მათემატიკური მნიშვნელობის მსგავსებისა და ამოხსნის სხვადასხვა მეთოდის ურთიერთშემცვლელობის საფუძველზე, ყველა არითმეტიკული მეთოდი შეიძლება გაერთიანდეს შემდეგ ჯგუფებად:

• 1) ერთეულამდე შემცირების მეთოდი, საერთო ზომამდე შემცირება, ერთეულამდე შებრუნებული შემცირების მეთოდი, მიმართებების მეთოდი;
• 2) პრობლემის გადაჭრის გზა „ბოლოდან“;
• 3) უცნობის აღმოფხვრის მეთოდი (ერთი უცნობის მეორეთი ჩანაცვლება, უცნობის შედარება, მონაცემების შედარება, ორი პირობის შედარება გამოკლებით, ორი პირობის ერთში გაერთიანება); გამოცნობის გზა;
• 4) პროპორციული გაყოფა, მსგავსება ან ნაწილების პოვნა;
• 5) ერთი პრობლემის მეორეში გადაქცევის მეთოდი (კომპლექსური პრობლემის მარტივ, მოსამზადებელად დაშლა; უცნობის ისეთ მნიშვნელობებამდე მიყვანა, რომლებისთვისაც მათი თანაფარდობა ცნობილი ხდება; ერთ-ერთი უცნობი სიდიდისთვის თვითნებური რიცხვის განსაზღვრის მეთოდი) .

ამ მეთოდების გარდა, მიზანშეწონილია გავითვალისწინოთ საშუალო არითმეტიკული მეთოდი, ჭარბი მეთოდი, ცნობილისა და უცნობის გადატანის მეთოდი, „მცდარი“ წესების მეთოდი.

ვინაიდან, როგორც წესი, შეუძლებელია წინასწარ განსაზღვრო, რომელი მეთოდია ნარციონალური, განჭვრეტა, რომელი მათგანი მიგვიყვანს მოსწავლისთვის ყველაზე მარტივ და გასაგებ გადაწყვეტამდე, სტუდენტებს უნდა გაეცნონ სხვადასხვა მეთოდებს და მიეცით საშუალება აირჩიონ რომელი. გამოიყენეთ კონკრეტული პრობლემის გადაჭრისას.

უცნობი გამორიცხვის მეთოდი

ეს მეთოდი გამოიყენება მაშინ, როდესაც პრობლემაში რამდენიმე უცნობია. ასეთი პრობლემის გადაჭრა შესაძლებელია ხუთიდან ერთ-ერთი მეთოდით: 1) ერთი უცნობის მეორეთი ჩანაცვლება; 2) უცნობის შედარება; 3) ორი პირობის შედარება გამოკლებით; 4) მონაცემთა შედარება; 5) რამდენიმე პირობის გაერთიანება ერთში.

ერთ-ერთი ზემოაღნიშნული მეთოდის გამოყენების შედეგად, რამდენიმე უცნობის ნაცვლად, რჩება ერთი, რომლის პოვნაც შესაძლებელია. მისი გამოთვლის შემდეგ, გამოიყენეთ მონაცემები დამოკიდებულების მდგომარეობაში სხვა უცნობის საპოვნელად.

მოდით უფრო დეტალურად განვიხილოთ ზოგიერთი მეთოდი.

1. ერთი უცნობის მეორეთი ჩანაცვლება

ტექნიკის სახელწოდება ცხადყოფს მის იდეას: დამოკიდებულებებზე (მრავლობითი ან სხვაობა), რომლებიც მოცემულია პრობლემის მდგომარეობის მიხედვით, აუცილებელია ყველა უცნობის გამოხატვა ერთი მათგანის საშუალებით.

დავალება. სერგეის და ანდრეის სულ 126 მარკა აქვთ. სერგეის ანდრეისზე 14 ქულით მეტი აქვს. რამდენი შტამპი ჰქონდა თითოეულ ბიჭს?

მდგომარეობის მოკლე განცხადება:

სერგეი --? მარკები, კიდევ 14 მარკა

ანდრეი -- ? მარკები

სულ -- 126 მარკა

გამოსავალი 1

• (დიდი უცნობის ჩანაცვლება პატარათი)
• 1) დაე, სერგეის ჰქონდეს იმდენი მარკა, რამდენიც ანდრეიმ. მაშინ მარკების საერთო რაოდენობა იქნება 126 -- 14 = 112 (ნიშანი).
• 2) ვინაიდან ახლა ბიჭებს აქვთ იგივე რაოდენობის შტამპები, ჩვენ გავიგებთ, რამდენი მარკა ჰქონდა ანდრეის თავდაპირველად: 112: 2 = 56 (ნიშანი).
• 3) იმის გათვალისწინებით, რომ სერგეის ანდრეისზე 14 ქულით მეტი აქვს, მივიღებთ: 56 + 14 = 70 (ნიშანი).

გამოსავალი 2

• (პატარა უცნობის ჩანაცვლება უფრო დიდით)
• 1) დაე ანდრეის ჰქონდეს იგივე რაოდენობის მარკები, როგორც სერგეი. მაშინ მარკების საერთო რაოდენობა იქნება 126 + 14 = 140 (შტამპები).
• 2) ვინაიდან ახლა ბიჭებს აქვთ იგივე რაოდენობის მარკები, ჩვენ გავიგებთ, რამდენი შტამპი ჰქონდა სერგეის თავდაპირველად: 140: 2 = 70 (ნიშანი).
• 3) იმის გათვალისწინებით, რომ ანდრეის სერგეისზე 14 ქულით ნაკლები ჰქონდა, მივიღებთ: 70 - 14 = 56 (ნიშანი).

პასუხი: სერგეის 70 ქულა ჰქონდა, ანდრეის კი 56 ქულა.

სტუდენტების მიერ პატარა უცნობის უფრო დიდით ჩანაცვლების მეთოდის საუკეთესო ასიმილაციისთვის, მის განხილვამდე აუცილებელია მოსწავლეებთან შემდეგი ფაქტის გარკვევა: თუ რიცხვი A მეტია B რიცხვზე C ერთეულებით, მაშინ A და B რიცხვების შედარების მიზნით აუცილებელია:

• ა) გამოვაკლოთ რიცხვი C A რიცხვს (მაშინ ორივე რიცხვი უდრის B რიცხვს);
• ბ) დაამატე რიცხვი C B რიცხვს (მაშინ ორივე რიცხვი უდრის A რიცხვს).

მოსწავლეთა უნარი შეცვალონ უფრო დიდი უცნობი პატარათი და პირიქით, კიდევ უფრო უწყობს ხელს განტოლების შედგენისას უცნობის არჩევის და მისი მეშვეობით სხვა სიდიდის გამოხატვის უნარის განვითარებას.

2. უცნობთა შედარება

დავალება. ოთხ თაროზე 188 წიგნი იყო. მეორე თაროზე 16-ით ნაკლები წიგნი იყო, ვიდრე პირველზე, მესამეზე - 8-ით მეტი, ვიდრე მეორეზე, ხოლო მეოთხეზე - 12-ით ნაკლები, ვიდრე მესამე თაროზე. რამდენი წიგნია თითოეულ თაროზე?

დავალების ანალიზი

ოთხ უცნობ რაოდენობას შორის დამოკიდებულების უკეთ გასაგებად (წიგნების რაოდენობა თითოეულ თაროზე), ვიყენებთ სქემას:

ᲛᲔ _________________________________

II_________________

III_________________________________

IV_____________________ _ _ _ _ _

იმ სეგმენტების შედარებისას, რომლებიც სქემატურად ასახავს წიგნების რაოდენობას თითოეულ თაროზე, მივდივართ შემდეგ დასკვნამდე: პირველ თაროზე 16 წიგნით მეტია, ვიდრე მეორეზე; მესამეზე 8-ით მეტი მეორეზე; მეოთხეზე - 12 - 8 = 4 (წიგნი) ნაკლები, ვიდრე მეორეზე. ამიტომ, პრობლემის მოგვარება შესაძლებელია თითოეულ თაროზე წიგნების რაოდენობის შედარებით. ამისთვის პირველი თაროდან ამოვიღებთ 16 წიგნს, მესამედან 8 წიგნს და მეოთხე თაროზე დავდებთ 4 წიგნს. შემდეგ ყველა თაროზე იქნება იგივე რაოდენობის წიგნი, კერძოდ, როგორც მეორეზე იყო თავიდან.

• 1) რამდენი წიგნია ყველა თაროზე დავალების ანალიზში აღწერილი ოპერაციების შემდეგ?
• 188 -- 16 -- 8 + 4 = 168 (წიგნები)
• 2) რამდენი წიგნი იყო მეორე თაროზე?
• 168:4 = 42 (წიგნები)
• 3) რამდენი წიგნი იყო პირველ თაროზე?
• 42 + 16 = 58 (წიგნები)
• 4) რამდენი წიგნი იყო მესამე თაროზე?
• 42 + 8 = 50 (წიგნები)
• 5) რამდენი წიგნი იყო მეოთხე თაროზე?
• 50 -- 12 = 38 (წიგნები)

პასუხი: ოთხივე თაროზე იყო 58, 42, 50 და 38 წიგნი.

კომენტარი. თქვენ შეგიძლიათ შესთავაზოთ მოსწავლეებს ამ პრობლემის გადაჭრა სხვა გზით, თუ შევადარებთ წიგნების უცნობ რაოდენობას, რომლებიც პირველ, ან მეორე, ან მეოთხე თაროზე იყო.

3. ორი პირობის შედარება გამოკლებით

ამ ტექნიკით მოგვარებული პრობლემის სიუჟეტი ხშირად მოიცავს ორ პროპორციულ რაოდენობას (საქონლის რაოდენობა და მისი ღირებულება, მუშაკთა რაოდენობა და მათ მიერ შესრულებული სამუშაო და ა.შ.). პირობა იძლევა ერთი სიდიდის ორ მნიშვნელობას და სხვა სიდიდის ორი რიცხვითი მნიშვნელობის განსხვავებას მათ პროპორციულად.

დავალება. 4 კგ ფორთოხალში და 5 კგ ბანანში გადაიხადეს 620 მანეთი, შემდეგ ჯერზე 500 მანეთი გადაიხადეს 4 კგ ფორთოხალში და 3 კგ ბანანში იმავე ფასად. რა ღირს 1 კგ ფორთოხალი და 1 კგ ბანანი?

მდგომარეობის მოკლე განცხადება:

• 4 კგ აპლიკაცია. და 5 კგ აკრძალვა. - 620 რუბლი,
• 4 კგ აპლიკაცია. და 3 კგ აკრძალვა. - 500 რუბლი.

• 1) შეადარეთ ორი შესყიდვის ღირებულება. პირველადაც და მეორედაც ერთსა და იმავე ფასად იყიდეს ერთნაირი რაოდენობის ფორთოხალი. პირველად გადაიხადეს მეტი, რადგან მეტი ბანანი იყიდეს. მოდით გავიგოთ, რამდენი კილოგრამი ბანანი მეტი იყიდა პირველად: 5 - 3 = 2 (კგ).
• 2) მოდი გავიგოთ რამდენი გადაიხადეს პირველ ჯერზე მეორეზე (ანუ გავარკვიეთ რა ღირს 2 კგ ბანანი): 620 - 500 = 120 (რუბლი).
• 3) იპოვეთ 1 კგ ბანანის ფასი: 120: 2 = 60 (რუბლი).
• 4) პირველი და მეორე შესყიდვის ღირებულების ცოდნით შეგვიძლია ვიპოვოთ 1 კგ ფორთოხლის ფასი. ამისათვის ჯერ ვხვდებით შეძენილი ბანანის ღირებულებას, შემდეგ ფორთოხლის, შემდეგ კი 1 კგ-ის ფასს. ჩვენ გვაქვს: (620 - 60 * 5): 4 \u003d 80 (რუბლი).

პასუხი: 1 კგ ფორთოხლის ფასი 80 მანეთია, ხოლო 1 კგ ბანანის ფასი 60 მანეთი.

4. მონაცემთა შედარება

ამ ტექნიკის გამოყენება შესაძლებელს ხდის მონაცემების შედარებას და გამოკლების მეთოდის გამოყენებას. თქვენ შეგიძლიათ შეადაროთ მონაცემთა მნიშვნელობები:

• 1) გამრავლების გამოყენება (მათი შედარება უმცირეს საერთო ჯერადთან);
• 2) გაყოფის გამოყენება (მათი შედარება უდიდეს საერთო გამყოფთან).

მოდით ვაჩვენოთ ეს მაგალითით.

დავალება. 4 კგ ფორთოხალში და 5 კგ ბანანში გადაიხადეს 620 მანეთი, შემდეგ ჯერზე 660 რუბლი გადაიხადეს 6 კგ ფორთოხალში და 3 კგ ბანანში იმავე ფასად. რა ღირს 1 კგ ფორთოხალი და 1 კგ ბანანი?

მდგომარეობის მოკლე განცხადება:

• 4 კგ აპლიკაცია. და 5 კგ აკრძალვა. - 620 რუბლი,
• 6 კგ აპლიკაცია. და 3 კგ აკრძალვა. - 660 რუბლი.

გავათანაბროთ ფორთოხლისა და ბანანის რაოდენობა უმცირეს საერთო ჯერადთან შედარებით: LCM(4;6) = 12.

გამოსავალი 1.

• 1) გავზარდოთ შეძენილი ხილის რაოდენობა და მათი ღირებულება პირველ შემთხვევაში 3-ჯერ, ხოლო მეორეში - 2-ჯერ. ჩვენ ვიღებთ ამ მდგომარეობის შემდეგ სტენოგრამას:
• 12 კგ აპლიკაცია. და 15 კგ აკრძალვა. - 1860 რუბლი,
• 12 კგ აპლიკაცია. და 6 კგ აკრძალვა. - 1320 რუბლი.
• 2) გაიგეთ კიდევ რამდენი ბანანი იყიდეს პირველად: 15-6 = 9 (კგ).
• 3) რა ღირს 9 კგ ბანანი? 1860 - 1320 = 540 (რუბლი).
• 4) იპოვეთ 1 კგ ბანანის ფასი: 540: 9 = 60 (რუბლი).
• 5) იპოვეთ 3 კგ ბანანის ღირებულება: 60 * 3 = 180 (რუბლი).
• 6) იპოვეთ 6 კგ ფორთოხლის ღირებულება: 660 - 180 = 480 (რუბლი).
• 7) იპოვეთ 1 კგ ფორთოხლის ფასი: 480: 6 = 80 (რუბლი).

გამოსავალი 2.

მოდით გავათანაბროთ ფორთოხლისა და ბანანის რაოდენობა უდიდეს საერთო გამყოფთან შედარებით: gcd (4; 6) = 2.

• 1) პირველად და მეორედ შეძენილი ფორთოხლის რაოდენობის გასათანაბრებლად, შეძენილი საქონლის რაოდენობას და მის ღირებულებას პირველ შემთხვევაში ვამცირებთ 2-ჯერ, მეორეში - 3-ჯერ. მოდით მივიღოთ დავალება, რომელსაც აქვს ასეთი მოკლე მდგომარეობის ჩანაწერი
• 2 კგ აპლიკაცია. და 2,5 კგ აკრძალვა. - 310 რუბლი,
• 2 კგ აპლიკაცია. და 1 კგ აკრძალვა. - 220 რუბლი.
• 2) კიდევ რამდენი ბანანი იყიდა ახლა: 2,5 - 1 = 1,5 (კგ).
• 3) იპოვეთ რა ღირს 1,5 კგ ბანანი: 310 - 220 = 90 (რუბლი).
• 4) იპოვეთ 1 კგ ბანანის ფასი: 90: 1.5 = 60 (რუბლი).
• 5) იპოვეთ 1 კგ ფორთოხლის ფასი: (660 - 60 * 3): 6 = 80 (რუბლი).

პასუხი: 1 კგ ფორთოხლის ფასი 80 რუბლია, 1 კგ ბანანი 60 რუბლი.

მონაცემთა შედარების მეთოდის გამოყენებით პრობლემების გადაჭრისას, თქვენ არ შეგიძლიათ გააკეთოთ ასეთი დეტალური ანალიზი და ჩანაწერები, მაგრამ მხოლოდ ჩაწერეთ ცვლილებები, რომლებიც განხორციელდა შედარებისთვის და ჩამოწერეთ ისინი ცხრილის სახით.

5. მრავალი პირობის გაერთიანება ერთში

ზოგჯერ შეგიძლიათ თავი დააღწიოთ არასაჭირო უცნობებს რამდენიმე პირობის ერთში გაერთიანებით.

დავალება. ტურისტებმა დატოვეს ბანაკი და ჯერ 4 საათის განმავლობაში იარეს ფეხით, შემდეგ კი კიდევ 4 საათის განმავლობაში გარკვეული მუდმივი სიჩქარით დადიოდნენ ველოსიპედებით და ბანაკიდან 60 კმ-ით დაშორდნენ. მეორედ დატოვეს ბანაკი და ჯერ 7 საათის განმავლობაში ველოსიპედს ატარებდნენ იმავე სიჩქარით, შემდეგ კი საპირისპირო მიმართულებით შეტრიალდნენ და 4 საათის განმავლობაში ფეხით მოძრაობდნენ, ბანაკიდან 50 კმ-ის მანძილზე აღმოჩნდნენ. რამდენად სწრაფად დადიოდნენ ტურისტები ველოსიპედით?

პრობლემაში ორი უცნობია: ტურისტების ველოსიპედით სეირნობის სიჩქარე და სიარულის სიჩქარე. იმისათვის, რომ გამორიცხოთ ერთი მათგანი, შეგიძლიათ დააკავშიროთ ორი პირობა ერთში. მაშინ ტურისტების მიერ 4 საათში გავლილი მანძილი, რომელიც პირველად ფეხით წინ მიიწევს, უდრის იმ მანძილს, რომელიც გაიარეს 4 საათში, მეორედ უკან გადაადგილება. ამიტომ ამ დისტანციებს ყურადღებას არ ვაქცევთ. ეს ნიშნავს, რომ მანძილი, რომელსაც ტურისტები გაივლიან ველოსიპედებზე 4 + 7 = 11 (საათში) იქნება 50 + 60 = 110 (კმ).

შემდეგ ტურისტების სიჩქარე ველოსიპედებზე: 110: 11 = 10 (კმ/სთ).

პასუხი: ველოსიპედი მოძრაობს 10 კმ/სთ სიჩქარით.

6. მიღების წესი

დაშვების მეთოდის გამოყენება პრობლემების გადაჭრაში არ უქმნის სირთულეებს სტუდენტების უმეტესობას. ამიტომ, იმისათვის, რომ თავიდან ავიცილოთ სტუდენტების მიერ ამ მეთოდის საფეხურების სქემის მექანიკური დამახსოვრება და თითოეულ მათგანზე შესრულებული მოქმედებების არსის არასწორად გაგება, სტუდენტებს ჯერ უნდა აჩვენონ ცდების მეთოდი („ცრუ წესი“ და „წესი ძველი ბაბილონელები“).

შერჩევის მეთოდის, კერძოდ, „მცდარი წესის“ გამოყენებისას, ერთ-ერთ უცნობ რაოდენობას ენიჭება („დაშვებული“) გარკვეული მნიშვნელობა. შემდეგ ყველა პირობის გამოყენებით პოულობენ სხვა სიდიდის მნიშვნელობას. მიღებული მნიშვნელობა შედარებულია პირობით მითითებულ მნიშვნელობასთან. თუ მიღებული მნიშვნელობა განსხვავდება პირობით მოცემულისაგან, მაშინ მითითებული პირველი მნიშვნელობა არ არის სწორი და ის უნდა გაიზარდოს ან შემცირდეს 1-ით და კვლავ მოიძებნოს სხვა მნიშვნელობის მნიშვნელობა. ასე რომ, ეს აუცილებელია მანამ, სანამ არ მივიღებთ სხვა სიდიდის მნიშვნელობას, როგორიცაა პრობლემის მდგომარეობაში.

დავალება. მოლარეს აქვს 50 მონეტა 50 კაპიკიანი და 10 კაპიკი, სულ 21 მანეთი. იპოვეთ რამდენი 50 ათასი მონეტა ჰქონდა მოლარეს ცალკე. და 10 კ.

გამოსავალი 1. (შერჩევის მეთოდი)

გამოვიყენოთ „უძველესი“ ბაბილონელთა წესი. დავუშვათ, რომ მოლარეს აქვს თითოეული ნომინალის თანაბარი მონეტა, ანუ 25 ცალი. მაშინ ფულის ოდენობა იქნება 50 * 25 + 10 * 25 \u003d 1250 + 250 \u003d 1500 (კ.), ან 15 რუბლი. მაგრამ 21 რუბლის პირობებში, ანუ მიღებულზე მეტი, 21 UAH - 15 რუბლი = 6 რუბლი. ეს ნიშნავს, რომ აუცილებელია 50 კაპიკიანი მონეტების რაოდენობის გაზრდა და 10 კაპიკიანი მონეტების შემცირება, სანამ სულ 21 რუბლს არ მივიღებთ. მონეტების რაოდენობისა და მთლიანი ოდენობის ცვლილებას ვწერთ ცხრილში.

მონეტების რაოდენობა	მონეტების რაოდენობა	Ფულის ოდენობა	Ფულის ოდენობა	მთლიანი რაოდენობა	მდგომარეობაზე ნაკლები ან მეტი
					6 რუბლზე ნაკლები.
					5 რუბლს 60 ათასზე ნაკლები
					როგორც მდგომარეობაში

როგორც ცხრილიდან ჩანს, მოლარეს ჰქონდა 40 მონეტა 50 კაპიკიანი და 10 მონეტა 10 კაპიკიანი.

როგორც 1-ლ ხსნარში გაირკვა, თუ მოლარეს 50 ათასიანი თანაბარი მონეტები ჰქონდა. და თითო 10 ათასი, შემდეგ სულ ჰქონდა ფული 15 მანეთი. ადვილი მისახვედრია, რომ მონეტის ყოველი ჩანაცვლება არის 10 ათასი. 50 ათასიანი მონეტისთვის. ზრდის მთლიან თანხას 40 ათასით. ეს ნიშნავს, რომ აუცილებელია გამოვიკვლიოთ რამდენი ასეთი ჩანაცვლებაა საჭირო.ამისთვის ჯერ ვხვდებით რამდენი ფულით არის საჭირო მთლიანი თანხის გაზრდა:

21 რუბლი - 15 რუბლი. = 6 რუბლი. = 600 კ.

მოდით გავიგოთ რამდენჯერ უნდა გაკეთდეს ასეთი ჩანაცვლება: 600 კ. : 40 კ. = 15.

შემდეგ 50 კ.-ზე იქნება 25 +15 = 40 (მონეტა), ხოლო 10 კ.-ზე იქნება 25 - 15 = 10.

გადამოწმება ადასტურებს, რომ ამ შემთხვევაში თანხის მთლიანი ოდენობაა 21 რუბლი.

პასუხი: მოლარეს ჰქონდა 40 მონეტა 50 კაპიკიანი და 10 მონეტა 10 კაპიკიანი.

შესთავაზეთ სტუდენტებს დამოუკიდებლად აირჩიონ სხვადასხვა მნიშვნელობები 50 კაპიკიანი მონეტების რაოდენობისთვის, აუცილებელია მივიტანოთ ისინი იმ აზრამდე, რომ რაციონალურობის თვალსაზრისით საუკეთესოა ვარაუდი, რომ მოლარეს მხოლოდ იგივე მონეტები ჰქონდა. ნომინალი (მაგალითად, 50 კაპიკიანი 50-ვე მონეტა ან 10 ათასიანი 50-ვე მონეტა). ამის გამო ერთ-ერთი უცნობი გამორიცხულია და ჩანაცვლებულია სხვა უცნობით.

7. ნარჩენების მეთოდი

ამ მეთოდს აქვს გარკვეული მსგავსება აზროვნებასთან ცდისა და შეცდომით პრობლემების გადაჭრისას. ჩვენ ვიყენებთ ნარჩენების მეთოდს ერთი მიმართულებით გადაადგილებისთვის ამოცანების გადაჭრისას, კერძოდ, როდესაც საჭიროა ვიპოვოთ დრო, რომლის დროსაც პირველი ობიექტი, რომელიც უკან უფრო მაღალი სიჩქარით მოძრაობს, დაეწიოს მეორე ობიექტს, რომელსაც აქვს დაბალი სიჩქარე. 1 საათში პირველი ობიექტი უახლოვდება მეორეს იმ მანძილით, რომელიც უდრის მათ სიჩქარის სხვაობას, ანუ უდრის სიჩქარის „დარჩენილს“, რომელიც მას აქვს მეორის სიჩქარესთან შედარებით. იმისთვის, რომ ვიპოვოთ დრო, რომელიც პირველ ობიექტს სჭირდება იმ მანძილის დასაძლევად, რომელიც მასა და მეორეს შორის იყო მოძრაობის დასაწყისში, საჭიროა განვსაზღვროთ რამდენჯერ არის მოთავსებული „ნარჩენი“ ამ მანძილზე.

თუ აბსტრაციას ვახდენთ ნაკვეთიდან და განვიხილავთ პრობლემის მხოლოდ მათემატიკურ სტრუქტურას, მაშინ საუბარია ორ ფაქტორზე (ორივე ობიექტის მოძრაობის სიჩქარე) ან განსხვავებაზე ამ ფაქტორებსა და ორ პროდუქტს შორის (დისტანციებზე, რომლებსაც ისინი ფარავს) ან მათ განსხვავებაზე. უცნობი მამრავლები (დრო) იგივეა და უნდა მოიძებნოს. მათემატიკური თვალსაზრისით, უცნობი ფაქტორი გვიჩვენებს, რამდენჯერ არის ცნობილი ფაქტორების განსხვავება პროდუქტების განსხვავებაში. მაშასადამე, ამოცანებს, რომლებიც წყდება ნარჩენების მეთოდით, ეწოდება ამოცანები ორი სხვაობით რიცხვების საპოვნელად.

დავალება. მოსწავლეებმა გადაწყვიტეს ალბომში ჩასვათ ფოტოები დღესასწაულიდან. თუ თითოეულ გვერდზე 4 ფოტოს დაამაგრებენ, მაშინ ალბომში 20 ფოტოსთვის საკმარისი ადგილი არ იქნება. თუ თითოეულ გვერდზე 6 ფოტოს მიამაგრებთ, მაშინ 5 გვერდი უფასო დარჩება. რამდენი ფოტოს შეტანას აპირებენ მოსწავლეები ალბომში?

დავალების ანალიზი

ფოტოების რაოდენობა იგივე რჩება პირველი და მეორე წებოს ვარიანტებისთვის. პრობლემის მდგომარეობიდან გამომდინარე, უცნობია, მაგრამ მისი პოვნა შესაძლებელია, თუ ცნობილია ფოტოების რაოდენობა, რომლებიც განთავსებულია ერთ გვერდზე და გვერდების რაოდენობა ალბომში.

ცნობილია ფოტოების რაოდენობა, რომლებიც ერთ გვერდზეა ჩასმული (პირველი მულტიპლიკატორი). ალბომის გვერდების რაოდენობა უცნობია და უცვლელი რჩება (მეორე მულტიპლიკატორი). ვინაიდან ცნობილია, რომ ალბომის 5 გვერდი მეორედ რჩება უფასო, შეგიძლიათ იპოვოთ კიდევ რამდენი ფოტოს ჩასმა ალბომში: 6 * 5 = 30 (ფოტო).

ასე რომ, ერთ გვერდზე ფოტოების რაოდენობის გაზრდა 6 - 4 = 2-ით, ჩასმული ფოტოების რაოდენობა იზრდება 20 + 30 = 50-ით.

მას შემდეგ, რაც მეორედ თითო გვერდზე კიდევ ორი ​​ფოტო იქნა ჩასმული და სულ კიდევ 50 ფოტო იქნა ჩასმული, ალბომში ვხვდებით გვერდების რაოდენობას: 50: 2 = 25 (გვ.).

აქედან გამომდინარე, სულ იყო 4 * 25 + 20 = 120 ფოტო.

პასუხი: ალბომში იყო 25 გვერდი და ჩასმული იყო 120 ფოტო.

დაწყებითი სკოლის მასწავლებელმა უბრალოდ უნდა იცოდეს რა ტიპის ამოცანებია ხელმისაწვდომი. დღეს თქვენ გაეცნობით მარტივი ტექსტის არითმეტიკული ამოცანების შესახებ. მარტივი ტექსტის არითმეტიკული ამოცანები არის ამოცანები, რომლებიც წყდება ერთი არითმეტიკული მოქმედებით.. როდესაც ჩვენ ვკითხულობთ ამოცანას, ჩვენ ავტომატურად ვუკავშირდებით მას რაიმე სახის და აქ მაშინვე ირკვევა, თუ რა მოქმედებით უნდა გადაწყდეს იგი.

მე მოგცემთ არა მხოლოდ მარტივი ტექსტური ამოცანების კლასიფიკაციას, არამედ მათ მაგალითებსაც და ასევე ვისაუბრებთ ტექსტური ამოცანების არითმეტიკული გზით ამოხსნაზე. მე ავიღე ყველა მაგალითი მათემატიკის სახელმძღვანელოებიდან მე-2 კლასისთვის (ნაწილი 1, ნაწილი 2), რომლებიც ისწავლება ბელორუსის სკოლებში.

ყველა მარტივი არითმეტიკული ამოცანა იყოფა ორ დიდ ჯგუფად:

- AD I (+/-), ანუ ის, რაც იხსნება პირველი რიგის არითმეტიკული მოქმედებებით (შეკრება ან გამოკლება);

- AD II (* /:), ანუ ის, რაც იხსნება მეორე რიგის არითმეტიკული მოქმედებებით (გამრავლება ან გაყოფა).

განვიხილოთ მარტივი ტექსტის არითმეტიკული ამოცანების პირველი ჯგუფი (AD I):

1) ამოცანები, რომლებიც ავლენს დამატების სპეციფიკურ მნიშვნელობას (+)

რბოლაში მონაწილეობა 4 გოგონამ და 5 ბიჭმა მიიღო. კლასის რამდენი მოსწავლე მონაწილეობდა კონკურსში?

მას შემდეგ რაც საშამ ამოხსნა 9 მაგალითი, მას კიდევ 3 მაგალითის ამოხსნა მოუწია. რამდენი მაგალითის გადაჭრა დასჭირდა საშას?

ასეთი ამოცანები წყდება შეკრებით: a+b=?

2) ამოცანები, რომლებიც ავლენს გამოკლების კონკრეტულ მნიშვნელობას (-)

დედამ გამოაცხო 15 ღვეზელი. რამდენი ღვეზელი რჩება 10 ღვეზელის ჭამის შემდეგ?

ქილაში 15 ჭიქა წვენი იყო. ვახშამზე 5 ჭიქა დავლიეთ. რამდენი ჭიქა წვენი დარჩა?

ასეთი ამოცანები წყდება გამოკლებით: a-b=?

3) ამოცანები კომპონენტებს შორის ურთიერთობისა და შეკრების ან გამოკლების მოქმედების შედეგზე:

ა) იპოვონ უცნობი პირველი წევრი (? + a = b)

ბიჭმა ყუთში 4 ფანქარი ჩადო. იყო 13. რამდენი ფანქარი იყო ყუთში თავდაპირველად?

ამ ამოცანის გადასაჭრელად საჭიროა მოქმედების შედეგს გამოვაკლოთ ცნობილი მე-2 წევრი: b-a=?

ბ) უცნობი მე-2 წევრის საპოვნელად (a+?=b)

ქვაბში და ქვაბში ჩაასხა 13 ჭიქა წყალი. რამდენი ჭიქა წყალი ჩაასხეს ქვაბში, თუ ქვაბში 5 ჭიქა ჩაასხა?

ამ ტიპის ამოცანები წყდება გამოკლებით, მოქმედების შედეგს აკლდება ცნობილი 1-ლი წევრი: b-a=?

გ) უცნობი მინიუენდის პოვნა (?-a=b)

ოლგამ თაიგული შეაგროვა. ვაზაში 3 ფერი ჩადო და 7 ყვავილი დარჩა. რამდენი ყვავილი იყო თაიგულში?

არითმეტიკურად ამ ტიპის ტექსტური ამოცანების ამოხსნა ხორციელდება მოქმედების შედეგისა და ქვეტრაჰენდის მიმატებით: b+a=?

დ) უცნობი სუბტრაჰენდის პოვნა (а-?=b)

ვიყიდე 2 ათეული კვერცხი. რამდენიმე კვერცხი გამოსაცხობად რომ წაიღეს, დარჩა 15. რამდენი კვერცხი აიღეს?

ეს ამოცანები წყდება გამოკლებით: გამოვაკლოთ მოქმედების შედეგი შემცირებულს: a-b=?

4) რამდენიმე ერთეულით შემცირების/გაზრდის ამოცანები პირდაპირი, არაპირდაპირი ფორმით

რამდენიმე ერთეულით შემცირების დავალებების მაგალითები პირდაპირი ფორმით:

ერთ ყუთში 20 კგ ბანანი იყო, მეორეში კი - 5-ით ნაკლები. რამდენი კილოგრამი ბანანი იყო მეორე ყუთში?

პირველმა კლასმა შეაგროვა 19 ყუთი ვაშლი, ხოლო მეორემ - 4 კოლოფით ნაკლები. რამდენი ყუთი ვაშლი აირჩია მეორე კლასმა?

ეს ამოცანები წყდება გამოკლებით (a-b=? )

მე-2 კლასის მათემატიკის სახელმძღვანელოში ირიბი ფორმით კლების, ასევე პირდაპირი ან ირიბი სახით გაზრდის ამოცანების მაგალითები ვერ ვიპოვე. საჭიროების შემთხვევაში, დაწერეთ კომენტარებში - და მე დავამატებ სტატიას ჩემი მაგალითებით.

5) ამოცანები განსხვავებების შედარებისთვის

ბატის მასა 7 კგ, ქათმის კი 3 კგ. რამდენი კილოგრამით ნაკლებია ქათმის წონა ბატის წონაზე?

პირველ ყუთში 14 ფანქარია, მეორეში კი 7. რამდენი ფანქარი მეტია პირველ ყუთში, ვიდრე მეორეში?

განსხვავებების შედარებისთვის ტექსტური ამოცანების ამოხსნა მზადდება დიდი რიცხვიდან პატარა რიცხვის გამოკლებით.

დავასრულეთ 1 ჯგუფის მარტივი ტექსტური არითმეტიკული ამოცანები და გადავდივართ მე-2 ჯგუფის ამოცანებზე. თუ რამე ვერ გაიგეთ, ჰკითხეთ კომენტარებში.

მარტივი ტექსტის არითმეტიკული ამოცანების მეორე ჯგუფი (AD II):

1) ამოცანები, რომლებიც ავლენს გამრავლების კონკრეტულ მნიშვნელობას

რამდენი ფეხი აქვს ორ ძაღლს? სამი ძაღლი?

სახლის წინ სამი მანქანა დგას. თითოეულ მანქანას აქვს 4 ბორბალი. რამდენი ბორბალი აქვს სამ მანქანას?

ეს ამოცანები წყდება გამრავლებით: a*b=?

2) ამოცანები, რომლებიც ავლენს გაყოფის სპეციფიკურ მნიშვნელობას:

ა) შინაარსი

ბავშვებს 10 ნამცხვარი დაურიგეს, თითო 2. რამდენმა ბავშვმა მიიღო ნამცხვარი?

2 კგ ტომარა შეიცავს 14 კგ ფქვილს. რამდენი ასეთი პაკეტი?

ამ ამოცანებში ვხვდებით, რამდენი ნაწილი გამოვიდა თანაბარი შინაარსით.

ბ) თანაბარ ნაწილად

10 სმ სიგრძის ზოლი დაიჭრა ორ თანაბარ ნაწილად. რა არის თითოეული ნაწილის სიგრძე?

ნინამ 10 ნამცხვარი თანაბრად დაყო 2 თეფშად. რამდენი ნამცხვარია ერთ თეფშზე?

და ამ ამოცანებში ვხვდებით, რა არის ერთი თანაბარი ნაწილის შინაარსი.

როგორც არ უნდა იყოს, ყველა ეს ამოცანა წყდება გაყოფით: a:b=?

3) ამოცანები კომპონენტისა და გამრავლებისა და გაყოფის შედეგს შორის ურთიერთობის შესახებ:

ა) იპოვონ უცნობი პირველი ფაქტორი: ?*а=b

საკუთარი მაგალითი:

რამდენიმე ყუთი 6 ფანქრით. ყუთში არის 24 ფანქარი. რამდენი ყუთია?

ის იხსნება ნამრავლის ცნობილ მეორე ფაქტორზე გაყოფით: b:a=?

ბ) უცნობი მეორე ფაქტორის პოვნა: a*?=b

კაფე ერთ მაგიდასთან 3 ადამიანის მოთავსებას იტევს. 15 კაცი რომ მოვიდეს ამ მაგიდიდან რამდენი დაიკავებს?

ის იხსნება პროდუქტის ცნობილ პირველ ფაქტორზე გაყოფით: b:a=?

გ) უცნობი დივიდენდის საპოვნელად: ?:a=b

საკუთარი მაგალითი:

კოლიამ კლასში ტკბილეული მიიტანა და თანაბრად დაყო ყველა მოსწავლეს შორის. კლასში 16 ბავშვია. თითოეულმა მიიღო 3 კანფეტი. რამდენი ტკბილეული მოიტანა კოლიამ?

ის წყდება გამყოფზე გამრავლებით: b*a=?

დ) უცნობი გამყოფის პოვნა: a:?=b

საკუთარი მაგალითი:

ვიტიამ კლასში 44 ტკბილეული მიიტანა და თანაბრად დაყო ყველა მოსწავლეს შორის. თითოეულმა მიიღო 2 კანფეტი. რამდენი მოსწავლეა კლასში?

ის იხსნება დივიდენდის კოეფიციენტზე გაყოფით: a:b=?

4) ამოცანები რამდენჯერმე გაზრდის / შემცირების პირდაპირი ან არაპირდაპირი ფორმით

მე-2 კლასის სახელმძღვანელოში მსგავსი ტექსტური არითმეტიკული ამოცანების მაგალითები არ მოიძებნა.

5) ამოცანები მრავალჯერადი შედარებისთვის

ამოხსენით დიდის მცირეზე გაყოფით.

მეგობრებო, მარტივი სიტყვის ამოცანების ზემოაღნიშნული კლასიფიკაცია ყველა სიტყვის ამოცანების დიდი კლასიფიკაციის მხოლოდ ნაწილია. გარდა ამისა, ჯერ კიდევ არის ამოცანები პროცენტების მოძიებაზე, რაზეც არ მითქვამს. ამ ყველაფრის შესახებ შეგიძლიათ გაიგოთ ამ ვიდეოდან:

და ჩემი მადლიერება დარჩება თქვენთან ერთად!

ტექსტური ამოცანების ამოხსნის ალგებრული მეთოდი მათი ამოხსნის არითმეტიკული ხერხის მოსაძებნად

უმცროსების მიერ სიტყვიერი ამოცანების ამოხსნაშკოლნიკები შეიძლება ჩაითვალოს საშუალებად და სწავლების მეთოდად, რომლის გამოყენებისას ათვისებულია მათემატიკის საწყისი კურსის შინაარსი: მათემატიკური ცნებები, არითმეტიკული მოქმედებების მნიშვნელობა და მათი თვისებები, გამოთვლითი უნარების ჩამოყალიბება და პრაქტიკული უნარები.

მასწავლებელი, რომელიც წარმართავს სკოლის მოსწავლეების მიერ პრობლემების გადაჭრის პროცესს, უპირველეს ყოვლისა, თავად უნდა შეძლოს პრობლემების გადაჭრა, ასევე ფლობდეს აუცილებელ ცოდნას და უნარებს, რომ ეს ასწავლოს სხვებს.

ამოცანების ამოხსნის უნარი არის მასწავლებლის მათემატიკური მომზადების საფუძველი, რათა ასწავლოს უმცროსი მოსწავლეებს ტექსტური ამოცანების ამოხსნა.

ტექსტური ამოცანების ამოხსნის გავრცელებულ მეთოდებს შორის (ალგებრული, არითმეტიკული და გეომეტრიული) ყველაზე ფართოდ გამოიყენება დაწყებით კლასებში ამოცანების უმეტესობისთვის.არითმეტიკული მეთოდი, მათ შორის მათი გადაჭრის სხვადასხვა გზები. თუმცა მასწავლებლისთვის ხშირ შემთხვევაში პრობლემების გადაჭრის ეს მეთოდი უფრო რთულია ვიდრე ალგებრული. ეს პირველ რიგში განპირობებულია იმით, რისგანსაშუალო სკოლის მათემატიკის კურსი

პრაქტიკულად გამორიცხული იყო არითმეტიკის კურსი, რომელიც ითვალისწინებდა სკოლის მოსწავლეების არითმეტიკული მეთოდით ამოცანების გადაჭრის უნარის ჩამოყალიბებას. მეორეც, მათემატიკის საუნივერსიტეტო კურსში მას ასევე სათანადო ყურადღება არ ექცევა.

ამავდროულად, არითმეტიკული მეთოდით ამოცანების ამოხსნის აუცილებლობა ნაკარნახევია უმცროსი მოსწავლის მათემატიკური ცოდნის მარაგით, რაც მათ არ აძლევს საშუალებას გადაჭრას პრობლემების უმეტესობა ალგებრის ელემენტების გამოყენებით.

მასწავლებელს, როგორც წესი, შეუძლია ნებისმიერი ამოცანის ალგებრულად გადაჭრა, მაგრამ არითმეტიკურად ყველა პრობლემის გადაჭრა არ შეუძლია.

ამასთან, ეს მეთოდები ურთიერთდაკავშირებულია და მასწავლებელმა არა მხოლოდ უნდა შეამჩნიოს ეს ურთიერთობა, არამედ გამოიყენოს იგი თავის საქმიანობაში. ამ სტატიაში, ზოგიერთი ამოცანის ამოხსნის მაგალითის გამოყენებით, შევეცდებით ვაჩვენოთ კავშირი ამოცანების ამოხსნის ალგებრულ და არითმეტიკულ მეთოდებს შორის, რათა დავეხმაროთ მასწავლებელს ალგებრულად ამოხსნის პრობლემის გადაჭრის არითმეტიკული ხერხის პოვნაში.

მოდით გავაკეთოთ რამდენიმე წინასწარი შენიშვნა:

1. ყოველთვის არა (და თუნდაც ყოველთვის შორს) ალგებრული მეთოდით ამოხსნილი ტექსტური ამოცანის ამოხსნა შეიძლება არითმეტიკით. უნდა გვახსოვდეს, რომ პრობლემის გადაჭრა შესაძლებელია არითმეტიკული მეთოდის გამოყენებით, როდესაც მისი ალგებრული მოდელი მცირდება წრფივ განტოლებამდე ან წრფივი განტოლებათა სისტემამდე.

2. წრფივი განტოლების ფორმა ყოველთვის არ „ვარაუდობს“ ამოცანის ამოხსნის არითმეტიკულ ხერხს, თუმცა განტოლების შემდგომი გარდაქმნები შესაძლებელს ხდის მის პოვნას. წრფივი განტოლებათა სისტემის ამოხსნა, ჩვენი აზრით, თითქმის მაშინვე შესაძლებელს ხდის პრობლემის არითმეტიკული გზით გადაჭრის მსჯელობის მსვლელობის გამოკვეთას.

განვიხილოთ მაგალითები.

მაგალითი 1 პრობლემა დაყვანილია განტოლებამდე

კეთილიაჰ + ბ= ს.

დავალება. დილის 8 საათზე მატარებელი A წერტილიდან B წერტილისკენ გაემგზავრა 60 კმ/სთ სიჩქარით. 11 საათზე მეორე მატარებელი დატოვა B წერტილიდან, რათა შეხვედროდა მას 70 კმ/სთ სიჩქარით. რომელ საათზე შეხვდებიან მატარებლები, თუ წერტილებს შორის მანძილი 440 კმ-ია?

ალგებრული მეთოდი მივყავართ განტოლებამდე: (60 + 70) x + 60 3 \u003d 440 ან 130x + 18 \u003d 440, სადაც x საათი არის მეორე მატარებლის დრო შეხვედრამდე. შემდეგ: 130x = 440- 180= 130

x= 260, x =2 (თ).

ზემოთ მოყვანილი მსჯელობა და გამოთვლები პრობლემის გადაჭრის შემდეგ არითმეტიკულ ხერხს „ვარაუდობს“. მოდით ვიპოვოთ: მატარებლის სიჩქარის ჯამი (60 + 70 = 130 (კმ/სთ), პირველი მატარებლის დრო მეორე მატარებლის დაწყებამდე (11-8 \u003d 3 (სთ), პირველის მიერ გავლილი მანძილი მატარებელი 3 საათში (60 3 \u003d 180 (კმ), დარჩენილი მანძილი მატარებლების შესახვედრად შეხვედრამდე (440 - 180 = = 260 (კმ), მეორე მატარებლის დრო შეხვედრამდე (260: 130-2 (თ)).

მომავალში, ალგებრული მეთოდით თითოეული ამოცანის ამოხსნის ეტაპები და არითმეტიკული მეთოდით ამოცანის ამოხსნის შესაბამისი ეტაპები პარალელურად ჩაიწერება ცხრილში, რომელიც საშუალებას მოგცემთ ვიზუალურად თვალყური ადევნოთ, თუ როგორ ხდება ალგებრული გარდაქმნები განტოლებების ამოხსნის პროცესში. რომ არის ტექსტური ამოცანის მოდელი გახსნა ამოხსნის არითმეტიკული მეთოდი. ასე რომ, ამ შემთხვევაში გვექნება შემდეგი ცხრილი (იხ. ცხრილი 1).

ცხრილი 1

x საათი იყოს მეორე მატარებლის დრო შეხვედრამდე. პრობლემის პირობის მიხედვით ვიღებთ განტოლებას:

(60+70)-x+60*3=440 ან 130x+180=440

გადავცვალოთ განტოლება:

130x=440-180 130x=260.

მოდი ვიპოვოთ ცნობილი;

X=260:130; x=2

ვიპოვოთ მატარებლის სიჩქარის ჯამი: 60+70=130(კმ/სთ).

ვიპოვოთ პირველი მატარებლის დრო მეორე მატარებლის დაწყებამდე: 11-8=3(სთ). იპოვეთ პირველი მატარებლის გავლილი მანძილი 3 საათში: 60*3=180(კმ)

ვიპოვოთ მატარებლების გასავლელად დარჩენილი მანძილი შეხვედრამდე: 440-180=260(კმ).

ვიპოვოთ მეორე მატარებლის მოძრაობის დრო: 260:130=2(სთ).

ცხრილი 1-ში მოცემული მონაცემების გამოყენებით ვიღებთ არითმეტიკულ ამონახსნებს.

1. 1. 3 (სთ) -პირველი მატარებელი მეორეს დაწყებამდე მიდიოდა;

1. 3 = 180 (კმ) - პირველმა მატარებელმა 3 საათში გაიარა;

3) 440 - 180 \u003d 260 (კმ) - მატარებლების გავლილი მანძილი ერთდროულად მოძრაობისას;

1. 70 = 130 (კმ/სთ) - მატარებლის მიახლოების სიჩქარე;

1. 130 \u003d 2 (თ) - მეორე მატარებლის მოძრაობის დრო;

6) 11 + 2 = 13 (სთ) - ამ დროს მატარებლები შეხვდებიან.

პასუხი: 13:00 საათზე.

მაგალითი 2 ა 1 x + v 1 \u003d a x + b

დავალება. სკოლის მოსწავლეებმა 4 წიგნი იყიდეს, რის შემდეგაც 40 მანეთი დარჩათ. 7 იგივე წიგნი რომ იყიდეს, 16 მანეთი დარჩებოდა. რა ღირს ერთი წიგნი?

ალგებრული მეთოდი მივყავართ განტოლებამდე:4x + 40 = 7x + 16, სადაც X - ერთი წიგნის ღირებულება. ამ განტოლების ამოხსნისას ვაკეთებთ შემდეგ გამოთვლებს: 7 x - 4X \u003d 40-16 -> Zx \u003d 24 \u003e x \u003d 8, რაც განტოლების შედგენისას გამოყენებულ მსჯელობასთან ერთად იწვევს პრობლემის გადაჭრის არითმეტიკულ გზას. ვიპოვოთ: კიდევ რამდენი წიგნი იყიდა: 7-4 = 3 (წიგნი); რამდენი ფული დარჩება ნაკლები, ე.ი. კიდევ რამდენი ფული დაიხარჯა: 40 - 16 = 24 (p); რა ღირს ერთი წიგნი: 24:3 = 8 (გვ). ზემოაღნიშნული მოსაზრებები შეჯამებულია ცხრილში 2.

პრობლემის გადაჭრის ეტაპები

ალგებრული მეთოდი

არითმეტიკული მეთოდით ამოცანის ამოხსნის ეტაპები

მოდით x იყოს ერთი წიგნის ღირებულება. დავალების მიხედვით

ვიღებთ განტოლებას: 4x+40=7x+16.

გადავცვალოთ განტოლება:

7x-4x=40-16 (7-4)x=24 3x=24

მოდი ვიპოვოთ ცნობილი:

X=24:3; x=8

ოთხი წიგნის ღირებულება და კიდევ 40 რუბლი. უდრის 7 წიგნის ღირებულებას და კიდევ 70რ.

ვნახოთ კიდევ რამდენ წიგნს იყიდიან: 7-4=3(კნ). ვნახოთ, კიდევ რამდენ ფულს გადაიხდიან: 40-16 = 24 (გვ.).

ვიპოვოთ ერთი წიგნის ღირებულება: 24:3=8(რ.).

ცხრილი 2

მე-2 ცხრილის მონაცემების გამოყენებით ვიღებთ არითმეტიკულ ამონახსნებს:

1) 7-4=3 (წიგნი) - კიდევ იმდენი წიგნი იყიდებოდა;

1. 16 \u003d 24 (რ.) - იმდენ რუბლს გადაიხდიან მეტს;

3) 24: 3 = 8 (გვ.) - არის ერთი წიგნი.

პასუხი: 8 მანეთი.

მაგალითი 3 პრობლემა დაყვანილია ფორმის განტოლებამდე:ოჰ + ბ x + cx = დ

დავალება. ტურისტმა გაიარა 2200 კმ, გემზე კი ორჯერ მეტი გაიარა, ვიდრე მანქანით, მატარებლით კი 4-ჯერ მეტი ვიდრე გემზე. რამდენი კილომეტრი გაიარა ტურისტმა ცალ-ცალკე ნავით, მანქანით და მატარებლით?

მე-3 ცხრილის მონაცემების გამოყენებით ვიღებთ არითმეტიკულ ამონახსნებს.

ერთ ნაწილად ავიღოთ ის მანძილი, რომელიც ტურისტმა გაიარა მანქანით:

1 2 \u003d 2 (თ) - ეცემა იმ მანძილზე, რომელიც ტურისტმა დაფარა გემზე;

2) 2 4 \u003d 8 (თ) - ეცემა იმ მანძილზე, რომელიც ტურისტმა გაიარა მატარებლით;

3) 1+2+8=11(თ) - ეცემა მთელ მოგზაურობაზე

ცხრილი 3

მოდით x კილომეტრი იყოს ნავზე გავლილი მანძილი.

პრობლემის პირობის მიხედვით, ვიღებთ განტოლებას: x + 2x + 2 * 4x \u003d 2200.

გადავცვალოთ განტოლება:

(1+2+8)x=2200 11x=2200.

მოდი ვიპოვოთ ცნობილი:

X=2200:11; x=200

ავიღოთ ის მანძილი, რომელიც ტურისტმა გაიარა მანქანით (მინიმუმ) 1 ნაწილად. შემდეგ მანძილი, რომელიც მან გაიარა გემზე, შეესაბამება ორ ნაწილად, ხოლო მატარებელში - 2 - 4 ნაწილს. ეს ნიშნავს, რომ ტურისტის მთელი გზა (2200 კმ) შეესაბამება 1+2+8=11 (საათს).

მოდით ვიპოვოთ რამდენი ნაწილისგან შედგება ტურისტის მთელი გზა: 1 + 2 + 8 = 11 (საათი).

ვიპოვოთ რამდენი კილომეტრი მოდის ერთ ნაწილზე: 2200:11=200 (კმ).

1. 200: 11= 200 (კმ) - ტურისტის მიერ მანქანით გავლილი მანძილი;

1. 2 = 400 (კმ) - ტურისტის მიერ ნავზე გავლილი მანძილი;

6) 200 -8 = 1 600 (კმ) - ტურისტის მიერ მატარებლით გავლილი მანძილი.

პასუხი:200 კმ, 400 კმ, 1600 კმ.

მაგალითი 4 პრობლემა დაყვანილია განტოლებამდეკეთილი (X + ა) შიგნით = cx + დ.

დავალება. სპექტაკლის დასასრულს თეატრიდან 174 მაყურებელი ფეხით დაიშალა, დანარჩენები კი ტრამვაით 18 მანქანით წავიდნენ და თითოეულ მანქანას 5-ით მეტი ადამიანი ეყო, ვიდრე მასში იყო ადგილი. თუ ტრამვაით თეატრიდან გამოსული მაყურებელი ჯდომის რაოდენობის მიხედვით ჩასულიყო, მაშინ კიდევ 3 მანქანა იქნებოდა საჭირო, ბოლოში კი 6 ცარიელი ადგილი. რამდენი მაყურებელი იყო თეატრში?

ცხრილი 4

მოდით იყოს x ადგილები თითოეულ ტრამვაში. მაშინ ამოცანის პირობის მიხედვით გვაქვს განტოლება: (x+5)*18=x*(18+3)-6.

მოდით გადავცვალოთ განტოლება: 21x - 18x \u003d 90 + 6 ან 3x \u003d 96.

მოდი ვიპოვოთ უცნობი:

X= 96: 3; x = 32.

თითოეულ ვაგონში 5-ით მეტი ადამიანი იყო, ვიდრე მასში იყო ადგილები. 18 მანქანაში - 5 * 18 = 90 ადამიანი მეტი. დამატებით 3 მანქანაში 90 ადამიანი შევიდა და კიდევ 6 ცარიელი ადგილი იყო. აქედან გამომდინარე, სამ მანქანაში არის 90 + 6 = 96 ადგილი.

იპოვეთ ადგილების რაოდენობა ერთ მანქანაში:

96: 3 = 32 (მ.)

მე-4 ცხრილის მონაცემების გამოყენებით ვიღებთ არითმეტიკულ ამონახსნებს:

1)5 18 \u003d 90 (ადამიანი) - ამდენი ადამიანი მეტი იყო, ვიდრე ადგილი იყო 18 მანქანაში;

90 + 6 = 96 (მ) - სამ მანქანაში;

96: 3 = 32 (მ) - ერთ მანქანაში;

32 + 5 = 37 (ადამიანი) - იყო 18 მანქანიდან თითოეულში;

37 18 \u003d 666 (პირები) - დარჩა ტრამვაიში;

666 + 174 = 840 (ადამიანი) - იყო თეატრში.

პასუხი: 840 მაყურებელი.

მაგალითი 5 ამოცანა დაყვანილია ფორმის განტოლებათა სისტემამდე: x + y = a, x – y =ბ.

დავალება. ბალთიანი ქამარი 12 მანეთი ღირს, ქამარი კი ბალთაზე 6 მანეთი ძვირია.

რა ღირს ქამარი, ბალთა რამდენი ღირს?

ალგებრული მეთოდი იწვევს განტოლებათა სისტემას:

x+y=12,

x-y \u003d 6 სადაც x: რუბლი - ქამრის ფასი,ზერუბლი - ბალთის ფასი.

ამ სისტემის ამოხსნა შესაძლებელია ჩანაცვლების მეთოდით: ერთი უცნობის მეორის ტერმინებით გამოხატვა. პირველი განტოლებიდან, მისი მნიშვნელობის მეორე განტოლებით ჩანაცვლებით, ამოხსენით მიღებული განტოლება ერთი უცნობით, იპოვეთ მეორე უცნობი. თუმცა, ამ შემთხვევაში პრობლემის გადაჭრის არითმეტიკული ხერხის „შეგრძნებას“ ვერ შევძლებთ.

სისტემის განტოლებების დამატების შემდეგ, ჩვენ დაუყოვნებლივ გვექნება განტოლება2x = 18.
სად ვიპოვოთ ქამრის ღირებულებაx = 9 (რ.). სისტემის ამოხსნის ეს მეთოდი საშუალებას გვაძლევს მივიღოთ მსჯელობის შემდეგი არითმეტიკული ხაზი. დავუშვათ, ბალთა იგივე ღირს, რაც ქამარი. მაშინ ბალთა ქამრით (ან 2 ქამრით) ეღირება 12 + 6 = 18 (რ.) (რადგან სინამდვილეში ბალთა ღირს 6 მანეთი ნაკლები). მაშასადამე, ერთი ქამარი ღირს 18:2=9 (გვ.).

თუ პირველ განტოლებას გამოვაკლებთ ტერმინით მეორეს, მაშინ მივიღებთ განტოლებას 2ზე \u003d 6, საიდანაც y \u003d 3 (r.). ამ შემთხვევაში, პრობლემის არითმეტიკული მეთოდით ამოხსნისას, შემდეგნაირად უნდა ვიკამათოთ. დავუშვათ, ქამარი იგივე ღირს, რაც ბალთა. მაშინ ბალთა და ქამარი (ან ორი ბალთა) ეღირება 12-6=6 (გვ.) (რადგან ქამარი რეალურად 6 მანეთი მეტი ღირს).
ამიტომ, ერთი ბალთა ღირს 6:2=3 (გვ.)

ცხრილი 5

მოდით x რუბლი იყოს ქამრის ფასი, y რუბლი ბალთის ფასი. პრობლემის პირობის მიხედვით ვიღებთ განტოლებათა სისტემას:

X + y \u003d 12,

X - y \u003d 6.

სისტემის განტოლებების ტერმინის მიხედვით დავამატებთ, ვიღებთ: 2x \u003d 12 + 6 2x \u003d 18.

უცნობის პოვნა:

x = 18: 2; x = 9

ქამარი ბალთით ღირს 12r. ქამარი კი ბალთაზე 6r ძვირია.

უცნობის გათანაბრება:

დავუშვათ, ბალთა ღირს იგივე, რაც ქამარი, მაშინ ორი ქამარი ღირს 12 + 6 = 18 (რ.).

იპოვეთ ქამრის ფასი:

18: 2 = 9 (გვ.).

მე-5 ცხრილის მონაცემების გამოყენებით ვიღებთ არითმეტიკულ ამონახსნებს:

12 + 6 = 18 (რ.) - ორი ღვედი ეღირება, თუ ბალთა ღირდა იგივე, რაც ქამარი;

2) 18:2=9 (გვ.) - ერთი სარტყელია;

3) 12-9=3 (გვ.) - ერთი ბალთაა.

პასუხი: 9 რუბლი, 3 რუბლი.

მაგალითი 6 პრობლემა დაყვანილია ფორმის განტოლებათა სისტემამდე:

ax + bu = c 1x+y=c2

დავალება. ლაშქრობისთვის 46-მა სკოლის მოსწავლემ მოამზადა ოთხ და ექვს ადგილიანი ნავები. რამდენი იყო ამ და სხვა ნავიდან, თუ ყველა ბიჭი ათ ნავში იყო მოთავსებული და ცარიელი ადგილი არ დარჩა ?

ცხრილი 6

მოდით x იყოს ოთხადგილიანი ნავების რაოდენობა და y ექვს ადგილიანი ნავების რაოდენობა. პრობლემის პირობის მიხედვით, ჩვენ გვაქვს განტოლებათა სისტემა:

x + y = 10,

4x + 6y = 46.

გავამრავლოთ პირველი განტოლების ორივე მხარე 4-ზე.

Ჩვენ გვაქვს:

4x + 4y = 40.

გამოვაკლებთ (ტერმინი ტერმინით) მიღებულ განტოლებას მეორეს. Ჩვენ გვაქვს:

(6 - 4) y \u003d 46 - 40 ან 2y \u003d 6.

მოდი ვიპოვოთ უცნობი:

Y = 6: 2; y = 3.

სულ 10 ნავია და მათში 46 სკოლის მოსწავლე იყო განთავსებული.

გაათანაბრე უცნობი.

დავუშვათ, რომ ყველა ნავი ოთხადგილიანი იყო. მაშინ მათში 40 ადამიანი იქნებოდა.

მოდით გავიგოთ, რამდენ ადამიანს იტევს ექვს ადგილიანი ნავი, ვიდრე ოთხადგილიანი ნავი: 6 - 4 = 2 (ადამიანი). მოდით გავარკვიოთ რამდენ სკოლის მოსწავლეს არ ექნება საკმარისი ადგილი, თუ ყველა ნავი ოთხადგილიანია: 46 - 40 \u003d 6 (ადამიანი).

ვიპოვოთ ექვს ადგილიანი ნავების რაოდენობა: 6: 2 = 3 (ც.).

მე-6 ცხრილის მონაცემების გამოყენებით ვიღებთ არითმეტიკულ ამონახსნებს:

1) 4- 10 \u003d 40 (ადამიანი) - განთავსდება, თუ ყველა ნავი ოთხადგილიანი იქნებოდა;

2) 6 - 4 \u003d 2 (პირები) - ამდენი ადამიანისთვის ექვს ადგილიანი ნავი იკავებს ოთხადგილიანზე მეტს;

3) 46 - 40 - 6 (ადამიანი) - ამდენ სტუდენტს არ ექნება საკმარისი ადგილი, თუ

ყველა ნავი ოთხმაგია;

4) 6: 2 = 3 (ც.) - იყო ექვს ადგილიანი ნავები;

5) 10 - 3 = 7 (ც.) - იყო ოთხადგილიანი ნავები.

პასუხი: 3 ექვს ადგილიანი ნავი, 7 ოთხადგილიანი ნავი.

მაგალითი 7 ამოცანა დაყვანილია ფორმის განტოლებათა სისტემამდე: a x+b y=c1; a x + b y \u003d c2

დავალება. 3 კალამი და 4 რვეული 26 მანეთი ღირს და 7 კალმები და 6 მსგავსი რვეული 44 მანეთი ღირს. რა ღირს ნოუთბუქი?

ცხრილი 7

მოდით x რუბლი იყოს კალმის ფასი, ხოლო y რუბლი იყოს ნოუთბუქის ფასი. პრობლემის პირობის მიხედვით ვიღებთ განტოლებათა სისტემას:

3 x + 4 წ \u003d 26,

7 x + 6 y = 44.

გავამრავლოთ პირველი განტოლების ორივე მხარე 7-ზე. მივიღებთ:

21 x + 28 y \u003d 182,

21 x + 18 y = 132.

გამოვაკლოთ (ტერმინი ტერმინით) პირველ განტოლებას მეორე.

Ჩვენ გვაქვს:

(28 - 18) y \u003d 182 - 132 ან 10 y \u003d 50.

მოდი ვიპოვოთ უცნობი:

Y \u003d 50: 10, y \u003d 5.

3 კალამი და 4 ბლოკნოტი 26 მანეთი ღირს. 7 კალამი და 6 რვეული 44 მანეთი ღირს.

გაათანაბრე კალმების რაოდენობა ორ შესყიდვაში. ამისათვის ჩვენ ვპოულობთ 3 და 7 (21) რიცხვების უმცირეს ჯერადს. შემდეგ, პირველი შესყიდვის შედეგად, 21 კალამი და 28 რვეული შეიძინეს, ხოლო მეორე - 21 კალამი და 18 რვეული. მოდით ვიპოვოთ თითოეული შესყიდვის ღირებულება ამ შემთხვევაში:

26 * 7 \u003d 182 (r.), 44 * 3 \u003d 132 (r.).

მოდით გავარკვიოთ, კიდევ რამდენი ნოუთბუქი იყიდა პირველად:

28 - 18 \u003d 10 (ც.).

იპოვეთ მეტი რამდენს გადაიხდით პირველი შესყიდვისთვის:

182 - 132 \u003d 50 (გვ.).

გაიგეთ რამდენი ღირს Notepad:

50: 10 = 5 (გვ.).

მე-7 ცხრილის მონაცემების გამოყენებით ვიღებთ არითმეტიკულ ამონახსნებს:

1) 26 7 \u003d 182 (გვ.) - არის 21 კალამი და 28 რვეული;

2) 44 3 \u003d 132 (გვ.) - არის 21 კალამი და 18 რვეული;

3) 28 - 18 \u003d 10 (ცალი.) - ამდენი ნოუთბუქი პირველ შეძენაში მეტი იქნება, ვიდრე მეორეში;

4) 182 - 132 = 50 (გვ.) - არის 10 რვეული;

5) 50: 10=5 (გვ.) - არის რვეული.

პასუხი: 5 მანეთი.

ჩვენ განვიხილეთ რამდენიმე ტიპის ტექსტური ამოცანები, რომლებიც გვხვდება მათემატიკის სხვადასხვა სახელმძღვანელოში დაწყებითი კლასებისთვის. ალგებრულ და არითმეტიკულ მეთოდებს შორის კავშირის დამყარების აშკარა სიმარტივის მიუხედავად, ეს ტექნიკა მაინც მოითხოვს ფრთხილად პრაქტიკას სტუდენტებთან პრაქტიკულ გაკვეთილებზე და მასწავლებლის რთულ სამუშაოს გაკვეთილისთვის თვითმომზადების პროცესში.

1. ზოგადი შენიშვნები ამოცანების ალგებრული მეთოდით ამოხსნის შესახებ.

2. ამოცანები მოძრაობისთვის.

3. ამოცანები სამუშაოსთვის.

4. ამოცანები ნარევებისა და პროცენტებისთვის.

ალგებრული მეთოდის გამოყენება ტექსტური ამოცანების გადაჭრის არითმეტიკული ხერხის მოსაძებნად.

1. ალგებრული მეთოდით ამოცანების ამოხსნისას, სასურველი სიდიდეები ან სხვა სიდიდეები, იმის ცოდნა, თუ რომელია სასურველის დადგენა, აღინიშნება ასოებით (ჩვეულებრივ x, y,ზ). ყველა დამოუკიდებელი ურთიერთობა მონაცემებსა და უცნობ სიდიდეებს შორის, რომლებიც ან უშუალოდ არის ჩამოყალიბებული პირობით (სიტყვიერი ფორმით), ან გამომდინარეობს პრობლემის მნიშვნელობიდან (მაგალითად, ფიზიკური კანონები, რომლებსაც ემორჩილება განხილული სიდიდეები), ან გამომდინარეობს მდგომარეობა და გარკვეული მსჯელობა, იწერება უტოლობათა ტოლობის სახით. ზოგადად, ეს ურთიერთობები ქმნიან გარკვეულ შერეულ სისტემას. განსაკუთრებულ შემთხვევებში, ეს სისტემა შეიძლება არ შეიცავდეს უტოლობას ან განტოლებებს, ან შეიძლება შედგებოდეს მხოლოდ ერთი განტოლებისგან ან უტოლობისგან.

ალგებრული მეთოდით ამოცანების გადაწყვეტა არ ექვემდებარება არც ერთ, საკმარისად უნივერსალურ სქემას. აქედან გამომდინარე, ნებისმიერი მითითება, რომელიც ეხება ყველა ამოცანას, ყველაზე ზოგადი ხასიათისაა. ამოცანებს, რომლებიც წარმოიქმნება პრაქტიკული და თეორიული საკითხების გადაჭრისას, აქვს საკუთარი ინდივიდუალური მახასიათებლები. ამიტომ მათი შესწავლა და გადაწყვეტა ყველაზე მრავალფეროვანი ხასიათისაა.

მოდით ვისაუბროთ ამოცანების ამოხსნაზე, რომელთა მათემატიკური მოდელი მოცემულია განტოლებით ერთი უცნობით.

შეგახსენებთ, რომ პრობლემის გადაჭრის აქტივობა ოთხი ეტაპისგან შედგება. პირველ ეტაპზე მუშაობა (პრობლემის შინაარსის ანალიზი) არ არის დამოკიდებული გადაწყვეტის არჩეულ მეთოდზე და არ აქვს ფუნდამენტური განსხვავებები. მეორე ეტაპზე (პრობლემის გადაჭრის გზის ძებნისას და მისი გადაჭრის გეგმის შედგენისას), ამოხსნის ალგებრული მეთოდის გამოყენების შემთხვევაში ტარდება: ძირითადი მიმართების არჩევა შედგენისთვის. განტოლება; უცნობის არჩევა და მისთვის აღნიშვნის შემოღება; ძირითად თანაფარდობაში შემავალი რაოდენობების გამოხატვა უცნობისა და მონაცემების მეშვეობით. მესამე ეტაპი (პრობლემის გადაჭრის გეგმის განხორციელება) გულისხმობს განტოლების შედგენას და მის ამოხსნას. მეოთხე ეტაპი (პრობლემის გადაჭრის შემოწმება) ტარდება სტანდარტული წესით.

ჩვეულებრივ, როდესაც წერენ განტოლებებს ერთი უცნობით Xდაიცავით შემდეგი ორი წესი.

წესი მე . ამ სიდიდეებიდან ერთ-ერთი გამოიხატება უცნობის მიხედვით Xდა სხვა მონაცემები (ანუ შედგენილია განტოლება, რომელშიც ერთი ნაწილი შეიცავს მოცემულ მნიშვნელობას, ხოლო მეორე შეიცავს იგივე მნიშვნელობას, გამოხატული Xდა სხვა მოცემული რაოდენობით).

წესი II . ერთი და იგივე რაოდენობით შედგენილია ორი ალგებრული გამონათქვამი, რომლებიც შემდეგ უტოლდება ერთმანეთს.

გარეგნულად, როგორც ჩანს, პირველი წესი უფრო მარტივია, ვიდრე მეორე.

პირველ შემთხვევაში, ყოველთვის საჭიროა ერთი ალგებრული გამონათქვამის შედგენა, ხოლო მეორეში ორი. თუმცა, ხშირად არის პრობლემები, რომლებშიც უფრო მოსახერხებელია ორი ალგებრული გამონათქვამის გაკეთება ერთი და იგივე რაოდენობით, ვიდრე უკვე ცნობილის არჩევა და მისთვის ერთი გამოსახულების გაკეთება.

ტექსტური ამოცანების ალგებრული გზით ამოხსნის პროცესი შემდეგი ალგორითმის მიხედვით ხორციელდება:

1. პირველ რიგში აირჩიე თანაფარდობა, რომლის საფუძველზეც შედგენილი იქნება განტოლება. თუ პრობლემა შეიცავს ორზე მეტ შეფარდებას, მაშინ განტოლების შედგენის საფუძველი უნდა იქნას მიღებული თანაფარდობა, რომელიც ამყარებს გარკვეულ კავშირს ყველა უცნობს შორის.

შემდეგ ირჩევა უცნობი, რომელიც აღინიშნება შესაბამისი ასოთი.

განტოლების შედგენისთვის არჩეულ თანაფარდობაში შემავალი ყველა უცნობი სიდიდე უნდა იყოს გამოხატული არჩეული უცნობის მიხედვით, ამოცანაში შემავალი დანარჩენი თანაფარდობების საფუძველზე, გარდა მთავარი.

4. ამ სამი ოპერაციიდან პირდაპირ მოჰყვება განტოლების შედგენა, როგორც სიტყვიერი ჩანაწერის დიზაინი მათემატიკური სიმბოლოების დახმარებით.

ჩამოთვლილ ოპერაციებს შორის ცენტრალური ადგილი უკავია განტოლებების შედგენის მთავარი მიმართების არჩევას. განხილული მაგალითები აჩვენებს, რომ მთავარი თანაფარდობის არჩევა გადამწყვეტია განტოლებების ფორმულირებაში, ლოგიკური ჰარმონია შემოაქვს პრობლემის ხანდახან ბუნდოვან ვერბალურ ტექსტში, აძლევს ნდობას ორიენტაციაში და იცავს ქაოტური ქმედებებისგან ყველა სიდიდის გამოსახატავად. პრობლემა მონაცემების მეშვეობით და სასურველი პირობა.

დიდი პრაქტიკული მნიშვნელობა აქვს ამოცანების გადაჭრის ალგებრულ მეთოდს. მისი დახმარებით ისინი წყვეტენ მრავალფეროვან ამოცანებს ტექნოლოგიების, სოფლის მეურნეობის და ყოველდღიური ცხოვრების სფეროდან. უკვე საშუალო სკოლაში განტოლებებს იყენებენ სტუდენტები ფიზიკის, ქიმიისა და ასტრონომიის შესწავლაში. სადაც არითმეტიკა აღმოჩნდება უძლური ან, საუკეთესო შემთხვევაში, მოითხოვს უკიდურესად რთულ მსჯელობას, იქ ალგებრული მეთოდი ადვილად და სწრაფად მიგვიყვანს პასუხამდე. და ეგრეთ წოდებულ „ტიპიურ“ არითმეტიკულ ამოცანებშიც კი, რომლებიც შედარებით ადვილად ხსნიან არითმეტიკით, ალგებრული ამონახსნები, როგორც წესი, უფრო მოკლეც არის და ბუნებრივიც.

ამოცანების გადაჭრის ალგებრული მეთოდი აადვილებს იმის ჩვენებას, რომ ზოგიერთ პრობლემას, რომელიც განსხვავდება ერთმანეთისგან მხოლოდ ნახაზში, აქვს არა მხოლოდ იგივე ურთიერთობა მონაცემებსა და სასურველ მნიშვნელობებს შორის, არამედ იწვევს ტიპურ მსჯელობას, რომლის მეშვეობითაც ეს ურთიერთობები დგინდება. ასეთი ამოცანები იძლევა მხოლოდ ერთი და იგივე მათემატიკური მსჯელობის სხვადასხვა სპეციფიკურ ინტერპრეტაციას, ერთსა და იმავე ურთიერთობებს, ანუ მათ აქვთ ერთი და იგივე მათემატიკური მოდელი.

2. მოძრაობის ამოცანების ჯგუფში შედის ამოცანები, რომლებიც საუბრობენ სამ რაოდენობაზე: ბილიკებზე (ს), სიჩქარე ( ვ) და დრო ( ტ). როგორც წესი, საუბარია ერთგვაროვან სწორხაზოვან მოძრაობაზე, როცა სიჩქარე მუდმივია სიდიდითა და მიმართულებით. ამ შემთხვევაში სამივე რაოდენობა დაკავშირებულია შემდეგი მიმართებით: ს = ვტ. მაგალითად, თუ ველოსიპედისტის სიჩქარე 12 კმ/სთ-ია, მაშინ 1,5 საათში ის გაივლის 12 კმ/სთ  1,5 სთ = 18 კმ. არის პრობლემები, რომლებშიც განიხილება ერთნაირად აჩქარებული მართკუთხა მოძრაობა, ანუ მოძრაობა მუდმივი აჩქარებით. (ა).გავლილი მანძილი ს ამ შემთხვევაში გამოითვლება ფორმულით: ს = ვ 0 ტ + ზე 2 /2, სადაც ვ 0 – საწყისი სიჩქარე. ასე რომ, დაცემის 10 წამში საწყისი სიჩქარით 5 მ/წმ და თავისუფალი ვარდნის აჩქარებით 9,8 მ 2/წმ, სხეული გაივლის მანძილს, რომელიც ტოლია 5 მ/წმ  10s + 9,8 მ 2/წმ  10. 2 ს 2/2 = 50 მ + 490 მ = 540 მ.

როგორც უკვე აღვნიშნეთ, ტექსტური ამოცანების ამოხსნისას და, უპირველეს ყოვლისა, მოძრაობასთან დაკავშირებულ პრობლემებში, ძალიან სასარგებლოა საილუსტრაციო ნახაზის გაკეთება (პრობლემის დამხმარე გრაფიკული მოდელის აგება). ნახატი ისე უნდა შესრულდეს, რომ აჩვენოს მოძრაობის დინამიკა ყველა შეხვედრის, გაჩერებისა და მობრუნებისას. კარგად შემუშავებული ნახაზი საშუალებას იძლევა არა მხოლოდ პრობლემის შინაარსის უფრო ღრმა გაგება, არამედ ხელს უწყობს განტოლებებისა და უტოლობების შედგენას. ასეთი ნახატების მაგალითები მოცემულია ქვემოთ.

შემდეგი კონვენციები ჩვეულებრივ მიიღება მოძრაობის პრობლემებში.

თუ დავალებაში კონკრეტულად არ არის მითითებული, მოძრაობა ცალკეულ მონაკვეთებში განიხილება ერთგვაროვანი (იქნება ეს მოძრაობა სწორი ხაზით თუ წრეში).

მოძრავი სხეულების მოხვევა ითვლება მყისიერად, ანუ ხდება დროის დახარჯვის გარეშე; სიჩქარეც მყისიერად იცვლება.

ამოცანების ეს ჯგუფი, თავის მხრივ, შეიძლება დაიყოს დავალებად, რომლებშიც სხეულების მოძრაობა განიხილება: 1) ერთმანეთის მიმართ; 2) ერთი მიმართულებით („შემდეგ“); 3) საპირისპირო მიმართულებით; 4) დახურული ტრაექტორიის გასწვრივ; 5) მდ.

თუ სხეულებს შორის მანძილი არის ს, ხოლო სხეულების სიჩქარე ტოლია ვ 1 და ვ 2 (სურ. 16 ა), მაშინ როცა სხეულები მოძრაობენ ერთმანეთისკენ, დრო, რომლის შემდეგაც ისინი შეხვდებიან, უდრის ს/(ვ 1 + ვ 2).

2. თუ სხეულებს შორის მანძილი არის ს, ხოლო სხეულების სიჩქარე ტოლია ვ 1 და ვ 2 (სურ. 16 ბ), მაშინ როცა სხეულები მოძრაობენ ერთი მიმართულებით ( ვ 1 > ვ 2) დრო, რომლის შემდეგაც პირველი სხეული უსწრებს მეორეს ს/(ვ 1 – ვ 2).

3. თუ სხეულებს შორის მანძილი არის ს, ხოლო სხეულების სიჩქარე ტოლია ვ 1 და ვ 2 (სურ. 16 in), მაშინ, როდესაც ერთდროულად დაიძრნენ საპირისპირო მიმართულებით, სხეულები დროულად იქნებიან ტ იყოს დისტანციაზე ს 1 = ს + (ვ 1 + ვ 2 ) ტ.

ბრინჯი. თექვსმეტი

4. თუ სხეულები მოძრაობენ ერთი მიმართულებით სიგრძის დახურული ტრაექტორიით ს სიჩქარით ვ 1 და ვ 2, დრო, რომლის შემდეგაც სხეულები კვლავ შეხვდებიან (ერთი სხეული გადაუსწრებს მეორეს), რომელიც ერთდროულად ტოვებს ერთი წერტილიდან, ნაპოვნია ფორმულით ტ = ს/(ვ 1 – ვ 2) იმ პირობით, რომ ვ 1 > ვ 2 .

ეს გამომდინარეობს იქიდან, რომ დახურული ტრაექტორიის გასწვრივ ერთი მიმართულებით ერთდროული დაწყებით, უფრო მაღალი სიჩქარის მქონე სხეული იწყებს უფრო დაბალი სიჩქარის მქონე სხეულს. პირველად დაეწია მას, რომელმაც მანძილი გაიარა ს სხვა სხეულზე მეტი. თუ ის მეორედ, მესამედ და ასე შემდეგ გაუსწრებს, ეს ნიშნავს, რომ ის 2 მანძილს გადის. ს, 3-ით ს და ასე შემდეგ სხვა სხეულზე მეტი.

თუ სხეულები მოძრაობენ სხვადასხვა მიმართულებით სიგრძის დახურულ გზაზე ს სიჩქარით ვ 1 და ვ 2, დრო, რომლის შემდეგაც ისინი შეიკრიბებიან, ერთი წერტილიდან ერთდროულად წასვლის შემდეგ, ნაპოვნია ფორმულით ტ = ვ(ვ 1 + ვ 2). ამ შემთხვევაში მოძრაობის დაწყებისთანავე ჩნდება სიტუაცია, როდესაც სხეულები იწყებენ მოძრაობას ერთმანეთისკენ.

5. თუ სხეული მოძრაობს მდინარის გასწვრივ, მაშინ მისი სიჩქარე ნაპირთან შედარებით დაარის სხეულის სიჩქარის ჯამი უძრავ წყალში ვდა მდინარის სიჩქარე ვ: და =ვ + ვ. თუ სხეული მოძრაობს მდინარის დინების საწინააღმდეგოდ, მაშინ მისი სიჩქარე არის და =ვ – ვ. მაგალითად, თუ ნავის სიჩქარე ვ\u003d 12 კმ/სთ და მდინარის სიჩქარე ვ \u003d 3 კმ / სთ, შემდეგ 3 საათში ნავი გაცურავს მდინარის გასწვრივ (12 კმ / სთ + 3 კმ / სთ)  3 საათი = 45 კმ, ხოლო დინების საწინააღმდეგოდ - (12 კმ / სთ - 3 კმ / თ)  3 საათი = 27 კმ. ითვლება, რომ ნულოვანი სიჩქარის მქონე ობიექტების სიჩქარე უძრავ წყალში (ტიპი, ლოგი და სხვ.) მდინარის სიჩქარის ტოლია.

მოდით შევხედოთ რამდენიმე მაგალითს.

მაგალითი.ერთი წერტილიდან ერთი მიმართულებით ყოველ 20 წუთში. მანქანები მიდიან. მეორე მანქანა მოძრაობს 60 კმ/სთ სიჩქარით, ხოლო პირველის სიჩქარე 50%-ით მეტია მეორეზე. იპოვეთ მესამე მანქანის სიჩქარე, თუ ცნობილია, რომ მან გადაუსწრო პირველ მანქანას მეორეზე 5,5 საათის შემდეგ.

გადაწყვეტილება. x კმ/სთ იყოს მესამე მანქანის სიჩქარე. პირველი მანქანის სიჩქარე 50%-ით მეტია მეორეზე, ამიტომ უდრის

ერთი მიმართულებით მოძრაობისას, შეხვედრის დრო გამოითვლება როგორც ობიექტებს შორის მანძილის თანაფარდობა მათი სიჩქარის სხვაობასთან. პირველი მანქანა 40 წუთში. (2/3 სთ) გადის 90  (2/3) = 60 კმ. მაშასადამე, მესამე მას გაუსწრებს (შეხვდებიან) 60/( X– 90) საათი. მეორე 20 წუთში. (1/3 სთ) გადის 60  (1/3) = 20 კმ. ეს ნიშნავს, რომ მესამე მას დაეწევა (ისინი შეხვდებიან) 20/( X- 60) საათი (სურ. 17).

პ
პრობლემის მდგომარეობის შესახებ

ბრინჯი. 17

მარტივი გარდაქმნების შემდეგ ვიღებთ კვადრატულ განტოლებას 11x 2 - 1730x + 63000 = 0, რომლის ამოხსნასაც ვპოულობთ

შემოწმება აჩვენებს, რომ მეორე ფესვი არ აკმაყოფილებს პრობლემის პირობას, რადგან ამ შემთხვევაში მესამე მანქანა სხვა მანქანებს ვერ დაეწევა. პასუხი: მესამე მანქანის სიჩქარეა 100 კმ/სთ.

მაგალითისაავტომობილო გემმა მდინარის გასწვრივ 96 კმ გაიარა, უკან დაბრუნდა და გარკვეული დრო იდგა დატვირთვის ქვეშ, ყველასთვის 32 საათი გაატარა, მდინარის სიჩქარე 2 კმ/სთ-ია. განსაზღვრეთ გემის სიჩქარე უძრავ წყალში, თუ ჩატვირთვის დრო არის მთელი ორმხრივი მოგზაურობის დროს გატარებული დროის 37,5%.

გადაწყვეტილება. მოდით x კმ/სთ იყოს გემის სიჩქარე უძრავ წყალში. მერე ( X+ 2) კმ/სთ - მისი სიჩქარე დინების მიმართულებით; (X - 2) კმ/სთ - დენის საწინააღმდეგოდ; 96/( X+ 2) საათი - დინებით მოძრაობის დრო; 96/( X- 2) საათი - მოძრაობის დრო დინების საწინააღმდეგოდ. ვინაიდან გემის სრული დატვირთვის დროს 37,5% გადაადგილების წმინდა დროა 62,5%  32/100% = 20 (საათი). მაშასადამე, პრობლემის პირობის მიხედვით, გვაქვს განტოლება:

მისი გარდაქმნით მივიღებთ: 24( X – 2 + X + 2) = 5(X + 2)(X – 2) => 5X 2 – 4X– 20 = 0. კვადრატული განტოლების ამოხსნის შემდეგ ვპოულობთ: X 1 = 10; X 2 = -0.4. მეორე ფესვი არ აკმაყოფილებს პრობლემის პირობას.

პასუხი: 10 კმ/სთ არის გემის სიჩქარე უძრავ წყალში.

მაგალითი. მანქანა ქალაქიდან გავიდა მაგრამ C ქალაქამდე ქალაქის გავლით ATგაჩერებების გარეშე. მანძილი AB,უდრის 120 კმ-ს, მან იმოგზაურა მუდმივი სიჩქარით 1 საათით უფრო სწრაფად ვიდრე მანძილი მზე,უდრის 90 კმ. განსაზღვრეთ მანქანის საშუალო სიჩქარე ქალაქიდან მაგრამ C ქალაქამდე, თუ ცნობილია, რომ სიჩქარე მონაკვეთზე ABადგილზე 30 კმ/სთ მეტი სიჩქარე მზე.

გადაწყვეტილება. დაე იყოს Xკმ/სთ - მანქანის სიჩქარე ადგილზე მზე.

მერე ( X+ 30)კმ/სთ – სიჩქარე მონაკვეთზე AB, 120/(X+ 30) სთ, 90/ X h არის მანქანის მოგზაურობის დრო ABდა მზეშესაბამისად.

მაშასადამე, პრობლემის პირობის მიხედვით, გვაქვს განტოლება:

.

მოდით გარდავქმნათ:

120X+ 1(X + 30)X = 90(X + 30) => X 2 + 60X – 2700 = 0.

კვადრატული განტოლების ამოხსნით ვპოულობთ: X 1 = 30, X 2 = -90. მეორე ფესვი არ აკმაყოფილებს პრობლემის პირობას. ასე რომ, სიჩქარე განყოფილებაში მზე 30 კმ/სთ-ის ტოლი, მონაკვეთზე AB - 60 კმ/სთ აქედან გამომდინარეობს, რომ მანძილი ABმანქანამ გაიარა 2 საათი (120 კმ: 60 კმ/სთ = 2 საათი) და მანძილი მზე - 3 საათში (90 კმ: 30 კმ/სთ = 3 სთ), ანუ მთელი მანძილი ACმან იმოგზაურა 5 საათში (3 საათი + 2 საათი = 5 საათი). შემდეგ ადგილზე გადაადგილების საშუალო სიჩქარე AU,რომლის სიგრძეა 210 კმ, უდრის 210 კმ: 5 საათი \u003d 42 კმ/სთ.

პასუხი: 42 კმ/სთ - მანქანის საშუალო სიჩქარე ადგილზე ას.

სამუშაოს დავალებების ჯგუფში შედის დავალებები, რომლებიც საუბრობენ სამ რაოდენობაზე: სამუშაო მაგრამ, დრო ტ, რომლის დროსაც შესრულებულია სამუშაო, პროდუქტიულობა R -შესრულებული სამუშაო დროის ერთეულზე. ეს სამი სიდიდე დაკავშირებულია განტოლებით მაგრამ = რტ. სამუშაოს ამოცანები ასევე მოიცავს ამოცანებს, რომლებიც დაკავშირებულია ავზების (ჭურჭელი, ავზები, აუზები და ა.შ.) შევსებასა და დაცლასთან მილების, ტუმბოების და სხვა მოწყობილობების გამოყენებით. ამ შემთხვევაში დატუმბული წყლის მოცულობა ითვლება შესრულებულ სამუშაოდ.

სამუშაოს დავალებები, ზოგადად, შეიძლება მიეკუთვნებოდეს გადაადგილების ამოცანების ჯგუფს, რადგან ამ ტიპის ამოცანები შეიძლება ჩაითვალოს, რომ მთელი სამუშაო ან წყალსაცავის მთლიანი მოცულობა ასრულებს მანძილის როლს და ობიექტების პროდუქტიულობას, რომლებიც სამუშაოს შესრულება მოძრაობის სიჩქარის მსგავსია. თუმცა, სიუჟეტის მიხედვით, ეს ამოცანები ბუნებრივად განსხვავდება და სამუშაოს ზოგიერთ ამოცანას აქვს გადაჭრის საკუთარი სპეციფიკური მეთოდები. ასე რომ, იმ ამოცანებში, რომლებშიც შესრულებული სამუშაოს მოცულობა არ არის მითითებული, ყველა სამუშაო აღებულია როგორც ერთეული.

მაგალითი.ორ გუნდს უნდა დაესრულებინა შეკვეთა 12 დღეში. 8 დღიანი ერთობლივი მუშაობის შემდეგ პირველმა გუნდმა კიდევ ერთი დავალება მიიღო, ამიტომ მეორე გუნდმა შეკვეთა კიდევ 7 დღის განმავლობაში დაასრულა. რამდენ დღეში შეეძლო თითოეულ გუნდს შეკვეთის შესრულება, ცალ-ცალკე მუშაობით?

გადაწყვეტილება. დაე, პირველმა ბრიგადამ დაასრულოს დავალება Xდღეები, მეორე ბრიგადა - ამისთვის წდღეები. ავიღოთ ყველა სამუშაო ერთეულით. შემდეგ 1/ X -პირველი ბრიგადის პროდუქტიულობა, 1/ წ – მეორე. ვინაიდან ორმა გუნდმა უნდა შეასრულოს შეკვეთა 12 დღეში, ჩვენ ვიღებთ პირველ განტოლებას 12(1/ X + 1/ზე) = 1.

მეორე პირობიდან გამომდინარეობს, რომ მეორე გუნდი მუშაობდა 15 დღე, ხოლო პირველი - მხოლოდ 8 დღე. ასე რომ, მეორე განტოლება არის:

8/X+ 15/ზე= 1.

ამრიგად, ჩვენ გვაქვს სისტემა:

თუ გამოვაკლებთ პირველ განტოლებას მეორე განტოლებას, მივიღებთ:

21/წ = 1 => y= 21.

მერე 12/ X + 12/21 = 1 => 12/X – = 3/7 => x = 28.

პასუხი: პირველი ბრიგადა შეკვეთას 28 დღეში შეასრულებს, მეორე 21 დღეში.

მაგალითი. მუშა მაგრამდა მუშაობს ATშეუძლია სამუშაოს დასრულება 12 დღეში მაგრამდა მუშაობს თან– 9 დღეში, მუშაობს ATდა სამუშაო C - 12 დღეში. რამდენი დღე დასჭირდება მათ სამუშაოს დასრულებას, ერთად მუშაობას?

გადაწყვეტილება. დაე მუშა მაგრამშეუძლია სამუშაოს გაკეთება Xდღეები, სამუშაო AT- უკან ზედღეები, სამუშაო თან- უკან ზ დღეები. ავიღოთ ყველა სამუშაო ერთეულით. შემდეგ 1/ x, 1/წ და 1/ ზ – მუშაკთა პროდუქტიულობა A, Bდა თან შესაბამისად. პრობლემის პირობის გამოყენებით მივდივართ ცხრილში წარმოდგენილ განტოლებათა სისტემამდე.

ცხრილი 1

განტოლებების გარდაქმნის შემდეგ, ჩვენ გვაქვს სამი განტოლების სისტემა სამი უცნობით:

სისტემის განტოლებების ტერმინებით ვამატებით მივიღებთ:

ან

ჯამი არის მუშების ერთობლივი პროდუქტიულობა, ამიტომ დრო, რომელშიც ისინი დაასრულებენ ყველა სამუშაოს, ტოლი იქნება

პასუხი: 7.2 დღე.

მაგალითი. აუზში იდება ორი მილი - მიწოდება და ჩაშვება, ხოლო პირველი მილით აუზი ივსება 2 საათით მეტხანს, ვიდრე მეორე მილით წყალი იღვრება აუზიდან. როდესაც აუზი ერთი მესამედი იყო სავსე, ორივე მილი გაიხსნა და აუზი ცარიელი აღმოჩნდა 8 საათის შემდეგ.რამდენი საათის განმავლობაში შეიძლება აივსოს აუზი ერთი პირველი მილით და რამდენ საათს შეუძლია სავსე აუზის გადინება ერთი მეორე მილით. ?

გადაწყვეტილება. დაე იყოს ვ მ 3 - აუზის მოცულობა, Xმ 3 / სთ - მიწოდების მილის შესრულება, ზემ 3 / სთ - გამოსასვლელი. მერე ვ/ x საათი - დრო, რომელიც საჭიროა მიწოდების მილის აუზის შესავსებად, ვ/ წ საათი - დრო, რომელიც საჭიროა გამოსასვლელი მილის მიერ აუზის გადინებისთვის. დავალების მიხედვით ვ/ x – ვ/ წ = 2.

ვინაიდან გამოსასვლელი მილის პროდუქტიულობა უფრო მეტია, ვიდრე შემავსებელი მილის პროდუქტიულობა, როდესაც ორივე მილი ჩართულია, აუზი დაიწურება და აუზის მესამედი დროულად გაშრება. (ვ/3)/(წ – x), რომელიც ამოცანის პირობის მიხედვით უდრის 8 საათს, ასე რომ, ამოცანის პირობა შეიძლება დაიწეროს, როგორც ორი განტოლების სისტემა სამი უცნობით:

ამოცანაა იპოვოთ ვ/ x და ვ/ წ. განტოლებებში გამოვყოთ უცნობთა კომბინაცია ვ/ x და ვ/ წ, სისტემის დაწერა შემდეგნაირად:

ახალი უცნობების გაცნობა ვ/ x= ადა ვ/ წ = ბ, ჩვენ ვიღებთ შემდეგ სისტემას:

გამოთქმის მეორე განტოლებაში ჩანაცვლება ა= ბ + 2, ჩვენ გვაქვს განტოლება ბ:

გადავწყვიტოთ რომელი ვიპოვოთ ბ 1 = 6, ბ 2 = -რვა. პრობლემის პირობას აკმაყოფილებს პირველი ფესვი 6, = 6 (გვ.). ბოლო სისტემის პირველი განტოლებიდან ვხვდებით ა= 8 (სთ), ანუ პირველი მილი ავსებს აუზს 8 საათში.

პასუხი: პირველი მილით აუზი ივსება 8 საათში, მეორე მილით აუზი დაიწურება 6 საათის შემდეგ.

მაგალითი. ერთ ტრაქტორულ გუნდს 240 ჰექტარი უწევს ხვნა, მეორეს კი პირველზე 35%-ით მეტი. პირველმა ბრიგადამ, რომელიც ყოველ დღე მეორე ბრიგადაზე 3 ჰა ნაკლებს ხვნას, მეორე ბრიგადაზე 2 დღით ადრე დაასრულა მუშაობა. დღეში რამდენ ჰექტარს ხნავდა თითოეული ბრიგადა?

გადაწყვეტილება. ვიპოვოთ 240 ჰა-ის 35%: 240 ჰა  35% / 100% = 84 ჰა.

შესაბამისად, მეორე გუნდს მოუხდა 240 ჰა + 84 ჰა = 324 ჰა. დაე, პირველმა ბრიგადამ ყოველდღიურად გუთანოს Xჰა. შემდეგ მეორე ბრიგადა ყოველდღიურად ხნავდა ( X+ 3) ჰა; 240/ X– პირველი ბრიგადის სამუშაო საათები; 324/( X+ 3) - მეორე ბრიგადის დრო. პრობლემის მდგომარეობიდან გამომდინარე, პირველმა გუნდმა მეორეზე 2 დღით ადრე დაასრულა მუშაობა, ამიტომ გვაქვს განტოლება

რომელიც გარდაქმნების შემდეგ შეიძლება დაიწეროს შემდეგნაირად:

324X – 240X - 720 = 2x 2 + 6x=> 2x 2 - 78x + 720 = 0 => x 2 - 39x + 360 = 0.

კვადრატული განტოლების ამოხსნის შემდეგ ვპოულობთ x 1 \u003d 24, x 2 \u003d 15. ეს არის პირველი ბრიგადის ნორმა.

შესაბამისად, მეორე ბრიგადა დღეში, შესაბამისად, 27 და 18 ჰა ხნავდა. ორივე გამოსავალი აკმაყოფილებს პრობლემის მდგომარეობას.

პასუხი: დღეში 24 ჰექტარს ხნავდა პირველი ბრიგადა, 27 ჰა მეორეს; პირველი ბრიგადა დღეში 15 ჰექტარს ხნავდა, მეორის 18 ჰექტარს.

მაგალითი. მაისში ორმა სახელოსნომ 1080 ნაწილი დაამზადა. ივნისში პირველმა მაღაზიამ ნაწილების გამოშვება 15%-ით გაზარდა, მეორემ კი ნაწილების გამოშვება 12%-ით, ასე რომ ორივე მაღაზიამ 1224 ცალი გამოუშვა. რამდენი ნაწილი აწარმოა თითოეულმა მაღაზიამ ივნისში?

გადაწყვეტილება. დაე იყოს Xნაწილები მაისში დამზადდა პირველი სახელოსნოს მიერ, ზედეტალები - მეორე. ვინაიდან მაისში დამზადდა 1080 ნაწილი, პრობლემის მდგომარეობიდან გამომდინარე, გვაქვს განტოლება x + წ = 1080.

იპოვეთ 15% ფასდაკლება X:

ასე რომ, 0.15-ზე Xნაწილებმა გაზარდა პირველი სახელოსნოს გამომუშავება, შესაბამისად, ივნისში გამოვიდა x + 0,15 X = 1,15 xდეტალები. ანალოგიურად, ჩვენ ვხვდებით, რომ ივნისის მეორე მაღაზიამ გამოუშვა 1.12 წდეტალები. ასე რომ, მეორე განტოლება ასე გამოიყურება: 1.15 x + 1,12 ზე= 1224. ამრიგად, ჩვენ გვაქვს სისტემა:

საიდანაც ვპოულობთ x = 480, y= 600. შესაბამისად, ივნისში საამქროებმა, შესაბამისად, 552 ნაწილი და 672 ნაწილი დაამზადეს.

პასუხი: პირველმა სახელოსნომ გამოუშვა 552 ნაწილი, მეორე - 672 ნაწილი.

4. ნარევებისა და პროცენტების დავალებების ჯგუფში შედის დავალებები, რომლებშიც საუბარია სხვადასხვა ნივთიერებების გარკვეული პროპორციებით შერევაზე, ასევე პროცენტებზე დავალებებს.

ამოცანები კონცენტრაციისა და პროცენტისთვის

მოდით განვმარტოთ რამდენიმე კონცეფცია. მოდით იყოს ნარევი პსხვადასხვა ნივთიერებები (კომპონენტები) მაგრამ 1 მაგრამ 2 , ..., მაგრამ ნ შესაბამისად, რომელთა მოცულობები ტოლია ვ 1 , ვ 2 , ..., ვ ნ . შეურიეთ მოცულობა ვ 0 შედგება სუფთა კომპონენტების მოცულობებისგან: ვ 0 = ვ 1 + ვ 2 + ... + ვ ნ .

მოცულობის კონცენტრაციანივთიერებები მაგრამ მე (მე = 1, 2, ..., პ)ნარევში ეწოდება რაოდენობა c მეგამოითვლება ფორმულით:

ნივთიერების მოცულობითი პროცენტი A მე (მე = 1, 2, ..., პ)ნარევში ეწოდება რაოდენობა გვ მე , გამოითვლება ფორმულით რ მე = თან მე ,  100%. კონცენტრაციები თან 1, თან 2 , ..., თან ნ, რომლებიც განზომილებიანი სიდიდეებია, დაკავშირებულია თანასწორობით თან 1 + თან 2 + ... + თან ნ = 1 და ურთიერთობები

აჩვენეთ ნარევის მთლიანი მოცულობის რა ნაწილია ცალკეული კომპონენტების მოცულობა.

თუ პროცენტი ცნობილია მე-მეე კომპონენტი, მაშინ მისი კონცენტრაცია გვხვდება ფორმულით:

ე.ი პი – არის კონცენტრაცია მენარევში არსებული ნივთიერება, გამოხატული პროცენტულად. მაგალითად, თუ ნივთიერების პროცენტი არის 70%, მაშინ მისი შესაბამისი კონცენტრაციაა 0,7. პირიქით, თუ კონცენტრაცია არის 0,33, მაშინ პროცენტი არის 33%. ასე რომ ჯამი რ 1 + გვ 2 + …+ გვ ნ = 100%. თუ ცნობილია კონცენტრაციები თან 1 , თან 2 , ..., თან ნ კომპონენტები, რომლებიც ქმნიან მოცულობის ამ ნარევს ვ 0 , შემდეგ კომპონენტების შესაბამისი მოცულობები გვხვდება ფორმულებით:

ცნებები წონა (მასობრივი) კონცენტრალიზაციანარევის კომპონენტები და შესაბამისი პროცენტები. ისინი განისაზღვრება, როგორც სუფთა ნივთიერების წონის (მასის) თანაფარდობა მაგრამ მე , შენადნობაში მთლიანი შენადნობის წონაზე (მასამდე). რა კონცენტრაცია, მოცულობა თუ წონა მონაწილეობს კონკრეტულ პრობლემაში, ყოველთვის ნათელია მისი პირობებიდან.

არის დავალებები, რომლებშიც აუცილებელია მოცულობის კონცენტრაციის ხელახლა გამოთვლა წონის კონცენტრაციამდე ან პირიქით. ამისათვის აუცილებელია ვიცოდეთ კომპონენტების სიმკვრივე (სპეციფიკური წონა), რომლებიც ქმნიან ხსნარს ან შენადნობას. განვიხილოთ, მაგალითად, ორკომპონენტიანი ნარევი კომპონენტების მოცულობითი კონცენტრაციით თან 1 და თან 2 (თან ერთად 1 + თან 2 = 1) და კომპონენტების სპეციფიკური წონა დ 1 და დ 2 . ნარევის მასა შეგიძლიათ იხილოთ ფორმულით:

სადაც ვ 1 და ვ 2 – კომპონენტების მოცულობა, რომლებიც ქმნიან ნარევი. კომპონენტების წონის კონცენტრაციები გამოვლენილია თანასწორობიდან:

რომლებიც განსაზღვრავენ ამ სიდიდეების კავშირს მოცულობით კონცენტრაციებთან.

როგორც წესი, ასეთი პრობლემების ტექსტებში ხდება ერთი და იგივე განმეორებითი მდგომარეობა: კომპონენტების შემცველი ორი ან მეტი ნარევიდან. ა 1 , ა 2 , მაგრამ 3 , ..., მაგრამ ნ , ახალი ნარევი შედგენილია ორიგინალური ნარევების შერევით, მიღებული გარკვეული პროპორციით. ამ შემთხვევაში, საჭიროა იპოვოთ კომპონენტების რა თანაფარდობა მაგრამ 1, მაგრამ 2 , მაგრამ 3 , ..., მაგრამ ნ შეიყვანეთ მიღებული ნარევი. ამ პრობლემის გადასაჭრელად მოსახერხებელია თითოეული ნარევის მოცულობის ან წონის ოდენობის გათვალისწინება, აგრეთვე მისი შემადგენელი კომპონენტების კონცენტრაციები. მაგრამ 1, მაგრამ 2 , მაგრამ 3 , ..., მაგრამ ნ . კონცენტრაციების დახმარებით საჭიროა თითოეული ნარევი ცალკეულ კომპონენტებად „გაყოთ“ და შემდეგ, პრობლემის მდგომარეობაში მითითებული წესით, ახალი ნარევის შედგენა. ამ შემთხვევაში, ადვილია გამოთვალოთ, თუ რამდენი კომპონენტი შედის მიღებულ ნარევში, ისევე როგორც ამ ნარევის მთლიანი რაოდენობა. ამის შემდეგ განისაზღვრება კომპონენტების კონცენტრაცია მაგრამ 1, მაგრამ 2 , მაგრამ 3 , ..., მაგრამ ნ ახალ ნარევში.

მაგალითი.არსებობს ორი ცალი სპილენძ-თუთიის შენადნობი სპილენძის პროცენტული შემცველობით 80% და 30% შესაბამისად. რა თანაფარდობით უნდა იქნას მიღებული ეს შენადნობები, რათა ერთად აღებული ნაჭრების დნობით მივიღოთ 60% სპილენძის შემცველი შენადნობი?

გადაწყვეტილება. დაე, პირველი შენადნობი იყოს მიღებული Xკგ და მეორე - ზეკგ. პირობით, სპილენძის კონცენტრაცია პირველ შენადნობაში არის 80/100 = 0,8, მეორეში - 30/100 = 0,3 (აშკარაა, რომ საუბარია წონის კონცენტრაციებზე), რაც ნიშნავს, რომ პირველ შენადნობაში 0,8 Xკგ სპილენძი და (1 - 0,8) X = 0,2Xკგ თუთია, მეორეში - 0,3 ზეკგ სპილენძი და (1 - 0,3) წ = 0,7ზეკგ თუთია. მიღებულ შენადნობში სპილენძის რაოდენობაა (0,8  X + 0,3  y)კგ და ამ შენადნობის მასა იქნება (x + y)კგ. მაშასადამე, შენადნობაში სპილენძის ახალი კონცენტრაცია, განმარტების მიხედვით, უდრის

პრობლემის მდგომარეობის მიხედვით, ეს კონცენტრაცია უნდა იყოს 0,6-ის ტოლი. ამრიგად, ჩვენ ვიღებთ განტოლებას:

ეს განტოლება შეიცავს ორ უცნობს Xდა წ.თუმცა, პრობლემის მდგომარეობიდან გამომდინარე, არ არის საჭირო თავად რაოდენობების განსაზღვრა Xდა y,არამედ მხოლოდ მათი დამოკიდებულება. მარტივი გარდაქმნების შემდეგ მივიღებთ

პასუხი: შენადნობები უნდა იქნას მიღებული 3: 2 თანაფარდობით.

მაგალითი.წყალში არის გოგირდმჟავას ორი ხსნარი: პირველი 40%, მეორე 60%. ეს ორი ხსნარი შეურიეს, რის შემდეგაც დაუმატეს 5 კგ სუფთა წყალი და მიიღეს 20%-იანი ხსნარი. თუ 5 კგ სუფთა წყლის ნაცვლად 5 კგ 80%-იან ხსნარს დაემატება, მაშინ მიიღება 70%-იანი ხსნარი. რამდენი იყო 40% და 60% ხსნარი?

გადაწყვეტილება. დაე იყოს Xკგ არის პირველი ხსნარის მასა, ზეკგ - მეორე. შემდეგ 20%-იანი ხსნარის მასა ( X + ზე+ 5) კგ. მას შემდეგ, რაც ში Xკგ 40% ხსნარი შეიცავს 0.4 Xკგ მჟავა ზეკგ 60% ხსნარი შეიცავს 0.6 წკგ მჟავა და (x + y + 5) კგ 20% ხსნარი შეიცავს 0.2( X + y + 5) კგ მჟავა, მაშინ პირობით გვაქვს პირველი განტოლება 0.4 X + 0,6წ = 0,2(X +y + 5).

თუ 5 კგ წყლის ნაცვლად დაუმატებთ 5 კგ 80%-იან ხსნარს, მიიღებთ მასის მქონე ხსნარს. (x + y+ 5) კგ, რომელშიც იქნება (0.4 X + 0,6ზე+ 0,8  5) კგ მჟავა, რომელიც იქნება 70%. (x + y+ 5) კგ.

ამოცანების ამოხსნა ალგებრული გზით (განტოლებების გამოყენებით)სახელმძღვანელოს მიხედვით, ი.ი. ზუბარევა, ა.გ. მორდკოვიჩი

მათემატიკის მასწავლებელი, მემორანდუმი "LSOSsh No. 2"

ლიხოსლავლი, ტვერის რეგიონი

მიზნები:- ალგებრული გზით ამოცანების ამოხსნის წესის ჩვენება; - ამოცანების არითმეტიკული და ალგებრული გზებით ამოხსნის უნარის ჩამოყალიბება.

გზები

პრობლემის გადაჭრა

არითმეტიკა (პრობლემის გადაჭრა მოქმედებებით)

ალგებრული (პრობლემის ამოხსნა განტოლების გამოყენებით)

პრობლემა #509

წაიკითხეთ დავალება.

შეეცადეთ იპოვოთ სხვადასხვა გადაწყვეტილებები.

ორ ყუთში არის 16 კგ ნამცხვრები. იპოვეთ ბისკვიტების მასა თითოეულ ყუთში, თუ ერთ-ერთი მათგანი შეიცავს 4 კგ-ით მეტ ორცხობილას მეორეზე.

1 ხსნარი

(შეხედე)

გადაჭრის 3 გზა

(შეხედე)

გადაჭრის 2 გზა

გადაჭრის 4 გზა

1 გზა (არითმეტიკა)

• 16 - 4 \u003d 12 (კგ) - ქუქიები დარჩება ორ ყუთში, თუ პირველი ყუთიდან აიღეთ 4 კგ ქუქი.

• 12: 2 = 6 (კგ) - ფუნთუშები იყო მეორე ყუთში.

• 6 + 4 = 10 (კგ) - ფუნთუშები იყო პირველ ყუთში.

უპასუხე

გამოყენებული ხსნარი კორექტირების მეთოდი .

Კითხვა: რატომ მიიღო ასეთი სახელი?

უკან)

2 გზა (არითმეტიკა)

• 16 + 4 \u003d 20 (კგ) - ქუქიები იქნება ორ ყუთში, თუ მეორე ყუთს დაემატება 4 კგ ქუქი.

• 20: 2 = 10 (კგ) - ფუნთუშები იყო პირველ ყუთში.

• 10 - 4 = 6 (კგ) - ფუნთუშები იყო მეორე ყუთში.

უპასუხე: ფუნთუშების მასა პირველ ყუთში არის 10 კგ, ხოლო მეორეში 6 კგ.

გამოყენებული ხსნარი კორექტირების მეთოდი .

უკან)

3 გზა (ალგებრული)

აღნიშნეთ ფუნთუშების მასა მეორეშიყუთის წერილი Xკგ. შემდეგ ქუქიების მასა პირველ ყუთში იქნება ( X+4) კგ, და ორ ყუთში ნამცხვრების მასა არის (( X +4)+ X) კგ.

(X +4)+ X =16

X +4+ X =16

2 X +4=16

2 X =16-4

2 X =12

X =12:2

მეორე ყუთში 6 კგ ფუნთუშები იყო.

6+4=10 (კგ) - ფუნთუშები იყო პირველ ყუთში.

გამოყენებული ხსნარი ალგებრული გზა.

ვარჯიში: ახსენით განსხვავება არითმეტიკულ მეთოდსა და ალგებრულ მეთოდს შორის?

უკან)

4 გზა (ალგებრული)

აღნიშნეთ ფუნთუშების მასა პირველადყუთის წერილი Xკგ. შემდეგ ქუქიების მასა მეორე ყუთში იქნება ტოლი ( X-4) კგ, და ფუნთუშების მასა ორ ყუთში - ( X +(X-4)) კგ.

პრობლემის მდგომარეობიდან გამომდინარე, ორ ყუთში 16 კგ ნამცხვარი იყო. ჩვენ ვიღებთ განტოლებას:

X +(X -4)=16

X + X -4=16

2 X -4=16

2 X =16+4

2 X =20

X =20:2

პირველ ყუთში 10 კგ ფუნთუშები იყო.

10-4=6 (კგ) - ფუნთუშები იყო მეორე ყუთში.

გამოყენებული ხსნარი ალგებრული გზა.

უკან)

• რა ორი მეთოდი გამოიყენეს პრობლემის გადასაჭრელად?
• რა არის გათანაბრების მეთოდი?
• რით განსხვავდება პირველი გასწორების მეთოდი მეორესგან?
• ერთ ჯიბეში მეორეზე 10 მანეთი მეტია. როგორ შეიძლება ორივე ჯიბეში არსებული თანხის გათანაბრება?
• რა არის პრობლემის გადაჭრის ალგებრული გზა?
• რა განსხვავებაა პრობლემის გადაჭრის მე-3 მეთოდსა და მე-4 შორის?
• ერთ ჯიბეში მეორეზე 10 მანეთი მეტია. ცნობილია, რომ ცვლადად უფრო მცირე თანხა იყო განსაზღვრული X. როგორ იქნება გამოხატული მეშვეობით X
• თუ ამისთვის Xმიუთითეთ მეტი ფული თქვენს ჯიბეში, ხოლო ეს იქნება გამოხატული მეშვეობით Xრა თანხაა მეორე ჯიბეში?
• მაღაზიაში შამპუნი 25 რუბლით მეტი ღირს, ვიდრე სუპერმარკეტში. მონიშნეთ ერთი ცვლადი ასოთი ზედა გამოხატეთ სხვა ღირებულება ამ ცვლადის თვალსაზრისით.

პრობლემა #510

ამოცანის ამოხსნა არითმეტიკული და ალგებრული გზებით.

სამი მიწის ნაკვეთიდან 156 ცენტნერი კარტოფილი მოიკრიფა. პირველი და მეორე განყოფილებიდან კარტოფილი თანაბრად იკრიფებოდა, ხოლო მესამედან - 12 ცენტნერით მეტი, ვიდრე თითოეული პირველი ორიდან. რამდენი კარტოფილი მოიკრიფა თითოეული ნაკვეთიდან.

ალგებრული გზა

(შეხედე)

არითმეტიკული გზა

(შეხედე)

გამომავალი)

არითმეტიკული გზა

• 156 - 12 \u003d 144 (გ) - კარტოფილის მოსავალს მიიღებდნენ სამი ნაკვეთიდან, თუ ყველა ნაკვეთის მოსავალი ერთნაირი იქნებოდა.

• 144: 3 = 48 (გ) - კარტოფილი იკრიფებოდა პირველიდან, ხოლო მეორე ნაკვეთიდან.
• 48 + 12 = 60 (გ) - კარტოფილი შეგროვდა მესამე ნაკვეთიდან.

უპასუხე

უკან)

ალგებრული გზა

დაე მათ შეაგროვონ პირველი საიტიდან Xგ კარტოფილი. მერე მეორე საიტიდანაც შეაგროვეს X q კარტოფილი და მოკრეფილი მესამე ადგილიდან ( X+12) გ კარტოფილი.

პირობის მიხედვით, სამივე ნაკვეთიდან 156 ცენტნერი კარტოფილი შეგროვდა.

ჩვენ ვიღებთ განტოლებას:

x + x + (x +12) =156

x + x + x + 12 = 156

3 X +12 = 156

3 X = 156 – 12

3 X = 144

X = 144: 3

პირველი და მეორე ნაკვეთებიდან 48 ცენტნერი კარტოფილი შეგროვდა.

48 +12 \u003d 60 (c) - კარტოფილი შეგროვდა მესამე ადგილიდან.

უპასუხე: პირველი და მეორე განყოფილებიდან შეგროვდა 48 კვინტალი კარტოფილი, ხოლო მესამე განყოფილებიდან 60 ცენტალი კარტოფილი.

უკან