სწავლება იძულების გარეშე

(მათემატიკის მომხიბლავი სამყაროს გზამკვლევი)

მათემატიკა უკვე მაშინ უნდა ისწავლოს, რომ ის გონებას წესრიგში აყენებს. (მ.ვ. ლომონოსოვი)

მაშ, როგორ სწავლობ მათემატიკას?

ეს კითხვა ბევრს აინტერესებს.

პირველი ნაბიჯი არის წარსულიდან არსებული ხარვეზების დახურვა. თუ რაიმე თემა გამოგრჩათ (ვერ გაიგეთ, პრინციპში არ ისწავლეთ და ა.შ.) რომელიმე თემა, ადრე თუ გვიან აუცილებლად დააბიჯებთ ამ რაკიზე. კლასიკური შედეგით... ასე მუშაობს მათემატიკა.

ახალ თემას სწავლობთ თუ ძველს ათვალიერებთ, დაეუფლეთ მათემატიკის განმარტებებსა და ტერმინებს! ყურადღება მიაქციე, მე არ ვამბობ - "ისწავლე", არამედ ვამბობ "დაუფლება". ეს სხვადასხვა რამეა. თქვენ უნდა გესმოდეთ, მაგალითად, რა არის მნიშვნელი, დისკრიმინანტი ან არქსინი მარტივ, თუნდაც პრიმიტიულ დონეზე. რა არის ეს, რატომ არის საჭირო და როგორ გავუმკლავდეთ მას. ცხოვრება უფრო ადვილი გახდება.

თუ გკითხავთ, როგორ გამოვიყენოთ მკვრივი შეზღუდული გარემოს გარდამავალი მოწყობილობა, უხერხულად იგრძნობთ პასუხს, არა? და თუ გესმით, რომ სწორედ ეს მოწყობილობა ჩვეულებრივი კარია? სინამდვილეში ეს უფრო სახალისოა.

და, რა თქმა უნდა, თქვენ უნდა გადაწყვიტოთ. თუ არ იცით როგორ გადაწყვიტოთ, დიდი საქმე არ არის. თქვენ უნდა სცადოთ და სცადოთ. ერთხელ ყველამ არ იცოდა როგორ. მაგრამ ვინც ცდილობდა და ცდილობდა, თუმცა არასწორად, შეცდომით, ახლა იცის როგორ მოაგვაროს. და ვინც არ ცდილობდა, არ სწავლობდა - არასოდეს ისწავლა.

აქ მოცემულია პასუხის სამი კომპონენტი კითხვაზე: "როგორ ვასწავლოთ მათემატიკა?" აღმოფხვრა ხარვეზები, დაეუფლე ტერმინებს გასაგებ დონეზე და აზრობრივად გადაწყვიტე ამოცანები.

თუ მათემატიკა რაღაც წესების, ფორმულების, გამონათქვამების ჯუნგლებად მოგეჩვენებათ, რომლებშიც ნავიგაცია შეუძლებელია, მაშინ მე დაგამშვიდებთ. იქ არის ბილიკები და მეგზური ვარსკვლავები! თქვენ დასახლდებით, შეეგუებით და ასევე დაიწყებთ აღფრთოვანებას ამ ველური ბუნებით ...

სასკოლო კურსის მათემატიკა არ ხსნის რთულ მაგალითებს, რადგან არ იცის როგორ. მას კარგად შეუძლია ამოხსნას რაღაც 5x \u003d 10, კვადრატული განტოლება დისკრიმინანტის მეშვეობით და იგივე მარტივი ტრიგონომეტრიიდან, ლოგარითმებიდან და ა.შ. და მათემატიკის მთელი ძალა მიზნად ისახავს რთული გამონათქვამების გამარტივებას. ამისათვის საჭიროა სხვადასხვა ტრანსფორმაციის წესები და ფორმულები. ისინი საშუალებას გვაძლევს დავწეროთ ორიგინალური გამოთქმა ჩვენთვის მოსახერხებელი სხვა ფორმით მისი არსის შეცვლის გარეშე.

"მათემატიკა არის ხელოვნება იმისა, რომ სხვადასხვა საგნებს ერთი და იგივე სახელი უწოდო." (ა. პუანკარე)

მაგალითად, 8 = 6 + 2 = 2 = = ჟურნალი 6561 = 32: 4. ეს მაინც იგივე რიცხვია 8! ჩაწერილია მხოლოდ სხვადასხვა ფორმით. რომელი ტიპი ავირჩიოთ - ჩვენ ვწყვეტთ! დავალებისა და საღი აზრის შესაბამისობა.

მათემატიკაში მთავარი გზამკვლევი არის გამონათქვამების გარდაქმნის უნარი. თითქმის ნებისმიერი გამოსავალი იწყება ორიგინალური გამოხატვის ტრანსფორმაციით. წესებისა და ფორმულების დახმარებით, რომლებიც სულაც არ არის ისეთი გიჟური რაოდენობა, როგორც თქვენ გგონიათ.

ჩვენ ხშირად ვამბობთ "ყველა ფორმულა მუშაობს მარცხნიდან მარჯვნივ და მარჯვნიდან მარცხნივ". ვთქვათ (a + b) თითქმის ყველა წერს როგორც + 2ab + b. მაგრამ ყველას არ ესმის (სამწუხაროდ), რომ x + 2x + 1 შეიძლება დაიწეროს როგორც (x + 1) . და აი, რა უნდა იცოდეთ! ფორმულები უნდა იცოდეთ პირადად! შეძლოს მათი ამოცნობა მზაკვარი მასწავლებლების მიერ დაშიფრულ გამონათქვამებში, ამოიცნოს ფორმულების ნაწილები, საჭიროების შემთხვევაში მოიყვანოს ისინი ბოლომდე.

გამოხატვის კონვერტაცია თავიდან პრობლემურია. შრომას მოითხოვს. საწყის ეტაპზე აუცილებელია შემოწმდეს, სადაც ეს შესაძლებელია, ტრანსფორმაციის სისწორე შებრუნებული ტრანსფორმაციის გზით. ფაქტორირებული - გაამრავლეთ უკან და მოიყვანეთ მსგავსი. აღმოჩნდა ორიგინალური გამოთქმა - ჩქარა! ნაპოვნია განტოლების ფესვები - შემცვლელი ორიგინალურ გამოსახულებაში. ნახეთ რა მოხდა. Და ასე შემდეგ.

ასე რომ, გეპატიჟებით მათემატიკის საოცარ სამყაროში. და დავიწყოთ ჩვენი მოგზაურობა წილადების გაცნობით, რადგან ეს ალბათ ყველაზე დაუცველი ადგილია სკოლის მოსწავლეების უმეტესობისთვის.

Წარმატებები!

Გაკვეთილი 1.

წილადების სახეები. ტრანსფორმაციები.

ვინ იცის წილადები, ძლიერია, მათემატიკაში მამაცი!

ფრაქციები სამი ტიპისაა.

1. საერთო წილადები , მაგალითად: , , , .

ხანდახან ჰორიზონტალური ხაზის ნაცვლად ხაზს სვამენ: 1/2, 3/7, 19/5. ხაზი, ორივე ჰორიზონტალური (ვინკულიუმი) და ირიბი (სოლიდუსი) ნიშნავს ერთსა და იმავე მოქმედებას: ზედა რიცხვის (მრიცხველის) დაყოფა ქვედა რიცხვზე (მნიშვნელი). და ეს არის ის! ხაზის ნაცვლად სავსებით შესაძლებელია გაყოფის ნიშნის დადება - ორი წერტილი. 1/2 = 1:2.

როდესაც დაყოფა შესაძლებელია მთლიანად, ეს უნდა გაკეთდეს. ასე რომ, 32/8 წილადის ნაცვლად გაცილებით სასიამოვნოა რიცხვის 4-ის დაწერა.ე.ი. 32 უბრალოდ იყოფა 8-ზე. 32/8 = 32: 8 = 4. მე არ ვსაუბრობ წილადზე 4/1, რომელიც ასევე უდრის 4-ს. და თუ ის მთლიანად არ იყოფა, ვტოვებთ მას როგორც წილადი. ზოგჯერ თქვენ უნდა გააკეთოთ პირიქით. შეადგინეთ წილადი მთელი რიცხვიდან. მაგრამ ამის შესახებ მოგვიანებით.

2. ათწილადები მაგალითად: 0.5; 3.28; 0.543; 23.32.

3. შერეული რიცხვები , მაგალითად: , , , .

საშუალო სკოლაში შერეული რიცხვები პრაქტიკულად არ გამოიყენება. მათთან მუშაობისთვის, ისინი უნდა გადაკეთდეს ჩვეულებრივ წილადებად. მაგრამ თქვენ აუცილებლად უნდა იცოდეთ როგორ გააკეთოთ ეს! შემდეგ კი ასეთი რიცხვი მოვა დავალებაში და ჩამოიხრჩო ... ნულიდან. მაგრამ ჩვენ გვახსოვს ეს პროცედურა!

ჩვეულებრივი წილადები ყველაზე მრავალმხრივია. დავიწყოთ მათთან. სხვათა შორის, თუ წილადში არის ყველა სახის ლოგარითმები, სინუსი და სხვა ასოები, ეს არაფერს ცვლის. იმ გაგებით, რომ ყველა მოქმედება წილადური გამოსახულებით არაფრით განსხვავდება ჩვეულებრივი წილადების მოქმედებებისგან!

ასე რომ წავიდეთ წინ! წილადების გარდაქმნების მთელი მრავალფეროვნება მოცემულია ერთი თვისებით! ასე ჰქვია წილადის ძირითადი თვისება. დაიმახსოვრეთ: თუ წილადის მრიცხველი და მნიშვნელი გამრავლდება (გაიყოფა) იმავე რიცხვზე, წილადი არ შეიცვლება. ესენი:

და ჩვენ გვჭირდება ეს, ყველა ეს ტრანსფორმაცია? - გეკითხებით. Და როგორ! ახლა თქვენ თვითონ ნახავთ. ჯერ გამოვიყენოთ წილადის ძირითადი თვისება წილადების შესამცირებლად. როგორც ჩანს, საქმე ელემენტარულია. მრიცხველს და მნიშვნელს ვყოფთ ერთ რიცხვზე და ეს არის! შეუძლებელია არასწორად წასვლა! მაგრამ... ადამიანი შემოქმედებითი არსებაა. შეცდომის დაშვება ყველგან შეიძლება! მით უმეტეს, თუ თქვენ უნდა შეამციროთ არა ფორმის წილადი 5/10, არამედ წილადი რაციონალური გამოხატულება.

როგორც წესი, მოსწავლე არ ფიქრობს მრიცხველისა და მნიშვნელის იმავე რიცხვზე (ან გამოსახულებაზე) გაყოფაზე! ის უბრალოდ ყველაფერს ერთნაირად კვეთს ზემოდან და ქვემოდან! ეს არის სადაც ტიპიური შეცდომა იმალება, შეცდომა, თუ გნებავთ.

მაგალითად, თქვენ უნდა გაამარტივოთ გამოთქმა: .

Რას ვაკეთებთ? ჩვენ ვკვეთთ a ფაქტორს ზემოთ და ხარისხს ქვემოთ! ვიღებთ: .

ყველაფერი სწორია. მაგრამ თქვენ ნამდვილად გააზიარეთ მთელი მრიცხველიდა მთელი მნიშვნელიზე მულტიპლიკატორი ა.თუ თქვენ მიჩვეული ხართ უბრალოდ გადახაზვას, მაშინ, ჩქარობთ, შეგიძლიათ გამოთქმაში გადაკვეთოთ ასო a და ისევ მიიღოთ. რაც კატეგორიულად არასწორი იქნებოდა: უპატიებელი შეცდომა. რადგან აქ მთელი მრიცხველიუკვე არ არის გაზიარებული! ამ ფრაქციის შემცირება შეუძლებელია.

შემცირებისას თქვენ უნდა გაყოთ მთელი მრიცხველი და მთელი მნიშვნელი!

წილადების შემცირება ცხოვრებას ბევრად აადვილებს. თქვენ მიიღებთ წილადს სადღაც, მაგალითად, 375/1000. და როგორ ვიმუშაოთ ახლა მასთან? კალკულატორის გარეშე? გამრავლება, თქვი, დამატება, კვადრატი!? და თუ თქვენ არ ხართ ძალიან ზარმაცი, მაგრამ ფრთხილად შეამცირეთ ხუთით, და თუნდაც ხუთით, და თუნდაც ... სანამ ის მცირდება. ჩვენ ვიღებთ 3/8! ბევრად უფრო ლამაზი, არა?

წილადის მთავარი თვისება საშუალებას გაძლევთ გადაიყვანოთ ჩვეულებრივი წილადები ათწილადებად და პირიქით, კალკულატორის გარეშე! ეს მნიშვნელოვანია CT-ში, არა?

ათწილადებით ადვილია. როგორც ისმის, ისე წერია! ვთქვათ 0.25. ეს არის ნულოვანი წერტილი, ოცდახუთი მეასედი. ასე რომ, ჩვენ ვწერთ: 25/100. ვამცირებთ (მრიცხველი და მნიშვნელი გავყოთ 25-ზე), მივიღებთ ჩვეულებრივ წილადს: 1/4. ყველაფერი. ეს ხდება და არაფერი მცირდება. მაგალითად, 0.3. ეს არის სამი მეათედი, ე.ი. 3/10.

რა მოხდება, თუ მთელი რიცხვები არ არის ნულოვანი? Ყველაფერი კარგადაა. მთელ წილადს ყოველგვარი მძიმის გარეშე ვწერთ მრიცხველში, ხოლო მნიშვნელში - ის, რაც ისმის. მაგალითად: 3.17. ეს არის სამი მთელი, მეჩვიდმეტე მეასედი. მრიცხველში ვწერთ 317, ხოლო მნიშვნელში 100. მივიღებთ 317/100. არაფერი მცირდება, ეს ნიშნავს ყველაფერს. ეს არის პასუხი. ყოველივე ზემოთქმულიდან, სასარგებლო დასკვნა: ნებისმიერი ათობითი წილადი შეიძლება გარდაიქმნას საერთო წილადად.

მაგრამ საპირისპირო კონვერტაცია, ჩვეულებრივი ათწილადამდე, ზოგიერთს არ შეუძლია კალკულატორის გარეშე. მაგრამ თქვენ უნდა! როგორ აპირებ პასუხის დაწერას? ჩვენ ყურადღებით ვკითხულობთ და ვითვისებთ ამ პროცესს.

რა არის ათობითი წილადი? მისი მნიშვნელი ყოველთვის არის 10, ან 100, ან 1000, ან 10,000 და ა.შ. თუ თქვენს საერთო წილადს ასეთი მნიშვნელი აქვს, პრობლემა არ არის. მაგალითად, 4/10 = 0.4. ან 7/100 = 0.07. ან 12/10 = 1.2. რა მოხდება, თუ შედეგი არის 1/2? და პასუხი უნდა დაიწეროს ათწილადში ...

გვახსოვს წილადის ძირითადი თვისება! მათემატიკა ხელსაყრელი საშუალებას გაძლევთ გაამრავლოთ მრიცხველი და მნიშვნელი იმავე რიცხვზე. ვინმესთვის, სხვათა შორის! ნულის გარდა, რა თქმა უნდა. მოდით გამოვიყენოთ ეს ფუნქცია ჩვენს სასარგებლოდ! რაზე შეიძლება გამრავლდეს მნიშვნელი, ე.ი. 2 რომ გახდეს 10, ან 100, ან 1000 (რათქმაუნდა პატარა უკეთესია...)? 5, ცხადია. თავისუფლად გაამრავლეთ მნიშვნელი 5-ზე. მაგრამ შემდეგ მრიცხველიც უნდა გავამრავლოთ 5-ზე. მივიღებთ 1/2 = 0.5. Სულ ეს არის.

თუმცა, მნიშვნელები შეიძლება განსხვავებული იყოს. მაგალითად, წილადი 3/16. შემდეგ შეგიძლიათ უბრალოდ გაყოთ 3 16-ზე. კალკულატორის არარსებობის შემთხვევაში მოგიწევთ გაყოფა კუთხით, როგორც ასწავლიდნენ დაწყებით კლასებში. ჩვენ ვიღებთ 0.1875.

და არის რამდენიმე ძალიან ცუდი მნიშვნელი. მაგალითად, წილადი 1/3 ვერ გადაიქცევა კარგ ათწილადად. ხოლო კალკულატორზე და კუთხით გაყოფისას ვიღებთ 0.3333333... აქედან გამომდინარე, კიდევ ერთი სასარგებლო დასკვნა. ყველა ჩვეულებრივი წილადი არ გარდაიქმნება ათწილადში!

ასე რომ, დალაგებულია ჩვეულებრივი და ათობითი წილადები. რჩება შერეულ რიცხვებთან გამკლავება. მათთან მუშაობისთვის საჭიროა მათი გადაყვანა ჩვეულებრივ წილადებად. Როგორ გავაკეთო ეს? შეგიძლიათ დაიჭიროთ მეხუთე კლასელი და ჰკითხოთ. მაგრამ ყოველთვის მეხუთეკლასელი არ იქნება იქვე... თქვენ თვითონ მოგიწევთ ამის გაკეთება. ეს არ არის რთული. წილადი ნაწილის მნიშვნელი გავამრავლოთ მთელ ნაწილზე და დავამატოთ წილადი ნაწილის მრიცხველი. ეს იქნება საერთო წილადის მრიცხველი. რაც შეეხება მნიშვნელს? მნიშვნელი იგივე დარჩება. რთულად ჟღერს, მაგრამ სინამდვილეში საკმაოდ მარტივია. ვნახოთ მაგალითი.

დავუშვათ, რომ დავალებაში დაინახეთ ნომერი საშინლად:

მშვიდად, პანიკის გარეშე ვკამათობთ. მთელი ნაწილი არის 1. ერთი. წილადი ნაწილია 3/7. მაშასადამე, წილადი ნაწილის მნიშვნელი არის 7. ეს მნიშვნელი იქნება ჩვეულებრივი წილადის მნიშვნელი. განვიხილოთ: მრიცხველი. ვამრავლებთ 7-ს 1-ზე (მთლიანი ნაწილი) და ვამატებთ 3-ს (წილადი ნაწილის მრიცხველი). მივიღებთ 10. ეს იქნება ჩვეულებრივი წილადის მრიცხველი. Სულ ეს არის. ეს კიდევ უფრო მარტივი ჩანს მათემატიკური აღნიშვნით:

ადვილად? მაშინ დაიცავით თქვენი წარმატება! გადააქციეთ ეს შერეული რიცხვები , , ჩვეულებრივ წილადებად. თქვენ უნდა მიიღოთ 10/3, 23/10 და 21/4.

ისე, თითქმის ყველაფერი. გაიხსენეთ წილადების ტიპები და გაიგეთ როგორ გადათარგმნოთ ისინი ერთი ტიპიდან მეორეზე. რჩება კითხვა: რატომ აკეთებ ამას? სად და როდის გამოვიყენოთ ეს ღრმა ცოდნა?

ნებისმიერი მაგალითი თავად გვთავაზობს აუცილებელ მოქმედებებს. თუ მაგალითში ჩვეულებრივი წილადები, ათწილადები და თუნდაც შერეული რიცხვები ერთმანეთშია შერეული, ჩვენ ყველაფერს ვთარგმნით ჩვეულებრივ წილადებად. ამის გაკეთება ყოველთვის შეიძლება. ისე, თუ წერია, მაგალითად, 0.8 + 0.3, მაშინ ჩვენ ასე ვფიქრობთ, ყოველგვარი თარგმანის გარეშე. რატომ გვჭირდება დამატებითი სამუშაო? ჩვენ ვირჩევთ გადაჭრის გზას რაც ჩვენთვის მოსახერხებელია!

თუ დავალება სავსეა ათობითი წილადებით, მაგრამ ჰმ... რამდენიმე საშინელი, გადადით ჩვეულებრივზე, სცადეთ! იქნებ ყველაფერი გამოვიდეს. მაგალითად, თქვენ უნდა აკრიფოთ რიცხვი 0.125. არც ისე ადვილია, თუ არ დაკარგე კალკულატორის ჩვევა! თქვენ არა მხოლოდ უნდა გაამრავლოთ რიცხვები სვეტში, არამედ იფიქროთ იმაზე, თუ სად ჩასვათ მძიმით! ეს ნამდვილად არ მუშაობს ჩემს გონებაში! და თუ მიდიხარ ჩვეულებრივ წილადზე? 0,125 = 125/1000. ვამცირებთ 5-ით (ეს არის დამწყებთათვის). ვიღებთ 25/200. კიდევ ერთხელ 5. ვიღებთ 5/40-ს. მაინც მცირდება! 5-ზე დაბრუნება! ჩვენ ვიღებთ 1/8. ადვილად მოედანზე (თქვენს გონებაში!) და მიიღეთ 1/64. ყველაფერი!

მოდით შევაჯამოთ ჩვენი გაკვეთილი.

1. არსებობს სამი სახის წილადი: ჩვეულებრივი, ათობითი და შერეული რიცხვები.

2. ათწილადები და შერეული რიცხვები ყოველთვის შეიძლება გადაკეთდეს ჩვეულებრივ წილადებად. საპირისპირო გადაცემა ყოველთვის არ არის შესაძლებელი.

3. წილადების ტიპის არჩევანი ამოცანასთან მუშაობისთვის დამოკიდებულია სწორედ ამ ამოცანაზე. თუ ერთ ამოცანაში არის სხვადასხვა ტიპის წილადები, ყველაზე საიმედოა ჩვეულებრივ წილადებზე გადასვლა.

პრაქტიკული რჩევები:

1. წილადობრივ გამონათქვამებთან მუშაობისას მთავარია სიზუსტე და ყურადღებიანობა! ეს არ არის ჩვეულებრივი სიტყვები, არ არის კეთილი სურვილები! ეს სერიოზული მოთხოვნილებაა! უმჯობესია დაწეროთ ორი დამატებითი სტრიქონი მონახაზში, ვიდრე შეცდომა დაუშვათ თქვენს თავში გაანგარიშებისას.

2. სხვადასხვა ტიპის წილადების მაგალითებში - გადადით ჩვეულებრივ წილადებზე.

3. ყველა წილადს ვამცირებთ გაჩერებამდე.

4. მრავალდონიანი წილადის გამოსახულებებს ვამცირებთ ჩვეულებრივზე გაყოფის გამოყენებით ორი წერტილით (ვიცავთ გაყოფის რიგს!).

5. ჩვენ გონებაში ვყოფთ ერთეულს წილადად, უბრალოდ წილადის გადაბრუნებით.

ახლა შეეცადეთ განახორციელოთ თეორია პრაქტიკაში.

მაშ ასე, საგამოცდო რეჟიმში მოვაგვაროთ! ვხსნით მაგალითს, ვამოწმებთ, ვხსნით შემდეგს. ჩვენ გადავწყვიტეთ ყველაფერი - კვლავ გადავამოწმეთ პირველიდან ბოლო მაგალითამდე. და შემდეგ ვუყურებთ პასუხებს.

გადაწყვიტა? ვეძებ პასუხებს, რომლებიც შეესაბამება თქვენს პასუხებს. პასუხები იწერება უწესრიგოდ, ცდუნებისგან მოშორებით, ასე ვთქვათ...

0; 17/22; 3; 1; 3/4; 14; -5/4; 17/12; 1/3; 5; 2/5; 25.

და ახლა ჩვენ გამოვიტანთ დასკვნებს. თუ ყველაფერი გამოვიდა - ბედნიერია თქვენთვის! ელემენტარული გამოთვლები წილადებით არ არის თქვენი პრობლემა! შეგიძლიათ უფრო სერიოზული საქმეების გაკეთება. თუ არა... მოთმინება და შრომა ყველაფერს დაფქვავს.

ამ სტატიის მასალა არის ზოგადი ხედვა წილადების შემცველი გამონათქვამების ტრანსფორმაციის შესახებ. აქ განვიხილავთ ძირითად გარდაქმნებს, რომლებიც დამახასიათებელია წილადებით გამოთქმებისთვის.

გვერდის ნავიგაცია.

წილადი და წილადი გამოსახულებები

დასაწყისისთვის, მოდით განვმარტოთ, რა სახის გამოხატვის ტრანსფორმაციასთან გვაქვს საქმე.

სტატიის სათაური შეიცავს თავისთავად განმარტებით ფრაზას " გამონათქვამები წილადებით". ანუ ქვემოთ ვისაუბრებთ რიცხვითი გამონათქვამებისა და გამონათქვამების ტრანსფორმაციაზე ცვლადებით, რომელთა ჩანაწერში არის მინიმუმ ერთი წილადი.

ჩვენ დაუყოვნებლივ აღვნიშნავთ, რომ სტატიის გამოქვეყნების შემდეგ " წილადების ტრანსფორმაცია: ზოგადი შეხედულება"ჩვენ აღარ გვაინტერესებს ცალკეული წილადები. ამრიგად, შემდგომ განვიხილავთ ჯამებს, განსხვავებებს, პროდუქტებს, კერძო და უფრო რთულ გამონათქვამებს ფესვებით, ძალებით, ლოგარითმებით, რომლებიც გაერთიანებულია მხოლოდ ერთი წილადის არსებობით.

და მოდით ვისაუბროთ წილადი გამონათქვამები. ეს არ არის იგივე, რაც გამონათქვამები წილადებით. წილადის გამონათქვამები უფრო ზოგადი ცნებაა. წილადებით ყველა გამოხატულება არ არის წილადი. მაგალითად, გამონათქვამი არ არის წილადური გამოხატულება, თუმცა შეიცავს წილადს, ეს არის მთელი რაციონალური გამოხატულება. ასე რომ, წილადებით გამოსახულებას ნუ უწოდებთ წილადობრივ გამოსახულებას ისე, რომ არ იყოთ სრულიად დარწმუნებული, რომ ეს ასეა.

გამონათქვამების ძირითადი იდენტური გარდაქმნები წილადებით

მაგალითი.

გამოხატვის გამარტივება .

გამოსავალი.

ამ შემთხვევაში, შეგიძლიათ გახსნათ ფრჩხილები, რომლებიც მისცემს გამოხატულებას , რომელიც შეიცავს მსგავს ტერმინებს და , ასევე −3 და 3 . მათი შემცირების შემდეგ ვიღებთ წილადს.

მოდით ვაჩვენოთ ამოხსნის დაწერის მოკლე ფორმა:

პასუხი:

.

ცალკეულ წილადებთან მუშაობა

გამონათქვამები, რომლებზეც ჩვენ ვსაუბრობთ ტრანსფორმირებაზე, განსხვავდება სხვა გამონათქვამებისგან ძირითადად წილადების არსებობით. და ფრაქციების არსებობა მოითხოვს ინსტრუმენტებს მათთან მუშაობისთვის. ამ აბზაცში განვიხილავთ ამ გამონათქვამის ჩანაწერში შემავალი ცალკეული წილადების ტრანსფორმაციას, ხოლო შემდეგ აბზაცში განვაგრძობთ მოქმედებების შესრულებას იმ წილადებთან, რომლებიც ქმნიან თავდაპირველ გამოსახულებას.

ნებისმიერი წილადით, რომელიც ორიგინალური გამოხატვის კომპონენტია, შეგიძლიათ შეასრულოთ ნებისმიერი ტრანსფორმაცია, რომელიც მითითებულია სტატიაში წილადების კონვერტაცია. ანუ შეგიძლიათ აიღოთ ცალკე წილადი, იმუშაოთ მის მრიცხველთან და მნიშვნელთან, შეამციროთ, მიიყვანოთ ახალ მნიშვნელზე და ა.შ. ცხადია, რომ ამ გარდაქმნით, შერჩეული წილადი შეიცვლება მის იდენტურად ტოლი წილადით, ხოლო თავდაპირველი გამოხატულება შეიცვლება მის იდენტურად ტოლი გამოსახულებით. მოდით შევხედოთ მაგალითს.

მაგალითი.

გამოხატვის გადაქცევა წილადით უფრო მარტივი ფორმით.

გამოსავალი.

ტრანსფორმაცია დავიწყოთ წილადთან მუშაობით. ჯერ გახსენით ფრჩხილები და მიეცით მსგავსი ტერმინები წილადის მრიცხველში: . ახლა ის ითხოვს მრიცხველში საერთო x ფაქტორის ფრჩხილებში ჩაწერას და ალგებრული წილადის შემდგომ შემცირებას: . რჩება მხოლოდ წილადის ნაცვლად მიღებული შედეგის ჩანაცვლება თავდაპირველ გამოხატულებაში, რომელიც იძლევა .

პასუხი:

.

წილადებთან მოქმედებების შესრულება

წილადებით გამონათქვამების კონვერტაციის პროცესის ნაწილი ხშირად კეთდება მოქმედებები წილადებთან. ისინი ხორციელდება მოქმედებების შესრულებისთვის მიღებული პროცედურის შესაბამისად. ასევე გასათვალისწინებელია, რომ ნებისმიერი რიცხვი ან გამონათქვამი ყოველთვის შეიძლება იყოს წარმოდგენილი წილადის სახით 1-ის მნიშვნელით.

მაგალითი.

გამოხატვის გამარტივება .

გამოსავალი.

პრობლემას შეიძლება მივუდგეთ სხვადასხვა კუთხით. განსახილველი თემის კონტექსტში გადავალთ წილადებით მოქმედებების შესრულებაზე. დავიწყოთ წილადების გამრავლებით:

ახლა ჩვენ ვწერთ ნამრავლს წილადის სახით მნიშვნელით 1, რის შემდეგაც გამოვაკლებთ წილადებს:

სურვილის შემთხვევაში და საჭიროების შემთხვევაში, მნიშვნელში ირაციონალურობის მოშორება მაინც შეიძლება , რომელზედაც შეგიძლიათ დაასრულოთ ტრანსფორმაცია.

პასუხი:

ფესვების თვისებების გამოყენება, სიძლიერე, ლოგარითმები და ა.შ.

წილადებით გამოთქმების კლასი ძალიან ფართოა. ასეთი გამონათქვამები, გარდა რეალური წილადებისა, შეიძლება შეიცავდეს ფესვებს, ხარისხებს სხვადასხვა მაჩვენებლით, მოდულები, ლოგარითმები, ტრიგონომეტრიული ფუნქციები და ა.შ. ბუნებრივია, როდესაც ისინი გარდაიქმნება, გამოიყენება შესაბამისი თვისებები.

გამოიყენება წილადებზე, ღირს ხაზგასმით აღვნიშნოთ წილადის ფესვის თვისება, წილადის თვისება ხარისხით, კოეფიციენტის მოდულის თვისება და სხვაობის ლოგარითმის თვისება. .

სიცხადისთვის, ჩვენ ვაძლევთ რამდენიმე მაგალითს. მაგალითად, გამონათქვამში ხარისხის თვისებებიდან გამომდინარე, შეიძლება სასარგებლო იყოს პირველი წილადის ხარისხით ჩანაცვლება, რაც შემდგომში საშუალებას გვაძლევს გამოვხატოთ გამოხატულება განსხვავების კვადრატად. ლოგარითმული გამოსახულების გარდაქმნისას შესაძლებელია წილადის ლოგარითმის შეცვლა ლოგარითმების სხვაობით, რაც შემდგომში გვაძლევს საშუალებას მოვიყვანოთ მსგავსი ტერმინები და ამით გავამარტივოთ გამოთქმა: . ტრიგონომეტრიული გამონათქვამების კონვერტაციისთვის შეიძლება მოითხოვოს სინუსის თანაფარდობის შეცვლა იმავე კუთხის კოსინუსთან ტანგენტით. ასევე შესაძლებელია, რომ მოგიწიოთ ნახევარი არგუმენტიდან შესაბამისი ფორმულების გამოყენებით მთელ არგუმენტზე გადასვლა, რითაც თავი დააღწიოთ წილადის არგუმენტს, მაგალითად, .

ფესვების თვისებების გამოყენება, გრადუსი და ა.შ. გამონათქვამების ტრანსფორმაცია უფრო დეტალურად არის აღწერილი სტატიებში:

• ირაციონალური გამონათქვამების ტრანსფორმაცია ფესვების თვისებების გამოყენებით,
• გამონათქვამების ტრანსფორმაცია ძალაუფლების თვისებების გამოყენებით,
• ლოგარითმული გამონათქვამების კონვერტაცია ლოგარითმების თვისებების გამოყენებით,
• ტრიგონომეტრიული გამონათქვამების კონვერტაცია.

ათწილადი რიცხვები, როგორიცაა 0.2; 1.05; 3.017 და ა.შ. როგორც ისმის, ისე იწერება. ნულოვანი წერტილი ორი, მივიღებთ წილადს. ერთი მთელი ხუთასედი, ვიღებთ წილადს. სამი მთელი ჩვიდმეტი მეათასედი, ვიღებთ წილადს. ათობითი რიცხვში ათწილადის წინ ციფრები არის წილადის მთელი რიცხვი. ათწილადის შემდეგ რიცხვი არის მომავალი წილადის მრიცხველი. თუ ათობითი წერტილის შემდეგ არის ერთნიშნა რიცხვი, მნიშვნელი იქნება 10, თუ ორნიშნა - 100, სამნიშნა - 1000 და ა.შ. ზოგიერთი მიღებული ფრაქცია შეიძლება შემცირდეს. ჩვენს მაგალითებში

წილადის ათწილად რიცხვად გადაქცევა

ეს წინა ტრანსფორმაციის საპირისპიროა. რა არის ათობითი წილადი? მისი მნიშვნელი ყოველთვის არის 10, ან 100, ან 1000, ან 10,000 და ა.შ. თუ თქვენს ჩვეულებრივ წილადს აქვს ასეთი მნიშვნელი, პრობლემა არ არის. მაგალითად, ან

თუ წილადი, მაგალითად. ამ შემთხვევაში, თქვენ უნდა გამოიყენოთ წილადის ძირითადი თვისება და გადაიყვანოთ მნიშვნელი 10 ან 100, ან 1000-ზე... ჩვენს მაგალითში, თუ მრიცხველს და მნიშვნელს გავამრავლებთ 4-ზე, მივიღებთ წილადს, რომელიც შეიძლება დაიწეროს. როგორც ათობითი რიცხვი 0.12.

ზოგიერთი წილადის გაყოფა უფრო ადვილია, ვიდრე მნიშვნელის გადაქცევა. Მაგალითად,

ზოგიერთი წილადი ვერ გადაიქცევა ათობითი რიცხვებად!
Მაგალითად,

შერეული წილადის არასწორად გადაქცევა

შერეული წილადი, როგორიცაა , ადვილად გარდაიქმნება არასწორ წილადად. ამისათვის თქვენ უნდა გაამრავლოთ მთელი ნაწილი მნიშვნელზე (ქვედა) და დაამატოთ იგი მრიცხველზე (ზემოდან), მნიშვნელი (ქვედა) უცვლელი დარჩეს. ანუ

შერეული წილადის არასწორად გადაქცევისას, შეგიძლიათ გახსოვდეთ, რომ შეგიძლიათ გამოიყენოთ წილადების დამატება

არასწორი წილადის შერეულ წილადად გადაქცევა (მთელი ნაწილის ხაზგასმა)

არასწორი წილადი შეიძლება გარდაიქმნას შერეულ წილადად მთელი ნაწილის ხაზგასმით. განვიხილოთ მაგალითი,. დაადგინეთ რამდენჯერ ჯდება "3" "23"-ში. ან 23-ს ვყოფთ 3-ზე კალკულატორზე, მთელი რიცხვი ათწილადამდე სასურველია. ეს არის "7". შემდეგი, ჩვენ განვსაზღვრავთ მომავალი წილადის მრიცხველს: ჩვენ ვამრავლებთ მიღებულ "7"-ს მნიშვნელზე "3" და გამოვაკლებთ შედეგს მრიცხველს "23". როგორ ვიპოვით ზედმეტს, რომელიც რჩება მრიცხველიდან „23“, თუ „3“-ის მაქსიმალურ რაოდენობას მოვაცილებთ. მნიშვნელი უცვლელი რჩება. ყველაფერი კეთდება, ჩაწერეთ შედეგი

ფრაქციები

ყურადღება!
არის დამატებითი
მასალა 555-ე სპეციალურ ნაწილში.
მათთვის, ვინც მტკიცედ "არა ძალიან ..."
და მათთვის, ვინც "ძალიან...")

ფრაქციები საშუალო სკოლაში არ არის ძალიან შემაშფოთებელი. Აქამდე. სანამ არ წააწყდებით რაციონალურ მაჩვენებლებსა და ლოგარითმებს. და იქ…. თქვენ დააჭერთ, აჭერთ კალკულატორს და ის აჩვენებს რამდენიმე ნომრის სრულ დაფას. თავით უნდა იფიქრო, როგორც მესამე კლასში.

ბოლოს და ბოლოს, წილადებს მივხედოთ! აბა, რამდენად შეიძლება მათში დაბნეულობა!? უფრო მეტიც, ეს ყველაფერი მარტივი და ლოგიკურია. Ისე, რა არის წილადები?

წილადების სახეები. ტრანსფორმაციები.

ფრაქციები სამი ტიპისაა.

1. საერთო წილადები , მაგალითად:

ხანდახან ჰორიზონტალური ხაზის ნაცვლად ხაზს სვამენ: 1/2, 3/4, 19/5, კარგად და ა.შ. აქ ხშირად გამოვიყენებთ ამ მართლწერას. ზედა ნომერს ეძახიან მრიცხველი, ქვედა - მნიშვნელი.თუ თქვენ მუდმივად აბნევთ ამ სახელებს (ეს ხდება ...), უთხარით საკუთარ თავს ფრაზა გამოთქმით: " ზზზზგახსოვდეს! ზზზზმნიშვნელი - გარეთ ზზზშენ!" შეხედე, ყველაფერი გაახსენდება.)

ტირე, რომელიც ჰორიზონტალურია, რომელიც ირიბია, ნიშნავს დაყოფაზედა რიცხვი (მრიცხველი) ქვედა რიცხვამდე (მნიშვნელი). და ეს არის ის! ტირის ნაცვლად სავსებით შესაძლებელია გაყოფის ნიშნის დადება - ორი წერტილი.

როდესაც დაყოფა შესაძლებელია მთლიანად, ეს უნდა გაკეთდეს. ასე რომ, წილადის "32/8" ნაცვლად გაცილებით სასიამოვნოა რიცხვის "4" ჩაწერა. იმათ. 32 უბრალოდ იყოფა 8-ზე.

32/8 = 32: 8 = 4

წილად „4/1“-ზე არ მაქვს საუბარი. რომელიც ასევე არის მხოლოდ "4". და თუ ის მთლიანად არ იყოფა, ვტოვებთ წილადად. ზოგჯერ თქვენ უნდა გააკეთოთ პირიქით. შეადგინეთ წილადი მთელი რიცხვიდან. მაგრამ ამის შესახებ მოგვიანებით.

2. ათწილადები , მაგალითად:

სწორედ ამ ფორმით იქნება საჭირო "B" დავალებების პასუხების ჩაწერა.

3. შერეული რიცხვები , მაგალითად:

საშუალო სკოლაში შერეული რიცხვები პრაქტიკულად არ გამოიყენება. მათთან მუშაობისთვის, ისინი უნდა გადაკეთდეს ჩვეულებრივ წილადებად. მაგრამ თქვენ აუცილებლად უნდა იცოდეთ როგორ გააკეთოთ ეს! შემდეგ კი ასეთი რიცხვი თავსატეხში წავა და ჩამოიხრჩო... ნულიდან. მაგრამ ჩვენ გვახსოვს ეს პროცედურა! ცოტა დაბლა.

ყველაზე მრავალმხრივი საერთო წილადები. დავიწყოთ მათთან. სხვათა შორის, თუ წილადში არის ყველა სახის ლოგარითმები, სინუსი და სხვა ასოები, ეს არაფერს ცვლის. იმ გაგებით, რომ ყველაფერი წილადი გამონათქვამებით მოქმედებები არაფრით განსხვავდება ჩვეულებრივი წილადების მოქმედებებისგან!

წილადის ძირითადი თვისება.

ასე რომ წავიდეთ! პირველ რიგში გაგაოცებთ. წილადების გარდაქმნების მთელი მრავალფეროვნება მოცემულია ერთი თვისებით! ასე ჰქვია წილადის ძირითადი თვისება. გახსოვდეთ: თუ წილადის მრიცხველი და მნიშვნელი გამრავლდება (გაიყოფა) ერთ რიცხვზე, წილადი არ შეიცვლება.ესენი:

გასაგებია, რომ შეგიძლია შემდგომ დაწერო, სანამ სახეზე არ გალურჯდები. ნუ მისცემთ უფლებას სინუსებმა და ლოგარითმებმა შეგაწუხოთ, ჩვენ მათთან შემდგომში გავეცნობით. მთავარია გავიგოთ, რომ ყველა ეს განსხვავებული გამოთქმა არის იგივე წილადი . 2/3.

და ჩვენ გვჭირდება ეს, ყველა ეს ტრანსფორმაცია? Და როგორ! ახლა თქვენ თვითონ ნახავთ. ჯერ გამოვიყენოთ წილადის ძირითადი თვისება ამისთვის ფრაქციების აბრევიატურები. როგორც ჩანს, საქმე ელემენტარულია. მრიცხველს და მნიშვნელს ვყოფთ ერთ რიცხვზე და ეს არის! შეუძლებელია არასწორად წასვლა! მაგრამ... ადამიანი შემოქმედებითი არსებაა. შეცდომის დაშვება ყველგან შეიძლება! მით უმეტეს, თუ თქვენ უნდა შეამციროთ არა წილადი, როგორიცაა 5/10, არამედ წილადი გამოხატულება ყველა სახის ასოებით.

როგორ შევამციროთ წილადები სწორად და სწრაფად ზედმეტი სამუშაოს გაკეთების გარეშე, შეგიძლიათ იხილოთ სპეციალურ სექციაში 555.

ნორმალურ მოსწავლეს არ აწუხებს მრიცხველისა და მნიშვნელის ერთი და იგივე რიცხვზე (ან გამოსახულებაზე) გაყოფა! ის უბრალოდ ყველაფერს ერთნაირად კვეთს ზემოდან და ქვემოდან! ეს არის სადაც ტიპიური შეცდომა იმალება, შეცდომა, თუ გნებავთ.

მაგალითად, თქვენ უნდა გაამარტივოთ გამოთქმა:

საფიქრალი არაფერია, ასო „ა“-ს ზემოდან გადავხაზავთ, ქვემოდან კი დუმს! ჩვენ ვიღებთ:

ყველაფერი სწორია. მაგრამ თქვენ ნამდვილად გააზიარეთ მთელი მრიცხველი და მთელი მნიშვნელი "ა". თუ თქვენ მიჩვეული ხართ უბრალოდ გადახაზვას, მაშინ, ჩქარობთ, შეგიძლიათ გამოთქმაში „ა“-ს გადაკვეთა

და ისევ მიიღეთ

რაც კატეგორიულად არასწორი იქნებოდა. რადგან აქ მთელიმრიცხველი "ა"-ზე უკვე არ არის გაზიარებული! ამ ფრაქციის შემცირება შეუძლებელია. სხვათა შორის, ასეთი შემოკლება მასწავლებლისთვის სერიოზული გამოწვევაა. ეს არ ეპატიება! გახსოვს? შემცირებისას საჭიროა გაყოფა მთელი მრიცხველი და მთელი მნიშვნელი!

წილადების შემცირება ცხოვრებას ბევრად აადვილებს. სადღაც მიიღებთ წილადს, მაგალითად 375/1000. და როგორ ვიმუშაოთ ახლა მასთან? კალკულატორის გარეშე? გამრავლება, თქვი, დამატება, კვადრატი!? და თუ ძალიან ზარმაცი არ ხარ, მაგრამ ფრთხილად შეამცირე ხუთით, და თუნდაც ხუთით, და თუნდაც ... სანამ მცირდება, მოკლედ. ჩვენ ვიღებთ 3/8! ბევრად უფრო ლამაზი, არა?

წილადის ძირითადი თვისება საშუალებას გაძლევთ გადაიყვანოთ ჩვეულებრივი წილადები ათწილადებად და პირიქით კალკულატორის გარეშე! ეს მნიშვნელოვანია გამოცდისთვის, არა?

როგორ გადავიტანოთ წილადები ერთი ფორმიდან მეორეში.

ათწილადებით ადვილია. როგორც ისმის, ისე წერია! ვთქვათ 0.25. ეს არის ნულოვანი წერტილი, ოცდახუთი მეასედი. ასე რომ, ჩვენ ვწერთ: 25/100. ვამცირებთ (მრიცხველი და მნიშვნელი გავყოთ 25-ზე), მივიღებთ ჩვეულებრივ წილადს: 1/4. ყველაფერი. ეს ხდება და არაფერი მცირდება. მოსწონს 0.3. ეს არის სამი მეათედი, ე.ი. 3/10.

რა მოხდება, თუ მთელი რიცხვები არ არის ნულოვანი? Ყველაფერი კარგადაა. ჩამოწერეთ მთელი წილადი ყოველგვარი მძიმეების გარეშემრიცხველში, ხოლო მნიშვნელში – რაც ისმის. მაგალითად: 3.17. ეს არის სამი მთელი, მეჩვიდმეტე მეასედი. მრიცხველში ვწერთ 317, ხოლო მნიშვნელში 100. მივიღებთ 317/100. არაფერი მცირდება, ეს ნიშნავს ყველაფერს. ეს არის პასუხი. ელემენტარული უოტსონი! ყოველივე ზემოთქმულიდან, სასარგებლო დასკვნა: ნებისმიერი ათობითი წილადი შეიძლება გარდაიქმნას საერთო წილადად .

მაგრამ საპირისპირო კონვერტაცია, ჩვეულებრივი ათწილადამდე, ზოგიერთს არ შეუძლია კალკულატორის გარეშე. მაგრამ თქვენ უნდა! გამოცდაზე პასუხს როგორ ჩაწერთ!? ჩვენ ყურადღებით ვკითხულობთ და ვითვისებთ ამ პროცესს.

რა არის ათობითი წილადი? მას აქვს მნიშვნელში ყოველთვისღირს 10 ან 100 ან 1000 ან 10000 და ასე შემდეგ. თუ თქვენს ჩვეულებრივ წილადს აქვს ასეთი მნიშვნელი, პრობლემა არ არის. მაგალითად, 4/10 = 0.4. ან 7/100 = 0.07. ან 12/10 = 1.2. და თუ "B" განყოფილების დავალების პასუხში აღმოჩნდა 1/2? რას დავწერთ პასუხად? ათწილადები აუცილებელია...

გვახსოვს წილადის ძირითადი თვისება ! მათემატიკა ხელსაყრელი საშუალებას გაძლევთ გაამრავლოთ მრიცხველი და მნიშვნელი იმავე რიცხვზე. ვინმესთვის, სხვათა შორის! ნულის გარდა, რა თქმა უნდა. მოდით გამოვიყენოთ ეს ფუნქცია ჩვენს სასარგებლოდ! რაზე შეიძლება გამრავლდეს მნიშვნელი, ე.ი. 2 რომ გახდეს 10, ან 100, ან 1000 (რათქმაუნდა პატარა უკეთესია...)? 5, ცხადია. თავისუფლად გაამრავლეთ მნიშვნელი (ეს არის ჩვენაუცილებელია) 5-ზე. მაგრამ, მაშინ მრიცხველიც უნდა გავამრავლოთ 5-ზე. ეს უკვე მათემატიკამოითხოვს! ჩვენ ვიღებთ 1/2 \u003d 1x5 / 2x5 \u003d 5/10 \u003d 0.5. Სულ ეს არის.

თუმცა, ყველა სახის მნიშვნელი გვხვდება. მაგალითად, წილადი 3/16 დაეცემა. სცადე, გამოარკვიე, რაზე გავამრავლო 16, რომ მივიღოთ 100, ან 1000... არ მუშაობს? შემდეგ შეგიძლიათ უბრალოდ გაყოთ 3 16-ზე. კალკულატორის არარსებობის შემთხვევაში მოგიწევთ გაყოფა კუთხეში, ფურცელზე, როგორც დაწყებით კლასებში ასწავლიდნენ. ჩვენ ვიღებთ 0.1875.

და არის რამდენიმე ძალიან ცუდი მნიშვნელი. მაგალითად, წილადი 1/3 ვერ გადაიქცევა კარგ ათწილადად. როგორც კალკულატორზე, ასევე ფურცელზე ვიღებთ 0,3333333 ... ეს ნიშნავს, რომ 1/3 შევიდა ზუსტ ათობითი წილადში არ თარგმნის. ისევე როგორც 1/7, 5/6 და ასე შემდეგ. ბევრი მათგანი უთარგმნელია. აქედან გამომდინარე, კიდევ ერთი სასარგებლო დასკვნა. ყველა ჩვეულებრივი წილადი არ გარდაიქმნება ათწილადში. !

სხვათა შორის, ეს არის სასარგებლო ინფორმაცია თვითგამოკვლევისთვის. განყოფილებაში "B" საპასუხოდ, თქვენ უნდა ჩაწეროთ ათობითი წილადი. და თქვენ მიიღეთ, მაგალითად, 4/3. ეს წილადი არ გარდაიქმნება ათწილადად. ეს ნიშნავს, რომ სადღაც გზაზე შეცდომა დაუშვით! დაბრუნდი, შეამოწმე გამოსავალი.

ასე რომ, დალაგებულია ჩვეულებრივი და ათობითი წილადები. რჩება შერეულ რიცხვებთან გამკლავება. მათთან მუშაობისთვის, ისინი ყველა უნდა გადაკეთდეს ჩვეულებრივ წილადებად. Როგორ გავაკეთო ეს? შეგიძლიათ მეექვსეკლასელი დაიჭიროთ და ჰკითხოთ. მაგრამ ყოველთვის არ იქნება მეექვსე კლასელი ხელთ... ჩვენ თვითონ მოგვიწევს ამის გაკეთება. ეს არ არის რთული. წილადი ნაწილის მნიშვნელი გავამრავლოთ მთელ ნაწილზე და დავამატოთ წილადი ნაწილის მრიცხველი. ეს იქნება საერთო წილადის მრიცხველი. რაც შეეხება მნიშვნელს? მნიშვნელი იგივე დარჩება. რთულად ჟღერს, მაგრამ სინამდვილეში საკმაოდ მარტივია. ვნახოთ მაგალითი.

ჩაწერეთ საშინლად დანახული პრობლემა:

მშვიდად, პანიკის გარეშე, გვესმის. მთელი ნაწილი არის 1. ერთი. წილადი ნაწილია 3/7. მაშასადამე, წილადი ნაწილის მნიშვნელი არის 7. ეს მნიშვნელი იქნება ჩვეულებრივი წილადის მნიშვნელი. ჩვენ ვითვლით მრიცხველს. ვამრავლებთ 7-ს 1-ზე (მთლიანი ნაწილი) და ვამატებთ 3-ს (წილადი ნაწილის მრიცხველი). მივიღებთ 10. ეს იქნება ჩვეულებრივი წილადის მრიცხველი. Სულ ეს არის. ეს კიდევ უფრო მარტივი ჩანს მათემატიკური აღნიშვნით:

აშკარად? მაშინ დაიცავით თქვენი წარმატება! გადაიყვანეთ ჩვეულებრივ წილადებზე. თქვენ უნდა მიიღოთ 10/7, 7/2, 23/10 და 21/4.

საპირისპირო ოპერაცია - არასწორი წილადის გადაქცევა შერეულ რიცხვად - იშვიათად არის საჭირო საშუალო სკოლაში. ისე, თუ... და თუ - არა საშუალო სკოლაში - შეგიძლიათ გადახედოთ სპეციალურ სექციას 555. სხვათა შორის, იმავე ადგილას გაიგებთ არასწორ წილადებს.

ისე, თითქმის ყველაფერი. გაიხსენე წილადების ტიპები და გაიგე როგორ გადაიყვანეთ ისინი ერთი ტიპიდან მეორეზე. კითხვა რჩება: რატომ გააკეთე? სად და როდის გამოვიყენოთ ეს ღრმა ცოდნა?

Მე ვპასუხობ. ნებისმიერი მაგალითი თავად გვთავაზობს აუცილებელ მოქმედებებს. თუ მაგალითში ჩვეულებრივი წილადები, ათწილადები და თუნდაც შერეული რიცხვები ერთმანეთშია შერეული, ჩვენ ყველაფერს ვთარგმნით ჩვეულებრივ წილადებად. ეს ყოველთვის შეიძლება გაკეთდეს. ისე, თუ რაღაც 0.8 + 0.3 წერია, მაშინ ასე ვფიქრობთ, ყოველგვარი თარგმანის გარეშე. რატომ გვჭირდება დამატებითი სამუშაო? ჩვენ ვირჩევთ გამოსავალს, რომელიც მოსახერხებელია ჩვენ !

თუ დავალება სავსეა ათობითი წილადებით, მაგრამ ჰმ... რაღაც ბოროტები, გადადით ჩვეულებრივებზე, სცადეთ! შეხედე, ყველაფერი კარგად იქნება. მაგალითად, თქვენ უნდა აკრიფოთ რიცხვი 0.125. არც ისე ადვილია, თუ არ დაკარგე კალკულატორის ჩვევა! თქვენ არა მხოლოდ უნდა გაამრავლოთ რიცხვები სვეტში, არამედ იფიქროთ იმაზე, თუ სად ჩასვათ მძიმით! ეს ნამდვილად არ მუშაობს ჩემს გონებაში! და თუ მიდიხარ ჩვეულებრივ წილადზე?

0,125 = 125/1000. ვამცირებთ 5-ით (ეს არის დამწყებთათვის). ვიღებთ 25/200. კიდევ ერთხელ 5. ვიღებთ 5/40-ს. ოჰ, იკუმშება! 5-ზე დაბრუნება! ჩვენ ვიღებთ 1/8. ადვილად მოედანზე (თქვენს გონებაში!) და მიიღეთ 1/64. ყველაფერი!

მოდით შევაჯამოთ ეს გაკვეთილი.

1. არსებობს სამი სახის წილადი. ჩვეულებრივი, ათობითი და შერეული რიცხვები.

2. ათწილადები და შერეული რიცხვები ყოველთვისშეიძლება გარდაიქმნას ჩვეულებრივ წილადებად. საპირისპირო თარგმანი ყოველთვის არახელმისაწვდომი.

3. წილადების ტიპის არჩევანი ამოცანასთან მუშაობისთვის დამოკიდებულია სწორედ ამ ამოცანაზე. თუ ერთ ამოცანაში არის სხვადასხვა ტიპის წილადები, ყველაზე საიმედოა ჩვეულებრივ წილადებზე გადასვლა.

ახლა შეგიძლიათ ივარჯიშოთ. პირველი, გადააქციეთ ეს ათობითი წილადები ჩვეულებრივ წილადებად:

3,8; 0,75; 0,15; 1,4; 0,725; 0,012

თქვენ უნდა მიიღოთ ასეთი პასუხები (არეულად!):

ამაზე ჩვენ დავასრულებთ. ამ გაკვეთილზე ჩვენ განვიხილეთ წილადების ძირითადი პუნქტები. თუმცა ხდება ისე, რომ გასაახლებელი არაფერია განსაკუთრებული...) თუ ვინმეს მთლიანად დაავიწყდა, ან ჯერ არ დაეუფლა... ეს შეიძლება გადავიდეს 555-ე სპეციალურ განყოფილებაში. იქ ყველა საფუძვლები დეტალურადაა აღწერილი. ბევრი მოულოდნელად ყველაფერი გაიგოსიწყებენ. და ისინი წყვეტენ წილადებს ფრენის დროს).

თუ მოგწონთ ეს საიტი...

სხვათა შორის, მე მაქვს კიდევ რამდენიმე საინტერესო საიტი თქვენთვის.)

შეგიძლიათ ივარჯიშოთ მაგალითების ამოხსნაში და გაიგოთ თქვენი დონე. ტესტირება მყისიერი გადამოწმებით. სწავლა - ინტერესით!)

შეგიძლიათ გაეცნოთ ფუნქციებს და წარმოებულებს.

ალგებრული გამონათქვამების გამარტივება არის ალგებრის სწავლის ერთ-ერთი გასაღები და ძალიან სასარგებლო უნარი ყველა მათემატიკოსისთვის. გამარტივება საშუალებას გაძლევთ შეამციროთ რთული ან გრძელი გამოხატულება მარტივ გამოსახულებამდე, რომლებთანაც ადვილია მუშაობა. საბაზისო გამარტივების უნარები კარგია მათთვისაც კი, ვინც არ არის ენთუზიაზმი მათემატიკით. რამდენიმე მარტივი წესის დაცვით, ალგებრული გამონათქვამების მრავალი ყველაზე გავრცელებული ტიპი შეიძლება გამარტივდეს რაიმე განსაკუთრებული მათემატიკური ცოდნის გარეშე.

ნაბიჯები

მნიშვნელოვანი განმარტებები

1. მსგავსი წევრები . ესენი არიან წევრები ერთიდაიგივე რიგის ცვლადით, წევრები იგივე ცვლადებით, ან თავისუფალი წევრები (წევრები, რომლებიც არ შეიცავს ცვლადს). სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, მსგავსი ტერმინები მოიცავს ერთ ცვლადს იმავე ზომით, მოიცავს რამდენიმე იდენტურ ცვლადს ან საერთოდ არ შეიცავს ცვლადს. გამოთქმაში ტერმინების თანმიმდევრობას მნიშვნელობა არ აქვს.

   • მაგალითად, 3x 2 და 4x 2 ტერმინების მსგავსია, რადგან ისინი შეიცავს მეორე რიგის ცვლადს "x" (მეორე ხარისხში). თუმცა, x ​​და x 2 არ არის მსგავსი წევრები, რადგან ისინი შეიცავს სხვადასხვა რიგის ცვლადს "x" (პირველი და მეორე). ანალოგიურად, -3yx და 5xz არ არის მსგავსი წევრები, რადგან ისინი შეიცავს სხვადასხვა ცვლადებს.

2. ფაქტორიზაცია . ეს არის ისეთი რიცხვების პოვნა, რომელთა ნამრავლი მივყავართ თავდაპირველ რიცხვამდე. ნებისმიერ ორიგინალურ რიცხვს შეიძლება ჰქონდეს რამდენიმე ფაქტორი. მაგალითად, რიცხვი 12 შეიძლება დაიყოს ფაქტორების შემდეგ სერიად: 1 × 12, 2 × 6 და 3 × 4, ასე რომ, შეგვიძლია ვთქვათ, რომ რიცხვები 1, 2, 3, 4, 6 და 12 არის ფაქტორები. ნომერი 12. ფაქტორები იგივეა, რაც გამყოფები, ანუ რიცხვები, რომლებზედაც იყოფა თავდაპირველი რიცხვი.

   • მაგალითად, თუ გსურთ 20 რიცხვის ფაქტორირება, ჩაწერეთ ასე: 4×5.
   • გაითვალისწინეთ, რომ ფაქტორინგის დროს მხედველობაში მიიღება ცვლადი. მაგალითად, 20x = 4 (5x).
   • მარტივი რიცხვების გაანგარიშება შეუძლებელია, რადგან ისინი იყოფა მხოლოდ საკუთარ თავზე და 1-ზე.

3. დაიმახსოვრეთ და დაიცავით ოპერაციების თანმიმდევრობა შეცდომების თავიდან ასაცილებლად.

   • ფრჩხილები
   • ხარისხი
   • გამრავლება
   • განყოფილება
   • დამატება
   • გამოკლება

   წევრების მსგავსად კასტინგი

   1. ჩაწერეთ გამოთქმა.უმარტივესი ალგებრული გამონათქვამები (რომლებიც არ შეიცავს წილადებს, ფესვებს და ა.

      • მაგალითად, გამოთქმის გამარტივება 1 + 2x - 3 + 4x.

   2. განსაზღვრეთ მსგავსი წევრები (წევრები იმავე რიგის ცვლადით, წევრები იგივე ცვლადებით ან თავისუფალი წევრები).

      • იპოვეთ მსგავსი ტერმინები ამ გამონათქვამში. ტერმინები 2x და 4x შეიცავს იმავე რიგის ცვლადს (პირველი). ასევე, 1 და -3 არის თავისუფალი წევრები (არ შეიცავს ცვლადს). ამრიგად, ამ გამოთქმაში ტერმინები 2x და 4xმსგავსია და წევრები 1 და -3ასევე მსგავსია.

   3. მიეცით მსგავსი პირობები.ეს ნიშნავს მათ დამატებას ან გამოკლებას და გამოხატვის გამარტივებას.

      • 2x+4x= 6x
      • 1 - 3 = -2

   4. გადაწერეთ გამოთქმა მოცემული ტერმინების გათვალისწინებით.თქვენ მიიღებთ მარტივ გამოთქმას ნაკლები ტერმინებით. ახალი გამოთქმა ორიგინალის ტოლია.

      • ჩვენს მაგალითში: 1 + 2x - 3 + 4x = 6x - 2, ანუ ორიგინალური გამოთქმა გამარტივებულია და ადვილია მუშაობა.

   5. მსგავსი ტერმინების ჩამოსხმისას დააკვირდით ოპერაციების შესრულების თანმიმდევრობას.ჩვენს მაგალითში ადვილი იყო მსგავსი ტერმინების მოყვანა. თუმცა რთული გამონათქვამების შემთხვევაში, რომლებშიც წევრები ფრჩხილებშია ჩასმული და წილადები და ფესვებია, ასეთი ტერმინების მოყვანა არც ისე ადვილია. ამ შემთხვევებში დაიცავით ოპერაციების თანმიმდევრობა.

      • მაგალითად, განიხილეთ გამოთქმა 5(3x - 1) + x((2x)/(2)) + 8 - 3x. აქ შეცდომა იქნება დაუყოვნებლივ განვსაზღვროთ 3x და 2x, როგორც მსგავსი ტერმინები და მათი ციტირება, რადგან ფრჩხილები ჯერ უნდა გაფართოვდეს. ამიტომ, შეასრულეთ ოპერაციები მათი თანმიმდევრობით.
        • 5(3x-1) + x((2x)/(2)) + 8 - 3x
        • 15x - 5 + x(x) + 8 - 3x
        • 15x - 5 + x 2 + 8 - 3x. ახლა, როდესაც გამონათქვამი შეიცავს მხოლოდ შეკრების და გამოკლების ოპერაციებს, შეგიძლიათ გადმოწეროთ მსგავსი ტერმინები.
        • x 2 + (15x - 3x) + (8 - 5)
        • x 2 + 12x + 3

   მულტიპლიკატორის ფრჩხილებში შეყვანა

   1. იპოვე ყველაზე დიდი საერთო გამყოფი(GCD) გამოხატვის ყველა კოეფიციენტის. GCD არის უდიდესი რიცხვი, რომლითაც იყოფა გამოხატვის ყველა კოეფიციენტი.

      • მაგალითად, განვიხილოთ განტოლება 9x 2 + 27x - 3. ამ შემთხვევაში gcd=3, ვინაიდან ამ გამოსახულების ნებისმიერი კოეფიციენტი იყოფა 3-ზე.

   2. გამოთქმის თითოეული წევრი გაყავით gcd-ზე.მიღებული ტერმინები შეიცავს უფრო მცირე კოეფიციენტებს, ვიდრე თავდაპირველ გამოსახულებაში.

      • ჩვენს მაგალითში, თითოეული გამონათქვამის ტერმინი გაყავით 3-ზე.
        • 9x2/3=3x2
        • 27x/3=9x
        • -3/3 = -1
        • აღმოჩნდა გამოთქმა 3x2 + 9x-1. ეს არ არის ორიგინალური გამოთქმის ტოლი.

   3. დაწერეთ ორიგინალური გამოხატულება, როგორც gcd-ის ნამრავლის ტოლი გამოსახულებაზე.ანუ, ჩასვით მიღებული გამოხატულება ფრჩხილებში და მოათავსეთ GCD ფრჩხილებიდან.

      • ჩვენს მაგალითში: 9x 2 + 27x - 3 = 3 (3x 2 + 9x - 1)

   4. წილადური გამონათქვამების გამარტივება მულტიპლიკატორის ფრჩხილებიდან ამოღებით.რატომ ამოიღეთ მულტიპლიკატორი ფრჩხილებიდან, როგორც ეს ადრე გაკეთდა? შემდეგ, ისწავლეთ რთული გამონათქვამების გამარტივება, როგორიცაა წილადი. ამ შემთხვევაში, მულტიპლიკატორის ფრჩხილებში შეყვანა დაგეხმარებათ წილადის (მნიშვნელის) მოშორებაში.

      • მაგალითად, განვიხილოთ წილადური გამოხატულება (9x 2 + 27x - 3)/3. გამოიყენეთ ფრჩხილები ამ გამოთქმის გასამარტივებლად.
        • გაატარეთ ფაქტორი 3 (როგორც ადრე გააკეთეთ): (3(3x 2 + 9x - 1))/3
        • გაითვალისწინეთ, რომ მრიცხველსაც და მნიშვნელსაც ახლა აქვს რიცხვი 3. ეს შეიძლება შემცირდეს და მიიღებთ გამონათქვამს: (3x 2 + 9x - 1) / 1
        • ვინაიდან ნებისმიერი წილადი, რომელსაც აქვს რიცხვი 1 მნიშვნელში, მხოლოდ მრიცხველის ტოლია, ორიგინალური წილადური გამოხატულება გამარტივებულია: 3x2 + 9x-1.

   დამატებითი გამარტივების ტექნიკა

   1. წილადური გამონათქვამების გამარტივება.როგორც ზემოთ აღინიშნა, თუ ორივე მრიცხველი და მნიშვნელი შეიცავს ერთსა და იმავე ტერმინებს (ან თუნდაც ერთსა და იმავე გამონათქვამებს), მაშინ მათი შემცირება შესაძლებელია. ამისათვის თქვენ უნდა ამოიღოთ მრიცხველის ან მნიშვნელის საერთო ფაქტორი, ან ორივე მრიცხველი და მნიშვნელი. ან შეგიძლიათ მრიცხველის თითოეული წევრი გაყოთ მნიშვნელზე და ამით გაამარტივოთ გამოხატულება.

      • მაგალითად, განიხილეთ წილადური გამოხატულება (5x 2 + 10x + 20)/10. აქ უბრალოდ გაყავით მრიცხველის თითოეული წევრი მნიშვნელზე (10). მაგრამ გაითვალისწინეთ, რომ 5x2 წევრი კი არ იყოფა 10-ზე (რადგან 5 ნაკლებია 10-ზე).
        • ასე რომ, ჩაწერეთ გამარტივებული გამონათქვამი ასე: ((5x 2)/10) + x + 2 = (1/2)x 2 + x + 2.

   2. რადიკალური გამონათქვამების გამარტივება.ძირის ნიშნის ქვეშ გამოსახულებებს რადიკალური გამონათქვამები ეწოდება. მათი გამარტივება შესაძლებელია შესაბამის ფაქტორებად მათი დაშლით და ფესვის ქვეშ ერთი ფაქტორის შემდგომი ამოღებით.

      • განვიხილოთ მარტივი მაგალითი: √(90). რიცხვი 90 შეიძლება დაიყოს შემდეგ ფაქტორებად: 9 და 10, ხოლო 9-დან აიღეთ კვადრატული ფესვი (3) და ამოიღეთ 3 ფესვის ქვეშ.
        • √(90)
        • √(9×10)
        • √(9)×√(10)
        • 3×√(10)
        • 3√(10)

   3. გამოთქმების გამარტივება ძალებით.ზოგიერთ გამონათქვამში არის რიცხვების გამრავლების ან გაყოფის მოქმედებები ხარისხით. წევრთა ერთი ფუძით გამრავლების შემთხვევაში ემატება მათი ხარისხები; ერთიდაიგივე ფუძით ტერმინების გაყოფის შემთხვევაში მათ ხარისხს აკლებს.

      • მაგალითად, განიხილეთ გამოთქმა 6x 3 × 8x 4 + (x 17 / x 15). გამრავლების შემთხვევაში დაამატეთ მაჩვენებლები, ხოლო გაყოფის შემთხვევაში გამოაკლეთ ისინი.
        • 6x 3 × 8x 4 + (x 17 / x 15)
        • (6 × 8)x 3 + 4 + (x 17 - 15)
        • 48x7+x2
      • ქვემოთ მოცემულია პუნქტებით გამრავლებისა და გაყოფის წესის განმარტება.
        • წევრთა გამრავლება ძალაუფლებაზე უდრის ტერმინების გამრავლებას თავისთავად. მაგალითად, ვინაიდან x 3 = x × x × x და x 5 = x × x × x × x × x, მაშინ x 3 × x 5 = (x × x × x) × (x × x × x × x × x), ან x 8.
        • ანალოგიურად, ტერმინების დაყოფა უფლებამოსილებით არის ტერმინების თავისთავად გაყოფის ტოლფასი. x 5 /x 3 \u003d (x × x × x × x × x) / (x × x × x). ვინაიდან მსგავსი ტერმინები, რომლებიც არის როგორც მრიცხველში, ასევე მნიშვნელში, შეიძლება შემცირდეს, ორი "x" ან x 2-ის ნამრავლი რჩება მრიცხველში.