ეს სტატია ეხება წილადებზე მოქმედებებს. ჩამოყალიბდება და დასაბუთდება A B ფორმის წილადების შეკრების, გამოკლების, გამრავლების, გაყოფის ან გამრავლების წესები, სადაც A და B შეიძლება იყოს რიცხვები, რიცხვითი გამოსახულებები ან გამოსახულებები ცვლადებით. დასასრულს, განხილული იქნება გადაწყვეტილებების მაგალითები დეტალური აღწერილობით.

ზოგადი ფორმის რიცხვითი წილადებით მოქმედებების შესრულების წესები

ზოგადი ფორმის რიცხვით წილადებს აქვთ მრიცხველი და მნიშვნელი, რომლებშიც არის ნატურალური რიცხვები ან რიცხვითი გამონათქვამები. თუ განვიხილავთ ისეთ წილადებს, როგორიცაა 3 5 , 2 , 8 4 , 1 + 2 3 4 (5 - 2) , 3 4 + 7 8 2 , 3 - 0 , 8 , 1 2 2 , π 1 - 2 3 + π , 2 0, 5 ln 3, მაშინ ცხადია, რომ მრიცხველს და მნიშვნელს შეიძლება ჰქონდეს არა მხოლოდ რიცხვები, არამედ განსხვავებული გეგმის გამოსახულებებიც.

განმარტება 1

არსებობს წესები, რომლითაც მოქმედებები სრულდება ჩვეულებრივი წილადებით. იგი ასევე შესაფერისია ზოგადი ფორმის ფრაქციებისთვის:

• ერთი და იგივე მნიშვნელებით წილადების გამოკლებისას ემატება მხოლოდ მრიცხველები, ხოლო მნიშვნელი იგივე რჩება, კერძოდ: a d ± c d \u003d a ± c d, a, c და d ≠ 0 მნიშვნელობები არის რამდენიმე რიცხვი ან რიცხვითი გამონათქვამები.
• სხვადასხვა მნიშვნელის მქონე წილადების შეკრების ან გამოკლებისას აუცილებელია საერთოზე შემცირება, შემდეგ კი მიღებული წილადების დამატება ან გამოკლება იგივე მაჩვენებლებით. სიტყვასიტყვით ასე გამოიყურება a b ± c d = a p ± c r s , სადაც მნიშვნელობები a , b ≠ 0 , c , d ≠ 0 , p ≠ 0 , r ≠ 0 , s ≠ 0 არის რეალური რიცხვები და b p = d r = ს. როდესაც p = d და r = b, მაშინ a b ± c d = a d ± c d b d.
• წილადების გამრავლებისას მოქმედება სრულდება მრიცხველებით, რის შემდეგაც მნიშვნელებით, შემდეგ ვიღებთ a b c d \u003d a c b d, სადაც a, b ≠ 0, c, d ≠ 0 მოქმედებს როგორც რეალური რიცხვები.
• წილადის წილადზე გაყოფისას პირველს ვამრავლებთ მეორე ორმხრივად, ანუ ვცვლით მრიცხველს და მნიშვნელს: a b: c d \u003d a b d c.

წესების დასაბუთება

განმარტება 2

არსებობს შემდეგი მათემატიკური პუნქტები, რომლებსაც უნდა დაეყრდნოთ გაანგარიშებისას:

• წილადი ბარი ნიშნავს გაყოფის ნიშანს;
• რიცხვზე გაყოფა განიხილება, როგორც გამრავლება მის ორმხრივად;
• რეალური რიცხვებით მოქმედებათა თვისების გამოყენება;
• წილადის ძირითადი თვისების გამოყენება და რიცხვითი უტოლობები.

მათი დახმარებით შეგიძლიათ გააკეთოთ ფორმის ტრანსფორმაციები:

a d ± c d = a d - 1 ± c d - 1 = a ± c d - 1 = a ± c d; a b ± c d = a p b p ± c r d r = a p s ± c e s = a p ± c r s; a b c d = a d b d b c b d = a d a d - 1 b c b d - 1 = = a d b c b d - 1 b d - 1 = a d b c b d b d - 1 = = (a c) (b d) - 1 = a c b d

მაგალითები

წინა აბზაცში ითქვა წილადებთან მოქმედებებზე. სწორედ ამის შემდეგ საჭიროა წილადის გამარტივება. ეს თემა დეტალურად იყო განხილული წილადების გარდაქმნის განყოფილებაში.

ჯერ განვიხილოთ ერთი და იგივე მნიშვნელის მქონე წილადების შეკრებისა და გამოკლების მაგალითი.

მაგალითი 1

მოცემულია წილადები 8 2 , 7 და 1 2 , 7 , მაშინ წესის მიხედვით აუცილებელია მრიცხველის დამატება და მნიშვნელის გადაწერა.

გამოსავალი

შემდეგ მივიღებთ 8 + 1 2, 7 ფორმის წილადს. შეკრების შესრულების შემდეგ ვიღებთ 8 + 1 2 , 7 = 9 2 , 7 = 90 27 = 3 1 3 ფორმის წილადს. ასე რომ 8 2 , 7 + 1 2 , 7 = 8 + 1 2 , 7 = 9 2 , 7 = 90 27 = 3 1 3 .

პასუხი: 8 2 , 7 + 1 2 , 7 = 3 1 3

გადაჭრის სხვა გზა არსებობს. დასაწყისისთვის, ხდება გადასვლა ჩვეულებრივი წილადის ფორმაზე, რის შემდეგაც ვასრულებთ გამარტივებას. ეს ასე გამოიყურება:

8 2 , 7 + 1 2 , 7 = 80 27 + 10 27 = 90 27 = 3 1 3

მაგალითი 2

გამოვაკლოთ 1 - 2 3 · log 2 3 · log 2 5 + 1 წილადები 2 3 3 · log 2 3 · log 2 5 + 1 .

ვინაიდან მოცემულია ტოლი მნიშვნელები, ეს ნიშნავს, რომ ჩვენ ვიანგარიშებთ წილადს იგივე მნიშვნელით. ჩვენ ამას მივიღებთ

1 - 2 3 log 2 3 log 2 5 + 1 - 2 3 3 log 2 3 log 2 5 + 1 = 1 - 2 - 2 3 3 log 2 3 log 2 5 + 1

არსებობს წილადების გამოთვლის მაგალითები სხვადასხვა მნიშვნელით. მნიშვნელოვანი პუნქტია საერთო მნიშვნელამდე შემცირება. ამის გარეშე ჩვენ ვერ შევძლებთ შემდგომი მოქმედებების შესრულებას წილადებით.

პროცესი დისტანციურად მოგვაგონებს საერთო მნიშვნელამდე შემცირებას. ანუ ხდება მნიშვნელში უმცირესი საერთო გამყოფის ძიება, რის შემდეგაც გამოტოვებული ფაქტორები ემატება წილადებს.

თუ დამატებულ წილადებს არ აქვთ საერთო ფაქტორები, მაშინ მათი პროდუქტი შეიძლება გახდეს ერთი.

მაგალითი 3

განვიხილოთ 2 3 5 + 1 და 1 2 წილადების დამატების მაგალითი.

გამოსავალი

ამ შემთხვევაში, საერთო მნიშვნელი არის მნიშვნელების ნამრავლი. შემდეგ მივიღებთ 2 · 3 5 + 1 . შემდეგ დამატებითი ფაქტორების დაყენებისას გვაქვს, რომ პირველ წილადს ის უდრის 2-ს, ხოლო მეორეს 3 5 + 1-ს. გამრავლების შემდეგ წილადები მცირდება 4 2 3 5 + 1 ფორმამდე. გენერალური მსახიობი 1 2 იქნება 3 5 + 1 2 · 3 5 + 1 . ჩვენ ვამატებთ მიღებულ წილადობრივ გამოსახულებებს და ვიღებთ ამას

2 3 5 + 1 + 1 2 = 2 2 2 3 5 + 1 + 1 3 5 + 1 2 3 5 + 1 = = 4 2 3 5 + 1 + 3 5 + 1 2 3 5 + 1 = 4 + 3 5 + 1 2 3 5 + 1 = 5 + 3 5 2 3 5 + 1

პასუხი: 2 3 5 + 1 + 1 2 = 5 + 3 5 2 3 5 + 1

როდესაც საქმე გვაქვს ზოგადი ფორმის წილადებთან, მაშინ უმცირესი საერთო მნიშვნელი, როგორც წესი, ასე არ არის. წამგებიანია მრიცხველთა ნამრავლის მნიშვნელად აღება. ჯერ უნდა შეამოწმოთ არის თუ არა რიცხვი, რომელიც მათ პროდუქტზე ნაკლებია.

მაგალითი 4

განვიხილოთ მაგალითი 1 6 2 1 5 და 1 4 2 3 5, როდესაც მათი ნამრავლი უდრის 6 2 1 5 4 2 3 5 = 24 2 4 5 . შემდეგ საერთო მნიშვნელად ვიღებთ 12 · 2 3 5.

განვიხილოთ ზოგადი ფორმის წილადების გამრავლების მაგალითები.

მაგალითი 5

ამისათვის აუცილებელია 2 + 1 6 და 2 · 5 3 · 2 + 1 გამრავლება.

გამოსავალი

წესის დაცვით აუცილებელია მრიცხველთა ნამრავლის გადაწერა და მნიშვნელად ჩაწერა. მივიღებთ, რომ 2 + 1 6 2 5 3 2 + 1 2 + 1 2 5 6 3 2 + 1. როდესაც წილადი მრავლდება, შეიძლება შემცირდეს მისი გამარტივება. შემდეგ 5 3 3 2 + 1: 10 9 3 = 5 3 3 2 + 1 9 3 10 .

გაყოფიდან გამრავლებაზე გადასვლის წესის გამოყენებით ვიღებთ მოცემულის საპასუხო ნაწილს. ამისათვის მრიცხველი და მნიშვნელი შებრუნებულია. მოდით შევხედოთ მაგალითს:

5 3 3 2 + 1: 10 9 3 = 5 3 3 2 + 1 9 3 10

ამის შემდეგ მათ უნდა შეასრულონ გამრავლება და გაამარტივონ მიღებული ფრაქცია. საჭიროების შემთხვევაში მოიშორეთ მნიშვნელობის ირაციონალურობა. ჩვენ ამას მივიღებთ

5 3 3 2 + 1: 10 9 3 = 5 3 3 9 3 10 2 + 1 = 5 2 10 2 + 1 = 3 2 2 + 1 = = 3 2 - 1 2 2 + 1 2 - 1 = 3 2 - 1 2 2 2 - 1 2 = 3 2 - 1 2

პასუხი: 5 3 3 2 + 1: 10 9 3 = 3 2 - 1 2

ეს პუნქტი გამოიყენება, როდესაც რიცხვი ან რიცხვითი გამოხატულება შეიძლება იყოს წარმოდგენილი წილადის სახით 1-ის ტოლი მნიშვნელით, მაშინ ოპერაცია ასეთი წილადით განიხილება ცალკეულ აბზაცად. მაგალითად, გამოხატულება 1 6 7 4 - 1 3 აჩვენებს, რომ 3-ის ფესვი შეიძლება შეიცვალოს სხვა 3 1 გამოსახულებით. მაშინ ეს ჩანაწერი ჰგავს 1 6 7 4 - 1 3 = 1 6 7 4 - 1 3 1 ფორმის ორი წილადის ნამრავლს.

ცვლადების შემცველი წილადებით მოქმედების შესრულება

პირველ სტატიაში განხილული წესები გამოიყენება ცვლადების შემცველი წილადების ოპერაციებისთვის. განვიხილოთ გამოკლების წესი, როდესაც მნიშვნელები იგივეა.

აუცილებელია დავამტკიცოთ, რომ A , C და D (D არ არის ნულის ტოლი) შეიძლება იყოს ნებისმიერი გამონათქვამი და ტოლობა A D ± C D = A ± C D არის მისი მოქმედი მნიშვნელობების დიაპაზონის ექვივალენტური.

აუცილებელია ODZ ცვლადების ნაკრების აღება. შემდეგ A, C, D უნდა მიიღოს შესაბამისი მნიშვნელობები a 0, c 0 და d0. A D ± C D ფორმის ჩანაცვლება იწვევს 0 d 0 ± c 0 d 0 ფორმის განსხვავებას, სადაც, დამატების წესის მიხედვით, ვიღებთ a 0 ± c 0 d 0 ფორმის ფორმულას. თუ ჩავანაცვლებთ A ± C D გამოსახულებას, მაშინ მივიღებთ 0 ± c 0 d 0 ფორმის იგივე წილადს. აქედან დავასკვნათ, რომ არჩეული მნიშვნელობა, რომელიც აკმაყოფილებს ODZ, A ± C D და A D ± C D, ითვლება ტოლად.

ცვლადების ნებისმიერი მნიშვნელობისთვის ეს გამონათქვამები ტოლი იქნება, ანუ მათ იდენტურად ტოლი ეწოდება. ეს ნიშნავს, რომ ეს გამოთქმა მიჩნეულია A D ± C D = A ± C D ფორმის დასამტკიცებლად ტოლობად.

წილადების შეკრებისა და გამოკლების მაგალითები ცვლადებით

როდესაც არსებობს ერთი და იგივე მნიშვნელები, საჭიროა მხოლოდ მრიცხველების დამატება ან გამოკლება. ეს ფრაქცია შეიძლება გამარტივდეს. ზოგჯერ თქვენ უნდა იმუშაოთ წილადებთან, რომლებიც იდენტურია, მაგრამ ერთი შეხედვით ეს არ არის შესამჩნევი, რადგან გარკვეული გარდაქმნები უნდა შესრულდეს. მაგალითად, x 2 3 x 1 3 + 1 და x 1 3 + 1 2 ან 1 2 sin 2 α და sin a cos a. ყველაზე ხშირად, საჭიროა ორიგინალური გამოხატვის გამარტივება, რათა დაინახოს იგივე მნიშვნელები.

მაგალითი 6

გამოთვალეთ: 1) x 2 + 1 x + x - 2 - 5 - x x + x - 2, 2) l g 2 x + 4 x (l g x + 2) + 4 l g x x (l g x + 2) , x - 1 x - 1 + x x + 1 .

გამოსავალი

1. გამოთვლების გასაკეთებლად, თქვენ უნდა გამოკლოთ წილადები, რომლებსაც აქვთ იგივე მნიშვნელები. შემდეგ მივიღებთ, რომ x 2 + 1 x + x - 2 - 5 - x x + x - 2 = x 2 + 1 - 5 - x x + x - 2. ამის შემდეგ შეგიძლიათ გახსნათ ფრჩხილები მსგავსი პირობების შემცირებით. მივიღებთ, რომ x 2 + 1 - 5 - x x + x - 2 = x 2 + 1 - 5 + x x + x - 2 = x 2 + x - 4 x + x - 2
2. ვინაიდან მნიშვნელები იგივეა, რჩება მხოლოდ მრიცხველების დამატება, მნიშვნელის დატოვება: l g 2 x + 4 x (l g x + 2) + 4 l g x x (l g x + 2) = l g 2 x + 4 + 4 x (l g x + 2)
   დამატება დასრულებულია. ჩანს, რომ ფრაქცია შეიძლება შემცირდეს. მისი მრიცხველი შეიძლება დაიკეცოს ჯამის კვადრატის ფორმულის გამოყენებით, შემდეგ მივიღებთ (l g x + 2) 2 შემოკლებული გამრავლების ფორმულებიდან. მაშინ მივიღებთ ამას
   l g 2 x + 4 + 2 l g x x (l g x + 2) = (l g x + 2) 2 x (l g x + 2) = l g x + 2 x
3. მოცემულია x - 1 x - 1 + x x + 1 ფორმის წილადები სხვადასხვა მნიშვნელებით. ტრანსფორმაციის შემდეგ, შეგიძლიათ გააგრძელოთ დამატება.

განვიხილოთ ორმხრივი გამოსავალი.

პირველი მეთოდი არის ის, რომ პირველი წილადის მნიშვნელი ექვემდებარება ფაქტორიზაციას კვადრატების გამოყენებით და მისი შემდგომი შემცირებით. ვიღებთ ფორმის ნაწილს

x - 1 x - 1 = x - 1 (x - 1) x + 1 = 1 x + 1

ასე რომ x - 1 x - 1 + x x + 1 = 1 x + 1 + x x + 1 = 1 + x x + 1.

ამ შემთხვევაში აუცილებელია მნიშვნელში ირაციონალურობის მოშორება.

1 + x x + 1 = 1 + x x - 1 x + 1 x - 1 = x - 1 + x x - x x - 1

მეორე გზა არის მეორე წილადის მრიცხველის და მნიშვნელის x-1-ზე გამრავლება. ამრიგად, ჩვენ ვიხსნით ირაციონალურობას და ვაგრძელებთ იგივე მნიშვნელის მქონე წილადის დამატებას. მაშინ

x - 1 x - 1 + x x + 1 = x - 1 x - 1 + x x - 1 x + 1 x - 1 = = x - 1 x - 1 + x x - x x - 1 = x - 1 + x x - x x - 1

პასუხი: 1) x 2 + 1 x + x - 2 - 5 - x x + x - 2 = x 2 + x - 4 x + x - 2, 2) l g 2 x + 4 x (l g x + 2) + 4 l g x x (l g x + 2) = ლ გ x + 2 x, 3) x - 1 x - 1 + x x + 1 = x - 1 + x x - x x - 1.

ბოლო მაგალითში აღმოვაჩინეთ, რომ საერთო მნიშვნელამდე შემცირება გარდაუვალია. ამისათვის თქვენ უნდა გაამარტივოთ წილადები. დასამატებლად ან გამოკლებისთვის, თქვენ ყოველთვის უნდა მოძებნოთ საერთო მნიშვნელი, რომელიც ჰგავს მნიშვნელების ნამრავლს მრიცხველებისთვის დამატებითი ფაქტორების დამატებით.

მაგალითი 7

გამოთვალეთ წილადების მნიშვნელობები: 1) x 3 + 1 x 7 + 2 2, 2) x + 1 x ln 2 (x + 1) (2 x - 4) - sin x x 5 ln (x + 1) ( 2 x - 4) , 3) ​​1 cos 2 x - x + 1 cos 2 x + 2 cos x x + x

გამოსავალი

1. მნიშვნელი არ საჭიროებს რაიმე რთულ გამოთვლებს, ამიტომ თქვენ უნდა აირჩიოთ მათი ნამრავლი ფორმის 3 x 7 + 2 2, შემდეგ პირველ წილადზე x 7 + 2 2 არჩეულია დამატებით კოეფიციენტად, ხოლო 3 მეორეზე. გამრავლებისას მივიღებთ x 3 + 1 x 7 + 2 2 = x x 7 + 2 2 3 x 7 + 2 2 + 3 1 3 x 7 + 2 2 = = x x 7 + 2 2 + 3 3 x 7 + 2 2 = x x 7 + 2 2 x + 3 3 x 7 + 2 2
2. ჩანს, რომ მნიშვნელები წარმოდგენილია როგორც პროდუქტი, რაც იმას ნიშნავს, რომ დამატებითი გარდაქმნები არასაჭიროა. საერთო მნიშვნელი იქნება x 5 · ln 2 x + 1 · 2 x - 4 ფორმის ნამრავლი. აქედან x 4 არის პირველი წილადის დამატებითი ფაქტორი და ln (x + 1) მეორემდე. შემდეგ გამოვაკლებთ და ვიღებთ:
   x + 1 x ln 2 (x + 1) 2 x - 4 - sin x x 5 ln (x + 1) 2 x - 4 = = x + 1 x 4 x 5 ln 2 (x + 1 ) 2 x - 4 - sin x ln x + 1 x 5 ln 2 (x + 1) (2 x - 4) = = x + 1 x 4 - sin x ln (x + 1) x 5 ln 2 (x + 1) (2 x - 4) = x x 4 + x 4 - sin x ln (x + 1) x 5 ln 2 (x + 1) (2 x - 4)
3. ეს მაგალითი აზრი აქვს წილადების მნიშვნელებთან მუშაობისას. აუცილებელია კვადრატებისა და ჯამის კვადრატების განსხვავების ფორმულების გამოყენება, რადგან ისინი შესაძლებელს გახდის გადავიდეს 1 cos x - x · cos x + x + 1 (cos x + x) ფორმის გამოხატვაზე. ) 2 . ჩანს, რომ წილადები მცირდება საერთო მნიშვნელამდე. ჩვენ ვიღებთ, რომ cos x - x cos x + x 2.

მაშინ მივიღებთ ამას

1 cos 2 x - x + 1 cos 2 x + 2 cos x x + x = = 1 cos x - x cos x + x + 1 cos x + x 2 = = cos x + x cos x - x cos x + x 2 + cos x - x cos x - x cos x + x 2 = = cos x + x + cos x - x cos x - x cos x + x 2 = 2 cos x cos x - x cos x + x2

პასუხი:

1) x 3 + 1 x 7 + 2 2 = x x 7 + 2 2 x + 3 3 x 7 + 2 2, 2) x + 1 x ln 2 (x + 1) 2 x - 4 - sin x x 5 ln ( x + 1) 2 x - 4 = = x x 4 + x 4 - sin x ln (x + 1) x 5 ln 2 (x + 1) (2 x - 4) , 3) ​​1 cos 2 x - x + 1 cos 2 x + 2 cos x x + x = 2 cos x cos x - x cos x + x 2.

წილადების ცვლადებთან გამრავლების მაგალითები

წილადების გამრავლებისას მრიცხველი მრავლდება მრიცხველზე და მნიშვნელი მნიშვნელზე. შემდეგ შეგიძლიათ გამოიყენოთ შემცირების თვისება.

მაგალითი 8

გაამრავლე წილადები x + 2 x x 2 ln x 2 ln x + 1 და 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 sin 2 x - x.

გამოსავალი

თქვენ უნდა გააკეთოთ გამრავლება. ჩვენ ამას მივიღებთ

x + 2 x x 2 ln x 2 ln x + 1 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 ცოდვა (2 x - x) = = x - 2 x 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 x 2 ln x 2 ln x + 1 ცოდვა (2 x - x)

რიცხვი 3 გადადის პირველ ადგილზე გამოთვლების მოხერხებულობისთვის და თქვენ შეგიძლიათ შეამციროთ წილადი x 2-ით, შემდეგ მივიღებთ ფორმის გამოხატვას

3 x - 2 x x 1 3 x + 1 - 2 ln x 2 ln x + 1 ცოდვა (2 x - x)

პასუხი: x + 2 x x 2 ln x 2 ln x + 1 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 ცოდვა (2 x - x) = 3 x - 2 x x 1 3 x + 1 - 2 ln x 2 ln x + 1 ცოდვა (2 x - x) .

განყოფილება

წილადების გაყოფა გამრავლების მსგავსია, რადგან პირველი წილადი მრავლდება მეორე ორმხრივად. თუ ავიღებთ, მაგალითად, წილადს x + 2 x x 2 ln x 2 ln x + 1 და გავყოფთ 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 sin 2 x - x, მაშინ ეს შეიძლება დაიწეროს როგორც

x + 2 x x 2 ln x 2 ln x + 1: 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 sin (2 x - x) , შემდეგ ჩაანაცვლეთ x + 2 x x 2 ln x 2 ln x + ფორმის ნამრავლით 1 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 ცოდვა (2 x - x)

ექსპონენტაცია

მოდით გადავიდეთ ზოგადი ფორმის წილადებთან მოქმედების განხილვაზე. თუ არსებობს ხარისხი ბუნებრივი ინდექსით, მაშინ მოქმედება განიხილება, როგორც იდენტური წილადების გამრავლება. მაგრამ მიზანშეწონილია გამოიყენოთ ზოგადი მიდგომა, რომელიც დაფუძნებულია გრადუსების თვისებებზე. ნებისმიერი გამონათქვამი A და C, სადაც C არ არის ნულის იდენტურად ტოლი და ნებისმიერი რეალური r ODZ-ზე A C r ფორმის გამოხატვისთვის, ტოლობა A Cr = A r Cr არის ჭეშმარიტი. შედეგი არის წილადი ამაღლებული სიმძლავრემდე. მაგალითად, განიხილეთ:

x 0 , 7 - π ln 3 x - 2 - 5 x + 1 2 , 5 = = x 0 , 7 - π ln 3 x - 2 - 5 2 , 5 x + 1 2 , 5

წილადებთან მოქმედებების თანმიმდევრობა

წილადებზე მოქმედებები ხორციელდება გარკვეული წესების მიხედვით. პრაქტიკაში, ჩვენ ვამჩნევთ, რომ გამოხატულება შეიძლება შეიცავდეს რამდენიმე წილადს ან წილადურ გამოსახულებას. შემდეგ აუცილებელია ყველა მოქმედების შესრულება მკაცრი თანმიმდევრობით: ამაღლება ხარისხზე, გამრავლება, გაყოფა, შემდეგ დამატება და გამოკლება. თუ არის ფრჩხილები, პირველი მოქმედება მათში სრულდება.

მაგალითი 9

გამოთვალეთ 1 - x cos x - 1 c o s x · 1 + 1 x.

გამოსავალი

ვინაიდან ერთი და იგივე მნიშვნელი გვაქვს, მაშინ 1 - x cos x და 1 c o s x, მაგრამ წესის მიხედვით გამოკლება შეუძლებელია, ჯერ ფრჩხილებში მოქმედებები სრულდება, შემდეგ გამრავლება და შემდეგ შეკრება. შემდეგ, გაანგარიშებისას, ჩვენ ვიღებთ ამას

1 + 1 x = 1 1 + 1 x = x x + 1 x = x + 1 x

გამონათქვამის ორიგინალში ჩანაცვლებისას მივიღებთ, რომ 1 - x cos x - 1 cos x · x + 1 x. წილადების გამრავლებისას გვაქვს: 1 cos x x + 1 x = x + 1 cos x x . ყველა ჩანაცვლების შემდეგ მივიღებთ 1 - x cos x - x + 1 cos x · x . ახლა თქვენ უნდა იმუშაოთ წილადებთან, რომლებსაც აქვთ სხვადასხვა მნიშვნელი. ჩვენ ვიღებთ:

x 1 - x cos x x - x + 1 cos x x = x 1 - x - 1 + x cos x x = = x - x - x - 1 cos x x = - x + 1 cos x x

პასუხი: 1 - x cos x - 1 c o s x 1 + 1 x = - x + 1 cos x x .

თუ შეამჩნევთ შეცდომას ტექსტში, მონიშნეთ იგი და დააჭირეთ Ctrl+Enter

ინსტრუქცია

პირველი, გახსოვდეთ, რომ წილადი არის მხოლოდ პირობითი აღნიშვნა ერთი რიცხვის მეორეზე გაყოფისთვის. გარდა ამისა და გამრავლება, ორი მთელი რიცხვის გაყოფა ყოველთვის არ იძლევა მთელ რიცხვს. ასე რომ დარეკეთ ამ ორ "გაყოფად" რიცხვს. რიცხვი, რომელიც იყოფა არის მრიცხველი, ხოლო რიცხვი, რომელიც იყოფა არის მნიშვნელი.

წილადის დასაწერად ჯერ ჩაწერეთ მისი მრიცხველი, შემდეგ დახაზეთ ჰორიზონტალური ხაზი ამ რიცხვის ქვეშ და ჩაწერეთ მნიშვნელი წრფის ქვეშ. ჰორიზონტალურ ხაზს, რომელიც ჰყოფს მრიცხველსა და მნიშვნელს, ეწოდება წილადი. ზოგჯერ იგი გამოსახულია ხაზოვანი "/" ან "∕" სახით. ამ შემთხვევაში მრიცხველი იწერება სტრიქონის მარცხნივ, ხოლო მნიშვნელი მარჯვნივ. ასე, მაგალითად, წილადი „ორი მესამედი“ დაიწერება როგორც 2/3. სიცხადისთვის, მრიცხველი ჩვეულებრივ იწერება ხაზის ზედა ნაწილში, ხოლო მნიშვნელი ბოლოში, ანუ 2/3-ის ნაცვლად, შეგიძლიათ იპოვოთ: ⅔.

თუ წილადის მრიცხველი აღემატება მის მნიშვნელს, მაშინ ასეთი „არასწორი“ წილადი ჩვეულებრივ იწერება „შერეული“ წილადის სახით. არასწორი წილადიდან შერეული წილადის მისაღებად, უბრალოდ გაყავით მრიცხველი მნიშვნელზე და ჩაწერეთ მიღებული კოეფიციენტი. შემდეგ გაყოფის დარჩენილი ნაწილი ჩადეთ წილადის მრიცხველში და ჩაწერეთ ეს წილადი კოეფიციენტის მარჯვნივ (მნიშვნელს არ შეეხოთ). მაგალითად, 7/3 = 2⅓.

ერთი და იგივე მნიშვნელის მქონე ორი წილადის დასამატებლად, უბრალოდ დაამატეთ მათი მრიცხველები (დატოვეთ მნიშვნელები). მაგალითად, 2/7 + 3/7 = (2+3)/7 = 5/7. ანალოგიურად, გამოაკელი ორი წილადი (მრიცხველები გამოკლებულია). მაგალითად, 6/7 - 2/7 = (6-2)/7 = 4/7.

ორი წილადის დასამატებლად სხვადასხვა მნიშვნელით, გავამრავლოთ პირველი წილადის მრიცხველი და მნიშვნელი მეორის მნიშვნელზე, ხოლო მეორე წილადის მრიცხველი და მნიშვნელი პირველის მნიშვნელზე. შედეგად, თქვენ მიიღებთ ორი წილადის ჯამს ერთი და იგივე მნიშვნელებით, რომელთა დამატება აღწერილია წინა აბზაცში.

მაგალითად, 3/4 + 2/3 = (3*3)/(4*3) + (2*4)/(3*4) = 9/12 + 8/12 = (9+8)/12 = 17/12 = 15/12.

თუ წილადების მნიშვნელებს აქვთ საერთო გამყოფები, ანუ ისინი იყოფა იმავე რიცხვზე, საერთო მნიშვნელად აირჩიეთ უმცირესი რიცხვი, რომელიც ერთდროულად იყოფა პირველ და მეორე მნიშვნელზე. მაგალითად, თუ პირველი მნიშვნელი არის 6, ხოლო მეორე 8, მაშინ საერთო მნიშვნელად აიღეთ არა მათი ნამრავლი (48), არამედ რიცხვი 24, რომელიც იყოფა როგორც 6-ზე, ასევე 8-ზე. წილადების მრიცხველები არის მაშინ. გამრავლებული საერთო მნიშვნელის თითოეული წილადის მნიშვნელზე გაყოფის კოეფიციენტზე. მაგალითად, მნიშვნელისთვის 6, ეს რიცხვი იქნება 4 - (24/6), ხოლო მნიშვნელისთვის 8 - 3 (24/8). ეს პროცესი უფრო ნათლად ჩანს კონკრეტულ მაგალითში:

5/6 + 3/8 = (5*4)/24 + (3*3)/24 = 20/24 + 9/24 = 29/24 = 1 5/24.

სხვადასხვა მნიშვნელის მქონე წილადების გამოკლება ხდება ზუსტად იმავე გზით.

შემდეგი მოქმედება, რომელიც შეიძლება შესრულდეს ჩვეულებრივი წილადებით, არის გამოკლება. როგორც ამ მასალის ნაწილი, ჩვენ განვიხილავთ, თუ როგორ სწორად გამოვთვალოთ სხვაობა ერთი და იგივე მნიშვნელის მქონე წილადებს შორის, როგორ გამოვაკლოთ წილადი ნატურალურ რიცხვს და პირიქით. ყველა მაგალითი ილუსტრირებული იქნება ამოცანებით. წინასწარ განვმარტოთ, რომ გავაანალიზებთ მხოლოდ შემთხვევებს, როდესაც წილადთა სხვაობა დადებით რიცხვს იძლევა.

როგორ მოვძებნოთ განსხვავება ერთი და იგივე მნიშვნელის მქონე წილადებს შორის

დავიწყოთ მაშინვე საილუსტრაციო მაგალითით: ვთქვათ, გვაქვს ვაშლი, რომელიც რვა ნაწილად იყო დაყოფილი. თეფშზე დავტოვოთ ხუთი ნაწილი და ავიღოთ ორი. ეს მოქმედება შეიძლება დაიწეროს ასე:

ჩვენ ვასრულებთ 3 მერვედს, რადგან 5 − 2 = 3. გამოდის, რომ 5 8 - 2 8 = 3 8 .

ამ მარტივი მაგალითით ჩვენ ვნახეთ ზუსტად როგორ მუშაობს გამოკლების წესი ერთი და იგივე მნიშვნელის მქონე წილადებისთვის. ჩამოვაყალიბოთ.

განმარტება 1

ერთი და იგივე მნიშვნელის მქონე წილადებს შორის სხვაობის საპოვნელად, თქვენ უნდა გამოაკლოთ ერთის მრიცხველი მეორის მრიცხველს და დატოვოთ მნიშვნელი იგივე. ეს წესი შეიძლება დაიწეროს როგორც b - c b = a - c b .

ჩვენ გამოვიყენებთ ამ ფორმულას შემდეგში.

ავიღოთ კონკრეტული მაგალითები.

მაგალითი 1

24 15 წილადს გამოვაკლოთ საერთო წილადი 17 15 .

გამოსავალი

ჩვენ ვხედავთ, რომ ამ წილადებს აქვთ იგივე მნიშვნელები. ასე რომ, ყველაფერი რაც უნდა გავაკეთოთ არის 24-ს გამოვაკლოთ 17. ვიღებთ 7-ს და ვუმატებთ მას მნიშვნელს, მივიღებთ 7 15-ს.

ჩვენი გამოთვლები შეიძლება ჩაიწეროს ასე: 24 15 - 17 15 \u003d 24 - 17 15 \u003d 7 15

საჭიროების შემთხვევაში, შეგიძლიათ შეამციროთ რთული წილადი ან გამოყოთ მთელი ნაწილი არასათანადოსგან, რათა უფრო მოსახერხებელი იყოს დათვლა.

მაგალითი 2

იპოვეთ განსხვავება 37 12 - 15 12 .

გამოსავალი

გამოვიყენოთ ზემოთ აღწერილი ფორმულა და გამოვთვალოთ: 37 12 - 15 12 = 37 - 15 12 = 22 12

ადვილი მისახვედრია, რომ მრიცხველი და მნიშვნელი შეიძლება გაიყოს 2-ზე (ამაზე ადრე უკვე ვისაუბრეთ, როცა გაყოფის ნიშნები გავაანალიზეთ). პასუხის შემცირებით მივიღებთ 11 6-ს. ეს არის არასწორი წილადი, საიდანაც ჩვენ გამოვარჩევთ მთელ ნაწილს: 11 6 \u003d 1 5 6.

როგორ მოვძებნოთ განსხვავება სხვადასხვა მნიშვნელის მქონე წილადებს შორის

ასეთი მათემატიკური ოპერაცია შეიძლება შემცირდეს იმაზე, რაც ზემოთ უკვე აღვწერეთ. ამისათვის უბრალოდ მიიტანეთ სასურველი წილადები იმავე მნიშვნელზე. ჩამოვაყალიბოთ განმარტება:

განმარტება 2

იმ წილადებს შორის სხვაობის საპოვნელად, რომლებსაც განსხვავებული მნიშვნელი აქვთ, უნდა მიიყვანოთ ისინი ერთსა და იმავე მნიშვნელთან და იპოვოთ სხვაობა მრიცხველებს შორის.

მოდით შევხედოთ მაგალითს, თუ როგორ კეთდება ეს.

მაგალითი 3

გამოვაკლოთ 1 15 2 9-ს.

გამოსავალი

მნიშვნელები განსხვავებულია და თქვენ უნდა შეამციროთ ისინი უმცირეს საერთო მნიშვნელობამდე. ამ შემთხვევაში, LCM არის 45. პირველი წილადისთვის საჭიროა დამატებითი კოეფიციენტი 5, ხოლო მეორესთვის - 3.

მოდით გამოვთვალოთ: 2 9 = 2 5 9 5 = 10 45 1 15 = 1 3 15 3 = 3 45

ჩვენ მივიღეთ ორი წილადი ერთი და იგივე მნიშვნელით და ახლა ადვილად შეგვიძლია ვიპოვოთ მათი განსხვავება ზემოთ აღწერილი ალგორითმის გამოყენებით: 10 45 - 3 45 = 10 - 3 45 = 7 45

ამოხსნის მოკლე ჩანაწერი ასე გამოიყურება: 2 9 - 1 15 \u003d 10 45 - 3 45 \u003d 10 - 3 45 \u003d 7 45.

ნუ უგულებელყოფთ შედეგის შემცირებას ან მისგან მთლიანი ნაწილის შერჩევას, საჭიროების შემთხვევაში. ამ მაგალითში ჩვენ არ გვჭირდება ამის გაკეთება.

მაგალითი 4

იპოვეთ განსხვავება 19 9 - 7 36 .

გამოსავალი

მდგომარეობაში მითითებულ წილადებს მივყავართ ყველაზე დაბალ საერთო მნიშვნელ 36-მდე და მივიღებთ შესაბამისად 76 9 და 7 36.

ჩვენ განვიხილავთ პასუხს: 76 36 - 7 36 \u003d 76 - 7 36 \u003d 69 36

შედეგი შეიძლება შემცირდეს 3-ით და მიიღოთ 23 12. მრიცხველი აღემატება მნიშვნელს, რაც ნიშნავს, რომ შეგვიძლია მთელი ნაწილის ამოღება. საბოლოო პასუხი არის 1 11 12 .

მთელი ამოხსნის შეჯამება არის 19 9 - 7 36 = 1 11 12 .

როგორ გამოვაკლოთ ნატურალური რიცხვი საერთო წილადს

ასეთი მოქმედება ასევე შეიძლება ადვილად შემცირდეს ჩვეულებრივი წილადების მარტივ გამოკლებამდე. ეს შეიძლება გაკეთდეს ნატურალური რიცხვის წილადის სახით წარმოდგენით. მოდით ვაჩვენოთ მაგალითი.

მაგალითი 5

იპოვეთ განსხვავება 83 21 - 3 .

გამოსავალი

3 იგივეა, რაც 3 1. შემდეგ შეგიძლიათ გამოთვალოთ ასე: 83 21 - 3 \u003d 20 21.

თუ პირობით აუცილებელია მთელი რიცხვის გამოკლება არასწორ წილადს, უფრო მოსახერხებელია მისგან მთელი რიცხვის ამოღება, შერეული რიცხვის სახით ჩაწერა. მაშინ წინა მაგალითი შეიძლება სხვაგვარად გადაწყდეს.

83 21 წილადიდან, როდესაც ირჩევთ მთელ ნაწილს, მიიღებთ 83 21 \u003d 3 20 21.

ახლა უბრალოდ გამოაკელი 3: 3 20 21 - 3 = 20 21 .

როგორ გამოვაკლოთ წილადი ნატურალურ რიცხვს

ეს მოქმედება კეთდება წინას მსგავსად: ნატურალურ რიცხვს ვწერთ წილადის სახით, ორივეს მივყავართ საერთო მნიშვნელთან და ვპოულობთ განსხვავებას. მოდი ეს მაგალითით ავხსნათ.

მაგალითი 6

იპოვეთ განსხვავება: 7 - 5 3 .

გამოსავალი

7 წილადად გამოვხატოთ 7 1 . ვაკეთებთ გამოკლებას და გარდაქმნით საბოლოო შედეგს, მისგან ვიღებთ მთელ ნაწილს: 7 - 5 3 = 5 1 3 .

გამოთვლების გაკეთების კიდევ ერთი გზა არსებობს. მას აქვს გარკვეული უპირატესობები, რომლებიც შეიძლება გამოყენებულ იქნას იმ შემთხვევებში, როდესაც ამოცანაში წილადების მრიცხველები და მნიშვნელები დიდი რიცხვია.

განმარტება 3

თუ გამოკლებული წილადი სწორია, მაშინ ნატურალური რიცხვი, რომელსაც ვაკლებთ, უნდა იყოს წარმოდგენილი ორი რიცხვის ჯამად, რომელთაგან ერთი უდრის 1-ს. ამის შემდეგ, თქვენ უნდა გამოაკლოთ სასურველი წილადი ერთიანობას და მიიღოთ პასუხი.

მაგალითი 7

გამოთვალეთ სხვაობა 1 065 - 13 62 .

გამოსავალი

გამოკლებული წილადი სწორია, რადგან მისი მრიცხველი მნიშვნელზე ნაკლებია. ამიტომ, ჩვენ უნდა გამოვაკლოთ ერთი 1065-ს და გამოვაკლოთ სასურველი წილადი: 1065 - 13 62 \u003d (1064 + 1) - 13 62

ახლა ჩვენ უნდა ვიპოვოთ პასუხი. გამოკლების თვისებების გამოყენებით, მიღებული გამოხატულება შეიძლება დაიწეროს როგორც 1064 + 1 - 13 62 . გამოვთვალოთ სხვაობა ფრჩხილებში. ამისათვის ჩვენ წარმოვადგენთ ერთეულს წილადის სახით 1 1 .

გამოდის, რომ 1 - 13 62 \u003d 1 1 - 13 62 \u003d 62 62 - 13 62 \u003d 49 62.

ახლა გავიხსენოთ დაახლოებით 1064 და ჩამოვაყალიბოთ პასუხი: 1064 49 62 .

ჩვენ ვიყენებთ ძველ გზას იმის დასამტკიცებლად, რომ ის ნაკლებად მოსახერხებელია. აქ არის გამოთვლები, რომლებსაც მივიღებთ:

1065 - 13 62 = 1065 1 - 13 62 = 1065 62 1 62 - 13 62 = 66030 62 - 13 62 = = 66030 - 13 62 = 66017 62 = 1064

პასუხი იგივეა, მაგრამ გამოთვლები აშკარად უფრო რთულია.

ჩვენ განვიხილეთ შემთხვევა, როდესაც სწორი წილადის გამოკლება გჭირდებათ. თუ არასწორია, ვცვლით შერეული რიცხვით და ვაკლებთ ნაცნობი წესების მიხედვით.

მაგალითი 8

გამოთვალეთ სხვაობა 644 - 73 5 .

გამოსავალი

მეორე ფრაქცია არასწორია და მისგან მთელი ნაწილი უნდა იყოს გამოყოფილი.

ახლა ჩვენ ვიანგარიშებთ წინა მაგალითის მსგავსად: 630 - 3 5 = (629 + 1) - 3 5 = 629 + 1 - 3 5 = 629 + 2 5 = 629 2 5

გამოკლების თვისებები წილადებთან მუშაობისას

ნატურალური რიცხვების გამოკლების თვისებები ასევე ვრცელდება ჩვეულებრივი წილადების გამოკლების შემთხვევებზეც. ვნახოთ, როგორ გამოვიყენოთ ისინი მაგალითების ამოხსნისას.

მაგალითი 9

იპოვეთ განსხვავება 24 4 - 3 2 - 5 6 .

გამოსავალი

მსგავსი მაგალითები უკვე მოვაგვარეთ რიცხვიდან ჯამის გამოკლების გაანალიზებისას, ამიტომ ვმოქმედებთ უკვე ცნობილი ალგორითმის მიხედვით. ჯერ ვიანგარიშებთ განსხვავებას 25 4 - 3 2 და შემდეგ ვაკლებთ მას ბოლო წილადს:

25 4 - 3 2 = 24 4 - 6 4 = 19 4 19 4 - 5 6 = 57 12 - 10 12 = 47 12

გადავცვალოთ პასუხი მისგან მთელი რიცხვის ნაწილის ამოღებით. შედეგი არის 3 11 12.

მთლიანი გადაწყვეტის მოკლე მიმოხილვა:

25 4 - 3 2 - 5 6 = 25 4 - 3 2 - 5 6 = 25 4 - 6 4 - 5 6 = = 19 4 - 5 6 = 57 12 - 10 12 = 47 12 = 3 11 12

თუ გამოთქმა შეიცავს წილადებსაც და ნატურალურ რიცხვებსაც, გამოთვლისას რეკომენდებულია მათი დაჯგუფება ტიპების მიხედვით.

მაგალითი 10

იპოვეთ განსხვავება 98 + 17 20 - 5 + 3 5 .

გამოსავალი

გამოკლებისა და შეკრების ძირითადი თვისებების ცოდნით შეგვიძლია დავაჯგუფოთ რიცხვები შემდეგნაირად: 98 + 17 20 - 5 + 3 5 = 98 + 17 20 - 5 - 3 5 = 98 - 5 + 17 20 - 3 5

მოდით დავასრულოთ გამოთვლები: 98 - 5 + 17 20 - 3 5 = 93 + 17 20 - 12 20 = 93 + 5 20 = 93 + 1 4 = 93 1 4

თუ შეამჩნევთ შეცდომას ტექსტში, მონიშნეთ იგი და დააჭირეთ Ctrl+Enter

საშუალო სკოლის მე-5 კლასში შემოტანილია წილადის წარმოდგენა. წილადი არის რიცხვი, რომელიც შედგება ერთეულების წილადების მთელი რაოდენობისგან. ჩვეულებრივი წილადები იწერება ±m/n, რიცხვს m ეწოდება წილადის მრიცხველი, რიცხვი n არის მისი მნიშვნელი. თუ მნიშვნელის მოდული უფრო დიდია ვიდრე მრიცხველის მოდული, ვთქვათ 3/4, მაშინ წილადს სწორი ეწოდება, წინააღმდეგ შემთხვევაში ის არასწორია. წილადი შეიძლება შეიცავდეს მთელ ნაწილს, ვთქვათ 5 * (2/3) წილადებისთვის დასაშვებია სხვადასხვა არითმეტიკული მოქმედებები.

ინსტრუქცია

1. კლება საერთო მნიშვნელამდე მოყვანილი იყოს წილადები a/b და c/d - პირველ რიგში მოიძებნება LCM-ის (უმცირესი საერთო ჯერადი) რიცხვი წილადების მნიშვნელებისთვის. - პირველის მრიცხველი და მნიშვნელი. წილადი მრავლდება LCM/b-ზე - მე-2 წილადების მრიცხველი და მნიშვნელი მრავლდება LCM/d-ზე მაგალითი ნაჩვენებია წილადების შესადარებლად ისინი უნდა დაიყვანოთ საერთო მნიშვნელამდე, შემდეგ შევადაროთ მრიცხველები. თქვი 3/4< 4/5, см. рисунок.

2. წილადების შეკრება და გამოკლება 2 ჩვეულებრივი წილადის ჯამის საპოვნელად ისინი უნდა შევიყვანოთ საერთო მნიშვნელამდე, შემდეგ დავამატოთ მრიცხველები და მნიშვნელი უცვლელი დავტოვოთ. 1/2 და 1/3 წილადების შეკრების მაგალითი ნაჩვენებია წილადებს შორის სხვაობა ანალოგიურად, საერთო მნიშვნელის პოვნის შემდეგ წილადების მრიცხველები გამოკლებულია, იხილეთ მაგალითი ნახატზე.

3. წილადების გამრავლება და გაყოფა ჩვეულებრივი წილადების გამრავლებისას მრიცხველები და მნიშვნელები მრავლდება ერთმანეთში, ორი წილადის გასაყოფად უნდა მიიღოთ მე-2 წილადის საპასუხო, ე.ი. შეცვალეთ მისი მრიცხველი და მნიშვნელი ადგილებზე და შემდეგ გაამრავლეთ მიღებული წილადები.

მოდულიწარმოადგენს გამოხატვის უპირობო მნიშვნელობას. ფრჩხილები გამოიყენება მოდულის აღსანიშნავად. პატიმართა მათში ფასეულობები აღებულია მოდულით. მოდულის გამოსავალი არის მოდულის ფრჩხილების გაფართოება გარკვეული წესების მიხედვით და გამოთქმის მნიშვნელობების ნაკრების პოვნა. უმეტეს შემთხვევაში, მოდული გაფართოვდება ისე, რომ ქვემოდულის გამოხატულება იღებს უამრავ დადებით და უარყოფით მნიშვნელობას, მათ შორის ნულს. მოდულის ამ თვისებებზე დაყრდნობით, შედგენილია და ამოხსნილია შემდგომი განტოლებები და საწყისი გამოსახულებების უტოლობა.

ინსტრუქცია

1. ჩაწერეთ საწყისი განტოლება მოდულით. მის გადასაჭრელად გააფართოვეთ მოდული. განვიხილოთ ნებისმიერი ქვემოდულის გამოხატულება. დაადგინეთ, თუ რა მნიშვნელობით ქრება მასში შემავალი უცნობი მნიშვნელობები, გამოთქმა მოდულურ ფრჩხილებში ქრება.

2. ამისთვის ქვემოდულის გამოხატულება გავაიგივოთ ნულთან და იპოვეთ მიღებული განტოლების ამონახსნი. ჩაწერეთ ნაპოვნი მნიშვნელობები. ანალოგიურად, განსაზღვრეთ უცნობი ცვლადის მნიშვნელობები მთელი მოდულისთვის მოცემულ განტოლებაში.

3. განვიხილოთ შემთხვევები, როდესაც ცვლადები არსებობს, როდესაც ისინი კარგია ნულიდან. ამისათვის ჩაწერეთ უტოლობების სისტემა საწყისი განტოლების ყველა მოდულისთვის. უტოლობები უნდა მოიცავდეს ცვლადის ყველა მოქმედ მნიშვნელობას რიცხვთა ხაზზე.

4. დახაზეთ რიცხვითი ხაზი და დახაზეთ მასზე მიღებული მნიშვნელობები. ნულოვანი მოდულში ცვლადის მნიშვნელობები იქნება შეზღუდვები მოდულური განტოლების ამოხსნისას.

5. საწყის განტოლებაში აუცილებელია მოდულური ფრჩხილების გაფართოება, გამოხატვის ნიშნის შეცვლა ისე, რომ ცვლადის მნიშვნელობები შეესაბამებოდეს რიცხვთა ხაზში გამოსახულ მნიშვნელობებს. ამოხსენით მიღებული განტოლება. შეამოწმეთ ცვლადის ნაპოვნი მნიშვნელობა მოდულის მიერ დადგენილ ლიმიტთან მიმართებაში. თუ გამოსავალი აკმაყოფილებს პირობას, მაშინ ეს მართალია. ფესვები, რომლებიც არ აკმაყოფილებენ შეზღუდვებს, უნდა განადგურდეს.

6. ანალოგიურად, გააფართოვეთ საწყისი გამოხატვის მოდულები, ნიშნის გათვალისწინებით და გამოთვალეთ მიღებული განტოლების ფესვები. ჩამოწერეთ ყველა მიღებული ფესვი, რომელიც აკმაყოფილებს შეზღუდვის უტოლობას.

წილადი რიცხვები საშუალებას გაძლევთ გამოხატოთ რაოდენობის ზუსტი მნიშვნელობა სხვადასხვა ფორმით. წილადებით ნებადართულია იგივე მათემატიკური მოქმედებების შესრულება, როგორც მთელი რიცხვებით: გამოკლება, შეკრება, გამრავლება და გაყოფა. ვისწავლოთ როგორ გადაწყვიტოთ წილადები, თქვენ უნდა გახსოვდეთ მათი ზოგიერთი მახასიათებელი. ისინი დამოკიდებულია ტიპზე წილადები, მთლიანი ნაწილის, საერთო მნიშვნელის არსებობა. ზოგიერთი არითმეტიკული ოპერაცია მოგვიანებით მოითხოვს ჯამის წილადი ნაწილის შემცირებას.

დაგჭირდებათ

• - კალკულატორი

ინსტრუქცია

1. ყურადღებით დააკვირდით ამ ციფრებს. თუ წილადებს შორის არის ათწილადები და არასწორი, ზოგჯერ უფრო მოსახერხებელია ჯერ ათწილადების მოქმედებების შესრულება, შემდეგ კი მათი არასწორი ფორმით თარგმნა. შეგიძლია თარგმნო წილადებიამ ფორმით თავდაპირველად, ჩაწერეთ მნიშვნელობა მრიცხველში მძიმით უფრო გვიან და მნიშვნელში ჩასვით 10. საჭიროების შემთხვევაში, შეამცირეთ წილადი ზოლის ზემოთ და ქვემოთ რიცხვების ერთ გამყოფზე გაყოფით. წილადები, რომლებშიც მთლიანი ნაწილია მოცემული, მივყავართ არასწორ ფორმამდე მის მნიშვნელზე გამრავლებით და მრიცხველის ჯამზე მიმატებით. ეს მნიშვნელობა გახდება ახალი მრიცხველი წილადები. იმისათვის, რომ გამოვყოთ მთელი ნაწილი თავდაპირველად არასწორიდან წილადები, მრიცხველი გავყოთ მნიშვნელზე. ჩაწერეთ მთელი ჯამი მარცხნივ წილადები. და გაყოფის დარჩენილი ნაწილი ხდება ახალი მრიცხველი, მნიშვნელი წილადებიხოლო არ იცვლება. მთელი რიცხვის მქონე წილადებისთვის დასაშვებია მოქმედებების ცალკე შესრულება ჯერ მთელი რიცხვისთვის, შემდეგ კი წილადი ნაწილებისთვის. ვთქვათ ჯამი არის 1 2/3 და 2? შეიძლება გამოვთვალოთ ორი გზით: - წილადების არასწორ ფორმაში გადაყვანა: - 1 2/3 + 2 ? \u003d 5/3 + 11/4 \u003d 20/12 + 33/12 \u003d 53/12 \u003d 4 5/12;- ტერმინების მთელი და წილადი ნაწილების ცალკე შეჯამება: - 1 2/3 + 2 ? \u003d (1 + 2) + (2/3 + ?) \u003d 3 + (8/12 + 9/12) \u003d 3 + 17/12 \u003d 3 + 1 5/12 \u003d 4 5/12.

2. ზოლის ქვეშ განსხვავებული მნიშვნელობის მქონე არასწორი წილადებისთვის იპოვეთ საერთო მნიშვნელი. ვთქვათ 5/9 და 7/12 საერთო მნიშვნელი არის 36. ამისათვის პირველის მრიცხველი და მნიშვნელი. წილადებითქვენ უნდა გაამრავლოთ 4-ზე (ეს გამოვა 28/36), ხოლო მე-2 - 3-ზე (გამოვა 15/36). ახლა თქვენ შეგიძლიათ შეასრულოთ საჭირო გამოთვლები.

3. თუ თქვენ აპირებთ წილადების ჯამის ან სხვაობის გამოთვლას, ჯერ ჩამოწერეთ ნაპოვნი საერთო მნიშვნელი წრფის ქვეშ. შეასრულეთ საჭირო მოქმედებები მრიცხველებს შორის და დაწერეთ შედეგი ახალ ხაზზე წილადები. ამრიგად, ახალი მრიცხველი იქნება საწყისი წილადების სხვაობა ან მრიცხველთა ჯამი.

4. წილადების ნამრავლის გამოსათვლელად გაამრავლეთ წილადების მრიცხველები და დაწერეთ ჯამი საბოლოო მრიცხველის ნაცვლად. წილადები. იგივე გააკეთე მნიშვნელებისთვის. ერთის გაყოფისას წილადებიდაწერეთ ერთი წილადი მეორეზე და შემდეგ გაამრავლეთ მისი მრიცხველი მე-2-ის მნიშვნელზე. ამავე დროს, პირველის მნიშვნელი წილადებიგამრავლებული შესაბამისად მრიცხველზე 2. ამ შემთხვევაში, ორიგინალური გადატრიალება მე-2 წილადები(გამყოფი). საბოლოო წილადი შედგება ორივე წილადის მრიცხველებისა და მნიშვნელების გამრავლების შედეგებისგან. ადვილია ისწავლო როგორ გადაჭრა წილადებიმდგომარეობით დაწერილი "ოთხსართულიანი" სახით. წილადები. თუ ხაზი ჰყოფს ორს წილადები, გადაწერეთ ისინი ":"-ის დელიმიტერით და გააგრძელეთ ჩვეულებრივი გაყოფით.

5. საბოლოო შედეგის მისაღებად, შეამცირეთ მიღებული წილადი მრიცხველისა და მნიშვნელის ერთ მთელ რიცხვზე გაყოფით, რაც ყველაზე დიდია ამ შემთხვევაში. ამავდროულად, მთელი რიცხვები უნდა იყოს ხაზის ზემოთ და ქვემოთ.

Შენიშვნა!
არ შეასრულოთ არითმეტიკული მოქმედებები წილადებთან, რომელთა მნიშვნელები განსხვავებულია. აირჩიეთ ისეთი რიცხვი, რომ როცა რომელიმე წილადის მრიცხველი და მნიშვნელი მასზე მრავლდება, შედეგად ორივე წილადის მნიშვნელები ტოლი იყოს.

სასარგებლო რჩევა
წილადი რიცხვების წერისას დივიდენდი იწერება ხაზის ზემოთ. ამ რაოდენობას მოიხსენიებენ, როგორც წილადის მრიცხველს. წრფის ქვეშ იწერება წილადის გამყოფი ან მნიშვნელი. ვთქვათ ერთი და ნახევარი კილოგრამი ბრინჯი წილადის სახით ჩაიწერება შემდეგნაირად: 1? კგ ბრინჯი. თუ წილადის მნიშვნელი არის 10, მას ეწოდება ათობითი წილადი. ამ შემთხვევაში მრიცხველი (დივიდენდი) იწერება მძიმით გამოყოფილი მთელი ნაწილის მარჯვნივ: 1,5 კგ ბრინჯი. გამოთვლების მოხერხებულობისთვის, ასეთი ფრაქცია უცვლელად არის დაშვებული არასწორი ფორმით: 1 2/10 კგ კარტოფილი. ამის გასაადვილებლად, შეგიძლიათ შეამციროთ მრიცხველისა და მნიშვნელის მნიშვნელობები მათი ერთ მთლიან რიცხვზე გაყოფით. ამ მაგალითში მისაღებია გაყოფა 2-ზე, შედეგი არის 1 1/5 კგ კარტოფილი. დარწმუნდით, რომ ციფრები, რომლებითაც არითმეტიკული მოქმედებების შესრულებას აპირებთ, ანალოგიურად არის წარმოდგენილი.

თუ თქვენ წერთ ტერმინალურ ნაშრომს ან აწყობთ სხვა დოკუმენტს, რომელიც შეიცავს საანგარიშო ნაწილს, მაშინ ვერ გაურბიხართ წილადობრივ გამონათქვამებს, რომლებიც ასევე უნდა დაიბეჭდოს. როგორ გავაკეთოთ ეს, ჩვენ განვიხილავთ შემდგომ.

ინსტრუქცია

1. ერთხელ დააწკაპუნეთ მენიუს პუნქტზე "ჩასმა", შემდეგ აირჩიეთ "სიმბოლო". ეს არის ერთ-ერთი ყველაზე პრიმიტიული ჩასმის მეთოდი. წილადებიტექსტზე. მოგვიანებით მთავრდება. მზა პერსონაჟების ნაკრები აქვს წილადები. მათი რაოდენობა, ჩვეულებისამებრ, მცირეა, მაგრამ თუ ტექსტში უნდა ჩაწეროთ ? და არა 1/2, მაშინ მსგავსი ვარიანტი თქვენთვის ყველაზე ოპტიმალური იქნება. გარდა ამისა, წილადის სიმბოლოების რაოდენობა შეიძლება ასევე დამოკიდებული იყოს შრიფტზე. მაგალითად, Times New Roman შრიფტისთვის, წილადები ოდნავ უფრო მცირეა, ვიდრე იგივე Arial-ისთვის. შეცვალეთ შრიფტები, რათა იპოვოთ საუკეთესო ვარიანტი, როდესაც საქმე ეხება პრიმიტიულ გამონათქვამებს.

2. დააწკაპუნეთ მენიუს პუნქტზე „ჩასმა“ და აირჩიეთ ქვეპუნქტი „ობიექტი“. თქვენ იხილავთ ფანჯარას, რომელშიც ჩასმულია სწორი ობიექტების სია. აირჩიეთ მათ შორის Microsoft Equation 3.0. ეს აპლიკაცია დაგეხმარებათ აკრიფოთ წილადები. და არა მარტო წილადები, არამედ რთული მათემატიკური გამონათქვამები, რომლებიც შეიცავს სხვადასხვა ტრიგონომეტრიულ ფუნქციებს და სხვა ელემენტებს. ორჯერ დააწკაპუნეთ ამ ობიექტზე მაუსის მარცხენა ღილაკით. თქვენ ნახავთ ფანჯარას, რომელიც შეიცავს ბევრ სიმბოლოს.

3. წილადის დასაბეჭდად აირჩიეთ სიმბოლო, რომელიც წარმოადგენს წილადს ცარიელი მრიცხველით და მნიშვნელით. დააწკაპუნეთ მასზე ერთხელ მაუსის მარცხენა ღილაკით. გამოჩნდება დამატებითი მენიუ, რომელშიც მითითებულია სქემა წილადები. შეიძლება რამდენიმე ვარიანტი იყოს. აირჩიეთ თქვენთვის ყველაზე შესაფერისი და დააწკაპუნეთ მასზე ერთხელ მაუსის მარცხენა ღილაკით.

4. ჩაწერეთ მრიცხველი და მნიშვნელი წილადებიყველა საჭირო მონაცემი. ეს უფრო ბუნებრივად მიედინება დოკუმენტის ფურცელზე. ფრაქცია ჩასმული იქნება როგორც ცალკეული ობიექტი, რომელიც საჭიროების შემთხვევაში შეიძლება გადაიტანოს დოკუმენტის ნებისმიერ ადგილას. შეგიძლიათ დაბეჭდოთ მრავალსართულიანი წილადები. ამისათვის მოათავსეთ მრიცხველში ან მნიშვნელში (როგორც გჭირდებათ) სხვა წილადი, რომელიც შეგიძლიათ უპირატესობა მიანიჭოთ იმავე აპლიკაციის ფანჯარაში.

Მსგავსი ვიდეოები

ალგებრული წილადი არის A/B ფორმის გამოხატულება, სადაც ასოები A და B აღნიშნავენ ნებისმიერ რიცხვით ან ანბანურ გამონათქვამს. ხშირად მრიცხველს და მნიშვნელს ალგებრულ წილადებში აქვს მასიური ფორმა, მაგრამ ასეთ წილადებთან მოქმედებები უნდა შესრულდეს იგივე წესებით, როგორც მოქმედებები ჩვეულებრივთან, სადაც მრიცხველი და მნიშვნელი არის რეგულარული მთელი რიცხვები.

ინსტრუქცია

1. თუ მიცემულია შერეული წილადები, გადააქციეთ ისინი არარეგულარულად (წილადი, რომელშიც მრიცხველი მნიშვნელზე დიდია): მნიშვნელი გავამრავლოთ მთელ ნაწილზე და დავამატოთ მრიცხველი. ასე რომ, რიცხვი 2 1/3 გადაიქცევა 7/3-ად. ამისათვის გაამრავლეთ 3 2-ზე და დაამატეთ ერთი.

2. თუ თქვენ გჭირდებათ ათობითი წილადის გადაქცევა არასწორად, მაშინ წარმოიდგინეთ, რომ იყოთ რიცხვი მძიმის გარეშე ერთზე იმდენი ნულით, რამდენიც არის მძიმის შემდეგ. ვთქვათ, რიცხვი 2.5 წარმოდგენილია როგორც 25/10 (თუ შეამცირებთ, მიიღებთ 5/2), ხოლო რიცხვი 3.61 - როგორც 361/100. არასწორ წილადებთან მუშაობა ხშირად უფრო ადვილია, ვიდრე შერეულ ან ათობითი წილადებთან.

3. თუ წილადებს აქვთ იდენტური მნიშვნელები და თქვენ უნდა დაამატოთ ისინი, დაამატეთ მრიცხველები პრიმიტიულად; მნიშვნელები უცვლელი რჩება.

4. თუ პირველი წილადის მრიცხველს უნდა გამოვაკლოთ იდენტური მნიშვნელების მქონე წილადები, გამოვაკლოთ მე-2 წილადის მრიცხველი. მნიშვნელებიც არ იცვლება.

5. თუ საჭიროა წილადების დამატება ან ერთი წილადის მეორეს გამოკლება და მათ აქვთ განსხვავებული მნიშვნელი, მიიყვანეთ წილადები საერთო მნიშვნელამდე. ამისათვის იპოვეთ რიცხვი, რომელიც იქნება ორივე მნიშვნელის უმცირესი საერთო ჯერადი (LCM) ან რამდენიმე, თუ წილადები 2-ზე მეტია. NOC არის რიცხვი, რომელიც გაიყოფა ყველა მოცემული წილადის მნიშვნელებზე. მაგალითად, 2-სთვის და 5-ისთვის ეს რიცხვი არის 10.

6. ტოლობის ნიშნის შემდეგ დახაზეთ ჰორიზონტალური ხაზი და ჩაწერეთ ეს რიცხვი (NOC) მნიშვნელში. დაამატეთ დამატებითი ფაქტორები თითოეულ წევრს - რიცხვი, რომლითაც უნდა გაამრავლოთ როგორც მრიცხველი, ასევე მნიშვნელი, რათა მიიღოთ LCM. ეტაპობრივად გავამრავლოთ მრიცხველები დანამატის ფაქტორებზე, შენარჩუნებით შეკრების ან გამოკლების ნიშანი.

7. გამოთვალეთ ჯამი, აუცილებლობის შემთხვევაში შეამცირეთ ან მთელი ნაწილი მონიშნეთ. მაგალითად - საჭიროა დაკეცვა? და?. LCM ორივე წილადისთვის არის 12. მაშინ პირველი წილადის დამატებითი კოეფიციენტი არის 4, მე-2-ს - 3. ჯამი: ?+?=(1 4+1 3)/12=7/12.

8. თუ მოცემულია გამრავლების მაგალითი, გაამრავლეთ მრიცხველები (ეს იქნება ჯამის მრიცხველი) და მნიშვნელები (ეს იქნება ჯამის მნიშვნელი). ამ შემთხვევაში მათ საერთო მნიშვნელამდე დაყვანა არ სჭირდებათ.

9. წილადის წილადზე გასაყოფად საჭიროა მეორე წილადი თავდაყირა დაატრიალოთ და წილადები გავამრავლოთ. ანუ a/b: c/d = a/b d/c.

10. მრიცხველი და მნიშვნელი, საჭიროებისამებრ, გაანაწილეთ. ვთქვათ, გადავიტანოთ უნივერსალური კოეფიციენტი ფრჩხილიდან ან გავაფართოვოთ შემოკლებული გამრავლების ფორმულების მიხედვით, რათა ამის შემდეგ შესაძლებელი გახდეს მრიცხველისა და მნიშვნელის შემცირება GCD-ით - მინიმალური საერთო გამყოფი.

Შენიშვნა!
დაამატეთ რიცხვები რიცხვებით, იგივე ტიპის ასოები იმავე ტიპის ასოებით. ვთქვათ, შეუძლებელია 3a და 4b-ის დამატება, რაც ნიშნავს, რომ მათი ჯამი ან სხვაობა მრიცხველში დარჩება - 3a±4b.

Მსგავსი ვიდეოები

ფრაქციები

ყურადღება!
არის დამატებითი
მასალა 555-ე სპეციალურ ნაწილში.
მათთვის, ვინც მტკიცედ "არა ძალიან ..."
და მათთვის, ვინც "ძალიან...")

ფრაქციები საშუალო სკოლაში არ არის ძალიან შემაშფოთებელი. Აქამდე. სანამ არ წააწყდებით რაციონალურ მაჩვენებლებსა და ლოგარითმებს. და იქ…. თქვენ დააჭერთ, აჭერთ კალკულატორს და ის აჩვენებს რამდენიმე ნომრის სრულ დაფას. თავით უნდა იფიქრო, როგორც მესამე კლასში.

ბოლოს და ბოლოს, წილადებს მივხედოთ! აბა, რამდენად შეიძლება მათში დაბნეულობა!? უფრო მეტიც, ეს ყველაფერი მარტივი და ლოგიკურია. Ისე, რა არის წილადები?

წილადების სახეები. ტრანსფორმაციები.

ფრაქციები სამი ტიპისაა.

1. საერთო წილადები , Მაგალითად:

ხანდახან ჰორიზონტალური ხაზის ნაცვლად ხაზს სვამენ: 1/2, 3/4, 19/5, კარგად და ა.შ. აქ ხშირად გამოვიყენებთ ამ მართლწერას. ზედა ნომერს ეძახიან მრიცხველი, ქვედა - მნიშვნელი.თუ თქვენ მუდმივად აბნევთ ამ სახელებს (ეს ხდება ...), უთხარით საკუთარ თავს ფრაზა გამოთქმით: " ზზზზგახსოვდეს! ზზზზმნიშვნელი - გარეთ ზზზშენ!" შეხედე, ყველაფერი გაახსენდება.)

ტირე, რომელიც ჰორიზონტალურია, რომელიც ირიბია, ნიშნავს დაყოფაზედა რიცხვი (მრიცხველი) ქვედა რიცხვამდე (მნიშვნელი). და ეს არის ის! ტირის ნაცვლად სავსებით შესაძლებელია გაყოფის ნიშნის დადება - ორი წერტილი.

როდესაც დაყოფა შესაძლებელია მთლიანად, ეს უნდა გაკეთდეს. ასე რომ, წილადის "32/8" ნაცვლად გაცილებით სასიამოვნოა რიცხვის "4" ჩაწერა. იმათ. 32 უბრალოდ იყოფა 8-ზე.

32/8 = 32: 8 = 4

წილად „4/1“-ზე არ მაქვს საუბარი. რომელიც ასევე არის მხოლოდ "4". და თუ ის მთლიანად არ იყოფა, ვტოვებთ წილადად. ზოგჯერ თქვენ უნდა გააკეთოთ პირიქით. შეადგინეთ წილადი მთელი რიცხვიდან. მაგრამ უფრო ამის შესახებ მოგვიანებით.

2. ათწილადები , Მაგალითად:

სწორედ ამ ფორმით იქნება საჭირო "B" დავალებების პასუხების ჩაწერა.

3. შერეული რიცხვები , Მაგალითად:

საშუალო სკოლაში შერეული რიცხვები პრაქტიკულად არ გამოიყენება. მათთან მუშაობისთვის, ისინი უნდა გადაკეთდეს ჩვეულებრივ წილადებად. მაგრამ თქვენ აუცილებლად უნდა იცოდეთ როგორ გააკეთოთ ეს! შემდეგ კი ასეთი რიცხვი თავსატეხში წავა და ჩამოიხრჩო... ნულიდან. მაგრამ ჩვენ გვახსოვს ეს პროცედურა! ცოტა დაბლა.

ყველაზე მრავალმხრივი საერთო წილადები. დავიწყოთ მათთან. სხვათა შორის, თუ წილადში არის ყველა სახის ლოგარითმები, სინუსი და სხვა ასოები, ეს არაფერს ცვლის. იმ გაგებით, რომ ყველაფერი წილადი გამონათქვამებით მოქმედებები არაფრით განსხვავდება ჩვეულებრივი წილადების მოქმედებებისგან!

წილადის ძირითადი თვისება.

ასე რომ წავიდეთ! პირველ რიგში გაგაოცებთ. წილადების გარდაქმნების მთელი მრავალფეროვნება მოცემულია ერთი თვისებით! ასე ჰქვია წილადის ძირითადი თვისება. გახსოვდეთ: თუ წილადის მრიცხველი და მნიშვნელი გამრავლდება (გაიყოფა) ერთ რიცხვზე, წილადი არ შეიცვლება.ესენი:

გასაგებია, რომ შეგიძლია შემდგომ დაწერო, სანამ სახეზე არ გალურჯდები. ნუ მისცემთ უფლებას სინუსებმა და ლოგარითმებმა შეგაწუხოთ, ჩვენ მათთან შემდგომში გავეცნობით. მთავარია გავიგოთ, რომ ყველა ეს განსხვავებული გამოთქმა არის იგივე წილადი . 2/3.

და ჩვენ გვჭირდება ეს, ყველა ეს ტრანსფორმაცია? Და როგორ! ახლა თქვენ თვითონ ნახავთ. ჯერ გამოვიყენოთ წილადის ძირითადი თვისება ამისთვის ფრაქციების აბრევიატურები. როგორც ჩანს, საქმე ელემენტარულია. მრიცხველს და მნიშვნელს ვყოფთ ერთ რიცხვზე და ეს არის! შეუძლებელია არასწორად წასვლა! მაგრამ... ადამიანი შემოქმედებითი არსებაა. შეცდომის დაშვება ყველგან შეიძლება! მით უმეტეს, თუ თქვენ უნდა შეამციროთ არა წილადი, როგორიცაა 5/10, არამედ წილადური გამოხატულება ყველა სახის ასოებით.

როგორ შევამციროთ წილადები სწორად და სწრაფად, ზედმეტი სამუშაოს გარეშე, შეგიძლიათ იხილოთ სპეციალურ სექციაში 555.

ნორმალურ მოსწავლეს არ აწუხებს მრიცხველისა და მნიშვნელის ერთი და იგივე რიცხვზე (ან გამოსახულებაზე) გაყოფა! ის უბრალოდ ყველაფერს ერთნაირად კვეთს ზემოდან და ქვემოდან! ეს არის სადაც ტიპიური შეცდომა იმალება, შეცდომა, თუ გნებავთ.

მაგალითად, თქვენ უნდა გაამარტივოთ გამოთქმა:

საფიქრალი არაფერია, ასო „ა“-ს ზემოდან გადავხაზავთ, ქვემოდან კი დუმს! ჩვენ ვიღებთ:

ყველაფერი სწორია. მაგრამ თქვენ ნამდვილად გააზიარეთ მთელი მრიცხველი და მთელი მნიშვნელი "ა". თუ თქვენ მიჩვეული ხართ უბრალოდ გადახაზვას, მაშინ, ჩქარობთ, შეგიძლიათ გამოთქმაში „ა“-ს გადაკვეთა

და ისევ მიიღეთ

რაც კატეგორიულად არასწორი იქნებოდა. რადგან აქ მთელიმრიცხველი "ა"-ზე უკვე არ არის გაზიარებული! ამ ფრაქციის შემცირება შეუძლებელია. სხვათა შორის, ასეთი შემოკლება მასწავლებლისთვის სერიოზული გამოწვევაა. ეს არ ეპატიება! გახსოვს? შემცირებისას საჭიროა გაყოფა მთელი მრიცხველი და მთელი მნიშვნელი!

წილადების შემცირება ცხოვრებას ბევრად აადვილებს. სადღაც მიიღებთ წილადს, მაგალითად 375/1000. და როგორ ვიმუშაო ახლა მასთან? კალკულატორის გარეშე? გამრავლება, თქვი, დამატება, კვადრატი!? და თუ ძალიან ზარმაცი არ ხარ, მაგრამ ფრთხილად შეამცირე ხუთით, და თუნდაც ხუთით, და თუნდაც ... სანამ მცირდება, მოკლედ. ჩვენ ვიღებთ 3/8! ბევრად უფრო ლამაზი, არა?

წილადის ძირითადი თვისება საშუალებას გაძლევთ გადაიყვანოთ ჩვეულებრივი წილადები ათწილადებად და პირიქით კალკულატორის გარეშე! ეს მნიშვნელოვანია გამოცდისთვის, არა?

როგორ გადავიტანოთ წილადები ერთი ფორმიდან მეორეში.

ათწილადებით ადვილია. როგორც ისმის, ისე წერია! ვთქვათ 0.25. ეს არის ნულოვანი წერტილი, ოცდახუთი მეასედი. ასე რომ, ჩვენ ვწერთ: 25/100. ვამცირებთ (მრიცხველი და მნიშვნელი გავყოთ 25-ზე), მივიღებთ ჩვეულებრივ წილადს: 1/4. ყველა. ეს ხდება და არაფერი მცირდება. მოსწონს 0.3. ეს არის სამი მეათედი, ე.ი. 3/10.

რა მოხდება, თუ მთელი რიცხვები არ არის ნულოვანი? Ყველაფერი კარგადაა. ჩაწერეთ მთელი წილადი ყოველგვარი მძიმეების გარეშემრიცხველში, ხოლო მნიშვნელში – რაც ისმის. მაგალითად: 3.17. ეს არის სამი მთელი, მეჩვიდმეტე მეასედი. მრიცხველში ვწერთ 317, ხოლო მნიშვნელში 100. მივიღებთ 317/100. არაფერი მცირდება, ეს ნიშნავს ყველაფერს. ეს არის პასუხი. ელემენტარული უოტსონი! ყოველივე ზემოთქმულიდან, სასარგებლო დასკვნა: ნებისმიერი ათობითი წილადი შეიძლება გარდაიქმნას საერთო წილადად .

მაგრამ საპირისპირო კონვერტაცია, ჩვეულებრივი ათწილადამდე, ზოგიერთს არ შეუძლია კალკულატორის გარეშე. და ეს აუცილებელია! გამოცდაზე პასუხს როგორ ჩაწერთ!? ჩვენ ყურადღებით ვკითხულობთ და ვითვისებთ ამ პროცესს.

რა არის ათობითი წილადი? მას აქვს მნიშვნელში ყოველთვისღირს 10 ან 100 ან 1000 ან 10000 და ასე შემდეგ. თუ თქვენს ჩვეულებრივ წილადს აქვს ასეთი მნიშვნელი, პრობლემა არ არის. მაგალითად, 4/10 = 0.4. ან 7/100 = 0.07. ან 12/10 = 1.2. და თუ "B" განყოფილების დავალების პასუხში აღმოჩნდა 1/2? რას დავწერთ პასუხად? ათწილადები აუცილებელია...

გვახსოვს წილადის ძირითადი თვისება ! მათემატიკა ხელსაყრელი საშუალებას გაძლევთ გაამრავლოთ მრიცხველი და მნიშვნელი იმავე რიცხვზე. ვინმესთვის, სხვათა შორის! ნულის გარდა, რა თქმა უნდა. მოდით გამოვიყენოთ ეს ფუნქცია ჩვენს სასარგებლოდ! რაზე შეიძლება გამრავლდეს მნიშვნელი, ე.ი. 2 რომ გახდეს 10, ან 100, ან 1000 (რათქმაუნდა პატარა უკეთესია...)? 5, ცხადია. თავისუფლად გაამრავლეთ მნიშვნელი (ეს არის ჩვენაუცილებელია) 5-ზე. მაგრამ, მაშინ მრიცხველიც უნდა გავამრავლოთ 5-ზე. ეს უკვე მათემატიკამოითხოვს! ჩვენ ვიღებთ 1/2 \u003d 1x5 / 2x5 \u003d 5/10 \u003d 0.5. Სულ ეს არის.

თუმცა, ყველა სახის მნიშვნელი გვხვდება. მაგალითად, წილადი 3/16 დაეცემა. სცადე, გამოარკვიე, რაზე გავამრავლო 16, რომ მივიღოთ 100, ან 1000... არ მუშაობს? შემდეგ შეგიძლიათ უბრალოდ გაყოთ 3 16-ზე. კალკულატორის არარსებობის შემთხვევაში მოგიწევთ გაყოფა კუთხეში, ფურცელზე, როგორც დაწყებით კლასებში ასწავლიდნენ. ჩვენ ვიღებთ 0.1875.

და არის რამდენიმე ძალიან ცუდი მნიშვნელი. მაგალითად, წილადი 1/3 ვერ გადაიქცევა კარგ ათწილადად. როგორც კალკულატორზე, ასევე ფურცელზე ვიღებთ 0,3333333 ... ეს ნიშნავს, რომ 1/3 შევიდა ზუსტ ათობითი წილადში არ თარგმნის. ისევე როგორც 1/7, 5/6 და ასე შემდეგ. ბევრი მათგანი უთარგმნელია. აქედან გამომდინარე, კიდევ ერთი სასარგებლო დასკვნა. ყველა ჩვეულებრივი წილადი არ გარდაიქმნება ათწილადში. !

სხვათა შორის, ეს არის სასარგებლო ინფორმაცია თვითგამოკვლევისთვის. განყოფილებაში "B" საპასუხოდ, თქვენ უნდა ჩაწეროთ ათობითი წილადი. და თქვენ მიიღეთ, მაგალითად, 4/3. ეს წილადი არ გარდაიქმნება ათწილადად. ეს ნიშნავს, რომ სადღაც გზაზე შეცდომა დაუშვით! დაბრუნდი, შეამოწმე გამოსავალი.

ასე რომ, დალაგებულია ჩვეულებრივი და ათობითი წილადები. რჩება შერეულ რიცხვებთან გამკლავება. მათთან მუშაობისთვის, ისინი ყველა უნდა გადაკეთდეს ჩვეულებრივ წილადებად. Როგორ გავაკეთო ეს? შეგიძლიათ მეექვსეკლასელი დაიჭიროთ და ჰკითხოთ. მაგრამ მეექვსე კლასელი ყოველთვის არ იქნება ხელთ... ჩვენ თვითონ მოგვიწევს ამის გაკეთება. ეს არ არის რთული. წილადი ნაწილის მნიშვნელი გავამრავლოთ მთელ ნაწილზე და დავამატოთ წილადი ნაწილის მრიცხველი. ეს იქნება საერთო წილადის მრიცხველი. რაც შეეხება მნიშვნელს? მნიშვნელი იგივე დარჩება. რთულად ჟღერს, მაგრამ სინამდვილეში საკმაოდ მარტივია. ვნახოთ მაგალითი.

ჩაწერეთ საშინლად დანახული პრობლემა:

მშვიდად, პანიკის გარეშე, გვესმის. მთელი ნაწილი არის 1. ერთი. წილადი ნაწილია 3/7. მაშასადამე, წილადი ნაწილის მნიშვნელი არის 7. ეს მნიშვნელი იქნება ჩვეულებრივი წილადის მნიშვნელი. ჩვენ ვითვლით მრიცხველს. ვამრავლებთ 7-ს 1-ზე (მთლიანი ნაწილი) და ვამატებთ 3-ს (წილადი ნაწილის მრიცხველი). მივიღებთ 10. ეს იქნება ჩვეულებრივი წილადის მრიცხველი. Სულ ეს არის. ეს კიდევ უფრო მარტივი ჩანს მათემატიკური აღნიშვნით:

აშკარად? მაშინ დაიცავით თქვენი წარმატება! გადაიყვანეთ ჩვეულებრივ წილადებზე. თქვენ უნდა მიიღოთ 10/7, 7/2, 23/10 და 21/4.

საპირისპირო ოპერაცია - არასწორი წილადის გადაქცევა შერეულ რიცხვად - იშვიათად არის საჭირო საშუალო სკოლაში. ისე, თუ... და თუ - არა საშუალო სკოლაში - შეგიძლიათ გადახედოთ სპეციალურ სექციას 555. სხვათა შორის, იმავე ადგილას გაიგებთ არასწორ წილადებს.

ისე, თითქმის ყველაფერი. გაიხსენე წილადების ტიპები და გაიგე Როგორ გადაიყვანეთ ისინი ერთი ტიპიდან მეორეზე. კითხვა რჩება: Რისთვის გააკეთე? სად და როდის გამოვიყენოთ ეს ღრმა ცოდნა?

Მე ვპასუხობ. ნებისმიერი მაგალითი თავად გვთავაზობს აუცილებელ მოქმედებებს. თუ მაგალითში ჩვეულებრივი წილადები, ათწილადები და თუნდაც შერეული რიცხვები ერთმანეთშია შერეული, ჩვენ ყველაფერს ვთარგმნით ჩვეულებრივ წილადებად. ეს ყოველთვის შეიძლება გაკეთდეს. ისე, თუ რაღაც 0.8 + 0.3 წერია, მაშინ ასე ვფიქრობთ, ყოველგვარი თარგმანის გარეშე. რატომ გვჭირდება დამატებითი სამუშაო? ჩვენ ვირჩევთ გამოსავალს, რომელიც მოსახერხებელია ჩვენ !

თუ დავალება სავსეა ათობითი წილადებით, მაგრამ ჰმ... რაღაც ბოროტები, გადადით ჩვეულებრივებზე, სცადეთ! შეხედე, ყველაფერი კარგად იქნება. მაგალითად, თქვენ უნდა აკრიფოთ რიცხვი 0.125. არც ისე ადვილია, თუ არ დაკარგე კალკულატორის ჩვევა! თქვენ არა მხოლოდ უნდა გაამრავლოთ რიცხვები სვეტში, არამედ იფიქროთ იმაზე, თუ სად ჩასვათ მძიმით! ეს ნამდვილად არ მუშაობს ჩემს გონებაში! და თუ მიდიხარ ჩვეულებრივ წილადზე?

0,125 = 125/1000. ვამცირებთ 5-ით (ეს არის დამწყებთათვის). ვიღებთ 25/200. კიდევ ერთხელ 5. ვიღებთ 5/40-ს. ოჰ, იკუმშება! 5-ზე დაბრუნება! ჩვენ ვიღებთ 1/8. ადვილად მოედანზე (თქვენს გონებაში!) და მიიღეთ 1/64. ყველა!

მოდით შევაჯამოთ ეს გაკვეთილი.

1. არსებობს სამი სახის წილადი. ჩვეულებრივი, ათობითი და შერეული რიცხვები.

2. ათწილადები და შერეული რიცხვები ყოველთვისშეიძლება გარდაიქმნას ჩვეულებრივ წილადებად. საპირისპირო თარგმანი ყოველთვის არახელმისაწვდომი.

3. წილადების ტიპის არჩევანი ამოცანასთან მუშაობისთვის დამოკიდებულია სწორედ ამ ამოცანაზე. თუ ერთ ამოცანაში არის სხვადასხვა ტიპის წილადები, ყველაზე საიმედოა ჩვეულებრივ წილადებზე გადასვლა.

ახლა შეგიძლიათ ივარჯიშოთ. პირველი, გადააქციეთ ეს ათობითი წილადები ჩვეულებრივ წილადებად:

3,8; 0,75; 0,15; 1,4; 0,725; 0,012

თქვენ უნდა მიიღოთ ასეთი პასუხები (არეულად!):

ამაზე ჩვენ დავასრულებთ. ამ გაკვეთილზე ჩვენ განვიხილეთ წილადების ძირითადი პუნქტები. თუმცა ხდება ისე, რომ გასაახლებელი არაფერია განსაკუთრებული...) თუ ვინმეს მთლიანად დაავიწყდა, ან ჯერ არ დაეუფლა... ეს შეიძლება გადავიდეს 555-ე სპეციალურ განყოფილებაში. იქ ყველა საფუძვლები დეტალურადაა აღწერილი. ბევრი მოულოდნელად ყველაფრის გაგებაიწყებენ. და ისინი წყვეტენ წილადებს ფრენის დროს).

თუ მოგწონთ ეს საიტი...

სხვათა შორის, მე მაქვს კიდევ რამდენიმე საინტერესო საიტი თქვენთვის.)

შეგიძლიათ ივარჯიშოთ მაგალითების ამოხსნაში და გაიგოთ თქვენი დონე. ტესტირება მყისიერი გადამოწმებით. სწავლა - ინტერესით!)

შეგიძლიათ გაეცნოთ ფუნქციებს და წარმოებულებს.