ტრიგონომეტრიული ფუნქციები პერიოდული, ანუ მეორდება გარკვეული პერიოდის შემდეგ. შედეგად, საკმარისია ამ ინტერვალზე ფუნქციის შესწავლა და აღმოჩენილი თვისებების ყველა სხვა პერიოდზე გაფართოება.

ინსტრუქცია

1. თუ თქვენ მოგეცემათ პრიმიტიული გამოხატულება, რომელშიც არის მხოლოდ ერთი ტრიგონომეტრიული ფუნქცია (sin, cos, tg, ctg, sec, cosec), და ფუნქციის შიგნით კუთხე არ მრავლდება არცერთ რიცხვზე და ის თავად არ არის ამაღლებული რომელიმეზე. ძალა - გამოიყენეთ განმარტება. sin, cos, sec, cosec შემცველი გამონათქვამებისთვის თამამად დააყენეთ პერიოდი 2P-ზე და თუ არის tg, ctg განტოლებაში, მაშინ P. Say, y \u003d 2 sinx + 5 ფუნქციისთვის, პერიოდი იქნება 2P. .

2. თუ კუთხე x ტრიგონომეტრიული ფუნქციის ნიშნის ქვეშ გამრავლებულია რომელიმე რიცხვზე, მაშინ ამ ფუნქციის პერიოდის საპოვნელად გაყავით ტიპიური პერიოდი ამ რიცხვზე. ვთქვათ, თქვენ გეძლევათ ფუნქცია y = sin 5x. სინუსისთვის ტიპიური პერიოდია 2P, მისი გაყოფა 5-ზე, თქვენ მიიღებთ 2P / 5 - ეს არის ამ გამოხატვის სასურველი პერიოდი.

3. სიმძლავრემდე ამაღლებული ტრიგონომეტრიული ფუნქციის პერიოდის საპოვნელად შეაფასეთ სიმძლავრის თანასწორობა. თანაბარი ხარისხისთვის, გაანახევრეთ ნიმუშის პერიოდი. ვთქვათ, თუ მოგეცემათ ფუნქცია y \u003d 3 cos ^ 2x, მაშინ ტიპიური პერიოდი 2P შემცირდება 2-ჯერ, ასე რომ პერიოდი იქნება P-ის ტოლი. გთხოვთ, გაითვალისწინოთ, რომ tg, ctg ფუნქციები პერიოდულია ნებისმიერი ზომით P. .

4. თუ მოგეცემათ განტოლება, რომელიც შეიცავს 2 ტრიგონომეტრიული ფუნქციის ნამრავლს ან კოეფიციენტს, ჯერ იპოვეთ ყველა მათგანის წერტილი ცალ-ცალკე. ამის შემდეგ იპოვეთ მინიმალური რიცხვი, რომელიც მოერგება ორივე პერიოდის მთელ რაოდენობას. ვთქვათ, მოცემულია ფუნქცია y=tgx*cos5x. ტანგენტისთვის, პერიოდი არის P, კოსინუსისთვის 5x, წერტილი არის 2P/5. მინიმალური რიცხვი, რომელიც დაშვებულია ორივე ამ პერიოდის მორგებისთვის არის 2P, ამიტომ სასურველი პერიოდია 2P.

5. თუ გიჭირთ შემოთავაზებული ხერხის შესრულება ან შედეგში ეჭვი გეპარებათ, შეეცადეთ გააკეთოთ განსაზღვრებით. აიღეთ T, როგორც ფუნქციის პერიოდი, ის აღემატება ნულს. ჩაანაცვლეთ გამონათქვამი (x + T) განტოლებაში x-ის ნაცვლად და ამოიღეთ მიღებული ტოლობა თითქოს T იყოს პარამეტრი ან რიცხვი. შედეგად, თქვენ იპოვით ტრიგონომეტრიული ფუნქციის მნიშვნელობას და შეძლებთ აირჩიოთ ყველაზე მცირე პერიოდი. ვთქვათ, ხელშეწყობის შედეგად, თქვენ მიიღებთ პირადობის ცოდვას (T / 2) \u003d 0. T-ის მინიმალური მნიშვნელობა, რომელზეც ის შესრულებულია, არის 2P და ეს იქნება დავალების შედეგი.

პერიოდული ფუნქცია არის ფუნქცია, რომელიც იმეორებს მის მნიშვნელობებს გარკვეული არანულოვანი პერიოდის შემდეგ. ფუნქციის პერიოდი არის რიცხვი, რომლის დამატება ფუნქციის არგუმენტთან არ ცვლის ფუნქციის მნიშვნელობას.

დაგჭირდებათ

• დაწყებითი მათემატიკის ცოდნა და გამოკითხვის დასაწყისი.

ინსტრუქცია

1. მოდით ავღნიშნოთ f(x) ფუნქციის პერიოდი K რიცხვით. ჩვენი ამოცანაა ვიპოვოთ K-ის ეს მნიშვნელობა. ამისათვის წარმოიდგინეთ, რომ ფუნქცია f(x), პერიოდული ფუნქციის განსაზღვრის გამოყენებით, უტოლდება f. (x+K)=f(x).

2. ჩვენ ვხსნით მიღებულ განტოლებას უცნობი K-სთვის, თითქოს x არის მუდმივი. K-ის მნიშვნელობიდან გამომდინარე, რამდენიმე ვარიანტი იქნება.

3. თუ K>0, მაშინ ეს არის თქვენი ფუნქციის პერიოდი, თუ K=0, მაშინ ფუნქცია f(x) არ არის პერიოდული, თუ განტოლების ამონახსნი f(x+K)=f(x) არ არსებობს. ნებისმიერი K, რომელიც არ არის ნულის ტოლი, მაშინ ასეთ ფუნქციას ეწოდება აპერიოდული და მას ასევე არ აქვს წერტილი.

Მსგავსი ვიდეოები

Შენიშვნა!
ყველა ტრიგონომეტრიული ფუნქცია პერიოდულია და ყველა მრავალწევრი ფუნქცია 2-ზე მეტი ხარისხის არის აპერიოდული.

სასარგებლო რჩევა
2 პერიოდული ფუნქციისგან შემდგარი ფუნქციის პერიოდი არის ამ ფუნქციების პერიოდების უმცირესი საერთო ჯერადი.

ტრიგონომეტრიული განტოლებები არის განტოლებები, რომლებიც შეიცავს უცნობი არგუმენტის ტრიგონომეტრიულ ფუნქციებს (მაგალითად: 5sinx-3cosx =7). იმისათვის, რომ ისწავლოთ მათი გადაჭრა, ამისათვის საჭიროა იცოდეთ რამდენიმე მეთოდი.

ინსტრუქცია

1. ასეთი განტოლებების ამოხსნა შედგება 2 ეტაპისგან: პირველი არის განტოლების რეფორმირება მისი უმარტივესი ფორმის მისაღებად. უმარტივეს ტრიგონომეტრიულ განტოლებებს უწოდებენ: Sinx=a; cosx=a და ა.შ.

2. მეორე არის მიღებული უმარტივესი ტრიგონომეტრიული განტოლების ამოხსნა. ამ ტიპის განტოლებების ამოხსნის ძირითადი გზები არსებობს: ამოხსნა ალგებრული გზით. ეს მეთოდი ცნობილია სკოლიდან, ალგებრის კურსიდან. მას სხვაგვარად უწოდებენ ცვლადის ჩანაცვლებისა და ჩანაცვლების მეთოდს. შემცირების ფორმულების გამოყენებით, ჩვენ გარდაქმნით, ვაკეთებთ ჩანაცვლებას, რის შემდეგაც ვპოულობთ ფესვებს.

3. განტოლების დაშლა ფაქტორებად. ჯერ ყველა ტერმინს გადავიტანთ მარცხნივ და ვშლით ფაქტორებად.

4. განტოლების მიყვანა ერთგვაროვანზე. ჰომოგენურ განტოლებებს უწოდებენ განტოლებებს, თუ ყველა წევრი არის ერთნაირი ხარისხის და სინუსის, ერთი კუთხის კოსინუსის ამოსახსნელად თქვენ უნდა: ჯერ მისი ყველა წევრი გადაიტანოთ მარჯვენა მხრიდან მარცხენა მხარეს; ყველა საერთო ფაქტორის ფრჩხილებიდან გადატანა; ფაქტორებისა და ფრჩხილების ტოლფასი ნულამდე; გათანაბრებული ფრჩხილები იძლევა უფრო მცირე ხარისხის ერთგვაროვან განტოლებას, რომელიც უნდა გაიყოს cos-ზე (ან sin) უფრო მაღალ ხარისხზე; ამოხსენით მიღებული ალგებრული განტოლება რუჯისთვის.

5. შემდეგი გზა არის ნახევარ კუთხეში გადასვლა. თქვით, ამოხსენით განტოლება: 3 sin x - 5 cos x \u003d 7. მოდით გადავიდეთ ნახევარ კუთხეზე: 6 sin (x / 2) cos (x / 2) - 5 cos ? (x / 2) + 5 ცოდვა? (x / 2) = 7 ცოდვა? (x / 2) + 7 cos? (x/ 2) , რის შემდეგაც ვამცირებთ ყველა წევრს ერთ ნაწილზე (წინააღმდეგ შემთხვევაში მარჯვნივ) და ვხსნით განტოლებას.

6. დამხმარე კუთხის შესასვლელი. როდესაც ჩვენ შევცვლით cos(a) ან sin(a) მთელ რიცხვს. ნიშანი „ა“ დამხმარე კუთხეა.

7. პროდუქტის ჯამად გადაფორმების გზა. აქ თქვენ უნდა გამოიყენოთ შესაბამისი ფორმულები. ვთქვათ მოცემული: 2 sin x sin 3x = cos 4x. ჩვენ ვხსნით მას მარცხენა მხარის ჯამად გადაქცევით, ანუ: cos 4x - cos 8x = cos 4x, cos 8x = 0, 8x = p / 2 + pk, x = p / 16 + pk / 8.

8. საბოლოო გზა, რომელსაც ეწოდება მრავალფუნქციური ჩანაცვლება. გამოვხატავთ გამონათქვამს და ვაკეთებთ ჩანაცვლებას, ვთქვათ Cos(x/2)=u, რის შემდეგაც ვხსნით განტოლებას u პარამეტრით. ჯამის შეძენისას ჩვენ ვთარგმნით მნიშვნელობას საპირისპიროდ.

Მსგავსი ვიდეოები

თუ განვიხილავთ წერტილებს წრეზე, მაშინ წერტილები x, x + 2π, x + 4π და ა.შ. ემთხვევა ერთმანეთს. ასე რომ, ტრიგონომეტრიული ფუნქციებისწორ ხაზზე პერიოდულადგაიმეორეთ მათი მნიშვნელობა. თუ პერიოდი ცნობილია ფუნქციებინებადართულია ამ პერიოდზე ფუნქციის აგება და სხვებზე გამეორება.

ინსტრუქცია

1. პერიოდი არის რიცხვი T ისეთი, რომ f(x) = f(x+T). პერიოდის საპოვნელად ამოხსენით შესაბამისი განტოლება, არგუმენტის სახით ჩაანაცვლეთ x და x + T. ამ შემთხვევაში გამოიყენება ფუნქციების კარგად ცნობილი პერიოდები. სინუსის და კოსინუსური ფუნქციებისთვის პერიოდი არის 2π, ხოლო ტანგენსისა და კოტანგენსისთვის - π.

2. მიეცით ფუნქცია f(x) = sin^2(10x). განვიხილოთ გამოთქმა sin^2(10x) = sin^2(10(x+T)). გამოიყენეთ ფორმულა ხარისხის შესამცირებლად: sin^2(x) = (1 - cos 2x)/2. შემდეგ მიიღეთ 1 - cos 20x = 1 - cos 20(x+T) ან cos 20x = cos (20x+20T). იმის ცოდნა, რომ კოსინუსის პერიოდი არის 2π, 20T = 2π. აქედან გამომდინარე, T = π/10. T არის მინიმალური სწორი პერიოდი და ფუნქცია განმეორდება 2T-ის შემდეგ და 3T-ის შემდეგ და სხვა მიმართულებით ღერძის გასწვრივ: -T, -2T და ა.შ.

სასარგებლო რჩევა
გამოიყენეთ ფორმულები ფუნქციის ხარისხის შესამცირებლად. თუ უფრო კარგად იცნობთ ზოგიერთი ფუნქციის პერიოდებს, შეეცადეთ არსებული ფუნქცია ცნობილამდე შეამციროთ.

ლუწი და კენტი ფუნქციის პოვნა ხელს უწყობს ფუნქციის გრაფიკის აგებას და მისი ქცევის ბუნების გაგებას. ამ კვლევისთვის, თქვენ უნდა შეადაროთ მოცემული ფუნქცია დაწერილი "x" არგუმენტისთვის და "-x" არგუმენტისთვის.

ინსტრუქცია

1. ჩაწერეთ ფუნქცია, რომლის შესწავლაც გსურთ, როგორც y=y(x).

2. შეცვალეთ ფუნქციის არგუმენტი "-x". ჩაანაცვლეთ ეს არგუმენტი ფუნქციურ გამოსახულებაში.

3. გამოხატვის გამარტივება.

4. ამრიგად, თქვენ მიიღებთ იგივე ფუნქციას დაწერილი არგუმენტებისთვის "x" და "-x". შეხედეთ ამ ორ ჩანაწერს. თუ y(-x)=y(x), მაშინ ეს არის ლუწი ფუნქცია. თუ y(-x)=-y(x), მაშინ ეს არის კენტი ფუნქცია. თუ შეუძლებელია ფუნქციის შესახებ ვთქვათ, რომ y (-x)=y(x) ან y(-x)=-y(x), მაშინ, პარიტეტის თვისებით, ეს არის უნივერსალური ფორმის ფუნქცია. ანუ არც ლუწია და არც კენტი.

5. ჩაწერეთ თქვენი შედეგები. ახლა თქვენ შეგიძლიათ გამოიყენოთ ისინი ფუნქციის გრაფიკის შედგენისას ან ფუნქციის თვისებების მომავალ ანალიტიკურ ძიებაში.

6. ლუწი და კენტი ფუნქციებზე საუბარი ასევე შესაძლებელია იმ შემთხვევაში, როდესაც ფუნქციის გრაფიკი უფრო მჭიდროდ არის განსაზღვრული. ვთქვათ, გრაფიკი იყო ფიზიკური ექსპერიმენტის შედეგი. თუ ფუნქციის გრაფიკი სიმეტრიულია y ღერძის მიმართ, მაშინ y(x) არის ლუწი ფუნქცია. თუ ფუნქციის გრაფიკი სიმეტრიულია x ღერძის მიმართ, მაშინ x(y) არის ლუწი ფუნქცია. x(y) არის y(x)-ის შებრუნებული ფუნქცია, თუ ფუნქციის გრაფიკი სიმეტრიულია საწყისის მიმართ (0,0), მაშინ y(x) არის კენტი ფუნქცია. შებრუნებული ფუნქცია x(y) ასევე კენტი იქნება.

7. მნიშვნელოვანია გვახსოვდეს, რომ ლუწი და კენტი ფუნქციების ცნებას აქვს პირდაპირი კავშირი ფუნქციის დომენთან. თუ, ვთქვათ, ლუწი ან კენტი ფუნქცია არ არსებობს x=5-სთვის, მაშინ ის არ არსებობს x=-5-ისთვის, რაც შეუძლებელია ზოგადი ფორმის ფუნქციაზე ვთქვათ. ლუწი და კენტი დადგენისას ყურადღება მიაქციეთ ფუნქციის დომენს.

8. ლუწი და კენტი ფუნქციების ძიება კორელაციაშია ფუნქციის მნიშვნელობების სიმრავლის პოვნასთან. ლუწი ფუნქციის მნიშვნელობების სიმრავლის საპოვნელად საკმარისია ფუნქციის ნახევარის ნახვა, ნულის მარჯვნივ ან მარცხნივ. თუ x>0-სთვის ლუწი ფუნქცია y(x) იღებს მნიშვნელობებს A-დან B-მდე, მაშინ ის მიიღებს იგივე მნიშვნელობებს x-სთვის.<0.Для нахождения множества значений, принимаемых нечетной функцией, тоже довольно разглядеть только одну часть функции. Если при x>0 უცნაური ფუნქცია y(x) იღებს მნიშვნელობების დიაპაზონს A-დან B-მდე, შემდეგ x-სთვის<0 она будет принимать симметричный диапазон значений от (-В) до (-А).

"ტრიგონომეტრიული" ოდესღაც დაიწყო ეწოდოს ფუნქციებს, რომლებიც განისაზღვრება მართკუთხა სამკუთხედის მწვავე კუთხეების დამოკიდებულებით მისი გვერდების სიგრძეზე. ეს ფუნქციები მოიცავს, უპირველეს ყოვლისა, სინუსს და კოსინუსს, მეორეც, სეკანტს და კოსეკანტს, რომლებიც შებრუნებულია ამ ფუნქციების მიმართ, მათი ტანგენსი და კოტანგენტური წარმოებულები, აგრეთვე შებრუნებული ფუნქციები რკალი, არკოზინი და ა.შ. უფრო პოზიტიურია საუბარი არა ასეთი ფუნქციების „გადაწყვეტაზე“, არამედ მათ „გაანგარიშებაზე“, ანუ რიცხვითი მნიშვნელობის პოვნაზე.

ინსტრუქცია

1. თუ ტრიგონომეტრიული ფუნქციის არგუმენტი უცნობია, მაშინ დასაშვებია მისი მნიშვნელობის გამოთვლა არაპირდაპირი მეთოდით ამ ფუნქციების განმარტებებზე დაყრდნობით. ამისათვის თქვენ უნდა იცოდეთ სამკუთხედის გვერდების სიგრძეები, ტრიგონომეტრიული ფუნქცია, რომლის ერთ-ერთი კუთხის გამოთვლა გსურთ. ვთქვათ, განმარტებით, მართკუთხა სამკუთხედში მწვავე კუთხის სინუსი არის ამ კუთხის მოპირდაპირე ფეხის სიგრძის თანაფარდობა ჰიპოტენუზის სიგრძესთან. აქედან გამომდინარეობს, რომ კუთხის სინუსის საპოვნელად საკმარისია ვიცოდეთ ამ 2 გვერდის სიგრძე. მსგავსი განმარტება ამბობს, რომ მწვავე კუთხის სინუსი არის ამ კუთხის მიმდებარე ფეხის სიგრძის თანაფარდობა ჰიპოტენუზის სიგრძესთან. მწვავე კუთხის ტანგენსი შეიძლება გამოითვალოს მოპირდაპირე ფეხის სიგრძის მიმდებარე ფეხის სიგრძეზე გაყოფით, ხოლო კოტანგენსი მოითხოვს მიმდებარე ფეხის სიგრძის გაყოფას მოპირდაპირე ფეხის სიგრძეზე. მწვავე კუთხის სეკანტის გამოსათვლელად, თქვენ უნდა იპოვოთ ჰიპოტენუზის სიგრძის თანაფარდობა საჭირო კუთხის მიმდებარე ფეხის სიგრძესთან, ხოლო კოსეკანტი განისაზღვრება ჰიპოტენუზის სიგრძის სიგრძის თანაფარდობით. მოპირდაპირე ფეხის.

2. თუ ტრიგონომეტრიული ფუნქციის არგუმენტი შესრულებულია, მაშინ არ არის საჭირო სამკუთხედის გვერდების სიგრძის ცოდნა - ნებადართულია მნიშვნელობების ცხრილების ან ტრიგონომეტრიული ფუნქციების გამომთვლელების გამოყენება. ასეთი კალკულატორი Windows ოპერაციული სისტემის სტანდარტულ პროგრამებს შორისაა. მის გასაშვებად შეგიძლიათ დააჭიროთ Win + R კლავიშების კომბინაციას, შეიყვანოთ calc ბრძანება და დააჭიროთ OK ღილაკს. პროგრამის ინტერფეისში გახსენით განყოფილება "ნახვა" და აირჩიეთ "ინჟინერია" ან "მეცნიერი". მოგვიანებით ნებადართულია ტრიგონომეტრიული ფუნქციის არგუმენტის შემოღება. სინუსის, კოსინუსის და ტანგენსის ფუნქციების გამოსათვლელად, მნიშვნელობის შეყვანის შემდეგ დააწკაპუნეთ შესაბამის ინტერფეისის ღილაკზე (sin, cos, tg) და რკალის, რკოსინისა და არქტანგენტის რეციპროკალების საპოვნელად წინასწარ შეამოწმეთ Inv ჩამრთველი.

3. ასევე არსებობს ალტერნატიული მეთოდები. ერთ-ერთი მათგანია Nigma-ს ან Google-ის საძიებო სისტემის საიტზე შესვლა და საძიებო კითხვის სახით სასურველი ფუნქციის და მისი არგუმენტის შეყვანა (ვთქვათ, sin 0.47). ამ საძიებო სისტემებს აქვთ ჩაშენებული კალკულატორები, შესაბამისად, ასეთი მოთხოვნის გაგზავნის შემდეგ მიიღებთ თქვენ მიერ შეყვანილი ტრიგონომეტრიული ფუნქციის მნიშვნელობას.

Მსგავსი ვიდეოები

რჩევა 7: როგორ ამოვიცნოთ ტრიგონომეტრიული ფუნქციების მნიშვნელობა

ტრიგონომეტრიული ფუნქციები პირველად გამოჩნდა, როგორც აბსტრაქტული მათემატიკური გამოთვლების ხელსაწყოები მართკუთხა სამკუთხედში მახვილი კუთხეების სიდიდეების დამოკიდებულების გვერდების სიგრძეზე. ახლა ისინი ფართოდ გამოიყენება ადამიანის საქმიანობის როგორც სამეცნიერო, ასევე ტექნიკურ სფეროებში. მოცემული არგუმენტებიდან ტრიგონომეტრიული ფუნქციების უტილიტარული გამოთვლებისთვის დასაშვებია სხვადასხვა ხელსაწყოების გამოყენება - რამდენიმე განსაკუთრებით ხელმისაწვდომი ქვემოთ არის აღწერილი.

ინსტრუქცია

1. გამოიყენეთ, ვთქვათ, ოპერაციული სისტემით ნაგულისხმევად დაინსტალირებული კალკულატორის პროგრამა. ის იხსნება "კალკულატორის" ელემენტის არჩევით "კომუნალური" საქაღალდეში "ტიპიური" ქვესექციიდან, რომელიც მდებარეობს "ყველა პროგრამა" განყოფილებაში. ამ განყოფილების ნახვა შეგიძლიათ ოპერაციული სისტემის მთავარი მენიუს გახსნით ღილაკზე "დაწყება" დაწკაპუნებით. თუ იყენებთ Windows 7-ის ვერსიას, მაშინ შეგიძლიათ პრიმიტიულად შეიყვანოთ სიტყვა "კალკულატორი" მთავარი მენიუს "პროგრამების და ფაილების აღმოჩენა" ველში და შემდეგ დააწკაპუნოთ შესაბამის ბმულზე ძიების შედეგებში.

2. შეიყვანეთ კუთხის მნიშვნელობა, რომლისთვისაც გსურთ ტრიგონომეტრიული ფუნქციის გამოთვლა და შემდეგ დააჭირეთ ამ ფუნქციის შესაბამის ღილაკს - sin, cos ან tan. თუ გაწუხებთ შებრუნებული ტრიგონომეტრიული ფუნქციები (რკალი, არკოზინი ან არქტანგენსი), მაშინ ჯერ დააწკაპუნეთ ღილაკზე, სახელწოდებით Inv - ის ცვლის კალკულატორის საკონტროლო ღილაკებზე მინიჭებულ ფუნქციებს.

3. ოპერაციული სისტემის ადრინდელ ვერსიებში (ვთქვათ, Windows XP), ტრიგონომეტრიულ ფუნქციებზე წვდომისთვის, თქვენ უნდა გახსნათ განყოფილება "ნახვა" კალკულატორის მენიუში და უპირატესობა მიანიჭოთ "ინჟინერიის" ხაზს. გარდა ამისა, პროგრამის ძველი ვერსიების ინტერფეისში Inv ღილაკის ნაცვლად, არის ჩამრთველი იგივე წარწერით.

4. შეგიძლიათ გააკეთოთ კალკულატორის გარეშე, თუ გაქვთ ინტერნეტი. ინტერნეტში არის მრავალი სერვისი, რომლებიც გვთავაზობენ განსხვავებულად ორგანიზებულ ტრიგონომეტრიული ფუნქციების კალკულატორებს. ერთი განსაკუთრებით მოსახერხებელი ვარიანტი ჩაშენებულია ნიგმას საძიებო სისტემაში. მის მთავარ გვერდზე გადასვლის შემდეგ, საძიებო მოთხოვნის ველში პრიმიტიულად შეიყვანეთ მნიშვნელობა, რომელიც აღგაფრთოვანებთ - ვთქვათ, "რკალის ტანგენტი 30 გრადუსი". "აღმოაჩინე!" დაჭერის შემდეგ. საძიებო სისტემა გამოთვლის და აჩვენებს გამოთვლის შედეგს - 0,482347907101025.

Მსგავსი ვიდეოები

ტრიგონომეტრია არის მათემატიკის ფილიალი ფუნქციების გასაგებად, რომლებიც გამოხატავენ მართკუთხა სამკუთხედის გვერდების განსხვავებულ დამოკიდებულებას ჰიპოტენუზაში მწვავე კუთხეების სიდიდეებზე. ასეთ ფუნქციებს ტრიგონომეტრიულს უწოდებენ და მათთან მუშაობის გასაადვილებლად გამოიყვანეს ტრიგონომეტრიული ფუნქციები. ვინაობა .

Შესრულება ვინაობამათემატიკაში აღნიშნავს თანასწორობას, რომელიც დაკმაყოფილებულია მასში შემავალი ფუნქციების არგუმენტების ნებისმიერი მნიშვნელობით. ტრიგონომეტრიული ვინაობა- ეს არის ტრიგონომეტრიული ფუნქციების ტოლობები, დადასტურებული და მიღებული ტრიგონომეტრიული ფორმულებით მუშაობის გასამარტივებლად.ტრიგონომეტრიული ფუნქცია არის მართკუთხა სამკუთხედის ერთ-ერთი ფეხის დამოკიდებულების ელემენტარული ფუნქცია ჰიპოტენუზაზე მახვილი კუთხის სიდიდეზე. უფრო ხშირად, ვიდრე არა, გამოიყენება ექვსი ძირითადი ტრიგონომეტრიული ფუნქცია: sin (სინუსი), cos (კოსინუსი), tg (ტანგენსი), ctg (კოტანგენსი), sec (სეკანტი) და cosec (კოსეკანტი). ამ ფუნქციებს პირდაპირ უწოდებენ, ასევე არის ინვერსიული ფუნქციები, ვთქვათ, სინუსი - რკალი, კოსინუსი - არკოზინი და ა.შ. თავდაპირველად ტრიგონომეტრიული ფუნქციები ასახვას პოულობდა გეომეტრიაში, შემდეგ კი გავრცელდა მეცნიერების სხვა სფეროებში: ფიზიკა, ქიმია, გეოგრაფია, ოპტიკა. , ალბათობის თეორია, ასევე აკუსტიკა, მუსიკის თეორია, ფონეტიკა, კომპიუტერული გრაფიკა და მრავალი სხვა. ახლა უფრო რთულია მათემატიკური გამოთვლების წარმოდგენა ამ ფუნქციების გარეშე, თუმცა შორეულ წარსულში მათ მხოლოდ ასტრონომიასა და არქიტექტურაში იყენებდნენ.ტრიგონომეტრიული ვინაობაგამოიყენება გრძელი ტრიგონომეტრიული ფორმულებით მუშაობის გასამარტივებლად და საჭმლის მომნელებელ ფორმამდე მისაყვანად. არსებობს ექვსი ძირითადი ტრიგონომეტრიული იდენტობა, ისინი დაკავშირებულია პირდაპირ ტრიგონომეტრიულ ფუნქციებთან: tg ? = ცოდვა?/cos?; ცოდვა ^ 2? + cos^2? = 1; 1 + tg^2? = 1/cos^2?; 1 + 1/ტგ^2? = 1/ცოდვა^2?; ცოდვა (? / 2 -?) \u003d cos ?; cos (? / 2 -?) \u003d ცოდვა?. ესენი ვინაობაადვილი დასადასტურებელია მართკუთხა სამკუთხედში გვერდებისა და კუთხეების თანაფარდობის თვისებებიდან: sin ? = BC/AC = b/c; cos? = AB/AC = a/c; tg? = ბ/ა პირველი ვინაობა tg ? = ცოდვა?/cos? გამომდინარეობს სამკუთხედში გვერდების თანაფარდობიდან და c გვერდის გამორიცხვით (ჰიპოტენუზა) ცოდვის cos-ზე გაყოფისას. ანალოგიურად, იდენტურობა ctg განისაზღვრება? = cos ?/sin ?, რადგან ctg ? = 1/tg ?. პითაგორას თეორემით, a^2 + b^2 = c^2. გავყოთ ეს ტოლობა c^2-ზე, მივიღებთ მეორე იდენტურობას: a^2/c^2 + b^2/c^2 = 1 => sin^2 ? + cos^2 ? = 1.მესამე და მეოთხე ვინაობაიღებს b^2-ზე და a^2-ზე გაყოფით, შესაბამისად: a^2/b^2 + 1 = c^2/b^2 => tg^2 ? + 1 = 1/cos^2 ?;1 + b^2/a^2 = c^2/a^2 => 1 + 1/tg^2 ? = 1/ცოდვა ^ ? ან 1 + ctg^2? \u003d 1 / ცოდვა ^ 2?. მეხუთე და მეექვსე მთავარი ვინაობამტკიცდება მართკუთხა სამკუთხედის მახვილი კუთხეების ჯამის განსაზღვრით, რომელიც უდრის 90 ° ან?/2. უფრო რთული ტრიგონომეტრიული ვინაობა: არგუმენტების დამატების ფორმულები, ორმაგი და სამმაგი კუთხეები, ხარისხის დაწევა, ფუნქციების ჯამის ან ნამრავლის რეფორმირება, აგრეთვე ტრიგონომეტრიული ჩანაცვლების ფორმულები, კერძოდ, ძირითადი ტრიგონომეტრიული ფუნქციების გამოსახულებები ნახევარკუთხით tg: sin ?= (2 * tg ? / 2) / (1 + tg^2 ?/2); cos ? = (1 – tg^2 ?/2)/(1 = tg^2 ?/2);tg ? = (2*tg ?/2)/(1 – tg^2 ?/2).

მინიმალურის პოვნის აუცილებლობა მნიშვნელობამათემატიკური ფუნქციებიარის რეალური ინტერესი გამოყენებითი პრობლემების გადაჭრაში, ვთქვათ, ეკონომიკაში. უზარმაზარი მნიშვნელობასამეწარმეო საქმიანობას აქვს ზარალის მინიმიზაცია.

ინსტრუქცია

1. იმისთვის, რომ ვიპოვოთ მინიმუმი მნიშვნელობა ფუნქციები, აუცილებელია განვსაზღვროთ x0 არგუმენტის რა სიდიდეზე დაკმაყოფილდება y(x0) უტოლობა? y(x), სად x? x0. ჩვეულებისამებრ, ეს პრობლემა წყდება გარკვეული ინტერვალით ან მნიშვნელობების თითოეულ დიაპაზონში ფუნქციებითუ ერთი არ არის მითითებული. გადაწყვეტის ერთ-ერთი ასპექტი არის ფიქსირებული წერტილების პოვნა.

2. სტაციონარული წერტილი ე.წ მნიშვნელობაარგუმენტი, რომ წარმოებული ფუნქციებიმიდის ნულამდე. ფერმას თეორემის მიხედვით, თუ დიფერენცირებადი ფუნქცია იღებს ექსტრემალს მნიშვნელობარაღაც მომენტში (ამ შემთხვევაში, ადგილობრივი მინიმუმი), მაშინ ეს წერტილი სტაციონარულია.

3. Მინიმალური მნიშვნელობაფუნქცია ხშირად იღებს ზუსტად ამ ეტაპზე, თუმცა მისი დადგენა უცვლელად არ შეიძლება. უფრო მეტიც, ყოველთვის არ არის შესაძლებელი ზუსტად იმის თქმა, თუ რა არის მინიმალური ფუნქციებიან ის იღებს უსასრულოდ პატარას მნიშვნელობა. შემდეგ, ჩვეულებისამებრ, ისინი პოულობენ ზღვარს, რომლითაც ის მიზიდავს კლებისას.

4. მინიმუმის დადგენის მიზნით მნიშვნელობა ფუნქციებიაუცილებელია ოთხი ეტაპისგან შემდგარი მოქმედებების თანმიმდევრობის შესრულება: განსაზღვრის დომენის პოვნა. ფუნქციები, ფიქსირებული ქულების მოპოვება, ღირებულებების მიმოხილვა ფუნქციებიამ წერტილებში და უფსკრულის ბოლოებზე მინიმუმის გამოვლენა.

5. გამოდის, რომ რომელიმე ფუნქცია y(x) იყოს მოცემული A და B წერტილების საზღვრების მქონე ინტერვალზე. იპოვეთ მისი განმარტების დომენი და გაარკვიეთ არის თუ არა ეს ინტერვალი მისი ქვესიმრავლე.

6. წარმოებულის გამოთვლა ფუნქციები. მიღებულ გამოსახულებას გაუტოლეთ ნულს და იპოვეთ განტოლების ფესვები. შეამოწმეთ, არის თუ არა ეს სტაციონარული წერტილები ინტერვალში. თუ არა, მაშინ შემდეგ ეტაპზე ისინი არ არის გათვალისწინებული.

7. შეხედეთ უფსკრული საზღვრების ტიპს: ღია, დახურული, რთული ან განზომილებიანი. ეს დამოკიდებულია იმაზე, თუ როგორ იპოვით მინიმუმს მნიშვნელობა. ვთქვათ, სეგმენტი [A, B] არის დახურული ინტერვალი. ჩაანაცვლეთ ისინი ფუნქციაში და გამოთვალეთ მნიშვნელობები. იგივე გააკეთე სტაციონარული წერტილით. აირჩიეთ ყველაზე პატარა ჯამი.

8. ღია და უსაზღვრო ინტერვალებით, სიტუაცია გარკვეულწილად რთულია. აქ ჩვენ უნდა ვეძებოთ ცალმხრივი საზღვრები, რომლებიც უცვლელად არ იძლევა ცალსახა შედეგს. ვთქვათ, ერთი დახურული და ერთი პუნქცია საზღვრის მქონე ინტერვალისთვის [A, B), უნდა ვიპოვოთ ფუნქცია x = A-ზე და ცალმხრივი ლიმიტი lim y x-ზე? B-0.

Ძირითადი ცნებები

დავიწყოთ განმარტებებით ლუწი, კენტი და პერიოდული ფუნქციები.

განმარტება 2

ლუწი ფუნქცია არის ფუნქცია, რომელიც არ იცვლის თავის მნიშვნელობას, როდესაც იცვლება დამოუკიდებელი ცვლადის ნიშანი:

განმარტება 3

ფუნქცია, რომელიც იმეორებს თავის მნიშვნელობებს დროის გარკვეულ პერიოდულ ინტერვალში:

T არის ფუნქციის პერიოდი.

ლუწი და კენტი ტრიგონომეტრიული ფუნქციები

განვიხილოთ შემდეგი სურათი (ნახ. 1):

სურათი 1.

აქ $\overrightarrow(OA_1)=(x_1,y_1)$ და $\overrightarrow(OA_2)=(x_2,y_2)$ არის $Ox$ ღერძის მიმართ სიმეტრიული ერთეული სიგრძის ვექტორები.

ცხადია, ამ ვექტორების კოორდინატები დაკავშირებულია შემდეგი ურთიერთობებით:

ვინაიდან სინუსის და კოსინუსის ტრიგონომეტრიული ფუნქციების დადგენა შესაძლებელია ერთეული ტრიგონომეტრიული წრის გამოყენებით, მივიღებთ, რომ სინუს ფუნქცია იქნება კენტი, ხოლო კოსინუს ფუნქცია იქნება ლუწი ფუნქცია, ანუ:

ტრიგონომეტრიული ფუნქციების პერიოდულობა

განვიხილოთ შემდეგი სურათი (ნახ. 2).

სურათი 2.

აქ $\overrightarrow(OA)=(x,y)$ არის ერთეული სიგრძის ვექტორი.

მოდით, სრული შემობრუნება გავაკეთოთ $\overrightarrow(OA)$ ვექტორით. ანუ დავატრიალოთ მოცემული ვექტორი $2\pi $ რადიანებით. ამის შემდეგ ვექტორი მთლიანად უბრუნდება თავდაპირველ პოზიციას.

ვინაიდან სინუსის და კოსინუსების ტრიგონომეტრიული ფუნქციები შეიძლება განისაზღვროს ერთეული ტრიგონომეტრიული წრის გამოყენებით, მივიღებთ, რომ

ანუ, სინუს და კოსინუს ფუნქციები არის პერიოდული ფუნქციები უმცირესი პერიოდით $T=2\pi $.

ახლა განვიხილოთ ტანგენსის და კოტანგენტის ფუნქციები. ვინაიდან $tgx=\frac(sinx)(cosx)$, მაშინ

ვინაიდან $сtgx=\frac(cosx)(sinx)$, მაშინ

ტრიგონომეტრიული ფუნქციების ლუწი, კენტი და პერიოდულობის გამოყენების ამოცანების მაგალითები

მაგალითი 1

დაამტკიცეთ შემდეგი მტკიცებულებები:

ა) $tg(385)^0=tg(25)^0$

გ) $sin((-721)^0)=-sin1^0$

ა) $tg(385)^0=tg(25)^0$

ვინაიდან ტანგენსი არის პერიოდული ფუნქცია, რომლის მინიმალური პერიოდია $(360)^0$, მივიღებთ

ბ) $(cos \left(-13\pi \მარჯვნივ)\ )=-1$

ვინაიდან კოსინუსი არის ლუწი და პერიოდული ფუნქცია, რომლის მინიმალური პერიოდია $2\pi $, მივიღებთ

\[(cos \left(-13\pi \right)\ )=(cos 13\pi \ )=(cos \left(\pi +6\cdot 2\pi \right)=cos\pi \ )=- ერთი\]

გ) $sin((-721)^0)=-sin1^0$

ვინაიდან სინუსი არის კენტი და პერიოდული ფუნქცია, რომლის მინიმალური პერიოდია $(360)^0$, მივიღებთ

y ცვლადის დამოკიდებულებას x ცვლადზე, რომელშიც x-ის თითოეული მნიშვნელობა შეესაბამება y-ის ერთ მნიშვნელობას, ეწოდება ფუნქცია. აღნიშვნა არის y=f(x). თითოეულ ფუნქციას აქვს რამდენიმე ძირითადი თვისება, როგორიცაა ერთფეროვნება, პარიტეტი, პერიოდულობა და სხვა.

პარიტეტისა და პერიოდულობის თვისებები

უფრო დეტალურად განვიხილოთ პარიტეტისა და პერიოდულობის თვისებები ძირითადი ტრიგონომეტრიული ფუნქციების მაგალითის გამოყენებით: y=sin(x),y=cos(x), y=tg(x), y=ctg(x).

ფუნქცია y=f(x) იწოდება მაშინაც კი, თუ ის აკმაყოფილებს შემდეგ ორ პირობას:

2. ფუნქციის სიდიდე x წერტილში, რომელიც მიეკუთვნება ფუნქციის ფარგლებს, უნდა იყოს -x წერტილის ფუნქციის მნიშვნელობის ტოლი. ანუ, ნებისმიერი x წერტილისთვის, ფუნქციის დომენიდან, შემდეგი ტოლობა f (x) \u003d f (-x) უნდა იყოს ჭეშმარიტი.

თუ თქვენ ააგებთ ლუწი ფუნქციის გრაფიკს, ის სიმეტრიული იქნება y-ღერძის მიმართ.

მაგალითად, ტრიგონომეტრიული ფუნქცია y=cos(x) ლუწია.

უცნაურობისა და პერიოდულობის თვისებები

ფუნქციას y=f(x) ეწოდება კენტი, თუ ის აკმაყოფილებს შემდეგ ორ პირობას:

1. მოცემული ფუნქციის დომენი უნდა იყოს სიმეტრიული O წერტილის მიმართ, ანუ თუ რომელიმე a წერტილი ეკუთვნის ფუნქციის დომენს, მაშინ შესაბამისი წერტილი -a ასევე უნდა ეკუთვნოდეს მოცემული ფუნქციის დომენს.

2. ნებისმიერი x წერტილისთვის, ფუნქციის დომენიდან, უნდა დაკმაყოფილდეს შემდეგი ტოლობა f (x) \u003d -f (x).

კენტი ფუნქციის გრაფიკი სიმეტრიულია O წერტილის მიმართ - საწყისი.

მაგალითად, ტრიგონომეტრიული ფუნქციები y=sin(x), y=tg(x), y=ctg(x) კენტია.

ტრიგონომეტრიული ფუნქციების პერიოდულობა

y=f(x) ფუნქციას პერიოდული ეწოდება, თუ არსებობს გარკვეული რიცხვი T!=0 (ე.წ. , x+T და x-T რიცხვები ასევე ეკუთვნის ფუნქციის დომენს და დაკმაყოფილებულია ტოლობა f(x)=f(x+T)=f(x-T).

უნდა გვესმოდეს, რომ თუ T არის ფუნქციის პერიოდი, მაშინ რიცხვი k*T, სადაც k არის ნებისმიერი არანულოვანი მთელი რიცხვი, ასევე იქნება ფუნქციის პერიოდი. ზემოაღნიშნულიდან გამომდინარე, მივიღებთ, რომ ნებისმიერ პერიოდულ ფუნქციას აქვს უსასრულოდ ბევრი პერიოდი. ყველაზე ხშირად საუბარი ფუნქციის უმცირეს პერიოდზეა.

ტრიგონომეტრიული ფუნქციები sin(x) და cos(x) პერიოდულია, უმცირესი პერიოდი უდრის 2*π.

მიზანი: მოსწავლეთა ცოდნის განზოგადება და სისტემატიზაცია თემაზე „ფუნქციების პერიოდულობა“; პერიოდული ფუნქციის თვისებების გამოყენების, ფუნქციის უმცირესი დადებითი პერიოდის პოვნის, პერიოდული ფუნქციების გამოსახვის უნარ-ჩვევების ჩამოყალიბება; მათემატიკის შესწავლისადმი ინტერესის გაღვივება; ამუშავებენ დაკვირვებას, სიზუსტეს.

აღჭურვილობა: კომპიუტერი, მულტიმედიური პროექტორი, დავალების ბარათები, სლაიდები, საათები, ორნამენტების მაგიდები, ხალხური რეწვის ელემენტები

"მათემატიკა არის ის, რასაც ადამიანები იყენებენ ბუნებისა და საკუთარი თავის გასაკონტროლებლად"
ა.ნ. კოლმოგოროვი

გაკვეთილების დროს

I. საორგანიზაციო ეტაპი.

მოსწავლეთა მზაობის შემოწმება გაკვეთილისთვის. გაკვეთილის თემისა და მიზნების პრეზენტაცია.

II. საშინაო დავალების შემოწმება.

ჩვენ ვამოწმებთ საშინაო დავალებას ნიმუშების მიხედვით, განვიხილავთ ყველაზე რთულ პუნქტებს.

III. ცოდნის განზოგადება და სისტემატიზაცია.

1. ზეპირი ფრონტალური სამუშაო.

თეორიის კითხვები.

1) ჩამოაყალიბეთ ფუნქციის პერიოდის განმარტება
2) რა არის y=sin(x), y=cos(x) ფუნქციების უმცირესი დადებითი პერიოდი
3). რა არის y=tg(x), y=ctg(x) ფუნქციების უმცირესი დადებითი პერიოდი
4) მიმართებების სისწორის დასამტკიცებლად გამოიყენეთ წრე:

y=sin(x) = sin(x+360º)
y=cos(x) = cos(x+360º)
y=tg(x) = tg(x+18 0º)
y=ctg(x) = ctg(x+180º)

tg(x+π n)=tgx, n ∈ Z
ctg(x+π n)=ctgx, n ∈ Z

sin(x+2π n)=sinx, n ∈ Z
cos(x+2π n)=cosx, n ∈ Z

5)როგორ გამოვსახოთ პერიოდული ფუნქცია?

ზეპირი ვარჯიშები.

1) დაამტკიცეთ შემდეგი მიმართებები

ა) ცოდვა (740º) = ცოდვა (20º)
ბ) cos(54º) = cos(-1026º)
გ) sin (-1000º) = ცოდვა (80º )

2. დაამტკიცეთ, რომ 540º კუთხე არის y= cos(2x) ფუნქციის ერთ-ერთი პერიოდი.

3. დაამტკიცეთ, რომ 360º კუთხე არის y=tg(x) ფუნქციის ერთ-ერთი პერიოდი.

4. გადააქციეთ ეს გამონათქვამები ისე, რომ მათში შემავალი კუთხეები აბსოლუტური სიდიდით არ აღემატებოდეს 90º-ს.

ა) tg375º
ბ) ctg530º
გ) sin1268º
დ) cos(-7363º)

5. სად შეგხვდათ სიტყვები PERIOD, PERIODICITY?

მოსწავლეთა პასუხები: პერიოდი მუსიკაში არის კონსტრუქცია, რომელშიც მეტ-ნაკლებად სრული მუსიკალური აზრია გადმოცემული. გეოლოგიური პერიოდი ეპოქის ნაწილია და იყოფა ეპოქებად 35-დან 90 მილიონ წლამდე პერიოდით.

რადიოაქტიური ნივთიერების ნახევარგამოყოფის პერიოდი. პერიოდული წილადი. პერიოდული გამოცემები არის ბეჭდური გამოცემები, რომლებიც ჩნდება მკაცრად განსაზღვრულ თარიღებზე. მენდელეევის პერიოდული სისტემა.

6. ნახატებზე ნაჩვენებია პერიოდული ფუნქციების გრაფიკების ნაწილები. განსაზღვრეთ ფუნქციის პერიოდი. განსაზღვრეთ ფუნქციის პერიოდი.

უპასუხე: T=2; T=2; T=4; T=8.

7. სად შეგხვედრიათ თქვენს ცხოვრებაში განმეორებადი ელემენტების აგება?

მოსწავლეები პასუხობენ: ორნამენტების ელემენტები, ხალხური ხელოვნება.

IV. პრობლემის კოლექტიური გადაჭრა.

(პრობლემის გადაჭრა სლაიდებზე.)

განვიხილოთ ფუნქციის პერიოდულობის შესწავლის ერთ-ერთი გზა.

ეს მეთოდი გვერდს უვლის სირთულეებს, რომლებიც დაკავშირებულია იმის მტკიცებასთან, რომ ერთი ან მეორე პერიოდი ყველაზე მცირეა, ასევე არ არის საჭირო კითხვების შეხება პერიოდულ ფუნქციებზე არითმეტიკული მოქმედებების და რთული ფუნქციის პერიოდულობის შესახებ. მსჯელობა ეფუძნება მხოლოდ პერიოდული ფუნქციის განსაზღვრას და შემდეგ ფაქტს: თუ T არის ფუნქციის პერიოდი, მაშინ nT(n? 0) არის მისი პერიოდი.

ამოცანა 1. იპოვეთ f(x)=1+3(x+q>5) ფუნქციის უმცირესი დადებითი პერიოდი.

ამოხსნა: დავუშვათ, რომ ამ ფუნქციის T-პერიოდი. მაშინ f(x+T)=f(x) ყველა x ∈ D(f), ე.ი.

1+3(x+T+0.25)=1+3(x+0.25)
(x+T+0.25)=(x+0.25)

მივიღოთ x=-0.25

(T)=0<=>T=n, n ∈ Z

ჩვენ მივიღეთ, რომ განხილული ფუნქციის ყველა პერიოდი (თუ ისინი არსებობს) არის მთელ რიცხვებს შორის. ამოირჩიეთ ამ რიცხვებს შორის ყველაზე პატარა დადებითი რიცხვი. Ეს არის 1 . მოდით შევამოწმოთ, არის თუ არა ეს რეალურად პერიოდი 1 .

f(x+1)=3(x+1+0.25)+1

ვინაიდან (T+1)=(T) ნებისმიერი T-სთვის, მაშინ f(x+1)=3((x+0.25)+1)+1=3(x+0.25)+1=f(x), ე.ი. 1 - პერიოდი ვ. ვინაიდან 1 არის ყველა დადებითი რიცხვიდან ყველაზე პატარა, მაშინ T=1.

დავალება 2. აჩვენეთ, რომ ფუნქცია f(x)=cos 2 (x) პერიოდულია და იპოვეთ მისი ძირითადი პერიოდი.

დავალება 3. იპოვეთ ფუნქციის ძირითადი პერიოდი

f(x)=sin(1.5x)+5cos(0.75x)

დავუშვათ ფუნქციის T-პერიოდი, შემდეგ ნებისმიერი Xთანაფარდობა

sin1.5(x+T)+5cos0.75(x+T)=sin(1.5x)+5cos(0.75x)

თუ x=0 მაშინ

sin(1.5T)+5cos(0.75T)=sin0+5cos0

sin(1.5T)+5cos(0.75T)=5

თუ x=-T, მაშინ

sin0+5cos0=sin(-1.5T)+5cos0.75(-T)

5= - sin(1.5T)+5cos(0.75T)

sin(1.5T)+5cos(0.75T)=5 – sin(1.5Т)+5cos(0.75Т)=5

დავამატებთ, ვიღებთ:

10cos(0.75T)=10

2π n, n € Z

მოდი, ყველა რიცხვიდან „საეჭვო“ ავირჩიოთ პერიოდისთვის ყველაზე პატარა დადებითი და შევამოწმოთ არის თუ არა ის წერტილი f-სთვის. ეს ნომერი

f(x+)=sin(1.5x+4π)+5cos(0.75x+2π)= sin(1.5x)+5cos(0.75x)=f(x)

აქედან გამომდინარე, არის f ფუნქციის ძირითადი პერიოდი.

დავალება 4. შეამოწმეთ არის თუ არა ფუნქცია f(x)=sin(x) პერიოდული

ვთქვათ T იყოს f ფუნქციის პერიოდი. შემდეგ ნებისმიერი x-ისთვის

sin|x+T|=ცოდვა|x|

თუ x=0, მაშინ sin|T|=sin0, sin|T|=0 T=π n, n ∈ Z.

დავუშვათ. რომ ზოგიერთი n-ისთვის π n რიცხვი არის წერტილი

განიხილება ფუნქცია π n>0. მაშინ sin|π n+x|=sin|x|

ეს ნიშნავს, რომ n უნდა იყოს ერთდროულად ლუწიც და კენტიც, რაც შეუძლებელია. ამიტომ, ეს ფუნქცია არ არის პერიოდული.

დავალება 5. შეამოწმეთ ფუნქცია პერიოდულია თუ არა

f(x)=

მოდით T იყოს f პერიოდი

, აქედან გამომდინარე sinT=0, T=π n, n € Z. დავუშვათ, რომ ზოგიერთი n-სთვის π n რიცხვი ნამდვილად არის მოცემული ფუნქციის პერიოდი. მაშინ რიცხვი 2π n ასევე იქნება წერტილი

ვინაიდან მრიცხველები ტოლია, მათი მნიშვნელებიც ტოლია, ასე რომ

აქედან გამომდინარე, ფუნქცია f არ არის პერიოდული.

Ჯგუფური სამუშაო.

დავალებები 1 ჯგუფისთვის.

დავალება 2 ჯგუფისთვის.

შეამოწმეთ არის თუ არა ფუნქცია f პერიოდული და იპოვეთ მისი ძირითადი პერიოდი (თუ ის არსებობს).

f(x)=cos(2x)+2sin(2x)

დავალებები მე-3 ჯგუფისთვის.

სამუშაოს დასასრულს ჯგუფები წარმოადგენენ თავიანთ გადაწყვეტილებებს.

VI. გაკვეთილის შეჯამება.

ანარეკლი.

მასწავლებელი აძლევს სტუდენტებს ბარათებს ნახატებით და სთავაზობს დახატონ პირველი ნახატის ნაწილი იმის მიხედვით, თუ რამდენად, როგორც მათ ეჩვენებათ, აითვისეს ფუნქციის შესწავლის მეთოდები პერიოდულობისთვის, ხოლო მეორე ნახატის ნაწილი. , გაკვეთილზე სამუშაოში მათი წვლილის შესაბამისად.

VII. Საშინაო დავალება

ერთი). შეამოწმეთ არის თუ არა f ფუნქცია პერიოდული და იპოვეთ მისი ძირითადი პერიოდი (თუ ის არსებობს)

ბ). f(x)=x 2 -2x+4

გ). f(x)=2ტგ(3x+5)

2). y=f(x) ფუნქციას აქვს პერიოდი T=2 და f(x)=x 2 +2x x €-ზე [-2; 0]. იპოვეთ გამოხატვის მნიშვნელობა -2f(-3)-4f(3,5)

ლიტერატურა/

1. მორდკოვიჩი ა.გ.ალგებრა და ანალიზის დასაწყისი სიღრმისეული შესწავლით.
2. მათემატიკა. მზადება გამოცდისთვის. რედ. ლისენკო ფ.ფ., კულაბუხოვა ს.იუ.
3. შერემეტიევა თ.გ. , ტარასოვა ე.ა.ალგებრა და დასაწყისი ანალიზი 10-11 კლასებისთვის.