Его движения , т.е. величина .
Импульс — величина векторная, совпадающая по направлению с вектором скорости .
Единица измерения импульса в системе СИ: кг м/с .
Импульс системы тел равен векторной сумме импульсов всех тел, входящих в систему:
Закон сохранения импульса
Если на систему взаимодействующих тел действуют дополнительно внешние силы, например, то в этом случае справедливо соотношение, которое иногда называют законом изменения импульса:
Для замкнутой системы (при отсутствии внешних сил) справедлив закон сохранения импульса:
Действием закона сохранения импульса можно объяснить явление отдачи при стрельбе из винтовки или при артиллерийской стрельбе. Также действие закона сохранения импульса лежит в основе принципа работы всех реактивных двигателей.
При решении физических задач законом сохранения импульса пользуются, когда знание всех деталей движения не требуется, а важен результат взаимодействия тел. Такими задачами, к примеру, являются задачи о соударении или столкновении тел. Законом сохранения импульса пользуются при рассмотрении движения тел переменной массы таких, как ракеты-носители. Большую часть массы такой ракеты составляет топливо. На активном участке полета это топливо выгорает, и масса ракеты на этом участке траектории быстро уменьшается. Также закон сохранения импульса необходим в случаях, когда неприменимо понятие . Трудно себе представить ситуацию, когда неподвижное тело приобретает некоторую скорость мгновенно. В обычной практике тела всегда разгоняются и набирают скорость постепенно. Однако при движении электронов и других субатомных частиц изменение их состояния происходит скачком без пребывания в промежуточных состояниях. В таких случаях классическое понятие «ускорения» применять нельзя.
Примеры решения задач
ПРИМЕР 1
Задание | Снаряд массой 100 кг, летящий горизонтально вдоль железнодорожного пути со скоростью 500 м/с, попадает в вагон с песком массой 10 т и застревает в нем. Какую скорость получит вагон, если он двигался со скоростью 36 км/ч в направлении, противоположном движению снаряда? |
Решение | Система вагон+снаряд является замкнутой, поэтому в данном случае можно применить закон сохранения импульса.
Выполним рисунок, указав состояние тел до и после взаимодействия. При взаимодействии снаряда и вагона имеет место неупругий удар. Закон сохранения импульса в этом случае запишется в виде: Выбирая направление оси совпадающим с направлением движения вагона, запишем проекцию этого уравнения на координатную ось: откуда скорость вагона после попадания в него снаряда: Переводим единицы в систему СИ: т кг. Вычислим: |
Ответ | После попадания снаряда вагон будет двигаться со скоростью 5 м/с. |
ПРИМЕР 2
Задание | Снаряд массой m=10 кг обладал скоростью v=200 м/с в верхней точке . В этой точке он разорвался на две части. Меньшая часть массой m 1 =3 кг получила скорость v 1 =400 м/с в прежнем направлении под углом к горизонту. С какой скоростью и в каком направлении полетит большая часть снаряда? |
Решение | Траектория движения снаряда – парабола. Скорость тела всегда направлена по касательной к траектории. В верхней точке траектории скорость снаряда параллельна оси .
Запишем закон сохранения импульса: Перейдем от векторов к скалярным величинам. Для этого возведем обе части векторного равенства в квадрат и воспользуемся формулами для : Учитывая, что , а также что , находим скорость второго осколка: Подставив в полученную формулу численные значения физических величин, вычислим: Направление полета большей части снаряда определим, воспользовавшись : Подставив в формулу численные значения, получим: |
Ответ | Большая часть снаряда полетит со скоростью 249 м/с вниз под углом к горизонтальному направлению. |
ПРИМЕР 3
Задание | Масса поезда 3000 т. Коэффициент трения 0,02. Какова должна быть паровоза, чтобы поезд набрал скорость 60 км/ч через 2 мин после начала движения. |
Решение | Так как на поезд действует (внешняя сила), систему нельзя считать замкнутой, и закон сохранения импульса в данном случае не выполняется.
Воспользуемся законом изменения импульса: Так как сила трения всегда направлена в сторону, противоположную движению тела, в проекцию уравнения на ось координат (направление оси совпадает с направлением движения поезда) импульс силы трения войдет со знаком «минус»: |
Основные динамические величины: сила, масса, импульс тела, момент силы, момент импульса.
Сила – это векторная величина, являющаяся мерой действия на данное тело других тел или полей.
Сила характеризуется:
· Модулем
· Направлением
· Точкой приложения
В системе СИ сила измеряется в ньютонах.
Для того чтобы понять, что такое сила в один ньютон, нам нужно вспомнить, что сила, приложенная к телу, изменяет его скорость. Кроме того, вспомним о инертности тел, которая, как мы помним, связана с их массой. Итак,
Один ньютон – это такая сила, которая меняет скорость тела массой в 1 кг на 1 м/с за каждую секунду.
Примерами сил могут служить:
· Сила тяжести – сила, действующая на тело в результате гравитационного взаимодействия.
· Сила упругости – сила, с которой тело сопротивляется внешней нагрузке. Ее причиной является электромагнитное взаимодействие молекул тела.
· Сила Архимеда – сила, связанная с тем, что тело вытесняет некий объем жидкости или газа.
· Сила реакции опоры – сила, с которой опора действует на тело, находящееся на ней.
· Сила трения – сила сопротивления относительному перемещению контактирующих поверхностей тел.
· Сила поверхностного натяжения – сила, возникающая на границе раздела двух сред.
· Вес тела – сила, с которой тело действует на горизонтальную опору или вертикальный подвес.
И другие силы.
Сила измеряется с помощью специального прибора. Этот прибор называется динамометром (рис. 1). Динамометр состоит из пружины 1, растяжение которой и показывает нам силу, стрелки 2, скользящей по шкале 3, планки-ограничителя 4, которая не дает растянуться пружине слишком сильно, и крючка 5, к которому подвешивается груз.
Рис. 1. Динамометр (Источник)
На тело могут действовать многие силы. Для того чтобы правильно описать движение тела, удобно пользоваться понятием равнодействующей сил.
Равнодействующая сил – это сила, действие которой заменяет действие всех сил, приложенных к телу (Рис. 2).
Зная правила работы с векторными величинами, легко догадаться, что равнодействующая всех сил, приложенных к телу – это векторная сумма этих сил.
Рис. 2. Равнодействующая двух сил, действующих на тело
Кроме того, поскольку мы с вами рассматриваем движение тела в какой-либо системе координат, нам обычно выгодно рассматривать не саму силу, а ее проекцию на ось. Проекция силы на ось может быть отрицательной или положительной, потому что проекция – это величина скалярная. Так, на рисунке 3 изображены проекции сил, проекция силы – отрицательна, а проекция силы – положительна.
Рис. 3. Проекции сил на ось
Итак, из этого урока мы с вами углубили свое понимание понятия силы. Мы вспомнили единицы измерения силы и прибор, с помощью которого измеряется сила. Кроме того, мы рассмотрели, какие силы существуют в природе. Наконец, мы узнали, как можно действовать в случае, если на тело действует несколько сил.
Масса , физическая величина, одна из основных характеристик материи, определяющая ее инерционные и гравитационные свойства. Соответственно различают Массу инертную и Массу гравитационную (тяжелую, тяготеющую).
Понятие Масса было введено в механику И. Ньютоном. В классической механике Ньютона Масса входит в определение импульса (количества движения) тела: импульс р пропорционален скорости движения тела v , p = mv (1). Коэффициент пропорциональности - постоянная для данного тела величина m - и есть Масса тела. Эквивалентное определение Массы получается из уравнения движения классической механики f = ma (2). Здесь Масса - коэффициент пропорциональности между действующей на тело силой f и вызываемым ею ускорением тела a . Определенная соотношениями (1) и (2) Масса называется инерциальной массой, или инертной массой; она характеризует динамические свойства тела, является мерой инерции тела: при постоянной силе чем больше Масса тела, тем меньшее ускорение оно приобретает, т. е. тем медленнее меняется состояние его движения (тем больше его инерция).
Действуя на различные тела одной и той же силой и измеряя их ускорения, можно определить отношения Масса этих тел: m 1: m 2: m 3 ... = а 1: а 2: а 3 ... ; если одну из Масс принять за единицу измерения, можно найти Массу остальных тел.
В теории гравитации Ньютона Масса выступает в другой форме - как источник поля тяготения. Каждое тело создает поле тяготения, пропорциональное Массе тела (и испытывает воздействие поля тяготения, создаваемого другими телами, сила которого также пропорциональна Массе тел). Это поле вызывает притяжение любого другого тела к данному телу с силой, определяемой законом тяготения Ньютона:
(3)
где r - расстояние между телами, G - универсальная гравитационная постоянная, a m 1 и m 2 - Массы притягивающихся тел. Из формулы (3) легко получить формулу для веса Р тела массы m в поле тяготения Земли: Р = mg (4).
Здесь g = G*M/r 2 - ускорение свободного падения в гравитационном поле Земли, а r » R - радиусу Земли. Масса, определяемая соотношениями (3) и (4), называется гравитационной массой тела.
В принципе ниоткуда не следует, что Масса, создающая поле тяготения, определяет и инерцию того же тела. Однако опыт показал, что инертная Масса и гравитационная Масса пропорциональны друг другу (а при обычном выборе единиц измерения численно равны). Этот фундаментальный закон природы называется принципом эквивалентности. Его открытие связано с именем Г.Галилея, установившего, что все тела на Земле падают с одинаковым ускорением. А.Эйнштейн положил этот принцип (им впервые сформулированный) в основу общей теории относительности. Экспериментально принцип эквивалентности установлен с очень большой точностью. Впервые (1890-1906) прецизионная проверка равенства инертной и гравитационной Масс была произведена Л.Этвешем, который нашел, что Массы совпадают с ошибкой ~ 10 -8 . В 1959-64 годах американские физики Р.Дикке, Р.Кротков и П.Ролл уменьшили ошибку до 10 -11 , а в 1971 году советские физики В.Б.Брагинский и В.И.Панов - до 10 -12 .
Принцип эквивалентности позволяет наиболее естественно определять Массу тела взвешиванием.
Первоначально Масса рассматривалась (например, Ньютоном) как мера количества вещества. Такое определение имеет ясный смысл только для сравнения однородных тел, построенных из одного материала. Оно подчеркивает аддитивность Массы - Масса тела равна сумме Массы его частей. Масса однородного тела пропорциональна его объему, поэтому можно ввести понятие плотности - Массы единицы объема тела.
В классической физике считалось, что Масса тела не изменяется ни в каких процессах. Этому соответствовал закон сохранения Массы (вещества), открытый М.В.Ломоносовым и А.Л.Лавуазье. В частности, этот закон утверждал, что в любой химической реакции сумма Масс исходных компонентов равна сумме Масс конечных компонентов.
Понятие Масса приобрело более глубокий смысл в механике специальной теории относительности А. Эйнштейна, рассматривающей движение тел (или частиц) с очень большими скоростями - сравнимыми со скоростью света с ~ 3 10 10 см/сек. В новой механике - она называется релятивистской механикой - связь между импульсом и скоростью частицы дается соотношением:
(5)
При малых скоростях (v << c ) это соотношение переходит в Ньютоново соотношение р = mv . Поэтому величину m 0 называют массой покоя, а Массу движущейся частицы m определяют как зависящий от скорости коэффициент пропорциональности между p и v :
(6)
Имея в виду, в частности, эту формулу, говорят, что Масса частицы (тела) растет с увеличением ее скорости. Такое релятивистское возрастание Массы частицы по мере повышения ее скорости необходимо учитывать при конструировании ускорителей заряженных частиц высоких энергий. Масса покоя m 0 (Масса в системе отсчета, связанной с частицей) является важнейшей внутренней характеристикой частицы. Все элементарные частицы обладают строго определенными значениями m 0 , присущими данному сорту частиц.
Следует отметить, что в релятивистской механике определение Массы из уравнения движения (2) не эквивалентно определению Массы как коэффициента пропорциональности между импульсом и скоростью частицы, так как ускорение перестает быть параллельным вызвавшей его силе и Масса получается зависящей от направления скорости частицы.
Согласно теории относительности, Масса частицы m связана с ее энергией Е соотношением:
(7)
Масса покоя определяет внутреннюю энергию частицы - так называемую энергию покоя Е 0 = m 0 с 2 . Таким образом, с Массой всегда связана энергия (и наоборот). Поэтому не существует по отдельности (как в классической физике) закона сохранения Массы и закона сохранения энергии - они слиты в единый закон сохранения полной (т. е. включающей энергию покоя частиц) энергии. Приближенное разделение на закон сохранения энергии и закон сохранения Массы возможно лишь в классической физике, когда скорости частиц малы (v << c ) и не происходят процессы превращения частиц.
В релятивистской механике Масса не является аддитивной характеристикой тела. Когда две частицы соединяются, образуя одно составное устойчивое состояние, то при этом выделяется избыток энергии (равный энергии связи) DЕ , который соответствует Массе Dm = DE/с 2 . Поэтому Масса составной частицы меньше суммы Масс образующих его частиц на величину DE/с 2 (так называемый дефект масс). Этот эффект проявляется особенно сильно в ядерных реакциях. Например, Масса дейтрона (d ) меньше суммы Масс протона (p ) и нейтрона (n ); дефект Масс Dm связан с энергией Е g гамма-кванта (g ), рождающегося при образовании дейтрона: р + n -> d + g , E g = Dmc 2 . Дефект Массы, возникающий при образовании составной частицы, отражает органическую связь Массы и энергии.
Единицей Массы в СГС системе единиц служит грамм , а вМеждународной системе единиц СИ - килограмм . Масса атомов и молекул обычно измеряется в атомных единицах массы. Масса элементарных частиц принято выражать либо в единицах Массы электрона m e , либо в энергетических единицах, указывая энергию покоя соответствующей частицы. Так, Масса электрона составляет 0,511 Мэв, Масса протона - 1836,1 m e , или 938,2 Мэв и т. д.
Природа Массы - одна из важнейших нерешенных задач современной физики. Принято считать, что Масса элементарной частицы определяется полями, которые с ней связаны (электромагнитным, ядерным и другими). Однако количественная теория Массы еще не создана. Не существует также теории, объясняющей, почему Масса элементарных частиц образуют дискретный спектр значений, и тем более позволяющей определить этот спектр.
В астрофизике Масса тела, создающего гравитационное поле, определяет так называемый гравитационный радиус тела R гр = 2GM/c 2 . Вследствие гравитационного притяжения никакое излучение, в том числе световое, не может выйти наружу, за поверхность тела с радиусом R =< R гр . Звезды таких размеров будут невидимы; поэтому их назвали "черными дырами". Такие небесные тела должны играть важную роль во Вселенной.
Импульс силы. Импульс тела
Понятие импульса было введено еще в первой половине XVII века Рене Декартом, а затем уточнено Исааком Ньютоном. Согласно Ньютону, который называл импульс количеством движения, – это есть мера такового, пропорциональная скорости тела и его массе. Современное определение: импульс тела – это физическая величина, равная произведению массы тела на его скорость:
Прежде всего, из приведенной формулы видно, что импульс – величина векторная и его направление совпадает с направлением скорости тела, единицей измерения импульса служит:
= [ кг· м/с]
Рассмотрим, каким же образом эта физическая величина связана с законами движения. Запишем второй закон Ньютона, учитывая, что ускорение есть изменение скорости с течением времени:
Налицо связь между действующей на тело силой, точнее, равнодействующей сил и изменением его импульса. Величина произведения силы на промежуток времени носит название импульса силы. Из приведенной формулы видно, что изменение импульса тела равно импульсу силы.
Какие эффекты можно описать с помощью данного уравнения (рис. 1)?
Рис. 1. Связь импульса силы с импульсом тела (Источник)
Стрела, выпускаемая из лука. Чем дольше продолжается контакт тетивы со стрелой (∆t), тем больше изменение импульса стрелы (∆ ), а следовательно, тем выше ее конечная скорость.
Два сталкивающихся шарика. Пока шарики находятся в контакте, они действуют друг на друга с равными по модулю силами, как учит нас третий закон Ньютона. Значит, изменения их импульсов также должны быть равны по модулю, даже если массы шариков не равны.
Проанализировав формулы, можно сделать два важных вывода:
1. Одинаковые силы, действующие в течение одинакового промежутка времени, вызывают одинаковые изменения импульса у различных тел, независимо от массы последних.
2. Одного и того же изменения импульса тела можно добиться, либо действуя небольшой силой в течение длительного промежутка времени, либо действуя кратковременно большой силой на то же самое тело.
Согласно второму закону Ньютона, можем записать:
∆t = ∆ = ∆ / ∆t
Отношение изменения импульса тела к промежутку времени, в течение которого это изменение произошло, равно сумме сил, действующих на тело.
Проанализировав это уравнение, мы видим, что второй закон Ньютона позволяет расширить класс решаемых задач и включить задачи, в которых масса тел изменяется с течением времени.
Если же попытаться решить задачи с переменной массой тел при помощи обычной формулировки второго закона Ньютона:
то попытка такого решения привела бы к ошибке.
Примером тому могут служить уже упоминаемые реактивный самолет или космическая ракета, которые при движении сжигают топливо, и продукты этого сжигаемого выбрасывают в окружающее пространство. Естественно, масса самолета или ракеты уменьшается по мере расхода топлива.
МОМЕНТ СИЛЫ - величина, характеризующая вращательный эффект силы; имеет размерность произведения длины на силу. Различают момент силы относительно центра (точки) и относительно оси.
M. с. относительно центра О наз. векторная величина M 0 , равная векторному произведению радиуса-вектора r , проведённого из O в точку приложения силы F , на силуM 0 = [rF ] или в др. обозначениях M 0 = r F (рис.). Численно M. с. равен произведению модуля силы на плечо h , т. е. на длину перпендикуляра, опущенного из О на линию действия силы, или удвоенной площади
треугольника, построенного на центре O и силе:
Направлен вектор M 0 перпендикулярно плоскости, проходящей через O и F . Сторона, куда направляется M 0 , выбирается условно (M 0 - аксиальный вектор). При правой системе координат вектор M 0 направляют в ту сторону, откуда поворот, совершаемый силой, виден против хода часовой стрелки.
M. с. относительно оси z наз. скалярная величина M z , равная проекции на ось z вектора M. с. относительно любого центра О , взятого на этой оси; величину M z можно ещё определять как проекцию на плоскость ху , перпендикулярную оси z, площади треугольника OAB или как момент проекции F xy силы F на плоскость ху , взятый относительно точки пересечения оси z с этой плоскостью. T. о.,
В двух последних выражениях M. с. считается положительным, когда поворот силы F xy виден с положит. конца оси z против хода часовой стрелки (в правой системе координат). M. с. относительно координатных осей Oxyz могут также вычисляться по аналитич. ф-лам:
где F x , F y , F z - проекции силы F на координатные оси, х, у, z - координаты точки А приложения силы. Величины M x , M y , M z равны проекциям вектора M 0 на координатные оси.
1. Как вам известно, результат действия силы зависит от ее модуля, точки приложения и направления. Действительно, чем больше сила, действующая на тело, тем большее ускорение оно приобретает. От направления силы зависит и направление ускорения. Так, приложив небольшую силу к ручке, мы легко открываем дверь, если ту же силу приложить около петель, на которых висит дверь, то ее можно и не открыть.
Опыты и наблюдения свидетельствуют о том, что результат действия силы (взаимодействия) зависит не только от модуля силы, но и от времени ее действия. Проделаем опыт. К штативу на нити подвесим груз, к которому снизу привязана еще одна нить (рис. 59). Если за нижнюю нить резко дернуть, то она оборвется, а груз останется висеть на верхней нити. Если же теперь медленно потянуть за нижнюю нить, то оборвется верхняя нить.
Импульсом силы называют векторную физическую величину, равную произведению силы на время ее действия Ft .
Единица импульса силы в СИ - ньютон‑секунда (1 Н с ): [Ft ] = 1 Н с.
Вектор импульса силы совпадает по направлению с вектором силы.
2. Вы также знаете, что результат действия силы зависит от массы тела, на которое эта сила действует. Так, чем больше масса тела, тем меньшее ускорение оно приобретает при действии одной и той же силы.
Рассмотрим пример. Представим себе, что на рельсах стоит груженая платформа. С ней сталкивается движущийся с некоторой скоростью вагон. В результате столкновения платформа приобретет ускорение и переместится на некоторое расстояние. Если же движущийся с той же скоростью вагон столкнется с легкой вагонеткой, то она в результате взаимодействия переместится на существенно большее расстояние, чем груженая платформа.
Другой пример. Предположим, что к мишени подлетает пуля со скоростью 2 м/ с. Пуля, вероятнее всего, отскочит от мишени, оставив на ней лишь небольшую вмятину. Если же пуля будет лететь со скоростью 100 м/с, то она пробьет мишень.
Таким образом, результат взаимодействия тел зависит от их массы и скорости движения.
Импульсом тела называют векторную физическую величину, равную произведению массы тела и его скорости.
p = m v . |
Единица импульса тела в СИ - килограмм-метр в секунду (1 кг м/с): [p ] = [m ][v ] = 1 кг 1м/ с = 1 кг м/с.
Направление импульса тела совпадает с направлением его скорости.
Импульс - величина относительная, его значение зависит от выбора системы отсчета. Это и понятно, поскольку относительной величиной является скорость.
3. Выясним, как связаны импульс силы и импульс тела.
По второму закону Ньютона:
F = ma .
Подставив в эту формулу выражение для ускорения a = , получим:
F
= , или
Ft
= mv
– mv
0 .
В левой части равенства стоит импульс силы; в правой части равенства - разность конечного и начального импульсов тела,т. е. изменение импульса тела.
Таким образом,
импульс силы равен изменению импульса тела.
Ft = D(m v ). |
Это иная формулировка второго закона Ньютона. Именно так сформулировал его Ньютон.
4. Предположим, что сталкиваются два шарика движущиеся по столу. Любые взаимодействующие тела, в данном случае шарики, образуют систему . Между телами системы действуют силы: сила действия F 1 и сила противодействия F 2 . При этом сила действия F 1 по третьему закону Ньютона равна силе противодействия F 2 и направлена противоположно ей: F 1 = –F 2 .
Силы, с которыми тела системы взаимодействуют между собой, называют внутренними силами.
Помимо внутренних сил, на тела системы действуют внешние силы. Так, взаимодействующие шарики притягиваются к Земле, на них действует сила реакции опоры. Эти силы являются в данном случае внешними силами. Во время движения на шарики действуют сила сопротивления воздуха и сила трения. Они тоже являются внешними силами по отношению к системе, которая в данном случае состоит из двух шариков.
Внешними силами называют силы, которые действуют на тела системы со стороны других тел.
Будем рассматривать такую систему тел, на которую не действуют внешние силы.
Замкнутой системой называют систему тел, взаимодействующих между собой и не взаимодействующих с другими телами.
В замкнутой системе действуют только внутренние силы.
5. Рассмотрим взаимодействие двух тел, составляющих замкнутую систему. Масса первого тела m 1 , его скорость до взаимодействия v 01 , после взаимодействия v 1 . Масса второго тела m 2 , его скорость до взаимодействия v 02 , после взаимодействия v 2 .
Силы, с которыми взаимодействуют тела, по третьему закону:F 1 = –F 2 . Время действия сил одно и то же, поэтому
F 1 t = –F 2 t .
Для каждого тела запишем второй закон Ньютона:
F 1 t = m 1 v 1 – m 1 v 01 , F 2 t = m 2 v 2 – m 2 v 02 .
Поскольку левые части равенств равны, то равны и их правые части, т. е.
m 1 v 1 – m 1 v 01 = –(m 2 v 2 – m 2 v 02).
Преобразовав это равенство, получим:
m 1 v 01 + m 1 v 02 = m 2 v 1 + m 2 v 2 . |
В левой части равенства стоит сумма импульсов тел до взаимодействия, в правой - сумма импульсов тел после взаимодействия. Как видно из этого равенства, импульс каждого тела при взаимодействии изменился, а сумма импульсов осталась неизменной.
Геометрическая сумма импульсов тел, составляющих замкнутую систему, остается постоянной при любых взаимодействиях тел этой системы.
В этом состоит закон сохранения импульса .
6. Замкнутая система тел - это модель реальной системы. В природе нет таких систем, на которые не действовали бы внешние силы. Однако в ряде случаев системы взаимодействующих тел можно рассматривать как замкнутые. Это возможно в следующих случаях: внутренние силы много больше внешних сил, время взаимодействия мало, внешние силы компенсируют друг друга. Кроме того, может быть равна нулю проекция внешних сил на какое‑либо направление и тогда закон сохранения импульса выполняется для проекций импульсов взаимодействующих тел на это направление.
7. Пример решения задачи
Две железнодорожные платформы движутся навстречу друг другу со скоростями 0,3 и 0,2 м/с. Массы платформ соответственно равны 16 и 48 т. С какой скоростью и в каком направлении будут двигаться платформы после автосцепки?
Дано : |
СИ |
Решение |
v 01 = 0,3 м/с v 02 = 0,2 м/с m 1 = 16 т m 2 = 48 т v 1 = v 2 = v |
v 02 = v 02 = 1,6104кг 4,8104кг |
Изобразим на рисунке направление движения платформ до и после взаимодействия (рис. 60). Силы тяжести, действующие на платформы, и силы реакции опоры коммпенсируют друг друга. Систему из двух платформ можно считать замкнутой |
vx ? |
и применить к ней закон сохранения импульса.
m 1 v 01 + m 2 v 02 = (m 1 + m 2)v .
В проекциях на ось X можно записать:
m 1 v 01x + m 2 v 02x = (m 1 + m 2)v x .
Так как v 01x = v 01 ; v 02x = –v 02 ; v x = –v , то m 1 v 01 – m 2 v 02 = –(m 1 + m 2)v.
Откуда v = – .
v = – = 0,75 м/с.
После сцепки платформы будут двигаться в ту сторону, в которую до взаимодействия двигалась платформа с большей массой.
Ответ: v = 0,75 м/с; направлена в сторону движения тележки с большей массой.
Вопросы для самопроверки
1. Что называют импульсом тела?
2. Что называют импульсом силы?
3. Как связаны импульс силы и изменение импульса тела?
4. Какую систему тел называют замкнутой?
5. Сформулируйте закон сохранения импульса.
6. Каковы границы применимости закона сохранения импульса?
Задание 17
1. Чему равен импульс тела массой 5 кг, движущегося со скоростью 20 м/с?
2. Определите изменение импульса тела массой 3 кг за 5 с под действием силы 20 Н.
3. Определите импульс автомобиля массой 1,5 т, движущегося со скоростью 20 м/с в системе отсчета, связанной: а) с неподвижным относительно Земли автомобилем; б) с автомобилем, движущимся в ту же сторону с такой же скоростью; в) с автомобилем, движущимся с такой же скоростью, но в противоположную сторону.
4. Мальчик массой 50 кг спрыгнул с неподвижной лодки массой 100 кг, расположенной в воде около берега. С какой скоростью отъехала лодка от берега, если скорость мальчика направлена горизонтально и равна 1 м/с?
5. Снаряд массой 5 кг, летевший горизонтально, разрывался на два осколка. Какова скорость снаряда, если осколок массой 2 кг при разрыве приобрел скорость 50 м/с, а второй массой 3 кг - 40 м/с? Скорости осколков направлены горизонтально.
В повседневной жизни для того, чтобы охарактеризовать человека, совершающего спонтанные поступки, иногда используют эпитет «импульсивный». При этом некоторые люди даже не помнят, а значительная часть и вовсе не знает, с какой физической величиной связано это слово. Что скрывается под понятием «импульс тела» и какими свойствами он обладает? Ответы на эти вопросы искали такие великие ученые, как Рене Декарт и Исаак Ньютон.
Как и всякая наука, физика оперирует четко сформулированными понятиями. На данный момент принято следующее определение для величины, носящей название импульса тела: это векторная величина, которая является мерой (количеством) механического движения тела.
Предположим, что вопрос рассматривается в рамках классической механики, т. е. считается, что тело движется с обычной, а не с релятивистской скоростью, а значит, она хотя бы на порядок меньше скорости света в вакууме. Тогда модуль импульса тела рассчитывается по формуле 1 (см. фото ниже).
Таким образом, по определению, эта величина равна произведению массы тела на его скорость, с которой сонаправлен ее вектор.
В качестве единицы измерения импульса в СИ (Международной системе единиц) принимается 1 кг/м/с.
Откуда появился термин «импульс»
За несколько веков до того, как в физике появилось понятие количества механического движения тела, считалось, что причиной любого перемещения в пространстве является особая сила — импетус.
В 14 веке в это понятие внес коррективы Жан Буридан. Он предположил, что летящий булыжник обладает импетусом, прямо пропорциональным скорости, который был бы неизменным, если бы отсутствовало сопротивления воздуха. В то же время, по мнению этого философа, тела с большим весом обладали способностью «вмещать» больше такой движущей силы.
Дальнейшее развитие понятию, позднее названного импульсом, дал Рене Декарт, который обозначил его словами «количество движения». Однако он не учитывал, что скорость имеет направление. Именно поэтому выдвинутая им теория в некоторых случаях противоречила опыту и не нашла признания.
О том, что количество движения должно иметь еще и направление, первым догадался английский ученый Джон Валлис. Произошло это в 1668 году. Однако понадобилась еще пара лет, чтобы он сформулировал известный закон сохранения количества движения. Теоретическое доказательство этого факта, установленного эмпирическим путем, было дано Исааком Ньютоном, который использовал открытые им же третий и второй законы классической механики, названные его именем.
Импульс системы материальных точек
Рассмотрим сначала случай, когда речь идет о скоростях, намного меньших, чем скорость света. Тогда, согласно законам классической механики, полный импульс системы материальных точек представляет векторную величину. Он равен сумме произведений их масс на скорости (см. формулу 2 на картинке выше).
При этом за импульс одной материальной точки принимают векторную величину (формула 3), которая сонаправлена со скоростью частицы.
Если речь идет о теле конечного размера, то сначала его мысленно разбивают на малые части. Таким образом, снова рассматривается система материальных точек, однако ее импульс рассчитывают не обычным суммированием, а путем интегрирования (см. формулу 4).
Как видим, временная зависимость отсутствует, поэтому импульс системы, на которую не воздействуют внешние силы (или их влияние взаимно компенсировано), остается неизменным во времени.
Доказательство закона сохранения
Продолжим рассматривать тело конечного размера как систему материальных точек. Для каждой из них Второй закон Ньютона формулируется согласно формуле 5.
Обратим внимание на то, что система замкнутая. Тогда, суммируя по всем точкам и применяя Третий закон Ньютона, получаем выражение 6.
Таким образом, импульс замкнутой системы является постоянной величиной.
Закон сохранения справедлив и в тех случаях, когда полная сумма сил, которые действуют на на систему извне, равна нулю. Отсюда следует одно важное частное утверждение. Оно гласит, что импульс тела является постоянной величиной, если воздействие извне отсутствует или влияние нескольких сил скомпенсировано. Например, в отсутствие трения после удара клюшкой шайба должна сохранять свой импульс. Такая ситуация будет наблюдаться даже невзирая на то, что на это тело действуют сила тяжести и реакции опоры (льда), так как они, хотя и равны по модулю, однако направлены в противоположные стороны, т. е. компенсируют друг друга.
Свойства
Импульс тела или материальной точки является аддитивной величиной. Что это значит? Все просто: импульс механической системы материальных точек складывается из импульсов всех входящих в систему материальных точек.
Второе свойство этой величины заключается в том, что она остается неизменной при взаимодействиях, которые изменяют лишь механические характеристики системы.
Кроме того, импульс инвариантен по отношению к любому повороту системы отсчета.
Релятивистский случай
Предположим, что речь идет о невзаимодействующих материальных точках, имеющих скорости порядка 10 в 8-й степени или чуть меньше в системе СИ. Трехмерный импульс рассчитывается по формуле 7, где под с понимают скорость света вакууме.
В случае, когда она замкнутая, верен закон сохранения количества движения. В то же время трехмерный импульс не является релятивистски инвариантной величиной, так как присутствует его зависимость от системы отсчета. Есть также четырехмерный вариант. Для одной материальной точки его определяют по формуле 8.
Импульс и энергия
Эти величины, а также масса тесно связаны друг с другом. В практических задачах обычно применяются соотношения (9) и (10).
Определение через волны де Бройля
В 1924 году была высказана гипотеза о том, что корпускулярно-волновым дуализмом обладают не только фотоны, но и любые другие частицы (протоны, электроны, атомы). Ее автором стал французский ученый Луи де Бройль. Если перевести эту гипотезу на язык математики, то можно утверждать, что с любой частицей, имеющей энергию и импульс, связана волна с частотой и длиной, выражаемыми формулами 11 и 12 соответственно (h — постоянная Планка).
Из последнего соотношения получаем, что модуль импульса и длина волны, обозначаемая буквой «лямбда», обратно пропорциональны друг другу (13).
Если рассматривается частица со сравнительно невысокой энергией, которая движется со скоростью, несоизмеримой со скоростью света, то модуль импульса вычисляется так же, как в классической механике (см. формулу 1). Следовательно, длина волны рассчитывается согласно выражению 14. Иными словами, она обратно пропорциональна произведению массы и скорости частицы, т. е. ее импульсу.
Теперь вы знаете, что импульс тела — это мера механического движения, и познакомились с его свойствами. Среди них в практическом плане особенно важен Закон сохранения. Даже люди, далекие от физики, наблюдают его в повседневной жизни. Например, всем известно, что огнестрельное оружие и артиллерийские орудия дают отдачу при стрельбе. Закон сохранения импульса наглядно демонстрирует и игра в бильярд. С его помощью можно предсказать направления разлета шаров после удара.
Закон нашел применение при расчетах, необходимых для изучения последствий возможных взрывов, в области создания реактивных аппаратов, при проектировании огнестрельного оружия и во многих других сферах жизни.
3.2. Импульс
3.2.1. Импульс тела, импульс системы тел
Импульсом обладают только движущиеся тела.
Импульс тела вычисляется по формуле
P → = m v → ,
где m - масса тела; v → - скорость тела.
В Международной системе единиц импульс тела измеряется в килограммах, умноженных на метр, деленный на секунду (1 кг ⋅ м/с).
Импульс системы тел (рис. 3.1) есть векторная сумма импульсов тел, входящих в эту систему:
P → = P → 1 + P → 2 + ... + P → N =
M 1 v → 1 + m 2 v → 2 + ... + m N v → N ,
где P → 1 = m 1 v → 1 - импульс первого тела (m 1 - масса первого тела; v → 1 - скорость первого тела); P → 2 = m 2 v → 2 - импульс второго тела (m 2 - масса второго тела; v → 2 - скорость второго тела) и т.п.
Рис. 3.1
Для вычисления импульса системы тел целесообразно применять следующий алгоритм :
1) выбрать систему координат и найти проекции импульсов каждого тела на координатные оси:
P 1 x , P 2 x , ..., P Nx ;
P 1 y , P 2 y , ..., P Ny ,
где P 1 x , ..., P Nx ; P 1 y , ..., P Ny -проекции импульсов тел на координатные оси;
P x = P 1 x + P 2 x + ... + P Nx ;
P y = P 1 y + P 2 y + ... + P Ny ;
3) вычислить модуль импульса системы по формуле
P = P x 2 + P y 2 .
Пример 1. На горизонтальной поверхности покоится тело. На него начинает действовать сила 30 Н, направленная параллельно поверхности. Рассчитать модуль импульса тела через 5,0 с после начала движения, если сила трения равна 10 Н.
Решение. Модуль импульса тела зависит от времени и определяется произведением
P (t ) = mv ,
где m - масса тела; v - модуль скорости тела в момент времени t 0 = 5,0 c.
При равноускоренном движении с нулевой начальной скоростью (v 0 = 0) величина скорости тела зависит от времени по закону
v (t ) = at ,
где a - модуль ускорения; t - время.
Подстановка зависимости v (t ) в формулу для определения модуля импульса дает выражение
P (t ) = mat .
Таким образом, решение задачи сводится к нахождению произведения ma .
Для этого запишем основной закон динамики (второй закон Ньютона) в виде:
F → + F → тр + N → + m g → = m a → ,
или в проекциях на координатные оси
O x: F − F тр = m a ; O y: N − m g = 0, }
где F - модуль силы, приложенной к телу в горизонтальном направлении; F тр - модуль силы трения; N - модуль силы нормальной реакции опоры; mg - модуль силы тяжести; g - модуль ускорения свободного падения.
Силы, действующие на тело, и координатные оси изображены на рисунке.
Из первого уравнения системы следует, что искомое произведение определяется разностью
ma = F − F тр.
Следовательно, зависимость величины импульса тела от времени определяется выражением
P (t ) = (F − F тр)t ,
а его значение в указанный момент времени t 0 = 5 c - выражением
P (t) = (F − F тр) t 0 = (30 − 10) ⋅ 5,0 = 100 кг ⋅ м/с.
Пример 2. Тело движется в плоскости xOy по траектории вида x 2 + y 2 = 64 под действием центростремительной силы, величина которой равна 18 Н. Масса тела составляет 3,0 кг. Считая, что координаты x и y заданы в метрах, найти величину импульса тела.
Решение. Траектория движения тела представляет собой окружность радиусом 8,0 м. Согласно условию задачи на тело действует только одна сила, направленная к центру этой окружности.
Модуль указанной силы является постоянной величиной, поэтому тело обладает только нормальным (центростремительным) ускорением. Наличие постоянного центростремительного ускорения не влияет на величину скорости тела; следовательно, движение тела по окружности происходит с постоянной скоростью.
Рисунок иллюстрирует данное обстоятельство.
Величина центростремительной силы определяется формулой
F ц. с = m v 2 R ,
где m - масса тела; v - модуль скорости тела; R - радиус окружности, по которой движется тело.
Выразим отсюда модуль скорости тела:
v = F ц. с R m
и подставим полученное выражение в формулу, определяющую величину импульса:
P = m v = m F ц. с R m = F ц. с R m .
Произведем вычисление:
P = 18 ⋅ 8,0 ⋅ 3,0 ≈ 21 кг ⋅ м/с.
Пример 3. Два тела движутся во взаимно перпендикулярных направлениях. Масса первого тела равна 3,0 кг, а величина его скорости составляет 2,0 м/с. Масса второго тела - 2,0 кг, а величина его скорости - 3,0 м/с. Найти модуль импульса системы тел.
Решение. Тела, движущиеся во взаимно перпендикулярных направлениях, изобразим в системе координат, как показано на рисунке:
- вектор скорости первого тела направим вдоль положительного направления оси Ox ;
- вектор скорости второго тела направим вдоль положительного направления оси Oy .
Для расчета модуля импульса системы тел воспользуемся алгоритмом :
1) запишем проекции импульсов первого P → 1 и второго P → 2 тел на координатные оси:
P 1 x = m 1 v 1 ; P 2 x = 0;
P 1 y = 0, P 2 y = m 2 v 2 ,
где m 1 - масса первого тела; v 1 - величина скорости первого тела; m 2 - масса второго тела; v 2 - величина скорости второго тела;
2) найдем проекции импульса системы на координатные оси, суммируя соответствующие проекции каждого из тел:
P x = P 1 x + P 2 x = P 1 x = m 1 v 1 ;
P y = P 1 y + P 2 y = P 2 y = m 2 v 2 ;
3) вычислим величину импульса системы тел по формуле
P = P x 2 + P y 2 = (m 1 v 1) 2 + (m 2 v 2) 2 =
= (3,0 ⋅ 2,0) 2 + (2,0 ⋅ 3,0) 2 ≈ 8,5 кг ⋅ м/с.