ინფორმაცია წარმოებულის გარეგნობის ისტორიიდან: მე -17 საუკუნის მრავალი მათემატიკოსის ლოზუნგი. იყო: „იარეთ წინ და თქვენ გაქვთ რწმენა შედეგების სისწორეში
მოვა."
ტერმინი "წარმოებული" - (ფრანგული წარმოშობა - უკან, უკან) შემოიღო 1797 წელს ჟ. ლაგრანჟის მიერ. მანაც გააცნო
თანამედროვე აღნიშვნები y ", f'.
აღნიშვნა lim არის ლათინური სიტყვის limes (საზღვარი, საზღვარი) აბრევიატურა. ტერმინი „ლიმიტი“ შემოიღო ი.ნიუტონმა.
ი.ნიუტონმა წარმოებულს უწოდა ნაკადი, ხოლო თავად ფუნქციას - fluent.
გ.ლაიბნიცმა ისაუბრა დიფერენციალურ მიმართებაზე და წარმოებული აღნიშნა:
ლაგრანჟ ჯოზეფ ლუი (1736-1813)
ფრანგი მათემატიკოსი და მექანიკოსი

ნიუტონი:

„ეს სამყარო ღრმა სიბნელეში იყო მოცული. Დაე იყოს ნათელი! Ამიტომაც
ნიუტონი გამოჩნდა. ა.პოგი.
ისააკ ნიუტონი (1643-1727) ერთ-ერთი დამაარსებელი
დიფერენციალური გაანგარიშება.
მისი მთავარი ნაშრომია „მათემატიკური პრინციპები
ბუნებრივ ფილოსოფიას“ – ჰქონდა კოლოსალური
გავლენა საბუნებისმეტყველო მეცნიერების განვითარებაზე
გარდამტეხი მომენტი საბუნებისმეტყველო მეცნიერების ისტორიაში.
ნიუტონმა წარმოებულის ცნება კანონების შესწავლისას შემოიტანა
მექანიკა, რითაც ავლენს მის მექანიკას
მნიშვნელობა.

რა არის ფუნქციის წარმოებული?

მოცემულ წერტილში ფუნქციის წარმოებულს ლიმიტი ეწოდება
ამ ეტაპზე ფუნქციის ზრდის შეფარდება
არგუმენტის ზრდა, როდესაც არგუმენტის ზრდა
მიდრეკილია ნულისკენ.

წარმოებულის ფიზიკური მნიშვნელობა.

სიჩქარე არის მანძილის წარმოებული დროის მიმართ:
v(t) = S′(t)
აჩქარება წარმოებულია
სიჩქარე დროთა განმავლობაში:
a(t) = v′(t) = S′′(t)

წარმოებულის გეომეტრიული მნიშვნელობა:

გრაფიკის ტანგენსის დახრილობა
ფუნქცია უდრის ამ ფუნქციის წარმოებულს,
გამოითვლება კონტაქტის ადგილზე.
f′(x) = k = tga

წარმოებული ელექტროტექნიკაში:

ჩვენს სახლებში, ტრანსპორტში, ქარხნებში: ყველგან მუშაობს
ელექტროობა. ელექტრო დენში იგულისხმება
თავისუფალი ელექტრული დამუხტვის მიმართული მოძრაობა
ნაწილაკები.
ელექტრული დენის რაოდენობრივი მახასიათებელი არის ძალა
მიმდინარე.
AT
ელექტრული დენის სქემები ელექტრული მუხტი იცვლება
დროთა განმავლობაში კანონის მიხედვით q=q (t). მიმდინარე სიძლიერე I არის წარმოებული
დატენვა q დროთა განმავლობაში.
ელექტრო ინჟინერიაში ძირითადად გამოიყენება AC ოპერაცია.
ელექტრული დენი, რომელიც იცვლება დროთა განმავლობაში, ეწოდება
ცვლადები. AC წრე შეიძლება შეიცავდეს სხვადასხვა
ელემენტები: გამათბობლები, კოჭები, კონდენსატორები.
ალტერნატიული ელექტრული დენის მიღება ეფუძნება კანონს
ელექტრომაგნიტური ინდუქცია, რომლის ფორმულირება შეიცავს
მაგნიტური ნაკადის წარმოებული.

წარმოებული ქიმიაში:

◦ ქიმიაში კი დიფერენციალური
გამოთვლები ქიმიის მათემატიკური მოდელების შესაქმნელად
რეაქციები და მათი თვისებების შემდგომი აღწერა.
◦ ქიმია არის მეცნიერება ნივთიერებების, ქიმიური გარდაქმნების შესახებ
ნივთიერებები.
◦ ქიმია სწავლობს სხვადასხვა რეაქციის ნიმუშებს.
◦ ქიმიური რეაქციის სიჩქარე არის ცვლილება
რეაგენტების კონცენტრაცია დროის ერთეულზე.
◦ ვინაიდან რეაქციის სიჩქარე v მუდმივად იცვლება დროს
პროცესი, ის ჩვეულებრივ გამოიხატება როგორც კონცენტრაციის წარმოებული
რეაგენტები დროთა განმავლობაში.

წარმოებული გეოგრაფიაში:

თომას მალტუსის სოციოლოგიური მოდელის იდეა არის მოსახლეობის ზრდა
მოსახლეობის პროპორციულია მოცემულ დროს t-დან N(t-მდე), . მოდელი
მალტუსმა კარგად აღწერა აშშ-ს მოსახლეობა 1790 წლიდან 1860 წლამდე.
წლები. ეს მოდელი აღარ მოქმედებს უმეტეს ქვეყანაში.

ინტეგრალი და მისი გამოყენება:

ცოტა ისტორია:

ინტეგრალის კონცეფციის ისტორია ბრუნდება
ძველი საბერძნეთისა და ანტიკური მათემატიკოსებს
რომი.
ცნობილია ძველი საბერძნეთის მეცნიერის, ევდოქსი კნიდოსელის (დაახლ. ძვ. წ. 408-ძვ. წ. 355) შრომები.
სხეულების მოცულობების პოვნა და გამოთვლები
თვითმფრინავის ფიგურების არეები.

ინტეგრალური გამოთვლები ფართოდ გავრცელდა მე-17 საუკუნეში. Მეცნიერები:
გ.ლაიბნიცმა (1646-1716) და ი. ნიუტონმა (1643-1727) დამოუკიდებლად აღმოაჩინეს
მეგობარი და თითქმის ერთდროულად ფორმულა, რომელსაც მოგვიანებით ფორმულა უწოდეს
ნიუტონი - ლაიბნიცი, რომელსაც ჩვენ ვიყენებთ. რომ მათემატიკური ფორმულა
მოყვანილი ფილოსოფოსი და ფიზიკოსი არავის უკვირს, რადგან მათემატიკა არის ენა, რომელშიც
თავად ბუნება ლაპარაკობს.

სიმბოლო შევიდა
ლაიბნიცი (1675 წ.). ეს ნიშანი არის
ლათინური ასო S-ის შეცვლა
(სიტყვის ჯამის პირველი ასო). თავად სიტყვა განუყოფელი
გამოიგონა
ჯ.ბერნოული (1690). ალბათ მომდინარეობს
ლათინური integero, რომელიც ითარგმნება როგორც
დაუბრუნდეს პირვანდელ მდგომარეობას.
ინტეგრაციის საზღვრები უკვე მიუთითა ლ. ეილერმა
(1707-1783 წწ.). 1697 წელს გამოჩნდა სახელი
მათემატიკის ახალი დარგი - ინტეგრალი
გაანგარიშება. იგი შემოიღო ბერნულმა.

მათემატიკური ანალიზში ფუნქციის ინტეგრალი ეწოდება
ჯამის ცნების გაფართოება. ინტეგრალის პოვნის პროცესი
ინტეგრაცია ჰქვია. ეს პროცესი ჩვეულებრივ გამოიყენება
ისეთი რაოდენობების პოვნა, როგორიცაა ფართობი, მოცულობა, მასა, გადაადგილება და ა.შ.
როდესაც მოცემულია ამ რაოდენობის ცვლილებების მაჩვენებელი ან განაწილება
სხვა სიდიდის მიმართ (პოზიცია, დრო და ა.შ.).

რა არის ინტეგრალი?

ინტეგრალი მათემატიკური ანალიზის ერთ-ერთი ყველაზე მნიშვნელოვანი ცნებაა, რომელიც
წარმოიქმნება მრუდის ქვეშ არსებული ფართობის აღმოჩენის პრობლემების გადაჭრისას, გავლილი მანძილი როცა
არათანაბარი მოძრაობა, არაერთგვაროვანი სხეულის მასა და ა.შ., ასევე პრობლემაში
ფუნქციის აღდგენა მისი წარმოებულიდან

მეცნიერები ყველაფერს ფიზიკურად ცდილობენ
ფენომენები ფორმით გამოხატვა
მათემატიკური ფორმულა. როგორ
მხოლოდ ჩვენ გვაქვს ფორმულა, შემდგომ
უკვე შესაძლებელია მასთან
რაიმეს დათვლა. და განუყოფელი
არის ერთ-ერთი მთავარი
იარაღები მუშაობისთვის
ფუნქციები.

ინტეგრაციის მეთოდები:

1.ტაბულური.
2. ინტეგრანდის ტაბულურ ტრანსფორმაციამდე შემცირება
გამონათქვამები ჯამის ან განსხვავების შესახებ.
3.ინტეგრაცია ცვლადის ცვლილების გამოყენებით (ჩანაცვლება).
4. ინტეგრაცია ნაწილებით.

ინტეგრალის გამოყენება:

◦ მათემატიკა
◦ გამოთვალეთ S ფორმები.
◦ მრუდის რკალის სიგრძე.
◦ V სხეულები S პარალელურად
სექციები.
◦ რევოლუციის V ორგანოები და ა.შ.
ფიზიკა
მუშაობა ცვლადი ძალა.
S - მოძრაობის (გზა).
მასის გაანგარიშება.
ხაზის ინერციის მომენტის გამოთვლა,
წრე, ცილინდრი.
◦ გამოთვალეთ ცენტრის კოორდინატი
გრავიტაცია.
◦ სითბოს რაოდენობა და ა.შ.
◦
◦
◦
◦

სამუშაოს HTML ვერსია ჯერ არ არის.

მსგავსი დოკუმენტები

ინტეგრალის ცნების ისტორიის გაცნობა. ინტეგრალური კალკულუსის განაწილება, ნიუტონ-ლაიბნიცის ფორმულის აღმოჩენა. თანხის სიმბოლო; ჯამის ცნების გაფართოება. ყველა ფიზიკური ფენომენის გამოხატვის აუცილებლობის აღწერა მათემატიკური ფორმულის სახით.

პრეზენტაცია, დამატებულია 01/26/2015


ინტეგრალური გაანგარიშების იდეები ძველი მათემატიკოსების ნაშრომებში. ამოწურვის მეთოდის თავისებურებები. Kepler torus მოცულობის ფორმულის პოვნის ისტორია. ინტეგრალური გაანგარიშების პრინციპის თეორიული დასაბუთება (კავალიერის პრინციპი). განსაზღვრული ინტეგრალის ცნება.

პრეზენტაცია, დამატებულია 07/05/2016


ინტეგრალური კალკულუსის ისტორია. ორმაგი ინტეგრალის განმარტება და თვისებები. მისი გეომეტრიული ინტერპრეტაცია, გამოთვლა დეკარტისა და პოლარულ კოორდინატებში, მისი შემცირება განმეორებით. გამოყენება ეკონომიკასა და გეომეტრიაში მოცულობებისა და ფართობების გამოსათვლელად.

ნაშრომი, დამატებულია 16.10.2013


კოორდინატებზე მრუდი ინტეგრალის განმარტება, მისი ძირითადი თვისებები და გამოთვლა. მრუდი ინტეგრალის დამოუკიდებლობის მდგომარეობა ინტეგრაციის გზიდან. ფიგურების ფართობის გამოთვლა ორმაგი ინტეგრალის გამოყენებით. გრინის ფორმულის გამოყენებით.

ტესტი, დამატებულია 02/23/2011


განსაზღვრული ინტეგრალის არსებობის პირობები. ინტეგრალური კალკულუსის გამოყენება. ინტეგრალური გაანგარიშება გეომეტრიაში. განსაზღვრული ინტეგრალის მექანიკური გამოყენება. ინტეგრალური გაანგარიშება ბიოლოგიაში. ინტეგრალური გაანგარიშება ეკონომიკაში.

საკურსო ნაშრომი, დამატებულია 21/01/2008


ინტეგრალური და დიფერენციალური გამოთვლების ისტორია. განსაზღვრული ინტეგრალის გამოყენება მექანიკისა და ფიზიკის ზოგიერთი ამოცანის ამოხსნაში. სიბრტყე მრუდების მასის მომენტები და ცენტრები, გიულდენის თეორემა. დიფერენციალური განტოლებები. MatLab-ში პრობლემის გადაჭრის მაგალითები.

რეზიუმე, დამატებულია 09/07/2009


Stieltjes ინტეგრალის კონცეფცია. Stieltjes ინტეგრალის არსებობის ზოგადი პირობები, მისი არსებობის შემთხვევების კლასები და მისი ნიშნით ზღვრამდე გადასვლა. Stieltjes ინტეგრალის შემცირება რიმანის ინტეგრალზე. გამოყენება ალბათობის თეორიასა და კვანტურ მექანიკაში.

დისერტაცია, დამატებულია 07/20/2009


განუსაზღვრელი ინტეგრალის განსაზღვრა, უწყვეტი ფუნქციის ანტიწარმოებული, განუსაზღვრელი ინტეგრალის დიფერენციალი. განუსაზღვრელ ინტეგრალში ცვლადის ჩანაცვლებისა და ნაწილებით ინტეგრაციის ფორმულის წარმოშობა. წილადი რაციონალური ფუნქციის განმარტება.

მოტყუების ფურცელი, დამატებულია 08/21/2009


განსაზღვრული ინტეგრალის ცნებისა და ძირითადი თვისებების გაცნობა. [a, b] სეგმენტზე y=f(x) ფუნქციის ინტეგრალური ჯამის გამოთვლის ფორმულის წარმოდგენა. ინტეგრალის ნულის ტოლობა იმ პირობით, რომ ინტეგრაციის ქვედა და ზედა ზღვრები ტოლია.

პრეზენტაცია, დამატებულია 18/09/2013


წარმოებულის ზოგიერთი გამოყენება. დიფერენციალური გამოთვლების ძირითადი თეორემების გამოყენება უტოლობების დასამტკიცებლად. ანტიდერივატივი და ინტეგრალი ელემენტარული მათემატიკის ამოცანებში. ინტეგრალის ერთფეროვნება. ზოგიერთი კლასიკური უტოლობა.

კვლევის თემა

ინტეგრალური კალკულუსის გამოყენება ოჯახის ხარჯების დაგეგმვაში

პრობლემის აქტუალობა

სულ უფრო მეტად სოციალურ და ეკონომიკურ სფეროებში, შემოსავლების განაწილების უთანასწორობის ხარისხის გაანგარიშებისას, გამოიყენება მათემატიკა, კერძოდ, ინტეგრალური კალკულუსი. ინტეგრალის პრაქტიკული გამოყენების შესწავლით ვსწავლობთ:

• როგორ ეხმარება ინტეგრალი და ფართობის გამოთვლა ინტეგრალის გამოყენებით მატერიალური ხარჯების განაწილებაში?

• როგორ დაგეხმარებათ ინტეგრალი შვებულებისთვის ფულის დაზოგვაში.

სამიზნე

დაგეგმეთ ოჯახის ხარჯები ინტეგრალური გაანგარიშების გამოყენებით

Დავალებები

• გაეცანით ინტეგრალის გეომეტრიულ მნიშვნელობას.
• განვიხილოთ ცხოვრების სოციალურ და ეკონომიკურ სფეროებში ინტეგრაციის მეთოდები.
• ინტეგრალის გამოყენებით ბინის შეკეთებისას გააკეთეთ ოჯახის მატერიალური ხარჯების პროგნოზი.
• გამოთვალეთ ოჯახის ენერგიის მოხმარების მოცულობა ერთი წლის განმავლობაში, ინტეგრალური გაანგარიშების გათვალისწინებით.
• გამოთვალეთ შემნახველი ანაბრის ოდენობა სბერბანკში შვებულებისთვის.

ჰიპოთეზა

ინტეგრალური კალკულუსი ეხმარება ეკონომიკურ გამოთვლებში ოჯახის შემოსავლებისა და ხარჯების დაგეგმვისას.

კვლევის ეტაპები

• ჩვენ შევისწავლეთ ინტეგრალის გეომეტრიული მნიშვნელობა და ინტეგრაციის მეთოდები ცხოვრების სოციალურ და ეკონომიკურ სფეროებში.
• ჩვენ გამოვთვალეთ ბინის რემონტისთვის საჭირო მატერიალური ხარჯები ინტეგრალის გამოყენებით.
• გამოვთვალეთ ბინაში მოხმარებული ელექტროენერგიის მოცულობა და ელექტროენერგიის ღირებულება ოჯახისთვის ერთი წლის განმავლობაში.
• ჩვენ განვიხილეთ ოჯახის შემოსავლის შეგროვების ერთ-ერთი ვარიანტი სბერბანკში დეპოზიტების საშუალებით ინტეგრალის გამოყენებით.

კვლევის ობიექტი

ინტეგრალური გაანგარიშება ცხოვრების სოციალურ და ეკონომიკურ სფეროებში.

მეთოდები

• ლიტერატურის ანალიზი თემაზე: „ინტეგრალური კალკულუსის პრაქტიკული გამოყენება“
• ინტეგრაციის მეთოდების შესწავლა ამოცანების გადაჭრისას ფიგურების ფართობისა და მოცულობის გამოთვლაში ინტეგრალის გამოყენებით.
• ოჯახის ხარჯებისა და შემოსავლების ანალიზი ინტეგრალური გაანგარიშების გამოყენებით.

სამუშაო პროცესი

• ლიტერატურის მიმოხილვა თემაზე „ინტეგრალური კალკულუსის პრაქტიკული გამოყენება“
• ამოცანების სისტემის ამოხსნა ინტეგრალის გამოყენებით ფიგურების ფართობისა და მოცულობის გამოსათვლელად.
• ოჯახის ხარჯებისა და შემოსავლების გაანგარიშება ინტეგრალური გაანგარიშების გამოყენებით: ოთახის რემონტი, ელექტროენერგიის მოცულობა, დეპოზიტები სბერბანკში დასასვენებლად.

ჩვენი შედეგები

როგორ ეხმარება ინტეგრალი და მოცულობის გამოთვლა ინტეგრალის დახმარებით ელექტროენერგიის მოხმარების მოცულობის პროგნოზირებაში?

დასკვნები

• ბინის რემონტისთვის საჭირო სახსრების ეკონომიკური გაანგარიშება შეიძლება შესრულდეს უფრო სწრაფად და ზუსტად ინტეგრალური გაანგარიშების გამოყენებით.

• უფრო ადვილი და სწრაფია ოჯახის ელექტროენერგიის მოხმარების გამოთვლა ინტეგრალური გაანგარიშებით და Microsoft Office Excel-ით, რაც გულისხმობს ოჯახის ელექტროენერგიის ხარჯების პროგნოზირებას ერთი წლის განმავლობაში.

• სბერბანკში დეპოზიტების მოგება შეიძლება გამოითვალოს ინტეგრალური გაანგარიშების გამოყენებით, რაც გულისხმობს ოჯახური შვებულების დაგეგმვას.

რესურსების სია

ნაბეჭდი გამოცემები:

• სახელმძღვანელო. ალგებრა და ანალიზის დასაწყისი 10-11 კლასი. ა.გ. მორდკოვიჩი. მნემოსინე. M: 2007 წ
• სახელმძღვანელო. ალგებრა და ანალიზის დასაწყისი 10-11 კლასი. ა.კოლმოგოროვის განმანათლებლობა. M: 2007 წ
• მათემატიკა სოციოლოგებისა და ეკონომისტებისთვის. ახტიამოვი ა.მ. M.: FIZMATLIT, 2004. - 464გვ.
• ინტეგრალური გამოთვლა უმაღლესი მათემატიკის სახელმძღვანელო M. Ya. Vygodsky, განმანათლებლობა, 2000 წ.

გაკვეთილის დევიზი: ”მათემატიკა არის ენა, რომელზეც ყველა ზუსტი მეცნიერება საუბრობს” ნ.ი. ლობაჩევსკი

გაკვეთილის მიზანი: მოსწავლეთა ცოდნის განზოგადება თემაზე „ინტეგრალი“, „ინტეგრალის გამოყენება“ მათი ჰორიზონტის გაფართოება, ინტეგრალის შესაძლო გამოყენების შესახებ ცოდნა სხვადასხვა სიდიდის გამოთვლაში; ინტეგრალის გამოყენების უნარ-ჩვევების კონსოლიდაცია გამოყენებული პრობლემების გადასაჭრელად; მათემატიკის მიმართ შემეცნებითი ინტერესის გაღვივება, კომუნიკაციის კულტურისა და მათემატიკური მეტყველების კულტურის განვითარება; შეძლოს მოსწავლეებთან და მასწავლებლებთან საუბარი.

გაკვეთილის ტიპი: განმეორებადი-განმაზოგადებელი.

გაკვეთილის ტიპი: გაკვეთილი - პროექტის „ინტეგრალის გამოყენება“ დაცვა.

აღჭურვილობა: მაგნიტური დაფა, პლაკატები "ინტეგრალის აპლიკაცია", ბარათები ფორმულებით და ამოცანები დამოუკიდებელი მუშაობისთვის.

Გაკვეთილის გეგმა:

1. პროექტის დაცვა:

1. ინტეგრალური კალკულუსის ისტორიიდან;
2. განუყოფელი თვისებები;
3. ინტეგრალის გამოყენება მათემატიკაში;
4. ინტეგრალის გამოყენება ფიზიკაში;

2. სავარჯიშოების ამოხსნა.

გაკვეთილების დროს

მასწავლებელი: მძლავრი კვლევის ინსტრუმენტი მათემატიკაში, ფიზიკაში, მექანიკაში და სხვა დისციპლინებში არის განსაზღვრული ინტეგრალი - მათემატიკური ანალიზის ერთ-ერთი ძირითადი ცნება. ინტეგრალის გეომეტრიული მნიშვნელობა არის მრუდი ტრაპეციის ფართობი. ინტეგრალის ფიზიკური მნიშვნელობა არის 1) სიმკვრივის მქონე არაერთგვაროვანი ღეროს მასა, 2) სწორხაზოვნად მოძრავი წერტილის გადაადგილება გარკვეული დროის განმავლობაში.

მასწავლებელი: ჩვენი კლასის ბიჭებმა შესანიშნავი სამუშაო გააკეთეს, მათ შეარჩიეს დავალებები, სადაც გამოიყენება გარკვეული ინტეგრალი. მათ აქვთ სიტყვა.

2 მოსწავლე: ინტეგრალის თვისებები

3 მოსწავლე: ინტეგრალის გამოყენება (ცხრილი მაგნიტურ დაფაზე).

4 სტუდენტი: ჩვენ განვიხილავთ ინტეგრალის გამოყენებას მათემატიკაში ფიგურების ფართობის გამოსათვლელად.

ნებისმიერი სიბრტყის ფიგურის ფართობი, განხილული მართკუთხა კოორდინატულ სისტემაში, შეიძლება შედგებოდეს ღერძის მიმდებარე მრუდი ტრაპეციის უბნებისგან. ოჰდა ცულები OU.მრუდი ტრაპეციის არე, რომელიც შემოსაზღვრულია მრუდით y = f(x),ღერძი ოჰდა ორი სწორი x=aდა x=b,სადაც a x b, f(x) 0გამოითვლება ფორმულით სმ. ბრინჯი.თუ მრუდი ტრაპეცია არის ღერძის მიმდებარედ OU, მაშინ მისი ფართობი გამოითვლება ფორმულით , სმ. ბრინჯი.ფიგურების ფართობების გამოთვლისას შეიძლება წარმოიშვას შემდეგი შემთხვევები: ა) ფიგურა მდებარეობს Ox ღერძის ზემოთ და შემოიფარგლება Ox ღერძით, მრუდით y \u003d f (x) და ორი სწორი ხაზით x \u003d a და x. \u003d ბ. (იხ. ბრინჯი.) ამ ფიგურის ფართობი ნაპოვნია ფორმულით 1 ან 2. ბ) ფიგურა მდებარეობს Ox ღერძის ქვეშ და შემოიფარგლება Ox ღერძით, მრუდით y \u003d f (x) და ორი სწორი ხაზით. x \u003d a და x \u003d b (იხ. ბრინჯი.). ფართობი გვხვდება ფორმულით . გ) ფიგურა მდებარეობს Ox ღერძის ზემოთ და ქვემოთ და შემოიფარგლება Ox ღერძით, მრუდით y \u003d f (x) და ორი სწორი ხაზით x \u003d a და x \u003d b ( ბრინჯი.). დ) ფართობი შემოსაზღვრულია ორი გადამკვეთი მრუდით y \u003d f (x) და y \u003d (x) ( ბრინჯი.)

5 მოსწავლე: ამოხსენით პრობლემა

x-2y+4=0 და x+y-5+0 და y=0

7 სტუდენტი: ინტეგრალი, რომელიც ფართოდ გამოიყენება ფიზიკაში. სიტყვა ფიზიკოსებს.

1. პუნქტით გავლილი ბილიკის გამოთვლა

წერტილის მიერ გავლილი გზა სწორი ხაზით არაერთგვაროვანი მოძრაობის დროს ცვლადი სიჩქარით დროის ინტერვალით მდე გამოითვლება ფორმულით.

მაგალითები:

1. წერტილი მოძრაობის სიჩქარე ქალბატონი. იპოვეთ წერტილის მიერ გავლილი გზა 4 წამში.

გამოსავალი: მდგომარეობის მიხედვით, . აქედან გამომდინარე,

2. ორმა სხეულმა ერთდროულად დაიწყო მოძრაობა ერთი და იგივე წერტილიდან სწორი ხაზით. პირველი სხეული მოძრაობს სიჩქარით მ/წმ, მეორე - სიჩქარით v = (4ტ+5)ქალბატონი. რა მანძილზე იქნება ისინი ერთმანეთისგან 5 წამის შემდეგ?

ამოხსნა: აშკარაა, რომ სასურველი მნიშვნელობა არის განსხვავება პირველი და მეორე სხეულების მიერ 5 წამში გავლილ მანძილებს შორის:

3. სხეული დედამიწის ზედაპირიდან ვერტიკალურად ზევით ისვრის u = (39,2-9,8^) მ/წმ სიჩქარით. იპოვნეთ სხეულის მაქსიმალური სიმაღლე.

ამოხსნა: სხეული მიაღწევს აწევის უმაღლეს სიმაღლეს t დროს, როდესაც v = 0, ე.ი. 39.2- 9.8t = 0, საიდანაც მე= 4 წმ. ფორმულით (1) ვხვდებით

2. სამუშაო ძალის გაანგარიშება

ცვლადი ძალის f(x) მიერ შესრულებული სამუშაო ღერძის გასწვრივ მოძრაობისას ოჰმატერიალური წერტილი x =-დან აადრე x=b,გვხვდება ფორმულის მიხედვით ძალის მუშაობის გამოთვლის პრობლემების გადაჭრისას ხშირად გამოიყენება G y k a კანონი: F=kx, (3)სადაც ფ - ძალა N; X-ზამბარის აბსოლუტური დრეკადობა, m, გამოწვეული ძალით ფ, ა კ- პროპორციულობის კოეფიციენტი, ნ/მ.

მაგალითი:

1. მოსვენებულ ზამბარას აქვს სიგრძე 0,2 მ, 50 ნ ძალა აჭიმავს ზამბარას 0,01 მ-ით, რა სამუშაო უნდა ჩატარდეს მის გასაჭიმად 0,22-დან 0,32 მ-მდე?

ამოხსნა: ტოლობის (3) გამოყენებით გვაქვს 50=0,01k, ანუ kK = 5000 ნ/მ. ჩვენ ვპოულობთ ინტეგრაციის საზღვრებს: a = 0.22 - 0.2 = 0.02 (მ), b=0.32- 0.2 = 0.12 (მ). ახლა, ფორმულის მიხედვით (2), ვიღებთ

3. ტვირთის აწევისას შესრულებული სამუშაოს გამოთვლა

დავალება. ცილინდრული ავზი, რომლის ბაზის რადიუსია 0,5 მ და სიმაღლე 2 მ, ივსება წყლით. გამოთვალეთ სამუშაო, რომელიც უნდა გაკეთდეს ავზიდან წყლის ამოტუმბვისთვის.

გამოსავალი: აირჩიეთ ჰორიზონტალური ფენა x სიღრმეზე სიმაღლით dx ( ბრინჯი.). სამუშაო A, რომელიც უნდა შესრულდეს P მასის წყლის ფენის x სიმაღლეზე ასამაღლებლად, უდრის Px-ს.

x სიღრმის ცვლილება მცირე რაოდენობით dx გამოიწვევს V მოცულობის ცვლილებას dV =-ით pr 2 dx და წონის ცვლილება Р * dР = 9807 r 2 dх; ამ შემთხვევაში შესრულებული სამუშაო A შეიცვლება dА=9807пr 2 xdх მნიშვნელობით. ამ ტოლობის ინტეგრირება, როგორც x იცვლება 0-დან H-მდე, მივიღებთ

4. სითხის წნევის ძალის გამოთვლა

სიძლიერის მნიშვნელობა რთხევადი წნევა ჰორიზონტალურ პლატფორმაზე დამოკიდებულია ჩაძირვის სიღრმეზე Xეს საიტი, ანუ ადგილის მანძილიდან სითხის ზედაპირამდე.

წნევის ძალა (N) ჰორიზონტალურ პლატფორმაზე გამოითვლება ფორმულით P = 9807Sx,

სადაც - სითხის სიმკვრივე, კგ/მ 3; S - საიტის ფართობი, მ 2; X -პლატფორმის ჩაძირვის სიღრმე, მ

თუ სითხის წნევის ქვეშ მყოფი უბანი არ არის ჰორიზონტალური, მაშინ მასზე ზეწოლა განსხვავებულია სხვადასხვა სიღრმეზე, შესაბამისად, არესზე წნევის ძალა არის მისი ჩაძირვის სიღრმის ფუნქცია. P(x).

5. რკალის სიგრძე

მოდით ბრტყელი მრუდი AB(ბრინჯი.)მოცემული განტოლებით y \u003d f (x) (axბ)და f(x)და ვ ?(x)უწყვეტი ფუნქციებია [а,b] ინტერვალში. შემდეგ დიფერენციალი დლრკალის სიგრძე ABგამოიხატება ფორმულით ან , და რკალის სიგრძე ABგამოითვლება ფორმულით (4)

სადაც a და b არის დამოუკიდებელი ცვლადის მნიშვნელობები X A და B წერტილებზე თუ მრუდი მოცემულია განტოლებით x =(y) (y-თან ერთადდ)მაშინ AB რკალის სიგრძე გამოითვლება ფორმულით (5) სად თანდა დდამოუკიდებელი ცვლადი მნიშვნელობები ზეწერტილებში მაგრამდა ვ.

6. მასის ცენტრი

მასის ცენტრის პოვნისას გამოიყენება შემდეგი წესები:

1) x კოორდინატი ? მატერიალური წერტილების სისტემის მასის ცენტრი А 1 , А 2 ,..., А n მასებით m 1 , m 2 , ..., m n მდებარე სწორ ხაზზე x 1 , x 2 კოორდინატების მქონე წერტილებში, ..., x n , გვხვდება ფორმულით

(*); 2) მასის ცენტრის კოორდინატის გამოთვლისას, ფიგურის ნებისმიერი ნაწილი შეიძლება შეიცვალოს მატერიალური წერტილით, მოათავსოთ იგი ამ ნაწილის მასის ცენტრში და მივანიჭოთ მას განხილული ნაწილის მასის ტოლი. ფიგურის. მაგალითი. მოდით Ox ღერძის ღერო-სეგმენტის გასწვრივ [a;b] - მასა განაწილებულია სიმკვრივით (x), სადაც (x) არის უწყვეტი ფუნქცია. მოდით ვაჩვენოთ ეს ა) ღეროს ჯამური მასა M უდრის; ბ) x მასის ცენტრის კოორდინატი " უდრის .

გავყოთ სეგმენტი [a; b] n ტოლ ნაწილად a= x 0 წერტილებით< х 1 < х 2 < ... <х n = b (ბრინჯი.). თითოეულ ამ n სეგმენტზე სიმკვრივე შეიძლება ჩაითვალოს მუდმივი დიდი n-სთვის და დაახლოებით ტოლი (x k - 1) k-ე სეგმენტზე ((x-ის უწყვეტობის გამო). შემდეგ k-ე სეგმენტის მასა. დაახლოებით უდრის და მთელი ჯოხის მასა არის

ინტეგრალის კონცეფცია ფართოდ გამოიყენება ცხოვრებაში. ინტეგრალები გამოიყენება მეცნიერებისა და ტექნოლოგიების სხვადასხვა დარგში. ინტეგრალის გამოყენებით გამოთვლილი ძირითადი ამოცანები არის ამოცანები:

1. სხეულის მოცულობის პოვნა

2. სხეულის მასის ცენტრის პოვნა.

მოდით განვიხილოთ თითოეული მათგანი უფრო დეტალურად. აქ და ქვემოთ, ზოგიერთი f(x) ფუნქციის განსაზღვრული ინტეგრალის აღსანიშნავად, ინტეგრაციის ლიმიტებით a-დან b-მდე, გამოვიყენებთ შემდეგ აღნიშვნას. ∫ a b f(x).

სხეულის მოცულობის პოვნა

განვიხილოთ შემდეგი ფიგურა. დავუშვათ, არის სხეული, რომლის მოცულობა უდრის V-ს. ასევე არსებობს სწორი ხაზი, რომ თუ ავიღებთ გარკვეულ სიბრტყეს ამ სწორი ხაზის პერპენდიკულარულად, ცნობილი გახდება ამ სხეულის განივი კვეთის ფართობი S ამ სიბრტყით.

თითოეული ასეთი სიბრტყე იქნება x-ღერძის პერპენდიკულარული და, შესაბამისად, გადაიკვეთება მას x-ის რაღაც წერტილში. ანუ, სეგმენტიდან თითოეულ x წერტილს მიენიჭება ნომერი S (x) - სხეულის განივი ფართობი, სიბრტყე, რომელიც გადის ამ წერტილში.

გამოდის, რომ გარკვეული ფუნქცია S(x) მიეცემა სეგმენტზე. თუ ეს ფუნქცია უწყვეტია ამ სეგმენტზე, მაშინ მოქმედი იქნება შემდეგი ფორმულა:

V = ∫ a b S(x)dx.

ამ განცხადების დადასტურება სცილდება სასკოლო სასწავლო გეგმის ფარგლებს.

სხეულის მასის ცენტრის გამოთვლა

მასის ცენტრი ყველაზე ხშირად გამოიყენება ფიზიკაში. მაგალითად, არის სხეული, რომელიც მოძრაობს ნებისმიერი სიჩქარით. მაგრამ არასასიამოვნოა დიდი სხეულის განხილვა და, შესაბამისად, ფიზიკაში ეს სხეული განიხილება, როგორც წერტილის მოძრაობა, იმ ვარაუდით, რომ ამ წერტილს აქვს იგივე მასა, რაც მთელ სხეულს.

და ამ საკითხში მთავარია სხეულის მასის ცენტრის გამოთვლის ამოცანა. რადგან სხეული დიდია და რომელი წერტილი უნდა მივიღოთ მასის ცენტრად? იქნებ სხეულის შუაში? ან იქნებ უახლოესი წერტილი წინა ზღვართან? სწორედ აქ მოდის ინტეგრაცია.

შემდეგი ორი წესი გამოიყენება მასის ცენტრის მოსაძებნად:

1. მატერიალური წერტილების ზოგიერთი სისტემის მასის ცენტრის x' კოორდინატი A1, A2,A3, … An მასებით m1, m2, m3, … mn, შესაბამისად, მდებარეობს სწორ ხაზზე x1, x2 კოორდინატების მქონე წერტილებში, x3, … xn გვხვდება შემდეგი ფორმულით:

x' = (m1*x1 + ma*x2 + … + mn*xn)/(m1 + m2 + m3 +… + mn)

2. მასის ცენტრის კოორდინატების გამოთვლისას განსახილველი ფიგურის ნებისმიერი ნაწილი შეიძლება შეიცვალოს მატერიალური წერტილით, ფიგურის ამ ცალკეული ნაწილის მასის ცენტრში მოთავსებისას და მასა თანაბარი იყოს. ფიგურის ამ ნაწილის მასამდე.

მაგალითად, თუ p(x) სიმკვრივის მასა განაწილებულია ღეროზე - Ox ღერძის სეგმენტი, სადაც p(x) უწყვეტი ფუნქციაა, მაშინ x' მასის ცენტრის კოორდინატი ტოლი იქნება.