1. წრფივი წილადი ფუნქცია და მისი გრაფიკი

y = P(x) / Q(x) ფორმის ფუნქციას, სადაც P(x) და Q(x) მრავალწევრებია, წილადი რაციონალური ფუნქცია ეწოდება.

თქვენ ალბათ უკვე იცნობთ რაციონალური რიცხვების ცნებას. ანალოგიურად რაციონალური ფუნქციებიარის ფუნქციები, რომლებიც შეიძლება წარმოდგენილი იყოს ორი მრავალწევრის კოეფიციენტად.

თუ წილადი რაციონალური ფუნქცია არის ორი წრფივი ფუნქციის - პირველი ხარისხის მრავალწევრების კოეფიციენტი, ე.ი. ნახვის ფუნქცია

y = (ax + b) / (cx + d), მაშინ მას ეწოდება წილადი წრფივი.

გაითვალისწინეთ, რომ ფუნქციაში y = (ax + b) / (cx + d), c ≠ 0 (წინააღმდეგ შემთხვევაში ფუნქცია ხდება წრფივი y = ax/d + b/d) და რომ a/c ≠ b/d (წინააღმდეგ შემთხვევაში ფუნქცია მუდმივია). წრფივი წილადი ფუნქცია განისაზღვრება ყველა რეალური რიცხვისთვის, გარდა x = -d/c. წრფივი წილადი ფუნქციების გრაფიკები ფორმით არ განსხვავდება იმ გრაფიკისგან, რომელიც თქვენ იცით y = 1/x. მრუდი, რომელიც არის y = 1/x ფუნქციის გრაფიკი, ეწოდება ჰიპერბოლა. x-ის აბსოლუტური მნიშვნელობის შეუზღუდავი ზრდით, ფუნქცია y = 1/x განუსაზღვრელი ვადით მცირდება აბსოლუტურ მნიშვნელობაში და გრაფიკის ორივე ტოტი უახლოვდება აბსცისის ღერძს: მარჯვენა უახლოვდება ზემოდან, მარცხენა კი ქვემოდან. ჰიპერბოლის ტოტებით მიახლოებულ ხაზებს მისი ეწოდება ასიმპტოტები.

მაგალითი 1

y = (2x + 1) / (x - 3).

გამოსავალი.

ავირჩიოთ მთელი ნაწილი: (2x + 1) / (x - 3) = 2 + 7 / (x - 3).

ახლა ადვილი მისახვედრია, რომ ამ ფუნქციის გრაფიკი მიიღება y = 1/x ფუნქციის გრაფიკიდან შემდეგი გარდაქმნებით: გადაინაცვლეთ 3 ერთეული სეგმენტით მარჯვნივ, გაიჭიმეთ Oy ღერძის გასწვრივ 7-ჯერ და გადაიტანეთ 2 ერთეული სეგმენტი ზემოთ.

ნებისმიერი წილადი y = (ax + b) / (cx + d) შეიძლება ჩაიწეროს იმავე გზით, ხაზგასმით აღვნიშნოთ "მთელი ნაწილი". შესაბამისად, ყველა წრფივი-ფრაქციული ფუნქციის გრაფიკები არის ჰიპერბოლები, რომლებიც გადაადგილებულია კოორდინატთა ღერძების გასწვრივ სხვადასხვა გზით და გადაჭიმულია Oy ღერძის გასწვრივ.

რაიმე თვითნებური წრფივი-ფრაქციული ფუნქციის გრაფიკის გამოსასახად სულაც არ არის საჭირო ამ ფუნქციის განმსაზღვრელი წილადის გარდაქმნა. ვინაიდან ჩვენ ვიცით, რომ გრაფიკი არის ჰიპერბოლა, საკმარისი იქნება ვიპოვოთ ხაზები, რომლებსაც უახლოვდება მისი ტოტები - ჰიპერბოლის ასიმპტოტები x = -d/c და y = a/c.

მაგალითი 2

იპოვეთ y = (3x + 5)/(2x + 2) ფუნქციის გრაფიკის ასიმპტოტები.

გამოსავალი.

ფუნქცია არ არის განსაზღვრული, x = -1-ისთვის. აქედან გამომდინარე, ხაზი x = -1 ემსახურება როგორც ვერტიკალური ასიმპტოტი. ჰორიზონტალური ასიმპტოტის საპოვნელად, მოდით გავარკვიოთ, რას უახლოვდება y(x) ფუნქციის მნიშვნელობები, როდესაც არგუმენტი x იზრდება აბსოლუტურ მნიშვნელობაში.

ამისათვის ჩვენ ვყოფთ წილადის მრიცხველს და მნიშვნელს x-ზე:

y = (3 + 5/x) / (2 + 2/x).

როგორც x → ∞ წილადი მიდრეკილია 3/2-ისკენ. აქედან გამომდინარე, ჰორიზონტალური ასიმპტოტი არის სწორი ხაზი y = 3/2.

მაგალითი 3

დახაზეთ ფუნქცია y = (2x + 1)/(x + 1).

გამოსავალი.

ჩვენ ვირჩევთ წილადის "მთლიან ნაწილს":

(2x + 1) / (x + 1) = (2x + 2 - 1) / (x + 1) = 2(x + 1) / (x + 1) - 1/(x + 1) =

2 – 1/(x + 1).

ახლა ადვილი მისახვედრია, რომ ამ ფუნქციის გრაფიკი მიიღება y = 1/x ფუნქციის გრაფიკიდან შემდეგი გარდაქმნებით: 1 ერთეულის გადანაცვლება მარცხნივ, სიმეტრიული ჩვენება Ox-ის მიმართ და ცვლა. 2 ერთეული ინტერვალით Oy ღერძის გასწვრივ.

განმარტების დომენი D(y) = (-∞; -1)ᴗ(-1; +∞).

მნიშვნელობების დიაპაზონი E(y) = (-∞; 2)ᴗ(2; +∞).

გადაკვეთის წერტილები ღერძებით: c Oy: (0; 1); გ ოქსი: (-1/2; 0). ფუნქცია იზრდება განმარტების დომენის თითოეულ ინტერვალზე.

პასუხი: სურათი 1.

2. წილადი-რაციონალური ფუნქცია

განვიხილოთ y = P(x) / Q(x) ფორმის წილადი რაციონალური ფუნქცია, სადაც P(x) და Q(x) პირველზე მაღალი ხარისხის პოლინომებია.

ასეთი რაციონალური ფუნქციების მაგალითები:

y \u003d (x 3 - 5x + 6) / (x 7 - 6) ან y \u003d (x - 2) 2 (x + 1) / (x 2 + 3).

თუ ფუნქცია y = P(x) / Q(x) არის პირველზე მაღალი ხარისხის ორი მრავალწევრის კოეფიციენტი, მაშინ მისი გრაფიკი, როგორც წესი, უფრო რთული იქნება და ზოგჯერ შეიძლება რთული იყოს მისი ზუსტად აგება. , ყველა დეტალით. თუმცა, ხშირად საკმარისია ისეთი ტექნიკის გამოყენება, როგორიც ზემოთ უკვე შევხვდით.

წილადი იყოს სწორი (n< m). Известно, что любую несократимую рациональную дробь можно представить, и притом единственным образом, в виде суммы конечного числа элементарных дробей, вид которых определяется разложением знаменателя дроби Q(x) в произведение действительных сомножителей:

P(x) / Q(x) \u003d A 1 / (x - K 1) m1 + A 2 / (x - K 1) m1-1 + ... + A m1 / (x - K 1) + . .. +

L 1 /(x – K s) ms + L 2 /(x – K s) ms-1 + … + L ms /(x – K s) + …+

+ (B 1 x + C 1) / (x 2 +p 1 x + q 1) m1 + … + (B m1 x + C m1) / (x 2 +p 1 x + q 1) + …+

+ (M 1 x + N 1) / (x 2 + p t x + q t) m1 + ... + (M m1 x + N m1) / (x 2 + p t x + q t).

ცხადია, წილადი რაციონალური ფუნქციის გრაფიკი შეიძლება მივიღოთ, როგორც ელემენტარული წილადების გრაფიკების ჯამი.

წილადური რაციონალური ფუნქციების გამოსახვა

განვიხილოთ წილადი-რაციონალური ფუნქციის გამოსახვის რამდენიმე გზა.

მაგალითი 4

დახაზეთ ფუნქცია y = 1/x 2 .

გამოსავალი.

ჩვენ ვიყენებთ y \u003d x 2 ფუნქციის გრაფიკს გრაფიკის y \u003d 1 / x 2 გამოსაყენებლად და ვიყენებთ გრაფიკების "გაყოფის" მეთოდს.

დომენი D(y) = (-∞; 0)ᴗ(0; +∞).

მნიშვნელობების დიაპაზონი E(y) = (0; +∞).

ღერძებთან გადაკვეთის წერტილები არ არის. ფუნქცია თანაბარია. იზრდება ყველა x-ისთვის ინტერვალიდან (-∞; 0), x-ისთვის მცირდება 0-დან +∞-მდე.

პასუხი: სურათი 2.

მაგალითი 5

დახაზეთ ფუნქცია y = (x 2 - 4x + 3) / (9 - 3x).

გამოსავალი.

დომენი D(y) = (-∞; 3)ᴗ(3; +∞).

y \u003d (x 2 - 4x + 3) / (9 - 3x) \u003d (x - 3) (x - 1) / (-3 (x - 3)) \u003d - (x - 1) / 3 \ u003d -x / 3 + 1/3.

აქ გამოვიყენეთ ფაქტორინგის, შემცირების და წრფივი ფუნქციამდე შემცირების ტექნიკა.

პასუხი: სურათი 3.

მაგალითი 6

დახაზეთ ფუნქცია y \u003d (x 2 - 1) / (x 2 + 1).

გამოსავალი.

განმარტების დომენი არის D(y) = R. ვინაიდან ფუნქცია ლუწია, გრაფიკი სიმეტრიულია y-ღერძის მიმართ. შედგენის დაწყებამდე ჩვენ კვლავ გარდაქმნით გამონათქვამს მთელი რიცხვის ნაწილის ხაზგასმით:

y \u003d (x 2 - 1) / (x 2 + 1) \u003d 1 - 2 / (x 2 + 1).

გაითვალისწინეთ, რომ წილადი-რაციონალური ფუნქციის ფორმულაში მთელი ნაწილის შერჩევა ერთ-ერთი მთავარია გრაფიკების გამოსახვისას.

თუ x → ±∞, მაშინ y → 1, ე.ი. ხაზი y = 1 არის ჰორიზონტალური ასიმპტოტი.

პასუხი: სურათი 4.

მაგალითი 7

განვიხილოთ ფუნქცია y = x/(x 2 + 1) და შეეცადეთ იპოვოთ ზუსტად მისი უდიდესი მნიშვნელობა, ე.ი. ყველაზე მაღალი წერტილი გრაფიკის მარჯვენა ნახევარში. ამ გრაფიკის ზუსტად ასაგებად დღევანდელი ცოდნა საკმარისი არ არის. აშკარაა, რომ ჩვენი მრუდი ძალიან მაღლა ვერ „აძვრება“, ვინაიდან მნიშვნელი სწრაფად იწყებს მრიცხველის „გასწრებას“. ვნახოთ, შეიძლება თუ არა ფუნქციის მნიშვნელობა იყოს 1-ის ტოლი. ამისათვის თქვენ უნდა ამოხსნათ განტოლება x 2 + 1 \u003d x, x 2 - x + 1 \u003d 0. ამ განტოლებას არ აქვს რეალური ფესვები. ასე რომ, ჩვენი ვარაუდი მცდარია. ფუნქციის უდიდესი მნიშვნელობის მოსაძებნად, თქვენ უნდა გაარკვიოთ, რომელი A-სთვის ყველაზე დიდი იქნება A \u003d x / (x 2 + 1) განტოლება. შევცვალოთ საწყისი განტოლება კვადრატულით: Ax 2 - x + A \u003d 0. ამ განტოლებას აქვს ამონახსნი, როდესაც 1 - 4A 2 ≥ 0. აქედან ვპოულობთ უდიდეს მნიშვნელობას A \u003d 1/2.

პასუხი: სურათი 5, max y(x) = ½.

გაქვთ რაიმე შეკითხვები? არ იცით როგორ ააწყოთ ფუნქციების გრაფიკები?
დამრიგებლის დახმარების მისაღებად - დარეგისტრირდით.
პირველი გაკვეთილი უფასოა!

საიტი, მასალის სრული ან ნაწილობრივი კოპირებით, საჭიროა წყაროს ბმული.

შექმენით ფუნქცია

თქვენს ყურადღებას ვაქცევთ სერვისს ფუნქციების გრაფიკების ონლაინ შედგენისთვის, რომლის ყველა უფლება ეკუთვნის კომპანიას დესმოსი. გამოიყენეთ მარცხენა სვეტი ფუნქციების შესაყვანად. შეგიძლიათ შეიყვანოთ ხელით ან ვირტუალური კლავიატურის გამოყენებით ფანჯრის ბოლოში. დიაგრამის ფანჯრის გასადიდებლად, შეგიძლიათ დამალოთ მარცხენა სვეტი და ვირტუალური კლავიატურა.

ონლაინ დიაგრამების უპირატესობები

• დანერგილი ფუნქციების ვიზუალური ჩვენება
• ძალიან რთული გრაფიკების აგება
• ირიბად განსაზღვრული გრაფიკების შედგენა (მაგ. ელიფსი x^2/9+y^2/16=1)
• დიაგრამების შენახვისა და მათზე ბმულის მიღების შესაძლებლობა, რომელიც ყველასთვის ხელმისაწვდომი ხდება ინტერნეტში
• მასშტაბის კონტროლი, ხაზის ფერი
• გრაფიკების დასახვის უნარი წერტილების მიხედვით, მუდმივების გამოყენება
• ფუნქციის რამდენიმე გრაფიკის აგება ერთდროულად
• გამოსახვა პოლარულ კოორდინატებში (გამოიყენეთ r და θ(\theta))

ჩვენთან ადვილია სხვადასხვა სირთულის გრაფიკების შექმნა ონლაინ. მშენებლობა კეთდება მომენტალურად. სერვისი მოთხოვნადია ფუნქციების გადაკვეთის წერტილების მოსაძებნად, გრაფიკების ჩვენებისთვის Word დოკუმენტში მათი შემდგომი გადაცემისთვის, როგორც ილუსტრაციები პრობლემების გადასაჭრელად, ფუნქციის გრაფიკების ქცევითი მახასიათებლების გასაანალიზებლად. საიტის ამ გვერდზე ჩარტებთან მუშაობის საუკეთესო ბრაუზერი არის Google Chrome. სხვა ბრაუზერების გამოყენებისას, სწორი მუშაობა არ არის გარანტირებული.

მას შემდეგ რაც ნამდვილად გაიგებთ რა არის ფუნქცია (შეიძლება მოგიწიოთ გაკვეთილის არაერთხელ წაკითხვა), თქვენ შეძლებთ ფუნქციების პრობლემების გადაჭრას უფრო თავდაჯერებულად.

ამ გაკვეთილზე გავაანალიზებთ, თუ როგორ უნდა გადავჭრათ ფუნქციის ამოცანების ძირითადი ტიპები და ფუნქციის გრაფიკები.

როგორ მივიღოთ ფუნქციის მნიშვნელობა

განვიხილოთ დავალება. ფუნქცია მოცემულია ფორმულით "y \u003d 2x - 1"

1. გამოთვალეთ " y" როდის" x \u003d 15 "
2. იპოვეთ მნიშვნელობა " x", რომლის მნიშვნელობა " y " უდრის" −19 "-ს.

იმისათვის, რომ გამოვთვალოთ " y" ერთად" x \u003d 15" საკმარისია ჩაანაცვლოთ საჭირო რიცხვითი მნიშვნელობა ფუნქციაში "x"-ის ნაცვლად.

გამოსავლის ჩანაწერი ასე გამოიყურება:

y(15) = 2 15 - 1 = 30 - 1 = 29

იმისათვის, რომ ვიპოვოთ "x"ცნობილი" y"-ის მიხედვით", აუცილებელია ფუნქციის ფორმულაში "y"-ის ნაცვლად რიცხვითი მნიშვნელობის ჩანაცვლება.

ანუ, ახლა, პირიქით, მოძებნოთ " x"ჩვენ ვცვლით ფუნქციაში" y \u003d 2x - 1 "ნაცვლად" y ", რიცხვი" −19".

−19 = 2x − 1

ჩვენ მივიღეთ წრფივი განტოლება უცნობი „x“-ით, რომელიც ამოხსნილია წრფივი განტოლებების ამოხსნის წესების მიხედვით.

გახსოვდეს!

არ დაივიწყოთ გადაცემის წესი განტოლებებში.

განტოლების მარცხენა მხრიდან მარჯვნივ (და პირიქით) გადატანისას ასო ან რიცხვი ცვლის ნიშანს საწინააღმდეგო.

−19 = 2x − 1
0 = 2x − 1 + 19
-2x = -1 + 19
−2x = 18

როგორც წრფივი განტოლების ამოხსნისას, უცნობის საპოვნელად, ახლა ჩვენ უნდა გავამრავლოთ მარცხენა და მარჯვენა მხარეს"−1"-მდე ნიშნის შესაცვლელად.

-2x = 18 | (-1)
2x = −18

ახლა მოდით გავყოთ ორივე მარცხენა და მარჯვენა მხარე "2"-ზე, რათა ვიპოვოთ "x".

2x = 18 | (:2)
x=9

როგორ შევამოწმოთ არის თუ არა თანასწორობა ფუნქციისთვის

განვიხილოთ დავალება. ფუნქცია მოცემულია ფორმულით "f(x) = 2 − 5x".

მართალია ტოლობა "f(−2) = −18"?

იმის შესამოწმებლად, არის თუ არა თანასწორობა, თქვენ უნდა შეცვალოთ რიცხვითი მნიშვნელობა "x = −2" ფუნქციაში "f (x) \u003d 2 - 5x"და შეადარეთ რა ხდება გამოთვლებში.

Მნიშვნელოვანი!

როდესაც უარყოფით რიცხვს ჩაანაცვლებთ "x", აუცილებლად ჩასვით იგი ფრჩხილებში.

არა სათანადოდ

სწორად

გამოთვლების დახმარებით მივიღეთ „f(−2) = 12“.

ეს ნიშნავს, რომ "f(−2) = −18" ფუნქციისთვის "f(x) = 2 − 5x" არ არის სწორი ტოლობა.

როგორ შევამოწმოთ, ეკუთვნის თუ არა წერტილი ფუნქციის გრაფიკს

განვიხილოთ ფუნქცია " y \u003d x 2 −5x + 6"

საჭიროა იმის გარკვევა, ეკუთვნის თუ არა წერტილი კოორდინატებით (1; 2) ამ ფუნქციის გრაფიკს.

ამ ამოცანისთვის არ არის საჭირო მოცემული ფუნქციის შედგენა.

გახსოვდეს!

იმის დასადგენად, ეკუთვნის თუ არა წერტილი ფუნქციას, საკმარისია მისი კოორდინატები ჩავანაცვლოთ ფუნქციაში (კოორდინატი ღერძის გასწვრივ "Ox" ნაცვლად "x" და კოორდინატი ღერძის გასწვრივ "Oy" ნაცვლად "y").

Თუ შესაძლებელია ნამდვილი თანასწორობა, ასე რომ წერტილი ეკუთვნის ფუნქციას.

დავუბრუნდეთ ჩვენს ამოცანას. ჩაანაცვლეთ ფუნქციაში "y \u003d x 2 - 5x + 6" წერტილის კოორდინატები (1; 2).

ნაცვლად "x"ჩვენ ვცვლით" 1". ნაცვლად "y"შემცვლელი" 2».

2 = 1 2 − 5 1 + 6
2 = 1 − 5 + 6
2 = −4 + 6
2 = 2 (სწორი)

ჩვენ მივიღეთ სწორი ტოლობა, რაც ნიშნავს, რომ წერტილი (1; 2) კოორდინატებით მიეკუთვნება მოცემულ ფუნქციას.

ახლა შევამოწმოთ წერტილი კოორდინატებით (0; 1) . ეკუთვნის ის
ფუნქციონირებს "y \u003d x 2 - 5x + 6"?

"x"-ის ნაცვლად ჩავანაცვლოთ "0". ნაცვლად " y" შემცვლელი" 1».

1 = 0 2 − 5 0 + 6
1 = 0 − 0 + 6
1 = 6 (არასწორი)

ამ შემთხვევაში ჩვენ ვერ მივიღეთ სწორი თანასწორობა. ეს ნიშნავს, რომ წერტილი კოორდინატებით (0; 1) არ ეკუთვნის ფუნქციას "y \u003d x 2 - 5x + 6"

როგორ მივიღოთ ფუნქციის წერტილის კოორდინატები

ნებისმიერი ფუნქციის გრაფიკიდან შეგიძლიათ აიღოთ წერტილის კოორდინატები. მაშინ უნდა დარწმუნდეთ, რომ ფუნქციის ფორმულაში კოორდინატების ჩანაცვლებისას მიიღება სწორი თანასწორობა.

განვიხილოთ ფუნქცია „y(x) = −2x + 1“. წინა გაკვეთილზე უკვე შევქმენით მისი განრიგი.

მოდით ვიპოვოთ ფუნქციის გრაფიკზე " y (x) \u003d -2x + 1", რომელიც უდრის" y" x \u003d 2-ისთვის.

ამისათვის, მნიშვნელობიდან " 2"ღერძზე" Ox", დახაზეთ პერპენდიკულარული ფუნქციის გრაფიკზე. პერპენდიკულარის და ფუნქციის გრაფიკის გადაკვეთის ადგილიდან დახაზეთ კიდევ ერთი პერპენდიკულარი ღერძზე „Oy“.

შედეგად მიღებული მნიშვნელობა " −3"ღერძზე" Oy"და იქნება სასურველი მნიშვნელობა" y».

მოდით დავრწმუნდეთ, რომ სწორად ავიღეთ წერტილის კოორდინატები x = 2-ისთვის
ფუნქციაში „y(x) = −2x + 1“.

ამისათვის ჩვენ ვცვლით x \u003d 2 ფუნქციის ფორმულაში "y (x) \u003d -2x + 1". თუ პერპენდიკულარს სწორად დავხატავთ, ასევე უნდა მივიღოთ y = −3 .

y(2) = -2 2 + 1 = -4 + 1 = -3

გამოთვლისას ასევე მივიღეთ y = −3.

ეს ნიშნავს, რომ ჩვენ სწორად მივიღეთ კოორდინატები ფუნქციის გრაფიკიდან.

Მნიშვნელოვანი!

დარწმუნდით, რომ შეამოწმეთ წერტილის ყველა კოორდინატი ფუნქციის გრაფიკიდან, "x"-ის მნიშვნელობების ჩანაცვლებით ფუნქციაში.

"x" რიცხვითი მნიშვნელობის ფუნქციაში ჩანაცვლებისას, შედეგი უნდა იყოს იგივე მნიშვნელობა" y", რომელიც თქვენ მიიღეთ სქემაზე.

ფუნქციის გრაფიკიდან წერტილების კოორდინატების მიღებისას დიდია ალბათობა, რომ შეცდომა დაუშვათ, რადგან ღერძებზე პერპენდიკულარული დახაზვა შესრულებულია "თვალით".

მხოლოდ მნიშვნელობების ჩანაცვლება ფუნქციის ფორმულაში იძლევა ზუსტ შედეგებს.

ცოდნა ძირითადი ელემენტარული ფუნქციები, მათი თვისებები და გრაფიკებიარანაკლებ მნიშვნელოვანია, ვიდრე გამრავლების ცხრილის ცოდნა. ისინი ჰგვანან საძირკველს, ყველაფერი მათზეა დაფუძნებული, ყველაფერი მათგან არის აგებული და ყველაფერი მათზე მოდის.

ამ სტატიაში ჩვენ ჩამოვთვლით ყველა ძირითად ელემენტარულ ფუნქციას, ვაძლევთ მათ გრაფიკებს და ვაძლევთ მათ წარმოშობისა და მტკიცებულების გარეშე. ძირითადი ელემენტარული ფუნქციების თვისებებისქემის მიხედვით:

• ფუნქციის ქცევა განსაზღვრების დომენის საზღვრებზე, ვერტიკალური ასიმპტოტები (საჭიროების შემთხვევაში იხილეთ ფუნქციის წყვეტის წერტილების სტატიის კლასიფიკაცია);
• ლუწი და კენტი;
• ამოზნექილი (ამოზნექილი ზემოთ) და ჩაზნექილი (ამოზნექება ქვევით) ინტერვალები, დახრის წერტილები (საჭიროების შემთხვევაში იხილეთ სტატიის ფუნქცია ამოზნექილი, ამოზნექის მიმართულება, დახრის წერტილები, ამოზნექილი და დახრის პირობები);
• ირიბი და ჰორიზონტალური ასიმპტოტები;
• ფუნქციების ცალკეული წერტილები;
• ზოგიერთი ფუნქციის განსაკუთრებული თვისებები (მაგალითად, ტრიგონომეტრიული ფუნქციების ყველაზე მცირე დადებითი პერიოდი).

თუ გაინტერესებთ ან, მაშინ შეგიძლიათ გადახვიდეთ თეორიის ამ სექციებზე.

ძირითადი ელემენტარული ფუნქციებიარის: მუდმივი ფუნქცია (მუდმივი), n-ე ხარისხის ფესვი, სიმძლავრის ფუნქცია, ექსპონენციალური, ლოგარითმული ფუნქცია, ტრიგონომეტრიული და შებრუნებული ტრიგონომეტრიული ფუნქციები.

გვერდის ნავიგაცია.

მუდმივი ფუნქცია.

მუდმივი ფუნქცია მოცემულია ყველა რეალური რიცხვის სიმრავლეზე ფორმულით, სადაც C არის გარკვეული რეალური რიცხვი. მუდმივი ფუნქცია დამოუკიდებელი ცვლადის x თითოეულ რეალურ მნიშვნელობას ანიჭებს y დამოკიდებული ცვლადის იგივე მნიშვნელობას - მნიშვნელობა С. მუდმივ ფუნქციას ასევე ეწოდება მუდმივი.

მუდმივი ფუნქციის გრაფიკი არის სწორი ხაზი x ღერძის პარალელურად და გადის წერტილში კოორდინატებით (0,C). მაგალითად, ვაჩვენოთ მუდმივი ფუნქციების გრაფიკები y=5 , y=-2 და , რომლებიც ქვემოთ მოცემულ ფიგურაში შეესაბამება შავ, წითელ და ლურჯ ხაზებს შესაბამისად.

მუდმივი ფუნქციის თვისებები.

• განმარტების დომენი: ნამდვილ რიცხვთა მთელი სიმრავლე.
• მუდმივი ფუნქცია ლუწია.
• მნიშვნელობების დიაპაზონი: ნაკრები, რომელიც შედგება ერთი რიცხვი C .
• მუდმივი ფუნქცია არ არის მზარდი და არ კლებადი (ამიტომ არის მუდმივი).
• მუდმივის ამოზნექილობასა და ჩაღრმავებაზე ლაპარაკს აზრი არ აქვს.
• ასიმპტოტი არ არსებობს.
• ფუნქცია გადის კოორდინატთა სიბრტყის წერტილში (0,C).

n-ე ხარისხის ფესვი.

განვიხილოთ ძირითადი ელემენტარული ფუნქცია, რომელიც მოცემულია ფორმულით, სადაც n არის ერთზე მეტი ნატურალური რიცხვი.

n-ე ხარისხის ფესვი, n არის ლუწი რიცხვი.

დავიწყოთ n-ე ფესვის ფუნქციით ძირის მაჩვენებლის ლუწი მნიშვნელობებისთვის n .

მაგალითად, ჩვენ ვაძლევთ სურათს ფუნქციების გრაფიკების გამოსახულებით და , ისინი შეესაბამება შავ, წითელ და ლურჯ ხაზებს.

თანაბარი ხარისხის ფესვის ფუნქციების გრაფიკებს აქვთ მსგავსი ფორმა ინდიკატორის სხვა მნიშვნელობებისთვის.

n-ე ხარისხის ფესვის თვისებები ლუწ n-სთვის.

n-ე ხარისხის ფესვი, n არის კენტი რიცხვი.

n-ე ხარისხის ძირეული ფუნქცია n ფესვის კენტი მაჩვენებლით განისაზღვრება რეალური რიცხვების მთელ სიმრავლეზე. მაგალითად, წარმოგიდგენთ ფუნქციების გრაფიკებს და შავი, წითელი და ლურჯი მრუდები მათ შეესაბამება.

ფესვის მაჩვენებლის სხვა უცნაური მნიშვნელობებისთვის, ფუნქციის გრაფიკებს მსგავსი გარეგნობა ექნება.

n-ე ხარისხის ფესვის თვისებები კენტი n-სთვის.

დენის ფუნქცია.

სიმძლავრის ფუნქცია მოცემულია ფორმის ფორმულით.

განვიხილოთ სიმძლავრის ფუნქციის გრაფიკის ტიპი და სიმძლავრის ფუნქციის თვისებები მაჩვენებლის მნიშვნელობიდან გამომდინარე.

დავიწყოთ სიმძლავრის ფუნქციით a-ის მთელი მაჩვენებლით. ამ შემთხვევაში, სიმძლავრის ფუნქციების გრაფიკების ფორმა და ფუნქციების თვისებები დამოკიდებულია ლუწი ან კენტი მაჩვენებელზე, ასევე მის ნიშანზე. მაშასადამე, ჩვენ ჯერ განვიხილავთ სიმძლავრის ფუნქციებს a კენტი დადებითი მნიშვნელობებისთვის, შემდეგ ლუწი პოზიტიურებისთვის, შემდეგ კენტი უარყოფითი მაჩვენებლებისთვის და ბოლოს, ლუწი a უარყოფითისთვის.

წილადი და ირაციონალური მაჩვენებლების მქონე სიმძლავრის ფუნქციების თვისებები (ასევე ასეთი სიმძლავრის ფუნქციების გრაფიკების ტიპი) დამოკიდებულია a მაჩვენებლის მნიშვნელობაზე. ჩვენ განვიხილავთ მათ, ჯერ ერთი, როცა a არის ნულიდან ერთამდე, მეორეც, როცა a მეტია ერთზე, მესამედ, როცა a არის მინუს ერთიდან ნულამდე და მეოთხე, როცა a არის მინუს ერთზე ნაკლები.

ამ ქვეგანყოფილების დასასრულს, სისრულისთვის, ჩვენ აღვწერთ სიმძლავრის ფუნქციას ნულოვანი მაჩვენებლით.

სიმძლავრის ფუნქცია კენტი დადებითი მაჩვენებლით.

განვიხილოთ სიმძლავრის ფუნქცია კენტი დადებითი მაჩვენებლით, ანუ a=1,3,5,… .

ქვემოთ მოყვანილი სურათი გვიჩვენებს დენის ფუნქციების გრაფიკებს - შავი ხაზი, - ლურჯი ხაზი, - წითელი ხაზი, - მწვანე ხაზი. a=1-ისთვის გვაქვს ხაზოვანი ფუნქცია y=x.

კენტი დადებითი მაჩვენებლის მქონე სიმძლავრის ფუნქციის თვისებები.

დენის ფუნქცია თუნდაც დადებითი მაჩვენებლით.

განვიხილოთ სიმძლავრის ფუნქცია ლუწი დადებითი მაჩვენებლით, ანუ a=2,4,6,… .

მაგალითად, ავიღოთ დენის ფუნქციების გრაფიკები - შავი ხაზი, - ლურჯი ხაზი, - წითელი ხაზი. a=2-ისთვის გვაქვს კვადრატული ფუნქცია, რომლის გრაფიკი არის კვადრატული პარაბოლა.

სიმძლავრის ფუნქციის თვისებები ლუწი დადებითი მაჩვენებლით.

დენის ფუნქცია კენტი უარყოფითი მაჩვენებლით.

შეხედეთ ექსპონენციალური ფუნქციის გრაფიკებს ექსპონენტის კენტი უარყოფითი მნიშვნელობებისთვის, ანუ \u003d -1, -3, -5, ....

ნახატზე ნაჩვენებია ექსპონენციალური ფუნქციების გრაფიკები, როგორც მაგალითი - შავი ხაზი, - ლურჯი ხაზი, - წითელი ხაზი, - მწვანე ხაზი. a=-1-ისთვის გვაქვს უკუპროპორციულობა, რომლის გრაფიკაც არის ჰიპერბოლა.

კენტი უარყოფითი მაჩვენებლის მქონე სიმძლავრის ფუნქციის თვისებები.

დენის ფუნქცია ლუწი უარყოფითი მაჩვენებლით.

გადავიდეთ სიმძლავრის ფუნქციაზე a=-2,-4,-6,….

ნახატზე ნაჩვენებია დენის ფუნქციების გრაფიკები - შავი ხაზი, - ლურჯი ხაზი, - წითელი ხაზი.

სიმძლავრის ფუნქციის თვისებები ლუწი უარყოფითი მაჩვენებლით.

სიმძლავრის ფუნქცია რაციონალური ან ირაციონალური მაჩვენებლით, რომლის მნიშვნელობა ნულზე მეტია და ერთზე ნაკლები.

Შენიშვნა!თუ a არის დადებითი წილადი კენტი მნიშვნელით, მაშინ ზოგიერთი ავტორი მიიჩნევს, რომ ინტერვალი არის სიმძლავრის ფუნქციის დომენი. ამავე დროს, დადგენილია, რომ მაჩვენებელი a არის შეუქცევადი წილადი. ახლა მრავალი სახელმძღვანელოს ავტორები ალგებრაზე და ანალიზის საწყისებზე არ განსაზღვრავენ სიმძლავრის ფუნქციებს არგუმენტის უარყოფითი მნიშვნელობების კენტი მნიშვნელის მქონე წილადის სახით. ჩვენ დავიცავთ სწორედ ასეთ შეხედულებას, ანუ სიმრავლედ მივიჩნევთ სიმძლავრის ფუნქციების დომენებს წილადი დადებითი მაჩვენებლებით. ჩვენ მოვუწოდებთ სტუდენტებს მიიღონ თქვენი მასწავლებლის პერსპექტივა ამ დახვეწილ საკითხთან დაკავშირებით, რათა თავიდან აიცილონ უთანხმოება.

განვიხილოთ ძალაუფლების ფუნქცია რაციონალური ან ირაციონალური a მაჩვენებლით, და.

წარმოგიდგენთ დენის ფუნქციების გრაფიკებს a=11/12 (შავი ხაზი), a=5/7 (წითელი ხაზი), (ლურჯი ხაზი), a=2/5 (მწვანე ხაზი).

სიმძლავრის ფუნქცია ერთზე მეტი არამთლიანი რაციონალური ან ირაციონალური მაჩვენებლით.

განვიხილოთ ძალაუფლების ფუნქცია არამთლიანი რაციონალური ან ირაციონალური მაჩვენებლით a , და .

წარმოვადგინოთ ფორმულებით მოცემული სიმძლავრის ფუნქციების გრაფიკები (შავი, წითელი, ლურჯი და მწვანე ხაზები შესაბამისად).

>

a მაჩვენებლის სხვა მნიშვნელობებისთვის, ფუნქციის გრაფიკებს მსგავსი სახე ექნება.

დენის ფუნქციის თვისებები .

სიმძლავრის ფუნქცია რეალური მაჩვენებლით, რომელიც მეტია მინუს ერთზე და ნაკლები ნულზე.

Შენიშვნა!თუ a არის უარყოფითი წილადი კენტი მნიშვნელით, მაშინ ზოგიერთი ავტორი ითვალისწინებს ინტერვალს . ამავე დროს, დადგენილია, რომ მაჩვენებელი a არის შეუქცევადი წილადი. ახლა მრავალი სახელმძღვანელოს ავტორები ალგებრაზე და ანალიზის საწყისებზე არ განსაზღვრავენ სიმძლავრის ფუნქციებს არგუმენტის უარყოფითი მნიშვნელობების კენტი მნიშვნელის მქონე წილადის სახით. ჩვენ დავემორჩილებით სწორედ ასეთ შეხედულებას, ანუ სიმრავლედ მივიჩნევთ წილადის წილადი უარყოფითი მაჩვენებლების მქონე სიმძლავრის ფუნქციების დომენებს, შესაბამისად. ჩვენ მოვუწოდებთ სტუდენტებს მიიღონ თქვენი მასწავლებლის პერსპექტივა ამ დახვეწილ საკითხთან დაკავშირებით, რათა თავიდან აიცილონ უთანხმოება.

გადავდივართ დენის ფუნქციაზე , სადაც .

იმისათვის, რომ კარგი წარმოდგენა გქონდეთ ძალაუფლების ფუნქციების გრაფიკების ტიპზე, ჩვენ ვაძლევთ ფუნქციების გრაფიკების მაგალითებს (შავი, წითელი, ლურჯი და მწვანე მოსახვევები, შესაბამისად).

სიმძლავრის ფუნქციის თვისებები a , მაჩვენებლით.

სიმძლავრის ფუნქცია არა მთელი რიცხვის რეალური მაჩვენებლით, რომელიც მინუს ერთზე ნაკლებია.

მოდით მოვიყვანოთ სიმძლავრის ფუნქციების გრაფიკების მაგალითები , ისინი გამოსახულია შესაბამისად შავი, წითელი, ლურჯი და მწვანე ხაზებით.

სიმძლავრის ფუნქციის თვისებები მინუს ერთზე ნაკლები არამთლიანი უარყოფითი მაჩვენებლით.

როდესაც a=0 გვაქვს ფუნქცია - ეს არის სწორი ხაზი, საიდანაც წერტილი (0; 1) გამორიცხულია (გამოხატვა 0 0 შეთანხმებული იყო, რომ არ მიენიჭოს რაიმე მნიშვნელობა).

ექსპონენციალური ფუნქცია.

ერთ-ერთი ძირითადი ელემენტარული ფუნქციაა ექსპონენციალური ფუნქცია.

ექსპონენციალური ფუნქციის გრაფიკი, სადაც და იღებს სხვადასხვა ფორმას a ფუძის მნიშვნელობიდან გამომდინარე. მოდი გავარკვიოთ.

პირველ რიგში, განვიხილოთ შემთხვევა, როდესაც ექსპონენციალური ფუნქციის საფუძველი იღებს მნიშვნელობას ნულიდან ერთამდე, ანუ .

მაგალითად, წარმოგიდგენთ ექსპონენციალური ფუნქციის გრაფიკებს a = 1/2 - ლურჯი ხაზი, a = 5/6 - წითელი ხაზი. ექსპონენციალური ფუნქციის გრაფიკებს მსგავსი გარეგნობა აქვთ ბაზის სხვა მნიშვნელობებისთვის ინტერვალიდან.

ექსპონენციალური ფუნქციის თვისებები ერთზე ნაკლები ფუძით.

ჩვენ მივმართავთ შემთხვევას, როდესაც ექსპონენციალური ფუნქციის საფუძველი ერთზე მეტია, ანუ .

ილუსტრაციისთვის წარმოგიდგენთ ექსპონენციალური ფუნქციების გრაფიკებს - ლურჯი ხაზი და წითელი ხაზი. ბაზის სხვა მნიშვნელობებისთვის, ერთზე მეტი, ექსპონენციალური ფუნქციის გრაფიკებს ექნებათ მსგავსი გარეგნობა.

ერთზე მეტი ფუძის მქონე ექსპონენციალური ფუნქციის თვისებები.

ლოგარითმული ფუნქცია.

შემდეგი ძირითადი ელემენტარული ფუნქცია არის ლოგარითმული ფუნქცია, სადაც, . ლოგარითმული ფუნქცია განისაზღვრება მხოლოდ არგუმენტის დადებითი მნიშვნელობებისთვის, ანუ .

ლოგარითმული ფუნქციის გრაფიკი განსხვავებულ ფორმას იღებს a ფუძის მნიშვნელობიდან გამომდინარე.

დავიწყოთ იმ შემთხვევით, როდესაც .

მაგალითად, წარმოგიდგენთ ლოგარითმული ფუნქციის გრაფიკებს a = 1/2 - ლურჯი ხაზისთვის, a = 5/6 - წითელი ხაზისთვის. ბაზის სხვა მნიშვნელობებისთვის, რომლებიც არ აღემატება ერთს, ლოგარითმული ფუნქციის გრაფიკებს ექნებათ მსგავსი გარეგნობა.

ერთზე ნაკლები ფუძის მქონე ლოგარითმული ფუნქციის თვისებები.

გადავიდეთ შემთხვევაზე, როდესაც ლოგარითმული ფუნქციის საფუძველი ერთზე მეტია ().

ვაჩვენოთ ლოგარითმული ფუნქციების გრაფიკები - ლურჯი ხაზი, - წითელი ხაზი. ბაზის სხვა მნიშვნელობებისთვის, ერთზე მეტი, ლოგარითმული ფუნქციის გრაფიკებს ექნებათ მსგავსი გარეგნობა.

ერთზე მეტი ფუძის მქონე ლოგარითმული ფუნქციის თვისებები.

ტრიგონომეტრიული ფუნქციები, მათი თვისებები და გრაფიკები.

ყველა ტრიგონომეტრიული ფუნქცია (სინუსი, კოსინუსი, ტანგენსი და კოტანგენსი) არის ძირითადი ელემენტარული ფუნქცია. ახლა განვიხილავთ მათ გრაფიკებს და ჩამოვთვლით მათ თვისებებს.

ტრიგონომეტრიულ ფუნქციებს აქვთ კონცეფცია პერიოდულობა(ფუნქციის მნიშვნელობების განმეორება არგუმენტის სხვადასხვა მნიშვნელობებისთვის, რომლებიც ერთმანეთისგან განსხვავდება პერიოდის მნიშვნელობით , სადაც T არის პერიოდი), შესაბამისად, ერთეული დაემატა ტრიგონომეტრიული ფუნქციების თვისებების სიას "ყველაზე პატარა დადებითი პერიოდი". ასევე, თითოეული ტრიგონომეტრიული ფუნქციისთვის ჩვენ მივუთითებთ არგუმენტის მნიშვნელობებს, რომლებზეც შესაბამისი ფუნქცია ქრება.

ახლა მოდით გაუმკლავდეთ ყველა ტრიგონომეტრიულ ფუნქციას თანმიმდევრობით.

სინუსური ფუნქცია y = sin(x) .

დავხატოთ სინუსური ფუნქციის გრაფიკი, მას „სინუსოიდი“ ეწოდება.

სინუსური ფუნქციის თვისებები y = sinx.

კოსინუს ფუნქცია y = cos(x) .

კოსინუსის ფუნქციის გრაფიკი (მას "კოსინუსი" ეწოდება) ასე გამოიყურება:

კოსინუსური ფუნქციის თვისებები y = cosx.

ტანგენტის ფუნქცია y = tg(x) .

ტანგენტის ფუნქციის გრაფიკი (მას "ტანგენტოიდი" ეწოდება) ასე გამოიყურება:

ფუნქციის თვისებები tangent y = tgx.

კოტანგენსი ფუნქცია y = ctg(x) .

მოდით დავხატოთ კოტანგენტური ფუნქციის გრაფიკი (მას "კოტანგენტოიდი" ეწოდება):

კოტანგენტური ფუნქციის თვისებები y = ctgx.

შებრუნებული ტრიგონომეტრიული ფუნქციები, მათი თვისებები და გრაფიკები.

შებრუნებული ტრიგონომეტრიული ფუნქციები (არქსინი, არკოზინი, არქტანგენსი და რკოტანგენსი) ძირითადი ელემენტარული ფუნქციებია. ხშირად, პრეფიქსის „რკალის“ გამო, შებრუნებულ ტრიგონომეტრიულ ფუნქციებს რკალის ფუნქციებს უწოდებენ. ახლა განვიხილავთ მათ გრაფიკებს და ჩამოვთვლით მათ თვისებებს.

Arcsine ფუნქცია y = arcsin(x) .

მოდით გამოვსახოთ რკალის ფუნქცია:

ფუნქციის თვისებები arccotangent y = arcctg(x) .

ბიბლიოგრაფია.

• კოლმოგოროვი A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. ალგებრა და ანალიზის დასაწყისი: პროკ. 10-11 უჯრედისთვის. საგანმანათლებო ინსტიტუტები.
• ვიგოდსკი M.Ya. დაწყებითი მათემატიკის სახელმძღვანელო.
• ნოვოსელოვი ს.ი. ალგებრა და ელემენტარული ფუნქციები.
• თუმანოვი ს.ი. ელემენტარული ალგებრა. გზამკვლევი თვითგანათლებისთვის.

მოდი ვნახოთ, როგორ გამოვიკვლიოთ ფუნქცია გრაფიკის გამოყენებით. გამოდის, რომ გრაფიკის დათვალიერებისას შეგიძლიათ გაიგოთ ყველაფერი, რაც გვაინტერესებს, კერძოდ:

• ფუნქციის ფარგლები
• ფუნქციის დიაპაზონი
• ფუნქცია ნულები
• ზრდისა და შემცირების პერიოდები
• მაღალი და დაბალი წერტილები
• ფუნქციის უდიდესი და უმცირესი მნიშვნელობა ინტერვალზე.

მოდით დავაზუსტოთ ტერმინოლოგია:

აბსციზაარის წერტილის ჰორიზონტალური კოორდინატი.
ორდინატი- ვერტიკალური კოორდინატი.
აბსცისი- ჰორიზონტალური ღერძი, რომელსაც ყველაზე ხშირად უწოდებენ ღერძს.
Y-ღერძი- ვერტიკალური ღერძი, ან ღერძი.

არგუმენტიარის დამოუკიდებელი ცვლადი, რომელზედაც დამოკიდებულია ფუნქციის მნიშვნელობები. ყველაზე ხშირად მითითებულია.
სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ჩვენ თვითონ ვირჩევთ, ჩავნაცვლებთ ფუნქციის ფორმულაში და ვიღებთ.

დომენიფუნქციები - არგუმენტის იმ (და მხოლოდ იმ) მნიშვნელობების ნაკრები, რომლისთვისაც არსებობს ფუნქცია.
აღინიშნება: ან .

ჩვენს ფიგურაში ფუნქციის დომენი არის სეგმენტი. სწორედ ამ სეგმენტზეა დახატული ფუნქციის გრაფიკი. მხოლოდ აქ არის ეს ფუნქცია.

ფუნქციის დიაპაზონიარის მნიშვნელობების ნაკრები, რომელსაც იღებს ცვლადი. ჩვენს ფიგურაში ეს არის სეგმენტი - ყველაზე დაბალიდან უმაღლეს მნიშვნელობამდე.

ფუნქცია ნულები- წერტილები, სადაც ფუნქციის მნიშვნელობა ნულის ტოლია, ე.ი. ჩვენს ფიგურაში ეს არის პუნქტები და .

ფუნქციის მნიშვნელობები დადებითიასად . ჩვენს ფიგურაში ეს არის ინტერვალები და .
ფუნქციის მნიშვნელობები უარყოფითიასად . ჩვენ გვაქვს ეს ინტერვალი (ან ინტერვალი) დან.

ყველაზე მნიშვნელოვანი ცნებები - მზარდი და შემცირების ფუნქციარაღაც კომპლექტზე. როგორც ნაკრები, შეგიძლიათ აიღოთ სეგმენტი, ინტერვალი, ინტერვალების გაერთიანება ან მთელი რიცხვითი ხაზი.

ფუნქცია იზრდება

სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, რაც უფრო მეტი, მით მეტი, ანუ გრაფიკი მიდის მარჯვნივ და ზემოთ.

ფუნქცია მცირდებასიმრავლეზე თუ რომელიმესთვის და სიმრავლის კუთვნილება უტოლობა გულისხმობს უტოლობას.

კლებადი ფუნქციისთვის, უფრო დიდი მნიშვნელობა შეესაბამება უფრო მცირე მნიშვნელობას. გრაფიკი მიდის მარჯვნივ და ქვევით.

ჩვენს ფიგურაში ფუნქცია იზრდება ინტერვალზე და მცირდება ინტერვალებზე და .

მოდით განვსაზღვროთ რა არის ფუნქციის მაქსიმალური და მინიმალური ქულები.

მაქსიმალური ქულა- ეს არის განმარტების დომენის შიდა წერტილი, ისეთი, რომ მასში ფუნქციის მნიშვნელობა მეტია, ვიდრე მასთან საკმარისად ახლოს ყველა წერტილში.
სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, მაქსიმალური წერტილი არის ისეთი წერტილი, ფუნქციის მნიშვნელობა, რომელშიც მეტივიდრე მეზობელებში. ეს არის ადგილობრივი "გორაკი" გრაფიკზე.

ჩვენს ფიგურაში - მაქსიმალური ქულა.

დაბალი წერტილი- განმარტების დომენის შიდა წერტილი, ისეთი, რომ მასში ფუნქციის მნიშვნელობა ნაკლებია, ვიდრე მასთან საკმარისად ახლოს ყველა წერტილში.
ანუ მინიმალური წერტილი ისეთია, რომ მასში ფუნქციის მნიშვნელობა ნაკლებია, ვიდრე მეზობელებში. გრაფიკზე, ეს არის ადგილობრივი "ხვრელი".

ჩვენს ფიგურაში - მინიმალური ქულა.

წერტილი არის საზღვარი. ის არ არის განმარტების დომენის შიდა წერტილი და, შესაბამისად, არ შეესაბამება მაქსიმალური წერტილის განსაზღვრას. ბოლოს და ბოლოს, მას მეზობლები არ ჰყავს მარცხენა მხარეს. ანალოგიურად, არ შეიძლება იყოს მინიმალური წერტილი ჩვენს გრაფიკზე.

მაქსიმალური და მინიმალური ქულები იწოდება ერთობლივად ფუნქციის უკიდურესი წერტილები. ჩვენს შემთხვევაში ეს არის და .

მაგრამ რა მოხდება, თუ თქვენ უნდა იპოვოთ, მაგალითად, ფუნქციის მინიმუმიჭრილზე? ამ შემთხვევაში პასუხი ასეთია: რადგან ფუნქციის მინიმუმიარის მისი მნიშვნელობა მინიმალურ წერტილში.

ანალოგიურად, ჩვენი ფუნქციის მაქსიმალური არის . ის მიღწეულია წერტილში.

შეგვიძლია ვთქვათ, რომ ფუნქციის უკიდურესობები ტოლია და .

ზოგჯერ ამოცანებში უნდა იპოვოთ ფუნქციის უდიდესი და უმცირესი მნიშვნელობებიმოცემულ სეგმენტზე. ისინი სულაც არ ემთხვევა უკიდურესობებს.

ჩვენს შემთხვევაში ფუნქციის უმცირესი მნიშვნელობაინტერვალზე ტოლია და ემთხვევა ფუნქციის მინიმუმს. მაგრამ მისი უდიდესი მნიშვნელობა ამ სეგმენტზე უდრის . იგი მიიღწევა სეგმენტის მარცხენა ბოლოში.

ნებისმიერ შემთხვევაში, სეგმენტზე უწყვეტი ფუნქციის უდიდესი და უმცირესი მნიშვნელობები მიიღწევა ან უკიდურეს წერტილებში ან სეგმენტის ბოლოებში.