განტოლებების ამოხსნის ძირითადი მეთოდები

რა არის განტოლების ამონახსნი?

იდენტობის ტრანსფორმაცია. მთავარი

იდენტური გარდაქმნების სახეები.

უცხო ფესვი. ფესვის დაკარგვა.

განტოლების ამოხსნა არის პროცესი, რომელიც ძირითადად შედგება მოცემული განტოლების სხვა განტოლებით ჩანაცვლებაში, რომელიც მისი ექვივალენტურია. . ასეთ ჩანაცვლებას ე.წიდენტობის ტრანსფორმაცია . იდენტურობის ძირითადი ტრანსფორმაციები შემდეგია:

1.

ერთი გამონათქვამის შეცვლა მეორით, მისი იდენტურად ტოლი. მაგალითად, განტოლება (3 x+ 2 ) 2 = 15 x+ 10 შეიძლება შეიცვალოს შემდეგი ექვივალენტით:9 x 2 + 12 x + 4 = 15 x + 10 .

2.

განტოლების ტერმინების გადატანა ერთი მხრიდან მეორეზე საპირისპირო ნიშნებით. ასე რომ, წინა განტოლებაში, ჩვენ შეგვიძლია გადავიტანოთ მისი ყველა წევრი მარჯვენა მხრიდან მარცხენა მხარეს "-" ნიშნით: 9 x 2 + 12 x + 4 – 15 x- 10 = 0, რის შემდეგაც მივიღებთ:9 x 2 – 3 x- 6 = 0 .

3.

განტოლების ორივე მხარის გამრავლება ან გაყოფა ნულის გარდა იმავე გამოსახულებით (რიცხვით). ეს ძალიან მნიშვნელოვანია, რადგანახალი განტოლება შეიძლება არ იყოს წინას ექვივალენტური, თუ გამონათქვამი, რომლითაც ვამრავლებთ ან ვყოფთ, შეიძლება იყოს ნულის ტოლი.

მაგალითი განტოლებაx- 1 = 0 აქვს ერთი ფესვიx= 1.

ორივე მხარის გამრავლებაx- 3 , ვიღებთ განტოლებას

( x- 1)( x- 3) = 0, რომელსაც აქვს ორი ფესვი:x= 1 დაx = 3.

ბოლო მნიშვნელობა არ არის მოცემული განტოლების ფესვი

x- 1 = 0. ეს არის ე.წუცხო ფესვი .

პირიქით, გაყოფა შეიძლება გამოიწვიოსფესვის დაკარგვა . Ისე

ჩვენს შემთხვევაში, თუx- 1 )( x- 3 ) = 0 არის ორიგინალი

განტოლება, შემდეგ ფესვიx= 3 დაიკარგება დივიზიონში

განტოლების ორივე მხარეx- 3 .

ბოლო განტოლებაში (პუნქტი 2) შეგვიძლია მისი ყველა წევრი გავყოთ 3-ზე (არა ნულზე!) და საბოლოოდ მივიღოთ:

3 x 2 – x – 2 = 0 .

ეს განტოლება ორიგინალის ტოლფასია:

(3 x+ 2) 2 = 15 x + 10 .

4.

შეუძლიაგაზარდეთ განტოლების ორივე მხარე კენტ ხარისხზე ანამოიღეთ კენტი ფესვი განტოლების ორივე მხრიდან . უნდა გვახსოვდეს, რომ:

ა) ერექციახარისხიც კი შეიძლება გამოიწვიოსუცხო ფესვების შეძენამდე ;

ბ)არასწორი მოპოვებაფესვიც კი შეიძლება გამოიწვიოსფესვების დაკარგვა .

მაგალითები. განტოლება 7x = 35 აქვს ერთი ფესვიx = 5 .

ამ განტოლების ორივე მხარის კვადრატში ვიღებთ

განტოლება:

49 x 2 = 1225 .

ორი ფესვი აქვს:x = 5 დაx = – 5. ბოლო მნიშვნელობა

უცხო ფესვია.

არასწორი ორივეს კვადრატული ფესვის აღება

49-ე განტოლების ნაწილებიx 2 = 1225 შედეგი 7-შიx = 35,

და ჩვენ ვკარგავთ ფესვსx = – 5.

სწორი კვადრატული ფესვის აღება იწვევს

განტოლება: | 7x | = 35, ა აქედან გამომდინარე, ორი შემთხვევა:

1) 7 x = 35, მაშინx = 5 ; 2) – 7 x = 35, მაშინx = – 5 .

ამიტომ, ზესწორი კვადრატის მოპოვება

root ჩვენ არ ვკარგავთ განტოლების ფესვებს.

Რას ნიშნავსუფლება ამოიღეთ ფესვი? აქ ვხვდებით

ძალიან მნიშვნელოვანი კონცეფციითარითმეტიკული ფესვი

(სმ. ).

შეიძლება გამოიწვიოს ეგრეთ წოდებული ზედმეტი ფესვების გამოჩენა. ამ სტატიაში ჩვენ პირველ რიგში დეტალურად გავაანალიზებთ რა არის უცხო ფესვები. მეორეც, მოდით ვისაუბროთ მათი წარმოშობის მიზეზებზე. და მესამე, მაგალითების გამოყენებით, განვიხილავთ გარე ფესვების ამოღების მთავარ გზებს, ანუ ფესვების შემოწმებას მათ შორის უცხოების არსებობისთვის, რათა გამოვრიცხოთ ისინი პასუხისგან.

განტოლების გარე ფესვები, განმარტება, მაგალითები

ალგებრის სასკოლო სახელმძღვანელოები არ განსაზღვრავს გარე ფესვს. იქ გარე ფესვის იდეა ყალიბდება შემდეგი სიტუაციის აღწერით: განტოლების ზოგიერთი გარდაქმნის დახმარებით ხდება თავდაპირველი განტოლებიდან განტოლება-შედეგზე გადასვლა, შედეგად მიღებული განტოლების ფესვები- ნაპოვნია შედეგი და ნაპოვნი ფესვები შემოწმდება თავდაპირველ განტოლებაში ჩანაცვლებით, რაც გვიჩვენებს, რომ აღმოჩენილი ფესვებიდან ზოგიერთი არ არის თავდაპირველი განტოლების ფესვები, ამ ფესვებს უწოდებენ გარე ფესვებს საწყისი განტოლებისთვის.

ამ საფუძვლიდან გამომდინარე, თქვენ შეგიძლიათ აიღოთ დამატებითი ფესვის შემდეგი განმარტება:

განმარტება

უცხო ფესვებიარის გარდაქმნების შედეგად მიღებული განტოლება-შედეგის ფესვები, რომლებიც არ არის საწყისი განტოლების ფესვები.

ავიღოთ მაგალითი. განვიხილოთ განტოლება და ამ განტოლების დასკვნა x·(x−1)=0, მიღებული გამოსახულების ჩანაცვლებით მისი იდენტურად ტოლი გამოსახულებით x·(x−1). თავდაპირველ განტოლებას აქვს ერთი ფესვი 1. გარდაქმნის შედეგად მიღებულ განტოლებას აქვს ორი ფესვი 0 და 1. ასე რომ, 0 არის უცხო ფესვი საწყისი განტოლებისთვის.

უცხო ფესვების შესაძლო გარეგნობის მიზეზები

თუ შედეგის განტოლების მისაღებად არ გამოიყენება "ეგზოტიკური" გარდაქმნები, მაგრამ გამოიყენება მხოლოდ განტოლებების ძირითადი გარდაქმნები, მაშინ უცხო ფესვები შეიძლება წარმოიშვას მხოლოდ ორი მიზეზის გამო:

• ოძ-ის გაფართოების გამო და
• რადგან განტოლების ორივე მხარე ერთსა და იმავე ლუწი სიძლიერეზეა აყვანილი.

აქვე უნდა გავიხსენოთ, რომ ODZ-ის გაფართოება განტოლების ტრანსფორმაციის შედეგად ძირითადად ხდება

• წილადების შემცირებისას;
• პროდუქტის ერთი ან მეტი ნულოვანი ფაქტორით ნულით შეცვლისას;
• ნულის წილადით ნულის მრიცხველით ჩანაცვლებისას;
• ძლიერების, ფესვების, ლოგარითმების ზოგიერთი თვისების გამოყენებისას;
• ზოგიერთი ტრიგონომეტრიული ფორმულის გამოყენებისას;
• განტოლების ორივე ნაწილის გამრავლებისას ერთი და იგივე გამოსახულებით, რომელიც ქრება ODZ-ზე ამ განტოლებისთვის;
• ლოგარითმების ნიშნების ამოხსნის პროცესში გამოშვებისას.

სტატიის წინა აბზაცის მაგალითი ასახავს უცხო ფესვის გაჩენას ODZ-ის გაფართოების გამო, რომელიც ხდება განტოლებიდან დაბოლოების განტოლებაზე გადასვლისას x·(x−1)=0 . თავდაპირველი განტოლებისთვის ODZ არის ყველა რეალური რიცხვის სიმრავლე, გარდა ნულისა, მიღებული განტოლებისთვის ODZ არის R სიმრავლე, ანუ ODZ გაფართოვებულია ნულის რიცხვით. ეს რიცხვი საბოლოოდ აღმოჩნდება უცხო ფესვი.

ჩვენ ასევე მივცემთ მაგალითს უცხო ფესვის გამოჩენის გამო განტოლების ორივე ნაწილის იმავე ლუწი სიმძლავრემდე აწევის გამო. ირაციონალურ განტოლებას აქვს ერთი ფესვი 4 და ამ განტოლების შედეგი, რომელიც მიღებულია მისგან განტოლების ორივე ნაწილის, ანუ განტოლების კვადრატში. აქვს ორი ფესვი 1 და 4. აქედან ჩანს, რომ განტოლების ორივე მხარის კვადრატში გაყვანა გამოიწვია ორიგინალური განტოლებისთვის უცხო ფესვის გამოჩენა.

გაითვალისწინეთ, რომ ODZ-ის გაფართოება და განტოლების ორივე ნაწილის ერთსა და იმავე სიმძლავრემდე აწევა ყოველთვის არ იწვევს უცხო ფესვების გამოჩენას. მაგალითად, განტოლებიდან x=2 განტოლებაზე გადასვლისას, ODZ ფართოვდება ყველა არაუარყოფითი რიცხვის სიმრავლიდან ყველა რეალური რიცხვის სიმრავლემდე, მაგრამ გარე ფესვები არ ჩნდება. 2 არის პირველი და მეორე განტოლების ერთადერთი ფესვი. ასევე, განტოლებიდან განტოლება-შედეგზე გადასვლისას არ ჩნდება ზედმეტი ფესვები. პირველი და მეორე განტოლების ერთადერთი ფესვი არის x=16. ამიტომ ჩვენ ვსაუბრობთ არა გარე ფესვების გაჩენის მიზეზებზე, არამედ გარე ფესვების შესაძლო გაჩენის მიზეზებზე.

რა არის ზედმეტი ფესვების მოცილება?

ტერმინს „გარე ფესვების აღმოფხვრა“ მხოლოდ კარგად დამკვიდრებულ ტერმინად შეიძლება ეწოდოს, ის არ გვხვდება ყველა ალგებრის სახელმძღვანელოში, მაგრამ ინტუიციურია, რის გამოც ჩვეულებრივ გამოიყენება. რა იგულისხმება უცხო ფესვების ამოღებაში, ირკვევა შემდეგი ფრაზიდან: „... გადამოწმება არის სავალდებულო ნაბიჯი განტოლების ამოხსნისას, რომელიც დაგეხმარებათ აღმოაჩინოს გარე ფესვები, ასეთის არსებობის შემთხვევაში, და გადააგდოთ ისინი (ჩვეულებრივ, ისინი ამბობენ: „გაასუფთავეთ ”)” .

Ამგვარად,

განმარტება

გარე ფესვების მოცილებაარის უცხო ფესვების აღმოჩენა და უარყოფა.

ახლა თქვენ შეგიძლიათ გადახვიდეთ უცხო ფესვების მოსაშორებლად.

გარე ფესვების მოცილების მეთოდები

ჩანაცვლების შემოწმება

გარე ფესვების ამოღების მთავარი გზა არის ჩანაცვლების შემოწმება. ეს საშუალებას გაძლევთ ამოიღოთ უცხო ფესვები, რომლებიც შეიძლება წარმოიშვას როგორც ODZ-ის გაფართოების გამო, ასევე განტოლების ორივე ნაწილის იმავე სიმძლავრემდე ამაღლების გამო.

ჩანაცვლების შემოწმება შემდეგია: შედეგის განტოლების ნაპოვნი ფესვები თავის მხრივ ჩანაცვლებულია თავდაპირველ განტოლებაში ან მის ეკვივალენტურ განტოლებაში, ისინი, რომლებიც სწორ რიცხვობრივ ტოლობას იძლევა, არის თავდაპირველი განტოლების ფესვები, ხოლო ისინი, რომლებიც იძლევა არასწორი რიცხვითი თანასწორობა ან გამოხატულება, უაზროა ორიგინალური განტოლების უცხო ფესვები.

მოდით გამოვიყენოთ მაგალითი იმის საჩვენებლად, თუ როგორ იშლება უცხო ფესვები თავდაპირველ განტოლებაში ჩანაცვლების გზით.

ზოგიერთ შემთხვევაში, გარე ფესვების ამოღება უფრო მიზანშეწონილია სხვა გზით. ეს ძირითადად ეხება იმ შემთხვევებს, როდესაც ჩანაცვლების შემოწმება დაკავშირებულია მნიშვნელოვან გამოთვლით სირთულეებთან ან როდესაც გარკვეული ტიპის განტოლებების ამოხსნის სტანდარტული გზა გულისხმობს განსხვავებულ შემოწმებას (მაგალითად, ფრაქციულ-რაციონალური განტოლებების ამოხსნისას გარე ფესვების ამოღება ხორციელდება შესაბამისად. იმ პირობით, რომ წილადის მნიშვნელი არ იყოს ნულის ტოლი). მოდით გავაანალიზოთ უცხო ფესვების ამოღების ალტერნატიული გზები.

ODZ-ის ცნობით

ჩანაცვლების შემოწმებისგან განსხვავებით, ODZ-ით უცხო ფესვების სკრინინგი ყოველთვის არ არის მიზანშეწონილი. ფაქტია, რომ ეს მეთოდი საშუალებას გაძლევთ გაფილტროთ მხოლოდ უცხო ფესვები, რომლებიც წარმოიქმნება ODZ-ის გაფართოების გამო, და ის არ იძლევა გარანტიას უცხო ფესვების აღმოფხვრას, რომელიც შეიძლება წარმოიშვას სხვა მიზეზების გამო, მაგალითად, ორივე ნაწილის ამაღლების გამო. იგივე ლუწი სიმძლავრის განტოლება. უფრო მეტიც, ყოველთვის არ არის ადვილი ამოხსნილი განტოლებისთვის ODZ-ის პოვნა. მიუხედავად ამისა, ODZ-ის მიერ გარე ფესვების ამოღების მეთოდი უნდა იყოს გამოყენებული, რადგან მისი გამოყენება ხშირად მოითხოვს ნაკლებ გამოთვლით მუშაობას, ვიდრე სხვა მეთოდების გამოყენება.

ODZ-ის მიხედვით უცხო ფესვების გაცრა ხდება შემდეგნაირად: შედეგის განტოლების ყველა ნაპოვნი ფესვი შემოწმდება, რომ მიეკუთვნება ცვლადის დასაშვები მნიშვნელობების რეგიონს თავდაპირველი განტოლებისთვის ან მისი ნებისმიერი ექვივალენტური განტოლებისთვის. ეკუთვნის ODZ-ს არის საწყისი განტოლების ფესვები, ხოლო ისინი, რომლებიც არ ეკუთვნის ODZ-ს, არის ორიგინალური განტოლების უცხო ფესვები.

მოწოდებული ინფორმაციის ანალიზს მივყავართ დასკვნამდე, რომ მიზანშეწონილია უცხო ფესვების სკრინინგი ODZ-ის მიხედვით, თუ ამავე დროს:

• მარტივია ორიგინალური განტოლებისთვის ODZ-ის პოვნა,
• უცხო ფესვები შეიძლება წარმოიშვას მხოლოდ ODZ-ის გაფართოების გამო,
• ჩანაცვლების შემოწმება დაკავშირებულია მნიშვნელოვან გამოთვლით სირთულეებთან.

ჩვენ ვაჩვენებთ, თუ როგორ ხდება პრაქტიკაში გარე ფესვების მოცილება.

ODZ-ის პირობებით

როგორც წინა აბზაცში ვთქვით, თუ უცხო ფესვები შეიძლება წარმოიშვას მხოლოდ ODZ-ის გაფართოების გამო, მაშინ მათი გაფილტვრა შესაძლებელია ორიგინალური განტოლებისთვის ODZ-ის მიხედვით. მაგრამ ყოველთვის არ არის ადვილი ODZ-ის პოვნა რიცხვითი ნაკრების სახით. ასეთ შემთხვევებში შესაძლებელია გარე ფესვების სკრინინგი არა ODZ-ის, არამედ იმ პირობების მიხედვით, რომლებიც განსაზღვრავს ODZ-ს. მოდით განვმარტოთ, თუ როგორ ტარდება გარე ფესვების სკრინინგი ODZ-ის პირობების მიხედვით.

აღმოჩენილი ფესვები თავის მხრივ ჩანაცვლებულია იმ პირობებში, რომლებიც განსაზღვრავს ODZ-ს საწყისი განტოლებისთვის ან მისი ნებისმიერი ექვივალენტის განტოლებისთვის. ისინი, ვინც აკმაყოფილებს ყველა პირობას, არის განტოლების ფესვები. და ისინი, ვინც არ აკმაყოფილებენ მინიმუმ ერთ პირობას ან არ აძლევენ გამოხატვას, რომელსაც აზრი არ აქვს, ორიგინალური განტოლებისთვის უცხო ფესვებია.

მოდი მოვიყვანოთ უცხო ფესვების სკრინინგის მაგალითი ODZ-ის პირობების მიხედვით.

განტოლების ორივე მხარის თანაბარ სიმძლავრემდე აწევით წარმოქმნილი უცხო ფესვების სკრინინგი

ნათელია, რომ განტოლების ორივე ნაწილის ერთსა და იმავე სიმძლავრემდე აწევის შედეგად წარმოქმნილი უცხო ფესვები შეიძლება მოხდეს თავდაპირველ განტოლებაში ან მის ნებისმიერ ექვივალენტურ განტოლებაში ჩანაცვლებით. მაგრამ ასეთი შემოწმება შეიძლება დაკავშირებული იყოს მნიშვნელოვან გამოთვლით სირთულეებთან. ამ შემთხვევაში, ღირს ვიცოდეთ უცხო ფესვების მოსაშორებლად ალტერნატიული გზა, რომელზეც ახლა ვისაუბრებთ.

გარე ფესვების სკრინინგი, რომლებიც შეიძლება წარმოიშვას, როდესაც ფორმის ირაციონალური განტოლების ორივე ნაწილი ერთსა და იმავე სიმძლავრის ტოლფასია. , სადაც n არის ლუწი რიცხვი, შეიძლება განხორციელდეს g(x)≥0 პირობის მიხედვით. ეს გამომდინარეობს ლუწი ფესვის განმარტებიდან: ლუწი ფესვი n არის არაუარყოფითი რიცხვი, რომლის n-ე ხარისხი უდრის ფესვის რიცხვს, საიდანაც . ამრიგად, გაჟღერებული მიდგომა არის ერთგვარი სიმბიოზი განტოლების ორივე ნაწილის ერთნაირი ხარისხით აყვანის მეთოდისა და ფესვის განსაზღვრით ირაციონალური განტოლებების ამოხსნის მეთოდისა. ანუ განტოლება , სადაც n არის ლუწი რიცხვი, იხსნება განტოლების ორივე ნაწილის იმავე ლუწი სიძლიერეზე აწევით, ხოლო უცხო ფესვების ამოღება ხორციელდება პირობის მიხედვით g(x)≥0, რომელიც აღებულია ირაციონალური განტოლებების ამოხსნის მეთოდიდან დადგენისთვის. ფესვი.

ფესვებისა და გარე ფესვების დაკარგვა განტოლებების ამოხსნისას

ქალაქ ვსევოლოჟსკის მემორანდუმის „მეორე სკოლა No2 ცალკეული საგნების სიღრმისეული შესწავლით“. კვლევითი სამუშაო მოამზადა მე-11 B კლასის მოსწავლემ: ვასილიევმა ვასილიმ. პროექტის ხელმძღვანელი: ეგოროვა ლუდმილა ალექსეევნა.

განტოლება დასაწყისისთვის, განიხილეთ ამ განტოლების ამოხსნის სხვადასხვა გზები sinx+cosx =- 1

ამოხსნა #1 sinx+cosx =-1 i Y x 0 1 sin(x+)=- 1 sin(x+)=- x+ =- +2 x+ = +2 + x=- +2 x= +2 პასუხი: +2

ამოხსნა No2 sinx + cosx \u003d - 1 i პასუხი: +2 y x 0 1 2sin cos + - + + \u003d 0 sin cos + \u003d 0 cos (cos + sin) \u003d 0 cos \u003d 0 cos + sin \u003d 1 \u003d + m tg =-1 = + m =- + x=- +2 x= +2

ამოხსნა #3 i y x 0 1 sinx+cosx =- 1 2 = x= x+ x sin2x=0 2x= x= პასუხი:

sinx+cosx =-1 ამოხსნა #4 i y x 0 1 + =- 1 2tg +1- =-1- 2tg =- 2 =- + n x= - + 2 n პასუხი: - + 2 n

ჩვენ ვადარებთ ამონახსნებს სწორი ამონახსნები მოდით გავარკვიოთ, რომელ შემთხვევებში შეიძლება გამოჩნდეს უცხო ფესვები და რატომ #2 პასუხი: +2 #3 პასუხი: #4 პასუხი: + 2 n #1 პასუხი: +2

გადაწყვეტის გადამოწმება მჭირდება თუ არა გადამოწმების გაკეთება? შეამოწმეთ ფესვები ყოველი შემთხვევისთვის, საიმედოობისთვის? ეს, რა თქმა უნდა, სასარგებლოა, როდესაც მისი ჩანაცვლება ადვილია, მაგრამ მათემატიკოსები რაციონალური ადამიანები არიან და არ აკეთებენ ზედმეტ ქმედებებს. განიხილეთ სხვადასხვა შემთხვევები და დაიმახსოვრეთ, როდის არის ნამდვილად საჭირო გადამოწმება.

1. უმარტივესი მზა ფორმულები c osx =a x=a =a s inx =a t gx =a თუმცა, ასეთი ფორმულების გამოყენებისას უნდა იცოდეთ რა პირობებში შეიძლება მათი გამოყენება. მაგალითად, ფორმულა = შეიძლება გამოყენებულ იქნას პირობით a 0, -4ac 0 და ყველაზე უხეში შეცდომა არის პასუხი x= arccos2+2 განტოლებისთვის cosx =2, რადგან ფორმულა x= arccos a +2 შეიძლება მხოლოდ გამოყენებული იყოს. განტოლების ფესვებისთვის cosx = a, სადაც | a | ერთი

2. გარდაქმნები ხშირად, განტოლებების ამოხსნისას, თქვენ უნდა განახორციელოთ მრავალი ტრანსფორმაცია. თუ განტოლება შეიცვალა ახლით, რომელსაც აქვს წინას ყველა ფესვი და გარდაიქმნება ისე, რომ არ მოხდეს ფესვების დაკარგვა ან შეძენა, მაშინ ასეთ განტოლებებს ექვივალენტი ეწოდება. 1. განტოლების კომპონენტების ერთი ნაწილიდან მეორეზე გადატანისას. 2. ორივე ნაწილისთვის ერთი და იგივე რიცხვის მიმატებით. 3 . განტოლების ორივე მხარის გამრავლებისას ერთსა და იმავე არანულოვან რიცხვზე. ოთხი . ყველა რეალური რიცხვის სიმრავლეზე ჭეშმარიტი იდენტობების გამოყენებისას. ამ შემთხვევაში გადამოწმება არ არის საჭირო!

თუმცა, ყველა განტოლება არ შეიძლება ამოხსნას ეკვივალენტური გარდაქმნებით. უფრო ხშირად საჭიროა არათანაბარი გარდაქმნების გამოყენება. ხშირად ასეთი გარდაქმნები ეფუძნება ფორმულების გამოყენებას, რომლებიც არ შეესაბამება ყველა რეალურ მნიშვნელობას. ამ შემთხვევაში, კერძოდ, იცვლება განტოლების განსაზღვრის სფერო. ეს შეცდომა არის გადაწყვეტა #4. ჩვენ გავაანალიზებთ შეცდომას, მაგრამ ჯერ კიდევ ერთხელ გადავხედავთ გამოსავალს ნომერი 4. sinx+cosx=-1 + =-1 2tg +1- =-1- 2tg =-2 =- + n x = - + 2 n შეცდომა მდგომარეობს ფორმულაში sin2x= შეგიძლიათ გამოიყენოთ ეს ფორმულა, მაგრამ დამატებით უნდა შეამოწმოთ არის თუ არა ისინი ფორმის ფესვის რიცხვები + რომლისთვისაც tg არ არის განსაზღვრული. ახლა გასაგებია, რომ ხსნარში ფესვების დაკარგვაა. ბოლომდე მივიყვანოთ.

ამოხსნა #4 i y x 0 1 შეამოწმეთ რიცხვები = + n ჩანაცვლებით: x= + 2 n sin(+ 2 n)+ cos (+ 2 n)=sin + cos =0+(-1)=- 1 მაშ x= +2 n არის განტოლების ფესვი პასუხი: +2 sinx+cosx =-1 + =- 1 2tg +1- =-1- 2tg =- 2 =- + n x= - + 2 n

ჩვენ განვიხილეთ ფესვების დაკარგვის ერთ-ერთი გზა, მათემატიკაში ბევრი მათგანია, ასე რომ თქვენ უნდა გადაწყვიტოთ ფრთხილად, გახსოვდეთ ყველა წესი. როგორც თქვენ შეგიძლიათ დაკარგოთ განტოლების ფესვები, ასევე შეგიძლიათ მიიღოთ დამატებითი ფესვები მისი ამოხსნის პროცესში. განვიხილოთ გამოსავალი #3, რომელმაც ასეთი შეცდომა დაუშვა.

ამოხსნა #3 i y x 0 1 2 2 და დამატებითი ფესვები! უცხო ფესვები შეიძლება გამოჩნდეს განტოლების ორივე მხარის კვადრატში. ამ შემთხვევაში, თქვენ უნდა შეამოწმოთ. n=2k-სთვის გვაქვს sin k+cos k=-1; cos k=-1 k=2m-1-ისთვის, შემდეგ n=2(2m+1)=4m+2, x= = +2 m, პასუხი: +2 n=2k+1-ისთვის გვაქვს sin + cos =- 1 sin(+ k)+ cos (+ k)=- 1 cos k-sin k=- 1 cos k=-1 k=2m+1 n=2(2m+1)+ 1=2m+3 x= ( 4m+3)= +2 m=- +2 sinx+cosx =- 1 = x= x+ x sin2x=0 2x= x=

ასე რომ, ჩვენ განვიხილეთ რამდენიმე შესაძლო შემთხვევა, რომელთაგან ბევრია. შეეცადეთ არ დაკარგოთ დრო და არ დაუშვათ სულელური შეცდომები.

კბილები. ხერხემლიანების კბილები მათი აგებულებითა და განვითარებით სრულიად ჰგავს პლაკოიდურ ქერქს, რომელიც ფარავს ზვიგენის თევზის მთელ კანს. ვინაიდან მთელი პირის ღრუ და ნაწილობრივ ფარინგეალური ღრუ გაფორმებულია ექტოდერმული ეპითელიუმით, ტიპიური პლაკოიდი ... ...

ფილტვის ტუბერკულოზი- ფილტვის ტუბერკულოზი. სარჩევი: I. პათოლოგიური ანატომია ........... 110 II. ფილტვის ტუბერკულოზის კლასიფიკაცია.... 124 III. კლინიკა ..................... 128 IV. დიაგნოზი .................. 160 V. პროგნოზი .................. 190 VI. მკურნალობა… დიდი სამედიცინო ენციკლოპედია

მოწამვლა- მოწამვლა. მოწამვლა გაგებულია, როგორც „ცხოველთა ფუნქციების დარღვევა. ეგზოგენური ან ენდოგენური, ქიმიურად ან ფიზიკოქიმიურად აქტიური ნივთიერებებით გამოწვეული ორგანიზმები, რომლებიც უცხოა ხარისხის, რაოდენობის ან კონცენტრაციის თვალსაზრისით... ... დიდი სამედიცინო ენციკლოპედია

პარკოსნების კვანძოვანი ბაქტერიები- პალეონტოლოგიური მტკიცებულებები ვარაუდობენ, რომ უძველესი პარკოსნები, რომლებსაც ჰქონდათ კვანძები, იყო ზოგიერთი მცენარე, რომელიც მიეკუთვნებოდა Eucaesalpinioideae ჯგუფს. პარკოსანი მცენარეების თანამედროვე სახეობებში აღმოჩენილია კვანძები ... ბიოლოგიური ენციკლოპედია

ანიმაციური სერიალის "Luntik" ეპიზოდების სია- ამ სტატიას აკლია ინფორმაციის წყაროების ბმულები. ინფორმაცია უნდა იყოს გადამოწმებადი, წინააღმდეგ შემთხვევაში შეიძლება დაკითხოს და წაშალოს. თქვენ შეგიძლიათ ... ვიკიპედია

მცენარე და გარემო- მცენარის სიცოცხლე, ისევე როგორც ნებისმიერი სხვა ცოცხალი ორგანიზმი, ურთიერთდაკავშირებული პროცესების კომპლექსია; მათგან ყველაზე მნიშვნელოვანი, როგორც ცნობილია, არის ნივთიერებების გაცვლა გარემოსთან. გარემო არის წყარო, საიდანაც ... ... ბიოლოგიური ენციკლოპედია

სერიალის "Luntik" ეპიზოდების სია- მთავარი სტატია: ლუნტიკისა და მისი მეგობრების თავგადასავალი სარჩევი 1 ეპიზოდების რაოდენობა 2 ანიმაციური სერიალის ლუნტიკისა და მისი მეგობრების ეპიზოდების სია ... ვიკიპედია

ხეხილის დაავადებები- ხეხილი, ადამიანის მუდმივი მოვლის გამო, ბევრად უფრო დიდ ასაკს უნდა მიაღწიოს, ვიდრე მათი დაუმუშავებელი ნათესავები, რომ არა თავად კულტურის მრავალი პირობის საწინააღმდეგო გავლენა, კერძოდ ის მოთხოვნები, რომლებსაც ჩვენ ვაწესებთ... .. .

ტყის ჭრა- ვ. ტყეები, ანუ ტყის შემოსავლის მოპოვება ხისა და ქერქის სახით, შეიძლება მოხდეს ორი გზით: მთლიანი ხეების თხრით ან ამოძირკვით, ანუ ტოტების ფესვებთან ერთად, ან ცალ-ცალკე, ნაწილებად, ჯერ ჩამოვარდება. , ან ამოღებულია ... ... ენციკლოპედიური ლექსიკონი F.A. ბროკჰაუსი და ი.ა. ეფრონი

პენი- (პოლონური grosz, გერმანულიდან Groschen, ლათ. grossus (dēnārius) "სქელი denarius") სხვადასხვა ქვეყნისა და დროის მონეტა. სარჩევი 1 პენის გამოჩენა ... ვიკიპედია

აშშ-ს მონეტები- 20 სენტ-გოდენს დოლარი ყველაზე ლამაზი და ძვირადღირებული ამერიკული მონეტაა აშშ-ის ზარაფხანაში მოჭრილი ამერიკული მონეტები. გამოცემული 1792 წლიდან ... ვიკიპედია

წიგნები

• თმის ცვენის ძირითადი მიზეზები ქალებში, ალექსეი მიჩმანი, ათი ქალიდან ექვსი აწუხებს თმის ცვენის პრობლემას ცხოვრების გარკვეულ ეტაპზე. თმის ცვენა შეიძლება მოხდეს მრავალი მიზეზის გამო, როგორიცაა მემკვიდრეობა, ჰორმონალური ცვლილებები… კატეგორია:

ბოლო გაკვეთილზე განტოლებების ამოხსნისას გამოვიყენეთ სამი ეტაპი.

პირველი ეტაპი ტექნიკურია. თავდაპირველი განტოლებიდან გარდაქმნების ჯაჭვის დახმარებით მივდივართ საკმაოდ მარტივთან, რომელსაც ვხსნით და ვპოულობთ ფესვებს.

მეორე ეტაპი არის ხსნარის ანალიზი. ჩვენ ვაანალიზებთ ჩვენს მიერ განხორციელებულ გარდაქმნებს და ვადგენთ, არის თუ არა ისინი ეკვივალენტური.

მესამე ეტაპი არის შემოწმება. ყველა ნაპოვნი ფესვის შემოწმება თავდაპირველ განტოლებაში მათი ჩანაცვლებით სავალდებულოა ტრანსფორმაციების შესრულებისას, რამაც შეიძლება გამოიწვიოს თანმდევი განტოლება.

განტოლების ამოხსნისას ყოველთვის საჭიროა სამი ეტაპის გამოყოფა?

Რათქმაუნდა არა. როგორც, მაგალითად, ამ განტოლების ამოხსნისას. ყოველდღიურ ცხოვრებაში, ისინი, როგორც წესი, არ არიან იზოლირებული. მაგრამ ყველა ეს ეტაპი უნდა იყოს „მხედველობაში“ და შესრულდეს ამა თუ იმ ფორმით. აუცილებლად გაანალიზეთ ტრანსფორმაციების ეკვივალენტობა. და თუ ანალიზმა აჩვენა, რომ აუცილებელია შემოწმების ჩატარება, მაშინ ეს აუცილებელია. წინააღმდეგ შემთხვევაში, განტოლება არ შეიძლება ჩაითვალოს სწორად ამოხსნილად.

ყოველთვის შესაძლებელია განტოლების ფესვების შემოწმება მხოლოდ ჩანაცვლებით?

თუ განტოლების ამოხსნისას გამოყენებული იყო ეკვივალენტური გარდაქმნები, მაშინ გადამოწმება არ არის საჭირო. განტოლების ფესვების შემოწმებისას ძალიან ხშირად გამოიყენება ODZ (მისაღები მნიშვნელობების დიაპაზონი), თუ ძნელია ODZ-ის შემოწმება, მაშინ იგი ხორციელდება ორიგინალური განტოლებით ჩანაცვლებით.

სავარჯიშო 1

ამოხსენით განტოლების კვადრატული ფესვი ორ x-ს პლუს სამი უდრის ერთს პლუს x.

გამოსავალი

ODZ განტოლება განისაზღვრება ორი უტოლობის სისტემით: ორ x-ს პლუს სამი მეტია ან ტოლია ნულისა და ერთი პლუს x მეტია ან ტოლია ნულის. ამონახსნი არის x მეტი ან ტოლი მინუს ერთი.

განტოლების ორივე მხარეს ვაკვერცხებთ, ტერმინებს განტოლების ერთი მხრიდან მეორეზე გადავიტანთ, ვამატებთ მსგავს ნაწილებს, მივიღებთ კვადრატულ განტოლებას x კვადრატში უდრის ორს. მისი ფესვებია

x პირველი, მეორე უდრის პლუს ან მინუს კვადრატული ფესვი ორი.

ექსპერტიზა

პირველის x მნიშვნელობა უდრის ორის კვადრატულ ფესვს, არის განტოლების ფესვი, რადგან ის შედის DPV-ში.
x წამის მნიშვნელობა მინუს კვადრატული ფესვი ორი არ არის განტოლების ფესვი, რადგან ის არ შედის ODZ-ში.
მოდით შევამოწმოთ, რომ x-ძირი უდრის ორის კვადრატულ ფესვს, შევცვალოთ იგი თავდაპირველ ტოლობაში, მივიღებთ

ჭეშმარიტი თანასწორობა, ამიტომ x უდრის კვადრატულ ფესვს ორი არის განტოლების ფესვი.

პასუხი: კვადრატული ფესვი ორიდან.

დავალება 2

ამოხსენით განტოლების კვადრატული ფესვი x-ს გამოკლებული რვა უდრის ხუთს გამოკლებული x.

გამოსავალი

ირაციონალური განტოლების ODZ განისაზღვრება ორი უტოლობის სისტემით: x გამოკლებული რვა მეტია ან ტოლია ნულისა და ხუთს გამოკლებული x მეტია ან ტოლია ნულის. მისი გადაჭრით, მივიღებთ, რომ ამ სისტემას არ აქვს გამოსავალი. განტოლების ფესვი არ შეიძლება იყოს x ცვლადის რომელიმე მნიშვნელობა.

პასუხი: არ არის ფესვები.

დავალება 3

ამოხსენით განტოლება კვადრატული ფესვი x-ის კუბური პლუს ოთხი x-ს გამოკლებული ერთი გამოკლებული x-ის რვა კვადრატული ფესვი მეოთხე ხარისხზე მინუს x უდრის x კუბიკების კვადრატულ ფესვს გამოკლებული ერთი პლუს x-ის ორი კვადრატული ფესვი.

გამოსავალი

ამ განტოლებაში ODZ-ის პოვნა საკმაოდ რთულია.

მოდით შევასრულოთ გარდაქმნები: ამ განტოლების ორივე მხარე კვადრატში გავავლოთ,

ყველა ტერმინს გადავიტანთ განტოლების მარცხენა მხარეს და მოვიყვანთ მსგავს ტერმინებს, ვწერთ ორ ფესვს ერთის ქვეშ, ვიღებთ რადიკალებს, ვაძლევთ მსგავსებს, ვყოფთ მინუს 12-ზე და ვანაწილებთ ძირეულ გამოსახულებას ფაქტორებად, მივიღებთ განტოლება ორი ფაქტორის ნამრავლის სახით ნულის ტოლი. მისი გადაჭრით, ჩვენ ვიპოვით ფესვებს:

x პირველი უდრის ერთს, x მეორე უდრის ნულს.

იმის გამო, რომ განტოლების ორივე ნაწილი ავწიეთ თანაბარ ხარისხზე, ფესვების შემოწმება სავალდებულოა.

ექსპერტიზა

თუ x უდრის ერთს, მაშინ

მივიღებთ სწორ ტოლობას, რაც ნიშნავს, რომ x უდრის ერთი არის განტოლების ფესვი.

თუ x არის ნული, მაშინ მინუს ერთის კვადრატული ფესვი განუსაზღვრელია.

მაშასადამე, x ნულის ტოლი არის უცხო ფესვი.

პასუხი: ერთი.

დავალება 4

ამოხსენით x კვადრატის ლოგარითმის განტოლება დამატებული ხუთი x პლუს ორი ფუძე ორი უდრის სამს.

გამოსავალი

ვიპოვოთ ODZ განტოლება. ამისათვის ჩვენ ვხსნით უტოლობას x კვადრატს პლუს ხუთ x პლუს ორი ნულზე მეტი.

უტოლობას ვხსნით ინტერვალების მეთოდით. ამისათვის ჩვენ ვშლით მის მარცხენა მხარეს ფაქტორებად, წინასწარ ამოხსნით კვადრატულ განტოლებას და უტოლობის ნიშნის გათვალისწინებით, ვადგენთ ODZ-ს. ODZ უდრის ღია სხივების გაერთიანებას მინუს უსასრულობიდან მინუს წილადი ხუთამდე პლუს ჩვიდმეტის კვადრატული ფესვი გაყოფილი ორზე და მინუს წილადიდან ხუთი გამოკლებული ჩვიდმეტის კვადრატული ფესვი გაყოფილი ორზე პლუს უსასრულობამდე.

ახლა დავიწყოთ განტოლების ფესვების ძებნა. იმის გათვალისწინებით, რომ სამი უდრის რვის ლოგარითმს ორი ფუძის მიმართ, ჩვენ ვწერთ განტოლებას შემდეგი ფორმით: გამოთქმის ლოგარითმი x კვადრატში პლუს ხუთი x პლუს ორი ფუძე ორის უდრის რვის ლოგარითმს. ბაზა ორი. ჩვენ ვაძლიერებთ განტოლებას, ვიღებთ და ვხსნით კვადრატულ განტოლებას.

დისკრიმინანტი არის ორმოცდაცხრამეტი.

ჩვენ ვიანგარიშებთ ფესვებს:

x პირველი უდრის მინუს ექვსი; X წამი უდრის ერთს.

ექსპერტიზა

მინუს ექვსი ეკუთვნის ODZ-ს, ერთი ეკუთვნის ODZ-ს, რაც ნიშნავს, რომ ორივე რიცხვი არის განტოლების ფესვები.

პასუხი: მინუს ექვსი; ერთი.

ბოლო გაკვეთილზე განვიხილეთ გარე ფესვების გაჩენის საკითხი. ჩვენ შეგვიძლია მათი აღმოჩენა შემოწმებით. შესაძლებელია თუ არა ფესვების დაკარგვა განტოლების ამოხსნისას და როგორ ავიცილოთ ეს?

განტოლებაზე ისეთი მოქმედებების შესრულებისას, როგორიცაა, პირველ რიგში, განტოლების ორივე ნაწილის დაყოფა იმავე გამოსახულებით ax-ზე x-დან (გარდა იმ შემთხვევებისა, როდესაც დანამდვილებით ცნობილია, რომ x-დან ცული არ არის ნულის ტოლი ნებისმიერი x-ისთვის. განტოლების დომენი);

მეორეც, ამოხსნის პროცესში ODZ განტოლების შევიწროებამ შეიძლება გამოიწვიოს განტოლების ფესვების დაკარგვა.

გახსოვდეს!

ფორმაში დაწერილი განტოლება

ef x-დან ნაცარზე გამრავლებული x-დან უდრის zhe-დან x გამრავლებული ნაცარზე x-დან იხსნება ამ გზით:

აუცილებელია ფაქტორიზაცია ფრჩხილებიდან საერთო ფაქტორის ამოღებით;

მაშინ, თითოეული ფაქტორი ტოლდება ნულთან, რითაც მიიღება ორი განტოლება.

ჩვენ ვიანგარიშებთ მათ ფესვებს.

სავარჯიშო 1

ამოხსენით განტოლება x კუბი უდრის x.

პირველი გზა

ჩვენ ვყოფთ ამ განტოლების ორივე ნაწილს x-ზე, მივიღებთ x კვადრატში ერთის ტოლი, რომლის ფესვები x ჯერ ერთის ტოლია,

X წამი უდრის მინუს ერთი.

მეორე გზა

x კუბი უდრის x. გადავიტანოთ x განტოლების მარცხენა მხარეს, ამოვიღოთ x ფრჩხილებიდან, მივიღებთ: x გამრავლებული x კვადრატში, მინუს ერთი უდრის ნულს.

მოდით გამოვთვალოთ მისი ფესვები:

X პირველი უდრის ნულს, x მეორე უდრის ერთს, x მესამე უდრის მინუს ერთი.

განტოლებას სამი ფესვი აქვს.

პირველი გზით ამოხსნისას დავკარგეთ ერთი ფესვი - x უდრის ნულს.

პასუხი: მინუს ერთი; ნული; ერთი.

გახსოვდეს! განტოლების ორივე მხარის შემცირება უცნობის შემცველი ფაქტორით შეიძლება გამოიწვიოს ფესვების დაკარგვამდე.

დავალება 2

ამოხსენით განტოლების ათობითი ლოგარითმი x კვადრატში არის ორი.

გამოსავალი

პირველი გზა

ლოგარითმის განმარტებით ვიღებთ კვადრატულ განტოლებას x კვადრატში უდრის ასს.

მისი ფესვები: x პირველი უდრის ათს; x წამი უდრის მინუს ათს.

მეორე გზა

ლოგარითმის თვისებით გვაქვს ორი ათობითი ლოგარითმი x უდრის ორს.

მისი ფესვი - x უდრის ათს

მეორე მეთოდში მოხდა x-ძირის დაკარგვა მინუს ათის ტოლი. და მიზეზი ის არის, რომ მათ გამოიყენეს არასწორი ფორმულა, ავიწროებენ განტოლების ფარგლებს. გამოთქმა ათობითი ლოგარითმი x კვადრატში განისაზღვრება ყველა x-ისთვის, გარდა x-ის ტოლი ნულისა. გამოთქმა ათობითი ლოგარითმი x არის x-ისთვის ნულზე მეტი. სწორი ფორმულა არის ათობითი ლოგარითმი x კვადრატში უდრის ორ ათობითი ლოგარითმს მოდულო x.

გახსოვდეს! განტოლების ამოხსნისას სწორად გამოიყენეთ არსებული ფორმულები.