თანამედროვე საზოგადოებაში, კვადრატული ცვლადის შემცველი განტოლებით მუშაობის უნარი შეიძლება სასარგებლო იყოს საქმიანობის მრავალ სფეროში და ფართოდ გამოიყენება პრაქტიკაში სამეცნიერო და ტექნიკურ განვითარებაში. ამის დასტურია საზღვაო და მდინარის გემების, თვითმფრინავების და რაკეტების დიზაინი. ასეთი გამოთვლების დახმარებით დგინდება სხვადასხვა სხეულების, მათ შორის კოსმოსური ობიექტების მოძრაობის ტრაექტორიები. კვადრატული განტოლებების ამოხსნის მაგალითები გამოიყენება არა მხოლოდ ეკონომიკურ პროგნოზირებაში, შენობების დიზაინსა და მშენებლობაში, არამედ ყველაზე ჩვეულებრივ ყოველდღიურ გარემოებებში. ისინი შეიძლება დაგჭირდეთ კემპინგის დროს, სპორტულ ღონისძიებებზე, მაღაზიებში საყიდლების დროს და სხვა ძალიან გავრცელებულ სიტუაციებში.

მოდით დავყოთ გამოხატულება კომპონენტ ფაქტორებად

განტოლების ხარისხი განისაზღვრება ცვლადის ხარისხის მაქსიმალური მნიშვნელობით, რომელსაც შეიცავს მოცემული გამოხატულება. თუ ის უდრის 2-ს, მაშინ ასეთ განტოლებას კვადრატული განტოლება ეწოდება.

თუ ჩვენ ვსაუბრობთ ფორმულების ენაზე, მაშინ ეს გამონათქვამები, როგორიც არ უნდა გამოიყურებოდეს, ყოველთვის შეიძლება მივიტანოთ იმ ფორმამდე, როდესაც გამოხატვის მარცხენა მხარე შედგება სამი ტერმინისგან. მათ შორის: ax 2 (ანუ ცვლადი კვადრატში მისი კოეფიციენტით), bx (უცნობი კვადრატის გარეშე თავისი კოეფიციენტით) და c (თავისუფალი კომპონენტი, ანუ ჩვეულებრივი რიცხვი). ეს ყველაფერი მარჯვენა მხარეს უდრის 0-ს. იმ შემთხვევაში, როდესაც ასეთ მრავალწევრს არ აქვს მისი შემადგენელი წევრი, გარდა ცულისა 2-ისა, მას არასრული კვადრატული განტოლება ეწოდება. უპირველეს ყოვლისა, გასათვალისწინებელია ისეთი პრობლემების გადაჭრის მაგალითები, რომლებშიც ცვლადების მნიშვნელობის პოვნა რთული არ არის.

თუ გამონათქვამს ჰგავს ორი ტერმინი გამოხატვის მარჯვენა მხარეს, უფრო ზუსტად ax 2 და bx, ყველაზე ადვილია x-ის პოვნა ცვლადის ფრჩხილებით. ახლა ჩვენი განტოლება ასე გამოიყურება: x(ax+b). გარდა ამისა, აშკარა ხდება, რომ ან x=0, ან პრობლემა მცირდება ცვლადის პოვნამდე შემდეგი გამოსახულებიდან: ax+b=0. ამას ნაკარნახევია გამრავლების ერთ-ერთი თვისება. წესი ამბობს, რომ ორი ფაქტორის ნამრავლი იძლევა 0-ს მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ ერთი მათგანი ნულის ტოლია.

მაგალითი

x=0 ან 8x - 3 = 0

შედეგად ვიღებთ განტოლების ორ ფესვს: 0 და 0.375.

ამ ტიპის განტოლებებს შეუძლია აღწეროს სხეულების მოძრაობა გრავიტაციის მოქმედების ქვეშ, რომლებმაც დაიწყეს მოძრაობა გარკვეული წერტილიდან, როგორც საწყისი. აქ მათემატიკური აღნიშვნა იღებს შემდეგ ფორმას: y = v 0 t + gt 2 /2. საჭირო მნიშვნელობების შეცვლით, მარჯვენა მხარის 0-ზე გათანაბრების და შესაძლო უცნობის პოვნის საშუალებით, შეგიძლიათ გაიგოთ გასული დრო სხეულის ამაღლებიდან დაცემის მომენტამდე, ისევე როგორც მრავალი სხვა სიდიდე. მაგრამ ამაზე მოგვიანებით ვისაუბრებთ.

გამოხატვის ფაქტორინგი

ზემოთ აღწერილი წესი შესაძლებელს ხდის ამ პრობლემების გადაჭრას უფრო რთულ შემთხვევებში. განვიხილოთ მაგალითები ამ ტიპის კვადრატული განტოლებების ამოხსნით.

X2 - 33x + 200 = 0

ეს კვადრატული ტრინომიალი დასრულებულია. პირველ რიგში, ჩვენ ვაქცევთ გამონათქვამს და ვშლით მას ფაქტორებად. ორი მათგანია: (x-8) და (x-25) = 0. შედეგად, გვაქვს ორი ფესვი 8 და 25.

მე-9 კლასში კვადრატული განტოლებების ამოხსნის მაგალითები საშუალებას აძლევს ამ მეთოდს იპოვოთ ცვლადი არა მხოლოდ მეორე, არამედ მესამე და მეოთხე რიგის გამოსახულებებშიც კი.

მაგალითად: 2x 3 + 2x 2 - 18x - 18 = 0. მარჯვენა მხარის ფაქტორებად ცვლადის ფაქტორებად დაყოფისას სამი მათგანია, ანუ (x + 1), (x-3) და (x + 3).

შედეგად, აშკარა ხდება, რომ ამ განტოლებას სამი ფესვი აქვს: -3; - ერთი; 3.

კვადრატული ფესვის ამოღება

არასრული მეორე რიგის განტოლების კიდევ ერთი შემთხვევაა ასოების ენაზე დაწერილი გამოხატულება ისე, რომ მარჯვენა მხარე აგებულია ax 2 და c კომპონენტებისგან. აქ ცვლადის მნიშვნელობის მისაღებად თავისუფალი ტერმინი გადადის მარჯვენა მხარეს და ამის შემდეგ კვადრატული ფესვი ამოღებულია ტოლობის ორივე მხრიდან. უნდა აღინიშნოს, რომ ამ შემთხვევაში, ჩვეულებრივ, განტოლების ორი ფესვია. ერთადერთი გამონაკლისი არის ტოლობები, რომლებიც საერთოდ არ შეიცავს c ტერმინს, სადაც ცვლადი ნულის ტოლია, ასევე გამონათქვამების ვარიანტები, როდესაც მარჯვენა მხარე უარყოფითი აღმოჩნდება. ამ უკანასკნელ შემთხვევაში, გადაწყვეტილებები საერთოდ არ არსებობს, რადგან ზემოაღნიშნული მოქმედებები ფესვებით შეუძლებელია. გასათვალისწინებელია ამ ტიპის კვადრატული განტოლებების ამონახსნების მაგალითები.

ამ შემთხვევაში, განტოლების ფესვები იქნება რიცხვები -4 და 4.

მიწის ფართობის გაანგარიშება

ამ სახის გამოთვლების საჭიროება გაჩნდა ძველ დროში, რადგან მათემატიკის განვითარება იმ შორეულ დროში დიდწილად განპირობებული იყო მიწის ნაკვეთების ფართობისა და პერიმეტრის უდიდესი სიზუსტით განსაზღვრის აუცილებლობით.

ასევე უნდა განვიხილოთ მაგალითები ამ ტიპის ამოცანების საფუძველზე შედგენილი კვადრატული განტოლებების ამოხსნით.

ასე ვთქვათ, არის მართკუთხა მიწის ნაკვეთი, რომლის სიგრძე სიგანეზე 16 მეტრით მეტია. თქვენ უნდა იპოვოთ ადგილის სიგრძე, სიგანე და პერიმეტრი, თუ ცნობილია, რომ მისი ფართობია 612 მ 2.

საქმეს რომ შევეშვათ, თავდაპირველად გავაკეთებთ საჭირო განტოლებას. მონაკვეთის სიგანე ავღნიშნოთ x-ით, მაშინ მისი სიგრძე იქნება (x + 16). დაწერილიდან გამომდინარეობს, რომ ფართობი განისაზღვრება x გამოსახულებით (x + 16), რომელიც ჩვენი ამოცანის პირობის მიხედვით არის 612. ეს ნიშნავს, რომ x (x + 16) \u003d 612.

სრული კვადრატული განტოლებების ამოხსნა და ეს გამოთქმა სწორედ ასეთია, არ შეიძლება გაკეთდეს იმავე გზით. რატომ? მიუხედავად იმისა, რომ მისი მარცხენა მხარე კვლავ შეიცავს ორ ფაქტორს, მათი ნამრავლი საერთოდ არ არის 0, ამიტომ აქ სხვა მეთოდები გამოიყენება.

დისკრიმინანტი

უპირველეს ყოვლისა, ჩვენ გავაკეთებთ აუცილებელ გარდაქმნებს, შემდეგ ამ გამონათქვამის გარეგნობა ასე გამოიყურება: x 2 + 16x - 612 = 0. ეს ნიშნავს, რომ ჩვენ მივიღეთ გამოხატვა ადრე მითითებული სტანდარტის შესაბამისი ფორმით, სადაც a=1, b=16, c= -612.

ეს შეიძლება იყოს კვადრატული განტოლებების ამოხსნის მაგალითი დისკრიმინანტის საშუალებით. აქ საჭირო გამოთვლები კეთდება სქემის მიხედვით: D = b 2 - 4ac. ეს დამხმარე მნიშვნელობა არა მხოლოდ შესაძლებელს ხდის მეორე რიგის განტოლებაში სასურველი მნიშვნელობების პოვნას, ის განსაზღვრავს შესაძლო ვარიანტების რაოდენობას. D>0 შემთხვევაში ორი მათგანია; D=0-სთვის არის ერთი ფესვი. იმ შემთხვევაში, თუ დ<0, никаких шансов для решения у уравнения вообще не имеется.

ფესვებისა და მათი ფორმულის შესახებ

ჩვენს შემთხვევაში, დისკრიმინანტი არის: 256 - 4(-612) = 2704. ეს მიუთითებს იმაზე, რომ ჩვენს პრობლემას აქვს პასუხი. თუ იცით, კვადრატული განტოლებების ამოხსნა უნდა გაგრძელდეს ქვემოთ მოცემული ფორმულის გამოყენებით. ეს საშუალებას გაძლევთ გამოთვალოთ ფესვები.

ეს ნიშნავს, რომ წარმოდგენილ შემთხვევაში: x 1 =18, x 2 =-34. ამ დილემაში მეორე ვარიანტი არ შეიძლება იყოს გამოსავალი, რადგან მიწის ნაკვეთის ზომა არ შეიძლება გაიზომოს უარყოფით მნიშვნელობებში, რაც ნიშნავს, რომ x (ანუ ნაკვეთის სიგანე) არის 18 მ. აქედან ვიანგარიშებთ სიგრძეს: 18+16=34 და პერიმეტრი 2(34+18) = 104 (მ 2).

მაგალითები და ამოცანები

ვაგრძელებთ კვადრატული განტოლებების შესწავლას. ქვემოთ მოცემულია რამდენიმე მათგანის მაგალითები და დეტალური გადაწყვეტა.

1) 15x2 + 20x + 5 = 12x2 + 27x + 1

გადავიტანოთ ყველაფერი ტოლობის მარცხენა მხარეს, გავაკეთოთ ტრანსფორმაცია, ანუ მივიღოთ განტოლების ფორმა, რომელსაც ჩვეულებრივ სტანდარტულს უწოდებენ და გავუტოლოთ ნულს.

15x 2 + 20x + 5 - 12x 2 - 27x - 1 = 0

მსგავსების დამატების შემდეგ, ჩვენ განვსაზღვრავთ დისკრიმინანტს: D \u003d 49 - 48 \u003d 1. ასე რომ, ჩვენს განტოლებას ექნება ორი ფესვი. ჩვენ მათ ვიანგარიშებთ ზემოაღნიშნული ფორმულის მიხედვით, რაც ნიშნავს, რომ პირველი მათგანი ტოლი იქნება 4/3-ის, ხოლო მეორე 1-ის.

2) ახლა ჩვენ გამოვავლენთ სხვადასხვა სახის გამოცანებს.

მოდით გავარკვიოთ არის თუ არა აქ ფესვები x 2 - 4x + 5 = 1 საერთოდ? ამომწურავი პასუხის მისაღებად პოლინომი მივყავართ შესაბამის ნაცნობ ფორმამდე და გამოვთვლით დისკრიმინანტს. ამ მაგალითში არ არის აუცილებელი კვადრატული განტოლების ამოხსნა, რადგან პრობლემის არსი ამაში სულაც არ არის. ამ შემთხვევაში, D \u003d 16 - 20 \u003d -4, რაც ნიშნავს, რომ ფესვები ნამდვილად არ არის.

ვიეტას თეორემა

მოსახერხებელია კვადრატული განტოლებების ამოხსნა ზემოაღნიშნული ფორმულებისა და დისკრიმინანტის მეშვეობით, როდესაც ამ უკანასკნელის მნიშვნელობიდან ამოღებულია კვადრატული ფესვი. მაგრამ ეს ყოველთვის არ ხდება. თუმცა, ამ შემთხვევაში ცვლადების მნიშვნელობების მისაღებად მრავალი გზა არსებობს. მაგალითი: კვადრატული განტოლებების ამოხსნა ვიეტას თეორემის გამოყენებით. მას ეწოდა ადამიანის სახელი, რომელიც მე-16 საუკუნის საფრანგეთში ცხოვრობდა და ბრწყინვალე კარიერა ჰქონდა თავისი მათემატიკური ნიჭის და სასამართლოში კავშირების წყალობით. მისი პორტრეტი შეგიძლიათ იხილოთ სტატიაში.

ნიმუში, რომელიც ცნობილმა ფრანგმა შენიშნა, ასეთი იყო. მან დაამტკიცა, რომ განტოლების ფესვების ჯამი უდრის -p=b/a, ხოლო მათი ნამრავლი შეესაბამება q=c/a.

ახლა მოდით შევხედოთ კონკრეტულ ამოცანებს.

3x2 + 21x - 54 = 0

სიმარტივისთვის, მოდით გარდავქმნათ გამოხატულება:

x 2 + 7x - 18 = 0

ვიეტას თეორემის გამოყენებით, ეს მოგვცემს შემდეგს: ფესვების ჯამი არის -7 და მათი ნამრავლი არის -18. აქედან მივიღებთ, რომ განტოლების ფესვები არის რიცხვები -9 და 2. შემოწმების შემდეგ დავრწმუნდებით, რომ ცვლადების ეს მნიშვნელობები ნამდვილად ჯდება გამოსახულებაში.

პარაბოლას გრაფიკი და განტოლება

კვადრატული ფუნქციისა და კვადრატული განტოლებების ცნებები მჭიდრო კავშირშია. ამის მაგალითები უკვე მოყვანილია ადრე. ახლა მოდით განვიხილოთ რამდენიმე მათემატიკური თავსატეხი ცოტა უფრო დეტალურად. აღწერილი ტიპის ნებისმიერი განტოლება შეიძლება ვიზუალურად იყოს წარმოდგენილი. ასეთ დამოკიდებულებას, რომელიც შედგენილია გრაფიკის სახით, პარაბოლას უწოდებენ. მისი სხვადასხვა ტიპები ნაჩვენებია ქვემოთ მოცემულ ფიგურაში.

ნებისმიერ პარაბოლას აქვს წვერო, ანუ წერტილი, საიდანაც გამოდის მისი ტოტები. თუ a>0, ისინი მიდიან მაღლა უსასრულობამდე და როცა a<0, они рисуются вниз. Простейшим примером подобной зависимости является функция y = x 2 . В данном случае в уравнении x 2 =0 неизвестное может принимать только одно значение, то есть х=0, а значит существует только один корень. Это неудивительно, ведь здесь D=0, потому что a=1, b=0, c=0. Выходит формула корней (точнее одного корня) квадратного уравнения запишется так: x = -b/2a.

ფუნქციების ვიზუალური წარმოდგენები დაგეხმარებათ ამოხსნათ ნებისმიერი განტოლება, მათ შორის კვადრატული. ამ მეთოდს გრაფიკული ეწოდება. ხოლო x ცვლადის მნიშვნელობა არის აბსცისის კოორდინატი იმ წერტილებში, სადაც გრაფიკის ხაზი კვეთს 0x-ს. წვეროს კოორდინატები შეგიძლიათ იხილოთ მხოლოდ მოცემული ფორმულით x 0 = -b / 2a. და, მიღებული მნიშვნელობის ჩანაცვლებით ფუნქციის თავდაპირველ განტოლებაში, შეგიძლიათ გაიგოთ y 0, ანუ პარაბოლის წვეროს მეორე კოორდინატი, რომელიც მიეკუთვნება y-ღერძს.

პარაბოლის ტოტების გადაკვეთა აბსცისის ღერძთან

უამრავი მაგალითია კვადრატული განტოლებების ამოხსნის შესახებ, მაგრამ ასევე არის ზოგადი ნიმუშები. განვიხილოთ ისინი. ნათელია, რომ გრაფიკის გადაკვეთა 0x ღერძთან a>0-სთვის შესაძლებელია მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ y 0 მიიღებს უარყოფით მნიშვნელობებს. და ამისთვის ა<0 координата у 0 должна быть положительна. Для указанных вариантов D>0. წინააღმდეგ შემთხვევაში დ<0. А когда D=0, вершина параболы расположена непосредственно на оси 0х.

პარაბოლის გრაფიკიდან, თქვენ ასევე შეგიძლიათ განსაზღვროთ ფესვები. პირიქითაც მართალია. ანუ, თუ ადვილი არ არის კვადრატული ფუნქციის ვიზუალური წარმოდგენის მიღება, შეგიძლიათ გამოთქმის მარჯვენა მხარე გააიგივოთ 0-მდე და ამოხსნათ მიღებული განტოლება. და იცოდეთ 0x ღერძთან გადაკვეთის წერტილები, უფრო ადვილია გამოსახვა.

ისტორიიდან

კვადრატული ცვლადის შემცველი განტოლებების დახმარებით, ძველ დროში არა მხოლოდ მათემატიკური გამოთვლები კეთდებოდა და გეომეტრიული ფორმების ფართობი განსაზღვრავდა. ძველებს სჭირდებოდათ ასეთი გამოთვლები ფიზიკისა და ასტრონომიის სფეროში გრანდიოზული აღმოჩენებისთვის, ასევე ასტროლოგიური პროგნოზების გასაკეთებლად.

როგორც თანამედროვე მეცნიერები ვარაუდობენ, ბაბილონის მკვიდრებმა პირველებმა ამოხსნეს კვადრატული განტოლებები. ეს მოხდა ჩვენი ეპოქის დადგომამდე ოთხი საუკუნით ადრე. რა თქმა უნდა, მათი გამოთვლები ფუნდამენტურად განსხვავდებოდა ამჟამად მიღებული და ბევრად უფრო პრიმიტიული აღმოჩნდა. მაგალითად, მესოპოტამიელ მათემატიკოსებს წარმოდგენა არ ჰქონდათ უარყოფითი რიცხვების არსებობის შესახებ. მათ ასევე არ იცნობდნენ ჩვენი დროის ნებისმიერი სტუდენტისთვის ცნობილი სხვა დახვეწილობის შესახებ.

შესაძლოა, ბაბილონის მეცნიერებზე ადრეც კი, ინდოეთის ბრძენმა ბაუდჰაიამამ აიღო კვადრატული განტოლებების ამოხსნა. ეს მოხდა ქრისტეს ეპოქის მოსვლამდე დაახლოებით რვა საუკუნით ადრე. მართალია, მეორე რიგის განტოლებები, მისი ამოხსნის მეთოდები ყველაზე მარტივი იყო. მის გარდა მსგავსი კითხვებით ძველად ჩინელი მათემატიკოსებიც დაინტერესდნენ. ევროპაში კვადრატული განტოლებების ამოხსნა მხოლოდ მე -13 საუკუნის დასაწყისში დაიწყო, მაგრამ მოგვიანებით ისინი თავიანთ ნაშრომში გამოიყენეს ისეთი დიდი მეცნიერების მიერ, როგორებიც არიან ნიუტონი, დეკარტი და მრავალი სხვა.

განტოლებების გამოყენება ფართოდ არის გავრცელებული ჩვენს ცხოვრებაში. ისინი გამოიყენება მრავალ გამოთვლებში, სტრუქტურების მშენებლობაში და სპორტშიც კი. განტოლებებს ადამიანი უძველესი დროიდან იყენებდა და მას შემდეგ მათი გამოყენება მხოლოდ გაიზარდა. დისკრიმინანტი საშუალებას გაძლევთ ამოხსნათ ნებისმიერი კვადრატული განტოლება ზოგადი ფორმულის გამოყენებით, რომელსაც აქვს შემდეგი ფორმა:

დისკრიმინაციული ფორმულა დამოკიდებულია მრავალწევრის ხარისხზე. ზემოთ მოყვანილი ფორმულა შესაფერისია შემდეგი ფორმის კვადრატული განტოლებების ამოსახსნელად:

დისკრიმინატორს აქვს შემდეგი თვისებები, რომლებიც უნდა იცოდეთ:

* "D" არის 0, როდესაც მრავალწევრს აქვს მრავალი ფესვი (ტოლი ფესვები);

* „D“ არის სიმეტრიული მრავალწევრი მრავალწევრის ფესვებთან მიმართებაში და ამიტომ არის მრავალწევრი თავისი კოეფიციენტებით; უფრო მეტიც, ამ მრავალწევრის კოეფიციენტები მთელი რიცხვებია, განურჩევლად იმ გაფართოებისა, რომელშიც ფესვებია აღებული.

დავუშვათ, რომ გვეძლევა შემდეგი ფორმის კვადრატული განტოლება:

1 განტოლება

ფორმულის მიხედვით გვაქვს:

ვინაიდან \, მაშინ განტოლებას აქვს 2 ფესვი. მოდით განვსაზღვროთ ისინი:

სად შემიძლია ამოვხსნა განტოლება დისკრიმინაციული ონლაინ ამომხსნელის მეშვეობით?

განტოლების ამოხსნა შეგიძლიათ ჩვენს ვებგვერდზე https: // საიტი. უფასო ონლაინ ამომხსნელი საშუალებას მოგცემთ ამოხსნათ ნებისმიერი სირთულის ონლაინ განტოლება წამებში. თქვენ უბრალოდ უნდა შეიყვანოთ თქვენი მონაცემები გამხსნელში. თქვენ ასევე შეგიძლიათ უყუროთ ვიდეო ინსტრუქციას და ისწავლოთ როგორ ამოხსნათ განტოლება ჩვენს ვებსაიტზე და თუ თქვენ გაქვთ რაიმე შეკითხვები, შეგიძლიათ დაუსვათ ისინი ჩვენს Vkontakte ჯგუფში http://vk.com/pocketteacher. შემოუერთდით ჩვენს ჯგუფს, ჩვენ ყოველთვის სიამოვნებით დაგეხმარებით.

მაგალითად, ტრინომისთვის \(3x^2+2x-7\), დისკრიმინანტი იქნება \(2^2-4\cdot3\cdot(-7)=4+84=88\). ხოლო ტრინომისთვის \(x^2-5x+11\) ტოლი იქნება \((-5)^2-4\cdot1\cdot11=25-44=-19\).

დისკრიმინანტი აღინიშნება ასო \(D\) და ხშირად გამოიყენება ამოხსნისას. ასევე, დისკრიმინანტის მნიშვნელობით, შეგიძლიათ გაიგოთ, როგორ გამოიყურება გრაფიკი (იხ. ქვემოთ).

დისკრიმინაციული და განტოლების ფესვები

დისკრიმინანტის მნიშვნელობა გვიჩვენებს კვადრატული განტოლების რაოდენობას:
- თუ \(D\) დადებითია, განტოლებას ექნება ორი ფესვი;
- თუ \(D\) ნულის ტოლია - მხოლოდ ერთი ფესვი;
- თუ \(D\) უარყოფითია, ფესვები არ არსებობს.

ამის სწავლა არ არის აუცილებელი, ადვილია ასეთ დასკვნამდე მისვლა, უბრალოდ იმის ცოდნა, რომ დისკრიმინანტიდან (ანუ \(\sqrt(D)\) შედის განტოლების ფესვების გამოთვლის ფორმულაში: \(x_(1)=\)\(\ frac(-b+\sqrt(D))(2a)\) და \(x_(2)=\)\(\frac(-b-\sqrt(D) )(2a)\) განვიხილოთ თითოეული შემთხვევა უფრო დეტალურად.

თუ დისკრიმინანტი დადებითია

ამ შემთხვევაში, მისი ფესვი არის რაღაც დადებითი რიცხვი, რაც ნიშნავს, რომ \(x_(1)\) და \(x_(2)\) იქნება განსხვავებული მნიშვნელობით, რადგან პირველ ფორმულაში \(\sqrt(D) \) ემატება , ხოლო მეორეში - აკლდება. და ჩვენ გვაქვს ორი განსხვავებული ფესვი.

მაგალითი : იპოვეთ განტოლების ფესვები \(x^2+2x-3=0\)
გადაწყვეტილება :

უპასუხე : \(x_(1)=1\); \(x_(2)=-3\)

თუ დისკრიმინანტი ნულის ტოლია

და რამდენი ფესვი იქნება თუ დისკრიმინანტი ნული იქნება? ვიმსჯელოთ.

ძირეული ფორმულები ასე გამოიყურება: \(x_(1)=\)\(\frac(-b+\sqrt(D))(2a)\) და \(x_(2)=\)\(\frac(- b- \sqrt(D))(2a)\) . და თუ დისკრიმინანტი არის ნული, მაშინ მისი ფესვიც ნულია. მერე გამოდის:

\(x_(1)=\)\(\frac(-b+\sqrt(D))(2a)\) \(=\)\(\frac(-b+\sqrt(0))(2a)\) \(=\)\(\frac(-b+0)(2a)\) \(=\)\(\frac(-b)(2a)\)

\(x_(2)=\)\(\frac(-b-\sqrt(D))(2a)\) \(=\)\(\frac(-b-\sqrt(0))(2a) \) \(=\)\(\frac(-b-0)(2a)\) \(=\)\(\frac(-b)(2a)\)

ანუ, განტოლების ფესვების მნიშვნელობები იგივე იქნება, რადგან ნულის დამატება ან გამოკლება არაფერს ცვლის.

მაგალითი : იპოვეთ განტოლების ფესვები \(x^2-4x+4=0\)
გადაწყვეტილება :

\(x^2-4x+4=0\)		ჩვენ ვწერთ კოეფიციენტებს:
\(a=1;\) \(b=-4;\) \(c=4;\)		გამოთვალეთ დისკრიმინანტი ფორმულის გამოყენებით \(D=b^2-4ac\)
\(D=(-4)^2-4\cdot1\cdot4=\) \(=16-16=0\)		განტოლების ფესვების პოვნა
\(x_(1)=\) \(\frac(-(-4)+\sqrt(0))(2\cdot1)\)\(=\)\(\frac(4)(2)\) \(=2\) \(x_(2)=\) \(\frac(-(-4)-\sqrt(0))(2\cdot1)\)\(=\)\(\frac(4)(2)\) \(=2\)		ჩვენ მივიღეთ ორი იდენტური ფესვი, ამიტომ აზრი არ აქვს მათ ცალ-ცალკე ჩაწერას - ჩვენ მათ ვწერთ როგორც ერთს.

უპასუხე : \(x=2\)

ამ მათემატიკური პროგრამით შეგიძლიათ კვადრატული განტოლების ამოხსნა.

პროგრამა არა მხოლოდ იძლევა პასუხს პრობლემაზე, არამედ აჩვენებს გადაჭრის პროცესს ორი გზით:
- დისკრიმინანტის გამოყენებით
- ვიეტას თეორემის გამოყენებით (თუ შესაძლებელია).

უფრო მეტიც, პასუხი ნაჩვენებია ზუსტი და არა მიახლოებითი.
მაგალითად, განტოლებისთვის \(81x^2-16x-1=0\), პასუხი ნაჩვენებია ამ ფორმით:

$$ x_1 = \frac(8+\sqrt(145))(81), \quad x_2 = \frac(8-\sqrt(145))(81) $$ ამის ნაცვლად: \(x_1 = 0.247; \ quad x_2 = -0.05 \)

ეს პროგრამა შეიძლება გამოადგეს საშუალო სკოლის მოსწავლეებს ტესტებისა და გამოცდებისთვის მოსამზადებლად, ცოდნის ტესტირებისას ერთიანი სახელმწიფო გამოცდის წინ, მშობლებისთვის მათემატიკასა და ალგებრაში მრავალი პრობლემის გადაწყვეტის გასაკონტროლებლად. ან იქნებ ძალიან ძვირი დაგიჯდებათ დამრიგებლის აყვანა ან ახალი სახელმძღვანელოების ყიდვა? ან უბრალოდ გსურთ რაც შეიძლება სწრაფად დაასრულოთ საშინაო დავალება მათემატიკაში ან ალგებრაში? ამ შემთხვევაში, თქვენ ასევე შეგიძლიათ გამოიყენოთ ჩვენი პროგრამები დეტალური გადაწყვეტით.

ამ გზით თქვენ შეგიძლიათ ჩაატაროთ საკუთარი ტრენინგი ან/და თქვენი უმცროსი ძმების ან დების ტრენინგი, ხოლო განათლების დონე გადასაჭრელი ამოცანების სფეროში იზრდება.

თუ არ იცნობთ კვადრატული მრავალწევრის შეყვანის წესებს, გირჩევთ გაეცნოთ მათ.

კვადრატული მრავალწევრის შეყვანის წესები

ნებისმიერი ლათინური ასო შეიძლება იყოს ცვლადი.
მაგალითად: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q \) და ა.შ.

რიცხვები შეიძლება შეიყვანოთ როგორც მთელი რიცხვები ან წილადები.
უფრო მეტიც, წილადი რიცხვები შეიძლება შევიდეს არა მხოლოდ ათწილადის სახით, არამედ ჩვეულებრივი წილადის სახით.

ათობითი წილადების შეყვანის წესები.
ათობითი წილადებში, წილადი ნაწილი შეიძლება გამოიყოს მთელი რიცხვისგან ან წერტილით ან მძიმით.
მაგალითად, თქვენ შეგიძლიათ შეიყვანოთ ათწილადები ასე: 2.5x - 3.5x^2

ჩვეულებრივი წილადების შეყვანის წესები.
მხოლოდ მთელ რიცხვს შეუძლია წილადის მრიცხველის, მნიშვნელის და მთელი რიცხვის ნაწილის როლი.

მნიშვნელი არ შეიძლება იყოს უარყოფითი.

რიცხვითი წილადის შეყვანისას მრიცხველი გამოყოფილია მნიშვნელისგან გაყოფის ნიშნით: /
მთელი ნაწილი გამოყოფილია წილადისგან ამპერსანტით: &
შეყვანა: 3&1/3 - 5&6/5z +1/7z^2
შედეგი: \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) z + \frac(1)(7)z^2 \)

გამოხატვის შეყვანისას შეგიძლიათ გამოიყენოთ ფრჩხილები. ამ შემთხვევაში, კვადრატული განტოლების ამოხსნისას, პირველად გამარტივებულია შემოტანილი გამოხატულება.
მაგალითად: 1/2(y-1)(y+1)-(5y-10&1/2)

=0

გადაწყვიტე

აღმოჩნდა, რომ ამ ამოცანის გადასაჭრელად საჭირო ზოგიერთი სკრიპტი არ იყო ჩატვირთული და შესაძლოა პროგრამამ არ იმუშაოს.
შეიძლება ჩართული გქონდეთ AdBlock.
ამ შემთხვევაში გამორთეთ და განაახლეთ გვერდი.

თქვენს ბრაუზერში JavaScript გამორთული გაქვთ.
გამოსავლის გამოსაჩენად ჩართული უნდა იყოს JavaScript.
აქ მოცემულია ინსტრუქციები, თუ როგორ უნდა ჩართოთ JavaScript თქვენს ბრაუზერში.

იმიტომ რომ ბევრია პრობლემის გადაწყვეტის მსურველი, თქვენი მოთხოვნა რიგში დგას.
რამდენიმე წამის შემდეგ, გამოსავალი გამოჩნდება ქვემოთ.
Გთხოვთ მოიცადოთ წამი...

Თუ შენ შენიშნა შეცდომა გამოსავალშიამის შესახებ შეგიძლიათ დაწეროთ უკუკავშირის ფორმაში.
Არ დაგავიწყდეს მიუთითეთ რომელი დავალებათქვენ გადაწყვიტეთ რა შედი ველებში.

ჩვენი თამაშები, თავსატეხები, ემულატორები:

ცოტა თეორია.

კვადრატული განტოლება და მისი ფესვები. არასრული კვადრატული განტოლებები

თითოეული განტოლება
\(-x^2+6x+1,4=0, \quad 8x^2-7x=0, \quad x^2-\frac(4)(9)=0 \)
ფორმა აქვს
\(ax^2+bx+c=0, \)
სადაც x არის ცვლადი, a, b და c არის რიცხვები.
პირველ განტოლებაში a = -1, b = 6 და c = 1,4, მეორეში a = 8, b = -7 და c = 0, მესამეში a = 1, b = 0 და c = 4/9. ასეთ განტოლებებს ე.წ კვადრატული განტოლებები.

განმარტება.
კვადრატული განტოლებაეწოდება ax 2 +bx+c=0 ფორმის განტოლება, სადაც x არის ცვლადი, a, b და c არის რამდენიმე რიცხვი და \(a \neq 0 \).

რიცხვები a, b და c არის კვადრატული განტოლების კოეფიციენტები. რიცხვს a ეწოდება პირველი კოეფიციენტი, რიცხვი b არის მეორე კოეფიციენტი და რიცხვი c არის კვეთა.

ax 2 +bx+c=0 ფორმის თითოეულ განტოლებაში, სადაც \(a \neq 0 \), x ცვლადის უდიდესი ძალა არის კვადრატი. აქედან მოდის სახელწოდება: კვადრატული განტოლება.

გაითვალისწინეთ, რომ კვადრატულ განტოლებას ასევე უწოდებენ მეორე ხარისხის განტოლებას, რადგან მისი მარცხენა მხარე არის მეორე ხარისხის პოლინომი.

კვადრატული განტოლება, რომელშიც კოეფიციენტი x 2-ზე არის 1, ეწოდება შემცირებული კვადრატული განტოლება. მაგალითად, მოცემული კვადრატული განტოლებები არის განტოლებები
\(x^2-11x+30=0, \quad x^2-6x=0, \quad x^2-8=0 \)

თუ კვადრატულ განტოლებაში ax 2 +bx+c=0 b ან c კოეფიციენტებიდან ერთი მაინც ნულის ტოლია, მაშინ ასეთი განტოლება ე.წ. არასრული კვადრატული განტოლება. ასე რომ, განტოლებები -2x 2 +7=0, 3x 2 -10x=0, -4x 2 =0 არასრული კვადრატული განტოლებებია. პირველში b=0, მეორეში c=0, მესამეში b=0 და c=0.

არასრული კვადრატული განტოლებები სამი ტიპისაა:
1) ax 2 +c=0, სადაც \(c \neq 0 \);
2) ax 2 +bx=0, სადაც \(b \neq 0 \);
3) ax2=0.

განვიხილოთ თითოეული ამ ტიპის განტოლებების ამოხსნა.

ax 2 +c=0 ფორმის არასრული კვადრატული განტოლების ამოსახსნელად \(c \neq 0 \)-ისთვის, მისი თავისუფალი წევრი გადადის მარჯვენა მხარეს და განტოლების ორივე ნაწილი იყოფა:
\(x^2 = -\frac(c)(a) \მარჯვენა ისარი x_(1,2) = \pm \sqrt( -\frac(c)(a)) \)

ვინაიდან \(c \neq 0 \), მაშინ \(-\frac(c)(a) \neq 0 \)

თუ \(-\frac(c)(a)>0 \), მაშინ განტოლებას ორი ფესვი აქვს.

თუ \(-\frac(c)(a) ax 2 +bx=0 ფორმის არასრული კვადრატული განტოლების ამოსახსნელად \(b \neq 0 \)-ისთვის გაანაწილეთ მისი მარცხენა მხარე და მიიღეთ განტოლება.
\(x(ax+b)=0 \მარჯვნივ ისარი \მარცხნივ\( \დაწყება(მასივი)(l) x=0 \\ ax+b=0 \end(მასივი) \მარჯვნივ. \მარჯვენა ისარი \მარცხნივ\( \დაწყება (მასივი)(l) x=0 \\ x=-\frac(b)(a) \end (მაივი) \მარჯვნივ. \)

მაშასადამე, ax 2 +bx=0 ფორმის არასრულ კვადრატულ განტოლებას \(b \neq 0 \) ყოველთვის აქვს ორი ფესვი.

ax 2 \u003d 0 ფორმის არასრული კვადრატული განტოლება უდრის განტოლებას x 2 \u003d 0 და, შესაბამისად, აქვს ერთი ფესვი 0.

კვადრატული განტოლების ფესვების ფორმულა

ახლა განვიხილოთ, როგორ წყდება კვადრატული განტოლებები, რომლებშიც უცნობის და თავისუფალი წევრის ორივე კოეფიციენტი ნულის ტოლია.

ვხსნით კვადრატულ განტოლებას ზოგადი ფორმით და შედეგად ვიღებთ ფესვების ფორმულას. მაშინ ეს ფორმულა შეიძლება გამოყენებულ იქნას ნებისმიერი კვადრატული განტოლების ამოსახსნელად.

ამოხსენით კვადრატული განტოლება ax 2 +bx+c=0

მისი ორივე ნაწილის a-ზე გაყოფით მივიღებთ ექვივალენტურ შემცირებულ კვადრატულ განტოლებას
\(x^2+\frac(b)(a)x +\frac(c)(a)=0 \)

ჩვენ გარდაქმნით ამ განტოლებას ბინომის კვადრატის ხაზგასმით:
\(x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\left(\frac(b)(2a)\right)^2- \left(\frac(b)(2a)\მარჯვნივ)^ 2 + \frac(c)(a) = 0 \მარჯვენა ისარი \)

\(x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\left(\frac(b)(2a)\right)^2 = \left(\frac(b)(2a)\მარჯვნივ)^ 2 - \frac(c)(a) \მარჯვენა ისარი \) \(\მარცხნივ(x+\frac(b)(2a)\right)^2 = \frac(b^2)(4a^2) - \frac( გ)(ა) \მარჯვენა ისარი \მარცხნივ(x+\frac(b)(2a)\მარჯვნივ)^2 = \frac(b^2-4ac)(4a^2) \მარჯვენა ისარი \) \(x+\frac(b )(2a) = \pm \sqrt( \frac(b^2-4ac)(4a^2) ) \მარჯვენა ისარი x = -\frac(b)(2a) + \frac( \pm \sqrt(b^2 -4ac) )(2a) \მარჯვენა ისარი \) \(x = \frac( -b \pm \sqrt(b^2-4ac) )(2a) \)

ძირეული გამოხატულება ე.წ კვადრატული განტოლების დისკრიმინანტი ax 2 +bx+c=0 (ლათინურად „განმასხვავებელი“ - განმასხვავებელი). იგი აღინიშნება ასო D-ით, ე.ი.
\(D = b^2-4ac\)

ახლა, დისკრიმინანტის აღნიშვნის გამოყენებით, ჩვენ გადავწერთ კვადრატული განტოლების ფესვების ფორმულას:
\(x_(1,2) = \frac( -b \pm \sqrt(D) )(2a) \), სადაც \(D= b^2-4ac \)

აშკარაა, რომ:
1) თუ D>0, მაშინ კვადრატულ განტოლებას ორი ფესვი აქვს.
2) თუ D=0, მაშინ კვადრატულ განტოლებას აქვს ერთი ფესვი \(x=-\frac(b)(2a)\).
3) თუ D ამგვარად, დისკრიმინანტის მნიშვნელობიდან გამომდინარე, კვადრატულ განტოლებას შეიძლება ჰქონდეს ორი ფესვი (D > 0-ისთვის), ერთი ფესვი (D = 0-ისთვის) ან ფესვის გარეშე (D-სთვის კვადრატული განტოლების ამოხსნისას ამ ფორმულით მიზანშეწონილია შემდეგი გზით:
1) გამოთვალეთ დისკრიმინანტი და შეადარეთ ნულთან;
2) თუ დისკრიმინანტი დადებითია ან ნულის ტოლია, მაშინ გამოიყენეთ ფესვის ფორმულა, თუ დისკრიმინანტი უარყოფითია, მაშინ ჩაწერეთ, რომ ფესვები არ არსებობს.

ვიეტას თეორემა

მოცემულ კვადრატულ განტოლებას ax 2 -7x+10=0 აქვს ფესვები 2 და 5. ფესვების ჯამი არის 7, ნამრავლი კი არის 10. ჩვენ ვხედავთ, რომ ფესვების ჯამი უდრის მეორე კოეფიციენტს, აღებული საპირისპირო ნიშანი და ფესვების ნამრავლი უდრის თავისუფალ ტერმინს. ნებისმიერ შემცირებულ კვადრატულ განტოლებას, რომელსაც აქვს ფესვები, აქვს ეს თვისება.

მოცემული კვადრატული განტოლების ფესვების ჯამი უდრის მეორე კოეფიციენტს, აღებული საპირისპირო ნიშნით, ხოლო ფესვების ნამრავლი უდრის თავისუფალ წევრს.

იმათ. ვიეტას თეორემაში ნათქვამია, რომ შემცირებული კვადრატული განტოლების x 1 და x 2 ფესვებს აქვთ თვისება:
\(\ მარცხნივ\( \დაწყება(მასივი)(l) x_1+x_2=-p \\ x_1 \cdot x_2=q \end(მასივი) \მარჯვნივ. \)

კვადრატული განტოლება - ადვილად ამოსახსნელი! *შემდეგ ტექსტში „KU“.მეგობრებო, როგორც ჩანს, მათემატიკაში უფრო ადვილია, ვიდრე ასეთი განტოლების ამოხსნა. მაგრამ რაღაცამ მითხრა, რომ ბევრს აქვს მასთან პრობლემები. გადავწყვიტე მენახა რამდენ შთაბეჭდილებას ტოვებს Yandex თითო მოთხოვნაზე თვეში. აი რა მოხდა, შეხედეთ:

Რას ნიშნავს? ეს ნიშნავს, რომ თვეში დაახლოებით 70 000 ადამიანი ეძებს ამ ინფორმაციას და ეს ზაფხულია და რა იქნება სასწავლო წლის განმავლობაში - ორჯერ მეტი მოთხოვნა იქნება. ეს გასაკვირი არ არის, რადგან ის ბიჭები და გოგონები, რომლებმაც დიდი ხანია დაამთავრეს სკოლა და გამოცდისთვის ემზადებიან, ამ ინფორმაციას ეძებენ და სკოლის მოსწავლეებიც ცდილობენ მეხსიერების განახლებას.

იმისდა მიუხედავად, რომ უამრავი საიტია, რომელიც მოგვითხრობს, თუ როგორ უნდა ამოხსნას ეს განტოლება, მე გადავწყვიტე მეც შემეტანა წვლილი და გამოვაქვეყნო მასალა. პირველ რიგში, მსურს ვიზიტორები მოვიდნენ ჩემს საიტზე ამ მოთხოვნით; მეორეც, სხვა სტატიებში, როდესაც გამოვა მეტყველება „KU“, მე მივცემ ამ სტატიის ბმულს; მესამე, მე გეტყვით ცოტა მეტს მისი გადაწყვეტის შესახებ, ვიდრე ჩვეულებრივ ნათქვამია სხვა საიტებზე. Დავიწყოთ!სტატიის შინაარსი:

კვადრატული განტოლება არის ფორმის განტოლება:

სადაც კოეფიციენტები a,ბდა თვითნებური რიცხვებით, a≠0-ით.

სასკოლო კურსში მასალა მოცემულია შემდეგი სახით - განტოლებების დაყოფა პირობითად ხდება სამ კლასად:

1. აქვს ორი ფესვი.

2. * აქვს მხოლოდ ერთი ფესვი.

3. არ აქვს ფესვები. აქვე უნდა აღინიშნოს, რომ მათ არ აქვთ რეალური ფესვები

როგორ გამოითვლება ფესვები? Უბრალოდ!

ჩვენ ვიანგარიშებთ დისკრიმინანტს. ამ "საშინელი" სიტყვის ქვეშ დევს ძალიან მარტივი ფორმულა:

ფესვის ფორმულები შემდეგია:

*ეს ფორმულები ზეპირად უნდა იცოდეთ.

შეგიძლიათ დაუყოვნებლივ ჩაწეროთ და გადაწყვიტოთ:

მაგალითი:

1. თუ D > 0, მაშინ განტოლებას ორი ფესვი აქვს.

2. თუ D = 0, მაშინ განტოლებას აქვს ერთი ფესვი.

3. თუ დ< 0, то уравнение не имеет действительных корней.

მოდით შევხედოთ განტოლებას:

ამ შემთხვევაში, როცა დისკრიმინანტი ნულის ტოლია, სასკოლო კურსში ნათქვამია, რომ მიღებულია ერთი ფესვი, აქ უდრის ცხრას. მართალია, ასეა, მაგრამ...

ეს წარმოდგენა გარკვეულწილად არასწორია. სინამდვილეში, არსებობს ორი ფესვი. დიახ, დიახ, არ გაგიკვირდეთ, გამოდის ორი თანაბარი ფესვი და რომ იყოს მათემატიკურად ზუსტი, მაშინ პასუხში ორი ფესვი უნდა ჩაიწეროს:

x 1 = 3 x 2 = 3

მაგრამ ეს ასეა - მცირე გადახვევა. სკოლაში შეგიძლიათ ჩაწეროთ და თქვათ, რომ მხოლოდ ერთი ფესვია.

ახლა შემდეგი მაგალითი:

როგორც ვიცით, უარყოფითი რიცხვის ფესვი არ არის ამოღებული, ამიტომ ამ შემთხვევაში გამოსავალი არ არის.

ეს არის გადაწყვეტილების მთელი პროცესი.

კვადრატული ფუნქცია.

აი, როგორ გამოიყურება გამოსავალი გეომეტრიულად. ამის გაგება ძალზე მნიშვნელოვანია (მომავალში, ერთ-ერთ სტატიაში დეტალურად გავაანალიზებთ კვადრატული უტოლობის ამოხსნას).

ეს არის ფორმის ფუნქცია:

სადაც x და y არის ცვლადები

a, b, c მოცემულია რიცხვები, სადაც a ≠ 0

გრაფიკი არის პარაბოლა:

ანუ გამოდის, რომ კვადრატული განტოლების ამოხსნით „y“ ნულის ტოლი, ვპოულობთ პარაბოლას x ღერძთან გადაკვეთის წერტილებს. ამ წერტილებიდან შეიძლება იყოს ორი (დისკრიმინანტი დადებითია), ერთი (დისკრიმინანტი არის ნული) ან არცერთი (დისკრიმინანტი უარყოფითია). მეტი კვადრატული ფუნქციის შესახებ შეგიძლიათ ნახოთინა ფელდმანის სტატია.

განვიხილოთ მაგალითები:

მაგალითი 1: გადაწყვიტე 2x 2 +8 x–192=0

a=2 b=8 c= -192

D = b 2 –4ac = 8 2 –4∙2∙(–192) = 64+1536 = 1600

პასუხი: x 1 = 8 x 2 = -12

* თქვენ შეგიძლიათ დაუყოვნებლივ გაყოთ განტოლების მარცხენა და მარჯვენა მხარეები 2-ზე, ანუ გაამარტივოთ იგი. გამოთვლები უფრო ადვილი იქნება.

მაგალითი 2: გადაწყვიტე x2–22 x+121 = 0

a=1 b=-22 c=121

D = b 2 –4ac =(–22) 2 –4∙1∙121 = 484–484 = 0

მივიღეთ, რომ x 1 \u003d 11 და x 2 \u003d 11

პასუხში დასაშვებია x = 11 ჩაწერა.

პასუხი: x = 11

მაგალითი 3: გადაწყვიტე x 2 –8x+72 = 0

a=1 b= -8 c=72

D = b 2 –4ac =(–8) 2 –4∙1∙72 = 64–288 = –224

დისკრიმინანტი უარყოფითია, რეალურ რიცხვებში გამოსავალი არ არის.

პასუხი: გამოსავალი არ არის

დისკრიმინანტი უარყოფითია. არსებობს გამოსავალი!

აქ ვისაუბრებთ განტოლების ამოხსნაზე იმ შემთხვევაში, როდესაც მიიღება უარყოფითი დისკრიმინანტი. კომპლექსური რიცხვების შესახებ იცით რამე? აქ დეტალურად არ განვიხილავ, რატომ და სად გაჩნდნენ ისინი და რა არის მათი კონკრეტული როლი და აუცილებლობა მათემატიკაში, ეს არის დიდი ცალკე სტატიის თემა.

რთული რიცხვის კონცეფცია.

ცოტა თეორია.

რთული რიცხვი z არის ფორმის რიცხვი

z = a + bi

სადაც a და b რეალური რიცხვებია, i არის ეგრეთ წოდებული წარმოსახვითი ერთეული.

ა+ბი არის ერთი რიცხვი და არა დამატება.

წარმოსახვითი ერთეული უდრის მინუს ერთის ფესვს:

ახლა განიხილეთ განტოლება:

მიიღეთ ორი კონიუგირებული ფესვი.

არასრული კვადრატული განტოლება.

განვიხილოთ განსაკუთრებული შემთხვევები, როდესაც კოეფიციენტი "b" ან "c" უდრის ნულს (ან ორივე ტოლია ნულის). ისინი ადვილად წყდება ყოველგვარი დისკრიმინატორების გარეშე.

შემთხვევა 1. კოეფიციენტი b = 0.

განტოლება იღებს ფორმას:

მოდით გარდავქმნათ:

მაგალითი:

4x 2 -16 = 0 => 4x 2 =16 => x 2 = 4 => x 1 = 2 x 2 = -2

შემთხვევა 2. კოეფიციენტი c = 0.

განტოლება იღებს ფორმას:

ტრანსფორმაცია, ფაქტორიზაცია:

* ნამრავლი ნულის ტოლია, როცა ერთ-ერთი ფაქტორი მაინც ნულის ტოლია.

მაგალითი:

9x 2 –45x = 0 => 9x (x–5) =0 => x = 0 ან x–5 =0

x 1 = 0 x 2 = 5

შემთხვევა 3. კოეფიციენტები b = 0 და c = 0.

აქ ცხადია, რომ განტოლების ამონახსნი ყოველთვის იქნება x = 0.

კოეფიციენტების სასარგებლო თვისებები და ნიმუშები.

არსებობს თვისებები, რომლებიც საშუალებას იძლევა გადაჭრას განტოლებები დიდი კოეფიციენტებით.

აx 2 + bx+ გ=0 თანასწორობა

ა + ბ+ c = 0,მაშინ

- თუ განტოლების კოეფიციენტებისთვის აx 2 + bx+ გ=0 თანასწორობა

ა+ ერთად =ბ, მაშინ

ეს თვისებები ხელს უწყობს გარკვეული სახის განტოლების ამოხსნას.

მაგალითი 1: 5001 x 2 –4995 x – 6=0

კოეფიციენტების ჯამია 5001+( – 4995)+(– 6) = 0, ასე რომ

მაგალითი 2: 2501 x 2 +2507 x+6=0

Თანასწორობა ა+ ერთად =ბ, ნიშნავს

კოეფიციენტების კანონზომიერებები.

1. თუ განტოლებაში ax 2 + bx + c \u003d 0 კოეფიციენტი "b" არის (a 2 +1), ხოლო კოეფიციენტი "c" რიცხობრივად უდრის კოეფიციენტს "a", მაშინ მისი ფესვები არის

ax 2 + (a 2 +1) ∙ x + a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d -a x 2 \u003d -1 / a.

მაგალითი. განვიხილოთ განტოლება 6x 2 +37x+6 = 0.

x 1 \u003d -6 x 2 \u003d -1/6.

2. თუ განტოლებაში ax 2 - bx + c \u003d 0, კოეფიციენტი "b" არის (a 2 +1), ხოლო კოეფიციენტი "c" რიცხობრივად უდრის კოეფიციენტს "a", მაშინ მისი ფესვები არის

ax 2 - (a 2 + 1) ∙ x + a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d a x 2 \u003d 1 / a.

მაგალითი. განვიხილოთ განტოლება 15x 2 –226x +15 = 0.

x 1 = 15 x 2 = 1/15.

3. თუ განტოლებაში ax 2 + bx - c = 0 კოეფიციენტი "b" უდრის (a 2 - 1) და კოეფიციენტი "c" რიცხობრივად უდრის კოეფიციენტს "a", მაშინ მისი ფესვები თანაბარია

ax 2 + (a 2 -1) ∙ x - a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d - a x 2 \u003d 1 / a.

მაგალითი. განვიხილოთ განტოლება 17x 2 + 288x - 17 = 0.

x 1 \u003d - 17 x 2 \u003d 1/17.

4. თუ განტოლებაში ax 2 - bx - c \u003d 0, კოეფიციენტი "b" უდრის (a 2 - 1), ხოლო კოეფიციენტი c რიცხობრივად უდრის კოეფიციენტს "a", მაშინ მისი ფესვები არის

ax 2 - (a 2 -1) ∙ x - a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d a x 2 \u003d - 1 / a.

მაგალითი. განვიხილოთ განტოლება 10x2 - 99x -10 = 0.

x 1 \u003d 10 x 2 \u003d - 1/10

ვიეტას თეორემა.

ვიეტას თეორემა ცნობილი ფრანგი მათემატიკოსის ფრანსუა ვიეტას სახელს ატარებს. ვიეტას თეორემის გამოყენებით შეიძლება გამოვხატოთ თვითნებური KU-ს ფესვების ჯამი და ნამრავლი მისი კოეფიციენტების მიხედვით.

45 = 1∙45 45 = 3∙15 45 = 5∙9.

ჯამში რიცხვი 14 იძლევა მხოლოდ 5-ს და 9-ს. ეს არის ფესვები. გარკვეული უნარით, წარმოდგენილი თეორემის გამოყენებით, შეგიძლიათ ამოხსნათ მრავალი კვადრატული განტოლება დაუყოვნებლივ ზეპირად.

უფრო მეტიც, ვიეტას თეორემა. მოსახერხებელია, რადგან კვადრატული განტოლების ჩვეული გზით ამოხსნის შემდეგ (დისკრიმინანტის საშუალებით) შესაძლებელია მიღებული ფესვების შემოწმება. გირჩევთ ამის გაკეთებას მუდმივად.

გადარიცხვის მეთოდი

ამ მეთოდით კოეფიციენტი „ა“ მრავლდება თავისუფალ წევრზე, თითქოს „გადატანილია“, რის გამოც ე.წ. გადაცემის მეთოდი.ეს მეთოდი გამოიყენება მაშინ, როდესაც ადვილია ვიეტას თეორემის გამოყენებით განტოლების ფესვების პოვნა და, რაც მთავარია, როცა დისკრიმინანტი ზუსტი კვადრატია.

Თუ ა± ბ+გ≠ 0, შემდეგ გამოიყენება გადაცემის ტექნიკა, მაგალითად:

2X 2 – 11x+ 5 = 0 (1) => X 2 – 11x+ 10 = 0 (2)

ვიეტას თეორემის მიხედვით (2) განტოლებაში, ადვილია იმის დადგენა, რომ x 1 \u003d 10 x 2 \u003d 1

განტოლების მიღებული ფესვები უნდა გაიყოს 2-ზე (რადგან ორი "გადააგდეს" x 2-დან), მივიღებთ

x 1 \u003d 5 x 2 \u003d 0.5.

რა არის დასაბუთება? ნახეთ რა ხდება.

(1) და (2) განტოლებების დისკრიმინანტებია:

თუ გადავხედავთ განტოლებების ფესვებს, მაშინ მიიღება მხოლოდ განსხვავებული მნიშვნელები და შედეგი დამოკიდებულია ზუსტად კოეფიციენტზე x 2:

მეორე (შეცვლილი) ფესვები 2-ჯერ დიდია.

აქედან გამომდინარე, ჩვენ ვყოფთ შედეგს 2-ზე.

*თუ გავაბრტყელებთ სამს, მაშინ შედეგს ვყოფთ 3-ზე და ა.შ.

პასუხი: x 1 = 5 x 2 = 0.5

კვ. ur-ie და გამოცდა.

მის მნიშვნელობაზე მოკლედ ვიტყვი - უნდა შეძლოთ გადაწყვეტილების მიღება სწრაფად და დაუფიქრებლად, ზეპირად უნდა იცოდეთ ფესვების ფორმულები და განმასხვავებელი. ბევრი დავალება, რომლებიც USE ამოცანების ნაწილია, კვადრატული განტოლების ამოხსნამდე მოდის (გეომეტრიულის ჩათვლით).

რა ღირს აღნიშვნა!

1. განტოლების ფორმა შეიძლება იყოს „იმპლიციტური“. მაგალითად, შესაძლებელია შემდეგი ჩანაწერი:

15+ 9x 2 - 45x = 0 ან 15x+42+9x 2 - 45x=0 ან 15 -5x+10x 2 = 0.

თქვენ უნდა მიიყვანოთ იგი სტანდარტულ ფორმაში (ისე, რომ არ დაიბნეთ ამოხსნისას).

2. გახსოვდეთ, რომ x უცნობი მნიშვნელობაა და მისი აღნიშვნა შესაძლებელია ნებისმიერი სხვა ასოთი - t, q, p, h და სხვა.