Метод Гаусса имеет ряд недостатков: нельзя узнать, совместна система или нет, пока не будут проведены все преобразования, необходимые в методе Гаусса; метод Гаусса не пригоден для систем с буквенными коэффициентами.
Рассмотрим другие методы решения систем линейных уравнений. Эти методы используют понятие ранга матрицы и сводят решение любой совместной системы к решению системы, к которой применимо правило Крамера.
Пример 1. Найти общее решение следующей системы линейных уравнений с помощью фундаментальной системы решений приведенной однородной системы и частного решения неоднородной системы.
1. Составляем матрицу A и расширенную матрицу системы (1)
2. Исследуем систему (1) на совместность. Для этого находим ранги матриц A и https://pandia.ru/text/78/176/images/image006_90.gif" width="17" height="26 src=">). Если окажется, что , то система (1) несовместна. Если же получим, что , то эта система совместна и мы ее будем решать. (Исследование на совместность основано на теореме Кронекера-Капелли).
a. Находим rA .
Чтобы найти rA , будем рассматривать последовательно отличные от нуля миноры первого, второго и т. д. порядков матрицы A и окаймляющие их миноры.
М1 =1≠0 (1 берем из левого верхнего угла матрицы А ).
Окаймляем М1
второй строкой и вторым столбцом этой матрицы. 
. Продолжаем окаймлять М1
второй строкой и третьим столбцом..gif" width="37" height="20 src=">. Теперь окаймляем отличный от нуля минор М2′
второго порядка.
Имеем: 
(т. к. два первых столбца одинаковые)
(т. к. вторая и третья строки пропорциональны).
Мы видим, что rA=2 , а - базисный минор матрицы A .
b. Находим .
Достаточно базисный минор М2′ матрицы A окаймить столбцом свободных членов и всеми строками (у нас только последней строкой).
. Отсюда следует, что и М3′′
остается базисным минором матрицы https://pandia.ru/text/78/176/images/image019_33.gif" width="168 height=75" height="75">(2)
Так как М2′ - базисный минор матрицы A системы (2) , то эта система эквивалентна системе (3) , состоящей из первых двух уравнений системы (2) (ибо М2′ находится в первых двух строках матрицы A).
(3)
Так как базисный минор https://pandia.ru/text/78/176/images/image021_29.gif" width="153" height="51">(4)
В этой системе два свободных неизвестных (x2 и x4 ). Поэтому ФСР системы (4) состоит из двух решений. Чтобы их найти, придадим свободным неизвестным в (4) сначала значения x2=1 , x4=0 , а затем – x2=0 , x4=1 .
При x2=1 , x4=0 получим:
.
Эта система уже имеет единственное решение (его можно найти по правилу Крамера или любым другим способом). Вычитая из второго уравнения первое, получим:
Ее решением будет x1= -1 , x3=0 . Учитывая значения x2 и x4 , которые мы придали, получаем первое фундаментальное решение системы (2) : .
Теперь полагаем в (4) x2=0 , x4=1 . Получим:
.
Решаем эту систему по теореме Крамера:
.
Получаем второе фундаментальное решение системы (2) : .
Решения β1 , β2 и составляют ФСР системы (2) . Тогда ее общим решением будет
γ= С1β1+С2β2=С1(‑1, 1, 0, 0)+С2(5, 0, 4, 1)=(‑С1+5С2, С1, 4С2, С2)
Здесь С1 , С2 – произвольные постоянные.
4. Найдем одно частное решение неоднородной системы (1) . Как и в пункте 3 , вместо системы (1) рассмотрим эквивалентную ей систему (5) , состоящую из первых двух уравнений системы (1) .
(5)
Перенесем в правые части свободные неизвестные x2 и x4 .
(6)
Придадим свободным неизвестным x2 и x4 произвольные значения, например, x2=2 , x4=1 и подставим их в (6) . Получим систему
Эта система имеет единственное решение (т. к. ее определитель М2′0 ). Решая ее (по теореме Крамера или методом Гаусса), получим x1=3 , x3=3 . Учитывая значения свободных неизвестных x2 и x4 , получим частное решение неоднородной системы (1) α1=(3,2,3,1).
5. Теперь осталось записать общее решение α неоднородной системы (1) : оно равно сумме частного решения этой системы и общего решения ее приведенной однородной системы (2) :
α=α1+γ=(3, 2, 3, 1)+(‑С1+5С2, С1, 4С2, С2).
Это значит: 
(7)
6. Проверка. Чтобы проверить, правильно ли вы решили систему (1) , надо общее решение (7) подставить в (1) . Если каждое уравнение обратится в тождество (С1 и С2 должны уничтожиться), то решение найдено верно.
Мы подставим (7) для примера только в последнее уравнение системы (1) (x 1 + x 2 + x 3 ‑9 x 4 =‑1) .
Получим: (3–С1+5С2)+(2+С1)+(3+4С2)–9(1+С2)=–1
(С1–С1)+(5С2+4С2–9С2)+(3+2+3–9)=–1
Откуда –1=–1. Получили тождество. Так поступаем со всеми остальными уравнениями системы (1) .
Замечание. Проверка обычно довольно громоздкая. Можно рекомендовать следующую «частичную проверку»: в общем решении системы (1) произвольным постоянным придать некоторые значения и подставить полученное частное решение только в отброшенные уравнения (т. е. в те уравнения из (1) , которые не вошли в (5) ). Если получите тождества, то, скорее всего , решение системы (1) найдено правильно (но полной гарантии правильности такая проверка не дает!). Например, если в (7) положить С2= - 1 , С1=1 , то получим: x1=-3, x2=3, x3=-1, x4=0. Подставляя в последнее уравнение системы (1), имеем: - 3+3 - 1 - 9∙0= - 1 , т. е. –1=–1. Получили тождество.
Пример 2. Найти общее решение системы линейных уравнений (1) , выразив основные неизвестные через свободные.
Решение. Как и в примере 1 , составляем матрицы A и https://pandia.ru/text/78/176/images/image010_57.gif" width="156" height="50"> этих матриц. Оставляем теперь только те уравнения системы (1) , коэффициенты из которых входят в этот базисный минор (т. е. у нас – первые два уравнения) и рассматриваем состоящую из них систему, эквивалентную системе (1).
Перенесем в правые части этих уравнений свободные неизвестные.
Систему (9) решаем методом Гаусса, считая правые части свободными членами.
https://pandia.ru/text/78/176/images/image035_21.gif" width="202 height=106" height="106">
Вариант 2.
https://pandia.ru/text/78/176/images/image039_16.gif" width="192" height="106 src=">
Вариант 4.
https://pandia.ru/text/78/176/images/image042_14.gif" width="172" height="80">
Вариант 5.
https://pandia.ru/text/78/176/images/image044_12.gif" width="179 height=106" height="106">
Вариант 6.
https://pandia.ru/text/78/176/images/image046_11.gif" width="195" height="106">
Решение
. A = 
. Найдем r(А). Так как матрица
А имеет порядок 3х4, то наивысший порядок миноров равен 3. При этом все миноры третьего порядка равны нулю (проверить самостоятельно). Значит
, r(А) < 3. Возьмем главный базисный минор
= -5-4 = -9 ≠
0. Следовательно r(А) =2.
Рассмотрим
матрицу
С
= 
.
Минор третьего порядка ≠ 0. Значит, r(C) = 3.
Так как r(А) ≠ r(C) , то система несовместна.
Пример 2.
Определить совместность системы уравнений 
Решить эту систему, если она окажется совместной.
Решение .
A = , C = 
. Oчевидно, что r(А) ≤ 3, r(C) ≤ 4. Так как detC = 0, то r(C) < 4. Рассмотрим
минор
третьего
порядка
, расположенный в левом верхнем углу матрицы А и С: = -23 ≠
0. Значит, r(А) = r(C) = 3.
Число неизвестных в системе n=3 . Значит, система имеет единственное решение. При этом четвертое уравнение представляет сумму первых трех и его можно не принимать во внимание.
По формулам Крамера получаем x 1 = -98/23, x 2 = -47/23, x 3 = -123/23.
2.4. Mатричный метод. Mетод Гаусса
Систему n линейных уравнений с n неизвестными можно решать матричным методом по формуле X = A -1 B (при Δ ≠ 0), которая получается из (2) умножением обоих частей на А -1 .
Пример 1.
Решить систему уравнений 
матричным методом (в параграфе 2.2 эта система была решена по формулам Крамера)
Решение . Δ = 10 ≠ 0 А = - невырожденная матрица.
= 
(убедитесь в этом самостоятельно, произведя необходимые вычисления).
A -1 = (1/Δ)х= 
.
Х = A -1 В = х= .
Ответ : .
С практической точки зрения матричный метод и формулы Крамера связаны с большим объемом вычислений, поэтому предпочтение отдается методу Гаусса , который заключается в последовательном исключении неизвестных. Для этого систему уравнений приводят к эквивалентной ей системе с треугольной расширенной матрицей (все элементы ниже главной диагонали равны нулю). Эти действия называют прямым ходом . Из полученной треугольной системы переменные находят с помощью последовательных подстановок (обратный ход ).
Пример 2
. Методом Гаусса решить систему
(Выше эта система была решена по формуле Крамера и матричным методом).
Решение .
Прямой ход . Запишем расширенную матрицу и с помощью элементарных преобразований приведем ее к треугольному виду:
~ 
~ 
~ 
~ 
.
Получим
систему
Обратный ход. Из последнего уравнения находим х 3 = -6 и подставим это значение во второе уравнение:
х 2 = - 11/2 - 1/4 х 3 = - 11/2 - 1/4(-6) = - 11/2 + 3/2 = -8/2 = -4.
х 1 = 2 - х 2 + х 3 = 2+4-6 = 0.
Ответ : .
2.5. Общее решение системы линейных уравнений
Пусть дана система линейных уравнений = b i (i =). Пусть r(A) = r(C) = r, т.е. система совместна. Любой минор порядка r, отличный от нуля, является базисным минором. Не ограничивая общности, будем считать, что базисный минор располагается в первых r (1 ≤ r ≤ min(m,n)) строках и столбцах матрицы А. Отбросив последние m-r уравнений системы, запишем укороченную систему:
которая эквивалентна исходной. Назовем неизвестные х 1 ,….х r базисными , а х r +1 ,…, х r свободными и перенесем слагаемые, содержащие свободные неизвестные, в правую часть уравнений укороченной системы. Получаем систему относительно базисных неизвестных:
koтоторая для каждого набора значений свободных неизвестных х r +1 = С 1 ,…, х n = С n-r имеет единственное рeшение х 1 (С 1 ,…, С n-r),…, х r (С 1 ,…, С n-r), находимое по правилу Крамера.
Соответствующее решение укороченной, а следовательно, и исходной системы имеет вид:
Х(С 1 ,…, С n-r) = 
-
общее решение системы.
Если в общем решении свободным неизвестным придать какие-нибудь числовые значения, то получим решение линейной системы, называемое частным .
Пример . Установить совместность и найти общее решение системы
Решение
. А = 
, С = 
.
Так как r(A) = r(C) = 2 (убедитесь в этом самостоятельно), то исходная система совместна и имеет бесчисленное множество решений (так как r < 4).
На данном уроке мы рассмотрим методы решения системы линейных уравнений. В курсе высшей математики системы линейных уравнений требуется решать как в виде отдельных заданий, например, «Решить систему по формулам Крамера», так и в ходе решения остальных задач. С системами линейных уравнений приходится иметь дело практически во всех разделах высшей математики.
Сначала немного теории. Что в данном случае обозначает математическое слово «линейных»? Это значит, что в уравнения системы все
переменные входят в первой степени
: без всяких причудливых вещей вроде 
и т.п., от которых в восторге бывают только участники математических олимпиад.
В высшей математике для обозначения переменных используются не только знакомые с детства буквы .
Довольно популярный вариант – переменные с индексами: .
Либо начальные буквы латинского алфавита, маленькие и большие:
Не так уж редко можно встретить греческие буквы: – известные многим «альфа, бета, гамма». А также набор с индексами, скажем, с буквой «мю»:
Использование того или иного набора букв зависит от раздела высшей математики, в котором мы сталкиваемся с системой линейных уравнений. Так, например, в системах линейных уравнений, встречающихся при решении интегралов, дифференциальных уравнений традиционно принято использовать обозначения
Но как бы ни обозначались переменные, принципы, методы и способы решения системы линейных уравнений от этого не меняются. Таким образом, если Вам встретится что-нибудь страшное типа , не спешите в страхе закрывать задачник, в конце концов, вместо можно нарисовать солнце, вместо – птичку, а вместо – рожицу (преподавателя). И, как ни смешно, систему линейных уравнений с данными обозначениями тоже можно решить.
Что-то у меня есть такое предчувствие, что статья получится довольно длинной, поэтому небольшое оглавление. Итак, последовательный «разбор полётов» будет таким::
– Решение системы линейных уравнений методом подстановки («школьный метод»)
;
– Решение системы методом почленного сложения (вычитания) уравнений системы
;
– Решение системы по формулам Крамера
;
– Решение системы с помощью обратной матрицы
;
– Решение системы методом Гаусса
.
С системами линейных уравнений все знакомы из школьного курса математики. По сути дела, начинаем с повторения.
Решение системы линейных уравнений методом подстановки
Данный метод также можно назвать «школьным методом» или методом исключения неизвестных. Образно говоря, его еще можно назвать «недоделанным методом Гаусса».
Пример 1
Здесь у нас дана система из двух уравнений с двумя неизвестными. Обратите внимание, что свободные члены (числа 5 и 7) расположены в левой части уравнения. Вообще говоря, без разницы, где они находятся, слева или справа, просто в задачах по высшей математике нередко они расположены именно так. И такая запись не должна приводить в замешательство, при необходимости систему всегда можно записать «как обычно»: . Не забываем, что при переносе слагаемого из части в часть у него нужно поменять знак.
Что значит решить систему линейных уравнений? Решить систему уравнений – это значит найти множество её решений. Решение системы представляет собой набор значений всех входящих в неё переменных, который обращает КАЖДОЕ уравнение системы в верное равенство. Кроме того, система может быть несовместной (не иметь решений) .Не тушуйтесь, это общее определение =) У нас же будет всего лишь одно значение «икс» и одно значение «игрек», которые удовлетворяют каждому уравнению с-мы.
Существует графический метод решения системы, с которым можно ознакомиться на уроке Простейшие задачи с прямой . Там же я рассказал о геометрическом смысле системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными. Но сейчас на дворе эра алгебры, и числа-числа, действия-действия.
Решаем
: из первого уравнения выразим:
Полученное выражение подставляем во второе уравнение:
Раскрываем скобки, приводим подобные слагаемые и находим значение :
Далее вспоминаем про то, от чего плясали:
Значение нам уже известно, осталось найти:
Ответ :
После того, как решена ЛЮБАЯ система уравнений ЛЮБЫМ способом, настоятельно рекомендую выполнить проверку (устно, на черновике либо калькуляторе) . Благо, делается это легко и быстро.
1) Подставляем найденный ответ в первое уравнение :
– получено верное равенство.
2) Подставляем найденный ответ во второе уравнение :
– получено верное равенство.
Или, если говорить проще, «всё сошлось»
Рассмотренный способ решения не является единственным, из первого уравнения можно было выразить , а не .
Можно наоборот – что-нибудь выразить из второго уравнения и подставить в первое уравнение. Кстати, заметьте, самый невыгодный из четырех способов – выразить из второго уравнения:
Получаются дроби, а оно зачем? Есть более рациональное решение.
Тем не менее, в ряде случаев без дробей всё-таки не обойтись. В этой связи обращаю Ваше вниманиена то, КАК я записал выражение. Не так: , и ни в коем случае не так: 
.
Если в высшей математике Вы имеете дело с дробными числами, то все вычисления старайтесь проводить в обыкновенных неправильных дробях .
Именно , а не или !
Запятую можно использовать лишь иногда, в частности, если – это окончательный ответ какой-нибудь задачи, и с этим числом больше не нужно выполнять никаких действий.
Многие читатели наверняка подумали «да зачем такое подробное объяснение, как для класса коррекции, и так всё понятно». Ничего подобного, вроде бы такой простой школьный пример, а сколько ОЧЕНЬ важных выводов! Вот еще один:
Любое задание следует стремиться выполнить самым рациональным способом . Хотя бы потому, что это экономит время и нервы, а также снижает вероятность допустить ошибку.
Если в задаче по высшей математике Вам встретилась система двух линейных уравнений с двумя неизвестными, то всегда можно использовать метод подстановки (если не указано, что систему нужно решить другим методом) Ни один преподаватель не подумает, что ты лох снизит оценку за использование «школьного метода».
Более того, в ряде случаев метод подстановки целесообразно использовать и при большем количестве переменных.
Пример 2
Решить систему линейных уравнений с тремя неизвестными
Похожая система уравнений часто возникает при использовании так называемого метода неопределенных коэффициентов, когда мы находим интеграл от дробно-рациональной функции . Рассматриваемая система взята мной как раз оттуда.
При нахождении интеграла – цель быстро найти значения коэффициентов , а не изощряться формулами Крамера, методом обратной матрицы и т.д. Поэтому, в данном случае уместен именно метод подстановки.
Когда дана любая система уравнений, в первую очередь желательно выяснить, а нельзя ли ее как-нибудь СРАЗУ упростить? Анализируя уравнения системы, замечаем, что второе уравнение системы можно разделить на 2, что мы и делаем:
Справка: математический знак обозначает «из этого следует это», он часто используется в ходе решения задач.
Теперь анализируем уравнения, нам нужно выразить какую-нибудь переменную через остальные. Какое уравнение выбрать? Наверное, Вы уже догадались, что проще всего для этой цели взять первое уравнение системы:
Здесь без разницы, какую переменную выражать, можно было с таким же успехом выразить или .
Далее, выражение для подставляем во второе и третье уравнения системы:
Раскрываем скобки и приводим подобные слагаемые:
Третье уравнение делим на 2:
Из второго уравнения выразим и подставим в третьей уравнение:
Практически всё готово, из третьего уравнения находим:
Из второго уравнения: 
Из первого уравнения:
Проверка: Подставим найденные значения переменных в левую часть каждого уравнения системы:
1)
2)
3)
Получены соответствующие правые части уравнений, таким образом, решение найдено верно.
Пример 3
Решить систему линейных уравнений с 4 неизвестными
Это пример для самостоятельного решения (ответ в конце урока).
Решение системы методом почленного сложения (вычитания) уравнений системы
В ходе решения систем линейных уравнений нужно стараться использовать не «школьный метод», а метод почленного сложения (вычитания) уравнений системы. Почему? Это экономит время и упрощает вычисления, впрочем, сейчас станет всё понятнее.
Пример 4
Решить систему линейных уравнений:
Я взял ту же систему, что и первом примере.
Анализируя систему уравнений, замечаем, что коэффициенты при переменной одинаковы по модулю и противоположны по знаку (–1 и 1). В такой ситуации уравнения можно сложить почленно:
Действия, обведенные красным цветом, выполняются МЫСЛЕННО.
Как видите, в результате почленного сложения у нас пропала переменная . В этом, собственно, и состоит суть метода – избавиться от одной из переменных
.
Продолжаем разбираться с системами линейных уравнений. До сих пор мы рассматривали системы, которые имеют единственное решение. Такие системы можно решить любым способом: методом подстановки («школьным»), по формулам Крамера, матричным методом , методом Гаусса . Однако на практике широко распространены еще два случая, когда:
1) система несовместна (не имеет решений);
2) система имеет бесконечно много решений.
Для этих систем применяют наиболее универсальный из всех способов решения – метод Гаусса . На самом деле, к ответу приведет и «школьный» способ, но в высшей математике принято использовать гауссовский метод последовательного исключения неизвестных. Те, кто не знаком с алгоритмом метода Гаусса, пожалуйста, сначала изучите урок метод Гаусса
Сами элементарные преобразования матрицы – точно такие же , разница будет в концовке решения. Сначала рассмотрим пару примеров, когда система не имеет решений (несовместна).
Пример 1
Что сразу бросается в глаза в этой системе? Количество уравнений – меньше, чем количество переменных. Есть такая теорема, которая утверждает:«Если количество уравнений в системе меньше количества переменных , то система либо несовместна, либо имеет бесконечно много решений». И это осталось только выяснить.
Начало решения совершенно обычное – запишем расширенную матрицу системы и с помощью элементарных преобразований приведем ее к ступенчатому виду:
(1). На левой верхней ступеньке нам нужно получить (+1) или (–1). Таких чисел в первом столбце нет, поэтому перестановка строк ничего не даст. Единицу придется организовать самостоятельно, и сделать это можно несколькими способами. Мы поступили так. К первой строке прибавляем третью строку, умноженную на (–1).
(2). Теперь получаем два нуля в первом столбце. Ко второй строке прибавляем первую строку, умноженную на 3. К третьей строке прибавляем первую, умноженную на 5.
(3). После выполненного преобразования всегда целесообразно посмотреть, а нельзя ли упростить полученные строки? Можно. Вторую строку делим на 2, заодно получая нужную (–1) на второй ступеньке. Третью строку делим на (–3).
(4). К третьей строке прибавляем вторую строку. Наверное, все обратили внимание на нехорошую строку, которая получилась в результате элементарных преобразований:
. Ясно, что так быть не может.
Действительно, перепишем полученную матрицу
обратно в систему линейных уравнений:
Если в результате элементарных преобразований получена строка вида, где λ – число, отличное от нуля, то система несовместна (не имеет решений).
Как записать концовку задания? Необходимо записать фразу:
«В результате элементарных преобразований получена строка вида , где λ ≠ 0 ». Ответ: «Система не имеет решений (несовместна)».
Обратите внимание, что в этом случае нет никакого обратного хода алгоритма Гаусса, решений нет и находить попросту нечего.
Пример 2
Решить систему линейных уравнений 
Это пример для самостоятельного решения. Полное решение и ответ в конце урока.
Снова напоминаем, что Ваш ход решения может отличаться от нашего хода решения, метод Гаусса не задаёт однозначного алгоритма, о порядке действий и о самих действиях надо догадываться в каждом случае самостоятельно.
Еще одна техническая особенность решения: элементарные преобразования можно прекращать сразу же , как только появилась строка вида , где λ ≠ 0 . Рассмотрим условный пример: предположим, что после первого же преобразования получилась матрица
.
Эта матрица еще не приведена к ступенчатому виду, но в дальнейших элементарных преобразованиях нет необходимости, так как появилась строка вида , где λ ≠ 0 . Следует сразу дать ответ, что система несовместна.
Когда система линейных уравнений не имеет решений – это почти подарок студенту, ввиду того, что получается короткое решение, иногда буквально в 2-3 действия. Но всё в этом мире уравновешено, и задача, в которой система имеет бесконечно много решений – как раз длиннее.
Пример 3:
Решить систему линейных уравнений
Тут 4 уравнений и 4 неизвестных, таким образом, система может иметь либо единственное решение, либо не иметь решений, либо иметь бесконечно много решений. Как бы там ни было, но метод Гаусса в любом случае приведет нас к ответу. В этом и его универсальность.
Начало опять стандартное. Запишем расширенную матрицу системы и с помощью элементарных преобразований приведем ее к ступенчатому виду:
Вот и всё, а вы боялись.
(1). Обратите внимание, что все числа в первом столбце делятся на 2, поэтому на левой верхней ступеньке нас устраивает и двойка. Ко второй строке прибавляем первую строку, умноженную на (–4). К третьей строке прибавляем первую строку, умноженную на (–2). К четвертой строке прибавляем первую строку, умноженную на (–1).
Внимание! У многих может возникнуть соблазн из четвертой строки вычесть первую строку. Так делать можно, но не нужно, опыт показывает, что вероятность ошибки в вычислениях увеличивается в несколько раз. Только складываем: к четвертой строке прибавляем первую строку, умноженную на (–1) – именно так!
(2). Последние три строки пропорциональны, две из них можно удалить. Здесь опять нужно проявить повышенное внимание , а действительно ли строки пропорциональны? Для перестраховки не лишним будет вторую строку умножить на (–1), а четвертую строку разделить на 2, получив в результате три одинаковые строки. И только после этого удалить две из них. В результате элементарных преобразований расширенная матрица системы приведена к ступенчатому виду:
При оформлении задачи в тетради желательно для наглядности делать такие же пометки карандашом.
Перепишем соответствующую систему уравнений: 
«Обычным» единственным решением системы здесь и не пахнет. Нехорошей строки , где λ ≠ 0, тоже нет. Значит, это и есть третий оставшийся случай – система имеет бесконечно много решений.
Бесконечное множество решений системы коротко записывают в виде так называемого общего решения системы .
Общее решение системы найдем с помощью обратного хода метода Гаусса. Для систем уравнений с бесконечным множеством решений появляются новые понятия: «базисные переменные» и «свободные переменные» . Сначала определим, какие переменные у нас являются базисными , а какие переменные - свободными . Не обязательно подробно разъяснять термины линейной алгебры, достаточно запомнить, что вот существуют такие базисные переменные и свободные переменные .
Базисные переменные всегда «сидят» строго на ступеньках матрицы . В данном примере базисными переменными являются x 1 и x 3 .
Свободные переменные – это все оставшиеся переменные, которым не досталось ступеньки. В нашем случае их две: x 2 и x 4 – свободные переменные.
Теперь нужно все базисные переменные выразить только через свободные переменные . Обратный ход алгоритма Гаусса традиционно работает снизу вверх. Из второго уравнения системы выражаем базисную переменную x 3:
Теперь смотрим на первое уравнение: 
. Сначала в него подставляем найденное выражение :
Осталось выразить базисную переменную x 1 через свободные переменные x 2 и x 4:
В итоге получилось то, что нужно – все базисные переменные (x 1 и x 3) выражены только через свободные переменные (x 2 и x 4):
Собственно, общее решение готово:
.
Как правильно записать общее решение? Прежде всего, свободные переменные записываются в общее решение «сами по себе» и строго на своих местах. В данном случае свободные переменные x 2 и x 4 следует записать на второй и четвертой позиции:
.
Полученные же выражения для базисных переменных и , очевидно, нужно записать на первой и третьей позиции:
Из общего решения системы можно найти бесконечно много частных решений . Это очень просто. Свободными переменные x 2 и x 4 называют так, потому что им можно придавать любые конечные значения . Самыми популярными значениями являются нулевые значения, поскольку при этом частное решение получается проще всего.
Подставив (x 2 = 0; x 4 = 0) в общее решение, получим одно из частных решений:
, или – это частное решение, соответствующее свободным переменным при значениях (x
2 = 0; x
4 = 0).
Другой сладкой парочкой являются единицы, подставим (x 2 = 1 и x 4 = 1) в общее решение:
, т. е. (-1; 1; 1; 1) – еще одно частное решение.
Легко заметить, что система уравнений имеет бесконечно много решений, так как свободным переменным мы можем придать любые значения.
Каждое частное решение должно удовлетворять каждому уравнению системы. На этом основана «быстрая» проверка правильности решения. Возьмите, например, частное решение (-1; 1; 1; 1) и подставьте его в левую часть каждого уравнения исходной системы:
Всё должно сойтись. И с любым полученным вами частным решением – тоже всё должно сойтись.
Строго говоря, проверка частного решения иногда обманывает, т.е. какое-нибудь частное решение может удовлетворять каждому уравнению системы, а само общее решение на самом деле найдено неверно. Поэтому, прежде всего, более основательна и надёжна проверка общего решения.
Как проверить полученное общее решение 
?
Это несложно, но довольно требует длительных преобразований. Нужно взять выражения базисных
переменных, в данном случае 
и , и подставить их в левую часть каждого уравнения системы.
В левую часть первого уравнения системы:
Получена правая часть исходного первого уравнения системы.
В левую часть второго уравнения системы:
Получена правая часть исходного второго уравнения системы.
И далее – в левые части третьего и четвертого уравнение системы. Эта проверка дольше, но зато гарантирует стопроцентную правильность общего решения. Кроме того, в некоторых заданиях требуют именно проверку общего решения.
Пример 4:
Решить систему методом Гаусса. Найти общее решение и два частных. Сделать проверку общего решения.
Это пример для самостоятельного решения. Здесь, кстати, снова количество уравнений меньше, чем количество неизвестных, а значит, сразу понятно, что система будет либо несовместной, либо с бесконечным множеством решений.
Пример 5:
Решить систему линейных уравнений. Если система имеет бесконечно много решений, найти два частных решения и сделать проверку общего решения
Решение: Запишем расширенную матрицу системы и, с помощью элементарных преобразований, приведем ее к ступенчатому виду:
(1). Ко второй строке прибавляем первую строку. К третьей строке прибавляем первую строку, умноженную на 2. К четвертой строке прибавляем первую строку, умноженную на 3.
(2). К третьей строке прибавляем вторую строку, умноженную на (–5). К четвертой строке прибавляем вторую строку, умноженную на (–7).
(3). Третья и четвертая строки одинаковы, одну из них удаляем. Вот такая красота:
Базисные переменные сидят на ступеньках, поэтому – базисные переменные.
Свободная переменная, которой не досталось ступеньки здесь всего одна: .
(4). Обратный ход. Выразим базисные переменные через свободную переменную:
Из третьего уравнения:
Рассмотрим второе уравнение и подставим в него найденное выражение :
, 
, ,
Рассмотрим первое уравнение и подставим в него найденные выражения и :
Таким образом, общее решение при одной свободной переменной x 4:
Еще раз, как оно получилось? Свободная переменная x 4 одиноко сидит на своём законном четвертом месте. Полученные выражения для базисных переменных , , - тоже на своих местах.
Сразу выполним проверку общего решения.
Подставляем базисные переменные , , в левую часть каждого уравнения системы:
Получены соответствующие правые части уравнений, таким образом, найдено верное общее решение.
Теперь из найденного общего решения 
получим два частных решения. Все переменные выражаются здесь через единственную свободную переменную x
4 . Ломать голову не нужно.
Пусть x
4 = 0, тогда 
– первое частное решение.
Пусть x
4 = 1, тогда 
– еще одно частное решение.
Ответ:
Общее решение: . Частные решения:
и .
Пример 6:
Найти общее решение системы линейных уравнений.
Проверка общего решения у нас уже сделана, ответу можно доверять. Ваш ход решения может отличаться от нашего хода решения. Главное, чтобы совпали общие решения. Наверное, многие заметили неприятный момент в решениях: очень часто при обратном ходе метода Гаусса нам пришлось возиться с обыкновенными дробями. На практике это действительно так, случаи, когда дробей нет – встречаются значительно реже. Будьте готовы морально, и, самое главное, технически.
Остановимся на особенностях решения, которые не встретились в прорешанных примерах. В общее решение системы иногда может входить константа (или константы).
Например, общее решение: . Здесь одна из базисных переменных равна постоянному числу: . В этом нет ничего экзотического, так бывает. Очевидно, что в данном случае любое частное решение будет содержать пятерку на первой позиции.
Редко, но встречаются системы, в которых количество уравнений больше количества переменных . Однако метод Гаусса работает в самых суровых условиях. Следует невозмутимо привести расширенную матрицу системы к ступенчатому виду по стандартному алгоритму. Такая система может быть несовместной, может иметь бесконечно много решений, и, как ни странно, может иметь единственное решение.
Повторимся в своем совете – чтобы комфортно себя чувствовать при решении системы методом Гаусса, следует набить руку и прорешать хотя бы десяток систем.
Решения и ответы:
Пример 2:
Решение: Запишем расширенную матрицу системы и с помощью элементарных преобразований приведем ее к ступенчатому виду.
Выполненные элементарные преобразования:
(1) Первую и третью строки поменяли местами.
(2) Ко второй строке прибавили первую строку, умноженную на (–6). К третьей строке прибавили первую строку, умноженную на (–7).
(3) К третьей строке прибавили вторую строку, умноженную на (–1).
В результате элементарных преобразований получена строка вида , где λ ≠ 0 . Значит, система несовместна. Ответ: решений нет.
Пример 4:
Решение: Запишем расширенную матрицу системы и с помощью элементарных преобразований приведем ее к ступенчатому виду:
Выполненные преобразования:
(1). Ко второй строке прибавили первую строку, умноженную на 2. К третьей строке прибавили первую строку, умноженную на 3.
Для второй ступеньки нет единицы , и преобразование (2) направлено на её получение.
(2). К третьей строке прибавили вторую строку, умноженную на –3.
(3). Вторую с третью строки поменяли местами (переставили полученную –1 на вторую ступеньку)
(4). К третьей строке прибавили вторую строку, умноженную на 3.
(5). У первых двух строк сменили знак (умножили на –1), третью строку разделили на 14.
Обратный ход:
(1). Здесь – базисные переменные (которые на ступеньках), а – свободные переменные (кому не досталось ступеньки).
(2). Выразим базисные переменные через свободные переменные:
Из третьего уравнения: .
(3). Рассмотрим второе уравнение: , частные решения:
Ответ:
Общее решение:
Комплексные числа
В этом разделе мы познакомимся с понятием комплексного числа , рассмотрим алгебраическую , тригонометрическую и показательную форму комплексного числа. А также научимся выполнять действия с комплексными числами: сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень и извлечение корня.
Для освоения комплексных чисел не требуется каких-то специальных знаний из курса высшей математики, и материал доступен даже школьнику. Достаточно уметь выполнять алгебраические действия с «обычными» числа, и помнить тригонометрию.
Сначала вспомним «обычные» Числа. В математике они называются множеством действительных чисел и обозначаются буквой R, либо R (утолщённой). Все действительные числа сидят на знакомой числовой прямой:
Компания действительных чисел очень пёстрая – здесь и целые числа, и дроби, и иррациональные числа. При этом каждой точке числовой оси обязательно соответствует некоторое действительное число.
Метод Гаусса, называемый также методом последовательного исключения неизвестных, состоит в следующем. При помощи элементарных преобразований систему линейных уравнений приводят к такому виду, чтобы её матрица из коэффициентов оказалась трапециевидной (то же самое, что треугольной или ступенчатой) или близкой к трапециевидной (прямой ход метода Гаусса, далее - просто прямой ход). Пример такой системы и её решения - на рисунке сверху.
В такой системе последнее уравнение содержит только одну переменную и её значение можно однозначно найти. Затем значение этой переменной подставляют в предыдущее уравнение (обратный ход метода Гаусса , далее - просто обратный ход), из которого находят предыдущую переменную, и так далее.
В трапециевидной (треугольной) системе, как видим, третье уравнение уже не содержит переменных y и x , а второе уравнение - переменной x .
После того, как матрица системы приняла трапециевидную форму, уже не представляет труда разобраться в вопросе о совместности системы, определить число решений и найти сами решения.
Преимущества метода:
- при решении систем линейных уравнений с числом уравнений и неизвестных более трёх метод Гаусса не такой громоздкий, как метод Крамера , поскольку при решении методом Гаусса необходимо меньше вычислений;
- методом Гаусса можно решать неопределённые системы линейных уравнений, то есть, имеющие общее решение (и мы разберём их на этом уроке), а, используя метод Крамера, можно лишь констатировать, что система неопределённа;
- можно решать системы линейных уравнений, в которых число неизвестных не равно числу уравнений (также разберём их на этом уроке);
- метод основан на элементарных (школьных) методах - методе подстановки неизвестных и методе сложения уравнений, которых мы коснулись в соответствующей статье.
Чтобы все прониклись простотой, с которой решаются трапециевидные (треугольные, ступенчатые) системы линейных уравнений, приведём решение такой системы с применением обратного хода. Быстрое решение этой системы было показано на картинке в начале урока.
Пример 1. Решить систему линейных уравнений, применяя обратный ход:
Решение. В данной трапециевидной системе переменная z однозначно находится из третьего уравнения. Подставляем её значение во второе уравнение и получаем значение переменой y :
Теперь нам известны значения уже двух переменных - z и y . Подставляем их в первое уравнение и получаем значение переменной x :
Из предыдущих шагов выписываем решение системы уравнений:
Чтобы получить такую трапециевидную систему линейных уравнений, которую мы решили очень просто, требуется применять прямой ход, связанный с элементарными преобразованиями системы линейных уравнений. Это также не очень сложно.
Элементарные преобразования системы линейных уравнений
Повторяя школьный метод алгебраического сложения уравнений системы, мы выяснили, что к одному из уравнений системы можно прибавлять другое уравнение системы, причём каждое из уравнений может быть умножено на некоторые числа. В результате получаем систему линейных уравнений, эквивалентную данной. В ней уже одно уравнение содержало только одну переменную, подставляя значение которой в другие уравнений, мы приходим к решению. Такое сложение - один из видов элементарного преобразования системы. При использовании метода Гаусса можем пользоваться несколькими видами преобразований.
На анимации выше показано, как система уравнений постепенно превращается в трапециевидную. То есть такую, которую вы видели на самой первой анимации и сами убедились в том, что из неё просто найти значения всех неизвестных. О том, как выполнить такое превращение и, конечно, примеры, пойдёт речь далее.
При решении систем линейных уравнений с любым числом уравнений и неизвестных в системе уравнений и в расширенной матрице системы можно :
- переставлять местами строки (это и было упомянуто в самом начале этой статьи);
- если в результате других преобразований появились равные или пропорциональные строки, их можно удалить, кроме одной;
- удалять "нулевые" строки, где все коэффициенты равны нулю;
- любую строку умножать или делить на некоторое число;
- к любой строке прибавлять другую строку, умноженное на некоторое число.
В результате преобразований получаем систему линейных уравнений, эквивалентную данной.
Алгоритм и примеры решения методом Гаусса системы линейных уравнений с квадратной матрицей системы
Рассмотрим сначала решение систем линейных уравений, в которых число неизвестных равно числу уравнений. Матрица такой системы - квадратная, то есть в ней число строк равно числу столбцов.
Пример 2. Решить методом Гаусса систему линейных уравнений
Решая системы линейных уравнений школьными способами, мы почленно умножали одно из уравнений на некоторое число, так, чтобы коэффициенты при первой переменной в двух уравнениях были противоположными числами. При сложении уравнений происходит исключение этой переменной. Аналогично действует и метод Гаусса.
Для упрощения внешнего вида решения составим расширенную матрицу системы :
В этой матрице слева до вертикальной черты расположены коэффициенты при неизвестных, а справа после вертикальной черты - свободные члены.
Для удобства деления коэффициентов при переменных (чтобы получить деление на единицу) переставим местами первую и вторую строки матрицы системы . Получим систему, эквивалентную данной, так как в системе линейных уравнений можно переставлять местами уравнения:
С помощью нового первого уравнения исключим переменную x из второго и всех последующих уравнений . Для этого ко второй строке матрицы прибавим первую строку, умноженную на (в нашем случае на ), к третьей строке – первую строку, умноженную на (в нашем случае на ).
Это возможно, так как
Если бы в нашей системе уравнений было больше трёх, то следовало бы прибавлять и ко всем последующим уравнениям первую строку, умноженную на отношение соответствующих коэффициентов, взятых со знаком минус.
В результате получим матрицу эквивалентную данной системе новой системы уравнений, в которой все уравнения, начиная со второго не содержат переменнную x :
Для упрощения второй строки полученной системы умножим её на и получим вновь матрицу системы уравнений, эквивалентной данной системе:
Теперь, сохраняя первое уравнение полученной системы без изменений, с помощью второго уравнения исключаем переменную y из всех последующих уравнений. Для этого к третьей строке матрицы системы прибавим вторую строку, умноженную на (в нашем случае на ).
Если бы в нашей системе уравнений было больше трёх, то следовало бы прибавлять и ко всем последующим уравнениям вторую строку, умноженную на отношение соответствующих коэффициентов, взятых со знаком минус.
В результате вновь получим матрицу системы, эквивалентной данной системе линейных уравнений:
Мы получили эквивалентную данной трапециевидную систему линейных уравнений:
Если число уравнений и переменных больше, чем в нашем примере, то процесс последовательного исключения переменных продолжается до тех пор, пока матрица системы не станет трапециевидной, как в нашем демо-примере.
Решение найдём "с конца" - обратный ход
. Для этого из последнего уравнения определим z
:
.
Подставив это значение в предшествующее уравнение, найдём y
:
Из первого уравнения найдём x
:
Ответ: решение данной системы уравнений - 
.
: в этом случае будет выдан тот же ответ, если система имеет однозначное решение. Если же система имеет бесконечное множество решений, то таков будет и ответ, и это уже предмет пятой части этого урока.
Решить систему линейных уравнений методом Гаусса самостоятельно, а затем посмотреть решение
Перед нами вновь пример совместной и определённой системы линейных уравнений, в которой число уравнений равно числу неизвестных. Отличие от нашего демо-примера из алгоритма - здесь уже четыре уравнения и четыре неизвестных.
Пример 4. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса:
Теперь нужно с помощью второго уравнения исключить переменную из последующих уравнений. Проведём подготовительные работы. Чтобы было удобнее с отношением коэффициентов, нужно получить единицу в во втором столбце второй строки. Для этого из второй строки вычтем третью, а полученную в результате вторую строку умножим на -1.
Проведём теперь собственно исключение переменной из третьего и четвёртого уравнений. Для этого к третьей строке прибавим вторую, умноженную на , а к четвёртой - вторую, умноженную на .
Теперь с помощью третьего уравнения исключим переменную из четвёртого уравнения. Для этого к четвёртой строке прибавим третью, умноженную на . Получаем расширенную матрицу трапециевидной формы.
Получили систему уравнений, которой эквивалентна заданная система:
Следовательно, полученная и данная системы являются совместными и определёнными. Окончательное решение находим «с конца». Из четвёртого уравнения непосредственно можем выразить значение переменной "икс четвёртое":
Это значение подставляем в третье уравнение системы и получаем
,
,
Наконец, подстановка значений
В первое уравнение даёт
,
откуда находим "икс первое":
Ответ: данная система уравнений имеет единственное решение 
.
Проверить решение системы можно и на калькуляторе, решающем методом Крамера : в этом случае будет выдан тот же ответ, если система имеет однозначное решение.
Решение методом Гаусса прикладных задач на примере задачи на сплавы
Системы линейных уравнений применяются для моделирования реальных объектов физического мира. Решим одну из таких задач - на сплавы. Аналогичные задачи - задачи на смеси, стоимость или удельный вес отдельных товаров в группе товаров и тому подобные.
Пример 5. Три куска сплава имеют общую массу 150 кг. Первый сплав содержит 60% меди, второй - 30%, третий - 10%. При этом во втором и третьем сплавах вместе взятых меди на 28,4 кг меньше, чем в первом сплаве, а в третьем сплаве меди на 6,2 кг меньше, чем во втором. Найти массу каждого куска сплава.
Решение. Составляем систему линейных уравнений:
Умножаем второе и третье уравнения на 10, получаем эквивалентную систему линейных уравнений:
Составляем расширенную матрицу системы:
Внимание, прямой ход. Путём сложения (в нашем случае - вычитания) одной строки, умноженной на число (применяем два раза) с расширенной матрицей системы происходят следующие преобразования:
Прямой ход завершился. Получили расширенную матрицу трапециевидной формы.
Применяем обратный ход. Находим решение с конца. Видим, что .
Из второго уравнения находим
Из третьего уравнения -
Проверить решение системы можно и на калькуляторе, решающем методом Крамера : в этом случае будет выдан то же ответ, если система имеет однозначное решение.
О простоте метода Гаусса говорит хотя бы тот факт, что немецкому математику Карлу Фридриху Гауссу на его изобретение потребовалось лишь 15 минут. Кроме метода его имени из творчества Гаусса известно изречение "Не следует смешивать то, что нам кажется невероятным и неестественным, с абсолютно невозможным" - своего рода краткая инструкция по совершению открытий.
Во многих прикладных задачах может и не быть третьего ограничения, то есть, третьего уравнения, тогда приходится решать методом Гаусса систему двух уравнений с тремя неизвестными, или же, наоборот - неизвестных меньше, чем уравнений. К решению таких систем уравнений мы сейчас и приступим.
С помощью метода Гаусса можно установить, совместна или несовместна любая система n линейных уравнений с n переменными.
Метод Гаусса и системы линейных уравнений, имеющие бесконечное множество решений
Следующий пример - совместная, но неопределённая система линейных уравнений, то есть имеющая бесконечное множество решений.
После выполнения преобразований в расширенной матрице системы (перестановки строк, умножения и деления строк на некоторое число, прибавлению к одной строке другой) могли появиться строки вида
Если во всех уравнениях имеющих вид
Свободные члены равны нулю, то это означает, что система неопределённа, то есть имеет бесконечное множество решений, а уравнения этого вида – «лишние» и их исключаем из системы.
Пример 6.
Решение. Составим расширенную матрицу системы. Затем с помощью первого уравнения исключим переменную из последующих уравнений. Для этого ко второй, третьей и четвёртой строкам прибавим первую, умноженную соответственно на :
Теперь вторую строку прибавим к третьей и четвёртой.
В результате приходим к системе
Последние два уравнения превратились в уравнения вида . Эти уравнения удовлетворяются при любых значениях неизвестных и их можно отбросить.
Чтобы удовлетворить второму уравнению, мы можем для и
выбрать произвольные значения
, тогда значение для
определится уже однозначно: 
. Из первого уравнения
значение для также находится
однозначно: 
.
Как заданная, так и последняя системы совместны, но неопределённы, и формулы
при произвольных и дают нам все решения заданной системы.
Метод Гаусса и системы линейных уравнений, не имеющие решений
Следующий пример - несовместная система линейных уравнений, то есть не имеющая решений. Ответ на такие задачи так и формулируется: система не имеет решений.
Как уже говорилось в связи с первым примером, после выполнения преобразований в расширенной матрице системы могли появиться строки вида
соответствующие уравнению вида
Если среди них есть хотя бы одно уравнение с отличным от нуля свободным членом (т.е. ), то данная система уравнений является несовместной, то есть не имеет решений и на этом её решение закончено.
Пример 7. Решить методом Гаусса систему линейных уравнений:
Решение. Составляем расширенную матрицу системы. С помощью первого уравнения исключаем из последующих уравнений переменную . Для этого ко второй строке прибавляем первую, умноженную на , к третьей строке - первую, умноженную на , к четвёртой - первую, умноженную на .
Теперь нужно с помощью второго уравнения исключить переменную из последующих уравнений. Чтобы получить целые отношения коэффициентов, поменяем местами вторую и третью строки расширенной матрицы системы.
Для исключения из третьего и четвёртого уравнения к третьей строке прибавим вторую, умноженную на , а к четвёртой - вторую, умноженную на .
Теперь с помощью третьего уравнения исключим переменную из четвёртого уравнения. Для этого к четвёртой строке прибавим третью, умноженную на .
Заданная система эквивалентна, таким образом, следующей:
Полученная система несовместна, так как её последнее уравнение не может быть удовлетворено никакими значениями неизвестных. Следовательно, данная система не имеет решений.
