Молекулярная физика – раздел физики, в котором изучаются физические свойства тел в различных агрегатных состояниях на основе рассмотрения их молекулярного строения, силы взаимодействия между частицами, образующими тела и характеры теплового движения этих частиц.

Многочисленные исследования, проведенные этими учеными позволили сформулироватьосновные положения молекулярно-кинетической теории – МКТ.

МКТ объясняет строение и свойства тел на основе закономерностей движения и взаимодействия молекул, из которых состоят тела.

В основе МКТ лежат три важных положения, подтвержденные экспериментально и теоретически.

1. Все тела состоят из мельчайших частиц – атомов, молекул, в состав которых входят еще более мелкие элементарные частицы (электроны, протоны, нейтроны). Строение любого вещества дискретно (прерывисто).
2. Атомы и молекулы вещества всегда находятся в непрерывном хаотическом движении.
3. Между частицами любого вещества существуют силы взаимодействия – притяжения и отталкивания. Природа этих сил электромагнитная.

Эти положения подтверждаются опытным путем.

Опытное обоснование 1 положения.

Все тела состоят из мельчайших частиц. Во-первых, об этом говорит возможность деления вещества (все тела можно разделить на части).

Наиболее ярким экспериментальным подтверждением представлений молекулярно-кинетической теории о беспорядочном движении атомов и молекул является броуновское движение .

Оно было открыто английским ботаником Р. Броуном (1827 г.). В 1827 году англ. ботаник Броун, изучая внутреннее строение растений с помощью микроскопа обнаружил, что частички твердого вещества в жидкой среде совершают непрерывное хаотическое движение.

Тепловое движение взвешенных в жидкости (или газе) частиц получило название броуновского движения.

Броуновские частицы движутся под влиянием беспорядочных ударов молекул. Из-за хаотического теплового движения молекул эти удары никогда не уравновешивают друг друга. В результате скорость броуновской частицы беспорядочно меняется по модулю и направлению, а ее траектория представляет собой сложную зигзагообразную кривую. Теория броуновского движения была создана А. Эйнштейном (1905 г.). Экспериментально теория Эйнштейна была подтверждена в опытах французского физика Ж. Перрена (1908–1911 гг.).

Причиной броуновского движения является непрерывное хаотическое движение молекул жидкости или газа, которые, беспорядочно ударяясь со всех сторон о частичку, приводят её в движение. Причина броуновского движения частицы в том, что удары молекул о неё не компенсируются. Значит броуновское движение является еще и опытным обоснованием 2 положения МКТ.

Непрерывное движение молекул любого вещества (твердого, жидкого, газообразного) подтверждается многочисленными опытами по диффузии.

Диффузией называют явление самопроизвольного проникновения молекул одного вещества в промежутки между молекулами другого. Т.е. это самопроизвольное перемешивание веществ.

Если пахучее вещество (духи) внести в помещение, то через некоторое время запах этого вещества распространится по всему помещению. Это свидетельствует о том, что молекулы одного вещества без воздействия внешних сил проникают в другое. Диффузия наблюдается и в жидкостях, и в твердых телах.

При изучении строения вещества было установлено, что между молекулами одновременно действуют силы притяжения и отталкивания, называемые молекулярными силами. Это силы электромагнитной природы.

Способность твердых тел сопротивляться растяжению, особые свойства поверхности жидкости приводят к выводу, что между молекулами действуют силы притяжения .

Малая сжимаемость весьма плотных газов и особенно жидкостей и твердых тел означает, что между молекулами существуют силы отталкивания .

Эти силы действуют одновременно. Если бы этого не было, то тела не были бы устойчивыми: либо разлетелись бы на частицы, либо слипались.

Межмолекулярное взаимодействие – это взаимодействие электрически нейтральных молекул и атомов.

Силы, действующие между двумя молекулами, зависят от расстояния между ними. Молекулы представляют собой сложные пространственные структуры, содержащие как положительные, так и отрицательные заряды. Если расстояние между молекулами достаточно велико, то преобладают силы межмолекулярного притяжения. На малых расстояниях преобладают силы отталкивания. Зависимости результирующей силы F и потенциальной энергии E p взаимодействия между молекулами от расстояния между их центрами качественно изображены на рисунке. При некотором расстоянии r = r 0 сила взаимодействия обращается в нуль. Это расстояние условно можно принять за диаметр молекулы. Потенциальная энергия взаимодействия при r = r 0 минимальна. Чтобы удалить друг от друга две молекулы, находящиеся на расстоянии r 0 , нужно сообщить им дополнительную энергию E 0 . Величина E 0 называется глубиной потенциальной ямы или энергией связи .

Между электронами одной молекулы и ядрами другой действуют силы притяжения, которые условно принято считать отрицательными (нижняя часть графика). Одновременно между электронами молекул и их ядрами действуют силы отталкивания, которые условно считают положительными (верхняя часть графика). На расстоянии равном размеру молекул результирующая сила равна нулю, т.е. силы притяжения уравновешивают силы отталкивания. Это наиболее устойчивое расположение молекул. При увеличении расстояния притяжение превосходит силу отталкивания, при уменьшении расстояния между молекулами – наоборот.

Атомы и молекулы взаимодействуют и значит обладают потенциальной энергией .

Атомы и молекулы находятся в постоянном движении, и значит, обладают кинетической энергией.

Масса и размеры молекул

Большинство веществ состоит из молекул, поэтому для объяснения свойств макроскопических объектов, объяснения и предсказания явлений важно знать основные характеристики молекул.

Молекулой называют наименьшую устойчивую частицу данного вещества, обладающую его основными химическими свойствами.

Молекула состоит из ещё более мелких частиц – атомов, которые в свою очередь, состоят из электронов и ядер.

Атомом называют наименьшую частицу данного химического элемента.

Размеры молекул очень малы.

Порядок величины диаметра молекулы 1*10 - 8 см = 1*10 - 10 м

Порядок величины объёма молекулы 1*10 - 20 м 3

О том что размеры молекул малы можно судить и из опыта. В 1 л (м 3) чистой воды разведем 1 м 3 зеленых чернил, тете разбавим чернила в 1 000 000 раз. Увидим, что раствор имеет зеленую окраску и вместе с тем однороден. Это говорит о том, что даже при разбавлении в 1 000 000 раз в воде находится большое количество молекул красящего вещества. Этот опыт показывает, как малы размеры молекул.

В 1 см 3 воды содержится 3,7*10 -8 молекул.

Порядок величины массы молекул 1*10 -23 г = 1*10 -26 кг

В молекулярной физике принято характеризовать массы атомов и молекул не их абсолютными значениями (в кг), а относительными безразмерными величинами относительной атомной массой и относительной молекулярной массой.

По международному соглашению в качестве единичной атомной массы m 0 принимается 1/12 массы изотопа углерода 12 С (m 0С):

m 0 =1/12 m 0С =1,66 *10 -27

Относительную молекулярную массу можно определить, если абсолютное значение массы молекулы (m мол в кг) разделить на единичную атомную массу.

M 0 = m мол / 1/12 m 0С

Относительная молекулярная (атомарная) масса вещества (из таблицы Менделеева)

7 14 N Азот M 0 N = 14 M 0 N 2 = 28

Относительное число атомов или молекул, содержащихся в веществе характеризуется физической величиной, называемой количеством вещества.

Количество вещества ע – это отношение числа молекул (атомов) N в донном макроскопическом теле к числу молекул в 0,012 кг углерода N A

Количество вещества выражают в молях

Один моль – это количество вещества, в котором столько же молекул (атомов), сколько атомов содержится в 0,012 кг углерода.

Моль любого вещества содержит одинаковое число молекул. Это число называют постоянной Авогадро N A =6, 02 * 10 23 моль -1

Масса одного моля вещества называется молярной массой.

Число молекул в данной массе вещества:

Масса вещества (любого количества вещества):

Определение молярной массы:

Видеоресурс: Масса молекул. Количество вещества.

{youtube}bfPw9aZJVqk&list=PLhOzgnnk_5jyM6NXfLniX5sX3rZTrpoea&index=18{/youtube}

Понятие температуры – одно из важнейших в молекулярной физике.

Температура - это физическая величина, которая характеризует степень нагретости тел.

Беспорядочное хаотическое движение молекул называется тепловым движением .

Кинетическая энергия теплового движения растет с возрастанием температуры. При низких температурах средняя кинетическая энергия молекулы может оказаться небольшой. В этом случае молекулы конденсируются в жидкое или твердое вещество; при этом среднее расстояние между молекулами будет приблизительно равно диаметру молекулы. При повышении температуры средняя кинетическая энергия молекулы становится больше, молекулы разлетаются, и образуется газообразное вещество.

Понятие температуры тесно связано с понятием теплового равновесия. Тела, находящиеся в контакте друг с другом, могут обмениваться энергией. Энергия, передаваемая одним телом другому при тепловом контакте, называется количеством теплоты .

Рассмотрим пример. Если положить нагретый металл на лед, то лед начнет плавится, а металл – охлаждаться до тех пор, пока температуры тел не станут одинаковыми. При контакте между двумя телами разной температуры происходит теплообмен, в результате которого энергия металла уменьшается, а энергия льда увеличивается.

Энергия при теплообмене всегда передается от тела с более высокой температурой к телу с более низкой температурой. В конце концов, наступает состояние системы тел, при котором теплообмен между телами системы будет отсутствовать. Такое состояние называют тепловым равновесием .

Тепловое равновесие – это такое состояние системы тел, находящихся в тепловом контакте, при котором не происходит теплопередачи от одного тела к другому, и все макроскопические параметры тел остаются неизменными.

Температура – это физический параметр, одинаковый для всех тел, находящихся в тепловом равновесии. Возможность введения понятия температуры следует из опыта и носит название нулевого закона термодинамики.

Тела, находящиеся в тепловом равновесии, имеют одинаковые температуры.

Для измерения температур чаще всего используют свойство жидкости изменять объем при нагревании (и охлаждении).

Прибор, с помощью которого измеряется температура, называется термометр.

Для создания термометра необходимо выбрать термометрическое вещество (например, ртуть, спирт) и термометрическую величину, характеризующую свойство вещества (например, длина ртутного или спиртового столбика). В различных конструкциях термометров используются разнообразные физические свойства вещества (например, изменение линейных размеров твердых тел или изменение электрического сопротивления проводников при нагревании). Термометры должны быть откалиброваны. Для этого их приводят в тепловой контакт с телами, температуры которых считаются заданными. Чаще всего используют простые природные системы, в которых температура остается неизменной, несмотря на теплообмен с окружающей средой – это смесь льда и воды и смесь воды и пара при кипении при нормальном атмосферном давлении.

Обыкновенный жидкостный термометр состоит из небольшого стеклянного резервуара, к которому присоединена стеклянная трубка с узким внутренним каналом. Резервуар и часть трубки наполнены ртутью. Температуру среды, в которую погружен термометр определяют по положению верхнего уровня ртути в трубке. Деления на шкале условились наносить следующим образом. Цифру 0 ставят в том месте шкалы, где устанавливается уровень столбика жидкости, когда термометр опущен в тающий снег (лед), цифру 100 – в том месте, где устанавливается уровень столбика жидкости, когда термометр погружен в пары воды, кипящей при нормальном давлении (10 5 Па). Расстояние между этими отметками делят на 100 равных частей, называемых градусами. Такой способ деления шкалы введен Цельсием. Градус по шкале Цельсия обозначают ºС.

По температурной шкале Цельсия точке плавления льда приписывается температура 0 °С, а точке кипения воды – 100 °С. Изменение длины столба жидкости в капиллярах термометра на одну сотую длины между отметками 0 °С и 100 °С принимается равным 1 °С.

В ряде стран (США) широко используется шкала Фаренгейта (T F), в которой температура замерзающей воды принимается равной 32 °F, а температура кипения воды равной 212 °F. Следовательно,

Ртутные термометры применяют для измерения температуры в области от -30 ºС до +800 ºС. Наряду с жидкостными ртутными и спиртовыми термометрами применяются электрические и газовые термометры.

Электрический термометр – термосопротивление – в нем используется зависимость сопротивления металла от температуры.

Особое место в физике занимают газовые термометр , в которых термометрическим веществом является разреженный газ (гелий, воздух) в сосуде неизменного объема (V = const), а термометрической величиной – давление газа p . Опыт показывает, что давление газа (при V = const) растет с ростом температуры, измеренной по шкале Цельсия.

Чтобы проградуировать газовый термометр постоянного объема, можно измерить давление при двух значениях температуры (например, 0 °C и 100 °C), нанести точки p 0 и p 100 на график, а затем провести между ними прямую линию. Используя полученный таким образом калибровочный график, можно определять температуры, соответствующие другим значениям давления.

Газовые термометры громоздки и неудобны для практического применения: они используются в качестве прецизионного стандарта для калибровки других термометров.

Показания термометров, заполненных различными термометрическими телами, обычно несколько различаются. Чтобы точное определение температуры не зависело от вещества, заполняющего термометр, вводится термодинамическая шкала температур.

Чтобы её ввести, рассмотрим, как зависит давление газа от температуры, когда его масса и объём остаются постоянными.

Термодинамическая шкала температур. Абсолютный нуль.

Возьмем закрытый сосуд с газом, и будем нагревать его, первоначально поместив в тающий лед. Температуру газа t определим с помощью термометра, а давление p манометром. С увеличением температуры газа его давление будет возрастать. Такую зависимость нашел французский физик Шарль. График зависимости p от t, построенный на основании такого опыта, имеет вид прямой линии.

Если продолжить график в область низких давлений, можно определить некоторую «гипотетическую» температуру, при которой давление газа стало бы равным нулю. Опыт показывает, что эта температура равна –273,15 °С и не зависит от свойств газа. Невозможно на опыте получить путем охлаждения газ в состоянии с нулевым давлением, так как при очень низких температурах все газы переходят в жидкие или твердые состояния. Давление идеального газа определяется ударами хаотически движущихся молекул о стенки сосуда. Значит, уменьшение давления при охлаждении газа объясняется уменьшением средней энергии поступательного движения молекул газа Е; давление газа будет равно нулю, когда станет равна нулю энергия поступательного движения молекул.

Английский физик У. Кельвин (Томсон) выдвинул идею о том, что полученное значение абсолютного нуля соответствует прекращению поступательного движения молекул всех веществ. Температуры ниже абсолютного нуля в природе быть не может. Это предельная температура при которой давление идеального газа равно нулю.

Температуру, при которой должно прекратиться поступательное движение молекул, называют абсолютным нулем (или нулем Кельвина).

Кельвин в 1848 г. предложил использовать точку нулевого давления газа для построения новой температурной шкалы – термодинамической шкалы температур (шкала Кельвина ). За начало отсчета по этой шкале принята температура абсолютного нуля.

В системе СИ принято единицу измерения температуры по шкале Кельвина называть кельвином и обозначать буквой К.

Размер градуса кельвина определяют так, чтобы он совпадал с градусом Цельсия, т.е 1К соответствует 1ºС.

Температура, отсчитанная по термодинамической шкале температур, обозначается Т. Её называют абсолютной температурой или термодинамической температурой .

Температурная шкала Кельвина называется абсолютной шкалой температур . Она оказывается наиболее удобной при построении физических теорий.

Кроме точки нулевого давления газа, которая называется абсолютным нулем температуры , достаточно принять еще одну фиксированную опорную точку. В шкале Кельвина в качестве такой точки используется температура тройной точки воды (0,01 °С), в которой в тепловом равновесии находятся все три фазы – лед, вода и пар. По шкале Кельвина температура тройной точки принимается равной 273,16 К.

Связь между абсолютной температурой и температурой по шкале Цельсия выражается формулой Т = 273,16 + t , где t – температура в градусах Цельсия.

Чаще пользуются приближенной формулой Т = 273 + t и t = Т – 273

Абсолютная температура не может быть отрицательной.

Температура газа – мера средней кинетической энергии движения молекул.

В опытах Шарлем была найдена зависимость p от t. Эта же зависимость будет и между р и Т: т.е. между р и Т прямопропорциональная зависимость .

С одной стороны, давление газа прямопропорционально его температуре, с другой стороны, мы уже знаем, что давление газа прямопропорционально средней кинетической энергии поступательного движения молекул Е (p = 2/3*E*n). Значит, Е прямопропорциональна Т.

Немецкий ученый Больцман предложил ввести коэффициент пропорциональности (3/2)k в зависимость Е от Т

Е = (3/2) k Т

Из этой формулы следует, что среднее значение кинетической энергии поступательного движения молекул не зависит от природы газа, а определяется только его температурой.

Так как Е = m*v 2 /2, то m*v 2 /2 = (3/2)kТ

откуда средняя квадратичная скорость молекул газа

Постоянная величина k называется постоянная Больцмана.

В СИ она имеет значение k = 1,38*10 -23 Дж/К

Если подставить значение Е в формулу p = 2/3*E*n , то получим p = 2/3*(3/2)kТ* n, сократив, получим p = n * k *Т

Давление газа не зависит от его природы, а определяется только концентрацией молекул n и температурой газа Т.

Соотношение p = 2/3*E*n устанавливает связь между микроскопическими (значения определяются с помощью расчетов) и макроскопическими (значения можно определить по показаниям приборов) параметрами газа, поэтому его принято называть основным уравнением молекулярно – кинетической теории газов .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Уравнение, положенное в основу молекулярно-кинетической теории, связывает макроскопические величины, описывающие (например, давление) с параметрами его молекул (их и скоростями). Это уравнение имеет вид:

Здесь – масса газовой молекулы, – концентрация таких частичек в единице объема, – усреднённый квадрат скорости молекул.

Основное уравнение МКТ наглядно объясняет, каким образом идеальный газ создает на окружающие его стенки сосуда. Молекулы все время ударяются о стенку, воздействуя на нее с некоторой силой F. Тут следует вспомнить : когда молекула ударяется о предмет, на нее действует сила -F, вследствие чего молекула «отбивается» от стенки. При этом мы считаем соударения молекул со стенкой абсолютно упругими: механическая энергия молекул и стенки полностью сохраняется, не переходя во . Это значит, что при соударениях изменяются только молекул, а нагревания молекул и стенки не происходит.

Зная, что соударение со стенкой было упругим, мы можем предсказать, как изменится скорость молекулы после столкновения. Модуль скорости останется таким же, как и до соударения, а направление движения изменится на противоположное относительно оси Ох (считаем, что Ох – это та ось, которая перпендикулярна стенке).

Молекул газа очень много, движутся они хаотично и о стенку ударяются часто. Найдя геометрическую сумму сил, с которой каждая молекула воздействует на стенку, мы узнаём силу давления газа. Чтобы усреднить скорости молекул, необходимо использовать статистические методы. Именно поэтому в основном уравнении МКТ используют усредненный квадрат скорости молекул , а не квадрат усредненной скорости : усредненная скорость хаотично движущихся молекул равна нулю, и в этом случае никакого давления мы бы не получили.

Теперь ясен физический смысл уравнения: чем больше молекул содержится в объеме, чем они тяжелее и чем быстрее движутся – тем большее давление они создают на стенки сосуда.

Основное уравнение МКТ для модели идеального газа

Следует заметить, что основное уравнение МКТ выводилось для модели идеального газа с соответствующими допущениями:

1. Соударения молекул с окружающими объектами абсолютно упругие. Для реальных же газов это не совсем так; часть молекул всё-таки переходит во внутреннюю энергию молекул и стенки.
2. Силами взаимодействия между молекулами можно пренебречь. Если же реальный газ находится при высоком давлении и сравнительно низкой температуре, эти силы становятся весьма существенными.
3. Молекулы считаем материальными точками, пренебрегая их размером. Однако размеры молекул реальных газов влияют на расстояние между самими молекулами и стенкой.
4. И, наконец, основное уравнение МКТ рассматривает однородный газ – а в действительности мы часто имеем дело со смесями газов. Как, например, .

Однако для разреженных газов это уравнение дает очень точные результаты. Кроме того, многие реальные газы в условиях комнатной температуры и при давлении, близком к атмосферному, весьма напоминают по свойствам идеальный газ.

Как известно из законов , кинетическая энергия любого тела или частицы . Заменив произведение массы каждой из частичек и квадрата их скорости в записанном нами уравнении, мы можем представить его в виде:

Также кинетическая энергия газовых молекул выражается формулой , что нередко используется в задачах. Здесь k – это постоянная Больцмана, устанавливающая связь между температурой и энергией. k=1,38 10 -23 Дж/К.

Основное уравнение МКТ лежит в основе термодинамики. Также оно используется на практике в космонавтике, криогенике и нейтронной физике.

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1

Задание	Определить скорость движения частиц воздуха в нормальных условиях.
Решение	Используем основное уравнение МКТ, считая воздух однородным газом. Так как воздух на самом деле – это смесь газов, то и решение задачи не будет абсолютно точным. Давление газа: Можем заметить, что произведение – это газа, так как n – концентрация молекул воздуха (величина, обратная объему), а m – масса молекулы. Тогда предыдущее уравнение примет вид: В нормальных условиях давление равно 10 5 Па, плотность воздуха 1,29кг/м 3 – эти данные можно взять из справочной литературы. Из предыдущего выражения получим молекул воздуха:
Ответ	м/с

ПРИМЕР 2

Задание	Определить концентрацию молекул однородного газа при температуре 300 К и 1 МПа. Газ считать идеальным.
Решение	Решение задачи начнём с основного уравнения МКТ: , как и любых материальных частичек: . Тогда наша расчетная формула примет несколько другой вид:

Основные положения молекулярно-кинетической теории.

Молекулярно-кинетическая теория (МКТ) занимается изучением свойств веществ, основываясь при этом на представлениях о частицах вещества.

МКТ базируется на трех основных положениях:

1. Все вещества состоят из частиц - молекул, атомов и ионов.

2. Частицы вещества беспрерывно и беспорядочно движутся.

3. Частицы вещества взаимодействуют друг с другом.

Беспорядочное (хаотичное) движение атомов и молекул в веществе называют тепловым движением, потому что скорость движения частиц увеличивается с ростом температуры. Экспериментальным подтверждением непрерывного движения атомов и молекул в веществе является броуновское движение и диффузия.

Частицы вещества.

Все вещества и тела в природе состоят из атомов и молекул - групп атомов. Такие большие тела называются макроскопическими. Атомы и молекулы относятся к микроскопическим телам. Современные приборы (ионные проекторы, туннельные микроскопы) позволяют видеть изображения отдельных атомов и молекул.
Основа строения вещества - атомы. Атомы тоже имеют сложную структуру, они состоят из элементарных частиц - протонов, нейтронов, входящих в состав ядра атома, электронов, а также других элементарных частиц.
Атомы могут объединяться в молекулы, а могут быть вещества, состоящие только из атомов. Атомы в целом электронейтральны. Атомы, имеющие избыток или недостаток электронов называются ионами. Бывают положительные и отрицательные ионы.

На иллюстрации показаны примеры разных веществ, имеющих строение соответственно в виде атомов, молекул и ионов.

Силы взаимодействия между молекулами.

На очень малых расстояниях между молекулами действуют силы отталкивания. Благодаря этому молекулы не проникают друг в друга и куски вещества никогда не сжимаются до размеров одной молекулы. Молекула - это сложная система, состоящая из отдельных заряженных частиц: электронов и атомных ядер. Хотя в целом молекулы электрически нейтральны, но между ними на малых расстояниях действуют значительные электрические силы: происходит взаимодействие электронов и атомных ядер соседних молекул. Если молекулы находятся на расстояниях, превышающих их размеры в несколько раз, то силы взаимодействия практически не сказываются. Силы между электрически нейтральными молекулами являются короткодействующими. На расстояниях, превышающих 2 - 3 диаметра молекул, действуют силы притяжения. По мере уменьшения расстояния между молекулами сила притяжения сначала увеличивается, а затем начинает убывать и убывает до нуля, когда расстояние между двумя молекулами становится равным сумме радиусов молекул. При дальнейшем уменьшении расстояния электронные оболочки атомов начинают перекрываться, и между молекулами возникают быстро нарастающие силы отталкивания.

Идеальный газ. Основное уравнение МКТ.

Известно, что частицы в газах, в отличие от жидкостей и твердых тел, располагаются друг относительно друга на расстояниях, существенно превышающих их собственные размеры. В этом случае взаимодействие между молекулами пренебрежимо мало и кинетическая энергия молекул много больше энергии межмолекулярного взаимодействия. Для выяснения наиболее общих свойств, присущих всем газам, используют упрощенную модель реальных газов - идеальный газ. Основные отличия идеального газа от реального газа:

1. Частицы идеального газа - сферические тела очень малых размеров, практически материальные точки.
2. Между частицами отсутствуют силы межмолекулярного взаимодействия.
3. Соударения частиц являются абсолютно упругими.

Реальные разреженные газы действительно ведут себя подобно идеальному газу. Воспользуемся моделью идеального газа для объяснения происхождения давления газа. Вследствие теплового движения, частицы газа время от времени ударяются о стенки сосуда. При каждом ударе молекулы действуют на стенку сосуда с некоторой силой. Складываясь друг с другом, силы ударов отдельных частиц образуют некоторую силу давления, постоянно действующую на стенку. Понятно, что чем больше частиц содержится в сосуде, тем чаще они будут ударяться о стенку сосуда, и тем большей будет сила давления, а значит и давление. Чем быстрее движутся частицы, тем сильнее они ударяют в стенку сосуда. Мысленно представим себе простейший опыт: катящийся мяч ударяется о стенку. Если мяч катится медленно, то он при ударе подействует на стенку с меньшей силой, чем если бы он двигался быстро. Чем больше масса частицы, тем больше сила удара. Чем быстрее движутся частицы, тем чаще они ударяются о стенки сосуда. Итак, сила, с которой молекулы действуют на стенку сосуда, прямо пропорциональна числу молекул, содержащихся в единице объема (это число называется концентрацией молекул и обозначается n), массе молекулы m o , среднему квадрату их скоростей и площади стенки сосуда. В результате получаем: давление газа прямо пропорционально концентрации частиц, массе частицы и квадрату скорости частицы (или их кинетической энергии). Зависимость давления идеального газа от концентрации и от средней кинетической энергии частиц выражается основным уравнением молекулярно-кинетической теории идеального газа. Мы получили основное уравнение МКТ идеального газа из общих соображений, но его можно строго вывести, опираясь на законы классической механики. Приведем одну из форм записи основного уравнения МКТ:
P=(1/3)· n· m o · V 2 .

Молекулярно-кинетическая теория (сокращённо МКТ) - теория, возникшая в XIX веке и рассматривающая строение вещества, в основном газов, с точки зрения трёх основных приближенно верных положений:

все тела состоят из частиц: атомов , молекул и ионов ;

частицы находятся в непрерывном хаотическом движении (тепловом);

частицы взаимодействуют друг с другом путём абсолютно упругих столкновений .

МКТ стала одной из самых успешных физических теорий и была подтверждена целым рядом опытных фактов. Основными доказательствами положений МКТ стали:

Диффузия

Броуновское движение

Изменение агрегатных состояний вещества

На основе МКТ развит целый ряд разделов современной физики, в частности, физическая кинетика и статистическая механика . В этих разделах физики изучаются не только молекулярные (атомные или ионные) системы, находящиеся не только в «тепловом» движении, и взаимодействующие не только через абсолютно упругие столкновения. Термин же молекулярно-кинетическая теория в современной теоретической физике уже практически не используется, хотя он встречается в учебниках по курсу общей физики.

Идеальный газ - математическая модель газа , в которой предполагается, что: 1) потенциальной энергией взаимодействия молекул можно пренебречь по сравнению с их кинетической энергией ; 2) суммарный объем молекул газа пренебрежимо мал. Между молекулами не действуют силы притяжения или отталкивания, соударения частиц между собой и со стенками сосуда абсолютно упруги , а время взаимодействия между молекулами пренебрежимо мало по сравнению со средним временем между столкновениями. В расширенной модели идеального газа частицы, из которого он состоит, имеют также форму в виде упругих сфер или эллипсоидов , что позволяет учитывать энергию не только поступательного, но и вращательно-колебательного движения, а также не только центральные, но и нецентральные столкновения частиц и др.

Различают классический идеальный газ (его свойства выводятся из законов классической механики и описываются статистикой Больцмана) и квантовый идеальный газ (свойства определяются законами квантовой механики, описываются статистиками Ферми - Дирака или Бозе - Эйнштейна )

Классический идеальный газ

Объём идеального газа линейно зависит от температуры при постоянном давлении

Свойства идеального газа на основе молекулярно-кинетических представлений определяются исходя из физической модели идеального газа, в которой приняты следующие допущения:

В этом случае частицы газа движутся независимо друг от друга, давление газа на стенку равно полному импульсу, переданному при столкновении частиц со стенкой в единицу времени, внутренняя энергия - сумме энергий частиц газа.

По эквивалентной формулировке идеальный газ - такой газ, который одновременно подчиняется закону Бойля - Мариотта и Гей-Люссака , то есть:

где - давление,- абсолютная температура. Свойства идеального газа описываютсяуравнением Менделеева - Клапейрона

,

где -, - масса,-молярная масса .

где -концентрация частиц , -постоянная Больцмана .

Для любого идеального газа справедливо соотношение Майера :

где -универсальная газовая постоянная , - молярнаятеплоемкость при постоянном давлении, - молярная теплоемкость при постоянном объёме.

Статистический расчет распределения скоростей молекул был выполнен Максвеллом.

Рассмотрим результат, полученный Максвеллом в виде графика.

Молекулы газа при своем движении постоянно сталкиваются. Скорость каждой молекулы при столкновении изменяется. Она может возрастать и убывать. Однако среднеквадратичная скорость остается неизменной. Это объясняется тем, что в газе, находящемся при определенной температуре, устанавливается некоторое стационарное, не меняющееся со временем распределение молекул по скоростям, которое подчиняется определенному статистическому закону. Скорость отдельной молекулы с течением времени может меняться, однако доля молекул со скоростями в некотором интервале скоростей остается неизменной.

Нельзя ставить вопрос: сколько молекул обладает определенной скоростью. Дело в том, что, хоть число молекул очень велико в любом даже малом объеме, но количество значений скорости сколь угодно велико (как чисел в последовательном ряде), и может случиться, что ни одна молекула не обладает заданной скоростью.

Рис. 3.3

Задачу о распределении молекул по скоростям следует сформулировать следующим образом. Пусть в единице объема n молекул. Какая доля молекул имеет скорости от v 1 до v 1 + Δv ? Это статистическая задача.

Основываясь на опыте Штерна, можно ожидать, что наибольшее число молекул будут иметь какую-то среднюю скорость, а доля быстрых и медленных молекул не очень велика. Необходимые измерения показали, что доля молекул , отнесенная к интервалу скорости Δv , т.е. , имеет вид, показанный на рис. 3.3. Максвелл в 1859 г. теоретически на основании теории вероятности определил эту функцию. С тех пор она называется функцией распределения молекул по скоростям или законом Максвелла.

Выведем функцию распределения молекул идеального газа по скоростям

- интервал скоростей вблизи скорости .

- число молекул, скорости которых лежат в интервале
.

- число молекул в рассматриваемом объеме.

- угол молекул, скорости которых принадлежат интервалу
.

- доля молекул в единичном интервале скоростей вблизи скорости .

- формула Максвелла.

Используя статистические методы Максвелла получим следующую формулу:

.

- масса одной молекулы,
- постоянная Больцмана.

Наивероятнейшая скорость определяется из условия
.

Решая получаем
;
.

Обозначим ч/з
.

Тогда
.

Рассчитаем долю молекул в заданном интервале скоростей вблизи заданной скорости в заданном направлении.

.

.

- доля молекул, которые имеют скорости в интервале
,
,
.

Развивая идеи Максвелла Больцман рассчитал распределение молекул по скоростям в силовом поле. В отличие от распределения Максвелла в распределении Больцмана вместо кинетической энергии молекул фигурирует сумма кинетической и потенциальной энергии.

В распределении Максвелла:
.

В распределении Больцмана:
.

В гравитационном поле

.

Для концентрации молекул идеального газа имеет место формула:

исоответственно.

- распределение Больцмана.

- концентрация молекул у поверхности Земли.

- концентрация молекул на высоте .

Теплоемкость.

Теплоемкостью тела называется физическая величина, равная отношению

,
.

Теплоемкость одного моля – молярная теплоемкость

.

Т.к.
- функция процесса
, то
.

Учитывая

;

;



.

- формула Майера.

Т.о. задача вычисления теплоемкости сводится к нахождению .

.

Для одного моля:

, отсюда
.

Двухатомный газ (О 2 , N 2 , Cl 2 , СО и т.д.).

(модель жесткой гантели).

Полное число степеней свободы:

.

Тогда
, то

;
.

Это значит, что теплоемкость должна быть постоянной. Вместе с тем опыт говорит, что теплоемкость зависит от температуры.

При понижении температуры "замараживаются" сначала колебательные степени свободы, а затем и вращательные степени свободы.

Согласно законам квантовой механики энергия гармонического осциллятора с классической частотой может принимать только дискретный набор значений

Многоатомные газы (H 2 O, CH 4 , C 4 H 10 O и т.д.).

;
;
;

Сравним теоретические данные с опытными.

Видно, что 2-х атомных газов равняется, но изменяется при низких температурах вопреки теории теплоемкости.

Такой ход кривой отсвидетельствует о «замораживании» степеней свободы. Наоборот при больших температурах подключаются дополнительные степени свободы эти данные ставят под сомнение теорему о равномерном распределении. Современная физика позволяет объяснить зависимость отиспользуя квантовые представления.

Квантовая статистика устранила трудности в объяснении зависимости теплоемкости газов (в частности двухатомных газов) от температуры. Согласно положениям квантовой механики, энергия вращательного движения молекул и энергия колебаний атомов могут принимать лишь дискретные значения. Если энергия теплового движения значительно меньше разности энергий соседних уровней энергии (), то при столкновении молекул вращательные и колебательные степени свободы практически не возбуждаются. Поэтому при низких температурах поведение двухатомного газа подобно поведению одноатомного. Так как разность между соседними вращательными уровнями энергии значительно меньше, чем между соседними колебательными уровнями (), то с ростом температуры сначала возбуждаются вращательные степени свободы. В результате этого возрастает теплоемкость. При дальнейшем увеличении температуры возбуждаются и колебательные степени свободы, и происходит дальнейший рост теплоемкости. А. Эйнштейн, приближенно считал, что колебания атомов кристаллической решетки независимы. Используя модель кристалла как совокупность независимо колеблющихся с одинаковой частотой гармонических осцилляторов, он создал качественную квантовую теорию теплоемкости кристаллической решетки. Эта теория впоследствии была развита Дебаем, который учел, что колебания атомов в кристаллической решетке не являются независимыми. Рассмотрев непрерывный спектр частот осцилляторов, Дебай показал, что основной вклад в среднюю энергию квантового осциллятора вносят колебания на низких частотах, соответствующих упругим волнам. Тепловое возбуждение твердого тела можно описать в виде упругих волн, распространяющихся в кристалле. Согласно корпускулярно–волновому дуализму свойств вещества, упругие волны в кристалле сопоставляют сквазичастицами–фононами , обладающими энергией .Фонон – квант энергии упругой волны, являющийся элементарным возбуждением, ведущим себя подобно микрочастице. Как квантование электромагнитного излучения привело к представлению о фотонах, так квантование упругих волн (как результата теплового колебания молекул твердых тел) привело к представлению о фононах. Энергия кристаллической решетки складывается из энергии фононного газа. Квазичастицы (в частности фононы) сильно отличаются от обычных микрочастиц (электронов, протонов, нейтронов и т.д.), так как они связаны с коллективным движением многих частиц системы.

Фононы не могут возникать в вакууме, они существуют только в кристалле.

Импульс фонона обладает своеобразным свойством: при столкновении фононов в кристалле их импульс может дискретными порциями передаваться кристаллической решетке – импульс при этом не сохраняется. Поэтому в случае фононов говорят о квазиимпульсе.

Фононы имеют спин, равный нулю, и являются бозонами, а потому фононный газ подчиняется статистике Бозе–Эйнштейна.

Фононы могут испускаться и поглощаться, но их число не сохраняется постоянным.

Применение статистики Бозе–Эйнштейна к фононному газу (газу из независимых бозе–частиц) привело Дебая к следующему количественному выводу. При высоких температурах, которые много больше характеристической температуры Дебая (классическая область), теплоемкость твердых тел описывается законом Дюлонга и Пти, согласно которому молярная теплоемкость химически простых тел в кристаллическом состоянии одинакова и не зависит от температуры. При низких температурах, когда (квантовая область), теплоемкость пропорциональна третьей степени термодинамической температуры: Характеристическая температура Дебая равна: , где – предельная частота упругих колебаний кристаллической решетки.

Центральное понятие этой темы - понятие молекулы; слож­ность его усвоения школьниками связана с тем, что молекула - объект, непосредственно ненаблюдаемый. Поэтому учитель дол­жен убедить десятиклассников в реальности микромира, в возмож­ности его познания. В связи с этим большое внимание уделяют рассмотрению экспериментов, доказывающих существование и движение молекул и позволяющих вычислить их основные ха­рактеристики (классические опыты Перрена, Рэлея и Штерна). Кроме этого, целесообразно ознакомить учащихся с расчетными методами определения характеристик молекул. При рассмотрении доказательства существования и движения молекул рассказывают учащимся о наблюдениях Броуном беспо­рядочного движения мелких взвешенных частиц, которое не прекращалось в течение всего времени наблюдения. В то время не было дано правильного объяснения причины этого движения, и лишь спустя почти 80 лет А. Эйнштейн и М. Смолуховский построили, а Ж. Перрен экспериментально подтвердил теорию броу­новского движения. Из рассмотрения опытов Броуна необходимо сделать следую­щие выводы: а) движение броуновских частиц вызывается уда­рами молекул вещества, в котором эти частицы взвешены; б) броуновское движение непрерывно и беспорядочно, оно зави­сит от свойств вещества, в котором частицы взвешены; в) движе­ние броуновских частиц позволяет судить о движении молекул среды, в которой эти частицы находятся; г) броуновское движение доказывает существование молекул, их движение и непрерывный и хаотический характер этого движения. Подтверждение такого характера движения молекул было по­лучено в опыте французского физика Дюнуайе (1911 г.), который показал, что молекулы газа движутся в различных направлениях и в отсутствие соударений их движение прямолинейно. В настоя­щее время факт существования молекул ни у кого не вызывает сомнения. Развитие техники позволило непосредственно наблю­дать крупные молекулы. Рассказ о броуновском движении целесообразно сопровождать демонстрацией модели броуновского движения в вертикальной проекции с помощью проекционного фонаря или кодоскопа, а так­же показом кинофрагмента «Броуновское движение» из кинофиль­ма «Молекулы и молекулярное движение». Кроме того, полезно провести наблюдение броуновского движе­ния в жидкостях с помощью микроскопа. Препарат изготавлива­ют из смеси равных частей двух растворов: 1%-ного раствора серной кислоты и 2%-ного водного раствора гипосульфита. В ре­зультате реакции образуются частицы серы, которые находятся в растворе во взвешенном состоянии. Две капли этой смеси поме­щают на предметное стекло и наблюдают за поведением частиц серы. Препарат можно изготовить из сильно разбавленного рас­твора молока в воде или из раствора акварельной краски в воде. При обсуждении вопроса о размерах молекул рассматривают сущность опыта Р. Рэлея, который заключается в следующем: на поверхность воды, налитой в большой сосуд, помещают каплю оливкового масла. Капля растекается по поверхности воды и об­разует круглую пленку. Рэлей предположил, что, когда капля пере­стает растекаться, ее толщина становится равной диаметру одной молекулы. Опыты показывают, что молекулы различных веществ имеют разные размеры, но для оценки размеров молекул прини­мают величину, равную 10 -10 м. В классе можно проделать ана­логичный опыт. Для демонстрации расчетного метода определения размеров молекул приводят пример вычисления диаметров молекул различ­ных веществ по их плотностям и постоянной Авогадро. Представить малые размеры молекул школьникам трудно, по этому полезно привести ряд примеров сравнительного характера. Например, если увеличить все размеры во столько раз, чтобы молекула была видна (т. е. до 0,1 мм), то песчинка превратилась бы в стометровую скалу, муравей увеличился бы до размеров океанского корабля, человек обладал бы ростом 1700 км. Число молекул в количестве вещества 1 моль можно опреде­лить по результатам опыта с мономолекулярным слоем. Зная диа­метр молекулы, можно найти ее объем и объем количества ве­щества 1 моль, который равен где р - плотность жидкости. Отсюда определяют постоянную Аво­гадро. Расчетный метод заключается в определении числа молекул в количестве вещества 1 моль по известным значениям молярной массы и массы одной молекулы вещества. Значение постоянной Авогадро, по современным данным, 6,022169*10 23 моль -1 . С рас­четным методом определения постоянной Авогадро можно ознако­мить учащихся, предложив ее вычислить по значениям молярных масс разных веществ. Следует ознакомить школьников с числом Лошмидта, которое показывает, какое число молекул содержится в единице объема газа при нормальных условиях (оно равно 2,68799*10 -25 м -3). Де­сятиклассники могут самостоятельно определить число Лошмидта для нескольких газов и показать, что оно во всех случаях одно и то же. Приводя примеры, можно создать у ребят представление о том, насколько большим является число молекул в единице объе­ма. Если в резиновом воздушном шаре сделать прокол настолько тонкий, что через него каждую секунду будет выходить по 1 000 000 молекул, то понадобится примерно 30 млрд. лет, чтобы все молекулы вышли. Один из методов определения массы молекул основан на опыте Перрена, который исходил из того, что капли смолы в воде ведут себя так же, как молекулы в атмосфере. Перрен подсчитывал число капелек в разных слоях эмульсии, выделив с помощью мик­роскопа слои толщиной 0,0001 см. Высота, на которой таких капе­лек в два раза меньше, чем у дна, была равна h = 3*10 -5 м. Мас­са одной капли смолы оказалась равной М = 8,5*10 -18 кг. Если бы наша атмосфера состояла только из молекул кислорода, то на высоте Н=5 км плотность кислорода была бы в два раза меньше, чем у поверхности Земли. Записывают пропорцию m/M=h/H, откуда находят массу молекулы кислорода m=5,1*10 -26 кг. Предлагают учащимся самостоятельно рассчитать массу молекулы водорода, плотность которого в два раза мень­ше, чем у поверхности Земли, на высоте H=80 км. В настоящее время значения масс молекул уточнены. Напри­мер, для кислорода установлено значение 5,31*10 -26 кг, а для во­дорода - 0,33*10 -26 кг. При обсуждении вопроса о скоростях движения молекул уча­щихся знакомят с классическим опытом Штерна. При объяснении опыта целесообразно создать его модель с помощью прибора «Вращающийся диск с принадлежностями». На краю диска в вер­тикальном положении укрепляют несколько спичек, в центре диска - трубку с желобом. Когда диск неподвижен, шарик, опу­щенный в трубку, скатываясь по желобу, сбивает одну из спичек. Затем диск приводят во вращение с определенной скоростью, за­фиксированной по тахометру. Вновь пущенный шарик отклонится от первоначального направления движения (относительно диска) и собьет спичку, находящуюся на некотором расстоянии от первой. Зная это расстояние, радиус диска и скорость шарика на ободе диска, можно определить скорость движения шарика по радиусу. После этого целесообразно рассмотреть сущность опыта Штерна и конструкцию его установки, используя для иллюстрации кино­фрагмент «Опыт Штерна». Обсуждая результаты опыта Штерна, обращают внимание на то, что существует определенное распределение молекул по ско­ростям, о чем свидетельствует наличие у полоски напыленных атомов определенной ширины, причем толщина этой, полоски различна. Кроме того, важно отметить, что молекулы, движу­щиеся с большой скоростью, оседают ближе к месту напротив щели. Наибольшее число молекул имеет наиболее вероятную скорость. Необходимо сообщить учащимся, что теоретически закон рас­пределения молекул по скоростям был открыт Дж. К. Максвел­лом. Распределение молекул по скоростям может быть промодели­ровано на доске Гальтона. Вопрос о взаимодействии молекул школьники уже изучали в VII классе, в X классе знания по этому вопросу углубляют и рас­ширяют. Необходимо подчеркнуть следующие моменты: а) меж­молекулярное взаимодействие имеет электромагнитную природу; б) межмолекулярное взаимодействие характеризуется силами при­тяжения и отталкивания; в) силы межмолекулярного взаимодейст­вия действуют на расстояниях, не больших 2-3 диаметров моле­кул, причем на этом расстоянии заметна лишь сила притяжения, силы отталкивания практически равны нулю; г) по мере умень­шения расстояния между молекулами силы взаимодействия уве­личиваются, причем сила отталкивания растет быстрее (пропорционально г -9), чем сила притяжения (пропорционально r -7 ). Поэтому при уменьшении расстояния между молекулами сначала преобладает сила притяжения, затем при некотором расстоянии r о сила притяжения равна силе отталкивания и при дальнейшем сближении преобладает сила отталкивания. Все вышесказанное целесообразно проиллюстрировать графи­ком зависимости от расстояния сначала силы притяжения, силы отталкивания, а затем равнодействующей силы. Полезно постро­ить график потенциальной энергии взаимодействия, который в дальнейшем можно использовать при рассмотрении агрегатных состояний вещества. Внимание десятиклассников обращают на то, что состоянию устойчивого равновесия взаимодействующих частиц соответствует равенство нулю равнодействующей сил взаимодействия и наи­меньшее значение их взаимной потенциальной энергии. В твердом теле энергия взаимодействия частиц (энергия свя­зи) много больше кинетической энергии их теплового движения, поэтому движение частиц твердого тела представляет собой коле­бания относительно узлов кристаллической решетки. Если кинети­ческая энергия теплового движения молекул много больше потен­циальной энергии их взаимодействия, то движение молекул полно­стью беспорядочное и вещество существует в газообразном состоянии. Если кинетическая энергия теплового движения частиц сравнима с потенциальной энергией их взаимодействия, то веще­ство находится в жидком состоянии.

Согласно молекулярно-кинетической теории все вещества состоят из мельчайших частиц - молекул. Молекулы разделены промежутками, находятся в непрерывном движении и взаимодействуют между собой. Молекула - наименьшая частица вещества, обладающая его химическими свойствами. Молекулы состоят из более простых частиц - атомов химических элементов. Молекулы различных веществ имеют различный атомный состав.

Молекулы обладают кинетической энергией и одновременно потенциальной энергией взаимодействия. В газообразном состоянии W кин >> W пот. В жидком и твердом состояниях кинетическая энергия частиц сравнима с энергией их взаимодействия (W кин ~W пот).

Поясним три основных положения молекулярно - кинетической теории.

1. Все вещества состоят из молекул, т.е. имеют дискретное строение, молекулы разделены промежутками.

2. Молекулы находятся в непрерывном беспорядочном (хаотическом) движении.

3. Между молекулами тела существуют силы взаимодействия.

Молекулярно-кинетическая теория обосновывается многочисленными опытами и огромным количеством физических явлений.

Наличие промежутков между молекулами следует, например, из опытов смешения различных жидкостей: объем смеси всегда меньше суммы объемов смешанных жидкостей.

Приведем некоторые из доказательств беспорядочного (хаотического) движения молекул:

а) стремление газа занять весь предоставленный ему объем (распространение пахучего газа по всему помещению);

б) броуновское движение - беспорядочное движение мельчайших видимых в микроскоп частиц вещества, находящихся во взвешенном состоянии и нерастворимых в ней. Это движение происходит под действием беспорядочных ударов молекул, окружающей жидкости, находящихся в постоянном хаотическом движении;

в) диффузия - взаимное проникновение молекул соприкасающихся веществ. При диффузии молекулы одного тела, находясь в непрерывном движении, проникают в промежутки между молекулами другого соприкасающегося с ним тела и распространяются между ними. Диффузия проявляется во всех телах - в газах, жидкостях и твердых телах, - но в разной степени.

Диффузию в газах можно наблюдать, если сосуд с пахучим газом открыть в помещении. Через некоторое время газ распространится по всему помещению.

Диффузия в жидкостях происходит значительно медленнее, чем в газах. Например, в стакан нальем раствор медного купороса, а затем, очень осторожно добавим слой воды и оставим стакан в помещении с постоянной температурой, и где он не подвергается сотрясениям. Через некоторое время будем наблюдать исчезновение резкой границы между купоросом и водой, а через несколько дней жидкости перемешаются, несмотря на то, что плотность купороса больше плотности воды. Так же диффундирует вода со спиртом и прочие жидкости.

Диффузия в твердых телах происходит еще медленнее, чем в жидкостях (от нескольких часов до нескольких лет). Она может наблюдаться только в хорошо пришлифованных телах, когда расстояния между поверхностями пришлифованных тел близки к расстояниям между молекулами (10 -8 см). При этом скорость диффузии увеличивается при повышении температуры и давления.

Доказательства силового взаимодействия молекул:

а) деформация тел под влиянием силового воздействия;

б) сохранение формы твердыми телами;

в) поверхностное натяжение жидкостей и, как следствие, явление смачивания и капиллярности.

Между молекулами существуют одновременно силы притяжения и силы отталкивания. Эти силы имеют электромагнитную природу.

Рассмотрим различные случаи взаиморасположения молекул и покажем какие силы преобладают. Введем следующие обозначения:

r – Расстояние между молекулами.

d – диаметр молекулы

F np – сила притяжения

F om – сила отталкивания

→ - стремиться

Следовательно

r→∞ => F=0 (силы короткодействующие)

r > d (≈2-3 диаметра)=> F np > F om

r→d=>F np →0