1. Множества множеств. Мы можем рассматривать множества, состоящие из самых различных элементов. В частности, можем рассматривать множества множеств, т. е. множества, элементы которых сами суть множества. Таково, например, множество всех пар весел, имеющихся на данной лодочной станции. Множеством множеств является также множество всех спортивных команд Москвы (каждая спортивная команда есть множество составляющих ее спортсменов).

Множество всех профессиональных союзов, а также множество всех воинских частей (дивизий, полков, батальонов, рот, взводов и т. д.) данной армии являются множествами множеств. Эти примеры показывают, что множества, являющиеся элементами данного множества множеств, могут в одних случаях пересекаться, в других случаях, наоборот, не иметь общих элементов.

Так, например, множество всех профессиональных союзов СССР есть множество попарно не пересекающихся множеств, так как гражданин СССР не может быть одновременно членом двух профессиональных союзов. С другой стороны, множество всех воинских частей какой-либо армии есть пример множества множеств, некоторые элементы которого являются подмножествами других элементов: так, каждый взвод есть подмножество некоторого полка, полк есть подмножество дивизии и т. д.

Множество спортивных команд данного города состоит, вообще говоря, из пересекающихся множеств, так как одно и то же лицо может входить в несколько спортивных команд (например, в команду пловцов и в команду волейболистов или лыжников).

Замечание. Для облегчения речи иногда вместо выражения «множество множеств» употребляются как совершенно равнозначащие выражения «система множеств» или «совокупность множеств».

2. Разбиение на классы. Очень важный класс систем множеств получаем, если рассматриваем всевозможные разбиения какого-нибудь множества на попарно не пересекающиеся множества. Дано множество X, представленное в виде суммы попарно не пересекающихся подмножеств; множества, слагаемые нашей суммы, и являются элементами данного разбиения множества X.

Пример 1. М есть множество всех учащихся в средних школах Москвы. Множество М можно разбить на попарно не пересекающиеся подмножества, например, следующими двумя способами:

1) мы объединяем в одно слагаемое всех учащихся одной и той же школы (т. е. разбиваем множество всех учащихся по школам);

2) мы объединяем в одно слагаемое всех учащихся одного и того же класса (хотя бы и разных школ).

Пример 2. Пусть X есть множество всех точек плоскости; возьмем на этой плоскости какую-нибудь прямую g и разобьем всю плоскость на прямые, параллельные прямой g. Множества точек каждой такой прямой и являются теми подмножествами, на которые мы разбиваем множество X.

Если данное множество X разбито на попарно не пересекающиеся подмножества, дающие в сумме множество М, то для краткости говорят просто о разбиении множества М на классы.

Теорема 3. Пусть дано отображение f множества А на множество В. Полные прообразы всевозможных точек b множества В образуют разбиение множества А на классы. Множество этих классов находится во взаимно однозначном соответствии с множеством В.

Эта теорема, в сущности, очевидна: каждому элементу а множества А соответствует, в силу отображения, один и только один элемент множества В, так что а входит в один полный прообраз . А это и значит, что полные прообразы точек во-первых, дают в сумме все множество А, во-вторых, попарно пересекаются.

Множество классов находится во взаимно однозначном соответствии с множеством В: каждому элементу b множества В соответствует класс и каждому классу соответствует элемент b множества В.

Теорема 4. Пусть дано разбиение множества А на классы. Это разбиение порождает отображение множества А на некоторое множество В, а именно на множество В всех классов данного разбиения. Это отображение получается, если заставить соответствовать каждому элементу множества А тот класс, к которому он принадлежит.

Доказательство теоремы уже заключено в самой ее формулировке.

Пример. Тем самым, что учащиеся Москвы распределены но школам, уже установлено отображение множества А всех учащихся на множество В всех школ: каждому учащемуся соответствует та школа, в которой он учится.

При всей самоочевидности наших двух теорем факты, устанавливаемые ими, не сразу получили в математике отчетливую формулировку; получив же эту формулировку, они приобрели очень важное значение в логическом построении различных математических дисциплин и прежде всего алгебры.

3. Отношение эквивалентности. Пусть дано разбиение множества X на классы. Введем следующее определение: назовем два элемента множества X эквивалентными по отношению к данному разбиению множества X на классы, если они принадлежат к одному и тому же классу.

Таким образом, если мы разобьем учащихся Москвы по школам, то двое учащихся будут «эквивалентны», если они учатся в одной и той же школе (хотя бы и в разных классах). Если же мы разобьем учащихся по классам, то двое учащихся будут «эквивалентны», если они учатся в одном и том же классе (хотя бы и различных школ).

Отношение эквивалентности, только что определенное нами, очевидно, обладает следующими свойствами.

Свойство симметрии (или взаимности). Если а и b эквивалентны, то эквивалентны также и а.

Свойство транзитивности (или переходности). Если эквивалентны элементы а и а также b и с, то а и с эквивалентны («два элемента а и с, эквивалентные третьему эквивалентны между собою»).

Наконец, мы считаем каждый элемент эквивалентным самому себе; это свойство отношения эквивалентности называется свойством рефлексивности.

Три условия; рефлексивности, симметрии и транзитивности, которым подчинено отношение эквивалентности, называются условиями или аксиомами эквивалентности (а также аксиомами равенства).

Итак, всякое разбиение данного множества на классы определяет между элементами этого множества некоторое отношение эквивалентности, обладающее свойствами симметрии, транзитивности и рефлексивности.

Предположим теперь, что нам удалось, каким бы то ни было способом, установить некоторый признак, дающий нам возможность о некоторых парах элементов множества X говорить как о парах эквивалентных элементов. При этом мы требуем от этой эквивалентности, только чтобы она обладала свойствами симметрии, транзитивности и рефлексивности.

Докажем, что это отношение эквивалентности определяет разбиение множества X на классы.

В самом деле, обозначим классом данного элемента а множестиа X множество всех элементов, эквивалентных элементу а.

В силу того, что наше отношение эквивалентности по предположению обладает свойством рефлексивности, каждый элемент а содержится в своем классе.

Докажем: если два класса пересекаются (т. а. имеют хоть один общий элемент), то они непременно совпадают (т. е. каждый элемент одного класса является в то же время элементом другого).

В самом деле, пусть классы имеют общий элемент с. Записывая эквивалентность двух каких-нибудь элементов х и у так: имеем по определению классов:

Следовательно, в силу симметрии с силу транзитивности

Понятия множества и операций над множествами позволяют уточнить наше представление о классификации - действии распределения объектов по классам.

Классификацию мы выполняем достаточно часто. Так, натуральные числа представляем как два класса - четные и нечетные. Углы на плоскости разбиваем на три класса: прямые, острые и тупые.

Любая классификация связана с разбиением некоторого множества объектов на подмножества. При этом считают, что множество X разбито на классы X 1 , Х 2 ,..., Х n ..., если:

1) подмножества Х 1 , Х 2 ,..., Х п,... попарно не пересекаются; |

2) объединение подмножеств X 1 , Х 2 , ..., Х n , ... совпадает с множеством X. |

Если не выполнено хотя бы одно из условий, классификацию считают неправильной. Например, если из множества X треугольников выделить подмножества равнобедренных, равно-сторонних и разносторонних треугольников, то разбиения мы не получим, поскольку подмно-жества равнобедренных и равносторонних треугольников пересекаются (все равносторонние треугольники являются равнобедренными). В данном случае не выполнено первое условие разбиения множества на классы.

Так как разбиение множества на классы связано с выделением его подмножеств, то классификацию можно выполнять при помощи свойств элементов множеств.

Рассмотрим, например, множество натуральных чисел. Его элементы обладают различными свойствами. Положим, что нас интересуют числа, обладающие свойством «быть кратным 3». Это свойство позволяет выделить из множества натуральных чисел подмножество, состоящее из чисел, кратных 3. Тогда про остальные натуральные числа можно сказать, что они не кратны 3, т.е. получаем еще одно подмножество

множества натуральных чисел (рис. 12). Так как выделенные подмножества не пересекаются, а их объединение совпадает с множеством натуральных чисел, то имеем разбиение этого множества на два класса.

Рис. 12	Рис. 13

Вообще, если на множестве X задано одно свойство, то это множество разбивается на два класса. Первый - это класс объектов, обладающих этим свойством, а второй - дополнение первого класса до множества X. Во втором классе содержатся такие объекты множества X, которые заданным свойством не обладают. Такую классификацию называют дихотомической.

Рассмотрим теперь ситуацию, когда для элементов множества заданы два свойства. Например, такие свойства натуральных чисел, как «быть кратным 3» и «быть кратным 5». При помощи этих свойств из множества N натуральных чисел можно выделить два подмножества: А - подмножество чисел, кратных 3, и В - подмножество чисел, кратных 5. Эти множества пересекаются, но ни одно из них не является подмножеством другого (рис. 13). Проанализируем получившийся рисунок. Конечно, разбиения множества натуральных чисел на подмножества А и В не произошло. Но круг, изображающий множество N, можно рассматривать как состоящий из четырех непересекающихся областей - на рисунке они пронумерованы. Каждая область изображает некоторое подмножество множества N. Подмножество I состоит из чисел, кратных 3 и 5; подмножество II - из чисел, кратных 3 и не кратных 5; подмножество III - из чисел, кратных 5 и не кратных 3; подмножество IV - из чисел, не кратных 3 и не кратных 5. Объединение этих четырех подмножеств есть множество N.

Таким образом, выделение двух свойств привело к разбиению множества N натуральных чисел на четыре класса.

Упражнения

1 . Из множества X = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12} выделили подмножества X, Х 2 и Х 3 . В каком из следующих случаев множество Х оказалось разбитым на классы:

а) Х 1 = {1, 3, 5, 7, 11}, Х 2 = {2, 4, 6, 8, 10, 12}, Х 3 = {9};

б) Х 1 = {1,3,5,7,9,11},Х 1 = {2,4,6,8, 10,12},Х 1 = {10, 11,12};

в) Х 1 = {3,6, 9, 12}, Х 2 = {1,5,7, 11},Х 3 = {2, 10}?

2. Из множества Х= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12} выделим подмножества:

а) А - четных чисел, В - нечетных чисел;

б) А - чисел, кратных 2; В - чисел, кратных 3; С- чисел, кратных 4;

в) А - нечетных однозначных чисел; В - четных двузначных чисел. В каком случае произошло разбиение множества Х на классы?

3 . Из множества треугольников выделили подмножества треугольников:

а) прямоугольные, равнобедренные, равносторонние;

б) остроугольные, тупоугольные, прямоугольные;

в) равносторонние, прямоугольные, тупоугольные.

В каком случае произошло разбиение множества треугольников на классы?

4.На какие классы разбивается множество точек плоскости при помощи:

а) окружности;

в) прямой?

5.Перечертите комбинации фигур, приведенные на рисунке 15, и на каждой из них выделите (различными видами штриховки) непересекающиеся области.

6. На множестве натуральных чисел рассматривается свойство «быть кратным 7». Сколько классов разбиения множества N оно определяет? Назовите по два элемента из каждого класса.

7. Из множества четырехугольников выделили подмножество фигур с попарно параллельными сторонами. На какие классы разбивается множество четырехугольников с помощью свойства «иметь попарно параллельные стороны»? Начертите по два четырехугольника из каждого класса.

8 . Изобразите при помощи кругов Эйлера множество N натуральных чисел и его подмножества: четных чисел и чисел, кратных 7. Можно ли утверждать, что множество N разбито:

а) на два класса: четных чисел и чисел, кратных 7;

б) на четыре класса: четных чисел, кратных 7; четных чисел, не кратных 7; нечетных чисел, кратных 7; нечетных чисел, не кратных 7?

9 . На множестве четырехугольников рассматриваются два свойства: «быть прямоугольником» и «быть квадратом». На какие классы разобьется множество четырехугольников при помощи этих свойств? Начертите по два четырехугольника из каждого класса.

10 . Изменится ли ответ в упражнении 9, если на множестве четырехугольников рассмотреть свойства:

а) «быть прямоугольником» и «быть ромбом»;

б) «быть прямоугольником» и «быть трапецией»?

11. На рисунке 16 изображены множество X- студентов группы, А - множество спортсменов этой группы, В - множество отличников этой группы.

а) Укажите классы разбиения множества X, полученные с помощью свойств «быть спортсменом» и «быть отличником», и охарактеризуйте каждый из них.

б) Сколько получилось бы классов разбиения, если бы ни один отличник группы не был спортсменом?

Выполните соответствующий рисунок и назовите классы разбиения.

12 . Покажите, что решение нижеприведенных задач связано с разбиением заданного множества на классы:

а) 18 редисок связали в пучки по 6 редисок в каждом. Сколько получилось пучков?

б) 18 карандашей раздали 6 ученикам поровну. Сколько карандашей у каждого?

13. О каких множествах и операциях над ними идет речь в задачах:

а) С одной грядки сняли 25 кочанов капусты, а с другой - 15 кочанов. Всю эту капусту разложили в корзины, по 8 кочанов в каждую. Сколько потребовалось корзин?

б) Для школьного сада привезли 24 саженца яблонь. На одном участке посадили 6 саженцев, а на другом - остальные, в 3 ряда поровну. Сколько саженцев посадили в каждом ряду?

Два множества, содержащих одинаковые элементы, называются пересекающимися. В этом случае говорят, что множества пересекаются.

Два множества, нс имеющих общих элементов, называются непересекающимися. В этом случае говорят, что множества не пересекаются.

Пример 6.3.1. Множества {1,2,3,4,5}, {а,б,в,г,д} нс псрссскаются.

Непересекающимися являются множество треугольников и множество параллелограммов.

Также нс псрссскаются множества решений уравнений * 3 =3* 2 и *+3=0.

Пример 6.3.2. Пусть А - множество треугольников, площадь которых равна 6, В - множество прямоугольных треугольников.

А и В - пересекающиеся множества, так как существует треугольник, являющийся одновременно элементом множеств А и В , например треугольник со сторонами 3, 4, 5. Он прямоугольный и имеет площадь.

равную 6 (проверьте эти утверждения). Этот пример нс единственен. Приведите пример еще одного такого треугольника.

Пересекаются также множества решений уравнений х 2 +х=0 и х 2 -х=0, так как оба эти множества содержат число 0.

Заметим, термины «множества пересекаются» и «множества не пересекаются» определены для двух множеств. Если множеств будет больше, то необходимы уточнения. Например, множества могут нс иметь ни одного общего элемента, но некоторые из множеств могут пересекаться.

Пример 6.3.3. Множества {1,2}, {2,3} и {1,3} не пересекаются в совокупности, то есть нет ни одного элемента, который принадлежал бы каждому из множеств. Однако любая пара этих множеств имеет общий элемент.

Пусть дана совокупность множеств. Говорят, что множества этой совокупности попарно не пересекаются , если никакие два (различных) множества совокупности нс псрссскаются.

Пример 6.3.4. Множества {1,2,3}, {5,7}, {4,6,8} и {9} попарно не пересекаются.

Два множества могут находиться в следующих отношениях:

• 1) множества могут быть пересекающимися,
• 2) множества могут быть нспсрссскающимися,
• 3) множества могут быть связаны отношением включения.

Ясно, что первые два отношения исключают друг друга, то есть каждое из предложений «Множества псрссскаются» и «Множества нс псрссскаются» является отрицанием другого. Пересекающиеся множества, в частности, могут быть связаны отношением включения. На первый взгляд может показаться, что нспсрссскающисся множества не могут находиться в отношении включения. Это так, но только с некоторым исключением.

Пример 6.3.5. Рассмотрим два предложения:

Р = «Множества А и В пересекаются»,

Q = «Множество А содержится в множестве В».

Ясно, что РФ(). Оказывается, обратное утверждение в общем случае тоже неверно, то есть ()ФР. Контрпример: Л=0, В - любое. Как известно, 0сЯ, но это непересекающиеся множества.

Если же исключить случай пустого множества, то Q => Р. Действительно, берем любой элемент а из А. Так как A то аеВ. Значит, а общий элемент множеств А и В.

Теперь введем важное понятие разбиения множества на классы.

Пусть дана система К непустых подмножеств некоторого множества S. Говорят, что множества системы К образуют разбиение множества 5, если выполняются два условия:

• 1) подмножества попарно не пересекаются;
• 2) каждый элемент множества S лежит в некотором подмножестве.

Подмножества системы К называются классами разбиения. Количество классов может быть любым, в том числе бесконечным.

Вначале ограничимся примерами разбиений на конечное число классов

^2» ч А п.

Пример 6.3.6. Множества всех четных чисел {л* х2 } = {2п neZ} и всех нечетных чисел {2л+1 | пе ZJ образуют разбиение множества Z на два класса.

Множество всех простых чисел, множество всех составных чисел и множество {1} образуют разбиение множества N на три класса.

Множество всех положительных чисел, множество всех отрицательных чисел и множество {О J разбивают множество R на три класса

Пример 6.3.7. Докажем, что множество всех треугольников можно разбить на три класса:

А - множество остроугольных треугольников (треугольник называется остроугольным, если все его углы острые);

А-у - множество прямоугольных греугольников (треугольник называется прямоугольным, если он имеет прямой угол);

А з множество тупоугольных треугольников (треугольник называется тупоугольным, если он имеет тупой угол).

Действительно, каждый треугольник относится к одному из рассмотренных видов. При этом никакие два класса нс пересекаются. А нс пересекается ни с каким классом по определению. Покажем отсутствие общих элементов у множеств Л 2 и А 3 . Предположим, что в треугольнике есть прямой угол и тупой угол. Тогда их сумма будет больше 180 фадусов, поэтому сумма всех трех углов треугольника будет больше 180 градусов. А эго противоречит теореме о сумме углов rpeyi ольника.

Пример 6.3.8. Разобьем множество всех десятичных цифр {0,1,2,3,4,5,6;7,8,9} на 4 класса. Это можно сделать разными способами.

Первое разбиение: {1,2,3}, {4,5,6}, {7,8,9}, {0}.

Другое разбиение: {0,4,8}, {1,5,9}, {2,6}, {3,7}.

Подсчет числа всех разбиений л-элементного множества на определенное число классов является непростой задачей и решается средствами комбинаторного анализа.

При построении второго разбиения в примере мы использовали следующий принцип: вначале записали все цифры, кратные 4 (это числа вида 4/г), затем все цифры, дающие при делении на 4 остаток I (числа вида 4л+1), далее те цифры, которые дают остаток 2 (числа вида 4л+2) и, наконец, цифры, дающие остаток 3 (числа вида 4л+3).

Указанный принцип позволяет разбить на 4 класса все множество целых или натуральных чисел, при этом классы будут являться бесконечными множествами.

Теперь рассмотрим пример разбиения на бесконечное множество классов.

Пример 6.3.9. Возьмем числовую прямую. Тогда целые числа разделят прямую на промежутки. Однако это еще не совсем разбиение, нужны уточнения. Если рассмотреть отрезки, то, например, и будут иметь общий элемент 3. Не включить целые числа означает разбить не все множество R. Поэтому отнесем целое число к одному из концов промежутка, например к правому. Получим семейство промежутков вида (я;л+1], п - целое число.

Итак, семейство множеств К= {(п; п+] neZ} образует разбиение множества R действительных чисел на классы.

Приведенный пример разбиения множества R на бесконечное число классов не единственен. Например, можно считать множество Z целых чисел отдельным классом, а все другие классы - это интервалы вида (л; п+ 1). Есть и другие примеры разбиений.

Заметим, что любая классификация вещей, процессов или понятий приводит к соответствующим разбиениям.

Множеств , где - некоторое множество индексов (конечное или бесконечное), называется разбиением , если:

При этом множества называются блоками или частями разбиения данного множества .

Разбиения конечных множеств

Разбиения конечных множеств, а также подсчет количества различных разбиений, удовлетворяющих тем или иным условиям, представляет особый интерес в комбинаторике . В частности, некоторые комбинаторные функции естественно возникают как количества разбиений того или иного вида.

Например, число Стирлинга второго рода представляет собой количество неупорядоченных разбиений n -элементного множества на m частей, в то время как мультиномиальный коэффициент выражает количество упорядоченных разбиений n -элементного множества на m частей фиксированного размера . Количество всех неупорядоченных разбиений n -элементного множества задается числом Белла .

Примеры

Wikimedia Foundation . 2010 .

• Индикатор (математика)
• Р (кириллица)

Смотреть что такое "Разбиение множества" в других словарях:

Разбиение - В математике Разбиение единицы Разбиение множества Разбиение интервала Разбиение числа … Википедия

Разбиение графа - Пример разбиения параллельной граф схемы алгоритма логического управления. В составе блоков, отмеченных разными цветами, нет параллельных вершин Разбиение графа на подграфы (англ. Graph partition) (иногда в литературе также употребляется… … Википедия

Разбиение Вороного

Разбиение Дирихле - Диаграмма Вороного случайного множества точек на плоскости Диаграмма Вороного конечного множества точек S на плоскости представляет такое разбиение плоскости, при котором каждая область этого разбиения образует множество точек, более близких к… … Википедия

РАЗБИЕНИЕ - 1) Р. представление заданного множества в виде объединения системы множеств, не имеющих попарно общих точек. В дискретной геометрии часто рассматривают Р. нек рого пространства на замкнутые области, к рые покрывают все пространство и попарно не… … Математическая энциклопедия

Разбиение числа - n это представление n в виде суммы положительных целых чисел, называемых частями. При этом порядок следования частей не учитывается (в отличие от композиций), то есть разбиения, отличающиеся только порядком частей, считаются равными. В… … Википедия

Мера множества - У этого термина существуют и другие значения, см. Мера. Мера множества неотрицательная величина, интуитивно интерпретируемая как размер (объем) множества. Собственно, мера это некоторая числовая функция, ставящая в соответствие каждому… … Википедия

Двоичное разбиение пространства - BSP дерево это структура данных, используемая в трехмерной графике. Аббревиатура BSP означает Binary Space Partition двоичное разбиение пространства. BSP дерево используется для эффективного выполнения следующих операций: Сортировки… … Википедия

ИЗМЕРИМОЕ РАЗБИЕНИЕ - пространства с мерой (М,m) разбиение x. этого пространства на непересекающиеся подмножества (именуемые элементами разбиения), к рое можно получить как разбиение на множества уровня нек рой измеримой функции (с числовыми значениями) на М. Это… … Математическая энциклопедия

НЕПРЕРЫВНОЕ РАЗБИЕНИЕ - топологического пространствах покрытие пространства Xпопарно непересекающимися непустыми множествами, удовлетворяющее условию: каковы бы ни были и окрестность Uмножества Fв X, найдется окрестность Vмножества Fв X, содержащаяся в Uи являющаяся… … Математическая энциклопедия

Книги

• Windows IT Pro/RE№ 06/2018 , Открытые системы. Windows IT Pro/RE– профессиональное издание на русском языке, целиком и полностью посвященное вопросам работы с продуктами семейства Windows и технологиям компании Microsoft. Журнал… Купить за 1176 руб электронная книга
• Минимакс и восстановление по вектору в графах , Мокряков Алексей Викторович, Селин Павел Сергеевич, Цурков Владимир Иванович. В предлагаемой книге развивается теория минимакса при транспортных ограничениях. Представлена основная постановка о поиске минимума максимального элемента матрицы с неотрицательными…

Понятие множества и операций над множествами позволяют уточнить наше представление о классификации.

Классификация - это действие распределения объектов по классам на основании сходств объектов внутри класса и их отличия от объектов других классов.

Любая классификация связана с расчленением некоторого множества объектов на подмножества. Если при этом каждый элемент данного множества попадает в одно и только одно подмножество, а объединение всех выделенных подмножеств совпадает со всем множеством, то говорят, что данное множество разбито на непересекающиеся подмножества или классы.

Считается, что множество X разбито на классы X 1 , X 2 ,..., Х n , если:

1) подмножества X 1 , Х 2 ,..., Х n попарно не пересекаются;

2) объединение подмножеств Х 1 , Х 2 , ..., Х n совпадает с множеством X.
Если не выполнено хотя бы одно из этих условий, классификацию считают

неправильной.

Так, множество X треугольников можно разбить на три класса: остроугольные, тупоугольные и прямоугольные. Выделенные подмножества попарно не пересекаются и их объединение совпадает с подмножеством X.

Однако не всякая система подмножеств данного множества представляет собой разбиение этого множества. Так, если из множества X треугольников выделить подмножества равнобедренных, равносторонних и разносторонних, то разбиения множества X на классы мы не получим, т.к. множества равнобедренных и равносторонних треугольников пересекаются.

Итак, классификация связана с выделением из множества его подмножеств. Но чтобы выделить подмножество, достаточно указать характеристическое свойство его элементов.

Рассмотрим множество натуральных чисел. Его элементы обладают различными свойствами. Среди натуральных чисел есть четные, нечетные, кратные трем, кратные пяти и т.д. Предположим, что нас интересуют натуральные числа, обладающие свойством делится на три. Это свойство позволяет выделить из множества натуральных чисел подмножество чисел, кратных 3. Тогда про остальные натуральные числа можно сказать, что они не кратны 3, т.е. получаем еще одно подмножество множества натуральных чисел. Данные подмножества не пересекаются, а их объединение совпадает с множеством N натуральных чисел.

Т.о., Задание одного свойства элементов множества натуральных чисел привело к разбиению этого множества на два класса: класс чисел, кратных 3, и класс чисел кратных 3.

А каким будет разбиение множества на классы, если для его элементов указать два свойства, т.е. выделить из множества два различных подмножества?

Рассмотрим два свойства натуральных чисел: «быть кратным 3» и «быть кратным 5». При помощи этих свойств из множества натуральных чисел можно выделить два подмножества: А - подмножество чисел, кратных 3, и В -подмножество чисел, кратных 5. Эти подмножества пересекаются, но ни одно из них не является подмножеством другого.

Выделение двух свойств натуральных чисел привело к изменению множества натуральных чисел на 4 класса: класс чисел, кратных 3 и 5; класс чисел, кратных 3 и не кратных 5; класс чисел, кратных 5 и не кратных 3;.класс чисел, не кратных 3 и не кратных 5.

Не следует думать, что задание двух свойств элементов множества приводит к разбиению этого множества именно на 4 класса. Так бывает не всегда. Например, при помощи двух свойств «быть прямоугольным» и «быть тупоугольным» множество треугольников разбивается на три класса: класс прямоугольных треугольников; класс тупоугольных треугольников; класс треугольников, не являющихся ни прямоугольными, ни тупоугольными треугольниками.