან ერთად ადგენენ, თუ რომელი თეორემა მუშაობდა თითოეულ საფეხურზე, მასწავლებელი დიაგრამაზე აღნიშნავს თეორემის რაოდენობას).

T.2 T.2 T.1 T.4 T.2 T.4

რა ახალი ისწავლეთ დღევანდელ გაკვეთილზე?

(ეკვივალენტური განტოლებების ცნებები, თანმიმდევრული განტოლებები, თეორემები განტოლებათა ეკვივალენტობის შესახებ).

რა დავალება დავსვით გაკვეთილის დასაწყისში?

(აირჩიეთ გარდაქმნები, რომლებიც არ ცვლის განტოლების ფესვთა სიმრავლეს, გარდაქმნები, რომლებიც იწვევს ფესვების მიღებას და დაკარგვას).

მთლიანად მოვაგვარეთ?

პრობლემა ნაწილობრივ მოვაგვარეთ, მის შესწავლას განვაგრძობთ მომდევნო გაკვეთილებზე ახალი ტიპის განტოლებების ამოხსნისას.

ჩვენთვის ახალი ეკვივალენტური განტოლებების კონცეფციის გამოყენებით, გადააფორმეთ დავალების პირველი ნაწილი „შეარჩიეთ გარდაქმნები, რომლებიც არ ცვლის განტოლების ფესვების სიმრავლეს“.

(როგორ გავიგოთ, არის თუ არა ერთი განტოლებიდან მეორეზე გადასვლა ეკვივალენტური ტრანსფორმაცია).

რა დაეხმარება ამ კითხვაზე პასუხის გაცემას?

(თეორემები განტოლებათა ეკვივალენტობის შესახებ).

და განხორციელდა თუ არა დღეს რაიმე ტრანსფორმაცია, რომელიც იწვევს უცხო ფესვების შეძენას?

(გამოყენებით, ეს არის განტოლების ორივე ნაწილის კვადრატი; ფორმულების გამოყენება, რომელთა მარცხენა და მარჯვენა ნაწილები აზრი აქვს მათში შემავალი ასოების სხვადასხვა მნიშვნელობებს).

არის სხვა „სპეციფიკური“ მიზეზებიც, რომლებიც იწვევს განტოლების ფესვების გარეგნობასაც და დაკარგვას, ზოგიერთ მათგანზე ვისაუბრეთ. მაგრამ არის ისეთებიც, რომლებიც, როგორც წესი, დაკავშირებულია განტოლებების გარკვეულ კლასთან და ამაზე მოგვიანებით ვისაუბრებთ.

მოდით დავწეროთ საშინაო დავალება:

იცოდეს ეკვივალენტური განტოლებების განმარტებები, თანმხლები განტოლებები;

იცოდეს 1-4 თეორემების ფორმულირებები;

განახორციელოს მე-3 თეორემის მტკიცებულების ანალოგიით, 1 და 2 თეორემების მტკიცებულება;

4) No 139(4,6), 141(2) - გაარკვიეთ არის თუ არა განტოლებები ეკვივალენტური; განტოლებების ამოხსნა; .

ნოუთბუქის ჩანაწერები

ეკვივალენტური განტოლებები. განტოლება-შედეგი.

განმარტება 1.განტოლებები და ამბობენ, რომ ექვივალენტები არიან, თუ მათი ფესვების სიმრავლეები ემთხვევა.

განმარტება 2.განტოლებას ეწოდება განტოლების შედეგი, თუ განტოლების თითოეული ფესვი არის განტოლების ფესვი. შეცვალა იდენტური გამონათქვამი.

მაგალითი.განტოლების ამოხსნა

მოდით ორი განტოლება იყოს მოცემული

თუ (1) განტოლების თითოეული ფესვი ასევე არის (2) განტოლების ფესვი, მაშინ განტოლებას (2) ეწოდება (1) განტოლების შედეგი. გაითვალისწინეთ, რომ განტოლებათა ეკვივალენტობა ნიშნავს, რომ თითოეული განტოლება მეორის შედეგია.

განტოლების ამოხსნის პროცესში ხშირად საჭიროა ისეთი ტრანსფორმაციების გამოყენება, რაც იწვევს განტოლებას, რომელიც არის ორიგინალის შედეგი. შედეგების განტოლებას აკმაყოფილებს თავდაპირველი განტოლების ყველა ფესვი, მაგრამ, მათ გარდა, შედეგების განტოლებას ასევე შეიძლება ჰქონდეს ამონახსნები, რომლებიც არ არის თავდაპირველი განტოლების ფესვები, ეს არის ე.წ. უცხო ფესვების იდენტიფიცირებისთვის და მოსაშორებლად, ისინი ჩვეულებრივ აკეთებენ ამას: შედეგების განტოლების ყველა ნაპოვნი ფესვი მოწმდება თავდაპირველ განტოლებაში ჩანაცვლებით.

თუ განტოლების ამოხსნისას შევცვალეთ შედეგის განტოლებით, მაშინ ზემოაღნიშნული გადამოწმება განტოლების ამოხსნის განუყოფელი ნაწილია. მაშასადამე, მნიშვნელოვანია ვიცოდეთ, რა გარდაქმნების შედეგად მიდის ეს განტოლება დასკვნაში.

განვიხილოთ განტოლება

და გავამრავლოთ მისი ორივე ნაწილი იმავე გამოსახულებით, რაც აზრი აქვს x-ის ყველა მნიშვნელობას. ჩვენ ვიღებთ განტოლებას

რომლის ფესვებიც არის (3) განტოლების ფესვები და განტოლების ფესვები. აქედან გამომდინარე, განტოლება (4) არის (3) განტოლების შედეგი. ნათელია, რომ განტოლებები (3) და (4) ექვივალენტურია, თუ "გარე" განტოლებას ფესვები არ აქვს.

ასე რომ, თუ განტოლების ორივე ნაწილი გამრავლებულია გამოხატვით, რომელიც აზრი აქვს x-ის ნებისმიერ მნიშვნელობას, მაშინ მივიღებთ განტოლებას, რომელიც არის ორიგინალის შედეგი. შედეგად მიღებული განტოლება ორიგინალის ექვივალენტური იქნება, თუ განტოლებას ფესვები არ აქვს. გაითვალისწინეთ, რომ საპირისპირო ტრანსფორმაცია, ანუ (4) განტოლებიდან (3) განტოლებაზე გადასვლა, (4) განტოლების ორივე ნაწილის გამოსახულებით გაყოფით, როგორც წესი, მიუღებელია, რადგან ამან შეიძლება გამოიწვიოს ამონახსნების დაკარგვა. ამ შემთხვევაში, მათ შეუძლიათ "დაკარგონ" განტოლების ფესვები, მაგალითად, განტოლებას აქვს ორი ფესვი: 3 და 4. განტოლების ორივე ნაწილის გაყოფა მივყავართ განტოლებამდე, რომელსაც აქვს მხოლოდ ერთი ფესვი 4, ანუ ფესვი იყო დაკარგული.

ისევ აიღეთ განტოლება (3) და მოედანზე ორივე მხარე. ჩვენ ვიღებთ განტოლებას

რომლის ფესვები არის როგორც (3) განტოლების ფესვები, ასევე "გარე" განტოლების ფესვები, ანუ განტოლება არის (3) განტოლების შედეგი.

შეიძლება გამოიწვიოს ეგრეთ წოდებული ზედმეტი ფესვების გაჩენა. ამ სტატიაში ჩვენ პირველ რიგში დეტალურად გავაანალიზებთ რა არის უცხო ფესვები. მეორეც, მოდით ვისაუბროთ მათი წარმოშობის მიზეზებზე. და მესამე, მაგალითების გამოყენებით, განვიხილავთ გარე ფესვების ამოღების მთავარ გზებს, ანუ ფესვების შემოწმებას მათ შორის უცხოების არსებობისთვის, რათა გამოვრიცხოთ ისინი პასუხისგან.

განტოლების გარე ფესვები, განმარტება, მაგალითები

ალგებრის სასკოლო სახელმძღვანელოები არ განსაზღვრავს გარე ფესვს. იქ გარე ფესვის იდეა ყალიბდება შემდეგი სიტუაციის აღწერით: განტოლების ზოგიერთი გარდაქმნის დახმარებით ხდება თავდაპირველი განტოლებიდან შედეგის განტოლებაზე გადასვლა, მიღებული შედეგის განტოლების ფესვებია. ნაპოვნია და ნაპოვნი ფესვები შემოწმდება თავდაპირველ განტოლებაში ჩანაცვლებით, რაც გვიჩვენებს, რომ ნაპოვნი ფესვებიდან ზოგიერთი არ არის თავდაპირველი განტოლების ფესვები, ამ ფესვებს უწოდებენ გარე ფესვებს საწყისი განტოლებისთვის.

ამ საფუძვლიდან გამომდინარე, თქვენ შეგიძლიათ აიღოთ დამატებითი ფესვის შემდეგი განმარტება:

განმარტება

უცხო ფესვებიარის გარდაქმნების შედეგად მიღებული განტოლება-შედეგის ფესვები, რომლებიც არ არის საწყისი განტოლების ფესვები.

ავიღოთ მაგალითი. განვიხილოთ განტოლება და ამ განტოლების დასკვნა x·(x−1)=0, რომელიც მიღებულია გამოსახულების ჩანაცვლებით მისი იდენტურად ტოლი გამოსახულებით x·(x−1). თავდაპირველ განტოლებას აქვს ერთი ფესვი 1. გარდაქმნის შედეგად მიღებულ განტოლებას აქვს ორი ფესვი 0 და 1. ასე რომ, 0 არის უცხო ფესვი საწყისი განტოლებისთვის.

უცხო ფესვების შესაძლო გარეგნობის მიზეზები

თუ შედეგის განტოლების მისაღებად არ გამოიყენება "ეგზოტიკური" გარდაქმნები, მაგრამ გამოიყენება მხოლოდ განტოლებების ძირითადი გარდაქმნები, მაშინ უცხო ფესვები შეიძლება წარმოიშვას მხოლოდ ორი მიზეზის გამო:

• ოძ-ის გაფართოების გამო და
• რადგან განტოლების ორივე მხარე ერთსა და იმავე ლუწი სიძლიერეზეა აყვანილი.

აქვე უნდა გვახსოვდეს, რომ ODZ-ის გაფართოება განტოლების ტრანსფორმაციის შედეგად ძირითადად ხდება.

• წილადების შემცირებისას;
• პროდუქტის ერთი ან მეტი ნულოვანი ფაქტორით ნულით შეცვლისას;
• ნულის წილადით ნულის მრიცხველით ჩანაცვლებისას;
• ძალების, ფესვების, ლოგარითმების ზოგიერთი თვისების გამოყენებისას;
• ზოგიერთი ტრიგონომეტრიული ფორმულის გამოყენებისას;
• განტოლების ორივე ნაწილის გამრავლებისას ერთი და იგივე გამოსახულებით, რომელიც ქრება ODZ-ზე ამ განტოლებისთვის;
• ლოგარითმების ნიშნების ამოხსნის პროცესში გამოშვებისას.

სტატიის წინა აბზაცის მაგალითი ასახავს უცხო ფესვის გამოჩენას ODZ-ის გაფართოების გამო, რომელიც ხდება განტოლებიდან დაბოლოების განტოლებაზე გადასვლისას x·(x−1)=0 . თავდაპირველი განტოლებისთვის ODZ არის ყველა რეალური რიცხვის სიმრავლე, გარდა ნულისა, შედეგად მიღებული განტოლებისთვის ODZ არის R სიმრავლე, ანუ ODZ გაფართოვებულია ნულის რიცხვით. ეს რიცხვი საბოლოოდ აღმოჩნდება უცხო ფესვი.

ჩვენ ასევე მივცემთ მაგალითს უცხო ფესვის გამოჩენის გამო განტოლების ორივე ნაწილის იმავე ლუწი სიმძლავრემდე აწევის გამო. ირაციონალურ განტოლებას აქვს ერთი ფესვი 4 და ამ განტოლების შედეგი, რომელიც მიღებულია მისგან განტოლების ორივე ნაწილის, ანუ განტოლების კვადრატში. აქვს ორი ფესვი 1 და 4. აქედან ჩანს, რომ განტოლების ორივე მხარის კვადრატში გაყვანა გამოიწვია ორიგინალური განტოლებისთვის უცხო ფესვის გამოჩენა.

გაითვალისწინეთ, რომ ODZ-ის გაფართოება და განტოლების ორივე ნაწილის ერთსა და იმავე სიმძლავრეზე აწევა ყოველთვის არ იწვევს უცხო ფესვების გამოჩენას. მაგალითად, განტოლებიდან x=2-ზე გადასვლისას, ODZ ფართოვდება ყველა არაუარყოფითი რიცხვის სიმრავლიდან ყველა რეალური რიცხვის სიმრავლემდე, მაგრამ გარე ფესვები არ ჩნდება. 2 არის პირველი და მეორე განტოლების ერთადერთი ფესვი. ასევე, განტოლებიდან განტოლება-შედეგზე გადასვლისას არ ჩნდება უცხო ფესვები. პირველი და მეორე განტოლების ერთადერთი ფესვი არის x=16. ამიტომ ჩვენ ვსაუბრობთ არა გარე ფესვების გაჩენის მიზეზებზე, არამედ გარე ფესვების შესაძლო გაჩენის მიზეზებზე.

რა არის ზედმეტი ფესვების მოცილება?

ტერმინს „გარეგან ფესვების აღმოფხვრა“ მხოლოდ კარგად დამკვიდრებულ ტერმინად შეიძლება ეწოდოს, ის არ გვხვდება ალგებრის ყველა სახელმძღვანელოში, მაგრამ ინტუიციურია, რის გამოც ჩვეულებრივ გამოიყენება. რა იგულისხმება უცხო ფესვების ამოღებაში, ირკვევა შემდეგი ფრაზიდან: „... გადამოწმება არის სავალდებულო ნაბიჯი განტოლების ამოხსნისას, რომელიც დაგეხმარებათ აღმოაჩინოს უცხო ფესვები, ასეთის არსებობის შემთხვევაში, და გადააგდოთ ისინი (ჩვეულებრივ, ისინი ამბობენ: „გაასუფთავეთ ”)” .

ამრიგად,

განმარტება

გარე ფესვების მოცილებაარის უცხო ფესვების აღმოჩენა და უარყოფა.

ახლა თქვენ შეგიძლიათ გადახვიდეთ უცხო ფესვების მოსაშორებლად.

გარე ფესვების მოცილების მეთოდები

ჩანაცვლების შემოწმება

გარე ფესვების მოცილების მთავარი გზა არის ჩანაცვლების შემოწმება. ეს საშუალებას გაძლევთ ამოიღოთ უცხო ფესვები, რომლებიც შეიძლება წარმოიშვას როგორც ODZ-ის გაფართოების გამო, ასევე განტოლების ორივე ნაწილის ერთსა და იმავე სიმძლავრეზე ამაღლების გამო.

ჩანაცვლების შემოწმება შემდეგია: შედეგის განტოლების ნაპოვნი ფესვები თავის მხრივ შეიცვლება თავდაპირველ განტოლებაში ან მის ეკვივალენტურ განტოლებაში, ისინი, რომლებიც სწორ რიცხვობრივ ტოლობას იძლევა, არის თავდაპირველი განტოლების ფესვები, ხოლო ისინი, რომლებიც იძლევა არასწორი რიცხვითი თანასწორობა ან გამოხატულება, უაზროა ორიგინალური განტოლების უცხო ფესვები.

ჩვენ მაგალითით ვაჩვენებთ, თუ როგორ იშლება უცხო ფესვები თავდაპირველ განტოლებაში ჩანაცვლების გზით.

ზოგიერთ შემთხვევაში, გარე ფესვების ამოღება უფრო მიზანშეწონილია სხვა გზით. ეს ძირითადად ეხება იმ შემთხვევებს, როდესაც ჩანაცვლების შემოწმება დაკავშირებულია მნიშვნელოვან გამოთვლით სირთულეებთან ან როდესაც გარკვეული ტიპის განტოლებების ამოხსნის სტანდარტული გზა გულისხმობს განსხვავებულ შემოწმებას (მაგალითად, წილადი-რაციონალური განტოლებების ამოხსნისას გარე ფესვების ამოღება ხორციელდება შესაბამისად. იმ პირობით, რომ წილადის მნიშვნელი არ იყოს ნულის ტოლი). მოდით გავაანალიზოთ უცხო ფესვების ამოღების ალტერნატიული გზები.

ODZ-ის ცნობით

ჩანაცვლების შემოწმებისგან განსხვავებით, ODZ-ით უცხო ფესვების სკრინინგი ყოველთვის არ არის მიზანშეწონილი. ფაქტია, რომ ეს მეთოდი საშუალებას გაძლევთ გაფილტროთ მხოლოდ უცხო ფესვები, რომლებიც წარმოიქმნება ODZ-ის გაფართოების გამო, და ის არ იძლევა გარანტიას უცხო ფესვების აღმოფხვრას, რომელიც შეიძლება წარმოიშვას სხვა მიზეზების გამო, მაგალითად, ორივე ნაწილის ამაღლების გამო. იგივე ლუწი სიმძლავრის განტოლება. უფრო მეტიც, ყოველთვის არ არის ადვილი ამოხსნილი განტოლებისთვის ODZ-ის პოვნა. მიუხედავად ამისა, ODZ-ის მიერ გარე ფესვების ამოღების მეთოდი უნდა შენარჩუნდეს ექსპლუატაციაში, რადგან მისი გამოყენება ხშირად მოითხოვს ნაკლებ გამოთვლით სამუშაოს, ვიდრე სხვა მეთოდების გამოყენებას.

უცხო ფესვების გაცრა ODZ-ის მიხედვით ხორციელდება შემდეგნაირად: შედეგის განტოლების ყველა ნაპოვნი ფესვი შემოწმდება, რომ მიეკუთვნება ცვლადის დასაშვები მნიშვნელობების რეგიონს თავდაპირველი განტოლებისთვის ან მისი ნებისმიერი ექვივალენტური განტოლებისთვის. ეკუთვნის ODZ-ს არის საწყისი განტოლების ფესვები, ხოლო ისინი, რომლებიც არ ეკუთვნის ODZ-ს, არის ორიგინალური განტოლების უცხო ფესვები.

მოწოდებული ინფორმაციის ანალიზს მივყავართ დასკვნამდე, რომ მიზანშეწონილია უცხო ფესვების სკრინინგი ODZ-ის მიხედვით, თუ ამავე დროს:

• მარტივია ორიგინალური განტოლებისთვის ODZ-ის პოვნა,
• უცხო ფესვები შეიძლება წარმოიშვას მხოლოდ ODZ-ის გაფართოების გამო,
• ჩანაცვლების შემოწმება დაკავშირებულია მნიშვნელოვან გამოთვლით სირთულეებთან.

ჩვენ ვაჩვენებთ, თუ როგორ ხდება პრაქტიკაში უცხო ფესვების ამოღება.

ODZ-ის პირობებით

როგორც წინა აბზაცში ვთქვით, თუ უცხო ფესვები შეიძლება წარმოიშვას მხოლოდ ODZ-ის გაფართოების გამო, მაშინ მათი გაფილტვრა შესაძლებელია ODZ-ის მიხედვით თავდაპირველი განტოლებისთვის. მაგრამ ყოველთვის არ არის ადვილი ODZ-ის პოვნა რიცხვითი ნაკრების სახით. ასეთ შემთხვევებში შესაძლებელია გარე ფესვების სკრინინგი არა ODZ-ის, არამედ იმ პირობების მიხედვით, რომლებიც განსაზღვრავს ODZ-ს. მოდით განვმარტოთ, თუ როგორ ტარდება გარე ფესვების სკრინინგი ODZ-ის პირობების მიხედვით.

აღმოჩენილი ფესვები თავის მხრივ ჩანაცვლებულია იმ პირობებში, რომლებიც განსაზღვრავს ODZ-ს საწყისი განტოლებისთვის ან მისი ნებისმიერი ექვივალენტის განტოლებისთვის. ისინი, ვინც აკმაყოფილებს ყველა პირობას, არის განტოლების ფესვები. და ისინი, ვინც არ აკმაყოფილებენ მინიმუმ ერთ პირობას ან არ აძლევენ გამოხატვას, რომელსაც აზრი არ აქვს, ორიგინალური განტოლებისთვის უცხო ფესვებია.

მოდი მოვიყვანოთ უცხო ფესვების სკრინინგის მაგალითი ODZ-ის პირობების მიხედვით.

განტოლების ორივე მხარის თანაბარ სიმძლავრემდე აწევის შედეგად წარმოქმნილი უცხო ფესვების სკრინინგი

ცხადია, რომ განტოლების ორივე ნაწილის ერთსა და იმავე სიმძლავრემდე აწევის შედეგად წარმოქმნილი უცხო ფესვები შეიძლება მოხდეს თავდაპირველ განტოლებაში ან მის ექვივალენტურ განტოლებაში ჩანაცვლებით. მაგრამ ასეთი შემოწმება შეიძლება დაკავშირებული იყოს მნიშვნელოვან გამოთვლით სირთულეებთან. ამ შემთხვევაში, ღირს ვიცოდეთ უცხო ფესვების მოსაშორებლად ალტერნატიული გზა, რაზეც ახლა ვისაუბრებთ.

გარე ფესვების სკრინინგი, რომლებიც შეიძლება წარმოიშვას, როდესაც ფორმის ირაციონალური განტოლებების ორივე ნაწილი ერთსა და იმავე სიმძლავრის ტოლფასია. , სადაც n არის ლუწი რიცხვი, შეიძლება განხორციელდეს g(x)≥0 პირობის მიხედვით. ეს გამომდინარეობს ლუწი ფესვის განმარტებიდან: ლუწი ფესვი n არის არაუარყოფითი რიცხვი, რომლის n-ე ხარისხი უდრის ფესვის რიცხვს, საიდანაც . ამრიგად, გაჟღერებული მიდგომა არის ერთგვარი სიმბიოზი განტოლების ორივე ნაწილის იმავე ხარისხით ამაღლების მეთოდისა და ფესვის განსაზღვრით ირაციონალური განტოლებების ამოხსნის მეთოდისა. ანუ განტოლება , სადაც n არის ლუწი რიცხვი, იხსნება განტოლების ორივე ნაწილის იმავე ლუწი სიმძლავრეზე აწევით, ხოლო უცხო ფესვების ამოღება ხორციელდება პირობის მიხედვით g(x)≥0, რომელიც აღებულია ირაციონალური განტოლებების ამოხსნის მეთოდიდან, რათა დადგინდეს. ფესვი.

პრეზენტაციაში გავაგრძელებთ ეკვივალენტური განტოლებების, თეორემების განხილვას და უფრო დეტალურად ვისაუბრებთ ასეთი განტოლებების ამოხსნის ეტაპებზე.

პირველ რიგში, გავიხსენოთ პირობა, რომლის დროსაც ერთ-ერთი განტოლება მეორის შედეგია (სლაიდი 1). ავტორს კიდევ ერთხელ მოჰყავს რამდენიმე თეორემა ეკვივალენტურ განტოლებათა შესახებ, რომლებიც ადრე იყო განხილული: განტოლების ნაწილების იმავე სიდიდით h (x) გამრავლების შესახებ; განტოლების ნაწილების აწევა იმავე ლუწი სიმძლავრემდე; ეკვივალენტური განტოლების მიღება განტოლებიდან log a f (x) = log a g (x).

პრეზენტაციის მე-5 სლაიდზე ხაზგასმულია ძირითადი ეტაპები, რომელთა დახმარებით მოსახერხებელია ეკვივალენტური განტოლებების ამოხსნა:

იპოვნეთ ეკვივალენტური განტოლების ამონახსნები;

გადაწყვეტილებების ანალიზი;

Ჩეკი.

განვიხილოთ მაგალითი 1. აუცილებელია ვიპოვოთ განტოლების შედეგი x - 3 = 2. იპოვეთ განტოლების ფესვი x = 5. დაწერეთ ეკვივალენტური განტოლება (x - 3)(x - 6) = 2(x - 6 ), განტოლების ნაწილების (x - 6-ზე) გამრავლების მეთოდის გამოყენებით. გამოხატვის გამარტივებით x 2 - 11x +30 = 0 ფორმაში, ვპოულობთ ფესვებს x 1 = 5, x 2 = 6. x - 3 \u003d 2 განტოლების თითოეული ფესვი ასევე არის გამოსავალი x 2 - 11x +30 \u003d 0, შემდეგ x 2 - 11x +30 \u003d 0 არის შედეგის განტოლება.

მაგალითი 2. იპოვნეთ განტოლების კიდევ ერთი შედეგი x - 3 = 2. ეკვივალენტური განტოლების მისაღებად ვიყენებთ ლუწი სიმძლავრის აწევის მეთოდს. მიღებული გამონათქვამის გამარტივებით ვწერთ x 2 - 6x +5 = 0. იპოვეთ განტოლების ფესვები x 1 = 5, x 2 = 1. x \u003d 5 (განტოლების ფესვი x - 3 \u003d 2) ასევე არის განტოლების ამოხსნა x 2 - 6x +5 \u003d 0, მაშინ განტოლება x 2 - 6x +5 \u003d 0 ასევე შედეგია განტოლება.

მაგალითი 3. საჭიროა მოიძიოთ განტოლების შედეგი log 3 (x + 1) + log 3 (x + 3) = 1.

განტოლებაში ჩავანაცვლოთ 1 = log 3 3. შემდეგ მე-6 თეორემადან განცხადების გამოყენებით დავწერთ ეკვივალენტურ განტოლებას (x + 1)(x +3) = 3. გამოხატვის გამარტივებით მივიღებთ x 2 + 4x = 0, სადაც ფესვებია x 1 = 0, x 2 = - 4. ასე რომ, განტოლება x 2 + 4x = 0 არის შედეგი მოცემული განტოლებისთვის log 3 (x + 1) + log 3 (x + 3) = 1 .

ასე რომ, შეგვიძლია დავასკვნათ: თუ განტოლების განსაზღვრის დომენი გაფართოვდა, მაშინ მიიღება განტოლება-შედეგი. გამოვყოფთ სტანდარტულ მოქმედებებს განტოლება-შედეგის პოვნაში:

ცვლადის შემცველი მნიშვნელების მოშორება;

განტოლების ნაწილების აწევა იმავე ლუწი სიმძლავრემდე;

გათავისუფლება ლოგარითმული ნიშნებისგან.

მაგრამ მნიშვნელოვანია გვახსოვდეს: როდესაც ამოხსნის დროს განტოლების განსაზღვრის დომენი გაფართოვდება, აუცილებელია ყველა ნაპოვნი ფესვის შემოწმება - მოხვდება თუ არა ისინი ODZ-ში.

მაგალითი 4. ამოხსენით 12 სლაიდზე წარმოდგენილი განტოლება. ჯერ იპოვეთ ეკვივალენტური განტოლების ფესვები x 1 \u003d 5, x 2 \u003d - 2 (პირველი ეტაპი). აუცილებელია ფესვების შემოწმება (მეორე ეტაპი). ფესვების შემოწმება (მესამე ეტაპი): x 1 \u003d 5 არ მიეკუთვნება მოცემული განტოლების დასაშვებ მნიშვნელობების დიაპაზონს, ამიტომ განტოლებას აქვს მხოლოდ ერთი გამოსავალი x \u003d - 2.

მე-5 მაგალითში ეკვივალენტური განტოლების ნაპოვნი ფესვი არ შედის მოცემული განტოლების ODZ-ში. მე-6 მაგალითში, ნაპოვნი ორი ფესვიდან ერთის მნიშვნელობა არ არის განსაზღვრული, ასე რომ, ეს ფესვი არ არის საწყისი განტოლების ამოხსნა.