პირველი რიგის ჰომოგენური დიფერენციალური განტოლება არის ფორმის განტოლება
, სადაც f არის ფუნქცია.

როგორ განვსაზღვროთ ერთგვაროვანი დიფერენციალური განტოლება

იმისათვის, რომ დავადგინოთ არის თუ არა პირველი რიგის დიფერენციალური განტოლება ერთგვაროვანი, უნდა შემოვიტანოთ t მუდმივი და შევცვალოთ y ty-ით და x tx-ით: y → ty, x → tx. თუ t მცირდება, მაშინ ეს ერთგვაროვანი დიფერენციალური განტოლება. წარმოებული y′ არ იცვლება ასეთი ტრანსფორმაციის დროს.
.

მაგალითი

დაადგინეთ, არის თუ არა მოცემული განტოლება ერთგვაროვანი

გადაწყვეტილება

ვაკეთებთ ცვლილებას y → ty , x → tx .


გაყავით ტ 2 .

.
განტოლება არ შეიცავს ტ . აქედან გამომდინარე, ეს არის ერთგვაროვანი განტოლება.

ერთგვაროვანი დიფერენციალური განტოლების ამოხსნის მეთოდი

ჰომოგენური პირველი რიგის დიფერენციალური განტოლება მცირდება განტოლებამდე განცალკევებული ცვლადებით y = ux ჩანაცვლების გამოყენებით. ვაჩვენოთ. განვიხილოთ განტოლება:
(მე)
ჩვენ ვაკეთებთ ჩანაცვლებას:
y=ux
სადაც u არის x-ის ფუნქცია. დიფერენცირება x-ის მიმართ:
y' =
ჩვენ ვცვლით თავდაპირველ განტოლებას (მე).
,
,
(ii) .
ცალკე ცვლადები. გავამრავლოთ dx-ზე და გავყოთ x-ზე ( f(u) - u ).

ვ (u) - u ≠ 0და x ≠ 0 ჩვენ ვიღებთ:

ჩვენ ვაერთიანებთ:

ამრიგად, ჩვენ მივიღეთ განტოლების ზოგადი ინტეგრალი (მე)კვადრატებში:

ჩვენ ვცვლით ინტეგრაციის მუდმივას C-ით ჟურნალი C, მაშინ

ჩვენ გამოვტოვებთ მოდულის ნიშანს, ვინაიდან სასურველი ნიშანი განისაზღვრება C მუდმივის ნიშნის არჩევით. შემდეგ ზოგადი ინტეგრალი მიიღებს ფორმას:

შემდეგი, განიხილეთ საქმე ვ (u) - u = 0.
თუ ამ განტოლებას აქვს ფესვები, მაშინ ისინი განტოლების ამონახსნია (ii). განტოლებიდან გამომდინარე (ii)არ ემთხვევა თავდაპირველ განტოლებას, მაშინ უნდა დარწმუნდეთ, რომ დამატებითი ამონახსნები დააკმაყოფილებს თავდაპირველ განტოლებას (მე).

როდესაც გარდაქმნების პროცესში რომელიმე განტოლებას ვყოფთ რაიმე ფუნქციაზე, რომელსაც აღვნიშნავთ როგორც g. (x, y), მაშინ შემდგომი გარდაქმნები მოქმედებს გ (x, y) ≠ 0. აქედან გამომდინარე, საქმე გ (x, y) = 0.

პირველი რიგის ერთგვაროვანი დიფერენციალური განტოლების ამოხსნის მაგალითი

განტოლების ამოხსნა

გადაწყვეტილება

მოდით შევამოწმოთ არის თუ არა ეს განტოლება ერთგვაროვანი. ვაკეთებთ ცვლილებას y → ty , x → tx . ამ შემთხვევაში, y′ → y′.
,
,
.
ვამცირებთ თ.

მუდმივი t შემცირდა. მაშასადამე, განტოლება ერთგვაროვანია.

ვაკეთებთ ჩანაცვლებას y = ux, სადაც u არის x-ის ფუნქცია.
y' = (ux) ′ = u′ x + u (x) ′ = u′ x + u
ჩანაცვლება თავდაპირველ განტოლებაში.
,
,
,
.
x ≥-ისთვის 0 , |x| =x. x ≤-ისთვის 0 , |x| = - x. ვწერთ |x| = x ნიშნავს, რომ ზედა ნიშანი ეხება x ≥ მნიშვნელობებს 0 და ქვედა - x ≤ მნიშვნელობებამდე 0 .
,
გავამრავლოთ dx-ზე და გავყოთ .

Შენთვის 2 - 1 ≠ 0 ჩვენ გვაქვს:

ჩვენ ვაერთიანებთ:

მაგიდის ინტეგრალები,
.

მოდით გამოვიყენოთ ფორმულა:
(a + b)(a - b) = a 2 - b 2.
მოდით a = u, .
.
აიღეთ ორივე ნაწილი მოდულო და ლოგარითმი,
.
აქედან
.

ამრიგად, ჩვენ გვაქვს:
,
.
ჩვენ გამოვტოვებთ მოდულის ნიშანს, ვინაიდან საჭირო ნიშანი უზრუნველყოფილია C მუდმივის ნიშნის არჩევით.

გაამრავლეთ x-ზე და ჩაანაცვლეთ ux = y.
,
.
მოდით კვადრატში.
,
,
.

ახლა განიხილეთ საქმე, u 2 - 1 = 0 .
ამ განტოლების ფესვები
.
ადვილი მისახვედრია, რომ ფუნქციები y = x აკმაყოფილებს თავდაპირველ განტოლებას.

უპასუხე

,
,
.

ცნობები:
ნ.მ. გიუნტერი, რ.ო. კუზმინი, პრობლემების კრებული უმაღლეს მათემატიკაში, ლან, 2003 წ.

გაჩერდი! მოდით, ერთი და იგივე შევეცადოთ გავიგოთ ეს უხერხული ფორმულა.

პირველ რიგში უნდა იყოს ხარისხის პირველი ცვლადი გარკვეული კოეფიციენტით. ჩვენს შემთხვევაში ეს

ჩვენს შემთხვევაში ასეა. როგორც გავარკვიეთ, ეს ნიშნავს, რომ აქ პირველი ცვლადის ხარისხი ერთმანეთს ემთხვევა. და მეორე ცვლადი პირველი ხარისხის ადგილზეა. კოეფიციენტი.

ჩვენ გვაქვს.

პირველი ცვლადი არის ექსპონენციალური, ხოლო მეორე ცვლადი არის კვადრატში, კოეფიციენტით. ეს არის ბოლო წევრი განტოლებაში.

როგორც ხედავთ, ჩვენი განტოლება შეესაბამება განმარტებას ფორმულის სახით.

მოდით შევხედოთ განმარტების მეორე (სიტყვიერ) ნაწილს.

ჩვენ გვაქვს ორი უცნობი და. აქ იყრის თავს.

განვიხილოთ ყველა ტერმინი. მათში უცნობის ხარისხების ჯამი იგივე უნდა იყოს.

ძალაუფლების ჯამი ტოლია.

ძალაუფლების ჯამი უდრის (at და at).

ძალაუფლების ჯამი ტოლია.

როგორც ხედავთ, ყველაფერი ჯდება!

ახლა მოდით ვივარჯიშოთ ერთგვაროვანი განტოლებების განსაზღვრაში.

დაადგინეთ, რომელი განტოლებებია ერთგვაროვანი:

ჰომოგენური განტოლებები - განტოლებები რიცხვებით:

განვიხილოთ განტოლება ცალკე.

თუ თითოეულ ტერმინს გავყოფთ თითოეული ტერმინის გაფართოებით, მივიღებთ

და ეს განტოლება მთლიანად ექვემდებარება ერთგვაროვანი განტოლებების განმარტებას.

როგორ ამოხსნათ ერთგვაროვანი განტოლებები?

მაგალითი 2

მოდით გავყოთ განტოლება.

ჩვენი მდგომარეობის მიხედვით, y არ შეიძლება იყოს ტოლი. აქედან გამომდინარე, ჩვენ შეგვიძლია უსაფრთხოდ გავყოთ

ჩანაცვლებით მივიღებთ მარტივ კვადრატულ განტოლებას:

ვინაიდან ეს არის შემცირებული კვადრატული განტოლება, ჩვენ ვიყენებთ ვიეტას თეორემას:

საპირისპირო ჩანაცვლებით ვიღებთ პასუხს

პასუხი:

მაგალითი 3

გაყავით განტოლება (პირობით).

პასუხი:

მაგალითი 4

იპოვე თუ.

აქ საჭიროა არა გაყოფა, არამედ გამრავლება. გაამრავლეთ მთელი განტოლება:

მოდით გავაკეთოთ ჩანაცვლება და ამოხსნათ კვადრატული განტოლება:

საპირისპირო ჩანაცვლებისას ვიღებთ პასუხს:

პასუხი:

ერთგვაროვანი ტრიგონომეტრიული განტოლებების ამოხსნა.

ერთგვაროვანი ტრიგონომეტრიული განტოლებების ამოხსნა არაფრით განსხვავდება ზემოთ აღწერილი ამოხსნის მეთოდებისგან. მხოლოდ აქ, სხვა საკითხებთან ერთად, თქვენ უნდა იცოდეთ პატარა ტრიგონომეტრია. და შეძლოთ ტრიგონომეტრიული განტოლებების ამოხსნა (ამისთვის შეგიძლიათ წაიკითხოთ განყოფილება).

განვიხილოთ ასეთი განტოლებები მაგალითებზე.

მაგალითი 5

ამოხსენით განტოლება.

ჩვენ ვხედავთ ტიპურ ერთგვაროვან განტოლებას: და არის უცნობი, და მათი ძალების ჯამი თითოეულ წევრში ტოლია.

მსგავსი ერთგვაროვანი განტოლებები არ არის რთული ამოსახსნელი, მაგრამ განტოლებების დაყოფამდე განიხილეთ შემთხვევა, როდესაც

ამ შემთხვევაში, განტოლება მიიღებს ფორმას: მაგრამ სინუსი და კოსინუსი ერთდროულად არ შეიძლება იყოს ტოლი, რადგან ძირითადი ტრიგონომეტრიული იდენტობის მიხედვით. ამრიგად, ჩვენ შეგვიძლია უსაფრთხოდ დავყოთ იგი:

ვინაიდან განტოლება შემცირებულია, ვიეტას თეორემის მიხედვით:

პასუხი:

მაგალითი 6

ამოხსენით განტოლება.

როგორც მაგალითში, თქვენ უნდა გაყოთ განტოლება. განვიხილოთ შემთხვევა, როდესაც:

მაგრამ სინუსი და კოსინუსი ერთდროულად არ შეიძლება იყოს ტოლი, რადგან ძირითადი ტრიგონომეტრიული იდენტობის მიხედვით. Ისე.

მოდით გავაკეთოთ ჩანაცვლება და ამოვხსნათ კვადრატული განტოლება:

მოდით გავაკეთოთ საპირისპირო ჩანაცვლება და ვიპოვოთ და:

პასუხი:

ერთგვაროვანი ექსპონენციალური განტოლებების ამოხსნა.

ჰომოგენური განტოლებები წყდება ისევე, როგორც ზემოთ განხილული. თუ დაგავიწყდათ როგორ ამოხსნათ ექსპონენციალური განტოლებები - გადახედეთ შესაბამის განყოფილებას ()!

მოდით შევხედოთ რამდენიმე მაგალითს.

მაგალითი 7

ამოხსენით განტოლება

წარმოიდგინეთ როგორ:

ჩვენ ვხედავთ ტიპურ ერთგვაროვან განტოლებას, ორი ცვლადით და ძალაუფლების ჯამით. მოდით გავყოთ განტოლება:

როგორც ხედავთ, ჩანაცვლების გაკეთების შემდეგ ვიღებთ შემცირებულ კვადრატულ განტოლებას (ამ შემთხვევაში ნულზე გაყოფის არ არის საჭირო - ის ყოველთვის მკაცრად აღემატება ნულს):

ვიეტას თეორემის მიხედვით:

პასუხი: .

მაგალითი 8

ამოხსენით განტოლება

წარმოიდგინეთ როგორ:

მოდით გავყოთ განტოლება:

მოდით გავაკეთოთ ჩანაცვლება და ამოხსნათ კვადრატული განტოლება:

ფესვი არ აკმაყოფილებს პირობას. ვაკეთებთ საპირისპირო ჩანაცვლებას და ვპოულობთ:

პასუხი:

ჰომოგენური განტოლებები. შუა დონე

პირველ რიგში, ერთი პრობლემის მაგალითის გამოყენებით, შეგახსენებთ რა არის ერთგვაროვანი განტოლებები და რა არის ერთგვაროვანი განტოლებების ამონახსნი.

Პრობლემის გადაჭრა:

იპოვე თუ.

აქ შეგიძლიათ შეამჩნიოთ საინტერესო რამ: თუ თითოეულ ტერმინს გავყოფთ, მივიღებთ:

ანუ, ახლა არ არის ცალკე და, - ახლა სასურველი მნიშვნელობა არის ცვლადი განტოლებაში. და ეს არის ჩვეულებრივი კვადრატული განტოლება, რომლის ამოხსნაც ადვილია ვიეტას თეორემის გამოყენებით: ფესვების ნამრავლი ტოლია, ჯამი კი არის რიცხვები და.

პასუხი:

ფორმის განტოლებები

ერთგვაროვანი ეწოდება. ანუ ეს არის განტოლება ორი უცნობით, რომელთა თითოეულ წევრში არის ამ უცნობის ძალების იგივე ჯამი. მაგალითად, ზემოთ მოცემულ მაგალითში ეს თანხა უდრის. ერთგვაროვანი განტოლებების ამოხსნა ხორციელდება ამ ხარისხით ერთ-ერთ უცნობზე გაყოფით:

და ცვლადების შემდგომი ცვლილება: . ამრიგად, ჩვენ ვიღებთ ხარისხის განტოლებას ერთი უცნობით:

ყველაზე ხშირად, ჩვენ ვხვდებით მეორე ხარისხის (ანუ კვადრატულ) განტოლებებს და შეგვიძლია მათი ამოხსნა:

გაითვალისწინეთ, რომ მთელი განტოლების ცვლადზე გაყოფა (და გამრავლება) შესაძლებელია მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ დავრწმუნდებით, რომ ეს ცვლადი არ შეიძლება იყოს ნულის ტოლი! მაგალითად, თუ ჩვენ გვთხოვენ პოვნას, მაშინვე გვესმის, რადგან შეუძლებელია გაყოფა. იმ შემთხვევებში, როდესაც ეს არც ისე აშკარაა, აუცილებელია ცალკე შემოწმდეს შემთხვევა, როდესაც ეს ცვლადი ნულის ტოლია. Მაგალითად:

ამოხსენით განტოლება.

გადაწყვეტილება:

აქ ჩვენ ვხედავთ ტიპურ ერთგვაროვან განტოლებას: და უცნობია და მათი ძალების ჯამი თითოეულ წევრში ტოლია.

მაგრამ სანამ გავყოფთ და მივიღებთ კვადრატულ განტოლებას, უნდა განვიხილოთ შემთხვევა, როდესაც. ამ შემთხვევაში განტოლება მიიღებს ფორმას: , შესაბამისად, . მაგრამ სინუსი და კოსინუსი ერთდროულად არ შეიძლება იყოს ნულის ტოლი, რადგან ძირითადი ტრიგონომეტრიული იდენტობის მიხედვით:. ამრიგად, ჩვენ შეგვიძლია უსაფრთხოდ დავყოთ იგი:

იმედი მაქვს, რომ ეს გამოსავალი სრულიად ნათელია? თუ არა, წაიკითხეთ განყოფილება. თუ გაურკვეველია, საიდან მოვიდა, თქვენ უნდა დაბრუნდეთ უფრო ადრე - განყოფილებაში.

თავად გადაწყვიტე:

1. იპოვე თუ.
2. იპოვე თუ.
3. ამოხსენით განტოლება.

აქ მოკლედ დავწერ პირდაპირ ერთგვაროვან განტოლებათა ამოხსნას:

გადაწყვეტილებები:

პასუხი:.

და აქ აუცილებელია არა გაყოფა, არამედ გამრავლება:

პასუხი:

თუ ჯერ არ გაგივლიათ ტრიგონომეტრიული განტოლებები, შეგიძლიათ გამოტოვოთ ეს მაგალითი.

ვინაიდან აქ ჩვენ უნდა გავყოთ, პირველ რიგში დავრწმუნდებით, რომ ასი არ არის ნულის ტოლი:

და ეს შეუძლებელია.

პასუხი:.

ჰომოგენური განტოლებები. მოკლედ მთავარის შესახებ

ყველა ერთგვაროვანი განტოლების ამონახსნი მცირდება ცვლადების ხარისხისა და შემდგომი ცვლილების ერთ-ერთ უცნობზე გაყოფამდე.

ალგორითმი:

მზა პასუხები ერთგვაროვანი დიფერენციალური განტოლებების მაგალითებზებევრი სტუდენტი ეძებს პირველ შეკვეთას (1-ლი რიგის DE-ები ყველაზე გავრცელებულია ტრენინგში), შემდეგ შეგიძლიათ დეტალურად გააანალიზოთ ისინი. მაგრამ სანამ მაგალითების განხილვას გააგრძელებთ, გირჩევთ, ყურადღებით წაიკითხოთ მოკლე თეორიული მასალა.
P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0 ფორმის განტოლებები, სადაც ფუნქციები P(x,y) და Q(x,y) ერთი რიგის ერთგვაროვანი ფუნქციებია, ე.წ. ერთგვაროვანი დიფერენციალური განტოლება(ODR).

ერთგვაროვანი დიფერენციალური განტოლების ამოხსნის სქემა

1. ჯერ თქვენ უნდა გამოიყენოთ ჩანაცვლება y=z*x, სადაც z=z(x) არის ახალი უცნობი ფუნქცია (ამგვარად თავდაპირველი განტოლება მცირდება დიფერენციალურ განტოლებამდე გამყოფი ცვლადებით.
2. პროდუქტის წარმოებული არის y"=(z*x)"=z"*x+z*x"=z"*x+z ან დიფერენციალებში dy=d(zx)=z*dx+x*. ძ.
3. შემდეგ, ჩვენ ვცვლით ახალ ფუნქციას y და მის წარმოებულს y "(ან dy)-ში DE გამყოფი ცვლადებით x და z-ის მიმართ.
4. დიფერენციალური განტოლების განცალკევებადი ცვლადებით ამოხსნის შემდეგ გავაკეთებთ საპირისპირო ჩანაცვლებას y=z*x, შესაბამისად z= y/x და მივიღებთ დიფერენციალური განტოლების ზოგადი ამოხსნა (ზოგადი ინტეგრალი)..
5. თუ საწყისი პირობა y(x 0)=y 0 არის მოცემული, მაშინ ვიპოვით კოშის ამოცანის კონკრეტულ ამოხსნას. თეორიულად, ყველაფერი მარტივად ჟღერს, მაგრამ პრაქტიკაში, დიფერენციალური განტოლებების ამოხსნა ყველას არ ესიამოვნება. ამიტომ, ცოდნის გასაღრმავებლად, განიხილეთ საერთო მაგალითები. მარტივ ამოცანებზე ბევრი რამ არ არის სასწავლი, ამიტომ დაუყოვნებლივ გადავალთ უფრო რთულზე.

პირველი რიგის ერთგვაროვანი დიფერენციალური განტოლებების გამოთვლები

მაგალითი 1

ამოხსნა: განტოლების მარჯვენა მხარე გაყავით იმ ცვლადზე, რომელიც წარმოებულთან ახლოს არის ფაქტორი. შედეგად, ჩვენ მივდივართ 0-ის რიგის ჰომოგენური დიფერენციალური განტოლება

და აქ ბევრისთვის საინტერესო გახდა, როგორ განვსაზღვროთ ერთგვაროვანი განტოლების ფუნქციის რიგი?
კითხვა საკმაოდ აქტუალურია და მასზე პასუხი ასეთია:
მარჯვენა მხარეს, ჩვენ ვცვლით მნიშვნელობას t*x, t*y ფუნქციისა და არგუმენტის ნაცვლად. გამარტივებისას პარამეტრი "t" მიიღება გარკვეული ხარისხით k და მას უწოდებენ განტოლების წესრიგს. ჩვენს შემთხვევაში „ტ“ შემცირდება, რაც უდრის მე-0 ხარისხის ან ერთგვაროვანი განტოლების ნულოვანი რიგი.
შემდგომ მარჯვენა მხარეს შეგვიძლია გადავიდეთ ახალ ცვლადზე y=zx; z=y/x.
ამასთან, არ დაგავიწყდეთ „y“-ის წარმოებულის გამოხატვა ახალი ცვლადის წარმოებულის მეშვეობით. ნაწილების წესით ვპოულობთ

განტოლებები დიფერენციალებშიმიიღებს ფორმას

ჩვენ ვამცირებთ ერთობლივ ტერმინებს მარჯვენა და მარცხენა მხარეს და გადავდივართ დიფერენციალური განტოლება გამოყოფილი ცვლადებით.

მოდით გავაერთიანოთ DE-ს ორივე ნაწილი

შემდგომი გარდაქმნების მოხერხებულობისთვის, ჩვენ დაუყოვნებლივ შემოგვაქვს მუდმივი ლოგარითმის ქვეშ

ლოგარითმების თვისებების მიხედვით, მიღებული ლოგარითმული განტოლება უდრის შემდეგს

ეს ჩანაწერი ჯერ არ არის გამოსავალი (პასუხი), თქვენ უნდა დაუბრუნდეთ შესრულებულ ცვლადების ცვლილებას

ასე პოულობენ დიფერენციალური განტოლებების ზოგადი ამოხსნა. თუ ყურადღებით წაიკითხავთ წინა გაკვეთილებს, მაშინ ჩვენ ვთქვით, რომ თქვენ უნდა შეძლოთ გამოყოფილი ცვლადებით განტოლებების გამოთვლის სქემის თავისუფლად გამოყენება და ასეთი განტოლებები უნდა გამოითვალოს დისტანციური მართვის უფრო რთული ტიპებისთვის.

მაგალითი 2 იპოვეთ დიფერენციალური განტოლების ინტეგრალი

გამოსავალი: ერთგვაროვანი და შემაჯამებელი DE-ების გამოთვლის სქემა უკვე თქვენთვის ცნობილია. ცვლადს გადავიტანთ განტოლების მარჯვენა მხარეს, ასევე მრიცხველში და მნიშვნელში ვიღებთ x 2-ს, როგორც საერთო კოეფიციენტს.

ამრიგად, ჩვენ ვიღებთ ერთგვაროვან ნულოვანი რიგის DE-ს.
შემდეგი ნაბიჯი არის z=y/x, y=z*x ცვლადების ცვლილების შემოღება, რომლის დამახსოვრებასაც მუდმივად შეგახსენებთ.

ამის შემდეგ ჩვენ ვწერთ DE-ს დიფერენციალებში

შემდეგი, ჩვენ გარდაქმნის დამოკიდებულებას დიფერენციალური განტოლება გამოყოფილი ცვლადებით

და გადაჭრით მას ინტეგრაციით.

ინტეგრალები მარტივია, დანარჩენი გარდაქმნები ეფუძნება ლოგარითმის თვისებებს. ბოლო მოქმედება გულისხმობს ლოგარითმის გამოვლენას. ბოლოს ვუბრუნდებით თავდაპირველ ჩანაცვლებას და ვწერთ ფორმაში

მუდმივი "C" იღებს ნებისმიერ მნიშვნელობას. ყველა, ვინც დაუსწრებლად სწავლობს, აქვს პრობლემები გამოცდებზე ამ ტიპის განტოლებებით, ამიტომ გთხოვთ ყურადღებით დააკვირდეთ და დაიმახსოვროთ გამოთვლის სქემა.

მაგალითი 3 დიფერენციალური განტოლების ამოხსნა

ამოხსნა: როგორც ზემოთ მოყვანილი ტექნიკიდან გამომდინარეობს, ამ ტიპის დიფერენციალური განტოლებები ხსნის ახალი ცვლადის შემოღებით.მოდით გადავიწეროთ დამოკიდებულება ისე, რომ წარმოებული იყოს ცვლადის გარეშე

გარდა ამისა, მარჯვენა მხარის ანალიზით, ჩვენ ვხედავთ, რომ ნაწილი -ჰერ არის ყველგან და აღინიშნება ახალი უცნობით.
z=y/x, y=z*x.
y-ის წარმოებულის პოვნა

ჩანაცვლების გათვალისწინებით, ჩვენ ხელახლა ვწერთ ორიგინალ DE-ს ფორმაში

გაამარტივეთ იგივე პირობები და შეამცირეთ ყველა მიღებული პირობა DE-მდე გამოყოფილი ცვლადებით

თანასწორობის ორივე მხარის ინტეგრირებით

ამოხსნამდე მივდივართ ლოგარითმების სახით

ჩვენ მიერ დამოკიდებულების გამოვლენით დიფერენციალური განტოლების ზოგადი ამოხსნა

რომელიც მასში ცვლადების საწყისი ცვლილების ჩანაცვლების შემდეგ იღებს ფორმას

აქ C არის მუდმივი, რომელიც შეიძლება გაფართოვდეს კოშის მდგომარეობიდან. თუ კოშის პრობლემა არ არის მოცემული, მაშინ ის ხდება თვითნებური რეალური მნიშვნელობა.
ეს არის მთელი სიბრძნე ერთგვაროვანი დიფერენციალური განტოლებების გაანგარიშებაში.

ფუნქცია f(x,y) ეწოდება ერთგვაროვანი ფუნქციამათი განზომილების არგუმენტები n თუ იდენტურობა f(tx,ty) \equiv t^nf(x,y).

მაგალითად, ფუნქცია f(x,y)=x^2+y^2-xy არის მეორე განზომილების ერთგვაროვანი ფუნქცია, ვინაიდან

F(tx,ty)=(tx)^2+(ty)^2-(tx)(ty)=t^2(x^2+y^2-xy)=t^2f(x,y).

n=0-ისთვის გვაქვს ნულოვანი განზომილების ფუნქცია. Მაგალითად, \frac(x^2-y^2)(x^2+y^2)არის ერთგვაროვანი ნულოვანი განზომილების ფუნქცია, ვინაიდან

(f(tx,ty)=\frac((tx)^2-(ty)^2)((tx)^2+(ty)^2)=\frac(t^2(x^2-y^ 2))(t^2(x^2+y^2))=\frac(x^2-y^2)(x^2+y^2)=f(x,y).)

ფორმის დიფერენციალური განტოლება \frac(dy)(dx)=f(x,y)ამბობენ, რომ ერთგვაროვანია x და y მიმართ, თუ f(x,y) არის მისი ნულოვანი განზომილების არგუმენტების ერთგვაროვანი ფუნქცია. ერთგვაროვანი განტოლება ყოველთვის შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც

\frac(dy)(dx)=\varphi\!\left(\frac(y)(x)\right).

ახალი სასურველი ფუნქციის შემოტანით u=\frac(y)(x) , განტოლება (1) შეიძლება შემცირდეს განტოლებამდე ცვლადების გამოყოფით:

X\frac(du)(dx)=\varphi(u)-u.

თუ u=u_0 არის \varphi(u)-u=0 განტოლების ფესვი, მაშინ ერთგვაროვანი განტოლების ამონახსნი იქნება u=u_0 ან y=u_0x (საწყისზე გამავალი სწორი ხაზი).

კომენტარი.ერთგვაროვანი განტოლებების ამოხსნისას არ არის აუცილებელი მათი შემცირება (1) ფორმამდე. შეგიძლიათ დაუყოვნებლივ გააკეთოთ ჩანაცვლება y=ux .

მაგალითი 1ამოხსენით ერთგვაროვანი განტოლება xy"=\sqrt(x^2-y^2)+y.

გადაწყვეტილება.განტოლებას ვწერთ ფორმაში y"=\sqrt(1-(\მარცხნივ(\frac(y)(x)\მარჯვნივ)\^2}+\frac{y}{x} !}ასე რომ მოცემული განტოლება აღმოჩნდება ერთგვაროვანი x და y მიმართ. დავდოთ u=\frac(y)(x) , ან y=ux . მაშინ y"=xu"+u . გამონათქვამები y და y"-ით ჩანაცვლებით განტოლებაში, მივიღებთ x\frac(du)(dx)=\sqrt(1-u^2). ცვლადების გამიჯვნა: \frac(du)(1-u^2)=\frac(dx)(x). აქედან, ინტეგრაციით, ვპოულობთ

\arcsin(u)=\ln|x|+\ln(C_1)~(C_1>0), ან \arcsin(u)=\ln(C_1|x|).

ვინაიდან C_1|x|=\pm(C_1x) , რომელიც აღნიშნავს \pm(C_1)=C , მივიღებთ \arcsin(u)=\ln(Cx), სად |\ln(Cx)|\leqslant\frac(\pi)(2)ან e^(-\pi/2)\leqslant(Cx)\leqslant(e^(\pi/2)). თუ u შევცვლით \frac(y)(x)-ით, გვექნება ზოგადი ინტეგრალი \arcsin(y)(x)=\ln(Cx).

აქედან გამომდინარეობს ზოგადი ამონახსნი: y=x\sin\ln(Cx) .

ცვლადების გამოყოფისას, განტოლების ორივე მხარე გავყავით x\sqrt(1-u^2) ნამრავლზე, ასე რომ, ჩვენ შეგვიძლია დავკარგოთ ამონახსნი, რომელიც ამ პროდუქტს ნულამდე აქცევს.

ახლა დავდოთ x=0 და \sqrt(1-u^2)=0. მაგრამ x\ne0 ჩანაცვლების გამო u=\frac(y)(x) , და \sqrt(1-u^2)=0 მიმართებიდან ვიღებთ, რომ 1-\frac(y^2)(x^2)=0, საიდანაც y=\pm(x) . პირდაპირი გადამოწმებით ჩვენ დავრწმუნდით, რომ y=-x და y=x ფუნქციები ასევე ამ განტოლების ამონახსნებია.

მაგალითი 2განვიხილოთ ერთგვაროვანი განტოლების C_\alpha ინტეგრალური მრუდების ოჯახი y"=\varphi\!\left(\frac(y)(x)\right). აჩვენეთ, რომ ამ ერთგვაროვანი დიფერენციალური განტოლებით განსაზღვრული მრუდების შესაბამის წერტილებზე ტანგენტები ერთმანეთის პარალელურია.

Შენიშვნა:ჩვენ დავურეკავთ შესაბამისიის წერტილები C_\alpha მოსახვევებზე, რომლებიც ერთსა და იმავე სხივზე დევს საწყისიდან.

გადაწყვეტილება.შესაბამისი პუნქტების განმარტებით გვაქვს \frac(y)(x)=\frac(y_1)(x_1), ასე რომ, თავად განტოლების ძალით, y"=y"_1, სადაც y" და y"_1 არის ტანგენტების ფერდობები ინტეგრალურ მრუდების C_\alpha და C_(\alpha_1) წერტილებზე M და M_1, შესაბამისად (ნახ. 12).

განტოლებები ერთგვაროვანამდე

მაგრამ.განვიხილოთ ფორმის დიფერენციალური განტოლება

\frac(dy)(dx)=f\!\left(\frac(ax+by+c)(a_1x+b_1y+c_1)\მარჯვნივ).

სადაც a,b,c,a_1,b_1,c_1 არის მუდმივები და f(u) არის მისი არგუმენტის u უწყვეტი ფუნქცია.

თუ c=c_1=0, მაშინ განტოლება (3) ერთგვაროვანია და ის ინტეგრირებულია როგორც ზემოთ.

თუ c,c_1 რიცხვებიდან ერთი მაინც განსხვავდება ნულისაგან, მაშინ უნდა გამოიყოს ორი შემთხვევა.

1) განმსაზღვრელი \Delta=\begin(vmatrix)a&b\\a_1&b_1\end(vmatrix)\ne0. ახალი ცვლადების შეყვანა \xi და \eta ფორმულებით x=\xi+h,~y=\eta+k , სადაც h და k ჯერ კიდევ განუსაზღვრელი მუდმივებია, ჩვენ ვიღებთ განტოლებას (3) ფორმაში.

\frac(d\eta)(d\xi)=f\!\left(\frac(a\xi+b\eta+ah+bk+c)(a_1\xi+b_2\eta+a_1h+b_1k+c_1 )\მარჯვნივ).

h და k ხაზოვანი განტოლების სისტემის ამონახსნის არჩევა

\დაწყება(შემთხვევები)ah+bk+c=0,\\a_1h+b_1k+c_1=0\end(cases)~(\Delta\ne0),

ვიღებთ ერთგვაროვან განტოლებას \frac(d\eta)(d\xi)=f\!\left(\frac(a\xi+b\eta)(a_1\xi+b_1\eta)\მარჯვნივ). ვიპოვეთ მისი ზოგადი ინტეგრალი და შევცვლით \xi მასში x-h-ით და \eta y-k-ით, მივიღებთ (3) განტოლების ზოგად ინტეგრალს.

2) განმსაზღვრელი \Delta=\begin(vmatrix)a&b\\a_1&b_1\end(vmatrix)=0. სისტემას (4) არ აქვს გადაწყვეტილებები ზოგად შემთხვევაში და ზემოაღნიშნული მეთოდი არ გამოიყენება; ამ შემთხვევაში \frac(a_1)(a)=\frac(b_1)(b)=\ლამბდადა, შესაბამისად, განტოლებას (3) აქვს ფორმა \frac(dy)(dx)=f\!\left(\frac(ax+by+c)(\lambda(ax+by)+c_1)\მარჯვნივ). ჩანაცვლება z=ax+by მოაქვს მას განცალკევებულ ცვლადის განტოლებამდე.

მაგალითი 3განტოლების ამოხსნა (x+y-2)\,dx+(x-y+4)\,dy=0.

გადაწყვეტილება.განვიხილოთ წრფივი ალგებრული განტოლებების სისტემა \დაწყება(შემთხვევები)x+y-2=0, \\x-y+4=0.\ბოლო(შემთხვევები)

ამ სისტემის განმსაზღვრელი \Delta=\begin(vmatrix)\hfill1&\hfill1\\\hfill1&\hfill-1\end(vmatrix)=-2\ne0.

სისტემას აქვს უნიკალური ამონახსნი x_0=-1,~y_0=3 . ვაკეთებთ ჩანაცვლებას x=\xi-1,~y=\eta+3 . შემდეგ განტოლება (5) იღებს ფორმას

(\xi+\eta)\,d\xi+(\xi-\eta)\,d\eta=0.

ეს განტოლება არის ერთგვაროვანი განტოლება. \eta=u\xi-ის დაყენებით, მივიღებთ

(\xi+\xi(u))\,d\xi+(\xi-\xi(u))(\xi\,du+u\,d\xi)=0, სად (1+2u-u^2)\,d\xi+\xi(1-u)\,du=0.

ცვლადების გამიჯვნა \frac(d\xi)(\xi)+\frac(1-u)(1+2u-u^2)\,du=0.

ინტეგრირება, ჩვენ ვპოულობთ \ln|\xi|+\frac(1)(2)\ln|1+2u-u^2|=\ln(C)ან \xi^2(1+2u-u^2)=C.

დავუბრუნდეთ x,~y ცვლადებს:

(x+1)^2\left=C_1ან x^2+2xy-y^2-4x+8y=C~~(C=C_1+14).

მაგალითი 4განტოლების ამოხსნა (x+y+1)\,dx+(2x+2y-1)\,dy=0.

გადაწყვეტილება.წრფივი ალგებრული განტოლებათა სისტემა \დაწყება(შემთხვევები)x+y+1=0,\\2x+2y-1=0\დასრულება (შემთხვევები)შეუთავსებელი. ამ შემთხვევაში, წინა მაგალითში გამოყენებული მეთოდი არ არის შესაფერისი. განტოლების ინტეგრირებისთვის ვიყენებთ ჩანაცვლებას x+y=z , dy=dz-dx. განტოლება მიიღებს ფორმას

(2-z)\,dx+(2z-1)\,dz=0.

ცვლადების გამოყოფით, ვიღებთ

Dx-\frac(2z-1)(z-2)\,dz=0აქედან გამომდინარე x-2z-3\ln|z-2|=C.

დავუბრუნდეთ x,~y ცვლადებს, ვიღებთ ამ განტოლების ზოგად ინტეგრალს

X+2y+3\ln|x+y-2|=C.

ბ.ზოგჯერ განტოლება შეიძლება შემცირდეს ერთგვაროვანზე ცვლადის y=z^\alpha შეცვლით. ეს ის შემთხვევაა, როდესაც განტოლებაში ყველა ტერმინი ერთი და იგივე განზომილებისაა, თუ x ცვლადს მიენიჭება განზომილება 1, y ცვლადს მიენიჭება განზომილება \alpha, ხოლო წარმოებულს \frac(dy)(dx) - განზომილება \ალფა-1.

მაგალითი 5განტოლების ამოხსნა (x^2y^2-1)\,dy+2xy^3\,dx=0.

გადაწყვეტილება.ჩანაცვლების გაკეთება y=z^\ალფა,~dy=\ალფა(z^(\ალფა-1))\,dz, სადაც \alpha არის თვითნებური რიცხვი ამ დროისთვის, რომელსაც მოგვიანებით ავირჩევთ. y და dy გამონათქვამების ჩანაცვლება განტოლებაში, მივიღებთ

\ალფა(x^2x^(2\ალფა)-1)z^(\ალფა-1)\,dz+2xz^(3\ალფა)\,dx=0ან \ალფა(x^2z^(3\ალფა-1)-z^(\ალფა-1))\,dz+2xz^(3\ალფა)\,dx=0,

გაითვალისწინეთ, რომ x^2z^(3\alpha-1) აქვს განზომილება 2+3\ალფა-1=3\ალფა+1, z^(\alpha-1) აქვს განზომილება \alpha-1, xz^(3\alpha) აქვს განზომილება 1+3\alpha. შედეგად მიღებული განტოლება ერთგვაროვანი იქნება, თუ ყველა ტერმინის გაზომვები ერთნაირია, ე.ი. თუ პირობა დაკმაყოფილებულია 3\ალფა+1=\ალფა-1, ან \alpha-1 .

დავდოთ y=\frac(1)(z) ; ორიგინალური განტოლება იღებს ფორმას

\left(\frac(1)(z^2)-\frac(x^2)(z^4)\right)dz+\frac(2x)(z^3)\,dx=0ან (z^2-x^2)\,dz+2xz\,dx=0.

ახლა დავდოთ z=ux,~dz=u\,dx+x\,du. მაშინ ეს განტოლება მიიღებს ფორმას (u^2-1)(u\,dx+x\,du)+2u\,dx=0, სად u(u^2+1)\,dx+x(u^2-1)\,du=0.

ცვლადების გამოყოფა ამ განტოლებაში \frac(dx)(x)+\frac(u^2-1)(u^3+u)\,du=0. ინტეგრირება, ჩვენ ვპოულობთ

\ln|x|+\ln(u^2+1) -\ln|u|=\ln(C)ან \frac(x(u^2+1))(u)=C.

თუ u შევცვლით \frac(1)(xy)-ით, მივიღებთ ამ განტოლების ზოგად ინტეგრალს 1+x^2y^2=Cy.

განტოლებას ასევე აქვს აშკარა ამონახსნი y=0, რომელიც მიიღება ზოგადი ინტეგრალიდან C\to\infty-ზე, თუ ინტეგრალი დაიწერება როგორც y=\frac(1+x^2y^2)(C)და შემდეგ გადადით ლიმიტზე C\to\infty-ზე. ამრიგად, ფუნქცია y=0 არის თავდაპირველი განტოლების კონკრეტული ამოხსნა.

Javascript გამორთულია თქვენს ბრაუზერში.
გამოთვლების განსახორციელებლად ActiveX კონტროლი უნდა იყოს ჩართული!