მოდით ორი არანულოვანი ვექტორი და მოცემულია სიბრტყეზე ან სამგანზომილებიან სივრცეში. გადავდოთ თვითნებური წერტილიდან ოვექტორები და. მაშინ შემდეგი განმარტება მოქმედებს.

განმარტება.

კუთხე ვექტორებს შორისდა სხივებს შორის კუთხე ეწოდება ო.ა.და ო.ბ..

კუთხე ვექტორებს შორის და აღინიშნა როგორც .

ვექტორებს შორის კუთხეს შეუძლია მიიღოს მნიშვნელობები 0 ან, რაც იგივეა, დან.

როცა ვექტორები ორივე მიმართულია, როცა ვექტორები და საპირისპირო მიმართულები არიან.

განმარტება.

ვექტორებს უწოდებენ პერპენდიკულარული, თუ მათ შორის კუთხე უდრის (რადიანებს).

თუ ვექტორებიდან ერთი მაინც არის ნული, მაშინ კუთხე არ არის განსაზღვრული.

ვექტორებს, მაგალითებსა და ამონახსნებს შორის კუთხის პოვნა.

ვექტორებს შორის კუთხის კოსინუსი და, შესაბამისად, თავად კუთხე, ზოგად შემთხვევაში შეიძლება ვიპოვოთ ვექტორების სკალარული ნამრავლის გამოყენებით, ან ვექტორებზე აგებული სამკუთხედის კოსინუსების თეორემის გამოყენებით.

მოდით შევხედოთ ამ შემთხვევებს.

განმარტებით, ვექტორების სკალარული ნამრავლი არის . თუ ვექტორები და არიან ნულოვანი, მაშინ შეგვიძლია ბოლო ტოლობის ორივე მხარე გავყოთ ვექტორების სიგრძის ნამრავლზე და მივიღებთ არანულოვან ვექტორებს შორის კუთხის კოსინუსის პოვნის ფორმულა: . ეს ფორმულა შეიძლება გამოყენებულ იქნას, თუ ცნობილია ვექტორების სიგრძე და მათი სკალარული პროდუქტი.

მაგალითი.

გამოთვალეთ კუთხის კოსინუსი ვექტორებს შორის და ასევე იპოვეთ თავად კუთხე, თუ ვექტორების სიგრძეები და ტოლია 3 და 6 შესაბამისად და მათი სკალარული ნამრავლი უდრის -9 .

გამოსავალი.

პრობლემის განცხადება შეიცავს ყველა იმ რაოდენობას, რომელიც აუცილებელია ფორმულის გამოსაყენებლად. ვიანგარიშებთ ვექტორებს შორის კუთხის კოსინუსს და: .

ახლა ვპოულობთ კუთხეს ვექტორებს შორის: .

უპასუხე:

არის პრობლემები, როდესაც ვექტორები მითითებულია კოორდინატებით მართკუთხა კოორდინატულ სისტემაში სიბრტყეზე ან სივრცეში. ამ შემთხვევებში, ვექტორებს შორის კუთხის კოსინუსის საპოვნელად, შეგიძლიათ გამოიყენოთ იგივე ფორმულა, მაგრამ კოორდინატთა სახით. მოდი მივიღოთ.

ვექტორის სიგრძე არის მისი კოორდინატების კვადრატების ჯამის კვადრატული ფესვი, ვექტორების სკალარული ნამრავლი უდრის შესაბამისი კოორდინატების ნამრავლების ჯამს. აქედან გამომდინარე, ვექტორებს შორის კუთხის კოსინუსის გამოთვლის ფორმულასიბრტყეზე აქვს ფორმა , ხოლო ვექტორებისთვის სამგანზომილებიან სივრცეში - .

მაგალითი.

იპოვეთ კუთხე მართკუთხა კოორდინატულ სისტემაში მოცემულ ვექტორებს შორის.

გამოსავალი.

შეგიძლიათ დაუყოვნებლივ გამოიყენოთ ფორმულა:

ან შეგიძლიათ გამოიყენოთ ფორმულა ვექტორებს შორის კუთხის კოსინუსის მოსაძებნადმანამდე გამოთვალა ვექტორების სიგრძე და სკალარული ნამრავლი კოორდინატებზე:

პასუხი:

პრობლემა დაყვანილია წინა შემთხვევამდე, როდესაც მოცემულია სამი წერტილის კოორდინატები (მაგ ა, INდა თან) მართკუთხა კოორდინატთა სისტემაში და თქვენ უნდა იპოვოთ კუთხე (მაგალითად, ).

მართლაც, კუთხე ტოლია კუთხის ვექტორებსა და . ამ ვექტორების კოორდინატები გამოითვლება როგორც განსხვავება ვექტორის ბოლო და საწყისი წერტილების შესაბამის კოორდინატებს შორის.

მაგალითი.

სიბრტყეზე სამი წერტილის კოორდინატები მოცემულია დეკარტის კოორდინატულ სისტემაში. იპოვეთ ვექტორებს შორის კუთხის კოსინუსი და .

გამოსავალი.

განვსაზღვროთ ვექტორების კოორდინატები და მოცემული წერტილების კოორდინატები:

ახლა გამოვიყენოთ ფორმულა, რომ ვიპოვოთ სიბრტყეზე ვექტორებს შორის კუთხის კოსინუსი კოორდინატებში:

პასუხი:

კუთხე ვექტორებს შორის და ასევე შეიძლება გამოითვალოს კოსინუსების თეორემა. თუ წერტილიდან გადავდებთ ოვექტორები და , შემდეგ კოსინუსების თეორემით სამკუთხედში OAVშეგვიძლია დავწეროთ, რომელიც ტოლია ტოლობისა, საიდანაც ვპოულობთ ვექტორებს შორის კუთხის კოსინუსს. მიღებული ფორმულის გამოსაყენებლად, ჩვენ გვჭირდება მხოლოდ ვექტორების სიგრძეები და , რომლებიც ადვილად შეიძლება ვიპოვოთ ვექტორების კოორდინატებიდან და . თუმცა, ეს მეთოდი პრაქტიკულად არ გამოიყენება, რადგან ვექტორებს შორის კუთხის კოსინუსი უფრო ადვილია ფორმულის გამოყენებით.

ორთოგონალური პროექციის გამოთვლა (საკუთარი პროექცია):

ვექტორის პროექცია l ღერძზე ტოლია ვექტორული მოდულის ნამრავლისა და φ კუთხის კოსინუსს ვექტორსა და ღერძს შორის, ე.ი. pr cosφ.

Doc: თუ φ=< , то пр l =+ = *cos φ.

თუ φ> (φ≤ ), მაშინ pr l =- =- * cos( -φ) = cosφ (იხ. სურ.10)

თუ φ= , მაშინ pr l = 0 = cos φ.

შედეგი: ვექტორის პროექცია ღერძზე დადებითია (უარყოფითი), თუ ვექტორი ქმნის ღერძთან მახვილ (ბუნდოვან) კუთხეს და ტოლია ნულის, თუ ეს კუთხე მართია.

შედეგი: ერთსა და იმავე ღერძზე თანაბარი ვექტორების პროგნოზები ერთმანეთის ტოლია.

ვექტორთა ჯამის ორთოგონალური პროექციის გამოთვლა (პროექციის თვისება):

რამდენიმე ვექტორის ჯამის პროექცია ერთსა და იმავე ღერძზე უდრის მათი პროექციის ჯამს ამ ღერძზე.

Doc: მოდით, მაგალითად, = + + . გვაქვს pr l =+ =+ + - , ე.ი. pr l ( + + ) = pr l + pr l + pr l (იხ. სურ.11)

ბრინჯი. თერთმეტი

ვექტორისა და რიცხვის ნამრავლის გამოთვლა:

როდესაც ვექტორი მრავლდება λ რიცხვზე, მისი პროექცია ღერძზე ასევე მრავლდება ამ რიცხვზე, ე.ი. pr l (λ* )= λ* pr l .

დადასტურება: λ > 0-სთვის გვაქვს pr l (λ* )= *cos φ = λ* φ = λ*pr l

როდესაც λl (λ* )= *cos( -φ)=- * (-cosφ) = * cosφ= λ *pr l .

ქონება ასევე მოქმედებს, როდესაც

ამრიგად, ვექტორებზე წრფივი მოქმედებები იწვევს შესაბამის ხაზოვან ოპერაციებს ამ ვექტორების პროგნოზებზე.

შედგება ორი განსხვავებული სხივისაგან, რომელიც გამოდის ერთი წერტილიდან. სხივებს ე.წ U.-ს მხარეები, ხოლო მათი საერთო დასაწყისი არის U-ის ზევით. მოდით [ VA),[მზე) - კუთხის მხარეები, IN -მისი წვერო არის U გვერდებით განსაზღვრული სიბრტყე. ფიგურა სიბრტყეს ორ ფიგურად ყოფს. i==l, 2, ასევე ე.წ U. ან ბრტყელი კუთხე, ე.წ. ბინის შიდა რეგიონი U.
ორ კუთხეს ე.წ ტოლი (ან თანმიმდევრული), თუ შესაძლებელია მათი გასწორება ისე, რომ მათი შესაბამისი მხარეები და წვეროები ემთხვეოდეს. სიბრტყის ნებისმიერი სხივიდან, მისგან მოცემული მიმართულებით, შეიძლება გამოვყოთ მოცემული ღერძის ტოლი ერთი ღერძი, ღერძის შედარება ხორციელდება ორი გზით. თუ სხივი განიხილება, როგორც საერთო წარმოშობის სხივების წყვილი, მაშინ იმის გასარკვევად, თუ რომელია ორი სხივიდან უფრო დიდი, აუცილებელია სხივის წვეროები და მათი ერთი წყვილი გვერდი ერთ სიბრტყეში გაერთიანება (იხ. სურ. 1). თუ ერთი U-ს მეორე მხარე აღმოჩნდება მეორე U-ს შიგნით, მაშინ ამბობენ, რომ პირველი U. მეორეზე პატარაა. U-ს შედარების მეორე გზა ემყარება თითოეული U-ს გარკვეულ რიცხვთან შედარებას. ტოლი U. შეესაბამება იმავე გრადუსებს ან (იხ. ქვემოთ), უფრო დიდი U. შეესაბამება უფრო დიდ რიცხვს, ხოლო პატარა - უფრო მცირე რიცხვს.

დარეკა ორმა უ. მიმდებარე თუ მათ აქვთ საერთო წვერო და ერთი მხარე, ხოლო დანარჩენი ორი მხარე ქმნის სწორ ხაზს (იხ. სურ. 2). ზოგადად საერთო წვერის და ერთი საერთო მხარის მქონე U-ს უწოდებენ. მიმდებარე. დაურეკა უ ვერტიკალური თუ ერთის გვერდები მეორის გვერდების ზემოდან მიღმაა დაგრძელებული.ვერტიკალური U. ერთმანეთის ტოლია. უ., რომლის გვერდებიც სწორ ხაზს ქმნიან, ე.წ. გაფართოვდა. ნახევარი გაფართოებული უ. სწორი U. პირდაპირი U. შეიძლება ექვივალენტურად განისაზღვროს განსხვავებულად: U. ტოლია მისი მიმდებარე, ე.წ. პირდაპირი. ბრტყელი სიბრტყის ინტერიერი, რომელიც არ აღემატება გაშლილ სიბრტყეს, არის სიბრტყეზე ამოზნექილი რეგიონი. U-ს საზომი ერთეული მიღებულია პირდაპირი U-ის 90-ე წილადი, ე.წ. ხარისხი.

ასევე გამოიყენება ეგრეთ წოდებული U საზომი, რადიანის U საზომის რიცხვითი მნიშვნელობა უდრის U-ს გვერდების მიერ ამოჭრილი რკალის სიგრძეს ერთეული წრიდან. ერთი რადიანი ენიჭება რკალის შესაბამის U-ს, რომელიც უდრის მის რადიუსს. გაფართოებული U უდრის რადიანებს.
როდესაც იმავე სიბრტყეში მოქცეული ორი სწორი ხაზი იკვეთება მესამე სწორ ხაზთან, წარმოიქმნება Us (იხ. სურ. 3): 1 და 5, 2 და 6, 4 და 8, 3 და 7 - ე.წ. შესაბამისი; 2 და 5, 3 და 8 - შიდა ცალმხრივი; 1 და 6, 4 და 7 - გარე ცალმხრივი; 3 და 5, 2 და 8 - შიგნიდან ჯვარედინი წევა; 1 და 7, 4 და 6 - ჯვარედინი წევა გარედან.

პრაქტიკაში პრობლემების დროს მიზანშეწონილია განვიხილოთ ბრუნვა, როგორც ფიქსირებული სხივის ბრუნვის ზომა მისი საწყისის გარშემო მოცემულ პოზიციაზე. ამ შემთხვევაში სიგნალების ბრუნვის მიმართულებიდან გამომდინარე, შეიძლება ჩაითვალოს როგორც დადებითი, ასევე უარყოფითი. ამდენად, U. ამ თვალსაზრისით შეიძლება ჰქონდეს რაიმე ღირებულება. სხივის ბრუნვა განიხილება ტრიგონომეტრიულ თეორიაში. ფუნქციები: არგუმენტის ნებისმიერი მნიშვნელობისთვის (U.), შეგიძლიათ განსაზღვროთ ტრიგონომეტრიული მნიშვნელობები. ფუნქციები. გეომეტრიის კონცეფცია გეომეტრიაში. სისტემა, რომელიც დაფუძნებულია წერტილი-ვექტორულ აქსიომატიკაზე, ძირეულად განსხვავდება U.-ს, როგორც ფიგურის განმარტებებისაგან - ამ აქსიომატიკაში U. გაგებულია, როგორც გარკვეული მეტრიკა. ორ ვექტორთან დაკავშირებული რაოდენობა სკალარული ვექტორის გამრავლების მოქმედების გამოყენებით. კერძოდ, a და b ვექტორების თითოეული წყვილი განსაზღვრავს გარკვეულ კუთხეს - რიცხვს, რომელიც ასოცირდება ვექტორებთან ფორმულით.

სად ( ა, ბ) - ვექტორების სკალარული პროდუქტი.
U-ს ცნება, როგორც ბრტყელი ფიგურა და როგორც გარკვეული რიცხვითი მნიშვნელობა გამოიყენება სხვადასხვა გეომეტრიაში. პრობლემები, რომლებშიც განსაკუთრებული გზით დგინდება უ. ამრიგად, გადაკვეთის მრუდებს შორის ფორმის მიხედვით, რომლებსაც აქვთ გარკვეული ტანგენტები გადაკვეთის წერტილში, ვგულისხმობთ ამ ტანგენტების მიერ წარმოქმნილ ფორმას.
სწორ ხაზსა და სიბრტყეს შორის კუთხე მიიღება სწორი ხაზის და მისი მართკუთხა პროექციის მიერ სიბრტყეზე წარმოქმნილ კუთხედ; ის იზომება 0-დან დიაპაზონში

მათემატიკური ენციკლოპედია. - მ.: საბჭოთა ენციკლოპედია. I. M. ვინოგრადოვი. 1977-1985 წწ.

სინონიმები:

ნახეთ, რა არის "ANGLE" სხვა ლექსიკონებში:

ქარვა- კუთხე / იოკი / ... მორფემულ-მართლწერის ლექსიკონი

ქმარი. მოტეხილობა, კრუნჩხვა, მუხლი, იდაყვი, გამონაყარი ან ნაკეცები (დეპრესია) ერთ მხარეს. წრფივი კუთხე, ნებისმიერი ორი დაპირისპირებული ხაზი და მათი ინტერვალი; კუთხის სიბრტყე ან სიბრტყეში, ორი სიბრტყის ან კედლის შეხვედრა; კუთხე სქელია, სხეული, ერთმანეთში ხვდება... დალის განმარტებითი ლექსიკონი

კუთხე, კუთხის შესახებ, კუთხეზე (in) და (მათ.) კუთხეში, მ 1. სიბრტყის ნაწილი ორ სწორ ხაზს შორის, რომელიც გამოდის ერთი წერტილიდან (მათ.). კუთხის ზედა. კუთხის მხარეები. კუთხის გაზომვა გრადუსებში. მართი კუთხე. (90°). მკვეთრი კუთხე. (90°-ზე ნაკლები). ბუნდოვანი კუთხე....... უშაკოვის განმარტებითი ლექსიკონი

კუთხის- (1) შეტევის კუთხე საჰაერო ნაკადის მიმართულებას, რომელიც მიედინება თვითმფრინავის ფრთაზე და ფრთის მონაკვეთის აკორდს შორის. ამ კუთხით დამოკიდებულია ამწევი ძალის მნიშვნელობა. კუთხეს, რომლის დროსაც ამწევი ძალა არის მაქსიმალური, ეწოდება შეტევის კრიტიკული კუთხე. უ....... დიდი პოლიტექნიკური ენციკლოპედია

- (ბრტყელი) გეომეტრიული ფიგურა, რომელიც წარმოიქმნება ერთი წერტილიდან (კუთხის წვეროდან) გამომავალი ორი სხივით (კუთხის გვერდებით). ნებისმიერი კუთხე, რომელსაც აქვს წვერო გარკვეული წრის ცენტრში (ცენტრალური კუთხე) განსაზღვრავს წრეზე AB რკალს, რომელიც შემოსაზღვრულია წერტილებით... ... დიდი ენციკლოპედიური ლექსიკონი

კუთხის თავი, კუთხიდან, დათვის კუთხე, დაუმთავრებელი კუთხე, ყველა კუთხეში... რუსული სინონიმებისა და მნიშვნელობით მსგავსი გამოთქმების ლექსიკონი. ქვეშ. რედ. ნ. აბრამოვა, მ.: რუსული ლექსიკონები, 1999. კუთხის მწვერვალი, კუთხის წერტილი; ტარება, თავშესაფარი, დევიატინა, რუმბი,... ... სინონიმური ლექსიკონი

კუთხე- კუთხე, ჯოხი. კუთხე; სასჯელი ნახშირის შესახებ, კუთხეში და მათემატიკოსთა ნახშირში მეტყველებაში; pl. კუთხეები, ჯოხი. კუთხეები პრეპოზიციურ და სტაბილურ კომბინაციებში: კუთხის გარშემო და დასაშვებია კუთხის შემოვლა (შესვლა, შემობრუნება და ა.შ.), კუთხიდან კუთხეში (მოძრაობა, პოზიცია და ა.შ.), კუთხეში... ... გამოთქმისა და სტრესის სირთულეების ლექსიკონი თანამედროვე რუსულ ენაზე

კუთხე, კუთხე, კუთხეში, კუთხეში, ქმარი. 1. (კუთხეში.). გეომეტრიაში: ბრტყელი ფიგურა, რომელიც წარმოიქმნება ერთი წერტილიდან გამომავალი ორი სხივით (3 ციფრით). კუთხის ზედა. პირდაპირი y. (90°). მწვავე u. (90°-ზე ნაკლები). მუნჯი შენ. (90°-ზე მეტი). გარეგანი და შინაგანი....... ოჟეგოვის განმარტებითი ლექსიკონი

კუთხე- ANGLE, კუთხე, მ. ფსონის მეოთხედი, გამოცხადებისას, ბარათის კიდე იკეცება. ◘ ტუზი და ყვავი კუთხით დედოფალი // მოკლული. A.I. პოლეჟაევი. ერთი დღე მოსკოვში, 1832 წ. ◘ სადილის შემდეგ მაგიდაზე ჩერვონეტებს აფანტავს, ბარათებს არევს; დამსწრეთა გემბანები გატეხეს... ... მე-19 საუკუნის ბარათის ტერმინოლოგია და ჟარგონი

ეს მასალა ეძღვნება ისეთ კონცეფციას, როგორიცაა კუთხე ორ ხაზს შორის. პირველ აბზაცში განვმარტავთ რა არის და ილუსტრაციებში ვაჩვენებთ. შემდეგ ჩვენ გადავხედავთ გზებს, რომლითაც შეგიძლიათ იპოვოთ ამ კუთხის სინუსი, კოსინუსი და თავად კუთხე (ცალკე განვიხილავთ შემთხვევებს სიბრტყით და სამგანზომილებიანი სივრცით), მივცემთ საჭირო ფორმულებს და ზუსტად ვაჩვენებთ მაგალითებით როგორ გამოიყენება ისინი პრაქტიკაში.

იმისათვის, რომ გავიგოთ, რა არის ორი წრფის გადაკვეთისას წარმოქმნილი კუთხე, უნდა გვახსოვდეს კუთხის, პერპენდიკულარობის და გადაკვეთის წერტილის განმარტება.

განმარტება 1

ორ წრფეს ვუწოდებთ გადაკვეთას, თუ მათ აქვთ ერთი საერთო წერტილი. ამ წერტილს ორი წრფის გადაკვეთის წერტილი ეწოდება.

თითოეული სწორი ხაზი გადაკვეთის წერტილით იყოფა სხივებად. ორივე სწორი ხაზი ქმნის 4 კუთხეს, რომელთაგან ორი ვერტიკალურია, ხოლო ორი მიმდებარე. თუ ჩვენ ვიცით ერთი მათგანის ზომა, მაშინ შეგვიძლია განვსაზღვროთ დანარჩენი.

ვთქვათ, ვიცით, რომ ერთ-ერთი კუთხე α-ს უდრის. ამ შემთხვევაში, კუთხე, რომელიც მის მიმართ ვერტიკალურია, ასევე იქნება α-ს. დარჩენილი კუთხეების საპოვნელად, ჩვენ უნდა გამოვთვალოთ სხვაობა 180 ° - α. თუ α უდრის 90 გრადუსს, მაშინ ყველა კუთხე იქნება მართი. მართი კუთხით გადაკვეთილ ხაზებს პერპენდიკულურებს უწოდებენ (ცალკე სტატია ეძღვნება პერპენდიკულარობის ცნებას).

დააკვირდით სურათს:

მოდით გადავიდეთ ძირითადი განმარტების ჩამოყალიბებაზე.

განმარტება 2

ორი გადამკვეთი წრფის მიერ წარმოქმნილი კუთხე არის 4 კუთხიდან პატარას ზომა, რომელიც ქმნის ამ ორ წრფეს.

მნიშვნელოვანი დასკვნა უნდა გამოვიტანოთ განმარტებიდან: კუთხის ზომა ამ შემთხვევაში გამოსახული იქნება ნებისმიერი რეალური რიცხვით ინტერვალში (0, 90). თუ ხაზები პერპენდიკულარულია, მაშინ მათ შორის კუთხე ნებისმიერ შემთხვევაში იქნება. უდრის 90 გრადუსს.

ორ გადამკვეთ წრფეს შორის კუთხის საზომის პოვნის უნარი სასარგებლოა მრავალი პრაქტიკული პრობლემის გადასაჭრელად. გადაწყვეტის მეთოდი შეიძლება შეირჩეს რამდენიმე ვარიანტიდან.

დასაწყისისთვის, შეგვიძლია ავიღოთ გეომეტრიული მეთოდები. თუ რამე ვიცით დამატებითი კუთხეების შესახებ, მაშინ ჩვენ შეგვიძლია დავაკავშიროთ ისინი ჩვენთვის საჭირო კუთხესთან ტოლი ან მსგავსი ფიგურების თვისებების გამოყენებით. მაგალითად, თუ ვიცით სამკუთხედის გვერდები და უნდა გამოვთვალოთ კუთხე იმ წრფეებს შორის, რომლებზეც ეს გვერდები მდებარეობს, მაშინ კოსინუსების თეორემა შესაფერისია მისი ამოსახსნელად. თუ ჩვენს მდგომარეობაში გვაქვს მართკუთხა სამკუთხედი, მაშინ გამოთვლებისთვის ასევე დაგვჭირდება ვიცოდეთ კუთხის სინუსი, კოსინუსი და ტანგენსი.

კოორდინატთა მეთოდი ასევე ძალიან მოსახერხებელია ამ ტიპის პრობლემების გადასაჭრელად. მოდით განვმარტოთ, თუ როგორ გამოვიყენოთ ის სწორად.

გვაქვს მართკუთხა (დეკარტის) კოორდინატთა სისტემა O x y, რომელშიც მოცემულია ორი სწორი ხაზი. ავღნიშნოთ ისინი a და b ასოებით. სწორი ხაზები შეიძლება აღწერილი იყოს რამდენიმე განტოლების გამოყენებით. თავდაპირველ ხაზებს აქვთ გადაკვეთის წერტილი M. როგორ განვსაზღვროთ საჭირო კუთხე (აღვნიშნოთ ის α) ამ სწორ ხაზებს შორის?

დავიწყოთ მოცემულ პირობებში კუთხის პოვნის ძირითადი პრინციპის ჩამოყალიბებით.

ჩვენ ვიცით, რომ სწორი ხაზის კონცეფცია მჭიდროდ არის დაკავშირებული ისეთ ცნებებთან, როგორიცაა მიმართულების ვექტორი და ნორმალური ვექტორი. თუ გვაქვს გარკვეული წრფის განტოლება, შეგვიძლია მისგან ავიღოთ ამ ვექტორების კოორდინატები. ჩვენ შეგვიძლია ამის გაკეთება ერთდროულად ორი გადამკვეთი ხაზისთვის.

ორი გადამკვეთი ხაზით დაქვემდებარებული კუთხე შეიძლება მოიძებნოს გამოყენებით:

• მიმართულების ვექტორებს შორის კუთხე;
• კუთხე ნორმალურ ვექტორებს შორის;
• კუთხე ერთი ხაზის ნორმალურ ვექტორსა და მეორის მიმართულების ვექტორს შორის.

ახლა მოდით შევხედოთ თითოეულ მეთოდს ცალკე.

1. დავუშვათ, რომ გვაქვს a წრფე მიმართულების ვექტორით a → = (a x, a y) და წრფე b მიმართულების ვექტორით b → (b x, b y). ახლა გამოვსახოთ ორი ვექტორი a → და b → გადაკვეთის წერტილიდან. ამის შემდეგ ჩვენ დავინახავთ, რომ თითოეული მათგანი განლაგდება თავის სწორ ხაზზე. შემდეგ გვაქვს მათი შედარებითი მოწყობის ოთხი ვარიანტი. იხილეთ ილუსტრაცია:

თუ კუთხე ორ ვექტორს შორის არ არის ბლაგვი, მაშინ ეს იქნება კუთხე, რომელიც გვჭირდება გადაკვეთის წრფეებს შორის a და b. თუ ის ბლაგვია, მაშინ სასურველი კუთხე იქნება a →, b → ^ კუთხის მიმდებარე კუთხის ტოლი. ამრიგად, α = a → , b → ^ თუ a → , b → ^ ≤ 90 ° , და α = 180 ° - a → , b → ^ თუ a → , b → ^ > 90 ° .

გამომდინარე იქიდან, რომ თანაბარი კუთხის კოსინუსები ტოლია, შეგვიძლია მიღებული ტოლობები შემდეგნაირად გადავწეროთ: cos α = cos a →, b → ^, თუ a →, b → ^ ≤ 90 °; cos α = cos 180 ° - a →, b → ^ = - cos a →, b → ^, თუ a →, b → ^ > 90 °.

მეორე შემთხვევაში გამოყენებული იქნა შემცირების ფორმულები. ამრიგად,

cos α cos a → , b → ^ , cos a → , b → ^ ≥ 0 - cos a → , b → ^ , cos a → , b → ^< 0 ⇔ cos α = cos a → , b → ^

მოდით დავწეროთ ბოლო ფორმულა სიტყვებით:

განმარტება 3

ორი გადამკვეთი სწორი ხაზით წარმოქმნილი კუთხის კოსინუსი ტოლი იქნება მის მიმართულ ვექტორებს შორის კუთხის კოსინუსის მოდულისა.

ორ ვექტორს შორის a → = (a x, a y) და b → = (b x, b y) შორის კუთხის კოსინუსის ფორმულის ზოგადი ფორმა ასე გამოიყურება:

cos a → , b → ^ = a → , b → ^ a → b → = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2

მისგან შეგვიძლია გამოვიტანოთ ორ მოცემულ სწორ წრფეს შორის კუთხის კოსინუსის ფორმულა:

cos α = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2 = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2

შემდეგ თავად კუთხე შეიძლება მოიძებნოს შემდეგი ფორმულის გამოყენებით:

α = a r c cos a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2

აქ a → = (a x , a y) და b → = (b x , b y) არის მოცემული წრფეების მიმართულების ვექტორები.

მოვიყვანოთ პრობლემის გადაჭრის მაგალითი.

მაგალითი 1

სიბრტყეზე მართკუთხა კოორდინატულ სისტემაში მოცემულია ორი გადამკვეთი ხაზი a და b. მათი აღწერა შესაძლებელია პარამეტრული განტოლებებით x = 1 + 4 · λ y = 2 + λ λ ∈ R და x 5 = y - 6 - 3. გამოთვალეთ კუთხე ამ ხაზებს შორის.

გამოსავალი

ჩვენ გვაქვს პარამეტრული განტოლება ჩვენს მდგომარეობაში, რაც ნიშნავს, რომ ამ ხაზისთვის შეგვიძლია დაუყოვნებლივ ჩავწეროთ მისი მიმართულების ვექტორის კოორდინატები. ამისათვის ჩვენ უნდა ავიღოთ პარამეტრის კოეფიციენტების მნიშვნელობები, ე.ი. სწორი ხაზი x = 1 + 4 · λ y = 2 + λ λ ∈ R-ს ექნება მიმართულების ვექტორი a → = (4, 1).

მეორე ხაზი აღწერილია კანონიკური განტოლების გამოყენებით x 5 = y - 6 - 3. აქ შეგვიძლია კოორდინატები ავიღოთ მნიშვნელებიდან. ამრიგად, ამ წრფეს აქვს მიმართულების ვექტორი b → = (5 , - 3) .

შემდეგი, ჩვენ პირდაპირ გადავდივართ კუთხის პოვნაზე. ამისათვის უბრალოდ ჩაანაცვლეთ ორი ვექტორის არსებული კოორდინატები ზემოთ მოცემულ ფორმულაში α = a r c cos a x · b x + a y + b y a x 2 + a y 2 · b x 2 + b y 2 . ჩვენ ვიღებთ შემდეგს:

α = a r c cos 4 5 + 1 (- 3) 4 2 + 1 2 5 2 + (- 3) 2 = a r c cos 17 17 34 = a r c cos 1 2 = 45 °

უპასუხე: ეს სწორი ხაზები ქმნიან 45 გრადუსიან კუთხეს.

ჩვენ შეგვიძლია გადავჭრათ მსგავსი პრობლემა ნორმალურ ვექტორებს შორის კუთხის პოვნის გზით. თუ გვაქვს წრფე a ნორმალური ვექტორით n a → = (n a x , n a y) და წრფე b ნორმალური ვექტორით n b → = (n b x , n b y), მაშინ მათ შორის კუთხე ტოლი იქნება n a → და შორის კუთხის. n b → ან კუთხე, რომელიც იქნება მიმდებარე n a →, n b → ^. ეს მეთოდი ნაჩვენებია სურათზე:

გადაკვეთის ხაზებსა და თავად ამ კუთხს შორის კუთხის კოსინუსის გამოსათვლელი ფორმულები ნორმალური ვექტორების კოორდინატების გამოყენებით ასე გამოიყურება:

cos α = cos n a →, n b → ^ = n a x n b x + n a y + n b y n a x 2 + n a y 2 n b x 2 + n b y 2 α = a r c cos n a x n b x + n a y + n b y n a x 2 + n y y 2 n b x 2 + n b y 2

აქ n a → და n b → აღნიშნავენ ორი მოცემული წრფის ნორმალურ ვექტორებს.

მაგალითი 2

მართკუთხა კოორდინატულ სისტემაში მოცემულია ორი სწორი ხაზი განტოლებების გამოყენებით 3 x + 5 y - 30 = 0 და x + 4 y - 17 = 0. იპოვეთ მათ შორის კუთხის სინუსი და კოსინუსი და თავად ამ კუთხის სიდიდე.

გამოსავალი

ორიგინალური ხაზები მითითებულია A x + B y + C = 0 ფორმის ნორმალური ხაზის განტოლებების გამოყენებით. ნორმალურ ვექტორს აღვნიშნავთ როგორც n → = (A, B). ვიპოვოთ პირველი ნორმალური ვექტორის კოორდინატები ერთი ხაზისთვის და დავწეროთ: n a → = (3, 5) . მეორე ხაზისთვის x + 4 y - 17 = 0, ნორმალურ ვექტორს ექნება კოორდინატები n b → = (1, 4). ახლა მივუმატოთ მიღებული მნიშვნელობები ფორმულას და გამოვთვალოთ ჯამი:

cos α = cos n a → , n b → ^ = 3 1 + 5 4 3 2 + 5 2 1 2 + 4 2 = 23 34 17 = 23 2 34

თუ ჩვენ ვიცით კუთხის კოსინუსი, მაშინ შეგვიძლია გამოვთვალოთ მისი სინუსი ძირითადი ტრიგონომეტრიული იდენტობის გამოყენებით. ვინაიდან სწორი ხაზებით წარმოქმნილი α კუთხე არ არის ბლაგვი, მაშინ sin α = 1 - cos 2 α = 1 - 23 2 34 2 = 7 2 34.

ამ შემთხვევაში, α = a r c cos 23 2 34 = a r c sin 7 2 34.

პასუხი: cos α = 23 2 34, sin α = 7 2 34, α = a r c cos 23 2 34 = a r c sin 7 2 34

გავაანალიზოთ ბოლო შემთხვევა - ვიპოვოთ კუთხე სწორ ხაზებს შორის, თუ ვიცით ერთი სწორი ხაზის მიმართულების ვექტორის და მეორის ნორმალური ვექტორის კოორდინატები.

დავუშვათ, რომ a სწორ წრფეს აქვს მიმართულების ვექტორი a → = (a x , a y) , ხოლო b წრფეს აქვს ნორმალური ვექტორი n b → = (n b x , n b y) . ჩვენ უნდა დავაყენოთ ეს ვექტორები გადაკვეთის წერტილიდან და განვიხილოთ ყველა ვარიანტი მათი შედარებითი პოზიციებისთვის. იხილეთ სურათზე:

თუ მოცემულ ვექტორებს შორის კუთხე არ არის 90 გრადუსზე მეტი, გამოდის, რომ ის შეავსებს კუთხეს a და b-ს შორის მართი კუთხით.

a → , n b → ^ = 90 ° - α თუ a → , n b → ^ ≤ 90 ° .

თუ ის 90 გრადუსზე ნაკლებია, მაშინ მივიღებთ შემდეგს:

a → , n b → ^ > 90 ° , შემდეგ a → , n b → ^ = 90 ° + α

თანაბარი კუთხის კოსინუსების ტოლობის წესის გამოყენებით ვწერთ:

cos a → , n b → ^ = cos (90 ° - α) = sin α a → , n b → ^ ≤ 90 ° .

cos a → , n b → ^ = cos 90 ° + α = - sin α a → , n b → ^ > 90 ° .

ამრიგად,

sin α = cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^ ≤ 90 ° - cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^ > 90 ° ⇔ sin α = cos a → , n b → ^, a → , n b → ^ > 0 - cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^< 0 ⇔ ⇔ sin α = cos a → , n b → ^

მოდით ჩამოვაყალიბოთ დასკვნა.

განმარტება 4

სიბრტყეზე გადამკვეთ ორ წრფეს შორის კუთხის სინუსის საპოვნელად, თქვენ უნდა გამოთვალოთ კუთხის კოსინუსის მოდული პირველი ხაზის მიმართულების ვექტორსა და მეორეს ნორმალურ ვექტორს შორის.

ჩამოვწეროთ საჭირო ფორმულები. კუთხის სინუსის პოვნა:

sin α = cos a → , n b → ^ = a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2

თავად კუთხის პოვნა:

α = a r c sin = a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2

აქ a → არის პირველი ხაზის მიმართულების ვექტორი, ხოლო n b → არის მეორის ნორმალური ვექტორი.

მაგალითი 3

ორი გადამკვეთი ხაზი მოცემულია განტოლებებით x - 5 = y - 6 3 და x + 4 y - 17 = 0. იპოვეთ გადაკვეთის კუთხე.

გამოსავალი

მოცემული განტოლებიდან ვიღებთ სახელმძღვანელოს და ნორმალური ვექტორის კოორდინატებს. გამოდის a → = (- 5, 3) და n → b = (1, 4). ვიღებთ ფორმულას α = a r c sin = a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2 და გამოვთვალოთ:

α = a r c sin = - 5 1 + 3 4 (- 5) 2 + 3 2 1 2 + 4 2 = a r c sin 7 2 34

გთხოვთ გაითვალისწინოთ, რომ ჩვენ ავიღეთ განტოლებები წინა ამოცანიდან და მივიღეთ ზუსტად იგივე შედეგი, მაგრამ განსხვავებული გზით.

პასუხი:α = a r c sin 7 2 34

წარმოგიდგენთ სხვა გზას სასურველი კუთხის მოსაძებნად მოცემული სწორი ხაზების კუთხური კოეფიციენტების გამოყენებით.

ჩვენ გვაქვს წრფე a, რომელიც განისაზღვრება მართკუთხა კოორდინატთა სისტემაში განტოლების გამოყენებით y = k 1 x + b 1 და წრფე b, რომელიც განისაზღვრება როგორც y = k 2 x + b 2. ეს არის ხაზების განტოლებები ფერდობებთან. გადაკვეთის კუთხის საპოვნელად ვიყენებთ ფორმულას:

α = a r c cos k 1 · k 2 + 1 k 1 2 + 1 · k 2 2 + 1, სადაც k 1 და k 2 არის მოცემული ხაზების ფერდობები. ამ ჩანაწერის მისაღებად გამოიყენეს ნორმალური ვექტორების კოორდინატებით კუთხის განსაზღვრის ფორმულები.

მაგალითი 4

სიბრტყეში იკვეთება ორი წრფე, რომლებიც მოცემულია განტოლებებით y = - 3 5 x + 6 და y = - 1 4 x + 17 4. გამოთვალეთ გადაკვეთის კუთხის მნიშვნელობა.

გამოსავალი

ჩვენი ხაზების კუთხური კოეფიციენტები ტოლია k 1 = - 3 5 და k 2 = - 1 4. მოდით დავუმატოთ ისინი ფორმულას α = a r c cos k 1 k 2 + 1 k 1 2 + 1 k 2 2 + 1 და გამოვთვალოთ:

α = a r c cos - 3 5 · - 1 4 + 1 - 3 5 2 + 1 · - 1 4 2 + 1 = a r c cos 23 20 34 24 · 17 16 = a r c cos 23 2 34

პასუხი:α = a r c cos 23 2 34

ამ აბზაცის დასკვნებში უნდა აღინიშნოს, რომ აქ მოცემული კუთხის პოვნის ფორმულები ზეპირად არ უნდა ვისწავლოთ. ამისათვის საკმარისია ვიცოდეთ მოცემული წრფეების გიდების ან/და ნორმალური ვექტორების კოორდინატები და შევძლოთ მათი განსაზღვრა სხვადასხვა ტიპის განტოლებების გამოყენებით. მაგრამ უმჯობესია დაიმახსოვროთ ან ჩაწეროთ ფორმულები კუთხის კოსინუსის გამოსათვლელად.

როგორ გამოვთვალოთ კუთხე სივრცეში გადამკვეთ ხაზებს შორის

ასეთი კუთხის გამოთვლა შეიძლება შემცირდეს მიმართულების ვექტორების კოორდინატების გაანგარიშებამდე და ამ ვექტორების მიერ წარმოქმნილი კუთხის სიდიდის განსაზღვრით. ასეთი მაგალითებისთვის გამოიყენება იგივე მსჯელობა, რაც ადრე მოვიყვანეთ.

დავუშვათ, რომ გვაქვს მართკუთხა კოორდინატთა სისტემა, რომელიც მდებარეობს სამგანზომილებიან სივრცეში. იგი შეიცავს ორ სწორ ხაზს a და b გადაკვეთის წერტილით M. მიმართულების ვექტორების კოორდინატების გამოსათვლელად უნდა ვიცოდეთ ამ წრფეების განტოლებები. ავღნიშნოთ მიმართულების ვექტორები a → = (a x , a y , a z) და b → = (b x , b y , b z) . მათ შორის კუთხის კოსინუსის გამოსათვლელად ვიყენებთ ფორმულას:

cos α = cos a → , b → ^ = a → , b → a → b → = a x b x + a y b y + a z b z a x 2 + a y 2 + a z 2 b x 2 + b y 2 + b z 2

თავად კუთხის საპოვნელად გვჭირდება ეს ფორმულა:

α = a r c cos a x b x + a y b y + a z b z a x 2 + a y 2 + a z 2 b x 2 + b y 2 + b z 2

მაგალითი 5

ჩვენ გვაქვს წრფე, რომელიც განსაზღვრულია სამგანზომილებიან სივრცეში განტოლების გამოყენებით x 1 = y - 3 = z + 3 - 2. ცნობილია, რომ ის კვეთს O z ღერძს. გამოთვალეთ ამ კუთხის კვეთის კუთხე და კოსინუსი.

გამოსავალი

ავღნიშნოთ კუთხე, რომელიც უნდა გამოითვალოს α ასოთი. ჩამოვწეროთ მიმართულების ვექტორის კოორდინატები პირველი სწორი ხაზისთვის – a → = (1, - 3, - 2) . აპლიკაციური ღერძისთვის შეიძლება ავიღოთ კოორდინატთა ვექტორი k → = (0, 0, 1), როგორც სახელმძღვანელო. ჩვენ მივიღეთ საჭირო მონაცემები და შეგვიძლია დავამატოთ სასურველ ფორმულაში:

cos α = cos a → , k → ^ = a → , k → a → k → = 1 0 - 3 0 - 2 1 1 2 + (- 3) 2 + (- 2) 2 0 2 + 0 2 + 1 2 = 2 8 = 1 2

შედეგად, ჩვენ აღმოვაჩინეთ, რომ კუთხე, რომელიც გვჭირდება, უდრის r c cos 1 2 = 45 °.

პასუხი: cos α = 1 2 , α = 45 ° .

თუ შეამჩნევთ შეცდომას ტექსტში, მონიშნეთ იგი და დააჭირეთ Ctrl+Enter

ამ გაკვეთილზე მივცემთ თანამიმართული სხივების განმარტებას და დავამტკიცებთ თეორემას თანამიმართულ გვერდებთან კუთხეების ტოლობის შესახებ. შემდეგი, ჩვენ მივცემთ კუთხის განმარტებას გადაკვეთის ხაზებსა და დახრილ ხაზებს შორის. მოდით განვიხილოთ, რა შეიძლება იყოს კუთხე ორ სწორ ხაზს შორის. გაკვეთილის ბოლოს გადავწყვეტთ რამდენიმე პრობლემას გადამკვეთ წრფეებს შორის კუთხეების პოვნის შესახებ.

თემა: წრფეებისა და სიბრტყეების პარალელიზმი

გაკვეთილი: კუთხეები გასწორებული გვერდებით. კუთხე ორ სწორ ხაზს შორის

ნებისმიერი სწორი ხაზი, მაგალითად OO 1(ნახ. 1.), ჭრის თვითმფრინავს ორ ნახევრად სიბრტყეზე. თუ სხივები OAდა O 1 A 1პარალელურები არიან და ერთსა და იმავე ნახევრად სიბრტყეში დევს, მაშინ ეძახიან თანარეჟისორი.

სხივები O 2 A 2და OAარ არიან თანამიმართულები (ნახ. 1.). ისინი პარალელურები არიან, მაგრამ არ წევენ ერთსა და იმავე ნახევრად სიბრტყეში.

თუ ორი კუთხის გვერდი გასწორებულია, მაშინ კუთხეები ტოლია.

მტკიცებულება

მოგვცეს პარალელური სხივები OAდა O 1 A 1და პარალელური სხივები OBდა დაახლოებით 1 1-ში(ნახ. 2.). ანუ გვაქვს ორი კუთხე AOBდა A 1 O 1 B 1, რომლის გვერდები დევს თანამიმართულ სხივებზე. დავამტკიცოთ, რომ ეს კუთხეები ტოლია.

სხივის მხარეს OAდა O 1 A 1აირჩიეთ ქულები ადა A 1ისე რომ სეგმენტები OAდა O 1 A 1თანაბარი იყვნენ. ანალოგიურად, ქულები INდა 1-შიაირჩიეთ ისე, რომ სეგმენტები OBდა დაახლოებით 1 1-შითანაბარი იყვნენ.

განვიხილოთ ოთხკუთხედი A 1 O 1 OA(ნახ. 3.) OAდა O 1 A 1 A 1 O 1 OA A 1 O 1 OA OO 1და AA 1პარალელური და თანაბარი.

განვიხილოთ ოთხკუთხედი B 1 O 1 OV. ეს ოთხკუთხედი მხარე OBდა დაახლოებით 1 1-შიპარალელური და თანაბარი. პარალელოგრამის საფუძველზე, ოთხკუთხედი B 1 O 1 OVარის პარალელოგრამი. იმიტომ რომ B 1 O 1 OV- პარალელოგრამი, შემდეგ გვერდები OO 1და BB 1პარალელური და თანაბარი.

და პირდაპირ AA 1ხაზის პარალელურად OO 1და სწორი BB 1ხაზის პარალელურად OO 1, ნიშნავს პირდაპირ AA 1და BB 1პარალელურად.

განვიხილოთ ოთხკუთხედი B 1 A 1 AB. ეს ოთხკუთხედი მხარე AA 1და BB 1პარალელური და თანაბარი. პარალელოგრამის საფუძველზე, ოთხკუთხედი B 1 A 1 ABარის პარალელოგრამი. იმიტომ რომ B 1 A 1 AB- პარალელოგრამი, შემდეგ გვერდები ABდა A 1 B 1პარალელური და თანაბარი.

განვიხილოთ სამკუთხედები AOBდა A 1 O 1 B 1.პარტიები OAდა O 1 A 1მშენებლობაში თანაბარი. პარტიები OBდა დაახლოებით 1 1-შიმშენებლობაშიც თანაბარია. და როგორც დავამტკიცეთ, ორივე მხარე ABდა A 1 B 1ასევე თანაბარი. ასე რომ, სამკუთხედები AOBდა A 1 O 1 B 1თანაბარი სამი მხრიდან. თანაბარ სამკუთხედებში თანაბარი კუთხეები განლაგებულია თანაბარი გვერდების საპირისპიროდ. ასე რომ, კუთხეები AOBდა A 1 O 1 B 1თანაბარია, როგორც საჭიროა დასამტკიცებლად.

1) გადამკვეთი ხაზები.

თუ ხაზები იკვეთება, მაშინ გვაქვს ოთხი განსხვავებული კუთხე. კუთხე ორ სწორ ხაზს შორის, ეწოდება უმცირეს კუთხეს ორ სწორ წრფეს შორის. კუთხე გადამკვეთ ხაზებს შორის ადა ბავღნიშნოთ α (სურ. 4.). კუთხე α ისეთია, რომ .

ბრინჯი. 4. კუთხე ორ გადამკვეთ წრფეს შორის

2) ხაზების გადაკვეთა

ნება პირდაპირ ადა ბშეჯვარება. ავირჩიოთ თვითნებური წერტილი შესახებ. წერტილის მეშვეობით შესახებმოდით პირდაპირ a 1, ხაზის პარალელურად ადა სწორი ბ 1, ხაზის პარალელურად ბ(ნახ. 5.). პირდაპირი a 1და ბ 1იკვეთება ერთ წერტილში შესახებ. კუთხე ორ გადამკვეთ წრფეს შორის a 1და ბ 1, კუთხე φ და ეწოდება კუთხე გადამკვეთ ხაზებს შორის.

ბრინჯი. 5. კუთხე ორ გადამკვეთ წრფეს შორის

დამოკიდებულია თუ არა კუთხის ზომა არჩეულ O წერტილზე?ავირჩიოთ წერტილი O 1. წერტილის მეშვეობით O 1მოდით პირდაპირ a 2, ხაზის პარალელურად ადა სწორი ბ 2, ხაზის პარალელურად ბ(ნახ. 6.). კუთხე გადამკვეთ ხაზებს შორის a 2და ბ 2აღვნიშნოთ φ 1. შემდეგ კუთხეები φ და φ 1 -კუთხეები გასწორებული მხარეებით. როგორც დავამტკიცეთ, ასეთი კუთხეები ერთმანეთის ტოლია. ეს ნიშნავს, რომ გადაკვეთის ხაზებს შორის კუთხის სიდიდე არ არის დამოკიდებული წერტილის არჩევანზე შესახებ.

პირდაპირი OBდა CDპარალელურად, OAდა CDშეჯვარება. იპოვეთ კუთხე ხაზებს შორის OAდა CD, თუ:

1) ∠AOB= 40°.

ავირჩიოთ წერტილი თან. გაიარეთ მასში სწორი ხაზი CD. განვახორციელოთ CA 1პარალელურად OA(ნახ. 7.). შემდეგ კუთხე 1 CD- კუთხე გადაკვეთის ხაზებს შორის OAდა CD. თეორემის მიხედვით კუთხეების თანაბარი გვერდით, კუთხე 1 CDკუთხის ტოლი AOBეს არის 40 °.

ბრინჯი. 7. იპოვეთ კუთხე ორ სწორ ხაზს შორის

2) ∠AOB= 135°.

იგივე კონსტრუქცია გავაკეთოთ (სურ. 8.). შემდეგ კუთხე გადაკვეთის ხაზებს შორის OAდა CDუდრის 45°-ს, რადგან ეს არის ყველაზე პატარა კუთხე, რომელიც მიიღება სწორი ხაზების გადაკვეთისას. CDდა CA 1.

3) ∠AOB= 90°.

იგივე კონსტრუქცია გავაკეთოთ (სურ. 9.). შემდეგ ყველა კუთხე, რომელიც მიიღება ხაზების გადაკვეთისას CDდა CA 1ტოლია 90°. საჭირო კუთხე არის 90°.

1) დაამტკიცეთ, რომ სივრცითი ოთხკუთხედის გვერდების შუა წერტილები პარალელოგრამის წვეროებია.

მტკიცებულება

მოგვცეს სივრცითი ოთხკუთხედი Ა Ბ Გ Დ. მ,N,K,ლ- ნეკნების შუა ბ.დ.ახ.წ.AC,ძვ.წ.შესაბამისად (სურ. 10.). ამის დამტკიცებაა საჭირო MNKL- პარალელოგრამი.

განვიხილოთ სამკუთხედი ABD. MN MNპარალელურად ABდა უდრის მის ნახევარს.

განვიხილოთ სამკუთხედი ABC. LK- შუა ხაზი. შუა ხაზის თვისების მიხედვით, LKპარალელურად ABდა უდრის მის ნახევარს.

და MN, და LKპარალელურად AB. ნიშნავს, MNპარალელურად LKსამი პარალელური წრფის თეორემით.

ჩვენ ამას ვხვდებით ოთხკუთხედში MNKL- მხარეები MNდა LKპარალელური და თანაბარი, ვინაიდან MNდა LKნახევარის ტოლი AB. ასე რომ, პარალელოგრამის კრიტერიუმის მიხედვით, ოთხკუთხედი MNKL- პარალელოგრამი, რისი დამტკიცებაც იყო საჭირო.

2) იპოვეთ კუთხე ხაზებს შორის ABდა CD, თუ კუთხე MNK= 135°.

როგორც უკვე დავამტკიცეთ, MNხაზის პარალელურად AB. ნკ- სამკუთხედის შუა ხაზი ACDქონებით, ნკპარალელურად DC. ასე რომ, წერტილის მეშვეობით ნარის ორი სწორი ხაზი MNდა ნკ, რომლებიც პარალელურია დახრილი ხაზების ABდა DCშესაბამისად. ასე რომ, კუთხე ხაზებს შორის MNდა ნკარის კუთხე გადამკვეთ ხაზებს შორის ABდა DC. გვეძლევა ბლაგვი კუთხე MNK= 135°. კუთხე სწორ ხაზებს შორის MNდა ნკ- ამ სწორი ხაზების გადაკვეთის შედეგად მიღებული კუთხეებიდან ყველაზე პატარა, ანუ 45°.

ასე რომ, ჩვენ გადავხედეთ კუთხეებს თანამიმართულ გვერდებთან და დავამტკიცეთ მათი თანასწორობა. ჩვენ გადავხედეთ კუთხეებს შორის გადამკვეთ და დახრილ ხაზებს და გადავწყვიტეთ რამდენიმე პრობლემა ორ წრფეს შორის კუთხის პოვნის შესახებ. შემდეგ გაკვეთილზე გავაგრძელებთ ამოცანების ამოხსნას და თეორიის მიმოხილვას.

1. გეომეტრია. 10-11 კლასები: სახელმძღვანელო ზოგადსაგანმანათლებლო დაწესებულებების სტუდენტებისთვის (საბაზო და სპეციალიზებული დონეები) / I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - მე-5 გამოცემა, შესწორებული და გაფართოებული - M.: Mnemosyne, 2008. - 288გვ. : ავად.

2. გეომეტრია. 10-11 კლასები: სახელმძღვანელო ზოგადსაგანმანათლებლო დაწესებულებებისთვის / Sharygin I.F. - M.: Bustard, 1999. - 208 გვ.: ill.

3. გეომეტრია. მე-10 კლასი: სახელმძღვანელო ზოგადსაგანმანათლებლო დაწესებულებებისთვის მათემატიკის სიღრმისეული და სპეციალიზებული შესწავლით /E. ვ.პოტოსკუევი, ლ.ი.ზვალიჩი. - მე-6 გამოცემა, სტერეოტიპი. - M.: Bustard, 008. - 233გვ. :ილ.

IN) ძვ.წ.და დ 1 1-ში.

ბრინჯი. 11. იპოვეთ კუთხე ხაზებს შორის

4. გეომეტრია. 10-11 კლასები: სახელმძღვანელო ზოგადსაგანმანათლებლო დაწესებულებების სტუდენტებისთვის (საბაზო და სპეციალიზებული დონეები) / I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - მე-5 გამოცემა, შესწორებული და გაფართოებული - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 გვ.: ill.

ამოცანები 13, 14, 15 გვ 54