აღნიშნეთ a-ით კუთხე ვექტორსა და პროექციის ღერძს შორის და გადაიტანეთ ვექტორი

ისე რომ მისი საწყისი ემთხვევა ღერძის რაღაც წერტილს. თუ ვექტორის კომპონენტისა და ღერძის მიმართულებები ერთნაირია, მაშინ კუთხე a იქნება მკვეთრი და, როგორც ჩანს ნახ. 24, ა,

სადაც a არის a ვექტორის მოდული. თუ ვექტორისა და ღერძის მიმართულებები საპირისპიროა, მაშინ პროექციის ნიშნის გათვალისწინებით გვექნება - (იხ. სურ. 24, ბ)

ანუ წინა გამოთქმა (გაითვალისწინეთ, რომ in ამ საქმესკუთხე a ბლაგვია და

ამრიგად, ვექტორის პროექცია ღერძზე უდრის ვექტორის მოდულის ნამრავლს და ვექტორსა და ღერძს შორის კუთხის კოსინუსს:

ამას გარდა ექსკლუზიურად მნიშვნელობაფორმულები, ვექტორის ღერძზე პროექციისთვის, კიდევ ერთი ძალიან მარტივი ფორმულა. მოდით დავაყენოთ საცნობარო წერტილი ღერძზე და ავირჩიოთ მასშტაბი, რომელიც საერთოა ვექტორების მასშტაბთან. მოგეხსენებათ, წერტილის კოორდინატი არის რიცხვი, რომელიც გამოხატავს შერჩეულ შკალაზე მანძილს ღერძის საწყისიდან ღერძზე მოცემული წერტილის პროექციამდე და ეს რიცხვი მიიღება პლუსის ნიშნით, თუ წერტილის პროექცია ამოღებულია საწყისიდან ღერძის მიმართულებით და მინუს ნიშნით სხვა შემთხვევაში. მაგალითად, A წერტილის კოორდინატი (ნახ. 23, ბ) იქნება ნიშანდობლივი რიცხვი, რომელიც გამოხატავს სეგმენტის სიგრძეს, ხოლო B წერტილის კოორდინატი იქნება აღებული ნიშნით - რიცხვი, რომელიც განსაზღვრავს სეგმენტის სიგრძეს. სეგმენტი (ამაზე არ ვჩერდებით

უფრო დეტალურად, იმ ვარაუდით, რომ მკითხველი ელემენტარული მათემატიკის კურსიდან იცნობს წერტილოვანი კოორდინატების ცნებას).

აღვნიშნოთ დასაწყისის კოორდინატით, ხოლო x-ღერძზე ვექტორის დასასრულის კოორდინატით. შემდეგ, როგორც ჩანს ნახ. 23, ა, გვექნება

ვექტორის პროექცია x-ღერძზე ტოლი იქნება

ან წინა თანასწორობების გათვალისწინებით,

ადვილი მისახვედრია, რომ ამ ფორმულას აქვს ზოგადი ხასიათიდა არ არის დამოკიდებული ვექტორის მდებარეობაზე ღერძისა და საწყისის მიმართ. მართლაც, განიხილეთ ნახ. 23, ბ. წერტილების კოორდინატების განსაზღვრიდან და ვექტორის პროექციადან თანმიმდევრულად ვიღებთ

(მკითხველს შეუძლია ადვილად შეამოწმოს ფორმულის მართებულობა და ვექტორის განსხვავებული მდებარეობა ღერძთან და საწყისთან შედარებით).

(6.11)-დან გამომდინარეობს, რომ ვექტორის პროექცია ღერძზე უდრის სხვაობას ვექტორის დასასრულისა და დასაწყისის კოორდინატებს შორის.

ვექტორის პროექციის გამოთვლა ღერძზე ძალიან ხშირია სხვადასხვა საკითხები. ამიტომ აუცილებელია პროგნოზების გამოთვლის მყარი უნარების გამომუშავება. თქვენ შეგიძლიათ მიუთითოთ რამდენიმე ხრიკი, რომელიც ხელს უწყობს პროგნოზების გაანგარიშების პროცესს.

1. ვექტორის ღერძზე პროექციის ნიშანი, როგორც წესი, შეიძლება განისაზღვროს უშუალოდ ნახაზიდან, ხოლო პროექციის მოდული შეიძლება გამოითვალოს ფორმულით.

სად - მკვეთრი კუთხევექტორსა და პროგნოზების ღერძს შორის - თუ და თუ ეს ტექნიკა, რაიმე ფუნდამენტურად ახლის შემოტანის გარეშე, გარკვეულწილად არის

ხელს უწყობს პროექციის გამოთვლას, რადგან არ საჭიროებს ტრიგონომეტრიულ გარდაქმნებს.

2. თუ გსურთ განვსაზღვროთ ვექტორის პროექცია ორ ერთმანეთის პერპენდიკულარულ ღერძზე x და y (ვარაუდობენ, რომ ვექტორი დევს ამ ღერძების სიბრტყეში) და არის მწვავე კუთხე ვექტორსა და x ღერძს შორის, მაშინ

(პროექციის ნიშანი განისაზღვრება ნახაზიდან).

მაგალითი. იპოვეთ პროექციები ნახზე ნაჩვენები ძალის x და y კოორდინატთა ღერძებზე. 25. ნახატიდან ჩანს, რომ ორივე პროექცია უარყოფითი იქნება. აქედან გამომდინარე,

3. ზოგჯერ გამოიყენება ორმაგი დიზაინის წესი, რომელიც შედგება შემდეგში. მოყვანილია სიბრტყეში მდებარე ვექტორი და ღერძი, ვექტორის ბოლოდან ჩამოვუშვათ პერპენდიკულარები სიბრტყისა და სწორი ხაზისკენ და შემდეგ პერპენდიკულარების ფუძეები დავაკავშიროთ სწორი ხაზის სეგმენტთან (სურ. 26). ავღნიშნოთ კუთხე ვექტორსა და სიბრტყეს შორის კუთხით შორის და კუთხით და კუთხე ვექტორსა და პროექციის ღერძს შორის a. ვინაიდან კუთხე სწორია (კონსტრუქციით), მაშინ

შესავალი …………………………………………………………………………………… 3

1. ვექტორისა და სკალარის მნიშვნელობა………………………………………………….4

2. წერტილის პროექციის, ღერძისა და კოორდინატის განსაზღვრა……………………5

3. ვექტორული პროექცია ღერძზე………………………………………………………...6

4. ვექტორული ალგებრის ძირითადი ფორმულა……………………………..8

5. ვექტორის მოდულის გამოთვლა მისი პროგნოზებიდან…………………...9

დასკვნა……………………………………………………………………………………………………….

ლიტერატურა………………………………………………………………………...12

შესავალი:

ფიზიკა განუყოფლად არის დაკავშირებული მათემატიკასთან. მათემატიკა ფიზიკას აძლევს ზოგადსაშუალებებსა და ხერხებს და ზუსტი გამოხატულებაშორის დამოკიდებულებები ფიზიკური რაოდენობით, რომლებიც აღმოჩენილია ექსპერიმენტის ან თეორიული კვლევის შედეგად.ფიზიკაში კვლევის მთავარი მეთოდი ხომ ექსპერიმენტულია. ეს ნიშნავს, რომ მეცნიერი გაზომვების დახმარებით ავლენს გამოთვლებს. აღნიშნავს ურთიერთობას სხვადასხვა ფიზიკურ რაოდენობას შორის. შემდეგ ყველაფერი ითარგმნება მათემატიკის ენაზე. ჩამოყალიბდა მათემატიკური მოდელი. ფიზიკა არის მეცნიერება, რომელიც სწავლობს უმარტივესს და ამავდროულად ყველაზე მეტს ზოგადი ნიმუშები. ფიზიკის ამოცანაა ჩვენს გონებაში ასეთი სურათის შექმნა ფიზიკური სამყარო, რომელიც ყველაზე სრულად ასახავს მის თვისებებს და უზრუნველყოფს მოდელის ელემენტებს შორის ისეთ კავშირებს, რომლებიც არსებობს ელემენტებს შორის.

ასე რომ, ფიზიკა ქმნის ჩვენს გარშემო არსებული სამყაროს მოდელს და სწავლობს მის თვისებებს. მაგრამ ნებისმიერი მოდელი შეზღუდულია. კონკრეტული ფენომენის მოდელების შექმნისას მხედველობაში მიიღება მხოლოდ ის თვისებები და კავშირები, რომლებიც აუცილებელია ფენომენების მოცემული დიაპაზონისთვის. ეს არის მეცნიერის ხელოვნება - ყველა მრავალფეროვნებიდან აირჩიოს მთავარი.

ფიზიკური მოდელები მათემატიკურია, მაგრამ მათემატიკა არ არის მათი საფუძველი. რაოდენობრივი კოეფიციენტებიფიზიკურ სიდიდეებს შორის ირკვევა გაზომვების, დაკვირვებისა და ექსპერიმენტული კვლევებიდა მხოლოდ მათემატიკის ენაზეა გამოხატული. თუმცა, სხვა ენა უნდა ავაშენოთ ფიზიკური თეორიებიარ არსებობს.

1. ვექტორისა და სკალარის მნიშვნელობა.

ფიზიკასა და მათემატიკაში ვექტორი არის სიდიდე, რომელიც ხასიათდება მისით რიცხვითი მნიშვნელობადა მიმართულება. ფიზიკაში არსებობს მრავალი მნიშვნელოვანი სიდიდე, რომელიც არის ვექტორი, როგორიცაა ძალა, პოზიცია, სიჩქარე, აჩქარება, ბრუნვა, იმპულსი, ელექტრული და მაგნიტური ველები. ისინი შეიძლება განსხვავდებოდეს სხვა რაოდენობებთან, როგორიცაა მასა, მოცულობა, წნევა, ტემპერატურა და სიმკვრივე, რაც შეიძლება აღწერილი იყოს საერთო ნომერი, და მათ ეძახიან სკალარები" .

ისინი იწერება ან ჩვეულებრივი შრიფტის ასოებით, ან რიცხვებით (a, b, t, G, 5, -7 ....). სკალარებიშეიძლება იყოს დადებითი და უარყოფითი. ამავდროულად, კვლევის ზოგიერთ ობიექტს შეიძლება ჰქონდეს ასეთი თვისებები, ამისთვის სრული აღწერარომლის ცოდნა მხოლოდ რიცხვითი საზომის შესახებ არასაკმარისი აღმოჩნდება, ასევე აუცილებელია ამ თვისებების დახასიათება სივრცეში მიმართულებით. ასეთ თვისებებს ახასიათებს ვექტორული სიდიდეები (ვექტორები). ვექტორები, სკალარებისგან განსხვავებით, აღინიშნება თამამი ასოებით: a, b, g, F, C ....
ხშირად, ვექტორი აღინიშნება ჩვეულებრივი (არა თამამი) ასოებით, მაგრამ მის ზემოთ ისრით:

გარდა ამისა, ვექტორი ხშირად აღინიშნება ასოების წყვილით (ჩვეულებრივ, დიდი ასოებით), პირველი ასო ვექტორის დასაწყისს, ხოლო მეორე ასო მის დასასრულს.

ვექტორის მოდული, ანუ მიმართული სწორხაზოვანი სეგმენტის სიგრძე, აღინიშნება იგივე ასოებით, როგორც თავად ვექტორი, ოღონდ ჩვეულებრივი (არა თამამი) წერილობით და მათ ზემოთ ისრის გარეშე, ან იგივე გზით. როგორც ვექტორი (ანუ თამამადან ჩვეულებრივი, მაგრამ ისრით), მაგრამ შემდეგ ვექტორის აღნიშვნა ჩასმულია ვერტიკალურ ტირეებში.
ვექტორი არის რთული ობიექტი, რომელიც ხასიათდება ერთდროულად სიდიდით და მიმართულებით.

ასევე არ არის დადებითი უარყოფითი ვექტორები. მაგრამ ვექტორები შეიძლება იყოს ერთმანეთის ტოლი. ეს არის მაშინ, როდესაც, მაგალითად, a და b-ს აქვთ ერთი და იგივე მოდული და მიმართულია ერთი და იგივე მიმართულებით. ამ შემთხვევაში ჩანაწერი ა= ბ. გასათვალისწინებელია ისიც, რომ ვექტორის სიმბოლოს შეიძლება წინ უძღოდეს მინუს ნიშანი, მაგალითად, -c, თუმცა ეს ნიშანი სიმბოლურად მიუთითებს, რომ ვექტორს -c აქვს იგივე მოდული, რაც ვექტორს c, მაგრამ მიმართულია საწინააღმდეგო მიმართულება.

ვექტორს -c ეწოდება c ვექტორის საპირისპირო (ან შებრუნებული).
თუმცა, ფიზიკაში თითოეული ვექტორი ივსება კონკრეტული შინაარსით და იმავე ტიპის ვექტორების (მაგალითად, ძალების) შედარებისას, მათი გამოყენების წერტილებს ასევე შეიძლება მნიშვნელოვანი მნიშვნელობა ჰქონდეს.

2. წერტილის პროექციის, ღერძისა და კოორდინატის განსაზღვრა.

ღერძიარის სწორი ხაზი, რომელსაც ეძლევა მიმართულება.
ღერძი აღინიშნება ნებისმიერი ასოთი: X, Y, Z, s, t... ჩვეულებრივ, ღერძზე ირჩევენ (თვითნებურად) წერტილს, რომელსაც საწყისს უწოდებენ და, როგორც წესი, აღინიშნება ასო O. ჩვენთვის საინტერესო პუნქტებთან მანძილი ამ წერტილიდან იზომება.

წერტილის პროექციაღერძზე ეწოდება ამ წერტილიდან მოცემულ ღერძზე ჩამოშვებული პერპენდიკულარულის ფუძე. ანუ, წერტილის პროექცია ღერძზე არის წერტილი.

წერტილის კოორდინატიამ ღერძზე ეწოდება რიცხვი, აბსოლუტური მნიშვნელობარომელიც ტოლია ღერძის საწყისსა და ამ ღერძზე წერტილის პროექციას შორის შემოსაზღვრული ღერძის სეგმენტის სიგრძისა (შერჩეულ შკალაში). ეს რიცხვი მიიღება პლუს ნიშნით, თუ წერტილის პროექცია მდებარეობს ღერძის მიმართულებით მისი დასაწყისიდან და მინუს ნიშნით, თუ საპირისპირო მიმართულებით.

3.ვექტორის პროექცია ღერძზე.

ვექტორის პროექცია ღერძზე არის ვექტორი, რომელიც მიიღება ვექტორის სკალარული პროექციის ამ ღერძზე და ამ ღერძის ერთეული ვექტორის გამრავლებით. მაგალითად, თუ x არის ვექტორის a სკალარული პროექცია X ღერძზე, მაშინ x i არის მისი ვექტორული პროექცია ამ ღერძზე.

ავღნიშნოთ ვექტორული პროექცია ისევე, როგორც თავად ვექტორი, მაგრამ იმ ღერძის ინდექსით, რომელზედაც დაპროექტებულია ვექტორი. ამრიგად, ვექტორის a ვექტორული პროექცია X ღერძზე აღინიშნება x-ით (მყარი ასო, რომელიც აღნიშნავს ვექტორს და ღერძის სახელს) ან

(ვექტორის აღმნიშვნელი არა თამამი ასო, ოღონდ ზევით ისარი (!) და ღერძის სახელის ქვემოწერა).

სკალარული პროექციავექტორი თითო ღერძზე ეწოდება ნომერი, რომლის აბსოლუტური მნიშვნელობა უდრის ღერძის სეგმენტის სიგრძეს (შერჩეულ შკალაში), რომელიც ჩასმულია საწყისი წერტილისა და ვექტორის ბოლო წერტილს შორის. ჩვეულებრივ გამოხატვის ნაცვლად სკალარული პროექციაუბრალოდ თქვი - პროექტირება. პროექცია აღინიშნება იგივე ასოთი, როგორც დაპროექტებული ვექტორი (ნორმალური, არა თამამ წერილობით), იმ ღერძის სახელწოდებით (ჩვეულებრივ) რომელზედაც დაპროექტებულია ეს ვექტორი. მაგალითად, თუ ვექტორი დაპროექტებულია x-ღერძზე ა,მაშინ მისი პროექცია აღინიშნება x-ით. იმავე ვექტორის სხვა ღერძზე პროექციისას, თუ ღერძი არის Y, მისი პროექცია აღინიშნა როგორც y.

პროექციის გამოსათვლელად ვექტორიღერძზე (მაგალითად, X ღერძი) აუცილებელია საწყისი წერტილის კოორდინატი გამოკლდეს მისი ბოლო წერტილის კოორდინატს, ე.ი.

და x \u003d x k - x n.

ვექტორის პროექცია ღერძზე არის რიცხვი.უფრო მეტიც, პროექცია შეიძლება იყოს დადებითი, თუ მნიშვნელობა x to მეტი ღირებულება x n,

უარყოფითი, თუ x k-ის მნიშვნელობა ნაკლებია x n-ის მნიშვნელობაზე

და ნული, თუ x k უდრის x n-ს.

ვექტორის პროექცია ღერძზე ასევე შეიძლება ვიპოვოთ ვექტორის მოდულისა და კუთხის ცოდნით, რომელიც ქმნის ამ ღერძს.

ნახატიდან ჩანს, რომ a x = a Cos α

ანუ ვექტორის პროექცია ღერძზე ტოლია ვექტორის მოდულის ნამრავლისა და ღერძის მიმართულებას შორის კუთხის კოსინუსისა და ვექტორის მიმართულება. თუ კუთხე მწვავეა, მაშინ
Cos α > 0 და a x > 0 და თუ ბლაგვია, მაშინ კოსინუსი ბლაგვი კუთხეუარყოფითია და ვექტორის პროექცია ღერძზე ასევე უარყოფითი იქნება.

ღერძიდან საათის ისრის საწინააღმდეგოდ დათვლილი კუთხეები დადებითად ითვლება, ხოლო მიმართულებით - უარყოფითად. თუმცა, ვინაიდან კოსინუსი არის ლუწი ფუნქცია, ანუ Cos α = Cos (− α), პროგნოზების გაანგარიშებისას კუთხეების დათვლა შესაძლებელია როგორც საათის ისრის მიმართულებით, ასევე ისრის საწინააღმდეგოდ.

ვექტორის ღერძზე პროექციის საპოვნელად, ამ ვექტორის მოდული უნდა გავამრავლოთ კუთხის კოსინუსზე ღერძის მიმართულებასა და ვექტორის მიმართულებას შორის.

4. ვექტორული ალგებრის ძირითადი ფორმულა.

მოდით შევქმნათ ვექტორი a X და Y ღერძებზე მართკუთხა სისტემაკოორდინატები. იპოვეთ a ვექტორის პროგნოზები ამ ღერძებზე:

და x = a x i, და y = a y j.

მაგრამ ვექტორის დამატების წესის მიხედვით

a \u003d a x + a y.

a = a x i + a y j.

ამრიგად, ჩვენ გამოვხატეთ ვექტორი მისი პროგნოზებით და მართკუთხა კოორდინატთა სისტემის ორტებით (ან მისი ვექტორული პროექციებით).

ვექტორულ პროგნოზებს a x და a y ეწოდება a ვექტორის კომპონენტებს ან კომპონენტებს. ოპერაციას, რომელიც ჩვენ შევასრულეთ, ეწოდება ვექტორის დაშლა მართკუთხა კოორდინატთა სისტემის ღერძების გასწვრივ.

თუ ვექტორი მოცემულია სივრცეში, მაშინ

a = a x i + a y j + a z k.

ამ ფორმულას ე.წ ძირითადი ფორმულავექტორული ალგებრა. რა თქმა უნდა, შეიძლება ასეც დაიწეროს.

ალგებრული პროექციავექტორინებისმიერ ღერძზე ტოლია ვექტორის სიგრძისა და ღერძსა და ვექტორს შორის კუთხის კოსინუსის ნამრავლის:

მარჯვნივ a b = |b|cos(a,b) ან

სადაც ბ - ვექტორების წერტილოვანი ნამრავლი, |ა| - ვექტორის a მოდული.

ინსტრუქცია. ვექტორის Пp a b-ის პროექციის საპოვნელად ონლაინ რეჟიმიუნდა მიუთითოთ a და b ვექტორების კოორდინატები. ამ შემთხვევაში ვექტორი შეიძლება იყოს მოცემული სიბრტყეში (ორი კოორდინატი) და სივრცეში (სამი კოორდინატი). შედეგად მიღებული გამოსავალი ინახება Word ფაილში. თუ ვექტორები მოცემულია წერტილების კოორდინატების მეშვეობით, მაშინ აუცილებელია გამოყენება ეს კალკულატორი.

მოცემული:
ორი ვექტორული კოორდინატი
სამი კოორდინატი ვექტორი
a: ; ;
ბ: ; ;

ვექტორული პროექციის კლასიფიკაცია

პროგნოზების ტიპები განსაზღვრების ვექტორული პროექციის მიხედვით

პროგნოზების სახეები კოორდინატთა სისტემის მიხედვით

ვექტორული პროექციის თვისებები

1. ვექტორის გეომეტრიული პროექცია არის ვექტორი (მას აქვს მიმართულება).
2. ვექტორის ალგებრული პროექცია არის რიცხვი.

ვექტორული პროექციის თეორემები

თეორემა 1. ვექტორთა ჯამის პროექცია რომელიმე ღერძზე უდრის იმავე ღერძზე ვექტორების ტერმინების პროექციას.

თეორემა 2. ვექტორის ალგებრული პროექცია ნებისმიერ ღერძზე ტოლია ვექტორის სიგრძისა და ღერძსა და ვექტორს შორის კუთხის კოსინუსის ნამრავლის:

მარჯვნივ a b = |b|cos(a,b)

ვექტორული პროგნოზების სახეები

1. პროექცია OX ღერძზე.
2. პროექცია OY ღერძზე.
3. პროექცია ვექტორზე.

პროექცია OX ღერძზე	პროექცია OY ღერძზე	პროექცია ვექტორამდე
თუ A'B' ვექტორის მიმართულება ემთხვევა OX ღერძის მიმართულებას, მაშინ A'B' ვექტორის პროექციას აქვს დადებითი ნიშანი.	თუ A'B' ვექტორის მიმართულება ემთხვევა OY ღერძის მიმართულებას, მაშინ A'B' ვექტორის პროექციას აქვს დადებითი ნიშანი.	თუ A'B' ვექტორის მიმართულება ემთხვევა ვექტორის NM მიმართულებას, მაშინ A'B' ვექტორის პროექციას აქვს დადებითი ნიშანი.
თუ ვექტორის მიმართულება ეწინააღმდეგება OX ღერძის მიმართულებას, მაშინ ვექტორის A'B' პროექცია აქვს უარყოფითი ნიშანი.	თუ A'B' ვექტორის მიმართულება ეწინააღმდეგება OY ღერძის მიმართულებას, მაშინ A'B' ვექტორის პროექციას აქვს უარყოფითი ნიშანი.	თუ A'B' ვექტორის მიმართულება ეწინააღმდეგება ვექტორის NM მიმართულებას, მაშინ A'B' ვექტორის პროექციას აქვს უარყოფითი ნიშანი.
თუ ვექტორი AB არის OX ღერძის პარალელურად, მაშინ A'B' ვექტორის პროექცია AB ვექტორის მოდულის ტოლია.	თუ ვექტორი AB პარალელურია OY ღერძის, მაშინ A'B' ვექტორის პროექცია AB ვექტორის მოდულის ტოლია.	თუ ვექტორი AB არის ვექტორის NM პარალელურად, მაშინ A'B' ვექტორის პროექცია AB ვექტორის მოდულის ტოლია.
თუ ვექტორი AB არის OX ღერძის პერპენდიკულარული, მაშინ A'B'-ის პროექცია ნულის ტოლია (ნულოვანი ვექტორი).	თუ ვექტორი AB არის OY ღერძის პერპენდიკულარული, მაშინ A'B'-ის პროექცია ნულის ტოლია (ნულის ვექტორი).	თუ ვექტორი AB არის NM ვექტორის პერპენდიკულარული, მაშინ A'B'-ის პროექცია ნულის ტოლია (ნულის ვექტორი).

1. კითხვა: შეიძლება თუ არა ვექტორის პროექციას ჰქონდეს უარყოფითი ნიშანი. პასუხი: დიახ, ვექტორული პროგნოზები შეიძლება იყოს უარყოფითი მნიშვნელობა. ამ შემთხვევაში ვექტორს აქვს საწინააღმდეგო მიმართულება(იხილეთ როგორ არის მიმართული ღერძი OX და ვექტორი AB)
2. კითხვა: შეიძლება თუ არა ვექტორის პროექცია ემთხვევა ვექტორის მოდულს. პასუხი: დიახ, შეიძლება. ამ შემთხვევაში ვექტორები პარალელურია (ან დევს იმავე წრფეზე).
3. კითხვა: შეიძლება თუ არა ვექტორის პროექცია იყოს ნულის ტოლი (ნულოვანი ვექტორი). პასუხი: დიახ, შეიძლება. ამ შემთხვევაში ვექტორი შესაბამისი ღერძის (ვექტორის) პერპენდიკულარულია.

მაგალითი 1. ვექტორი (ნახ. 1) OX ღერძთან ქმნის 60 o კუთხეს (ის მოცემულია a ვექტორით). თუ OE არის მასშტაბის ერთეული, მაშინ |b|=4, ასე .

მართლაც, ვექტორის სიგრძე ( გეომეტრიული პროექციაბ) უდრის 2-ს და მიმართულება იგივეა, რაც OX ღერძის მიმართულება.

მაგალითი 2 . ვექტორი (ნახ. 2) ქმნის კუთხეს OX ღერძთან (a ვექტორთან) (a,b) = 120 o . სიგრძე |ბ| ვექტორი b უდრის 4-ს, ამიტომ pr a b=4 cos120 o = -2.

მართლაც, ვექტორის სიგრძე უდრის 2-ს, ხოლო მიმართულება ღერძის მიმართულების საპირისპიროა.