გალაევა ეკატერინა, ნიჟნი ნოვგოროდის MAOU №149 საშუალო სკოლის მე-11 კლასის მოსწავლე.

ნაშრომი არის როგორც გამოყენებითი, ასევე კვლევითი ხასიათის. სისრულისთვის განიხილებოდა შემდეგი კითხვები:

– როგორ აისახება ფუნქციის თვისებები განტოლებებისა და უტოლობების ამოხსნისას?

– რა განტოლებები და უტოლობა იხსნება განმარტების სფეროს თვისებების, სიდიდეების სიმრავლის, ინვარიანტობის განსაზღვრით?

– როგორია ამოხსნის ალგორითმი?

- განიხილეს გამოცდისთვის მოსამზადებლად KIM-ის მასალებში შემოთავაზებული პარამეტრით ამოცანები.

თავის ნამუშევრებში ეკატერინამ შეისწავლა ამოცანების ფართო სპექტრი და მათი გარეგნობის მიხედვით სისტემატიზაცია მოახდინა.

ჩამოტვირთვა:

გადახედვა:

https://accounts.google.com

სლაიდების წარწერები:

უტოლობის ამოხსნა ამოხსნა. ფუნქცია f (x) = მონოტონურად იზრდება მთელ რეალურ წრფეზე და ფუნქცია g (x) = მონოტონურად მცირდება განსაზღვრების მთელ დომენში. მაშასადამე, უტოლობა f (x) > g (x) დაკმაყოფილებულია, თუ x >

Გმადლობთ ყურადღებისთვის!

გადახედვა:

პრეზენტაციების წინასწარი გადახედვის გამოსაყენებლად შექმენით Google ანგარიში (ანგარიში) და შედით: https://accounts.google.com

სლაიდების წარწერები:

ფუნქციის თვისებების გამოყენება განტოლებებისა და უტოლობათა ამოხსნისას დაასრულა სამუშაო: გალაევა ეკატერინა MBOU მოსკოვსკის რაიონის No149 საშუალო სკოლა მე-11 „ა“ კლასის მოსწავლეები ხელმძღვანელი: ფადეევა ი.ა. მათემატიკის მასწავლებელი.

ძირითადი მიმართულებები: ფუნქციის თვისებების შესწავლა: ერთფეროვნება, შეზღუდულობა, განსაზღვრების სფერო და ინვარიანტობა ისწავლეთ ძირითადი დებულებები, რომლებიც ყველაზე ხშირად გამოიყენება განტოლებების, უტოლობების და სისტემების ამოხსნისას. ამოცანების ამოხსნა KIM მასალებიდან გამოცდისთვის მოსამზადებლად.

მონოტონურობა ფუნქცია იზრდება, თუ არგუმენტის უფრო დიდი მნიშვნელობა შეესაბამება ფუნქციის უფრო დიდ მნიშვნელობას. ფუნქცია მცირდება, თუ არგუმენტის უფრო დიდი მნიშვნელობა შეესაბამება ფუნქციის მცირე მნიშვნელობას. f(x 1) f(x 2) x 1 x 2 f(x 1) f(x 2) x 1 x 2

განცხადება 1. თუ ფუნქცია y \u003d f (x) მონოტონურია, მაშინ განტოლებას f (x) \u003d c აქვს მაქსიმუმ ერთი ფესვი. x =2 f(x) = - მონოტონურად მცირდება, ამიტომ სხვა ამონახსნები არ არსებობს. პასუხი: x=2

განცხადება 2. თუ ფუნქცია y \u003d f (x) მონოტონურად იზრდება, ხოლო ფუნქცია y \u003d g (x) მონოტონურად მცირდება, მაშინ განტოლებას f (x) \u003d g (x) აქვს მაქსიმუმ ერთი ფესვი. 2 - x \u003d lg (x + 11) + 1 g (x) \u003d 2 - x მონოტონურად მცირდება, ხოლო ფუნქცია f (x) \u003d log (x + 11) + 1 მონოტონურად იზრდება დომენზე, რაც ნიშნავს, რომ განტოლებას f (x) = g (x) აქვს მაქსიმუმ ერთი ფესვი. შერჩევით, ჩვენ განვსაზღვრავთ, რომ x \u003d -1. ზემოაღნიშნული მტკიცება ასაბუთებს გადაწყვეტის უნიკალურობას.

ა) f (x) ≤ g (x) თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ x ϵ (- ∞ ; x 0 ]; ბ) f (x) ≥ g (x) თუ და მხოლოდ თუ x ϵ [x 0; +∞). ამ განცხადების ვიზუალური მნიშვნელობა აშკარაა. დებულება 3. თუ ფუნქცია y \u003d f (x) მონოტონურად იზრდება მთელ რეალურ წრფეზე, ფუნქცია y \u003d g (x) მონოტონურად მცირდება მთელ რეალურ წრფეზე და f. (x 0) \u003d g (x 0), მაშინ შემდეგი განცხადებები მართალია:

უტოლობის ამოხსნა ამოხსნა. ფუნქცია f (x) = მონოტონურად იზრდება მთელ რეალურ წრფეზე და ფუნქცია g (x) = მონოტონურად მცირდება განსაზღვრების მთელ დომენში. მაშასადამე, უტოლობა f (x) > g (x) დაკმაყოფილებულია, თუ x > 2. დავუმატოთ უტოლობის დომენი. ამრიგად, ვიღებთ სისტემას პასუხი: (2; 5).

დებულება 4. თუ ფუნქცია y \u003d f (x) მონოტონურად იზრდება, მაშინ განტოლებებს f (x) \u003d x და f (f (x)) \u003d x აქვთ ფესვების ერთი და იგივე სიმრავლე, მიუხედავად რაოდენობისა. ინვესტიციები. შედეგი. თუ n ნატურალური რიცხვია და ფუნქცია y \u003d f (x) მონოტონურად იზრდება, მაშინ განტოლებებს f (x) \u003d x და n-ჯერ აქვთ ფესვების ერთნაირი ნაკრები.

ამოხსენით განტოლება. პასუხი: გადაწყვეტილება. x ≥1-ისთვის განტოლების მარჯვენა მხარე არ არის 1-ზე ნაკლები, ხოლო მარცხენა მხარე არის 1-ზე ნაკლები. ამიტომ, თუ განტოლებას ფესვები აქვს, მაშინ რომელიმე მათგანი 1-ზე ნაკლებია. x ≤0-სთვის, მარჯვენა განტოლების მხარე არაპოზიტიურია, ხოლო მარცხენა მხარე დადებითია იმის გამო, რომ . ამრიგად, ამ განტოლების ნებისმიერი ფესვი ეკუთვნის ინტერვალს (0; 1) ამ განტოლების ორივე მხარის x-ზე გამრავლებით და მარცხენა მხარის მრიცხველისა და მნიშვნელის x-ზე გაყოფით, მივიღებთ

სად =. t-ის მეშვეობით აღვნიშნავთ, სადაც t 0, მივიღებთ განტოლებას = t. განვიხილოთ ფუნქცია f (t)= 1+, რომელიც იზრდება მისი განმარტების დომენზე. შედეგად მიღებული განტოლება შეიძლება დაიწეროს როგორც f (f (f (f (t))))= t და მე-4 დებულების დასკვნის მიხედვით, მას აქვს იგივე ამონახსნები, რაც განტოლებას f (t)= t , ე.ი. განტოლება 1 + = t, საიდანაც. ამ კვადრატული განტოლების ერთადერთი დადებითი ფესვი არის . მაშ, სად, ე.ი. , ან. პასუხი:

დებულება 1. თუ max f (x) = c და min g (x) = c, მაშინ განტოლებას f (x) = g (x) აქვს ამონახსნების იგივე ნაკრები, როგორც სისტემის შეზღუდულობა მარცხენა მხარის მაქსიმალური მნიშვნელობა არის 1 და მინიმალური მნიშვნელობა მარჯვენა მხარეს 1, რაც ნიშნავს, რომ განტოლების ამონახსნები შეიძლება შემცირდეს განტოლებათა სისტემამდე: , მეორე განტოლებიდან ვპოულობთ შესაძლო კანდიდატს x=0 და ვრწმუნდებით, რომ ის არის პირველი განტოლების ამოხსნა. პასუხი: x=1 .

ამოხსენით განტოლება ამოხსნა. ვინაიდან sin3x≤1 და cos4x≤1, ამ განტოლების მარცხენა მხარე არ აღემატება 7-ს. ის შეიძლება იყოს 7-ის ტოლი, თუ და მხოლოდ მაშინ, საიდანაც k , n ϵ Z . რჩება იმის დადგენა, არსებობს თუ არა ისეთი მთელი რიცხვები k და n, რომლებისთვისაც ამ უკანასკნელ სისტემას აქვს ამონახსნები. პასუხი: ზ

უცნობი x და a პარამეტრის ამოცანებში განმარტების დომენი გაგებულია, როგორც რიცხვების ყველა მოწესრიგებული წყვილის სიმრავლე (x ; a), რომელთაგან თითოეული ისეთია, რომ x-ისა და a-ს შესაბამისი მნიშვნელობების ყველა მიმართებაში ჩანაცვლების შემდეგ. პრობლემაში შედის, ისინი დადგინდება. მაგალითი 1. a პარამეტრის თითოეული მნიშვნელობისთვის ამოხსენით უტოლობა ამოხსნა. მოდით ვიპოვოთ ამ უთანასწორობის განსაზღვრის დომენი. საიდანაც ნათელია, რომ სისტემას არ აქვს გადაწყვეტილებები. ეს ნიშნავს, რომ უტოლობის განსაზღვრის დომენი არ შეიცავს x და a რიცხვების არცერთ წყვილს და, შესაბამისად, უტოლობას არ აქვს ამონახსნები. მოცულობის პასუხი:

ინვარიანტობა, ე.ი. განტოლების ან უტოლობის უცვლელობა ცვლადის ჩანაცვლებასთან დაკავშირებით ამ ცვლადის ზოგიერთი ალგებრული გამოხატულებით. ინვარიანტობის უმარტივესი მაგალითია პარიტეტი: თუ ლუწი ფუნქციაა, მაშინ განტოლება ინვარიანტულია x და – x-ის ცვლილებისას, ვინაიდან = 0. უცვლელობა

იპოვეთ განტოლების ფესვები. გადაწყვეტილება. გაითვალისწინეთ, რომ წყვილი უცვლელია ჩანაცვლების დროს. თანასწორობაში ჩანაცვლებით, ვიღებთ. ამ ტოლობის ორივე მხარის 2-ზე გამრავლებით და ტოლობის ვადით გამოკლებით მიღებულ ტოლობას მივიღებთ 3-ს, საიდანაც. ახლა რჩება განტოლების ამოხსნა, საიდანაც განტოლების ფესვები არის რიცხვები. პასუხი:.

იპოვეთ a-ს ყველა მნიშვნელობა, რომელთაგან თითოეულისთვის განტოლებას აქვს სამზე მეტი სხვადასხვა ამონახსნი. ამოცანების ამოხსნა მონოტონურობის თვისების პარამეტრით

|x|= დადებითი X= |x|= ორი ფესვის არსებობისთვის, მრიცხველი დადებითი უნდა იყოს. მაშასადამე, როდესაც პირველი და მეორე განტოლების ფესვები ემთხვევა, რაც არ აკმაყოფილებს პირობის მოთხოვნას: სამზე მეტი ფესვის არსებობა. პასუხი:.

იპოვეთ a-ს ყველა მნიშვნელობა, რომელთაგან თითოეულისთვის განტოლებას ორი ფესვი აქვს. გადავიყვანოთ განტოლება ფორმაში და მივიჩნიოთ f(x)= ფუნქცია განსაზღვრული და უწყვეტი მთელ რეალურ წრფეზე. ამ ფუნქციის გრაფიკი არის გატეხილი ხაზი, რომელიც შედგება წრფის სეგმენტებისა და სხივებისგან, რომელთა თითოეული ბმული არის y= kt+l ფორმის სწორი ხაზის ნაწილი. f(x)= პირველი გამოხატვის მოდულის ნებისმიერი გაფართოებისთვის k არ აღემატება 8-ს, ამიტომ f(x) ფუნქციის ზრდა და შემცირება დამოკიდებული იქნება მეორე მოდულის გაფართოებაზე. x-ზე f(x) შემცირდება, x-ზე კი გაიზრდება. ანუ x=3-ზე ფუნქცია მიიღებს ყველაზე დიდ მნიშვნელობას. იმისათვის, რომ განტოლებას ჰქონდეს ორი ფესვი, აუცილებელია f(3) მონოტონურობის თვისება

f(3)=12- |9-| 3+a || | 9-| 3+a || 9- | 3+a | - | 3+a | | 3+a | | 3+a | 3+a a პასუხი: a

იპოვეთ a პარამეტრის ყველა მნიშვნელობა, რომელთაგან თითოეულისთვის, ნებისმიერი რეალური მნიშვნელობის x, უტოლობა დაკმაყოფილებულია. მოდით გადავიწეროთ უტოლობა ფორმაში, შემოვიტანოთ ახალი ცვლადი t = და განვიხილოთ ფუნქცია f (t) = , განსაზღვრული და უწყვეტი მთელ რეალურ ხაზზე. ამ ფუნქციის გრაფიკი არის გატეხილი ხაზი, რომელიც შედგება წრფის სეგმენტებისა და სხივებისგან, რომელთა თითოეული ბმული არის სწორი ხაზის ნაწილი, სადაც

ვინაიდან, მაშინ t ϵ [-1; ერთი]. y = f (t) ფუნქციის მონოტონური შემცირების გამო, საკმარისია ამ სეგმენტის მარცხენა კიდეების შემოწმება. Z. A არის ჭეშმარიტი ნიშნავს, რომ ეს შესაძლებელია მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ რიცხვებს u და v აქვთ ერთი და იგივე ნიშანი ან რომელიმე მათგანი ნულის ტოლია. , = () () 0. კვადრატული ტრინომების ფაქტორებით ვიღებთ უტოლობას (, საიდანაც ვხვდებით, რომ ϵ (-∞; -1] U (2) U [ 4; +∞). პასუხი: (-∞). ; -1]U(2)U)