შესავალი

1. თეორიული ნაწილი

1.1 ძირითადი ცნებები და განმარტებები

1.3 კარდანოს ფორმულა

2. პრობლემის გადაჭრა

დასკვნა

შესავალი

განტოლებები. დანამდვილებით შეიძლება ითქვას, რომ არ არის არც ერთი ადამიანი, ვინც მათ არ იცნობს. ადრეული ასაკიდან ბავშვები იწყებენ "X-ის პრობლემების" გადაჭრას. უფრო მეტი. მართალია, ბევრისთვის განტოლებების გაცნობა სასკოლო საქმეებით მთავრდება. ცნობილი გერმანელი მათემატიკოსი კურანტი წერდა: „ორი ათას წელზე მეტი ხნის განმავლობაში მათემატიკის სფეროში გარკვეული, არც თუ ისე ზედაპირული ცოდნის ფლობა აუცილებელი იყო. შემადგენელი ნაწილიათითოეულის ინტელექტუალურ ინვენტარში განათლებული ადამიანი". და ამ ცოდნას შორის იყო განტოლებების ამოხსნის უნარი.

უკვე ძველ დროში ხალხმა გააცნობიერა, თუ რამდენად მნიშვნელოვანია ისწავლონ ფორმის ალგებრული განტოლებების ამოხსნა.

a0xn + a1xn ​​- 1 + ... + an = 0

ყოველივე ამის შემდეგ, პრაქტიკისა და საბუნებისმეტყველო მეცნიერების ძალიან ბევრი და ძალიან მრავალფეროვანი კითხვა მათზეა დაყვანილი (რა თქმა უნდა, აქ დაუყოვნებლივ შეგვიძლია ვივარაუდოთ, რომ a0 ¹ 0, რადგან სხვაგვარად განტოლების ხარისხი რეალურად არ არის n, არამედ ნაკლები). ბევრს, რა თქმა უნდა, გაუჩნდა მაცდური იდეა, ეპოვათ ფორმულები n-ის ნებისმიერი სიმძლავრისთვის, რომელიც გამოთქვამდა განტოლების ფესვებს მისი კოეფიციენტებით, ანუ ხსნიდა განტოლებას რადიკალებში. თუმცა, „პირქუში შუა საუკუნეები“ რაც შეიძლება პირქუში აღმოჩნდა განსახილველ პრობლემასთან მიმართებაში - მთელი შვიდი საუკუნის მანძილზე ვერავინ იპოვა საჭირო ფორმულები! მხოლოდ მე -16 საუკუნეში იტალიელმა მათემატიკოსებმა შეძლეს წინსვლა - იპოვონ ფორმულები n \u003d 3 და 4-ისთვის. მათი აღმოჩენების ისტორია და ნაპოვნი ფორმულების ავტორობაც კი საკმაოდ ბუნდოვანია დღემდე და ჩვენ ვერ გავიგებთ. აქ რთული ურთიერთობაფეროს, კარდანოს, ტარტალლიასა და ფერარის შორის, მაგრამ მოდი უკეთესად ვთქვა მათემატიკური არსისაქმეები.

ნაშრომის მიზანია მესამე ხარისხის განტოლებების ამოხსნის სხვადასხვა მეთოდის შესწავლა.

ამ მიზნის მისაღწევად აუცილებელია მთელი რიგი დავალების შესრულება:

-ანალიზი სამეცნიერო ლიტერატურა;

-ანალიზი სასკოლო სახელმძღვანელოები;

-ამოხსნის მაგალითების შერჩევა;

-განტოლებების ამოხსნა სხვადასხვა მეთოდით.

ნამუშევარი ორი ნაწილისგან შედგება. პირველი ეხება განტოლებების ამოხსნის სხვადასხვა მეთოდებს. მეორე ნაწილი ეთმობა განტოლებების ამოხსნას სხვადასხვა გზები.

1. თეორიული ნაწილი

1 ძირითადი ცნებები და განმარტებები

კუბური განტოლება არის ფორმის მესამე ხარისხის განტოლება:

რიცხვს x, რომელიც აქცევს განტოლებას იდენტურად, ეწოდება განტოლების ფესვი ან ამონახსნი. ის ასევე არის მესამე ხარისხის მრავალწევრის ფესვი, რომელიც არის კანონიკური აღნიშვნის მარცხენა მხარეს.

რთული რიცხვების ველზე, ალგებრის ფუნდამენტური თეორემის მიხედვით, კუბურ განტოლებას ყოველთვის აქვს 3 ფესვი (სიმრავლის გათვალისწინებით).

ვინაიდან ყველა რეალური მრავალწევრი არ არის ხარისხიც კიაქვს მინიმუმ ერთი რეალური ფესვი, ფესვების შემადგენლობის ყველა შესაძლო შემთხვევა კუბური განტოლებაამოწურულია ქვემოთ აღწერილი სამით. ეს შემთხვევები ადვილად გამოირჩევა დისკრიმინანტის გამოყენებით

ასე რომ, შესაძლებელია მხოლოდ სამი შემთხვევა:

Თუ? > 0, მაშინ განტოლებას სამი განსხვავებული რეალური ფესვი აქვს.

Თუ?< 0, то уравнение имеет один вещественный и пару комплексно сопряжённых корней.

Თუ? = 0, მაშინ მინიმუმ ორი ფესვი ემთხვევა. ეს შეიძლება იყოს, როდესაც განტოლებას აქვს ორმაგი რეალური ფესვი და სხვა განსხვავებული რეალური ფესვი; ან სამივე ძირი ემთხვევა 3-ის სიმრავლის ფესვს. კუბური განტოლების შედეგი და მისი მეორე წარმოებული გვეხმარება ამ ორი შემთხვევის გამიჯვნაში: მრავალწევრს აქვს 3 სიმრავლის ფესვი, თუ და მხოლოდ მაშინ, თუ მითითებული შედეგიც არის ნული.

კუბური განტოლების ფესვები დაკავშირებულია კოეფიციენტებთან შემდეგნაირად:

1.2 კუბური განტოლებების ამოხსნის მეთოდები

კუბური განტოლებების ამოხსნის ყველაზე გავრცელებული მეთოდია აღრიცხვის მეთოდი.

პირველ რიგში, ჩამოთვლით ვპოულობთ განტოლების ერთ-ერთ ფესვს. ფაქტია, რომ კუბური განტოლებები ყოველთვის აქვთ მინიმუმერთი რეალური ფესვი და კუბური განტოლების მთელი ფესვი მთელი რიცხვითი კოეფიციენტებით არის d თავისუფალი წევრის გამყოფი. ამ განტოლებების კოეფიციენტები, როგორც წესი, ისეა შერჩეული, რომ სასურველი ფესვი იყოს მცირე მთელ რიცხვებს შორის, როგორიცაა: 0, ± 1, ± 2, ± 3. ამიტომ, ჩვენ ვეძებთ ფესვს ამ რიცხვებს შორის და შევამოწმებთ მას ჩანაცვლებით. განტოლება. ამ მიდგომით წარმატების მაჩვენებელი ძალიან მაღალია. დავუშვათ ეს ფესვი.

ამოხსნის მეორე საფეხურია მრავალწევრის გაყოფა x - x1 ორწევრზე. ბეზუტის თეორემის მიხედვით, ნაშთის გარეშე ეს გაყოფა შესაძლებელია და შედეგად მივიღებთ მეორე ხარისხის მრავალწევრს, რომელიც უნდა გავტოლოთ ნულის ტოლფასი. ამოხსნა მიღებული კვადრატული განტოლება, ჩვენ ვიპოვით (ან არა) დარჩენილ ორ ფესვს.

ორმხრივი კუბური განტოლების ამოხსნა

ორმხრივი კუბურ განტოლებას აქვს ფორმა (2)

ეს განტოლება მცირდება ფორმამდე არანულოვანი კოეფიციენტ A-ზე გაყოფით. შემდეგი, გამოიყენება კუბურების ჯამის შემოკლებული გამრავლების ფორმულა:

პირველი ფრჩხილიდან ვხვდებით და კვადრატულ ტრინომს აქვს მხოლოდ რთული ფესვები.

განმეორებადი კუბური განტოლებები

საპასუხო კუბურ განტოლებას აქვს ფორმა და B- კოეფიციენტები.

დავაჯგუფოთ:

ცხადია, x=-1 არის ასეთი განტოლების ფესვი და შედეგად მიღებული ფესვები კვადრატული ტრინომიალიადვილად მოიძებნება დისკრიმინანტის საშუალებით.

1.3 კარდანოს ფორმულა

AT ზოგადი შემთხვევაკუბური განტოლების ფესვები გვხვდება კარდანოს ფორმულით.

კუბური განტოლებისთვის (1), მნიშვნელობები ნაპოვნია ჩანაცვლების გამოყენებით: x= (2) და განტოლება მცირდება ფორმაში:

არასრული კუბური განტოლება, რომელშიც არ იქნება მეორე ხარისხის შემცველი ტერმინი.

ჩვენ ვვარაუდობთ, რომ განტოლებას აქვს კოეფიციენტები რთული რიცხვები. ამ განტოლებას ყოველთვის ექნება რთული ფესვები.

ავღნიშნოთ ამ ძირებიდან ერთ-ერთი: . შემოგვაქვს დამხმარე უცნობი u და განვიხილავთ მრავალწევრს f(u)=.

ავღნიშნოთ ამ მრავალწევრის ფესვები? და?, ვიეტის თეორემის მიხედვით (იხ. გვ. 8):

ჩაანაცვლეთ განტოლებაში (3), გამოსახულებაში (4), მივიღებთ:

(5) მეორე მხრიდან: (7)

აქედან გამომდინარეობს, ანუ ფორმულებიდან (6), (7), რომ რიცხვები არის განტოლების ფესვები:

ბოლო განტოლებიდან:

დანარჩენი ორი ფესვი გვხვდება ფორმულით:

1.4 ტრიგონომეტრიული ფორმულავიეტა

ეს ფორმულა პოულობს ამონახსნებს შემცირებული კუბური განტოლებისთვის, ანუ ფორმის განტოლებისთვის

ცხადია, ნებისმიერი კუბური განტოლება შეიძლება შემცირდეს (4) ფორმის განტოლებამდე მისი უბრალოდ a კოეფიციენტზე გაყოფით. ასე რომ, ამ ფორმულის გამოყენების ალგორითმი:

გამოთვალეთ

2. გამოთვალეთ

3. ა) თუ, მაშინ გამოთვალეთ

და ჩვენს განტოლებას აქვს 3 ფესვი (რეალური):

ბ) თუ, მაშინ შეცვალეთ ტრიგონომეტრიული ფუნქციებიჰიპერბოლური.

გამოთვალეთ

მაშინ ერთადერთი ფესვი (რეალური):

წარმოსახვითი ფესვები:

გ) თუ, მაშინ განტოლებას აქვს სამზე ნაკლები სხვადასხვა გადაწყვეტილებები:

2. პრობლემის გადაჭრა

მაგალითი 1. იპოვეთ კუბური განტოლების ნამდვილი ფესვები

ჩვენ ვიყენებთ ფორმულას კუბურების სხვაობის შემოკლებული გამრავლებისთვის:

პირველი ფრჩხილიდან ვხვდებით, რომ მეორე ფრჩხილში კვადრატულ ტრინომს არ აქვს ნამდვილი ფესვებირადგან დისკრიმინანტი უარყოფითია.

მაგალითი 2. ამოხსენით განტოლება

ეს განტოლება ორმხრივია. დავაჯგუფოთ:

არის განტოლების ფესვი. კვადრატული ტრინომის ფესვების პოვნა

მაგალითი 3. იპოვეთ კუბური განტოლების ფესვები

განტოლება გადავცვალოთ მოცემულში: გავამრავლოთ ორივე ნაწილზე და შევცვალოთ ცვლადი.

თავისუფალი წევრი არის 36. მოდით ჩამოვწეროთ მისი ყველა გამყოფი:

ჩვენ მათ რიგრიგობით ვცვლით თანასწორად, სანამ არ მივიღებთ იდენტურობას:

ამრიგად, არის ფესვი. ემთხვევა

გაყოფა ჰორნერის სქემის გამოყენებით.

პოლინომიური კოეფიციენტები2-11129-0.52-11+2*(-0.5)=-1212-12*(-0.5)=189+18*(-0.5)=0

ვიღებთ

ვიპოვოთ კვადრატული ტრინომის ფესვები:

ცხადია, ანუ მისი მრავალჯერადი ფესვი არის.

მაგალითი 4. იპოვეთ განტოლების ნამდვილი ფესვები

არის განტოლების ფესვი. იპოვეთ კვადრატული ტრინომის ფესვები.

ვინაიდან დისკრიმინანტი ნულზე ნაკლები, მაშინ ტრინომილს რეალური ფესვები არ აქვს.

მაგალითი 5. იპოვეთ მე-2 კუბური განტოლების ფესვები.

აქედან გამომდინარე,

ჩვენ ვანაცვლებთ კარდანოს ფორმულას:

იღებს სამ მნიშვნელობას. მოდით ჩამოვწეროთ ისინი.

როცა გვაქვს

როცა გვაქვს

როცა გვაქვს

მოდით დავყოთ ეს მნიშვნელობები წყვილებად, რომლებიც მოცემულია პროდუქტში

მნიშვნელობების პირველი წყვილი და

მნიშვნელობების მეორე წყვილი და

მნიშვნელობების მესამე წყვილი და

დაუბრუნდით კარდანოს ფორმულას

ამრიგად,

დასკვნა

კუბური ტრინომალური განტოლება

აღსრულების შედეგად საკურსო ნაშრომიგამოკვლეული იქნა მესამე ხარისხის განტოლებების ამოხსნის სხვადასხვა მეთოდი, როგორებიცაა აღრიცხვის მეთოდი, კარანოს ფორმულა, ვიეტას ფორმულა, საპასუხო, ორმხრივი განტოლებების ამოხსნის მეთოდები.

გამოყენებული წყაროების სია

1)ბრონშტეინი I.N., Semendyaev K.A. „მათემატიკის სახელმძღვანელო ტექნიკური უნივერსიტეტების ინჟინრებისა და სტუდენტებისთვის“, მ., 1986 წ.

2)კოლმოგოროვი ა.ნ. ალგებრა და ანალიზის დასაწყისი. სასწავლო სახელმძღვანელო მე-9 კლასისთვის უმაღლესი სკოლა, 1977.

)ომელჩენკო ვ.პ. მათემატიკა: სახელმძღვანელო/ ვ.პ. ომელჩენკო, E.V. კურბატოვა. - Rostov n / a.: Phoenix, 2005.- 380s.

რეპეტიტორობა

გჭირდებათ დახმარება თემის შესწავლაში?

ჩვენი ექსპერტები გაგიწევენ კონსულტაციას ან გაგიწევენ სადამრიგებლო მომსახურებას თქვენთვის საინტერესო თემებზე.
განაცხადის გაგზავნათემის მითითება ახლავე, რათა გაიგოთ კონსულტაციის მიღების შესაძლებლობის შესახებ.

გაკვეთილის მიზნები.

1. მოსწავლეთა ცოდნის გაღრმავება თემაზე „უმაღლესი საფეხურების განტოლებების ამოხსნა“ და სასწავლო მასალის შეჯამება.
2. გააცნოს მოსწავლეებს უმაღლესი ხარისხის განტოლებების ამოხსნის მეთოდები.
3. ასწავლოს სტუდენტებს გაყოფის თეორიის გამოყენება უმაღლესი ხარისხის განტოლებების ამოხსნისას.
4. ასწავლოს მოსწავლეებს მრავალწევრის მრავალწევად დაყოფა „კუთხით“.
5. განუვითარდებათ უმაღლესი ხარისხის განტოლებებთან მუშაობის უნარები და უნარები.

განვითარება:

1. მოსწავლეთა ყურადღების განვითარება.
2. მუშაობის შედეგების მიღწევის უნარის განვითარება.
3. ალგებრის სწავლისადმი ინტერესის განვითარება და დამოუკიდებელი მუშაობის უნარები.

აღზრდა:

1. კოლექტივიზმის გრძნობის ამაღლება.
2. სამუშაოს შედეგზე პასუხისმგებლობის გრძნობის ჩამოყალიბება.
3. ფორმირება მოსწავლეებში ადეკვატური თვითშეფასებაგაკვეთილზე სამუშაოსთვის ნიშნის არჩევისას.

აღჭურვილობა: კომპიუტერი, პროექტორი.

გაკვეთილების დროს

მუშაობის 1 ეტაპი. ორგანიზების დრო.

მუშაობის 2 ეტაპი. მოტივაცია და პრობლემის გადაჭრა

განტოლება ერთი ყველაზე მნიშვნელოვანი ცნებებიმათემატიკა. განტოლებების ამოხსნის მეთოდების შემუშავება, დაწყებული მათემატიკის, როგორც მეცნიერების დაბადებიდან, დიდი დროიყო ალგებრის შესწავლის მთავარი საგანი.

მათემატიკის შესწავლის სასკოლო კურსში დიდი ყურადღება ეთმობა სხვადასხვა ტიპის განტოლებების ამოხსნას. მეცხრე კლასამდე მხოლოდ წრფივი და კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შეგვეძლო. განტოლებები მესამე, მეოთხე და ა.შ. გრადუსებს უწოდებენ უმაღლესი ხარისხის განტოლებებს. მეცხრე კლასში გავეცანით მესამე და მეოთხე ხარისხის ზოგიერთი განტოლების ამოხსნის ორ ძირითად მეთოდს: მრავალწევრის ფაქტორებად დაყოფა და ცვლადის ცვლილების გამოყენება.

შესაძლებელია თუ არა უფრო მაღალი ხარისხის განტოლებების ამოხსნა? ამ კითხვაზე პასუხის პოვნა დღეს შევეცდებით.

მუშაობის 3 ეტაპი. გადახედეთ ადრე ნასწავლ მასალას. უფრო მაღალი ხარისხის განტოლების ცნების გაცნობა.

1) წრფივი განტოლების ამოხსნა.

ხაზოვანი არის ფორმის განტოლება, სადაც განმარტებით. ამ განტოლებას აქვს მხოლოდ ერთი ფესვი.

2) კვადრატული განტოლების ამოხსნა.

ფორმის განტოლება , სადაც . ფესვების რაოდენობა და თავად ფესვები განისაზღვრება განტოლების დისკრიმინანტით. განტოლებას არ აქვს ფესვები, for აქვს ერთი ფესვი (ორი იდენტური ფესვები)

, for აქვს ორი განსხვავებული ფესვი .

განხილული წრფივი და კვადრატული განტოლებიდან ვხედავთ, რომ განტოლების ფესვების რაოდენობა არ აღემატება მის ხარისხს. უმაღლესი ალგებრის მსვლელობისას დადასტურდა, რომ -მე ხარისხის განტოლებას არაუმეტეს n ფესვი აქვს. რაც შეეხება თავად ფესვებს, სიტუაცია ბევრად უფრო რთულია. მესამე და მეოთხე ხარისხის განტოლებისთვის ცნობილია ფორმულები ფესვების საპოვნელად. თუმცა, ეს ფორმულები ძალიან რთული და რთულია და პრაქტიკული გამოყენებაარ აქვს. მეხუთე და უმაღლესი ხარისხის განტოლებისთვის არ არსებობს ზოგადი ფორმულები და ვერც იარსებებს (როგორც მე-19 საუკუნეში დაამტკიცეს ნ. აბელმა და ე. გალუამ).

განტოლებებს ვუწოდებთ მესამეს, მეოთხეს და ა.შ. გრადუსი უმაღლესი ხარისხის განტოლებით. ზოგიერთი განტოლება მაღალი გრადუსიშეიძლება ამოხსნას ორი ძირითადი ტექნიკის გამოყენებით: მრავალწევრის ფაქტორებად გადაქცევა ან ცვლადის ცვლილების გამოყენებით.

3) კუბური განტოლების ამოხსნა.

ამოხსნათ კუბური განტოლება

ვაჯგუფებთ განტოლების მარცხენა მხარეს მრავალწევრის წევრებს და ფაქტორზე ვდებთ მას. ჩვენ ვიღებთ:

ფაქტორების ნამრავლი ნულის ტოლია, თუ ერთ-ერთი ფაქტორი ნულის ტოლია. ჩვენ ვიღებთ სამ წრფივ განტოლებას:

ამრიგად, ამ კუბურ განტოლებას სამი ფესვი აქვს: ; ;.

4) ბიკვადრატული განტოლების ამოხსნა.

ძალიან გავრცელებულია ორმხრივი განტოლებები, რომლებსაც აქვთ ფორმა (ე.ი. განტოლებები, რომლებიც კვადრატულია ). მათ გადასაჭრელად შემოიღეს ახალი ცვლადი.

ჩვენ გადავწყვეტთ ბიკვადრატული განტოლება.

შემოვიღოთ ახალი ცვლადი და მივიღოთ კვადრატული განტოლება, რომლის ფესვებია რიცხვები და 4.

მოდით დავუბრუნდეთ ძველ ცვლადს და მივიღოთ ორი მარტივი კვადრატული განტოლება:

(ფესვები და ) (ფესვები და )

ამრიგად, ამ ბიკვადრატულ განტოლებას ოთხი ფესვი აქვს:

; ;.

ვცადოთ განტოლების ამოხსნა ზემოაღნიშნული მეთოდებით.

მარცხი!!!

მუშაობის 4 ეტაპი. მიეცით რამდენიმე დებულება ფორმის მრავალწევრის ფესვების შესახებ, სადაც მრავალწევრი nthგრადუსი

აქ მოცემულია რამდენიმე განცხადება ფორმის მრავალწევრის ფესვების შესახებ:

1) მე-ე ხარისხის მრავალწევრს აქვს მაქსიმუმ ფესვები (მათი სიმრავლეების გათვალისწინებით). მაგალითად, მესამე ხარისხის მრავალწევრს არ შეიძლება ჰქონდეს ოთხი ფესვი.

2) კენტი ხარისხის მრავალწევრს აქვს მინიმუმ ერთი ფესვი. მაგალითად, პირველი, მესამე, მეხუთე მრავალწევრები და ა.შ. გრადუსს აქვს მინიმუმ ერთი ფესვი. ლუწი ხარისხის მრავალწევრებს შეიძლება ჰქონდეთ ფესვები ან არ ჰქონდეთ.

3) თუ სეგმენტის ბოლოებში მრავალწევრის მნიშვნელობებს განსხვავებული ნიშნები აქვთ (ე.ი. ), მაშინ ინტერვალი შეიცავს მინიმუმ ერთ ფესვს. ეს განცხადება ფართოდ გამოიყენება მრავალწევრის ფესვების სავარაუდო გამოსათვლელად.

4) თუ რიცხვი არის ფორმის მრავალწევრის ფესვი, მაშინ ეს მრავალწევრი შეიძლება წარმოვიდგინოთ ნამრავლის სახით, სადაც პოლინომი (-მე ხარისხი. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ფორმის მრავალწევრი ნაშთის გარეშე შეიძლება გაიყოს ბინომი.ეს საშუალებას იძლევა, რომ th ხარისხის განტოლება შემცირდეს განტოლებამდე (-th ხარისხი (განტოლების ხარისხის შემცირება).

5) თუ განტოლებას ყველა მთელი კოეფიციენტით (უფრო მეტიც, თავისუფალ წევრთან) აქვს მთელი ძირი, მაშინ ეს ფესვი არის თავისუფალი წევრის გამყოფი. ასეთი განცხადება საშუალებას გაძლევთ აირჩიოთ მრავალწევრის მთელი ფესვი (თუ ის არსებობს).

მუშაობის 5 ეტაპი. აჩვენეთ, როგორ გამოიყენება გაყოფის თეორია უმაღლესი ხარისხის განტოლებების ამოსახსნელად. განვიხილოთ უფრო მაღალი ხარისხის განტოლებების ამოხსნის მაგალითები, რომლებშიც მარცხენა მხარე ფაქტორიზებულია მრავალწევრის მრავალწევრზე „კუთხით“ გაყოფის მეთოდის გამოყენებით.

მაგალითი 1. ამოხსენით განტოლება .

თუ ამ განტოლებას აქვს მთელი ფესვი, მაშინ ის არის თავისუფალი წევრის (-1) გამყოფი, ე.ი. უდრის ერთ რიცხვს: . შემოწმება აჩვენებს, რომ განტოლების ფესვი არის რიცხვი -1. მაშასადამე, მრავალწევრი შეიძლება წარმოდგენილი იყოს ნამრავლის სახით, ე.ი. მრავალწევრი შეიძლება დაიყოს ბინომად ნაშთის გარეშე. შევასრულოთ შემდეგი დაყოფა „კუთხით“:

ამრიგად, ჩვენ რეალურად დავშალეთ განტოლების მარცხენა მხარე ფაქტორებად:

ფაქტორების ნამრავლი ნულის ტოლია, თუ ერთ-ერთი ფაქტორი ნულის ტოლია. ვიღებთ ორ განტოლებას.

სიმონიან ალბინა

ნაშრომში განხილულია კუბური განტოლებების ამოხსნის ტექნიკა და მეთოდები. კარდანოს ფორმულის გამოყენება მათემატიკაში გამოცდისთვის მომზადების ამოცანების გადასაჭრელად.

ჩამოტვირთვა:

გადახედვა:

MOU DOD ბავშვთა და ახალგაზრდობის შემოქმედების სასახლე

დონის მეცნიერებათა აკადემია ახალგაზრდა მკვლევარებისთვის

განყოფილება: მათემატიკა - ალგებრა და რიცხვების თეორია

Კვლევა

"მოდი ჩავიხედოთ ფორმულების სამყაროში"

ამ თემაზე "მე-3 ხარისხის განტოლებების ამოხსნა"

ხელმძღვანელი: მათემატიკის მასწავლებელი ბაბინა ნატალია ალექსეევნა

გ.სალსკი 2010 წ

1. შესავალი ……………………………………………………………………………………….3
2. ძირითადი ნაწილი………………………………………………………………………….4
3. პრაქტიკული ნაწილი…………………………………………………… 10-13
4. დასკვნა …………………………………………………………………………….14
5. ლიტერატურა…………………………………………………………………………..15
6. აპლიკაციები

1. შესავალი

მათემატიკური განათლება მიღებული ქ ზოგადსაგანმანათლებლო სკოლები, არის აუცილებელი კომპონენტი ზოგადი განათლებადა ზოგადი კულტურა თანამედროვე ადამიანი. თითქმის ყველაფერი, რაც აკრავს ადამიანს, ამა თუ იმ გზით უკავშირდება მათემატიკას. მაგრამ ბოლო მიღწევებიფიზიკაში, ტექნოლოგიაში, საინფორმაციო ტექნოლოგიაეჭვს არ ტოვებს, რომ მომავალში ყველაფერი იგივე დარჩება. ამიტომ, ბევრის გადაწყვეტილება პრაქტიკული ამოცანებიმოდის გადაწყვეტილებამდე სხვადასხვა სახისგანტოლებები, რათა ისწავლონ ამოხსნა. წრფივი განტოლებებიპირველ ხარისხში გადაჭრას პირველ კლასში გვასწავლიდნენ და მათ მიმართ დიდი ინტერესი არ გამოგვიჩინა. უფრო საინტერესო არაწრფივი განტოლებები- განტოლებები უფრო დიდი გრადუსი. მათემატიკა ავლენს წესრიგს, სიმეტრიას და გარკვეულობას და ეს არის უმაღლესი სახეობებილამაზი.

ჩემი პროექტის „მოდით შევხედოთ ფორმულების სამყაროს“ თემაზე „მესამე ხარისხის კუბური განტოლებების ამოხსნა“ არის ცოდნის სისტემატიზაცია იმის შესახებ, თუ როგორ უნდა ამოხსნას კუბური განტოლებები, დადგინდეს საპოვნელ ფორმულის არსებობის ფაქტი. მესამე ხარისხის განტოლების ფესვები, აგრეთვე ფესვებსა და კოეფიციენტებს შორის კავშირი კუბურ განტოლებაში. კლასში ჩვენ ამოვხსენით განტოლებები, როგორც კუბური, ასევე 3-ზე მაღალი გრადუსი. განტოლებების ამოხსნა სხვადასხვა მეთოდები, დავამატეთ, გამოვაკლეთ, გავამრავლეთ, გავყავით კოეფიციენტები, ავწიეთ ხარისხზე და ამოვიღეთ ფესვები, მოკლედ, შევასრულეთ ალგებრული მოქმედებები. არსებობს კვადრატული განტოლებების ამოხსნის ფორმულა. არის თუ არა მესამე ხარისხის განტოლების ამოხსნის ფორმულა, ე.ი. მითითებები რა თანმიმდევრობით და რომელი ალგებრული მოქმედებები უნდა შესრულდეს კოეფიციენტებით ფესვების მისაღებად. ჩემთვის საინტერესო გახდა იმის ცოდნა, ცდილობდნენ თუ არა ცნობილი მათემატიკოსები პოვნას ზოგადი ფორმულაშესაფერისია კუბური განტოლებების ამოსახსნელად? და თუ ცდილობდნენ, შეძლეს თუ არა ფესვების გამოხატულების მიღება განტოლების კოეფიციენტების მიხედვით?

2. ძირითადი სხეული:

იმ შორეულ დროში, როდესაც ბრძენებმა პირველად დაიწყეს ფიქრი უცნობი რაოდენობების შემცველ თანასწორობებზე, ალბათ ჯერ არ იყო მონეტები და საფულეები. ძველად მათემატიკური ამოცანებიმესოპოტამია, ინდოეთი, ჩინეთი, საბერძნეთი, უცნობი რაოდენობები გამოხატავდა ბაღში ფარშევანგის რაოდენობას, ნახირში ხარების რაოდენობას, ქონების გაყოფისას გათვალისწინებული ნივთების მთლიანობას. ჩვენამდე მოღწეული წყაროები მიუთითებენ, რომ უძველესი მეცნიერები ფლობდნენ ზოგიერთს საერთო ხრიკებიამოცანების ამოხსნა უცნობი რაოდენობით. თუმცა, არც ერთი პაპირუსი, არც ერთი თიხის ტაბლეტიარ არის მოცემული ამ ტექნიკის აღწერა. გამონაკლისს წარმოადგენს ბერძენი მათემატიკოსის დიოფანტე ალექსანდრიელის „არითმეტიკა“ (III ს.) - განტოლებების შედგენის ამოცანების კრებული მათი ამონახსნების სისტემატური წარმოდგენით. თუმცა, პირველი პრობლემის გადაჭრის გზამკვლევი უნდა მიიღოთ ფართო პოპულარობა, იყო IX საუკუნის ბაღდადელი მეცნიერის ნაშრომი. მუჰამედ ბინ მუსა ალ-ხვარიზმი.

ასე რომ, გამიჩნდა იდეა შემექმნა პროექტი "მოდით შევხედოთ ფორმულების სამყაროს ...", ფუნდამენტური კითხვები. ეს პროექტიგახდეს:

1. არსებობს თუ არა კუბური განტოლებების ამოხსნის ფორმულა დადგენა;
2. დადებითი პასუხის შემთხვევაში ფორმულის ძიება, რომელიც გამოხატავს კუბურ განტოლების ფესვებს მის კოეფიციენტებზე სასრული რაოდენობის ალგებრული მოქმედებების მიხედვით.

ვინაიდან სახელმძღვანელოებში და მათემატიკის სხვა წიგნებში, მსჯელობისა და მტკიცებულებების უმეტესობა არ არის განხორციელებული კონკრეტული მაგალითები, და ში ზოგადი ხედი, შემდეგ გადავწყვიტე მომეძია კონკრეტული მაგალითები, რომლებიც ადასტურებენ ან უარყოფენ ჩემს იდეას. კუბური განტოლებების ამოხსნის ფორმულის მოსაძებნად გადავწყვიტე კვადრატული განტოლებების ამოხსნის ნაცნობი ალგორითმები გამეგრძელებინა. მაგალითად, განტოლების ამოხსნა x 3 + 2x 2 - 5x -6=0 გამოყო სრული კუბიფორმულის გამოყენებით (x + a) 3 \u003d x 3 + 3x 2 a + 3a 2 x + a 3 . იმისათვის, რომ შევარჩიო სრული კუბი განტოლების მარცხენა მხრიდან, მე გადავაქციე მასში 2x 2 3x2-ში და იმათ. მე ვეძებდი ასეთს, რომ თანასწორობა მართალია 2x 2 \u003d 3x 2 a . ადვილი იყო გამოთვლა, რომ a = . გარდაქმნა ამ განტოლების მარცხენა მხარეშემდეგნაირად: x 3 + 2x 2 -5x-6=0

(x 3 + 3x 2 a + 3x. +) - 3x. - - 5x - 6= (x+) 3 - 6x - 6 მე გავაკეთე ჩანაცვლება y \u003d x +, ე.ი. x = y - y 3 - 6(y -) - 6=0; 3-ზე - 6წ + 4- 6=0; თავდაპირველმა განტოლებამ მიიღო ფორმა: 3 - 6წ - 2=0; არც თუ ისე ლამაზი განტოლება აღმოჩნდა, რადგან მთელი რიცხვის კოეფიციენტების ნაცვლად ახლა მაქვს წილადი, თუმცა უცნობის კვადრატის შემცველი განტოლების ტერმინი გაქრა! უფრო ახლოს ვარ ჩემს მიზანთან? ყოველივე ამის შემდეგ, ტერმინი, რომელიც შეიცავს უცნობის პირველ ძალას, დარჩა. იქნებ საჭირო იყო სრული კუბის შერჩევა ისე, რომ ტერმინი - 5x გაქრეს? (x+a) 3 \u003d x 3 + 3x 2 a + 3a 2 x + a 3 . იპოვა მსგავსი რამ 3a 2 x \u003d -5x; იმათ. 2-მდე = - მაგრამ შემდეგ საკმაოდ ცუდად გამოვიდა - ამ თანასწორობაში, მარცხნივ არის დადებითი რიცხვიდა მარჯვნივ არის უარყოფითი. ასეთი თანასწორობა არ შეიძლება. აქამდე ვერ მოვახერხე განტოლების ამოხსნა, მხოლოდ ფორმაში მოყვანა შემეძლო 3 - 6წ - 2=0.

ასე რომ, ჩემი მუშაობის შედეგი საწყისი ეტაპი: შეძლო კუბური განტოლებიდან მეორე ხარისხის შემცველი ტერმინის ამოღება, ე.ი. თუ მიცემულია კანონიკური განტოლებაოჰ 3 + 2-ში + cx + d, მაშინ ის შეიძლება შემცირდეს არასრულ კუბურ განტოლებამდე x 3 +px+q=0. შემდეგი, სხვადასხვასთან მუშაობა საცნობარო ლიტერატურა, მე შევძელი გამერკვია, რომ ფორმის განტოლება x 3 + px \u003d q მოახერხა იტალიელი მათემატიკოსის დალ ფეროს (1465-1526) ამოხსნა. რატომ ამ სახის და არა სახის x 3 + px + q \u003d 0? Ეს არის რადგან იმ დროს უარყოფითი რიცხვები ჯერ არ იყო შემოტანილი და განტოლებები განიხილებოდა მხოლოდ დადებითი კოეფიციენტებით. და უარყოფითი რიცხვები ცოტა მოგვიანებით იქნა აღიარებული.ისტორიის მითითება:დალ ფერომ შეარჩია მრავალი ვარიანტი მოცემული კვადრატული განტოლების ფესვების ფორმულის ანალოგიით. ის ასე მსჯელობდა: კვადრატული განტოლების ფესვი არის - ± ე.ი. აქვს ფორმა: x=t ± . ეს ნიშნავს, რომ კუბური განტოლების ფესვი ასევე უნდა იყოს ზოგიერთი რიცხვის ჯამი ან სხვაობა და, ალბათ, მათ შორის უნდა იყოს მესამე ხარისხის ფესვები. კონკრეტულად რომელი? მრავალრიცხოვანი ვარიანტიდან ერთი წარმატებული აღმოჩნდა: მან პასუხი სხვაობის სახით იპოვა - კიდევ უფრო რთული გამოცნობა იყო, რომ t და u ისე უნდა აერჩიათ, რომ =. x-ის ნაცვლად ჩანაცვლება -, და p-ის ნაცვლად პროდუქტიმიღებული: (-) 3 +3 (-)=ქ. ფრჩხილები გახსნილია: t - 3 +3- u+3- 3=q. მსგავსი ტერმინების მოყვანის შემდეგ მივიღეთ: t-u=q.

შედეგად მიღებული განტოლებათა სისტემაა:

t u = () 3 t-u=q. ავწიოთ მარჯვენა და მარცხნივპირველი განტოლების ნაწილების კვადრატი, ხოლო მეორე განტოლება გავამრავლოთ 4-ზე და დავამატოთ პირველი და მეორე განტოლებები. 4t 2 +2tu +u 2 =q 2 +4() 3 ; (t+u) 2 =4()+() 3 t+u =2 დან ახალი სისტემა t+u=2 ; t -u=q გვაქვს: t= + ; u= - . x-ის ნაცვლად გამოხატვის ჩანაცვლებით მივიღეთპროექტზე მუშაობის დროს ვისწავლე ყველაზე საინტერესო მასალები. თურმე დალ ფერომ არ გამოაქვეყნა ის მეთოდი, რომელიც აღმოაჩინა, მაგრამ მისმა ზოგიერთმა სტუდენტმა იცოდა ამ აღმოჩენის შესახებ და მალე ერთ-ერთმა მათგანმა, ანტონიო ფიორმა გადაწყვიტა მისი გამოყენება.იმ წლებში ფართოდ იყო გავრცელებული საზოგადოებრივი კამათი სამეცნიერო საკითხები. ასეთი დავების გამარჯვებულები, როგორც წესი, კარგ ჯილდოს იღებდნენ, ხშირად იწვევდნენ მაღალ თანამდებობებზე.

ამავე დროს, იტალიის ქალაქივერონაში ცხოვრობდა ღარიბი მათემატიკის მასწავლებელი ნიკოლო (1499-1557), მეტსახელად ტარტაგლია (ანუ ჭუჭყიანი). ის იყო ძალიან ნიჭიერი და მოახერხა დალ ფეროს ტექნიკის ხელახლა აღმოჩენა (დანართი 1).ფიორესა და ტარტალიას შორის დუელი გაიმართა. პირობის მიხედვით, მეტოქეებმა ოცდაათი პრობლემა გაცვალეს, რომელთა გადაჭრას 50 დღე მიეცა. მაგრამ მას შემდეგ ფიორმა არსებითად მხოლოდ ერთი პრობლემა იცოდა და დარწმუნებული იყო, რომ რომელიმე მასწავლებელი ვერ გადაჭრიდა, შემდეგ 30-ვე პრობლემა ერთი და იგივე ტიპის აღმოჩნდა. ტარტალლია მათ 2 საათში გაუმკლავდა. მეორეს მხრივ, ფიორემ ვერ გადაჭრა მტრის მიერ შემოთავაზებული ერთი ამოცანა. გამარჯვებამ განადიდა ტარტალია მთელ იტალიაში, მაგრამ საკითხი ბოლომდე არ მოგვარებულა. .

ეს ყველაფერი ჯეროლამო კარდანომ გააკეთა. სწორედ ფორმულას, რომელიც აღმოაჩინა დალ ფერომ და ხელახლა აღმოაჩინა ტარტალალიამ, ეწოდება კარდანოს ფორმულას (დანართი 2).

Cardano Girolamo (დ. 24 სექტემბერი, 1501 - 21 სექტემბერი, 1576) იყო იტალიელი მათემატიკოსი, მექანიკოსი და ექიმი. დაიბადა პავიაში. სწავლობდა პავიისა და პადუას უნივერსიტეტებში. ახალგაზრდობაში ეწეოდა მედიცინას. 1534 წელს გახდა მათემატიკის პროფესორი მილანსა და ბოლონიაში. მათემატიკაში სახელწოდება კარდანო ჩვეულებრივ ასოცირდება კუბური განტოლების ამოხსნის ფორმულასთან, რომელიც მან ისესხა ნ.ტარტალიასგან. ეს ფორმულა გამოქვეყნდა კარდანოს დიდ ხელოვნებაში, ან ალგებრის წესების შესახებ (1545). მას შემდეგ ტარტალია და კარდანო მოკვდავი მტრები გახდნენ. ეს წიგნი სისტემატურად ასახავს კარდანოს განტოლებების ამოხსნის თანამედროვე მეთოდებს, ძირითადად კუბურს. დაასრულა კარდანომ ხაზოვანი ტრანსფორმაცია, რაც შესაძლებელს ხდის კუბური განტოლების დაყვანას მე-2 ხარისხის წევრისაგან თავისუფალ ფორმამდე და მიუთითებს განტოლების ფესვებსა და კოეფიციენტებს შორის დამოკიდებულებაზე, მრავალწევრის გაყოფაზე x – a განსხვავებაზე, თუ a არის მისი ფესვი. კარდანო იყო ერთ-ერთი პირველი ევროპაში, ვინც აღიარა არსებობა უარყოფითი ფესვებიგანტოლებები. მის შემოქმედებაში პირველად ჩნდება წარმოსახვითი სიდიდეები. მექანიკაში კარდანომ შეისწავლა ბერკეტების და წონის თეორია. გვერდების გასწვრივ სეგმენტის ერთ-ერთი მოძრაობა სწორი კუთხემექანიკა კარდას ახალ მოძრაობას უწოდებს. ასე რომ, კარდანოს ფორმულის მიხედვით, შეგიძლიათ ამოხსნათ ფორმის განტოლებები x 3 + px + q \u003d 0 (დანართი 3)

როგორც ჩანს, საკითხი მოგვარებულია. არსებობს კუბური განტოლებების ამოხსნის ფორმულა.

Ის აქ არის!

გამოთქმა ფესვის ქვეშ -დისკრიმინანტი. D = () 2 + () 3 გადავწყვიტე დავუბრუნდე ჩემს განტოლებას და შევეცადე მისი ამოხსნა კარდანოს ფორმულის გამოყენებით: ჩემი განტოლება არის: 3 - 6y - 2=0, სადაც p= - 6=-; q = - 2 = - . ამის გამოთვლა ადვილია () 3 ==- და () 2 ==, () 2 + () 3 = = - = - . Შემდეგი რა არის? ამ წილადის მრიცხველიდან იოლად ამოვიღე ფესვი, გამოვიდა 15. და რა ვუყოთ მნიშვნელს? ფესვი არა მხოლოდ მთლიანად არ არის ამოღებული, არამედ აუცილებელია მისი ამოღებაც უარყოფითი რიცხვი! Რა მოხდა? შეიძლება ვივარაუდოთ, რომ ამ განტოლებას არ აქვს ფესვები, რადგან დ ასე რომ, პროექტზე მუშაობისას სხვა პრობლემა შემხვდა.Რა მოხდა? დავიწყე განტოლებების წერა, რომლებსაც აქვთ ფესვები, მაგრამ არ შეიცავს უცნობის კვადრატის ტერმინს:

1. შეადგინა განტოლება, რომელსაც აქვს ფესვი x \u003d - 4.

x 3 + 15x + 124 = 0 და მართლაც, შემოწმებით დავრწმუნდი, რომ -4 არის განტოლების ფესვი. (-4) 3 +15*(-4)+124=- 64 – 60 +124=0,

მე შევამოწმე, შესაძლებელია თუ არა ამ ფესვის მიღება კარდანოს ფორმულით x=+=+= =1- 5 =- 4

მიღებული, x = -4.

1. შეადგინა მეორე განტოლება, რომელსაც აქვს რეალური ფესვი x \u003d 1: x 3 + 3x - 4 = 0 და შეამოწმეთ ფორმულა.

და ამ შემთხვევაში ფორმულამ უნაკლოდ იმუშავა.

1. აიღო განტოლება x 3 +6x+2=0, რომელსაც აქვს ერთი ir რაციონალური ფესვი.

ამ განტოლების ამოხსნის შემდეგ მივიღე ეს ფესვი x = - და შემდეგ მქონდა ვარაუდი: ფორმულა მუშაობდა, თუ განტოლებას მხოლოდ ერთი ფესვი ჰქონდა. და ჩემს განტოლებას, რომლის ამოხსნამ ჩიხში მიმიყვანა, სამი ფესვი ჰქონდა! სწორედ აქ უნდა ეძებო მიზეზი!ახლა მე ავიღე განტოლება, რომელსაც აქვს სამი ფესვი: 1; 2; -3. x 3 – 7x +6=0 p= -7; q = 6. შეამოწმა დისკრიმინანტი: D = () 2 + () 3 = () 3 + (-) 3 = 9 -

როგორც მე ვთავაზობდი, ნიშნის ქვეშ კვადრატული ფესვიისევ უარყოფითი რიცხვი აღმოჩნდა. მივედი დასკვნამდე:გზა x განტოლების სამი ფესვისკენ 3 +px+q=0 მიჰყავს უარყოფითი რიცხვის კვადრატული ფესვის აღების შეუძლებელი მოქმედებით.

1. ახლა ის რჩება იმის გარკვევაში, თუ რას წავაწყდები იმ შემთხვევაში, როდესაც განტოლებას ორი ფესვი აქვს. მე ავირჩიე განტოლება, რომელსაც აქვს ორი ფესვი: x 3 - 12 x + 16 \u003d 0. p \u003d -12, q \u003d 16.

D=() 2 +() 3 =() 2 +() 3 \u003d 64-64 \u003d 0 D \u003d 64 - 64 \u003d 0. ახლა შეიძლება დავასკვნათ, რომ ფორმის კუბური განტოლების ფესვების რაოდენობა x 3 + px + q \u003d 0 დამოკიდებულია დისკრიმინანტის ნიშანზე D=() 2 +() 3 შემდეგი გზით:

თუ D>0, მაშინ განტოლებას აქვს 1 ამონახსნი.

თუ დ

თუ D=0, მაშინ განტოლებას აქვს 2 ამონახსნი.

ჩემი დასკვნის დადასტურება ვიპოვე მათემატიკის საცნობარო წიგნში, ავტორი ნ.ი. ბრონშტეინი. ასე რომ, ჩემი დასკვნა: კარდანოს ფორმულა შეიძლება გამოვიყენოთ, როცა დარწმუნებული ვართ, რომ ფესვი უნიკალურია.ჩემთვის მოახერხა იმის დადგენა, რომ არსებობს ფორმულა კუბური განტოლების ფესვების საპოვნელად, მაგრამ ფორმის x 3 + px + q \u003d 0.

3. პრაქტიკული ნაწილი.

პროექტზე მუშაობა „... ძალიან დამეხმარა პარამეტრებთან დაკავშირებული პრობლემების გადაჭრაში. Მაგალითად:1. რა არის a-ს უმცირესი ბუნებრივი მნიშვნელობა x განტოლებისთვის 3 -3x+4=ა აქვს 1 ამონახსნი? განტოლება გადაიწერა ფორმაში x 3 -3x+4-a=0; p= -3; q=4-a. პირობით, მას უნდა ჰქონდეს 1 გამოსავალი ე.ი. D>0იპოვეთ D. D=() 2 +(-) 3 = +(-1) 3 = == a 2 -8a+12>0

A (-∞;2) (6;∞)

ამ ინტერვალში a-ს უმცირესი ბუნებრივი მნიშვნელობა არის 1.

უპასუხე. ერთი

2. რაზე პარამეტრის უდიდესი ბუნებრივი მნიშვნელობა a განტოლება x 3 + x 2 -8x+2-a=0 აქვს სამი ფესვი?

განტოლება x 3 +3x 2 -24x + 6-3a = 0 მივიღებთ y ფორმას 3 + ru + q=0, სადაც a=1; at=3; c=-24; d=6-3а სადაც q= - + და 3 p = q=32-3a; p=-27. ამ ტიპის განტოლებისთვის D=() 2 + () 3 =() 2 +(-9) 3 = -729 =; დ 2 -4 *9* (-1892) = 36864 + 68112 = 324 2 და 1 = ==28 და 2 == - = -7.

+_ . __-___ . _+

7 28

A (-7; 28)

a-ს უდიდესი ბუნებრივი მნიშვნელობა ამ ინტერვალიდან: 28.

პასუხი.28

3. a პარამეტრის მნიშვნელობებიდან გამომდინარე, იპოვეთ განტოლების ფესვების რაოდენობა x 3 - 3x - a \u003d 0

გადაწყვეტილება. განტოლებაში p = -3; q = -a. D=() 2 + () 3 =(-) 2 +(-1) 3 = -1=.

_+ . __-__ . _+

(-∞;-2) (2;∞)-სთვის განტოლებას აქვს 1 ამონახსნი;

როდესაც a (-2; 2) განტოლებას აქვს 3 ფესვი;

როდესაც \u003d -2; მე-2 განტოლებას აქვს 2 ამონახსნი.

ტესტები:

1. რამდენი ფესვი აქვს განტოლებებს:

1) x 3 -12x+8=0?

ა) 1; ბ) 2; 3-ში; დ)4

2) x 3 -9x+14=0

ა) 1; ბ) 2; 3-ში; დ)4

2. p განტოლების რა მნიშვნელობებზე x 3 +px+8=0 აქვს ორი ფესვი?

ა) 3; ბ) 5; 3-ში; დ)5

პასუხი: 1.დ) 4

2.გ) 3.

3.გ)-3

ფრანგმა მათემატიკოსმა ფრანსუა ვიეტმა (1540-1603) ჩვენამდე 400 წლით ადრე (დანართი 4) შეძლო მეორე ხარისხის განტოლების ფესვებსა და მათ კოეფიციენტებს შორის კავშირის დამყარება.

X 1 + x 2 \u003d -p;

X 1 ∙x 2 \u003d q.

ჩემთვის საინტერესო გახდა იმის გარკვევა: შესაძლებელია თუ არა კავშირის დამყარება მესამე ხარისხის განტოლების ფესვებსა და მათ კოეფიციენტებს შორის? თუ კი, რა არის ეს კავშირი? ასე გაჩნდა ჩემი მინი პროექტი. მე გადავწყვიტე გამომეყენებინა არსებული კვადრატული უნარები ჩემი პრობლემის გადასაჭრელად. ანალოგიით მოქმედებს. მე ავიღე განტოლება x 3 + px 2 +qх+r =0. თუ განტოლების ფესვებს აღვნიშნავთ x 1, x 2, x 3 , მაშინ განტოლება შეიძლება დაიწეროს ფორმით (x-x 1) (x-x 2) (x-x 3 )=0 ფრჩხილების გაფართოებით მივიღებთ: x 3 - (x 1 + x 2 + x 3) x 2 + (x 1 x 2 + x 1 x 3 + x 2 x 3) x - x 1 x 2 x 3 \u003d 0. მიიღეთ შემდეგი სისტემა:

X 1 + x 2 + x 3 \u003d - p;

X 1 x 2 x 3 = - r.

ამრიგად, შესაძლებელია თვითნებური ხარისხის განტოლებების ფესვები მათ კოეფიციენტებთან დაკავშირება.რა შეიძლება გამოვიტანოთ ვიეტას თეორემიდან იმ კითხვაში, რომელიც მე მაინტერესებს?

1. განტოლების ყველა ფესვის ნამრავლი უდრის თავისუფალი წევრის მოდულს. თუ განტოლების ფესვები მთელი რიცხვებია, მაშინ ისინი უნდა იყვნენ თავისუფალი წევრის გამყოფები.

დავუბრუნდეთ x განტოლებას. 3 + 2x2 -5x-6=0. მთელი რიცხვები უნდა მიეკუთვნებოდეს სიმრავლეს: ±1; ±2; ±3; ±6. რიცხვების განტოლებაში თანმიმდევრულად ჩანაცვლებით მივიღებთ ფესვებს: -3; - ერთი; 2.

2. თუ ამ განტოლებას ფაქტორინგით ამოხსნით, ვიეტას თეორემა იძლევა „მინიშნებას“:აუცილებელია, რომ გაფართოებისთვის ჯგუფების შედგენისას გამოჩნდეს რიცხვები - თავისუფალი ტერმინის გამყოფები. გასაგებია, რომ შეიძლება მაშინვე არ ისწავლო, რადგან ყველა გამყოფი არ არის განტოლების ფესვები. და, სამწუხაროდ, შეიძლება საერთოდ არ გამოვიდეს - ბოლოს და ბოლოს, განტოლების ფესვები შეიძლება არ იყოს მთელი რიცხვები.

ამოხსენით განტოლება x 3 +2x 2 -5x-6=0 ფაქტორიზაცია. X 3 + 2x 2 -5x-6 \u003d x 3 + (3x 2 - x 2) -3x-2x-6 \u003d x 2 (x + 3) - x (x + 3) - 2 (x + 3) \u003d (x + 3) (x 2 -x-2) \u003d \u003d (x + 3) (x 2 + x -2x -2) \u003d (x + 3) (x (x + 1) -2 (x + 1)) \u003d (x + 2) (x + 1) (x-2) საწყისი განტოლება არის ამის ექვივალენტი: ( x+2)(x+1)(x-2)=0. და ამ განტოლებას სამი ფესვი აქვს: -3; -1; 2. ვიეტას თეორემის „მინიშნების“ გამოყენებით მე ამოვხსენი შემდეგი განტოლება: x 3 -12x+16=0 x 1 x 2 x 3 = -16. თავისუფალი წევრის გამყოფები: ±1; ±2; ±4; ±8; ±16. X 3 -12x + 16 \u003d x 3 -4x-8x + 16 \u003d (x 3 -4x) - (8x-16) \u003d x (x 2 -4)-8(x-2)=x(x-2)(x+2)-8(x-2)=

\u003d (x-2) (x (x + 2) -8) \u003d (x-2) (x 2 + 2x-8) (x-2) (x 2 + 2x-8) \u003d 0 x- 2 \u003d 0 ან x 2 +2x-8=0 x=2 x 1 =-4; x 2 \u003d 2. უპასუხე. -4; 2.

3. მიღებული ტოლობების სისტემის ცოდნა, განტოლების ძირებიდან შეგიძლიათ იპოვოთ განტოლების უცნობი კოეფიციენტები..

ტესტები:

1. განტოლება x 3 + px 2 + 19x - 12=0 აქვს ფესვები 1, 3, 4. იპოვეთ p კოეფიციენტი;უპასუხე. ა) 12; ბ) 19; 12 საათზე; დ) -8 2. განტოლება x 3 - 10 x 2 + 41x + r=0 აქვს ფესვები 2, 3, 5. იპოვეთ r კოეფიციენტი;უპასუხე. ა) 19; ბ) -10; გ) 30; დ) -30.

ამ პროექტის შედეგების საკმარისი რაოდენობით გამოყენების ამოცანები შეგიძლიათ იხილოთ სახელმძღვანელოში უნივერსიტეტის აბიტურიენტებისთვის, რომელიც რედაქტირებულია M.I.Skanavi-ს მიერ. ვიეტას თეორემის ცოდნა შეიძლება იყოს ფასდაუდებელი დახმარება ამგვარი პრობლემების გადაჭრაში.

№6.354

4. დასკვნა

1. არსებობს ფესვების გამომხატველი ფორმულა ალგებრული განტოლებაგანტოლების კოეფიციენტების მეშვეობით:სადაც D==() 2 + () 3 D>0, 1 ხსნარი. ფორმულა კარდანო.

2. კუბური განტოლების ფესვების თვისება

X 1 + x 2 + x 3 \u003d - p;

X 1 . x 2 + x 1 x 3 + x 2 x 3 = q;

X 1 x 2 x 3 = - r.

შედეგად მივედი დასკვნამდე, რომ არსებობს ფორმულა, რომელიც გამოხატავს კუბურ განტოლებების ფესვებს მისი კოეფიციენტებით და ასევე არის კავშირი განტოლების ფესვებსა და კოეფიციენტებს შორის.

5. ლიტერატურა:

1. ენციკლოპედიური ლექსიკონი ახალგაზრდა მათემატიკოსი. A.P. Savin. –მ.: პედაგოგიკა, 1989 წ.

2. ერთიანი სახელმწიფო გამოცდა მათემატიკაში - 2004 წ. ამოცანები და ამონახსნები. ვ.გ.აგაკოვი, ნ.დ.პოლიაკოვი, მ.პ.ურუკოვა და სხვები.ჩებოქსარი. გამომცემლობა ჩუვაშ. უნ-ტა, 2004 წ.

3. განტოლებები და უტოლობა პარამეტრებით. ვ.ვ.მოჩალოვი, სილვესტროვი ვ.ვ. განტოლებები და უტოლობა პარამეტრებით: პროკ. შემწეობა. -ჩებოქსარი: ჩუვაშური გამომცემლობა. უნივერსიტეტი, 2004 წ.

4. პრობლემები მათემატიკაში. Ალგებრა. დახმარების გზამკვლევი. ვავილოვი V.V., Olehnik S.N.-M.: Nauka, 1987 წ.

5. ყველა საკონკურსო ამოცანის რეშებნიკი მათემატიკაში მ.ი.სკანავის რედაქციით. გამომცემლობა "უკრაინული ენციკლოპედია" მ.პ.ბაჟოვის სახელობის, 1993 წ.

6. ალგებრის სახელმძღვანელოს გვერდების მიღმა. L.F. Pichurin.-M.: განმანათლებლობა, 1990 წ.

გადახედვა:

პრეზენტაციების გადახედვის გამოსაყენებლად, შექმენით ანგარიში თქვენთვის ( ანგარიში) Google და შედით: https://accounts.google.com

სლაიდების წარწერები:

მოდით შევხედოთ ფორმულების სამყაროს

ზოგადსაგანმანათლებლო სკოლებში მიღებული მათემატიკური განათლება ზოგადი განათლებისა და თანამედროვე ადამიანის ზოგადი კულტურის უმნიშვნელოვანესი კომპონენტია. თითქმის ყველაფერი, რაც აკრავს ადამიანს, ამა თუ იმ გზით უკავშირდება მათემატიკას. და ფიზიკის, ტექნოლოგიების, ინფორმაციული ტექნოლოგიების უახლესი მიღწევები ეჭვს არ ტოვებს, რომ მომავალში ვითარება იგივე რჩება. აქედან გამომდინარე, მრავალი პრაქტიკული პრობლემის გადაწყვეტა მცირდება სხვადასხვა ტიპის განტოლებების ამოხსნით, რომელთა ამოხსნა უნდა ვისწავლოთ. პირველი ხარისხის წრფივი განტოლებები, ამოხსნას პირველ კლასში გვასწავლიდნენ და დიდი ინტერესი არ გამოგვიჩინა. უფრო საინტერესოა არაწრფივი განტოლებები - დიდი ხარისხის განტოლებები. მათემატიკა ავლენს წესრიგს, სიმეტრიას და დარწმუნებულობას და ეს არის სილამაზის უმაღლესი ფორმები. შესავალი:

განტოლებას აქვს ფორმა (1) ჩვენ ვცვლით განტოლებას ისე, რომ ავირჩიოთ ზუსტი კუბი: ვამრავლებთ (1) განტოლებებს 3-ზე (2) გარდაქმნით (2) განტოლებებს მივიღებთ შემდეგი განტოლებააწიეთ განტოლების მარჯვენა და მარცხენა მხარეები (3) მესამე ხარისხამდე იპოვეთ განტოლების ფესვები კუბური განტოლების ამოხსნის მაგალითები

იმ ფორმის კვადრატული განტოლებები, სადაც დისკრიმინანტი არ არის ფესვები რეალურ რიცხვებს შორის

მესამე ხარისხის განტოლება

ისტორიული შენიშვნა: იმ შორეულ დროში, როდესაც ბრძენმა ადამიანებმა პირველად დაიწყეს ფიქრი უცნობი რაოდენობით შემცველ თანასწორობებზე, ალბათ ჯერ არ იყო მონეტები და საფულეები. მესოპოტამიის, ინდოეთის, ჩინეთის, საბერძნეთის უძველეს მათემატიკურ ამოცანებში უცნობი რაოდენობები გამოხატავდა ბაღში ფარშევანგის რაოდენობას, ნახირში ხარების რაოდენობას, ქონების გაყოფისას გათვალისწინებული ნივთების მთლიანობას. ჩვენამდე მოღწეული წყაროები მიუთითებენ, რომ ძველ მეცნიერებს გააჩნდათ რამდენიმე ზოგადი მეთოდი უცნობი რაოდენობით ამოცანების გადასაჭრელად. თუმცა, არც ერთი პაპირუსი, არც ერთი თიხის ტაბლეტი არ იძლევა ამ ტექნიკის აღწერას. გამონაკლისს წარმოადგენს ბერძენი მათემატიკოსის დიოფანტე ალექსანდრიელის „არითმეტიკა“ (III ს.) - განტოლებების შედგენის ამოცანების კრებული მათი ამონახსნების სისტემატური წარმოდგენით. თუმცა, IX საუკუნის ბაღდადელი მეცნიერის ნაშრომი გახდა პირველი სახელმძღვანელო პრობლემების გადასაჭრელად, რომელიც ფართოდ გახდა ცნობილი. მუჰამედ ბინ მუსა ალ-ხვარიზმი.

განტოლებას აქვს ფორმა (1) ვიყენებთ ფორმულას 1) არჩევით, რათა ვიპოვოთ და ისე, რომ შესრულდეს შემდეგი ტოლობა, (1) განტოლების მარცხენა მხარეს გადავიყვანთ შემდეგნაირად: აირჩიეთ სრული კუბი, როგორც y, მივიღებთ y-ის განტოლება (2) გაამარტივებს (2) განტოლებას (3) (3) ტერმინი, რომელიც შეიცავს უცნობის კვადრატს გაქრა, მაგრამ ტერმინი, რომელიც შეიცავს უცნობის პირველ ხარისხს, დარჩა 2) შერჩევით, იპოვეთ რომ შემდეგი ტოლობა დაკმაყოფილებულია.ეს ტოლობა შეუძლებელია,რადგან მარცხნივ არის დადებითი რიცხვი,მარცხნივ კი უარყოფითი.თუ ამ გზას მივყვებით,მაშინ დავრჩებით.... არჩეულ გზაზე დავმარცხდებით. ჩვენ ჯერ ვერ მოვახერხეთ განტოლების ამოხსნა.

იმ ფორმის განტოლების კუბური განტოლებები, სადაც (1) 1. გავამარტივოთ განტოლებები გაყოფილი a-ზე, მაშინ კოეფიციენტი "x"-ზე გახდება 1-ის ტოლი, ამიტომ ნებისმიერი კუბური განტოლების ამონახვა ეფუძნება ჯამის კუბის ფორმულას: (2) თუ ავიღებთ, მაშინ განტოლება (1) განსხვავდება განტოლებისგან (2) მხოლოდ x-ის კოეფიციენტით და თავისუფალი წევრით. ვამატებთ (1) და (2) განტოლებებს და ვაძლევთ მსგავსებს: თუ აქ ცვლილებას შევცვლით, მივიღებთ კუბურ განტოლებას y-ის მიმართ ტერმინის გარეშე:

კარდანო ჯიროლამო

Cardano Girolamo (დ. 24 სექტემბერი, 1501 - 21 სექტემბერი, 1576) იყო იტალიელი მათემატიკოსი, მექანიკოსი და ექიმი. დაიბადა პავიაში. სწავლობდა პავიისა და პადუას უნივერსიტეტებში. ახალგაზრდობაში ეწეოდა მედიცინას. 1534 წელს გახდა მათემატიკის პროფესორი მილანსა და ბოლონიაში. მათემატიკაში სახელწოდება კარდანო ჩვეულებრივ ასოცირდება კუბური განტოლების ამოხსნის ფორმულასთან, რომელიც მან ისესხა ნ.ტარტალიასგან. ეს ფორმულა გამოქვეყნდა კარდანოს დიდ ხელოვნებაში, ან ალგებრის წესების შესახებ (1545). მას შემდეგ ტარტალია და კარდანო მოკვდავი მტრები გახდნენ. ეს წიგნი სისტემატურად ასახავს კარდანოს განტოლებების ამოხსნის თანამედროვე მეთოდებს, ძირითადად კუბურს. კარდანომ შეასრულა წრფივი ტრანსფორმაცია, რამაც შესაძლებელი გახადა კუბური განტოლების მიყვანა მე-2 ხარისხის ტერმინისგან თავისუფალ ფორმამდე; მან მიუთითა განტოლების ფესვებსა და კოეფიციენტებს შორის ურთიერთობაზე, მრავალწევრის გაყოფაზე x სხვაობით. – a, თუ a არის მისი ფესვი. კარდანო იყო ერთ-ერთი პირველი ევროპაში, ვინც აღიარა განტოლებების უარყოფითი ფესვების არსებობა. მის შემოქმედებაში პირველად ჩნდება წარმოსახვითი სიდიდეები. მექანიკაში კარდანომ შეისწავლა ბერკეტების და წონის თეორია. მართი კუთხის გვერდების გასწვრივ სეგმენტის ერთ-ერთ მოძრაობას მექანიკაში კარდანის მოძრაობა ეწოდება. კარდანო ჯიროლამოს ბიოგრაფია

ამავე დროს, იტალიის ქალაქ ვერონაში ცხოვრობდა ღარიბი მათემატიკის მასწავლებელი ნიკოლო (1499-1557), მეტსახელად ტარტაგლია (ანუ ჭუჭყიანი). ის ძალიან ნიჭიერი იყო და მოახერხა დალ ფეროს ტექნიკის ხელახლა აღმოჩენა. ფიორესა და ტარტალიას შორის დუელი გაიმართა. პირობის მიხედვით, მეტოქეებმა 30 პრობლემა გაცვალეს, რომელთა გადაჭრას 50 დღე მიეცა. მაგრამ რადგან ფიორმა არსებითად მხოლოდ ერთი პრობლემა იცოდა და დარწმუნებული იყო, რომ რომელიმე მასწავლებელი ვერ გადაწყვეტდა, მაშინ 30-ვე პრობლემა ერთი და იგივე ტიპის აღმოჩნდა. ტარტალლია მათ ორ საათში გაუმკლავდა. ფიორემ კი ვერ გადაჭრა მტრის მიერ შემოთავაზებული არცერთი ამოცანა. გამარჯვებამ განადიდა ტარტალია მთელ იტალიაში, მაგრამ საკითხი ბოლომდე არ მოგვარებულა, ეს მარტივი ხრიკი, რომლითაც ჩვენ შევძელით კვადრატის შემცველი განტოლების ტერმინი. უცნობი ღირებულება(სრული კუბის შერჩევა), შემდეგ განტოლებების ამოხსნა განსხვავებული ტიპებისისტემაში არ არის შესული. ფიორას დუელი ტარტალიასთან

ფორმის განტოლება ამ განტოლებიდან a ჩვენ ვიანგარიშებთ განტოლების დისკრიმინანტს არა მხოლოდ ამ განტოლების ფესვი არ არის მთლიანად ამოღებული, არამედ ის მაინც უნდა იყოს ამოღებული უარყოფითი რიცხვიდან. Რა მოხდა? შეიძლება ვივარაუდოთ, რომ ამ განტოლებას არ აქვს ფესვები, რადგან დ

კუბური განტოლების ფესვები დამოკიდებულია დისკრიმინანტზე, განტოლებას აქვს 1 ამონახსნი, განტოლებას აქვს 3 ამონახსნი, განტოლებას აქვს 2 ამონახსნი დასკვნა

განტოლებას აქვს ფორმა იპოვნეთ განტოლების ფესვები კარდანოს ფორმულის გამოყენებით კუბური განტოლებების ამოხსნის მაგალითები კარდანოს ფორმულის გამოყენებით

(1) ფორმის განტოლება ამ განტოლებიდან და რადგან პირობითად ამ განტოლებას უნდა ჰქონდეს 1 ამონახსნი, გამოვთვლით განტოლების დისკრიმინანტს (1) + - + 2 6 პასუხი: ამ ინტერვალიდან ყველაზე მცირე ბუნებრივი მნიშვნელობა a. არის 1 რა არის უმცირესი ბუნებრივი მნიშვნელობა განტოლებას აქვს 1 ამონახსნი?

კუბური განტოლებების ამოხსნა ვიეტას მეთოდით განტოლებებს აქვთ ფორმა

ამოხსენით განტოლება, თუ ცნობილია, რომ მისი ორი ფესვის ნამრავლი 1-ის ტოლია ვიეტას თეორემის მიხედვით და გვაქვს პირობა, ან ჩავნაცვლოთ მნიშვნელობა პირველ განტოლებაში, ან ჩავანაცვლოთ მნიშვნელობა მესამე განტოლებიდან პირველში. , ჩვენ ვიპოვით განტოლების ფესვებს ან ვუპასუხოთ:

გამოყენებული ლიტერატურა: „მათემატიკა. სასწავლო დამხმარე საშუალება» Yu.A. Gusman, A.O. სმირნოვი. ენციკლოპედია „მე ვიცი სამყარო. მათემატიკა“ - მოსკოვი, AST, 1996 წ. "მათემატიკა. სასწავლო საშუალება » ვ.თ. ლისიჩკინი. გზამკვლევი უნივერსიტეტების მსურველთათვის, რედაქტორი M.I.Skanavi. Მარტოხელა სახელმწიფო გამოცდამათემატიკაში - 2004 წ

გმადლობთ ყურადღებისთვის

კუბურ განტოლებებს აქვთ ფორმა ნაჯახი 3 + bx 2 + cx + დ= 0). ასეთი განტოლებების ამოხსნის მეთოდი ცნობილია რამდენიმე საუკუნის განმავლობაში (ის აღმოაჩინეს მე-16 საუკუნეში იტალიელმა მათემატიკოსებმა). ზოგიერთი კუბური განტოლების ამოხსნა საკმაოდ რთულია, მაგრამ სწორი მიდგომით (და კარგი დონე თეორიული ცოდნა) თქვენ შეძლებთ ამოხსნათ ყველაზე რთული კუბური განტოლებებიც კი.

ნაბიჯები

ამოხსნა კვადრატული განტოლების ამოხსნის ფორმულის გამოყენებით

როგორც ზემოთ აღინიშნა, კუბურ განტოლებებს აქვთ ფორმა a x 3 + b x 2 + c x + d = 0 (\displaystyle ax^(3)+bx^(2)+cx+d=0), სადაც კოეფიციენტები c (\displaystyle c)და d (\displaystyle d)შეიძლება იყოს თანაბარი 0 (\displaystyle 0)ანუ, კუბური განტოლება შეიძლება შედგებოდეს მხოლოდ ერთი წევრისაგან (ცვლადი მესამე ხარისხით). ჯერ შეამოწმეთ, აქვს თუ არა თქვენთვის მოცემულ კუბურ განტოლებას კვეთა, ანუ, d (\displaystyle d). თუ არ არის თავისუფალი ტერმინი, შეგიძლიათ ამოხსნათ ეს კუბური განტოლება კვადრატული განტოლების ამოხსნის ფორმულის გამოყენებით.

• თუ არსებობს კვეთა, გამოიყენეთ გადაწყვეტის სხვა მეთოდი (იხილეთ შემდეგი განყოფილებები).

1. მას შემდეგ, რაც ში მოცემული განტოლებაარ არსებობს თავისუფალი ვადა, მაშინ ამ განტოლების ყველა ტერმინი შეიცავს ცვლადს x (\displaystyle x), რომელიც შეიძლება იყოს ფრჩხილებში: x (a x 2 + b x + c) (\ჩვენების სტილი x(ax^(2)+bx+c)).

   • მაგალითი. 3 x 3 + − 2 x 2 + 14 x = 0 (\displaystyle 3x^(3)+-2x^(2)+14x=0). თუ გაუძლებ x (\displaystyle x)ფრჩხილებში, თქვენ მიიღებთ x (3 x 2 + − 2 x + 14) = 0 (\displaystyle x(3x^(2)+-2x+14)=0).

2. გაითვალისწინეთ, რომ განტოლება ფრჩხილებში არის ფორმის კვადრატული განტოლება ( a x 2 + b x + c (\displaystyle ax^(2)+bx+c)), რომლის ამოხსნა შესაძლებელია ფორმულის გამოყენებით ((- ბ +/-√ (). ამოხსენით კვადრატული განტოლება და თქვენ ამოხსნით კუბურ განტოლებას.

   • ჩვენს მაგალითში შეცვალეთ კოეფიციენტების მნიშვნელობები a (\displaystyle a), b (\displaystyle b), c (\displaystyle c) (3 (\displaystyle 3), − 2 (\displaystyle -2), 14 (\displaystyle 14)) ფორმულაში: − b ± b 2 − 4 a c 2 a (\displaystyle (\frac (-b\pm (\sqrt (b^(2)-4ac)))(2a))) − (− 2) ± ((− 2) 2 − 4 (3) (14) 2 (3) (\displaystyle (\frac (-(-2)\pm (\sqrt (((-2)^(2 )-4(3)(14))))(2(3)))) 2 ± 4 − (12) (14) 6 (\displaystyle (\frac (2\pm (\sqrt (4-(12)(14)))(6))) 2 ± (4 − 168 6 (\displaystyle (\frac (2\pm (\sqrt ((4-168)))(6))) 2 ± − 164 6 (\displaystyle (\frac (2\pm (\sqrt (-164)))(6)))
   • გამოსავალი 1: 2 + − 164 6 (\displaystyle (\frac (2+(\sqrt (-164)))(6))) 2 + 12.8 i 6 (\displaystyle (\frac (2+12.8i)(6)))
   • გამოსავალი 2: 2 − 12.8 i 6 (\displaystyle (\frac (2-12.8i)(6)))

3. გახსოვდეთ, რომ კვადრატულ განტოლებებს აქვს ორი ამონახსნები, ხოლო კუბურ განტოლებებს სამი ამონახსნები.თქვენ იპოვნეთ კვადრატული და, შესაბამისად, კუბური განტოლების ორი ამონახსნი. იმ შემთხვევებში, როდესაც ფრჩხილებიდან ამოიღებთ "x", მესამე გამოსავალი ყოველთვის არის 0 (\displaystyle 0).

   • ეს მართალია, რადგან ნებისმიერი რიცხვი ან გამოთქმა გამრავლებულია 0 (\displaystyle 0), უდრის 0 (\displaystyle 0). რადგან გაუძლო x (\displaystyle x)ფრჩხილებიდან, მაშინ თქვენ დაშალეთ კუბური განტოლება ორ ფაქტორად ( x (\displaystyle x)და კვადრატული განტოლება), რომელთაგან ერთი ტოლი უნდა იყოს 0 (\displaystyle 0)ისე რომ მთელი განტოლება უდრის 0 (\displaystyle 0).

   მთელი გადაწყვეტილებების პოვნა ფაქტორიზაციის გამოყენებით

   1. შეამოწმეთ აქვს თუ არა თქვენთვის მოცემულ კუბურ განტოლებას კვეთა.წინა ნაწილში აღწერილი მეთოდი არ არის შესაფერისი კუბური განტოლებების ამოსახსნელად, რომლებშიც არის თავისუფალი ტერმინი. ამ შემთხვევაში მოგიწევთ ამ ან შემდეგ ნაწილში აღწერილი მეთოდის გამოყენება.

      • მაგალითი. 2 x 3 + 9 x 2 + 13 x = − 6 (\displaystyle 2x^(3)+9x^(2)+13x=-6). აქ გადაიტანეთ ფხვიერი დიკი d = - 6 (\displaystyle d=-6)განტოლების მარცხენა მხარეს ისე, რომ მარჯვენა მხარემიიღეთ 0 (\displaystyle 0): 2 x 3 + 9 x 2 + 13 x + 6 = 0 (\displaystyle 2x^(3)+9x^(2)+13x+6=0).

   2. იპოვეთ კოეფიციენტების მულტიპლიკატორები a (\displaystyle a)(კოეფიციენტი ზე x 3 (\displaystyle x^(3))) და თავისუფალი წევრი d (\displaystyle d). რიცხვის ფაქტორები არის რიცხვები, რომლებიც გამრავლებისას იძლევა ორიგინალური ნომერი. მაგალითად, რიცხვის ფაქტორები 6 (\displaystyle 6)არის ნომრები 1 (\displaystyle 1), 2 (\displaystyle 2), 3 (\displaystyle 3), 6 (\displaystyle 6) (6×1 (\displaystyle 6\ჯერ 1)და 2 × 3 (\ჩვენების სტილი 2\ჯერ 3)).

      • ჩვენს მაგალითში a = 2 (\displaystyle a=2)და d = 6 (\displaystyle d=6). მულტიპლიკატორები 2 (\displaystyle 2)არის რიცხვები 1 (\displaystyle 1)და 2 (\displaystyle 2). მულტიპლიკატორები 6 (\displaystyle 6)არის რიცხვები 1 (\displaystyle 1), 2 (\displaystyle 2), 3 (\displaystyle 3), და 6 (\displaystyle 6).

   3. გაყოფა კოეფიციენტების მამრავლებს a (\displaystyle a)თავისუფალი ვადის ფაქტორებით d (\displaystyle d). თქვენ მიიღებთ წილადებს და მთელ რიცხვებს. თქვენთვის მოცემული კუბური განტოლების მთელი რიცხვის ამონახსნი იქნება ან ამ მთელი რიცხვებიდან, ან ამ რიცხვებიდან ერთ-ერთის უარყოფითი მნიშვნელობა.

      • ჩვენს მაგალითში გაყავით ფაქტორები a (\displaystyle a) (1 (\displaystyle 1), 2 (\displaystyle 2)) ფაქტორების მიხედვით d (\displaystyle d) (1 (\displaystyle 1), 2 (\displaystyle 2), 3 (\displaystyle 3), 6 (\displaystyle 6)) და მიიღე: 1 (\displaystyle 1), , , , 2 (\displaystyle 2)და . ახლა დაამატეთ რიცხვების ამ მწკრივს მათი უარყოფითი მნიშვნელობები: 1 (\displaystyle 1), − 1 (\displaystyle -1), 1 2 (\displaystyle (\frac (1)(2))), − 1 2 (\displaystyle -(\frac (1)(2))), 1 3 (\displaystyle (\frac (1)(3))), − 1 3 (\displaystyle -(\frac (1)(3))), 1 6 (\displaystyle (\frac (1)(6))), − 1 6 (\displaystyle -(\frac (1)(6))), 2 (\displaystyle 2), − 2 (\displaystyle -2), 2 3 (\displaystyle (\frac (2)(3)))და − 2 3 (\displaystyle -(\frac (2)(3))). თქვენთვის მოცემული კუბური განტოლების მთელი რიცხვი ამონახსნები ამ რიცხვებშია.

   4. ახლა თქვენ შეგიძლიათ იპოვოთ თქვენი კუბური განტოლების მთელი რიცხვების ამონახსნები მასში ნაპოვნი რიცხვების სერიიდან მთელი რიცხვების ჩანაცვლებით. მაგრამ თუ არ გსურთ დაკარგოთ დრო ამაზე, გამოიყენეთ. ეს სქემა გულისხმობს მთელი რიცხვების მნიშვნელობებად დაყოფას a (\displaystyle a), b (\displaystyle b), c (\displaystyle c), d (\displaystyle d)მოცემული კუბური განტოლება. თუ დარჩენილია 0 (\displaystyle 0), მთელი რიცხვი არის კუბური განტოლების ერთ-ერთი ამონახსნები.

      • ჰორნერის დაყოფა არ არის ადვილი თემა; მიღება დამატებითი ინფორმაციამიჰყევით ზემოთ მოცემულ ბმულს. აქ არის მაგალითი იმისა, თუ როგორ უნდა იპოვოთ თქვენთვის მოცემული კუბური განტოლების ერთ-ერთი ამონახსნები ჰორნერის გაყოფის გამოყენებით: -1 | 2 9 13 6 __| -2-7-6 __| 2 7 6 0 მას შემდეგ რაც დარჩენილი 0 (\displaystyle 0), მაშინ განტოლების ერთ-ერთი ამონახსნები არის მთელი რიცხვი − 1 (\displaystyle -1).

   დისკრიმინანტის გამოყენება

   1. ამ მეთოდით იმუშავებთ კოეფიციენტების მნიშვნელობებთან a (\displaystyle a), b (\displaystyle b), c (\displaystyle c), d (\displaystyle d). ამიტომ უმჯობესია ამ კოეფიციენტების მნიშვნელობები წინასწარ ჩაწეროთ.

      • მაგალითი. მათემატიკა>x^3-3x^2+3x-1. Აქ a = 1 (\displaystyle a=1), b = − 3 (\displaystyle b=-3), c = 3 (\displaystyle c=3), d = − 1 (\displaystyle d=-1). ნუ დაგავიწყდებათ, რომ როდის x (\displaystyle x)კოეფიციენტი არ არის, ეს ნიშნავს, რომ კოეფიციენტი უდრის 1 (\displaystyle 1).

   2. გამოთვალეთ △ = b 2 − 3 a c (\displaystyle \სამკუთხედი _(0)=b^(2)-3ac). ამ მეთოდს დასჭირდება რთული გამოთვლები, მაგრამ თუ გაიგებთ, შეძლებთ ამოხსნათ ყველაზე რთული კუბური განტოლებები. დასაწყებად, გამოთვალეთ △ 0 (\displaystyle \სამკუთხედი _(0)), რამდენიმე მნიშვნელოვანი რაოდენობადან ერთ-ერთი, რომელიც დაგვჭირდება შესაბამისი მნიშვნელობების ფორმულაში ჩანაცვლებით.

      • ჩვენს მაგალითში: b 2 − 3 a c (\displaystyle b^(2)-3ac) (− 3) 2 − 3 (1) (3) (\displaystyle (-3)^(2)-3(1)(3)) 9 − 3 (1) (3) (\displaystyle 9-3(1)(3)) 9 − 9 = 0 = △ 0 (\displaystyle 9-9=0=\სამკუთხედი _(0)) 2 (− 27) − 9 (− 9) + 27 (− 1) (\ჩვენების სტილი 2(-27)-9(-9)+27(-1)) − 54 + 81 − 27 (\displaystyle -54+81-27) 81 − 81 = 0 = △ 1 (\displaystyle 81-81=0=\სამკუთხედი _(1))

   3. გამოთვალეთ Δ = Δ1 2 - 4Δ0 3) ÷ -27 ა 2 . ახლა გამოთვალეთ განტოლების დისკრიმინანტი Δ0 და Δ1 ნაპოვნი მნიშვნელობების გამოყენებით. დისკრიმინანტი არის რიცხვი, რომელიც გაძლევთ ინფორმაციას მრავალწევრის ფესვების შესახებ (შეიძლება უკვე იცით, რომ კვადრატული განტოლების დისკრიმინანტი არის ბ 2 - 4აწ). კუბური განტოლების შემთხვევაში, თუ დისკრიმინანტი დადებითია, მაშინ განტოლებას სამი ამონახსნი აქვს; თუ დისკრიმინანტი ნულის ტოლია, მაშინ განტოლებას აქვს ერთი ან ორი ამონახსნი; თუ დისკრიმინანტი უარყოფითია, მაშინ განტოლებას აქვს მხოლოდ ერთი ამონახსნი. კუბურ განტოლებას ყოველთვის აქვს მინიმუმ ერთი ამონახსნი, რადგან ასეთი განტოლების გრაფიკი კვეთს x ღერძს მინიმუმ ერთ წერტილში.

      • თუ ამ ფორმულაში ჩაანაცვლებთ რაოდენობების შესაბამის მნიშვნელობებს, მიიღებთ შესაძლო გადაწყვეტილებებითქვენთვის მოცემული კუბური განტოლება. ჩაანაცვლეთ ისინი თავდაპირველ განტოლებაში და თუ თანასწორობა დაკმაყოფილებულია, მაშინ ამონახსნები სწორია. მაგალითად, თუ შეაერთებთ მნიშვნელობებს ფორმულაში და მიიღეთ 1, შეაერთეთ 1 x 3 - 3x 2 + 3x- 1 და მიიღეთ 0. ანუ ტოლობა დაცულია და 1 არის თქვენთვის მოცემული კუბური განტოლების ერთ-ერთი ამონახსნები.

ისწავლეთ როგორ ამოხსნათ კუბური განტოლებები. განიხილება შემთხვევა, როდესაც ცნობილია ერთი ფესვი. მთელი რიცხვების პოვნის მეთოდები და რაციონალური ფესვები. კარდანოს და ვიეტას ფორმულების გამოყენება ნებისმიერი კუბური განტოლების ამოსახსნელად.

აქ განვიხილავთ ფორმის კუბური განტოლებების ამოხსნას
(1) .
გარდა ამისა, ჩვენ ვვარაუდობთ, რომ ეს ასეა რეალური რიცხვები.

(2) ,
შემდეგ მისი გაყოფით ვიღებთ (1) ფორმის განტოლებას კოეფიციენტებით
.

განტოლებას (1) აქვს სამი ფესვი: , და . ერთ-ერთი ფესვი ყოველთვის რეალურია. ნამდვილ ფესვს აღვნიშნავთ როგორც . ფესვები და შეიძლება იყოს ნამდვილი ან რთული კონიუგატი. ნამდვილი ფესვები შეიძლება იყოს მრავალჯერადი. მაგალითად, თუ , მაშინ და არის ორმაგი ფესვები (ან სიმრავლის ფესვები 2), და არის მარტივი ფესვი.

თუ ცნობილია მხოლოდ ერთი ფესვი

გავიგოთ კუბური განტოლების ერთი ფესვი (1). აღნიშნეთ ცნობილი ფესვიროგორც . შემდეგ (1) განტოლებაზე გაყოფით მივიღებთ კვადრატულ განტოლებას. კვადრატული განტოლების ამოხსნისას ვიპოვით კიდევ ორ ფესვს და .

დასამტკიცებლად ვიყენებთ იმ ფაქტს, რომ კუბური მრავალწევრი შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც:
.
შემდეგ, (1)-ზე გაყოფით მივიღებთ კვადრატულ განტოლებას.

გვერდზე წარმოდგენილია მრავალწევრების გაყოფის მაგალითები
„მრავალწევრის მრავალწევრზე გაყოფა და გამრავლება კუთხესა და სვეტზე“.
გვერდზე განხილულია კვადრატული განტოლებების ამოხსნა
"კვადრატული განტოლების ფესვები".

თუ ერთ-ერთი ფესვი არის

თუ თავდაპირველი განტოლებაა:
(2) ,
და მისი კოეფიციენტები , , , არის მთელი რიცხვები, მაშინ შეგიძლიათ სცადოთ იპოვოთ მთელი რიცხვი ფესვი. თუ ამ განტოლებას აქვს მთელი ფესვი, მაშინ ის არის კოეფიციენტის გამყოფი. მთელი რიცხვის ფესვების ძიების მეთოდი არის ის, რომ ჩვენ ვპოულობთ რიცხვის ყველა გამყოფს და ვამოწმებთ, მოქმედებს თუ არა განტოლება (2) მათთვის. თუ განტოლება (2) დაკმაყოფილებულია, მაშინ ვიპოვეთ მისი ფესვი. აღვნიშნოთ როგორც. შემდეგი, ჩვენ ვყოფთ განტოლებას (2)-ზე. ვიღებთ კვადრატულ განტოლებას. მისი ამოხსნით, ჩვენ ვიპოვით კიდევ ორ ფესვს.

გვერდზე მოცემულია მთელი რიცხვების ფესვების განსაზღვრის მაგალითები
მრავალწევრების ფაქტორიზაციის მაგალითები > > > .

რაციონალური ფესვების პოვნა

თუ განტოლებაში (2) , , არის მთელი რიცხვები და , და არ არსებობს მთელი რიცხვი ფესვები, მაშინ შეგიძლიათ სცადოთ იპოვოთ რაციონალური ფესვები, ანუ ფორმის ფესვები, სადაც და არის მთელი რიცხვები.

ამისათვის ვამრავლებთ განტოლებას (2) და ვაკეთებთ ჩანაცვლებას:
;
(3) .
შემდეგი, ჩვენ ვეძებთ (3) განტოლების მთელ ფესვებს თავისუფალი წევრის გამყოფებს შორის.

თუ ჩვენ ვიპოვეთ (3) განტოლების მთელი რიცხვი ფესვი, მაშინ, ცვლადში დაბრუნებით, მივიღებთ (2) განტოლების რაციონალურ ფესვს:
.

კარდანოს და ვიეტას ფორმულები კუბური განტოლების ამოხსნისთვის

თუ ჩვენ არ ვიცით ერთი ფესვი და არ არსებობს მთელი რიცხვი, მაშინ შეგვიძლია ვიპოვოთ კუბური განტოლების ფესვები კარდანოს ფორმულების გამოყენებით.

განვიხილოთ კუბური განტოლება:
(1) .
მოდით გავაკეთოთ ჩანაცვლება:
.
ამის შემდეგ, განტოლება მცირდება არასრულ ან შემცირებულ ფორმამდე:
(4) ,
სადაც
(5) ; .

ცნობები:
ი.ნ. ბრონშტეინი, კ.ა. სემენდიაევი, მათემატიკის სახელმძღვანელო უმაღლესი საგანმანათლებლო დაწესებულებების ინჟინრებისა და სტუდენტებისთვის, ლან, 2009 წ.
G. Korn, მათემატიკის სახელმძღვანელო ამისთვის მეცნიერებიდა ინჟინრები, 2012 წ.